时间：2023-06-02 09:21:47
关键词：三角函数 高中数学 最值 值域 常见问题 方法探究
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学领域和其他领域中有着相当重要的作用。本文从现代高中教学实际出发，分析并介绍了三角函数中常见的最值求解类型问题，结合具体的实例，阐述了相关问题的典型解题方法，探讨了一般的解题策略与技巧。
一、三角函数的定义
数学领域中，三角函数又叫圆函数，是针对平面直角坐标系而言的角函数，通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。现代数学理论认为，三角函数的定义是把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的值域由实数域的任意正数和负数值扩展到复数值。现代数学领域中，三角函数属于初等函数中的一类函数。
二、三角函数的最值
最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在高中数学教学中也占有比较重要的比重，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，其解法灵活，综合性强，能力要求高。
三、三角函数最值问题的常见类型及求解策略
三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的方法是选取一个恰当的变量θ角，构造以θ角为自变量的函数，通过求三角函数最值来解决。这类问题解题一般流程为：审读题意设角建立三角函数式进行三角变换解决实际问题；通常分两步求解：首先，建立目标函数，其关键是选择恰当的自变量并确定自变量的取值范围；其次，是在符合实际问题意义的情形下求目标函数的最值。故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。
高中数学教学中，在三角函数问题分析时，比较常见的类型主要体现在以下几种类型，下面结合实例分析以下它们的解题策略：
1．型如y=asinx+bcosx型的函数
2．型如y=a sin x+b（或y=a cos x+b）的函数
这种类型的函数的特点是由一次函数与正弦函数复合而成的，最值求解可用三角函数的有界性。要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。
例：函数y=k sin x+b的最大值为2，最小值为－4，求k，b的值。 解：若k>0，则当sin x=1时，y max=2；
当sin x=-1时，y min=－4
k+b=2，-k+b=-4， 解得k=3，b=-1 同理可以求得k＜0的情况。
3．型如y=asin2x+bcosx+c型的函数
此种类型题目的特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，解决思路最好应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。
4．型如y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x型的函数。
此种类型题目的特点是含有sinx, cosx的二次式，他的解题方式是进行降幂处理，再转化成y=asinx+bcosx的形式解题。
凡此种种，还有型如y=型的函数；型如y=sinxcos2x型的函数；含有sinx与cosx的和与积型的函数式等等最值问题均可找到其解题规律。
四、结束语
总之，三角函数的最值问题，是最近几年高考所经常涉及的数学领域，三角函数最值的求解方法，也是比较多样和灵活的。在高中数学教学中，根据实际需要，结合三角函数的性质，明确具体问题的实质，掌握三角函数的最值求解方法，简化三角函数的问题复杂性，可以极其有效的便捷学生处理问题的效率。
参考文献：
一、 “给角求值”
一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察则非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时，要利用观察得到的关系，结合三角关系转化为特殊角，并且求出特殊角的三角函数而得解。
点评本题中“切化弦”是解题的关键，它为逆用
和角公式铺平了道路，然后通过对角的合理变换，将其转化为特殊角的三角函数值的求解问题。
二、 “给值求值”
给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。
点评化未知角为已知角的思考，抓住了问题的本质是函数值与自变量之间的最基本的对应关系，而不是“变角”技巧。同时，在求解三角函数值时，一方面要注意角的取值情况，切勿出现增根，另一方面要关注角与角之间的关系。通过应用整体法来处理各个角，以减少问题的运算量。
三、 “给值求角”
实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该自变量的取值范围求得角。
求“动点轨迹的方程”是解析几何部分的重点和难点，我们要求学生在解答时要注意完备性与纯粹性。完备性即轨迹上一个点也不能漏掉；纯粹性即轨迹上一个点也不能增加。让很多学生头疼的是，最后求出来的曲线方程是否符合完备性和纯粹性？方程后面有没有附加条件？怎样做可以避免这类问题的错误？我们就学生作业中出现的问题来谈一谈如何有效地去掉动点轨迹中多余的点。
下面是两道学生作业题中出现的问题：求出一个轨迹方程便结束，以为完成了所有解答，却不知还有多余的点要去除。
例1 苏教版选修2-1第64页第3题：
已知动抛物线的准线为y轴，且经过点A（1，0），求抛物线焦点的轨迹方程。
学生解
设焦点为F（x，y），
由抛物线定义得AF=d=1，
代入坐标得（x-1）2+y2=1。
分析 本题的题设描述的是抛物线的焦点、准线和抛物线上一点的关系，使用定义可以建立几何等式，进一步得到代数等式，但是在使用抛物线定义时，要注意焦点不在准线上，所以本题还需要添加如下过程：
因为焦点F不在准线y轴上，所以x≠0，
所以焦点的轨迹方程为（x-1）2+y2=1，其中x≠0。
例2 苏教版选修2-1第64页第4题：
在求轨迹方程时，很多往往算出一个方程便结束，出现作业题“对而不全”的情况，求动点轨迹如何去掉多余的点，总结起来应注意以下几种情况：
1. 有些题目中含有已知曲线，如椭圆、双曲线、抛物线，它们的定义中都有附加条件，解题时要根据曲线的定义来考虑完备性和纯粹性，如例1；
2. 利用三角形的三点不共线，去掉多余的点，如例2；
关键词：三角函数最值 配方转化 有界性转化 单调性转化
三角函数这一章节，在近几年高考中，已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函数最值问题.且一般以选择、填空题形式出现，难度不大.
下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.
1.配方转化
经转化，最后化归为二次函数的三角函数最值问题，称为二次函数型.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值，这是求解二次函数型三角最值得主要依据.对能够化为形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函数最值问题，可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决.
二次函数的对称轴不在t∈[-1，1]的范围内，且二次项系数a>0，其图象开口向上，结合二次函数的图象可知当t=-1，ymin=-6；当t=1，ymax=4.
感悟：这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sinx或cosx的二次函数的形式， 可以采用换元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，运用二次函数配方的技巧正确配方，易错在二次项系数，如本题中二次项系数是-2，对应二次函数开口向下，配方过程中要先提出负号；其三要把握三角函数sinx或cosx的范围，注意观察二次函数对称轴与换元后变量的范围的关系.值得注意的是，当变量x有一定范围时，更要注意换元量t的范围，防止出错.
2.有界性转化
三角函数尤其正弦、余弦是一种有界函数，其有界性在解决值域、最值或者取值范围等问题显得灵活.对于所给的三角函数能够通过三角恒等变换，结合正余弦的两角和差公式，升降幂公式和二倍角公式，对所给的式子化简为形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函数的有界性，在变量x没有特定范围的情况下，其值域为[-A，A]求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一.
感悟：求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值.针对高考中题目看，还要强化变角训练，如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个角的三角函数关系式，这也是高考的重点.由此题可见，灵活运用三角函数的有界性，能使问题的求解直接明了！
关键词：降幂变换；拆角、拼角；正、余弦定理法
中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）48-0174-03
一、问题得到提出
三角函数的求值问题，具有涉及面广、技巧性强、解法灵活多变等特征。高考考查内容其中之一是三角函数式的恒等变形，利用公式求值，解决简单综合问题，是高中数学的基础知识和高考的重要内容。细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式。在中学数学教学中，常常发现学生在解题中缺乏细致思考，出现思维不缜密的现象，从而导致解题时缺乏严谨性。下面从三角函数求值这一方面作简要归纳及扼要的剖析，探求这类问题的求解思路和方法。
二、三角函数的象限求值法
三、三角函数转化求值法
计算任意角的三角函数值，诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0°～90°角的三角函数值。
在应用诱导公式进行三角式求值时，应注意公式中符号的选取。可以把角k・90°±α的三角函数的诱导公式归纳为：“奇变偶不变，符号看象限”，其含义为：当k是奇数时，函数名称发生变化，当k是偶数时，函数名称保持不变；“符号看象限”，其含义为：将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号。
七、三角函数逆用和变形求值法
在三角函数求值中，常常对条件和结论进行合理变换，转化沟通求关系，特别是角的转化，名称的转化、切割化弦、常数代换、结构的变化都是常用的技巧和方法。
八、三角函数“单角”和“复角”求值法
常见角的变换与配凑，在处理条件求值问题时，常将“复角”配凑成“单角”或将“单角”配凑成“复角”，旨在为利用题设条件和公式创造条件。
关键词：三角函数；求值；解题技巧
三角函数是高一数学的重要内容，教学生学好这一块知识尤为重要。在平时的教学过程中，笔者也发现，学生在处理三角函数的有关习题时，存在许多小问题，有的是公式误用，有的是计算失误，有的是虽然做对了，但是方法很繁琐。下面就针对三角函数求值的这一题型，谈谈它的几个解题技巧：
一、巧用勾股数，快速求三角函数值
任意角的三角函数公式告诉我们，若已知角α的终边经过点P（x，y），则其正弦值sinα=■，余弦值cosα=■（其中r=■），正切tanα=■，（其中x≠0）。从公式中我们发现其实这里的三个数|x|，|y|，r恰好符合勾股定理，如果能灵活运用这一性质，再结合三角函数的符号，我们处理如下的题型就会比较方便、快速。
例1.已知sinα=-■，且α是第三象限角，求cosα，tanα.
分析：因为sinα=■，而cosα=■，在此我们不妨认为r=5，|y|=4，则|x|=3，又因为α是第三象限角，所以余弦取负值，正切取正值，故很快知道cosα=-■，tanα=■。如果利用更一般的方法来做，可能很多学生会从角三角函数的基本关系来解，由于知道余弦为负值，故cosα=-■。对于数据比较简单的题目，两种方法花费的时间都差不多，但是若题中的数据比较大，又刚好可以用到勾股数时，巧用勾股数明显会更省时。
二、巧用配凑法
在一些三角函数的求值问题中，有时会有一个题目中出现多个角的情况，这时就需要我们学会寻找目标角与已知角、特殊角之间的关系，巧妙地配凑，而不是死算、硬算。
例2.已知（■+α）=5，求（■-α）的值。
分析：仔细观察题中的两个角易发现：（■+α）+（■-α）=π
解：（■+α）+（■-α）=π
tan（■-α）=tan[π-（■-α）]=-tan（■+α）=-5
例3.已知cosxcosy+sinxsiny=■，sin2x+sin2y=■，求sin（x+y）的值。
分析：在淡化和差化积、积化和差要求的前提下，让学生解这样的一道题，其实有一定的难度，很多学生看到这道题目会无从下手。在本题中，我们容易知道cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=■，而目标是要求sin（x+y）的值，如果把这里的（x-y），（x+y）看成一个整体，除了这两个角以外，还有2x，2y这两个角，为了求解这道题，我们必须要想办法找到这四个角之间的关系，其中（x+y）是必须保留的，于是我们就会想把2x，2y表示（x-y），（x+y）组合的形式，从而发现其实2x=（x+y）+（x-y），2y=（x+y）-（x-y），于是我们可以这样解这道题：
解：sin2x+sin2y=■
sin[（x+y）+（x-y）]+sin[（x+y）-（x-y）]=■
即：sin（x+y）cos（x-y）+cos（x+y）sin（x-y）+sin（x+y）cos（x-y）-
cos（x+y）sin（x-y）=■
即：2sin（x+y）cos（x-y）=■
又cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=■
sin（x+y）=■
三、灵活运用“1”，利用奇次式求值
例4.已知tanα=2，求2sinαcosα+sin2α的值。
解法一：tanα=2>0
α为第一象限或第三象限角。
若α为第一象限角，
sin2α+cos2α=1，■=tanα=2
sinα=■，cosα=■
将其值代入上式有：2sinαcosα+sin2α=2×■×■+（■）2=2×■+■=■
解法二：2sinαcosα+sin2α=■
=■
=■=■=■
关键词：平方关系；sin?x+cos?x=1；三角函数最值
三角函数的最值问题是数学运算的重点和难点，其对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求均较高。本文通过对sin?x+cos?x=1平方关系的灵活运用，对三角函数求最值过程中，直接利用平方关系，引进一个或两个参变量求最值的运算方法，以实际例题形式进行了归纳总结。 一、三角函数重要公式应用
在三角函数sin?x+cos?x=1平方关系的背景下，要将其灵活有效的运用，首先要注意在运算时，对几个常见、常用的三角函数进行熟练记忆和后学后用。比如，①二倍角公式： ； 等。②半角公式： ； ； 。以及三角函数中相应的倒数关系、商关系和平方关系等。
二、3种利用平方关系的sin?x+cos?x=1三角函数最值应用
为探讨平方关系背景下利于sin?x+cos?x=1求三角函数最值，笔者特从直接套用、引入单一变量，和引入两个变量3个方面对sin?x+cos?x=1的应用进行了阐述。
1、直接套用sin?x+cos?x=1求三角函数最值
直接利用在sin?x+cos?x=1求三角函数最值即类似于以下的最值问题。例题：设0
解： y=sin = sin .（1+2cos? -1）=2 sin .cos?
= = · （1）
有（1）≤ · （3）
又 sin? +cos? =1（2）
有（1）≤ · = = = .
上述运算中当且仅当 = ，即 =2arctan 时，（1）和（3）等号成立，
y = .
在本题三角函数最大值的计算中，除了相应的三角函数关系式的使用，关键在于将问题利用三项均值不等式转化为较为简单的平方关系，即sin?x+cos?x=1的形式，进而求得最大值。下面，我们研究直接利用平方关系求最小值的转化和计算过程。
例题：设0< < ，0< < ，求y= 的最小值。
解： y= =
= （1）
又 ≤sin
≥ ，即式（1）= ≥
= =5+tan +4cot （2）
0< < ，0< < ，
当且仅当 = ，则 =arctan ，即 =1，tan =2cot 时等号成立。即式（2）≥5+2 =9.
y =9.
2、在sin?x+cos?x=1引入单一变量求三角函数最值
在三角函数的最值运算中，引入变量往往会让计算变得更加简单，下面我们便以实际例题为例，分析在三角函数中引入一个变量时的最值计算方法。
例题：已知函数y=（sin +2 ）·（cos +2 ），求函数y的最大值和最小值。将函数等式展开，可得y= sin cos +2 sin +2 cos +8
= sin cos +2 （sin + cos ）+8（1）
由式（1）直接求函数y的最大或最小值显然并不明朗。
对此，我们可根据平方关系，即从sin?x+cos?x=1推算得出的（sinx+ cosx） =1+2sinx·cosx， 针对此题，我们可以设d=sin +cos ，则通过计算即可得出，sin cos = ，且d [- ， ].
式（1）即可演变为 ，
整理得 ， d [- ， ]，
当d=- 时，y为最小值，即y = ；
当d= 时，y为最大值，即y = 。
本题求最值的关键在于d的引入，即利用（sinx+cosx） =1+2sinx·cosx，从而将原问题转化成二次函数在闭合区间上的最值问题，达到了将较难问题转为成简单问题进而快速求解的目的。
3、在sin?x+cos?x=1引入两个变量求三角函数最值
例题：求函数y=2sin +cos 的最小值，且 （0， ）。
解：设正参数 >0， >0，
y=2sin + = sin + sin + ≥3 （1）
根据两项和三项均值不等式公式可得：
（1）=3 ·sin ·cos + ≥2 cos ，
y=2sin + cos ≥3 ·sin +2 cos - - ，
为计算简便，可设引入的正参数3 =2 （2），则上式可简化为y=3 - - .
综上得到等号成立的充要条件方程组 联合sin?x+cos?x=1可得出 ，与（2）组成方程组，可解得 ，
即当 = 时，函数y为最小值，y =3 - - = 。
上题是根据不同的指数，巧妙地引入正参数 和 ，如此将相对复杂均值不等式“变成”了简单的平方关系，以确保不等式中的等号成立，进而便于快速求出三角函数的最值。
总结：
三角函数最值的问题是中学数学运算中的重点和难点，要达到融会贯通的目的，需要在牢牢掌握相应三角函数关系式和其内在意义的基础上多作练习，本文仅通过平方关系sin?x+cos?x=1，以及其相应推算出的公式对三角函数求最值的典型问题进行了分析，其效果是显著的，但三角函数最值问题涉及的知识面广，求解方法亦并非一成不变，所以在解题时，应抓住题的内在特征，以最恰当的解题方法尽可能的简化过程，以求事半功倍。
参考文献：
[1] 陆军.三角函数最值问题的八种求解策略[J].廷边教育学院学报
一、求三角函数值问题
高考中对三角函数的求值问题的考查大都以填空、选择形式出现，主要类型有:1.“给角求值”（即直接求值）问题，关键是正确运用同角三角函数的关系式和两角和与差、倍角公式，把非特殊角的三角函数化为特殊角的三角函数而进行求值，或把非特殊角的三角函数相约或相消．对公式的选择基于对函数名、角的差异的考虑，如“切、割化弦”、“弦化切”、“单角化复角”、“降幂、升幂”等；2.“给值求值”（即附有条件的求值）是三角函数求值的另一类常见问题，关键是找出已知式与待求式之间的角与函数的名称，以及有关运算之间的差异及联系．可将已知式进行适当变换，以向待求式转化，也可将待求式进行变换代入已知式．
例1．（2011全国•理14）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α= ．
分析：本题考查了同角三角函数关系式．
解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=-，tanα=-，tan2α==-．填-.
例2．（2011福建•文9）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（ ）.
A. B. C. D.
分析：本题考查二倍角公式和同角三角函数关系式，先利用余弦函数的倍角公式cos2α=1-2sin2α，在附加条件α∈（0，）下，由同角三角函数平方关系：cosα=和商的关系tanα=即可求解.
解：由cos2α=1-2sin2α，sin2α+cos2α=，1-sin2α=，又α∈（0，），sinα=，cosα==，tanα==．
由上述两个例子可以看出，高考淡化了三角变换公式的应用考查，在求值问题的考查也都是一些基本的运算问题.
二、有关三角函数的图象与性质问题
三角函数的图象与性质在高考解答题中出现的频率较高，正确理解三角函数的性质，记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想可以较容易地处理三角函数的单调性、最值、周期等有关问题，此外，我们还要熟悉以下式子：asinα+bcosα=sin（α+φ），sinα±cosα=sin（α±）．sinα±cosα=2sin（α±）.
例3.（2011全国•文7）设函数f(x)=cosωx(ω＞0)，将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则f（x）的最小值等于（ ）.
A. B.3 C.6 D.9
分析：将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍．虽稍有灵活，但仍是对基本功进行考查.
解：由=•k(k∈Z)题，解得ω=6k，令k=1，即得ωmin=6，g（）=，选C.
例4.（2011浙江•文18）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（x∈R，A＞0，0＜φ＜）的部分图像如图所示，P、Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1,A)．
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ=，求A的值．
分析：本题主要考查三角函数的图象与性质、三角函数运算等基础知识．
解：（Ⅰ）由题意得，T==6，因为P(1，A)在y=Aisnx+φ的图象上，所以，sin(x+φ)=1．又因为0＜φ，所以，φ=.
（Ⅱ）设点Q的坐标为（x0,-A），由题意可知x0+=，得x0=4，所以，Q(4,-4)，连接PQ，在PRQ中，∠PRQ=由余弦定理得
cos∠PRQ===.
解得，A2=3．又A＞0，所以A=．
通过复习，把握问题的本质和要害，利用函数图象增加学生解决数学问题的直观性，是复习的主要策略思路．
三、解斜三角形问题
高考对正、余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化，三角形形状的判断，三角形内的三角函数求值及三角恒等式的证明等基本问题．对于三角形形状的判断可以根据角进行判断，也可以根据边进行判断，因此这类问题通常可以用两种方法来解决，而根据三角形的内角和为180°可知，若三个角成等差数列，则一定有一个角为60°，这也往往是解决问题的突破口．三角形的面积公式有几种不同形式，在应用中要灵活选择，有些问题中需要对角进行变化，就需要三角函数的基本公式，这些公式不但可以起到化简条件的作用，有时候还是解决问题的突破口．
例5.（2011四川•理6）在ABC中．sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinc，则A的取值范围是（ ）.
A.（0，] B.[，π） C.（0，] D.[，π）
分析：按题意由正弦定理及余弦定理可得：
a2≤b2+c2-bc?圯b2+c2-a2≥bc?圯≥1?圯cosA≥?圯0＜A≤，选C.
例6.（2011江西•理17）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，sinC+cosC=1-sin.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a2+b2=4（a+b）-8，求边c的值.
分析：本题考查了同角三角函数的基本关系、倍角公式和余弦定理，考查了基本运算能力．
解：（Ⅰ）已知sinC+cosC=1-sin，
2sincos+cos2-sin2=cos2+sin2-sin
整理即有：2sincos-2sin2+sin2+=0?圯sin〔2cos-2sin+1〕=0，
又C为ABC中的角，sin≠0，
sin-cos= 〔sin-cos〕2=，-2sincos+cos2+sin2=，
2sincos=，sinC=，
（Ⅱ）a2+b2=4(a+b)-8，
a2+b2-4a-4b+4+4=0，(a-2)2=0?圯a=2,b=2，
又cosC==，c==-1.
例7.（2011湖南•理17）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA-cos(B+)的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．
分析：本题主要考查正弦定理、三角恒等变换以及函数y=Asin（ωx+φ）+B的单调性．
解：（I）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，
因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而sinC=cosC.又cosC≠0，所以tanC=1，则C=.
（II）由（I）知B=-A，于是，
sinA-cos(B+)+sinA-cos(π-A)
=sinA+cosA=2sin(A+)，
0＜A＜，＜A+＜，从而当A+=，即A=时，2sin(A+)取最大值2．
综上所述，sinA-cos(B+)的最大值为2，此时A=，B=.
一、例题解析
题型一 三角函数式的化简问题
例1 已知3π14
分析：先化简所求式子，在观察该式与已知条件的联系，从而找到解题的思路.
解析：因为tanα+11tanα=-1013，所以3tan2α+10tanα+3=0，
所以tanα=3或tanα=-113.
所以5sin2α12+8sinα12cosα12+11cos2α12-812sin（α-π12）
=5·1-cosα12+4sinα+11·1+cosα12-81-2cosα
=8sinα+6cosα1-22cosα=8tanα+61-22=-5216.
评析：已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：①先化简所求式子；②观察已知条件与所求式子之间的关系（从三角函数名及角入手）；③将已知条件代入所求式子，化简求值.
题型二 三角函数式的求值问题
例2 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.
解法1：因为sin2α=2sinαcosα，则
原式=1124sin20°23sin20°cos20°cos40°cos80°=1124sin20°·sin160°=1124.
解法2：设x=cos20°cos40°cos60°cos80°，y=sin20°sin40°sin60°sin80°，则xy=（cos20°cos40°cos60°cos80°）（sin20°sin40°sin60°sin80°）.
所以xy=1124sin40°sin80°sin120°sin160°=1124sin40°sin80°sin60°sin20°=1124y，
所以x=1124.
评析：上述解法1是根据其特点采用同乘以、除以一个三角函数式，使其构成二倍角公式sin2α=2sinαcosα的形式，从而达到求值的目的；解法2中根据所求式子的特点，设出原式的“对偶式”，通过作积xy，使用二倍角公式sin2α=2sinαcosα，然后通过解方程求出x.
题型三 三角函数的给值求值问题
例3 （2008年南京二模）已知：0
分析：条件中给出β-π14、α+β对应函数值，观察角α+π14与角β-π14、α+β的关系，不难发现α+π14=（α+β）-（β-π14），借助两角和（差）的余弦公式即可求出cos（α+π14），解题时应注意角的范围.
解析：因为0
所以sin（β-π14）>0，cos（α+β）
因为cos（β-π14）=113，sin（α+β）=415，
所以sin（β-π14）=2213，cos（α+β）=-315，
所以cos（α+π14）=cos[（α+β）-（β-π14）]=82-3115.
评析：解决此类问题的关键是找到角与角之间的关系，利用角的和、差与倍、半三角函数公式变“目标角”为“已知角”，同时，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
题型四三角函数的给值求角问题
例4 （2007年四川高考）已知cosα=117，cos（α-β）=13114，且0
分析：要求角β，只需求出角β对应的三角函数值即可，条件给出cosα=117，cos（α-β）=13114，观察发现β=α-（α-β），利用两角和（差）的正、余弦公式即可求出β，解题时注意角的范围.
解析：因为0
所以sin（α-β）=1-cos2（α-β）=33114.
由β=α-（α-β）得：
cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=112.
又因为0
一、教材分析
1.教材的作用和地位
本节课选自高等教育出版社出版的中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学（基础版）》第一册第五章第二节任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数。任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念，是学好本章内容的关键，它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定了解的基础上进行的推广，它又是以后学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
2.课时安排
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数打算安排二课时。本节作为第一课时，重在使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用坐标，求任意角的正弦、余弦、正切函数值。教学中注重概念的引入、定义的理解。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。
3.教学目标和重点难点
教学目标：
（1）知识目标：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；
（2）能力目标：会利用定义求任意角的三角函数值；
（3）情感目标：培养学生独立思考、合作交流等良好的个性品质，以及勇于创新、打破常规的科学精神。
教学重点与难点：
（1）教学重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义。
（2）教学难点：平面直角坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及利用坐标求三角函数值。
二、教法分析
1.学情分析
学生在初中已经学习了基本的锐角三角函数知识和概念，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。同时，学生已经具备一定的自学能力，但在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。
2.教学方法
（1）说教法：本节课采用交流练习互穿插，讲解讨论相结合的活动课形式，以学生为主体，教师创设愉悦、和谐的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的趣味性和直观性，以提高课堂效益。
（2）说学法：本节课为了激发学生的求知欲和学习积极性，让他们分成小组自主讨论，使之在相互交流和自主探索中获得发展，学会从现有的知识探索新的知识，善于发现问题，提出问题，归纳问题，从而达到解决问题的目的。
三、教学手段
本节课采用了多媒体辅助教学，突破了难点，提高了教学效率，增大了教学容量，图像也更直观、更形象。
四、教学流程
为了完成教学目标，解决教学重点突破教学难点，课堂教学我准备按以下六个环节展开。
1.复习引入，回想再认。
首先我带领学生先回想一下，在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切函数怎样表示？
本环节以初中的基础知识为背景，内容简单，激发学生的学习热情，促进学生的抬头学习，通过最为熟悉的直角三角形，从它的表示方法、图形特征，突出对其问题的理解，为任意角三角函数新概念的提出奠定基础。
然后提出问题：现在要求sin2250的值，怎么办？还能不能用直角三角形来求？
结果显然不能，我们应该如何对初中的锐角三角函数的定义进行修改，把锐角三角函数推广到任意角三角函数呢？
设计意图：提出问题引发学生思想上的冲突，为这节课增加了悬念，吸引学习的注意力。
2.引伸铺垫，创设情景。
情景1：前面我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角三角函数的定义吗？如何推广？（分小组讨论）
情景2：将直角三角形放在直角坐标系中，讨论三角形三条边y、x、r的关系如何？
设计意图：数形结合，明确y、x、r三者的关系，为后续研究做准备，从而得出任意角三角函数的定义。
在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，他们都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。
设计意图：现代数学教学论指出，数学知识的教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里，通过观察分析、独立思考、小组交流等活动，引导学生归纳。
3.探索研究，总结算法。
引导学生思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？ 学生利用三角形相似的知识，可以得出对于确定的角α，这三个比值的大小和P点在角α的终边上的位置无关，只与角α的大小有关。
当角α的终边落在y轴上，此时终边上任意一点P的横坐标x都等于0，所以角α的正切值无意义。 从而得出三角函数的定义域。
上述过程均要求学生在讨论交流中得出结论，以培养学生积极思考的思维品质。
解释说明：
（1）当α是锐角时，此定义与初中定义相同。
（2）当α不是锐角时，也能够找出三角函数。
（3）三角函数值与点P在终边上的位置无关，三角函数的值仅与角的终边所落的位置有关。
（4）三角函数是角的函数，又因为角与实数成一一对应，故三角函数也是实数的函数。
本环节设计意图：对定义的说明想让学生明白锐角三角函数是任意角三角函数的特例，是特殊与一般的关系；根据函数的定义判断三角函数也是函数。
4.实践演练，形成技能。
通过例题的演练，定义的直接应用，熟练学生的技能。同时也让学生发现三个三角函数值是有正、有负，其本质取决于x和y的符号，即取决于角α终边所落的象限。
5.归纳小结，深化认识。
（1）你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？
（2）对任意一个角α，它的三角函数都有意义吗？
（3）x、y、r三者之间存在怎样的关系？
（4）终边相同的角的同一三角函数值相等吗？同一三角函数值相等则角一定相同吗？
（5）当没有指明角所落得象限时，要分类讨论。
6、布置作业，分层落实。
五、说明和反思
1.设计说明
在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念。在学生已有的认知基础上进行提问和引导，关注学生的认知过程，强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。
2.过程反思
反思促使我们学习，学习促使我们进步。
在教学的设计过程中，考虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫和引导，既巩固旧知识，又为新知识提供了附着点，充分体现学生的主体地位。
突出新课教学，多层次、多角度展开对概念的剖析，由此加深对任意角的三角函数的研究。从注意教师的“教”转向关注学生的“学”。
[关键词]：三角函数 值域 单调区间 解析式
一、求三角函数的值域与最值问题
求三角函数的值域（最值）可分为：
（1）类型的，应利用其图象与性质，数形结合求解；
（2）可化为以三角函数为自变量的二次函数类型，应确定三角函数的范围，再用二次函数求解.
应用1 已知函数y=+b在x≤上的值域为[-5，1].求a，b的值.
提示：先由x的范围确定的范围，再根据a的符号，讨论a，b的取值.
解：x∈，
2x+∈，≤.
当a>0时，解得
当a
a，b的取值分别是4，-3或-4，-1.
应用2 设a≥0，若的最大值为0，最小值为-4，试求a，b的值.
提示：通过换元化为二次函数最值问题求解.
解：原函数变形为
当0≤a≤2时，- ∈[-1，0]，
①
.②
由①②，得a=2，b=-2，舍a=-6（与0≤a≤2矛盾）.
当a>2时，- ∈（-∞，-1），
.③
.④
由③④，得a=2，不适合a>2，应舍去.
综上可知，只有一组解
应用3已知是第三象限角，且=.
（1）化简；
（2）已知，求的值.
解：（1）=
==.
（2）cos=，
是第三象限角，
==-=-.
二、求函数的单调区间
求函数的单调区间是高考考查的重点内容之一.此类题目应以正弦函数y=sin x的单调区间为基础，利用整体思想求解.
应用单调递增区间为（ ）.
A. （k∈Z）
B. （k∈Z）
C. （k∈Z）
D. （k∈Z）
解析： =-2sin
=2sin=2sin，
把2x+看成一个整体，令），
解得
即.
答案：D
三、由三角函数图象求解析式
已知三角函数的图象求出其解析式，解此类题目的关键是准确理解和把握参数对函数图象的影响，A影响函数的最值，ω影响函数的周期，影响函数的相位.有时还要根据所给的图象经过的特殊点，利用点的坐标适合函数解析式来求解.
应用1 已知函数的简图，如图所示，那么（ ）.
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
解析：函数图象与y轴的交点为（0，1），说明当x=0时，函数值y=1，则即.
由，知.
又曲线与x轴的一个交点是，说明当x=时，函数值y=0，
则，解得ω=2，即ω=2，.
答案：C
应用2 如图是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移.
求：（1）该振动的函数解析式；
（2）在t=0.4 s时的位移.
解：（1）设函数解析式为，A>0，ω>0.
由图象，得A=2，周期T=2（0.5-0.1）=0.8.
0.8=，ω=.y=2sin.
又当x=0.1时，y=2，2sin=2.
sin=1，取φ=.y=2sin.
（2）f（0.4）=2sin=2sin
关键词：变形技巧 基本不等式 三角函数
【中图分类号】G633.6
变形技巧是解决数学问题的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。我们对式子变形实质上是为了将式子转化为可解决问题的某种形式，为下一步解决问题做准备。变形属于技能性的知识，其中存在着一定的技巧和方法，需要人们在学习和解题的实践中反复提炼才能把握其技巧，以至在解题中灵活应用。下面介绍基本不等式、三角函数变形中常用的变形技巧。
1、基本不等式的变形技巧
在高中数学中多应用基本不等式来求函数的最值、值域等，在解题过程中对已知条件给出的式子灵活变形使基本不等式出现积（或和）为定值是解决问题的突破口。常用的方法为拆、添、配凑、代换，现就常用技巧给以归纳。
（1）拆、添、配凑
在解决与不等式相关的问题中，拆、添、配凑有各自不同的方向和技巧但往往又是紧密相连的，拆、添常常为配凑做准备。拆常数：将不等式中的某个常数进行拆分成题中所需的常数。拆系数：将不等式中某些项的系数进行拆分。拆常数或系数多为配方创造条件。拆项：将不等式中的某些项进行拆分，为使用基本不等式创造条件。添倍数：不等式的左右两边添上倍数（注意符号），为配方创造条件。添式：在不等式的两边添上一个代数式，为使用基本不等式创造条件。
例1、x>3，求函数 的值域。
分析：添常数将 凑成含基本不等式结构的式子
例2、已知 ，则 ，求函数最小值。
分析：本题已知函数式为分式看似无法使用基本不等式，对函数式进行配凑变形再分离便可构造出基本不等式。
，
技巧点评：在求分式型函数的最值中常用配凑的变形技巧，可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑。通过拆、添常数，逐步配凑基本不等式并分离出一个常数，这是分式函登笾涤虺S玫姆椒āT诮馓夤程中常常需要采用“拆项、补项、配凑”等变形技巧找到定值，再利用基本不等式来求解，使得复杂问题转化为简单的问题。
（2）常值代换
这种方法常用于如下两类题型
①“已知ax+by=1（a、b、x、y均为正数），求1x+1y的最小值.”
②“已知ax+by=1（a、b、x、y均为正数），求x+y的最小值”
例3、若 且满足 ，求x+y的最小值。
分析：结合问题和已知条件进行“1”的代换 可将问题转化为求含有基本不等式结构 ，接着可利用基本不等式求函数最值。
技巧点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式能巧妙地解决问题。利用基本不等式求函数最值时，还需注意“一正、二定、三相等”，通过变形技巧找到定值，若和定则积最大，若积定则和最小。
2、三角函数的变形技巧
高中阶段三角函数与初等代数、初等几何紧密联系，是初等函数的重要部分。解决三角函数求最值问题常常要对三角函数式进行灵活的变形，而其变形主要有三个基本方向一是看角、二是看函数名称、三是看结构特征。除此之外，我们还常常结合代数的变形技巧和构造法，为三角函数的变形创造一定的条件，现就常用技巧给以归纳。
角的变换
在三角函数的求值、化简与证明题中，函数式常常出现较多的不同的角，但这些角又有一定的联系。解题过程中分析条件与结论中角的联系，进行三角函数变换 主要是“消除差异，化异为同”。根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换能有效解决问题。
例4、已知 ，求证： 。
分析：可以考虑将条件中的角 和 配凑成求证结论中的角 ，即 ， ，再利用三角函数和差关系解决问题。
函数名称的变换
题目中若出现不同名称的三角函数，这就需根据同角三角函数关系式或诱导公式将异名的三角函数化为同名的三角函数，达到“消除差异，化异为同”的目的。函数名称的变换中最常见的就是切割化弦。
例5 、已知 ，试用 表示 的值。
分析：将已知条件中“切化弦”将原式转化为关于 的式子即 。
（3）常数的变换
在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，或将三角函数转化为常数，从而构造所需的函数式。例如常数“1”的变换有： ， 以及一些特殊角三函数值等等。
例6、求函数 的最小正周期，最大值和最小值。
分析：由所给的式子 可联想到
（4）幂的变换
对于一些次数较高的三角函数式，一般采用降幂的方法处理，达到化简的目的。而降幂并非绝对，有时也常需要对于无理式 用升幂处理化为有理式。
（5）公式的变形与逆用
高中教材中给出每一个三角函数公式的基本形式，但在解题的过程中往往要对基本公式变形后加以应用，有时也需逆用公式。顺公式较容易，而逆用公式较困难，因此要有逆用公式的意识和思维。这要求我们既要熟悉基本公式又要对其变通形式有所了解。
三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要基础。三角函数式的恒等变形常应用于化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式等。三角函数式恒等变形的理论依据是代数式恒等变形的一般方法和法则，与三角函数式的变形公式。变形中还需注意符号的变化，以及三角函数定义域和值域的范围。
参考文献
（）必做1 若角θ的终边过点P（-4t，3t）（t∈R且t≠0），则2sinθ+cosθ=_______.
[牛刀小试]
精妙解法 因为x=-4t，y=3t，所以r=5t.
所以当t>0时，sinθ===，cosθ===-，此时2sinθ+cosθ=2×-=.
当t
-+=-.
极速突击 直接利用三角函数的定义即可解题.
误点警示 由于t可正可负，所以不能错误地认为r=5t，而忽略r=5t，也别忘了对参数t进行分类讨论.
（）必做2 已知tanα>0，且sinα+cosα>0，那么角α的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
[牛刀小试]
精妙解法 设P（m，n）是角α终边上任一点，
OP
=r>0，则tanα=>0，且sinα+cosα=>0，所以m>0，n>0，即点P在第一象限，所以角α的终边在第一象限，故选A.
极速突击 设点在角的终边上，运用三角函数的定义解题.
同角三角函数的关系及诱导公式
（）必做3 若sin
-α=，则cos
+2α=________.
[牛刀小试]
精妙解法 cos
+2α=cosπ-2
-α=-cos2
-α= -1-2sin2
-α=-1+2sin2
-α= -.
极速突击 条件角-α与结论角+2α之间存在这样的关系：2
-α+
+2α=π，因此可通过诱导公式进行转化，求条件角的三角函数值.寻找条件角与结论角之间的关系是三角化简求值中的常见题型，需要仔细分析，看它们之间是否存在互余、互补等关系，通过配凑，转化为可用三角公式求解的形式.
（）必做4 已知sin（3π-α）=cos
+β和cos（-α）= -cos（π+β），且0
A. π B. π
C. π或π D. π或π
[牛刀小试]
精妙解法 已知条件可化为sinα
=sinβ，①
cosα
=cosβ，②两式平方相加可得sin2α+3cos2α=2，即sin2α=，sinα=±. 因为0
极速突击 求角α和β就是要求角α和β的某一个三角函数值. 解决问题的关键是在求出三角函数值后不要漏掉角的限制范围0
误点警示 已知三角函数值求角时，一定要考虑角的范围，忽略这一点常常是导致三角函数求值出错的一个原因. 有时限制角的条件是隐含的，如：已知α，β为锐角，且sin（α+β）=，则数值中就隐含了一个缩小α+β范围的条件，因为sin（α+β）=
三角函数的图象
对函数图象平移问题要分三个过程完成：①左右平移；②针对x的伸缩变换；③上下平移. 解答中注意变换的倍数与平移的单位与函数解析式的对应关系. 对于根据平移后的解析式求平移前的解析式，实际上是逆向思维问题，解答时只需将问题“倒过来”求解即可，但要注意题中的关键词“向左（右）、向上（下）、伸长（缩短）”就分别变成了“向右（左）、向下（上）、缩短（伸长）”. 由图象求解析式y=Asin（ωx+φ）+k或由代数条件确定解析式时，应注意：①振幅A=（ymax-ymin）；②相邻两个最值对应的横坐标之差，或一个单调区间的长度为T，由此推出ω的值；③确定φ值，一般将给定的特殊点的坐标代入解析式来确定.
（）必做5 已知函数y=f（x），先将其图象向右平移个单位，再把图象上每一点的横坐标扩大为原来的两倍，所得图象恰好与函数y=3sin
x+的图象相同，则y=f（x）的解析式为_________.
[牛刀小试]
精妙解法 将y=3sin
x+的图象上每一点的横坐标缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到y=3sin2x+
的图象；将所得到的图象向左平移个单位，即y=3sin2x+
+
，所以f（x）=3sin2x+
.
极速突击 对函数y=3sin
x+的图象作相反的变换，寻求应有的结论即可. 此题为逆向求解，对图象作变换时要注意，横坐标的扩大与缩小只与ω有关，与其他参量无关. 图象的左、右平移应先把ω提到括号外，然后根据加减号向相应方向移动. 本题也可以设所求函数f（x）的解析式为f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），通过“正向变换”得到f（x）=Asin
x-+φ，与y=3sin
x+是同一函数，进行相应系数的比较后也可以得出结论.
误点警示 变换的先后顺序是易错点.如果由y=3sin
x+先向左平移个单位，再把图象上每一点的横坐标缩小为原来的一半，则将得错误结果y=3sin
2x+.
（）必做6 图1为函数y=Asin（ωx+φ）图象的一段，其解析式为_________.
[y][x][O][-][][][M][][-][N]
图1
[牛刀小试]
精妙解法 法1：由图可知A=，T=--
=π，即=π，所以ω=2. 此时解析式为y=sin（2x+φ）. 因为图象过点
，0，所以0=sin
+φ. 所以+φ=0，解得φ=-. 所以解析式为y=・sin2x-
.
法2：由法1可得解析式y=・sin（2x+φ），因为图象过点-
，0，所以0=sin-
+φ. 所以-+φ=π，得φ=π+. 所以y=・sin2x+π+
. 所以所求解析式为y=-sin2x+
.
极速突击 由图象求函数解析式，一是根据图象的最高点和最低点得A；二是从图象求函数周期，利用周期公式得ω；三是把特殊点带入函数解析式得φ. 在确定A，ω值时没有疑义，但在求φ值时，往往寻找“五点法”中的第一零点
-，0作为突破口，要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置. “第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx+φ=0；“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx+φ=；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx+φ=π；“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx+φ=；“第五点”为ωx+φ=2π.
误点警示 在解法2中，“-+φ=π”是个易错点，如果写成-+φ=0，得φ=，则会得到错误的解析式y=sin2x+
. 如果图象中指明了最值的坐标，就最好选用最值的坐标代入式子求解，因为最值不存在图象的走势问题.
三角函数的性质
（）必做7 函数y=3・ sin
-
的单调递增区间为_______.
[牛刀小试]
精妙解法 设μ=-，则y=3sinμ. 当2kπ+≤μ≤2kπ+时，y=3sinμ随μ的增大而减小. 又知μ=-随x的增大而减小，所以当2kπ+≤-≤2kπ+，即-4kπ-≤x≤-4kπ-时，y随x的增大而增大. 所以y=3sin
-
的单调递增区间为-4kπ
-，-4kπ
-（k∈Z）.
极速突击 将-看做一个变量μ，求出μ的范围，结合μ=-是x的单调减函数，由复合函数的单调性可求得函数的单调区间. 也可以提出负号变成y=-3sin
-
，y=3sin
-
的单调递减区间即为y=3sin
-
的单调递增区间.
误点警示 本题一定要注意变量x的系数是负数，所以要把-放在μ的单调递减区间里求解. 但有时容易误以为求递增区间，即把μ=-放在y=3sinμ的递增区间2kπ-
，2kπ
+（k∈Z）里求解x的取值范围，而得到错误的结果.
（）必做8 函数y=-2cos2x+2sinx+3的值域为_______.
[牛刀小试]
精妙解法 原式可化为y=-2（1-sin2x）+2sinx+3=2sin2x+2sinx+1=2sinx
++. 令t=sinx，则y=2t
++，t∈[-1，1]. 由二次函数的图象可知，当t=-时，y=；当t=1时，y=5. 所以所求值域为
，5.
极速突击 形如y=asin2x+bcosx+c型的函数，其实质同上面情况一样，特点是含有sinx，cosx，并且其中一个是二次，另一个是一次. 处理方式是应用sin2x+cos2x=1进行化简，使函数式只含有一种三角函数；再应用换元法，转化成二次函数求解.
误点警示 要注意换元后t的取值范围，若忽视了sinx∈[-1，1]，则结果就会出错；若题中x的取值范围不是R，而是给定的一个取值范围，则sinx换元后的t的取值范围就要相应发生变化.
三角函数的性质的难点是与三角函数图象相关的性质.要突破这一难点，就要牢固把握三角函数的图象：三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象在其对称轴处取到最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值之间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心之间的距离也是函数的半个周期；函数取最值的点和相邻的与x轴的交点之间的距离为函数的个周期.
和差角公式运算
当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果.要善于逆用公式，即从右往左用公式，将单角往复角转化.掌握常数三角化的运用，如1=tan45°等，这对解决形如“”型的问题特别重要.若题目中出现tanα±tanβ和tanαtanβ的结构，通常利用两角和与差的正切公式的变形式解决问题：tanα±tanβ=tan（α±β）・（1?tanα・tanβ）.
（）必做9 已知函数f（x）=asinx-bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f
-x是（ ）
A. 偶函数，且它的图象关于点（π，0）对称
B. 偶函数，且它的图象关于点
，0对称
C. 奇函数，且它的图象关于点
，0对称
D.奇函数，且它的图象关于点（π，0）对称
[牛刀小试]
精妙解法 因为f（x）=asinx-bcosx=sin（x-θ）（其中tanθ=），由题意知-θ=-+2kπ（k∈Z），所以θ=-2kπ（k∈Z）. 所以f（x）=sinx-
+2kπ=・ sin
x-，所以y=f
-x=・ sin（-x）=-sinx.
所以y=f
-x是奇函数，且它的图象关于点（π，0）对称. 故选D.
极速突击 公式y=asinx±bcosx=sin（x±θ）（a，b为不同时为零的实数）可以化简函数表达式，解决三角函数问题时有重要的应用.
（）必做10 已知cosα=，cos（α+β）=-，且α∈0，
，α+β∈
，π，则β=_______.
[牛刀小试]
精妙解法 因为0
极速突击 观察已知角和所求角，可作出β=（α+β）+（-α）的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角. 将条件中的角拆成结论中的角，或将要求的角拆成已知中的角，这种方法是连接、沟通已知与结论的重要手段；当角或三角函数可以分别进行拆项或添项处理时，若不能直接达到变换的要求，则可观察各角之间的关系，借助诱导公式来完成.
误点警示 有的同学会这样做：sinβ=sin[（α+β）+（-α）]=sin（α+β）・cosα-cos（α+β）sinα=・+・=，所以β=或β=.由于当β∈（0，π）时，sinβ不是单调函数，所以由sinβ=求角β还需要进一步讨论角β的取值范围；但当β∈（0，π）时，cosβ是单调函数，所以取余弦函数求角β更简捷.
（）必做11 已知0
-α=，sin
+β=，则sin（α+β）的值为_______.
[牛刀小试]
精妙解法 由于cos
-α=sinα+
=， 又
=-.
因为sin
+β=，
+β=-. 所以sin（α+β）=-sinα+
+β+
= -sinα+
cosβ+
+cosα+
・sinβ+
=.
极速突击 比较给出的角与待求式中角的关系，能发现
+β-
-α=+（α+β），当然也可先将cos
-α变化为sin
+α，再考虑
+α+
+β=π+（α+β），接下来只需求出相应角的正、余弦值，利用两角和与差的三角公式求解即可.
误点警示 在根据已知的三角函数值求未知的三角函数值时一定要先求角的范围，只有根据这个范围才能正确地求出三角函数值，这个过程一定不能省略.
倍角公式的运算
（）必做12 已知x∈
-，
，且sin2x=sinx-
，则x=_________.
[牛刀小试]
精妙解法 因为sin2α= -cos2α+
=-cos2α+
=1-2cos2α+
，所以原方程可化为1-2cos2x+
=-cosx+
，解得cosx+
=1或cosx+
=-.
又x∈
-，
，所以x+=0或x+=. 所以x=-或x=.
极速突击 观察已知角和要求的角，发现它们之间是二倍角的关系，所以用二倍角公式求解.
二倍角公式常用的有：
变式1 sin2α=sin2α+
-cos2α+
=1-2cos2α+
=2sin2α+
-1，
变式2 cos2α=2sinα+
・cosα+
=2sinα+
sin
-α.
这两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为α+
.
（）必做13 函数y=2sinx・（sinx+cosx）的最大值为（ ）
A. 1+ B. -1
C. D. 2
[牛刀小试]
精妙解法 y=2sin2x+2sinxcosx=1-（1-2sin2x）+sin2x=1-cos2x+sin2x=1+sin2x-
≤1+. 故选A.
极速突击 本题主要是逆用倍角公式及正弦的和角公式. 在不少的三角函数题的解答中，都需将三角公式逆用，这里是指运用2sinαcosα=sin2α，2cos2α-1=cos2α，1-2sin2α=cos2α等.
