时间：2022-04-23 11:12:39
【关键词】中学数学教育；函数思想方法；函数关系；单调性；周期性；奇偶性；
一、引言
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。函数的思想方法是贯穿于整个高中数学的一条主线.是中学数学最重要的、最基本的数学思想方法之一，故有“函数乃高中数学之纲”说法。函数的思想方法就是运用运动和变化的观点, 集合和对应的思想, 去分析问题的数量关系, 通过类比、联想、转化合理地构造函数, 运用函数的图象和性质, 使问题获得解决.
函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。
用函数的观点、方法研究问题的方法：
将非函数问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。 实
际上，函数方法就是RMI（关系映射反演则）的一个具体体现，应用函数思想方法解答数学习题的过程可用框图表示为：
二、中学数学中的函数思想
中学数学主要学习初等函数，由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示，但y=|x|是初等函数。
高中函数定义：设 ， 是非空的数集，如果按照某种确定的关系 ，使对于集合中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称为集合到集合 的一个函数 。
函数思想方法，不仅仅是使用函数的方法来研究解决函数的问题。构建函数关系式，使用函数的方法来研究解决非函数的问题应该是函数思想的核心。因此，可以认为函数思想的精髓是构建函数关系，产生使用函数方法来解决问题的思路。中学数学中，代数式、方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解；特别是高中数学教材中，函数思想的内容相当广泛。
三、函数思想方法在中学数学解题中的应用
函数思想方法的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题。二是通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。有些方程问题可以用函数的方法解答，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，而且要常常借助函数的图象进行转化。常用有以下一些方法：
（一）、利用函数的定义域,值域思想方法
例1．已知函数 的定义域为R，求实数 的取值范围。
分析：“函数的定义域是指使函数解析式有意义的自变量取值的最大范围”，
解：依题设， ，解析式有意义即“对任意x∈R都有 成立”即方程 无实根成立，分类讨论，
当 时， 满足要求；
当 时，则有 ，即 时满足要求。
综上：
例2．已知 的定义域为 ，求函数 的定义域。
解：由 的定义域为 可得 的定义域为 ，由 ，解得 或
的定义域为
（二）、利用函数的单调性思想方法
例3．已知函数 在上是增函数，求的取值范围。
分析：一元二次函数应抓住开口方向以及对称轴与给定区间端点的位置关系，特别注意对称轴与端点重合也是满足的。
解： 的对称轴为：
由题意可知：所以
例4． 比较 三者的大小.
解：
由于幂函数 在 上是严格单调增函数，所以
（三）、利用函数的奇偶性思想方法
例5. 函数 是偶函数，则函数 的对称轴是（ ）
A、 B、C、 D、
解：由 为偶函数可知对称轴为 ，由转化为
是将函数图像向左平移了 个单位， 的对称轴为
例6. 求证：
分析与证明：设 .因为
，
所以 是偶函数，图象关于 轴相对称。因为当 时， ，
所以 ，即 。
（四）、利用函数的周期性思想方法
例7．设定义在R上的奇函数且满足 ,当 时,,求 .
解： ， ，
（五）、利用一次函数、二次函数的性质思想方法
由于等差数列的通项公式是关于 的一次函数，等差数列的求和公式是关于 的二次函数（缺常数项），故可利用函数求 .
例 8.已知 是等差数列， ，求 的值.
解析：由于等差数列的前 项和是关于 的二次函数且缺常数项, 于是可设 ，则有
① -②得： ，即
∋
（六）、利用函数图象的思想方法
例9．设 ，
若 ,求实数 、 得取值范围
解：化简集合A得 , 设，， ，则 ,由 得 且 ，即区间 应分别被集合 ， 对应的区间所覆盖，作， 的图象，有
且 解得 ，
培养、提高学生解决数学问题的能力，是我们中学数学的重要任务之一。应用函数思想方法对培养、提高学生解决数学问题的能力有极大的帮助。从前面各个例题中可以看到，函数思想的精髓是构建函数关系，通过引入函数，将数学问题转化为一个函数问题，并利用函数知识和方法来处理它。
附录：【参考文献】
・ 莫里斯・克莱因,《古今数学思想》（第二册），上海科学技术出版社
・ 叶立军,《数学方法论》，浙江大学出版社
・ 《数学思想赏析》
我们知道，函数知识揭示了在运动与变化过程中，量与量之间存在的一般性规律，研究函数的性质与图象，即是探寻用运动、变化的观点来观察、分析问题的方法.因此，如果我们能够运用函数的观点、方法去考虑分析问题，根据问题的条件及所给数量关系，构造函数关系式，使原问题在函数关系中实现转化，再借助函数的图象与性质，就能化难为易，实现问题的解决.
例1 某学校广场有一段25m长的旧围栏（如图中用线段AB来表示）.现打算利用该围栏的一部分，围造一块面积为100m2的长方形草坪（即图中的CDEF，CD
（1）求出y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）若计划修建费为150元，则应利用旧围栏多少米？
（3）若计划修建费只有120元，则能否完成该草坪围栏的修建任务？请说明理由.
图1
解：（1）由题意，得y=1.75x+4.5x+4.5×2×100x=6.25x+900x（10
（2）由题意，得150=6.25x+900x.
整理，得x2-24x+144=0，即（x-12）2=0.
x1=x2=12（m），即应利用旧围栏12m.
（3）假设总费用为120元，能完成围建任务.则
120=6.25x+900x.
整理，得x2-19.2x+144=0.
=19.22-4×144
120元不能完成围建任务.
点评：本例是运用函数思想及方程知识对校园工程建设作出正确的预算，具有重要的现实意义.
图2
例2 如图2，ABC中，AB=AC=5，BC=6，矩形DEFG的顶点D在AB上，E、F在BC上，G在AC上.
（1）设BE=x，S四边形DEFG=y，求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）连接EG，当x取何值时，EG∥AB？并求出此时矩形DEFG的面积.
图3
解：（1）如图3，作AHBC于H，BE=FC=x，且BC=6，得BH=3，AH=4.由DEAH=BEBH，得DE=43x，EF=6-2x.
y=DE·EF=43x·（6-2x），y=-83x2+8x （0
（2）DE∥AH，
BDAB=BEBH，即BD5=x3，得BD=53x，
又可证BD=GC，
AG=AD=5-53x.
由EG∥AB，得BEBC=AGAC，即x6=5-53x5，解此方程，得x=2.
当x=2时，EG∥AB.把x=2代入（1）中的解析式，得y=-83x2+8x2=163.
【关键词】 函数思想，方程思想，转换
函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系。函数与方程的思想是高中数学的核心内容，也是历年高考的重点和热点，正确理解并掌握函数与方程思想对提高数学素养很有帮助。笔者就函数与方程思想的应用加以浅析。
一、掌握函数思想与方程思想的涵义
函数所涉及到的范围较广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿高中数学的一条主线，所以成为了高考的重点。函数思想就是指用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等）去分析问题、转化问题并使问题获得解决。所谓方程的思想，就是在解决问题时，通过分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知量及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
二、准确把握函数与方程之间的联系
三、应用函数与方程的思想解决问题
函数与方程的思想在解题中的应用非常广泛，函数与方程的思想方法几乎渗透到高中数学当中的每个章节，如有关不等式、最大值、最小值之类的问题，就可以利用函数的观点加以分析。我们应用函数和方程思想常见的主要有以下几方面。
1、利用函数与方程思想解决不等式问题
在不等式中往往用函数思想去理解，能起到高瞻远瞩，画龙点睛的作用。此类问题各种题型都有，主要是根据不等式与函数的密切关系，有意识的把不等式问题转化为函数问题，利用函数的图像或性质进行处理。
2、利用函数与方程思想解决数列问题
3、利用函数与方程思想解决解析几何问题
4、利用函数与方程思想解决立体几何问题
总之，在解决问题时要学会思考：（1）是不是需要把字母看作变量？（2）是不是需要把代数式看作函数？如果是函数它具有哪些性质？（3）是不是需要构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题？（4）能否把一个等式转化为一个方程？对这个方程的根有什么要求？等等这些问题。掌握函数思想的实质是建立函数关系、构造函数；掌握方程思想的实质是建立方程或方程组。高考把函数与方程思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程的思想的基本运用，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力的关系角度进行综合考查。
参考文献
[1] 张建国。《函数与方程思想在立体几何中的应用》中学生数理化高二版 2009年第6期
关键词：高中数学；函数；方程
引语
数学思想是数学知识的精髓所在，在高中阶段，数学思想的核心在于函数和方程的思想，教师只有通过引导学生们掌握函数和方程的思想，才能培养他们解决问题的能力，在看似很难的题目中探寻隐含条件，巧妙解题，简化步骤，提高解题的技巧和水平。
一：函数与方程思想分析
函数的思想核心是从函数关系里的相关性质，图形出发，继而对这些图形和性质进行分析。在具体的解题过程中，可以把题目中给出的已知条件方程和不等式问题转化为函数的问题。简单来说，就是将方程问题转化为函数问题的过程，可以依据函数图象，性质的判断为求解提供条件支持。在实践教学过程中发现，如能将题目中的超越不等式，不等式恒成立问题，求解方程根的问题和函数思想相结合，就能很快找到解题思路，简化解题步骤，有着重要的意义。方程思想的和谐是以函数的关系作为出发点，建立和函数有关的相应表达式，再通过所建立的方程表达式做进一步的分析，求解相关问题的答案。简单的说，就是从函数问题向方程问题进行转化的过程，可以把一般的y=f（x）函数变为f（x）-y=0。在具体解题过程中，对二元方程组的应用较为普遍，特别是涉及到圆锥曲线，直线，函数值域等问题时，运用方程的思想可以使解题事半功倍，取得良好的效果。
二：函数与方程例题分析与点评
为了让大家清楚能够较为清晰的了解函数和方程的关系和解题方法，我们通过下面的例题来分析解题实际中函数和方程应用的情况。
例题：x1满足2x+2x=5的条件，同时x2满足2x+log（x-1）2=5的条件，求解x1+x2的取值。该例题中所涉及到的核心思想是通过建立函数关系的方式，以建立的函数性质和图象作为切入点来解决具体问题，下面我们具体分析一下这道题，可以帮助我们理解构建函数，建立方程和整体运用的情况。
从例题中我们不难看出x1和x2给出的满足条件都属于超越方程的类型，这种方程的特点是方程根无法通过直接计算得出，要寻找两个方程间的联系，所以需要对两个方程进行一定的函数转化。所以首先要确定方程1为2x+2x=5，再对方程1进行转化，方程左右同时-2x，再同除2，转化为2x-1=5/2-x。然后将方程2定义为2x+log（x-1）2=5，对方程2也采用同样的转换方式，左右同时-2x，最后转化为log（x-1）2=5/2x。然后我们对转化之后的方程1，2进行一定的分析，将其转化为函数的模式，建立相关函数。把方程1看做是a（y=2x-1）和b（y=5/2-x）在坐标轴里相交点m的横坐标值，把方程2看出是c（y=log（x-1）2）和d（y=5/2-x）在坐标轴内n点的横坐标值。
通过上述构建的函数可知，方程1对应的函数a和方程对应的函数c可以做进一步的处理，即a是y=2x这函数向右平移一单位所得到的，同理c函数是y=log2x函数向右平移一单位得到的。所以可以确定方程1对应的函数b和方程2对应的函数d为互相垂直的关系。通过图像可以得出两者的交点坐标为（7/4，3/4）、再通过m，n点相对远点的关系，得出x1+x2=7/2。至此，这道题就解答完毕，从此题来看整体的运用，就是当无法通过方程直接得出答案的时候要考虑函数的应用，反之则要考虑方程的应用，将二者有机的结合，灵活的运用，定能很好的解决问题。
总结
函数和方程思想是高中数学最为重要的内容之一，也是数学高考中的重点，为了培养学生利用函数和方程解答问题的能力，教师在教学过程中应该时常引导学生对课本中，练习中的函数思想有一个较为清晰的认识和理解，学会把函数和方程的思想作为解题的切入点。在实际解题过程中能够灵活转化，分析问题，擅于挖掘隐含条件，最后完美的解答问题。
参考文献：
[1] 陈琳；高中数学中函数与方程思想的研究[J]数理化学习2013（6）
【关键词】 巧用；函数思想；数学；问题
函数思想是数学解题中至关重要的思想方法，它涉及知识点多，覆盖面广，综合应用强，解法灵活多样，对于培养学生思维深刻性、灵活性和创造性，提升学生思维品质，培养学生良好数学素养有着积极的作用。对此，笔者从自身教学实践出发，就如何在数学教学中引导学生巧用函数思想妙解数学问题略谈了如下看法，以供参考。
一、利用函数定义，有效解决数学问题
函数的基本定义是：设A、B是非空数集，若根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
函数定义是学生学习和掌握函数知识的重要基础。灵活运用函数定义解决数学问题，既可以深化学生对函数概念的理解，又可以提高学生应用函数定义解题意识，发展学生的思维能力。许多学生在解函数问题时感觉束手无策、无从下手，究其主要原因是学生对函数定义理解不透彻、把握不当，因此，在平时教学中，教师要注意强化函数概念，增强学生解题能力。
例1 若f（x）与g（x）都是定义在R实数集上的函数，且方程x-f[g（x）]=0有实数解。则g[f（x）]不可能为（ ）.
A.x2-1/5 B. x2+1/5 C. x2+x-1/5 D. x2+x+1/5
解析：此题乍看之下学生可能无从下手，但若能结合函数定义，则可使问题豁然开朗起来。方程x-f[g（x）]=0有实数解，设解为a，将其代入得a-f[g（a）]=0，把方程看成函数，这样a-f[g（a）]=0可理解成在g（x）定义域中存在元素a经过映射g，设对应的象为b， b经过映射f后，在f（x）的值域中存在a与之相对应。这样对于g[f（x）]而言，函数定义可知存在b，使得g[f（b）]=b成立，即方程g[f（x）]=x有解，将上述选项中的答案逐一代入进行验证，可知g[f（x）]不可能为x2+x+1/5，故应选D.
例2 已知集合M={a， b， c}，N={-2，0，2}，求建立从M到N且满足f（a）+f（b）+f（c）=0的函数f个数。
解析：许多学生在解答本题时，往往束手无策，不知如何下手。事实上，本题的解题突破口是正确理解f（a）+f（b）+f（c）=0这一函数。根据函数的基本定义，不难发现，f（a），f（b），f（c）三个函数均是属于集合N中的元素，因而此题可以转化为从N中可任意取3个元素（可重复）满足f（a）+f（b）+f（c）=0这一已知条件。由于每个式子对应着一个函数关系，又由于f（a）+f（b）+f（c）=0的表达式仅有0+0+0=0或-2+0+2=0，因此，满足题意要求的函数f个数为：A33+1=7.
点评：在解某些数学问题的过程中，灵活巧妙地运用函数定义解题，往往可以收到事半功倍的效果。
二、把握函数性质，灵活解决数学问题
函数基本性质主要包括了函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等方面。在解某些问题时，若能善于挖掘问题的隐含条件，有效构造函数，灵活巧妙地运用函数性质，往往可以达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题迎刃而解。因此，在平时函数教学中，教师要注意引导学生正确理解函数性质，把握好函数内涵外延和本质特征，为数学解题奠定良好的基础。
例3 设x， y∈[-π/4，π/4]，a∈R，且x3+sinx-2a=0，4y3+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值。
解析：此题若直接从三角变换角度进行分析和处理，往往难度较大，不易下手。但若能变换视角，转变思路，将两个方程变形为：x3+sinx=2a ①；（-2y）3+sin（-2y）=2a ②；结合两方程结构特征，可构造函数f（a）= a3+sina，联立方程①②可得f（x）=f（-2y）.而f（a）在[-π/2，π/2]上单调递增，故x=-2y x+2y=0 cos（x+2y）=1.
点评：对于有些数学问题，条件中有时给出的是不具备特殊性质的函数，此时若构造适当的函数，将条件适当变形，再巧用函数性质解题，往往会使问题“柳暗花明”，得以轻松获解。
三、结合函数图象，轻松解决数学问题
函数图象是函数的基本表达形式之一，是研究和表述函数的重要工具，它将函数的变化趋势直观化，以图形的形式直观地展现函数的性质特征，借助函数图象的直观性解题，可以简化解题过程，使问题得以轻松获解。
由x>0得a≥-（x+1/x）对于0
点评：巧妙地结合函数图象分析和解决数学问题，往往可以使一些看似复杂的问题变得简单化，从而迅速找到问题的突破口，巧妙求解。
总之，函数思想贯穿于数学教学中，具有一定的广泛性、多样性、灵活性、创造性等特点。在平时教学中，教师应重视函数思想的有效渗透和灵活运用，引导学生充分挖掘数学问题中隐含的函数思想，学会巧用函数概念、性质、图象来分析、转化和解决问题，从而帮助学生掌握函数思想，提升学生思维品质，增强学生数学解题能力。
【参考文献】
[1]龙婷.运用函数思想解数列问题[J].中学生数学 2015年21期
[2]吴丽华.浅谈函数思想在数列中的应用[J].中学数学 2015年21期
一、分类讨论思想
分类讨论思想就是根据问题可能存在的情况，进行分类讨论，从而解决问题的一种数学思想。这是一种重要的数学思想，对培养思维的周密性大有好处。在分类讨论时应明确标准，不重不漏。
已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函数y=的图像上，且x1＞x2，比较y1与y2的大小。
分析 讨论反比例函数图像的增减性有一个前提条件：x在哪一象限内，而已知条件中点是否在同一象限不确定，所以要分类讨论。
解 （1）当两点在同一象限时，即当x1＞x2＞0或0＞x1＞x2时，由于k＞0，所以y随x的增大而减小。因为x1＞x2，所以y1＜y2；
（2）当两点不在同一象限时，即当x1＞0＞x2时，因为k＞0，x1＞0，所以y1＞0。同理y2＜0，所以y1＞y2。
点评 比较函数值的大小问题时，若反比例函数y=中的k的符号不确定时要进行分类。
二、数形结合思想
数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。
如图1，正比例函数y1=k1x的图像与反比例函数y2=的图像相交于A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BDx轴于点D，且SBDO=4。过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。
（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式；
（2）结合图像，求出当k3x+b＞＞k1x时x的取值范围。
分析 （1）因为SBDO=4，由k的几何意义得y2=。由A点可得y1，由A、E两点可得y3。在第（2）问中，就是求y3＞y2＞y1时x的取值范围，要结合图像，通过观察直接写出结果。
解 （1）y1=x；y2=；y3=-2x+10；
（2）x＜-4或1＜x＜4。
点评 对第（2）问，以形助数观察出结果很重要，不要去解不等式，直接观察图像就可得出答案，这也是解这类题的通法。
三、方程思想
方程思想就是根据所要解决的问题建立方程模型。
如图2，P1是反比例函数y=（k＞0）图像在第一象限的一点，点A1的坐标为（2，0）。
（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，P1OA1的面积将如何变化？
（2）若P1OA1与P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标。
分析 第（2）问中有正三角形，可想到作正三角形底边上的高：作P1COA1于C，作P2DA1A2于D。先求出P1的坐标，则函数的解析式也就知道了。若能表示出P2的坐标，则可代入函数解析式列方程求解。
解 （1）P1OA1的面积将逐渐减小；
（2）作P1COA1于点C，因为P1OA1为等边三角形，
所以OC=1，P1C=，所以P1（1，）。
把点P1的坐标代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=。
作P2DA1A2于点D，设A1D=a，则OD=2+a，P2D=a，所以P2（2+a，a）。
把点P2的坐标代入y=，得（2+a）a=，化简得a2+2a-1=0。
解得：a=-1±。
因为a＞0，所以a=-1+。
所以点A2的坐标为（2，0）。
点评 若把图2中的两个正三角形改为正方形或等腰直角三角形，仍可列方程求解。
四、转化思想
转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解决的一种数学思想。
如图3，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为（ ）
A.3 B.
C.2 D.4
分析 连接AO、BO，将SABC转化为SABO，然后运用k的几何意义求解。
解 因为AB∥x轴，所以ABC与ABO同底等高。
一、充分利用教材中的素材，渗透函数思想
小学数学的学习中，也有很多涉及到函数思想。老师不仅要在教学过程中挖掘其内容涉及的函数思想，更需要做好相关教学设计。只有有意识地将其中的函数思想渗透在教学中，才能产生良好的教学效果。例如，在长方体的体积教学一课中，长方体的体积公式为：V（体积）=a（长）×b（宽）×h（高）。这就是一个三元一次函数。如果仅是进行公式代入计算教学，学生无法深刻理解和灵活应用。因此，要将函数思想在“量、估、算”等活动中体现：师：（黑板上贴纸条，长10厘米。另一根长度不明的纸条贴于下方，两根纸条一端对齐），同学们，这纸条长lO厘米，你能根据它的长度估计下面的纸条有多长吗？生估计。师：说说你们的方法。生：可以比较一下，下面这根的长度大概为上面的3倍以上。（请另一位学生上台测量，结果为35厘米。对估计比较准确的学生予以鼓励）师：（将已知长12.5cm，宽8em面积100cm2的长方形贴于黑板，下面贴要估计面积的长方形），上面这个长方形面积100平方厘米，你能据此估计下面的长方形面积吗？生估计。师：说说你们的方法。生：上面这个长方形的长是下面的3倍少一点，宽也是大约3倍。所以下面的长方形面积约为900cm2，（请另一位学生上台测量，结果875平方厘米，估计比较准确。）师：（出示两个长方体，一个已知长3cm，宽7cm，高10cm，另一个未知），这个长方体的体积是219cm3，你能据此估计一下另一个盒子的体积吗？
老师拿着盒子走进学生以让学生近距离观察，进行估测、记录。最后具体测量，公布结果。统计估计较准确的人数。（很少）师：都是通过已知的估计未知的，为什么对体积的估计会比较难？生：估计长度时只需比较长，估计面积就涉及到长和宽，体积则要比较长宽高三个方面。估计的数越多，就越不准。生：长方体的长、宽、高只要有一样变动了一点，相乘算出的体积变化就非常大了。可见，学生可以分析出，面积是两个变量决定的，体积由三个变量决定。再加上乘积关系，学生都体会到了只要其中一个变量变化一点点，就会较大程度影响最后的结果。这样初步的认知，是对f（x，y，z）=xyz这一函数模型中因变量与三个自变量存在的关系的感知体验过程。
其实小学教学中很多内容都有涉及函数思维。这需要教师不断琢磨教学内容，深入分析理解，才能合理应用于教学设计。而深入渗透的教学设计，才能真正挖掘教学内容的深层作用，让学生充分理解函数思想。
二、将静止的问题改造成运动、变化的问题，渗透函数思想
计算占小学数学教学内容的很大篇幅。如果能把死板的计算，变得生动，蕴含变化，学生则更能感受到函数思想的魅力。如，小学一年级的上册，教学中涉及到的计算问题：+2=6，教师只需把“+”和“2”灵活变化，如：=6。中填运算符号，中填两个数字，小小的计算题，经过改造，就从静止中有了变化，从而渗透了函数思想，开拓了学生的思维，全方面培养、挖掘学生的数学分析能力和潜力。以下为相关教学片段：师：（黑板上贴=6一题）同学们，今天我们来看一道有趣的计算题，想想在的位置能填什么运算符号？生：可以填加号也可以填减号！师：如果填加号，第一个里能填哪些数字？生：1到5都可以。生：0也可以1 6也可以。因为6+0=6，0+6=6。师：（在第一个口中填上1，请学生上台填第二个的数字）。生填5。师：只能填5吗？还有其他数字可以填吗？生：只能填5.因为只有1加5才等于6，1加别的数就不等于6了。师：第一个口中的数字变成2，还能在第二个中填5吗？生：不能，要填4，因为2+4=6。师：第一个的数字变成3呢？生：第二个填3。师：第一个填4呢？生：第+就填2。师：通过填数，你发现了什么？生：第一个数改变了，第二数也要跟着变。生：第一个数变大，第二个数就变小。生：第一个里的数加了1，第二个口里的数就会减1。如果是第一个减1，第二个则加1。因为一年级只学了简单的加减运算，而高年级将学习乘除等复杂运算，所以这样类似的计算模型练习，可以应用到每个年级段，根据不同年级学习的运算知识做相应调整。这样有趣的填空探究游戏，学生不同程度地理解了函数涉及到的变量知识，以及其与未知数的不同：任意变换变量，未知数就可以根据变量唯一固定。这一计算模型练习，可以为将来学习方程打好基础。另外一个典型的例子在五年级的下册教材，其中一道练习题如下：一张长方形纸，长18cm，宽13cm。分别在四个角剪除四个正方形，边长都为1cm，剩下部分折出无盖的长方体，则这个长方体的容积是多少？这是一道可以拓展空间思维的计算题，虽然比较简单，但如果教师可以探究出其中的函数思想，稍作改造，将是个很好的例题：一张长方形纸，长18cm，宽13cm。分别在四个角剪除四个正方形，剩下部分折出无盖的长方体。请你假设出其中一种剪法，并计算剪后长方体的容积。在学生多种剪法的归集后，可以让学生自己发现规律。即剪除正方形的边长不同，纸盒体积也不同。并且，这种变化是有规律的――先变得快，后变得慢。这样难得的例题，可以让学生多重.体验二次函数的变化规律，对极值有了初步感知。可见，只要教师肯动脑筋，都可以把教学素材中一些算术问题做点变化，让学生充分体验函数知识的乐趣！
三、巧用数学游戏。渗透函数思想
以上例子中，都是在教学的具体例题练习中挖掘函数思想，进行相应变化让学生初步感知的例证。其实，在课堂教学外，老师也可以利用数学游戏，让学生体验函数的相关知识。
1.巧用数学游戏，让学生感受字母语言的优越性。数学语言无处不在，学生使用数学语言，能锻炼其抽象逻辑思维，开拓想象。比如简洁的字母就可以代表很多变量，做表格可以理清数学规律，直观的图像更能让学生易于理解相关知识，这就是数学语言的魅力。在数学语言中，学生更是在无形中体会数学的变化、数学知识中各数量的联系以及相关的规律，等等。下面就字母这一数学语言举例说明数学游戏的设计：让学生在心里想好一个数字，用这个数加上5，再乘以2，减4，除以2，最后减去所选的那个数，学生发现，无论选的哪个数字，最后结果都是3！这样神奇的游戏，能激发学生的探究兴趣，经过不断实验验证，学生更加想找出原因以及肯定答案，但数字无穷无尽。是无法一一举例研究的，在教师引导下，学生开始应用字母来代表任意数字，进行相关演算：设所选数为x， 1x+5： 22（x+5）； 32x+10-4=2x+6； 4（2x+6）/2=x+3： 5x+3-x=3！小小的一个规律，通过简单的一个字母，就可以进行验证推理最终得以肯定。这样有趣的探究过程，学生不仅能体会到数学语言的魅力，更渗透着初步的函数思想，能让学生了解函数的巨大力量！
一、理清数列与函数的关系
从函数观点来看，数列是一类定义在正整数集或的有限子集｛1，2，…n｝上的一些特殊函数，当自变量从小到大依次取值时，an即为所对应的一列函数，而数列的通项公式、求和公式也就是相应函数的解析式。可见，任何数列问题都蕴涵着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。特别地，对于等差数列的前n项求和公式与二次函数联系相当紧密，一般都是按照求二次函数的最值方法来求数列前n项和的最值问题。同时，等比数列的通项公式及前n项求和公式也与我们非常熟悉的指数函数联系相当紧密。
二、巧助函数解析式解决数列问题
数列是特殊的函数，由已知的函数解析式巧解数列问题是函数与数列交汇的基本形式体现。一般地，解决此类问题，主要是要对数列的通项公式及前n项和公式的特殊函数关系这一概念的理解与分析，进而合理地找到解决问题的主要思路和方法。
例1设函数f（x）=，求和s=f()+f()+…+
f()。
解析：我们知道，函数f（x）=具有一个重要特性，即
f（1-x）+f（x）=1，因此可利用这一特性解决求和的相关问题。
解：因为f（x）=，所以f（1-x）===，
所以由f（1-x）+f（x）=1可知，有
s=f()+f()+…+f()， ①
s=f()+f()+…+f()。 ②
①+②得2s=2001，
即s=。
三、借助函数性质解决数列问题
函数性质是函数特征的显性反映，深入了解并利用函数的性质可以大大简化解题过程，会收到事半功倍的良好效果。如函数的单调性、周期性、奇偶性以及函数图像等特殊性质在数列中应用非常广泛。数列的通项公式就是一个函数表达式，求数列的最大项和最小项需要分析数列的函数性质，找准单调区间，或画出图像观察最高点和最低点。求数列的最大项或最小项时，通常有两种方法：一是考查数列的单调性；二是做出数列的点列图形。通过下面这些问题的分析，不但可以使学生进一步巩固函数的性质，而且可以提高学生解决数列问题的能力，进而培养学生全面分析问题与综合应用数学知识解决问题的能力。
例2等差数列｛a｝中，Sn是它的前n项和。已知a5=10，Sn=3，求证：数列｛Sn｝是单调递增数列。
解析：本题主要考查了数列的通项公式、前项和及函数性质，因此可先求出，再利用二次函数的性质来考虑单调性。
证明：设等差数列的公差为d，则利用等差数列的通项公式易得a1=-2，d=3，将其代入前n项和公式中有Sn=n2-n=（n-）2-。
设Sn对应函数为：y=（x-）2-，
则由二次函数性质易知当x≥时，函数y=（x-）2-为增函数。
所以，当n≥2时，有Sn+1≥Sn。
另一方面，由Sn=（n-）2-可知Sn的最小值在n=1时取得，即（Sn）min=S1，从而有S1
所以，数列｛Sn｝是单调递增数列。
四、结合函数图像解决数列问题
通常，函数图像是函数特征的直观体现，利用图像解决数学问题（数形结合）是我们经常采用的手段。因此，在解决数列问题时，我们利用数列通项公式、前n项和公式中所反映的函数图像来解决问题，常常会起到意想不到的效果。
例3 已知an=，则在数列｛an｝的前30项中，最大项和最小项分别是（ ）。
A. a1，a30 B. a1，a9 C. a10，a9 D. a10，a30
解：通过常数分离，可将an=分离为部分分式an=1+。
如图所示，类似反比例函数的图像，显然a9最小，a10最大。故选C。
通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视函数思想的渗透，应该把函数概念、图像、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高。另外，对上述问题还有许多其他的解法，我们应注意引导与发散，从而进一步提高学生分析问题与解决问题的能力。
关键词：高中数学函数；数形结合；思想渗透；教学；原则；方法策略
所谓数学思想就是对数学理论与数学事实的本质认识及融合，它具有高度的抽象性与整合概括性。可以说，数学概念体现数学思想，数学思想概括数学概念，二者相辅相成。有学者就认为，数学思想就是一种理性认识，它是对数学知识及方法的本质阐述，属于基于数学规律阐述的理性认知范畴。在高中函数教学中，教师应该渗透更多数学思想，而不是单纯教学数学方法，这对学生更深层次掌握并灵活运用函数知识非常重要。
一、关于“数形结合”的应用原则
数形结合拥有自己独立的思考体系，它除遵循最基本的数学教学思想原则外，还遵循以下两点原则：首先就是等价性原则，它表示数的代数性质应该与形之间形成几何直观间转化，二者应该呈现等价关系，换言之问题中所反映的数与形必须拥有一致性。举例来说：问在方程[x13=2sinx]中有多少个实根？在做该题目前学生需要制作函数[y=x13、y=2sinx]的函数图，由于两个函数都属于奇函数，所以学生只需要做[x≥0]的函数图部分即可。这就是数形结合思想渗透给学生的学习意识，学生必须明确函数学习中各个函数的基本性质、特征，然后根据题目所提出的条件来作出回应，节省解题时间，这也是对学生函数基础知识的一次考察，是对等价性原则的最好诠释。
其次是简单性原则，它代表了学生所必须学会的数形转换能力，即学生在转换函数曲线与数学方程时要尽量让几何图形清晰美观，而让代数计算更加简单明了。再举例来说，假如有函数[fx=ax-x-a（a>0且a≠1）]，函数中有两个零点，求a的取值范围。
该题目在解答时应该给出条件[gx=ax（a>0且a≠1）hx=x+a]，然后给出[a>1]和[0
[O][x][y][1][01]
图 [01]时函数图像（右）
由于函数方程中具有两个零点，所以这就说明在函数[gx、hx]中就有对应的两个不同交点。从对图1的观察中可以发现，当[a>1]时是符合题目要求的，所以实数[a]的取值范围应该是[a>1]。
通过对此题的解析可以发现，自变量x应该在指数位置，如果运用一般代数方法可能无法解题，如果采用数形结合思想解题，就可以将题目简单化，将抽象的代数形式转化为直观的函数曲线图形，这就遵循了数形结合所倡导的简单性原则，利用几何图形解释了函数代数运算中的深刻规律。
二、在高中函数数学教学中渗透数形结合思想的教学策略
函数教学具有一定复杂性和系统性，利用数形结合思想渗透方法是希望将教学过程简易化，进而加深学生对学习内容及过程的认识，体现数形结合渗透思想的有效性。为此，本文希望给出两点教学策略，希望帮助高中生更好学习函数知识。
（一）强化高中数学函数的多种表征方式与转换
传统高中函数教学中，数与形的教学学习过程与理解过程都是分开的，并没有实现有机结合，但实际上其教学过程中是存在函数文字、图形及符号的三语言转换过程的。因此如果仅以概念中的数形分离理解来教导学生必然会让他们对函数性质及解题方法产生歧义，难以深刻并全面理解知识内涵。基于此就必须帮助学生真正掌握有关函数的基本性质，特别是培养他们实现函数中3种语言有效转换的解题能力。举例来说，在“函数的单调性”一课教学过程中，教师就可以首先提出定义“如果对于区间I内的任意两个函数值[y1、y2]，当[y1
（二）重视函数模型之于教学的重要作用
如何将函数知识留在学生脑海里，教师可以采用函数模型来实现这一教学思路，这也是一种典型的数形结合方法。为学生树立模型概念，一方面可以将函数中许多抽象的思维概念具象化，一方面也能帮助学生记住函数模型，让他们每当解题时就将模型与题目联系起来，形成良好的解题思路，例如从几何直观角度来把握函数，激发学生对函数学习的兴趣，同时也鼓励学生自己画简单的函数模型，将数形结合思想切实反映到函数学习当中，观察函数的变化过程。
比如说，高中所学习的“双勾函数”[y=x+ax]中，许多学生都不知道该函数的来历，此时教师可以引导学生画出[y=x+1x]函数的图像，再配合几何直观角度来理解该函数，最后研究双勾函数的相关图像。另外，也可以根据D像观察来让学生明白双勾函数的基本变化状况与性质，再引导他们通过代数角度来验证函数。如此方法教学可以让学生深刻记住双勾函数及其它的函数模型，进而逐步实现对函数本质的深层次理解，在潜移默化中培养学生数形结合的能力，也体现了渗透数学思想对于高中函数教学的重要性。
三、总结
本文简单描述了有关高中数学函数教学中的数形结合数学思想渗透方法，并阐述了它对于提高函数教学质量的重要作用。作为教师应该明确突出“数形对应、数形转化以及数形分工”在教学过程中的应用和衔接过程，以全局着眼来提高函数教学层次水平，为学生深层次理解函数知识提供了优良条件。
参考文献：
一、应用实例讲解数学思想
数学知识的学习与掌握必须由听讲、练习、复习等过程巩固，数学思想方法必须经过反复的练习才能让学生真正领悟。通过反复的练习、逐步完善才能让学生形成利用数学思想方法解决问题的意识，构建自我数学思想方法解题系统。函数章节作为高中数学教学的重要组成部分，开展函数教学，重点培养学生的分析、综合思维方法，有利于学生依据已知条件，分析、讨论对知识进行整合，帮助学生建构整体的数学思维，提升学生进行自主学习获得的成就感。
解析：这是一道较为典型的函数例题，老师根据数学思想的要求传授学生解题的方法，也可以依据这一道例题对其它相关例题的解题方法进行概括性的讲授，确保学生遇到这类题目可以快速、准确的找出解题方法。
本例题构造出奇函数g（x），再借助奇函数定义解题非常容易。这道例题也展现出构造的数学思想，实际解题时，我们一般会构造一个比较熟悉的模式，从而将不熟悉的转化为所熟悉的问题进行思考、解答。例如，学习三角函数时，经常会运用辅助角公式构造一角一函数已有的模式。由此可知，构造法有助于学生多方位的思考问题，对提升学生学习的深度和广度具有重要意义。
二、应用数形结合思想
数形结合作为数学解题中比较常见的思想方法，运用这种方法可将部分抽象的数学问题转变成可直观的内容，促使问题求解的问题更加简洁。
解析：数形结合思想是数学教学的重要思想之一，主要包括“以形助数、以数辅形”这两方面的内容，求解几何问题也是研究数形结合的重要手段。同时，在求解方程解的个数及函数零点问题中也能应用。以形助数和以数辅形可以让繁杂的问题变得更加直观、形象，提升数学问题的严谨性和规范性。因此，对部分抽象的函数题目，数学教师应正确引导学生运用数形结合的思想方法，使得解题思路峰回路转，变得清晰、简单。
三、应用分类讨论思想
分类讨论思想就是依据数学对象本质属性的共同点与不通电，把竖向对象划分成多个种类实施求解的一种数学思想。高中数学函数章节教学中使用分类思想方法，有利于学生形成缜密、严谨的思维模式，养成良好的数学品质。解决数学函数问题时，如果无法从整体角度入手解决问题，可以从局部层面解决多个子问题，从而有效解决整体的问题。
分类讨论就是对部分数学问题，但所给出的对象不能展开统一研究时，必须依据数学对象本质属性的特点，把问题对象划分为多个类别，随之逐类展开谈论和研究，从而有效解决问题。对高中数学函数进行教学过程中，经常根据函数性质、定理、公式的限制展开分类讨论，问题内的变量或包含需要讨论的参数时，必须实施分类讨论。高中数学教学中，必须循序渐进的渗透分类思想，在潜移默化的情况下提升学生数学思维能力和解决问题的能力。
解析：本例题解法可以根据函数图象，借助偶函数图象关于y轴对称进行解决，也可以根据两个变量所处的区间，展现出分类讨论的思想。对复杂的问题进行分类和整合时，分类标准与增设的已知条件相等，完成有效的增设，把大问题转换成小问题，优化解题思路，降低解决问题的难度。
四、结语
总之，高中数学函数章节是整个数学教育的重要部分，对其日后学习高等函数发挥着重要作用。高中数学函数知识涵盖多种数学思想方法，数学思想方法是解决数学问题的钥匙和重要工具，因此，数学老师必须对函数实施合理的教学，让学生更全面的掌握数学教学思想方法，从而提升学生的综合思维能力。
参考文献：
关键词：高中教学 函数教学 教学思想 方法浅谈
一、前言
数学思想从本质上是对数学的事实以及理论进行深刻的了解和学习，从而能够概括数学知识。对于数学思想来说，数学方法是用来表现数学思想的工具和手段，不仅如此，数学思想是依靠数学方法在数学认识活动中的反映从而体现出来的。
二、数学思想方法的定义
数学思想方法是一种对问题的分析以及探索的技巧，是更好地解决问题的一种思路，同时也是为更好地分析及解决问题提供的一种有效的、具有很强可操作性的数学解题方法。
三、数学思想方法运用的重要意义
对数学思想方法的运用是全民推进素质教育的需要。全面地推进素质教育是在我国当代教育中比较重要的一项任务，从现在的高考试题来看，它重点考查的内容是学生对知识理解的准确性、深入性以及灵活运用的能力。对于学生的考查更加注重于数学思想方法以及数学能力，所以说数学思想方法在高中函数教学中的应用具有重要的意义。
四、高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用策略
通过典型例题的讲解，对数学思想方法进行应用通过对一些典型的例题的讲解，可以使学生对一些题目的具体解题方法以及思路进行掌握，对于类似的问题可以快速地找到解答的思路以及方法，进而对数学思想方法进行运用。
而老师根据数学思想的要求要对一些解题方法进行传授，所以可以根据这一例题对相关的其他的例题的解题方法进行一个概括的讲解，进而使学生在遇到类似的问题时能准确快速地找到解题方法。通过举一反三的方法，对数学思想方法在函数教学中进行应用数学思想方法要求学生有很好的解题方法，所以在对函数进行讲解的时候就可以运用举一反三的方法，对一些题目进行反复的训练，进而使学生对题目的解题方法有一个更加全面的理解和掌握。
五、函数与方程思想
函数与方程思想是中学数学函数的基本思想，在中高考中，常常以大题的方式呈现。函数是对于客观事物在运动变化过程中，各个变量之间的相互关系，用函数的形式将这种数量关系表示出来并加以解释，从而解决问题。函数思想是指采用运动和变化的观念来建立函数关系式或构造模型，将抽象的问题运用函数的图像和性质规律去分析、转化问题，最终解决问题。
六、数形结合的思想方法
数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法。它将抽象的数量关系用直观的方式在平面或空间上呈现出来，也是将抽象思维与形象思维结合起来解决问题的一种重要的数学解题方法。华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”有时仅从数量关系”中观察很难入手，但如果把数量关系转化为图形，并利用其图形的规律性质来确定，借助形的明了直观性来描述数量之间的联系，可使问题由难转易、化繁为简。
七、分类讨论思想方法
分类讨论思想是一种“化整为零， 积零为整”的思想方法。在研究和解决某些数学问题时，当所给对象无法进行统一研究时，就需要我们根据数学对象的本质属性的异同特点，将问题对象分为不同类别，然后逐类进行讨论和研究，从而达到解决整个问题的目的。
在高中数学函数教学中，常用到的如由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论等。
八、集合思想
集合是指由一些特定的事物组成 的整体，而这些事物中的每一个称为这个集合的一个元素。将集合思想融人到高中函数教学中，培养学生的集体意识，并利用高中数学重要特点――严谨性，在逻辑用语中教会学生认真看清楚题目。理解题 目的意思，并能够从题目中给出的条件推敲出其他的条件，能够分析哪些是有帮 助的、哪些是误导自已的。将有帮助、有用的条件归为一个整体。从而为成功解题做好铺垫。
九、高中数学教学应如何加强数学思想方法的渗透
1.提高渗透的自觉性
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学 知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此，作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时 纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数 学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。
2.把握渗透的可行性
数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法 教学的契机――概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。 同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学 知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。
3.注重渗透的反复性
数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。如通过 分数和百分数应用题有规律的对比板演，指导学生小结解答这类应用题的关键，找到具体数量的对应分率，从而使学生自己体验到对应思想和化归思想。其次要注意渗透的长期性，应该看到，对学生数学思想方法的渗透 不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。
十、结束语
高中数学的函数部分在整个高中教育部分都很重要，甚至对将来的大学高等函数都起到一定的基础，所以老师们要对函数进行有效教学，让教学思想方法更加全面。
一、运用数形结合解答二次函数章节问题
“数形结合百般好，隔裂分家万事非.”数形结合思想抓住了数学学科数学语言的抽象性和平面图形的直观性特征，通过“数”“形”互补，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.通过对二次函数章节内容的整体研析发现，二次函数章节知识点的抽象内容，通过图象的直观画面进行展示，同时借助图象反映出来的性质内容，进行二次函数问题的有效解答，达到变繁为简，优化解题途径的目的.
图1问题1：有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m.水位上升3 m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10 m.若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
在该问题的教学活动中，如果单纯对问题条件内容进行分析，学生在理解抽象性的数学语言符号时，解决问题就有一定的难度.此时，教师利用数形结合的解题思想，根据问题条件内容，采用“以形补数”的形式，做出如图1所示的图形，这样，学生可以借助于图形的直观性和语言的精确性等特性，在对问题条件及解题策略的分析和找寻中变得更加“简便”、“易行”.
二、运用分类讨论解题思想解答二次函数章节问题
分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，本质就是“化整为零，积零为整”，增加题设条件的解题策略，它能够有效提升学生思维活动的严密性、科学性和全面性.在二次函数问题案例教学中，分类讨论的解题思想有着深刻的运用.如在确定二次函数一般式y=ax2+bx+c图象与x轴的交点个数时，就运用到了分类讨论的解题思想：Δ=b2-4ac，当Δ>0时，二次函数一般式图象与x轴交于两点；当Δ=0，图象与x轴交于一点；当Δ
图2问题2：如图2所示，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别是（6，0），（6，8），动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒一个单位的速度前进，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP垂直于BC，交AC于点P，连结MP，设运动时间为t秒.（1）求点P的坐标；（用含t的字母代数式表示）；（2）试求MPA的面积最大值，并且求此时t的值；（3）请你探究：当t为何值时，MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的探究成果.
分析：上述问题案例的第三小问题的解答过程中，实际就是蕴含了分类讨论的解题思想，需要对MPA的三边情况分类讨论，分别确定当MP=PA时、PA=AM时以及MP=AM时的三种情况下，t的取值范围.
三、利用函数特性，运用函数方程解题思想解答二次函数章节问题
二次函数章节作为函数教学的重要组成部分，它不仅是一次函数、反比例函数的有效延伸，更是三角函数、指数函数等高中阶段函数知识的有效基础.同时，通过对二次函数章节内容的整体分析，可以发现，二次函数与一元二次方程、二元一次不等式之间有着密切的联系.在解答该类型问题中，教师可以渗透函数方程解题思想策略进行解答问题活动.
问题3：设关于x的方程 x2-mx+4=0在[-1，1]上有解， 求实数m的取值范围.
分析：令f（x）= x2-mx+4 ，则问题转化为抛物线f（x）= x2-mx+4 与x数轴在x∈[-1，1]上有交点的问题，将方程的问题转化为函数图象问题来解决的可将m看成x的函数.因为x≠0，所以有m=x+4/x，问题转化为求函数的值域问题.
解：因为 x ≠0，所以m=x+4/x此函数显然是奇函数，易证函数 m 在（0，1]上为减函数.所以当x∈（0，1]时，在x =1 函数有最小值，m小=1+4=5，m∈[5，+∞）同理，当x∈[-1，0]时，在x=-1时，函数有最大值，m大=-5 ，m∈（-∞，-5].
故实数m的取值范围为（-∞，-5]∪[5，+∞） .
问题4：若 x、y∈R且（2x+y）13+x13+3x+y
证明：将条件化为（2x+y）13+（2x+y）
令 f（t）= t13+t， 则有f（2x+y）
又 f（t）为奇函数 ，f（-x）= -f（t）
所以 f（2x+y）
所以2x+y
评析：将方程的问题转化为函数图象或函数值域问题，可使方程问题迎刃而解.其中利用函数值域问题求解则更为简捷.
