时间：2022-05-08 11:07:27
教学目标：
1、理解、掌握平行四边形面积的计算公式形成过程，能正确计算平行四边形的面积。
2、通过画一画、剪一剪、拼一拼等活动，经历平行四边形面积计算的推导，体验转化的数学思想和方法。
3、在探究和尝试过程中培养学生分析、综合、抽象、概括的能力。
教学重点：理解并掌握平行四边形面积计算的方法。
教学难点：理解平行四边形面积公式的推导过程。
教学过程：
一、引入
1、出示
2、问：如果我想计算平行四边形的面积，你想知道哪些数据？
二、探究
（一）、猜测平行四边形面积计算方法
1、学生猜测
2、各自表述理由
3、二次修正猜想
（二）小组合作验证猜想
1、小组借助工具验证猜想
2、交流汇报
3、三次修正猜想
4、借助课件进一步理解
（三）自主验证任意一个平行四边形都可以用底×高求面积
（四）得出结论
结：如果用S
表示平行四边形的面积，
用a
表示平行四边形的底，
用h
表示平行四边形的高，
平行四边形面积的计算公式是:S＝ah
三、巩固练习
1、平行四边形面积如何计算？
2、3、你能想办法求出平行四边形的面积吗？（机动）
四、总结
板书：
平行四边形的面积
猜想：
拉动（面积变化）
转化（面积不变）
验证：
一、引导猜想，激起学生的求知欲望
【案例1】圆柱体的体积导入环节。
师：它们分别是什么形体？
生：一个是圆柱体，一个是长方体。
师：谁来猜一猜，哪一个体积大？
师：如果我要准确比较出它们的体积大小，有什么办法？
生：求出它们的体积。
师：怎么求？
生4：长方形体积=长×宽×高，或者是底面积×高。
师：这是我们以前学过的。圆柱体的体积怎么求呢？今天我们就带着这个疑问一起来学习“圆柱的体积”。
【反思】苏霍姆林斯基认为：“教学的起点，首先在于激发学生学习的兴趣和愿望。”以上的案例中，教师在导入时，根据新知的学习需要，精心设计问题，让学生进行大胆猜想，接着，引导学生说出可以通过求体积的方法进行比较，唤起学生强烈的求知欲望，使学生很快地进入对新知的探索中，也培养了学生的直觉思维能力。
二、引导猜想，为学生动手探究助推
【案例2】在教学三角形的特性时，出示以下三组数据：
（1）2、4、7 （2）3、5、8 （3）7、8、9
问：上面的三组数据，到底哪一组数据的纸条可以围成三角形？
师：大家的猜想结果不一样，该怎么办？该怎样证明自己的想法是对的呢？
生1：用纸条摆一摆。（学生通过摆纸条发现第三组纸条可以围成一个三角形，而另外两组不可以）
师：为什么有的能围成，有的却围不成呢？你能发现可以围成的三角形的三边之间有什么关系吗？
生2：三角形的两条边的和要大于第三边，才可以围成一个三角形，如果三角形的两条边的和等于或小于第三边，就不能围成三角形。
……
【反思】猜想是学习、研究数学的好方法之一，可以让学生发现数学学习中一些规律性的东西，从而发展数学思维。在上面的案例中，教师积极创设猜想的思维空间，让学生带着问题去探究，并让探究的活动指向问题，即三角形三条边长短之间的关系，既激发了学生的探究热情，也有效地提高了探究的深刻性。由此可见，操作前的猜测有助于增强学生的参与意识，发展学生的空间观念和推理能力，从而提高课堂教学的质量。
三、引导猜想，为突破重难点架桥铺路
【案例3】三角形的面积教学片段
师（用课件出示一块平行四边形的菜地）：它的面积怎么求呢？
生1：平行四边形的面积=底×高。
师：如果想让它的一半种上黄瓜，只有一根绳子，你有办法可以把这块地平均分吗？
生2：把平行四边形的对角连接起来。（通过演示，学生都知道平行四边形面积的一半，就是一个三角形）
师：你能依据平行四边形的面积公式，来猜想一下三角形的面积公式吗？
生3：三角形的面积=底×高÷2。
……
【反思】怎样让学生理解“三角形的面积=底×高÷2”是本节课的教学难点。一般学生容易记得“平行四边形的面积=底×高”，但三角形的面积为什么要“÷2”学生理解不透彻。在教学过程中，教师让学生借助直观的现象，推测图中三角形的大小与平行四边形的关系，即三角形的面积是平行四边形面积的一半，并借此深入探究三角形的面积公式。这种直观猜想更利于学生形成数学思维方式，帮助学生深入理解数学公式，自由自在地徜徉数学世界。
四、引导猜想，培养学生的求异思维
【案例】四则混合运算应用题的教学片段
应用题：有一堆苹果，每次运走30箱，需要36次才能运完，现在准备30次运完，每次要比原来多运多少箱？
（学生经过思考后，列出：30×36÷30-30）
师：还有别的解法吗？
生1：可以列成30×（36-30）÷30的综合算式进行计算。
师：能具体说说你是怎么想的吗？
生1：原来要运36次，现在只运30次，多出了6次，每次为30箱，也就是说多出了30×6箱，把这些多出来的箱数再除以30次，得出的数字就是现在比以前多运的箱数。
【反思】“求异”是数学猜想的灵魂，没有了求异思维也就没有了猜想。在以上的案例中，教师积极地引导学生猜想，学生一开始用最常规的算法来列式，经过教师的一再引导，学生创造性地提出了新的解题方法，对知识就有了进一步的理解和认识。可见，通过数学猜想，可以培养学生的求异思维，不断激活学生新的学习状态。
[关键词] 认知；冲突；学习意义；小学数学
建构主义理论认为，学生知识的获得不是通过教师的传授，而是学生在特定的情境即人文背景下，借助他人（包括教师和同伴），利用必要的学习资料，最终通过意义建构的方式获得的，也就是说，整个学习建构的过程包括四大要素：情境创设，他人协作，学习资料，意义建构. 那么何谓情境创设？何谓意义建构呢？笔者认为，情境创设必须基于学生的认知冲突，因为冲突的出现导致求知探索欲望的自然生发，从而引发学生的自主突破和思考，这才是建构主义意义上的情境创设. 何为学习意义的建构呢？不言而喻，在学生自主探索的基础上，由求知的需求―探索求知的过程―满足求知的欲望―实践运用所求得的知识，在这整个过程中，学生通过基于自我探索的求知历程，实现了独立的个体思维，这时候就建立了属于自己的学习意义. 笔者现根据自己在“平行四边形的面积”教学实践，谈谈对这一问题的思考.
寓新于旧，诱导认知冲突
数学知识之间联系相当紧密，教师要紧扣前后知识的关联，认真分析和设计，发现学生的认知矛盾，找准新知的生长点，打破学生原有的认知平衡，引起学生的认知冲突，通过顺应、迁移的方式达到新的平衡.
例如，苏教版五年级上册“平行四边形的面积”这一内容的教学重点，是要学生探索并掌握平行四边形的面积计算公式，难点是要引导学生将平行四边形割补拼接为长方形，理解平行四边形面积计算公式的推导过程，通过长方形的面积求得平行四边形的面积，并由此渗透转化的思想.
基于此，在进行教学时笔者先从猜想引入，建立学生的思维链接：求长方形的面积是多少？学生认为长方形的面积等于长乘宽，此时我引导学生思考：长方形是平行四边形吗？为什么？学生由此认为，长方形两组对边相等并平行，所以是特殊的平行四边形.
此时，笔者将同一个长方形拉成为一般的平行四边形，并要求学生求出这个拉出来的一般平行四边形的面积（底边为9厘米，邻边为5厘米，高为4厘米），学生提出三种方案：方案1，底乘高9×4=36（平方厘米）；方案2，底边和邻边相乘9×5=45平方厘米；方案3，（9+5）×2=28（平方厘米），那么到底哪一种是正确的呢？经过讨论，学生发现长边加短边乘以2求的是周长，不是面积. 由此，现在剩下两种猜想结果，一个是45平方厘米2（即底边乘邻边），另一个是36平方厘米（即底边乘高），到底哪个才是正确的结果呢？这就让学生产生了认知冲突. 此时学生用数方格的办法进行验证，把方格纸放在平行四边形上，看看有多少个方格，一个方格为1厘米2，此时出现了不满一格的情况，不满一格的按照半格算，拼成了6格，这样就数出总共有36个方格. 由此，学生认为，数格子的方法是很准确的，得到这个平行四边形的面积是36平方厘米. 说明第一种猜想的长边乘短边是错误的.
以上教学，教师将新知和旧知有机融合，从已经学过的长方形的面积入手，诱导学生进行猜想，并由此展开验证实践，让学生通过错误的猜想，有效突破旧知，获得了思维的平衡，完成第一次自主探究.
制造陷阱，暗设认知冲突
在小学数学教学中，教师可以根据学生在知识结构中的模糊点、易错点，进行精心设计，制造相应的错误问题，使学生的困惑日益加深，此时教师再插手进行引导，带领学生进行自救.
如教学“平行四边形的面积”推导时，笔者设计了这样的问题：有没有同学认为平行四边形的面积等于长边乘邻边，即9×5=45平方厘米？说说你的理由. 大部分学生都认为是可以的. 这个问题是学生认知的关键点，也是较为模糊的节点. 为此，笔者设计了这样的教学陷阱，引发了学生的困惑：为什么数格子的面积和长边乘邻边相差9平方厘米？面对这一困惑点，我带领学生展开探究：我们将方格纸放在上面，看看将长方形和平行四边形拉动的时候，发生了什么变化？到底面积有没有变化？你发现了什么？（如图1）
学生动手操作，沿着平行四边形的高，把右边那个三角形剪下来，移到左边，拼成长方形，但还剩下几个方格，发现在长方形和平行四边形拉动的过程中，左边有个三角形到了右边，同时还多了几个方格. 也就是说，面积增大了，正好大了上面那9个方格，正好就是9平方厘米. 由此，学生发现，底边乘邻边之所以不是平行四边形的面积，是因为求出来的面积比原来的面积大，而不是相等.
那么如何才能使长方形的面积和平行四边形的面积相等呢？此时笔者引导学生操作，学生继续展开探究，发现沿着平行四边形的一条高剪开，然后将这个图形移动到右边，拼成一个长方形（出示动态过程，如图1），我进行了这样的引导：为什么要将这个平行四边形拼接为长方形？
学生认为，长方形的面积是已经学过的，长方形的面积计算公式等于长乘宽. 可以通过转化，将平行四边形转化为长方形，求出平行四边形的面积. 由此，学生根据这一转化，认为这里的9是长方形的长，也是平行四边形的底边，4是平行四边形的高，也就是长方形的宽. 因而，平行四边形的面积等于9×4=36厘米2，由此可以得到平行四边形的面积等于底乘高.
以上教学，教师巧妙制造陷阱，诱导学生产生困惑，并由此产生了“要将平行四边形转化为面积相等的长方形”的心理动机，实现了对错误的成功自救，突破了思维误区，拓展了思维空间.
变式问题角度，强化认知冲突
在小学数学教学中，有效的课堂练习是进行新知巩固和运用的必要手段，也是考查学生学习效果的重要手段. 教师要通过对问题的变式设计，帮助学生掌握新概念和规律，对所学旧知进行巩固，并建立解决问题的思路，促进知识技能的内化和发展，知识向能力的转化. 那么，如何在练习中变式问题角度，强化认知冲突，及时巩固新的知识平衡呢？
例如，在教学“平行四边形的面积”之后，笔者设计了这样的习题：
（1）如图3，一个平行四边形的周长是78厘米，BC是24厘米，求CD是多少厘米.
（2）一个平行四边形的周长是78厘米，BC是24厘米，以CD为底边时，它的高是18厘米，求它的面积.
（3）一个平行四边形的周长是78厘米，BC是24厘米，以CD为底边时，它的高是18厘米，BC边上的高是多少厘米？
针对这些习题，笔者进行层层引导：要求出平行四边形的面积，需要知道什么？题目中已经给出了什么？学生从题目中找到已知条件，而后展开思考，认为要先求出CD的边长，为什么？因为根据面积计算公式底边乘高，已知CD底边的高是18厘米，那就要求出底边CD的长度. 针对习题（3），笔者引导学生思考：要求出BC底边的高，需要知道什么？你认为要先求什么？学生根据平行四边形的面积公式，认为已知底边BC的长度，那就需要知道平行四边形的面积，根据面积计算出BC底边的高. 由此，学生在习题练习中，一步步找到问题解决的步骤，通过层层突破，对平行四边形的面积和周长知识有了深刻理解和运用.
这个环节的主要任务是围绕导学案的要求自学。
我们的导学方式是把教学内容分成问题与方法两大块。体现在导学案上，就是把导学案分为两栏，一栏是“学”的过程，一栏是相对应的“导”的过程。学的过程以问题串联。问题分层设计，如预习中独立解决的问题，需要合作探究完成的问题，在探究中生成的问题等。教师在设计导学案和课堂教学中，始终要用问题引导，着眼于导而非教。
《梯形的面积》主要教学内容可以概括为两个问题：怎样探究梯形的面积公式？怎样运用梯形的面积公式？整堂课，学生始终围绕这两个问题进行自主合作学习，对应的“导”栏则渗透方法指导。如“学”栏里，“请你写出梯形面积的推导过程”，那么在“导”栏里就有这样的方法指导：“你能用学过的方法来推导梯形的面积公式吗？”“请回顾一下，几个完全一样的三角形可以拼成一个平形四边形？”
学生写出梯形的推导过程后，在“学”栏继续提出问题：“你还能用其他的方法推导梯形的面积公式吗？”相应的“导” 栏则提示：“除了‘拼’的方法，你还可以试试分割的方法哟！”这一设计中，教师引导学生运用“转化”的方法解决问题，达到了“导”的目的。
二、交流质疑
交流质疑是学生合作学习的重要环节，主要采用两种方式。
一是结对合作交流。同组结成对子的两名学生与对方交流分享自学中的收获。在《梯形的面积》中，对子可互相交流梯形面积的推导过程。比如，说说自己是如何想到梯形的面积与平形四边形关系的，如何推导出梯形面积公式的，等等。
二是小组合作交流。小组成员对有关问题进行讨论、交流，包括分享学习成果，讨论共同关注的焦点问题和疑难问题等。表达、倾听、思辨是主要学习方式。本节课，小组成员主要采取了借助梯形纸板或画图讲解推导思路、形成共识的交流方式。这个过程对学困生很有帮助，学优生也在讲解中得到了提升。
小组合作学习时，教师要进行巡视，看看各小组分别采用了什么方法来推导公式，同时观察各个小组在推导时遇到了哪些共性问题，以便在全班展示时适时点拨。
三、展示释疑
交流展示环节，学生动口、动手、动脑展示小组学习成果，达到巩固知识、活跃思维、锻炼勇气、培养能力、塑造人格的目的。此时，教师要关注学生的参与度，鼓励学生大胆阐述不同的意见。
教学中，各小组利用组员的特长进行综合展示：会画的上台画面积转化示意图，会说的根据示意图讲解公式的推导过程。一个小组展示完后，其他小组进行补充、质疑，提出新的方法，充分展示自己的创造性思维成果。
展示中，教师经过启发和引导，学生提出了如下三种思路。
一是用拼摆的方法把两个完全一样的梯形拼成一个平形四边形（图1），得出“梯形的面积=平形四边形的面积÷2=（上底+下底）×高÷2”。二是分割图形，连接梯形的一条对角线（图2），得出“梯形的面积=三角形1的面积+三角形2的面积=上底×高÷2+下底×高÷2=（上底+下底）×高÷2”。三是用分割法把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形（图3），得出“梯形的面积=平形四边形的面积+三角形的面积=平形四边形的底×高+三角形的底×高÷2=（平行四边形的底×2÷2+三角形的底÷2）×高=（平行四边形的底+平行四边形的底+三角形的底）×高÷2”。因为梯形的上底=平行四边形的底，梯形的下底=平行四边形的底+三角形的底，所以，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。
三种方法是师生、生生的思维反复碰撞的结果。其间，学生走过很多弯路，也迸发出很多智慧的火花。这正是展示释疑的精妙所在——在交流、碰撞中生发问题，解决问题。
四、巩固拓展
【摘要】呈现教法有关知识，明确教学方法与教学目的、教学内容之间关系，实现教学方法的优化组合，提高教学绩效。
【关键词】教学方法、选择、优化。
我们知道，在教学目的和教学内容确定之后，教学方法就成了实现教学目的，完成教学内容的关键。因为 教学方法是将教材的知识结构转变为学生头脑中的认知结构，培养学生能力、发展智力，培养学生学习态度、 意志、情感，进行思想品德教育的主要手段。正如国外一位教育学家所指出的那样：“选择对某节课最有效的教学方法，是教学过程最优化的核心问题之一。” 理论和实践都告诉我们，要想充分发挥每一种教学方法在教学过程中的实际效能，达到优化教学过程的目的，首先要在优选教学方法或教学方法的优化设计上下功夫。前者指的是合理选择已有的教学方法，后者是指自己创造新的教学方法。无论是“优选”还是“创新”，一般都应注意以下四点：一是教学方法的选用或创新 必须符合教学规律和原则；二是必须依据教学内容和特点，确保教学任务的完成；三是必须符合学生的年龄、 心理变化特征和教师本身的教学风格；四是必须符合现有的教学条件和所规定的教学时间。另外，在指导思想上，教师应注意用辩证的观点来审视各种教学方法。
首先，任何一种教学方法，都是人们在某种范围内根据特定的需要创造出来的。因此，每一种教学方法都有其优越性和局限性。就拿较为简单的讲授法来讲，它利于教师发挥主导作用，在短时间内传授较多知识，系统性强，亦可引发学生进行一定的思考。但是，它不容易发挥学生学习的主动性、独立性和创造性，还需要学生有较高的学习自觉性和听讲能力。因此，较适合于中高年级，而且宜用于教材系统性较强的内容。
其次，只有实现有关教法的优化组合，才能为提高教法的使用效率奠定良好的基础。经验告诉我们，教学任务的完成，教学质量的提高，依靠多种因素、多种方法的综合作用。巴班斯基曾指出：“不存在教学方法上的‘百宝箱’。”因此，简单否定某一种方法或把某种教学方法的作用加以夸大，都是片面的、不切实际的。
再次，应注意选择教法和使用效果的有机统一。选择教学方法，核心问题是最大限度地调动学生学习的主动性和积极性，使教与学在教学的动态发展中得以平衡，最终使预定的教学目标与教学的实际效果相一致。为此，就应充分考虑学生是怎样学习的，怎样才能学得更好。也就是说，应按照学生学习的一般程序来选择或设计教学方法，切忌简单套用某种教学模式的做法。
教学方法选择的程序，在一般的教学论中很少涉及。巴班斯基对这一问题的论述值得我们借鉴。按其基本精神，选择教学方法的程序，大致包括三个步骤：(1)明确选择标准；(2)尽可能广泛地提供有关的考虑方法， 便于教师考虑和选择；(3)对各种供选择的教学方法进行各种比较。
下面，以“平行四边形”（第一课时）的教学为例，说明教法选择的做法和步骤。
《小学数学课程标准》中关于平行四边形概念教学的要求是“掌握平行四边形的特征”。这部分教材可分为以下几个部分：(1)由的红领章引入，通过度量引出平行四边形这一概念；( 2)解释说明平行四边形有两组对边分别平行这一特征；(3)通过教具演示和插图等说明平行四边形具有可变性这 一性质，并举例说明它在实际中的应用；(4)分别介绍平行四边形的高和底；(5)用韦恩图说明平行四边形、长方形和正方形的关系。教学的重点应该是使学生理解并掌握平行四边形这一概念及其特征。为此，该课时的教学目标可确定为：使学生理解并掌握平行四边形的概念及其特征，理解平行四边形的可变性及其在实际中的简 单应用，知道平行四边形的高和底，了解平行四边形、长方形和正方形的从属关系；通过教学培养学生的抽象 概括能力和空间观念；结合教学进行热爱和端正学习目的的教育。
为了实现平行四边形的教学目标，我们可选择或设计四种不同的教学方案。方案1主要采用的是阅读辅导法，另配合练习法和讲授法，体现了一法为主、多法相辅的思想。方案2主要采用“直观演示法”，教师将一些外形是平行四边形的实物或教具直接呈现在学生面前。方案 3主要采用“操作演示法”，教师用两两相等的四根木条制成一个可形变的平行四边形教具。方案4主要采用“幻灯演示法 和谈话法”，是这样设计的：这两条线是什么线？为什么？（幻灯演示）这两条线平行吗？这个图形是几边形？上、下两边平行吗？为什么？左、右两条边呢？随即引出平行四边形这一 概念。上述的“练习法”是为了了解学生是否掌握了平行四边形的概念和特征而安排的一组图形判，方案2、3、4则是将一些最基本的教学方法加以有机组合的结果，是一种被人们广泛采用的做法，体现了教学有法、但无定法的思想。在假定暂不考虑学生实际和教学条件的前提下，我们认为选择其中的任何一种方案都是可以的。但若从有利于激发学生学习兴趣、充分调动学生学习的积极性和主动性、减小学习的难度来看，采用方案4则更有利于教学目标的全面完成。当然教学方法的选择和设计还远远不止这些。
关键词：初中数学；四边形章节；探究能力；学习能力
常言道：“实践是检验真理的唯一标准。”主动探知未知领域，能动实践探求真相，是学生内在能动“天性”的重要外在表现。教育心理学认为，学生在学习活动进程中对亲身经历所获得的知识技能，会留下深刻的“痕迹”。新实施的《初中数学课程标准》也将学生学习能力、特别是动手探究能力的培养作为能力培养教学的重要目标和要求。四边形章节作为初中数学几何部分章节知识体系的重要组成部分，是几何图形教学架构的重要分支。它以其自身所具有的丰富知识要素、深刻知识内涵和显著发展功效，在培养学生探究实践能力中发挥着重要的积极作用。本人在近年来的教学实践中，围绕如何在四边形章节教学中、锻炼和培养初中生探究能力进行了教学探索，现进行简要论述。
一、利用四边形应用的广泛性，让学生在感知生活情境中主动“探”
情感是心理状态活动的重要表现。初中生处于学习特殊阶段，更加需要教师的有效引导和外在因素的刺激。通过对四边形知识内容的分析可以看出，四边形知识内容在现实生活中有着广泛的应用，在生产、生活的各个方面，都会找寻到四边形知识内涵的“踪迹”。如家庭玻璃门的形状、隔断造型的形状、围墙栏杆组成的图形等，这些都为激发学生主动探究提供了积极情感“因子”。因此，初中数学教师可以利用四边形知识应用的广泛性，营造出生活性的教学情境，让学生在积极教学情感氛围中，内在潜能得到释放，主动探究成为内在要求。
如在四边形章节“平行四边形”教学活动中，教师在新课导入环节，根据学生认知规律和情感发展特点，抓住平行四边形的现实应用性，设置了“如图1所示，这是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积是多少？”的问题情境。此时，学生在教师设置的问题情境中，探究阴影部分面积的兴趣得到了“调动”，动手操作解答的内在能动性得到了“激发”，纷纷动笔和尺开展计算求解阴影部分的面积，从而使学生从内心主动融入到教学活动，动手实践成为了其内在自觉的要求。
二、发挥四边形案例的深刻性，让学生在解答问题过程中学会“探”
学生探究能力高低的重要表现，可以通过问题案例的解答进行生动的展现。而掌握和运用探究问题的策略和方法，是其探究问题案例活动开展的重要基础和先决条件。四边形章节内涵丰富，包含了不规则四边形、正方形、矩形、菱形、平行四边形等几何图形和内涵要义，并且这些知识点之间又有着密切的联系，这就在一定程度上使得四边形问题案例的内涵更加深刻。初中数学教师在四边形问题案例教学时，就可以让学生发挥主体作用，自主进行问题探究解答活动，并在教师指导总结中逐步掌握进行四边形案例解答的方法和策略，为学生有效探究解答问题提供方法经验。
如在教学“如图2，ABC与CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB，（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离”问题时，教师采用“自主探究，先做后讲”的教学方式，让学生独立自主或组成探究小组，开展问题分析、探究活动。学生在自主分析问题条件中，认识到这是一道关于菱形方面的数学问题案例。此时，教师向学生提出：“证明四边形EFCD是菱形，可以通过什么方法进行证明？求DF的长度，实际就要求出什么就可以？”此时，学生通过学习探究小组共同探讨，得出可以通过菱形的判定定理进行证明，求DF的长度实际就是求菱形CFED的对角线DF的长。这一过程中，学生主体能动性得到了发挥，获得了动手探究的时机，同时通过探究对该类型问题解答的策略和途径，学生有了更加深刻的认识和掌握，收到了“一石多鸟”的功效。
三、放大四边形知识的探析性，让学生在探究辨析活动中善于“探”
初中数学教师在四边形章节教学时，可以利用学生探究辨析、自主反思的特性，设置具有探析特征的四边形问题案例，让学生在探析、思考、总结中形成高效探究问题的内在素养。
问题：如图3，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值。
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PG/PC的值；
（2）将图3中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图4）。你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。
（3）若图3中∠ABC=∠BEF=2α（0°
一、复习导入
为了更好地引出平行四边形的性质，我没有直接问学生平行四边形的性质是什么，而是用三道题目的形式，让学生回答答案并说明你是根据哪条性质来解决的。
例题1：在？荀ABCD中，BC=3 cm，AB=2 cm，则？荀ABCD的周长为 .
例题2：在？荀ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠A= .
例题3：在？荀ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO+BO=10，求AC+BD的值.
学生回答后，我在黑板上板书这三条性质，并用数学语言表示这三条性质.
二、练习巩固
利用课前准备的小黑板，围绕平行四边形的三条性质设计了三道练习题.
练习1.在？荀ABCD中，∠B=110°，延长AD到F，延长CD至E，连结EF.则∠E+∠F= .
练习2.平行四边形的一角的平分线分对边为3和4两部分，求平行四边形的周长.
练习3.在？荀ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，∠EAF=60°，BE=2 cm，DF=3 cm.试求？荀ABCD的周长及？荀ABCD的面积.
三、课堂小结
这节复习课大部分时间都是学生在动、在练，这样有利于学生主观能动性的发挥和能力的形成。
上课开始，我按照最初的教学设计，在黑板上出示三个例题，学生分别回答并解释题目的依据，顺利地引出了平行四边形的边、角、对角线的三条性质，并顺势引导用数学语言表示这三条性质。我考虑到时间的局限性，相应的练习可能时间有些紧张，所以我在设计时想把重点放到平行四边形的边、角、对角线的性质，没有顾及平行四边形的其他性质，比如平行四边形是一个中心对称图形、过平行四边形的对角线的交点作任意直线必把平行四边形分成面积相等的两部分、平行四边形的内角和和外角和等于360度、平行四边形不具有稳定性等等。
接下来进行习题训练，练习1没有很大问题，就在我叫学生上台演板做练习2时，出现了我没有想到的结果。我选这道题目的是训练学生画图，使学生具有数形结合的思想，并学会分类讨论的方法，全面地解决问题。我先让学生读一遍题后，问学生：“解决这道题首先要做什么？”
生：“画图。”
师：“对，画图，先确定图形，利用数形结合的思想把问题变得更加清晰直观，在这一点上，同学们千万不要偷懒，凭空想象答案是什么。哪位同学愿意到黑板上写一写你的见解呢？”
生举手。
接着，我到下面去看学生做题的情况，有些学生很快画好了图，并得出了答案，有些同学没有考虑所分的对边哪一边是3哪一边是4的情况，只得出了一种结果，我给他们指出后他们很快就补充了另一种答案。在我走到张××的座位时，他一个字都没有写，张××是一个数学成绩非常不错的孩子，我以为是他偷懒不想写，正想数落他一顿，这时他说：“刘老师，图形我不知道怎么画，这个对边是什么意思，它到底指的是哪一条边？”我当时愣住了，没有想到他会在“对边”这个概念上卡壳，他的同桌嘴快说：“不就是把AD分成AE和ED两个部分吗？真笨！”
张××脸上一红，怯怯地说：“CD也可以是它的对边呀。”
我给他耐心地讲解了一遍，他似懂非懂地点点头，“顺利”地把正确答案写了出来。巡视一周后，我发现像张××一样搞不清对边的还有四五个学生，大多数学生都解出了正确答案。
关键词：磨课；思考；三角形
《读懂学生，构建小学数学高效课堂》是我区数学科组正在开展中的课题研究。研究的主要手段是通过尝试使用非线性小组合作学习模式进行课堂教学，达到提高学生的思维流量、思维容量和思维能量，从而实现高效课堂的目的。就此看来，这样的模式仿佛与“读懂学生”没有关系。其实，参与实验的老师发现，使用非线性小组合作学习模式进行教学，必须是在读懂学生的前提下实施的。读懂学生不只是读懂学生知识的真实起点，还得读懂学生的兴趣、情绪、信心等等。由此看来，教师和学生成了课堂教学中的双主体。
但是，在一次集体对“三角形的面积”一课的磨课中，我们为该不该顺着学生的问题生成来组织教学产生了分歧。一方认为，面积公式的推导应依照学生课堂问题生成的顺序来进行；另一方认为，不需要那么急切地去关注学生的想法，学生只需要跟着老师设计好的思考路线走下来，同样能找出答案。我参与了整个磨课的过程，在处理公式推导的环节上，有不同的声音，在多种方案的对比上，我有了自己的看法。
一、磨课回放
片段一：课始老师让学生汇报通过充分的预习后提出他们的疑惑。学生们提出的第一个疑惑是“计算三角形面积为什么要除以2？”第二个疑惑是“计算三角形的面积为什么要用底×高？”
我的思考：读懂孩子的疑惑
应该说学生在学习新知时有疑惑那是再正常不过。必须提醒各位注意的是，孩子们一开始就提出第一个问题符合孩子们的学习天性。如果我们细心地去搜集一下孩子们脑中的公式库，有“×2”的，也有“×4”的，但从没有出现过“÷2”的。这个“÷2”在孩子眼中犹如长着一只眼睛的外星人，神秘莫测。谁都想问一句：“你是谁？”
片段二：教师针对孩子们提出的第一个问题，启发学生，把一个平行四边形按对角分开得到两个完全一样的三角形。再引导学生比较三角形面积与原平行四边形面积的大小关系。从而使学生自主发现三角形的面积就等于原平行四边形面积的一半。于是，在求三角形面积时必须把平行四边形面积÷2。
我的思考：读懂孩子的情绪
学到这里，绝大部分学生都明白了三角形面积公式中最抢眼的“÷2”是怎么回事。学生的好奇心得到极大的满足。更开心的是揭开“÷2”这一神秘面纱的人就是学生本身，他们的学习兴趣愈发浓烈。学习积极性更加高昂。对于继续解决公式中“底×高”的含义，他们充满信心。如果当时有那么一个人能指引你去寻找答案，你该有多么的高兴、多么的满足。
片段三：教师因势利导。引导学生，利用学具找出三角形与平行四边形同一位置上的一组底和高。并通过对比发现三角形与平行四边形有等底等高的关系。由此发现，如果用“底×高”计算的其实是与三角形等底等高的平行四边形的面积。至于要求平行四边形里面其中的一个三角形面积自然就应当是用“底×高”÷2了。
我的思考：关注课堂的生成，课堂显得精彩纷呈
课堂上的精彩来自于学生。整个公式的推导都源于学生的生成。这样的新课处理重视课堂生成多于教师的预设。从学生的实际需求出发，摸准了学生的学习起点，关注了学生的学习兴趣、情绪、信心。使学生成为学习的主人。而在课堂上老师则更像是一个学生学习的向导。师生的合作与互助是如此的和谐、自然。学生在这样的课堂下，自然是学得轻松、学得满足、学得开心、学得深刻、学得受人尊重、学得自主。这样的课堂何愁无效了？事实证明在课后的小测中，100%的学生能自然地记住了在计算三角形面积时要“÷2”。
有经验的老师一定知道，以往的学生在计算三角形面积时总是习惯于漏写“÷2”。可是我们在一味地埋怨学生边学边忘的同时，我们可能都忽略了一个问题。那就是我们在处理新课时，我们关注了“谁”？在过去，我们比较习惯于关注一节课下来有没有出现“突发事件”和“偶发事件”。我们都习惯于关注我们是否照着预设好的过程按部就班地把教案执行到底。今天我们可以继续思考过去的这些关注都对吗？需要调整吗？调整的价值何在？
片段四：学生汇报通过充分的预习后提出的第一个疑惑“为什么要除以2”？教师先把问题放下，并引导学生转化问题。让学生明白只要知道问为什么要用“底×高”？就能明白“÷2”的原因了。于是，让学生先按教师预先设计好的活动，一一进行简单操作。最后得出结论。
附课堂上学生活动的学案：
活动一：用三角形的“底×高”求出的是什么图形的面积？
学习提示：
（1）三角形的底与原平行四边形的底有什么关系？
（2）三角形的高与原平行四边形的高有什么关系？
我们发现：三角形的“底×高”求出的是形的面积。
活动二：为什么要除以2？
学习提示：
（1）把平行四边形分成两个完全一样的三角形。
（2）一个三角形的面积与原来的平行四边形有什么关系？
我们发现：三角形的面积等于与它_____的平行四边形面积的____。
二、教学反思
不可否认，就三角形面积公式的推导而言，无论是“÷2”还是“底×高”都是不可分割的一部分。如果孩子们明白了“底×高”求出的是等底等高的平行四边形的面积以后。公式中为什么会有“÷2”这一个疑惑就能迎刃而解了。反之亦然。关于三角形的面积，不同版本的教材有不同的处理方式。目前的教材对三角形面积公式的推导无非是两种。一种是拿来两个完全一样的三角形通过平移旋转拼成一个平行四边形，然后通过比较平行四边形与三角形的关系来推导三角形面积的计算公式。另一种就是用折的方法，把三角形折成一个长方形，通过计算长方形面积来发现三角形的面积公式。两种方法没有优劣之分，只是介入的角度不一样。关键还是转化。但是，方法以外的一些因素，比如，教具的设计、课前、课上、课后对学生的各种解读反而是需要我们在平常的教学中要高度重视、深度关注的。
所以，在引导学生学习三角形的面积时，无论是基于上面的两种处理方法中的任意一种都是有道理的。我们大可不必用二元对立的观点来评价两种处理方案。平心而论在第二种处理方案无疑在知识的系统性和层次以及严谨度上都无可挑剔。然而这一方案的死穴在于过渡强调了以上的几大优点从而忽略了学生的实际情况。这样的课堂绝对的“安全”。可“安全”的背后，可以看到学生俨然一个木偶让老师牵着鼻子走，最终还是浑浑噩噩、一知半解。这里面并不涉及设计是否完美的问题，我觉得关键点在于我们读过学生的需要没有。打个比方，你带着一个问题来找我，我不能马上给你答案。而是先带你游“花园”。你想想，你会很用心地听我的解释吗？我想一定不会。因为我没有立即地对你的问题给予回应。我没有考虑你的心理需要，我自顾自地分析，忽略了你的情绪。显然，我做得不够好。
在整个磨课的过程中，我们不断地尝试。在每当老师问及“通过预习你还有什么疑问？”时，孩子们第一时间发问的都是针对为什么要除以2？我个人认为这并不是因为老师的刻意引导或者学生的偶然巧合。如果是偶然而致。那怎么可能在五个班上尝试，学生都不约而同地首先对此问题发问。其中肯定有其关乎于学生年龄特点的，甚至是心理层面的需要。我想我们要是读不懂这一微小的细节，必定影响我们的设计理念。一次磨课结束了，却带给我更多的教学感悟：读懂学生，并不能仅仅停留在语言上，必须辅以实际行动。从每一个细节上着手，才能让读懂来得更实在，才是实施高效课堂的有力保证！
参考文献：
一、在分歧处追问，追求思维的本质
所谓分歧，就是指学生在解决同一问题时出现意见不一致的情况。学生是学习的主人，课堂学习要让学生自主学习、自主探究。然而，学生之间是有差异的，不同的学生对同一道问题的解法可能是不同的。当学生对不同的解法褒贬不一时，教师要巧妙地追问，问出不同解法的依据，追求学生思维的本质。
例如：人教版小学数学四年级下册“三角形的内角和”练习课中，教师出示题目（图1）：学生独立完成。
学生汇报：180°-（75°+45°）
=180°-120°
=60°
180°- 60°=120°°
教师：还有别的方法吗？
这时，一男生站起来说：可以直接用75°+45°= 120°。
他刚说完，其他同学就说他的答案没有解题依据，是瞎蒙的。
教师及时追问该男生：能说说你是怎么想的吗？
该男生不服气了，说：我是有依据的。（图2）
（75°+45°）+∠1=180°
∠2+∠1=180°
（该生指着75°+45°和∠2）这两部分与∠1相加的和都是180°，所以75°+45°=∠2。
大家听他一说，都恍然大悟。接着，教师顺势渗透外角的知识。
当学生对不同解法出现分歧时，教师应及时追问，创造让学生解释想法的机会。
二、在重难点处追问，追求思维的发展
教学重点是教材中最基本、最主要的，在教材中占有重要地位且对其他学习具有重要影响的知识，有效的教学要紧紧围绕教学重点、努力突破教学难点。如果能在教学的重难点处适时追问，问到知识的要点上，学生就能在问题的引领下积极思考、自主探究，透过表象探究本质，促进思维的发展。
例如：人教版小学数学三年级上册“笔算乘法”教学中，教师先创设情境，主题图画的是3个小朋友在画画，每人身边都有一盒彩笔，由此提出一个数学问题：已知一盒彩笔是12支，那么3盒彩笔一共有多少支？在学生自由选择方法计算12×3=36的基础上，引导学生列出乘法竖式。学生独立完成。
生：1 2
× 3
3 6
教师：36是怎样得来的？
生1：个位上2×3=6，十位上1×3=3。
生2：个位上的2×3=6，十位上的1×3=3个十，写在十位上，就得到36。
教师：在竖式中，3为什么既要乘个位上的2又要乘十位上的1呢？
并出示小棒图（图3），让学生根据小棒图帮助分析。
学生恍然大悟，其中一名学生站起来说：个位上2×3=6表示右面的6个一根小棒，所以写在个位；左手边还有3捆小棒，所以还要用3×1=3个十根，所以在十位写3。
教师：你理解得真透彻，也就是在笔算12×3时，3既要去乘个位上的2，也要去乘十位上的1。请同学们对比一下口算12×3与笔算12×3有什么联系……
为了突破这一重难点，上面片段的教学中，教师在知识的重难点处追问，通过直观的小棒图，帮助学生对两位数乘一位数的算理及算法有更深刻的认识。
三、在错误处追问，追求生成的精彩
皮亚杰认为，让学生犯些错误是应该的，因为学习本身就是一种通过反复思考招致错误、逐渐消除错误的过程。布鲁纳也曾经说过：“学生的错误都是有价值的。”的确如此，错误是孩子最朴实的思想、最真实的经验。所以学生的错误往往是一种鲜活的教学资源，教师应该善于挖掘和发现错误背后隐藏的教育价值，及时追问，引领学生从错中求知，从错中探究，生成精彩的课堂。
例如：人教版小学数学四年级下册，学生在学习了三角形三边的关系和三角形的分类后，教师投影出示：一个等腰三角形两边的长度分别是6厘米和13厘米，第三边长 厘米。
生1：6厘米。
生2：13厘米。
教师：这两个答案，你认为哪种对？为什么？
大部分学生赞成生2的答案是对的，生1的是错的。
教师：你能说说理由吗？
生：三角形边的关系要符合三角形任意两边的和大于第三边。因为6+6
教师：6+8>13，那能填8厘米吗？
生：不行，因为等腰三角形有两条腰的长度是相等的，所以只能填6厘米或者13厘米。因为6+13>13，所以第三边的长度是13厘米。
教师：那要求等腰三角形第三边的长度要考虑哪些问题？
生：既要满足三角形任意两边的长度大于第三边，又要有两条边的长度相等。
上例中，面对学生的错误，教师因势利导，紧扣三角形任意两边的和大于第三边及等腰三角形的特征这两个知识点展开探究。学生在学习中由于考虑问题不全面通常都会暴露出案例中的错误和问题，通过老师的不断追问，不仅让学生明白了错误的根源，而且明白解决问题要从多个角度进行思考。教师要及时捕捉错误信息，让学生在纠错中拓展思维的宽度，增加思维的厚度，从而让课堂教学更精彩。
四、在追问时“留白”，追求理性的回归
所谓“留白”就是教师要读懂学生、信任学生，给学生提供充分的思考时间和空间，相信他们通过自己的努力一定能解决问题。为了教与学的交互融合，为了收获“蚕儿破茧自出”的喜人景象，课堂教学中教师的追问要给学生“留白”，给知识“留白”，给自己“留白”，从时间和空间上留出足够的空白，让学生能静下心来思考，要让学生思考后有所收获，能够“跳一跳摘到桃子”。课堂追问的“留白”，能让师生都有自己思索、创新的舞台，从而让课堂变得更理性。
例如：人教版小学数学五年级上册“平行四边形的面积”中，学生通过数格子的方式得知，平行四边形的面积用“底×高”来计算是对的。
教师：但是，用数方格的方法得到一个平行四边形的面积，这种方法方便吗？
生：不方便。
教师：既然不方便，那有没有更方便的方法来解决求平行四边形的面积呢？
这时，教师给足够的时间让学生操作、讨论，得出平行四边形可以转化为学过的长方形。
教师：你是怎样转化的？
生：我沿着平行四边形的高剪下来，然后把这个小三角形平移到了另一边，就拼成了长方形。（学生把图片贴在黑板上，图4）
教师：还有不同的方法吗？
生：我是沿着平行四边形中间的一条高将它分成两个直角梯形，再平移，拼成长方形。（学生把图片贴在黑板上，图5）
教师：那拼成的长方形与原来的平行四边形有什么关系呢？
这时，教师给学生“留白”，给知识“留白”，让学生充分思考后得出：长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。
在这个片段的教学中，教师追问的“留白”，让学生动手操作，合作交流，主动探索和发现平行四边形面积的计算方法。交流时，学生自己来说明剪拼的方法，在交流中理解平行四边形与拼成的长方形间的内在联系，既能思考后有所收获，也培养了语言表达能力和解决问题的能力。
五、结语
关键词：学案导学法；初中数学；课堂教学；运用
学案导学法属于新课标教学改革后的创新性实践，在初中数学课堂教学中运用学案导学法，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，以自主学习和自主探究为教学原则，有助于培养并锻炼学生的数学思维能力和应用能力，促进初中数学课堂教学质量的提升。因此加大力度探讨如何在初中数学课堂教学中运用学案导学法，对于学生逻辑思维的发展是非常必要的。
1 初中数学课堂教学中运用学案导学法的必要性
著名教育学家陶行知指出，知识的获取是一个主动学习的过程，学生不应当成为信息的被动接受者，而应当是知识信息的主动参与者。在新课标大环境下，初中数学教学应当转变教学理念，充分发挥教师的主导地位，将单纯的数学知识教育转变为学生数学思维能力的培养，从而实现数学知识与生活实际的有机融合，促进学生的全面发展，在初中数学教学过程中，教师应当充分尊重学生的主体地位，掌握好学生的认知规律，合理设置问题情境，并加强学生彼此合作探究，培养学生分析问题、判断和归纳问题的能力。学案导学法以学案为桥梁，以教师为主导，保持学生的主体地位不变，是现代化的教学模式，倡导学生自主学习并开展小组合作探究，转变了以往填鸭式的教学方式，学生自主对数学知识进行学习、探究和拓展，在这一过程中能够强化学生的学习能力，激发学生的探索欲望，因此学案导学法运用于初中数学课堂教学中，具有一定必要性。
2 学案导学法的应用价值
2.1 丰富数学课堂教学形式
在初中数学课堂教学中合理运用学案导学法，教师能够依据学案以及学生的认知规律和学习特点，组织学生开展丰富多彩的数学教学活动，并通过数学模型以及教学实物的有效运用，将数学知识进行具体生动的演示，满足初中阶段学生的身心发展需求，调动学生学习数学知识的兴趣和积极性，促进初中数学教学活动的顺利开展。基于学案导学所开展的数学教学活动，能够对现代多媒体设备进行合理利用，创建优良的数学教学情境，丰富数学课堂教学形式，开展合作探究，从而提升初中数学课堂教学质量。
比如在平行四边形学案中，教师可以结合学案内容设计丰富的教学活动，通过多媒体CAI向学生展示一组生活中的平行四边形图片，包括平行四边形玻璃、平行四边形地板砖等，引导学生对平行四边形进行观察，并互相说一说平行四边形的特点。在此基础上将学生进行合理分组，为每组准备几根长度不一的竹签，让学生自行拼接平行四边形。在这一过程中，通过合理的学案设计，让学生感知到数学知识与生活实际存在的密切联系，并丰富了数学课堂教学的形式，促使学生在实践操作中体会到平行四边形的性质，深化学生对数学知识的理解和记忆，促进教学质量的提升。
2.2 加强了教学过程分析
学案导学通过感知预习-课堂活动-教师讲解-检测评价-复习反馈五个环节，实现了“教”与“学”的统一，强化了对教学过程的分析与研究。教师是学案的制定者，也是课堂活动的组织者与实施者。依据学案，教师可开展针对性的提问与练习，深人剖析例习题的功能，把握学生的学习动态，帮助他们主动构建数学知识体系。
2.3 拓展了数学知识范围
数学来源于生活，又应用于生活，可以说生活是数学知识的“源头活水”。因此在学案设计中，教师应注意利用文字材料、音视频媒体、图形动画等创设出丰富多彩的生活情境，引导学生从生活中寻找数学应用的足迹，在潜移默化中培养学生数学应用意识与能力。
2.4 增强了学生探究能力
新课程理念倡导“自主-合作-探究”的教学方式。在学案导学过程中，教师应充分发挥小组学习的优势，调动不同智力水平、不同学习基础的学生参与课堂教学。给他们提供一个自由交流、相互探讨、共同合作的平台，让他们经历知识的生成过程。
如在“平行四边形”一节学案的检测评价环节，设计了这样一道能力探究习题：请你为张师傅弹一条墨线，将锯下的这块平行四边形木板分成面积相等的两部分（图略），你有多少种方法？设计意图：通过小组合作，让学生尝试从平行四边形对角线交点作直线，观察并求证被分割的两部分面积大小总相等。在不断的质疑、分析、释疑过程中，增强学生探究能力。
在复习反馈阶段，教师结合学生的预习、课堂活动以及检测环节，首先让学生对本节课的学习进行自我评价。教师按照教学大纲和教学目标的要求，重新审视教学设计，分析教学三维目标是否实现，重新调整教学方案，对学生模棱两可，含混不清的知识点进行重点讲解，提高辅导的针对性。
3 学案导学法在初中数学课堂教学中的运用要点
新课程标准对初中数学教学也提出了新的要求，在初中数学课堂教学过程中应当学案导学法时，应当结合数学教学内容以及学生的数学基础加以全面化分析，合理设计数学学案，把握好数学知识的内涵与外延，从而提高初中数学课堂教学质量，强化学生的数学逻辑思维和应用能力。因此在学案设计过程中，应当遵循浅显易懂的原则设计预习环节的数学问题，以增强学生的自信心，激发学生的学习欲望；在数学习题的设计上，教师应当基于学生对数学知识的理解和接受能力，进而合理运用数学模型、教学实物以及多媒体技术等开展数学教学，深化学生对数学知识的理解，为教学活动的顺利开展提供可靠的基础。
在初中数学课堂教学活动中，教师应当尊重学生的主体地位，结合初中阶段学生的身心发展特征，加强与学生之间的交流和合作，通过师生之间的密切配合，鼓励学生开展小组合作探究，帮助学生构建一套完善的数学知识体系，强化学生的逻辑思维和应用能力。针对数学复习反馈环节，教师应当明确教学目标，按照新课标环境下数学教学大纲的基本要求，对教学设计的合理性和有效性进行审视，通过实践探索，促进初中数学教学三维目标的实现，有针对性的运用学案导学法，提高初中数学教学质量，强化学生的理性思维，促进学生的全面健康成长。
结束语
总而言之，在初中数学课堂教学中合理运用学案导学法，实现了数学教学理念和教学模式的转变，并通过学案的有效利用，为数学知识的获取提供了广阔的探究空间，强化学生的数学逻辑思维和应用能力，提高初中数学教学的可控性和时效性。
参考文献
一、 探究思路开放：猜想与实验的无缝对接
猜想和实验是学习数学的两种重要方法。数学猜想是人们依据已有数学知识和经验，运用非逻辑的思维方法，凭借直觉而作出的假设和预测。它是人们探索数学规律、发现数学知识的手段和策略。数学研究更需要实验，数学家有时通过成百上千次的实验、观察、联系、归纳、类比、猜想才发现一个真理，最后用特有的严谨数学语言表达出来。教科书一般都把问题背景和探索过程省略了，这就需要学生在学习时进行必要的“时空穿越”，以亲临其境的姿态进行探寻。
从这个意义上说，教师应在教学过程中为学生提供丰富的现实背景，激发学生的学习积极性，引导学生从不同角度进行大胆猜想，并给予他们充足的自主探索、实验操作和合作交流时空，在问题解决过程中帮助学生积累广泛的数学活动经验，发展数感，提高探索、发现和创新能力。
课始，笔者用课件出示一个长方形花坛和一个正方形花坛，问学生会算这两幅图形的面积吗？因为没有标出相关数据，学生无法直接解答。在得到否定回答后，教师给这两幅图分别覆盖上方格图（每个方格边长1厘米），学生很自然地就能调用原有知识经验口答出两幅图的面积。这种通过数方格的方式推导平面图形面积的方法为学生的后续学习做了回顾、示范和铺垫。教师接着设疑，出示一个平行四边形，让学生猜想一下它的面积会用怎样的算式来计算呢？让学生充分发表自己的观点。因为受到长方形、正方形面积计算方法的影响，学生有可能出现三种不同的假设，即：6×5、6×4、5×4。教师及时抓住学生的疑惑，适时激发思考：这3种假设都正确吗？可能有几个正确算式？（提示：假设有可能都不对）教师指出：数学思考不能只停留在假设阶段，更重要的是要寻找方法验证假设，并顺势板书：假设―验证，为本课学习归纳出第一条路径。
这一过程从长方形、正方形的面积计算方法引入，引发学生对旧知识回顾，再出示一个平行四边形，让学生根据自身已有知识经验猜想，教师罗列出三种不同想法后，引导学生评判，从而进一步诱发学生进行校验，为学生搭建了概念学习的多元开放的探究架构。
二、 探究过程开放：特例与归纳的内在关联
波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。”诚哉斯言，数学不是一门实验性的科学，故而在学习过程中不能将观察到的结果、实验性的验证作为判断数学命题真假的充分依据，但实验对数学发现及探求数学问题的解决思路起着重要作用。正如欧拉所言：“数学这门学科，需要观察，也需要实验。”
受长方形面积计算方法的定势和干扰，不少学生认为平行四边形的面积等于相邻两条边的乘积，这是学生认知中最大的障碍。为了突破这个难点，执教者对教科书进行了大胆重组，让学生放开手脚在猜想验证中自主探索，体现研究思路多元，研究方法开放。在学生猜想同一个平行四边形有三种不同的计算方法后，及时组织师生互动，让学生通过反思认识到这三种假设有可能一个都不对，也有可能只对一个。正所谓不愤不启，学生身处思维的困顿之中，教师启发、点拨学生可以用数方格的方法尝试实验。
师生合作用边长1厘米的小正方形铺一铺，实验发现图2中用20个完全一样的小正方形一个一个地铺平行四边形，无法铺满整个平行四边形，即平行四边形的面积比20cm2大。因此，5×4=20cm2是错误的。继续用小正方形铺，如图3所示铺上28个小正方形时，就会超出平行四边形，也就是说平行四边形的面积小于28cm2，故5×6=30 cm2也是错误的。剩下的假设――6×4=24cm2就一定正确吗？教师放手学生继续猜测。师生合作、讨论，寻找问题解决的办法，教师注意搜集整理学生想法，诱发学生思考，揭示转化策略，并和学生一道借助课件演示尝试通过剪、拼的方式，把图中多余部分平移、擦去后（图4），学生发现平行四边形的面积恰好是6×4=24cm2。教师适时与学生一起回顾6cm、4cm分别在图形中所担负的角色――它们分别为一组对应的底和高，从而概括出平行四边形的面积=底×高。到这儿似乎大功告成了，殊不知这个实验仅是一个个例，这个计算公式是否具有普适性，还需要进一步证明。拉普拉斯：“在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。”归纳和类比环节在过往的教学实践中常常被忽略。为了帮助学生亲历学习的整体过程，自觉经历知识的产生过程，笔者在教学时还设计了归纳、类比的环节，与上述猜、想实验环节遥相呼应，以数学的姿态逼近问题本质。
第一层次：思想渗透。出示图5，学生猜测后教师启发方法，课件演示验证，将学生懵懂的表象认知转化为清清晰的认知，即：把不规则图形通过剪、移、拼，转化成长方形，面积不变。
第二层次：数据实证。操作实验时，学生通过小组合作把一个平行四边形转化成长方形。教师给出活动小贴士：
选一选：从信封中任意选择一个平行四边形。
说一说：小声商量一下，我们小组准备怎样转化。
动动手：两人一组，剪一剪、移一移、拼一拼，我们有什么发现？
小组活动后展示交流，重点呈现同一图形不同小组不同的剪法，凸显转化效果相同，即通过剪、移、拼，把平行四边形转化成了长方形。让学生感悟开普勒的言论：数学就是研究千变万化中不变的关系。自然过渡到数据整理阶段，因为教师事先提供了5种不同的平行四边形，小组合作轻松完成表格的填写（表1）。对照表格中的数据，讨论并回答教科书第8页的三个思考题，从众多的事实中通过不完全归纳得出平行四边形的面积计算方法。
这样，通过实证的教学模式，引导学生参与猜测、动手操作、收集数据、分析数据的全过程，使学生在亲身体验和思考过程中，主动发现、建构知识，逐渐学会用数学眼光观察身边的事实，从层层递进中追根溯源，不断释疑明理，让数学知识以科学的形态出现，让学生在开放探究中深刻感悟到知识本质，体验到探索与发现的快乐，初步懂得孤证不一定为假，多证不一定为真的道理，最终实现基础知识习得、基本技能练习、数学思想方法渗透、基本活动经验积累的有机达成。
三、 练习视角开放：传统与创生的有机结合
苏步青先生认为学习数学要多做习题，边做边思索；先知其然，然后知其所以然。从这个角度看，基本知识习得、基本技能训练、基本思想方法内化、基本活动经验的反刍需要恰到好处的、适当的、开放性的练习。传统教学经验表明：新知识巩固的最佳路径是从不同维度设计指向性问题。一道好题的价值之一就在于它能产生其他一些好题，数学开放题作为一种答案不惟一的习题，自上世纪70年代出现后一直方兴未艾，日常数学学习中渗透开放题能有效撬动学生的数学思考模式，打开别样思路，促进学生思维发展，特别是学生的创造性思维培养。
基于这样的考量，笔者设计了三个层次的练习，即基本练习、变式练习和开放练习。在基本练习中增添变式的介入，从对第三个平行四边形面积的正确计算中强化平行四边形面积等于对应底乘对应高，全面透彻地掌握基本概念。
在变式练习中设计一个操作活动，将长方形木框通过拉动变形为平行四边形，给学生提供了另一扇观察变与不变的“窗户”。辨析中从另一个维度再次证明平行四边形的面积≠相邻两条边的乘积，强化教学难点认知。直观再现拉动前后周长不变、面积变小的事实，给学生充分表达自我感受及见解的机会，提供课件演示让模糊的感知变得更清晰，从而明晰两者变与不变的内在联系。
开放练习是本课设计的亮点之一，根据教科书编制特点及对教学重难点的理解，将传统数学习题改变问题呈现方式――“变封为开”，设计了“在方格图上画一个面积为12平方厘米的平行四边形”的练习题，以期通过综合开放题的练习实现对教学难点的深入突破。在日常数学课堂教学中植入开放题元素，努力实现开放题教学与常态课堂教学的有机融合，这是一个颇具挑战性的问题，对学生空间想象力、发散思维能力的要求较高，成为本课中学生数学思维深化的一个重要环节。学生在四年级时已有画平行四边形的经验，问题解决中的主要挑战来自于对等底等高平行四边形的理解不够熟练，囿于长方形的长期刺激所带来的底和高对应相等的平行四边形的认知局限等，限制了解决方案的数量。在这一过程中，学生的独立思考、小组的合作讨论、教师的适当点拨、师生的互动交流都能为丰富问题答案的呈现锦上添花，从而引导学生就某一底和高画出不同的平行四边形，也可从不同的底和高画出更为丰富的平行四边形。这样把数学开放题引入常态课堂教学，不仅为封闭的数学习题系统注入了一池活水，还可以更大力度地培养学生的创新意识和创新能力，进一步增强数学课堂的亲和度和时代色彩。
总之，从开放题到开放教学，不仅是研究的深化，也是一种时代趋势，更是一次前瞻转型。以开放课堂牵引学生能力向纵深发展，破解学生能力培养方式的瓶颈，以数学素养的提升为有效出发点及落脚点，能更好地致力于学生的健康、快乐成长。
参考文献
关键词 案例；分析；预习；生成
预设是教师发挥组织者作用的重要保证，它有利于教师从整体上把握教学过程，使教学能有序展开。但在实际教学中，学情的不确定性和非预期性是客观存在的。有时候教学生成的发展变化与教学预设相一致，这反映了教师对教学内容的正确把握和对学生认知状况的深入了解。但更多时候，两者存在明显落差，这反映了教学过程的复杂和教学对象的差异性。对教师来说，教学生成与教学预设相悖时，将面临着严峻考验和抉择：是固守预设置之不理，还是顺着学生的思路动态生成？著名教育家苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于能预见到课的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉之中作出相应的调整和变动。”
1 案例描述
师：同学们，你们看到了什么？它们分别叫……
生：钝角三角形、锐角三角形和直角三角形。
师：看到三角形你获得了哪些信息？
生：我知道这三个三角形的底都是20cm，高都是10cm。
师：这节课我们一起来研究三角形的面积。（揭示课题）
师：选择一个图形，用你想到的方法计算出它的面积。你觉得选哪一个三角形计算方便，就选那个三角形计算。
此时，学生开始独立探究，我也赶紧通过巡视去了解学生的探究情况，我发现不少学生的想法也正是我所希望看到的：他们都选择了计算直角三角形的面积。在与个别学生的交流中，我了解到学生能说出“用两个相同的直角三角形能拼成一个长方形，先求出长方形的面积，再用长方形的面积除以2就是直角三角形的面积”。
当我看到有十多个学生的手已经举起时，我没有再等，而是随意叫了一位手举得很高的男生回答。殊不知这样随意一叫，却打乱了我整节课的教学预设。
生：我算的是直角三角形的面积。只要沿着三角形的中间把它剪下来，就可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是底×高，所以三角形的面积是20×（10÷2）=100（cm2）。
这样的回答完全出乎我的意料。在我的教学预设中，学生应该选择用两个完全相同的直角三角形拼成长方形的方法，而在巡视过程中，我所看到的学生的做法和我的预设是吻合的，但我随意叫起的这位学生却偏偏是我刚才没有看到的，我真后悔没有叫看到过的学生！但学生已经说出口了，总不能退回去，还是顺着他的思路让他先说完再看吧！
师（停顿数秒）：你们听明白了吗？（不少同学都在摇头）
师：请这位同学再给我们说一遍。
生（复述）：只要沿着三角形的中间把它剪下来，就可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是底×高，所以三角形的面积是20×（10÷2）=100（cm2）。
师：谁听明白了？老师这里有把剪刀，谁能按这位同学的想法上来剪一剪，让我们一看就明白他的意思？
指名一位学生进行操作，形成右图：
师：看明白了吗？请你也在练习纸上画一画，把剪拼的过程表示出来。
学生操作。
师：谁能说一说平行四边形的底和高，与三角形的底和高之间的关系？
生：平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高是三角形高的一半。
生：所以平行四边形的面积是20×（10÷2）=100（cm2），也就是原来三角形的面积。
师：谁还有不同想法吗？
至此，教学又步入我原有的教学轨道……
2 案例分析
在这个案例中，第一位发言的学生就采用剪拼的方法来计算三角形的面积，出乎我预设之外。面对这个意外，我犹豫了：是不理睬这位男生的回答，虚晃一枪，继续按照预设程序开展教学，以漠视学生的生成来换取教学的流畅，还是尊重学生的生成，及时调整预设的教学顺序？当时我真的很犹豫，更是特别后悔叫了一位我没有看到的学生回答问题。但是“教师的教要适应学生的学”这种“以生为本”的教学理念迫使我放弃了原先的想法，大胆调整教学预设，顺着学生的思路展开教学。
课后我对教学进行了认真深入的反思：
（1）对教材的研读和对学生的认知起点把握不够：在教学预设时，我知道学生在四年级学过图形拼组，有用两个相同的直角三角形拼成一个长方形的数学活动经验，所以我的教学预设就是以图形拼组为基础的。但细细想来，三角形面积是在平行四边形面积之后的教学内容，平行四边形面积是用剪拼的方法来推导公式的，学生刚学过平行四边形的面积推导方法，接下来学习三角形面积时想到剪拼也是很正常的。
（2）教师指名回答的随意性：出现这样的意外，教师的反馈环节组织得也存在很大问题。其实，在这个教学反馈环节，学生不同方法呈现的先后秩序是可以控制的，如果教师预设到学生可能出现不同方法，就应该思考反馈的顺序与重点，指名哪一位学生第一个发言，教师在巡视过程中完全可以找到。而我在课堂上，随意一叫出现了意想不到的情况。
3 教学反思
3.1如何精心预设：数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验的基础之上，当教师要进行高质量的教学活动，就需要高质量的预设。
（1）首先要读懂教材。我们可以从教者、编者和学生三个角度来研读教材，要弄清楚教材为什么这样编写，其教学目标是什么，要读懂教材中的文本语言、符号语言和图形语言，理解教材编写的逻辑顺骗序，以及教材所蕴含的数学思想和方法等。
（2）要弄懂学生思维特点以及学习心理状态。在设计本节课时，可以设计一个前测：出示三个不同类型的三角形，挑一个学生觉得会算的三角形，通过画一画、算一算等方法算出它的面积。通过汇总情况看看学生可以会用几种不同的方法来计算三角形的面积，然后根据学生的实际情况来设计预案。
（3）备课时教师不仅要预设教学重点和难点，更要预设学生学习的“障碍点”。所谓“障碍点”，是学生对所学知识难以理解的地方，也就是学习困难之处。了解学生的学习障碍，在关键处加以“重锤”敲击，则会收到“事半功倍”的效果。扬州市某小学的一位教师执教《角的度量》一课时，为了解学生的学习障碍，连续对学生进行了四次调研，设计了如下问题：为什么随手画出来的长方形往往是歪的？谁曾见过量角器？谁会用量角器量角（给出已知角）？量角器上有直角吗？能用它判断所给图形（长方形）的四个角是直角吗？指出量角器上的“角”。通过对学情的细致调研，对调研结果的深入分析，设计出了基于学生经验，顺应学生认知规律，有的放矢的教学过程。
（4）数学是“思维的体操”，需要对学生的认知状况和发展水平作出准确判断。只有找准学生的最近发展区，使得预设既基于学生，又高于学生，才能达到提升数学素养、培养数学能力的目的。张齐华老师执教的《分数的初步认识》，最后一个环节中播放的“多美滋1+1奶粉”的广告曾经给大家留下了深刻的印象。广告叙述的是小朋友分蛋糕的故事：有四个小朋友，想要分吃一块蛋糕，聪明的东东只切了两刀就把一块蛋糕平均分成了四份。可是突然又来了四个小朋友，也想吃蛋糕，怎么办呢？聪明的东东动脑筋一想，只把蛋糕从底与面的中间横切一刀，就平均分成了八份，每个小朋友分是其中的一份。正在这时，又来了第九个小朋友，又该怎么分呢？可爱的东东看看手中的一小块蛋糕，毫不犹豫地掰成两半，与第九个小朋友共同分享。生动有趣的故事情节，深深地吸引着孩子们，然而张老师预设的重点并不在于观看一段好玩的画面，而是通过在画面中截取的有关画面，引导学生在每一幅图中寻找本节课所学的分数。贴近生活的真实问题，环环相扣的精心设问，引领着学生不断深入地思考。他们不仅找到了分数：1/4，1/8，还对最后一个画面中的蛋糕是否是平均分的，能否用分数1/16表示，展开了激烈的讨论，定位准确的拓展预设不仅提升了学生对分数意义的理解，还把整节课的气氛推向了高潮，可以说是这节课的点睛之笔。
（5）数学学习应该为学生获得知识、形成能力、提高素养服务。因此，教师首先应具有广阔的视野。不能单就一节课进行教学设计，而要把这一节课的知识放在数学知识体系的长河中去考虑它的位置、价值，挖掘显性知识背后所包含的隐性数学思想、方法及文化内涵融合到教学预设中，这样的数学课堂不仅具有知识意义，更有数学价值；其次，教师对于学科教学研究要深入，思考要深刻，深入浅出，站得高看得远；第三，教师对数学资料的掌握要全面。数学史，数学故事，名人典故，数学趣题等等，作为一个又一个的伏笔埋下，使得数学知识不再单薄，数学教学不再肤浅，课堂从横向和纵向上得到延伸，变得丰满，深厚，充满神奇。
（6）要充分估计教学过程的复杂性，构建非直线型教学路径。备课时要考虑不同的学生会有哪些不同的思考，可能会出现哪些解决方法，教师应在充分了解学生的基础上，在教学的生成点上预设多种通道，使教学预设更具有灵活性和变通性。如上述教学环节，教师至少要准备两套教学预案，即学生既有拼的方法又有剪拼的方法。教师只有善于根据教学内容和学生现实预设多种教学方案，才能胸有成竹地步入课堂，才能顺着学生的思维展开教学，才能为学生个性化的活动和发展创设更大的空间。
3.2如何对待生成。布卢姆说：“人们无法预料到教学所产生的成果的全部范围。”即使课前预设再充分，一节课也会出现“意外”。
（1）课堂教学中，教师和学生的关系是平等的，但教师是平等中的首位，在教学生成过程中，教师需要具有主动介入，控制进程的教学意识。比如，在上述案例中，教学反馈的顺序就十分重要，由易到难，突出重点，需要教师合理安排好学生生成材料的反馈顺序。当然，就本节课而言，如果教师预设全面、灵活，无论学生出现哪种方法都是能够顺势展开教学的。
