时间：2023-06-05 09:55:15
关键词：数学教学；《探索勾股定理》；拓展性课程
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0087
众所周知，勾股定理的内容非常丰富，但现行的教材（以浙教版为例）只安排两个课时，教学受课时的限制，不能充分利用勾股定理发展学生的问题解决、人文积淀、理性思维等核心素养。本文以开发《探索勾股定理》的拓展性课程为例，展示以学校教研组为团队如何依托数学课本开发拓展性课程，以期抛砖引玉。中国学生发展六大核心素养中有十八个基本要点，其中三个是问题解决、人文积淀、理性思维，《数学课程标准》的前言中也有类似的表述。对应三个基本要点确定三个课时的拓展性课程，在上完基础性课程的两个课时后进行。因篇幅所限，只展示每个课时的教学目标、学习内容及要求、课外作业。
第一课时：勾股定理在生活中的应用
设置缘由：数学课最缺的是实践课，学生非常喜欢实践课，开发团队成员一致同意每学期开发一节实践课。
教学目标：引导学生观察生活，体验生活中的数学，体验用数学模型刻画现实世界。
活动内容及要求：（1）带学生参观有人字梁结构的农村老宅，请当地手艺比较好的手艺人，一个木匠，一个泥水匠当讲解员。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子时要先奠基，在一百多平方米的地上要设置很多个直角，选好位置打下木桩，固定好线，沿线做墙脚。怎样使墙角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下两个木桩，两个木桩之间的距离为三尺，调整第三个木桩的位置，使它与前两个木桩的距离分别为四尺与五尺。拉上线，再微调。泥水匠师傅说，这种方地基的方法是师傅们口耳相传的好方法，若是正式造房子开工方地基的日子，仪式很隆重。（3）木匠师傅主要举了两个例子。一个例子是如何预算建造斜屋顶结构的房子用到的木料，特别是人字梁结构中斜线部分的木料长度的计算方法。第二个例子是如何在大块的板材中确定直角。（4）教师作为主持人、主持师傅与学生的互动，让学生尝试用数学模型解释实际应用问题。
课外作业：找一个生活中实际用到勾股定理的例子，写心得体会交流。
第二课时：勾股定理的历史文化
收集方法：这部分内容多而杂。动员团队所有成员参与，从网上和书本中搜集并整理。
教学目标：在对勾股定理历史了解的过程中，感受数学文化，感受历代世界人民的智慧和探索精神，感受数学知识源远流长和数学价值的伟大。
学习内容及要求：
（1）勾股定理的发现：公元前1100多年的《周髀算经》中，就有勾股定理的记载，相传是商代商高发现的。三国时的赵爽给出了证明，2002年北京国际数学大会的徽标就是赵爽证明勾股定理用的弦图。勾股定理被西方人称为毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。相传毕达哥拉斯花了很多的精力才证明了这个定理，他很高兴，于是宰了百头牛庆贺一番，不过毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。这个定理有流传很广，印度、希腊、巴比伦、中国、埃及等文明古国对此定理都有所研究。要求学生课前和课后整理出赵爽和毕达哥拉斯的相关成果，了解《周髀算经》等中国古代经典数学著作。
（2）勾股定理巨大辐射能力：①勾股定理是数与形结合的典范，启发后人对函数的研究；②毕达哥拉斯学派的希帕索斯利用勾股定理导发现了根号2，引发了第一次数学危机，数从有理数扩展到实数；③勾股定理使数学在追求逻辑体系和数学美的过程中发展了现代数学；④勾股定理中的公式是一个最早的不定方程，引发了包括著名的费马大定理。⑤勾股树的拓展，勾股树中的正方形可以变换为正三角形、半圆、月亮形等许多图形。要求学生例举数形结合的例子；能描述三次数学危机；能举例一些现代数学；了解费马大定理的内容及费马的成就。
（3）勾股定理的证明方法多样化。由于勾股定理的证明起点很低，所以千百年来下至业余数学爱好者、普通的老百姓，上至著名的数学家、国家总统都参与了勾股定理的证明。勾股定理有四百多种证明方法，目前还找不到一个定理的证明方法之多能超过勾股定理。
“总统”证法的故事：1876年一天的傍晚，美国的议员伽菲尔德由于受到了两个小孩的追问，开始对勾股定理证明进行思考……后来他在继承的基础上反复思考终于找到了独特的证法。1876年，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他的证法。由于在1881年伽菲尔德就任美国第二十任总统，人们就把这一证法称为“总统”证法。要求学生课前和课后搜集有趣的勾股定理证明故事并交流。
第三课时：勾股定理的证明方法
证明方法选择的标准：证法有四百多种，但不能穷尽，要选择重要的、典型的、适合初中学生的证法。
教学目标：在勾股定理的探索过程中培养学生的理性思维和创新能力，体会深层次的数形结合；发展形象思维，体验解决问题方法的多样性，培养探索精神。
学习内容及要求：
（1）赵爽证法。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期的数学家赵爽。如图1，就是赵爽创造的弦图。以a、b（b>a）为直角边，c为斜边作四个全等的直角三角形拼成所示形状，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2这是课本上的证法，不必细讲。应让学生认识到本题的证法并非严密的演绎推理，如图形中的内外两个正方形就没有证明。
（2）邹元治证法。如图2，也是用面积法，证明方法略。
（3）总统证法。如图 3， 这个证明方法是赵爽证明方法的变形，也是用面积法，证明方法略。
（4）欧几里德证法。如图4，以a、b、c分别为直角边斜边RtABC，再分别以a、b、c为边，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，连结BF、CD，过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，FAB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可证，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。应让学生认识到本题的证法是典型演绎推理，是欧氏几何，后面两种证法也是如此。
（5）相似三角形性质证法。如图5，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，过点C作CD AB，垂足为D.可证得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。
（6）切割定理证法。如图6，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，以B为圆心、a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a，因为∠BCA=90°，点C在B上，所以AC是B的切线。由切割线定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。
（7）证法评析。中国证法的独到之处是善用面积法，巧妙地避开了角的性质及平行线性质的繁琐理论，简洁明了，吴文俊、张景中等发展的数学机械化方法深受中国古代数学思想的影响。后三个证法追求严谨的逻辑体系，对提升人们的理性精神，注重演绎推理的科学精神具有不可替代的地位。
[关键词] 数学史；勾股定理；教学设计HPM即History and Pedagogy of Mathematics，用HPM视角引导学生学习数学，即将数学史引进到教学当中，让学生以历史的角度看待一个数学问题的提出、数学问题的演变、数学问题的应用等. 数学教师如果应用这种方法引导学生学习知识，学生将能深入地理解到探索数学知识的重要意义、人们拓展数学知识系统的整个过程、人们逐步完善数学知识系统的方法. 如果教师能够引导学生以HPM的视角纵向了解某个数学知识，学生将会以该数学知识为中心，形成一套完善的数学知识系统. 本次研究将会以初中数学勾股定理的教学设计来说明HPM视角在数学教学中的应用方法.
结合历史，让学生探究勾股定理的概念
勾股定理，是一个直角三角形的平方和等于斜边平方的数学定理. 从几何的角度来说，它是几何知识的一个重要基础，从函数的角度来看，它是余弦定理的一个特例. 数学教师如果能在勾股定理这一章节为学生打下良好的数学基础，学生就能够打好学习几何知识与函数知识的基础.
如果数学教师仅仅让学生单纯地理解勾股定理这一概念，学生将只能理解“勾三股四弦五”这一条文字概念，教师要学生真正地理解这一条数学概念背后隐藏着各种数学知识，就需要让学生从数学史的角度去了解勾股定理的知识. HPM视角下的数学教学实际上就是让学生从宏观的角度去了解古人是如何摸索出这一条定理、研究这一条定理、应用这一条定理的.
以一名教师引导学生深入的理解勾股定理为例，教师可让学生看到欧几里德、郑爽等人的定理证明方法，然后引导学生思考，为什么前人已经证明过这条数学定理以后，后人还要继续探索新的求证方法呢？学生经过思考能够理解到，在学习数学的过程中不能盲从前人说过的话，而要自己探索、自己思考，直到探索出数学知识的奥秘. 这时教师可引导学生用一套全新的方法证明勾股定理. 有一名学生的证明方法如下：
参看图1，在直角ABC斜边上绘制正方形ABDE，延长CB，从E点作CB延长线的垂直线EG，两线的焦点为G. 从D绘制CB的垂直线，它相交于CB延长线的K点. 以A点绘制EG的垂直线，它的交点为F. 以D点绘制EG的垂直线，它的交点为.
从图1绘制的过程可看到AFE≌EHD≌BKD≌ACB.
如果将五边形ACKDE的面积视为S，可得S=SABED+2SABC；（公式1）
同时可得S=SACGF+SHGKD+2SABC；（公式2）
由公式1、公式2可得c2+2×ab=b2+a2+2×ab；
由此可得c2=a2+b2.
教师引导学生从HPM的视角看待数学知识，并不是单纯地为了让学生了解数学的历史，而是要让学生从历史的角度了解到前人不懈的探索数学知识的精神、古人追寻数学真理的态度. 当学生了解到这一点后，学生就能了解到自己学习数学知识的目的不是为了记住一个数学概念、数学定理，而是要用自己的头脑去思考数学的问题、用自己的实践去验证数学的知识、用自己的视角去开辟数学的新天地.
数学教师应用HPM视角引导学生学习时，不能仅仅着眼于让学生去学习数学历史，而要从引导学生了解数学概念产生、演变、应用出发，让学生从中理解到追寻科学、追寻真理的精神，学生只有拥有这种科学探索的精神，才能学好数学知识.
巧设习题，让学生感受勾股定理的变化
如果以HPM的视角来看，人们全面地了解一个数学知识需要漫长的时间，在探索数学知识的过程中，人们发现了一个数学概念就会去积极探究这个数学知识，然后人们会逐渐完善数学知识、拓展数学知识. 以勾股定理为例，“勾三股四弦五”只是勾股定理的基本描述，以后人们在了解这条定理的基础上发现了“两条边的平方和等于斜边的平方和”这一个规律. 教师如果在教学的时候能让学生去探索勾股定理拓展的过程，学生将能领略到数学知识变化的奥妙，他们的学习兴趣会被激发，他们在探索的过程中会初步地形成一个数学知识系统.
以教师引导学生看两个习题为例：
习题1：参看图2，AM是ABC中BC边的中线，求证：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.
[A][B][C][D][M]
一名学生的求证方法如下：
从A点绘制BC边的垂直线，交点为D，由c2=a2+b2可得AB2=AM2+BM2+2BM・MD；（公式3）
由此可推知，在ACM中，AC2=AM2+MC2+2MC・MD；（公式4）
AM是ABC中BC边的中线，可得MB=MC；
由公式3与公式4可得AB2+AC2=2（AM2+BM2）.
学生从这个证明的过程中能推知三角形的中线长公式，他认为假设ABC的边长分别为a，b，c，它们对应的中线长为ma，mb，mc，那么中线长的公式为：
ma=，
mb=，
mc=.
当学生能够从勾股定理推知三角形的中线长规律时，学生就能感受到数学知识蕴藏很多变化.
此时教师可引导学生再做习题2：
求证：四边形四条边的平方和为对角线的平方和与对角线中连线平方之4倍.
由于学生有习题1作为基础，他们可以较为轻松地找到求证的方法，这名学生的求证过程如下：
参看图3，四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，由三角形中线长的定律，可得BQ2+DQ2=2PQ2+2・2
2=2PQ2+；
将之简化可得2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2；（公式5）
[A][B][C][D][O][P][Q]
图3
结合习题1中证明的三角形中线长公式，可得
BQ2=（2AB2+2BC2-AC2）；（公式6）
DQ2=（2AD2+2DC2-AC2）；（公式7）
将公式6和公式7代入公式5中，可得（2AB2+2BC2-AC2）+（2AD2+2DC2-AC2）=4PQ2+BD2，于是AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.
学生在做习题2的时候，能从三角形中线长公式中研究出一种新变化.
从教师引导学生从勾股定理开始，教师可让学生探索三角形中线长的公式，再引导学生灵活应用三角形中线长的公式，在这个学习过程里学生能了解到数学知识的变化、感受到数学知识的乐趣. 当学生能够从勾股定理中拓展出新的数学知识时，他们将能感受到数学知识系统形成的脉络.
数学教师应用HPM的方式引导学生学习数学的时候，可以从数学史的角度给学生布置习题，学生在体验数学知识演变的过程中能初步形成数学知识系统，这是他们完善数学知识系统的基础.
结合实践，让学生理解勾股定理的系统
当教师从HPM的角度引导学生感受到数学知识系统的脉络以后，教师可引导学生尝识系统地总结数学知识，学生在总结数学知识以后，将能从HPM的角度看到数学知识系统的形成，这个数学知识系统将成为学生深入地学习与之相关数学知识的基础.
以教师引导学生学习勾股定理为例，教师在让学生以HPM的角度纵向地了解到勾股定理以后，引导学生系统地总结勾股定理的描述，有一名学生的描述如表1：
表1为学生总结的勾股定理的知识系统，学生完整地总结出这个知识系统以后，就可以应用这套知识解决与之相关的数学知识，从而拓展出新的数学系统.
灵宝市一中 魏金旦
对于复习课我们总是有这样的困惑，知识内容多，习题多，很难在一节课的时间内完成，怎样提高复习课的效率呢？下面结合勾股定理复习课例来谈谈我的认识。
第一个环节知识回顾：将独立的知识点串成线，连成片，结成网；并体会各知识之间的联系，辨析各个知识之间的本质和联系。展现形式：知识树或表格。知识树或框架图能够全面的展现本章内容及知识脉络；表格能够更好地反映知识间的区别于联系。本章主要是勾股定理及逆定理，重点加强两者的对比与联系，我选择了表格这种方式。
第二个环节基础巩固：这一环节所选题目紧扣本章的知识点，学生完成困难不大，所以让学生独立完成之后对答案，个别问题组内解决，个别抽查，学生人人过关。
通过对勾股定理几何意义的探索，让学生体会数学美和数形的完结合。
第三个环节是综合运用，我设置了三个问题。
1.勾股定理的几何意义
通过对勾股定理几何意义的探索，让学生体会数学美和数形的完美结合，也增强学生的探究意识和归纳概括能力。
2、勾股定理与特殊三角形
这一问题的设置打破了我们以往分类别展示习题的复习方式，而是将复习巩固与方法探究结合在一起，这样设计的目的有两个：（1）通过计算可以总结出利用勾股定理求边长时通常会遇到两种情况，已知两边可直接用勾股定理计算，已知一边要考虑设未知数。而这两种方法贯穿于本章始终，有了这样的两个基本方法，解决勾股定理的问题就不再是问题，从而起到四两拨千斤的作用。（2）通过计算我们可以看出在30°，45度的直角三角形中三边之比总是定值，可见已知任意一条边都可以求出第三条边。这一结论为学生计算特殊三角形的边长提供了快捷的方法。勾股定理复习课我们希望达到的目标是能够熟练使用定理解决三角形三边关系，这一点在第一部分已经基本解决。
3.勾股定理应用
数学来源于生活又服务于生活，用数学是我们的重要目标。而勾股定理的应用更是无处不在，但万变不离其踪，关键是进行数学建模，通过例题3的讲解，学生能够从实际问题中抽象出几何图形，并利用勾股定理来解决，目标很好地实现。
为了让学生形成一定的数学思维，培养学生的探究欲望，紧接着又设计了第四个环节——拓广探索：
已知三角形的三边长度，你能否求出这个三角形的面积？这一个问题在新课的学习中并没有出现，因此可以算是知识的发展延伸，抛弃了传统的老题目，对学生更有吸引力。同时这一问题给学生提供了不同的可能性，能满足不同层次学生的需要，最低要求，直角三角形以及一些特殊的如等边三角形，等腰三角形应该不难求出；较高层次的要求，对于一般的三角形也能通过构造直角三角形的方法，借助方程思想求出高从而求出面积。
问题的开放性让这一节课充满了曲折，形成了大量了交流讨论，创造了精彩；最后，学生形成了一个认识，任何三角形只要知道三边是肯定可以求出面积的，这是一个新知识，但是对照我们一开始定下的复习目标，在这个过程中全部都有涉及，目标达成。最重要的是，这种发展延伸知识的过程对学生今后的学习指导意义。
最后进行课堂小结：通过知识树将本节课从知识、方法、数学思想三个大的方面进行总结。使整个章节从“厚”到“薄’,让学生有一种“一览众山小”的成就感。
结束语：数学应该是清清楚楚一条线，而不是模模糊糊一大片。在课堂上抓住两条线，一是知识线，二是方法线，无论再多的题型都是形散而神不散。知识加方法，难题都不见。
课后反思：
一、教学设计的背景与思路
勾股定理的逆定理是几何中一个非常重要的定理，它是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法，还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。为此，根据课程标准的要求和学生现有的实际情况，我把这节课的教学目标拟定为：一是通过现实生活中的例子，体验数学来源于现实又作用于现实；二是通过探索勾股定理的逆定理，提高学生观察、分析、归纳问题的能力，发展形象思维；三是通过运用勾股定理的逆定理解决有关的问题，提高学生运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。
二、教学设计的过程与分析
（一）创设情境，引入新课
教学内容：多媒体演示古埃及人得到直角的过程。
设计意图：是通过多媒体（动画）的形式，让学生直观地感受问题情境，自觉地进行数学思考，让学生体验数学与现实生活有密切联系，使数学学习发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣和参与程度，同时为学生创设探索情境。
（二）动手实践，得出猜想
教学内容：
1.学生用长绳模仿古埃及的方法，用打结的方法得到直角。
2.初步归纳发现的结果。
3.观察猜测三角形的形状，再启发学生从这两个活动中归纳思考，得出猜想。
设计意图：让学生如实再现情境，在自己充分操作、认知的情况下进行猜想与归纳，体验数学思考的魅力和知识创造的乐趣，使学生真正成为主动学习者。
（三）数学推理，证明猜测
教学内容：运用推理方法，证明猜测。
设计意图：在学生有困难的时候，适时点拨，让学生在尝试探索中，顺利地突破本节的难点。
（四）尝试运用，熟悉定理
教学内容：布置练习，设计思考题，引导学生运用定理。
设计意图：通过运用，及时反馈教学效果。这先让学生尝试解决，再进行讨论交流，在交流中学会与他人合作，让学生从中感受到学习的快乐。
（五）总结内容，强化认识
教学内容：同学们畅谈本节课的收获。
设计意图：注重引导学生将所学知识体系化，达到认识的深化与认知结构的完善。
三、教学反思与感悟
【关键词】 信息技术 初中数学 课程整合 教学
信息技术与数学课程整合是指在数学课程教学中，把信息技术、信息资源、方法、人力资源和数学课程内容有机结合，它的教学模式主要有以下几种：
1. 教师为主导的演示性教学模式
教师为主导的演示性教学模式主要是利用信息技术手段，采用分层演示、影视演播、模拟动画等方式，将抽象的数学概念、定理以及难以用语言和文字表达清楚的数学知识的发生，发展过程展示出来，以帮助学生形成直观的表象，更深入理解新知识，接受新概念，提高分析和概括的思维能力，从而构建新的知识体系。
例如，在学习轴对称等概念时，可以采用flash制作轴对称的整个过程的模拟动画，播放给学生看，学生通过观察，不用教师多讲，就能很快的接受和理解轴对称的概念。
这种教学模式，是目前广大教师比较常用的，也是比较简单的一种教学模式，通常是经历在教师干预控制对象的条件下，由教师引导学生进行观察、归纳、猜想、验证、构建新的知识体系等几个教学环节。教师在教学中处于主体地位，主要任务是选取适当的教学内容，制作和收集影视、动画等教学课件展示给学生并加以引导。学生虽然处于接受地位，但是由于采用了信息技术的手段，创造了一定的课堂教学情景，必然会大大地激发学生的学习兴趣，调动学生学习数学知识的积极性，同时又把抽象的数学知识直观化、可视化、具体化，这样学生会更乐意接受这些新知识，与传统的教学相比就大大提高了课堂教学效率。在概念、定义、定理和某些抽象的数学知识的教学中，通常采用这种教学模式，尤其适合低年级的学生的认知水平。
2. 探究式教学模式
探究式教学模式是借助几何画板软件、图形计算器等信息技术手段，提出探究问题，创造数学实验情景，由学生通过自己动手实践做数学，让学生在动手实践的动态过程中自主观察、探索对象之间的数量变化关系例如，在学习平行四边形的特征时，可以采用几何画板软件，创造实验平台。实践操作如下：（1）引导学生自主制作一个平行四边形ABCD，（2）度量两组对边AB、CD的长度，BC、AD的长度，（3）度量两组对角∠A、∠C的大小，∠B、∠D的大小，（4）用鼠标拖动平行四边形的一个顶点、观察平行四边形ABCD的形态、结构和度量值的变化。这样动手实验，大大地激发了学生的积极性和好奇心，于是他们会主动归纳得出结论：“平行四边形的对边相等，对角相等”。此时，教师可以顺着学生高涨的学习情绪，启发学生进一步探究平行四边形的对角线有什么特征，让学生思考、猜想，继续做数学实验，培养学生探究创新精神。这样不但可以节省很多时间，而且学生对知识的掌握会更牢固，理解会更深入。
这种教学模式，通常有创设数学情景、动手实践、提出猜想、验证猜想等几个环节。在教学的过程中，教师只作为学生的组织者，合作者，引导者的角色。教师的主要任务是选用适当的教学软件，结合适当的教学内容，利用教学软件可以动态测量数学对象，可以动态跟踪数学对象的运动轨迹，可以快速、准确作图的优点，去帮助学生创设丰富的“做数学的实验平台”等环境，引导学生开展数学实验，进行探究式学习。学生是主体，强调学生的自主动手操作，要求学生比较自觉，要掌握一定的软件操作和原理等信息技术知识，所以这种教学模式比较适合高年级的教学。在内容上，常用于图形与空间的结论的验证，定理的探索以及函数图像、性质的探索等等。在这种教学模式下，学生学习的时空得到极大的拓宽，学生的主体地位得到充分的体现，有利于学生从感性认识上升到理性认识，从形象思维上升到抽象思维，有利于学生数学思维能力和科学素养的培养，为学生营造了一个激发其创造欲望的环境，更有利于产生创造性的思维火花。
3. 合作研究性教学模式
合作研究性教学模式是在老师的组织引导下，由学生通过丰富的网络资源查找、筛选信息和网上协作共同完成课题的一种教学模式。它是一种多学科、多纬度的综合性教学模式，将知识、计算、规律的学习与解决实际问题等目标综合在一起。应用这种模式的教学一般不能在一节课中完成，根据项目的难易程度确定所需的时间。此模式的实施分为以下几个阶段：
（1）创设情境，提出问题。
（2） 分析问题，组织小组，确定研究计划。
（3） 自主查找、收集与解决问题相关的信息。
（4） 交流协作，制作、计算数据，解决问题。
（5） 汇报，评价，反思。
例如在学习《勾股定理》时，教师就可以利用合作研究性教学，实际操作如下：
（1） 教师可以利用网络等信息技术收集一些与勾股定理有关的素材，如《外星人与勾股定理》，以此创设情景激发学生的兴趣，激发了学生学习勾股定理的热情后，提出以下问题：勾股定理的内容是什么？谈谈它的由来。它的证明方法有哪些？它可以解决我们生活中哪些问题？勾股数等。
（2） 讨论分析以上问题，然后分小组分任务解决。
（3） 学生明确目标后，带着问题独立地通过网络进行搜索、收集相关的信息。
（4） 引导学生通过网络进行各种形式的协作学习，发挥自己的聪明才智和想象，总结解决的办法，通过电子邮件、腾讯QQ实时聊天或在BBS上发表帖子交流，并讨论它的可行性，以及收集到的信息是否有效。
多元文化数学的进一步挖掘会使数学的教与学变得更加丰富多彩，从教学的角度思考勾股定理的教学，将上述的文化素材切入勾股定理的学习，将数学融入文化，并从学生认知规律出发设计一堂生动有趣的数学文化课堂．具体而言，上述文化素材可以通过两种方式加以应用．一是在形成了有关勾股定理的猜想之后，展现中国结与纸风车等文化素材，通过数学化，将生活形状抽象为几何图形，然后再利用拼图游戏来直观化地验证勾股定理．这样做的目的有三．首先，适应学生的几何认知水平．荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平:直观(Visualization)、分析(Analysis)、推理(Infer-ence)、演绎(Deduction)、严谨(Rigor)．
初中学生的逻辑思维能力还不是太强，因此需要通过直观、操作等手段帮助学生理解抽象的几何关系与演绎逻辑．而借助中国结、纸风车等为载体抽象出来的几何图形，通过拼图能直观地验证勾股定理，这对于数学学习基础尤其是抽象思维能力较弱的学生而言是极为重要的，降低了思维难度，但同时又提高了学生的参与度、兴趣与信心．其次，密切数学与生活的关联．在很长一段时间里，学生学校的数学学习与其生活是相互割裂的．这样的学习也造成了很大的教育问题，即学生的数学学习未能被正当地赋值，甚至有人还提出数学无用论．因此，在教学中需要借助学生生活中常见的素材，并由此学习这些素材中蕴含的数学元素与数学关系，这也即是“数学生活化”的教学设计逻辑．这即是指，教师首先确立的是“勾股定理”这一数学维度上的学习目标，然后寻找到如中国结、纸风车等生活中常见的素材，并使之融入到教学之中，以实现“数学生活化”．再次，为了学生文化浸润式的学习．除了密切学生的现实生活与数学之间的关联之外，还要让学生体会到数学的文化厚重感．即借助富有中国传统特色的中国结、流传历史悠久的纸风车来学习数学，能让学生产生历史厚重感．
二是在学生已经学习了勾股定理之后，向学生展现中国结和纸风车图片，要求学生抽象出其中的数学元素，并由此探索这些数学元素之间的数学关系．与前一种将文化素材作为验证勾股定理的载体不同，这里将其后置到定理学习之后作为拓展性的问题让学生探索．这种用法的价值除了具有前述“密切数学与生活之间的关系”、“为了学生文化浸润式的学习”等两个方面之外，还有以下意义．首先，为了知识的巩固与活化．学生在学习了勾股定理之后，除了常规的练习之外，事实上更重要的是要将知识迁移到类似的但又不那么封闭与明确的情境之中．后者不仅在于巩固知识，同时也使知识得到活化．因为，无论是中国结还是纸风车，都需要学生作一定程度的数学化，并将不熟悉的问题化归为刚刚学习的勾股定理相关的问题，显然这就不仅仅是知识的巩固了．其次，从教育目标的角度来看，这种做法还期待培养学生“生活数学化”的能力．关于数学价值，不同的人也许有着不同的理解．但显见的是，在数学上研究越深入的人越能认识到数学的内在价值．造成这种现象的一个重要原因在于，数学的价值有时是非常内隐的，甚至很难为人所感知的．如果在教学中不去挖掘数学的内在价值，有时就会产生误导，甚至会认为数学只是用于计算．也正因如此，我们强调这些文化素材在数学教学中加以应用，就是希望所培养的学生能逐渐拥有用数学思考问题的意识和习惯，拥有用数学更好地组织生活的能力．
就本案例而言，中国结与纸风车都是我们文化生活中所常见的，但我们更习惯于用工艺品(或艺术品)的角度来理解，而很少会从数学的角度研究这类物品．但事实是，当我们用数学的角度来理解生活中的这些事和物的时候，往往能带来惊喜:原来我们身边处处有数学．再次，有助于培养学生的数学学习习惯．过去我们所理解的数学学习习惯往往指的是学生伏在案头学习数学的习惯．我们认为，数学学习习惯除了上述方面外，一个更高的层次是学生随时而自然地会想着用数学的角度思考问题．后者当然是理想的状态，但教学中的有意识培养也能帮助学生朝着这个方向前进．其中一个重要的培养策略就是让学生尝试探索也许表面上与数学风马牛不相及的素材中的数学元素，除了中国结、纸风车，还有包括建筑物等素材．需要进一步说明的是，与前一种用法相比，这种用法对学生的数学要求也更高，当然所培养的探索能力也会更强一些．
总之，数学文化的观念已引起人们越来越多的关注，关于数学文化与数学课程教学的整合也是研究的热点问题之一．但关于富含数学元素的民俗文化的挖掘与教育学转换还比较有限，本文也是在这一方向上的一种努力．
作者：尤婉唐恒钧单位：浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学教师教育学院
下面是笔者组织的探究活动实录及反思,供大家参考。
一、教学目标
1.知识与技能。
(1)理解并掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法;
(2)学会用拼图的方法验证勾股定理,培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。
2.过程与方法。
(1)通过丰富有趣的拼图,经历观察、比较、拼图、推理、交流等过程,发展空间观念和有条理地思考与表达的能力,获得一些研究问题和合作交流的方法与经验;
(2)经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题的方法的多样性,进一步体会勾股定理的文化价值;通过验证过程中数与形的结合,体会数形结合的思想,以及数学知识之间的内在联系。
3.情感、态度与价值观。
(1)通过拼图活动,体验数学思维的严谨性,发展形象思维;
(2)通过获得成功的体验和克服困难的经历,增进数学学习的信心,在探究活动中,体会解决问题方法的多样性,培养学生合作交流的意识和探索精神;
(3)利用拼图方法验证勾股定理,是我国古代数学家的一大贡献,借助此过程,对学生进行爱国主义教育。
二、教学重点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题方法的多样性,进一步体会勾股定理的文化价值。
三、教学难点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理。
四、教学过程
1.活动一。
师:每个小组都有四个全等的直角三角形和一个正方形(如图1),其中直角三角形的直角边长分别为a和b,斜边长为c;正方形的边长为b-a。你能用它们拼成一个正方形吗?你能用它们拼成两个正方形吗?你能说出每个正方形的边长吗?
小组合作完成后,让学生到黑板上演示并解说。
第4小组:我们首先拼成这样一个正方形(如图2),它的边长为c,然后拼成两个正方形(如图3)。(由两人合作完成)
学生:我在资料上看到,刘徽在证明勾股定理时,也是用的以形证数的方法,只是具体的分合移补略有不同。刘徽的证明原来也有一幅图,可惜图已失传,只留下一段文字:“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。”后人根据这段文字补了一张图(图13)。
3.活动三。
师:其实,在国外也有很多很好的用拼图证明勾股定理的方法。(如图14)直角三角形ABC的直角边分别为a和b,斜边为c,正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的边长分别为a、b、c,我们一起试一试:首先用一条水平直线和一条竖直的直线将正方形Ⅱ分成四部分,再将它们与正方形Ⅰ一起拼成正方形Ⅲ。
小组合作完成后,让学生到黑板上演示并解说。
第6小组:我们按照这种方法,也将正方形Ⅱ这样(演示)分成四块(图15),但发现拼不成。
第4小组:他们的竖直线画得和我们不同(图16),我们认为要用一条水平直线和一条竖直直线将正方形Ⅱ分成四个四边形,再将四个四边形有公共顶点的四个直角与正方形Ⅲ的四个直角相对应,最后将正方形Ⅰ放在中间,正好拼成正方形Ⅲ。
第5小组:我们发现无论横线还是竖线在正方形Ⅱ内部的长度都必须等于直角三角形的斜边长c。
学生:想不到这么高深的数学问题我也能解决!
学生:现在我知道了动手做也可以研究数学问题。我不再感觉数学是枯燥的了,数学其实很有趣。
学生:我知道了原来我们中国古代数学家曾经取得非常高的成就,我要向他们学习,学好数学,成为像他们那样的数学家。
五、教学反思
通过“拼图与勾股定理”探究活动的教学,笔者有以下几点体会。
1.探究活动的起点不宜过高。
探究活动重在引导学生主动参与、乐于探索、善于实践,把握知识的全过程,明晓数学的来龙去脉。在“拼图与勾股定理”的探究活动中,笔者以中国古代和外国已有的证明勾股定理的方法为基础,精心设计了三个拼图活动,使学生在教师引导下,通过动手操作和思考,发现用拼图可以验证勾股定理,并明白其中蕴涵的数学原理和思想方法。所有的问题,学生通过观察、比较、拼图、推理、交流等都能得到解决,既不浅显,又不是高不可攀,使学生能做、乐做,同时又享受到做中的乐趣。
2.探究活动中学生的参与度很重要。
在“拼图与勾股定理”的探究活动中,90%以上的时间是学生在思考、交流、操作、发言和演示。每一个小组都有展示,每一个学生都在做、想、说,虽然其中有困惑、有障碍、有失败,但每个学生乐此而不疲,做的专心致志,想的眉头紧锁,听的津津有味,说的深入浅出,而且总会冒出一些出乎意料的问题和方法。这些得益于各小组的明确分工,使得每个学生都有动手操作的机会和发言的空间,也得益于教师对失败和错误的包容、对成功和精彩发言的表扬鼓励。整个过程中学生的意见得到发表,创造得到肯定,每个学生都有收获。
3.探究活动中学生有创造。
学生以前知道的勾股定理证明方法很有限,对于本活动中的许多证明方法,学生以前并不了解。对于学生来说,这些方法都是新的,而且是他们创造的。在数学学习活动中培养学生的创造能力,就是使学生在学习过程中,独立地发现新知识,独立解决自己未曾解决过的问题或把所学的知识应用到新的情境中去的能力。
现代数学教学理念认为,数学教学是数学思维过程的教学,学生学习数学的过程是头脑中构建数学认知结构的过程。问题是数学的心脏,是创造思维的源泉。在教学中,我们应有意识地创设发现问题的情境,这是发展思维的关键一环,也是培养学生创新能力的好途径。
一、创设情境,培养学生的学习兴趣
兴趣是最好的老师,学生有了学习兴趣,他们的思维就会保持在积极的探索状态之中,有了兴趣他们把学习作为自己内心的需要,而不是把学习当作一种负担。在教学中,我们应有意识地创设问题情境,激发学生求知的欲望。
1.用新旧知识的冲突,激发学生的探索欲望。例如,在进行“正弦和余弦”概念教学时,设计如下两个问题:
①RtABC中,已知斜边和一直角边,怎样求另一直角边?
②在RtABC中,已知∠A和斜边AB,怎样求∠A的对边BC?
问题①学生自然会想到勾股定理,而问题②利用勾股定理则无法解决,从而产生认知上的冲突――怎样解决这类问题呢?学生的探求新知识的欲望便会油然而生,产生学习兴趣。
2.利用学生在生活中熟知的,常见的实际问题来激发学生的探索欲望。如在教“统计初步”时,设计以下例子:孙老师为了从甲乙两名运动员中选取一人参加比赛,两人在相同条件下各跳10次,成绩如下表:
甲:5.7 5.8 5.6 5.8 5.6 5.5 5.9 6.0 5.7 5.4
乙:5.9 5.5 5.7 5.8 5.7 5.6 5.8 5.6 5.7 5.7
怎样比较两人的成绩高低,选谁参加比赛?孙老师经过科学的数据处理,选出一名运动员参加比赛,取得了较好的成绩。他是怎样计算的呢?
学生此时思维活跃起来,对探求新知识兴趣昂然,师生很顺利地完成此节内容,同时也加深了学生对数学知识来源于生活又应用于生活的认识。
3.利用数学小实验,引发学生的好奇心和求知的欲望。例如,在讲三角形内角和定理时,可以这样设置问题:
①把课前剪好的ABC纸片,剪下∠A、∠B和∠C拼在一起,观察它们组成什么角?
②由此你能猜出什么结论?
③在拼图中,你受到哪些启发?(指如何添加辅助线来证明)这样创设情境,使学生认识到∠A+∠B+∠C=180°,从而对三角形内角和定理有一个感性认识,同时通过拼角找出定理的证明方法,学生在动脑、动手、动眼、动口的实践中,增强了观察能力,提高了学习兴趣。
二、创设情境,鼓励学生主动参与,在亲历数学建构过程中培养学生的创新意识
美国教育家布鲁纳认为:“知识的获取是一个主动的过程,学习者不应该是信息的被动接受者,而应是知识获取的主动参与者。”在课堂教学中创造条件,创设情境,让学生自己去探索、去发现,亲历数学构建过程,掌握认识事物、发现真理的方式方法。从而培养学生的创新意识。
记得讲勾股数时,教师出示了这样几组勾股数,请同学们讨论这些勾股数的特征:
3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41……
1．创设情境，引入新知
在教学中，教师展示一些生活中的图片，如斜拉桥，揭示塔索、桥面与拉索可以组成直角三角形，进而引出问题：若知道索塔的高为120m，从索塔底部走50m刚好到达一根拉索的下端，如何计算这根拉索的长？
意图：利用学生已有知识创设问题情境，复习勾股定理及其简单应用，为应用勾股定理解决实际问题作铺垫.
2．引导探究，建立模型
问题1：如图1，长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1m？
意图：让学生熟悉如何将实际问题转化成数学模型，并能用勾股定理解决简单（已知直角三角形两边）的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力.
3．变式探究，巩固建模
问题2：《九章算术》勾股章有一题“引葭赴岸”：今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．现在你能解决吗？
意图：通过古算题，让学生感受到中国古代数学的发达，培养学生的民族自豪感；同时也变式到已知直角三角形的一边和另两边之间的关系，将方程思想引入其中，增强学生的应变能力和解决问题的能力.
问题3：如图2，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试求重叠部分AEF的面积．
意图：以学生熟悉的折纸活动为背景，使学生能用数学的眼光审视世界，学会思考，体验解决问题的策略.
4．应用实践，发展能力
问题4：图3是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,则旗杆有多高呢？你能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案.
如图4,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他们把绳子的下端拉开5m后，此时发现绳子刚好拉直并且下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？
意图：让学生通过思考、讨论、交流，设计方案，熟练合作交流的学习方式，培养学生应用数学的能力.
5．迁移知识，拓展思维
问题5：如图5，将一根30cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和24cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
意图：通过讨论、思考，让学生经历从空间图形抽象出数学模型的过程，提升学习能力.
6．回顾反思，内化思想
关键词：探索能力；培养；探索者
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）14-046-01
在新的课程标准中,提出了要注重培养学生自主探究,自主学习,合作交流，独立思考的能力，这是课程标准中一个新的转变，提出了在教学中要注重学生探索能力的培养。培养学生的数学探索能力，是一项系统的工程，它包含了许多方面，以下是我在教学实践中，培养学生数学探索能力的几点尝试。
一、培养数学兴趣，让学生学有动力
兴趣是动力的源泉，要获得持久不衰的学习数学的动力，就要培养学生的数学兴趣。在教学中我做到了以下几点：1、加强基础知识的教学，使学生能接近数学。数学并不神秘，数学就在我们周围，我们时时刻刻都离不开数学。2、重视数学的应用教学，提高学生对数学的认识。许多人认为，学那么多数学有什么用？日常生活中根本用不到。事实上，数学的应用充斥在生活的每个角落。以往的教材是和生活实践是脱节的，新教材在这方面有了很大改进，这也是向数学应用迈出的一大步，比如线性规划问题就是二元一次不等式组的一个应用。教学中重视数学的应用教学，能让学生充分感受到数学的作用和魅力，从而热爱数学。3、引入数学实验，让学生感受到数学的直观。让学生以研究者的身份，参与包括探索、发现在内的获得知识的全过程，使其体会到通过自己的努力取得成功的快乐，从而产生浓厚的兴趣和求知欲。1、用新旧知识的冲突，激发学生的探索欲望。
二、鼓励质疑，激起敢于探索的勇气
我们会经常遇到这样的情况：有的同学在解完一道题是时，总是想问老师，或找些权威的书籍，来验证其结论的正确。这是一种不自信的表现，他们对权威的结论从没有质疑，更谈不上创新。长此以往的结果，只能变成唯书本的“书呆子”。中学阶段，应该培养学生相信自己，敢于怀疑的精神，甚至应该养成向权威挑战的习惯，这对他们现在的学习，特别是今后的探索和研究尤为重要。若果真找出“权威”的错误，对学生来讲也是莫大的鼓舞。例如：抛物线y2＝2px的一条弦直线是y＝2x＋5，且弦的中点的横坐标是2，求此抛物线方程。其标准答案如下：
由y＝2x＋5，y2＝2px得：4x2＋（10－p）x＋25＝0①
由x1＋x2＝－（10－p）／4得p＝2故所求抛物线方程为
y2＝4x
质疑：把p＝2代入方程①，方程无实解，或方程①要有Δ＝4p（p－20）＞0，即p＜0，或p＞20，故p＝2不合题意。本题无解。
教学中，对这样的新发现、巧思妙解及时褒奖、推广，能激起他们不断进取，努力钻研的热情。而且我认为，质疑教学，对学生今后独立创造数学新成果很有帮助，也是数学探索能力的一个重要方面。
三、创设情境，鼓励学生主动参与，在亲历数学建构过程中培养学生的探索创新意识
在数学教学中，我们不仅要让学生学会学习，而且要鼓励创新，发展学生的学习能力，让学生创造性地学习。美国教育家布鲁纳认为：“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者。”在课堂教学中创造条件，创设情境，让学生自己去探索、去发现，亲历数学构建过程，掌握认识事物，发现真理的方式方法。从而培养学生的探索创新意识。
记得讲勾股数时，教师出示了这样几组勾股数，请同学们讨论这些勾股数的特征：
3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……
开始学生们只注意到：每组勾股数的前一个数都是奇数，后两个数是一奇一偶，之后陷入僵局。教师启发道：一奇一偶之间有什么联系？学生们发现是连续数。忽然一名学生发现后两数之和恰是一个完全平方数，稍一顿，即抬头，急切地说：“这两个数的和恰是一个完全平方数，这个完全平方数就是前一个数的平方……”这样，在思考，观察中发现规律，灵感一触即发。学生们找到了勾股数的特征：即大于1的奇数的平方分成两个连续的自然数，此奇数与这两个连续自然数成勾股数。
当然，在培养学生探索创新意识过程中，我们还应注意培养学生发现问题和提出问题的能力，老师要深入分析并把握知识间的联系，从学生的实际出发，依据数学思维规律，提出恰当的富于启发性的问题，去启迪和引导学生积极思维，同时采用多种方法，引导学生通过观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。
在教学中，我们应有意识地创设发现问题的情境，这是发展思维的关键一环，也是培养学生创新能力的好途径。现结合自己的教学实践谈谈在初中数学教学中如何创设问题情境。
1、用学生非常熟悉的生活现象来创设问题情境
例如:扎西家有20亩青稞地.
(1)收割完青稞所需的时间t（单位：天）与收割速度v（单位：亩/天）有怎么样的函数关系？
(2)由于天气原因，必须在4天内收割完，那么平均每天至少要收割多少亩青稞？
在我们平时的日常生活中，常常包含着一些简单而明显、易懂的数学道理，数学是人们生活、劳动和学习的必不可少的工具，生活是数学赖以生存和发展的源泉，以生用学生非常熟悉的生活现象来创设问题情境，引导学生思考，更有利于学生分析、思考等能力的培养与提高。
2、问题情境的创设要激发学生的学习兴趣
例如:在学习三角形内角和定理时，可以这样设置问题：
①把课前剪好的ABC纸片，剪下∠A、∠B和∠C拼在一起，观察它们组成什么角？
②由此你能猜出什么结论？
③在拼图中，你受到哪些启发？（指如何添加辅助线来证明）这样创设情境，使学生认识到∠A＋∠B＋∠C＝180o ，从而对三角形内角和定理有一个感性认识，同时通过拼角找出定理的证明方法，学生在动脑、动手、动眼、动口的实践中，培养了观察能力，提高了学习兴趣。
3、创设层层递进的问题情境
例如:讨论几点确定一个圆的问题，设计以下几个问题：
①这是点A，经过点A能画多少个圆？
②这是点A，这是点B，经过点A点B能画多少个圆？
③那么经过三点能画几个圆呢？
创设层层递进的问题情境要注意把握“度”，必须针对学生心理发展水平和数学知识的形成发展过程，并且要合理有序，由易到难，把学生的思维逐步引向深入。
4、创设探索的问题情境
在课堂教学中创造条件，创设情境，让学生自己去探索、去发现，亲历数学构建过程，掌握认识事物，发现真理的方式方法。从而培养学生的创新意识。
记得讲勾股数时，教师出示了这样几组勾股数，请同学们讨论这些勾股数的特征：
3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……
（一）与生活实际背景相联，从生活到数学。
数学来源于生活，又服务于生活，对于一些实际问题，学生看得见，摸得着，有的亲身经历过，所以创设与学生生活环境，知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、猜测、交流等活动中，逐步体会数学知识的产生，形成与发展过程，获得积极的情感体验，感受到数学就在自己的身边，从而充分调动学生学习的积极性。
例如：在讲授“平行线”概念时，首先向学生提出：“观察下列实例：铁路上两条笔直的铁轨，手扶式电梯的左右扶手，操场上锻炼身体用的双杠，滑雪运动时运动员用的两只雪橇板，黑板的上下边缘线等，它们有哪些共同的属性？”学生通过观察、探索、交流后，引出“平行线”的概念就顺理成章了。
（二）与挑战性问题相联，从问题到数学。
数学学习过程充满着观察、实践、模拟、推断等为探索与挑战性活动设置有价值的问题，让学生在具体操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自己的意见，引导学生开展讨论，寻找问题答案，从而培养学生质疑，探索的习惯，提高学生分析问题的能力。
例1 写出解是 的方程（组）。
教师首先鼓励学生独立思考，多方位探究是何种类型的方程（组），并在同学之间进行交流。下面是学生给的答案：
|x-2|+|y-3|=0， + =0，（x-2） +（y-3） =0， |x-2|+（y-3） =0， 等
思路拓展：过直角坐标系的点（2，3）任意两条直线的解析式构成的方程的方程组都可以。
这样的教学有利于培养学生思考与交流的能力，开拓了学生的思路，比做几道解方程（组）更具有挑战性，也更有趣，更能激发学生的求知欲。
（三）与现代信息技术相联，从信息到数学。
现代化信息技术的发展为学生的学习提供了丰富多彩的教育资源和有力的学习工具，为学生提供探索复杂问题，多角度理解教学思想的机会，丰富学生数学探索的视野，激发了学生的求知欲望。
例如：在学习《探索勾股定理》这一内容时，设置了这样的学习情况：今天我们学习《探索勾股定理》，大家到机房上网去，看谁查得有关《探索勾股定理》的资料最多，通过上网，学生了解到古代人民对勾股定理的研究，反映了勾股定理的悠久历史，重大意义以及古代人民的聪明才智，这不但使同学们获得更多的知识和信息，更重要的是改变了学生的学习方式，把学生从枯燥乏味的说教中解放出来，投身到生动活泼的现实世界中来学数学，大大提高了学生的学习兴趣，培养了学生探究的能力。
（四）与学生的实践活动相联，从活动到数学。
学生的思维离不开实践活动，让学生自己进行实践，通过观察，主动探究知识，不仅在课堂情趣方面有奇妙效果，更有利于培养学生的实践能力。
例如：在讲三角形内角和定理时，教师可设置这样的课堂情境；让学生先用纸片任意做一个ABC ，如图所示，然后将三个角剪下来如图拼在一起（实验）；这时让学生观察∠EOF是什么角，观察后，让学生之间相互交流，达成共识——三角形内角和等于180°。最后师生共同分析思路，给出严格的证明。很显然，在这样的实践活动中，学生不仅能主动获取知识，而且能不断丰富教学活动的经验，学会探索 ，学会学习。
（五）与游戏审美相联，从审美到数学。
在数学教学中，充分利用学生的生活经验来设计有趣直观形象的数学教学活动 ，如运用做游戏，直观演示等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中理解和认识数学知识。
