时间：2023-05-29 17:47:02
义务教育课程标准实验教科书（人教版）四年级数学下册82页，本课是在学生已经掌握了三角形的特征，获得了相应的知识与技能的基础上，进一步认识三角形的特点。以“再配一根多长的小棒就能围成一个三角形？”的问题为情境主线，主学生探索、实验、发现，从而获得知识，积累数学活动经验，提高推理能力。
教学设想：
设计思路“数学学习要创设有助于学生自主探究、合作交流的情境，使学生通过猜测、操作、归纳法、交流等活动获得基本的数学知识和技能，激发学习兴趣。因此，本案例通过一系列数学活动，让学生在亲身经历中学习数学知识，感悟数学思想，发展思维能力。
教学目标：通过操作活动，探索发现三角形任意两边之和大于第三边；在实践活动中，自主体验、探索，提高合作交流能力。
教学重、难点：发现、理解并掌握三角形三边之间的关系。
教学过程：首先“猜一猜”引发数学思考，然后验证猜测结果，再推理验证、得出结论，最后深化、推广结论。
情景描述：
一、猜一猜，引发数学思考
师：同学们，课前老师每人发了2根小棒，猜猜会干什么？
生1：我认为是摆角。
生2：我觉得研究三角形边的关系，应该是摆三角形吧，可怎么只有2根小棒呢？
师：对，你很会思考，就是来摆三角形的，老师发的小棒分别长3cm、5cm，先来猜猜再配上一根多长的小棒就能围成一个三角形？（猜测结果：9cm、7cm、6cm、6.5cm、1cm、8cm……）
二、实践验证、探究问题
师：这只是我们猜测的结果，究竟能不能围成一个三角形，现在请同学们利用手中的学具，来研究一下。（学生活动，教师指导）
师：请同学们把结果汇报一下。（同时让学生展示过程）
生3：我研究的是7cm，是用小棒摆的能围成一个三角形。
生4：我是画的4cm的，也可以围成一个三角形。
生5：我也是摆的，1cm的小棒跟它们不能围成一个三角形。
生6：我研究的是6cm，6+3>5、5+3>6、6+5>3所以能。
师：你为什么这么算？
生6：这是妈妈教我的。一、猜一猜，引发数学思考：
师：同学们，课前老师每人发了2根小棒，猜猜会干什么？
生1：我认为是摆角。
生2：我觉得研究三角形边的关系，应该是摆三角形吧，可怎么只有2根小棒呢？
师：对，你很会思考，就是来摆三角形的，老师发的小棒分别长3cm、5cm，先来猜猜再配上一根多长的小棒就能围成一个三角形？（猜测结果：9cm、7cm、6cm、6.5cm、1cm、8cm……）
三、实践验证、探究问题
师：这只是我们猜测的结果，究竟能不能围成一个三角形，现在请同学们利用手中的学具，来研究一下。（学生活动，教师指导）
师：请同学们把结果汇报一下。（同时让学生展示过程）
生3：我研究的是7cm，是用小棒摆的能围成一个三角形。
生4：我是画的4cm的，也可以围成一个三角形。
生5：我也是摆的，1cm的小棒跟它们不能围成一个三角形。
生6：我研究的是6cm，6+3>5、5+3>6、6+5>3所以能。
师：你为什么这么算？
生6：这是妈妈教我的。师：谁还研究的是6cm的，你用的是什么方法？
生7：我是用小棒摆的，可以围成一个三角形。
生8：我摆的是9cm的，也可以围成一个三角形。
生9：不可以。
生8：可以，（引起争论，学生各自讲出理由）
生10：我用小棒摆的是2cm，不能围成一个三角形。
……
四、推理验证、得出结论
师：究竟三角形的三边有怎样的关系？下面我们小组合作一起来研究能围成三角形的边的关系。（学生活动，教师指导）
1组代表：我们是通过计算得出的结果是7+3>5、7+5>3、3+5>7。
师：还有哪些小组是这样算的？（学生汇报）从这些算式中你发现了什么？（引导得出：三角形任意两边之和大于第三边。）
2组代表：我们计算时用的是减法，果是：（1）7-5
师：你们的思维很独特，是呀，是不是出会是这样呢？我们一起来验证吧。（得出：三角形任意两边之差小于第三边。）
生11：我发现了一种简便算法，运用加法计算只要算一个就可以了。比如：7、5、3这个三角形，本身7>5，所以不论7加哪一条边一定大于第三条边，只要算出5+3>7这一组就可以了。
五、深化、推广结论
师：我们通过探究、实践为5cm和3cm的小棒配了6种不同的小棒围成了三角形，只有这6种吗？（学生回答，集体订正）师：你能说说最长能配多长的一根小棒吗？（学生通过探索，思考得出有无数种，只要大于2cm小于8cm）
师：经过我们的探究、实践，得出三角形任意两边之和大于第三边。下面，用得到的结论验证为什么这些不能围成三角形呢？
生12：因为它们都要不符合这个结论，如3+5=8……
师：你能想办法让它们也能围成一个三角形吗？
生13：1cm的小棒用3根，0.5cm的小棒用5根……
师：同学们，教师真佩服你们，通过自己猜测、探究、验证，得出了三角形边的关系，并找到了判断的最简方法，下面，我们运用得到的结论来解决一些数学问题。
……
教学反思：“探究是数学的生命线”。没有探究，便宜没有数学的发展。在本案例中，我大胆地放手让学生根据猜测结果去验证、探究。让学生时刻感受自己是学习的主人。学生在这样的活动中积极思考、大胆操作，且争先恐后地上台展现自己，从中体验到到探究的价值。不仅摆正了教师和学生引导者与主体者的关系。而且实现了师生、生生的交流互动。
教学目标：①知识与技能：通过创设情境，观察比较，初步感知三角形边的关系，体验学数学的乐趣；运用“三角形任意两边的和大于第三边”的性质，解决生活中的实际问题。②过程与方法：通过动手操作、小组合作，经历发现“三角形任意两边的和大于第三边”这一性质的活动过程，培养学生的动手能力、合作能力、逻辑思维能力、自主探究能力。③情感与态度：通过数学知识的应用，感受数学与实际生活的密切联系，体验“做数学”的成功，培养学生的应用意识；在推导结论中，学会从全面、周到的角度考虑问题；在小组合作的活动中，培养团结协助的精神。
教学重点：理解、掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的性质。
教学难点：通过动手操作、小组合作，引导学生探究并发现“三角形任意两边的和大于第三边”这一性质。
教学准备：课件一套，小棒若干。
教学过程：
1 探索三角形三边的关系
1.1 谈话导入。师：请同学们拿出老师刚才发给你的两根小棒，请同学们观察这两根小棒有什么特点？生：一长一短。师：如果老师想让你们用它们围成三角形，怎么办？生：把其中的一根剪成两段。师：是不是不管剪长的的这一根还是短的这一根都能拼成三角形呢？生：（两种情况）可以或者不可以。师：那下面我们来个比赛，这样我们请这几组把短的这一根剪成两段，请这几组把长的这一根剪成两段，我们来比一比，哪一组最先围成三角形，那一组就获胜。请准备，比赛开始！
1.2 学生动手实验。
1.3 造成悬念：师：时间到，我们祝贺围成的同学，你们获得了胜利，让我们用热烈的掌声向获胜的同学表示祝贺。生1：老师，比赛不公平。生2：材料不一样。生……师：有的同学说了刚才的比赛不公平，是因为材料的问题。看来不是随随便便的三根小棒就可以围成一个三角形，这里面肯定藏着什么秘密。能不能围成三角形与小棒的长度有关，也就是与三角形的边有关系。（板书课题）三角形的三边关系。师：请同学们先想一想自己刚才剪小棒和围三角形的过程，然后结合自己是否能围成三角形的这个结果，四人一小组进行讨论，看看你们都有什么发现？
1.4 学生讨论。
1.5 汇报。生1：我发现我是把短的这一根小棒剪成两段，这两段的长度的和比长的那一根的长度要长，就不能围成三角形。而我同桌的是把长的那一个剪成两段，这两段的长度的和要比短的那一根的长度要长，能围成三角形。生2：也就是说，如果三根小棒中的两根小棒的长度和比第三边的长度要长，这样的三根小棒就能围成三角形。（师板书）三角形（任意）的两边之和大于第三边。师：请同学们想一想，我们怎么帮帮刚才没有围成三角形的同学们，把他手中的小棒加工一下，让他们的小棒也围成三角形？生：把长的那一根剪短。师：剪多少？生：剪得比另外两根小棒的和要短。师：请同桌互相合作完成。
设计意图：通过一场不公平的比赛和学生对实际问题的操作，学生发现有些（三根棒）能围成三角形，有些（三根棒）不能围成三角形，学生产生质凝，为什么会出现这样的结果，激发学生学习兴趣。产生学习动力。培养了学生自主学习，自主探究的精神。通过进一步验证，初步了解构成三角形的条件，大大地提高了学生分析问题、解决问题的能力，同时也教给了学生探索几何问题的方法。
2 验证并完善结论
师：刚才我们通过一个不公平的比赛，得出了“只有当三条线段的两条线段的之和大于第三线段时，这三条线段才能围成三角形”这个结论，那么请同学们拿出老师给你的小棒，请你们观察一下这些小棒与刚才的小棒有什么不同？生：小棒上有数据。师：看来这些数据是有用的。现在我们来进行一次公平的比赛，请同学们在老师给你的小棒中迅速的找出三根小棒来围成三角形，看看谁围得最快。学生汇报，说明自己的理由，并说出自己的方法。（出现简单的判定方法：“两条短的线段的长度的和大于第三条线段的长度就能围成三角形”）师：（设疑）用3cm、6cm、9cm这三根小棒能围成三角形吗？为什么？（引出）“两边之和大于第三边不太准确”，要加上“任意”（用不同的颜色注明）。师（小结）：通过刚才的这个比赛，我们知道了不是说只要两条线段的和大于第三条线段就可以围成三角形，要保证任意两条线段之和大于第三条线段才行。同时我们还学会了一种简单的判定方法，就是只要两条短的线段的和大于第三条线段就能围成三角形。
设计意图：通过第二场公平的比赛，学生在比赛、讨论中总结出了简单的判定方法，并且通过用“3cm、6cm、9cm”三根小棒围三角形的活动进一步完善了“三角形任意两边之和大于第三边”这一性质。学生在比赛中学习知识、完善知识，同时也对知识加深了印象。
3 巩固练习
同学们学的怎么样呢，我们来做几道巩固练习。
3.1 课本“做一做”。在能拼成三角形的各组小棒下面画“√”。（单位：厘米）学生汇报（要求说出判断的方法及简单的判定方法）
3.2 最短路线。小明家到学校有几条路可以走？哪条最近？为什么？
3.3 如果姚明的两条腿分别长1.3米，他迈一大步的长能达到3米吗？（动画演示姚明“劈叉”，让学生在开心愉悦中知道“三角形的任意两边之和大于第三遍”这一性质在生活中的应用）
设计意图：通过巩固练习让学生加深了对“三角形三边关系”的了解，同时在愉悦的学习活动中知道了数学知识是来源于生活，而又运用到生活中去的。
4 拓展练习（渗透取值范围）
（出示）学校的木工小组现有两根木条，分别长7厘米和10厘米，要选择第三根木条，钉成一个三角形木架，你能帮助确定第三根木条的长度可以是多少厘米？（结果是整厘米数）师：请同学们四人一小组讨论。（学生汇报）生：可以是4cm、5cm……一直到16cm。师：可以是3cm吗？17cm吗？为什么？生：不可以，要保证两边之和要大于第三边。师：也就是说第三根的长度要比3cm大，比17cm小，也就是说在3cm和17cm之间才行。生：我发现3cm是7cm和10cm的差，而17cm是7cm和10cm的和。师：也就说是要比两边之和要小，比两边之差要大。
设计意图：本环节的习题是一道生活中的问题，让学生在解决生活中问题的同时对所学知识进行进一步的加深，同时又让学生通过找可以围成三角形的第三边的长度来学习已知三角形两边的长度来确定第三边长度的取值范围。
5 全课小结
师：这节课你有什么收获？生汇报。师：今天我们学习了三角形的边的一些知识，其实三角形还有很多的知识值得我们去探索和研究，希望同学们在后面的学习中也能学的开心和快乐。
教学反思：三角形是常见的一种图形，在平面图形中，三角形是最简单、最基本的图形，一个多边形都可以分割成若干个三角形。因此，把握好这部分内容的教学不仅可以从形的方面加深学生对周围事物的理解，发展学生的空间观念，而且可以在动手操作、探索实验和联系生活应用数学方面拓展学生的知识面，发展学生的思维能力和解决实际问题的能力。
【关键词】数学；小学；三角形；教学；案例
教学内容：
北师大版小学数学第八册《三角形边的关系》
教学目标：
1、通过摆一摆等操作活动，探索并发现三角形任意两边的和大于第三边，并应用这一性质判定指定的三条线段能否组成三角形。
2、引导学生参与探究和发现活动，经历操作、发现、验证的探索过程，培养自主探索、合作交流的能力，激发学生探究知识的愿望和兴趣 ，进一步发展空间观念，锻炼思维能力。
教学重点：
探索发现三角形任意两边的和大于第三边。
教学难点：
能应用发现的结论，来判断指定长度的三条线段能否组成三角形，并能灵活实际运用生活。
教学过程：
一、导入
1、小熊要建一座小竹屋，什么形状的屋顶美观又稳固？（三角形）
2、小熊已搭好了一条8m的边，从3m、4m、5m的竹子中再选两根，合起来做三角形屋顶，可以怎样选择？
3、学生操作演示（实物投影）：老师事先准备了4根分别注明是8cm、3cm、4cm、5cm的小棒（老师说明：cm代表m）
3cm、4cm、8cm （不能围成）
3cm、5cm、8cm （不能围成）
4cm、5cm、8cm （能围成）
4、看到结果，你有什么疑问？（为什么有的能围成三角形，有的不能围成？到底怎样的3根小棒才能围成三角形呢？能围成三角形的三根小棒之间有什么关系？）
5、让我们像数学家一样去探索和发现三角形边的关系（板书课题）。你有信心和勇气吗？
二、实验探索：
1、分组实验，合作探索：
从3cm、3cm、3cm、4cm、5cm、6cm、9cm共7根小棒中选三根小棒摆一摆，也可以用画一画（自己选择数据画三角形）、量一量（量已有三角形的各边）、折一折（用纸折三角形）等其它方法来试一试。将实验结果填在报告单中：
（附实验报告单）：
3cm、3cm、3cm、4cm、5cm、6cm、9cm
第一边长度cm第二边长度cm第三边长度cm能否围成（能√，否×）比较三条边关系
3453+454+535+34
2、小组内分析数据，交流探究结果。
三、发现结论
1、小组汇报交流实验结果：你发现了什么？（能围成的三角形任意两边之和都大于第三边。）
①不能围成三角形的每组小棒的长短有什么关系？（有一组两边之和小于或等于第三边）
如：3+4
②能用一句话说说你的发现吗？（三角形任意两边之和都大于第三边）
2、归纳结论：
同学们，祝贺你们探索和发现了三角形边的关系，让我们自豪地再说一遍这个结论。
四、拓展应用
师：同学们真了不起，能探索和发现三角形三边的关系了。那么请同学们拿出信封中的三根小棒，说说为什么这三根小棒围不成三角形呢？
生1：我的信封中的三根小棒中有两根小棒的长度和没有第三根长，所以围不成。
生2：我的信封中的三根小棒中的两根小棒的长度和等于第三根，所以也围不成。
师：看来只有当三根小棒的长度满足三角形边的关系，才能围成三角形。请同学们判断下面几组线段是否能围成三角形？
（1）3厘米 4厘米 6厘米 （ ）
（2）1厘米 2厘米 3厘米 （ ）
生1：因为3+4>6、4+6>3、3+6>4，满足了三角形边的关系，所以能围成三角形。
生2：因为1+2=3，所以围不成三角形。
师：大家想一想，有没有一个简单的方法，快速判断三条线段是否能围成三角形？
生1：可以直接看较短的两条线段之和是否大于第三条线段，如果大于就说明能围成，反之就不能围成三角形。
生2：我同意，两条短边之和大于第三边，那么长边和短边之和肯定就大于另一条短边了。
师：同学们说的很好，下面就请同学们自己说几组线段让同学们用这个方法快速判断一下。（同桌互说）
五、完成书上的例题填表然后集体交流
六、全课总结
这节课你有哪些收获？关于三角形边的关系还有值得我们探讨的地方，比如三角形任意两边的差与第三边有什么样的关系？有兴趣的同学课后可以自己探索。
反思：
对于四年级的学生来说，三角形一点都不陌生，所以我放手让学生独立进行操作，把较多的时间放在了探究三角形边的关系方面了，这是本课的一个难点。从“是不是所有的三根小棒都能围成一个三角形？”，借助了小棒、画图等手段，引发学生的主动探究，使学生获得了一定的数学知识，激发了学习兴趣，培养了探索意识。
我首先创设有趣的、具有生活实践意义和挑战性的问题情境，可以激发学生强烈的求知欲和探索兴趣，使学生积极主动参与操作活动，进行探索。通过小熊造房子盖三角形屋顶这一具体情景，创设数学问题，激发学生强烈的探究欲望，感受数学学习的价值，体现了“数学知识来源于生活”。
其次，我设计了摆三角形的探索性学习活动。三角形两条边长度的和大于第三边，是本课的教学重点，是三角形内在的特征，教学时采用的一般操作活动是很难让学生自主体验的，因此，我由指向明确的问题导入：是不是任意长度的三条线段都能围成三角形呢？继而组织学生展开探索性学习活动，把探索结果记录下来后，组织全班学生展开充分的讨论：为什么不能围成三角形，什么情况下能围成三角形。其中，着重解决两边之和等于第三边的情况，并引导学生形成思维：两条边长度之和大于第三边，是指任意两条边之和大于第三边，在此基础上，进行抽象概括，形成正确认识。这一过程，使学生既加深了对三角形内在特征的认识和理解，又通过此过程感受到数学思想方法，提高了数学学习的兴趣和信心。
再次，我安排了探究意味很浓的课堂练习。课堂练习不是简单的强化和巩固，而是进一步完善认知结构，优化思维的过程。教学中我充分注意到了这一点，通过练习，学生在所学内容的基础上，对知识又有发展，找到了最佳的判断方法。
课堂是每个学生都在经历着的生命历程，学生渴望着这个历程的丰富多彩，生活中毫不起眼的一些例子都能引起他们为之思考、争论、兴奋、抱怨，那是因为师生共同的“演绎”让课堂成为富有经历与创造的过程。我注意引导学生自己动脑、大胆猜想、勇于实践、积极创新，用数学的眼光去探索和发现，使学生感受到学习数学的乐趣。但在组织学生动手实践时，怎样引导学生有序地、有目的性地去合作探索？这是值得我去探索，去继续努力的。
参考文献
在新课程理念指导下，通过动手实践引导学生积累数学活动经验，获得数学知识，这是一条比较有效的途径。那么，是否所有的教学内容都必须让学生动手操作呢？该如何选择合适的操作材料呢？现以“三角形三边关系”一课教学为例，谈谈自己的看法。
案例一：
师：现在提供给大家三根小棒，上面标有长度，先动手摆三角形，然后将围成三角形的小棒长度填写在下表中，并思考为什么有的小棒能围成三角形，有的却不能。
学生经过思考讨论后得出结论——三角形任意两边之和大于第三边，师让学生画出三角形进行验证。
……
案例二：
师：现在拿出学具中的三根小棒（都有长度），让这三根小棒围不成三角形，然后将数据和发现填写在下表中。
学生先拼摆、交流讨论，再上台演示摆不成的情况，通过教师的引导，最终得出“两边之和小于或等于第三边摆不成三角形”的结论，即“三角形的两边之和大于第三边”。
……
思考：
上述两个案例的教学方法大同小异，都是通过动手操作，让学生理解三角形两边之和大于第三边，前者是从能够围成三角形的角度入手，后者是从不能围成三角形的角度引入。无论是用哪种教学方式，这两位教师选取的材料是一样，因而在实践中出现了共同的问题：在探究为4厘米、5厘米、9厘米的三根小棒能否围成三角形时，学生出现了分歧，认为能够围成三角形的学生大有人在。究其原因，主要在于操作材料的使用上有其局限性。教师给学生操作的材料都是吸管、细铁丝、磁力棒、细条等，但这些材料不是太软就是太厚，使得端点的连接不能严丝合缝，导致动手操作的普遍性大打折扣，学生无法从直观表象中抽象出本质。此外，动手操作的步骤都是在教师引导下进行的，剥夺了学生自主探究的权力，使数学的活动经验不能得到正向迁移。
那么，该如何改进这一问题呢？笔者认为可采用推理和探究的方式，引导学生得出结论。
改进后的教学：
师：小明家到邮局有2千米，学校到邮局有5千米，小明家到学校有多远？你能有几种方案？
学生认为有以下两种情况：
师：还有哪种情况？
生1：我认为还有一种情况，即学校和邮局、小明家不在一条线上，都在不同的位置（如下图）。
师：那么，小明家到学校的距离比7千米远还是近？（学生猜测远，因为三角形两边之和大于第三边）是否如此呢？（学生将小明家的位置全部画出来，师使用几何画板动态演示如下）
学生发现，当刚好是5－2=3或5+2=7时，小明家、邮局、学校在同一条线上，这个时候就没有形成三角形。学生根据算式得出结论：三角形一边小于其他任意两边之和，大于其他两边之差。
……
思考：
从上述教学发现，课堂教学并没有固定的模式可循，并不是所有的教学内容都必须要让学生动手实践操作。如在“三角形的三边关系”一课中，学生的操作不但抑制了思维的发展，而且也让学生失去了思考的机会。而借助多媒体课件的展示，教师可以一步步地引导学生探究，培养学生思维的严密性，得出正确的结论。
那么,如何学好这类几何证明呢?本人认为应做到以下12个字:“见什么想什么,要什么写什么”.
要做到“见什么想什么,要什么写什么”,则要求学生要有一个比较扎实的几何系统知识,即几何中的相关概念、命题,相关性质、公理与定理等基础知识,并对这些知识熟练记忆.因此,我们在记忆的时候要将相关知识联系记忆,并进行比较,从中找出该知识间的必然联系.
那么如何理解“见什么想什么,要什么写什么”这12个字的学习方法呢?
1 “见什么想什么”
1.1 想相关的性质(即可以用得到的东西)
①见到垂直,即要想到:(1)所成的角为90°;(2)线段的垂直平分线(其上的点到线段两端的距离相等);(3)有可能是三角形的高.
②见到线段的中点或角平分线,即要想相关的三个表达式子:(1)两个小者的相等关系(较短两条线段或较小两个角);(2)小者等于大者的一半的关系(较短两条线段或较小两个角与最长线段与最大角);(3)大者等于小者的2倍的关系(最长线段与最大角与较短两条线段或较小两个角).
③见到两直线平行,马上要想到有关的角的性质:(1)内错角相等;(2)同位角相等;(3)同旁内角互补.
④见到直角三角形,即要想到:(1)有一角为90°;(2)勾股定理;(3)斜边上的中线等于斜边的一半;(4)30度角所对的直角边等于斜边的一半.[注:(3)与(4)都有这样的关系:等于斜边的一半];(5)全等时的HL.
⑤见到等腰三角形,即要想到:(1)两腰相等;(2)两(底)角相等;(3)三线合一.
⑥见到有关解多边形的题目,我们必须想到与多边形相关的内角和、外角和知识:即内角和为:(n-2)×180 °、外角和为:360°.
⑦见到平行四边形,马上要想到平行四边形具有如下可用到的东西:(1)对边平行;(2)对边相等;(3)对角相等;(4)对角线互相平分.
⑧见到矩形,马上想到矩形具有如下可用到的东西:(1)角相等,且为90°;(2)对边平行;(3)对边相等;(4)对角线互相平分,且相等.
⑨见到菱形,马上想到菱形具有如下可用到的东西:(1)对边平行;(2)四边相等;(3)对角相等;(4)对角线互相平分,垂直,且平分每一组对角.
⑩见到正方形,马上想到正方形具有如下可用到的东西:(1)对边平行;(2)四边相等;(3) 四角相等,且都为90°;(4)对角线互相平分,相等,垂直,且平分每一组对角.
1.2 想相关的方法(即怎样见题想方法)
①见要求有关的角相等,马上想到可以用如下方法去解答:(1)看角的情况,证两直线平行;(2)最常用的利用三角形全等;(3)角在同一三角形中,可证其是等腰三角形;(4)借助第三个量,找其等量关系.
②见要求有关的线段相等,马上想到可以用如下方法去解答:(1)最常用的利用三角形全等;(2)线段在同一三角形中,证其是等腰三角形;(3)看是否有线段的垂直平分性质,想线段垂直平分线上的点到两端的距离相等;(4)线段是四边形的两条对边,则可证其是特殊的四边形(平行四边形、菱形、矩形、正方形等)
③见要证线段的大小关系,则要想到把相关的线段转变到三角形中,进而用三角形的三边关系以及直角三角形中的勾股定理来解决.
④见要证线段之间的和差关系,一般来说是要把较长的线段进行拆分,构造出一些相等的线段,然后进行转化.
⑤见到要证两个三角形全等,即要想到证全等的三个条件(HL两个条件除外):SAS、ASA、AAS、SSS,然这三个条件则需看题目去找,注意条件不能乱套,乱用.
[三角形的全等,是初中几何的一个重要知识点;对三角形全等的条件要灵活运用,灵活去找出其隐藏的条件:比如说对顶角、公共角(或公共边)相等、垂直隐含直角的关系、中点隐含线段相等的关系、角平分线隐含角相等或角平分线上的点的一些关系(到两边距离相等)以及三角形内角和为180°、角的互余互补关系等等]
1.3 想相关的思路
①证两条直线平行:
观察题目中的 “两线”被第三“线”所截所成的角而想相关的方法,如出现同位角则可用“同位角相等,两直线平行”,如还出现内错角或同旁同角,则也可以用相应的方法来证明.
②证三角形全等或相似:
观察题目中所给出的边与角的条件对应SAS、ASA、AAS、SSS进行比较进而想思路,如题目告之的是:一角一边,则可选取SAS、ASA、AAS,再看角与边哪个好找就用相应的方法;如题目告之的是两边或两角,则选用SAS、SSS(ASA、AAS),这样一来,思路就比较明确啦.证相似也是一样,且更加简单,条件只需要两个,题目告之的是一角,则选取AA来证最为简单;如题目告之的是:一角一边,则可选取SAS、如题目告之的是两边,则选用SAS、SSS.但请记住:证明相似最常用常考的方法是:AA.
③证明平行四边形:
(1)见题目中告诉与边有关的内容,想到用“两组对边平行”、“两组对边相等”、“有一组对边平行且相等”来证明;(2)见题目中告诉与角有关的内容,想到用“两组对角相等”、“两组对边平行(因角相等可想到两直线平行)”;(3)见到题目中告诉与对角线有关的内容,想到用对角线来证明,即“对角线互相平分”.
④证明矩形:
(1)见题目中告诉的是与平行四边形有关的,则马上想到:a.利用定义(有一个角是直角)来证;b.证明两条对角线相等[注:见到题目中是与对角线有关,则马上想到是用b来证];(2)见题目中告诉的是与四边形有关,则想到证角为90度(三个角都是直角),或是看题目中的边、角、对角线的关系,先把其转化为平行四边形,再利用(1)的方法来证.
⑤证明菱形:
(1)见题目中告诉的是与平行四边形有关的,则马上想到:a.利用定义(有一组邻边相等)来证;b.证明两条对角线垂直[注:见到题目中是与对角线有关,则马上想到是用b来证];(2)见题目中告诉的是与四边形有关,则想到证边相等(四条边都相等),或是看题目中的边、角、对角线的关系,先把其转化为平行四边形,再利用(1)的方法来证.
⑥证明正方形:
证明正方形的主要的方法都是利用正方形的不同定义以及正方形的双重性(既是矩形又是菱形):即是看题目中的边、角、对角线的关系,证出是矩形(或菱形)[这些证明方法同上②、③.相同],然后再证一组邻边相等(或是有一个角是直角)就行了.
⑦证明等腰梯形:
(1)见到题目中告诉与角有关的梯形,则想到证两底相等;(2)见到题目中告诉与对角线有关的梯形,则想到证两条对角线相等就行.
以上谈到的见什么想什么,在今后的学习中还可能遇到与其有关的知识内容,那么到时自己进行小结,把相关的内容加到相应的知识点中去.
2 “要什么写什么”
我们在证明的过程中,由一个知识点可能得到很多相关的性质、结论,但并不是所有的结论我们都要在证明过程中写上,如果这样反而使证明过程不清不楚,适得其反.所以在写证明过程中要做到“要什么写什么”:即题目要怎样的结论我们就写叫哪些的结论,这样我们的证明过程就简捷、明确,推理具有逻辑性.
比如,1.常用的三角形全等,则会得出有六个相应的结论:三组边、三组角对应相等,那么,我们在证明的过程中就要看清楚:是要用线段(即是边)的关系,还是用角的关系,进而写出相应的结论,这样才能使证明过程简洁、明确,推理具有逻辑性.2.比如平行四边形、矩形、菱形、正方形等都有很多的性质结论:边的关系(汲及到线段时还可能用到对角线的一些内容:平分,交点为线段的中点等)、角的关系(也可能用到对角线平分每一组对角的这一重要性质)以及对角线的关系(其又有不同的关系:平分、相等、垂直、平分每一组对角,因而要适当选择来解题).
总之,在解题的过程中,要认真观察题目的每一句话,进而去想到相关的知识去解决问题.
下面以2009年中考题为例介绍如何用“12字”法:
例1 (2009年广西钦州)(1)已知:如图1,在矩形ABCD中,AF=BE.
求证:DE=CF;
分析 ①想解题方法:本题一见要证明DE=CF,而这两条线段分别在不同的三角形中,所以我们想到的方法与思路就是用证明三角形全等的方法来证明两条线段相等,②想相关性质:题目知之是在矩形ABCD中,所以想到矩形相关的边(对边相等与平行)、角(四个角相等且都等于90°)的关系;③想相关解题思路:本题想到是用证明三角形全等的方法来证,但用全等条件的哪一个呢?这两三角形是直角三角形,而斜边DE、CF为所求,所以不可能用HL来证,要求证边,也不可能用SSS来证,题目告之有相关的边加上矩形相关性质而想到正确的方法应该用SAS来证.
证明 因为AF=BE,所以AF+EF=BE+EF ,即:AE=BF. 因为四边形ABCD为矩形,所以AD=BC,∠A=∠B=90° (注:这里用什么写什么,比如AD∥BC,AB=BC这些条件是不用的,所以就算是正确也不用写下去),所以ADE≌BCF,所以DE=CF.
例2(2009年娄底)如图2,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,CE.
(1)求证:ABE≌ACE;
(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.
分析 ①想解题方法与思路:
本题一见要证明ABE≌ACE,马上想到证明一般三角形全等的四种方法:SAS、ASA、AAS、SSS,而通过观察题目与对应要证的三角形比较,知一边且有一公共边,所以想到SAS与SSS,而另一边也无法求故想到SAS.②想相关性质:由题目中的“AB=AC,D是BC的中点”想到“三线合一”,③ “要什么写什么”:而本题证明全等只需用到角,所以在写的过程中,只写两小角相等即可.
第一章 整式的运算一、整式1、单项式：表示数与字母的积的代数式。另外规定单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数。注意系数包括前面的符号，系数是1时通常省略， 是系数， 的系数是单项式的次数是指所有字母的指数的和。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。 (几次几项式)每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。多项式的次数：多项式中次数的项的次数。项的次数是几就叫做几次项，其中不含字母的项叫做常数项。3、整式;单项式与多项式统称为整式。(最明显的特征：分母中不含字母)二、整式的加减：①先去括号; (注意括号前有数字因数)②再合并同类项。 (系数相加，字母与字母指数不变)三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 ( ) 注意00没有意义。5、负整数指数幂： ( 正整数， )6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。 ( )注意：以上公式的正反两方面的应用。常见的错误： ， ， ， ，四、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。五、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。六、多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。七、平方差公式两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。八、完全平方公式两数的和(或差)的平方，等于这两数的平方和再加上(或减去)两数积的2倍。常见错误：九、单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。十、多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。第二章 平行线与相交线一、互余、互补、对顶角1、相加等于90°的两个角称这两个角互余。 性质：同角(或等角)的余角相等。2、相加等于180°的两个角称这两个角互补。 性质：同角(或等角)的补角相等。3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角;或者一个角的反相延长线与这个角是对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等。4、两条直线相交，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 (相邻且互补)二、三线八角： 两直线被第三条直线所截①在两直线的相同位置上，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同位角。②在两直线之间(内部)，在第三条直线的两侧(旁)的两个角叫做内错角。③在两直线之间(内部)，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同旁内角。三、平行线的判定①同位角相等②内错角相等 两直线平行③同旁内角互补四、平行线的性质①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。五、尺规作图(用圆规和直尺作图)①作一条线段等于已知线段。 ②作一个角等于已知角。第三章 三角形一、认识三角形1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。2、三角形三边的关系：两边之和大于第三边;两边之差小于第三边。(已知三条线段确定能否组成三角形，已知两边求第三边的取值范围)3、三角形的内角和是180°;直角三角形的两锐角互余。锐角三角形 (三个角都是锐角)4、三角形按角分类直角三角形 (有一个角是直角)钝角三角形 (有一个角是钝角)5、三角形的特殊线段：a) 三角形的中线：连结顶点与对边中点的线段。 (分成的两个三角形面积相等)b) 三角形的角平分线：内角平分线与对边的交点到内角所在的顶点的线段。c) 三角形的高：顶点到对边的垂线段。 (每一种三角形的作图)二、全等三角形：1、全等三角形：能够重合的两个三角形。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。3、全等三角形的判定：判定方法内 容简称边边边三边对应相等的两个三角形全等SSS边角边两边与这两边的夹角对应相等的两个三角形全等SAS角边角两角与这两角的夹边对应相等的两个三角形全等ASA角角边两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等AAS斜边直角边斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL注意：三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形形全等;AAA两条边与其中一条边的对角对应相等的两个三角形不能判定两个三角三角形全等。SSA4、全等三角形的证明思路：条 件下一步的思路运用的判定方法已经两边对应相等找它们的夹角SAS找第三边SSS已经两角对应相等找它们的夹边ASA找其中一个角的对边AAS已经一角一边找另一个角ASA或AAS找另一边SAS5、三角形具有稳定性，三、作三角形1、已经三边作三角形2、已经两边与它们的夹角作三角形3、已经两角与它们的夹边作三角形(已经两角与其中一角的对边转化成这种情况)4、已经斜边与一条直角边作直角三角形第四章 生活中的变量一、变量、自变量与因变量①两个变量x与y，y随x的改变而改变，那么x是自变量(先变的量)，y是因变量(后变的量)。二、变量之间的表示方法：①列表法②关系式法：能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。③图象法：用水平方向的数轴(横轴)上的点表示自变量，用坚直方向的数轴(纵轴)表示因变量。第五章 生活中的轴对称一、轴对称图形与轴对称①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。③常见的轴对称图形：线段(两条对称轴)，角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 ∠1=∠2 PBOB PAOA PB=PA三、线段垂直平分线：①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 OA=OB CDAB PA=PB四、等腰三角形性质： (有两条边相等的三角形叫做等腰三角形)①等腰三角形是轴对称图形; (一条对称轴)②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合; (三线合一)③等腰三角形的两个底角相等。 (简称：等边对等角)五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边也相等。(简称：等角对等边)六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。① 等边三角形的三条边相等，三个角都等于60; ②等边三角形有三条对称轴。七、轴对称的性质：① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ②对应线段、对应角相等;② 对应点的连线被对称轴垂直且平分; ④对应线段如果相交，那么交点在对称轴上。八、镜子改变了什么：1、物与像关于镜面成轴对称;(分清左右对称与上下对称)2、常见的问题：①物体成像问题;②数字与字母成像问题;③时钟成像问题
正弦定理和余弦定理的承载背景是三角形。正弦定理和余弦定理架起了沟通三角形的边和角的桥梁。下面结合具体的例题谈谈正弦定理和余弦定理在三角形中的应用。
1利用正弦、余弦定理解斜三角形
例1.在ABC中,已知a=2,b=3,A=45°,求B、C及c。
思路:已知a, b, A,由正弦定理可求B,从而可求C, c。
点评归纳:(1)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判明是否有解,例如在ABC中,已知a=1,b=2,A=60°,则sinB=basinA=3>1, 问题就无解。如果有解,是一解,还是二解。
(2)正、余弦定理可将三角形边角关系互相转化。
(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定。
2面积问题
例2.ABC中角A、B、C的对边分别为a, b, c,且b2+c2-a2+bc=0
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,求SΔABC的最大值;
(3)求asin(30°-c)b-c的值。
思路:(1)由b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想余弦定理,求出cosA,从而求出A的值。
(2)由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b, c的关系式,利用不等式,即可求出bc的最大值,进而求出SΔABC的最大值。
(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能。从而达到化简求值的目的。
解析:(1)因为cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,所以A=120°
(2)由a=3,得b2+c2=3-bc,又因为b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号),所以3-bc2bc,当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1,
所以SΔABC=12bcsinA34,所以SΔABC的最大值为34
点评归纳:(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理运用,有时还需要交替使用。 (2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理,出现一次式,一般要考虑正弦定理。 (3)在求三角形面积时,通过正、余弦定理求一个角,两边乘积,是一种常见思路。
3判断三角形形状
例3.在ABC中,a, b, c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B),该判断三角形的形状。
思路:利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系。
解析:已知即a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]
所以2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正弦定理,即sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA
所以sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,所以sin2A=sin2B,
由,0
即ABC是等腰三角形或直角三角形。
点评归纳:三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosc等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sinA=sinBA=B;sin(A-B)=0A=B;sin2A=sin2BA=B或A+B=π2等。
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初三数学知识点总结一、直线、相交线、平行线
1.线段、射线、直线三者的区别与联系
从图形、表示法、界限、端点个数、基本性质等方面加以分析。
2.线段的中点及表示
3.直线、线段的基本性质(用线段的基本性质论证三角形两边之和大于第三边)
4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线)
5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)
6.互为余角、互为补角及表示方法
7.角的平分线及其表示
8.垂线及基本性质(利用它证明直角三角形中斜边大于直角边)
9.对顶角及性质
10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)
11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);
②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12.定义、命题、命题的组成
13.公理、定理
14.逆命题
二、三角形
分类：⑴按边分;
⑵按角分
1.定义(包括内、外角)
2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;
②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，
3.三角形的主要线段
讨论：①定义②线的交点-三角形的心③性质
① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质
5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6.三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7.重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8.证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法-反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来
三、四边形
分类表：
1.一般性质(角)
⑴内角和：360
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的`四边形各边中点得矩形。
⑶外角和：360
2.特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤：四边形平行四边形矩形正方形
⑷对角线的纽带作用：
3.对称图形
⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)
4.有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。(如，找下图中面积相等的三角形)
5.重要辅助线：①常连结四边形的对角线;
②梯形中常平移一腰、平移对角线、作高、连结顶点和对腰中点并延长与底边相交转化为三角形。
6.作图：任意等分线段。
初三数学知识点归纳大全第四章直线形
重点相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
内容提要
一、直线、相交线、平行线
1.线段、射线、直线三者的区别与联系
从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2.线段的中点及表示
3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)
4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线)
5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)
6.互为余角、互为补角及表示方法
7.角的平分线及其表示
8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)
9.对顶角及性质
10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)
11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);
②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12.定义、命题、命题的组成
13.公理、定理
14.逆命题
二、三角形
分类：⑴按边分;
⑵按角分
1.定义(包括内、外角)
2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;
②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，
3.三角形的主要线段
讨论：①定义②__线的交点―三角形的×心③性质
①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质
5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6.三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7.重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8.证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法―反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来
三、四边形
分类表：
1.一般性质(角)
⑴内角和：360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和：360°
2.特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤：四边形平行四边形矩形正方形
菱形――
⑷对角线的纽带作用：
3.对称图形
⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)
4.有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。(如，找下图中面积相等的三角形)
5.重要辅助线：①常连结四边形的对角线;
②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
6.作图：任意等分线段。
初中数学知识点总结归纳代数部分：有理数、无理数、实数整式、分式、二次根式一元一次方程、一元二次方程、二(三)元一次方程组、二元二次方程组、分式方程、一元一次不等式函数(一次函数、二次函数、反比例函数)
几何部分：线段、角相交线、平行线三角形、四边形、相似形、圆。
1、实数的分类
有理数：整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数。如：-3，，0.231，0.737373...
无理数：无限不环循小数叫做无理数如：π，-，0.1010010001...(两个1之间依次多1个0)。
实数：有理数和无理数统称为实数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住"无限不循环"这一时之，它包含两层意思：一是无限小数;二是不循环.二者缺一不可.归纳起来有四类：
(1)开方开不尽的数，如等;
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;
(3)有特定结构的数，如0.1010010001...等;
(4)某些三角函数，如sin60o等。
注意：判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断.要注意："神似"或"形似"都不能作为判断的标准.
3、非负数：正实数与零的统称。
(表为：x≥0)
常见的非负数有：
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴("三要素")。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
5、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
1． 已知一边和两个角，解三角形
例1 在ABC中，已知a ＝ 20，A ＝ 30°，C ＝ 45°，求B，b，c．
思维导引 由正弦定理先求角C对应的边长c.
解析 A ＝ 30°，C ＝ 45°， B ＝ 180° － （A ＋ C） ＝ 105°.
又由正弦定理得c = ■ = ■ = 20■，
b = ■ = ■＝ 40 sin（45° ＋ 60°）= 10（■ + ■）.
B ＝ 105°，b ＝ 10（■ ＋ ■），c ＝ 20■．
规律方法 已知三角形的任意两个角及一边，由三角形内角和定理可以先求出三角形的另一角，再由正弦定理计算出三角形的另两边.
2． 已知两边和其中一边的对角，解三角形
例2 在ABC中，已知a ＝ ■，b ＝ ■，B ＝ 60°，求A，C，c．
思维导引 先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理求第三角，最后求第三边.
解 由正弦定理有■ = ■，解得sin A = ■．
由a < b，得A < B． A = 45°，C = 75°．
c = ■ = ■ = ■.
规律方法 已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形. 先由正弦定理求另一边的对角（要注意有可能两解），再由内角和定理求第三角，最后求第三边.
3． 已知两边及其夹角，解三角形
例1 在ABC中，已知a ＝ 2■，c ＝ ■ ＋ ■，B = 45°，解三角形．
思维导引 先由余弦定理求第三边和另一个角，再由内角和定理求第三个角．
解 由余弦定理，得b2 ＝ a2 ＋ c2 － 2ac cos B ＝ 8，
b ＝ 2■．
由正弦定理，得sin A = ■ = ■ = ■．
c > a > b， A为锐角．
A = 60°，C = 180° - 45° - 60° = 75°．
4． 已知三角形的三边，解三角形
例4 在ABC中，已知a ＝ 7，b ＝ 3，c = 5，求三角形最大角.
思维导引 先由余弦定理求两个角，再由内角和定理求第三个角． 在三角形中，大边对大角，所以边a所对角最大．
解 a > c > b， A为最大角．
由余弦定理求得cos A = ■ = -■.
一．添辅助线有二种情况：
1按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”，这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
（1）平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
（2）等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
（7）相似三角形：
相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
（8）特殊角直角三角形
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明
（9）半圆上的圆周角
出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。
二．基本图形的辅助线的画法
1.三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
3.梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（1）在梯形内部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰
（3）梯形内平移两腰
（4）延长两腰
（5）过梯形上底的两端点向下底作高
（6）平移对角线
（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（9）作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
4.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决。
（1）见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
（2）见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
（3）见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
（4）两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
（5）两圆相交作公共弦
一、截取(延长)线段，构造全等三角形
例1如图1，AD是ABC的中线，DE、DF分别是ABD、ACD的角平分线，求证：EF
分析利用角平分线的条件，分别构造两对全等三角形，转移BE、CF，使三条线段构成一个三角形.
证明在DA上截取DN=DB=DC，连结NE、NF.
由DE平分∠ADB，知∠1=∠2.
又BD=ND,ED=ED，
所以BDE≌NDE，
得BE=NE.
同理可得CF=NF.
而在EFN中，NE+NF>EF，
故BE+CF>EF，
即EF
点评当有角平分线时，截取相等线段，为解题开通道路.本例也可延长ED到N，由全等三角形得BE=CN,EF=NF.
二、截取(延长)线段，构造等腰三角形
例2如图2，在ABC中，∠ACB=2∠B，求证：2AC>AB.
分析本题关键是如何构造出2AC.利用角的二倍关系，构造以AC为腰的等腰三角形，该等腰三角形的底边恰与AB相等.
证明延长BC到D，使CD=AC，连结AD.
则∠CAD=∠D.
而∠ACB=∠CAD+∠D，
所以∠ACB=2∠D.
而∠ACB=2∠B，
所以∠B=∠D，得AB=AD.
在ACD中，AC+CD>AD，
所以2AC>AB.
点评本题也可以在BC上取点E，使∠AEC=∠ACB.连结AE，可类证.
三、延长中线构造平行四边形
例3如图3，AD是ABC的中线，求证：AB+AC>2AD.
分析由2AD想到延长AD至等长，构造出平行四边形，就可把有关线段转移到一个三角形中.
证明延长AD到E，使DE=AD，连结BE、CE.
又DB=DC，所以四边形ABEC是平行四边形，得AC=BE.
在ABE中，
AB+BE>AE，
所以AB+AC>2AD.
点评如果没学到平行四边形，也可证明EBD≌ACD.
四、构造中位线
例4证明：三角形任两条中线之和大于第三条中线.
已知：如图4，AD、BF、CE是ABC的三条中线，它们相交于N.
求证：BF+CE>AD.
分析利用三角形重心N将各中线三等分的性质，取AN的中点M，使EMN的三边分别是各中线的三分之一.
证明取AN的中点M，连结ME.
因为AD是中线，N是重心，
所以MN=13AD.
又E是AB中点，
则EM=12BN=13BF.
因为EM+NE>MN，
而NE=13CE，
所以13BF+13CE>13AD，
从而BF+CE>AD.
点评本题也可延长ND到G，使DG=DN，得平行四边形BNCG，再利用BNG的三边不等关系.
五、移动线段
例5如图5，D是ABC的边BC的中点，E、F分别在AC、AB上，且∠EDF=90°，求证：BF+CE>EF.
分析利用直角∠EDF，构造等腰三角形以及全等三角形，将三条线段转移到同一个三角形中.
证明延长FD到G，使DG=FD，连结EG、CG.
由∠EDF=90°，知EFG是等腰三角形，则EF=EG.
又FD=DG，BD=CD，∠1=∠2，
则BDF≌CDG，
得BF=CG.而CG+CE>EG，
所以BF+CE>EF.
点评本题的关键是对直角DEF条件的利用.一般有两种方法：一是作出斜边上的中线，二是加倍直角边.本例采用的是后一种方法.这样将目标式中的三条线段转移到同一个三角形中.
六、截大补小
当已知条件中，一个角大于另一个角时，可采用“截大补小”法，即在大角内作一个角等于小角，或将小角补成与大角相等的角.
例6在ABC中，∠C>∠B，求证：AB>AC.
证法1如图6-1，在∠C内部作∠BCD=∠B,CD交AB于点D，则BD=CD.
在ADC中，AD+CD>AC，
则AD+BD>AC,即AB>AC.
证法2如图6-2，作∠CBE=∠C，BE与CA的延长线交于点E，则BE=CE.
在ABE中，AE+AB>BE，
则AE+AB>CE=AE+AC，
即AB>AC.
点评本例结论实际上是有关三角形边角不等关系的一个重要定理.即在三角形中，大角对大边，大边对大角.
练习题1.在ABC中，AB>AC，M是角平分线AD上一点，求证：BM-CM
关键词：初中数学； 三角函数； 数形结合
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）10-057-002
在新的《课程标准》理念下，有关相似三角形、圆的部分知识已移作高中选修内容，而在初中阶段，主要以直线型的全等、圆中的有关位置关系的判定及线段与角的计算，作为中考试题的主要知识点。
在淡化“欧式”公理化体系的逻辑证明，强调代数与几何双重并举培养逻辑推理能力的背景之下，“锐角三角函数”作为由相似三角形推导而得的“衍生品”，成为"数形结合"思想的最佳载体，在中考试题中展示着它的优美风采。本文从2012年中考试题中，选取几类问题作一分析：
一、用三角函数证边（角）之等、和、差关系
例1.（2012年重庆24）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，∠1=∠2。
（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证AM=DF+ME。
解析：（1）在菱形ABCD中由∠1=∠ACD=∠2得CM=DM，
又MECD得 BC=CD=2CE=2；
（2）记菱形ABCD的边长为a，由（1）可得DF=■a，ME=■DE=■a，从而DF+ME=■a，又在RtADM中，AM=■=■a，故AM=DF+ME。
点评：在平面几何的证明中，最使学生感到困惑的是如何添作辅助线，本题欲证线段AM之长等于另两线段DF与ME之和，通常采用“截长补短”法，因题中条件有“F是边BC中点”，故通过“中点倍长”法，即可通过延长DF交AB的延长线于点G证明之，此法具有一定的解题技巧，但如果利用“锐角的三角函数”，用参数表示图形中的各条线段，从而确定线段之间的关系，准确简洁。
二、用三角函数求边之比值
例2.（2012年南京6）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，■的值为（ ）
解析：如图，设CF=x，DF=y
则在RtAGF中，CG=■=2x，GF=CF=tan60°=■x，在BD'G中，BC=DC=x+y，BG=y-x，
因∠BD'G=120°，∠BGD'=∠CGF=30°，故D'G=■（y-x），又D'F=DF=y，
故■（y-x）+■x=y，解之得■=■，故选A。
点评：有关平面图形的折叠问题，首先寻找折叠前后的不变量，由此确定等量关系，其主要数学思想是方程思想。本题利用了下列结论：（1）含30°角的直角三角形中，三边之比为1：■：2，（2）在顶角为120°的等腰三角形中，三边之比为1：1：■。
三、用三角函数求图形面积
例3.（2012年德阳11）如图，点D是ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合），以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=■AB，那么PBC的面积与ABC面积之比为（）
解析：连接EP，可证E、F、P三点共线，
由条件设AB=EP=4a，BD=EF=a，则PF=3a，过点A、P分别作AMBC，PNBC，垂足M、N记∠ABC=∠PFC=？琢，则AM=4asin？琢，PN=3asin？琢，从而PBC的面积与ABC面积之比为■=■，故选D。
点评：在初中阶段，有关三角形的面积问题，主要有两类，其一是相似三角形的面积比等于相似比的平方，其二是同底（或等高）的三角形面积比等于高（或底）之比。本题所求问题是同底的两三角形面积之比，关键是计算它们的高之比，而用什么数量表示其高呢，这是一个难点。本题证得E、F、P三点共线后，发现AB与FP之间不仅存在着位置关系，而且存在着数量关系，从而选择三角函数表示。
四、用三角函数求点之坐标
例4.（2012苏州10）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上。若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（ ）解析：由条件可得D1E1=C1D1=sin30°=■，B2C2=■=■，依次类推可得A3B3=■，故点A3到x轴的距离为A3B3sin30°+B3E4=■，故选D。
