时间：2023-06-21 08:55:03
关键词：直角三角形；边角关系
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）04-244-01
直角三角形的边角关系，在现实世界中应用非常广泛。而锐角的三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，如测量距离、角度、高度等问题，特殊角30度、45度、60度角的三角函数值也是经常用到的，但许多学生在应用这些特殊角的三角函数值解决问题时，却总是出现记忆不牢靠或者张冠李戴的现象，如何让学生牢固并熟练掌握这些特殊角的三角函数值呢？我觉得可以从以下几个方面去加强。
一、引入图形，让学生建立清晰的第一印象
由于含30度、45度、60度的直角三角形三边之间有着特殊比例关系，因此，教学时为了便于学生理解和记忆，可以根据含这些特殊角的三角形的边角之间的关系，画出相应的图形，如30度角所对的直角边，所临的直角边，斜边之比为1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三边之比为1∶1∶√2，让学生自己独立完成这几个特殊角的三角函数值的求值过程，学生根据定义，便可得到各角的三角函数值，学生经历了特殊角的三角函数值的求值过程，由于图形的直观作用，必然会产生清晰的第一印象，方便了记忆。
二、利用三角函数的增减规律进行记忆
在直角三角形中，当锐角的度数一旦确定，它对应的正弦值、余弦值、正切值也随之确定，当锐角的度数发生变化，它的正弦值、余弦值、正切值也随之发生变化，为了帮助学生探索并理解随着锐角度数的增大或减小，它对应的正弦值、余弦值、正切值变化的规律，可设计有公共锐角顶点且一直角边有重叠，以及斜边相等的一系列直角三角形，通过图形，学生会直观的感受到，当锐角的度数逐渐增大，它所对的直角边也随之增大，它所邻的直角边则随之减小，所以会很自然地得出结论，正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大，用锐角三角函数的增减性，学生记忆这几个特殊角的三角函数值就会容易许多。
三、寻找数字规律巧妙记忆
在记忆30度、45度、60度角的三角函数值时，可引导学生通过比较，寻找数字规律，巧妙记忆，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次对应为：1即√1，√2，√3，而余弦值分子则分别是√3，√2，√1即1，分母也都是2。
四、利用互余两角正弦和余弦之间的关系，及同角三角函数之间的关系，通过比较与联系记忆。
关键词：三角函数 性质 应用
前言：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。在这部分内容中函数的图像和性质起着至关紧要的作用。下面我以正弦函数为例浅谈三角函数图像和性质的理解和简单应用。
一、通过图像分析正弦函数性质
1.在由正弦函数线做正弦函数曲线的过程中，明确了y=sinx的最小正周期为之后，常用作图方法即五点作图法画正弦函数曲线。所谓的五点本质上是图像的最高点、最低点以及函数图像和x轴的交点。在正弦函数中这五点分别是（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0），用圆滑的曲线把它们连接起来就可以得到正弦函数y=sinx一个周期的图像。然后再根据函数的周期性向左右两个方向再画几个周期的图像方便观察图像的规律。如下图：
2.通过分析正弦函数的图像特点，可以很容易得到正弦函数y=sinx的其它性质
（1）定义域
函数的图像是向左右两个方向无限延展的，所以正弦函数的定义域是。
（2）值域
函数图像呈波浪形，具有周期性。函数图像最高到达1，最低到达-1，并且函数图像是连续的，可以确定函数的值域是[-1，1]。从函数图像可以看出函数具有周期性，所以正弦函数有无数个极值点。距离y轴最近的最高点（，1）即当x=时，y取最大值1。根据正弦函数的周期性可以表示出取最大值时所有的x的取值，即当y=1时，x=+2kπ，k∈Z。同样的方法就可以写出函数取最小值即y=-1时，x=-+2k，k∈Z。
（3）对称轴
由正弦函数图像的最高点或者最低点向x轴做垂线就会发现函数的图像会关于垂线对称。也就是说正弦曲线有无数的对称轴，且相邻的两个对称轴的间距为π即对称周期为π。用一条距离y轴最近的对称轴x=做参考，根据对称轴的周期性得正弦曲线的对称轴x=+k，k∈Z，k的每一个取值对应一个对称轴。
（4）对称中心
由中心对称的定义，正弦曲线与x轴的交点都是它的对称中心，坐标可以统一表示为（kπ，0）k∈Z。因为坐标原点也是对称中心，所以正弦函数是奇函数。
（5）单调性
根据单调增函数图像上升和下降的特征规律，确定是正弦函数的一个单调增区间。把这个单调增区间向左右两个方向平行移动个单位它恰好和正弦函数的其它增区间完全重合。根据正弦函数增区间的规律可以表示出正弦函数所有的单调增区间 k∈Z，k的每一个取值就对应一个增区间。同样表示出正弦函数所有的单调减区间 k∈Z。
二、利用正弦函数的图像和性质解决有关y=Asin（ωx+φ）的问题
解三角函数不等式。
例题：已知f（x）=3sin（2x+），f（x）>6，求x的取值范围。
解析：由题目条件可知3sin（2x+） >6，即sin（2x+） >
用换元法令X=2x+，即可得到sinX>.结合正弦函数y=sinX的图像
找到sinX>对应的图像位于在直线y=的上方不包含于y=sinx的交点。先写
出距离y轴最近的一个区间
2.求三角函数单调区间
例题：已知函数f（x）=sinx+cosx，求函数f（x）的单调增区间。
解析：通过所学把函数f（x）变形f（x）=sinx+cosx=
所以f（x）=sin（x+）。我们令X= x+，函数变为f（x）=sinX。
根据正弦函数曲线可以得到距离y轴最近的一个增区间-
3.给定区间上三角函数的值域的问题
例题：已知函数f（x）=sinx（cosx-），求函数f（x）在的值域。
解析：首先化简函数f（x）=sinx（cosx-）=sin（2x+）-，
因为，所以，参照正弦函数的图像，
关键词： 中考数学 锐角三角函数 数学模型
1.问题的提出
“锐角三角函数”是北师大版九年级下册第一章的内容，甘肃地区考卷分值在12―16分，本知识点考查分为两类：第一类，特殊角的三角函数的识记；第二类，用三角函数解决现实生活中的问题.相比较初中所学的其他函数，三角函数相对简单，大部分同学对于第一类考题能轻易解答，少数同学出错主要在于对三角函数概念理解不到位，对锐角三角函数不能对号入座，第二类主要在于对实际问题没办法抽象为几何中直角三角形的有关问题.因此，针对中考试题研究分析，总结出三角函数知识点出题的特点和规律，期待能预测今后本知识点考查的方式.
2.研究方法
以14套中考题为研究对象，从题量分布，题型分布，所占分值，与其他知识点的联系，蕴含的数学思想方法，考察目的进行分析，期待能总结出考查的特点，规律，以及解答此类题的技巧，并能预测今后考查的方向.
3.研究结果的分析讨论
3.1题量分布，题型分布，所占分值.
从题量分布来看，14套中考题中，涉及本知识点的考题共有29道，2012年题量在1―2道，2013年有四套题都涉及了两题，兰州卷涉及3题，2014年3套试题涉及2题，兰州卷和通用卷都涉及3道，说明题量稳重有所增加.预测今后甘肃地区本知识点还是以两道题进行考查.
从题型分布来看，2013、2014两年10套卷子有9套卷子以计算题和解答题考查，2014年天水卷以解答题考查，2012年兰州卷和通用卷用计算题和解答题考查，其余2套卷子只是出现在解答题的某一问中考查.除此之外，近三年兰州卷都用选择题对本知识点进行了考查，2014年通用卷用填空题进行了考查.预测今后主要还是以计算题和解答题为主进行考查.
从所占分值来看，2012年分值在10到15分之间，2013年分值在13到18分之间，2012年分值在13到18分之间，预测今后所占分值在15分左右.
3.2两类重点题型的考查形式与解答技巧
第一类：计算题.
计算题是特殊角的三角函数和实数的运算，包括立方，开方，零次幂，负指数幂，绝对值，以及乘法运算结合起来考查，这类题很容易丢分，需要考生对以上知识点都要熟知，而且要仔细，不能眼高手低，对学生的要求比较高，建议做两遍保证得分.熟记特殊角的三角函数值.
对于实数的相关运算，涉及以下6个方面，具体见表1.
这类题考查锐角三角函数的实际应用，解此类问题时，往往需先将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型，再根据解直角三角形的有关知识进行求解，正确作出辅助线也是解题的关键，然后将题目中的信息转化为数学文字，并将所得信息转化为直角三角形的边和角，利用解直角三角形的方法进行求解.
解答题主要和以下知识点结合考查：（1）仰角俯角问题；（2）方位角问题；（3）坡度坡角问题；（4）测量问题等.
3.3蕴含数学思想与考查目的
（1）在探索直角三角形中边角之间关系，以及特殊角的三角函数的过程中，发展观察、分析、解决问题的能力.
（2）能够解决与直角三角形有关的实际问题，把实际问题转化为数学问题，形成模型思想，培养分析问题和解决问题的能力.
（3）体会数形之间的联系，学会利用数学结合，从特殊到一般，转化等数学思想分析和解决问题.
（4）在实际生活中，学会利用本知识点解决问题，培养学生的数学应用能力.
4.结语
三角函数是甘肃省中考必考内容之一，主要以计算题和解答题这两类题型为主，也可能在某一道解答题的某一问题来考查，分值在15分左右，题目难度适中.主要考查学生对特殊角三角函数的识记，以及三角函数的实际应用.今后还是以计算和解答两类题型为主进行考查，分值还是在15分左右，与我们的生活热点问题相结合.
参考文献：
关键词：数学概念；单位圆；三角函数
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式，是抽象化的空间形式和数量关系，是反映数学对象本质属性的思维形式。在高中数学的学习中，我们要涉及很多的数学概念，如“映射”“函数”“任意角三角函数”“单调性”“奇偶性”等等。在新课程的推进过程中，很多老师会在教学中利用探究性的教学方法，让学生进行探究，引导学生形成数学概念，但本人认为，并不是所有的概念都适合进行探究性学习的。接下来以“任意角的三角函数”为例进行分析。
“任意角的三角函数”教材中以初中所学的锐角三函数数为引入，要学生利用直角坐标系中角的终边上的坐标来表示锐角三角函数，进而转化到利用单位圆上点的坐标定义三角函数。可是在教学过程中，本人发现从长度到坐标的转化过程学生理解上存在困难，而且在知识点的迁移扩展上存在不清楚的问题。例如，以下教学过程：
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？
思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段OP的长r=1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示。那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数。
探究新知：
1.探究：结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？
显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了。所以。我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。
2.思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
（1）y叫做α的正弦（sine），记做sinα，即sinα=y；
（2）x叫做α的余弦（cossine），记做cosα，即cosα=x；
注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P（x，y），从而就必然能够最终算出三角函数值。
3.思考：如果知道角终边上一点，而这个点不是终边与单位圆的交点，该如何求它的三角函数值呢？
教学案例中通过对初中锐角三角函数的复习，针对新知识任意角如何求三角函数的问题进行提问探究，但是从长度到坐标的转变其实并不是那么的自然，显得有些牵强，学生此时也只是根据老师提示和教材上的内容进行学习，所以在这里进行的探究本人认为并不是特别必要。因为三角函数的概念其实应该是一个定义性质的概念，不存在探究的问题，利用单位坐标的定义才是其比较全面、完整的定义，而初中所学的锐角三角函数的定义其实是在所学知识有限的情况下所做的定义，并不是由锐角三角函数推广得到任意角的三教函数的，所以在这里，个人觉得直接给出任意角三角函数的定义，让学生与初中所学的锐角三角函数进行比较，发现其中的问题：在锐角的情况下，任意角三角函数所对应的坐标都可以用直角三角形的边长来进行代换，也就是说，初中所学的锐角三角函数其实是现在所学的任意角三角函数的一种特殊状况，而不是说任意三角函数是锐角三角函数的推广。
通过此例分析，本人认为，在概念的教学中，并不是说进行探研就一定是好的，更不能为了迎合新课程改革，为了探究而探究，做表面功夫，而忽略了学生学习认识的规律，这样往往看上去好看，但教学效率反而更低。所以在概念教学过程中，教师要根据所授内容的实际情况，结合学生学习认识的规律，加上教师对所授内容的理解，进行具体的教学策略选择。
参考文献：
[1]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论.北京师范大学出版社，2008-04.
[2]章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学.数学通报，2009（8）.
二次函数压轴题能考查综合运用知识的能力，具有知识点多、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活等特点，因此是中考数学的难点.不过，如果我们能在做习题的基础上多总结一些方法，发现一些规律，有些难点就能较快突破.下面我们就一类二次函数与三角形面积的最值问题，来探求其中方法与规律.
一、规律发现
引例 已知二次函数y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，求PBC面积的最大值及此时点P的坐标.
【解析】本题为求三角形面积最值问题，可以采用平行线法或构造二次函数模型求最值等两种思路来解决问题.
解法1：如图1，易求直线BC的解析式为：y=-x+3，所以可设直线l为y=-x+b.过点P作直线l∥BC，则多数情况下，直线l与抛物线有两个交点，此时SPBC显然不是最大；当直线l与抛物线有唯一交点（即方程[y=-x+b，y=-x2+2x+3]有唯一解）时，点P到BC的距离最大，因此SPBC最大.①代入②化为一元二次方程可得x2-3x+b-3=0，当Δ=0时，方程有两个相等实数根，即b=[214].将b的值代回原方程组，可得此时点P的坐标为[32，154]，再由P、B、C点坐标可求得PBC的面积最大值为：[278].
解法2：如图2，同样求得直线BC的解析式为：y=-x+3.过点P作直线垂直于x轴，交直线BC于点D.
因为点P在抛物线上，所以可设点P坐标为（n，-n2+2n+3）（0≤n≤3），点D在BC上，因此坐标为（n，-n+3）；以PD为底边，设PDC的高为h1，设PDB的高为h2，则h1+h2=3，PD=（-n2+2n+3）-（-n+3）=-n2+3n.
SPBC=SPDC+SPDB=[12]PD・h1+[12]PD・h2
=[12]PD・（h1+h2）=[12]PD×3=[32]PD
=[32]（-n2+3n）=-[32]n2+[92]n.
这样，SPBC就是关于n的二次函数，根据二次函数性质易得当n=[32]时，SPBC的最大值为[278]，此时点P坐标为[32，154].
【发现1】在解法1中，当三角形面积取得最大值时，只存在一个PBC，但当面积缩小时，可能同时存在两个不同的PBC；
【发现2】在解法2中，将PBC进行纵向切割，将其分割为两个底边都为PD的三角形，它们的高的和就是BC两点的横坐标的差；
【发现3】注意观察两种解法中，当三角形面积取得最大值时，点P的横坐标是[32]，而点C的横坐标为0，点B的横坐标为3，可以理解为点P的横坐标恰好是线段BC中点的横坐标.其实这种情况并不是巧合，是一种规律，是可以用数学方法证明的.（有兴趣的同学可以抛物线y=ax2+bx+c和直线y=mx+n（am≠0）的交点是（x1，y1），（x2，y2）为一般情况进行证明，这里就不赘述.）
二、试刀中考
例1 （2016・江苏苏州）如图3，直线l∶y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4（a
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）略.
【解析】（1）方法略，函数解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）本题初看与上面的引例不同，但其抛物线上的动点，及计算三角形面积的最值都与引例类似，可用解法2的方法求解问题，不过考虑到纵向作垂线分割三角形计算有一定的困难，可以采用横向作垂线分割三角形，纵向距离为高.
如图4，过点M作MEy轴于点E，交AB于点D，可设点M坐标为（m，-m2+2m+3），D在AB上，因此D坐标为：
[m2-2m3，-m2+2m+3]， DM=[-m2+5m3]，
S=[12]DM（BE+OE）=[12]DM・OB
=[12]×3×[-m2+5m3]=-[12]m2+[52]m.
然后可由二次函数性质求出最大值为[258].
【评析】在平面直角坐标系中研究一些图形的面积时，可采用割补法将复杂、不规则的图形分割成若干个三角形计算.分割时要注意以下几点：①分割后的三角形面积应该容易计算；②一般的分割方法为横向或纵向；③如有必要，也可斜向分割.
如本题中也可连接OM，计算四边形BOAM的面积减BOA的面积.有时可能要进行多次尝试，才能找到更为简单的计算三角形面积的方法.
例2 （2010・江苏徐州）如图5，已知二次函数y=-[14]x2+[32]x+4的图像与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC.
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）线段AC上是否存在点E，使得EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？
【解析】（1）解答略，A（0，4），C（8，0）.
（2）易得D（3，0），CD=5.直线AC对应的解析式为y=[-12]x+4，分三种情况讨论：①DE=DC，②ED=EC，③CD=CE，可求得三个点E的坐标分别为：E1（0，4），E2[112，54]，E3（8-[25]，[5]）.
（3）本题思路较为难觅，关键要理解“S取何值时，相应的点P有且只有2个”这句话的意思：其实只要考虑S的取值范围（即最大值与最小值），然后探讨在S取不同数值时的点P的个数即可.在求S的取值范围时，还要对点P所在的位置进行讨论，当点P的位置在AC上方时，就可以用引例中的两种方法求S的最大值，我们以第二种方法来解.
过P作PHOC，垂足为H，交直线AC于点Q.设P（m，-[14]m2+[32]m+4），则Q（m，-[12]m+4）.
① 当点P在AC上方时，即0
此时当且仅当S=16时，相应的点P只有1个，当0
② 点P在AB之间时，即-2
故S=16时，相应的点P有且只有两个.
【评析】本题的第（3）题问法比较难理解，尤其是“相应的点P有且只有2个”，这需要对此问题有一定的研究经验，知道引例中的平行线研究方法的原理（关键是不同面积数值与点P的个数的对应关系），否则不容易联想到要考虑PAC面积的取值范围.当然，在具体计算S的最大值时，还是用设坐标，用含m的代数式表示PAC的面积的方法更为简洁一些.
【关键词】初中数学 函数关系
数式规律型问题
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）06A-0122-02
一直以来，全国各地的中考试题中都出现探究规律性的问题，探究规律性的问题考查了初中生的数学基础知识、基本技能、应用能力等，是中考命题中不可缺少的部分；探究规律性问题的特点是：通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动，得到问题的结论。这类问题，因其独特的规律性和探究性，对学生分析问题、解决问题的能力提出了很高的要求；对许多考生而言，完成该类问题的难度较大，能力一般的学生基本选择放弃；此类考题编排顺序一般比较靠前，考生一旦受挫就会影响应考情绪，继而影响到数学学科的成绩，甚至影响学生的总体成绩。如何提高探究规律性的问题的教学有效性是毕业班指导教师都感到困惑的问题。
探究规律性问题常见的类型有：（1）数式规律型；（2）图形变化规律型；（3）坐标变化规律型；（4）数形结合规律型等。规律性问题是有规律可循的，数式规律型问题中存在着函数关系。近几年来，笔者尝试通过求函数关系式的思路来求解规律通式并将其运用在教育教学中，笔者所指导的学生在中考中应对规律性问题时得分率在90%以上，特别是数式规律型问题基本上没有失分，在此将探究数式规律型问题的教学方法的感受与大家分享。
P者在教学时，首先给学生展示了例1（2015・天津北辰区；一模）：如图1，用火柴棒拼成一排由三角形组成的图形；若拼成的图形中有n个三角形，则需要火柴棒的根数是（ ）
图1
A. n+2 B. n+3
C. 2n-1 D. 2n+1
在平时的教学中，教师会用学生熟悉的从特殊到一般的归纳方法来解决这类问题，具体的方法如下：
观察图形中的数量关系，列出表格，如表一：
表一
通过观察两个变量的关系、从数理关系归纳和验证得到结论：当有n个三角形时，火柴棒的根数为2n+1，故答案为：D。
该方法对学生的已有认知而言是比较抽象的，学生掌握的难度也比较大。如果用求函数关系式的思路来解决此问题，学生理解起来就会简单和直观多了。方法如下：
（1）确定变量：该问题有两个变量，即三角形个数和火柴棒根数，设三角形个数为自变量x，火柴棒根数为函数y；
（2）取特殊点：
当x=1时，y=3，即（1，3），
当x=2时，y=5，即（2，5），
当x=3时，y=7，即（3，7），
当x=4时，y=9，即（4，9）；
（3）确定函数类型：通过描点、连线，观察图象发现该函数属一次函数类型，如图2；
（4）建立y与x的函数关系，设：y=kx+b；
（5）用待定系数法求得关系式：y=2x+1；
（6）检验关系式，确定当有n个三角形时，火柴棒根数为：2n+1；故答案为：D。
这种解决问题的方法是在利用从特殊到一般的归纳方法的基础上融入了函数关系式的思路，除了比较直观、简单易懂外，还可以帮助学生建立解决此类问题的模型，培养学生的函数思想与建模思想。
接着，笔者给学生出示了例2（2016・重庆巴蜀）：如图3，每个图形都由同样大小的正方形按照一定的规律组合而成，其中图形①的面积为6cm2，图形②的面积为18cm2，图形③的面积为36cm2，…，那么图形⑥的面积为（ ）
A.84cm2 B.90cm2
C.126cm2 D.168cm2
笔者首先让学生使用他们比较熟悉的用从特殊到一般的归纳方法来解决此问题，学生大多列表如下：
但是学生很难归纳出图形面积的变化规律，就算是笔者也很难直接观察表格得出结论，应试当中的学生更是难以解决该问题。
笔者在教学实践中发现：当两个变量之间没有明显的和、差、倍数关系时，若想直接通过观察数理关系归纳出结论非常困难，但是如果利用建立函数关系模式来求解就容易得多了。
于是，笔者建议学生使用例1中的构建函数关系式的方法求解例2，并适时给予学生提示，具体解决过程如下：
（1）确定变量：该问题有两个变量，即序数和图形的面积，设定序数为自变量n，图形的面积为函数S；
（2）取特殊点：
当n=1时，S=6，即（1，6）；
当n=2时，S=18，即（2，18）；
当n=3时，S=36，即（3，36）；
当x=4时，S=60，即（4，60）；
（3）确定函数类型：通过描点、连线，观察图象发现该函数属二次函数类型，如图4；
（4）建立函数关系：设S=an2+bn+c；
（5）用待定系数法求得关系式：S=3n2+3n；
（6）检验关系式，确定第n个图形的面积为：3n2+3n；
则n=6时，S=126，故答案为：C。
在此教学过程中，笔者首先为学生创造了认知冲突――让学生意识到用从特殊到一般的归纳方法难以得出例2的结论；接着，笔者引导学生使用建立函数关系式的方法解答例2，不仅求解过程简单、快速，而且学生容易接受。该教学过程是成功的，既让学生掌握了解题方法，又培养了学生的函数思想、举一反三的能力。
笔者趁热打铁，给学生出示了练习3（2015・江苏江阴）：观察下面一列数：1，2，3，4，5，6，7，…，将这列数排成下列形式：记aij为第i行第j列的数，如a23=4，那么a87是 .
在巡视时，笔者惊喜地发现大多数学生已经掌握了用建立函数关系式求解规律问题的方法，并且还产生了不同的解题方法，具体如下：
方法一：先求ann的通式（如下方框内的数）：
用类似例2的方法可求得通式：ann=n2-n+1，
则a88=82-8+1=57，由距阵中横向数列的特征可得：a87=56。
方法二：可以先求出an（n-1）的通式（如下图方框内的数）：
用类似例2的方法可求得通式：an（n-1）=n2-n，
则a87=82-8=56。
当然，每种规律性问题都存在其独特性，并非所有的规律性问题都可以用求函数关系式的思路来求解规律通式；但因一些数式规律型问题存在某种函数关系，可以用建立函数关系式的思路来求解规律通式。通常可构建解决这类问题的模型：设序数为自变量，序数对应值为函数；取特殊值，描点、连线，确定函数类型；求出关系式则可得规律通式；通过检验来确定通式的准确性。
1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.
(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.
(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.
2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.
3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.
教学建议
一、知识结构
（1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.
（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.
二、重点难点分析
(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明.
(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.
三、教法建议
（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.
（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.
函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值开始,逐渐让在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.
函数的奇偶性教学设计方案
教学目标
1.使学生了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.
2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.
3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.
教学重点,难点
重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断
难点是对概念的认识
教学用具
投影仪,计算机
教学方法
引导发现法
教学过程
一.引入新课
前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.
对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?
(学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.)
结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?
学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.
二.讲解新课
2.函数的奇偶性(板书)
教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?
学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?(可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这样的是不存在的)
从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.
(1)偶函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(板书)
(给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识)
提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出或的图象让学生观察研究)
学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.
(2)奇函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.(板书)
(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)
例1.判断下列函数的奇偶性(板书)
(1);(2);
(3);;
(5);(6).
(要求学生口答,选出1-2个题说过程)
解:(1)是奇函数.(2)是偶函数.
(3),是偶函数.
前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?
学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)
从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.
教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?
可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)
由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.
经学生思考,可找到函数.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?
例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.(板书)(试由学生来完成)
证明:既是奇函数也是偶函数,
=,且,
=.
,即.
证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类
(4)函数按其是否具有奇偶性可分为四类:(板书)
例3.判断下列函数的奇偶性(板书)
(1);(2);(3).
由学生回答,不完整之处教师补充.
解:(1)当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.
(2)当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.
(3)当时,于是,
当时,,于是=,
综上是奇函数.
教师小结(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.
三.小结
1.奇偶性的概念
2.判断中注意的问题
四.作业略
五.板书设计
2.函数的奇偶性例1.例3.
(1)偶函数定义
(2)奇函数定义
(3)定义域关于原点对称是函数例2.小结
具备奇偶性的必要条件
(4)函数按奇偶性分类分四类
探究活动
(1)定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?
(2)判断函数在上的单调性,并加以证明.
关键词：三角基本性质;诱导公式;升级换代
笔者认为现行教材下的诱导公式具有如下问题：由诱导公式本身给出的运算规则，只能得出结果的绝对值，不能确定符号，因此是半个完全公式，尚待完善;诱导公式太多，有6组，每组4个共24个，其符号需另外再看象限及函数名称来确定，也有24种，相当复杂.
下面介绍一组新公式
sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα， n∈z.
可以解决上述问题.
证明如下：
证法一：由和角公式Sα+β，sin（nπ+α）=sinnπcosα+cosnπsinα=cosnπsinα=（-1）nsinα，（cosnπ=（-1）n）.
由和角公式Cα+β，cos（nπ+α）=cosnπcosα-sinnπsinα=cosnπcosα=（-1）ncosα.
所以sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα， n∈z.可见公式nπ+α是独立于诱导公式之外的新公式，显然nπ+α（n∈z，α∈R）包含2kπ±α，π±α，且结果的符号由公式中的（-1）n自动确定.
下面介绍公式nπ+α的几何意义.
证法二：如图1，将任意角α的终边OP1绕原点O旋转π，得角π+α，这时点P1到达P2，由于P1，P2关于原点对称，设P1（x，y），则P2（-x，-y），令OP1=r，由此
sinα=，cosα=，
sin（π+α）==-sinα，
cos（π+α）==-cosα，
所以sin（π+α）=- sinα，
cos（π+α）=-cosα.
由于α的任意性，则
sin（2π+α）=sin[π+（π+α）]=-sin（π+α）=-（-sinα）=（-1）2sinα，
sin（3π+α）= sin[π+（2π+α）]=-sin（2π+α）=（-1）3sinα，
一般地，sin（nπ+α）= （-1）nsinα（n∈z+）.
同理，cos（nπ+α）= （-1）ncosα（n∈z+），
显然，tan（nπ+α）=tanα（n∈z+）.
若将角α的终边OP1绕原点O旋转-π，得角-π+α. 这时点P1（x，y）仍到达点P2（-x，-y）的位置.
显然sin（-π+α）=-sinα，
cos（-π+α）=-cosα，
采取同样的过程可以得到
sin（-nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z+），
cos（-nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z+）.
又（-1）-n==（-1）n.
所以，sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），
cos（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z）.
这样我们得到下面公式：
对于任意角α，有
sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），
cos（nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z）.
这个证法构造了公式nπ+α的几何意义，这是一个动态的模型，它直观地告诉了我们一个重要规律：sinα，cosα随角的变化，每增加一个π（-π），函数值改变一次符号，绝对值不变. 它的代数表达即公式：
sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），cos（nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z）.
有了这组公式，再与α的公式配合，就可将任意角的三角函数转化为同名的锐角三角函数. 这样就可用公式nπ+α替代2kπ±α，π±α，所以同时用二组公式2kπ±α，π±α解决的问题，用公式nπ+α一次就解决了. 因此用nπ+α解答问题，一般可将过程精减一半，且符号随（-1）n（n∈z）给出，省去了用诱导公式“符号看象限”最复杂的部分，因此题的难度至少降低.
在应用nπ+α时，
1. 将角化为nπ+α（n∈z）的形式.
2. 当n为偶数时，符号为“+”，当n为奇数时，符号为“―”，转化为同名三角函数.
例1 求下列三角函数的值
（1）cos1290°=cos（7×180°+30°）= -cos30°=-，
（2）2kπ+α，π+α.
下面用2kπ+α，π+α来解：
（1）解：cos1290°=cos（360°×3+210°）=cos210°=cos（180°+30°）
=-cos30°=-.
后者增加了两个步骤，又有两次“符号看象限”复杂的判断.
（2）解：sin-π=-sinπ= -sin4π+π=-sinπ=-sinπ+
=sin=.
后者增加了两个步骤，又有两次“符号看象限”复杂的判断.
比较前后两种解法，使用公式nπ+α过程减少，难度至少降低3/4.
例2 （2011武汉调研）已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零实数，又知f（2011）=-1，求f（2012）的值.
用公式2kπ±α，π±α来解（标准答案）：
f（2011）=asin（2011π+α）+bcos（2011π+β）
=asin（2010π+π+α）+bcos（2010π+π+β）
=asin（π+α）+bcos（π+β）=-asinα-bcosβ
=-（asinα+bcosβ）=-1，
所以asinα+bcosβ=1
所以f（2012）=asin（2012π+α）+bcos（2012π+β）=asinα+bsinβ=1.
用公式nπ+α来解：
f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）=（-1）xasinα+（-1）xbcosβ，
f（2011）=（-1）2011asinα+（-1）2011bcosβ= -asinα-bcosβ=-1，
所以asinα+bcosβ=1，
所以f（2012）=（-1）2012asinα+（-1）2012b・cosβ=asinα+bcosβ=1.
比较两种解法：后者，一经代入公式，即将前者复杂的化简过程精减掉，难度降至初中二年级水平，简单得令人兴奋！
以下二例摘自《世界著名三角学经典著作钩沉》平面三角卷P95，哈尔滨工业大学出版社.
例3 已知n用7除余3，化简
cos-π+cosnπ-π+cosnπ-π.
解：设n=7k+3，则
原式=cosπ-π+cosπ-π+cosπ-π
=coskπ-+cos（3kπ+1）π++cos（5k+2）π-
=（-1）kcos+（-1）3k+1cos+（-1）5k+2・cos
=（-1）k+1cos+（-1）k+2cos=0.
例4 化简sinx+n，n∈N.
解：当n为偶数时，∈N，
所以sinx+n=sinx+π=（-1）sinx;
当n为奇数时，设n=2k+1，则
sinx+（2k+1）=sinx+kπ+=（-1）ksinx+=（-1）kcosx=（-1）cosx.
在探索公式nπ+α的证明中，我们发现了sinα，cosα随α的变化，每增加一个π（-π），函数值变更一次符号，绝对值不变. 这一规律的推论，可得sinα，cosα的周期是2π;这一规律的代数表示，即公式
sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα，n∈z，α∈R.
由于这个规律角的间隔是π，这是使函数值具有代数规律性变化的最小的角的间隔，2kπ是π的整数倍，故2kπ±α（k∈N）是nπ+α（n∈z，α∈R）的个例，因此可用公式nπ+α更替π四组公式，使诱导公式得以换代. 又因为在角的间隔为π时，又有确定的用代数式表示的函数值相对应，使公式的结果含符号，结束了“符号看象限”的时代！同时又使诱导公式由半个完全公式升格为1个完全公式，这是三角学的历史性进步！
这还说明理论上的微小发现，可以带来实用计算上的飞跃发展！
由于sin+α=sin-（-α）
=cos（-α）=cosα，
cos+α=cos-（-α）=sin（-α）= -sinα，
所以，公式+α可归并于-α，这样新一代诱导公式就为：
sin（-α）= -sinα， cos（-α）= cosα①
（-α）
sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα，tan（nπ+α）=tanα.（n∈z）②（nπ+α）
sinα=cosα，cosα=±sinα ③α
共三组，较现行的六组精减了一半.
关键词:数形结合思想;高中数学教学
在传统的高中数学教学中，教师往往注重学生对基础知识的掌握，忽视了对学生渗透数学思想，影响了学生思维能力的提高．数形结合思想是重要的数学思想之一，是一种运用数学数量和图形的关系，将数学问题简单化、形象性与具体化的方法．在高中数学教学中渗透数形结合思想，能培养学生思维的逻辑性与条理性，提高学生的数学综合素养，从而提高学生解决数学问题的能力．
一、帮助学生理解所学知识
高中数学概念、公式非常多．这些概念与公式是学生理解数学知识的基础．只有掌握了这些概念与公式，学生才能分析问题与解决问题，提高数学能力．有些教师在高中数学教学中只是一味地让学生机械记忆数学概念与公式，占用了学生大量的学习时间，使学生在枯燥乏味的记忆中逐渐对数学产生厌学情绪，阻碍了数学能力的提高．数学公式是数学概念与规律的符号表现形式．数学概念可以由相应的符号来体现．在高中数学教学中，利用图形，能直观地表现数学概念与公式，加深学生对数学规律的理解．在数学概念、公式的教学中，教师应该渗透数形结合思想，利用数形结合的记忆方法，促进学生对数学概念、公式等基础知识的准确、深入、牢固地记忆与理解，使学生意识到数形结合思想在数学学习中的重要作用，并自觉地利用数形结合思想进行数学知识的学习与理解．例如，在讲“三角函数”时，有些学生对函数的变化规律记忆不准不牢，往往混淆不同角度下三角函数值的正负．为了帮助学生理解与记忆，教师可以采取数形结合的方法进行三角函数教学，要求在记忆三角函数值前先画出三角函数的图象，然后根据图象确定函数数值的正负．这样，能使学生准确记忆三角函数的特殊值，提高了学生的学习效果．
二、培养学生的学习兴趣
兴趣是学生学习的内在动力．在高中数学教学中渗透数形结合思想时，教师要注意让学生感受到数形结合的数学美，培养学生学习数学的兴趣．例如，在讲“轴对称图形”时，教师可以引导学生运用数形结合思想进行观察与分析．函数图象大多是对称的，造型有一定的规律性．图形与数学知识相结合，不仅能使学生领略图形的美感，也能使学生对数学产生学习兴趣．
三、提高学生的应用能力
在初次接触数学思想之后，学生可能在解决数学问题时还不能熟练运用，甚至是无处下手．因此，教师在教学中要引导学生使用数形结合思想，强化学生的记忆与理解，促使学生运用数形结合思想解决数学问题．同时，教师要给学生示范数形结合的过程，让学生明确运用数形结合思想的方法与步骤．例如，在讲“函数图象及性质”时，教师可以画出有关的函数图象，让学生对图象进行观察与总结，了解单调性，理解“y随x的增大而增大或减小”的含义．教师也可以利用多媒体向学生展示大量的图象，并给每个图象配以函数公式，让学生观察分析，由图象与函数的关系判断表达式中系数的功能，即系数对函数单调性所起的作用，系数为正函数递增，系数为负函数递减．教师要鼓励学生利用数形结合思想解决问题，让学生将数量与图形结合起来分析问题、解决问题，提高学生运用数形结合思想解决问题的能力．
四、提高学生的解题能力
数形结合思想是学习数学知识、理解数学知识、内化数学知识的重要方法，数形结合思想几乎贯穿于数学学习的全过程．在高中数学解题教学中，教师要引导学生认识与理解数形结合思想，并运用数形结合思想解决数学问题，从而提高学生的解题能力．例如，在讲“一次方程与不等式”时，教师可以引导学生运用数形结合思想解决问题，使学生感受到数形结合思想在分析数学问题、解决数学问题方面的优势，并养成运用数形结合思想解决数学问题的习惯，从而提高学生的解题能力．总之，在高中数学教学中渗透数形结合思想，能使数学知识更加直观形象，有助于学生在直观的状态下去分析与解决数学问题，激发学生的学习兴趣．在具体教学中，教师要结合高中学生的特点与实际教学内容，利用数形结合思想引领学生解决数学问题，引发学生对数形结合思想的兴趣，加深学生对数形结合思想的理解与内化，提高学生运用数形结合思想解决问题的能力．
参考文献
1.杨艳丽．数形结合思想在高中数学教学中的渗透探究［J］．教育实践与研究(B)，2011(05)．
关键词：三角函数；最值问题；处理方法
一、预备知识
1.三角函数定义
正弦函数 sinθ=y/r余弦函数 cosθ=x/r正切函数 tanθ=y/x
余切函数 cotθ=x/y正割函数 secθ=r/x余割函数 cscθ=r/y
2.有关处理法
第一，角的拼凑.适当地变化角的表达式，可以给三角函数求值带来便利.如单角可以看成角与角的差，也可以看成角与角的和，当条件所给角都是非特殊角时，要仔细观察非特殊角与特殊角的联系。
第二，切化弦.当已知三角函数的式子中有切、割、弦混合时，从函数名称的角度去考虑，切割化弦是三角求值的常用方法。
第三，公式变形.对三角公式不仅要正用，还要注意逆用和变形用，要熟悉公式的变形，这样才能全面掌握公式。
二、三角函数最值的类型及处理方法
1. 形如的函数
此类函数具有的特点是含有sin、cos的一次式，解决此类问题的关键是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。即可以化为，其中角所在象限由点所在象限决定，且，或者是据单调性处理.
（1）利用公式处理型的三角函数
若是的三角函数，首先可将其化为，其中角所在象限由点所在象限决定，且.
例1 当时，函数的（ ）
A、最大值是1，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是
C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1
（2）利用数形结合法处理型的函数
众所周知，求函数的最值是中学数学的重要内容之一，也是历年高考考查内容之一，它呈现应用广泛、解法灵活等特点，而数形结合是中学数学解决问题的四大数学思想之一，运用数形结合的思想方法，既可以使一些代数问题的解决简洁明快，同时也可以大大地开拓我们的思路.
而型的函数，类似于直线的“斜率模式”，可转化为直线的形式，根据斜率的几何解释和相关条件研究斜率的变化规律，从而求解其最值.
四、结语
1.主要发现
本文在写作上，一方面基于前人的研究基础，另外考虑到三角函数最值问题的类型和处理方法在中学数学中有着重要的运用，所以特别针对不同类型的三角函数最值问题进行讨论分析，得到了六种不同类型三角函数最值的不同的处理方法.
2.努力方向
针对本文探讨的三角函数最值问题类型及处理方法，可以看出，此类问题还有值得研究的空间，就其类型的探讨，就是一个难点.鉴于此，有待今后的不断学习与探讨.
参考文献：
[1] 娄桐城，徐家良.函数的性质及其解题方法[M].北京：北京师范大学出版社，1986：185～192.
[2] 姚晶.三角函数[M].上海：百家出版社，1992：5～31.
一、 低起点，融知识于符号中
尝试:在常用数集的符号表示中，正整数集记作N+或N+，在教学过程中，一些细心的学生就有疑问:原本表示自然数集，在右上角或右下角分别添加+怎么就能表示正整数集呢?在日常教学过程中，面对这样的小问题尤其是数学符号的选用，考虑到教学时间，用“约定俗成”加以回答也未尝不可。但也很有可能出现这样一种结果:时间是节省了，学生心中却对数学产生一种“冷冰冰”的感觉，打消了学习数学的兴趣。我在教学中花了不多的时间作了简单解释(虽然此时还没有学习补集运算，但丝毫不影响学生理解)，学生茅塞顿开，令我感到意外的是，有不少学生在学习函数定义域时用类似方法又“发明”了许多数集的符号，看到这些符号真有一种“心有灵犀”的感觉。而更重要的是，我用实际行动验证了数学的严谨性和精确性，这比口头动员的效果要好得多。受此启发，在后面的教学中，每当引进一个新的符号时，我总是尽量将相关符号的发展历史展现给学生。如幂的符号“a”，三角函数符号“sin、cos、tan”，对数函数的底“e”，虚数单位“i”，积分号“∫”，等等，它们就像星星之火，照亮了学生学习数学的道路。
反思:符号是数学的语言，是记录、表达科学语言的文字。数学语言系统是一个符号化的系统，现代数学如果没有精确的符号是难以想象的。用符号表达数学的方法和内容是数学的一大特点。正因为如此，数学语言的系统，不同于一般的语言系统，如汉语、英语、德语，数学语言是一种国际化的语言。因此，培养学生的符号感，对学生体会数学语言的简洁美、概括美，增强学习数学的兴趣，提高学习数学的积极性是很有必要的。
二、 从全局把握，融知识于体系中
在教学过程中，我以函数为主线分两个方向重新安排了教学内容。其一，在讲授完函数概念后，向学生介绍一批具体函数的模型:指数函数、对数函数、幂函数，再介绍两个特殊函数:具有周期性的函数——三角函数，以正整数集或其有限子集为定义域的函数——数列，最终目的是让学生从多方面、多角度深刻理解函数本质。其二，以函数为工具，把其它知识纳入其中。
如果用函数的观点看待方程，那么方程的根就是函数的零点。如果用函数的观点看待一元二次不等式，那么不等式的解就是使函数值大于0或小于0的x的取值范围。如果用函数的观点看待线性规划，那么线性规划问题就是目标函数(二元函数)在可行域(函数定义域)内的最值问题，最终目的是使学生体会函数思想给我们带来的好处。
反思:函数是数学的核心概念之一，它有着突出的作用和广泛的运用。在物理、化学、生物、地理、社会、经济学等学科中，描述规律的函数关系俯拾皆是。即使是在日常生活中，例如加油站、邮局、电讯资费等，也都有函数关系包含其中。20世纪初，德国数学家克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为:“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分的综合。”不管这种想法是否能够实现，但至少给我们提供了一种思考和处理问题的思想——抓住本质。事实上，除了函数思想外，还有其他贯穿高中数学课程的思想:运算思想、几何思想、算法思想、统计思想、随机思想等。只要我们能从整体的高度来看待这些思想，相信展现给学生的一定是一个内涵更丰富的数学天地。
三、 从实际出发，融知识于背景中
在讲授数据样本统计值的变化规律时，我给出两组中、美两国学校学生住房面积的数据，中国以平方米作为单位，美国以平方英尺作为单位，要学生比较平均住房面积的大小。学生积极投入到这样一个实际问题情境中，得出两种方法:一种方法是先统一单位再计算平均数，即先转化后统计;另外一种方法是先计算平均数再统一单位，即先统计后转化。从计算量上讲显然后一种方法小得多。新课程改革在创设问题情境上提供了更为宽广的舞台，只要创设得合理、自然，就一定会达到引人入胜、启迪思维的目的。
关键词：为什么；知识点；三角函数
一、引言
在最近一次“5.5诱导公式”的听课活动中，授课教师布置了如下的三个任务：
任务一：回顾各象限角的三角函数值的正负号；
任务二：假设角a是锐角，试判断下列角a+k・360°，-a，180°+a和180°-a所在的象限；
任务三：将书上的四组诱导公式按任务二得出的象限填入指定的平面直角坐标系内，你会发现什么？
接着，在授课老师的帮助下，很快就出来了十字口诀“函数名不变，符号看象限”。新授总共历时15分钟，该教学内容共计四组十二个诱导公式就已全部介绍完毕！
数学应该是让人变得更加聪明的，可反观这样的课堂，我好生担忧。
这之后，我的思绪起了涟漪，再也无法静下心来继续听下去，而我的心则一直在拷问自己：多年以后，当授课老师所教的知识褪去，学生还会剩下什么？
由此我想到的是，在日常的教育教学工作中，在有限的45分钟里，我们在教给学生教学内容中知识点的同时，更多的应该是渗透一种有用的知识，真正让学生感悟到数学的智慧之美！
下面就以高等教育出版社出版的数学（基础模块）上册第5章的三角函数为例，通过对话“为什么”，来谈谈知识点后的知识，不当之处，敬请批评指正。
二、知识点后的知识
本章教材共分7节：
第1节 角的概念的推广
本节涉及的主要知识点有：任意角的概念、象限角和界限角、终边相同的角。
提问1：为什么要将初中角的概念推广？
提问2：为什么要在平面直角坐标系中研究角？
提问3：为什么要学终边相同的角？
对话：
回复提问1：教材实例1中的摩天轮告诉我们，生活中角的度数早已超出了0°～360°的范围；实例2中的活络扳手则告诉我们，生活中的角还出现了方向性的问题（即逆时针和顺时针）。为解决上述两个问题，所以，对初中角的概念进行推广。我想说的是，社会发展日新月异，不仅我们要紧跟时代的需要，连同我们所掌握的知识也要紧跟发展，而当我们所掌握的知识无法反映或解决生产、生活中的一些实际问题时，则必须要创新！因此，这个知识点后的知识是：穷则变！
回复提问2：教材中简单的一句话“为了研究方便”就将这一提问掩盖过去了，但事实并没有解决。其实，我们本章的三角学是代数和几何的交汇，而坐标法则是建立这两者之间关系的桥梁，比如，后来的同角三角函数的基本关系式中的平方关系，就是利用坐标法和勾股定理共同得到的；再如，诱导公式、两角和与差的余弦公式的推导等。我想说的是，任何一个事情的研究都需要一个相对适合，同时方便我们研究的平台，比如电商需要互联网，互联网则需要计算机。因此，这个知识点后的知识是：需载体！
回复提问3：教材中的实验让学生发现木条会重复地在OB位置出现，重复出现的现象则说明该事物可能具有周期性，这也就是三角函数是周期函数模型的原因，因此，与角a终边相同的角（包括角a在内）都可以写成“a+k・360°（k∈Z）”的形式，其实质是“初始角+整数×周期”，弄明白这一点，对于帮助学生理解教材中的例2有一定的作用。我想说的是，我们所处世界的很多事物都具有规律性，甚至是周期性，找到规律，对于我们缩短研究这些事物的进程很有帮助。因此，这个知识点后的知识是：寻规律！
第2节 弧度制
本节涉及的主要知识点有：弧度制的概念、角度与弧度之间的转换、弧长公式。
提问1：为什么有了角度制还要弧度制？
提问2：为什么要学弧长公式？
对话：
回复提问1：教材问题中“因为度、分、秒采用的是60进位制，所以，在角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位转换上的麻烦，的确，这是原因之一，但绝不是主要原因，采用弧度制以后，每一个角都会对应唯一的一个实数，这在高等数学学习微分、积分以及泰勒公式时，一定程度上减少了较大的运算量。当然，我个人还认为，当角a的度量值是一个实数时，为三角函数图象顺利地画入平面直角坐标系铺平了道路。我想说的是，当一些事物开始在某些熟悉的领域大放异彩时，比如，二十世纪末的汽车、手机和计算机等，我们一定得改变自己并最终接纳它们。因此，这个知识点后的知识是：目长远！
回复提问2：弧长公式的出现很好地解释了汽车公里数的计算。比如，要估算1小时自行车（半径已测得）可以前进多少米，并不真的需要坐上去骑1小时然后测量，我们只需估算自行车1分钟内转的圈数即可。我想说的是，世界上两个量之间存在着某种关系，选择一个比较容易控制或监测的量，就可以计算出另一个量的变化。因此，这个知识点后的知识是：易入手！
第3节 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
本节涉及的主要知识点有：任意角三角函数的定义、各象限角的三角函数值符号、界限角的三角函数值。
提问：为什么要学任意角的三角函数？
对话：
回复提问：初中所学的是锐角的三角函数，自角被推广到任意角后，任意角的三角函数存在吗？如果存在，是否也应及时跟上，只是完善的时候不应和原有的锐角三角函数相悖。我想说的是，新事物的出现，与其相生相克的事物也必须尽快跟上。比如，互联网的出现，滋生了电商，但同时也应跟上互联网的管理条例，使其健康茁壮成长。因此，这个知识点的后知识是：应同步！
第4节 同角三角函数的基本关系
本节涉及的主要知识点有：同角三角函数的基本关系式。
提问1：为什么要引入单位圆？
提问2：为什么要学同角三角函数的基本关系？
对话：
回复提问1：单位圆的引入纯粹就是为了简化运算，使运算式子变得简洁而美丽，在此后诱导公式的推导中显得尤为突出，当然还有两角和与差的余弦公式的推导。但作为教师，我们得让学生更加明了，我们引入单位圆简化运算的实质就是单位“1”的运用，这在很多地方都用得到。反观生活，我想说的是，比如家里玻璃碎了，一时半会儿又找不到尺子，如何测量、购买？这个时候，伸出手，丈量一下需要几只手即可，这种方法就是手这个单位“1”的大胆使用。因此，这个知识点后的知识是：单位“1”！
回复提问2：理解并掌握了同角三角函数之间的平方关系和商数关系，就可以只知其中一个三角函数值，求出另外两个，这就是我们常说的知一求二，此与后来数列中的知三求二、解三角形中的知三求三属同一款式。我想说的是，在明确几个量之间的关系后，我们可以携带最少的信息量，而通过关系式来求得其他的量。因此，这个知识点后的知识是：轻上阵！
第5节 诱导公式
本节涉及的主要知识点有：诱导公式、计算器的使用。
提问1：为什么要学诱导公式？
提问2：为什么要学利用计算器求任意角的三角函数值？
对话：
回复提问1：教材其实已作出明确说明，新知识中公式（5.8），可以把任意角的三角函数转化为0°～360°（即0°～90°，90°～180°，180°～270°，270°～360°）范围内角的三角函数；270°～360°范围内的角可以转化为负角，再利用公式（5.9），就可以把负角的三角函数转化为正角的三角函数；90°～180°和180°～270°范围内的角，分别利用（5.10），（5.11），可以把此范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数。我想说的是，任何繁杂事物的研究与学习，最终都应回归到我们所熟悉的简单领域，而只有在我们所熟悉的简单领域，才可以把事情办好、办精。因此，这个知识点后的知识是：繁化简！另外，我想补充的是，既然学习了弧度制，为何弧度制后面的教学内容反复地出现角度制，如a+k・360，180±a等，这样的做法似乎不太妥当。
回复提问2：很多老师怕学生使用计算器后，干脆不记特殊角的三角函数值了，可是，我们所处这个世界里的角很少是以特殊角的形式存在的，因此，解决问题绝不可能是记几个特殊角的三角函数值就可以搞定的，而且查三角函数值表的年代也已经一去不复返了，那么，这个时候，我们就必须掌握如何使用好我们手头的计算器来更好地为我们服务。我想说的是，如果工具可以帮我们快速地解决问题，为什么不使用呢？比如，我们现在仍在使用的算盘。因此，这个知识点后的知识是：用工具！
第6节 三角函数的图像和性质
本节涉及的主要知识点有：正弦函数的图像和性质、余弦函数的图像和性质。
提问1：为什么要画三角函数的图像？
提问2：为什么称（0，0），（，1），（，0），（，-1），（2，0）为五个关键点？
对话：
回复提问1：讲到数形结合，很多人会记起那句“形缺数时难入微，数缺形时难直观”，的确，画出函数图像对于帮助研究和理解函数的性质有很好的作用，这一点不仅老师要明白，学生也要知道。我想说的是，在每一次画函数图像的新授课中，老师应该带着学生一同作图，熟悉作图的每一个步骤，最终精确制图。因此，这个知识点后的知识是：图真相！
回复提问2：教材新知识中“观察发现，正弦函数y=sinx在[0，2？仔]上的图象中有五个关键点：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（2，0）”。我们来看，对于正弦函数y=sinx在[0，2]上的图象来说，（0，0）是起点，（2，0）是终点，（，1）和（，-1）是拐点（即最值点），（，0）是零点，假如这样称呼，它们算得上关键点了吗？我想说的是，任何事物的发展可能都会伴随着这样一些点的出现，而只要我们能把握住这些事物的关键点，事物就不会往最糟糕的方向发展。因此，这个知识点后的知识是：重关键！
第7节 已知三角函数值求角
本节涉及的主要知识点有：已知三角函数值，利用计算器求角。
提问1：为什么要学已知三角函数值求角？
提问2：为什么要结合诱导公式来求角？
对话：
回复提问1：有已知角求三角函数值，就会有已知三角函数值求角，和加减、乘除一样，这一对互为逆运算。我想说的是，在某种特定条件下，假如有一天我们又定义了一种新的运算，必将伴随着它的逆运算同时出现，这是肯定的。因此，这个知识点后的知识是：逆必存！
回复提问2：一个角对应一个三角函数值，这是函数；而一个三角函数值，却有无数个角与之相对应，这不是函数（这一点结合函数图象来说明，学生就会明白）。为了让求角成为函数，并方便计算器计算后输出，人类给它设定了输出角的范围，即-90°～90°，因此，如果求指定范围（这里指超出-90°～90°）内的角，那么，就必须要结合使用诱导公式。我想说的是，目前计算机能计算并输出的都是有限的结果，而对于无限的结果尚无法完全做到，所以，任何时候，别忽视了自己的作用。因此，这个知识点后的知识是：善自己！
为了应试，数学课堂更多的时候只是在传授知识点，而并非真的知识，也难怪学生毕业后一直嚷嚷着数学最没有用了，而在授课中应该教给学生的思维方式、数学思想等，却又往往最容易被忽视掉。今天，国家已经走在教育改革的路上了，而作为教育教学工作者的我们，也是时候静下心来搞教学，多问自己一句为什么，多教给学生一些知识，而非空洞的知识点，做到真正的授人以渔而非鱼。
如果我们持之以恒，若干年后，哪怕已毕业的学生忘记了所有的知识点，我相信，我们所传授的知识，不会在学生的身上全部褪去，或许这就是太极中所说的：无招胜有招！而这些知识，也将是人类进步的驱动力，希望那时候的学生会和伽利略说的一样，自然界最伟大的书是由数学语言写成的。
三、结束语
如果此刻的你也认同，期待你的参与，以知识点为载体来渗透，传授我们的知识。
参考文献：
[1]李广全.数学教学参考书：基础模块.上册版（修订版）.北京：高等教育出版社，2013.
