时间：2023-06-21 08:55:03
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇三角函数值规律，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
【关键词】 恒等变换 给值求值 给角求值 给值求角 综合运用
【中图分类号】G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02
三角恒等变换是高考的重点之一,要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考对本部分内容的考点:一方面是简单的化简、求值,以客观题为主,难度一般不大,有时以向量为载体出现解答题;另一方面本节内容常作为数学工具常融合三角函数,这时要先对三角函数解析式进行化简、变形,再深入考查三角函数的图像和性质。还需说明一点的是“几个三角恒等式”及积化和差、和差化积公式和半角公式不要求记忆和运用,已经淡出高考范围。本文现从江苏和全国其他各省近几年的高考试卷中精选出一些典型考题与大家一起研讨高考中这部分内容的命题方向和考查方向,希望能起到一个抛砖引玉的效果。
1 高考命题热点一:给值求值问题。
【真题再现1】(2011年全国卷理科第14题)已知,,则
【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系式与二倍角的正切公式的运用。
由已知得,则,所以。
规律小结:对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值,关键在于变角,使目标角变换成已知角,若角所在的象限没有确定则应分情况讨论,应注意这部分内容中公式的正用、逆用、变形利用,同时根据题目的结构特征,学会拆角、拼角等技巧,
如,等。
2 高考命题热点二:给角求值问题。
【真题再现2】(2006年江苏卷第14题)
【解析】本题考查了切割化弦、辅助角公式
,倍角正弦公式、降幂公式。原式
=
=
=。
规律小结:给角求值问题,一般给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时要利用观察得到的关系,结合三角公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到解,有时还要逆用、变用公式,同时结合辅助角公式和升幂、降幂公式等技巧。
3 高考命题热点三:给值求角问题。
【真题再现3】(2008年江苏卷第15题)如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为。(1)求的值;(2)求的值。
【解析】本题融合三角函数的定义,考查两角和的正切公式、二倍角的正切公式。由条件得,因为,为锐角,所以=,因此
(1),
(2),所以,因,为锐角则,故=
规律小结:给值求角问题,往往通过间接求出这个角的某个三角函数值,再得出这个角的大小,选取某个三角函数值时可按照下列原则:一般已知是角的正切函数值,则选所求角的正切函数值;已知条件是正弦、余弦函数值,则选所求角的正弦、余弦函数值皆可;若所求角的范围是,则选该角的正弦函数值较好;若所求角的范围是,则选该角的余弦函数值较好。解决给值求角问题分三步:第一步是求该角的某个三角函数值,第二步是确定该角所在的范围,第三步是根据角的范围写出所求的角。
4 高考命题热点四:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用问题。
【真题再现4】(2011年重庆卷第16题)设,
,满足,求函数在上的最大值和最小值。
【解析】本题考查融合了三角函数的单调性和最值的性质,考查诱导公式、二倍角的正弦公式、降幂公式、公式
,又考查综合分析问题和解决问题的能力。由已知 ,由得,因此
;由及,解得增区间;由及,解得减区间,所以函数在上的最大值是;又因,则函数在上的最小值为。
【真题再现5】(2009年江苏卷第15题)设向量
,,。
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;(3)若,求证:∥。
【解析】 本题主要考查融合向量的基本概念与向量平行,考查同角三角函数的基本关系式、
二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力、综合分析问题和解
决问题的能力。
(1)由与垂直,,即
,。
(2)4,
,则的最大值是。
(3)由得,即,所以∥。
规律小结:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用,大多以解答题的形式出现,它一方面融合平面向量知识考查化简、求值、证明恒等式,学生必须掌握好平面向量知识特别是数量积的运算才能顺利解答问题;另一方面三角恒等变换为数学解题工具,它往往融合三角函数考查三角函数的图像和性质(如周期性、单调性、值域、最值等),这类题突破的关键是能正确快速地对三角函数进行化简,化简的技巧和原则:①采用遇平方降幂的方法使式子的次数尽量低;②采用辅助角公式、切弦互化使式子的函数种类尽量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的种类尽量少;④采用通分等变形技巧使式子结构尽量简单,同时还要注意角的范围及三角函数的正负。随着知识的深入还会更多的接触到三角恒等变换与解三角形(正弦、余弦定理)融合的题型。
5 高考的考查特点分析和方向预测。
上面就一些高考中的三角恒等变换知识进行了深入的分析,通观全国各省对三角恒等变换的考查,我们发现有以下特点:
(1)分文理科的地区,两科对三角恒等变换均有考查;文理试题的题目基本相同,难度区分不大。
(2)区分度问题:三角恒等变换部分不会出非常难的题目,一般都是以容易题、中档题出现。
（3）题型方面:全国各省在选择题和填空题中都有所考查,更侧重填空题;在解答题中考查但难度不大;全国各省高考大多数都是考一道填空题容易题和一道解答形式的中档题。
关键词：高中数学；三角函数；体会
在高中三角函数的学习过程中有许多难点，但是通过仔细研究和学习，不难发现其中存在很多规律和技巧，掌握了这些规律和技巧，对牢固掌握三角函数有很大的帮助，能更好地解决学习过程中遇到的难题。
1.在三角函数解题过程中要对已知条件进行分析，明确不同变量间的关系，通过关系互化使题目由繁到简，解题思路更加清晰。如例1所示。
2.在三角函数中类似求定义域相关的题型，需要考虑到题目中所涉及的三角函数的周期规律，可以利用三角函数绘图的方法，对最终的结果进行全面的考虑分析。如例2所示：
【例2】 求函数y=的定义域。
分析：首先要确定本题为典型的确定三角函数定义域类问题，在解题过程中应根据题目所给的已知条件一步一步求解问题，切记不能丢解、漏解，这是我们在解答此类题型时必须考虑的方面。
根据题意可以判断2sinx+1≥0，可以求解出x值的区间，这是将已知条件应用于被求对象中的过程，再据正弦函数本身周期性规律，可以进一步提升解题准确性。解题步骤如下：
解：由已知条件我们可以得出2sinx+1≥0，从而可解sinx≥-，我们可以先求解出在一周期内的区间[-，]，由于正弦函数的周期性，我们要在所求区间加上2kπ（k∈Z）即可，所以本题的最终答案为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）。
可见，在高中三角函数解题过程中，要将三角函数数值与图形之间建立密切的关系，通过图形判断三角函数的正负，然后结合规律进行解题。
3.关于“托底”方法的应用
在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，常用在需把含tgα（或ctgα）与含sinα（或cosα）的式子互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：
【例3】 已知：tgα=3，求的值。
分析：由于tgα=，带有分母cosα，因此，可把原式分子、分母各项除以cosα，造出tgα，即托出底：cosα。
解：由于tgα=3?α≠kπ+?cosα≠0
故，原式====0
综上所述，三角函数虽然题型并不相同，但在解题中运用三角函数的解题规律和技巧，对典型题进行总结和分析，掌握三角函数内容也不是难事。
参考文献：
[1]刘博，郑利双.高中数学三角函数的W习心得[J].高考（综合版），2015（12）：231.
【关键词】三角函数；化简；求值；图像；性质；应用
三角函数是高考的热点和重点，每年都会在主观题和客观题上出现它的身影。三角函数具有一般函数的性质，还具有自己独特的特性――周期性和对称性，使其产生并可以解决的问题内容多样、丰富多彩。在每年的高考中，围绕三角函数的考题具有新意，给人新颖的感觉，这已经成为了高考命题的热点。下面就三角函数在高考中如何考，谈谈自己的几点看法：
一、三角函数的化简、求值、求最值
三角函数式的化简、求值及求最值是高考考查的重点内容之一 通过三角函数学习使学生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，优化学生的解题效果，做到事半功倍。
求值问题的基本类型及方法：①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解；②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角；④化简求值。
.
三角函数的化简、求值及求最值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。
二、三角形中的三角函数，即解三角形
分析近几年的高考试卷，有关解三角形的问题几乎是每年必考内容.试题主要是考查正、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用。解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。
评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。
三、三角函数与其他知识交汇的设计题和应用题
此类问题主要考查与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合，多为解答题，考查三角函数实际应用。对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，合理分析已知量间的关系，总是能够解决问题。解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等，其基本步骤如下：
第一步，阅读理解，审清题意。读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字途径，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。
第二步，搜集整理数据，建立数学模型。根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型。
第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予解答，求得结果。
第四步，将所得结论转译成实际问题的答案。
关键词：三角函数；数形结合；诱导公式；逆用公式
一、重视三角函数的定义，注意两种定义的教学顺序
在教学过程中，我在两个班的教学中用了不同的教学顺序：甲班先从锐角三角函数的定义过渡到任意角三角函数的定义：若任意α的终边上一点P（x，y）（x≠0）；令r=OP，则sinα=■，cosα=■，tanα=■。再从P为特殊位置即P为∠α的终边与单位圆交点时，引入三角函数的第二种定义，学生学得较为自然，在应用如“角α终边经过一点P（3，-4），求角α的三个三角函数值”时正确率较高。
而乙班则严格按照课本要求：先引入单位圆定义任意角三角函数：若任意α的终边与单位圆交于一点Q（x，y）（x≠0）；则sinα=y，cosα=x，tanα=■，通过课本12页的例1求出■的终边与单位圆的交点坐标（■，-■） ，再求三角函数值。这个例题学生还好理解，而在例2的教学中利用教材中的方法：利用三角形相似去解决，然后才给出与锐角三角形相类似的定义，最后在用一道习题“已知∠α的终边与射线y=-2x（x≤0）重合，求α的三角函数值”巩固时却出现了问题：作业格式混乱，错误很多。课后与学生交流时，都有两个疑问：一是能否用省事的方法，即用终边上的点坐标直接求解？二是单位圆学来做什么用，用它来求三角函数值这不是扰乱我们的思维吗？通过这两个班的教学对比，我进行了深刻的反思。
二、进行诱导公式口诀的微小改变，注重数形结合记忆和运用公式
三角函数中诱导公式很多，学生对诱导公式的记忆非常头痛，且经常混淆，这块内容是教学中的重中之重。在教学中大多数教师是教给学生“奇变偶不变、符号看象限”的记忆口诀，但学生在运用过程中还是记忆不清。后来我把这种口诀更改为“符号看象限，纵变横不变。”其理解为：把α看成锐角后，看■±α，■±α，kπ±α等角是属于哪个象限的角，利用“符号看象限”确定变化后的函数符号，由于kπ的终边在横轴上，±■，±■，±■等的终边在纵轴上，利用“纵变横不变”确定函数名。
三、重视三角函数的性质，注重性质学习上的微小改变
学生在学习y=sinx与y=Asin（？棕x+？渍）的图象性质时会混为一谈，会把y=sinx中的x与y=Asin（？棕x+？渍）中的x当成是同一个，在求单调区间等问题时常出现错误。因而我在教学中做了一个改变：学习三角函数性质时，把三角函数写成了：y=sinα，y=cosα与y=tanα，这样建立的关系是α与y的对应关系，在横轴上也写成α 轴。这样我们在研究y=Asin（？棕x+？渍）的有关性质时，把？棕x+？渍看作 α来研究，然后再求出x的值或范围。
四、重视正弦函数的五个相位与y=Asin（？棕x+？渍）和x轴交点横坐标的关系
三角函数y=sinα的图象中，在一个周期内把第一个上升的零点作为第一相位点0，以此类推，分别得出第二到第五相位点■， π，■，2π。
在y=Asin（？棕x+？渍）（A>0）的一个周期内的图象和上述相比较可得出如下结论：
利用这些关系能够很快从图象中求出？棕和？渍的值。
五、重视三角公式中和、差、倍角公式的逆用
许多三角习题都要进行公式的逆用，而公式的逆用又是学生最不擅长的，从而给学习造成了许多困难。公式的逆用主要有：
（1）由和差角公式得出的辅助角公式：asinx+bcosx=■sin（x+？渍），其中？渍角的确定是学生最容易出错的，因而在教学中要求学生不能贪快，在书面表达上要写出：asinx+bcosx=■（■sinx+■cosx）=■sin（x+？渍），这样利用cos？渍=■，或sin？渍=■或tan？渍=■从而求出锐角？渍的值。还要要求学生熟记■，■，■的正、余弦值。
（2）由倍角公式得出的降幂公式：sinxcosx=■sin2x，sin2x=■，cos2x=■。这些公式的正确运用是做好三角化简题的前题，在三角复习中要多加强调与练习。
教材内容中的重点、难点和弱点，通常称为“三点”教学，它是课堂教学的精髓，也是教学过程的关键。在处理教材和讲授过程中必须认真推敲落到实处，既要准确把握“三点”，又要采取恰当的方法，解决好“三点”，这样才能有效地提高教学质量。
一、抓住重点、突出重点
重点确立后，要通过每个教学环节和教学手段，象众星捧月般地把它加以突出，即常说的“突出重点”。也就是抓住主要问题讲课。如高中数学三角函数在各象限内的符号一节，依次出现了三个内容：①确定三角函数的符号；②三角函数的特殊值；③终边相同的角的同名三角函数值相等。而确定三角函数的符号是这节教材的重点，这要分别做出四个象限的角，从三角函数的定义式出发，先分析正弦、余弦、正切在各象限中的符号，再用余割、正割、余切分别是上述三个三角函数的倒数而分别对号成组（共三组），而特殊值与终边相同的角的同名三角函数值相等两个问题也就迎刃而解了。
二、分散难点、突破难点
难点就是难于理解或难于掌握的内容，或较抽象、或较复杂，难点与重点，有时兼备，有时不同。难，包括学生难学和教师难教，由于学生难学致使教师难教，若教法不当，则学无成效，教与学相互制约、相互影响。确定难点，要着眼于多方面，不能单凭主观臆断。突破难点，更为艰辛，要师生密切合作，协同作战，方可破之。突破难点要注重两点，一要把难点讲清，教师要由浅入深，由易到难，循序展现，把知识的内在规律，清晰地交给学生，让学生了解知识的来龙去脉，化难为易，步步相扣；二是把难点分化成若干个小问题，分散难点，各个突破。
三、寻找弱点、除掉弱点
还有一类问题，在处理教材和课堂教学中须认真琢磨，它就是学生通常容易出现的错误即称为弱点。如正弦函数图象的位移与初相，初等概率中的互斥事件与对立事件，函数y＝1－x＋x－1的定义域认为空集Φ等，这些学生容易混淆和疏漏的问题，教师应在教学过程中积累经验和教训，根据不同弱点采取不同的方法。如诱误，开门见山，对比等方法加深理解，改正错误。
重点、难点、弱点三者相互制约、相互影响，既有关联，又有区别。突出重点，是为达到教学目的所提出的教学“堡垒”；解决难点，是为突出重点而铺平道路；除掉弱点，是为了突出重点，解决难点，少走弯路，以免涉入“误区”。总之，教师应着眼整个教学计划，根据教材的特点和学生实际情况，突出重点、化解难点、消除弱点、轻重得当，在备课中当好“剧作者”，在课堂上演好“主导”。
关键词：对称思想；课堂教学；探究与发现
以新课程为核心的教育改革，全面更新了基础教育的理念，以接受与探究相融合，激发学生学习的主动性为主要思想的课堂改革，改变了原有的教学模式。弗莱登塔尔认为：学习数学的惟一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人将所要学的东西自己发现或创造出来；教师的任务就是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。深入理解课程标准，了解数学知识的背景，准确把握数学概念的内涵，区分核心与非核心知识，将数学教学置于数学思想的指导下，从根本上提高学生的数学素养，这是新课程对数学教师提出的要求。
通过多年的教学积累，深入学习课标对这一内容的处理方式，从系统的高度重新审视这一内容，笔者认为“对称”才是这一部分内容所揭示的核心思想。在此观点下，教材对这一章内容的调整，以下几点值得教师深入体会：
一、揭示核心思想：对称
1.加入了三角函数在单位圆内的定义。从几何的角度理解和认识三角函数的定义――x=cosα，y=sinα就是对圆的动态解析，这与解析几何中圆的参数方程，向量与复数的三解形式取得了一致，让这一知识体系统一在数学的大系统之中。
2.移开和差倍公式的设置，弱化数学技巧的同时，强化了数学思想，让三角函数的概念之间的关系更紧密。将单位圆引出的三角函数从圆内的旋转与对称，上升为函数的周期性变化规律。而实现这一转化的关键是诱导公式，大坐标系这天研究工具下，从坐标系内的角的终边对称这一几何特征，转化为角和、差的关系：α±β=2kπ；α±β=2kπ+π，进一步通过定义上升为三角函数值的符号变化：sin（π±α）=±sinα；cos（π±α）=cosα，最后升华到坐标系内的三角函数图像的周期性特征。
3.在单位圆内定义三角函数，使学生理解三角函数线的难度降低。由数量表示的坐标，转化到几何特征的三角函数线，实现了代数到几何的转化，这使得从单位圆内平移三角函数线作图的方法顺理成章，而不显得突然。通过几何与代数的相互转化，体现了三角兼有几何和代数的特征，是数与形的统一。
4.凝结着数学思想的概念成为联系全章知识的关键。终边相同角体现着角的分类标准从大小分类到终边位置分类的转变。而实现这一转变的关键是在坐标系的研究环境下，角的决定因素从三个（始边、顶点、终边）退化为一个终边；终边相同角又是三角函数定义的基础：定义中只关心角的终边位置，并没有提到角的大小。因而终边相同角才是核心概念，它所体现的位置分类的原则是达到全章和谐统一的关键，因而教学的重点是通过对概念的教学，让学生体会概念所传达的数学思想。
基于上述认识，笔者认为诱导公式的教学应该更多的是体现三角函数的对称性，避免在低层次的运算技巧上的重复。诱导公式所体现的是圆的中心对称性和坐标轴对称性，结合三角函数的定义实现从几何到代数转化的关键。通过分析新课标对这一部分内容的呈现方式，结合自己的理解和对课本内容的挖掘，利用数形结合的方法，将公式的推导过程与三角函数的定义与直角坐标系内的单位圆相结合，利用对称和图形的特点来讲解三角函数中的诱导公式，收到了较好的教学效果。
二、寻求教学起点：提出构想
首先是让角在直角坐标系内旋转的构想。循着这一构想让角在直角坐标系内无法体现出大小的区分，因而终边相同角的位置分类顺理成章地登上了舞台；这时的角在直角坐标系内成为一条射线，进而引导学生分析出在直角坐标系内终边决定角这一根本的思想。在这一思想的指导下，从几何的角度出发探究出了角的终边对称。在坐标系内这五个角对应着四个特征方向，我将其称为定位角。类比生活中的东南西北的定位方式，让学生体会东方是太阳升起的地方，也是一天开始的时候。这就是一个角的始边所处的位置，所有的角都是从这一个位置开始的，并且周而复始，从来没有停止。让学生通过旋转来区分这四组角是关于坐标轴对称的角，每一个角对应着一个象限，即当我们认为α为一个锐角的时候，π-α；π+α；2π-α（-α）分别对应于角α在第二、三、四象限内的对称角，并且随着角α的旋转，依次跑遍整个坐标平面。
其次是设计三角函数的定义的构想。π，这五个角的正弦值与余弦值分别对应于单位圆与坐标轴的交点的坐标，找出其中关键的值0和1，并依此推导出三角函数值的符号的变化规律――正弦值的符号与y轴的符号变化一致，将其归纳为上下方向：余弦值的符号与x轴的符号变化一致，归纳为左右方向。进一步探究角的终边在关于x轴对称时，正弦值的符号相反，角的终边关于y轴对称时正弦符号相同；角的终边关于x轴对称时，余弦值符号相同，角的终边关于y轴对称时，余弦值符号相反。通过几何画板分析演示与分析四组结构角的终边位置的对称特征，以及这一特征所揭示的同名三角函数值之间的关系，近而总结出结论：这些角的同名三角函数值的绝对值相等。在得出结论后，我要求学生写出角度为30°、45°与60°的其他对称的角（为了让学生能够快速投入到思考中，我选用了学生比较熟悉的角度制），学生分组讨论。学生完成后，提出一个问题，让学生用一个比较简单的方式来求出30°、150°、210°、330°和-30°的三角函数值。
待学生完成后，让学生分析产生一现象的原因，并结合三角函数的定义试着说明这一现象，引导学生发现这一现象出现的原因是这些角的终边对称。也正是由于对称，而使各三角函数的同名三角函数的值只相差一个符号；深化引导学生分析是什么导致了符号的变化，经过同学们的分析和争论与教师的适当引导，导致符号发生变化的原因是由于三角函数的定义中用的是角的终边上点的坐标的符号不同，从而得出是角的终边决定了三角函数的符号。
在推导过程中，学生推广这一结论到α角时，有不少学生都能够将各对称角用π-α、π+α、2π-α、-α这些结构角来表示，并由此推导出了诱导公式，并归纳出解题三步曲：
（1）一拆角成结构对称角（学生的总结），判断结构角的位置；（2）二看函数名称定符号；（3）三定名称变与不变。
按照这三个步骤，学生能够很快地运用诱导公式解决问题，避免死记公式而带来的运用不灵活的问题。
从理念的更新到课堂教学的具体实现，这中间还有很大的空间。而这一空间要求我们教师来填补，深入学习课程标准，研究挖掘教材所展示的数学思想，将课堂教学立意提高数学思想和系统的高度；结合学生的实际，选择好一个合适的切入点，让学生的体会真正的学习，激发学生的学习热情，从而达到提高学生的数学能力的目标。
参考文献：
［1］ 章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考，2010，（3）.
关键词：三角函数 高中 教学策略 分析
一、高中数学三角函数的主要难点
（一）学生对三角函数相关概念的掌握不到位，推理能力较弱
对数学公式进行推理，是数学能力的最基本要求和表现。而当前的高中生却往往未能良好地掌握三角函数的相关概念，这也直接影响了其推理能力的发挥与提高，同时又缺乏将三角函数方程式与几何意义良好结合的理解能力。
（二）未掌握三角函数的变形规律
三角函数的一个主要特点是：公式之间存在较多的关联，变形方式也较复杂，因此，要求学生必须对基本数学公式、恒等变形技巧等形成良好的把握，掌握去规律。只有这样，才能更好的学好三角函数知识。
（三）缺乏数形结合能力
这也是高中数学三角函数教学中的一个难点。高中阶段的三角函数具备一定的单调性、周期性与凹凸性，三角函数值也不容易计算，所以之通过有限的几点而获取三角函数的图形一般是不可能的。
（四）缺乏综合应用的能力
三角函数的复杂性，要求学生在学习的过程中整合单个知识点，将其联系以便理解；另一方面，三角函数有较多公式而且富于变化，学生很难完全理解或掌握，所以更要求教师采取科学合理的策略引导学生充分理解和掌握。
二、高中数学三角函数的教学策略分析
三角函数章节知识是高中数学学科知识体系中的一项重要的组成部分，也是高考的重要内容之一。所以，教师应依据考试大纲的要求和新课程标准，普遍结合学生学习与认知的特点等，制定教学计划，实施科学有效的教学策略，不断提高高中数学的教学效率与质量。
（一）灵活运用多媒体等科学技术，激发学生的学习兴趣
随着我国科技的不断发展与进步，科技产品给课堂教学也带来了更多的便捷。而数学的基本特征与本质就表现为基本概念，所以高中数学教师应灵活改变教学方法，提升学生对基本概念的理解能力，强化其对抽象内容的概括能力。
（二）有效进行情境创设，培养学生的探究能力
三角函数的相关知识内容，其实与我们的生活都有着密切而广泛的关联，因此高中数学教师在进行三角函数的教学时，可以充分应用三角函数生活性特点，在符合其知识内容的基础上，创设与实际生活密切关联的情境，引导学生主动参与课堂教学与学习之中，良好进行感知，产生强烈的探究与求职的欲望。
例如：为将三角函数的图像性质更好的传授于学生，引导学生主动参与学习过程，提升其探究能动性，教师就可以在新知识的教学之前，良好的将本节课的知识点内容和实际生活中的问题结合，创设一定的教学情境，设置如下问题：
假设其为半径2米的风车，每隔12秒旋转一周，其最低点O距离地面0.5米，风车圆周上的一点A从O开始，其运动t（s）后，与地面的距离设为h（m）。那么（1）函数h=f（t）关系式如何？（2）你能画出函数h=f（t）的图像么？
在这样的问题性教学情境的创设之下，加之教师的鼓励性语言，以及生活情境的感触，就会很容易激发学生的学习兴趣，充分发挥其内心想要学习的情感，探究欲望也得到了明显的加强。在充分调动学生学习的积极性、主动性及探究性的情况下，其内在能动性会促使学生积极参与进教师的整体教学活动之中，有利于其分析、解决问题能力的提高。
（三）教师应引导学生全面实现对三角函数知识的掌握
数学知识之间是彼此相联系的，因此三角函数的教学中，教师必须持有整体观念，将三角函数置于更宽阔的知识框架之中，灵活运用多样化的教学方法，结合新课标的要求和学生的学习特点进行创新教学方案的制定，引导学生充分认识三角函数与非三角函数的联系，以便更加全面、具体的对三角函数的概念与知识等形成良好的理解与掌握。
（四）以综合练习强化反省抽象能力
高中数学教师应重视通过综合练习强化学生的反省抽象能力引导学生对三角函数充分认识，了解三角函数如sin等并不只是一个简单的运算符号，而应将其作为一个整体的概念来掌握，也只有这样才能真正了解三角函数的内行，才能为三角函数之后的变形与公式推导奠定基础。高中数学教师应充分利用课堂教学的时间与空间，强化学生对三角函数概念的抽象概括及综合运用能力等。
此外，综合分析的方法也是解答三角函数问题的有效方法之一。因为，数形结合思想也是常用的一种基本数学思想，因此教师可引导学生在解答数学题时，综合分析并运用所学过的所有可以用到的数学知识，将其有机结合，有效解答三角函数问题。
三、结语
总而言之，三角函数知识作为高中数学知识体系的重要构成内容之一，其有效教学策略还需要进一步的思考与探究。在新课程改革与素质教育理念的指导下，高度重视学生在三角函数学习时遇到的问题与难点，切合实际的采取科学的三角函数教学策略，对提高高中数学的教学效率与质量都有十分重要的现实意义，值得引起广大教育工作者的关注与重视。
参考文献：
[1]葛长松.高中数学三角函数教学实例分析[J]，数理化学习（高中版），2012（11）：46-47.
关键词：情境创设；问题转化；数形结合
同角三角函数基本关系式是学习三角函数定义后，安排的一节继续深入学习三角函数知识的教学内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在整套教材中起到承上启下的作用。同时，在整个教学过程中所体现的思想与方法在整个中学数学学习中起到重要的作用。
这个阶段，教师所教授的知识学生从认知角度上看，已经比较熟练地掌握了三角函数定义的推导方法，但从教学过程上看，学生对数形结合、猜想证明都只局限在初步了解的基础之上，并且从学习能力上看，学生主动学习、探究的能力尚且比较薄弱。所以，在中职数学教材第一册中学习三角函数基本关系式时，要求学生通过单位圆的概念来推导、证明、理解三角函数的平方关系和商数关系会有一定的困难。因此，教师应该紧紧抓住三角函数的定义，再结合勾股定理去帮助学生推导、证明、理解三角函数基本关系式，同时反过来帮助学生去理解单位圆的概念。教师通过问题的转化，把学生不熟悉的问题转化成能让他们运用已有知识去解决的问题，使得学生能快速、高效地理解、掌握新的知识要点。
本节新课的主要教学目标是让学生掌握公式的推导过程，达到掌握熟记同角三角函数基本关系式的目的，在整个教学过程中可以采用启发式和探究式相结合的教学方法。
一、教师可以通过创设问题情境，让学生从熟悉的知识环境着手，通过简单的求值过程去归纳、总结、猜想结论
例如，创设问题情境，从学生熟悉的知识入手，引出新的教学内容。
（1）求值：sin230°+cos230°=1，sin245°+cos245°=1，sin260°+cos260°=1，sin290°+cos290°=1。
引导学生猜想结论：sin2α+cos2α=1。
（2）求值：
运用已经掌握的知识去探索未知的知识内容，并通过归纳、总结得到相对应的结论，在这样的探究过程中不但培养了学生积极参与、大胆探索的精神，而且让学生通过自主学习，体验学习的成就感，培养了学生学习数学的兴趣和信心。
二、在教师的引导下，学生对自己探索的结论进行严格的证明，并得到相应的结论，肯定了在此之前所作的猜想，能加深对本节课主要学习内容的理解
在这个环节中，教师可以在教学准备阶段对学生情况先进行学情分析，思考一下是否大部分学生能较容易地去理解运用单位圆的概念来假设、推理，如果觉得学生现有的知识水平不能支撑本节课的教学过程达到预期的教学要求，那么按照书本上的方法去推导同角三角函数基本关系式是不容易被学生理解和掌握的。因此，授课教师可以把解决问题的方法进行大胆的创新，从三角函数的定义出发，结合直角三角形的边角关系以及勾股定理，通过简单的数形结合去推导、证明。方法的转变，不仅使同角三角函数基本关系式的推导过程容易被学生理解，而且更进一步地提高了学生用数形结合思想处理数学问题的能力。在解决问题的同时，还反过来帮助学生去理解单位圆的概念，回归课本，从课本内容角度出发，引导学生再次推理，达到对知识的巩固和强化。
三、通过引导学生对结论的思考，授课教师需要强调学生对同角三角函数关系式中对于“同角”含义的理解，进一步突出了“整体思想”在解决数学问题中的重要性
关键词：数学思维；三角函数；数学思维品质；培养
思维的灵活性指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。学生思维的灵活性主要表现于：（1）思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。（2）思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。（3）思维迁移的灵活：能举一反三，触类旁通。
如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？我在教学三角函数中作了一些探索：
一.以“发散思维”的培养提高思维灵活性
在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。所以，作为高中数学老师，我们必须注重对学生发散思维的培养，我认为可以从以下几个方面着手：
1.引导学生对问题的解法进行发散；在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。
通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：（1）统一函数种类；（2）统一角度；（3）统一运算。一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
2.引导学生对问题的结论进行发散；对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论.让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。
二.以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的培养
由于思维的各种品质是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体中，所以，思维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的提高，下面就思维品质中一些性质谈点感悟。
思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指是否善于从事物的现象中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。 方程sinx=lgx的解有（ ）个。学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无措。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组 的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图家交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质，在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之地。
学生对结论的可靠程度进行怀疑，在独立分析的基础上，灵活运用三角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围，严密论证了三角函数值取值的可能性。
几年来，我所教学生在经过有目的的培养后，思维品质都有了很大的提高，
学生的学习质量也有了很大提高。随着课程教材改革的推进，突出思维品质的培养已成为广大教师和教育工作者的共识。我将继续探索下去，以求获得更多的教育理论与教育方法。
参考文献：
[1]《中学生学习心理学》 编写组著 广东高等教育出版社.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分．1．sin30°的值是（） A． B． C． D． 12．抛物线y=﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（） A． （﹣2，3） B ． （2，3） C． （2，﹣3） D． （﹣2，﹣3）3．若反比例函数y= ，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（） A． k＞﹣2 B． k＜﹣2 C ． k＞2 D． k＜24．在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（） A． B． C． 2 D． 5．如图，点D在ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断ADB与ABC相似的是（） A． ∠ABD=∠C B． ∠ADB=∠ABC C． BC2=CD•AC D． AB2=AD•AC6．在RtABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，则AC的长是（） A． 3 B． 4 C． 6 D． 87．反比例函数y= 的图象如图所示，则二次函数y=x2﹣kx+k的大致图象是（） A． B． C． D． 8．如图，菱形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，连接CE，CF，EF，若四边形ABCD的面积是40cm2，则CEF的面积为（） A． 5cm2 B． 10cm2 C． 15cm2 D． 20cm29．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中：①ac＞0；②2a+b=0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的是（） A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②③④10．如图，在等边ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB﹣BC的方向向点C移动，若APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（） A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．请写一个二次函数，使它满足下列条件：（1）函数的图象可由抛物线y=x2平移得到；（2）当x＞1时，y随x的增大而增大．你的结果是．12．如图，点A是反比例函数y= 图象上的一点，过点A作ABx轴于点B，连接OA，若OAB的面积为3，则k的值为． 13． 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i=3：4，坝高BC=4.5m，则坡面AB的长度为m． 14．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①BGDE；② ；③BCG∽EFO；④ ．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：2﹣2﹣ cos60°﹣2sin45°+|1﹣ |．16．已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是直线x=﹣1，且经过点（2，﹣3），求这个二次函数的表达式．
四、（本大题共2小题 ，每小题8分，满分16分）17．如图 ，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：（1）以图中的点O为位似中心，将ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到A1B1C1；（2）若ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是． 18．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B在第一象限内，如图所示，且OA=a，OC=b．请根据下列操作，完成后面的问题．【操作】（1）连接AC，OB相交于点P1，则点P1的纵坐标为；（2）过点P1作P1Dx轴于点D，连接BD交AC于点P2，则点P2的纵坐标为；（3）过点P2作P2Ex轴于点E，连接BE交AC于点P3，则点P3的纵坐标为；…【问题】（1）过点P3作P3Fx轴于点F，连接BF交AC于点P4，直接写出点P4的纵坐标；（2）按照上述操作进行下去，猜想点Pn（n为正整数）的纵坐标是．（用含n的代数式表示）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度（精确到1m）；（参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）． 20．如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8．（1）求sin∠ABD．（2）扬扬发现∠ABC=2∠ABD，于是她推测：sin∠ABC=2sin∠ABD，它的推测正确吗？请通过本题图形中的数据予以说明．
六、（本题满分12分）21．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（3，2）和B（﹣1，n）．（1）试确定反比例函数与一次函数表达式；（2）求OAB的面积S；（3）结合图象，直接写出函数值 ＜ax+b时，自变量x的取值范围．
七、（本题满分12分）22．“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图：（1）求每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式；（2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w？利润是多少？
八、（本题满分14分）23．如图①在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A．B重合），分别连接ED．EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．【试题再现】如图②，在ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作ADDE于点D，BEDE于点E．求证：ADC∽CEB．【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；【深入探究】如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作ABAD于点A，交BC于点B．（1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点；（2）若AD=3，BC=5，试求AB的长；一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分．1．sin30°的值是（） A． B． C． D． 1考点： 特殊角的三角函数值． 分析： 直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．解答： 解：sin30°= ．故选：A．点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．2．抛物线y=﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（） A． （﹣2，3） B． （2，3） C． （2，﹣3） D． （﹣2，﹣3）考点： 二次函数的性质． 分析： 直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．解答： 解：抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+3，其顶点坐标为（2，3）．故选B．点评： 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．3．若反比例函数y= ，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（） A． k＞﹣2 B． k＜﹣2 C． k＞2 D． k＜2考点： 反比例函数的性质．分析： 根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．解答： 解：反比例函数y= ，当x＜0时y随x的增大而增大，k+2＜0，解得k＜﹣2．故选：B．点评： 本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y= ，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．4．在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（） A． B． C． 2 D． 考点： 锐角三角函数的定义． 专题： 网格型．分析： 根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．解答： 解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选C． 点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．5．如图，点D在ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断ADB与ABC相似的是（） A． ∠ABD=∠C B． ∠ADB=∠ABC C． BC2=CD•AC D． AB2=AD•AC考点： 相似三角形的判定． 分析： 由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得C与D正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得B正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解答： 解：∠A是公共角，当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，ADB∽ABC（有两角对应相等的三角形相似）；故A与B正确；当 = ，即AB2=AC•AD时，ADB∽ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；故D正确；当 = ，即BC2=CD•AC时，∠A不是夹角，故不能判定ADB与ABC相似，故C错误．故选C．点评： 此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．6．在RtABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，则AC的长是（） A． 3 B． 4 C． 6 D． 8考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理． 分析： 根据锐角三角函数正切等于对边比邻边，可得BC与AC的关系，根据勾股定理，可得AC的长．解答： 解：由tanA= = ，得BC=3x，CA=4x，由勾股定理，得BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，解得x=2，AC=4x=4×2=8．故选：D．点评： 本题考查了锐角三角函数，利用了锐角三角函数正切等于对边比邻边，还利用了勾股定理．7．反比例函数y= 的图象如图所示，则二次函数y=x2﹣kx+k的大致图象是（） A． B． C． D． 考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象． 分析： 根据反比例函数图象判断出k＜0，然后确定出抛物线的对称轴和开口方向以及与y轴的交点，再选择答案即可．解答： 解：反比例函数y= 的图象位于第二四象限，k＜0，二次函数图象开口向上，二次函数图象的对称轴为直线x=﹣ = k＜0，x=0时，y=k＜0，所以，二次函数图象与y轴的负半轴相交，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．点评： 本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟练掌握两函数图象的特征并确定出k的取值是解题的关键．8．如图，菱形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，连接CE，CF，EF，若四边形ABCD的面积是40cm2，则CEF的面积为（） A． 5cm2 B． 10cm2 C． 15cm2 D． 20cm2考点： 菱形的性质． 分析： 如图，作辅助线；证明ACBD，AO=CO（设为λ）；证明EF= BD，AOEF；由ABD∽AEF，得到 =2，进而得到CM=1.5λ；运用面积公式即可解决问题．解答： 解：如图，连接AC，分别交EF、BD于点M、O；四边形ABCD为菱形，ACBD，AO=CO（设 为λ）；点E，F分别是边AB，AD的中点，EF为ABD的中位线，EF∥BD，EF= BD，AOEF；ABD∽AEF， =2，OM= OA=0.5λ，CM=1.5λ， ，SABCD=40，SEFC=15（cm2）．故选C． 点评： 该题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用菱形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定等知识点来分析、解答．9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中：①ac＞0；②2a+b=0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的是（） A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②③④考点： 二次函数图象与系数的关系． 分析： 由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线与y轴交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称方程可对②进行判断；由抛物线与x轴的交点个数可对③进行判断；由于x=﹣1时函数值小于0，则可对④进行判断．解答： 解：抛物线开口向下，a＜0，抛物线与y轴交点位于y轴正半轴，c＞0，ac＜0，所以①错误；抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，b=﹣2a，即2a+b=0，所以②正确；抛物线与x轴有两个不同的交点，b2﹣4ac＞0，所以③正确；x=﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0，所以④错误．故选B．点评： 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开 口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由决定：=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．如图，在等边ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向 点C移动，同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB﹣BC的方向向点C移动，若APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（） A． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象． 分析： 当0≤t≤2和2＜t≤4时，分别求出函数解析式，根据函数的性质分析即可得出结论．解答： 解：当0≤t≤2时，S= ，此函数抛物线开口向上，且函数图象为抛物 线右侧的一部分；当2＜t≤4时，S= ，此函数图象是直线的一部分，且S随t的增大而减小．所以符合题意的函数图象只有C．故选：C．点评： 本题主要考查了动点问题的函数图形，分段讨论，求出函数表达式是解决问题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．请写一个二次函数，使它满足下列条件：（1）函数的图象可由抛物线y=x2平移得到；（2）当x＞1时，y随x的增大而增大．你的结果是y=x2﹣2x或y=x2﹣x．考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 开放型．分析： 可由抛物线y=x2平移得到的抛物线解析式中二次项系数是1；当x＞1时，y随x的增大而增大，则对称轴小于1．解答： 解：函数的图象可由抛物线y=x2平移得到，当x＞1时，y随x的增大而增大，该函数的解析式为y=x2﹣2x或y=x2﹣x．故答案是：y=x2﹣2x或y=x2﹣x．点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换．注意，根据（2）可以得到对称轴小于1是解题的难点．12．如图，点A是反比例函数y= 图象上的一点，过点A作ABx轴于点B，连接OA，若OAB的面积为3，则k的值为6． 考点： 反比例函数系数k的几何意义． 分析： 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= |k|．解答： 解：根据题意可知：SAOB= |k|=3，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=6．故答案为：6．点评： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是2015届中考的重要考点，同学们应高度关注．13． 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i=3：4，坝高BC=4.5m，则坡面AB的长度为7.5m． 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析： 在RtABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答： 解：在RtABC中，BC=4.5米，tanA=3：4；AC=BC÷tanA=6米，AB= =7.5米．故答案为：7.5．点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．14．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①BGDE；② ；③BCG∽EFO；④ ． 其中正确结论的序号是①③④．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 分析： 延长BG交DE于点H由四边形ABCD、CEFG都是正方形，得到BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，通过BCG≌DCE，可证得①正确；由EF∥CD，证得DGO∽DCE，可得 ，而不是 ，②错误；由∠F=∠BCD=90°，∠CBG=∠CDE=∠FEO，得到BCG∽EFO，故③正确；根据EFO∽DGO，即可得到结果（a﹣b） 2SEFO=b2SDGO，故④正确．解答： 证明：延长BG交D E于点H．四边形ABCD、CEFG都是正方形，BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，在BCG和DCE中， ，BCG≌DCE（SAS），∠CDE=∠CBG，∠DGH=∠BGC，∠BCG=DHG=90°，即BGDE，故①正确；EF∥CD，∠GDE=∠FEO，∠F∠DCE=90°，DGO∽DCE， ，而不是 ，故②错误；∠F=∠BCD=90°，∠CBG=∠CDE=∠FEO，BCG∽EFO，故③正确；EFO∽DGO， = = ，（a﹣b）2SEFO=b2SDGO，故④正确．故答案为：①③④． 点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：2﹣2﹣ cos60°﹣2sin45°+|1﹣ |．考点： 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二、三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解答： 解：原式= ﹣ × ﹣2× + ﹣1= ﹣ ﹣ + +1=1．点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是直线x=﹣1，且经过点（2，﹣3），求这个二次函数的表达式．考点： 待定系数法求二次函数解析式． 分析： 由抛物线的一般形式可知：a=﹣1，由对称轴方程x=﹣ ，可得一个等式﹣ ①，然后将点（2，﹣3）代入y=﹣x2+bx+c即可得到等式﹣4+2b+c=﹣3②，然后将①②联立方程组解答即可．解答： 解：根据题意，得： ，解得 ，所求函数表达式为y=﹣x2﹣2x+5．点评： 此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是：熟练掌握待定系数法及对称轴表达式x=﹣ ．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：（1）以图中的点O为位似中心，将ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到A1B1C1；（2）若ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是（2a，2b）． 考点： 作图-位似变换． 分析： （1）由以图中的点O为位似中心，将ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，可得A1B1C1的坐标，继而画出A1B1C1；（2）由（1）可得A1B1C1与ABC的位似比为2：1，继而可求得位似变化后对应的点P′的坐标．解答： 解：（1）如图：（2）以点O为位似中心，将ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，且ABC内一点P的坐标为（a，b），位似变化后对应的点P′的坐标是：（2a，2b）．故答案为：（2a，2b）． 点评： 此题考查了位似图形的性质与位似变换．此题难度不大，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键．18．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B在第一象限内，如图所示，且OA=a，OC=b．请根据下列操作，完成后面的问题．【操作】（1）连接AC，OB相交于点P1，则点P1的纵坐标为 a；（2）过点P1作P1Dx轴于点D，连接BD交AC于点P2，则点P2的纵坐标为 a；（3）过点P2作P2Ex轴于点E，连接BE交AC于点P3，则点P3的纵坐标为 a；…【问题】（1）过点P3作P3Fx轴于点F，连接BF交AC于点P4，直接写出点P4的纵坐标；（2）按照上述操作进行下去，猜想点Pn（n为正整数）的纵坐标是 ．（用含n的代数式表示） 考点： 四边形综合题． 分析： 【操作】（1）由矩形的性质得出∠AOC=90°，OA=BC，OA∥BC，P1A=P1C= AC，P1O=P1B= OB，证出P1D是AOC的中位线，得出P1D= OA= a即可；（2）由平行线得出DP1P2∽BCP2，得出对应边成比例 = ，求出P2E即可；（3）同（2），即可得出结果；【问题】（1）由【操作】（1）（2）（3）得出规律，即可得出结果；（2）由以上得出规律，即可得出结果．解答： 解：【操作】（1）四边形OABC是矩形，∠AOC=90°，OA=BC=a，OA∥BC，P1A=P1C= AC，P1O=P1B= OB，P1Dx轴，P1D∥AO，P1D是AOC的中位线，P1D= OA= a，点P1的纵坐标为 a；故答案为： a；（2）P1D∥OA，OA∥BC，P1D∥BC，DP1P2∽BCP2， = ，P1Dx轴，P2Ex轴，P2E∥P1 D， = ，P2E= × a= a，点P2的纵坐标为 a；故答案为： a；（3）同（2）可得：点P3的纵坐标为 a；故答案为： a；【问题】（1）由：【操作】（1）（2）（3）得出规律，点P4的纵坐标为 a；（2）由以上得出规律：点Pn（n为正整数）的纵坐标是 ；故答案为： ．点评： 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；本题有一定难度，综合性强，需要运用三角形中位线定理和三角形相似才能得出结果，得出规律．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度（精确到1m）；（参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）． 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： （1）先根据平行线的性质得出∠ADB=69°，再由tan69°= 即可得出结论；（2）先根据平行线的性质得出∠ACF=30°，由tan30°= 得出AF的长，故可得出BF的长，进而得出结论．解答： 解：（1）AE∥BD，∠EAD=69°，在RtABD中，∠ADB=69°，tan69°= ，BD= ．BD≈ ≈30（m）；（2）过点C作CFAB于点F，在RtACF中，∠ACF=30°，CF=BD≈30，AF∥CF，∠EAC=30°，∠ACF=30°．tan30°= ，AF=CF•tan30°=30× ，CD=BF=80﹣10 （m）． 点评： 本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．20．如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8．（1）求sin∠ABD．（2）扬扬发现∠ABC=2∠ABD，于是她推测：sin∠ABC=2sin∠ABD，它的推测正确吗？请通过本题图形中的数据予以说明． 考点： 菱形的性质；勾股定理；解直角三角形． 分析： （1）由菱形的性质可得ACBD，AO=3，BO=4，ABO是直角三角形，再利用勾股定理可得到AB=5，再利用正弦的定义即可求得sin∠ABD的值；（2）作AEBC，构筑直角三角形ABE，利用平行四边形的面积求得AE的长度，再在直角三角形ABE中，利用正弦的定义即可求得sin∠ABC，从而可证sin∠ABC与2sin∠ABD不相等．解答： 解：（1）设AC、BD交于点O，则AOBO，AO=3，BO=4，根据勾股定理得 ，sin∠ABD= ．（2）不正确．理由：如图，作AEBC，垂足为E，菱形ABCD的面积= ，即 ，得 ，所以 ．由（1）得sin∠ABD= ，2sin∠ABD=2× = ≠sin∠ABC，即扬扬的推测不正确． 点评： 本题主要考查菱形的性质，面积公式及锐角三角函数中正弦的定义，掌握好菱形的性质和正弦定义是解题的关键．六、（本题满分12分）21．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（3，2）和B（﹣1，n）．（1）试确定反比例函数与一次函数表达式；（2）求OAB的面积S；（3）结合图象，直接写出函数值 ＜ax+b时，自变量x的取值范围． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题： 数形结合．分析： （1）把点点A的坐标代入y= 就可求出反比例函数表达式，然后把点B的坐标代入反比例函数表达式，就可求出点B的坐标，然后把A、B两点的坐标代入y=ax+b，就可求出一次函数表达式；（2）设一次函数y=2x﹣4的图象与y轴交点为C，运用割补法将SOAB转化为SOAC+SOBC，只需求出OC长就可解决问题；（3）运用数形结合的思想，结合图象就可解决问题．解答： 解：（1）点A（3，2）在y= 的图象上，2= ，解得：k=6，反比例函数表达式为y= ；点B（﹣1，n）在y= 的图象上，n= =﹣6，根据题意，得 ，解得： ，一次函数表达式为y=2x﹣4；（2）设一次函数y=2x﹣4的图象与y轴交点为C，当x=0时，y=0﹣4=﹣4，则点C坐标为（0，﹣4），SOAB=SOAC+SOBC= ×4×3+ ×4×1=8；OAB的面积为8；（3）结合图象可得：当﹣1＜x＜0或x＞3时，函数值 ＜ax+b． 点评： 本题考查的是有关反比例函数与一次函数交点问题，在解决问题的过程中，用到待定系数法、割补法等重要的数学方法，还用到数形结合的思想，突出了对数学思想方法的考查，是一道好题．七、（本题满分12分）22．“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图：（1）求每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式；（2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w？利润是多少？ 考点： 二次函数的应用． 分析： （1）分别利用当20≤x≤40时，设y=ax+b，当40＜x≤ 60时，设y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用（1）中所求进而得出w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，进而求出函数最值．解答： 解：（1）分两种情况：当20≤x≤40时，设y=ax+b，根据题意，得 ，解得 ，故y=x+20；当40＜x≤60时，设y=mx+n，根据题意，得 ，解得 ，故y=﹣2x+140；故每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式是：y= ．（2）w= ，当20≤x≤40时，w=x2﹣400，由于1＞0抛物线开口向上，且x＞0时w随x的增大而增大，又20≤x≤40，因此当x=40时，w值=402﹣400=1200；当40＜x≤60时，w=﹣2x2+180x﹣2800=﹣2（x﹣45）2+1250，由于﹣2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60，所以当x=45时，w值=1250．综上所述，当当x=45时，w值=1250．点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，利用分段函数求出是解题关键．八、（本题满分14分）23．如图①在四 边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A．B重合），分别连接ED．EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．【试题再现】如图②，在ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作ADDE于点D，BEDE于点E．求证：ADC∽CEB．【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；【深入探究】如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作ABAD于点A，交BC于点B．（1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点；（2）若AD=3，BC=5，试求AB的长； 考点： 相似形综合题． 分析： 【试题再现】根据已知条件证得∠BCE=∠CAD，由∠ADC=∠CEB=90°，于是得到ADC∽CEB．【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．由∠DEC=40°，得到∠DEA+∠CEB=140°；根据∠A=40°，得到∠ADE+∠AED=140°，于是得到∠ADE=∠CEB，推出ADE∽BEC，同时得到结论；【深入探究】（1）根据AD∥BC，得到∠ADC+∠BCD=180°，由于DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，于是得到∠CDP+∠DCP= （∠ADC+∠BCD）=90°，由于∠DPC=∠A=∠B=90°，∠ADP=∠CDP，有一定的ADP∽PDC，同理BPC∽PDC，即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．（2）过点P作PEDC于点E，过点D作DFBC于点F，则四边形ABFD是矩形，得到DF=AB，推出ADP≌EDP，得到AD=DE，同理CBP≌CEP，得到BC=EC，于是得到DC=AD+BC=8．在RtCDF中，CF=BC﹣BF=BC﹣AD=5﹣3=2，由勾股定理，得DF= ，即可得到结论．解答： 解答：【试题再现】∠ACB=90°，∠ACD+∠BCE=90°，ADDE，∠ACD+∠CAD=90°，∠BCE=∠CAD，∠ADC=∠CEB=90°，ADC∽CEB．【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由如下：∠DEC=40°，∠DEA+∠ CEB=140°；∠A=40°，∠ADE+∠AED=140°，∠ADE=∠CEB，ADE∽BEC，E点是四边形ABCD的边AB上的相似点．【深入探究】（1）AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180°，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，∠CDP+∠DCP= （∠ADC+∠BCD）=90°，DAAB，CBAB，∠DPC=∠A=∠B=90°，∠ADP=∠CDP，ADP∽PDC，同理BPC∽PDC，ADP∽PDC∽BPC，即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．（2）过点P作PEDC于点E，过点D作DFBC于点F，则四边形ABFD是矩形，DF=AB，在ADP与EDP中， ADP≌EDP，AD=DE，同理CBP≌CEP，BC=EC，DC=AD+BC=8．在RtCDF中，CF=BC﹣BF=BC﹣AD=5﹣3=2，由勾股定理，得DF= ，AB=2 ． 点评： 本题考查了相似形综合题，主要利用了相似三角形对应边成比例，矩形的对边平行且相等的性质，读懂题目信息，理解四边形边上的相似点与强相似点的定义并根据图形确定出相似三角形，准确找出对应边是解题的关键．
一、创设情境，引入课题
同学们对三角板都非常熟悉，经常用到，三角板中有许多数学问题同学们知道吗?这节课老师特制了一个三角板，通过它的旋转将展现很多数学问题(几何画板演示)，引入课题。
设计意图：通过学生熟悉的三角板人手，利用特制三角板的旋转将提出许多数学问题。留下悬念，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣。
二、展示基本图形，复习基础知识和基本技能
已知：如图1，在ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3。
(1)你可以得到哪些结论?
结论有：AB＝5，∠A+∠B＝90°，AC2＋BC2＝AB2；
sinA＝3／5，cosA＝4／5，tanA＝3／4；也可以求出∠B的三角函数值等等。
设计意图：此题为开放题，主要是想复习勾股定理和锐角三角函数知识。
学生想到三角函数值不多，课后觉得问题改为“求出AB的长以及你可以得到哪些三角函数值?”。这样设计目标明确，学生容易着手。
(2)如图2，若作CD上AB于D，有哪些锐角相等?并求出CD的长。
设计意图：复习直角三角形作斜边上的高后的两对锐角相等以及利用三角形的面积公式求斜边上的高。
(3)如图3，若CD是斜边AB上的中线，有哪些线段相等，哪些角相等?
设计意图：复习直角三角形斜边上的中线的性质。
课后反思：上了这节课之后，觉得以上的复习是十分必要的，为下面探索三角形旋转问题打下良好的基础，是知识的储备部分。
三、三角形旋转问题的探索(以下探索都利用几何画板展示)
3.1基础知识的探索：
已知：如图4。ABC与ABC完全重合，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
ABC绕点C顺时针旋转α度(0
探索一：如图5，当CD上AB时，图中哪些角与∠A相等?图中有哪些三角形是等腰三角形?
探索二：如图6，当D为AB中点时，有哪些三角形与ABC相似?
设计意图与课后感想：运用基本图形和基础知识来解决以上两个探索，利用以上两个探索进行热身活动，熟悉三角形旋转变化的多样性。由于前面基本图形的有关知识作铺垫，大部分学生能回答。这样的设计能让学生感受到三角形旋转问题也不是很难，有利于提高学生的自信心。
3.2 等腰三角形的探索：探索三：在旋转过程中，当BCD为等腰三角形时，求此时BD的长。
当BD＝BC＝3时，BCD为等腰三角形；
当BD＝CD时，BCD为等腰三角形，此时D为AB中点，所以BD＝5／2
当BC＝CD时，BCD为等腰三角形，作CG上AB于G(如图7)，则CG＝12／5，所以BG＝9／5，BD＝2BG＝18／5。
设计意图与课后感想：考查学生分析问题和解决问题的能力，
学会运用分类讨论思想，等腰三角形一般分3类讨论：可以分边或角讨论，此题利用边进行3种讨论。学生能够想出1、2种答案，回答完整不多。此题可以体现出学生之间的能力差异，让学有余力的学生感受到解题成功后的那种成就感和幸福感，让其他学生感受到自己也能想出1、2种情况，也不差，还行，还需努力。
3.3 相似三角形的探索：探索四：在旋转过程中，是否存在点D，使BCD与B'CE相似?若存在，求此时BID的长；若不存在，请说明理由。
∠B＝∠B，∠BDC>∠ACD
只有当∠ACD＝∠BCD＝45。时，BCD∽BCE。
作DMBC于M(如图8)
设BD＝x
则BM＝BD cosB＝3／5，DM＝BD sinB＝4／5x
CM＝DM＝4／5x
BC＝7／5，x=3
BD＝x＝15／7设计思路：在BCD与BCE中，已知
∠B＝∠B，所以只要再找一对角相等即可使BCD与BCE相似。这样就可以分两类讨论：
①当∠ACD＝∠BDC时(由于∠BDC>∠ACD，所以此时不可能)
②当∠ACD＝∠BCD时，BCD∽BCE。
也是运用了分类讨论思想。求BD时，BD不能直接求得，应设BD＝x，然后建立方程，再求出x，运用了方程的思想；此题还利用了三角形的高线这种常用辅助线。
探索五：在旋转过程中，是否存在点D，使BCD与ACE相似?请说明理由。
由于∠BCD＝∠ACE，所以分两类讨论：
①当∠B＝∠A时(由于∠B>∠A＝∠A，所以此时不可能)
②当∠BDC＝∠A时(由于∠BDC>∠A＝∠A，所以此时也不可能)
所以BCD与ACE不可能相似。
课后感想：以上两个都是有关相似三角形的探索，一个是存在，而另一个是不存在，通过学生之间的合作交流，教师的引导，学生能够认识到两个探索的思想方法是一致的，都是运用了分类讨论思想，这两个探索都是利用角进行讨论；教师及时给予点拨，有些题目要利用边进行讨论。使学生认识到通过分类讨论可以把复杂问题简单化，然后利用基本图形和基础知识解决问题。
四、作业：
请同学们回去思考以下几个探索：
探索六：在旋转过程中，当ACE为等腰三角形时，求此时CE的长。
探索七：在旋转过程中，把BCD与ACE都分割成两个三角形，使BCD分割成的两个三角形分别与ACE分割成的两个三角形相似(用两种方法分割)。
探索八：在旋转过程中，设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式。
设计意图：巩固与提高。
【关键词】 建构；主体参与；教学模式
【中图分类号】G62.02 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）15-0-02
1 “主体参与”教学模式的理论依据及现实意义
美国著名心理学家布鲁纳说：“学习者不应是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程中的主动参与者”.《普通高中数学课程标准（实验）》强调在高中数学教学活动中的师生互动，明确指出“必须关注学生的主体参与，师生互动”，进行在教师指导或引导下的“数学化”过程，“再创造”过程.基于此，我们提出了“主体参与”数学课堂教学模式.
“主体参与”数学课堂教学的基本思路是：把教学过程设计成学生对知识的再发现、再创造的过程，在整个过程中体现以学生的发展为本的思想，注意学生个性潜能的发展和自我价值的实现，使学生的情感、态度和价值取向随着对知识的认识、理解和掌握相生相长.
2 建构“主体参与”数学课堂教学模式应遵循的原则
（1）主体性原则：始终将学生作为学习主体，把学习的主动权还给学生，学生在教师这个课堂教学的设计者、组织者、引导者和学生学习的合作者的引导和组织下，通过学生自己看书、观察、比较、分析、抽象概括、推理等活动.
（2）平等性原则：以建立民主合作的师生关系为基础，在课堂教学中教师必须始终记住自己与学生的地位是平等的，与学生的活动是交互的.要为学生营造和谐愉快的教学环境，允许他们自由地开展讨论，争论或独立发表见解，提出与他人不同的意见，使他们在平等的学习中获得成功和自我表现的机会.
（3）全面参与性原则：它包括两个方面：其一，学生个体的全面参与性.其二，让学生的认知与情感共同参与，让学生动眼、动脑、动手，使多种感官综合参与活动，且让学生的参与贯穿于教学活动全过程之中.
（4）激励性原则：教师运用多种教学方法（包括教学媒体的使用）调动学生参与的积极性和主观能动性，对学生参与教学活动的行为和效果首先给予肯定评价，让学生感受到参与的乐趣及成功的喜悦，增强参与的信心和主动性.
3 实施“主体参与”数学课堂教学模式
（1）新课导入突出“趣”
课题的引入在整个教学中是关键，教师要善于创设“有趣的”教学情景，抓住学生的心理特征，将学生的注意力引到课题的内容上，让学生在学习新课开始时就有一个良好的学习境界，使整个教学过程有个良好开端.例如：在“等比数列的求和公式”教学时，我们可以设计如下问题作为背景：有一位商人和数学家谈生意，数学家对商人说：“我准备在一个月内每天给你10万元钱，但在这个月内每一天，你都给我回扣，第一天给我1元，第二天给我2元，以后每天的回扣是前一天的2倍，请你考虑一下，如果你愿意，我们就到公证处办理公证手续”.商人不假思索满口答应.请大家替数学家和商人算一下，谁得利？学生的想法和商人一样，这时教师可点明数学家大约能拿到5亿多元的回扣，学生肯定大吃一惊，产生认知上的冲突，迫切想了解所学内容，为新课讲授创造了心理准备.
（2）探求新知突出“思”
由于学生有着对新知识的渴求和对所提问题急于寻找答案的双重心情，这时教师可有目的地设置一系列带有针对性，难度适中，富于启发性的问题，充分发挥学生的主体性，倡导学生动手实践，自主探索与合作交流.
就以《诱导公式》教学为例，通过巧妙导入，学生对推出诱导公式有了较清晰的认识，通过学生自读，品味，分析，弄清知识的来龙去脉，自读完后，我让学生谈谈：任意的三角函数通过诱导公式（一）可转化为90°到360°角的三角函数，那么求任意角的三角函数是否已经解决了呢？若没有，你如何解决？一时教室里热闹非凡，同学们各抒己见.
生1：目前0°到90°的三角函数值可查表得出，90°到360°的三角函数值尚未解决.
师：如果同学们能够解决到这段空缺，那就可以完美地求出任意角的三有函数值，请讨论研究，是否有出路？
生2：既然任意角能转化为到的角求三角函数值，类似猜想：到的三角函数是否也能转化为锐角三角函数呢？
……学生研读教材……
师：很好！一般情况下是否有类似的规律呢？
生7：有，因为与的终边始终互为反各延长线，由定义知：
，.
通过以上一连串的提问设“思”，层层启发点拨，发挥学生的主体作用，倡导学生自主探索，合作交流，师生互动，教与学的过程一气呵成.最后，当学生在教师这个组织者、指导者、合作者和伴奏者的帮助下，得出正确结论，结束讨论时，教师应作好总结和评价，进行学习指导，或提出进一步的思考.如：在得出的正、余弦诱导公式后，可提出让学生再用同样的方法对，等类型进行探索.
（3）巩固练习突出“活”
巩固练习是教学过程中必须环节，让学生死记硬背或搞题海战术不利于调动学生积极性.数学与社会生活及其他学科紧密联系，教师应利用学生所熟知的背景，提出问题，学习致用.既能使学生获得牢固知识，又能引起学生兴趣，从而把知识学得“活”.例如：人教版高中必修1教材在“函数的表示方法”的课后习题中就设置了一个用分段函数表示个人所得税征收情况的题目，我想如果将它作为作业布置给学生，则不仅能巩固分段函数的概念，又能激起学生学习数学的兴趣.
（4）归纳小结突出“精”
课堂小结是教学的重要环节，它有利于学生促进内化，将所学知识纳入已有的认知结构中，这时教师要引导学生回忆、整理、归纳本节的内容.课堂教学结束前，留几分钟时间给学生自己回忆、整理、归纳，然后由学生用简练语言概括出来，不完全或错误的也由别的学生补充或纠正，从而把众多知识点学得“精”.
以上探索只是我在落实新课程标准理念教学中的一种尝试，希望它能起到抛砖引玉的作用，促使更多的理论研究者来探索新课标下的新型教学模式，从而进一步推进基础教育课程改革.
参考文献
