时间：2022-08-13 15:22:25
数学史的引入对数学教学的确有一定的促进作用，但是如何引入、引入哪些内容，一直是困扰着老师们的问题，尤其在国内研究此领域的内容比较匮乏，因此在实际教学中有很多老师选择避而不谈或是简略带过．数学史在数学教学中的运用方式通常有3种，一是提供直接的历史信息，二是借鉴历史进行教学，三是开发对数学及其社会文化背景的深刻觉悟［2］．其第二种方式就是发生教学法，通常所说的HPM(数学史与数学教育关系)视角下的数学教学采用的主要就是这种方法［3］．从哲学家、教育家和数学家的论述可以看出，发生教学法是一种借鉴历史、呈现知识自然发生过程、介于严格历史方法和严格演绎方法之间的一种方法［4］．本文基于HPM理论的背景下，以三角函数的概念教学为例，试图找到将数学史与数学课堂完美融合的思路，为今后教师在教学中融入数学史提供参考案例，并将数学史在数学课堂的作用发挥到最大．
2三角函数概念的历史及其重构
三角函数概念的发展前后经历了4000多年，从早期在天文学中应用的三角学知识可以追溯至古巴比伦年代或者更早．古埃及人由于尼罗河不定期的泛滥而遭受打击，因此他们注意观察尼罗河泛滥的规律以及时间．后来人们注意到每逢天狼星于黄昏之后升起的日子尼罗河就会泛滥．于是人们就开始记录天狼星与太阳的位置，人们为了解决实际问题引入了角等概念．但是这并不是严格意义上的三角学，只能算是三角学的前身，是一种对天文观测结果进行推算的方法．三角学最早的创建者是希腊数学家Hipparchus(约公元前180～公元前127)被称为三角学之父．为了定量地解决天体的位置问题，他将球面三角方法引用于此，并且制作了弦表．弦表是在固定的圆内不同圆心角所应的弦长，此时的正弦指的是圆弧所对弦的弦长相当于现在圆心角一半的正弦线的2倍．后来Ptolemy(约公元100～178)在此基础上又丰富了弦表．在Ptolemy的弦表中，弦指的是当圆的半径为60时弦的长度，而不是一个比值．而印度数学家Aryabhata与希腊人的做法不同，他默认曲线和直线可以用同一单位，此时他计算的弦是圆弧所对弦的半弦长，相当于现在所指的正弦．其后Regiomontanus(1436～1476)在他的著作《论各种三角形》中首次对三角学做了完整、独立的阐述，使三角学正式从天文学中独立出来．在书中采用了印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数这一概念．讨论了一半三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角形的正弦定理和关于边的余弦定理．后来哥白尼的学生、印度数学家Rheticus(1514～1576)最先给出角的正弦概念，把原来说弧的正弦改成了说锐角的正弦．三角形就形成了三角关系的基本结构，相应的圆成了从属．他把正弦、余弦、正切等定义成直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，至此三角学真正形成了．总之16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支，值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算［5］．一直到17世纪，三角仍然是常量数学的主要内容，直到1729年Euler研究插值的方法时用三角级数表示了函数，函数的思想成了三角学的组成部分，变量数学占据了核心地位．随着解析几何和微积分的建立，三角函数的严格解析理论建立了，正弦不再是线段，而是变成了数值，是单位圆上点的纵坐标，而三角级数在实变函数的基础上又形成了另一门重要的数学分支—调和分析．根据上面的历史发展顺序，三角函数概念(以正弦为例)的发展历史大致可以分为正弦是圆弧所对的弦的弦长，正弦是圆弧所对的弦的半弦长，正弦是比值，正弦是单位圆上点的纵坐标［6］．概括的说就是经历了几何的三角学，代数的三角学，解析的三角学．学生在初中学习的锐角三角函数的内容，相当于代数的三角学，是用来解决三角形三边关系的主要工具．而后来当用解析的眼光来看待三角学的时候，三角函数是用来刻画函数性质的工具而不再拘泥于解决三角形边角关系的问题，而任意角的三角函数的研究与圆周运动密不可分．所以锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的，他们研究的现象不同，表现的性质也不同，我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广(或一般化)，又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”．学生在高中学习的任意角三角函数的内容应该是以函数的眼光来对待，认真体会其作为函数的一些性质，尤其是周期性．因为三角函数是刻画现实事物周期性很好的一个模型．教材(人教A版)只是在第一节内容上安排了任意角与弧度制的内容，接下来就用单位圆给出了任意角的三角函数，教师的普遍作法也是回顾初中锐角三角函数的定义，然后让学生考虑如何将锐角三角函数推广的任意角三角函数．这种讲法无疑就把学生陷入一个误区，即任意角三角函数是锐角三角函数的推广，自然有很多同学认为任意角三角函数仍然是研究三角形三边关系的工具只是不再局限于锐角三角形，也有很多同学排斥单位圆的定义，觉得不如初中给的“比值法”好，不直观难用来计算．尽管这样的处理方式很直截了当，但对照发生教学法我们发现这种做法存在以下不足:(1)没有讲明高中学习的三角函数与初中学习的锐角三角函数研究的内容和方法都不同，容易造成学生的概念混淆．(2)没有很好的利用单位圆，单位圆是函数周期性的一个很好的体现，在三角函数的后续学习中有很大的作用．但学生在教师的实际教学中体会的很少．基于发生教学法，考虑学生在了解三角函数发展历史之后，就不会陷入锐角三角函数同任意角三角函数概念混淆的误区，能更好的认识单位圆在研究三角函数中的重要作用，体会其作为一个周期函数的性质等等，因此对三角函数的概念的历史进行重构以便于教学．
3任意角三角函数概念的教学设计
基于三角函数概念(以正弦为例)的发展历史，讲其进行重构并应于实际教学．如图1:
3.1学情分析
学生在前面一节已经学习了弧度制，从弧度制一课来讲数学史的引入就很有必要，很多学者在前面的研究中已经给出了很多宝贵的建议［7-9］．在前一节的很好的铺垫下，学生已经体会到引入弧度制的必要性，这也为本节学习单位圆打下了良好的基础．学生在初中已经学过锐角三角函数的定义，对三角函数(正弦、余弦、正切)有一定的了解，而且学生通过弧度制的历史回顾，已经了解了锐角三角函数在解三角形中的作用．因此我建议对于锐角三角函数的概念的回顾可以放在弧度制一课对弧度制的历史回顾之中完成，因为在弧度制最早的也是为了解决三角形边角关系的情况下产生的．是区别于角度制的另外一种度量方式．而在本节课任意角的三角函数中，先不要提及锐角三角函数的定义方式，以免学生发生概念的混淆．等到学生熟练掌握了任意角三角函数的概念以后，再把初高中学习的内容进行对比，这样即可以帮助学生建构知识体系，也能让学生更好的体会任意角三角函数作为函数的性质．
3.2教学情景设计
高中生具有丰富的生活经验和联想，因此从现实生活入手更能激发学生的学习兴趣．如观察:钟表指针的旋转、自行车轮子的旋转、摩天轮、跳水运动员优美的动作，这些周期现象中都存在着超过180°的角，而且形成的图形都与圆有关，那么我们如何研究这种周期现象呢?任意角的三角函数是我们的好帮手，回顾历史我们可知，正弦和余弦是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，是圆对称性的直接反映［10］．因此三角函数也叫圆函数，我们今天学习的内容与初中学习的锐角三角函数存在很大的差别．就此借助单位圆引入任意角三角函数的概念．3.2.1任意角三角函数概念的教学片段问题一:如何借助圆来研究三角函数?回顾历史上数学家的做法，三角学最早起源于天文学，而三角函数是用于研究圆内接图形(主要是三角形)的工具，随着后来的发展是用于研究确定行星位置的工具．那么如何借助于圆来研究三角函数的内容呢?通过观察几组图片，钟表两个指针的运动轨迹、自行车轮子旋转等图片，激发学生的兴趣．显然我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到角的顶点的距离为1(方便定义三角函数)，随着角度的任意扩大，以这个点旋转一周的轨迹—圆，来帮助我们学习三角函数．虽然在此处没有提到，这是数学家欧拉的做法，将单位圆的半径定位1，大大方便了我们研究三角函数的过程．我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．问题二:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图2，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么:(1)y叫做α的正弦(sine)，记做sinα，即sinα=y;(2)x叫做α的余弦(cosine)，记做cosα，即cosα=x;(3)yx叫做α的正切(tangent)，记做tanα，即tanα=yx(x≠0)．问题三:任一点P的选择，对于任意角三角函数的值有没有影响?回顾最初引入单位圆的过程，学生借助于相似三角形的知识可以得到点P的选择对于任意角三角函数的值没有影响．问题四:任意角的三角函数符号的确定与点p(x，y)的坐标有什么关系?引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0，三角函数值的符号决定于横坐标、纵坐标的正负．问题五:如何借助单位圆研究三角函数的周期性?我们观察图形发现，角度每变化360°的整数倍的时候，角的终边又回到了同一位置，因此终边相同的同名三角函数值应该相等．这样一来可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(0°～360°)角的三角函数值，简化我们的计算．课后思考:观察单位圆，我们可以得到同角三角函数之间存在着哪些关系呢?为一下节课研究同角三角函数的关系做好铺垫.
4课堂实施与问卷调查
按照HPM视角下的教学设计，研究者在2013年于北京市某重点高中实习期间做了充分的调查研究，并进行了课堂教学的实践．该校在高中一年级学习完必修一之后接着学习必修四的内容，可以说为任意角三角函数内容的学习做了良好的铺垫．该校文理科班级比例为1:3，考虑到文科班的同学对于历史更感兴趣效果应该优于理科班，所以选择2个理科班，1个文科班来进行教学．但是结果却出乎意料，理科生对本节课表示出了浓厚的兴趣，甚至热情高于文科班．以下是对某个理科班同学的课后访谈片段:T(教师):对今天这节课的感觉如何?S(学生):挺好的，感觉比以往新颖，似乎更有兴趣了．T:你理解今天所讲的任意角三角函数与初中学习的锐角三角函数的差别了吗?S:理解了，初中学习内容是研究三角形边角关系的，现在学习的是具有函数性质的．不是同一个内容．S:那你理解在这里引入单位圆的作用了吗?T:差不多吧，圆具有周期性、对称性，用来研究三角函数很好．最后老师又问了一个问题，感觉还有内容要学习．T:那今后采用这种方式上课怎么样?S:好啊，不容易溜号了．图3是对全体授课班级同学学习情况的统计，我们可以看到本节课的教学效果还是显著的．三角函数历史悠久，有几何的、代数的、解析的视角，现在向量也进入教材，三角函数和向量、复数之间的关系也应引起教师重视，教师把对三角函数概念的理解局限于一节课、一章里是不对的，学生对一个概念的理解不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程．作为教师更要有全局观念，在教三角这一章时要用三角的眼光看待后续内容，适当的选择教学方式方法［11］．因此建议教师在教授任意角三角函数概念的时候，不要把对学生理解此概念的任务放在这一节里，而是在整个单元的教学中都要反复的重视学生对任意角三角函数概念的理解情况．从本课的课堂反馈和效果调查来看，基于HPM视角下的教学设计对于学生深刻理解数学概念有一定的促进作用．
5结论与反思
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二次函数作为初中数学教学的主要内容之一，一直是初中数学教学中一个重点、难点和考点。但结合学生平时对二次函数练习题的作答以及在中考中对二次函数相关题目的应试情况来看，教师在教学中对二次函数的教学要点还没有有效地传达给学生。这其中的因素较多，为了有效的提升学生掌握二次函数的能力，我们有必要梳理二次函数的教学要点，采用正确有效的教学方式和教学策略帮助学生正确理解和全面掌握二次函數。
一、引导学生正确理解二次函数的基本概念
初中数学教材中对二次函数的基本概念表达的非常明确，一般中等左右水平的学生通过自己的阅读和老师的适时点拨都能够对二次函数的概念有一个基本的理解和认识。但是将二次函数的基本概念融入到具体的练习题当中之后，有部分学生的脑瓜就不太亮堂了，常常会犯一些常识性的错误。这个时候，老师就必须引导学生正确理解二次函数的基本概念。要告诉学生，在具体的练习当中，可以从二次函数的关系式开始。首先将二次函数的关系式进行整理，使其右边是含自变量的代数式，左边是因变量。其次判别右边含自变量的代数式是否为整式。再其次判别自变量的项的最高次数是否为2。最后判别二次项的系数是否为0。另外还有一种题目就是根据实际问题列出二次函数的表达式，面对这个问题时，教师要告诉学生立足于二次函数的基本概念，先找出题目中变量之间的关系，从而得到一个等量关系式，最后根据等量关系式列出二次函数的表达式。
二、引导学生灵活应用二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质涵盖的内容繁多而且复杂，学生往往会与此前所学习过的一次函数、反比例函数的图像与性质相互混淆。因此，教师在教授二次函数的图像与性质之初，就应该将一次函数、反比函数、二次函数的图像、画法、性质等做细致梳理，让学生在复习的过程中，逐步加深对二次函数的图像与性质的学习深度。比如做二次函数y=x2的图像，教师要先讲解清楚二次函数的图像常用的描点法，让学生明确其中的基本步骤：列表、描点、连线。但在具体的作图步骤中还要向学生传递妙招，可以告诉学生画图时图像应越过端点，表示向上或向下无限延伸；作图时应注意在对称轴两侧画出的曲线是对称的；顶点不要画成尖形，应该平滑自然。再比如比较函数y=x2的图像上若干点的纵坐标的大小，要告诉学生必须注意的步骤：首先是确定这些点的横坐标的大小，其次是判断这些点是在图象对称轴的左侧还是右侧，最后根据函数y=x2的增减性进行判断。其实，在教学利用二次函数图象及性质解决问题的相关考题时，主要采用的是数形结合的思想，只要告诉学生在作答时按照二次函数图象的性质进行判定即可知道具体答案。
在二次函数的图形与性质的教学中我们必须对特殊形式的二次函数之间的关系的讲授进行重点剖析。当然这是在学生已经掌握简单二次函数图象与性质的基础上所要认真审视的。例如面对比较函数值大小的习题，我们要告诉学生常用的方法有两种，一种是图象法，一种是代入法。图象法是利用图象上点的位置比较函数值的大小，这种方法直观形象。代入法是将自变量的值代入函数表达式，求得函数值，然后比较其大小，这种方法的优点是更准确。在面对具体的问题时，要让学生根据题意和给出的解题条件灵活选择适当的方法。
三、引导学生体会二次函数的应用价值
二次函数的应用主要是要求学生能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值的问题。以“利用二次函数求图形面积的最值问题”为例，我们要告诉学生解二次函数最值问题的基本方法是设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。要告诉学生解答的一般步骤，首先是利用题目中的已知条件和学过的有关的数学公式列出关系式，其次是把关系式转为二次函数表达式，最后求得二次函数的最大值或者最小值。还要告诉学生对于二次函数y=ax2+ bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当自变量的取值范围是全体实数时，求最值的方法有配方法和公式法，可以根据题目的具体要求灵活选用。
在帮助学生学习“利用二次函数解决最大利润问题”这一教学内容时，要引导学生把销售单价和利润之间的关系用二次函数来表示，由此就可以得到单价为多少时利润最大，最大利润又等于多少的结论。在应用时，首先需要准确表示销售单价和利润之间的关系和自变量的取值范围，然后再利用公式法或者配方法求出二次函数的最值。
在帮助学生学习“利用二次函数解决抛物线形问题”这一专题时，要引导学生正确认识到这类问题所给的问题情境，一般都有一个抛物线形无题，比如桥顶或隧道等，这些问题都可以通过构造二次函数表达式来解决，解决这类问题一般是利用数形结合思想和函数思想，合理建立平面直角坐标系，然后设出适当的函数表达式，由已知点所在的位置，利用待定系数法求出未知量，从而得出函数表达式，再由二次函数的性质去分析解决问题。例如已知卡车的高和宽，问卡车是否能安全通过，在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，这就要告诉学生具体情况具体分析。
【关键词】复变函数 教学方法 实变函数
【中图分类号】O174 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0124-02
复变函数是高等院校工科专业的必修课，它对于培养学生的抽象思维，逻辑推理、空间想象和科学计算能力都起着重要的作用。其广泛涉及理论物理、自动控制、信号处理、流体力学、弹性力学等众多领域。复变函数的理论与方法是许多相关学科的重要解析工具，因此，学好复变函数这门课程是十分重要的，笔者结合多年教学经验，总结了一些复变函数的教学体会。
一、复变函数课程的特点
复变函数是在微积分的基础上形成发展起来的一门数学学科，它将数域由实数域扩充到复数域构建了新的数的表示形式x=x+iy，形成了特有的理论和计算技巧。定义了复变函数的初等函数，也由此建立三角函数和指数函数的关系，对欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ给出了很好的解释。由于数域的扩充使复变函数对应两个二元实函数w=f（z）=u（x，y）+iv（x+iy），这就将实变函数的极限、导数、微分、级数从基本定义到计算方法推广到复变函数，使得复变函数的理论更简洁，方法更巧妙。复变函数的积分是复变函数理论的重要部分，积分将复变函数的导数、微分，级数，留数联系到一个理论线索上。复变函数通过复平面建立了两个平面的点的对应关系，构成了平面到平面的二维映射，这是复变函数的一个重要贡献。
由于复变函数的很多概念理论和计算方法直接借助于高等数学知识，要求学生有很好的高等数学基础，同时也要求教师在教学中做到边复习高等数学边讲授复变函数，使学生的知识体系得以连贯，真正学到新的知识。随着高等教育改革的不断深入和多媒体的使用，复变函数课时相对减少， 如何才能让学生在有限的时间内高效的学好这门课，是复变函数教学的首要任务。
二、复变函数的教学体会
1.合理安排教学内容
复变函数课程的教材很多，西安交通大学高等数学教研室编写的工程数学《复变函数》，对于工科学生来讲，不失为一本很好的教材，教材内容充分，结构合理，理论应用相得益彰，但教师在教学中，还应对教材进行再加工，即要借重教材的优点，又要照顾学生。精心设计课程内容的引出、分析、解答等过程，通过抽象概念与具体实例结合，抽象思维与形象思维结合，渗透现代数学思想，提高学生兴趣，培养学生的数学思维能力和综合应用能力。
做为数学课程复变函数教材的章节是按着严格的逻辑顺序展开的，有着很强的系统性和整体性。对于一些重点知识、新知识可以安排较多课时，比如模函数，幅角函数的解析性，C-R方程、柯西-古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等复变函数的几个重要定理需要多花精力比较使用方法，介绍应用技巧。有些知识象复数及复数的计算已经下放到了高中，所以可作为复习内容，安排较少课时。
2.采用适当的教学方法
在教学过程中，可以采用多种教学方法和教学手段，由于复变函数的许多性质、概念、定义与高等数学有着相似之处，又与高等数学在某些方面有着实质不同，比较教学法是最适用于复变函数教学的。 在复变函数教学过程中，应注意将复变函数的概念、定理以及处理问题的方法与高等数学进行对比，使学生在建构新的知识体系的同时能够区分两者之间的差异。
探索一套行之有效的考试考查方法，增加单元测验，加大平时成绩比重，把考试分为开卷和闭卷。利用单元测验检查学生对知识的掌握程度。 每章结束之后上习题课，采用对话式教学方法，提出问题，引导学生思考问题、解决问题，及时发现和纠正学生的错误，以补充和巩固复变函数的教学内容。
3.充分利用多媒体教学
借助优质示范课教学平台制作《复变函数》课程的电子教案、多媒体课件，习题库、试题库，实施网络教学，实现师生互动，从而优化了学习过程、提高了学生的学习兴趣和学习效率。利用电子课件教学，使教学更生动、更立体，从而培养学生的理解力、洞察力、数学思维能力。同时将某些抽象的理论具体化，在很大程度上节约黑板书写时间，增加授课的信息量。
4.将数学实验引入课堂教学
利用MATLAB进行辅助教学可以进行复数基本运算包括计算复数的实部、虚部、模和幅角，也可以计算复变函数的导数、积分和留数，MATLAB绘制复变函数图象直观地展示复变函数的特殊映射规律。这样不但加强了学生对复变函数中的抽象概念的直观认识，而且还提高了学生运用数学和计算机解决实际问题的能力，激发了学生对复变函数的兴趣。
5.注重知识应用，培养学生应用能力
复变函数与其他学科如物理、数理方程、流体力学、电磁学等都有不同程度的联系，在教学中不仅要清晰地向学生讲述复变函数的基本知识，还应该帮助学生建立起该学科与学生专业的关系。为此，在复变函数的教学中要把握好知识应用的指导，了解学生的专业以及后续的基础课和专业课，在讲解复变函数理论的同时，向学生介绍复变函数在相应学科中的应用。如解析函数可以刻画流体流动的复势。留数和流量、环量的联系等。
总之，在复变函数的教学过程中要注意素质教育内容的融入，注重培养学生的创新能力，培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力和分析解决问题的能力。复变函数的教学不仅在于教授学生知识，更在于培养学生的数学思想，提高学生的综合素质，促进学生的全面发展。
参考文献：
[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2003
[2]张必山.试析复变函数课程教学改革[J].教育与职业，2010
[3]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].第四版，高等教育出版社，2005
关键词：MATLAB 复变函数 泰勒级数 洛朗级数
中图分类号：O174.55 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）11（b）-0121-03
“复变函数”课程是通信工程、电子工程、自动化等工科专业必修的专业基础课，该课程理论性强、内容抽象，工科学生普遍感到学习困难。为了解决这个问题，我们在复变函数的教学中引入MATLAB实践内容，使得复变函数的教学理论与实验相结合，教与学相结合，引导学生利用软件对教学内容进行仿真，激发其学习积极性与主动性，提高其对于复变函数内容的理解。该文就MATLAB在复变函数中的几点应用加以分析。通过计算机实现对复变函数主要计算问题的实验，达到传统理论教学无法实现的效果。
1 利用MATLAB进行复变函数的简单运算
复数的表示式突出三角表示法和指数表示法，而这两种表示法中辐角的计算公式较复杂，利用MATLAB可以把复数的实部，虚部，共轭复数，辐角，模等利用简单的命令求出。
例1、计算，，，，的值及实部，虚部，共轭复数，辐角，模。
解：在MATLAB工具窗输入以下矩阵
A=[（（1+i）*（2-i）^2*（3-i）^3）/（（3+4）^4*（2+i）^5） i^i i^（2^1/2） （-8）^（1/3） log（1+i）]
A= -0.0016+0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000+1.0000i 1.0000+1.7321i 0.3466+ 0.7854i
>>real（A）
-0.0016 0.2079
0 1.0000 0.3466
>> imag（A）
ans = 0.0005
0 1.0000 1.7321 0.7854
>> angle（A）
ans = 2.8578
0 1.5708 1.0472 1.1552
>> abs（A）
ans = 0.0017 0.2079 1.0000
2.0000 0.8585
>> conj（A）
ans=-0.0016-0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000-1.0000i 1.0000-1.7321i 0.3466-0.7854i
用MATLAB可直接计算出复数的四则运算和初等函数的值。但对数函数和幂函数的运算仅得出其主值，其多值函数的特性必须从理论推导得出。
例2、计算，，，，，。
解：在MATLAB工具窗键入
A=[sin（i） sin（i+2*pi） cos（i） cos（i+2*pi） exp（i） exp（i+2*pi*i）]
A=0.0000+1.1752i -0.0000+1.1752i 1.5431+0.0000i 1.5431+0.0000i
0.5403+ 0.8415i 0.5403+0.8415i
借助于MATLAB易验证复变函数的正弦、余弦函数，指数函数均具有周期性。在复变函数中不成立。在教学中使得学生更易理解和接受这些复变函数的理论。
2 用MATLAB求方程的根
用MATLAB可以求出复杂的复方程的根，还可通过其图形分析根的特性。
例3、解方程。
在MATLAB工具窗键入
S=solve（'z^3=-8'）；
>> s=eval（S）；
s=[s（1）；s（2）；s（3）]
s = -2.0000 + 0.0000i 1.0000 + 1.7321i 1.0000 - 1.7321i
x=2^（1/8）*（1：-0.01：-1）；
x=2*（1：-0.01：-1）；
y1=sqrt（4-x.^2）；y2=-sqrt（4-x.^2）；
plot（x，y1，'r-'，'LineWidth'，3）；hold on；grid on；
plot（x，y2，'r-'，'LineWidth'，3）；axis equal；
plot（s，'o'）；
axis（[-2.5 2.5 -2.5 2.5]）；
用解方程的方法可以求出-8的3次方根，有效的解决直接计算仅能计算主值的问题。而且从图1中可以直观的观察出3个根是半径为2的圆上的3个等分点。
例4、求解方程。
在MATLAB中键入
solve（'log（z^4+z^3+z^2+z+1）=i'）
ans =
0.36521623295345235866005943774426 + 0.64240444029684120856950031509163*i
0.19822799851622204112882959650434 - 1.130167947608232755068528868445*i
- 0.48211258491386994549037517293678 + 0.86253684186617047083403309081309*i
- 1.0813316465558044542985138613118 - 0.37477333455477892433500453745974*i
从以上运算可以看出，借助MATLAB强大的运算功能可以解决许多复杂的计算问题。
3 用MATLAB将函数展开成泰勒和洛朗级数
例5、将函数在展开为泰勒和洛朗级数。
解：复变函数是级数展开中常用的一个函数，且在处不解析。若将该函数在展开成泰勒级数和洛朗级数，分析如下。
当时，它的泰勒展开式是。
当时，它的洛朗展开式是。
在MATLAB中工具窗输入
m=30；r=（0：2*m）'/m；
theta=pi*（-m：m）/m；
z=r*exp（i*theta）；
z（find（z==1））=NaN；
figure（1）
cplxmap（z，1./z）；title（'原函数'）；
由原函数图，易得函数在处不解析。
在MATLAB工具窗键入
z1=z-1；
z1（abs（z1-1）>=1）=NaN；
f1=1；u1=1；
for k=1：100
u1=u1.*（z1-1）；
f1=f1+u1；
end
figure（2）
subplot（1，2，1）；cplxmap（（z1-1），f1）；title（'泰勒展开'）；
z2=z；
z2（abs（z2-1）
f2=1./（z2-1）；u2=1./（z2-1）；
for k=1：100
u2=u2./（z2-1）；
f2=f2+u2；
end
figure（2）
subplot（1，2，2）；cplxmap（（z2-1），-f2）；title（'洛朗展开’）
得在处的泰勒展开式及洛朗展开式。
从图3中可以看出，泰勒级数展开图形和洛朗级数展开图形的结合就是对原函数的图形拟合，图形直观的展示了函数的泰勒和洛朗展开的区分，为复变函数的理论教学提供了很好的直观的解释。
4 结语
除了以上设计的一些应用，Matlab还可以深入复变函数教学的很多方面。在教与学的过程中，利用MATLAB软件，学生将所学习的理论进行模拟实验，提高了学生学习兴趣，增强了学生的编程动手能力，从而提高了复变函数课程的教学效果。
参考文献
[1] 庞学诚，梁金荣，柴俊.复变函数[M].北京：科学出版社，2003.
[2] 刘建亚.大学数学教程―复变函数与积分变换（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3] 彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].北京：清华大学出版社 2004.
[4] 常巍，谢光军，黄朝峰.MATLAB R2007基础与提高[M].北京：电子工业出版社，2007.
关键词:连续;偏导数;可微分
中图分类号:O172
文献标识码:A
文章编号:1672-3198(2010)09-0211-01
1 问题的提出
多元函数是一元函数的推广,学习多元函数微分学,一定要弄清连续、偏导数、全微分之间的关系,才能更好地掌握和使用这些基本概念。本文通过作者几年的教学实践经验,以二元函数为例,总结和完善了多元微分学几个概念间的关系和实例说明,以便给广大教师提供更有价值的参考,同时若能给正在学习的新生和正在考研的学生以点拨,将会起到很大的效果。
2 几个重要概念间的相互关系及其反例
本节首先对教材中的结果,以定理的形式加以总结,使结论更加简洁明了。并以推论的形式给出了二元函数在点(x0,y0)处连续、偏导数、可微间的关系,并给出具有代表性的例子以验证推论的正确性,使结果更加具有说服力。
定理1若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微,则函数z=f(x,y)在点(x,y)处
(1)连续;
(2)偏导数存在,且dz=zxdx+zydy
说明:这个定理给出了全微分存在的必要条件,作为教材上的结果,本文不再加以证明。与一元函数不同,这些条件都不是充分条件。由此得到以下七个推论:
推论1:对多元函数,连续未必偏导数存在,从而也未必可微。
反例:函数f(x,y)=|x|,在(0,0)点显然连续,但fx(0,0)却不存在。
推论2:对多元函数,偏导数存在未必连续。
例如:函数
f(x,y)=xyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=0
依定义知在(0,0)处,fx(0,0)=fy(0,0)=0但函数在该点处并不连续.
推论3:偏导数存在未必可微。
例如:函数
f(x,y)=xyx2+y2 x2+y2≠00 x2+y2=0
依定义知在(0,0)处,fx(0,0)=fy(0,0)=0但函数在该点处并不可微。说明如下:
Δz-[fx(0,0)•Δx+fy(0,0)•Δy]=Δx•Δy(Δx)2+(Δy)2),
P′(Δx,Δy)如果考虑点沿着直线y=x趋近于(0,0),则
Δx•Δy(Δx)2+(Δy)2ρ=Δx•Δx(Δx)2+(Δx)2=12,
说明它不能随着ρ0而趋于0,当ρ0时
Δz-[fx(0,0)•Δx+fy(0,0)•Δy]≠O(ρ),
因此函数在点(0,0)处不可微。
尽管偏导数存在未必可微,但在偏导数都存在且连续的时候函数一定可微。即
定理2:若函数z=f(x,y)在点(x,y)处偏导数存在且偏导数连续,则函数z=f(x,y)在点(x,y)处一定可微。
推论4:函数f(x,y0)在点x=x0连续,函数f(x0,y)在点y=y0也连续,但函数f(x,y)在点(x0,y0)不一定连续。
例如:f(x,y)=0 xy≠01 xy=0.在原点就是这样。
3 结束语
正是因为由函数在某个方向上的极限存在性,并不能推出其二重极限的存在性,导致了二元函数诸多关系的复杂性。事实上,关于二元函数在点(x0,y0)处极限、连续、偏导数、可微、方向导数间的关系,可以看到反例的讨论基本都在转折点(特殊点)处。这与我们所学知识是依存的,在学习每个概念的初始阶段,我们都在强调,对于特殊点处的性质,只能按照定义去进行讨论,因特殊点处是最容易出现以外的地方。
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.
[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2003.
[3]何鹏,俞文辉,雷敏剑.二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究[J].南昌高专学报,2005,(6).
关键词：新课程理念；初中函数；教学改革
【中图分类号】G633.6
一、前言
函数始终贯穿在初中与高中数学教材内容中，它在培养学生的逻辑思维方面有极大地影响作用，它在初中数学中占有非常重要的地位。函数知识与代数式、方程、不等式，以及数列的排列组合、极限和微积分都非常直接的联系。函数能够为数学的后继发展和深入学习打下良好的基础，能够帮助高中数学与高等数学的各项学习研究做好铺垫。并且，函数知识在物理、化学等学科中也有广泛的运用。人们在解决生活中的某些实际问题时，也习惯利用函数知识来进行测算或者建模。函数知识往往既包括客观现实，也有抽象理论，它本身具有极大的实用性，使用的范围又十分广泛，所以，在数学教学中，它一直是一个重点和难点。
二、初中函数教学的特点
1、整个初中阶段的函数教学，大致可以分为三个阶段：
第一是感性认识阶段。第一阶段的函数教学，一般有以下几个方面的内容：一，通过各种类型的算术运算，让学生观察运算的结果与组成这一运算的各项之间的相互关系。例如，和数与加数、被加数三者间的相互关系；商数与除数、被除数之间的关系等。二，通过代数式和方程的学习，让学生进一步认识到如何用文字来表示一般的数量关系；如何用代数式来表示量与量之间的关系等。三，通过对数的概念的发展，来积累学生关于“集合”这一概念的初步思想。这对今后讲解函数会产生极大地帮助。四，通过数轴和坐标的教学积累关于“对应”这一概念的初步思想。
第二是理性认识阶段。这一阶段是函数教学的主要阶段，有两个方面的内容：一个是初中数学教材中的“函数及其图像”这一内容；另一个是高中从集合开始一直讲到三角函数及其图像。这一时期的教学任务主要是让学生正确形成函数的一般概念，能够比较清楚地理清函数关系，还能够在处理函数问题时绘制简单地函数图像，并讨论他们的性质。在此基础上，能够运用所学的函数知识解决比较简单的实际问题，提高学生的思维水平和解决问题的能力。
第三是深化和发展阶段。该阶段所要解决的主要任务就是了解函数的变化趋势，利用它初步掌握极限方法，也就是无限精确化的方法。同时利用微积分再对函数的增减、极值进行深入探究，根据研究的结果，指出初等方法研究函数的不足与局限。
2、初中的函数教学，无论对函数概念还是函数性质的教学，都是一种描述性的。
因此，在实际的数学教学中就比较通俗和精确。虽然它是描述性的，但是教师的描述要准确、精细，不能给学生造成理解上的错觉与失误。同时，最应当注意的是，描述性的语言要通俗易懂，极易被学生理解和接受。因此，在教学实践中，尽量要多以图形或者表格的形式来分析问题，对于不同的知识点要用举例的手段开展教学工作。
三、新课程理念下初中函数教学存在的问题
1、教学活动中上下衔接不连贯
在对初中函数的考察中，公认最难的是二次函数。所以教师在教授这一部分的内容时，花费的时间和精力也最多。但是老师在觉得教的辛苦的同时，学生感觉学得也同样辛苦，不仅要理解曲线函数，还会面对更加复杂的练习题，因此很多师生认为二次函数非常难，不是每个人都能掌握得了的。造成这种情况的原因是，在教学中把二次函数作为一个重点、难点孤立起来了，忽视了函数的整体性。其实每一个具体函数都是函数的特例，研究方法大致相同，通过类比，结合数形结合的方法，再对比一下相互间的差异，是可以把具体函数放到函数的学习当中的。这样，二次函数的学习也就变得相对容易，不是那么难以理解和把握。
2、“数形结合”的思想没能得到很好地结合
在目前的初中数学函数教学中，教师最常用的就是利用函数图象来研究函数性质，然而却忽视了函数的本质其实就是一种代数模型，是对方程、不等式、数等一些代数模型的综合体现。所以，在研究函数的性质时不仅要借助函数图象，还应该借助“数”来引导学生发现函数性质。从函数的解题结果不难发现，对函数性质与本质的了解最终还是回归到“数”的层面，所以在函数教学中不能忽视数形结合的重要作用。
3、忽视了素质的培养
一些教师在讲解时没有进行前期的启发，讲解的过程直接在黑板上板书出来，没有让学生先进行思考，自己尝试着绘出函数图象。这就等于是教师直接把结论告诉给了学生，这种做法在短期内，从学生的解题上看会有一些效果，但如果从新课程改革的理念上看，从有利于学生能力发展、提高学生素质的角度上看，结论就会是相反的。
四、初中函数教学改革的建议
1、要渗透函数的思想方法
函数的思想方法在理解函数的概念时起着相当重要的作用，函数的思想方法是中学函数教学的主导思想之一。函数思想主要体现在三个方面：一，它集中反映了自变量与函数之间的变化规律；二，对应是函数思想的本质特征；三，自变量的变化处于主导地位，在y=f（x）中，x的变化起决定作用，变量y处于依从地位。所以，函数的自变量变化范围是函数的另一个基本特征。
2、让函数概念教学走向生活化
常量在生活中处处存在，与人们的社会生活息息相关。在设计教学过程时，不管是开头的情景引入还是例题的讲解和演练，都应该以生活例子为主，这样既能吸引学生的学习兴趣，同时还能调动学生学习函数的积极性，拓宽了学生的知识面，还能促使他们学会数学的实际运用。另外，还要注意数形结合，这两个方法的互补，能够体现两者之间的相互联系，更好地解决函数问题。
五、总结
在新课程理念下，函数教学改革应该结合学生的具体实际，从最有利于学生发展的角度去寻找新的教学方法，对于教学中出现的问题，无论大小都不应该被忽视。函数具有的变化性与丰富性等特点，运用于一些数、方程、不等式中，再结合数形结合的方法，为数学其他方面的学习提供了解决问题的思路。
参考文献
[1]蔡子兴新课程改革背景下的初中函数概念教学[J]，现代阅读（教育版），2012（18）
【关键词】复变函数 课程教学改革 理论背景
复变函数是信计专业一门非常重要的专业课，其理论和方法不仅为后续的专业课程如《数学物理方程》、《泛函分析》等提供一种重要的解析工具，而且在其他自然科学和各种工程领域特别是地球物理勘探和电信信号处理等研究方面有着广泛的应用。大一时同学们已经学习了《数学分析》，本课程是它的推广，因此，信计专业学习本课程的目的主要是通过课程教学培养学生学习的自主精神，使他们学会学习，具有自我开拓和获取知识的能力。为了达到这个目的，如何合理安排讲授内容，提高课堂教学效果，改进训练机制，是我们信息与计算科学专业课程改革必须要解决的问题。下面结合我校在信息与计算科学专业进行的《复变函数》教学实践，谈谈我们的一些做法。
1．选取合适的教材。课程教学内容改革能否顺利进行，教材无疑是至关重要的。现在，国内信计专业复变函数所选用的教材主要有钟玉泉编著的《复变函数论》和余家荣编著的《复变函数》等。结合我校和学生的实际情况，我们选择了钟玉泉编著的《复变函数论》，从近几年该课程的教学来看，效果还是十分显著的。首先，本书条理清晰，讲解仔细且又不晦涩难懂。再者，在课后习题的编排上，分门别类，每章都有基础题和提高题两部分，尤其是提高题部分，可供学有余力的同学们选取，极大调动了学生解决困难问题的积极性，对于深刻理解本章内容是大有裨益的。因此在教学中，一定要求教师在吸收该教材的基础上，学习借鉴其它教材的成功经验，踏实备课，以期取得良好的教学效果。
2．学习兴趣及能力的培养。信息与计算科学专业是一个厚基础、宽口径，并注重一定工程应用实践训练的理科专业，而复变函数作为信计专业一门重要的专业课，在本科生的培养方案和专业课程体系中占有十分重要的地位和作用。同时，复变函数是数学分析的后续课程，要使学生喜欢这门科学，合理组织和安排好第一堂课的教学，就显得尤为重要。因此在第一次课中，应重点介绍复变函数在我们信计专业课程体系中的地位和作用，指出本课程的许多理论和方法在工程技术领域（如理论物理、弹性理论、天体力学、遥感测绘等）中有着广泛的应用，具体到课程教学中就有解析函数在平面向量场中的应用、共形映射在电场分布中的应用等，这样就激发了同学们的好奇心和热情，引导他们带着浓厚的兴趣学习复变函数。
能力的培养，笔者认为应该主要体现在熟练掌握复分析与原来学习过的数学分析在很多概念、定理以及处理问题的方法的异同辨析上来。具体说来，如极限的概念、可微概念和解析概念以及一致收敛级数和函数的性质、连续性、逐项可积性定理、逐项可微的魏尔斯特拉斯定理等。这些结论，在实分析和复分析中，有些结论平行，有些则完全不同。在复变函数的教学中运用这样的类比，不仅调动了学生利用已有知识探索新知识的积极性，也相应培养了学生的创造性思维，提高了分析解决问题的能力。
3．注重理论背景，加强人文教育。现在的教材理论背景的介绍很少，笔者认为，可以把这些材料放在理论介绍之前，也可以作为补充材料或附录放在教材的后面。现代数学教育提倡将数学发展史与课堂教学有机结合起来，而复变函数理论的形成和发展，有着深刻的历史背景，它的源头可追溯到十六世纪中叶。在教学中可以适当穿插这样的数学史，因为数学理论演变的过程往往就是一段让同学们感兴趣的历史，可以再现数学先哲们思考问题的方式，可以窥视他们是如何探索真理的，从而启发学生怎样去思考问题。再者，学习任何一门数学课程都要兼顾理论研究和实际应用，研究的主要内容、特色、体系结构和所要解决的主要问题都要围绕有利于学生的发展和社会的要求来进行。
4．多种教学手段和方法并重。随着科学技术的不断进步，相应也产生了一些现代教学手段，如利用matlab和mathematics的数学实验方法，利用计算机设备进行多媒体教学等，这些现代教学手段的改进，可以化解传统教学中难于解决的很多问题，例如矢量场的作图、一些繁杂的计算等。另外，原来的填鸭式、保姆式的教学方法，也没有起到调动学生学习积极性的效果。因此，在信计专业教学中，改进那些落后的教学方法十分必要。如实、复变函数间性质的对比教学、计算复曲线积分中利用第三章复积分的常规计算或利用留数定理的合作学习法以及具体定理或公式的推导的启发式教学法。尤其是启发式教学，能极大调动学生学习的主观能动性和积极性，在此仅举一例：
在讲解Cauchy积分公式之前，我们已经知道若f(z)在单
连通域B内解析，则在沿B内任一周线C的积分 为零。改变条件若z0为B内一点，此时因为 在B内不解析， 一般不等与零，那应该等于多少呢？这时引
导同学们解决这个问题，可以先利用复合闭路定理，在C内做一圆 ，则利用f(z)在 内解析（ρ可尽可能小）则连续，可做如下猜想：
这时再给出定理并进行证明，提醒学生定理成立的条件。同样的课程，这样处理起来就显得顺理成章，学生们也乐于接受。
5．考核方式的多样化。复变函数课程考试形式比较单一，长期以来多采用闭卷考试，但是笔者认为这种考试方式仅仅起到考核的作用，对知识的前后联系和培养学生的创新能力极为不利。因此，应考虑多种考核方法，制定更为科学合理的学生成绩评价方法。综合各方面考虑，以下几种方法可以借鉴：第一，开卷和闭卷相结合。对于复变函数课程的重要内容如解析函数的判别和构造、解析函数的洛朗展开、留数定理、共形映射等必须熟练掌握，其它内容适当了解掌握就可以了；第二，提高平时成绩的比例，考核立足课堂并贯穿整个教学过程，把教学目的和考核结果有机结合起来。坚持随机点名和课后作业“全批全改全记录”制度，期末计入平时成绩；不定期实行必要的课堂练习，学生在课堂上就会积极思考，力求听懂学会，每次课堂练习也都计入平时成绩；第三，可以采用独立完成与分组讨论共同完成相结合的考试方式。如为提高学生的自学能力，可以让学生在学习完某一章或某一节后，按小组为单位提交一份学习心得，并把其作为考查的内容，其成绩按比例计入期末成绩。
我们曾在我校信息与计算专业06、07级的复变函数教学中，按照上述要求来组织教学，取得了良好的教学成果。
参考文献
1 钟玉泉.复变函数论[M].第三版.北京:高等教育出版社,2004
2 袁亚湘.大学数学重在介绍思想[J].高等数学研究.2002 (3):4～5
3 丁宜浩.论复变函数积分的教学[J].桂林电子工业学院学报.2002(02):22～24
关键词: 函数极限 无穷小 复合函数
1.引言
高等数学是工科院校最重要的基础课程,又是理工科学生进入大学首先必须接触的课程之一,具有高度抽象性、严密逻辑性和广泛适用性。它既是学习后继课程的基础,又是对大学生思维习惯和学习方法的训练。而且,中学与大学的学习方式和思考问题的方法有较大的区别。所以,从中学升到大学的学生,常常对大学的教学方式感到困惑或难以适应。因此,高等数学教师就必须承担起让他们尽快从中学的学习和思维方式转变到大学的学习和思维方式的引导任务。高等数学的教学就需要从思维习惯和学习方法上加以改变,教学应以培养分析思维能力、解决实际问题的能力为主要目标。
函数极限是高等数学中最抽象的概念,是高等数学的难点和重点,高等数学中的许多概念和定理都与极限有关。从连续到导数、从微积分到级数等都是用极限来定义的,极限贯穿了高等数学的始终。因此,全面掌握函数与求极限的方法及技巧是学好高等数学的基本要求。下面两个定理在求解函数极限时起了极其重要的作用。
定理1[2]:有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
定理2[2]:设函数y=f(g(x))由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,g(x)的值域包含在f(u)的定义域中。若g(x)=u,且函数y=f(u)在u=u连续,则:f(g(x))=f(u)=f(u)= fg(x)。
我在教学过程中发现有部分学生对上述定理只是单纯地记忆和应用,只是机械性地去计算极限,而不是加以理解性地应用,这与锻炼数学的思维方法和解题思路相违。因此,为了加深学生对上述两个定理的理解和应用的熟练程度,教师需要适当地讲解一些相关例题,让他们加深理论基础、计算方法的能力和技巧。
2.利用定理巧解函数极限
下面我从几个实例来阐述在教学过程中对这两个定理的应用。
例1.求,其中α>0。
分析:当x∞时,分子及分母的极限都不存在,故关于商的极限的运算法则不能应用。但把分解为与sinx的乘积,由于为当x∞时的无穷小,而sinx是有界函数,则根据上述定理1就有:=・sinx=0。
例2.求。
分析:把分解为xsin与的乘积。当x0时,函数f(x)=x为无穷小;虽然函数g(x)=sin的极限不存在,但g(x)是有界函数;利用定理1可得xsin=0。再利用第一个重要极限的结论,知=1。于是有:=・xsin=1・0=0。
定理2的结论可以看作求连续复合函数的极限时,连续函数符号与极限符号交换次序的理论基础,即先取极限后求函数值,该方式可简化求复合函数极限的过程。
例3.求。
分析:利用对数函数的性质,上述函数可等价变形为f(x)=log(1+x)。显然,它是由函数f(u)=logu与u=(1+x)复合而成。由第二个重要极限结论知:(1+x)=e;又函数f(u)=logu在u=e处连续,于是根据定理3可得:=log(1+x)=log(1+x)=loge=。
例4.求(1+2x)。
分析:利用对数函数的性质,则f(x)=(1+2x)=e。可以分解为f(u)=e与u=6・・ln(1+2x)复合,且6・・ln(1+2x)・又分解为与ln(1+2x)的乘积。根据极限乘法法则及两个重要极限的结论,可得:
6・・ln(1+2x)=6・・ln(1+2x)=6e,
又函数f(u)=e在u=6e处连续,于是根据定理2可得:
(1+2x)=e=e=e=e。
3.结语
本文将教学过程中遇到的困惑提出来,目的是提醒学生不能只重视计算方法,应把计算过程及方法的理论基础弄清楚,奠定扎实的理论基础。我们通过对例题的分析和求解方法分析,使学生加深了对道理的理解,加强了定理的应用能力,达到了预期的效果。
参考文献:
[1]王开荣,王新质.高等数学教学模式研究[J].重庆大学学报(社会科学报),2003,(9):138-140.
[2]同济大学数学系.高等数学(第六版,下册)[M].北京:高等教育出版社,2007.
[3]于坚.高等数学探究性学习模式的研究与实践[J].教育与职业,2006,(11).
【关键词】数学文化;职高数学;函数由来;数学语言;数学思想
《普通高中数学课程标准（实验）解读》中关于“数学文化的内涵”给出了如下表述：“在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面。它既包括对人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用……也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取的精神和所达到的崇高境界等等”。著名数学家丁石孙教授指出：“我们长期以来不仅没有认识到数学文化的教育功能，甚至不了解数学是一种文化……这种状况在相当程度上影响了数学研究和数学教学。”数学文化是“贯穿于整个高中数学课程的重要内容之一”，并要求将其“渗透在每个模块或专题中”。
再观职高学生数学学习现状：职高学生数学学习基础薄弱，部分学生知识结构断层，认知理解能力低下，基本运算、基本技能掌握不扎实，基本概念、基本性质不理解，学习无法进入角色;没有正确的学习方法，对现行的数学教学内容感到枯燥，对数学的学习兴趣不高;对学习缺乏信心，意志力薄弱，行为意识不强。
基于以上两点，我想若能够让数学文化走进职高数学教学课堂，生动展示数学的文化价值，挖掘教材的文化功能，让课堂多一些文化气氛，让学生感悟数学，则可使学生树立正确的数学观，让学生更有兴趣的投入到数学学习中去，形成全面的数学素养，这也符合新课标教学的理念。
一、讲述数学史、数学趣闻，揭示数学文化
数学的发展从无到有，从简单到复杂，数学的发展离不开现实的需要。数学的发展具有悠久的历史，无数先辈为数学贡献毕生的精力，国内外出现了很多有名的数学家。讲述数学的发展史可以激发学生的学习兴趣，讲述数学家们的事迹可以激励学生学习的动力。
案例1.深入了解函数概念的由来
函数始终是贯穿高中数学的一条主线，学好函数意味着高中数学学习拥有良好的开端。但函数形式抽象、性质较多、纷繁复杂，往往会让很多学生失去兴趣。因此在函数章节的第一课，引入函数概念的由来可激发学生学习的兴趣与动力。
函数起源v产生w于十六、十七世纪，欧洲资本主义国家为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度;要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题，这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨;18世纪，瑞士数学家欧拉也给出了一种函数的符号f（x），这个符号我们一直沿用至今;1821年，法国数学家柯西从定义变量起给出了定义，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。十九世纪七十年代，德国数学家康托（G.Cantor）提出了集合论，用集合对应关系来定义函数概念就是现在中学课本里用的了。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的。
在函数发展的过程中，出现了函数是否一定有解析式、是否一定有图像、真假函数等的争论。在争论的过程了，函数概念得到不断的完善。例如：
y=x+1（x>0）-2x+3（x≤0）（1）y=1，x为有理数0，x为无理数）（2） （3）
（1）可以画出函数图象;（2）根本画不出图象是不是函数呢？就从刚进入高中的学生认识水平来看，可能就得不出函数的结论。但这两种函数在数学史上是“有名的函数”。（1）参与了“真函数”与“假函数”的讨论：当时人们只将有一个解析式的称为“真函数”，反之称为“假函数”。其实已经看到“假函数”也是函数的一种，只是从当时的函数定义来看，还不是“函数”。很快的随着函数定义的扩充，这一类“假函数”也成为函数的一员，没有人再对它的身份产生怀疑了。（2）根本就画不出函数的图象，并非每个函数都具备图象，才使得今天的函数定义涵盖了更大的范围。今天教材中定义的形成经历了许多年的争论才达成共识，引入的两个例子正是历史上著名的两个函数;（3）是利用电脑软件随机画出的一条曲线，但是很难写出函数的解析式，通过图象容易理解并非每个函数都可以写出解析式。
向学生介绍数学史上讨论的全过程，就可以将人类的思考过程再现在学生面前，数学概念的形成就像是学生自己建构的一样，从而能更深刻的理解函数概念。
二、培养学生数学语言表达能力
卡尔・萨根曾说过：“宇宙中的技术文明无论差异多大，都有一种共同的语言――数学语言。”数学语言是数学思维的载体，数学学习实质上是数学思维活动，交流是思维活动中重要的环节，因此《课标》指出“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要形式”。数学语言作为一种表达科学思想的通用语言和数学思维的最佳载体，包含着多方面的内容;其中较为突出的是叙述语言、符号语言及图形语言，其特点是准确、严密、简明。由于数学语言是一种高度抽象的人工符号系统，因此，它常成为数学教学的难点。一些学生之所以害怕数学，一方面在于数学语言难懂难学，另一方面是教师对数学语言的教学不够重视，缺少训练，以致不能准确、熟练地驾驭数学语言。因此在实际教学中，要重视对数学语言的教与学生的学。每当学习新知识时，引导学生提炼数学概念并用数学特有的语言表达数学概念、性质、定理等，及正确书写数学符号、图形。
数学实践告诉我们，凡是学生能用普通语言复述概念的定义和解释概念所揭示的本质属性，那么他们对概念的理解就深刻。由于数学语言是一种抽象的人工符号系统，不适于口头表达，因此也只有翻译成普通语言使之“通俗化”才便于交流。
三、渗透数学思想，提升数学素养
数学不仅仅只有计算、求解方程、概念、性质等，不只有骨架，还有肌肉，还有很丰富的数学思想。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。因此在教学中，会多渗透数学思想，如函数方程、数形结合、分类与整合、方程思想、整体思想、转化思想、类比思想、建模思想、归纳推理等。让数学知识变得丰满，让学生学习数学变得不枯燥、不乏味，并借此提升学生的数学素养。
案例2.数形结合――事半功倍
例：50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人，则两项测验都优秀的有多少人？
分析：据已知画出韦恩图，这种测验都优秀的有40+31+4-50=25。
故答案为25。
四、现实应用，品尝数学的魅力
数学来源于生活，数学又应用于生活，对我们生活的改变起到了巨大的作用。
案例3.黄金分割数 0.618
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618，（1-0.618）/0.618=0.618。
因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。
数学文化开始被越来越多的教师和学生所接纳，数学文化背景下的教与学对职高数学教学有极大的促进作用，较好改善了学生对数学的看法，激发学生对数学的学习兴趣。
世界著名数学大师、菲尔茨奖获得者丘成桐说：“目前中国的基础教育有弱化趋势，过分追求枝节和技巧，而忽视了基础的培养。我提倡现在学生不要局限于一个发展领域，多读点文史知识有助于开拓眼界。”
当然，数学文化完全融入普遍的教育现实有一定难度，在教学过程中的体现需要广大教师大胆尝试，耐心改进，孜孜不倦。
【参考文献】
[1]傅赢芳.《对数学课程中有关数学文化的思考》，数学教育学报，2005
[2]刘薇.《新课程背景下的有效课堂――如何在函数教学中渗透数学文化》，2012
1.分析考题的类型
当拿到考题的时候，首先，要进行认真审题，审题过程不是单纯的看文字，而是要分析考题的类型.高中数学的知识点很多，但是我们可以将其分成几大块，比如函数、数列等.以函数问题为例，函数分为多元函数、抽象函数、三角函数等，分清题目考查的是什么问题.
2.分析考题所用知识点
数学题目灵活多变，题型更是多如大海，很多学生为了达到更好的解题目的，经常采用题海战术，进行大量的练习，以使对知识点的变化形式有更加清楚的了解，然而，单纯的进行题海战术，反而事倍功半.老师在教学过程中，应该对学生的学习方法和习惯进行指导，让学生学习过程中达到事半功倍的效果.
函数在高中数学的教学任务中有非常重要的作用，其中，抽象函数题目中所给条件具有抽象、隐蔽和复杂等特点，学生在学习过程中，倍感困难.抽象函数问题只给出函数的某些性质，却不给出函数的解析式.其实这类函数是根据教材中的一些具体函数所具有的性质和结构特征，通过抽象和概括形成的一类题目.我们分析出了抽象函数的由来，便可以将其应用在解题过程中，这就离不开对题目中所用知识点的分析.
比如，若函数y= f（x+1）的值域为[-1，1]，求函数y=f（3x+2）的值域.首先，分析此题考查的是函数的值域问题.看题目可以发现题中出现了两个函数：一个是已知的函数y= f（x+1）和其值域[-1，1]，另一个函数是y=f（3x+2），题中要求解的问题是求y=f（3x+2）的值域.通过分析题目中的已知条件和未知条件之间的关系，将题目中的问题与所学知识点相对应，可以得出：抽象函数的值域由抽象函数的定义域和对应法来决定的，由此，可知函数y= f（x+1）的变量x+1与函数y=f（3x+2）中的变量3x+2有共同的取值范围，并且有相同的对应法则f，因此，函数y= f（x+1）和y=f（3x+2）有共同的值域[-1，1].
3.分析思维
分析法是解决任何问题必备的条件，因此培养分析思维是掌握分析方法的前提.通过对例题的分析，可以发现分析法以题目的结论为出发点，逐步寻找可以使结论成立的条件，最后，将结论归纳成一个能够成立的条件的证明方法，能够成立的条件主要包含题目中的已知条件、定义、公理、定理等，因此，分析法也可以称为逆推法. 这在证明题中体现的尤为重要.
在做证明题的时候，我们可以从问题结论入手，假定所证结论并分析使命题成立的条件，把对这个命题的证明转变为判断这些条件是否符合问题的要求.如果结论能够肯定条件的存在，就样就可以断定原命题是成立的.
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摘要：[HTK]长期以来，由于函授教育办学思想的偏移和课程体系的缺陷，函授学生的信息素养教育一直是一个软肋，直接影响到了函授学生的成材质量。为了扭转这一局面，成教院应该在信息意识培养、课程设置、与图书馆合作等方面，采取积极有力的措施，全面加强函授学生的信息素养教育，让函授学生能更好地学习和成长。
中图分类号：G252.17文献标识码：A文章编号：1003-1588（2015）06-0057-03
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收稿日期：2015-04-23
作者简介：[HTK]关莉（1962―），广西师范学院图书馆馆员；褚兆麟（1963―），广西师范大学图书馆研究馆员。[FQ）][HT]
我国高校开展成人高等教育以来，至今已经走过了60多年的历程，为国家培养了数以千万计的人才。可以说，60多年成人高等教育的发展，不仅极大地提高了我国国民的基本文化素质和专业技能，为我国经济的发展和社会的进步做出了重要的贡献。但也应清醒地看到，多年来成人高等教育在取得巨大成绩的同时还存在着很多问题。
[BT3]1函授学生信息素养教育缺陷的表现
1.1课程体系里缺乏信息素养教育课
纵观广西师范学院院几十年来的函授办学，不论是文科专业，还是理科专业，其课程体系中均没有设置诸如工具书检索（中文）、网络信息资源检索与利用等课程。文章仅以2013级的广西师范学院成人教育学院教学大纲中的汉语言文学专业为例，其课程设置有：思想和中国特色社会主义理论概论、计算机应用基础、英语、教育学、心理学、先秦两汉散文专题、唐诗宋词专题、中国古代小说戏曲专题、中国现代文学专题、新时期文学、20世纪西方文学、古汉语专题、语言学概论、美学、学科教学论等，课程可谓丰富，但缺乏有关信息教育与利用的课程。有关信息教育课程的缺乏，必然造成学生知识结构的缺陷，从而影响到学生的学习与成长。
1.2不懂使用各类检索工具
各类检索工具犹如一把智慧的钥匙，他会帮你打开各类知识的大门，通过正确的途径，找到学生所需要的资料和情报，从而提高其在学习、工作和科研的效率。由于不会熟练使用检索工具，有时碰到一个很简单的概念（词语），都无从下手。如“音韵”“训诂”等概念，有的学生除了新华字典外，就不知道去哪里查了。
在网络社会中，有很多商业数据库，这些数据库容量大、检索方便、更新快，他们是学习、工作和研究的好帮手。如以中文为代表的《中国期刊全文数据库》《读秀学术搜索》《[CNKI]中国重要报纸全文数据库》等 ；以西文为代表的《Elsevier SD》《Springer LINK 》《EBSCO》等，多达数百种。通过这些数据库会方便、快捷地检索，甚至下载到很多学生所需要的登载在期刊、报纸、图书等媒体上的资料或数据。利用这样的工具来检索资料在普通本科生看来是再简单不过的事情。但经过笔者走访和调查发现，即便是如此简单、便捷的信息工具，大部分的函授学生却并不会使用，有的甚至根本不知道还有这些数据库的存在。
1.3参考文献少
函授学生所完成的毕业论文参考文献普遍很少。经抽查，广西师范学院2012级本科函授学生的毕业论文文后的参考文献大多没有超过四篇，有的甚至根本就没有，这说明，函授学生在撰写论文的时候，由于主客观因素的限制，他们没有时间，也没有条件去查阅众多的相关资料，经常是迫于时间的临近，不得不埋头苦干，闭门造车。有的论文选题，属于陈词滥调毫无新意的选题，有的材料单薄，不足以支撑论文的总体构架等，所有这些都反映了他们撰写论文的信息有限，眼光短浅，资料严重匮乏之状况造成的。
[BT3]2造成函授学生信息素养教育缺陷的原因分析
2.1成人高等教育课程体系设置的缺陷
成人高等教育，不论是文科专业，还是理科专业，其课程体系中均很少或没有设置诸如《中文工具书检索》《信息资源检索利用》以及《网络资源的获取方法》等课程，这些信息课程在不少全日制普通高等教育中，有的作为新生入学必须进行的文献检索培训课而存在；有的作为某些专业的必修或选修课程而设置，还是有相当比例的学生选修学习的，笔者所在学院则是通过对新生进行入学后的文献检索课的培训。通过学习，再加上在毕业论文的撰写过程中，他们应用在课程学习中所获得的信息技能，积极地在图书馆的各种纸本资源或各类电子资源中，寻找到自己所需要的资料。表现在论文写作上就是，论文观点新颖，视野开阔，信息量大，引用资料丰富。而反观函授学生的论文（或其他文字作业），由于受到信息、资料的限制，不管在论点的独特与新颖上、在各类论据的丰富度上、在作者的学术视野上，都有很大的局限，图书、实验设备匮乏，势必影响高等教育的质量。这种情况的出现，说明函授学生的信息素养薄弱，这和他们课程体系的设置缺陷有很大的、直接的关系。
2.2函授办学及管理部门与学校图书馆的合作意识缺乏
2.2.1[2]函授办学及管理部门与学校图书馆的合作意识缺乏。广西师范学院负责函授招生与管理的是成教院。成教院对假期回校面授的学生的教学主要安排在寒假和暑假两个假期，一般是3～4周时间。本来面授时间就短，再加上大部分函授生是上班族，他们一边请假，一边上学，有的是请几天来几天，来几天请几天，课程排得很满，有时晚上都在上课。如此一来，函授生根本就没有上图书馆查阅图书资料的时间。
2.2.2图书馆缺乏服务函授学生的意识与主动性。高校图书馆的服务多年来主要面向广大的全日制本科生、研究生和教师。近年来，随着高校由外延式规模扩展向内涵式质量提高方向的转变，高校图书馆的服务重点便开始由参考咨询服务向学科服务转变。学科服务侧重的是一种嵌入教学、科研的高层次服务。他和基础服务构成了图书馆服务的两大方向、两大板块。高校图书馆的基础服务尚且顾及不了函授学生，学科服务对函授学生来说更是愈行愈远了。从1999年以来，全国范围内的高校扩招，高校全日制普通本科生数量剧增，高校图书馆日常的服务量骤然以倍数增加，图书馆搞好其自身的基础工作和基础服务已经很难保证，以致长期以来都没有很强的意识去服务函授教育。长期以来，图书馆为函授学生服务都是一个盲区，一个空白点，一个薄弱环节，既缺乏一种服务意识，更缺乏主动性。
3加强函授学生信息素养教育的思路
3.1加强信息素养意识培养
众所周知，如今已经是信息社会，在世界范围内，每时每刻，信息量都呈爆炸性增长，各种信息鱼龙混杂，泥沙俱下，真假难辨。传播信息的媒体既有传统的报纸、期刊、广播、电视，更有传播速度更快的网络，以及依托网络环境而建立起来的博客、微博、微信等，信息无孔不入，无处不在。作为信息社会的函授学生，只有树立牢固的信息意识，不断加强自己的信息素养，才能在信息爆炸与信息万变的社会中，站在信息的潮头，随时掌握所学专业的发展动态与现状，不断充实自己，提高自己，从而在激烈的社会竞争中立于不败之地。
3.2开设文献信息检索和利用课程
《文献信息的检索和利用》课程的开设，能够加强学生的信息意识，提高学生检索及利用信息和文献的能力，有助于学生提高自主学习的积极性，这是许多高校文史专业学生的常规课程，至少是选修课程。而成人教育开展60多年来，不管是理科专业还是文科专业，很少有开设《文献信息的检索和利用》课程的。所以，在整个函授教育的课程体系中，是没有《文献信息的检索和利用》课程的，这不能不说是函授教育课程体系的一大缺失。在当今这个信息社会中，信息的发现、筛选和获取是一项非常重要的方法和能力。因此，函授教育非常有必要开设类似《文献信息的检索和利用》这样的课程，以弥补课程体系的不足。
3.3加强与图书馆的合作
长期以来，成教院都把办学重心放在如何拓展学生生源，扩大招生规模，增加办学收益上面。在一定的办学框架内，在一定的政策范围内，招生规模越大，收入越多，成教院对学校的贡献也越大。成教院自身办学重心的偏离，自然就疏忽了如何与图书馆加强合作，提高函授学生的办学质量上。笔者认为，办好一所大学，需要三个条件：有良好的师资；资源丰富的图书馆；具备必要的实验设施和设备。普通院校高等教育如此，成人教育也是一样。信息函授教育绝大多数都是文科专业，而文科专业学生最需要一个藏书丰富、信息量大的图书馆，让他们有机会阅读更多的图书，充分利用强大的信息资源，充实自己的知识。鉴于此，成教院应积极地、主动地加强与图书馆的合作，鼓励图书馆向函授学生开放，鼓励图书馆员为学生开设有关的信息课程，鼓励来校面授的学生更多地利用图书馆，使图书馆成为他们真正的第二课堂。
3.4创造和创新提升函授生信息素养和技能的方式方法
3.4.1有针对性地对函授学生进行信息技能培训。函授学生来自于不同地区，有的来自于城镇，有的来自于偏远农村。来自城镇的对上网或在网络信息检索方面还比较熟悉；但来自农村，特别是偏远或落后地区的函授生学来说，他们的网络信息技能相对薄弱。对此，学校“要针对函授生的能力水平因材施教，根据函授生信息素养的现状，把他们分成不同的层次，讲授不同水平的信息知识” 。
3.4.2[2]在图书馆主页设置在线信息素养教育栏目。 函授生除了寒暑假在学校接受面授以外，其余学习时间不在单位就在家里，在远离学校的大部分时间里，学校如何对他们进行信息素养教育呢？据笔者调查39 所（985工程高校）图书馆首页的读者服务栏目下都设有信息素养培训相关链接，常见的名称有： 教学与培训、帮助和指南、用户教育、信息素养教育等。可见，全国重点高校都十分重视在图书馆主页设置在线信息素养教育栏目，这不仅表明了他们对信息素养教育的重视，同时也非常重视教育的便利性和超距离性，这对身处偏远地区的函授生来说，只要通过网络就非常方便地学习了。作为普通院校图书馆，也同样具备了将资源放到网上的条件，所以应该向重点高校学习，在图书馆主页设置在线信息素养教育栏目，讲座培训和信息素养教育活动信息，甚至建立信息素养相关课程教学网站并提供课件下载或在线浏览服务，以方便函授学生学习。
3.4.3创造条件让函授学生更多使用中外文数据库。随着网络和信息技术的发展，各种各样的中外文数据库如雨后春笋般不断涌现出来。为了满足学习、教学和科学研究的需要，各大学院都不惜巨资购买了大量的数据库。这些数据库多为在校普通本科生、研究生、博士生和教师所用。然而，结合函授教学的实际就不难发现，函授学生使用这些数据库的机会非常少，甚至从不使用。究其原因：①因为现在的函授教学点多数设在学校所在地以外的地方（以广西师范学院为例，函授生中超过70%学生在全区各地20多个教学点学习，只有不足30%学生回校上课和学习），有的甚至在工厂、乡镇设点，这些地方自然没有条件使用学校的各种数据库。②少数函授的学生，由于课程紧，任务重，期间还要进行考试，根本没有时间到图书馆利用数据库。③图书馆对函授生设置一些障碍，不能入馆，即便入馆也要收取一定费用才能使用数据库等。因此，学院要积极铲除这些不必要的障碍，“为他们进入学校学习提供条件，实现对教育对象的完全开放” ，让函授学生享受像普高学生一样的待遇，使用学校图书馆的图书资源和各种数据库。只有这样，函授学生才能充分利用学校的现有资源，获得更好的学习条件和环境，才能有更大的成就。
参考文献：[HTK]
[1][ZK（#]周海霞.我国成人高等教育发展的历程及启示.吉林工商学院学报，2011（3）：88-91.
[2]朱为民.我国成人高等教育发展的历史现状与对策.成人教育，2009（5）：46-47.
[3]方璇.我国成人高等教育模式的困境与突围.淮海工学院学报，2013（19）：1-4.
[4]朱立芳.试论高师函授生信息素养的培养.继续教育研究，2007（2）：154-156.
[5]邓佳，詹华清.我国高校图书馆在线信息素养教育资源调查及建设策略.图书情报工作，2014（6）96-100.
[6]周德春.成人高等教育发展与展望.高教研究，2013（12）：185.[ZK）]
选题依据及研究意义
函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如cauchy判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于()nux一致收敛性的判别法，如cauchy判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而次课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。
选题研究现状
目前通用的数学分析教材(如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等)其介绍的主要内容如下：m判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。
研究内容(包括基本思路、框架、主要研究方式、方法等)
基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。 框架：主要由论文题目“函数项级数一致收敛的判别”、摘要、关键词、引言、函数项级数及一致收敛的定义、函数项级数一致收敛的一般判别法及推广、小结、参考文献等组成。
主要研究的方式、方法：首先介绍函数项级数及一致收敛的定义，然后给出一些常见的判别法，并用一系列的例题加以说明，在将判别法加以推广。
研究内容：
第一部分简单介绍函数项级数及一致收敛的定义，
第二部分主要介绍函数项级数一致收敛的一般判别方法，如柯西一致收敛准则、余项判别法、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等，再进行推广。
第三部分是总结其研究的必要性。
论文提纲(含论文选题、论文主体框架)
论文题目：函数项级数一致收敛的判别论文主体框架：
1、引言
2、定义
函数项级数定义
函数项级数一致收敛的定义
3、函数项级数一致收敛的判别方法柯西一致收敛准则余项判别法
魏尔斯特拉斯判别法狄利克雷判别法阿贝尔判别法
4、函数项级数一致收敛判别方法的推广比式判别法根式判别法对数判别法积分判别法确界判别法
5、结束语
阐明总结函数项级数一致收敛判别方法的重要性及必要性。
主要参阅文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)[m].高等教育出版社.1991
[2] 王振乾，彭建奎，王立萍.关于函数项级数一致收敛性判定的讨论[j].甘肃联合大学学报.XX
[3] 吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏栍等.数学分析习题精解[m].北京：理科教育出版社,XX.
[4] 谢惠民，恽自求，易发槐，钱定边等.数学分析习题课讲义[m].北京：高等教育出版社，XX.1：
[5] 赵显曾，黄安才等.数学分析的方法与解题[m].陕西：师范大学出版社，XX.8
[6] 刘玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁等. 数学分析讲义[m]. 北京：高等教育出版社，XX.6
[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[m].北京：高等教育出版社.1993.
[8]毛一波.函数项级数一致收敛性的判别[j].重庆文理学院学报(自然科学版). XX.10
