时间：2023-06-12 14:44:44
怎样通过一节或几节课的复习把一章知识进行系统归类，让学生加深对概念的理解、结论的掌握，方法的运用和能力的提高？
专题复习课如何设计，才能达到使学生能把各个章节中的知识联系起来，提高综合运用知识的能力？
如何通过复习课，促进数学思想的形成和数学方法的掌握，培养学生的数学能力，使学生从容应付中考？
1.选好例题，选题要思考，不能以多取胜，搞题海战术
（1）有什么用？――认清功能。
（2）用来干什么？――认清目的。
（3）是否适合学生的水平？――从实际出发。
2.用好例题，用好变式
设计变式型问题（一题多解，多题一解，采用题组的形式一题多变）――提高学生应变思维能力。
陈题新讲――将其变化延伸，拓展学生思维，于旧题中挖出新意。
深题浅讲――找准突破口，巧妙降低难度，将大题化小，深题化浅。
要精讲精练，懂一题，懂一类，悟其妙。
3.课堂中贯穿着对学生的关爱
教给他们良好的做题素质：对新题、应用题、综合题等不要怕，用一颗平常心对待。平常做这些题时，要敢于去碰、敢于去试。
教给学生做题后反思的习惯：不管自己独立解决问题是否成功，每做完一道有思考性的题目后，都要反思总结，这样就会做一题，得一题；当获得了反思总结的经验后，做完一道题后再进行反思，有可能会做一题，得一题，得一法，懂一类。
下面探讨开放性题型和探索性题型的复习课：
一、开放性题型特点
按照条件与结论的开放性，可分为三种类型：
（1）条件开放性题型：往往已知部分、已知条件和一个完整的结论，要求解题者根据这部分条件与完整的结论，将缺少的条件找出来，当然这些缺少的条件通常不是唯一的。
（2）结论开放性题型：已知条件已经完全给定，但Y论没有给出，要求解题者由这些已知条件，通过推理的方式，得出若干种正确的结果，这些结果往往有多个，甚至无穷多个。
（3）条件与结论放题型：给出了部分已知条件，同时也允许解题者按照要求添加若干条件，并根据题目已经给出的条件和添加的条件，推导出带有个性色彩的结论。
二、探索性题型特点
问题的解决不是按照某个固定的、明确的程序，使用某种技能就能完成的；思考问题的方向不是很明确，解决问题的路线不是很清晰的，通常要经历一定的尝试与试误过程；探索性活动是有个性化的数学活动，不同的人往往有不同的表现和不同的成果。
可分为四类：条件探索、结论探索、存在性探索、规律性探索。
三、开放性题型与探索性题型的关系
开放性题型是从答案的形式来界定的，而探索性题型是从思维的层面上来说的，两者的关系如图1所示，有部分兼容性。
首先，介绍开放性题型和探索性题型两种专题的特点以及关系。
例1 如图1，在RtABC中，CD为AB边上的中线，若将ABC沿CD对折，你能添加一个条件使四边形EBCD为菱形吗？请说明理由。
解：添加_______。理由：_____________。
点评：这是一道条件开放题，添加的条件①∠A=30°，②AB=2BC③ECAB，④∠ABC=2∠A，⑤CD=BC，⑥∠CDB=∠ABC等。
其次，从添加的条件出发，经过推理论证，得到四边形EBCD为菱形。
变式：已知条件不变，设问变为：当∠A满足什么条件时，四边形EBCD为菱形？请说明理由。
此题变为条件探索题。先回答∠A=30°时，四边形EBCD为菱形。再从∠A=30°出发，经过推理论证，得到四边形EBCD为菱形。
通过变式的设计说清了条件开放题和条件探索题的不同之处：条件开放题中缺少的条件通常不是唯一的；条件探索题中缺少的条件往往带有唯一性。
例2 如图2，点B为线段AD上一点，AB=2BD，分别以线段AB、BD向外作等边三角形ABF和等边三角形BDE，O是ABF的外接圆，联结FE交O于点N，交AD的延长线于点M。
（1）直线BE与O有何位置关系？并说明你的理由。
（2）除（1）的结论外，另外写出三个至少经过两步推理得出的不同类型的结论（不要求证明）。
点评：第（1）问是结论探索题，第（2）问是结论开放题。不同类型是指写了线段相等，就不要再写其他线段相等，在线段的数量关系、位置关系、两角的关系等中，写了其中一个量，就不要再写同一类型的其他量了。还要注意至少经过两步推理这句话。从线段之间的关系得：①AF∥BE，②BEFM，③BD=DM，④BM=2DE，⑤AF2=FN・FM，⑥BE2+EF2=BF2，从角度之间的关系得：⑦∠M=∠DEM，⑧∠M=30°。
四、结论
（1）在例2的两个小问上设计了结论探索题和结论开放题，通过比较区分两者的不同：结论探索题的结果通常具有唯一性；结论开放题的结果往往有多个，甚至无穷多个。
（2）设计比较型问题，在求同求异比较中整合学生知识。通过比较，能把相关概念串联起来形成知识链。
（3）此例的设计将结论探索题和条件探索题放在一起比较。
一、条件探索型
条件探索型题，是指给出问题的结论，但没有给出或部分给出题目的条件，要求给出或补充使问题结论成立的条件.解这类题采取的策略是执果索因，首先要从结论出发，考虑结论成立时所要满足的条件，从而得到答案.
例1 如图1所示，已知CEAB，DFAB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD.请补充一个条件，使这两个三角形全等，并给出证明.
图1
分析： 根据三角形全等的定义及判定，可知题中没有对应边相等，因此可补充一组对应边相等.
解：补充一个条件：AC=BD（或AE=BF或CE=DF或AF=BE），可使CEA≌BDF.下面以AC=BD为例证明如下：
因为CEAB， DFAB，
所以∠CEA=∠DFB=90°.
因为AC∥BD，所以∠A=∠B.
又因为AC=BD，
所以ACE≌BDF（AAS）.
评注：解条件探索型的问题，采用的是“逆向思维”的方法，解此类问题需要同学们有扎实的基本功及灵活处理问题的能力.
二、结论探索型
结论探索型题，这类问题的基本特征是给出条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解这类问题通常先假定其结论存在，再进行计算、推理，若能推导出符合条件的结论，则表示结论存在；若推出矛盾的结果，则结论就不存在.
例2 用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时，如图2-1所示，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时，如图2-2所示，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
分析： （1）根据题意可得ABE≌ACF，因此BE=CF；（2）可用理由（1）的方法证明.
解：（1）BE=CF.
证明：在ABE和ACF中，
因为∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
所以∠BAE=∠CAF.
因为AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
所以ABE≌ACF（ASA）.所以BE=CF.
（2）BE=CF仍然成立.
根据三角形全等的判定定理，同样可以证明ABE≌ACF.BE和CF是它们的对应边，所以BE=CF.
评注： 本题要求在三角尺的位置变化中，悟出其内在的变化规律，作出猜想并加以证明，对思维能力要求较高，突出了对探索、归纳、推理能力的考查.
三、规律探索型
规律探索型题是指在一定条件下，需探索发现有关对象所具有的规律性或不变性的问题，其解决问题的方法是通过观察、归纳、类比、分析等思维方法，概括出具有一般性的规律或结论，然后给出证明.
例3 如图3-1，ABC是正三角形，BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.
探究：（1）线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.
（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，再探索线段BM、MN、NC之间的关系.在图3-2中画出图形，并说明理由.
图3-2
分析：（1）根据题意，分析、观察，寻找三者的等量关系，可得BM+NC=MN.
（2）根据题意，可以把点M、N特殊化，探讨BM、MN、NC之间的关系.
解：（1）BM+CN=MN.
证明：如图3-1所示，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1.
因为∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
所以∠ABD=∠ACD=∠DCM1=90°.
因为BD=CD，
所以RtBDM≌RtCDM1.
所以∠MDB=∠CDM1，DM=DM1.
所以∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠CDM1=120°.
又因为∠MDN=60°，所以∠M1DN=∠MDN=60°.又DN=ND，所以MDN≌M1DN.所以MN=NM1=NC+CM1=BM+NC.
（2）NC-BM=MN.
证明：如图3-2所示，在CN上截取CM1=BM，连接DM1.
因为∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°.
所以∠DBM=∠DCM1=90°.
因为BD=CD，
所以RtBDM≌RtCDM1.
所以∠BDM=∠CDM1，DM=DM1.
因为∠BDM+∠BDN=60°，
所以∠CDM1+∠BDN=60°.
所以∠M1DN=∠BDC-（∠CDM1+∠BDN）=120°-60°=60°.
所以∠M1DN=∠MDN.
因为ND=ND，所以MDN≌M1DN.
所以MN=NM1=NC-CM1=NC-BM.
评注：解规律探索型题，可以根据题意把问题特殊化，得到结论后，再证明结果的正确性.当然，这样得到的结果也有可能是错误的.另外，本题中的问题（1）是为问题（2）作铺垫，提供解题的方向，而探索、猜想、得出结论才是题目的重点和难点.因此，要正确地审题、分析、归纳，然后探索出结果.
四、存在探索型
存在探索型题，一般是在确定的条件下判断某个数学对象是否存在.解决这类问题的策略是先假设需要探索的对象存在，从条件和假设出发进行运算、推理，若出现矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在.
例4 如图4所示，DE是ABC的中位线，AF∥BC，在射线AF上是否存在点G使EGA与ADE全等？若存在，请先确定点G，再证明这两个三角形全等；若不存在，请说明理由.
分析：由于DE是ABC的中位线，可得∠EAG=∠AED.过点E作AB的平行线，交AF于点G，可得∠AEG=∠EAD.从而可得EGA≌ADE.
解：存在.
过点E作AB的平行线，交AF于点G.
因为DE是ABC的中位线，
所以DE∥BC.
又因为AF∥BC，所以DE∥AF.
所以∠EAG=∠AED.
因为EG∥AB，所以∠AEG=∠EAD.
关键词: 高中数学 课堂教学 教学设计
一、教学背景分析
1.教材结构分析。
“两直线的位置关系”安排在《全日制普通高级中学教科书(必修)数学》第二册(上)第七章第3节第一课时。主要内容是两直线平行与垂直条件的推导和公式的应用,从初中平面解析几何中平行和垂直的定性过渡到高中解析几何的定量计算。它是学生在研究了直线倾斜角、斜率、直线方程的基础上学习的又一平面解析几何的基础知识。本节的研究,将直接影响以后的曲线方程、导数、微分等的进一步学习,贯穿于高中教学的始终,具有承上启下的作用。
2.学情分析。
两条直线位置关系的探究是学生在已经掌握了三角函数、平面向量的基础上进行的。说明学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力。但由于学生接触平面解析几何的时间还不长,学习程度较浅,特别是处理抽象问题的能力还有待提高,在学习过程中可能会出现困难,因此,教师要在今后的教学滚动中逐步深化,使之和学生的知识结构同步发展完善。
3.教学目标。
(1)知识和技能目标。
①理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应用。
②能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
(2)过程与方法目标。
①通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程,培养学生“会观察”、“敢归纳”、“善建构”的逻辑思维能力,渗透算法的思想。
②通过灵活运用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力。
(3)情感态度和价值目标。
徐利治先生曾指出:“数学教育与数学教学的目标之一,应当让学生获得对数学美的审美能力,从而既有利于激发他们对数学科学的爱好,又有助于增长他们的创造发明能力。”因此,培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣即成为本节的情感目标。
4.教学重点与难点。
根据学生现状、教学目标及教材内容分析,确立本节课的教学重点为两条直线垂直和平行的条件。一个定理、公式的运用固然重要,但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法,通过启发学生用平行线同位角关系的判定、性质定理,以及倾斜角、斜率的对应关系探求两直线平行与垂直的充要条件,引导学生理清思考脉络,培养学生勤于动脑、勇于探索的精神。
教学难点为两直线平行与垂直问题转化为与两直线斜率的关系问题。突破难点的关键是在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略,利用类比归纳的思想,由浅入深,让学生自主探究,分析发现两直线平行、垂直的规律。
二、教法学法分析
1.教法分析。
基于本节通过引导学生了解数形结合数学方法,我采用合作探究式教学法及类比发现式教学模式,对数学知识结构进行创造性的“教学加工”,将教材中单一、静态的数学知识转化为学生多样、动态的思考。我用环环相扣的问题将探究活动层层深入,使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”,促进学生和谐、自主、个性化发展。
2.学法分析。
我让学生通过观察直线方程的特点,将初中学过的两直线平行和垂直的判定定理和性质转化成坐标系中的语言,用斜率重新刻画有关条件;并启发学生用平面几何中平行线与同位角关系的判定定理和性质定理,以及倾斜角与斜率的对应关系,由学生自己得出两条直线平行和垂直的充要条件,使学生在思维训练的过程中,感受数学知识的魅力,成为学习的主人。
三、教学过程与设计
教学手段:几何画板、计算机课件辅助教学。
1.复习旧知,以旧悟新。
(1)复习初中的平面几何知识。
(2)自问自答:为什么我们现在又要来学习两条直线的位置关系呢?因为我们现在学习了平面解析几何,所以就可以在直角坐标系中把直线的方程建立起来。也就是说在前面引入了斜率、点斜式、斜截式等概念后,我们就能够用代数的方法来讨论一些几何的问题,所以,怎样通过两直线方程的特点来判断两直线平行与垂直的位置关系呢?这就是我们这节课讨论问题的主要任务。
目的:我通过对已有知识的回顾和深入分析,以问题制造悬念、带着问题走进课堂,让学生主动去探究问题,体验知识发生发展的过程。
2.提出问题,寻找规律。
第一部分为新知的发现奠定基础后,我分别给出两组平行的直线,让学生自己做图,然后在自主合作的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述。我利用几何画板工具引导学生观察同位角、倾斜角、斜率的对应关系,引导中既说明了平行条件的证明,又回避了教材中单独的、枯燥的证明,然后巧妙地加以引导、点拨,放大到两条直线垂直关系的探究上。
目的:由特殊到一般,由具体到抽象,由低级到高级的认知顺序引出平行的充要条件,学生比较容易接受,同时激发学生发现平行充要条件的强烈欲望。
3.深入探究,获得新知。
(1)创设问题:平行的时候,学生能够把直线的平行转化为讨论直线方程的斜率来判定,同样的我们能否用斜率来讨论两直线的垂直关系呢?
(2)分别给出两组垂直的直线,让学生自己作图、发现规律。在讨论中提醒学生:若两直线的斜率存在,他们之间有何关系?用量角器或三角形来量一下画出的图形的夹角有什么特点?
(3)根据高二年级学生的学习状况和认知规律,我给出几组直线的数据让学生利用其发现的规律来验证,将教学信息及时反馈给教师。
(4)教师教学讲究深入浅出,对于本课的教学难点,待学生发现了规律后引导其利用向量知识来证明,让学生达到从感性认识上升到理性认识的平衡。
目的:现代教学论指出:“教学是师生的多边活动,在教师的‘反馈―控制’的同时,每个学生也都在进行着微观的‘反馈―控制’。”因此,教师要及时掌握学生接受知识的程度,从而进行有效调控。对平行和垂直的讨论中,我鼓励学生将其讨论的结果以分享的方式和大家交流,构造这样一种双向交流、宽松的环境组织教学,既锻炼他们的表达能力,又培养他们的数学思维能力。
4.应用举例,巩固提高。
我通过例题来进一步巩固达到讲与练的平衡,引导讨论,质疑解惑,在开放的情景中推进教学过程,在点评聚焦中形成知识要义。选的例题难度控制在大部分学生能接受的范围,分析各组题时让学生先养成找出平行与垂直充要条件的习惯,以突破学习难点。
5.总结反馈,拓展引申。
讲评结束时为加深对数学本质的理解,我让学生反思,概括出本堂课的学习内容:平行与垂直的条件;应注意哪些问题;怎样根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
以上就是我对本节课的教学设计。新理念下高中数学课堂教学的探索是一个长期的过程,充分挖掘数学的应用价值、思维价值和人文价值,需要我们不断创新,与时俱进。
参考文献:
[1]张健.数学课堂教学改革的基本要义[J].中学数学教学参考,2008,(3):7-12.
[2]杜晓文.点到直线的位置关系说课教案.省略.
一、探索条件型
这类题目的特点是由给定的结论逆求需具备的条件.解答时，我们要注意变换思维角度.
例1已知：如图1，CD是RtABC斜边上的高，∠BAC的角平分线AE交CD于F，G是AB上一动点，试求当AG满足什么条件时，FG∥ BC.
分析：若FG∥ BC，则∠B =∠AGF.由∠ACB=∠BDC = 90O可得∠ACD +∠BCD＝∠B +∠BCD，所以∠ACD =∠B =∠AGF.又因为∠1 =∠2，AF = AF，故ACF≌AGF，于是AG = AC.故 当AG = AC时，FG∥BC.
二、探索结论型
这类题目一般是由给定的已知条件探求相应的结论，它突破了过去那种题设和结论都明确的封闭模式.同学们须具有较强的综合分析的能力和归纳推理的能力，才能轻松解决此类问题.
例2 如图2，BE和CF是ABC的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，探究AG与AD之间的关系，并证明.
分析：由题设知∠1 +∠BAE = 90O，∠2 +∠BAE = 90O，所以∠1=∠2. 又因为BD = AC，CG = AB，故ABD≌ACG. 则有AD = AG，∠3 =∠G.由∠4 +∠G=90O得∠3 +∠4 = 90O，即AGAD，所以AG与AD之间是垂直且相等的关系.
三、探索开放型
此类题目的条件和结论都不明确，答案多样，具有开放性，不仅检测了同学们对基本数学思想方法的掌握程度，还考查了同学们的创新意识.
例3如图3，D、E分别是AB、AC上的点，有下列三个论断：①AB = AC；②∠B =∠C； ③BD = CE.请以其中两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写一个正确的命题并说明理由.
分析：本题的答案较多，如选择①②可推出③.
如图3，AB = AC，∠B =∠C，求证 BD = CE.理由如下：由已知及隐含条件公共角∠A，可得BAE ≌CAD ，所以AD = AE，于是ABAD = ACAE，故BD = CE.
四、探索存在型
此类题目要求同学们准确把握问题的方向，再经过严密的逻辑推理，对“是否存在”作出正确的判断.一般的解题思路是：假设“存在”――演绎推理――得出结论（合理，则存在；矛盾，则不存在）.
例4 如图4，ABC中，∠C=90O， AC= BC，AD是∠CAB的角平分线，问能否在AB上找到一点E，使BDE的周长等于AB的长？请说明理由.
分析：过D作DE AB于E，只需证E点为所求即可.由∠1=∠2， ∠C =∠DEA = 90O，AD = AD，可得ACD≌AED. 则有AC = AE，DC = DE，于是DE + BD + BE = CD + BD + BE = BC + BE = AE + BE = AB.故能在AB上找到一点E，使BDE的周长等于AB的长.
五、探索变换型
这类题目的特点是图形不断进行演变，要求同学们能够探索变化前后的图形的结构特征，并合理地猜想，严谨地论证.
例5 已知：如图5，在ABC中，∠BAC=90O，AB = AC，AE是过A点的一条直线，BDAE于D，CE AE于E.
（1）求证：DE = BD + CE；
（2）若直线AE绕A点旋转到图6的位置时，其余条件不变，问DE与BD、CE的关系如何？请将图形画完整并给予证明.
分析：（1）在图5中，因为∠1 +∠2 =90 O，∠2 +∠3 = 90O，所以∠1=∠3.又∠BDA =∠AEC = 90O，AB = AC，故ADB≌CEA.则有BD = AE，CE = DA，故DE = DA + AE = CE + BD.
（2）在图6中，用与（1）类似的方法可得到DE = BDCE.有兴趣的同学可以证一证.
练习：
1.如图7，AD是∠BAC的角平分线，DE AB，DFAC，垂足分别是E、F， 连接EF. 探究EF与AD之间的关系，并证明你的结论.
2.如图8，在四边形ABCD中，AB = AD，AC平分∠BCD，AEBC于E，AF CD于F. 判断图中有无与ABE全等的三角形，并说明理由.
参考答案：
1、改变条件
巧妙更改命题的条件，可以达到一题多变的目的。条件的增减、延伸，或一般与特殊的变换，均可变式；更改条件中的图形、关键词、数据或字母的取值范围等，也可变式。
例1、已知一次函数y=(k-2)x-2k+6,求k的取值范围。
变式一、已知一次函数y=(k-2)x-2k+6的图象经过原点，求k的值。
变式二、已知一次函数y=(k-2)x-2k+6的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，求k的取值范围。
变式三、已知一次函数y=(k-2)x-2k+6的图象与直线y=-x+3交于点M（3，m），求k的值。
变式四、已知一次函数y=(k-2)x-2k+6的函数值y随x的增大而增大，求k的取值范围。
变式五、已知一次函数y=(k-2)x-2k+6的图象不经过第二象限，求k的取值范围。
变式六、已知一次函数y=(k-2)x-2k+6的图象与直线y=2x平行，求k的值。
评注：变式由易到难，循序渐进，符合学生的认知规律。通过不断调整考查的角度和逐渐增加考查的难度，既丰富了原题的内涵，培养了学生思维的广阔性、严密性和灵活性，又强化了数形结合等数学思想方法，从而达到培养学生数学能力的目的。
例2、如图所示，已知ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，∠A=70°。请求出∠BOC的度数，并探索∠BOC与∠A有何等量关系。
变式一、如图所示，已知ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，试探索∠BOC与∠A有何等量关系。
变式二、如图所示，已知ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线相交于点O。试探索∠BOC与∠A有何等量关系。
变式三、如图所示，已知ABC，∠ABC的外角∠ABE的平分线与∠ACB的平分线相交于点O。试探索∠BOC与∠A有何等量关系。
变式四、如图所示，已知ABC，∠ABC的外角∠CBF的平分线与∠ACB的外角∠BCG的平分线相交于点O。试探索∠BOC与∠A有何等量关系。
评注：此例紧密结合图形，通过巧妙变换条件，实现变式，这样既可满足学生的好奇心，培养学生的学习兴趣和探索精神，又可培养学生思维的深刻性、灵活性和创造性。
2、改变结论
充分挖掘结论，也可达到一题多变的目的。同一题设，常有多种结论，通过更改结论，实现变式，达到深化题意外延，培养能力的目的。
变式一、已知不变，求证：∠BAD=∠CAE
变式二、已知不变，求证：ABD∽ACE
变式三、已知不变，求证：ABF∽ECF
变式四、已知不变，求证：BCF∽AEF
变式五、已知不变，求证：A、B、C、E四点共圆。
评注：此例充分挖掘结论，深化题意外延，且由浅入深，环环相扣，逐步增大考查难度，不但激发了学生的求知欲，而且培养了学生思维的深刻性、严密性，提高了学生的解题能力。
3、同时改变条件与结论
将命题的条件与结论同时适当更改，也可实施变式。
例4、求证：顺次连接四边形各边中点的四边形是平行四边形。
变式一、求证；顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形。
变式二、求证：顺次连接等腰梯形各边中点的四边形是菱形。
评注：通过调整考查的对象，使学生学会“异中求同”、“同中求异”，培养了学生的辨析能力。
4、互调条件与结论
因为有些定理具有逆定理，所以有时将命题中的条件与结论对调，可以实现变式。
例5、已知，如图，四边形ABCD中，AB=DC，且AB与DC不平行，E、F、O分别是AD、BC、AC的中点，求证：∠OEF=∠OFE
变式：已知，如图，四边形ABCD中，E、F、O分别是AD、BC、AC的中点，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC
评注：此种变式有利于培养学生的逻辑推理能力和逆向思维能力。
5、改变情景
将问题放在不同的背景、场合、情形中，可以达到变式的目的。
例6、（人教版八年级上册第42页探究）如图，要在燃气管道 上修建一泵站，分别向A，B两镇供气，泵站P修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
变式一、正方形ABCD的周长为8，点E是线段AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点，求：PE+PB的最小值。
变式二、（09衢州）如图，已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上。求a的值及点B关于X轴对称点P的坐标，并在X轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求点Q的坐标；
变式三、（08成都）如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM,ON上确定点B、点C，使ABC的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点（要求画出草图，保留作图痕迹）
变式四、如图，在直角坐标系中，有四个点A(-8,3),B(-4,5),C(0,n),D(m,0)，当四边形ABCD的周长最短时，周长的值为 ，n= ，m= 。
当前基础教育课程改革中探究性学习成为人们越来越广泛的焦点话题。那么什么样的学习方式是探究性学习呢？
人们谈论的探究性学习一般有两种：一种是指“探究性学习”课程；另一种是指“探究性学习”方式。在新课改中主要强调的是后一种。探究性学习一般指教师或他人不把现成结论告诉学生而是学生在教师指导下通过个独立学习小组合作探索班级共同讨论来完成并在探究过程中通过多种渠道主动获取知识、建构知识、应用知识解决问题的一种学习方式。
二、中学探究性学习的理论综述
1 探究性学习应当面向全体学生。“人人学有价值的数学人人都能获得必需的数学不同的人在数学上得到不同的发展”。这是当前数学教学目的的一致认识。因此这就要求数学的教学必须面向全体学生。
2 探究性学习更应注重学习过程。“探究性学习”应当面对的是现实的、有意义的、富有挑战性的实际问题这些内容应当有利于学生主动的观察、实验、猜想、验证、推理和交流。能将实际问题抽象成数学模型都进行解释和应用的过程。
3 探究性学习应倡导有意义的数学学习方式。数学学习方式不能再是单一的、枯燥的以被动听讲和练习为主的方式而应是学生自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中解除困惑、明确自己的思想并在亲身体验和探索中认识数学、解决问题、理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。
4 探究性学习强调要全面评价学生的数学学习状况。探究性学习不仅关心学生的结果更要关注学生的参与学习的程度思维的深度和广度获得哪些发展注意哪些创造性的见解都应当给予充分的、肯定的、赞许的评价。
三、探究性学习的实践与途径
1 精心设问启发思维创设探究情境。苏霍姆林斯说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个探索者，发现者，而在学生的精神世界里，这种需要特别强烈。”因此较好的发问能激发学生的兴趣引导学生的思维分化题目的难度。
具体而言教师提问的内容应该是：具有思维性的问题，如概念本质命题的正误等使之激发头脑的兴奋点；推理性问题培养逻辑思维能力要知其然还要知其所以然；发散性问题，如习题的不同解法，引申等，培养学生的创造性思维。
2 创设条件，提供学生自主探索的空间。教师在引导学生进行自主探究学习时，要顺应思维发展的特点，从具体的感知入手，加强直观教学和动手操作，引导学生在观察和操作中进行分析、比较、综合，在感知材料的基础上加以抽象、概括，训练学生由具体现象到本质的逻辑思维能力。
3 在例题的引申拓展中进行探究性学习。在几何“直角三角形全等的判定”中有这样一个例题：“求证：有一条直角边及斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等。”这个问题学生不难证明，但教师不能到此为止，可以引导学生进行多方面的探索。
探索1：能否将斜边上的高线改为斜边上的中线和对应角的角平分线？
命题1：有一条直角边及斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。
命题2：有一条直角边及对应角的角平分线相等的两个直角三角形全等。
探索2：能否把直角三角形改为一般三角形？
命题3：有两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等。
让学生分组讨论，命题错误，因为三角形的形状不同，高线的位置不同。那么在什么条件下命题成立？学生自然提出下面三个命题。
命题4：如果两个锐角三角形的两条边和第三边的高线对应相等，那么这两个三角形全等。
命题5：如果两个直角三角形的两条边和第三边的高线对应相等，那么这两个三角形全等。
命题6：如果两个钝角三角形的两条边和第三边的高线对应相等，那么这两个三角形全等。
大多数学生认为这样分类以后，三个命题肯定正确，对命题6教师引导学生画图探究，可以发现图中的ABC和ADC符合条件但结论不成立。
探索3：把命题3的高线变为中线或角平分线呢？
命题7：有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。（真）
命题8：有两边及这两边夹角的平分线对应相等的两个三角形全等。（真）
命题不允许在课堂上一一证明，有的可让学生在课外继续探究。课堂上教师可以利用初中生刨根问底的心理，让学生不断提出新问题，充分调动学生探究问题的积极性。
3 对数量关系、变化规律的探究学习。代数中的很多内容充满了用来表达各种数学规律的模型，如代数式、方程、函数、不等式等，教师要引导学生进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，探索事物的数量关系、变化规律。如完成下列计算：2+4=？2+4+6=？2+4+6+8=？2+4+6+8+10=？……2+4+6+8+…+2n=？
教学中可以让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同）、归纳（可能具有的规律），提出猜想的过程。教学中不仅关注学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了深入思考。如果有的学生不能独立发现其中的规律，教师要鼓励学生相互讨论，合作交流，进一步探索，教师也可适当提示：小学的高斯在算1+2+3+4+…+99+100=？的聪明之举在哪儿？你们能想起他的计算公式吗？那么2+4+6+8…+2n=？该如何计算？学生们就会很快通过提取2得如下答案：
2+4+6+8+…+2n=2×（1+2+3+4+…+n）=2×[（1+n）×n]÷2=n2+n
还可以继续提问：1+3+5+7+…+（2n—1）=？经过思考，学生研究发现：1+3+5+7+…+（2n—1）=[1+2+3+4+5+6+7+8+…+（2n—1）+2n]—[2+4+6+8+…+2n]=（1+2n）×n—（n2+n）=n2
关键词：理解 探究 创造性思维 引导
课堂教学是实施素质教育的主渠道，是实施探究性学习的重要途径。本文将结合案例，谈谈对于不同的教学内容实施“导探式”教学的几点认识。
一、从概念发生的过程设计问题，创设观察情境
教师在概念教学时，切忌直接了当地就定义而讲定义，应更多地从概念的产生、发展过程中设计问题，为学生提供观察情境。问题永远是激起学生探究动力的源泉，相信学生，突出学生的主体地位，让学生通过观察、比较、概括，由特殊到一般、由具体到抽象，这样不仅能帮助学生理解和掌握新概念，而且也使他们的抽象思维得到发展。
如在讲“任意角概念”时，以钟表为背景，设计如下问题：
问题1：若钟慢了1小时，应怎样校准？此时时针、分针、秒针各走了多少度？
问题2：若钟快了1小时，又应怎样校准？此时时针、分针、秒针各走了多少度？
问题3：通过以上问题的探究，发现了什么？由此角的概念是否该推广？怎样推广？
学生通过自主探究，实现了由具体到抽象的思维过程，不仅加深了对任意角概念的理解，同时也激发了学生的学习动机和探究热情。
二、设计开放性问题，创设想象情境
教师在定理、公式的教学时，应设计开放性问题，为学生提供想象情境，引导学生探究的热情，让学生通过观察、实验、归纳、类比进行猜想及证明，把课堂教学作为一种活动过程进行，自始至终让学生有活动的机会，满足他们的创造欲望，时时处于积极创造的状态，有利于培养学生的创造性思维。
如在讲“直线与平面平行的判定定理”时，以门的开与关为背景，把门的边缘看作直线a，门轴看作直线b，墙面看作平面α。
问题1：直线a与平面α有什么样的位置关系？
问题2：当门绕着门轴转动时，为什么有无数条直线都与平面α平行？这类动直线α依赖于什么？
问题3：a//b时，a就平行于α吗？需要加上什么条件能使a//α
问题4：若a//b，a//α，则a一定平行于α吗？还需要加上什么条件？
问题5：有前面的探究，发现了什么？可猜想出什么结论？
在教学中，不是将定理简单地告诉学生，而是通过设计开放性问题，让学生自己通过观察、归纳、猜想得出结论，学生通过动手、动眼、动脑、动口，提高了参与教学活动的积极性，培养了观察、归纳的能力及创新意识。
三、通过一题多解、一题多变，创设求异情境
课本例（习）题是“问题”系列中的重要组成部分，是学生获取知识的主阵地，对例（习）题进行一题多解或一题多变，有利于引导学生深入挖掘、大胆猜想、积极探究、拓广引申，不断激发和培养学生的探索精神。
如在讲数学归纳法的证明时有这样的一道例题：“平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f（n）等于n（n-1）/2。”在讲之前，可设置如下情境：
情境1：有位同学问，平面内两条不平行的直线，有一个交点，若有三条两两不平行，且不过同一点的直线交点个数是多少？若继续问4条、5条、……、n条呢？
教师要引导学生观察，易发现f（3）-f（2）=2；f（4）-f（3）=3；f（5）-f（4）=4，……引导学生猜想：f（n）-f（n-1）=n-1。
然后将上式两边分别相加得：f（n）-f（2）=。
若这位同学又问为什么呢？这就要用数学归纳法证明。
情境2：若将例题的结论改为：“这n条直线把平面分成多少部分？试证明之”。这就成了一道探索题。
情境3：若将例题中的平面改成空间，直线改成平面，结论又如何呢？这就是一道开放题。
通过课本的一道例题，为学生提供科学探究的依据，引导学生变更题设条件，探索相应的结论，及对结论进行适度的引申、推广、培养了学生的探索精神和创新能力。
四、让学生经历数学思维发展的过程
[关键词]几何画板 数学教学 应用
几何画板是一个适用于教学的软件平台。几何画板最大的特点是“动态性”，即可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变的规律，深入几何的精髓，突破传统教学的难点，为学生提供了探究的机会，极大地调动了学生学习的积极性，有效地提高了教学效果。
下面就圆锥曲线的知识，谈一谈几何画板在数学课堂中的应用。
一、几何画板的理论依据——建构主义的学习观
建构主义的学习观认为，学习是一个积极主动地建构过程，学习者不是被动地接受外在信息，而是根据先前的认知结构主动地和有选择地接受外在信息，建构当前事物的意义。也就是说，知识的获得是通过学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助于他人的帮助，利用必要的学习资料，通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程。因此，在教学过程中不能离开学习者的背景知识和经验，要充分尊重学生的主体性。
几何画板的动态性和形象性，给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境，使学生在体验与发现中学习，在较短的时间内产生许多经验。学生在通过对几何图形进行观察、探索、发现的过程中增加感性认识，形成丰厚的几何经验背景，通过自己的思考建立自己的数学理解力，从而更有助于理解和证明。
二、教会学生使用几何画板软件
问题1.在椭圆及其标准方程教学中，为了更形象地让学生在动态中观察椭圆的运动现象，探究椭圆的性质，首先，我把制作椭圆的过程教给学生。
（1）在平面上作线段F1F2，度量出其长度，定义为2c。
（2）在同一平面上作一条线段AB，度量出其长度，定义为2a，使a>c。
（3）在线段AB上任取一点C，“构造”线段AC，度量AC的长度；“构造”线段BC，度量BC的长度。
（4）以线段AC为半径，以点F1为圆心，“构造”圆C1。
（5）以线段BC为半径，以点F2为圆心，“构造”圆C2。
（6）圆C1与圆C2交于点M，M1，“构造”线段MF1、MF2（提示：|MF1|=|AC|，|MF2|= |BC|），并选择“跟踪”点 M，M1。
（7）计算|MF1|+|MF2|的值。
（8）选中点C，在编辑菜单下操作类按钮设置为动画，标记为“轨迹”。
（9）当鼠标点击“轨迹”按钮时，点M，M1运动，运动的轨迹是椭圆。（或拖动点C在AB上运动，出现点M，M1的轨迹是椭圆。）
在点M运动的过程中，学生观察到|MF1|+|MF2|的值始终保持不变，即椭圆满足下列条件的点的集合：
P＝｛M｜|MF1|+|MF2|＝2a｝
很容易得出椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离之和是常数（大于|F1F2|）的点的轨迹称为椭圆。对进一步利用“坐标法”研究曲线（椭圆）的标准方程，再利用曲线的方程讨论曲线的性质，解决几何问题，起到了很重要的作用。
几何画板的动态性，能够把数学图形动态直观地展现出来，化抽象为具体，化具体为形象，有助于学生发现问题，启发学生的思路，找到解决问题的有效方法，体现了数形结合的数学思想。
三、鼓励学生作出猜想，参与探究
利用几何画板的动态性，可以让学生在实验的基础上作出猜想，为教师培养学生探究性地建构知识提供环境，从而让学生在探究中学习，在探究中自主地建构知识，提出猜想的结论，实现创新。
探究椭圆轨迹
问题2.在问题1研究椭圆的轨迹时，让学生进一步探究：若改变线段AB的距离，曲线的形状、大小有什么变化？为什么？学生可先对曲线的轨迹作出猜想，在纸上画出曲线的轨迹。然后教师通过拖动A（B）点，改变AB的长度，验证学生的猜测。结果发现：若F1、F2的距离不变，AB的长度越大，得到的椭圆越接近于圆；AB的长度越小，得到的椭圆越扁，越接近于线段F1F2；当AB的值等于|F1F2|时，其轨迹为一线段，与F1F2重合。
问题3.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2。从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，求线段PP′的中点M的轨迹。
学生根据已知条件进行构图，设置点P为“动画”，追踪点M，得到中点M的运动轨迹是椭圆，很容易就完成这个课件的制作。结论证明将圆按某个方向压缩（拉长）都可以得到椭圆。
进一步探索：若把点P任意缩放，得到点M′，则点M′的轨迹仍是椭圆。
问题4.探究椭圆的第二定义：即到定点的距离与到定直线的距离之比e（0
分析：在x轴上任画两点E、F，过E作x轴的垂线L，构造线段AB、GH（|AB|
几何画板的最大特色是动态性，使学生在动态中观察数学现象，体验知识的形成过程，探究几何图形的性质。因而，使教学更加直观、生动，有利于激发学生的学习兴趣，增强教学的趣味性。
四、参与教学过程，进行数学实验
学生掌握了几何画板，可以更好地参与到教学过程中来，进行数学实验，根据问题的内容，展示数学思想，进行数学学习、数学探索，体验数学的本质，探究知识之间的联系，发现数学规律，寻找解决问题的方法。
问题5.从椭圆到双曲线（让学生仿照探究椭圆轨迹的方法探究双曲线的轨迹）。
图3
在几何画板上画一直线AB，在直线AB上任意画一点C，再画两点F1、F2，使|F1F2|＞|AB|，以F1为圆心线段AC（即r1）为半径画圆，以F2为圆心线段BC（即r2）为半径画圆，圆F1与F2的交点是M、M′，改变点C的位置，点M、M′的轨迹是双曲线。
由上面的画图过程可以看出，双曲线是满足下列条件的点的集合：
P＝｛M｜||MF1|－|MF2||＝2a｝．
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
在图3中，|AB|＝2a，|F1F2|＝2c，|AB|＜|F1F2|，a＜c。
根据上述条件，学生仿照求椭圆的标准方程的做法，很容易求出双曲线的标准方程并探究其几何性质。五、自我探索，体现“多元联系”
借助几何画板所提供的“多元联系表示”的环境，使学生自我探索，揭示知识之间的内在联系，探索出问题的一般规律，有助于加深对数学知识的理解和掌握。
问题6.圆锥曲线的统一定义：与定点和定直线的距离之比是常数e的点的轨迹（ e=ca，当01时轨迹为双曲线；当e=1时轨迹为抛物线。）
分析：e的范围不同，得出的曲线轨迹就不同。如何改变e的值，也就是说改变a，c的值呢？可通过作一角∠AOB，在角的一边上任取一点A，向另一边作垂线，垂足为B，设a=|OA|，c=|OB|，改变角的大小，即可改变a，c的值，e的值随之变化，从而可探究出不同的曲线轨迹。（可依照问题4的作法）
关键词:一题多解;一题多变;训练思维;变化教学;数学思维
中图分类号:G423文献标志码:A文章编号:1673-291X(2009)18-0217-02
1.一题多解促使思路多向，培养思维的广阔性. 一题多解训练教学，能让学生以问题作为思维起点，诱导学生既能顺向思维又能逆向思维，逐步培养他们形成由正及反、由此及彼的逆向思维习惯。培养他们困难时自觉调整思维角度，向反方向作某种试探猜测，联想新意会。教学中教师通过选择典型题目，鼓励积极思考，引导从多角度、多方法、多层次地观察思考问题，在广阔范围内寻求解法，从而培养学生思维的广阔性[1]。
2.一题多解能暴露思维过程，培养思维的深刻性。一题多解必然促使每个学生动脑思考，从而展示发现解法的思维过程，也能使教师了解学生思维受阻的情况，利用学生典型错误进行正确诱导，变换策略，另辟蹊径再达目的。教师的解释未必是学生的想法，是把教师的思维暴露给学生，未必能解决学生思维的所有问题。一题多解促使教师想学生所想，顺应学生的认识规律与基础，有针对地点拨，使学生的思维处于积极兴奋的最佳状态，在迷惑好奇的情境中，在跃跃欲试的状态下，激起思维波澜，从而对问题的本质属性及解法规律有更深刻的理解。培养学生思维的深刻性[2]。
通过分解组合运用分式来 “曲径通幽”学生又想到
3.一题多解推动学生积极竞争，培养思维的敏捷性。苏霍姆林斯基说:“要把学生从智力的惰性状态中拯救出来，就是要使每个学生在某件事情上把自己的知识显示出来，在智力的活动中表现出自己。”一题多解往往是综台，将自己的解题思路亮出，后面同学必须异于前面同学的解法。于是整个课堂气氛活跃个个跃跃欲试，竞争激烈相互启发，后来经过归纳总结，共提出了四大类不同解法达四十多种之多。即将三角函数的降幂公式，积化和差及和差化积公式，运用得滚瓜烂熟，对学生运用知识的能力的提高，起着不可估计的作用。长久训练能使学生迅速直观分析处理问题，简缩运算环节和推理过程，即思维敏捷[3]。
4.一题多解推动学生主动学习，培养学生思维的灵活性。传统的数学教学没有真正做到问题教学、思维过程教学，而是偏重于结果、标准答案、题海战术。学生的数学思想方法没有形成，缺乏灵活性，因而思路狭窄解法单调，对概念的本质缺乏正确的认识和深层次理解，不能做到解题思路的优化。而一题多解能抓住“精讲多练”的核心，“少而精”，真正地提高教学效率，而非盲目做题。
不同的解法促动学生细心观察，认真审题，会利用题中关系，进行分析、比较提高分析能力，使他们能够合理选择思维起点，培养灵活性。同时有利于辨析正误，准确掌握概念的内涵和外延，提高数学素养[4]。
1.变换条件，促进学生主体探索。在例题教学和习题讲解时，不宜就题论题，而应该启发引导学生将思路延续下去，列出同类问题的不同解决办法，从题目的各个方面联想，类比，通过条件复式，变换条件，引入新问题，促进学生主体探索。
例1，已知点P是一次函数y=-x+6在第一象限的图像上的点，又点A的坐标为(4，0)，问点P能否成为等腰三角形AOP的一个顶点，若能，求P的坐标。
分析:由于并未指明等腰三角形的哪条边为底，哪条边为腰，故应引导学生分情况进行探讨(|PO|=|PA|，|PO|=|OA|，|PA|=|OA|，解略)。
解决问题后，可以进一步提问学生:若条件不变，要使AOP为等腰直角三角形的点P是否存在?成为等边三角形呢?这样层层深入，让学生自己去探讨结果，研究其规律，引起学生浓厚的兴趣，自问自答，自己提出问题自己探索，其收获决非简单“改改题”这么单纯。由于学生自己出题，自己解答，长此以往能使学生养成多问多思的主动探索习惯，大大提高学生自己提问，解题的能力。
2.题组教学，促进思维发散性和批判性。发散思维是从同一来源材料探求不同答案的思维过程和方法，是分析性思维。发散性要求对问题寻求多种解决途径，这种思维是创造性思维的基础。在题组教学中对学生进行发散性思维的训练，可以培养学生敏锐的观察力、积极的求异胜和创造性，增强学生举一反三的探索能力。同时对问题条件，解决问题的方法有一个深刻认识[5]。
例2，甲、乙、丙等7人排成一排，求以下各种情况的不同排法。
经过这样的训练，可以使学生明白事物都不是一成不变的，应勤于思考，敢于提出不同观点，勇于质疑、批判，从而培养他们积极的批判性。
3.探索变式，培养思维的创造性。创新是素质教育的核心，更是时代的要求，是选拔人才的需要。因此，这就要求在教学中，教师要有目的、有计划地对学生进行创新思维的训练，引导学生从解答的问题出发，标新立异，敢于猜想，勇于用所学知识去解决背景全新的问题，从而培养学生的创造性精神[6]。
其证明并不难，就略去不谈.但其结论非常重要，我们不妨称线段AB为抛物线的焦点弦，由焦点弦，我们能够引导学生证明下列一组演变习题都是正确的:(1)过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三线共点。(2)抛物线焦点弦中与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。(3)抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半。并且被这条抛物线平分。(4)抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。(5)抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。(6)过抛物线焦点弦一端，作准线的垂线，那么垂足，原点以及焦点弦的加一端点，三点共线[7~8]。
4.引入开放题，全面提高学生分析、解决问题的能力。开放题分为条件开放题、策略开放题、结论开放题。开放题具有一些特性:非完备性、不确定性、发散性、探究性、发展性、创新性[9]。
过去提倡“以教师为主导，学生为主体”的教学思想，在实际教学中，教师主导地位被绝对化，“主导”实际上变成“主宰”，学生主体迟迟得不到体现。针对这种情况，引入开放题的教学，能充分体现学生的主体性，培养学生的主体意识(即学习的主动性，自觉性，探索性，深刻性)[10]。
参考文献
[1]季素月.数学教学概论[M].南京:东南大学出版社，2000:238.
[2]张俭福.数学教学中一题多解的调控机制[J].数学通报，1997，(11):37.
[3]陆广地.乡村师范数学教育中培养应用能力的探讨[J].中师教育研究，1998，(4):27.
[4]波利亚.怎样解题[M].北京:科学技术出版社，2001，(7):302.
[5]刘萍.数学开放题与学生主体意识的培养数学教学[J].数学教学，1999，(1):4.
[6]陆广地.对师范生进行创新教育的尝试[J].职业技术教育，2004，(4):35.
[7]陆广地.数学研究性教学内容的选择角度[J].数学教学研究，2003，(6):26.
[8]陆广地.信息技术在数学教学中应用与整合层次[J].当代教育论坛，2008，(12):28.
【关键词】科学探究方法 自主探究学习 学习关键
现在的课堂上，教师不应把现成的知识结论直接递给学生，而应带领他们亲历知识的形成过程，在此过程中引导他们自己去探索知识、发现规律，并掌握学习方法，逐步使他们具有自主探究知识的能力。
一、观察——归纳法
著名数学教育家波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现。因为，这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”这种方法是让学生通过大量具体事例的观察，归纳发现事物的一般规律。在观察、探究、思考、发现、归纳的过程中，培养学生的抽象概括能力。
如教学“平行与垂直”这一课时，“平行线”这个概念，我先让学生感知实物，如练习本上的横线，双杠的两根直杠，火车在直道上行驶的两根铁轨等。然后剔除表象的非本质特征：（成对直线的位置、长短及两条直线间的距离）。分析它们的本质特征：都是同一平面的两条直线，可以向两端无限延长永不相交。这就从上述例子中抽象出平行线的概念：“在同一平面内不相交的两条直线叫平行线。”这样从实物——感知辨认——建立表象——抽象概括。教学过程不但加深了“平行线”这一概念的形成，而且通过事物的归纳、抽象、概括，培养了学生的思维能力。
二、操作——发现法
知识不能仅靠传授和模仿而得来。要想真正获得知识，必须把小学生当作一个小小的研究者，由教师提供相关材料，让他们在动手操作中自主地探索知识，主动地感知、理解、抽象和概括知识，只有这样，知识才能真正内化到学生已有的知识结构中去。为此在教学中，我们尽量多地采用动手操作的方式，给学生提供自主探究学习的实践条件，让他们在探索过程中自己“发现”和“创造”知识，并在发现的过程中提高探究知识的能力。
例如教学“长方形的周长”计算时，我让每个学生准备一个长方形和与长方形的长相等的两根红线，与长方形的宽相等的两根蓝线。上课时，先带领学生复习“周长”的概念，再引导学生进行探究性操作：把两条红线分别与长方形的两条长边重合，再把两条蓝线分别与长方形的两条宽边重合，学生根据周长的概念知道：这四条线的总长度就是这个长方形的周长。这时教师启发学生探究：长方形的周长该怎样计算呢？请同学们把这四条线拿下来连成一条直线，看看谁能发现计算的方法。学生在教师的启发下开始动手探究，他们凭自己的力量探究出这样几种求长方形周长的方法：
（1）长×2+宽× 2
（2）（长+宽）×2
（3）长+宽+长+宽
此时，教师再引导学生观察和比较，得出求长方形周长的比较简便的计算方法。在上述“长方形的周长计算”教学中，教师利用动手操作给学生提供了一个自主探究知识的时空，由于学生亲自动手参与了探究，经历了前人发现知识的简缩的思维过程。因此，学生不但获得了知识，而且学会了学习，同时其探究的意识和能力也得到了培养。
三、猜想——验证法
著名的科学家牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发现和发明”。设计猜想，选择学法是探究性学习的必不可少的教学环节。《数学课程标准》指出：“要充分提供探索与交流的空间，使学生进一步经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等活动。”所以在教学活动中，教师要充分发挥学生的主体地位，让学生根据已有的知识、经验和方法，根据自己的思维方式大胆地猜想，自由地思考，合理地验证。
如教学《平行四边形的面积计算》这一课时，教师拿出一个平行四边形，问：如果你想知道这个平行四边形的面积，你有办法吗？
1.学生动手量出平行四边形的底7厘米、高4厘米、与底相邻的一条边是5厘米，猜想出三种不同的答案：24平方厘米，28平方厘米，35平方厘米。
2.教师又说：现在我们有三种不同的答案，分成三个队，请你们利用手中的工具，想办法知道谁的答案是正确的。
3.学生动手实践，合作探究。学生利用手中的长方形、平行四边形、剪刀、印有小方格的纸，进行剪、拼、量、算。
4.学生反馈交流，汇报结果。
平行四边形的面积=底×高。
5.验证：是否所有的平行四边形面积都能底×高呢？
（电脑课件演示）……
6.小组讨论：转化后的长方形与原来平行四边形到底有什么关系呢？
得到：转化后长方形的长可以看作平行四边形的底，
转化后长方形的宽可以看作平行四边形的高。
7.得出公式：平行四边形的面积＝底×高
在这里，教师顺着“猜想——探索——验证——归纳”这样一条探究的主线，教师鼓励学生用自己的思维方式大胆提出猜想，使学生对平行四边形的面积产生三种不同的答案。然后，教师让学生在这样的三岔路口自己去探究，自己去发现，想办法寻找哪种答案是正确的，使得学生的学习完全是自主的，积极的，有自信的，主动探究的，这样的探究才是真正激活了学生的思维，才能让学生在主动参与和积极发现中培养自主意识和创新意识。
四、类比——联想法
类比——联想方法是让通过类比的思维方法、联想的思维方法，沟通新旧知识的联系，发现数学原理、方法，通过验证，得出结论。充分培养学生丰富的想象能力。
如教学“面积和面积单位”时，在学生认识了平方厘米、平方分米这两个面积单位后，教师要学生用1平方厘米或1平方分米的模型去测量教室地面的面积，并问学生有什么感觉？以激发学生寻求更大一些面积单位的欲望。这时，教师并没让学生看书找现成的答案，而引导、激发学生的创新意识：“这个更大一些面积单位请你们自己来创造。哪个同学来创造？”许多同学不约而同的回答：“平方米！”这时，老师马上给予“真棒！你们创造的这个面积单位和数学家创造的一个样”的鼓励。接着又把学生的思维引向新的“制高点”：老师不讲，你们也不看书，谁能说一说什么是平方米？能在空间比划一下1平方米的大小吗？”这时学生的思维特别活跃，好多同学都把平方厘米、平方分米的意义迁移到平方米的意义上来，在迁移类比中由学生自己“创造”了一个新的面积单位——平方米。
参考文献
[1]《数学课程标准》．
[2]邱学华，戴汝潜著．《小学数学教学法探究》[M]．山东教育出版社．
一、优化教学过程，采用多种教学组织形式
数学教学的组织形式是多种多样的，既可以是教师讲授分析来完成教学任务；也可以是学生自主探究、合作交流、实践研究等来实现教学目标；还可以是师生讨论、师生自制教具等来完成教学要求；或是引入生活实例、数学模型、图片资料等开展课堂教学；亦或利用多媒体课件、几何画板、交互白板等现代化手段进行辅助教学。选择这些组织形式，需要根据教学内容、学生实际、教学条件而定，并优化组合，以增强数学教学趣味性，让学生在愉悦的氛围中主动思考，轻松学习，深刻理解数学知识，学会应用实践。
如教学“探索平行线的性质”这一内容时，教师可基于“生活·数学”、“活动·思考”以及“表达·应用”的主线进行新课的教学，选用同学们熟悉的基本素材，结合多媒体技术，设置问题情境，组织学生进行学习活动，同时巧用这些活动来培养学生积极思考与主动探究的良好学习习惯，使他们自主地获得数学知识，养成研究性学习的习惯。另外，利用小组互相协作研究，促进学生形成合作意识。
具体实施如下：1.巧设情景，设疑引思：展示幻灯片，如横格纸中的线；游泳池中的泳道隔栏；火车铁轨等。提问：在日常生活中，平行线是十分常见的，那么直线平行有什么样的条件呢？学生思考后回答各异。对于学生的各种答案，教师予以肯定，但不直接告知学生结果，而是继续引导：如果两条直线平行，猜猜同旁内角、内错角、同位角分别有着怎样的关系？于是将学生引入新知探究活动中。2.数形结合，探索性质：（1）画图探究，归纳猜想：先随意画两条直线平行a与b，再画一条截线c和a、b相交，并用阿拉伯数字标出各个角。然后提出研究性问题：①指出同位角，并度量角的大小，填写结果。
②从所画的图形中任意剪下一组同位角，然后加以叠合。学生活动1：先画图，再度量，而后填表；学生活动2：先画图，再剪图，然后叠合。然后引导学生依照活动而得的数据以及操作而得的结果，进行猜想：若两条直线平行，那么同位角相等。
③作出另一条截线d，验证猜想是否依旧成立？学生通过小组讨论与探究后，可看出结论依旧成立。（2）借助“几何画板”来验证猜想，帮助学生更直观地体会猜想，加深知识理解，把握平行线性质1：两直线平行，同位角相等。3.拓展与思考。研究性问题④：若两平行线被第三条直线所截，同旁内角、内错角又分别有着怎样的关系呢？要求学生先独立思考、自主探究，然后小组讨论交流，最后展示小组研究成果。而教师则对学生研究成果加以评价，引导学生说理，并总结归纳，得出平行线的另外两条性质。4.实际应用，优势互补：呈现相关的习题，要求学生抢答或者讨论解答。
二、强化知识体验，引导学生进行探究活动
初中生具有争强好胜、好动好玩的个性。因此，在初中数学教学中，教师可设计丰富多彩的探究实践活动，以调动学生的参与积极性，使他们动手操作，自主探究。同时，在探究过程中，体会成败，体验探究与实践的乐趣，为今后的数学学习奠定良好的心理基础，使其敢于应对各种学习困难，学会灵活运用所学的数学知识来解决问题，从而增强学习信心。
如教学“展开与折叠”这一知识时，教师可设计多种学生活动，引导学生自主探究新知。探究活动1：要求学生拿出准备好的正方体，然后在其表面沿几条棱剪开，展开使之成平面图形。小组讨论：可以获得哪几种平面图形？学生实践活动，教师则注意巡视指导，关注学生活动情况，鼓励各组学生展示本组的制作成功，比比哪组的剪法，并整理学生作品，获得更多的展开平面图形。探究活动2：你们是否可以展开正方体，使之变为如下图所示的图形？
一、理论探索
“情”是指在课堂教学过程中根据教学内容创生出的情境、情节；同时又指师生在探究科学知识的过程中产生的情感、情绪。“理”是指科学概念、原理、规律等科学知识；同时又指探索科学知识过程中的理性思维和科学方法。构建情理课堂的具体做法是：通过各种符合学生学习心理特点和接近学生生活实际的情境创设，赋予学习以生活情趣；通过教师的教学热情激励学生积极的学习情感，引导学生开展自主、合作的探索活动，建构知识体系，掌握解决问题的方法，获得能力的发展和深层次的情感体验，提升科学与人文素养，成为一个有创造能力的人。
二、案例分析——《二力平衡》
1.观察生活——寓知于情
师：走进游乐场，我们在经历和感受各种运动带来的惊险刺激之后，你是否想到为什么会有这些奇特的运动？物体的各种运动与力与有什么关系呢？从今天起，我们就来学习力与运动的初步知识。
在自然界中，物体的运动和受力情况是很复杂的，为了便于研究运动和力的关系，我们先从最简单的情况开始。
【观察思考】生活中的二力平衡
PPT投影：静止在桌面上的花瓶、静止的叠石、在平直轨道上匀速行驶的火车、起重机匀速起吊的货物。
师：这些物体各处于怎样的状态？有什么共同的特点？
生：它们处于静止状态或匀速直线运动。它们的运动状态不变。（速度大小和运动方向不变）
师：它们分别受到哪些力的作用？
（生分析回答，师板画各物体受力情况。）
师：A.桌面上的花瓶受到重力和拉力，花瓶保持静止。
B.叠石受到重力和桌面对书本的支持力，叠石静止。
C.一列火车在一段平直的轨道上匀速行驶，火车受竖直方向的重力与支持力、水平方向上水平向前的牵引力和向后的阻力。
D.起重机吊起的货物受到重力和拉力，处于匀速直线运动状态。
板书定义：物体在受到几个力的作用下保持静止或匀速直线运动，我们就说该物体处于平衡状态。当物体在两个力的作用下处于平衡状态时，我们就说这两个力相互平衡，简称二力平衡。
师：在日常生活中，你们还见过的哪些物体静止状态的？哪些物体保持匀速直线运动的？分析一下它们的受力情况。
生：（举例、分析）
评析：科学是研究自然界最基本运动规律的科学，科学课堂教学应贴近学生的生活。构建初中科学情理课堂，首先就要创设生动有趣的、生活化的教学情境，激发学生的学习兴趣，启迪学生的思维，激起学生的情感体验，为学生独立探索知识提供引导，使学生在创设的教学情境中，激活知识储存，使问题与激情互动。
2.规律探究——以情悟理
【活动探究】探究二力平衡的条件
师：物体在两个力作用下保持平衡状态的情况最简单，那么符合什么条件的两个力才能使物体平衡呢？
（生交流讨论，部分小组的同学在走道里活动，尝试拉动一个同学。）
生：两个力大小相等、方向相反、作用在一条直线上。
生：（补充或不同意见）
师：我想请同学们自己来探究二力平衡的条件。二力平衡的条件有好几个，我们应该用什么研究方法？（控制变量）
你们看看能否利用桌上的两个弹簧测力计、小纸片来设计实验，你们四个人一小组讨论一下实验方案。
师：请一个小组派代表来说一下你们的设计的实验方案。
生：实验探究步骤：
（1）在硬纸板对角线打两个孔，在孔上系上细线，细线两边各挂一个弹簧测力计。两人各拉一个弹簧测力计，一位同学用手先抓住小卡片。
（2）其中一人用力大一点，另一人用力小一点（可读出弹簧测力计示数），观察松手后一瞬间小卡片的运动状态变化。（探究是否等大）
（3）两个弹簧测力计示数相同，向同一侧拉，松手后观察小卡片运动状态变化。（探究是否反向）
（4）在小卡片上用弹簧测力计用大小相同的力沿相反方向拉，一位同学用手抓住小卡片，把卡片转一个角度，使两个力不在同一直线上，观察松手后一瞬间小卡片的运动状态变化。（探究是否共线）
（5）一位同学双手分别拉着弹簧测力计，使小卡片匀速直线运动，观察测力计示数大小、拉力方向。
（6）把硬纸片剪开，观察小卡片运动情况。（探究是否同体）
（学生实验，教师巡视。）
师：交流一下你们观察到的实验现象。
生：当两个拉力大小不等时，卡片不能保持静止。物体将向较大的力的方向运动，这两个力不能平衡。
当两个力大小相等，力的方向相反，但不在一直线上时，卡片将发生转动，不能保持静止。这两个力不能平衡。
当小卡片匀速直线运动时，两个拉力大小相等、方向相反，并在一直线上。这两个力平衡。
师：综合大家的探究实验，能否归纳出二力平衡的条件？
生：二力平衡的条件：作用在同一物体上的两个力，大小相等，方向相反，且作用在同一直线上时，这两个力才能平衡。
师：很好，两个力的平衡必须满足以下四个条件：两个力作用在一个物体上，大小相等、方向相反、作用在一条直线上，即同体、等值、共线和反向。
