时间：2022-09-04 18:57:29
1、让学生知道平行四边形面积公式的推导过程，以平行四边形与长方形关系为基础，引导学生通过动手操作和观察、比较，掌握平行四边形面积的计算公式，并能应用公式正确地计算平行四边形面积或是解决一些简单的实际问题。
2、培养学生想象力、创造力，及用转化的方法解决新的问题的能力。
3、培养学生自主学习的能力。
4、使学生初步感受到事物是相互联系的，在一定条件下可以相互转化。
二、教学重点：平行四边形面积的计算公式的推导及计算。
三、教学难点：平行四边形面积计算公式的推导过程。
四、教学用具：长方形、平行四边形硬纸片、剪刀、直尺
教学过程：
一、引出主题：
师：大家知不知道我们学校正在将操场隔壁的地方改造为校园一角，专门留出两个空地作为我们同学们的学农小基地（在黑板上贴出两个图案，一块是长方形——甲地，一块是平行四边形——乙地）。下面我们就看一下这两块空地是什么形状的？学校啊，又决定将甲地分给四年级，乙地分给五年级负责除草，那么大家知道哪一个年级负责地方要大一点呢？
师：现在我们先看一下甲地。我们要求这块长方形地的面积，只要量出什么啊？
生：长方形的长和宽（点出长、宽）。
师：现在老师已经量出来长15米、宽10米，那么它的面积是什么？
生：（计算）150平方米。（要求学生回忆起长方形的面积公式，并运用公式计算出这个长方形的面积。）（板书：长方形面积公式）
师：同学们现在都能很熟练地计算出长方形的面积啦！那么，这块平行四边形地的面积是多少啊？我们该怎样计算呢？这就是今天我们要一起探讨的问题啦！（板书：平行四边形的面积）
二、动手操作（得出公式）：
师：以前我们是用面积器量数出长方形有多少个小格子或是得出长方形的长和宽来用面积公式来算出了长方形的面积。那我们可不可以运用以前的知识或是我们的经验，想出计算这个平行四边形的面积的方法呢？有哪位同学已经想到办法来？
生：用剪刀沿着平行四边形的高剪，再拼成长方形，再用尺子量出底（长）18厘米，高（宽）10厘米。面积是180平方厘米。（让学生把操作展示给全班同学看）
师：这位同学很聪明，他是沿着高来剪，再拼成一个长方形。那老师现在再问你一个问题，你为什么要剪拼成长方形？
生：因为长方形的长和宽与原来平行四边形的底和高相等，而长方形面积我们会求。
三、得出结论：
师：沿着这条垂线把平行四边形剪成了一个三角形和一个梯形，把三角形移到梯形的一边，就变成了长方形。拼成的长方形的长与平行四边形的底相等，宽与平行四边形的高相等。因为长方形面积=长×宽（板书），所以我们推导出平行四边形面积=底×高（板书）。我们称这种方法为“割补法”（板书）。如果我们用s来表示平行四边形的面积，a来表示平行四边形的底，h来表示平行四边形的高，你能自己写出平行四边形的字母公式吗？
生：s=a×h
师：我们还可以将这条公式缩写为：s=a·h或者是s=ah。
四、巩固提高：
练习：一块平行四边形钢板，底为4.8厘米，高为3.5厘米。
它的面积是多少？（结果保留整数。）
解答：4.8×3.5=16.8（平方厘米）≈17（平方厘米）
一、借助四边形章节内容的生动性，激发初中生探究的内在情感
四边形章节是初中数学平面几何知识体系的重要组成部分。通过对四边形章节内容的整体研析，可以发现，四边形章节包含了不规则四边形、平行四边形、梯形、等腰梯形、菱形、矩形等四边形知识。四边形章节的这些丰富的特性，为激发初中生探析的内在情感提供了有利条件。因此，在四边形章节教学中，教师要善于发挥四边形内容的生动性，抓住学生情感兴奋点和聚焦点，设置有效的教学情境，激发起初中生主动探析的欲望。
如在“平行四边形的判定”教学活动中，教师利用平行四边形的应用性，在引导初中生探究“平行四边形的判定”内容时，先向学生提出了“小明现在有12厘米、13厘米、13厘米的三根木棒，如果小明想拼接成一个平行四边形，他现在需要再准备一根多长的木棒？”的问题，这样，初中生在感知现实问题案例中，主动探析的积极情感得到了激发，为有效探析打下了坚实的思想“根基”。需要注意的是，教师在激发学生进行探究的过程中，需要紧扣学生的认知特点和情感发展实际，否则事倍功半。
二、利用四边形问题案例探究性，锻炼初中生有效探究学习技能
解答问题的过程，实际上就是探索实践的过程。通过对四边形章节问题案例的分析，可以发现，四边形问题案例中所提的一些解题要求，都是一些具有探究性的内容，需要学生借助于现有知识内容、解题经验，进行探知分析活动。因此，初中数学教师在四边形的问题案例教学过程中，可以将探究性问题案例作为培养学生探究能力的重要抓手，发挥好教师的主导作用，做好初中生探析活动的指导工作，及时归纳总结的方法和策略，以此提升初中生的探究活动能力。
问题：如图，在 ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，EF交AC于点G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为多少？
学生分析问题条件认为：“该问题案例考查学生对平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等方面的掌握情况”，教师进行指导点拨，学生得出解题方法：“作辅助线：延长CD、EF，交于点H。由平行四边形的性质可证AEF∽DHF，由AF=2，DF=4，得，HD=2AE。又点E为AB的中点，CH=4AE。同样由平行四边形的性质可证AEG∽CHG，由CH=4AE，AG=3，得CG=12。因此AC=AG+CG=3+12=15。”解题过程略。师生共同总结问题案例解答策略和规律。
在上述问题案例教学活动中，学生获得了探究实践的时间和空间，教师做指导工作。学生在“亲身实践”和教师有效指导“间接点拨”的双重作用下，探究能力素养得到了有效锻炼和显著提升。
三、挖掘四边形章节内涵深刻性，提升初中生综合探究的素养
通过对四边形章节知识体系结构的仔细分析，可以看出，四边形章节包含了多个知识点，如平行四边形、梯形等，其中平行四边形又包括矩形、菱形、正方形等。由此可见，四边形章节具有显著的丰富性和深刻性。综合探究能力，是初中生综合能力的重要内容，也是当前中考考查学生学习能力素养的重点。因此，运用多种解题策略和方法进行问题案例的有效探究活动，成为培养教师能力的重要任务和要求之一。初中数学教师在四边形章节阶段性教学活动中，应该设置包含多个知识点的综合性数学问题，让学生借助于多个数学知识点，采用多种解题策略，进行问题案例的探究活动。
摘 要： 学习能力培养，是新课改下初中数学课堂教学活动的根本出发点和现实落脚点，是教师有效教学的根本目标。初中数学教师在知识章节讲授和课堂教学每一环节中，都应将学习能力培养作为目标要求和根本任务。作者结合平行四边形教学活动，论述了初中生学习能力培养的方法。
关键词： 初中数学教学 平行四边形 学习能力 培养方法
常言道，教是为了不教。教师作为教学活动的“组织者”和“策划者”，其最根本的任务不仅仅是讲授知识内容和“解疑释惑”，还承担传授学习技能“明智”的重任。新实施的初中数学课程标准指出：“要将学生的学习能力培养，作为教学活动的根本任务和目标要求，坚持以生为本，将学习能力培养作为第一要务，通过行之有效的教学策略，培养和提升学生学习能力素养。”由此可见，锻炼和培养学生学习能力，是教师开展教学活动、实施教学策略的根本出发点和现实落脚点。但在传统教学活动中，部分初中数学教师将“教授”知识内容作为教学活动的根本任务，忽视学生学习技能水平的培养，导致学生“解题能力强，学习能力弱”。因此，在新课改深入实施的今天，初中数学教师应将培养学生学习能力作为首要目标和根本任务，结合教学目标要求、学生学习实际，采用行之有效、方式多样的教学策略和手段，实现初中生在有效教学中学习能力水平的显著提升。基于此，我在教学活动中进行了尝试探索，现结合平行四边形章节教学活动，论述培养初中生学习能力的方法。
一、利用平行四边形知识生动特性，培养初中生自主学习能力。
学生开展自主学习活动是建立在积极、能动学习情感基础之上的。良好学习情感，是学生能动、自主学习、探知的首要前提和思想保障。平行四边形作为初中数学学科知识体系的重要构件“要素”，同样具有数学学科丰富而又深刻的情感激励特性。这就为激发初中生自主学习能动情感提供了条件。因此，初中数学教师在平行四边形知识的教学中，要将平行四边形知识与现实生活紧密结合，将平行四边形内容与生动事例有效融合，创设出贴近学生“最近发展区”的教学情境，让学生在积极情感的促动下主动参与学习探知活动。如在平行四边形的性质教学活动中，教师应该抓住该知识点内容的生活性和趣味性等特性，利用情境性教学手段，设置出“星期天，小明在家完成老师布置的手工作业，需要制作一个平行四边形的木框，你能帮助他完成这一任务吗？”现实生活情境，激发起初中生群体的学习欲望，带着任务主动参与教学活动。
二、利用平行四边形问题探究特性，培养初中生探究实践能力。
问题是数学的“心脏”，是知识点内涵要义及其内在联系的生动展现。教育实践学认为，解答问题的过程，实际就是借助自身知识素养，已有解题经验，进行探究分析的发展前进过程。探究实践能力作为学生所必备的三大学习能力之一，在数学学科教学中需要重点训练和培养。因此，初中数学教师在平行四边形章节教学活动中，应设置一些具有探究意义的问题案例，引导和指导初中生开展观察问题、分析问题、解决问题的探究实践活动，传授解题策略和方法，锻炼和培养学生的实践探究能力。
问题：如图所示，在？荀ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等三角形，并说明理由。
上述问题是教师在平行四边形阶段性教学活动中，所设置的探究性问题案例。设置该问题的根本目的在于考查初中生对平行四边形性质定理的实际运用能力。学生在分析该问题案例条件过程中，认识到该问题解答时需要运用平行四边形的性质，通过全等三角形的判定定理内容，构建全等三角形。这样，学生认为应该添加的条件是连接B、E，过点D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是ABE与CDF。此时，教师引导学生进行解题策略归纳，学生结合问题解答活动，认识到该类问题解答时应从平行四边形的性质入手，构建等量关系，进行等量替换。其解题过程如下：
解：添加的条件是连接B，E，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是ABE与CDF。
理由如下：
平行四边形ABCD，AE=ED。
在ABE与CDF中，AB=CD，∠EAB=∠FCD，AE=CF，
ABE≌CDF。
在上述问题案例解答过程中，学生在探析平行四边形案例过程中，对问题解答规律有了初步掌握，探究分析能力得到了有效锻炼和提高。
三、利用平行四边形知识丰富特性，培养初中生创新思维能力。
其一，任何一种教学方法，都是人们在某种范围内根据特定的需要创造出来的。因此，每一种教学方法都有其优越性和局限性。就拿较为简单的讲授法来讲，它利于教师发挥主导作用，在短时间内传授较多知识，系统性强，亦可引发学生进行一定的思考。但是，它不容易发挥学生学习的主动性、独立性和创造性，还需要学生有较高的学习自觉性和听讲能力。因此，较适合于中高年级，而且宜用于教材系统性较强的内容。
其次，只有实现有关教法的优化组合，才能为提高教法的使用效率奠定良好的基础。经验告诉我们，教学任务的完成，教学质量的提高，依靠多种因素、多种方法的综合作用。巴班斯基曾指出：“不存在教学方法上的‘百宝箱’。”美国的富兰克尔也说：“不存在任何情况下，对任何学生都行之有效的，唯一的‘最佳方法’。”因此，简单否定某一种方法或把某种教学方法的作用加以夸大，都是片面的、不切实际的。
再次，应注意选择教法和使用效果的有机统一。选择教学方法，核心问题是最大限度地调动学生学习的主动性和积极性，使教与学在教学的动态发展中得以平衡，最终使预定的教学目标与教学的实际效果相一致。为此，就应充分考虑学生是怎样学习的，怎样才能学得更好。也就是说，应按照学生学习的一般程序来选择或设计教学方法，切忌简单套用某种教学模式的做法。
教学方法选择的程序，在一般的教学论中很少涉及。巴班斯基对这一问题的论述值得我们借鉴。按其基本精神，选择教学方法的程序，大致包括三个步骤：(1)明确选择标准；(2)尽可能广泛地提供有关的考虑方法，便于教师考虑和选择；(3)对各种供选择的教学方法进行各种比较。
参考上面的说法，我们认为选择教学方法的程序可分两个步骤完成：
第一步：学纲、分析教材，确定目标。由于教学方法始终受教学目标和教学内容的制约，因此，要选择好教学方法，就必须首先了解大纲的精神，理解教材的特点和编写意图。
第二步：选择教法、综合比较，确定方案。选择教法既可直接考虑采用综合性的教学方法，也可采取将有关基本的教学方法加以有机组合的办法。特别是后者，在实际教学中往往被绝大多数教师所采用，应作重点考虑。一般来说，可以按照一节课中教材知识呈现的先后顺序，分阶段来考虑教学方法的选择。
下面，以“平行四边形”（第一课时）的教学为例，说明教法选择的做法和步骤。
《九年义务教育全日制小学数学教学大纲》中关于平行四边形概念教学的具体要求是“掌握平行四边形的特征”。这部分教材可分为以下几个部分：(1)由的红领章引入，通过度量引出平行四边形这一概念；(2)解释说明平行四边形有两组对边分别平行这一特征；(3)通过教具演示和插图等说明平行四边形具有可变性这一性质，并举例说明它在实际中的应用；(4)分别介绍平行四边形的高和底；(5)用韦恩图说明平行四边形、长方形和正方形的关系。教学的重点应该是使学生理解并掌握平行四边形这一概念及其特征。为此，该课时的教学目标可确定为：使学生理解并掌握平行四边形的概念及其特征，理解平行四边形的可变性及其在实际中的简单应用，知道平行四边形的高和底，了解平行四边形、长方形和正方形的从属关系；通过教学培养学生的抽象概括能力和空间观念；结合教学进行热爱和端正学习目的的教育。
[关键词]初中数学 案例教学 创新
创新已成为教育的关键词。新的数学课程强调，学生的数学学习应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，要利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。下面就以一节几何课的教学案例，简要发表一下我对创新教学的一些看法。
教材内容： 人教版九年级义务教育初中教科书《几何》第三册《圆的内接四边形》
教学目的： 使学生理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步学会应用性质定理进行有关命题的证明和计算；使学生体验到用运动的观点来研究图形的思想方法；同时，借助计算机技木，培养学生在数学学习中的动手实践能力；通过让学生充分感受发现问题和解决问题带来的愉悦，培养学生的数学创新意识。
教学过程；
习旧引新
（1 ）在 O 上，任取三个点 A 、 B 、 C， 然后顺次连结、得到的是什么图形？这个图形与 O 有什么关系？
（2） 由圆内接三角形的概念，能否得出什么叫圆的内接四边形呢（类比）？
概念学习与探究
1 、概念学习
（1） 什么叫圆的内接四边形 ？
（2） 如图 1 ，说明四边形 ABCD 与 O 的关系。
2 、探究
（ 1 ）前面我们己经学习了一类特殊四边形 ---- 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质，那么要探讨圆内接四边形的性质，一般要从哪几个方面入手？（从角、边、对角线入手）
（ 2 ）打开《几何画板》，让学生动手任意画 O 和 O 的内接四边形 ABCD 及其外角（教师适当指导）
（ 3 ）量出可度量的所有值（圆的半径和四边形的边、内角、外角、对角线），计算对角之和、对边之和、对角线之和、周长、面积。
（ 4 ）改变圆的半径大小，这些量有无变化？由（ 3 ）通过计算观察得出的某些关系有无变化？
（ 5）证明猜想
已知：如图 2， 四边形 ABCD 内接于 O. 求证：
∠ BAD +∠ BCD = 180° ，∠ ABC +∠ ADC=180° ，
∠ ECD= ∠ A 。
知识运用
1 、尝试解疑
问题 1 ：已知：如图 3 ， AD 是 ABC 的外角∠ EAC 的平分线，与 ABC 的外接圆交于点 D 。
求证： DB=DC 。
问题 2 ：如图 4 ， O1 和 O2 都经过 A，B 两点，经过点 A 的直线 CD 与 O1 交于点 C， 与 O2 交于点 D， 经过点 B 的直线 EF 和 O1 交于点 E， 与 O2 交于点 F 。
证明： CE ∥ DF
方法：（学生分组讨论下列问题）
①要证明两条直线平行可以用那些定理？
②本题中我们要让 CE ∥ DF 需要什么？
③在无法证明时，你能在图形中找到圆内接四边形吗？怎样找？（连接 AB ）
四、布置作业
对教学案例的分析
这一教学案例看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的尝试，其中许多环节还需要进一步改进完善。但其较为真实地反映了目前数学课堂教学的一些情况，一些教学环节的处理还是值得肯定的。
1. 突出了数学课堂教学中的探索性
本教学案例利用《几何画板》采取了让学生动手画一画、量一量的方式，使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想，自己去发现结论，并用命题的形式表述结论。这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻，这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性，增强了学生参与数学活动的意识，又培养了学生的动手实践能力、观察能力、归纳能力和自学能力。同时，也向学生渗透了实践 ---- 认识 ---- 再实践 ---- 再认识的辩证观点。
2. 引进了计算机（《几何画板》）技术
本课例在引导学生得出圆内接四边形的性质时通过使用《几何画板》，从而实现了改变圆的半径，移动四边形的顶点等，从而使初中平面几何教学发生了重大的变化，那就是让图形出来说话，充分调动学生的直觉思维，这样一来不仅极大地激发了学生学习的兴趣，而且比过去的教学更能够使学生深刻地理解几何。当然，本教学案例在这方面的探索还是初步的，有待于今后进一步完善。
3. 引入了数学开放题
本教学案例在增大数学课堂教学的探索性，计算机技术进入数学课堂的同时，在学生作业中不定期增加了开放题（作业 2 ），为学生创造了更为广阔的思维空间，对此应大力提倡。
在数学教学中还可将一些常规性题目改造为开放题，如教材中有这样一个平面几何题 “ 证明：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。 ” 这是一个常规性题目，我们可以把它改造为 “ 画出一个四边形，顺次连接四边形四条边的中点，观察所得的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。 ” 我们还可用计算机来演示一个形状不断变化的四边形，让学生观察它们四条边中点的连线组成一个什么样的特殊四边形，在学生完成猜想和证明过程后，我们进而可提出如下问题： “ 要使顺次连接四条边的中点所得的四边形是菱形，那么对原来的四边形应有哪些新的要求？如果要使所得的四边形是正方形，还需要有什么新的要求？ ” 通过这些改造，常规题便具有了 “ 开放题 ” 的形式，例题的功能也可更充分地发挥。
4. 学生的学习方式被确定为 “ 发现学习 ”
情感是人类能动实践探知、积极思考分析、勇于克难求进的“基石”和“保障”。孔子曰：“学而时习之，不亦说乎？”。大哲学家亚里士多德曾经指出：“古往今来人们开始探索，都应起源于对自然万物的惊异”。近年来，斯霞、于漪、李吉林等教育学家，对培养学生能动学习情感，进行了深入细致的研究和探索，提出了“母爱教学法、情境教学法”等具有实践意义的教学理论。平行四边形章节作为初中数学学科体系的重要分支，通过对平行四边形章节内容内涵及外延的分析可以发现，在该章节蕴含了丰富情感培养“因子”，教师在该章节教学中要渗透能动情感培养并贯穿其中。下面，就平行四边形教学中学生学习能动情感培养活动的开展简要论述。
一、以景激情，放大丰富情感内涵
教育心理学认为，初中生处在青春发展期和人生观念树立期，外界社会因素和情感氛围对其能够产生极其重要的影响和制约。新改版的苏教版初中数学教材平行四边形章节内容在设置上较好展现了数学学科“源于生活，服务于生活”的内在特性，以及生动趣味性等特点，为教师激发学生内在能动情感，提供了有效条件和重要抓手。教师要放大数学学科情感激励的内在特性，通过情景交融、以景促情的方式，建立激发学生主动学习积极性和深入探知性的适宜教学氛围，让学生保持主动探知的能动情感。如在“平行四边形的性质”教学活动中，教师采取“先学后教”的教学模式，为了保证学生“先学”活动的顺利开展和取得实效，采用情景教学法，设置了“小区门口的电动门，绘图用的缩放支架等”生活案例，将数学知识与现实案例有效衔接，让学生认知情感得到充分发挥，内在情感得到有效增强。
二、策略传授，集聚能动探析素养
能动学习活动的深入高效开展，需要良好的学习技能、解题素养作为保证。部分初中生能动学习情感薄弱的根本原因在于，未能掌握正确解决问题的方法和策略，未能真正领悟解决问题的精髓，面对具体事例或问题时“手足无措、无从下手”。这在一定程度上影响和限制了初中生内在能动探究情感的发挥。教师要深刻认识此种情况存在的原因，将教会学生解决问题策略方法、提升学生解决问题素养，作为培养学生能动探究情感的重要抓手。在课堂教学活动中，设置较为充足的教学空间，引导和指导学生开展实践探究活动，逐步领悟解析问题的策略精髓，树立能动探析的学习素养，为初中生能动探究活动开展打下能力素养。
如在平行四边形问题课教学活动“已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F.（1）求证：BCG≌DCE；（2）将DCE绕点D顺时针旋转90°得到DAE'，判断四边形E'BGD是什么特殊四边形？并说明理由”案例中，采用探究性教学方法，先让学生自主探析问题活动，学生认为该问题实际是考查学生运用全等三角形以及平行四边形等知识能力，教师引导学生分析问题条件及解题要求，找寻解题思路，学生认为“第一小题应该构建符合全等三角形的条件证明，第二小题应该根据条件，找寻出符合平行四边形的条件，证明四边形E'BGD是平行四边形”，教师对学生解题思路进行补充。学生进行解题活动，并总结归纳该问题解答的一般方法，在此过程中，学生通过自主实践活动和教师指导活动，锻炼了探究实践能力，提升了解题技能素养，为深入开展自主解题活动奠定基础。
三、合作评析，树立主动思考情感
数学是思维的艺术，数学学习活动离不开思考分析、逻辑推理等思维活动。部分初中生在学习数学知识、解决数学问题的进程中，面对一些疑难复杂、内涵深刻的数学问题案例时，受到消极、畏惧情绪的影响，导致思考分析活动不能深入有效地开展。此时，教师可以发挥数学学习活动的群体性特点，借助集体的智慧，放大数学评价的促进激励功效，开展小组合作评析活动，引导学生组成评析小组，开展问题案例小组评析活动，教师做好指导和引导工作，并对学生的评析活动进行肯定评判和积极评价，使学生克服内在消极畏惧心理，树立积极向上的主动思考情感。在评讲“如图，已知：在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG 交CE于F，交AD于G.求证：AE=DG”案例活动中，教师转换角色，让学生进行解题活动评判分析活动。学生组成学习小组，一方面结合自身解题经验进行辨析活动，另一方面与同学合作进行小组探究分析活动，学生通过合作评价分析活动，借助于数学语言，指出该问题解答时存在不足之处，同时，提出改正的方法和策略。教师对学生评价分析的观点和表现进行肯定评判和积极鼓励。这样，学生自主思考分析情感得到了有效激发，内在能动得到了显著增强。
总之，教师在学生内在能动情感培养上，要结合学生主体认知特点，充分运用丰富情感因素，强化解题技能素养传授，肯定学生学习实践过程，逐步增强初中生能动学习情感。
现如今，高科技迅猛发展，特别是现代信息技术的突飞猛进，更使教育领域发生了翻天覆地的变化。拿多媒体课件进入课堂教学来说，根本不是“一支粉笔，一块黑板”可以同日而语的。它比传统教学手段的优势就凸显在于：多媒体课件能将静态变为动态，将抽象变为直观的，有时很抽象的问题，用多媒体课件演示，加上教师几句提示语，就能让学生心领神会，达到事半功倍的效果。因此也就受到广大教育工作者的青睐。
案例1：在教学“周长”这一课时，利用多媒体制作动画――小蚂蚁沿着树叶的边爬行，在此基础上，引导学生回答：什么是这片树叶的周长？（树叶一周的长度就是这片树叶的周长）让学生仔细观察小蚂蚁沿着树叶边爬一周的情景，说出自己对周长的感悟和理解。然后分别描一描硬币面、文具盒面、课本面的周长，这样既调动了学生的主动性和积极性，又帮助学生理解了周长的意义。
案例2：在教学“角的度量”时，当教师讲解完正确度量角的方法之后，用课件出示几副错误的量角图片，提问：这样量角的方法对不对？通过直观的演示，学生能够立即做出正确的判断。教师在此基础上再让学生用正确的方法量出角的度数。这样利用课件演示，帮助学生掌握角的度量方法。为今后学习几何知识做好铺垫。
案例3，在教学“平行四边形的面积”时，用课件分别出示画好格子的平行四边形和长方形，让学生用“数格子”的方法算出，平行四边形与长方形的面积，再用多媒体课件演示“数”这两个图形的面积，使学生受到课件带来的视觉冲击；再出示一张平行四边形的图像，让学生动脑筋想办法，把这个平行四边形转变成一个长方形。学生回答：沿着平行四边形的高剪下来，利用割补法可以把它变成一个长方形。教师根据学生讲的方法用多媒体课件，动态地演示出来，同学们看到：先画高，再沿高线剪下，把剪下的部分补到另一边，这样就形成了一个长方形，且这个长方形的面积与原来平行四边形的面积完全相等，平行四边形的底与原长方形的长相等，高与长方形的宽相等，从而推导出平行四边形面积计算公式。这样的做法，既可以很好地避免传统教学方法的抽象性和局限性，又有助于学生理解概念，促进学生“建构”新的知识。
案例4：在教学“长方体和正方体”特征时，学生掌握它们的顶点、理解棱长以及面与面的关系时，用实物和幻灯片不易显示，用测量方法比较繁琐，又可能存在误差，学生不能信服。应用多媒体技术可以很好地解决这个问题：首先在电脑上显示一个长方体框架，分别在八个顶点闪烁，让学生看到长方体长、宽、高分别相交于1个顶点，再把长方体分别相对的四条棱分离，一点点反复移动，进行组合，排列比较，验证相对的四条棱相等。把相对的上下、左右、前后两个面分别反复移动后重合，验证相对的面相等。同理显示正方体，可知有8个顶点，有12条棱相等，有相等的6个面。这种教学手段不仅发挥了多媒体课件辅助教学的优势，而且克服了其他教学手段的弱点，加深了学生对长方体和正方体特征的认识，突出了教学重点，对学生掌握、理解长方体和正方体的表面积和体积，从二维空间过渡到三维空间有很大的帮助；之后，再把设计的练习先后展示到大屏幕上，运用抢答、填空、判断、涂色等多种方式进行练习，并结合多种评价方式，使得学生的积极性非常高，在多种方式的练习中巩固了所学知识，加深了理解。
实践证明，运用多媒体教学可以让学生多种感官参与学习，在轻松、活泼的氛围中学习数学知识。但是，我们也应该清醒地认识到，多媒体只是辅助教学的工具，是一种手段，一种形式，对教学起决定作用的还是教学内容和教学方法。我们必须有效利用多媒体技术，发挥其积极作用，上好数学课，但也要防止只图形式的滥用。
关键词：互动教学；数学爱好；探究学习
学习中最好的动力就是爱好，最大的收获就是探索。所以，想要学生学好初中数学，就要从多方面培养学生对数学学习的兴趣。一些学生不愿意学习，原因就是在学习过程中他们自身感觉不到任何的快乐。因为了解了学习的枯燥无味，所以就失去了学习数学的动力。初中新修订的教材就比较人性化，他的设计理念完全体现了数学来源于生活，又服务于生活。在新修订的数学课本中有很多例子都是取材于现实生活，这样不仅可以提高学生学习数学的兴趣，还可以大幅度提高学生的探究能力。
要建立自由的学习互动氛围，加强师生之间的交流与相互学习。教师就应该以最平等的方式对待自己的学生，只有与学生之间的距离感近了，才可以更好地了解学生，了解学生的想法。在课堂上教师与学生共同学习，采取多种方式使学生对所学知识产生兴趣。鼓励学生进行集体探究式学习，以提高学生的探究能力。在课堂上，利用数学课本中的知识点来提倡大家主动探究知识的解决方案。
案例：义务教育课程标准实验教科书八年级（下册）
三角形、梯形的中位线这一节的小结与思考有这样一道题：顺次连接任意四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别是什么四边形？你能说明理由吗？说出有什么规律？
这道题以前要在黑板上画出大量的图形，现在用几何画板制作了一个课件。课件中设计了任意四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形和一个表格。
演示：顺次连接一般四边形四边的中点，发现所得四边形是平行四边形，接下来学生进行自主探索， 为什么是平行四边形？ 并找出判定的理由。然后教师动态地展示了顺次连接平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得到的图形的变化情况。经过教师动态的演示来启发学生主动观察、思考得出新的结论，学生们很快填好表格，再提示学生从表中的对角线情况看，能得出是什么四边形的规律。
通过上面的案例，可以看出课堂教学问题的解决需要有一个很好的探究过程，这样才会有更好的学习效果。
参考文献：
关键词： 初中数学课堂 预设 生成
一、案例背景
课堂上，教师总把教案当做是教学的剧本，按照预先的设计亦步亦趋地完成预定的教学任务。但是，真实的课堂教学并不是“剧本”的精确复现，课堂教学随时会出现预设之外的“不速之客”。正如布卢姆所说：“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围，没有预料不到的成果，教学也就不成为一种艺术了。”可见，课堂教学不应当是一个预先设定的固定不变的程式，而应当是一个动态生成的系统，预设的课堂必须纳入弹性灵活的成分，在师生即兴创造的过程中，超越目标预定的要求。
二、案例描述
（一）预设，为了生成的有效。
只有那些能促使课堂多向、多元信息交流产生，为师生在教学过程中发挥创造性提供条件的预设，才是有效的预设。下面就一些或失败或成功的案例进行反思，提出改进措施。
1.预设，不能忽视学生的已有经验。
案例：梯形的中位线（复习三角形的中位线）。
师：三角形有中位线，那么梯形也有中位线吗？梯形的中位线又有怎样的性质呢？
生：（在没有老师的示意下，急不可待地站起来）老师，梯形有中位线，是连接梯形两腰中点的线段；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。（生洋洋得意地坐下，似乎在等着教师的表扬）
师：（愣了一下）你已经知道了……很好，请坐下。（师面带不悦之色，继续下面的教学程序）
案例中，学生的发言确实难为了老师：什么都知道了，还学什么呢？预案中的所有设计全部被打破了，还怎么教呢？
这是在课堂教学中经常会遇到的情况，学生课前通过预习已经获得了一定的知识结果，即所谓的“未学先知”。而教师不恰当的提问导致了知识结果的直接呈现，破坏了教师预设的知识的生成过程，使教学陷入了一个尴尬的境地。
为了避免上述情况的出现，教师除了在课前设计时，要尽量规避提出那些可能导致知识结果直接呈现的问题之外，更重要的是，要在充分预知学生已经形成的知识积累的基础上，合理地、创造性地对教学程序进行预设，以满足学生“更高的需求”。
在上面这个案例中，教师如果这样进行预设，效果一定会好得多。
师：上节课，我们曾经做过这样一个活动：将一个三角形纸片剪一刀分成两个部分，并使得这两个部分能拼成一个平行四边形。如果给你一张梯形纸片，你能剪一刀把它分成两个部分，并使得这两个部分能拼成一个三角形吗？（学生即使有一定的活动经验，或者已经预习过教材，也很难在不假思索的状态下就获得解决问题的方案；但是，也恰恰因为学生已经具备了一定的活动经验，或者已经预习过教材，所以通过一定时间的思考和交流，学生还是能够解决问题的。）
师：刚才，通过大家的积极思考，已经找到了解决问题的方案。即，如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，取一腰CD的中点E，连接AE并延长，交BC延长线于点G，可证得ADE≌GCE，于是，将梯形ABCD沿直线AE剪开，再将ADE拼合到GCE处，梯形ABCD就被剪拼成ABG了。
师：你能画出上图中ABG的中位线EF吗？这条线段EF也叫梯形ABCD的中位线（出示梯形中位线的定义）。那么，梯形的中位线会有怎样的性质呢？（结合活动过程，学生能自己探索得到结论）
2.预设，要更趋于开放性。
预设，要能真正关注学生的个体差异性，关注学生的不同需求和个体发展，在形态上，要能促使各种信息的交流。
案例：反比例函数的图像和性质的练习课，一道例题的教学。
师：已知点A（x，y）、B（x，y）、C（x，y）是反比例函数y=6/x的图像上的三点，且x＜x＜x，求y、y、y的大小关系。
师：你能根据反比函数的变化规律（即“单调性”）比较出y、y、y的大小关系吗？
（学生从函数的单调性出发对问题进行研究，教师进行反复辨析，终于得出正确结论。）
生：对于反比例函数y=6/x，在同一象限内，y随x的增大而减小；因为x＜x＜0，所以A、B两点在同一象限内，此时0＞y＞y；又因为x＞0，所以y＞0；故y＞y＞y。
处理这样的问题，教师不妨把问题提得“大”一些，更开放一些，给学生自主构建的空间，让学生充分发挥自己想象力去解决问题。
上述案例，教师完全没有必要遵循教材所给出的解题方案去刻意地引导学生，不妨放手让学生去比较y、y、y的大小关系。只要教师能留给学生充足的思考和交流的时间与空间，学生一定会给出“取特殊值法”、“图像法”及“利用函数的单调性进行比较”等五彩斑斓、充满灵感和个性的解题方法。教师再引导学生进行“最优化”的选择，教学效果会更好。
（二）生成，资源的再利用。
课堂教学是一个动态的生成过程，课堂上的那些“节外生枝”，有时恰恰是教学的切入点，教师应当要合理、有效、即时地利用这些课堂教学中的生成性资源，甚至“放大”这些教学瞬间，使生成性资源获得再生，为课堂教学增添更多的人性光辉和灵性。
在教学“探索平行四边形的特征”内容时，教师预想通过下面的一组问题链创设探索问题的情境：（1）将ABC绕一边的中点旋转180°，画出旋转后的图形；（2）旋转前后的两个三角形组合成了一个什么图形？为什么？（3）结合旋转过程和旋转的性质，你发现平行四边形有哪些性质？
学生通过画图、观察、说理等过程，总结出“平行四边形可以看成是由一个三角形绕一边中点旋转180°而形成的中心对称图形”及“平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分”的基本结论。
从教学流程来看，“探索平行四边形的特征”的教学已经获得了成功，这个片段教学行将结束。但是，课堂上出现了一段小插曲：
生：平行四边形还可以看作是由梯形旋转而形成的，将梯形绕一腰中点旋转180°，旋转前后的两个梯形所构成的四边形是平行四边形。
课前准备，教师没有想到过这个问题。学生提出这种做法之后，教师马上意识到这个结论肯定是正确的。同时，还隐隐约约地感觉到这里有“文章”可做，但是意象并不清晰。为了给自己腾出一点思考的时间，也为了给其他学生提供一些思考的时间，教师先布置全班学生动手画图，并对问题进行探索。
稍加思索，教师意识到：实际上，过中心对称图形的对称中心任意作一条直线，将其分成两个部分，其中的任何一个部分绕这个对称中心旋转180°，均能与另一个部分重合，也就是说，这两个部分成中心对称。这才是“中心对称图形”的本质特征。为什么不能顺着刚才这个同学所提出的问题继续深入挖掘，让学生在更多的活动中体悟这个数学本质呢？
于是，待绝大多数学生对上面这个同学的做法表示了认同之后，我接着提出了下面这个问题：
有一个呈梯形形状的池塘（如图所示，AD∥BC），其四个角上分别种有A、B、C、D四棵树。请设计一个方案，将池塘的形状改为平行四边形，使其面积扩大为原来的两倍，A、B、C、D四棵树分别落在改造后的池塘的边上。
问题是对上述学生所提出问题的升华，学生主要给出了两个设计方案，具体如下：
（1）将梯形ABCD绕一腰中点旋转180°，旋转前后的两个梯形所组成的四边形一定符合设计要求；
（2）连接对角线BD，将梯形分割成两个三角形，再将ABD和BDC分别绕腰AB和CD的中点旋转180°，旋转前后的四个三角形所组成的四边形也一定符合设计要求。
以上问题的设计，抓住了课堂生成所创造的教学契机，深化了学生对平行四边形的“对称性”这一本质特征的认识。虽然本节课没有完成既定的教学进度和教学目标，但在师生的双边活动和思维不断交汇的过程中，无论是教师还是学生，实际获得的比预定的要更多。
三、案例反思
一、试题来源
23.（14分）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”. 其中，
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；
（3）在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB = EC，请问：当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情况），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论. （不必说明理由）
二、试题参考答案
（3）过点E分别作EFAB，EGAD，EHCD，垂足分别为F，G，H（如图7）.
AE平分∠BAD，
EF = EG.
又 ED平分∠ADC，
EG = EH ，EF = EH，
又 EB = EC，
RtBFE≌RtCHE，
∠3 = ∠4，
又 EB = EC，∠1 = ∠2，
∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4，即 ∠ABC = ∠DCB.
又 ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，
ABCD为“准等腰梯形”.（12）
当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：
当点E在四边形ABCD的边BC上时，四边形ABCD为“准等腰梯形”；
当点E在四边形ABCD的外部时，四边形ABCD为“准等腰梯形”.（14分）
三、试题初探
1. 纵观试题，简要评析
本题作为压轴题，以学生熟悉的等腰三角形和等腰梯形为背景自定义“准等腰梯形”的概念，阅读量适中，起步低，学生容易上手，本题前两问解法多样，图形简洁，能综合考查学生的直观和理性思维. 第（3）问难度加大，两个小问题层层递进，变式自然，有一定的区分度. 另外，本题与2008年安徽中考数学卷的第22题有类似之处，是第22题的拓展. 时隔4年，我们不得不感叹命题人的用心，试题稳中求变，既能考查学生应用数学基本知识解决新问题的能力，又能激发学生学习数学的兴趣.
2.深入试题，提出质疑
可惜的是本题第（3）问中第二个小问题：“若点E不在四边形ABCD内部时，情况又如何？”的参考答案有待商榷. 第二个问题需分为以下两种情况进行讨论：
① 当点E在四边形ABCD的边BC上时.
此时四边形ABCD是“准等腰梯形”. 理由如下：如图8，此种情况只需类比第（3）问的第一个小问题的证明过程就可以轻易解答，结论仍然成立. 这里不再赘述.
② 当点E 在四边形ABCD的外部时.
对于此种情况，出现了两种不同的理解.
第一种理解：是在图8的基础上将BC边向上平移，平移过程中保持其他线段的相对位置不变，这样点E就在四边形ABCD外部了，显然由平行线性质定理可得∠ABC = ∠BCD，且AD不平行于BC，所以当点E在四边形外部时，四边形ABCD仍然是“准等腰梯形”，即试题所给答案无任何异议. 此种理解方式并没有错误，只是忽略了这样的四边形可能只是满足题设的一种情况.
第二种理解：当点E在四边形ABCD外部时，且点E同时是∠BAD的角平分线和∠CDA的平分线以及线段BC的中垂线这三条线的交点时，四边形ABCD的边AD∥BC，此时四边形ABCD将不满足“准等腰梯形”的概念. 所以这样的四边形不是“准等腰梯形”. 这种理解无疑是忽略了第三问“题干”中“由不平行于BC的直线截PBC所得的四边形ABCD……”，所以这个反例实际上在题目要求的范围内是不存在的. 那么当点E在四边形ABCD外部时，情况到底怎样？是一定存在“准等腰梯形”，还是不一定存在“准等腰梯形”呢？
3. 构造图形，解决问题
事实上，当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD确实不一定符合“准等腰梯形”的概念. 下面笔者将利用构造图形的方法给予证明.
（ⅰ）当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD可能是“准等腰梯形”.
如图9，点P是圆E外一点，过点P做圆E的两条切线PB，PC，点B，C为切点，作圆E的另一条切线AD交PB，PC于A，D两点，点F是切点，且AD不平行于BC. 连接BC，由切线长定理知，PB = PC，所以∠ABC = ∠BCD，点E显然应在四边形ABCD的外部. 连接BE，CE，FE，由切线的性质定理，得BEAB，CEDC，EFAD，且BE = CE = EF. 所以AE，DE分别是∠BAD和∠CDA的角平分线，点E在线段BC的中垂线上. 此时四边形ABCD和点E满足第三问的题设条件：点E在四边形ABCD外部，AE，DE分别是∠BAD和∠CDA的角平分线，BE = CE.这里容易证明∠ABC = ∠BCD. 图9既为当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD仍是“准等腰梯形”.
（ⅱ）当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD可能不是“准等腰梯形”.
如图10，在圆E外找一合适的点P，过点P做圆E的两条切线PF，PG，点F，G为切点，且∠P = 45°，作圆E的另一条切线AD（控制∠PAD ≠ 90°）交PF，PG于点A，D，点H是切点. 作BCDG，使得点C在线段DG上，点C是垂足，交PF的延长线于点B，再过点C作CMPA，点M是垂足，找到线段BC的中点N，连接MN，EN，由垂径定理和等腰直角三角形的性质，可知点M，N，E三点共线，此时点E显然在四边形ABCD的外部，且BE = EC. 连接GE，HE，FE，则GEDC，HEAD，EFAB，且GE = HE = EF. 所以AE，DE分别是∠BAD和∠CDA的角平分线. 此时四边形ABCD和点E满足第三问中题设条件“在由不平行于BC的直线截PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD = ∠ADC的平分线交于点E， 且EB = EC”，但∠ABC = 45°，∠BCD = 90°，所以∠ABC ≠ ∠BCD，不符合“准等腰梯形”的概念. 即此图形说明当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD不是“准等腰梯形”.
综上，当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”.
俗话说：问题越辩越明. 以上是我对本题第（3）问第二个小问题的思考，抛砖引玉，欢迎各位同仁批评指正！
四、试题对今后数学教学的启示
1. 教学过程中加强数学思想方法的渗透
培养学生的数学思维能力，只讲解题方法，只重视题型训练是不够的，要想以不变应万变，提高学生的数学思维能力，必须注意数学思想方法的教学，例如解决本题的构造法.
2. 落实过程性教学
一方面课堂教学中不能只满足于学生对所学知识结论的理解和记忆，一定要让学生经历知识的产生过程，另一方面是重视平时课堂教学要稳扎稳打，不搞突击训练.
3. 重视学生创新能力的培养
平时教学中培养学生具体问题具体对待的思想，不生搬硬套题型，鼓励学生对同一问题提出不同的看法，培养学生的发散思维和创新能力.
在实施新课程的过程中，我们经常看到“焕发着生命活力”的好课，但也有的课“形似神离”、“活而欠实”，一部分学生争先恐后地应答，表现得很出众，虽表面上看“一切顺利”、“全班都会”，但一旦出现“节外生枝”，意想不到的事情发生，教师不是漠视就是将其强行拉回来，或匆匆的予以否定，生生的地浇灭学生的火花，凸现出数学课堂教学中“预设”与“生成”的矛盾。
随着课程改革的不断深入，“预设”和“生成”这两个相互对立的概念融入到了我们的教学实践中。“预设”是指紧紧围绕教学目标、任务，预先对课堂环节，教学过程等一系列展望性的设计，“生成”是指实际教学过程的发生、发展与变化。课堂教学不是一个机械执行教案的过程，而是一个动态的、开放的、不断生成的过程，当教学预设与生成表现差异，甚至截然不同时，对教师而言将面临严峻的考验和艰难的抉择——课堂的尴尬与精彩，虚浮与真实。
如何让课堂亲近真实，用生成打造真实，我们必须要思考如何把握学习“预设”与“生成”。首先，预设既要备教材，又要备学生。教学需要预设，高质量的预设是教师发挥主导作用的重要保证，它有利于教师从宏观上、整体上把握教学过程，为了能在课堂上游刃有余，教师的课前预设就要尽量具体些，周密些。
那么如何进行高质量的教学预设呢？高质量的教学预设需要精心备教材，更需要备学生。教师课前钻研教材设计教案，本身就是应该的，特别是个性化地设计某个环节，是非常值得提倡的，问题是不能一味地钻研教材而忽视了学生这个主体。新课程标准明确指出：数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上，这就要求教师在研究教材教法的同时要加强对学生的研究，教师要充分了解学生的认知基础及心理状态。根据学生的现实状况研究预设教学过程。那是一次苍白教学给予的顿悟，前些年上过的一节“平行四边形面积”的计算，其中的片段至今记忆犹新。
师：今天我一起来学习怎样计算平行四边形的面积，请同学们拿出老师发给你们的长方形和平行四边形（长方形长5厘米，宽3厘米，平行四边形底5厘米，高3厘米），请同学们想办法比较一下这两个图形的面积哪个大哪个小。
（学生开始以小组为单位比较，然后汇报）
生1：我把平行四边行沿着它的一条边剪开然后拼到平行四边形的右面，就变成了一个长方形，然后把长方形放在拼成的图形上一比，我发现这两个图开的面积一样大。
生2：我把平行四边形沿着它的一条高剪开然后平移到平行四边形的右面就变成了一个长方形，然后把长方形放在拼成的图形一比，我发现这个长方形和平行四边形的面积相等。
师：很好，我们今天就来学习平行四边形的面积计算公式。请同学们拿出老师发给你们的学具——一个平行四边形纸板。同学们动一下脑筋，看看可以把平行四边形转化成什么图形。
（学生开始以小组为单位操作，师巡视期间，曾多次询问能把平行四边形转化成什么图形）
接下来学生汇报自己的做法。大致和课的开始相同。我又用课件演示将平行四边形转化为长方形的过程，并强调什么叫平移，然后要求学生按课件演示的过程再做一遍。接下来就是讨论拼成的长方形和原来平行四边形之间的关系，总结面积计算公式。
课后我是这样反思的：我这样设计是想让学生通过数方格的方法比较出长方形和平行四边形的面积是相等的。然后说明，因为数方格求平行四边形的面积比较慢，也不方便，在此基础上激发学生学习平行四边形面积的欲望。谁知，学生并没有数方格，而是通过剪拼，比较的方法得出结论，还有一个学生居然说出了“平移”，觉得自己做的课件不就没用了吗？当时由于自己调控课堂的能力不足，教学机智的欠缺，导致课堂效率事倍功半，如今想想可以就着学生的回答，提出表扬和鼓励，然后，以学生的方法让还没有找到方法的学生试一试，必要时也可用课件，将教学的重点一下子转移到研究图形关系上来。让学生自己分析研究两种图形之间的内在关系，推导出平行四边形面积计算公式。使整个教学过程从有序（预设）到无序（生成），再到有序（采取相应的对策），主要是我们要转变教育观念，认识到课堂教学是一个师生互动、资源共生的过程，正确定位教师和学生的关系，树立以学生为主体的观念，放下“师道尊严”的架子，从讲台上走下来，加强自身的学习，与时俱进，提高自己的业务水平和教学策略，必能应对教学中出现的各种现象。
“动态生成”是新课程标准提倡的一个重要理念。课堂教学应该是师生、生生积极互动、动态生成的过程。传统教学的弊端是教师把教学过程统得过死，把课堂变成自己的“报告厅”，学生是一个个听众，教师提出一个问题，学生往往不敢“造次”，总是先揣摩老师的意图，然后答出老师想要的答案，教学过程成了学生配合老师教的过程。曾多次在公开课时，听老师这样总结：同学们，这堂课上你们都很认真，谢谢你们对老师的配合。课堂是学生配合老师吗？这样不是演戏吗？其实教学过程应该是师生、生生之间不同思考、不同见解交流与碰撞的过程，在这个过程中老师如果视预设如法规一样，一成不变，那么教学就会变得暗淡无光，毫无生机与活力。
一、儿童认知块中的“核心知识”
市测题1：左图温度计表示的温度是（ ）℃。
A.16 B.-16 C.24 D.-24
学生答题情况：
本题考察内容属于“数与代数”领域，考察能力属于“知识技能”范畴。日常生活中，通常把温度低于0摄氏度的用负数表示，但读数方法与正数有所不同，学生答题正确率为87.51%，选D答案的可能受0上温度读法的影响，从20向上4小格，认为是-24摄氏度。这里“核心知识”表现为儿童认知块中的外显知识。
（一）单个知识
从大量的知识点中寻找到儿童最容易发生错误的知识，部分学生对温度读法的方向上没有掌握，以“0”为分界点，0摄氏度以上从下往上看，0摄氏度以下从上往下看，儿童认知中的观察顺序发生了重要改变。为分清不同方向，需要用红笔标记箭头。为认识刻度含义，可借助学生常见的直尺进行比较。
（二）序列知识
儿童认知块中的新知识是建立在他们已有知识的基础上，确定了知识的序列化才能确保儿童清晰地进行认知建构。读温度计上的温度，首先从分清摄氏度与华氏度，也就是看左边还是看右边，接着找分界点“0”的位置，以“0”为标准，分清方向，正确读出温度。每一个儿童的认知存在差异，需要进行针对指导，体现知识生长的过程。
（三）共享知识
儿童共享知识是认知块中不同的知识点，经过交流与思考，改善与修正，完成知识的自身联结。针对“儿童需要什么样的知识”提供实践性答案，对刻度的正确读法，对正负数的准确把握，对不同两种温度干扰的排除，都反映了儿童共享知识促成核心知识的顶层化。
市测题2：一个平行四边形相邻两条边长度分别是5厘米和8厘米，其中一条底边上的高是6厘米，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米。
A.30 B.40 C.48 D.无法确定
学生答题情况：
本题考察内容属于“图形与几何”领域，考察能力属于“理解概念”范畴。考查学生平行四边形底上对应的高，和另一条底与这条高长度的关系。6厘米的长度，究竟是5厘米对应的高，还是8厘米对应的高，学生正确率为75.06%。如果把5厘米和8厘米表述上交换位置，正确率可能会更低，因为隐藏着斜边大于直角边的道理。这里“核心知识”表现为儿童认知块中的内隐知识。
（四）境域知识
知识本身存在于特定的时间、空间、理论范式和价值体系等因素中，这种知识具有认知块中的境域性特征。学生习惯于从“前面”的5厘米出发，直接与6厘米相“对应”，潜意识中形成“前前”对应，选C的学生可能是“大大”对应的想法。要准确把握平行四边形底与高，理解另一条底与这条高的长度关系，才能顺利解答问题。儿童认知块中的“核心知识”，需要根据不同的场境、域地进行梳理和厘定。
（五）隐性知识
波兰尼提出两种知识：一种知识是用书面文字或地图、数学公式来表述的，称为显性知识；还有一种知识是不能系统表述的，称为缄默知识。有必要对儿童认知块中的知识点进行有效提升，准确把握其本质和内核，渗透内隐的数学思想方法，促使儿童自主生长。借用直观图形帮助儿童想象，选答案C的学生，把最长的底乘以6厘米，缺乏对知识隐性思考。如果沿某顶点作一条高，形成的直角三角形中，直角边的长度小于斜边的长度，这样一种隐性知识，儿童在解决问题时常常被忽略。
（六）结构知识
数学知识点存在于知识块中，知识块是整体性结构知识中的一部分。小学数学中的核心知识，也不应当是散点形态，而应是相互连接，彼此关联，是一种动态性和联系性存在。平行四边形底和高教学，让学生结构性厘清，相邻两条边和它对应的高，每一条高与另一条底长度关系，随意编造平行四边形底及高，容易发生科学性错误。教师有意识地结构化组织、加工学习素材，帮助学生形成知识结构，让学生在情境中掌握数学本质。
二、教师问题串中的“核心知识”
省测题1：用36朵花扎花束，每3朵扎成一束，可以扎多少束？明明用竖式计算出了结果，竖式中箭头所指的表示的是（ ）。
A.已经用去了3朵
B.已经用去了6朵
C.已经用去了30朵
D.已经用去了36朵
学生答题情况：
17.4%本题考察内容属于“数与代数”领域，考察能力属于“数学理解”范畴。考查学生竖式计算中十位上的“3”表示意义，学生要结合生活实际，理解平均分过程，根据平均分意义对应到竖式中，正确认识每一位上数的含义。有17.4%的学生达不到基本水平，对“核心知识”的强调或变式不足。“核心”是“牵一发而动全身”的问题，是教学的主线，课堂中“派生”的问题和核心知识存在一定的逻辑关系。这里“核心知识”表现为教师问题串中问题的“化”。
（一）问题指向
在教学两位数除以一位数时，抓住算式“每一步”意义发问，既要从算式本身理解，也要结合学生生活实际解释意义，使学生在头脑中把“数学”与“生活”意义相对应。教师问题串的“核心知识”要具有鲜明的指向性，指向教学的核心内容和目标，也要整合教材的重点内容和关键问题，具有更高、更全面的教学指向与达成度。
（二）问题整合
联系儿童原有知识经验，从一位数除以一位数出发，扩展到两位数除以一位数，从生活的经验出发，把36朵花分成30朵和6朵，先把30朵平均分一分，再把6朵平均分一分，最后合起来。教师要抓住“主要问题”与“次要问题”的主辅关系，有效整合，逻辑地思考问题。抓住知识点与能力点，连接儿童的兴趣点与发展点，将课堂的问题串与学生心理发展有机整合起来。
（三）问题开放
教师问题串创设与开发，需要适度开放。如果采取亦步亦趋的教学方法，只能让学生感到厌烦与无趣。对问题串层层探究与适度开放，使问题更加呈现价值性与多样性，解答路径与评价过程也就开放了。“3”表示“3个一”还是“3个十”，为什么？“3”的后面为什么不写“0”？可不可以写？等等问题探讨，使学生对箭头指向“3”的意义更为深刻理解，让学生在宽松的环境里自觉地进行反思，自主地寻求突破。
省测题2：小熊吃了一个西瓜的1/3，小猴子也吃了一个西瓜的1/3，结果小熊吃的西瓜比小猴子吃的少。请解释为什么？
学生答题情况：
本题考察内容属于“数与代数”领域，考察能力属于“数学理解”范畴。考查学生对分数意义的本质理解。正确答案是，因为小熊吃的西瓜小或者小猴吃的西瓜大，或者两块西瓜不一样大，或者其他合理答案。学生达到优秀水平为65.1%，成绩不够好。分数意义教学中的“核心知识”有没有强化？是如何强化的？学生的答案可能会给我们一些思考。
（1）得分为0分的答案：
（2）得分为2分的答案：
（3）得分为4分的答案：
学生的答案给我们启示，生活经验向数学概念的运动，对于儿童来说，是一种具大挑战。这里“核心知识”表现为教师问题串中问题的“内驱化”。
（四）问题理解
从得分为0分的答案可以看出，在单位“1”教学时，总是喜欢抓住了“平均分”这个“牛鼻子”，使部分学生在理解上较“死板”，不论什么问题，都围绕平均分去回答，对单位“1”的本质没有清晰理解。得分为2分的答案中，主要反映了儿童的生活经验，从分得的多少出发，或通过面积意义理解，把小熊吃的西瓜与小猴吃的相比较，理解是浅层次的。教学应抓住问题串中“核心知识”反复探究实践，把学生的生活经验与数学概念相互作用，在实践中慢慢感悟，在问题探究中逐渐理解。
（五）问题研究
外部问题情境营造要真实，它又为内部问题情境生成服务，内部问题生成才是学生个人问题解决活动的开始。小熊吃了一个西瓜的1/3，小猴子也吃了一个西瓜的1/3，谁吃的多一些？问题来自于儿童的生活世界，是儿童外部情境的具体反映，要促成内部问题的生成才是儿童个体的真问题。问题串探究要能促进学生内心真实地形成一种悬而未决又力图解决的认知冲突状态。问题串既要指向于学生的外部情境，更侧重于内部问题的本质探究，在单位“1”与“平均分”之间寻找突破与平衡。
（六）问题构建
对于理解困难的学生，要借助于实践操作，比较三种不同情况，让学生一目了然。对于“平均分”地理解，要分清三个变量之间的关系，即整体单位“1”的量、平均分为几个部分和每部分的量，初步建构“平均分”的意义，发展儿童的数学思维能力。为促使学生深入理解和运用“平均分”，在研究分数时，教师要想方设法为学生创设运用这一概念的各种实践情境，激活他们多样化生活经验，同时引导学生解决不同表征形式的问题，建立起正确的对应关系。
三、课堂思维场中的“核心知识”
市测题3：
（1）小冬和小芳两家相距多少千米？
（2）某一天，小芳从家去电影院，走到学校时，发现电影票忘在家里，只好回家去拿，小芳去电影院比平时多走了多少千米？
本题考察内容属于“数与代数”领域，考察能力属于“解决问题”范畴。本题满分6分，扬州市学生综合得分率为83.75%。此题是教材一道习题的拓展，其中线段图与教材完全一致，错因包括：（1）部分学生理解题意有困难，把双向路程理解为一个单程；（2）计算有误；（3）少数学生解题思路混乱。反映出学生灵活解决问题的能力不足，综合理解题意的能力缺乏。这里“核心知识”表现为课堂思维场中的生成思维。
（一）关注思维
对于题目中的线段图，部分学生视而不见。线段图对于问题1的解答作用更多一些，图中直观看出把三段相加，很快能求出小芳家到小冬家的距离。第2个问题，求小芳比平时多走的路程时，很多学生没有联系生活经验，也不看图理解，片面认为是1.5千米。在平时课堂教学时，教师要引导学生从具体图形或生活经验中，分析问题特征，抓住关键思维点，多变化，多开放，让儿童在“问题陷阱”中引发思考，激发兴趣，发展思维。
（二）引领思维
思维场是数学核心知识“引探”的策略，要在多样化的问题研究中，处理好“传授”与“探究”之间的关系，力求将数学课堂由“传授知识”变为“思维引领”，让教学方式、学习方式和师生关系等领域取得实质性变革。让学生说一说，小冬家到小芳家一共有多少千米？小芳今天行走的路程与原来路程相比，发生了什么变化？同桌相互交流，把自己的发现用笔画一画，在画的过程中感悟，不是多一个1.5千米，而是两个1.5千米。再引导学生议一议、算一算，有没有更简便的计算方法？在思维探究过程中，让学生弄清问题的因果关系，以及与其他知识的联系，将知识教学上升到方法论教学的层次，使学生初步形成数学思想方法。
（三）提升思维
通过问题解决，还要回头引导学生再思考，小芳这次走的路程与原来相比，从家到电影院共走了两次，第二次从家到电影院路程与原来一致，从而使思维更简洁，这样多走了两个1.5千米。再进一步思考，问题的本质是多走一个来回，如果向相反方向走，就更加容易理解。整个问题探究以“问题情境建立模型解释应用”的方式展开。认知心理学认为，数学教学的中心任务是塑造学生良好的数学认知结构，使之具有不断吸收新的数学知识的能力和知识自我生长的能力。问题串的介入为形成良好认知结构提供“脚手架”，思维场能够促进儿童形成具有自我生长活力的知识特征系统，培养良好的数学素养。
省测题3：请用图1和图2拼成一个平行四边形，并将拼好的平行四边形画在方格纸中。
本题考察内容属于“图形与几何”领域，考察能力属于“数学理解”范畴。学生作答情况：
学生的错因包括：（1）空白未作答；（2）没画出平行四边形；（3）画出了平行四边形，面积改变，图1、图2形状不变（拼成的平行四边形，底和高必须有一个正确）；（4）画出了平行四边形，面积正确，图1、图2形状改变等。列举两种得0分的答案如下，这两种错误答案，将图1、图2形状发生了改变。数学核心知识教学，主要是把教学功夫下到理念向行为的转化上，在看似简明的形式下，教师以不经意的方式，让学生感悟到知识本身的魅力。这里“核心知识”表现为课堂思维场中的过程思维。
（四）聚合思维
从一般知识指向核心知识，使得若干知识整合为系统内知识结构，通过凸显核心知识块，形成有效思维场，以减少知识的离散程度。要求不改变形状，把一个三角形和一个梯形拼成一个平行四边形，问题的实质是让学生观察发现，三角形与梯形的特征，操作上是平移还是旋转，目标和策略上是否可行，从众多问题思考中“聚合”到这一核心要素上来。引导学生思考交流，斜着的边，哪些是一样长的，从一样长的边入手，是解决问题的关键。学生用何种方法准确画出这个平行四边形，还要借助一定的空间想像，以及方格图中线段长度的判别能力。
（五）优选思维
在思维场的形成过程中，要优先选择那些具有基础性、概括性、迁移性和生成性的核心知识作为教学的着力点，通过“少而精”的核心问题探究，不仅让学生拥有知识，更让学生深刻理解知识背后的思想，并学以致用。让学生先用直接平移的方法，发现不能拼成平行四边形。然后，让学生旋转后平移，发现还是不能拼成。最后，把三角形翻转一下再平移，能够拼成一个平行四边形。在多种策略操作的过程中，让学生进行优选，在优选的过程中，感悟解决问题的策略。在思维场营造过程中，学生先观察、比较、实践，再进行验证，帮助学生学会思考。
（六）联结思维
任何知识的学习都不是教师向学生直接传递知识信息，学习者被动地吸收的过程，而是学生主动围绕核心知识进行自主选择加工，自主建构理解，其间经过自我改造与重组，需要教师的帮助与引领，形成课堂思维场。学生已有的经验是三角形、梯形和平行四边形的认识基础，平移和旋转的操作能力，数方格的基本方法等。要求不改变图形的形状与大小，学生需要尝试与实践，在反复实践中，找出需要关注的关键因素。建立思维联结的通道，让学生在反复观察与实践中，慢慢发现和自觉运用的过程，这与教师有效帮助，以及儿童自身的善于联结有关。
