时间：2023-06-02 09:59:00
一、教学目标，全国公务员共同天地
1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.
2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.
3．已知线的成已知比的作图问题.
4．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.
5．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.
二、教学设计
观察、猜想、归纳、讲解
三、重点、难点
l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
【复习提问】
叙述平行线分线段成比例定理（要求：结合图形，做出六个比例式）.
【讲解新课】
在黑板上画出图，观察其特点：与的交点A在直线上，根据平行线分线段成比例定理有：……（六个比例式）然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，这样即可得到：
平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例．
在黑板上画出左图，观察其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：（六个比例式），然后擦掉图中有关线，得到右图，这样即可证到：，全国公务员共同天地
平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例．
综上所述，可以得到：
推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
如图，（六个比例式）．
此推论是判定三角形相似的基础．
注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，如果已知，DE是截线，这个推论包含了下图的各种情况．
这个推论不包含下图的情况．
后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待．（考虑改用投影仪或小黑板）
例3已知：如图，，求：AE．
教材上采用了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即：.
让学生思考，是否可直接未出AE（找学生板演）．
【小结】
1．知道推论的探索方法．
2．重点是推论的正确运用
七、布置作业
立体几何中的直线和平面的平行关系，作为平行关系的核心，是学习立体几何推理论证的开始，也是研究空间特殊位置关系的一个重要方面，学生在学习过程中感到比较困难的是如何构造图形（作辅助线），寻求“线线平行”与“线面平行”的相互转化.为了使学生能够尽快学会“用图形语言进行交流”，我们可以在学生有了一定的感官认识的基础上，给学生总结出几种常见的模型，要求学生连同“直线与平面平行的判定定理和性质定理”一起记住，在处理相关问题时，最初可以先学会对号入座，符合哪一种模型就模拟哪一种进行构图、推理.经过训练，学生就能更快地学会、理解、掌握空间几何中的推理论证方法.
总结平行关系中的构图方法和证明方法，我们会发现，最有代表性的是以下四种模型：
模型一 如图1（为便于区别，图1、图2、图3把新作出或寻找到的线画成虚线），已知：线段EA交平面α于点B，B为EA的中点，要证EF∥平面α，只需连接AF交平面α于点C，考查BC与EF是否平行.显然，证明点C是线段AF的中点，则BC就是三角形AEF的中位线，就有BC∥EF，利用直线与平面平行的判定定理即可得到结论.
图 1
例1 如图1-1，已知：在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB∥平面EAC.
图1-1 图1-2 图1-3
分析 观察图形，结合已知条件，可以看到，在线段PB与平面EAC之间的诸多联系中，最为特殊、与已知条件联系比较紧密的是线段PED，注意到PD交平面EAC于点E且点E是PD的中点，联系PB，PD与平面EAC的位置关系，不难发现：只要找出线段BD的中点即可，符合模型一.故连接BD交AC于点O，连接EO（如图1-2），只要证明EO∥PB问题就迎刃而解.（证明略）
评析 观察图形时，尤其要关注一些特殊的部位，平行问题中，找（作）平面内的直线与平面外的直线平行的依据是直线与平面平行的判定定理，找线段中点，构造三角形中位线来解决是个好途径好方法，同时如果在分析问题过程中把考察的对象从空间图形中“抽取”出来（所要考察的直线和平面，本例如图1-3），注意它们之间的联系，局部分析，整体考虑，那么更容易对号入座，寻求方法.
模型二 如图2，已知：平面α外一点A及平面α内一点B，E为线段AB的中点，要证EF∥平面α，只需连接AF并延长交平面α于点C，考查EF与BC是否平行.显然，证明点F是线段AC的中点，则EF就是三角形ABC的中位线，就有BC∥EF，利用直线与平面平行的判定定理即可得到结论.
图 2
例2 如图2-1，已知有公共边AB的两个平行四边形ABCD和ABEF不在同一平面上，P，Q分别是对角线AE和BD的中点.求证：PQ∥平面EBC.
图2-1 图2-2 图2-3
分析 观察图形，在经过点P或点Q的所有线段中，线段APE与平面EBC的关系恰好符合模型二的特征，结合平行四边形的性质，连接AC（如图2-2），因为点Q是平行四边形ABCD的对角线BD的中点，所以点Q在AC上且为AC的中点，故PQ是三角形AEC的中位线，问题得以解决.（证明略）
评析 和模型一相比，模型二也利用了寻找中点构造三角形中位线的方法解决问题，但二者之间还是有着微妙的差异的.例2在分析过程中如果把所考察的直线和平面从复杂的原图形中“抽”出来（如图2-3），就能很清楚地看出如何添加辅助线，从而使问题迎刃而解.从复杂图形中“抽”出我们的研究对象，使问题的特征更凸显更直观，是分析空间问题的一个有效的技巧和方法.
模型三 如图3，已知：平面α外的一条线段EF，A为平面α内一点，要证EF∥平面α，只需过点F作FB∥EA交平面α于点B，判断四边形ABFE是否是平行四边形.事实上，在四边形ABFE中，已经有FB∥EA，只需证明FB=EA就可以了.
图 3
例3 如图3-1，已知：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别是DD′，BC′的中点，求证：MN∥平面ABCD.
图3-1 图3-2 图3-3
分析 观察图形，结合正方体的特征，注意线段MN与平面ABCD的关系，可以发现MD是它们之间比较好的一个联系，线段的中点又是一个非常有效的分析问题的着手点，显然符合模型三的特征，所以只需取BC的中点E，连接NE，DE（如图3-2），只要能证明MD∥NE且MD=NE，则四边形MNED是平行四边形.（证明略）
评析 有些图形中可能不涉及线段的中点，无法像前两个模型那样利用三角形的中位线解决，但我们可以体会到，只要有相同的比例关系，总可以构造出平行线来，方法可以类比，可以迁移.本例虽然有中点出现，也可以利用模型二解决问题：取BC中点为E，连接D′N并延长，交DE延长线于点F，证明MN是三角形D′DF的中位线即可（图形略）.但是这种方法的图形扩展到了形外，图形构造比较复杂，而且证明过程也相对烦琐.对照模型三，只要“抽”出主要元素（如图3-3），构图、证明思路就一目了然.
模型四 如图4，已知：平面α外的一条线段EF，要证EF∥平面α，寻找过EF的平面β，如果平面α与平面β平行，那么利用“两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面”就可以证明直线EF∥平面α.
图 4 图4-1
例4 （同例2，如图2-1）
分析 再次观察图2-1，联系平面与平面平行的特征，可以看到，只要过PQ构造一个平面与平面EBC平行，利用两个平面平行的定义就可解决问题，考虑到点P，Q分别是线段AE，BD的中点，所以可以取AB的中点R，连接PR，QR（如图4-1），很容易能够证明平面PQR∥平面BEC.（证明略）
评析 1.观察图形时，尤其要关注一些特殊的部位，平行问题中，找（作）面内的线与面外的线平行的途径是取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等，找中点解决是个好途径好方法，这是立体几何论证平行问题，培养逻辑思维能力的重要思想方法，同时要在分析问题过程中把考察的对象从空间图形中“抽取”出来（所要考察的直线和平面），注意它们之间的联系，局部分析，整体考虑.
2.一般来说，一组线面平行关系的证明可以用上述若干种模型来证明（比如例2和例4，还可以用模型三的方法解决），具体使用哪一种模型，要考虑证明过程是否简洁，同时也要考虑是否有利于后续问题的解决.一题多解的变式训练，多角度考虑问题，变换方法解决问题，有利于培养学生思维的广阔性和深刻性，有利于提高学生的学习效率.
【关键词】相似三角形；平面几何；线段；关系的运用
相似三角形是平面几何中的教学中，能否牢固地掌握相似三角形的判定定理及有关性质并灵活地应用它是解决平面几何问题的关键之一，也是初中学生掌握基础知识和基本技能的途径之一。现将谈谈相似三角形在平面几何中有关线段间关系的运用。
1证明两线段相等
证明线段相等的方法较多，常用的方法是根据全等三角形、特殊四边形的性质等等，但是利用相似三角形比例线段线段相等，也是一条便捷的解题思路，它有时会解决利用全等三角形、特殊四边形的性质无法解决或难解决的问题，
例1：如图：ABC中，∠ACB=90°，CDAB于D，∠BAC的平分线交CD、CB于P、E，PE∥AB交BC于F，求证：CE=BF。
证明：AE是∠BAC的平分线，
∠CAE=∠BAE，
又CDAB，∠ACB=90°，
∠PDA=∠ACE=90°
则PDA∽ECA。
得①
又由PF∥AB得②
由①、②得③
同是，由角平分线性质得④
又∠CDA=∠BCA=90，
∠CAD=∠BAC，
ADC∽ACB.
⑤
由③、④、⑤得，故CE=BF。
2证明线段成比例
比例式的线段是平面几何常见类型题，它有一种变形（ad=bc）和一种特例（a2=bc），利用相似三角形对应边成比例的性质证明四条线段成比例是常用的方法。下面举例说明用这种方法证题的思路。
（1）当所证的比例式中的线段分别是两个三角形的两边时，首先考虑证这两个三角形相似。
例2：已知ABC内接于圆O，∠A的平分线交BC于D，交O于E。
求证：
分析：AD・AE=AC・AB
可证：ADC∽AEB.
证明：连结BE，∠l=∠2，∠C=∠E，
ADC∽AEB，
（2）当所证比例式中的四条线段分别是两个三角形的两边，但这两个三角形不相似时，应考虑添辅助线造成相似三角形，先使其中三条线段在两个相似三角形中，然后再把另一条线段等量代换，从而证明求证的比例式成立。
例3：AM为ABC的∠A的平分线，过A作一圆与BC相切于M点，并且与AB、AC分别交于E、F，求证：
分析：如图，虽然BE、BM和CF、CM是BEM和CFM的边，但这两个三角形在一般情况下不相似。（只有O点在AM上，BEM≌CFM），所以，考虑连结EM、FM，则BEM∽BMA，CFM∽CMA，t有，又由角平分线性质，得
证明：（略）
（3）当所证比例式中的四条线段不是两个三角形的两边时，应通过作辅助线（一般是作平行线），构成相似三角形。
例4：如图，BD=CE，求证：AC・EF=AB・DF。
分析：因为所证等式中的四条线段不同在两个三角形中，所以考虑作DG∥AC，这样可使四条线段都分别在两对相似三角形中。
证明：过D作DG∥AC，交BC于G，
DG∥AC，
FEC∽FDG，得①
BDG∽BAC，得②
又CE=BD，③
由①、②、③得，故AC・EF=AB・DF。
（4）当四条线段在同一直线上时，可通过等量代换，使其中一条转移，以造成两个三角形，再证这两个三角形相似。
例5：AD为ABC（AB>AC）的角平分线，AD的垂直平分线和BC的延长线交于点E，求证DE2=BE・CE。
分析：这个题目要证明DE2=BE・CE，由于B、C、D、E四点在一条直线上，所以不能直接通过证明两个三角形相似而证出。但EF是AD的垂直平分线为本题的已知条件，若连结AE，则DE=AE，即AE与DE为相等的线段。将AE代换DE2=BE・CE中的DE，有AE2=BE・CE。这样只要证出ACE与BAE相似，就可证得AE：BE=CE：AE，即得证：AE2=BE・CE。
证明：如图：连结AE，
EF是AD的垂直平分线，
EA=ED①
∠2+∠3=∠4，
又∠4=∠l+∠B（三角形外角定理），
∠l=∠2，
∠3=∠B.
在ACE和ABE中，
∠3=∠B，∠AEC=∠BEA，
则ACE∽BAE。
②
由①②得DE2=BE・CE.
在这个例题中，与DE相等的线段是AE，用AE代换DE后，便能顺利地找出证法。从上例与数学实践中得出：应用等线代换这一方法证明比例式时，以找a2=bc中的a的等线为最好。
3证明线段的倍分关系
利用相似三角形证明线段的倍分关系，通常将两线段置于两个相似三角形中，根据相似三角形的对应边成比例，然后用等量代换证明。
例6：已知AB和CD是O互相垂直的两条直径，G为的中点，连结AG交CD于E，交BC于F，求证：OE=BF.
分析：由结论OE=BF，即=，又O是圆心，是直径AB的中点，由此可考虑利用中位线的定理把结论与条件联系起来。由于AB是直径，则∠AGB=90°，因此，过O作OMAG交AG于M，OM=BG，而OE与BF分别是RtOEM和RtBFG的对应边，现只需证明这两个直角三角形相似。
证明：连结BG，过O点作OMAG于M，
AB为直径，∠BGA=90°，
OM∥BG、AO=OB，
=
又G为的中点，且ABCD，
∠CBG=∠A=∠EOM，
且∠BGF=∠EMO=90°。
RtOEM∽RtBFG。
=，得OE=BF.
诚然，相似三角形在线段间应用远不止这些，它还可用于解决一些线段的平方或积的和差、几何不等式、两角相等以及面积比等问题，这里不一一赘述。
总之，以上只是简单地介绍相似三角形在平面几何中有关线段间关系的运用，旨在使学生熟悉相似三角形运用的基础上，逐步掌握利用它来解题的基本思路和方法。可以加深学生对直线形、圆形中有关线段间关系问题的相关性质认识和理解，提高学生的解题能力。
参考文献：
[1]马荣秀.比例线段的证明技巧《河北教育》
7月24日17:30，浙江省高考二段志愿填报就要截止，还没填的考生要抓紧啦！已经填报志愿的考生，可以检查一下自我定位和风险规避情况，本文做个简单梳理，希望对您有所启发。
理性定位，需参考哪些信息
考生填报志愿需理性选择和定位。作为参考信息，考生可以把自己的位次和往年《浙江省普通高校招生投档及专业录取情况》特别是2017年新高考中某所院校某个专业的投档位(名)次、考生成绩分段表结合起来参考和使用。2018年考生位次在6月下旬公布成绩时已提供给考生。
与位次不同的是，《浙江省2018年普通高校招生普通类二段线上考生总分成绩分段表》，已剔除此前已录取或预录取的考生(第一段已录取了相当数量的考生，部分院校专业计划已招生完毕)，考生据此可大致判断自己在目前可填志愿考生中的排位。比如你今年高考普通类545分，全省位次号是10万名左右，目前你在二段线上考生中大致在4.1万名左右。
与新高考不同的是，2015-2016年高考名次是分文理科和批次的，第二批名次中已不包含第一批录取的考生，今年的考生在使用位次与2015-2016年第二批对比时，要注意不要盲目比较。
平行志愿，究竟有没有风险
浙江省专业平行志愿投档比例均为1:1，减缓了考生志愿填报的心理负担和录取风险，但风险依然存在。
二段线不是本科线，有无法投档的风险
浙江省高考分段线按实考人数的一定比例划定，分段比例主要参考原高考相应批次上线考生比例，均在原相应批次上线人数总体保持平稳的基础上略有扩大。因此，各段线不等于批次线，二段线不等于本科线。目前普通类本科计划剩下7.31万名，二段线上考生尚有9.08万名，考生填报志愿时，若总体定位偏高、志愿排列没有梯度或只填报了少数本科院校专业，就难免会出现无法投档的情况。有人认为既然上了二段线，就不必选报专科的专业，这其实是一个误区。
笔者作为青年教师在听课的过程中，不时观摩到教师讲授有关尺规作图的内容，对于尺规作图，执教的老师各有标准，课后就该内容与老师们的交流中，发现不少教师认为初中阶段涉及尺规作图的类型较少；同时，由于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标》）中对所要掌握的尺规作图的类型和要求比以往教学大纲有所减少，特别是在中考复习阶段，教师教学中对该内容的处理“方法单一”或者干脆匆匆带过，学生只要掌握或者就是记住基本的操作方法即可，对尺规作图在教学中的作用认识不足，这个现象引起笔者的思考.尺规作图在现今的初中阶段教学中可作如何调整？调整意义在哪里？在此和大家做个探讨，谈一点自己的反思和建议．
1 应鼓励学生尺规作图方法多样化
尺规作图教学，特别是在复习阶段，对作图方法的复习只是将书本上的作图过程简单“过一遍”，学生只需理解这一方法的由来甚至就只是记住即可.其实，方法的多样意味着考虑问题的出发点的不同，所涉及的知识的也就不同.方法的不同需要学生自己动手操作，观察、大胆猜想、构思出不同于已有解决问题的画法.在构思画法的过程中，学生运用所学知识对该画法进行必要的证明.在中考复习阶段，课程内容已讲授完毕，教师通过对尺规作图问题方法的多样化，可使学生充分联系前后所学知识，并使知识得以“内化”，理解更全面和深入．
案例1 已知线段AB，作出该线段的中垂线．
教学中普遍采用分别以A、B为圆心，以大于AB2的长度为半径画圆，则此两圆的交点分别位于线段AB的上下两侧，过这两点作直线即为该线段的中垂线，如图1所示.
图1上述作法的原理在八年级即已知晓，但在中考复习阶段，教师不仅只是帮助学生复习原有作图方法的由来，还可引导学生分析原有作法，对原有作图的原理进行新的认识，从而利用前后知识间的联系，突破成法.教学中在复习处理上述案例1的问题时可以向学生提出是否可以只作出C点即可？这样可引导学生通过发现ABC为等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，作出∠C的角平分线，即可知道该角平分线垂直且平分线段AB.在此过程中，教师帮助学生从已有的思维定势中跳出；同时，也在一定程度上展示怎样从已解决问题的基础上“提出问题”，培养学生“问题意识”．
2 教学中对尺规作图的重视还应加强
尺规作图是问题解决的不可分割的一部分.笔者参加一堂九年级关于三角形全等判定的复习课听课过程中发现，该班（该班相当部分学生学习能力偏低）相当部分同学无法确定为什么“SSA”不能作为三角形全等判定的准则，不少同学甚至认为“SSA”可以作为三角形全等的判定准则，课后询问为什么不确定，同学反映教师对这个问题解释过为什么，要求记住，虽然给出相应的解释，但他们理解起来有困难，因而难免有类似错误在做题中出现.同时，一些关于几何命题（命题为真）的逆命题是否为真往往不易判断．
在几何教学中，针对某些这样的问题，用尺规作图很容易构造反例，而且论证直观，思路清晰，具有很强的说明力．
案例2 “SSA”不能作为三角形全等的判定准则．
如图2，在直线a上，作∠A，固定AB长度.以B点为圆心作圆弧，在a上可以有两个交点C和D，这样得到的两个三角形ABC和ABD有两边相等（AB=AB，BC=BD）和一个公共角（∠A），但显然这两个三角形不全等．
图2同时，应利用尺规作图对上述问题进一步深入（最好是学生发现，如果没有，则教师应引导学生将此问题解决.）.由于此处作出的∠A为锐角，那么是否∠A为直角或者钝角时“SSA”也不成立？笔者在同不少同学的交流中发现，绝大部分同学能清楚的知道在∠A为直角时，“SSA”是成立的（在中考复习阶段，最好由学生说明理由），但对于∠A为钝角，则相当多同学认为不行，其实如图2，在∠A是钝角的时候，对边BC是最大边，不可能有另外的解，即在∠A是钝角的时候，“SSA”依然成立．
案例3 直角三角形斜边上的中线等于其斜边的一半，逆命题不真．
上述案例来自笔者所任教的一个九年级班级，笔者在复习关于“直角三角形斜边上的中线等于其斜边的一半”的内容时，向全班同学提出“假如一个直角三角形ABC，∠BAC=90°，E是BC上一点，且AE=BC2，那么AE是否为BC边上的中线？”
一开始，大部分同学均认为上述命题是成立的，因为可用“同一法”说明这个问题，如图3所示，AD是BC边上的中线，AD=BC2，由于已知AE=BC2，所以自然有AD=AE，即E与D重合（图3）.这时笔者提出该问题同学们的做法可能有不严密的地方，如图4，三角形EDA可能是等腰三角形．
图3 图4事实上，上述问题完全可以利用尺规作图加以解决和探究，我们以D为圆心，AD为半径画一个圆，由AD=BC2可知BC正好为所画圆的直径.如图5，再以A点为圆心，AD长为半径画圆弧，圆弧与BC相交于点E，此时AE=AD=BC2，这样也就直观和明了地发现了上述命题的逆命题是假命题．
图5更进一步深入，借助尺规作图（图5），我们可引导学生直观发现上述逆命题要成立的条件是什么（发现∠ABC和∠ACB的角度大小关系或者边AB和边AC长度关系是决定逆命题是否成立的关键，这样就对“大角对大边”的认识更加直观和深入），问题得以延伸和拓展．
3 教材中尺规作图的基本类型偏少
按照《课标》所倡导的理念，教学中应强调让学生自己动手，通过翻折、度量、拼凑、类比等方法进行几何操作，那么，尺规作图正是包含这样的活动.实际教学中，尺规作图是一种“问题情境”的创设，即在某种问题条件下，由学生自己动手解决问题.学生能作出一张符合要求的图形，即使该图形较简单，也是一种具有挑战性和创造性的活动，在这个活动中，学生探索运用知识，构思作图方法，对所学知识进行直观理解，兴趣和创新精神得以培养.在几何教学中强调“观察、操作、推理”的今天，尺规作图的基本类型偏少.
案例4 给定两条相交直线和其中一条上的一个点P，用直尺和圆规作一个圆与两条直线都相切，并以P为一个切点［1］．
图6笔者曾将案例4中的问题请工作所在学校的九年级部分学生试做，结果发现绝大部分试做的同学都能构思出解决问题的办法：如图6，作出∠BAP的角平分线AD，利用切线的性质，角平分线AD上某点即为圆心.找到该点，以该点为圆心，以该点和点P两点距离为半径画圆即可.但接下来在如何确定圆心所在位置，即过点P作直线AP的垂线与角平分线AD相交时，学生们的做法出现较大差异，归纳起来，可分为以下几种典型方法：
作法1：直接利用直角三角板的刻度线与边沿的垂直关系画出垂线．
作法2：直接利用直角三角板的直角画出垂线．
作法3：直接利用量角器画出垂线．
以上三种作法中，第一种是不规范的操作方法；作法2与作法3是《课标》对垂线的画法要求.实际上此题的尺规作法属于“过直线上一点作直线的垂线”，该作法在以前的《教学大纲》上有，现在《课标》已删除.删去了基本作图类型里的“过直线上一点作直线的垂线”除了造成初中阶段尺规作图题的不纯粹，也使教学中失去了培养学生动手操作，在操作中运用所学知识，加深对知识的理解和掌握的过程．
笔者对其中部分同学加以适当点拨后（利用画线段中垂线的方法或者等腰三角形的“三线合一”性质），这部分同学均能理解并迅速利用尺规画出题目所要求的圆．
同时，还发现在案例4中有一个有趣的现象，即参加试做的同学在画出类似图6的示意图时，相当多的同学只考虑到给∠BAP作角平分线AD（可能与平时的视觉习惯有关），忽视还有一种情况（图7）.但当笔者请他们对图6再仔细看看时，所有学生都能发现这个疏漏，这便是尺规作图在教学中具有的直观明了．
图7案例5 给定一个ABC，试用直尺和圆规作一平行于底边BC的直线DE，将ABC的面积分为两部分，且SADE∶SDBCE=1∶3，如图8所示．
图8笔者将案例5中的题目请自己所在任教学校九年级部分同学试做，在试做过程中发现绝大部分同学在分析完题目的条件后都能准确知道DE为ABC的中位线，但在作出这条中位线的过程发现试做此题的同学均是将边AB和边AC的中点D和E分别作出，然后连接DE．
但当笔者要求只用一个中点作出边BC的平行线时，几乎所有的同学均不能用尺规作出DE．
该作图类型属于现在《课标》中没有的内容：“过一点作已知直线的平行线”.删去这一条对教学并无多大影响，但这一条所涉及的作图原理对初中阶段，特别是八、九年级学生而言是比较容易接受的，在《课标》倡导教学应使学生“做中学”的理念下，删去这一条使得学生失去一个通过自己动手和运用所学知识解决问题的机会，比较可惜．
事实上，案例4和案例5中作图所涉及的基本原理是初中阶段几何知识中最基础，也是最重要的知识，教师可利用这些基本原理，创设较丰富的“几何问题情境”，学生运用这些基本知识，借助直尺和圆规，在作图的学习活动中不断思考问题，寻找问题解决的方法，正是一个观察、操作、验证的过程，这对于学生加深对这些知识的理解和培养严密的逻辑思维能力是有益的．
4 反思和建议
在尺规作图问题上，以往的教学大纲同现在的《课标》相比，教学大纲对几何作图的要求很高，需要掌握的类型较多，包括“直线形”、“圆”、“比例线段”、“面积”四类.在圆的部分，有作“内接圆”、“外切圆”、“旁切圆”、“弓形”等；在比例线段中有“内分”、“外分”、“定比”等；面积部分要求作“和已知正方形等积的正方形”等.其中的大多数已经不符合我们现在教学的发展，需要删减.但是，其中的第一类：关于直线形的作图类型，即以下7条：
1.作一角等于已知角；
2.已知三边或两边一夹角或两角一夹边作出三角形；
3.过已知点作已知直线的垂线；
4.过一点作已知直线的平行线；
5.平分一角；
6.作已知线段的垂直平分线；
7.分一线段为n等份.
上述7条却是应该保留的，这7条，简单、准确、实用、理性，是尺规作图的精华所在，试想，如果学生都理解以上7条作图步骤的由来，都能用圆规和直尺将其作出，那么对整个初中几何知识的组成和结构就会有个清楚的认识［2］.有了这7条，本文案例中涉及的一些问题也就迎刃而解.实际教学中，这7条学生十分容易理解和接受，也便于操作.《标准》没有1，3，4，却要求5，6，这一点值得商榷．
同时，上述7条与图形运动有密切的联系.《课标》强调图形的运动，包括平移、旋转、对称等变换，尺规作图是实现图形运动的极佳手段.从逻辑上看，尺规作图作为图形变换的一种手段是成立的［3］.比如，作一角等于已知角的操作中，先是用直尺作一条射线，再用圆规以已知角的顶点为端点，在已知角的一边上画弧截取一段线段，再在射线上截取线段，使其长度等于已知线段，其中截取的过程，实质是以射线端点为圆心，以已截取线段长为半径画弧，交射线于一点，其中射线的端点是所作的线段的一个端点，弧与射线的交点是线段的另一个端点.这里体现了线段的两种“运动”，用圆规在射线上截取线段的长度，可以看作是平移，而画弧的过程，实质是旋转变换.再如，平分一个角，使用圆规直尺可以顺利地作出来，且方法严谨缜密，这种基本的作图方法，是学生掌握图形对称的直观根据.
鉴于此，笔者认为在初中阶段的几何教学中可根据学生学习情况，创设问题情境，适时将以上7条中的某些部分引入教学，对已有的尺规作图方法进行充实和完善.同时，在教学中可采用这样的步骤：① 要求学生画出草图，假设图形已作出；② 根据图形分析画法；③ 利用尺规严格操作并写出作法；④ 对作法进行证明，某些作法来由尽可能要求学生“一法多证”.学生按照这样的步骤进行作图学习的过程，正是一个猜想、观察、操作、验证的过程，这一过程符合学生的认知特点，有助于学生养成严谨的学习习惯，培养严密的逻辑思维能力，也有利于激发学生的兴趣和创造性．
参考文献
［1］ A.H.Schoenfled. Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press，1985.
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（） A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根 2．在RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（） A． B． C． D． 3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥 4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） A． B． C． D． 5．如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（） A． 1 B． 2 C． 4 D． 8 6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（） A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0 7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F．若AC=2，则OF的长为（） A． B． C． 1 D． 2 8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EFBD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．（结果保留π） 10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m． 11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为． 12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）=，F2015（4）=；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是．三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1． 14．如图，ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E，求证：ACD∽BCE． 15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值． 16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，ACx轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足OPC与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 18．如图，ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值． 20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在O上，AD与O相切，射线AO交BC于点E，交O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CDAB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=； 解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=． 23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 24．如图1，在ABC中，BC=4，以线段AB为边作ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）． 25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的O，当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当ABx轴时，它的测度面积S=；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围． 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（） A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根考点： 根的判别式． 分析： 求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可．解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选A．点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根． 2．在RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（） A． B． C． D． 考点： 锐角三角函数的定义． 分析： 直接根据三角函数的定义求解即可．解答： 解：RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，sinA= = ．故选A． 点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：斜边=a：c． 3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥考点： 由三视图判断几何体． 分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：D．点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定． 4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） A． B． C． D． 考点： 概率公式． 分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答： 解：六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，抽到的座位号是偶数的概率是： = ．故选C．点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5．如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（） A． 1 B． 2 C． 4 D． 8考点： 位似变换． 专题： 计算题．分析： 根据位似变换的性质得到 = ，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把OC1= OC，AB=4代入计算即可．解答： 解：C1为OC的中点，OC1= OC，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， = ，B1C1∥BC， = ， = ，即 = A1B1=2．故选B．点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（） A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题．分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．解答： 解：A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，y1=﹣ ，y2=﹣ ，x1＜0＜x2，y2＜0＜y1．故选B．点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F．若AC=2，则OF的长为（） A． B． C． 1 D． 2考点： 垂径定理；全等三角形的判定与性质． 分析： 根据垂径定理求出AD，证ADO≌OFE，推出OF=AD，即可求出答案．解答： 解：ODAC，AC=2，AD=CD=1，ODAC，EFAB，∠ADO=∠OFE=90°，OE∥AC，∠DOE=∠ADO=90°，∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∠DAO=∠EOF，在ADO和OFE中， ，ADO≌OFE（AAS），OF=AD=1，故选C．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出ADO≌OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EFBD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE考点： 动点问题的函数图象． 分析： 作BNAC，垂足为N，FMAC，垂足为M，DGAC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．解答： 解：作BNAC，垂足为N，FMAC，垂足为M，DGAC，垂足为G． 由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜ 时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞ 时，DE有最小值，故B正确；CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜ 时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；故选：B．点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为 3π cm2．（结果保留π） 考点： 扇形面积的计算． 专题： 压轴题．分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．解答： 解：由S= 知S= × π×32=3πcm2．点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S= ． 10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 24 m．考点： 相似三角形的应用． 分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．解答： 解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得， = ，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键． 11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 x1=﹣2，x2=1 ． 考点： 二次函数的性质． 专题： 数形结合．分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ， ，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．解答： 解：抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），方程组 的解为 ， ，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题． 12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）= 37 ，F2015（4）= 26 ；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是 6 ．考点： 规律型：数字的变化类． 专题： 新定义．分析： 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．解答： 解：（1）F2（4）=F（F1（4））=F（16）=12+62=37；F1（4）=F（4）=16，F2（4）=37，F3（4）=58，F4（4）=89，F5（4）=145，F6（4）=26，F7（4）=40，F8（4）=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015（4）=26；（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）=89=F18（4），因此3m=18，所以m=6．故答案为：（1）37，26；（2）6．点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键． 三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1．考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= ．点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．如图，ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E，求证：ACD∽BCE． 考点： 相似三角形的判定． 专题： 证明题．分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到ADBC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．解答： 证明：AB=AC，D是BC中点，ADBC，∠ADC=90°，BEAC，∠BEC=90°，∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，ACD∽BCE．点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质． 15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题．分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，则原式= = =3．点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 计算题．分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式．解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A（0，3），B（2，3）分别代入得 ，解得 ，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3．点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，ACx轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足OPC与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得ABC的面积，再结合OPC与ABC的面积相等求得P点坐标．解答： 解：（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，点A坐标为（2，4），点A在反比例函数y= 的图象上，k=2×4=8，反比例函数的解析式为y= ；（2）ACOC，OC=2，A、B关于原点对称，B点坐标为（﹣2，﹣4），B到OC的距离为4，SABC=2SACO=2× ×2×4=8，SOPC=8，设P点坐标为（x， ），则P到OC的距离为| |， ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键． 18．如图，ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 考点： 解直角三角形；勾股定理． 专题： 计算题．分析： （1）在ABC中根据正弦的定义得到sinA= = ，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD= AB=5；（2）在RtABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到SBDC=SADC，则SBDC= SABC，即 CD•BE= • AC•BC，于是可计算出BE= ，然后在RtBDE中利用余弦的定义求解．解答： 解：（1）在ABC中，∠ACB=90°，sinA= = ，而BC=8，AB=10，D是AB中点，CD= AB=5；（2）在RtABC中，AB=10，BC=8，AC= =6，D是AB中点，BD=5，SBDC=SADC，SBDC= SABC，即 CD•BE= • AC•BC，BE= = ，在RtBDE中，cos∠DBE= = = ，即cos∠ABE的值为 ．点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式． 19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．考点： 根的判别式；根与系数的关系． 专题： 计算题．分析： （1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．解答： 解：（1）由已知得：m≠0且=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，则m的范围为m≠0且m≠2；（2）方程解得：x= ，即x=1或x= ，x2＜0，x2= ＜0，即m＜0， ＞﹣1， ＞﹣1，即m＞﹣2，m≠0且m≠2，﹣2＜m＜0，m为整数，m=﹣1．点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0． 20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值．考点： 二次函数的应用． 分析： （1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．解答： 解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）y=﹣10x2+180x+400，y=﹣10（x﹣9）2+1210．1≤x≤10的整数，x=9时，y=1210．答：工厂为获得利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的值为1210万元．点评： 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在O上，AD与O相切，射线AO交BC于点E，交O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 考点： 切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）首先连接OC，由AD与O相切，可得FAAD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是O的切线；（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得OCE∽CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．解答： （1）证明：连接OC．AD与O相切于点A，FAAD．四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，FABC．FA经过圆心O，F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∠COF=2∠BAF．∠PCB=2∠BAF，∠PCB=∠COF．∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∠OCE+∠PCB=90°．OCPC．点C在O上，直线PC是O的切线．（2）解：四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=2．BE=CE=1．在RtABE中，∠AEB=90°，AB= ， ．设O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．在RtOCE中，∠OEC=90°，OC2=OE2+CE2．r2=（3﹣r）2+1．解得 ，∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．OCE∽CPE， ． ． ． 点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CDAB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC= ；tan∠AOD= 5 ； 解决问题：如图3，计算：tan∠AOD= ．考点： 相似形综合题． 分析： （1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由ACO∽DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在RtAFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF= ，AB= ，由AOE∽BOF，可以求出AO= ，在RtAOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD．解答： 解：（1）如图所示： 线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD． AD=DE=2，AE=2 ．CDAE，DF=AF= ．AC∥BD，ACO∽DBO．CO：DO=2：3．CO= ．DO= ．OF= ．tan∠AOD= ．（3）如图3所示： 根据图形可知：BF=2，AE=5．由勾股定理可知：AF= = ，AB= = ．FB∥AE，AOE∽BOF．AO：OB=AE：FB=5：2．AO= ．在RtAOF中，OF= = ．tan∠AOD= ．点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键． 23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．考点： 反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质． 专题： 综合题；数形结合；分类讨论．分析： （1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；（2）将点B的坐标代入y=（x﹣1）2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；（3）可先求出直线y=x与反比例函数y= 交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．解答： 解：（1）反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n），k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；（2）二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，n=（m﹣1）2=m2﹣2m+1，m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；（3）设直线y=x与反比例函数y= 交点分别为C、D，解 ，得： 或 ，点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．①若a＞0，如图1， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点D时，有a（2﹣1）2=2，解得：a=2．|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②若a＜0，如图2， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点C时，有a（﹣2﹣1）2=﹣2，解得：a=﹣ ．|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣ ．综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣ ．点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键． 24．如图1，在ABC中，BC=4，以线段AB为边作ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．考点： 几何变换综合题． 分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出ADE≌BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EMAF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．解答： 解：（1）AD+DE=4，理由是：如图1， ∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，AD+DE=BC=4；（2）①补全图形，如图2， 设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∠ADB=∠CDE=90°，∠ADE=∠BDC，在ADE与BDC中， ，ADE≌BDC，AE=BC，∠AED=∠BCD．DE与BC相交于点H，∠GHE=∠DHC，∠EGH=∠EDC=90°，线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，EF=CB=4，EF∥CB，AE=EF，CB∥EF，∠AEF=∠EGH=90°，AE=EF，∠AEF=90°，∠AFE=45°，AF= =4 ；②如图2，过E作EMAF于M，由①知：AE=EF=BC，∠AEM=∠FME= ，AM=FM，AF=2FM=EF×sin =8sin ．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大． 25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的O，当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= 1 ；②如图4，当ABx轴时，它的测度面积S= 1 ；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为 2 ；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；（2）先确定正方形有测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解．（3）分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可．解答： 解：（1）①如图3， OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，故答案为：1．②如图4， ABx轴，OA=OB=1．AB= ，OC= ，它的测度面积S=|AB|•|OC|= × =1，故答案为：1．（2）如图5，图形的测度面积S的值， 四边形ABCD是边长为1的正方形．它的测度面积S=|AC|•|BD|= × =2，故答案为：2．（3）设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，当A，B或B，C都在x轴上时，如图6，图7， 矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AHx轴于点E，过C点作CFx轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形， 当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的值为m=EF，|y1﹣y2|的值为n=GF．图形W的测度面积S=EF•GF，∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，∠CBF=∠BAE，∠AEB=∠BFC=90°，AEB∽BFC， = = = ，设AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），则BF=3a，FC=3b，在RTAEB中，AE2+BE2=AB2，16a2+16b2=16，即a2+b2=1，b＞0，b= ，在ABE和CDG中， ABE≌CDG（AAS）CG=AE=4a，EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，图形W的测度面积S=EF•GF=（4b+3a）（3b+4a）=12a2+12b2+25a =12+25 =12+25 ，当a2= 时，即a= 时，测度面积S取得值12+25× = ，a＞0，b＞0， ＞0，S＞12，综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤ ．点评： 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的值，|y1﹣y2|的值．
初中数学与小学数学存在本质上的区别，初中数学的内容已经由直观的、具体的知识学习转为抽象的理论学习.初中数学中的问题，还存在答案不唯一性，从而增加了学生学习的难度.因此，教师一旦不能有效地引导学生进行数学学习，那么学生会因为数学太难而产生厌学情绪.类比学习法多用在初中的数学学习中，是数学教师用于引导学生进行比较学习的一种方式.类比学习法能够提高初中数学课堂的效率，激发学生的学习兴趣，还能培养学生的创新能力，调动学生学习数学的积极性.
一、类比学习法在初中数学新课讲授中的应用
在初中数学新课讲授的过程中，学生学习数学的思维可能还局限于具体的、直观的小学数学阶段，因此，对于逻辑性较强、理论性深的初中数学，理解起来会有一定的难度，因此，教师必须采取有效的方法，引导学生去理解新知识中的概念、公式等内容.如教师讲解“角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的时候，会得到“角的平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上”.可以将其与“线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的判定：与这条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段垂直平分线上”进行类比，引导学生对两组性质及判定进行类比学习，以增强学生的记忆，提高课堂的学习效率.
又如在讲授“分子的性质”与“分子的运算”两个知识点的时候，教师可以引导学生将小学学习过的“分数的性质”和“分数的运算”与本知识点进行类比学习，从而快速掌握新知识.
二、类比学习法在初中数学复习课堂的应用
类比学习法也可用于复习课堂中，达到巩固所学知识、举一反三的目的.类比学习法的本质与类比对象存在着相似性，然而类比对象之间存在着相互关联性，对于这些相关联系的认识，也是一个由简单到复杂的过程.如学生学习过反比例函数后，会对之前已经学习过的正比例函数产生印象，从而对函数意义和概念均会有很深刻的认识，老师在复习课程的教学中，可通过正比例与反比例函数两者的表达式及图形进行列表对比，让学生用类比的思维方式进行学习，将较难的知识点简单化，也能让学生加深对正、反比例两种函数知识的记忆.
三、类比学习法在初中数学图形结构教学中的应用
在初中数学的图形结构教学中，一些数学问题并没有相关的类比物，可通过对其观察，凭借其结构上相似性，寻找与之相关的类比物，再通过代换，将原问题转成类比问题进而解决.如对于线段的中点、线段的比较大小、数线段的方法等内容已经学习过，那么学生在学习角的内容时，教师可引导学生进行“类比猜想”到“实践证明”的探索过程，从而理解“角的平分线”，“角的比较大小”和“数角的计算方法”等相关知识.如教师可引导学生对例2和例3进行类比学习的方法，对其进行解题.
这样就可将实际生活中的问题化为数学问题进行解决，类比学习法在解题中运用，能解决更多的问题越来越多.总之，在初中数学的学习过程中，学习方法的正确与否与学习效率的高低直接挂钩，高效的数学课堂，不仅让学生能够学到知识，还能让学生对数学产生兴趣，影响学生的一生.初中数学课堂的教学，教师需要积极引导学生去抓住数学学习的方法，并将其运用在数学学习的整个过程中，促使学生提升其学习数学的能力，为今后构建良好的数学知识体系和数学思维的培养奠定一个良好的基础.将类比学习法运用于初中数学的教学中，在新知识的学习和旧知识的复习和巩固等方面都发挥着重大作用，并能提高初中数学课堂的学习效率，增强学生探索知识、分析知识和理解知识的能力，达到培养创新型人才的目的.
一、加强学生读题能力的培养
要想正确地用线段图解决问题，首先必须要加强学生读题能力的培养。教师要求学生读题时不多字、不少字、不读错字，加强审题训练，看清条件问题，分析关键句，学会从总体上把握住数量关系，才能正确地用线段图来解题。
例1，“我国人均耕地面积”与“世界人均耕地面积”相比较，“我国人均耕地面积”是“世界人均耕地面积”的■，引导学生判断出“世界人均耕地面积”是表示单位“1”的量，知道“世界人均耕地面积”为2500㎡，求“我国人均耕地面积”就是求2500的■是多少。
例2，公路上汽车的噪音有80分贝，在绿化隔离带后面，噪音降低了■。提出问题：人现在听到的声音是多少分贝？这是一个数量与它的部分量的比较关系，即知道一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的问题。关键句子是绿化造林后，噪音降低了■，引导学生理解降低了是什么意思，比谁降低了，谁是单位“1”。
例3，两个数量的比较关系，即已知一个数量比另一个数量多（少）几分之几，求这个数量，其中“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多■”是解题的关键。这句话表示什么意思？让学生理解其含义。这句话可以转化为“婴儿每分钟比青少年多跳的次数是青少年每分钟心跳次数的■”，理解是与多或少的不同。理解了这句话，就应该知道把什么看作单位“1”，就容易理解数量关系了。
二、用线段图把条件与问题清晰地表达出来
应用题由于所给条件不同，所求问题不同，要根据题目特征，选择不同的线段图画法。有的题要画一根线段，有时要用两根线段，在教学中，重点指导学生把题意全部通过线段图表现出来，要在线段图里体现出条件和问题。笔者要求学生画的线段图能够抛开书本，只看图上数据就能完整叙述出题的条件和问题，并根据线段图分析数量间的关系，能够读懂线段图，并在此基础上学会用多种不同的方法进行解答。
例1、例2问题中表达数量的双方为“部分”与“总体”关系，应用一条线段图来分析：把“总体”看作单位“1”，看“部分”占“总体”的几分之几，就转化成求总数的几分之几了。
例3问题中表达数量的双方为“并列”关系时，应用两条线段图来分析：“谁”的几分之几就把“谁”看作单位“1”，看另一方占此项的几分之几，就转化成求此项的几分之几了。
三、注意指导学生正确画出规范的线段图
【关键词】小学数学 线段图 应用题
小学生接触到应用题的时候，往往会感到无助，无从何下手，其主要原因是学生对于基础概念掌握得不牢，并且对于应用题中的各项关系没有捋顺，因此不能根据题中已知条件来正确解答。线段图方法的特点就是能够将抽象的事物具体化，使学生能够快速地找出题中有用的信息（条件）并加以利用。
1. 线段图的定义及特点
线段在数学上的定义是指直线上两个点和它们之间的部分。线段图是有几条线段组合在一起，用来表示应用题中的数量关系，帮助人们分析题意，解答问题的一种平面图形。特点：从抽象的文字到直观的再创造、再演示的过程。线段图，以其形象、直观的特点，在数学教学中广泛应用。在数学教学中，注重让学生运用线段图来解决实际问题，有效地提高学生的自我学习能力和创新能力，使学生学会学习。
一般认为线段图是线段组成的图形，来表示各个参数之间的关系。从线段图的表示上容易看出，线段图可以清晰地表达各个变量之间数值的大小，通过图形的表示让学生更容易接受，其次线段图在绘制的过程中，对变量大小是一个重现的过程，学生理解起来更容易，尽管学生对于一些抽象的数学概念相对陌生，但是对于线段的长短却能一目了然，因此将抽象的概念转化成图形，对于小学数学解应用题是一个很好的方法。例如：小学低年级学生对于一般实物有了较为直观的认识，但是对于数字的概念却比较模糊，这种情况下，用线段图来表示数字，如9和5谁大，可以画9cm和5cm的线段，一目了然就能知道结果。
2. 线段图的作用
线段图的特点表明，将线段图应用到小学数学应用题解答上，不但能够清晰解题思路，还能提高小学生的解题效率，线段图在小学数学应用题中的作用主要体现在：
（1）明确解题思路。低年级的小学生，对于应用题中语句的理解还存在困难，利用线段图，可以使问题变得清晰，例如：小华有8个苹果，小刚有6个苹果，问：谁的苹果多？多几个？在数学老师的指导下，以1cm作为一个苹果的单位，画出8cm和6cm，然后问学生哪个是小华的苹果，哪个是小刚的苹果，谁的多？怎么算？同学们通过线段图的比较，很容易就可以得到正确的答案。
（2）使问题变得简单。高年级的小学生，应用题出现的形式会较为复杂一点，通过线段图方法能使问题变得简单明了。例如：小明步行去奶奶家，一共需要走2000米，小明从家出发，走了500米后碰到同学小军，然后两个人聊了20分钟，小明继续走了800米，停下来歇一会，问：小明到奶奶家还要走多少米？这样的应用题，除问题多样化之外，还增加了干扰项，概念不清晰的情况下很容易就被混淆，如果用线段图法就变得简单，画一条线段表示总的路程，然后画第一次走的路程和第二次走的路程，剩下的就是要求解的问题。
（3）强化学生的操作能力。在小学阶段的数学学习，主要是锻炼学生对于概念（知识）的理解认识，利用线段图方法，能够强化学生对于概念的理解，通过对应用题中的变量画图，进一步锻炼了学生的操作能力，同时还能够提高学生的学习兴趣，提高课堂教学的效果。
3. 线段图解应用题的应用
线段图在小学数学应用题中的应用效果显而易见，大致可分为以下几类：
（1）数量比较问题。在小学数学应用题中，数量的比较是一种常见的类型，其中包括数量的大小比较，数量的和与数量的差，对于数量比较问题，线段图方法能是比较理想的方法。例如：大数和小数问题，前面也提到，用单位长度，如1cm表示1，这样对要比较的数字用线段画出来，长短就一目了然了，对于数量的和，同样的道理，采用线段将数量表示出来，然后看一看总的线段的长度，就能够得到数量的和，数量的差的问题，需要通过几条线段来进行解决，例如前面的小明去奶奶家就是一个典型的例子，用一条线段表示总的长度，然后标出每一段的长度，再相减就可以得到所需的答案。
（2）等分关系问题。等分关系问题主要出现在小学二三年级，对于一个整体的等分和对于每一部分在整体中的比例这一类的题型，用线段图就可以对其分析解答，例如：小明有15个苹果，如果平均分给3个人，每人能分几个？如果平均分给5个人，每人能分到几个？学生利用直尺，画一条15cm的线段，然后进行测量来平均分配，在此基础上进一步理解每一条线段的含义，从而解决问题。
（3）倍数关系问题。这一类问题正好和上面等分关系问题相反，但是归根结底都是比例的问题，都可以利用线段图方法进行分析解答。例如：小明有4个苹果，小华的苹果是小明的3倍，问小华有多少个苹果？对于这一类问题，采用单位长度作为基本单位，如用1cm表示一个苹果，那么小明的苹果就需要画一条长4cm的线段，然后小华的苹果是小明的三倍，就需要画3条4cm的线段，于是小华的苹果由12cm的线段来表示，代表着小华一共有12个苹果。对于这一类应用题，可能还会出现别的形式，例如知道小华的苹果数量，也知道小华的苹果是小明的苹果的几倍，然后求小明的苹果等，如果教学中利用线段图方法，可以清楚地把握问题的关键所在，使问题解答明了简便。
综上所述，在小学数学应用题解题中应用线段图方法，不但能拓展炼学生的数学思维能力，还能够锻炼学生的操作能力，直观、形象、明了，使数学应用题的解答由复杂到简单，由难到易，迎刃而解。
【参考文献】
“精钢可化绕指柔”
运算和运算律是向量的灵魂.
纵览人教版数学教材必修④《平面向量》一章，向量运算的学习会经历两个阶段――线性运算和坐标运算.其中线性运算需要对图形进行分析和处理，具有浓郁的几何色彩，和坐标运算相比，思维要求更高.
我们知道，一个确定的向量必然有确定的方向和长度，所以向量可以用有向线段来表示.但因为向量可以平移，因此始点与终点的位置是不确定的，这给了向量无限的自由，却又让它们变得难以控制.怎样才能两者兼顾呢？
让我们重新回顾向量的运算法则.如图1所示，向量加法的平行四边形法则与三角形法则分别源自力的合成与位移的合成；向量的减法来自相反向量的引入；向量的数乘又是类比数量的运算得到的，这样就建立了一套以向量加法为基础的向量运算系统.
虽然平行四边形法则与三角形法则脱胎于不同的物理背景，但观察图2与图3可知，这两个法则的数学本质是一致的.由于=，所以图3其实是图2的局部，但更加简洁：把向量b的始点置于向量a的终点A处，使之首尾相连，那么a+b就是以向量a的始点为始点、向量b的终点为终点的向量.
这种做法具有明显的优势：
一是操作简单，易于理解.
例如求a1+a2+…+an，只需把a2的始点置于a1的终点A1处，a3的始点置于a2的终点A2处……，an的始点置于an-1的终点An-1处，那么以向量a1的始点为始点、向量an的终点为终点的向量即为所求，如图4所示.求a1+a2+…+an的过程不就是一条OA1A2…An的行走路线吗？只需把要相加的各个向量依次首尾相连，则各个向量之和就是从最初始点到最后终点的一次位移.
同理，遇到向量的减法也不必畏惧，只需通过相反向量把减法转化成加法，例如把a-b看作a+（-b），依照刚才的规则操作即可.
二是多条路线，殊途同归.
我们再次观察图4和式子++…+=，两个向量间的连接点A1，A2，…，An-1都消失了，只留下了起点O与终点An.这说明除了这两个点外，其他点的位置、数量无论如何变化，对的结果都不会产生任何影响.
因此，我们自然也可以在点O与An之间插入其他的点，比如如图5所示，插入点M，N，可以把拆分为++.这说明我们不必拘泥于既定的路线OA1A2…An，换作另一条行走路线OMNAn也能到达“幸福的彼岸”，而途经的各个向量的方向居然可以完全不同，并且这样的路线有无数条！
换言之，尽管不能改变向量，但可以借助三角形法则把它分解为若干个其他向量，使之依照我们的意愿进行拐弯、迂回、环绕！
“丛林中的弯道超越”
在实际中，我们所面对的几何图形，其间线段何止数条！赋予这些线段方向，几何图形就变成了一个由众多向量编织而成的“向量丛林”.“拐弯”向量真的可以在这片丛林中开辟出一条顺畅之道吗？
例1 在边长为1的正三角形ABC中，=，E是CA的中点，求・的值.
思路1： 如果直接套用数量积公式・=・・cosα，虽然两个向量，的模可以通过余弦定理求出，它们的夹角α却不易求得.
思路2： 能否利用已知条件“正三角形内角为60°”呢？那就必须使，这两个向量“拐弯”到三角形的.
根据上文得出的结论，结合正三角形考虑，要获得可通过下面两条线路（见图6）：
线路①： CBD，即=+；
线路②： CAD，即=+.同样，获得的线路也有两条，如图7所示.
线路③： BCE，即=+；
线路④： BAE，即=+；
观察图6与图7，我们发现线路①③分别途经点B，C，而②④都途经点A，因此选择有重合之处的线路②④：・=（+）・（+）=+・+=・-（）2-（）2+・=-.
思路2使原本受困在三角形内部的向量沿着图形的“拐弯”，虽然多了几个迂回，却摆脱了求与的模和所夹角的羁绊，成功实现了“弯道超越”.
这些“弯道”具有如下共性：
（1） 因为分解向量时依据了向量加法的三角形法则，故每个“弯道”都依附于某个三角形.例如线路①依附于CBD，线路②依附于CAD.
（2） 每个三角形中的两个顶点为被分解向量的始点和终点，第三个顶点则可以随意选取，这第三个顶点决定了“弯道”的线路.比如，对于，在平面ABC内任取一点P，同样可得=+.
（3） 合理的线路可以简化解题过程.例如，线路②④都途经点A，就可以利用∠A=60°.如果选择线路①与③：・=（+）・（+）=-（）2+・+・+・，则必将涉及∠B，∠C和与所成的角，解题会麻烦得多.
解题中的运用
那该如何制订和选择恰当的路线呢？
例2 如图8所示，在ABC中，ADAB，=，=1，则・= .
解析： 观察向量与，因为=1，不妨保留. 让“绕弯”的线路有两条：
线路①： 利用ADC得ADC，即=+，此时・=2-・.要求出与∠ADC仍然比较麻烦.
线路②： 利用ABC得ABC，即=+，这时・=・+・.由ABAD可得・=0，至此，只需求出・.
因为=1，不妨保留.考虑到=，而可以利用ABD沿线路③： BAD“绕弯”，故==（+）.则・=（・+2）.因为・=0，且=1，故・=.
所以・=.
由例1、例2可知，设计和选择线路的重要标准是最大化地利用向量所在图形的几何特性.通常要关注：
（1） 特殊的图形，尤其是特殊的三角形.如例1中的正三角形ABC、例2中的直角三角形ABD，让线路尽可能依附在这些特殊图形上.
（2） 已知条件密集的线段或已知的角.如例2中的线段AD、例1中的∠A，让路线尽量多地经过这些线段或角.
（3） 特殊的位置关系，尤其要优先考虑垂直关系，如例2通过线路①、线路②两次利用了条件ADAB. 反观例1，若注意到BEAC，就能找到更快的解法：保留，只让“绕弯”：・=（+）・=0+・=・，而・=-・・cos∠ABC=-，故・=-.
这些特殊的图形和线段其实就是“主干道”.利用“主干道”设计的路线，即便多走几个回路也无大碍.例2中的线路①貌似快捷，实则隐含着求解的困难.线路②虽然拉长了解题过程，却大大降低了烦琐的程度.
让向量“绕弯”，其实就是以“长度”为代价，换取向量在“方向”上妥协的一种智慧.真可谓：
向量绕弯生奇效，
弯道超越靠三角；
一量分成若干和，
来去瞄准主干道.
设计和选择路线的重要标准是最大化地利用向量所在图形的几何特性.通常要关注：
（1）特殊的图形，尤其是特殊的三角形.让线路尽可能依附在这些特殊图形上；
（2）已知条件密集的线段或已知的角，让路线尽量多地经过这些线段或角；
（3）特殊的位置关系，尤其要优先考虑垂直关系.
【练一练】
1. 已知P为锐角三角形ABC的边AB上一点，A=60°，AB=5，AC=4，则+3的最小值为 .
2. 如图9所示，在等腰直角三角形OAB中，=a，=b，且OA=OB=1.设点C为线段AB上靠近A的四等分点，过C作AB的垂线l，点P在垂线l上.记=p，则p・（a-b）的值是 .
（A） -
（B）
（C）
（D） 与点P的位置有关
【参考答案】
关键词：高职教学 好课 探索 “学”得好
区别于普通高等教育和中等职业教育，高等职业教育培养的是具有“系统的应用知识和持续发展的能力”、“综合应用理论知识解决实际问题的能力”的技术应用型高技能人才。从多元智力理论的角度来看，高职院校的学生，其智力的优势不在于语言智力和逻辑智力方面，而在于形象思维智力比较突出，一般动手能力较强，而且兴趣广泛，具有较强的参与意识和风险意识。所以，作为类型教育的高等职业教育，教学的特点应表现为促进学生擅长的智力成长。那么，在挖掘学生擅长的智力潜能、培养学生应用知识解决实际问题能力的教学设计中，什么样的课堂教学才是符合当前职业教育理念的“好课”呢？
我们以机械类专业基础《机械制图》课程为例，对绘图基本技能训练的“绘制平面图形”内容部分，对照以下几种颇有代表性的教学设计过程，看哪一种能让学生“学”得更好、更有实效。
教学内容：绘制某零件的平面图形。
一、学科式教学设计
就“绘制图形”的基本技能训练来说，传统的学科教学是先系统地讲解国家标准中机械制图的基本知识：图纸幅面的格式、绘图的比例选取、绘图的图线选用规定、尺寸的标注要求等；还有常用绘图工具的使用方法、常用几何图像的画法、平面图形的画法等。然后让学生绘制如图1所示的零件平面图形。结果是，对大多数学生来说绘图难以顺利进行：图纸的选取与绘图的比例不匹配的现象有，尺寸标注不符合标准要求的有，加粗描深不符合线型标准的有…
图1、手柄零件的平面图
这些现象，教这门课的教师深有体会。在“这些学生真难教”的无奈中，要么赶教学进度匆匆而过，要么心存疑虑却苦于不得法。总之，学生应该具备的“绘制平面图形”的绘图基本技能没有得到有效的训练，即教学没有产生实效。
二、常规式项目教学设计
先来看看“绘制平面图形”项目教学设计的几个主要部分。
第一，明确教学目标，能够手工抄绘零件的平面图形。具体说，就是合理选用绘图比例、图纸幅面，熟练使用绘图工具绘制图形，能够准确绘制图形、标注图形尺寸等。
第二，项目任务给出：绘制某零件平面图形。
第三，教师案例示范手柄的平面图形绘制。在绘制的过程中，明示绘制平面图形的步骤：
1、准备绘图。识读图形，对图形的尺寸进行分析，确定各线段性质（已知线段、中间线段、链接线段）；确定绘图比例，选取图幅；画出图框和标题栏。
2、绘制底稿图。匀称布置图形，先画出作图基准线——横向尺寸基准线和竖向尺寸基准线；依次画出已知线段、中间线段，以及链接线段。校对无误后，擦去多余的作图辅助线。
3、描深加粗各种线型。对照于线条选用标准，遵照先曲后直、先上后下、先左后右等规则加粗图线。
4、标注尺寸。依据尺寸要素及尺寸标注要求，正确标注图形尺寸。
第四，讲解项目任务相关制图标准的知识点。包括制图标准对图纸、图框、标题栏、比例、图线的规定，尺寸标注方法，常用图形的画法。
第五，学生完成项目任务。
笔者也尝试过这样的项目教学设计，结果是少部分学生能完全符合制图标准规定，把平面图形画好。这说明，学生对运用制图标准基础知识画图，只凭观察教师的示范画平面图与“听讲”画平面图所需的知识，并没有更多更仔细地查询核对制图标准知识，力求准确画出图形（事实上，画得好的学生，是自觉地依照教师的思路探索了相关的知识点），那么，教师即使再怎么努力教学——教的不少、引导学生学的不多，学生依然从“手上”出不来，即没有产生教学实效。
三、知识探索型项目教学设计
就这个手柄的平面图形绘制，笔者曾经尝试采用另外一种方式的项目教学法进行教学设计，取得了较前面提到的项目教学设计更好的教学效果。以下是教学设计的主要组成部分：
第一，明确教学目标：能抄画出零件的平面图形。
第二，给出项目任务：绘制某零件平面图。
第三，教师案例示范手柄零件的平面图形绘制。在绘制的过程中，明示绘制平面图形的步骤：
1、准备绘图。分析图形的轮廓尺寸φ32mm、90mm(75mm+15mm)，确定绘图比例2:1，选取图幅a4；画出图框(不要装订边的)和标题栏。
这里主要说出为什么这么确定绘图比例、图幅，简要描述总共有哪些可供选择的标准中规定的“比例”类型、“图幅”类型。同时，引导学生去相应地参考教材探索如何确定绘图比例、选取图幅的知识点：制图标准中绘图比例、图幅的规定，以备自己绘图时能合理、准确地选择。
2、绘制底稿图。分析图形的具体尺寸，确定φ20mm、15mm，φ5mm、8mm，r15mm，r10mm、75mm为已知线段，要首先画出。再接着要画出中间线段r50mm、φ32mm。最后该画出r12mm的链接线段。此处，对照手柄图形分析线段中什么是“已知线段、中间线段、连接线段”，并边画手柄的圆弧连接便说明圆弧连接的画法知识点。同时，引导学生探索、参照教材中线段分析、圆弧连接的知识点，在自己画图时针对不同图形线段的实际情况，分析确定线段性质以找到画图的切入点，进而准确地抄绘原平面图形。校对无误后，擦去多余的作图辅助线。
3、描深加粗各种线型。对照于线条选用标准，遵照先曲后直、先上后下、先左后右等规则加粗图线。此处，先说明适合于手柄的线条类型作为描深加粗的依据，再引导学生探索“常用图线的名称、线型、应用”制图标准规定的基础知识点。而且在引导中要强调，对不同图形的线型一定要在绘图过程中反复探索、总结制图标准线型规定的知识点，达到熟练准确地运用。
4、标注尺寸。依据尺寸要素及尺寸标注要求，正确地标注图形尺寸。此处，边标注手柄尺寸边插入“尺寸标注的要素、标注法”知识点；同时引导学生在绘制其他的图形时注意探索“尺寸注法”的细则，做到标注尺寸的准确明了。
到学生完成项目任务阶段，教师巡回指导，引导学生疏通遇到的问题，比如比例的选择更合理、尺寸的标注更准确等。
在该项目完成的评价中，根据学生绘图的情况，除常规的评价外，尤其要注意肯定他们已有的积极思考、探索知识解决绘制平面图中遇到的学习障碍的可贵之处。同时，对平面图形绘制方法、知识点进行回顾总结，绘图中不容易做好的地方（如圆弧连接、尺寸标注等）所涉及到的知识点，在此时视学生的绘图情况做补充式讲解（或者诸如“尺寸标注”知识点先不讲解，等到学生出现自行探索中解决不了的学习障碍时再详细讲解），不仅能疏通学生的学习障碍，而且能教会学生如何去更有效地探索知识。
项目基本任务完成后，再适当增加难度更大些的项目拓展训练，让学生在绘图技能进一步巩固好的情况下，体验不断地、更多地探索知识、解决所遇学习问题的成就感，以及知识增长、技能娴熟的自信感。
正如戴士宏在《职业教育课程改革》一书语录里谈到的：教师可以少讲甚至不讲知识，但要带领学生做事。在做事的过程中，学生自己探索到了知识，这是真正的“好课”。高级的好课，不是教师“讲”得如何好，而是学生“学”得如何好。
高职教学的“好课”，顺应职业教育理念的导向，应该是在教师的引导下，学生在做事中探索、构建自己的知识体系去解决所遇实际问题。以学生如何能“学”得好为教学设计宗旨，以教师少讲解、学生多探索为教学实施指引方向，这样的“好课”，可以让我们的教学更为实效，让我们的学生更好地积淀以后职业生涯可持续发展所需的知识、技能。
参考文献
[1]戴士宏 职业教育课程教学改革[m].北京:清华大学出版社，2007。
[2]庄国帧 高职教育行动导向教学体系[m].镇江:江苏大学出版社，2007。
一、把握学习起点，让概念引入更有效
1.找准学生概念学习的生活起点，引入数学概念。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式。从中我们可以很清晰地看出，数学概念是基于现实生活产生的。因此，对于数学概念的引入教学，必须基于学生的生活起点，从而实现概念引入的有效性。
案例1：“认识圆”教学片段
师：我们都知道数学是来源于生活的，所以，我们很容易在生活中找到数学。下面让我们来看一下这些图形（课件展示盘子、铁环、足球、车轮），你们都看到什么了？
生：圆。
师：真厉害。那你们还能在生活中找出类似的事物吗？
实践证明，学生只会对已熟知的事物感兴趣，因此教师将圆的教学还原到生活，从生活中的圆开始，逐步完成“圆概念”的引入和认识。这样，不仅能唤醒学生的已有知识经验，同时也让学生顺利完成从未知到已知的过程。
2.找准学生概念学习的认知起点，引入数学概念。教师要在学生认知起点的基础上，唤醒学生原有的认知结构，实现数学的关联性，从而让概念引入更有效。
案例2：“圆柱的认识”教学片段
课件出示以下3个图形：
师：同学们，你们认识屏幕上的图形吗？
生1：第一个是长方形，就像我们的课本。
生2：后面两个分别是正方形和圆形。
师：给大家变个戏法好不好？（将课件转换）现在呢？
生3：它们变成了长方体、正方体、圆柱。
在本课教学中，学生已经具备了大量的平面图形知识，也掌握了长方体和正方体的各种数据的计算方法，因此，教学就可以在学生已有认知的基础上展开。这样的引入，不仅唤醒了学生的已有知识经验，同时也将平面图形与立体图像之间的内在联系教给了学生。
二、强调主动构建，让概念形成更有效
要实现概念教学的有效性，首先要让学生有一个逐步明晰、逐渐完善的概念形成过程，即概念形成要在紧密围绕概念核心的基础上，使学生实现数学概念的主动构建。
1.在比较辨析中形成概念。小学生尚处于思维能力和理解能力均待完善的阶段，在概念的形成过程中很容易偏离概念的本质属性。教师要善于把握学生的这一认知特点，引导学生进行概念的比较辨析，在思辨中实现概念的形成。
案例3：“平行与垂直”教学片段
师：两条线在同一个平面内有几种关系？
生：平行和相交。
师：谁来画一下这两种关系？如果两条线不在同一个平面，情况又会怎样呢？（课件展示上述情况）
以上案例，教师先让学生回答已知的同一平面内的两条线的关系，在得到学生的答案后，提出问题：如果不在同一平面呢？从而引发学生的思维冲突。再通过课件将不在同一平面的情况展示给学生，使学生在思维的辩证分析中理解相交和平行的前提条件：两条线必须在同一平面内。
2.在思维迁移中形成概念。学习是一个由量变到质变的过程，也是一个实现已知同化未知的过程。因此，在数学概念教学中，教师要善于在已知知识的基础上，实现概念形成的动态演绎，促进学生已知对未知的正迁移。
案例4：“平行与垂直”教学片段
在前面的教学中，学生已经掌握了两条线平行的概念。因此，教师利用多媒体动态课件，将平行的两条线中的一条线固定，另一条线旋转到与该固定好的线成90°的位置。
师：变换后的两条线是什么位置关系呢？
生1：由平行线变成相交线了。
师：仔细观察一下它们相交的角度有什么特别之处？
生2：呈90°，是直角。
师：我们将这样的两条线的位置叫做垂直。
以上这个案例，教师将相交线与垂直线做了比较分析，让学生明白两条线相交成直角才能叫做垂直。
三、聚焦生活运用，让概念强化更有效
在小学数学教学中，对概念的教学主要集中在对概念本质属性的理解上。而要实现对概念本质属性的理解，首先要让学生学会运用概念，从而在运用的基础上实现对概念的强化理解。
