时间：2023-06-04 10:46:14
方面：
一、自学，课前充分预习
前一天我给每一个学生发了预习卡。预习卡的内容分为“温故知新”“新课先知”“学具准备”三块内容，目的在于让学生通过独立思考来自己预习，也就是知识“自学”过程。课前，我再组织学生同桌之间交流预习卡，目的在于：一是交流、学习其他同学的想法；二是提出解决不了的问题。
二、群学，重视学生的自主探索和合作学习
动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方
式。课上，我通过出示问题，引导学生进行小组合作交流，并组织学生进行合理分工，采用全组汇报的方式来交流学习成果。在这样的课堂学习中学生乐想、善思、敢说，他们可以自由地思考、猜想、实践、验证……得到“灵感”，而平行四边形转化成长方形的各种方法正是集体智慧的结晶。学生只有在相互讨论、各种不同观点相互碰撞的过程中才能迸发出创造性思维的火花，发现问题、提出问题、解决问题的能力才能不断得到增强。
三、质疑，培养学生的问题意识
问题是数学的心脏，能给学生的思维以方向和动力，不善于发现、提出和解决问题的学生是不可能具有创新精神的。本节课，我要求每组学生汇报完后，都要询问：“同学们还有什么疑问吗？”其实就是积极鼓励学生敢于提出问题。这些问题在学生的头脑中自然产生，学生在独立思考、相互交流、相互讨论的过程中感受到自己是学习的主人，满足了学生自尊、交流和成功的心理需求，从而以积极的姿态投入到数学学习之中。
四、思考，完善课堂
通过这节课，我也看到了自己的不足和今后改进的方向。
1.加强自身素质的提高
尤其要加强语言表达的严谨性和精练性，使学生一听就明
白，也为学生起到了模范作用。
2.注意引导学生准确表达
由于放手让学生叙述方法和补充，那么当学生说不到位的时候，教师要及时指导、点拨。
3.在合作学习的过程中，不仅要关注小组整体，也要关注小组个体
一、连接，促迁移
对于学生来说，有许多数学知识都不是新的知识，因为在他们的学习和生活中已经接触很多与之相关的经验。教师在组织教学活动前，要认真钻研教材，努力读懂学生，了解学生已有的知识经验和生活经验，然后把学生已有的经验作为教学的出发点，精心设计教学活动，在“起点”（学生已有的经验）和“终点”（要达成的教学目标）之间搭建连接的桥梁，便于将已有的经验与新知牵手，从而促进知识的正迁移。
在学习“三角形的面积”之前，学生已经初步积累了探究平面图形面积公式的基本方法（剪、拼、移等）以及转化的策略，这是重要的数学活动经验。所以，课伊始教师就引导学生回忆平行四边形面积计算公式的推导过程。学生说：“将平行四边形沿着高剪下来，平移后拼成长方形。”教师追问：“公式是怎么推导出来的？”学生回答：“平行四边形的底就是长方形的长，平行四边形的高就是长方形的宽，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。”教师总结：“看来同学们对平行四边形面积计算公式的推导掌握得非常好，我们先是把平行四边形转化成已学过的、会求面积的图形――长方形，然后通过观察、比较，发现转化后的长方形和原来的平行四边形二者之间的系，从而推导出平行四边形的面积计算公式。今天这节课，我们也利用这种转化的方法，尝试推导三角形面积的计算公式。”
上面的案例中，教师巧妙地利用新旧知识之间的联系，唤醒了学生已有的活动经验，促使学生自觉地把新旧知识进行连接，通过知识的迁移来发展自己的认知结构，从而顺利达成活动经验的接连与迁移，积极地参与数学活动，自主探究三角形面积的计算方法。
二、经历，促体验
数学活动经验是在数学活动中产生的，所以它具有很强的实践性。教师要在课堂教学中充分开展数学活动，引导学生通过观察、猜测、验证、推理等数学活动，经历独立思考、主动探索、合作交流等活动过程。只有让学生充分经历数学的活动过程，积极动脑、动手、动口，才能获得丰富多样的体验、感受和发现，形成数学活动经验。
在探究三角形的面积公式时，教师给每位学生准备了不同类型的三角形若干个和剪刀1把，请学生根据所提供的材料思考、探究三角形面积的计算方法。学生先是独立思考，而后动手操作，有的学生将完全一样的两个三角形拼在一起成为一个平行四边形，还有的学生则是把三角形通过剪拼变成与它面积相等的平行四边形。通过以上的操作活动，学生不仅积累了丰富的直观经验，而且从中获得对三角形与平行四边形之间关系的感性认识。接着，教师在黑板上画了一个三角形，让学生在头脑中想象一个和它完全一样的三角形，并试着在大脑中把它们拼成平行四边形，再把想象的图形用手比划出来。由内部的想象延伸到外部的比划，这样的经历帮助学生从表象的层面积累了数学活动经验。有了这样层次鲜明、具体形象的数学活动经验后，教师又及时引导学生对获得的直观经验进行分析归纳：“现在你能根据拼成的平行四边形的面积，推导出三角形的面积吗？”学生的思维瞬间被点燃，对三角形面积计算公式的归纳自然水到渠成。
上面的案例中，教师根据“图形与几何”知识领域学习的认知规律，即“感知-表象-方法”，从三角形与平行四边形之间的关系入手，层层递进地引导学生经历操作、观察、想象、推理，经历整个公式的探究推导过程，学生在不断地经历与体验中积累了丰富的数学活动经验。
三、反思，促内化
通过拼一拼、剪一剪、想一想等一系列的数学活动，学生已经获得了一定的数学活动经验，但是这些都仅仅只是教学的起点，还需要进一步引导学生通过反思、抽象、概括，使活动经验得以内化。教师要精心设置情境，给予学生充分的反思、交流以及总结的时间与空间，让他们反思自己解决问题的活动过程、公式的推导过程、对数学思想方法的体会等，将自己所获得的数学活动经验进行整理、总结。只有经历了反思交流的过程，才能使零散的、粗糙的个体活动经验得以条理化，从而形成较为概括的数学活动经验。
三角形的面积公式推导出来之后，教师并没有就此罢休，而是进一步引导学生回顾探索三角形面积公式的过程：“回顾一下，这节课我们是怎样推导出三角形的面积计算公式的？”学生总结了自己的做法：“我是将完全一样的两个三角形拼成一个平行四边形，然后找到它们之间的联系，推导出三角形的面积公式。”“我是把三角形剪拼成平行四边形，然后根据平行四边形的面积计算公式推导出三角形的面积计算公式。”“我们还通过想象把三角形转化成平行四边形。”教师进一步追问：“为什么要转化成平行四边形呢？”学生回答：“因为平行四边形的面积计算我们已经学过，所以我们把三角形转化成平行四边形。”教师引导：“那这种转化的策略对我们的数学学习有什么启发呢？”学生各抒己见。
上面的案例中，教师有意识地使自己的引导、学生的思考、同学的交流相互发生作用。通过反思交流，学生在思维碰撞中逐渐地获取理性的数学活动经验，不仅感悟到转化的价值，增强应用意识，而且使其对数学活动经验的提炼和数学思想的感悟都得到升华。此时此刻，转化的思想方法已深入学生内心，在以后的学习和生活中，学生会自觉地运用转化思想去思考、解决问题。
一、在课前精心预设，促进学生进行反思
教师在讲解新课时，一般都会设计“复习旧知识、导入新课”的教学环节，是为了解学生以前的学习情况，实际上它也是一种新的学习起点。当然这里所指新的学习起点内容比较广泛，它既包含了能力的起点，也包含了知识的起点。让学生在反思新知识和旧知识的内在联系时，不但可以贯通前后知识的联系，构建完整的一种知识体系，而且还能够培养学生的反思能力，提高学生自我学习数学的能力。
例如，教学“平行四边形的面积的计算”这节课，该课是在以前学习了“长方形面积的计算”一课后的又一节关于面积计算的新课。由于在教学长方形的面积计算这节课的时候，学生已经掌握和运用了多种方法来得到计算公式。因此，在教学“平行四边形的面积的计算”开始时，教师就巧妙设计了这样一个问题：运用以前我们学习过的知识，回忆一下长方形面积的推导公式的推导方法，您认为平行四边形的面积公式可以怎么推导出来？学生在进行了短时间的思考之后，纷纷举起了手……
生1：我觉得可以把一个平行四边形沿着它的高剪下分成一个三角形和一个梯形，把它们拼成长方形，再利用它们的关系就可以求出平行四边形的面积。
生2：可以把一个平行四边形沿着一条线剪开，剪成两个梯形，再把两个梯形拼成长方形，就可以得出平行四边形的面积。
……
学生大胆地猜想后，教师安排学生进行操作验证。很快就得出了平行四边形的面积的计算公式。在这节课中，教师在备课时预设了让学生进行反思的环节，通过反思长方形面积公式的推导方法，利用转化的思想，使学生的数学学习水到渠成。
二、在课堂把握时机，及时让学生进行反思
学生个体之间存在着一定的客观差异，解决问题时也有各自不同的方法，教师应该引导其反思，例如组织学生对各种解决问题的方法进行比较。
如，为配合教学平均数训练，教师出示一题目：“一次英语测验，小兰、小卓、小英、小美、小婷、小玉分别得了89分、84分、87分、85分、90分、88分，请你算出他们的平均分。”学生经过思考，列出如下几种解法：
（1）（89+84+87+85+90+88）÷6；
（2） ［80×6 +（9+4+7+5+10+8）］÷6；
（3） ［90×6-（1+6+3+5+0+2）］÷6；
（4）［85×6+（4-1+2+0+5+3）］÷6；
（5）［84×6+（5+0+3+1+6+4）］÷6。
然后，教师引导学生对上述各种方法进行比较：你最喜欢哪一种方法？为什么？通过反思，学生领悟到解题时要学会从多方面进行思考并选择最佳的解题方法，创造性地解决问题。
三、在新课结尾处设置问题，巩固学生的反思习惯
在一节新课快结束时，教师都会巧妙地设计几个问题，指引学生进行积极的自我反思，这样既可以对所学内容、学习过程、运用的数学方法进行回顾和思考，也可以帮助学生将本课所学的内容形成系统的知识结构，巩固深化。
例如，异分母分数的加、减法计算这节课，教师可以在课末设计如下几个问题：这节课你学到了什么？您认为本节课的重难点是什么？对这节课的学习经历你有何感受？本节课的问题解决采用了哪些方法？这些方法体现了什么样的数学思想？还有哪些不懂的地方？
生1：我觉得本节课的重点是掌握异分母分数加法和减法的计算方法，难点是在计算过程中能根据实际情况灵活地估算异分母分数的加、减法。
生2：我发现异分母分数的加、减法是运用我们前面所学过的通分知识来解决的，而通分实际上是找出这几个分数分母的最小公倍数，都是把新知识转化成已学过的知识来解决的，很有趣吧！
生3：我体会到了“转化”的思想是数学学习中的一种重要的学习方法。
……
生1：老师，我有一个发现，通过割和补把平行四边形转化成长方形再计算面积的方法有时候行不通！
他语惊四座。孩子们立马议论纷纷，怎么回事？我也有些诧异，示意他继续把话说完。
生1：像这样的平行四边形，就没办法割补成长方形。（他急于向我们证实自己的发现，跑上讲台在黑板上画了如图1所示的一个平行四边形）
台下的孩子们见了，有反应特别快的马上叫道：“可以割补成长方形呢！”孩子们的积极性被调动起来了，我乐见课堂参与度那么高，就请反应最快的孩子上台在图上加以说明。他在长边上画了一条高，描述如何沿高剪开可以拼成一个长方形，赢得了多数孩子的点头认同。先前提出问题的孩子一向很有自己的见解，估计没那么容易放弃自己这一重大发现。
生1：这样剪拼是可以，但只能说明这个平行四边形的面积可以用那个长的底边乘高来算，不能用这个短的底边乘高来算（孩子的意思是无法说明这个平行四边形的面积等于AB与AB边上的高的乘积）。
这下议论纷纷变为窃窃私语，进而面面相觑了。我欣赏这小家伙思维的严密以及敢于质疑的勇气，于是大力肯定――
师：非常感谢这位同学提出了一个很有价值的问题！如果没有他的大胆质疑，我们就不会有更深入的思考，也就不会有更多的收获。现在，他说的好像很有道理，难道说我们先前的推导办法真的不行？那么好的一个公式还存在问题吗？
我开始有意引导孩子们再进行观察、思考。
师：到底能不能将这个平行四边形通过割补转化成一个以AB为长的长方形呢？刚才这位同学说割补的方法行不通了是什么原因？
生：这样的平行四边形过于狭长，不好沿高分割……（学生有些难于表达）
师：哦，那要是短一点就可以割补成长方形吗？（在平行四边形中水平添加一条线，分出一个小平行四边形，如图2）
这时候小平行四边形可以按常规的方法剪拼成长方形，学生是认同的。我请一名学生上台将剪拼的图示画了出来（如图3）。
师：上面的大平行四边形还是不能一下子割补到位吧？
生：再分成两个小平行四边形就都可以剪拼成长方形啦！（有学生在我的启发下有了想法很是兴奋，我示意他上台画图表达自己的想法，他画图如图4）
师：现在看来，到底能不能将这个平行四边形通过割补转化成一个以AB为长的长方形呢？
学生通过观察可知，将三个小长方形通过平移排成一列，就得到了一个以AB为长的大长方形，这个长方形的宽就等于原来平行四边形的高，从而得出结论：这个平行四边形的面积等于AB与AB边上的高的乘积，这说明我们的推导方法是可行的，得出的公式更是可信的。
反思：在上面的教学片段中，学生的确提出了一个有价值的问题，这一问题在多边形面积的学习中有一定的代表性。就我个人的教学来说，在研究教材备课时是没有考虑到这个问题的――任何一个平行四边形都可以通过割补转化成长方形计算面积。我们往往避难就易，遇到类似上述片段中学生画出的平行四边形，就会直接转化成以长边为长的长方形，毫不费力地推导出其面积计算公式。学生一般也欣然接受，很少考虑到用另一组对应底和高的乘积。这样的教学还真是缺少了一些严谨和严密。
对这个问题的求证，更体现了一种严密的逻辑思维。平行四边形的面积＝底×高，我们推导出这一面积公式，当然应该是所有情况都能适用的，因而在推导公式时，就应该考虑到不同的情况，不能仅满足于顺利得出公式而避难就易。同样地，让学生对这一公式有深入的思考，全面地理解并掌握也要求考虑到不同情况。
一、启发性问题――拓宽学生思维参与的广度
以“周长的认识”为例，在测量图形的周长环节，教师利用学生已有的知识经验和儿童心理特征，不断抛出问题，让学生经历从图形到实物，从直线到曲线的认知冲突。
问题1：长方形、正方形、三角形可以用直尺直接量，别的图形如圆，就不能用直尺直接量了，怎么办呢？利用矛盾冲突，去激发学生寻求新的解决方法，如借助软尺等工具进行测量。问题2：假如没有软尺，也没有绳子，只有直尺，你能行吗？新的问题冲突，再次激发学生重新寻找新的解决途径，提出滚动测量法。问题3：如果这个物体是不能滚动的，如形、形呢？这一问，激起学生更加强烈的好奇心与求知欲，动用已有的知识储备和经验基础，积极探索，直至“化曲为直”方法应运而生。
在教师一连串启发性问题的带动下，学生不但被激起强烈的探索欲望，而且层层拓宽了思维的广度。从原本带有局限性的测量工具直尺，扩展到利用软尺、绳子或条状物品进行测量；从单一的测量方法平铺测量，到滚动测量，再到化曲为直思维的产生。“只要抓住了学生的心，他们就会越加迫切地想要知道、思考和理解。”（苏霍姆林斯基语）教师正是把握了学生好动、会玩的心理特征，当学生的既有经验被不断挑战时，在好玩、好胜心的驱使下，学生的创新思维不断被启发、被挑动，从而拧开了思维的“闸门”，有效激活了思维，开阔了思路。
二、障碍性问题――强化思维参与的深度
“一个优秀的数学教师，在一节课中一定有几个主线的提问，能将这节课的魂抓住。”（吴正宪语），以教学“平行四边形的面积”一课为例，教师可以运用几个探索性的问题，人为地给学生设置“障碍”。
问题1：在课始阶段直接提出，平行四边形的面积该怎么求？学生每人分一张练习纸，上面印有一个平行四边形，要求自己量取所需要的数据，计算出它的面积。结果反馈为两种算法：一种是底乘高；一种是邻边相乘，且用邻边相乘方法的人数较多。问题2：什么办法可以证明你的方法是对的？当学生提出把平行四边形一拉，就变成一个长方形时，教师指着黑板上的平行四边形问，这个拉得动吗？相机引出用数方格，这种最原始又最管用的方法进行验证，发现数出的结果和邻边相乘的结果不一致。学生不解，平行四边形能拉动成长方形，为什么面积不能像长方形那样邻边相乘？教师继而提出问题3：平行四边形具有不稳定性，那么它与拉动之后形成的长方形之间到底有什么样的关系呢？问题切入学生的困惑处与需要处。受此影响，学生纷纷动手操作，利用平行四边形的活动框架去解决心中谜团。待发现长方形的长相当于平行四边形的底，宽则是平行四边形的高时，学生恍然大悟。于是，教师趁热打铁提出问题4：是不是所有平行四边形都能转化成长方形？通过举例验证，采用不完全归纳方法，帮助学生验证猜想。
学生在教师精心预设的一系列障碍性问题推动下，层层触碰知识的核心点，剥开事物的表面现象，感受了图形之间的变换与联系，了解了事物的内在本质属性。在引领学生逐个跨越“障碍”的同时，让他们实实在在地经历了“做有意义的数学”的过程；在知识的动态生成中，既提炼学习方法，体现“以学生发展为本”的教学理念，也将学生的思维从外在的表层认识引领至理性的深刻分析。“不能由你告诉他应当学什么东西，要由他自己希望学什么东西和研究什么东西，而你呢？则设法使他了解那些东西，巧妙地使他产生学习的愿望，向他提供满足他的愿望的方法。”（卢梭语）。障碍性问题的开发与运用正体现了此种观点。
三、反思性问题――提升思维参与的效度
思维参与的有效性表现在学生能否对自己的思维活动进行反思。思维发展由简到繁，尤其是反思中隐含了数学思想方法，能使学生获得更高层次的数学思想，长此以往，学生面对问题就会站得更高、思路更广，对数学的理解才会由量的积累到质的飞跃。《课程标准》指出：“在小学阶段要初步形成评价与反思的意识。”通过反思性问题的设计，频繁地引导学生进行反思，能够使学生在反思中学会学习方法，学会如何发现、思考问题，从而提升思维参与的有效度。
以教学“三角形三边关系”为例，学生对要围成一个三角形需要几根小棒，基本上能够肯定地回答“3根”。由此，教师提出一连串的反思问题。问题1：是不是有3根小棒就一定能围成一个三角形？该问题使学生对自己之前不假思索的回答产生了怀疑，进而思考这个答案是不是存在不合理性。当学生在动手操作过程中出现由7厘米、2厘米、5厘米的小棒摆成“近似”三角形的图形时，教师通过投影放大实物图，提出问题2：有一点缝的能不能叫作围成了三角形呢？怎样才能算围成了？引导学生把关注点放在“围成”上，深刻理解三角形的定义，及时纠正了操作中出现的误差情况。接着乘势而入，进一步提出问题3：三根小棒在什么情况下是不能围成三角形的？指导学生将操作中出现的失败情况，进行梳理、整合，有效地把学生的思维从“纠结”中解放出来，充分认识到两根较短的小棒合起来如果与第3根一样长或小于第3根就不能围成三角形。问题4：怎样的3根小棒就能摆成一个三角形呢？继上一问题之后继续引导学生反思，让他们的思维经历从片面到全面的概括性过程，最终总结出“任意两边之和大于第三边”的结论，将提高思维参与数学活动的有效性落到了实处。
此案例中，教师通过一连串反思性问题的提出，对教学目标达成起到了“提领而顿，百毛皆顺”的效果。每一问都以学生新生成的知识为起点，不断地对自己的猜想进行反思、验证与归纳，学生不只是发现了三角形的三边关系，更重要的是找到了分析和解决问题的途径，及辩证地看问题的思想方法。
辩论式学习的概念与模式
辩论式学习是以学生为主体，以发散思维为特征，让小组或全班学生围绕特定的论题辩驳某个问题。把更多的时间和空间留给学生，让更多的学生进行思考。辩论式课堂学习的具体模式一般如下：
对学生数学学习的影响
对混淆知识的辩论，能加深学生对概念的理解 在小学数学课堂学习中，我们可以通过学生之间的辩论来理解不同的概念，辨清两者之间的关系，把两种概念进行准确的区分。现以北师版五年级上册《平行四边形面积》的教学为例。出示辩题：平行四边形框架转动变成长方形后，所围成面积是变大还是变小？教师根据学生的不同观点，确立了正方（面积变大）和反方（面积变小）。正方：因为平行四边形变成长方形后，底边长没有变，但高变大，所以面积变大。反方：平行四边形变成长方形后，底边不变，高变小，所以面积变小。……在整个辩论过程中，有同学上台进行画图分析讲解，先确定了平行四边形转动前后的对应关系“平行四边形的底变成长方形的长，平行四边形的邻边变成长方形的宽”。最后，正方有位同学竟然用小纸条做了一个平行四边形，实际的操作演变平行四边形转动成长方形的过程，让大家清楚地明白了前面所提出的对应关系，而且进行多次操作发现“平行四边形的邻边一定会大于它的高”。
对不同方法的辩论，能优化学生解决问题的策略 小学数学课堂教学中，教师应该鼓励学生用不同的方法策略来解决同一个问题。通过对不同方法运用的辩论，每一位学生都会对自己的方法有独自的感受和思考。下面选取了北师版五年级下册《分数除法（二）》教学的一个片段――
出示辩题：归纳一个数除以分数，所得的商是大于这个数还是小于这个数。在这里，可以从除法的规律来考虑除数大于1或小于1时，商与被除数的关系；也可以把除法转化成乘法后来考虑乘数与积的关系。这时，就出现了两种不同的声音。于是全班就分为正反两方，进行辩论。
正方：只需记住乘以小于1的数，就是比这个数要小，只有这个数的几分之几；乘以一个大于1的数，就是乘以这个数的几倍，就要比这个数大。
反方：用除法，我们就可以少一步转换的过程，我们只需要记住――除以一个小于1的数，就是说这个数里面包含有多少个小于1的数，所以结果大于这个数；除以一个大于1的数，就是这个数里面包含有几个大于1的数，所以比本身小。
正方：你们为什么知道除以一个小于1的数，结果要比本身大呢？你们说是里面有几个几分之几，那不就是这个数乘以除数的倒数吗？其实，你们判断的原理和我们是一样的，只不过我们把思考的那一步写了出来，而你们只是在头脑里思考罢了。
反方：难道说你们在解决这道题的时候没有在头脑中进行思考吗？我们是直接思考后就能判断出结果，而你们还需要转换后再思考才能判断出结果。如果不信，我们可以比一比速度。
……
最后两方同学进行了一场判断的比赛，结果发现各自的速度都是差不多的。所以，到头谁也没有说服谁。
对教W要点处的辩论，能让学生经历知识的形成过程 课堂教学的重难点是教师必须要抓住或突破的知识点，以及学生在学习时往往会遇到的普遍性难题。教师可以提供学生充分的学习内容和探究材料，通过学生间的辩论，让学生主动获取知识，对知识有更全面的理解。例如：在教学北师版五年级下册《长方形的体积计算》的时候，教师可以安排学生讨论长方体的体积与什么有关。小组讨论结果中，有人说与长有关，也有人说与宽有关，还有人说与高有关。这时，就可以让各小组进行辩论。①与高有关：因为一个长方体它越厚，也就是说它越高，它所占的空间就越大，所以体积与高有关系。②与长有关系：长方体的长越长，在横排上就占有更多的空间，所以体积与长有关系。③与宽有关系：长方体宽越大，在竖排上占的空间就越大，所以体积与宽有关系。④与长、宽、高都有关系：刚才他们说的都是在长与宽、长与高、宽与高不变的情况下讨论的，所以我们认为体积与长、宽、高都有关系。
关键词：课堂教学；课堂讨论；最佳时机
中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）21-221-01
新课程标准告诉我们，课堂教学应以教师为主导、学生为主体，充分调动学生的积极性和主动性，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新能力。在数学课堂教学中，不失时机地组织学生展开讨论，给学生提供自我表现的机会，实现师生积极互动，互相交流、共同发展的过程。学生经历探究过程，活的知识和能力，从而促进学生思维能力的发展，激发学生学习教学的兴趣。那么，如何把握时机，组织讨论，才能成就精彩的课堂呢？
一、在新旧知识的衔接处引发讨论
例如，在教学三角形面积时，先复习长方形、正方形、平行四边形面积的计算公式作为铺垫。接着，让学生把自己事先剪成的两个同样大小的三角形拼一拼，结果拼成的有长方形、正方形、平行四边形。我请同学把三种图形贴在黑板上，提出启发性的问题：“长方形、正方形、平行四边形的边长各与三角形的底有什么关系？正方形、长方形、平行四边形的高分别与三角形的高有什么关系？”让同学讨论因为有旧知识基础，学生的思维非常活跃，将问题一一回答。接着学生很快地归纳出三角形的面积公式：底×高÷2。由于新知识是学生积极思维活动的结果，学起来易于接受，训练了学生比较、分析、综合、抽象、概括等思维能力。
二、在突破难点时诱发讨论
如在数学比和比例、比的基本性质、比例的基本性质时，虽然只是一字之差，但这是两个不同的概念。学生容易混淆，虽得出的概念比较容易，可要使学生真正理解却比较困难。趁这机会可组织学生列表、讨论，让学生弄清他们的联系和区别。判断两个比能否成比例，可用两种方法来判断。通过讨论加深了对概念的认识，从而培养学生的思维能力。
三、在认知结构的形成阶段深化讨论
当新的认知结构初步形成时，它还处于不稳定的、肤浅的状态，此时，可组织学生讨论，深化认识结构。如把一个由四条木条绞接成长方形，拉成一个平行四边形，问哪个面积大？观察实验：图形进行变化，长、宽（或底、高）的变化情况后，长方形与平行四边形的面积是由什么决定的进行讨论，学生讨论后，能够根据等底不等高来判断两个图形的面积不相等，而且平行四边形面积小于长方形。学生讨论起来兴趣盎然，从不同角度深化了对知识的认知。
四、在练习后评析时展开讨论
练习后的评析易于使教学得到信息交流和反馈。例如，练习求积计算的综合练习题直接使用条件求积，求积的逆向练习，转化条件求积等。通过练习，激励学生讨论：“练习后大家明白了什么？”得出：1.面积公式可以用来计算面积，已知面积也可以反过来计算边长或高。2.计算组合图形面积先要分解成能利用已知条件的几个基本图形。
五、于学生易错处深化讨论
学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能又不准确，这就难免有“错”。针对学生常出现的错误，从其认识上的模糊处来提问，让学生从正确与谬误的比较中辨明是非，利用反差效应突出本质差异，从而提高思维的精确度。例如，讲平行线的定义，学生不难理解，让学生提出不懂的问题，显然是不可能的。这时，教师不妨这样问：“平行线的定义中，为什么要有‘在同一平面内’的限定呢？如果没有这一限定，能否得到两条直线一定平行呢？’教师的反诘，使学生产生了疑点，必定进行深入思考，从而真正理解了平行线的定义，解决了一个知识模糊点。此外，我还在教学中采取了“纠错”训练。希望借助于“错”来激思，在思疑中启悟；由错反思。
六、在思路容易阻塞的地方引导讨论
关键词 错误；质疑；反思；思维发展
在我们的数学课堂上，每天都有错误出现，但是在平时我们比较关注学生的闪亮点，对于他们正确的回答津津乐道，却忽视了课堂上的错误。课堂是不可预测的，错误也是难免的。教育专家指出：“课堂上的错误是教学的巨大财富”。学生不出错的的教学，它不是真正的教学，学生不出“意外”的课堂不是好的课堂。课堂中学生出现错误是美丽的，错误是孩子们最朴实的思想、经验最真实的暴露。俗话说：“金无足赤，人无完人”。作为教师我们要允许学生出错，并能正确地、巧妙地加以利用错误资源，让学生在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，实现创新，促进学生的全面发展， 让错误变成美丽的童话。
一、让“错误”激发探究兴趣
布鲁纳曾说过：“探究是数学的生命线，没有探究，便没有数学的发展。”学习错误是其积极参与学习过程必然伴随的现象之一。对于似是而非、学生不易察觉的错误，如果教师只告诉正确的做法，难以触及问题的实质，更容易抑制学生主动性和创造性的发展。如对这些错误巧妙地加以利用，因势利导，多给学生思维的时间和空间，这不仅能使不同层次的学生发现错误，提高学习的积极性，而且可以引发学生的探究兴趣。
二、让“错误”突破学习难点
所谓教学难点是指“学生学习过程中，学习上阻力较大或难度较高的某些关节点”，也就是“学生接受比较困难的知识点或问题不容易解决的地方”。它是由于学生原有的数学认识结构与学习的新知识之间不协调而产生的。这些数学中的难点，学生学习时往往容易出现错误，教师要善于利用这些课堂学习中出现的“错误”资源，进一步突破教学上的难点。
三、让“错误”激活创新思维
思维是艺术的体操。在课堂教学中，学生的“错误”资源本身就是一种尝试和思维创新过程，教师只有具备“主动应对”的新理念，才会看到“错误”资源背后隐含着的数学思维和隐藏着的价值，才会因地制宜地处理好来自学生的错误，激活学生的创新思维。这个过程不正是师生教与学智慧的闪现吗？
学生的一些错误的回答可能蕴含着创新的火花，这位学生虽然刚开始的解题思路出现了错误，但教师没有轻易地否定学生的答案，而是让他在自己讲解解题思路中激活思维，激发灵感。实际上，这是一个思维分析的过程，学生通过观察分析、对比思辨得出正确的方法，思维能力得到进一步的提高，创新能力也得到更好的发展。可见，教师尊重学生的思维成果，适时地对学生在探索中出现的“闪光点“进行鼓励，能够让解题中的错误发挥其应有的功效。
通过这个教学实例，我认为：教师在课堂中巧妙地把学生的错误作为一种智力发展的教学资源，机智、灵活地引导学生从正反不同角度去修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性，利用错误，给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度、全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，这是深化认识，培养学生创新思维的有效办法。
四、让“错误”优化课堂结构
在课堂教学中，学生不可能不出现错误，就因为有了这种、那种的错误，我们教师要能慧眼识真金，善于捕捉错误中的“闪光点”，优化课堂结构，及时调整教学流程，利用错误资源，让学生从正、反不同角度，全方位审视自己在学习活动中所出现的错误，达到教学目的，提高课堂教学效率。
[论文摘要]数学课堂教学过程中，许多教师不能正确认识、合理制定和有效落实三维教学目标，致使教师在课堂教学中只有环节或内容意识，教学行为存在盲目性与随意性，不能最大程度地促进学生发展因此，正确认识、合理制定和有效落实三维目标是引领数学课堂教学的重要途径。
在课程改革不断深入的今天，许多新课改的理念已深入人心，特别是新课程倡导的三维目标的要求，广大教师已经耳熟能详了，目前，大多数老师对新课程的三维目标的设置，从备课簿上看都能够较好地体现出来(也许应归功于教师用书和参考教案的引领)，但具体在课堂教学的实施过程中却不尽如人意，有两个问题非常突出：一是对课程和教学改革的实质缺乏正确的理解，有的还存在着不同程度的误解和曲解；二是出现了走两个极端的两个教师群体，年轻教师只关注新课程理念、新教学方法、新教学形式，忽视了优秀传统教学理论和方法的继承；老教师则一时很难适应并接受新的教育教学思想与理念，认为新课标要求下的课堂教学“太虚”，结果还是死守着旧有的教学观念和教学模式进入活生生的课堂，而所有的问题集中表现在教师缺乏目标意识和对新课标要求下的三维目标存在片面或错误的理解与认识。
教学改革是教育改革的核心，三位一体的教学目标是新课程的灵魂基于对新课改和对当前课堂教学现状的认识与思考，笔者认为：用三维教学目标引领数学课堂教学不失为一个有效的切入口。
一、静下来倾听，正确认识三维目标的正确含义
许多数学教师对新教材的使用有不同程度的误解与排斥，很大的原因在于他们还用原有的纯知识本位的标准去衡量新教材与课堂教学，以致产生了诸如“量太大，知识不够扎实”“太灵活，学生反应不过来”“知识呈螺旋式上升，每次教学新知的度很难把握”等困惑，而不明白三维目标的真正含义是既要重视知识、能力，又要重视过程、方法，同时要关注学生情感、态度、价值观的培养，要关注每一名学生综合素质的发展，而许多数学教师淡化甚至没有这一目标意识，从新课程理念的考察中，就会发现存在着不少问题：
其一，草率盲目，兴之所至，不假思索，或照教参一抄了之，或仅凭感觉随意而定，缺乏合理性、系统性与渐进性。
其二，大而空，笼统模糊，对学生学习缺乏明确的指导，许多教学目标里充满了“学习”“认识”“理解”“体会”“培养”等要求，这些要求到底在多大程度上能够达到或不能达到，其中每一个要求要经过哪几个阶段或层次，都很难操作、观察和测定。
其三，停留在认知层面，不能将学生智慧、情感、意志上的发展和成长放在重要地位，传统教学目标大都是一个个肤浅的、答案明显的、没有思考价值的知识性问题，这是造成封闭、机械、僵化的教学的主要原因。
鉴于此，笔者曾收集了一些身边的案例和问题就三维教学目标的认识与制定组织数学教师进行学习与讨论，之后，一位数学教师深有感触地写下了自己的感受：
当了这么多年的数学教师，还真没想到教学目标还有这么大的文章可做，以前我走进课堂从来没有想过教学目标有没有问题而且在教学过程中只是想着自己要教什么内容或按怎样的步骤去教，根本没考虑到我要达到什么教学目标，怪不得有时候我的课堂那么散乱，原来我连自己要干什么或学生要发展什么都不知道，看来我得先要有目标意识。而不仅仅是环节意识，此外，三维目标是根据学生作为人的发展需要而制定的，所以我首先要真正把学生当人看……
身边的案例、身边的事实让老师们理解了三维目标以及认识到三维目标的重要性，也让老师们深刻地知道三维目标就在自己的课堂，就在自己的身边。
二、动起来实践，在课堂中体验三维目标带来的惊喜
新课程是一种理念，更是一种行动我们的老师经过新课程的各种培训，已经基本解决了关于新课程认识层面的问题，但把认识转化为行动还需要解决实践层面的问题，尤其是课堂教学，许多教师虽然面对新课程能说出很多观点，但是在实施新课程的时候仍感到困惑或不知所措，突出表现在课堂教学目标意识的缺失或淡薄，笔者曾组织数学老师就教学目标的制定与落实进行“滚雪球”式的校本研修活动，发现以教学目标为切人口引领课堂教学实践是课改的关键。
1.带着目标走进课堂
以一位教师上五(上)《平行四边形的面积》一课为例，
第一次设计的教学目标：
(1)知识与技能目标：使学生理解平行四边形的面积计算公式，会计算平行四边形的面积。
(2)过程与方法目标：培养学生的操作能力和解题方法的多样性。
(3)情感态度与价值观目标：培养学生与人合作的能力，体验数学学习的乐趣。
不难看出，这位老师已经认识到新课程倡导的目标具有三维性，能按照三维来设计，但对照课堂教学，第一次教学时出现了以下几个问题：
(1)按部就班地教学设计，没能适时把握生成的课堂资源，没有明显的增量。
(2)没有遵循学生动手操作的特点进行教学，准备的材料过于单一，限制了学生的思维。
(3)机械化地追寻转化方法多样化，缺少学生生活积累和情感体验的参与，也浪费了时间。
(4)缺少评价意识，没能真正关注学生的情感体验与学习现状。
显然，出现以上问题的关键在于这位老师只有环节意识而没有目标意识，一切的教学都是在走教案，都在“意料之中”，而且从制定的形式上可以反映出她将目标的三维性机械地割裂开来，情感目标的失落直接导致了其他目标的落空，经过大家的讨论与教后反思，这位老师重新调整并进一步明确了教学目标：
(1)使学生通过操作，理解平行四边形的面积计算公式，会正确计算平行四边形的面积，
(2)通过操作、观察、比较，渗透转化的数学思想，发展学生的空间观念。
(3)通过操作，培养学生与人合作的能力，体验成功的乐趣，感受数学学习的快乐
带着修改过的教学目标进行第二次教学后，很好地解决了第一次出现的问题，正如这位老师在第一次教后反思中所描述的：“……教学的盲目性与随意性最关键的问题在于我没有树立真正的目标意识，教学目标——教学的出发点和归宿!……”
第二次的反思后，这位老师再一次调整教学目标：
(1)使学生通过操作，理解平行四边形的面积计算的推导过程，掌握平行四边形的面积计算公式，能正确地计算平行四边形的面积。
(2)通过操作、观察、比较，渗透转化的数学思想，发展学生的空间观念。
(3)通过操作，培养学生与人合作的能力，体验数学知识在生活中的作用，感受数学学习的快乐
第三次走进课堂，这一次她已经轻车熟路了：
(1)猜一猜，如何计算平行四边形的面积?
(2)剪一剪，拼一拼，让学生通过剪、移、拼等操作活动，将平行四边形转化为长方形，同时明确“沿高剪”的必要性、重要性。
(3)分析比较，推导公式，比较、分析剪拼前后“底”“高…‘面积”的变化，让学生感悟平移和转化的数学思想方法，推导出平行四边形面积的计算公式。
(4)巩同应用，发展能力，设计形式多样的练习，让学生自主解决问题，感受、体验学习成功的愉悦。
这一教学过程诠释了《数学课程标准(实验稿)》提出的“数学思考、解决问题、情感态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提”这一和谐统一的整体目标理念，这样的课堂教学不仅有效，而且达到了高效。
2.带着目标观察课堂
假如说，目标意识让教学实施者有了一步步感受“三维”的生命力，那么目标意识也让听课者走近“三维目标”这个课改的灵魂。
笔者第一次组织学校的数学老师来听试教课就是有意识地引导他们对照教学目标观察课堂，有的关注知识教学的落实，有的专看学生的操作和合作能力，也有的专门留意学生的学习兴趣，当大家坐下来讨论问题并寻找解决办法时，不再像以前那样不知从何说起或无话可说了，而是针对各自关注的方面阐述观点提出建议，下面是一位数学老师三听《平行四边形的面积计算》针对情感目标落实的三次思考：
第一次：……我觉得学生合作的不够，同时练习的时候与生活的联系没有体现，所以要提倡多合作，以加深学生对公式推导的理解……
许多数学老师有同感，也都提议说要合作，但从其观点中可看出，老师们只凭感觉，只知其然而不知其所以然，只停留在对教学方法的机械运用，还是属于经验层面。
第二次：能够引导学生通过操作，将平行四边形转化成长方形，体会转化后的长方形与平行四边形的关系，推导出面积计算公式，并在情感体验的基础上进行了公式的应用，较好地达成了情感目标。
显然，经过第一次试教后的讨论与交流，这位老师能够有意识地运用教学理念评价课堂，而且意识到了教学目标具有三维性的特点，经验层面的观点开始向理论层而的理念提升。
第三次：能够体现数学的思维能力，在猜想中激活了学生的生活经验和情感体验，在验证中，让学生通过动手操作、再比较，引导学生理解平行四边形的面积计算公式，根据学生的特点，在操作中培养他们合作的精神，同时体验到成功的喜悦，如果在运用公式解决问题时，能有解决生活中的问题的练习，会更好地体现情感目标。
这次的思考比起上两次的观点有了一个质的飞跃，可想而知，这位老师的思考和执教老师的反思是同步的，她已经有意识地转向思考型的专业学习了，这个评价的背后有她对课标的理解，对三维教学目标的解读，对课堂学生生命发展的关注。
3.带着目标自主实践
有了倾听、观察、思考、交流带来感悟的喜悦后，许多数学老师开始关注自己的课堂，他们跃跃欲试，于是，在自己的课堂里，老师们感受到了实践与尝试带给他们的惊喜：
“我们班的学生知道如何和别人合作了!”“我觉得数学与生活是密不可分的……”“我发现评价语的作用很大，能够让孩子知道我们在关注他，欣赏他，帮助他………‘这堂课我的心情很好，孩子们怎么那么可爱呀!”……
三维目标的灵魂在于它对生命发展的关注，老师们开始关注到生命发展了。
三、沉下来思考，走“三维目标教学案例研究”式发展之路
“一个精彩的案例不亚于一项教学理论的研究，而且只有教师自己才最适合于这项研究……”教师关注自己的教学理念与教学行为最终要通过一次次的反思和教学实践来落实，于是，基于落实三维目标的案例研究便应运而生。
1.对照三维目标精读经典案例，寻找教学研究的切入口与方式
许多教师仍错误地认为案例只有那些具有高深理论知识的学者才做，因此，引导教师精读那些来自名师课堂的典型的又能引起老师共鸣的经典数学案例，能够有效地帮助教师找到数学教学研究的切入口和研究方式。
2.对照三维目标反思自我教学行为，变日常反思为专题案例研究
【关键词】启迪 思维 本质
【教材分析】
思维是人脑对客观事物的一般特性和规律的一种间接的、概括的反映，它是认知的核心成分。数学是思维的体操，让学生在掌握数学知识的同时学会思考，促进其思维发展是数学教学的灵魂，也是每一位数学教师所应追寻的价值取向。
人教版数学五年级上册第六单元练习十九，是一节W习了“平行四边形的面积计算公式”后的专项练习课。教材中除了紧接新授课安排的一些简单计算和解决问题（1～5题）之外，有一半以上的篇幅（6～11题）涉及对平行四边形面积的进一步理解以及在理解的基础上解决问题，其中第6、7、8三道题（如图2～图4）主要涉及平行四边形面积的决定要素――底和高；而第5题（如图1），更像把平行四边形放在了一个坐标系中进行研究。细细分析这些题目，它们的最大特点是通过对面积的计算来理解平行四边形的面积与其高和底的相关性，发展学生分析问题、思考问题的能力。
【教学实践】
怎样有效地利用这些题目，让学生通过解决问题，实现在认知和思维能力上得到进一步的发展？笔者抓住问题本质，以学生存在疑问的点为切入口，将题目进行有机整合，以便关注平行四边形面积的本质，启迪学生的数学思维。
一、在比较辨析中，进一步理解“高”与平行四边形面积的关系
平行四边形面积计算公式的推导主要是通过割补法来得出，而学生在新授课时容易把平行四边形的面积计算方法定位在“底×邻边”上。因此，“高”是决定平行四边形面积的其中一个因素，必须进一步加以理解。
课始，进行一些简单的基本练习之后，笔者抓住：“根据平行四边形易变形的特性，把它进行拉动，思考平行四边形的面积是否发生变化？”课件出示平行四边形的拉动过程，并将其中两个平行四边形作为研究对象，辅之以网格图（如图5），在引导学生作出判断并用自己的方法加以证明。很快，有的学生通过“整体剪拼”的方法，将平行四边形转化成长方形，并得出长方形的长相等、宽不同，因此面积不同；有的学生则通过计算，得出第一个平行四边形的面积为18cm2，第二个平行四边形的面积为12cm2，两者面积不同；有的学生则从平行四边形的面积计算公式出发，发现两个平行四边形底相同，高不同，第一个平行四边形的面积更大。
在此基础上，笔者出示图6两个平行四边形，让学生比较它们之间的面积大小。有了刚才的经验，学生很快得出结论，两个平行四边形的面积一样大，因为它们底和高一样。随后，把图6中右边的平行四边形移动到与左边图形的底重合（如图7），接着再出现一个平行四边形（如图8），进一步明确等底等高的平行四边形面积相等。
和高作为平行四边形的两个重要元素，决定了平行四边形的面积大小。当然，作为特殊的平行四边形，长方形的面积由它的长和宽决定。这一点学生也在原有的认知基础上，有了更深的体会。之所以将这两个问题进行整合，是因为它们之中一组是等底等高的平行四边形，另一组是等底但不等高的平行四边形。在处理教材时，我们需看到它们的不同之处，更应看到它们背后的本质问题，即在底相等的情况下，高决定了平行四边形的面积大小。
二、在动静结合中，进一步理解“同底”条件下平行四边形的面积关系
在完成第一个环节后，笔者继续利用刚才的素材进行提问：第一组的平行四边形拉动时，什么时候面积最大？为什么？学生通过观察和思考，以及对平行四边形面积计算公式的理解，很快发现在底不变的情况下，高最大时面积也最大。当拉成长方形时，高也就是长方形的宽是最大的，此时，平行四边形就是长方形，面积最大。笔者继续追问：有没有面积最小的时候？学生自然顺着前面的思路回答：有，当高为0的时候，平行四边形面积最小。笔者没有急于下结论，而是问：再想想，如果高为0，这个平行四边形会怎样？此时，出现了不同的声音：
生1：当高是0时，平行四边形就变成了一条线段，它的面积最小。
生2：高不能是0，如果高是0，那平行四边形就没有了。
看到学生已经隐约感受到了高的取值范围，笔者表示赞同第二种意见：平行四边形的高无限接近0，因此它的面积也无限接近0，但不会等于0，否则就不能称之为平行四边形了。
学生在新授课中通过剪拼等方法得出平行四边形的面积计算公式后，容易将之它视为孤立的、静态的规则。因此设计这样一个环节，使静态化计算面积的方法动起来，并进一步体会高的变化引起的面积变化。另一方面，也让学生适当地体验变量的取值范围，初步渗透极限思想。
三、在图形变化中，进一步理解“底和高”两个维度与面积之间的关系
紧接着，笔者趁热打铁，先后出示了以下内容（如图9～图10），使学生加深对平行四边形中底和高的作用的认识。
学生通过两组图形的观察、思考和交流，进一步加深了对平行四边形的面积大小由底和高决定的理解。
在观察两组图形时，学生发表了如下意见：
生1：（图9）竖的那一组平行四边形底不变，高在变，面积也在变，它们的面积变大了；横的那一组图形，底在变长，高不变，面积也变大了。
生2：（图10）平行四边形的底和高都在变化，它的面积变化更大了。
教师追问：看来，是谁决定了平行四边形的面积大小？
生：平行四边形的底和高决定了平行四边形的面积大小。
师：那长方形呢？
生：长方形的长和宽。
师：长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么相同之处？
生：它们都是朝着横和竖两个方向的。
在此基础上，教师出示面积单位cm2、dm2、m2、km2，请学生说说对这些单位的理解。一开始学生对这些面积单位没有特别的感受，于是，笔者提醒学生应与刚才的发现相结合，在教师的提示下，学生逐渐有所感悟。
生1：这些单位都有平方，单位右上角都有一个“2”。
生2：这些单位表示cm×cm，dm×dm，m×m，km×km。
生3：这些单位表示（图形的）两个方向（维度）相乘。
随后，笔者继续设疑（出示图11），要求计算出三个平行四边形A、B、C的面积，并分析比较底和高的变化与面积变化的关系。
生1：A的面积是6×5=30，B的面积是12×10=120，C的面积是24×20=480。
生2：我发现图形A与图形B之间，底扩大2倍，高扩大2倍，而面积扩大了4倍。
生3：图形B与图形C之间，底扩大2倍，高扩大2倍，面积就扩大了4倍。
生4：图形A与图形C之间，底扩大4倍，高扩大4倍，面积是30和480，面积扩大了16倍。
生5：这些图形的底与高和面积之间的倍数关系是底扩大的倍数乘高扩大的倍数，就是面积U大的倍数。
这一环节是对前面两个环节的整合与发展，通过图形之间的整体变化让学生进一步理解平行四边形的底和高与面积的关系，帮助学生通过迁移、拓展，从整体的视野来加深对两种平面图形的面积及其计算方法的认识，同时在学习与思考的过程中，理解底和高的变化与面积变化之间的关系，为后续学习三角形、梯形等平面图形的面积打下认知基础。
从二维的角度去分析面积及面积的计量单位，有助于帮助学生将图形、面积计算公式、面积单位及面积单位间的进率有机统一起来，形成整体，便于理解。学生对面积的二维性质的理解，也有助于为后续更好地理解立体图形的相关内容做准备。
【教学反思】
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“通过数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。体会数学知识之间等的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”这为我们的数学教学指明了方向：在重视数学基础知识和基本技能的同时，更应关注数学的基本思想和基本活动经验，为学生的后续发展奠定基础。当教材中出现能够发展学生数学思维、拓宽学生视野的素材时，作为数学教师应有敏锐的嗅觉，及时捕捉住这些有价值的学习素材。
上述三个环节的学习与研究，结构上环环相扣，内容上层层深入，紧紧抓住平行四边形易变形的特性，从底不变、高的变化来分析平行四边形的面积变化；再到等底等高面积相等，然后同底条件下研究什么情况下面积最大，什么情况下面积会越来越小；最后研究底和高均发生变化与面积变化之间的联系。在掌握数学基础知识、发展数学基本技能的同时，学生的思维得到了充分发展。学生分析问题的角度慢慢从一个维度逐步向两个维度推进。
关键词：不和谐；善待；关注；转化
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）22-085-2
去年，我有幸参加了同课异构的听课活动，学习了不同风格的教学方式。课堂上，师生互动高潮迭起，环节设计无懈可击，这固然是好事，让我受益匪浅。最让我颇有感触的是学生解决问题的方法和回答问题的表达，顺理成章，就像事先已进行过“彩排”一样。课后，听老师们交流，他们无奈地说：“这种公开课怕学生出错，怕学生的回答出乎意料，更怕自己驾驭不了这样的局面，拖延时间……”。针对教师如此害怕教学过程中发生类似的“不和谐”现象，我产生了如下的想法：
一、善待“不和谐”，促进学生个性思维的发展
“当你把所有的错误都关在门外，真理也就被拒绝了。”数学课上，学生由于缺乏经验，产生认知偏差，出现“不和谐”的现象时，教师往往以冷漠的表情令其坐下再想想，而不让其陈述理由。教师常常有意无意地在课堂上防止学生出错，久而久之，学生不敢随意表达自己的思维，教师无法获得课堂上的真实信息，很多没有暴露的问题移留到课后。但我认为这样的课堂看似进展顺利，实质抹杀了学生的个性思维，是不可取的。
[案例] 我在教学“多边形内角和”时有如下一个片断。
师：根据“三角形内角和是180°”，谁能想出下面的四边形内角和是多少度吗？（图1）
生1：连接四边形的一条对角线，把四边形分成两个三角形，得出四边形内角和是（180°×2=）360°（图2）。
师：那么五边形的内角和是多少度呢？（图3）
生2：将五边形分成了图4的情况，得出五边形内角和是900°。
（有人插嘴）生3：他的方法不对，应该是这样的分法（见图5），得出五边形内角和是540°。
师：（看到生2低着头，满脸通红。）生3求到的内角和是正确的，但我认为生2的方法也能求出正确的答案，你们能按他的分法来求出五边形的内角和吗？
这时生2抬起头来，看着黑板上的两个图，大家也在思考着。
突然，生2激动地站起来说：“原来我少减了一个周角，即2个180°，这样可得五边形的内角和是180°×5-180°×2=180°×3。”
[反思] 课堂上教师给学生提供多次探讨与交流的机会，以激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究、合作交流，在活动中学生学会相互接纳、赞赏与互助，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思，进而达到对知识的发现和接受。这样的教学，不但保护了学生的自尊，而且激发起他积极探究的欲望，促进个性思维发展，同时也培养了学生严谨的科学态度，它对学生今后的学习所起的作用，也远非这一堂课所能涵盖的。
二、关注“不和谐”，为学生个性张扬搭建了一个平台
在课堂教学中，学生对于问题的解答或具体操作中，常会有与教师的预想“不和谐”地方，此时教师没必要早早地向学生透露解决问题的统一方法，而要提供给学生自主探索的空间，让他们合作交流，各抒己见，主动寻求解决问题的方法，为学生个性的张扬搭建一个平台。
[案例] 四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为4，5，6，四边形DHOG面积是多少？下面是试卷分析的一个片断。
师：这道题目考试的时候班上没有同学做出来，我现在提示一下，请大家思考，“利用中线平分三角形的面积”。
生1：找三角形。
大家：可以连接OA、OB、OC、OD
师：请大家观察AEO和BEO面积。
生：高相等，因此SAEO=SBEO
同理：SBFO=SCFO，SCGO=SDGO，SDHO=SAHO
为了方便计算可设：
SAEO=SBEO=a，SBFO=SCFO=b，SCGO=SDGO=x，SDHO=SAHO=y
生2：可以利用方程组解出a+d=5
生3：通过分割可以发现S四边形EOFB+S四边形OGDH=S四边形EOHA+S四边形OFCG
得到：4+6=5+5
师：嗯，这个方法好。
[反思] 自主探究，动手实践，合作交流应成为学生的主要学习方式，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教学过程中，教师没有刻意将解题思路灌输给学生，而是让学生观察，大胆地尝试列方程解问题的思路，从而深入整体思想的学习。学生在解决问题时，教师能尊重少数学生的独特的学习方式，对不同的方法及时地加以肯定，并对有价值的予以放大，为学生个性化的发展搭建了宽广的平台。这样一种创新品质的培养正是传统教学所缺少的。
三、转化“不和谐”，使学生的个性潜能得到充分释放和提升
新课程的实施，使越来越多的教师意识到：教学过程、教学内容的不确定性对教师提出了更高的要求。特别是，学生在学习过程中，经常会有一些“不和谐”的声音。我在一次教学中，针对这种现象，及时进行转化，收到了良好的效果。
[案例] 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8.AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，求四边形AECF的面积。
生1：由角平分线可以得出∠BAE=∠EAC，∠ACF=∠FCD
AB∥CD，∠BAC=∠ACD，∠EAC=∠ACF，AE∥CF，
四边形AECF为平行四边形，进一步得出为菱形，设BE=X，则EC=AE=8-X，用勾股定理列方程，得到菱形边长x。
师：大家都同意他的解法吗？
好多同学表示有同感，认为平行四边形AECF是菱形。
师：大家证明了平行四边形AECF是菱形了吗？
喜欢“钻牛角尖”的生3喊：“第一种方法行得通的，就是菱形，角平分线性质，可以得AE=EC，邻边相等。
他振振有词，课堂上一片喧哗，有的同学争得面红耳赤。
师：那我们得到菱形，算面积总要作垂直的吧。
有同学开始操作了，过点E做EMAC，FNAC.有同学立刻举手了。
生2：由角平分线性质得到：AB=AM=6，CD=CN=6，AM+CN=12≠10=AC，两条垂线不在一条直线上，和菱形对角线性质发生矛盾了。
哦，很多同学恍然大悟，争执的声音渐渐平息，安静片刻之后，大家认同第二位同学的观点。讨论之后找出了正确的解题思路。
一、“起”——提炼数学规律、体验数学思想方法。
“起”即开端、起始，也就是让学生通过实际操作，并从操作过程中提炼出数学规律，进行一般化，体验其中的数学思想方法。在一个单元中，起始课往往具有重要的地位。
在整个多边形单元，“平行四边形的面积”是起始课，是学生在掌握了平行四边形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上进行的，学好这节课又是进一步学习三角形面积、梯形面积、多边形面积以及圆面积和立体图形表面积计算的基础。
新课程不仅注重学生基础知识的掌握和基本技能的培养，更注重学生在学习过程中基本思想的形成、基本生活经验和活动经验的应用与积累。研读教材后，我把这节课的教学重点定为“引导学生经历推导平行四边形面积计算公式的过程”，理解平行四边形与长方形的等积转化。
在实际教学中，充分利用学生的已有认知，将学生模糊的猜想变成确定的计算方法及公式，格子图能起到很大的作用。做好数方格与计算法之间的沟通(平移、剪拼)，突出转化思想，既是对旧知的回顾，也是新知建模必不可少的直观依据。
按照这样的思路我进行了实践，在小结环节我问学生：“一开始就有同学猜想：平行四边形面积比拉成的长方形面积要小，你知道原因吗?”学生回答：“直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，一般平行四边形的高总是比邻边短，所以平行四边形面积总是比拉成的长方形面积要小；当邻边和高相等时，平行四边形就成了长方形了。”多么精妙的发言啊!正是从孩子已有的想法和经验出发进行教学，才赢得了成功；正是充分考虑了学生的“已行处”和“将行处”，并将知识回归本原进行理解，才赢得了学生对知识理解后的提升。
二、“承”——在新情境中解决问题。
在单元内容的处理中，“承”即是将前期学习过程中体验到的思想方法用于新的数学学习情境中解决问题，随着问题的解决，学生对数学思想方法有了更加清晰的认识。
在“多边形的面积”单元里，我认为“承接”的是三角形和梯形的面积探究。在学生已有一定的转化经验的基础上，怎样合理地设计和引导，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得必要的数学思维训练和基本的数学活动经验呢?我们要从教材中读懂几种转化思想的区别：
平行四边形的面积推导主要通过剪拼完成一个图形(平行四边形)到另一个图形(长方形)的转化，最后达到用已知解决未知的问题。
三角形的面积推导重在指导学生用两个图形(相同的三角形)拼成一个已知面积计算方法的图形(平行四边形)，在教学中既要考虑到学生的实际(平行四边形面积推导方法的迁移)，又要有重点引导，即从两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形，从图形间的联系得出三角形的面积计算方法。
梯形的面积公式推导则重在充分利用学生前面学习的知识经验基础上，鼓励学生用多种方法多角度地思考和探究。应该倡导让学生自主尝试。既可以从两个相同的梯形拼成一个平行四边形出发研究，也可以从两个不同的图形拼成一个梯形——即等高的三角形和平行四边形或等高的两个三角形出发进行研究。
三种图形的面积推导，虽然都采用了把新知转化成旧知的思路，但是学生体验的探究过程和探究经验是不同的，所经历的数学思维活动和学习收获也是不同的。
因此，对这两个教学内容的处理，我认为思路相同——转化，但细节不同——即怎么转化，转化成什么图形?教师指导的重点也不同。“三角形的面积”教学重在引导学生经历“破”与“立”的过程：受平行四边形的面积推导知识迁移，学生容易想出用一个图形剪拼的方法去探究三角形的面积，教师利用一般图形操作加以否定，让学生感受“看似行，实则不行”的“破”的过程，再根据“两个相同的三角形可以拼成一个与它等底等高的平行四边形”得到面积计算公式；“梯形的面积”则顺着学生学习“三角形的面积”出现的学习热情，让学生独立尝试推导探究，然后反馈，最后归纳出梯形的面积公式，帮助学生增长代数知识和归纳能力。
因此，教师要善于在看似类似的教材内容中读出编写意图的不同，再充分考虑学生现阶段的学习经验和基础，合理设计展开教学，让学生的数学经验和数学思维尽可能得到发展。
三、“转”——在变式练习中掌握数学本质。
“转”是转折，从正面反面立论，也就是通过设计各种变式练习，使学生在不同的情境下将已经习得的数学知识进一步进行应用，掌握数学本质。
心理学研究表明，抽象的概念需要熟悉广泛、众多的事物才能形成。变式就是从不同角度组织感性材料，变换事物的非本质特征，在各种表现中突出事物的本质特征，从而使学生对概念的理解达到更高的概括水平。“多边形的面积”教学，因为有一环扣一环层层递进的大教学思路，因此学生对于基本练习是容易掌握的。但是要想学生学习扎实，还需要设计精炼而有效的分层练习，沟通知识间的联系，使学生在练习中充分调动已有的知识，巩固新知，提高能力。每种图形的公式推导之后，我们需要设计这样三类练习来巩固和提升学生的数学认知能力：基本练习(能直接利用面积公式解决的问题)——稍有变化的变式练习(如已知面积求底或已知面积求高)、选择合适的底或高计算——提升练习(通过计算和观察发现规律)。
例如，在学习了三种图形的面积计算之后，我设计了这样一道题(如图)：
此题看似简单，需联系的知识点却很丰富。学生的解答方法，一是：先求长方形面积——长方形面积66=三角形面积——三角形面积×2÷6＝三角形的底——16－三角形的底＝?边长。二是：66x2÷6－16，即利用梯形的面积求上底。当我反馈第二种算法时，不少学生露出了恍然大悟的神情：“这么简单啊?怎么没想到!”
所以“转”的环节，要让学生透过现象看到本质，不被假象所迷惑，从而使所学知识更扎实。
四、“合”——在单元复习时沟通知识间的联系。
数学知识是求联的。在数学教学中，我们要善于引导学生经历数学知识从薄到厚、又从厚到薄的过程。“合”这一环节，就是引导学生经历这一过程，通过单元复习教学，从知识体系与思想方法两个层面对单元整体知识进行梳理，让数学知识与思想方法得以进一步融通。
【案例】“多边形的面积整理和复习”课上，我用简笔画板书了多边形面积结构图后，准备进一步沟通图形间的联系时，一个孩子忽然举手说：“老师，我发现这些图形之间是有联系的，如果把平行四边形的一条边缩短，就是梯形；再缩短到‘0’时，就变成了三角形。”
太好了!我就势提出了思考的问题：“是呀，让静止的图形动起来，我们就能发现图形之间有联系，如果请你选择一个面积公式作为这几种多边形都适用的面积公式，你会选择哪一个?”学生热烈地讨论之后有了结果：
生1：我们觉得用平行四边形比较好，当平行四边形的四个角是直角时，s＝ah就是s＝ab；三角形的面积是s＝ah÷2，“ah”就是与这个三角形等底等高的平行四边形的面积；梯形的面积也是转化成平行四边形来求的。
生2：我们觉得可以用梯形的面积公式来表示。平行四边形的上下底相等，就是2ah÷2＝ah；三角形的上底是0，所以就是s：(a＋O)h÷2＝ah÷2；梯形的面积公式为s＝(a＋b)h÷2。这样只要记住一个公式就可以了。
教学到了这里，我不敢自夸很成功，但是我很激动。
