时间：2023-02-11 19:23:27
【关键词】：函数概念；类比方法；抽象
中图分类号：G623.5
函数是中学数学学习的主线，万事开头难，明确函数的概念，是学习及应用函数的前提，也是学生们思想，思维提升的关键。
一、函数的表达由来
函数的发展历程最为可观。十九世纪才对函数有了对应关系，1821年，柯西（Cauchy，法，1789-1857）从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
1822年傅里叶（Fourler，法国，1768-1830）发现某些函数也可用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识有推进了一个新层次。
1837年狄利克雷（Dirichlet，德，1805-1859）突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他开拓了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x的值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托（Cantor，德，1845-1918）创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦（Veblen.，美，1880-1960）用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其他对象。
1930年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
二、中文“函数”的由来
在中国清代数学家李善兰翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function"翻译为“函数”，此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念，书中解释说：“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”：这里的“函”是包含的意思。
三、初高中数学教材函数概念
经过多年的数学教学发现，函数概念的理解是中学生学习上的一个困难。
1、初中教材中，函数的概念即函数的传统概念：在某一变化过程中，有两个变量x，y。在某一法则的作用下，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与其相对应，这时，就称y是x的函数。这时，x是自变量，y是因变量。初中阶段，由于学生们的认知水平存在差异，少部分同学能够接受函数的概念，一部分同学能够机械的运算函数问题，而还有一部分同学是函数为一座高山，难以逾越，这不能怪学生学不会，函数的这两个变量之间的关系，真的很抽象；进入高一，学生们先学习集合表示，集合是高中数学的学习基础。
在集合的基础上，教材中出现了集合观念下的函数概念即函数的近代概念：设A，B都是非空的数集，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么在f的作用下，集合A中的每个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，就叫集合A到集合B的函数关系；记：y=f（x），其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f（x）的定义域，象集合C叫做函数f（x）的值域。
四、趣解函数概念
不难发现函数就是表达数与数之间的对应关系，由于它的抽象性，对学生来说，理解起来并不是这么容易，其实只要掌握函数两个要求：?对象是数字；?对应关系；数字同学们能理解，关键是对应关系，对应关系有：一对一对应关系，多对一对应关系，一对多对应关系，哪种对应关系才是函数关系？这是同学们困惑的关键点，为了让同学们更容易的理解，我从以下两个方面做了类比解读函数概念。
1、从函数字面意思上解读；函，李善兰前辈解释为“包含”，我从中华词典中查阅，函，即信函；信函，这是每个同学都熟悉的事物并且都知道同一个时间：一封信一个地方，多封信同一个地方，却没有一封信多个地方；那么前面发生的两种对应关系正是近代数学中函数表达的两种对应关系即：一对一关系和多对一关系；而这种关系就体现在函数的概念：设A，B都是非空的数集，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么在f的作用下，集合A中的每个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应；信封就是集合A，集合A中的数字就是信封中的信纸，集合B就是寄信地址；而邮递方式就是对应法则：f；这样就能很好的帮助学生们理解函数的对应关系；例如：函数y=kx+b（b为常数），x的范围是集合A中的数字，y的范围是集合B中的数字，对应法则f为：y=kx+b，由我们熟悉的一次函数解析式，同学们很容易的理解 每取一个数字，通过对应法则y=kx+b，都有惟一的y值与之对应；
2、从函数的表达式解读：多数函数的表达都习惯用x，y表示；对于x，y学生们都明白，在古代中国有一夫多妻制，在生理学中x代表雌性，y代表雄性，所以从这个角度来理解函数的对应关系：一夫一妻制即一对一对应关系；一夫多妻制即一对多对应关系（夫代表数字y；妻代表数字x）
从上面的对应关系中，很容易确定后两个对应关系才是函数对应关系；经过多年教学用这种方法解读函数概念，学生们很轻松的接受了这个概念，在下面学习函数表示及函数的应用时就驾轻就熟了，从思想上也减轻了知识负担；
研究函数的入门课程很重要，如果这个问题能够引起注意，帮助同学们顺利的完成这部分的学习，对以后学习函数性质有很大的帮助，甚至对整个中学数学的学习都起到抛砖引玉的作用。
参考文献
[1]《函数概念的发展史》.杜石然，数学通报，1961年06期
[2]《初中生对函数概念理解的调查研究》.彭丹
三角函数的学习是在高一的上半学期。许多学生对任意角的三角函数的定义普遍感到难以接受。因为初中研究的范围内角的正弦，余弦，正切值都是正数。教师反复强调要注意函数值的正负，学生也花很大的精力去记忆，当他们终于能稍稍熟练于频繁出现的正余弦求值时，三角函数的诱导公式这一节又将他们刚刚建立起来的信心彻底击垮，因为公式太多了，死记硬背再也跟不上老师的进度。为什么会出现这种情况呢？
二、初高中三角函数的定义
初中时的三角函数是这样的：某体育馆设计不同坡度的台阶，由台阶的“陡”的判断引进了正切函数：在RtABC中，∠C=90°，a，b，分是∠A的对边和邻边，我们把∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切。正弦，余弦则是在该三角形中分别用对边、邻边与斜边的比值来定义。而在高中，定义是这样的：在任意角α终边上任取一点P，P 的坐标为（x，y），P到坐标原点的距离为r，分别用y1r，x1r，y1x表示角α的正弦，余弦，正切。很自然的，任意角的三角函数产生了正负，但学生总是觉得对正负的出现难以接受。为什么初中的三角函数定义从来就没有过这些问题，高中阶段就错误百出？笔者认为，问题根源不在于与三角函数的定义上，而是出在“任意角”这个概念的不理解上。
三、数学概念的形成
1。初高中角度概念的接受程度
教师总是在抱怨学生初高中衔接得不好，有没有意识到这也许是我们自己的原因呢？历来，数学总是把定义、法则和算法教给学生，然后要求他们按照这些进行学习。但处于最源头的数学概念从何而来？数学概念的获取，主要是由口头语言中相应的数词来支持的，这种获取可以很容易地通过观察的研究来跟踪。学生们很容易接受“坡度”这个词，但作为任意角，平时生活里难以遇到，按他们的想法，0°到360°就能概括生活中的所有情况。为什么要扩展到任意角呢？把生活中的角度问题延伸为与现实脱节的任意角问题正是我们高中数学教学阶段要提高的学生的能力之一：抽象思维能力。如何把这些抽象的东西教给学生，让其很好的吸收，笔者认为，教师要明了学生的概念是如何形成的。
2。概念意象
数学概念是现实生活中某一数量关系和空间形式的本质属性在人的思维中的反映。心理学上，在概念的内部表征中，除了精确的形式化定义外，还有一种成分在起着重要的作用。这种成分是一种场或思维流，它不同于精确的命题或语言定义，但能与语言或命题互为转换，我们把概念内部表征中这种成分称为概念表象或概念意象。
3。概念意象到概念定义形成的过程
任意角的概念表象可以理解为“这个角绕x轴逆时针旋转了××圈，或者是××度，”这个角就在你的教材或作业本上，按照你的想法在旋转。这种概念表象是与概念相对等的一种表示，它与概念的定义共同作用于学生的大脑，形成对概念的理解。概念表象是一种内部语言，它是学生受到“概念定义”的刺激以后在大脑内部进行的活动。被刺激者会从新事物的整体出发，用自身能接受的方式来刻画这个刺激，但这往往需要较长的时间。因为一方面，不是所有的概念都能找到合适的方式作为依靠；另一方面，由于学生是不同的个体，他们平时接触的事物有一定的差距。比如对体操不了解的学生就较了解的学生难以接受 。所以，对一部分学生能适用的“常识”未必对所有的学生都适用。教师在教学概念时并不一定是要抓住定义逐字逐句的解读，我们要做的是不断刺激学生主动去建立与概念相关的概念意象，如果学生不能主动建立或者建立起来有困难，我们要做的就是帮助他们建立。此时的概念意象可以是与概念定义“不一致”（不一定与概念表述的一样精确）的；可以是“不断变化”（在学生的大脑里不断被修正）的；可以是“整体的”（对概念整体的模糊的把握）；可以是“几何的”（用形的方式刻画对抽象的理解）；甚至可以是“歪曲的”（与概念定义有一定出入的）。什么有利于概念意象的形成我们就要多在这方面举例子，多下功夫。
概念表象形成以后，在教师的引导下，学生将概念的定义作用于自己所形成的表象，并对其做判断。如果出现冲突，与定义冲突的部分的意象就被抹去，取而代之的是更趋向于定义的意象。教师继续引导，循环前面的过程，使学生不断修正自身形成的概念意象。这是一个内化的过程，这种内部语言是复杂的，多变的，随着对概念理解的不断深入，这种内部语言趋向于精确化，简洁化，最终与概念的定义达成一致。然而，这个过程也是危险的。学生在记忆、表征、运用数学概念时，多是与概念意象相联系。概念意象与概念定义有联系也有区别，与精确的形式定义相比，概念意象包含较多的无关特征，具有直观性、变化性、模糊性。因此，概念意象的贫乏、不恰当会导致错误概念的产生，用概念意象代替概念也会造成许多错误。我们教师在学生的概念意象形成初期应该多举例子，力求概念意象丰富，尽量避免出现概念的过程性错误。
概念意象的内化完成后，当教师对概念进行提问时，学生试图将这种内部语言转化，变成统一的外部语言，进而说出概念的意义。在这个过程中，前面形成表象的思维过程在学生头脑中再现，学生用自己的语言将其具体化，客观化。由学生自己说出来的概念远比教师强加给学生的概念要有效得多。概念最终转化成为外部语言的过程并不是概念学习中的最重要的过程，最重要的是如何形成概念表象，如何修正概念表象并最终精确。数学概念意象在数学概念形成、理解、运用中有着重要作用，它构成了数学概念的关键部分。
关键词 函数 概念
回顾函数概念的历史发展，函数概念是不断被精炼，深化，丰富的。初中时函数的定义是一个变量对另一个变量的一种依赖关系。在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。高中时，是用集合与对应的语言描述了函数概念。函数是一种对应关系，是函数概念的近代定义。
设A,B是非空数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A。函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
函数的概念这一节课，内容比较抽象，概念性强，思维量大，为了充分调动学生的积极性和主动性，教学中通过典型实例来启发和帮助学生分析，比较，以达到建构概念之目的。
引出函数的概念，先是举出了生活中的三个实例。第一个实例是关于物体做斜抛运动的，和初中学习过的二次函数相联系。第二个实例是关于臭氧空洞的问题，给出了函数的图像，按照图中曲线，发现了两个集合之间的一种特殊的对应关系。第三个实例是关于恩格尔系数的经济实例。列表给出了恩格尔系数和时间（年）的关系。三个实例共同反映了变量之间的相互依赖的关系，同时反映出两个非空集合之间的一种特殊的对应关系。这样，自然而然地给出了函数的概念，并且这三个实例中的函数恰好是用了三种表示方法：解析法，图像法，列表法。
以实际问题为载体，以信息技术的作图功能为辅助。通过三个实例的教学，师生共同发现了函数概念中的对应关系。教师在归纳出函数定义后，可以在全班进行交流。结合初中函数的定义，指出两个定义的区别和联系。关于“y=f(x)”这一个函数符号的理解，教师可以提问：y=f(x)一定是函数的解析式吗？回答是不一定，可以举出实例二和实例三。函数的解析式，图像，表格都是函数的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函数，但f(x)不一定是解析式。当f(x)是一个解析式时，如果把x,y看作是并列的未知量或者点的坐标，那么y=f(x)也可以看做是一个方程。
函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合B中并非所有的元素在定义域A中都有元素和它对应；值域 。教师引导学生归纳并总结，函数的三要素是定义域，值域和对应法则。 然后，教师给出同学们所熟悉的三种函数，一次函数y=ax+b(a≠0)，反比例函数 ，以及二次函数 。教师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图像，启发学生观察，分析，并请学生们思考之后，填写对应关系，定义域和值域。通过三个熟悉的函数加深学生对函数近代定义的理解。教师引导学生归纳总结出：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如果函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。
连续的实数集合可以用集合表示，也可以用区间表示。利用多媒体课件展示怎样用区间表示集合。区间可以分为闭区间，开区间，半开半闭区间。特别地，实数集R记作(-∞,+∞), ∞ 读作无穷大；-∞ 读作负无穷大；+∞ 读作正无穷大;“∞”不是一个数，表示无限大的变化趋势，因此作为端点，不用方括号。
例1和例2的编排，是为了进一步地加深理解函数的三要素。函数的定义域通常由问题的实际背景确定.对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。在例1中，要注意f(a)与f(x)的联系与区别：f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量。f(a)是f(x)的一个特殊值。例2是来判断两个函数是否相等的。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就是相等的。
数学概念是构建数学理论大厦的基石；是导出数学定理和数学法则的逻辑基础；是提高解题能力的前提；是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念教学是高中数学教学的一项重要任务，是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视。正确理解概念是学好数学的基础，概念不清往往是导致学生数学成绩差的最直接的原因。
二次函数概念教学反思
二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义. 在教学中，我主要遇到了这样几个问题：
1、关于能够进行整理变为整式的式子形式判断不准，主要是我自身对这个概念把握不是很清楚，通过这节课的教学过程，和各位老师的帮助知道，真正达到了教学相长的效果。
2、在细节方面我还有很多的不足，比如，在二次函数的表示过程中，应注意强调按自变量的降幂排列进行整理，这类问题在今后的教学中，我会注意这些方面的教学。
3、在变式训练的过程中要注意思考容量和密度以及效度的关系，注意教学安排的合理性。另外在教学语言的精炼方面我还有待加强。
一、函数的判断
例1 下列式子是否能确定y是x的函数：（1）x2+y2=2；（2） x-1+
y-1=1；
（3）y=x-2+
1-x.
分析：判断一个式子是否是y关于x的函数，就是判断使式子有意义的x的取值集合中，对于每一个y的值是否都有唯一确定的一个y值与之相对应，也可以由子解出y关于的解析式，看其是否唯一.
解：（1）由x2+y2=2得y=±2-x2，因此不能确定y是x的函数，如当x=1时，由她所确定的y值有±1两个.
（2）由
x-1+
y-1=1，得
y=（1-x-1）2+1，所以当x在{x|x≥1}中任意取一个值时，有唯一的一个y与之对应，故由它可以确定y是x的函数.
（3）由x-2≥0，
1-x≥0
得到x∈，故由它不能确定y是x的函数.
点评：抓住函数定义，也即对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，即一对一或多对一的判断方法来确定.
二、函数相等的判断
例2 判断下列各组中两个函数是否相等：（1）f （x）=x-1・
x+1，g（x）=x2-1；
（2）f（x）=2x2+1，g（t）=2t2+t+1.
分析：定义域和对应法则是函数的两个要素，当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，其才是相同函数.
解：（1）不相等，由于函数f （x）的定义域是{x|x≥1}，而函数g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤-1}.
（2）两个函数相等，因为它们的定义域及对应法则都相同.
点评：判断两个函数相等的一般步骤，分别求得已知函数的定义域，若其定义域相同，再看函数的对应法则是否相同，若对应法则也相同，则两个函数相等.
三、求一般函数的定义域
例3 （1）y=x2-1+
1-x2；（2）
y=
11+1/x.
分析：函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围，当一个函数有两个或两个以上的式子的和、差、积、商的形式构成时，其定义域是使各部分有意义的自变量的交集.
解：（1）要使函数有意义，则
x2-1≥0，
x2-1≤0，
即x2=1，则x=±1，因此函数的定义域为{1，-1}.
（2）要使函数有意义，则
x≠0，
1+1/x≠0，
即x≠0，
x+1≠0，
，所以x≠0且x≠-1，
因此函数的定义域为{x|x∈R，x≠0且x≠0}.
点评：求函数的定义域一般转化为解不等式或不等式组问题，注意函数的定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
四、求函数值
例4 已知f （x）=
12-x
（x∈R，x≠2），
g（x）=x+4（x∈R），（1）求f （1）、g（1）的值；（2）求f（g（1））
、g（f （1））的值；（3）求
f （g（x））、g（f（x））的表达式.
分析：求函数值时，只需要将f （x）中的x用对应的值（包括代数式）代替即可.
解：（1）
f （1）=12-1
=1，g（1）=1+4=5.
（2） f（g（1））=f（5）=
12-5
=-13
，g（f（1））=g（1）=1+4=5；
（3）f（g（x））=f（x+4）=
12-（x+4）
=1-2-x；
（4）g（f（x））=g（12-x）
=12-x+4.
点评：当已知函数的解析式求函数值时，直接将自变量的值代入解析式中则可以求解，若自变量是以代数式的形式出现，则将代数式看做一个整体代替解析式中的自变量；当解析式含参变量时，先通过已知条件确定参量，再将自变量的值代入解析式中求值.
五、求函数的值域
例5 求下列函数的值域：（1）
y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}；（2）
y=x+1；
（3）y=x+2x-1；（4）
y=3x+2x-1 .
分析：求函数的值域方法很多，要根据具体的题型来确定一定的方法，如观察法、配方法、分离常数法.
解：（1）（观察法）由于y=2x+1，
x∈{1，2，3，4，5}，则可以得到y∈{3，5，7，9，11}.
（2）（观察法）由于
x≥0，则
x+1≥1，则函数的值域为[1，+∞].
（3）（换元法）令u=
2x-1，则u≥0，
x=u2+12，则
y=u2+12+u=
12（u+1）2≥
12，
则函数的值域为[1/2，+∞）.
（4）（分离常数法） y=
3x+2x-1=
3（x-1）+5x-1=
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2、教学目标及确立的依据：
教学目标：
（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
学法：四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
二.新课讲授：
（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：ab，及原像和像的定义。强调指出非空集合a到非空集合b的映射包括三部分即非空集合a、b和a到b的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从a到b的对应是否为映射的关键是看a中的任意一个元素通过对应法则f在b中是否有唯一确定的元素与之对应。
（2）巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设a、b是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得a中的任何一个元素在集合b中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合a到集合b的映射，它包括非空集合a和b以及从a到b的对应法则f），并说明把函f：ab记为y=f（x），其中自变量x的取值范围a叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈a}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
2.函数是非空数集到非空数集的映射。
3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5.集合a中的数的任意性，集合b中数的唯一性。
6.“f：ab”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域a（要优先），值域c（上函数值的集合且c∈b）。
三.讲解例题
例1.问y=1（x∈a）是不是函数？
解：y=1可以化为y=0*x+1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。
四.课时小结：
1.映射的定义。
2.函数的近代定义。
3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4.函数近代定义的五大注意点。
五.课后作业及板书设计
书本p51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。
预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。
函数（一）
一、映射：2.函数近代定义：例题练习
一、导数教学中对函数概念的再认识
导数，即导函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，为什么这么说呢？首先要看一下高中数学中对导数的定义.我们首先定义一个函数y=f(x)在点x0处可导，且x0处有唯一的导数f(x0)，然后定义函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导，因而对于开区间(a,b)内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数f(x0).根据函数定义，在开区间(a,b)内就构成了一个新函数，这个新函数就是导数.此处提到了根据函数的定义，那么函数的定义或者说函数的概念又是什么呢？
函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应.精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数.对应法则和定义域是函数的两个要素.
由于函数的学习在高中阶段要远早于导数，因此这样旧话重提，不但是一种对函数概念简单的复习，而且结合着导数的定义，我们对函数的概念又有了新的认识.因为学习函数的时候，我们已经习惯了将函数的定义域局限于一个集合里面，定义域中的任意数都对应着它的唯一值，而没有想到过，当将定义域缩小到某一个连续可导的区间时，会产生一个全新的函数，而且这个全新的函数拥有函数的一切特性，也遵循着一一对应的法则.通过这种定义层面的对比与教学，我们在导数的教学过程之中，就实现了对函数概念的再认识.
二、导数教学中对函数性质的再教学
1.导数与函数的图像
导数在物理上有着应用价值，在几何上同样有意义：函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k，即：k=tanα=f(x0).相应的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).这就将导数与函数的图像联系了起来，导数在有关函数图像解题上的运用，既丰富了函数的解题方法，也深化了我们对导数与函数相互关系的理解.
结合具体的题目进行讲解：
已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l:y=kx，且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x0，0),求直线l的方程及切点坐标.
在求解这道题目的时候，首先引起我们注意的是“相切”这个词眼，自然而然我们会想到导数.将曲线C的方程还原为一个函数，那么这个题目就转变为求函数在某处的导数这个简单的问题.
2.导数与函数的单调性
用导数来确定函数的增减区间相对于学习函数单调性时所采用的定义法和图形法，更为直接，更为简便.导数的引入，使函数的单调性在另一个层面得到了体现，也为我们判断函数的单调性提供了一个更加快捷的途径，也便于我们更好地理解函数的性质.函数的单调性也称为函数的增减性.通常的在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f′(x)
已知函数f（x）=4x+ax2-23x3（x∈R）在区间［-1，1］上是增函数，求实数a的取值范围.
题目中已经给出了函数的单调性，要求得出某个未知数，那么可以将利用导数求解函数单调性步骤反过来运用，由已知推算未知.
关键词 高一 函数概念 有效教学
一、高一学生对函数概念学习的理解水平
（一）对基本概念、基本知识掌握不牢固
数学概念、基本知识的学习是数学学习的基础，需要正确理解概念，正确、灵活运用概念、公式解决数学问题。在这方面绝大多数教师在教学中已经作了很大努力，但考生对数学概念望文生义、臆造公式和法则，忽视双基，导致基础题丢分，成绩不理想。函数概念学习中有许多错误表现为学生认知的“惯性”。这种思维导致学生在数学概念中不知不觉地犯某种错误，表现为不恰当的推广、扩大，不恰当的方法迁移，或者在过于限制的领域内建立联系，而没有整体地去看问题，或者是对某一数学方法的偏好，而忽略其对立的方法，或者思考问题时思维的单向性、单一性。思维惯性影响低层次认知水平向高层次认知水平迁移，影响着新的认知结构的建立和发展。
（二）知识的掌握不扎实、方法不熟练
由于学习进度快，前面学习的内容没能得到及时再巩固，使大多数学生知识的掌握存在漏洞，不扎实、不系统、不牢固，在考试短时间内综合运用显得力不从心，考虑到这就忽略那，从而造成答题不完整，步骤不全、条件不全等情况。
学生在学习新概念时，常常按过去的经验、结论、方法对概念作“合理”的推广，由于没有清楚新的概念层次与原来概念层次之间的差异，所以大多数“合理”推广是错误的。但是推广是数学研究与学习极为重要的途径，是学生在同化与顺应过程中的思维构造，它可以扩展学生思维、培养学生探索能力。学生自身具有探索、创新的潜能与欲望，他们时刻自觉地在作尝试、推广工作。但他们掌握的知识毕竟有限，有时在推广时考虑不那么全面，往往会导致出错。特别是在函数概念学习中，他们同样会这样做，这种推广是人类天性与潜能，有时会导致错误，但是只要教给学生一定的方法，错误还是能尽量避免的。
（三）基本运算能力不过关
运算能力的考察在平时的考试和学习中中占有一定分量，试卷中具有非常明显的比例。由于运算不过关导致不能正确地对试题作答的情形在考生中十分普遍。计算和式子变形出错很多，公式不熟，步骤、格式不规范，该写的步骤不写，该加的条件不加，符号表达不准确等现象，造成该得到的结论没有得到，这对下一步的思考带来了障碍，使学生被一些表面现象所迷惑，对概念的理解也会出现失误，从而影响正常的判断。
二、对高一函数概念有效教学的建议
函数概念多元表征情景的创设是函数概念多元表征教学的前提。与实验教材相比，新课标中函数概念更注重多元表征情景的创设。譬如，函数具体实例表征由过去的“两个数集对应”，换成了 “解析式”、“图象”、“列表”三种对应。另外，时下数学课堂，虽注重多元表征教学情景的创设，但总体来看，很多教师只是照本宣科地由情景到情景，并没有注意或意识到函数概念多元表征情景的优化。本研究依据数学多元表征学习视角，认为优化函数概念多元表征教学情景，可以遵循以下原则。
（一）导入遵循“变量说一对应说”
函数概念经过了 200多年的发展，在演进过程中衍生多种界定，形成了不同的表征。总的来看，我国初中到高中对函数概念界定，主要遵循。变量说一对应说。因此，对于高中函数概念的教学，应该在变量说的基础上再现函数概念的发生、发展与形成过程。
（二）具体表征实例包含“式、图、表”三种表征
解析式是函数的符号表征，具有抽象性、简洁性、运算性等特点，是形成函数概念言语化表征的学习材料。图象、列表是函数的图象表征，具有直观、形象，是形成函数概念视觉化表征的必要学习材料。有关多元表征功能的研究表明，言语表征与心象表征具有互补、限制解释以及深度理解等功能，函数概念三种不同的表征形式，可以建构多元表征的学习平台，有利于促使学生学习函数概念的多元表征，并在多元表征的转换与转译中实现对函数概念本质的理解。
（三）“听、说、看、写”相结合
多次实际课堂观摩发现，许多课堂注重关注学生的“听”和“看”，这样的“填鸭式”课堂，学生极度缺乏“说”和“写”的机会，无法促进学生深度加工各种表征，多元表征的教学与学习最终只能流于形式。
双重编码理论认为，言语码和心象码可以通过不同的感觉通道获得，各种编码形式可以是视觉的、听觉的、甚至触觉的。因此，课堂上要求学生听、说、看、写等，可以促使他们从多元渠道学习函数概念，从而把握函数的多元属性。
（四）深度解释策略
从“解释策略”的角度看，目前数学概念教学中主要存在着两个缺陷：其一，以教师的解释为主，甚至许多教师独揽了解释权；其二，许多概念的解释过于形式化，。一个定义，几点注意。常常淹没了概念的本质属性。概念解释的缺乏或解释过于肤浅，都不利于多元表征的转换与转译操作的产生以及实现。
深度解释策略，主要包括教师的解释与学生的解释两个方面，而且更突出后者。这是因为，通过深度解释，学生使自己的编码外显化，通过对他人解释的内容批判性考察，学生间的个体数学知识可以相互补救，以促进和增强深层码、整合码的建构。
在函数概念的教学中，我们可以设计看图说话、积极回答问题、积极参与讨论、主动交流与分享等活动，促使学生对函数概念进行深度解释。譬如，在学习完函数的定义表征后，我们可以创设这样的深度解释机会：从宏观看，函数概念包含了哪些主要因素？从微观看，函数概念主要因素间应该满足什么条件？张同学通过观察，认为函数概念就像“加工厂”，他的这个比喻是否合理？为什么？这些问题的深度解释，能引导学生从文字表征、符号表征、图象表征等各方面进行加工、转换、转译，有利于学生整合各种表征，从而抓住函数的本质属性。
参考文献：
[1]谈雅琴."高一学生对函数概念的理解"的调查研究[J].中学数学教学参考，2007，1-2：119-121.
关键词：函数；概念教学；观察法；讨论法
以下是一个函数概念教学的案例与分析。
首先，回顾旧知识，导入新知识。以提问的方式，让学生回顾初中函数概念及正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的解析式，并在此基础上提出问题，课件显示：
对学生来讲，解决这些问题是一个挑战，因为这些函数例子的判定与学生已有的函数概念理解容易发生冲突，需要对函数概念进行深入理解。学生的主要错误可能会集中在：问题1：y=1（x∈R）不是函数，因为式子中没有自变量x；问题2：两个函数是同一函数，因为经过约分两式是相同的。
其次，发挥学生自主、探究式的学习方式。进入新授部分，教师不急于直接讲授知识，而是放开手，请学生关注书本开头部分的自学导引：
1.同学们进入新学校学习，开学初要分配座位，每一位同学指定这个班的教室里唯一一把椅子。
2.住校的同学要分配宿舍，给我们班每一位住校生指定学生宿舍区里唯一一个寝室。
3.A乘2B
4.A平方B
5.A求导数B
要求学生观察、讨论这五个例子的特点，并说说有什么共同的地方，同桌之间交流自己的想法。学生通过观察、思考、讨论，最终快速的找到答案，教师作为引导者，把学生所说的答案作图示分析，以加深学生对一一对应的理解。接着直接用文字表述出函数概念及函数三要素定义域、值域、对应法则；并指出两个函数当且仅当他们的定义域、值域、对应法则完全相同时才是同一函数。至此，顺利地引出了函数的概念。
在探究学习中，学生必须综合所学得的知识，并把它应用于新的、未知的情景中去，这就需要学生使用恰当的方法和策略，需要探索和猜想。因此，在教学中数学思想，数学方法和策略的运用显得尤为重要。数学问题的解决，作为创造性思维活动过程，其重要特点是思维的变通性和流畅性。当问题难于如手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化为一个比较熟悉或比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到对原问题的解决。当然，这就需要有正确的解题策略，而策略的培养最好的办法就是对知识的探究，自己去认识他们间的联系。但是现代心理学家倾向于认为仅仅在尝试错误中学习是不够的，正确的解题策略的产生有时还需要顿悟。
再次，巩固练习，举一反三。在做练习时，让二位同学到黑板写出“正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的定义域、值域和对应法则”。一位学生：“正比例函数定义域是正比例函数、值域是y=kx、对应法则是k≠0；反比例函数定义域是反比例函数、值域是y=k/x，对应法则是k≠0”。学生明显对函数的概念了解的不够深刻，有必要对函数的定义再巩固一下。于是，利用准备好的课件，帮助学生理解函数概念的本质：
① 函数是非空数集到非空数集的一种对应关系。
② 符号“f：AB”表示A到B的一个函数，他的三要素：定义域、值域、对应法则三者缺一不可。
③ 集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性。
④ f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样。
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2012）07B-0051-03
一、教材分析
《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书《数学》人教版八年级上册第十四章第一单元。本教学设计的是它的第2课时，是一节典型的概念课。这一课时探索量与量之间的函数关系，并用合适的函数表示方法进行描述，引导学生从生活实例中抽象出函数概念——本节课的核心内容。
函数是中学数学中最重要的基本概念之一。它揭示了数量之间相互依存和相互影响的关系，是刻画和研究事物变化规律的重要模型。函数和方程、不等式都是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系。函数概念抽象性较强，接受并理解它有一定难度，所以这是本章学习的难点。本节课是函数的入门课，通过教学让学生初步感受现实世界中各种变量之间联系的复杂性，同时感受数学研究是如何化繁就简的。在初中主要研究两个变量之间的特殊对应关系。课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生。本设计选取贴近学生生活实际的例子引入函数的概念，根据实际情境列出函数关系式，结合实例说明函数的三种表示方法。设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由一个变量确定另一变量，以及唯一确定的含义”。
二、学情分析
函数概念的教学把学生由常量数学引入变量数学，这是学生数学学习中的一大飞跃。“变量与函数”的学习对学生的认知和思维都有较高的要求，入门会有一定困难。因此，本节教学选择创设丰富的现实情景，使学生在情景中感知变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，使他们能更好地掌握函数概念。
三、教学目标和目标解析
根据课程标准的要求，本节的教学目标包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面。
1.知识与技能
（1）通过直观感知，能分清常量与变量，领悟函数概念的意义，能列举函数实例，并能写出简单的函数关系式。（2）通过对实际问题中数量之间相互依存关系的探索，学会用函数思想去描述、研究其变化规律，初步学会运用函数的观点观察、分析问题。（3）能从实际问题中确定两变量之间的函数关系，经历探索函数概念的过程，感受函数模型的思想。
2.过程与方法
（1）在实践与探索中，参与变量的发现和函数概念形成过程，强化数学的应用与建模意识。（2）体会函数思想，发展思维，提高分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观
（1）通过对实际问题数量关系的探索，学会合作学习，在解决问题的过程中体会数学的应用价值，在探索活动中获得成功的体验，树立自信心。（2）体会有关变量数学的特点，体验数学与生活有密切联系，培养观察、交流、分析的思想意识，体会函数的实际应用价值。
四、教学重点、难点
教学重点：理解和掌握函数的概念，并且能从实际问题中提炼出函数关系式。
教学难点：函数概念本质的理解及从实际问题中提炼出函数关系式。
五、教学过程设计
1.知识回顾
在学习“变量”这一节内容时，学生对常量和变量已有了一定的认识。让学生指出下面例子中的常量、变量，说出两变量之间有什么关系，给出一个变量的值，另一个变量的值是否唯一确定。
（1）y=3000-300x （2）y=x （3）S=πr2
（编写意图：通过复习引入，希望达到两个目的：一是巩固旧知识，并引导学生正确的思考方向；二是为本节讲函数定义的核心——一个变化过程、两个变量、唯一对应关系埋下伏笔。）
2.新课引入
引例1：同学们，你们知道世界上最高的摩天轮在哪里吗？它就是英国伦敦的“伦敦之眼”。这个摩天轮高135米。摩天轮转动时它上面的某个包厢位置的高低在起伏变化。下面我们来看一幅关于其高度h和时间t这两个变量关系的图像，观察图（1）。
想一想：（1）在图（1）中，找出题中的两个变量。
（2）当时间t取一个确定的值时，高度h的取值是否唯一确定？
（3）高度随时间变化而变化，即h随 的变化而变化。
（编写意图：用观察图像的方式引出问题，为用图像法表示函数埋下伏笔。设置的问题紧扣函数概念三要素，突出重点，使学生初步领会引例的意图。）
引例2：再来观看下面的圆柱堆垒，从中看出什么规律没有？
想一想：
（1）根据观察，填写下表：
（2）随着层数n的增加，圆柱的总数y是如何变化的？
（3）对于给定的每一个层数n，圆柱总数y对应有几个值？
（编写意图：使用列表法——表示函数的另外一种方式，为学生进一步学习函数打下基础。）
引例3：汽车刹车的情况如图（3）所示。在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍滑行S米，一般的经验公式S=■，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）。
（1）公式中有几个变化的量？计算当v分别为50、60、100时，相应的滑行距离s各是多少。
（2）给定一个v值，你都能求出相应的s值吗？
想一想：
（1）上面三个问题的变化过程中分别有几个变量？
（2）每个变化过程中的两个变量之间有什么关系？
（编写意图：让学生感受生活中一些变化场景与数学息息相关，揭示它们共同的本质属性：各个例子中都有两个变化着的量，且这两个量互相关联。）
3.学习新课
,性质
首先是初等函数相关问题分析:
1.绝对值函数的概念及性质
绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。
1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性
例如f(x)=a|x|+b是
定义域:即x的取值集合,为全体实数;
值域: 不小于b的全体实数
单调性:当x<0,a>0时,单调减函数;
> > 增 ;
< < 增 ;
< < 减 ;
1.2绝对值函数图象规律:
|f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像关于x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。
f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。。
1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。
2.取整函数的概念与性质
2.1取整函数是:设x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数,并用"{x}"表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为取整函数,也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)称为小数部分函数。
2.2取整函数的性质:a 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).c 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.e若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.h 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…
3.导数的概念与性质
3.1导数,是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义:当x=x0时,f‘(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。
3.2求导数的方法
(1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均变化率;③ 取极限,得导数.
(2)几种常见函数的导数公式: ① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数);⑦ (Inx)' = 1/x(ln为自然对数;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).
补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。
(3)导数的四则运算法则: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.
(4)复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
4.高等函数的概念以及含义问题
4.1一元微分
1)一元微分是设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。
通常把自变量x的增量 Δ x称为自变量的微分,记作dx,即dx = x。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 当自变量X改变为X+X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+X),如果存在一个与X无关的常数A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0关于X
的高阶无穷小量,则称A·X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。
2)其几何意义为:设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。
4.2多元微分
1)多元微分的概念:与一元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。
2)多元微分的运算法则
dy=f'(x)dx
d(u+v)=du+dv
d(u-v)=du-dv
d(uv)=du·v+dv·u
d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2
3)微分表
d(x^3/3)=x^2dx
d(-1/x)=1/x^2dx
d(lnx)=1/xdx
d(-cosx)=sinxdx
d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx
高等函数中还有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等,本文就简单的函数问题做一总结。
【参考资料】
1.复变函数论.高等教育出版社,2004,01.
2.实变函数简明教程.高等教育出版社 2005,5,.
关键词：函数；对应；映射；数形结合
1 要把握函数的实质
17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f ，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。
迪里赫莱（P.G .Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。
对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合
f С{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1) ∈f，(x，y2) ∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。
2 加强数形结合
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x =1 x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。
3 将映射概念下放
就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。
