时间：2023-06-02 09:58:13
1、教学内容
三角形的分类是北师大版四年级数学下册第二单元的第二课。
2、教材简析
“三角形分类”是新课程教材中“空间与图形”领域内容的一部分。学生们在这一课之前已经认识了角，并知道三角形的组成。这些知识为本节课的学习打下了坚实的基础。同时，学好这部分内容，为学习其他多边形积累了知识经验，为进一步学习三角形的有关知识打下了基础。
二、说教学目标
鉴于上述分析，我确定如下教学目标：
①学生通过观察、操作、比较、发现三角形角的特征，会给三角形分类，理解并掌握各种三角形的特征。
②培养学生观察能力，操作能力和抽象概括能力。
③激发学生的主动参与意识，自我探索意识和创新精神。
三、教学重、难点的确定
本课教学重点是使学生能按角和边的特征给三角形分类。教学难点是学生能理解并掌握各种三角形的特征。
四、说教法、学法
根据新课标的要求和学生的实际，以直观教学为主，运用观察动手操作，小组讨论等多种方法，结合教材，让学生在“分一分”，“说一说”的自主探索过程中发挥学生相互之间的作用，让学生自己在动脑、动手、动口中促进思维的发展，培养学生的动手操作能力，语言表达能力和自学能力。
五、说教学过程
本节课的教学过程分为三个部分
首先是导入部分。我利用“把本班学生进行分类”来引入，让学生说一说可以怎样将我们班的学生分类，这样分类的标准是什么？反映快的学生马上发现可以按性别的不同分成两类，男生一类女生一类；接着又有学生说可以按族别的不同分成两类，汉族学生一类民族学生一类；这样，通过学生间的互相启发，说出了很多种分类的方法，有的说可以按头发的长短不同来分类、年龄的不同来分类、身高的不同来分类……。就这样在说的过程中学生明白了无论怎样分类都需要按一定的标准来进行。同时通过解决这个问题使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，从而激发学生学习数学的乐趣，调动学生学习新知识的积极性和主动性。
在生活中我们常常会遇到分类的问题，那么在数学的学习过程中也会遇到分类的问题，今天我们一起来探索三角形的分类。引出课题并板书
接下来是新授部分
（一）、创设情境，提出问题
我先出示这幅图，这是用三角形拼成的一艘船。出示这幅图的目的是让学生仔细观察这些三角形，说出它们有什么共同特征。这样让学生在情景中联系与新知识有密切关系的旧知识，为学习三角形的分类作好迁移铺垫，为突破难点打下基础。然后提出问题：你能把这些三角形进行分类吗？
（二）、自主探索，解决问题
1、下面由学生自主探索，解决这个问题
学生拿出提前准备好的三角形动手分一分，分好后在小组内说说自己是怎样分类的？分成了几类？在学生操作的过程中，我巡视并指导学困生。我们都知道，儿童具有一种与生具来的学习探究能力，他们渴望在学习中获得乐趣，获得成功。因此我给他们提供这样一个自主探究与合作交流的机会，让他们运用已有的知识经验，主动参与探究新知识的过程。这样不仅激发了学生的学习兴趣，而且真正让学生动眼、动手、动口、动脑参与了获取知识的全过程。
2、当学生分好后，指名汇报。
首先起来汇报的是按角的不同将这些三角形分成了三类，我用大屏展示他的分类方法，同时问“有和他分类方法相同的吗？”来了解其他学生的分类情况。下面我们一起来看看这种分类方法。先让学生说一说为什么把①②分为一类？他们有 什么共同特征？引导学生发现这两个三角形都有一个角是直角。接下来我让学生仔细观察第二类和第三类，它们分别有什么共同特征？因为有前面的经验，学生很快就发现了第二类三角形三个角都是锐角。第三类三角形有一个角是钝角.
当学生知道了这三类三角形的特征后，我引导他们给每类三角形取个名字。学生的智慧是不可估量的，他们能根据特征的不同给出相应的名称。然后再引导学生把特征和名称结合在一起形成概念并板书，即：三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。
这一环节在学生动手操作充分感知的基础上，我适当点拨，引导学生归纳出按角分类的三角形的特征。把操作、思维、语言有机的结合起来，使学生轻易掌握了难点，既有利于培养学生的动手能力和概括能力，又使学生体验到了成功的快乐。
当学生认识了这三类三角形后，接着我设计了这个基础练习题，通过练习让学生巩固概念。
当学生感到有些疲劳时，我根据教材内容和学生心理特点设计了下面的猜一猜游戏。将三角形的一个角露在外面，让学生猜这个三角形是什么三角形。首先露出一个直角让学生猜，学生猜完后，问“你能肯定这个三角形是直角三角形吗？为什么？”引导学生再次理解直角三角形的概念。接下来是露出一个钝角让学生猜，学生猜完后问“你能肯定这个三角形是钝角三角形吗？为什么？”引导学生再次理解钝角三角形的概念。最后是露出一个锐角猜，当学生猜完后问同样的问题，此时课堂上有争议，有的同桌两人在讨论，有的是四人讨论，通过交流得出只看到一个锐角，不能确定是哪一类三角形，因为无论哪一类三角形，至少有两个角是锐角。通过这个游戏，加深了学生对概念的理解，从而突破了本课的难点。
以上是按角的不同将三角形分成三类，还有不同的分类方法吗？这时有学生汇报按边的不同进行分类，我用课件展示按边的不同进行分类，让学生仔细观察，每一类三角形它们有什么共同特征，引导学生说出第一类三角形“有两条边相等”，第二类三角形“三条边都不相等 ”，第三类三角形“三条边都相等”，我们把有两条边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，然后引导学生认识等腰三角形的腰，等边三角形的边。当学生认识了等腰三角形和等边三角形后，让学生思考“等边三角形是等腰三角形吗？”这个问题，当我提出这个问题后，教室里经历了由安静到窃窃私语到热烈交流的一个过程，这种交流是发自学生内心的，留给学生的印象是深刻的，得出的结论是学生难以忘怀的。同时通过解决这个问题学生进一步理解了等腰三角形和等边三角形的概念。接下来我设计了下面的练习，让学生再次巩固等腰三角形和等边三角形的概念。
第三部分是全课小结
这节课我们一起学习了什么知识？能给大家说说你都知道了什么吗？这样让学生谈谈经过自己动手操作、小组合作、自主探究发现的三角形的分类方法及各种三角形的特征，不仅及时有效地巩固所学知识，训练学生的语言表达能力，而且可以使学生从中感受、体验到一个探索者的成功乐趣，从而增强学生的学习动力和信心。
六：说作业设计
本节课我设计了让学生在点子图上画锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各一个，来了解学生对本课知识的掌握情况。
七：说板书设计
本节课的板书为了突出学习重点，解决知识难点，主要展示按角的不同和边的不同把三角形进行分类，下面是我的板书设计：
三角形的分类
有一个角是直角的三角形叫直角三角形
角 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形
有一个角是钝角的三角形钝角三角形
两条边相等的三角形叫等腰三角形
边
三条边都相等的三角形叫等边三角形
关键词：分类讨论；等腰三角形；直角三角形
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学方法，同时也是一种重要的解题策略。这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。下面我以特殊三角形为例，浅显地谈谈分类法的应用。
一、等腰三角形的腰或底边不定时需要分类讨论
在等腰三角形中求边长时，要看给出的边长是否确定为腰长或底边，若已确定，则直接利用等腰三角形的性质定理求解；若没有指出所给的边是腰还是底边，要分两种情况讨论，并三角形内角和三边的关系检验其是否能构成三角形。
例1.已知在等腰三角形中，（1）若一边长等于4 cm，另一边等于5 cm，求它的周长；（2）若周长为20 cm，一边长为5 cm，求它的三边长。
分析：不能确定已知边是腰还是底边，因此分两种情况讨论：
（1）若底边长为4 cm，则腰长为5 cm，这时它的周长为4+5+5=14 cm；若腰长为4 cm，则底边长为5 cm，这时它的周长为4+4+5=13 cm，所以这个三角形的周长等于14 cm或13 cm.
（2）若底边长为5 cm，则腰长为7.5 cm.
（3）若长为5 cm的边是腰，则底边长为10 cm，因为5+5=10 cm，即两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系，因此三角形不存在，所以它的边长为5 cm，7.5 cm，7.5 cm.
例2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
分析：已知条件并没有指明哪一部分是9 cm，哪一部分是12 cm，因此，应有两种情形。
若设这个等腰三角形的腰长是x cm，底边长为y cm，可得x+ x=9 x+y=12或x+ x=12 x+y=9解得x=6y=9或x=8y=5即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm。
二、等腰三角形的顶角或底角不定时需要分类讨论
在等腰三角形中求边角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角，若已确定，则直接利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质定理1（等边对等角）求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理。
例3.已知等腰三角形的一个内角度数，计算三角形的另外两个角的读数。
（1）已知一个角是30°；（2）已知一个角是160°。
分析：如果已知等腰三角形的一个内角是锐角，可分两种情况，顶角是已知锐角或者底角是已知锐角；如果已知一角是钝角或者直角，那么它一定是等腰三角形的顶角。
（1）若已知角是顶角，则另外两个角是底角，度数为 ×（180°-30°）=75°；若已知角是底角，则顶角度数为180°-2×30°=120°，另一个底角为30°。
（2）由于已知等腰三角形的一个角是160°，又由于两个底角相等，因此这个角只能是顶角，因此这个角只能是顶角，因此两个底角度数都是 ×（180°-160°）=10°
三、等腰三角形的形状不定时需要分类讨论
由于等腰三角形类型的不同，高线所处的位置也不同。如果是锐角三角形则高线在三角形内部；如果是直角三角形，高线就是一条直角边；如果是钝角三角形，高线在三角形外部。所以在等腰三角形中求高线时，要看给出的三角形是否确定，若已确定，则直接利用三角形高线的位置进行求解；若没有指出则要分三种情况讨论。
例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，求底边上的高线长。
解析：题目没有确定三角形的类型，所以这个等腰三角形需分三种情况进行讨论。
（1）如图1，若ABC是锐角三角形时，已知AB=AC，BEAC，∠ABE=30°，ADBC，求AD的长。
因为腰长为a，∠ABE=30°，故腰上的高为 a，且顶角为60°，从而ABC是等边三角形，所以底边上的高为 a。
（2）如图2，若是钝角三角形，已知AB=AC，BEAC，∠ABE=30°，ADBC，求AD的长。
因为∠ABE=30°，所以∠BAC=90°+30°=120°.又因为AB=AC，所以∠BAC=30°。因为ADBC，所以AD= AC= a。
（3）若顶角为直角，显然是不成立的。
综上所述，底边上的高为 a或 a。
由以上的几个例子我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。
利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。
参考文献：
【关键词】分类；意识；渗透；方法
分类讨论是一种重要的数学思想方法，其中直角三角形的分类是近年各省市中考数学试卷中经常有的一个考点.如何在中学各个不同学段，通过专题归纳和训练，使学生掌握此类问题呢？本文以教学中所用的实例，对在课堂教学中如何渗透直角三角形分类思想进行研究.
一、树立意识，及时引入分类
数学思想方法的教与学具有“隐蔽性”，需要教师为学生有意搭建桥梁，及时渗透，学生才有机会认识“庐山真面目”.在讲授数学概念、公式、定理的形成过程中渗透分类思想方法，抓住新旧知识之间的联系，创设情境，让学生初步感悟直角三角形的分类.
例如：七年级下册第四章“认识三角形”的第2课时学生们认识了有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，它的三条边有直角边、斜边之分.在学生学习了“勾股定理”教学阶段，我们可以设计以下题目让学生思考.
1.如果直角三角形的两直角边长分别为3，4，那么斜边长为.
2.如果直角三角形的两边长分别为3，4，那么第三边长为.
这两个题目通过学生练习，辨析什么情况下应该分类讨论，不仅很好的揭示了直角三角形概念的内涵，并从中发展了学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.课堂教学以显性的数学知识“直角边”“斜边”为主线，而分类思想方法则隐藏在数学知识的背后，这样的概念教学让学生感受了分类的必要性，并完成了合理的正迁移.
二、看准时机，提高分类认识
需要分类思想解决的问题，如果分类标准不确定，极易造成思维过程中思考片面，致使解答不完整.教师创设问题情境，给学生独立思考、交流讨论的时间，再适时点拨，让学生顿悟.学生尝到甜头，体会了分类思想在解题时的优势，自然有了探索欲望，渗透分类思想也就水到渠成.
例 如图，已知A，B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1.以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M，N两点重合成一点C，构成ABC，设AB=x.若ABC为直角三角形，求x的值.
根据题意易分析得ABC的各边长分别为：AB=x. AC=MA=1，BC=BN=3-x.解决这个问题应该分情况讨论，因为不知道在三角形中哪一个是作为斜边存在的.所以有三种情况，即：①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解.
②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=53，满足1
③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=43，满足1
在例题教学中运用分类思想方法启发学生发现解题思路，寻求解题规律，能培养学生分析和解决问题的能力.通过分类整理，引导学生学习有序性的思考，克服盲目拼凑的毛病，有效的培养了逻辑思维.
三、掌握方法，重视分类画图
有关直角三角形分类的题目，一般方法是先分类，后画图，再计算.学生树立了分类意识后，还需要对分类的画图进行引导.对任一事物分类要按同一标准，做到不重复、不遗漏.直角三角形中，因为直角顶点不确定需分类讨论，因此直角三角形的分类标准可以是点A、点B、点C分别为直角三角形顶角的顶点，或者边BC、边AC、边AB分别为直角三角形的斜边.
例如：已知线段AB，在平面内取一点C，使得ABC是直角三角形.
（1）点C为直角三角形顶角的顶点（边AB为直角三角形的斜边）画图：以AB为直径作圆；则点C一定在圆上.
（2）点A为直角三角形顶角的顶点（边BC为直角三角形的斜边）画图：过点A作AB的垂线，则点C一定在这条垂线上.
（3）点B为直角三角形顶角的顶点（边AC为直角三角形的斜边）画图：过点B作AB的垂线，则点C一定在这条垂线上.
借助直尺圆规，学生不仅能准确的分类画图，还能掌握相关的图形特征.重视画图的过程，实质是借画图的这个载体，让学生领悟和提炼分类思想.结合坐标系，练习可设计成如下：
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），B（4，10）在纵轴上找一点C，使得ABC是直角三角形，则这样的点C共有几个，求出点C的坐标？
直角三角形的画图方法可归纳为“两线一圆”，这一基本思路的掌握，为以后在复杂题目中“化繁为简”打下了基础.
四、遵循规律，落实计算方法
初中数学教材的内容编排，从数与代数、空间与图形、概率与统计三方面入手，按螺旋上升原则逐步展开.学生按教材学习数学知识是三方面交替接触，从而导致分类思想方法的学习也就没有系统性和连续性.教学中教师要有打持久战的心理准备，在不同的学段反复渗透，逐步提高.
直角三角形的分类涉及角度、边长、点的坐标的计算，学生应掌握的知识包括七年级的三角形内角和定理、八年级的勾股定理和相似三角形的性质、九年级的三角函数等，以及计算中常用到的方程思想、转化思想.笔者在不同的学段结合不同知识点分别设计了类似如下的一些题目.
例 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BDDC，BC=10 cm，CD=6 cm.在线段BC，CD上有动点F，E，点F以每秒2 cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1 cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动.当点F到达点C时，点E同时停止运动.设点F运动的时间为t（秒）.
（1）求AD的长；
（2）点F，E在运动过程中，如CEF与BDC相似，求线段BF的长.
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、直角梯形.解（2）题时，原题中没有提出CEF与BDC相似的对应角与对应边，为防止漏解.所以应分类讨论：①BDC∽FEC；②BDC∽EFC.其实，如果把相似三角形的分类转化为直角三角形的分类也是可以的.BDC是直角三角形，若CEF与BDC相似，那么CEF也就是直角三角形.按直角顶点分类，因为∠C是锐角，只可能∠CEF=90°或∠EFC=90°，分两类讨论.
分类思想的教学具有“离散型”的特点，并非一朝一夕所至，是一项长期系统工程.教师备课时，必须深入钻研教材，循序渐进，才能落实计算的教学.
五、提高能力，加强综合演练
数学教学中，解题是最基本的活动形式.习题的解答过程，也是获得和运用分类思想的过程.教师有意识的设计与例题相同类型、结构的习题，让学生从模仿开始，千锤百炼直至他们能把模仿到的用于新的情境，解决其他问题.
例 如图，已知一次函数y=0.5x+2的图像与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图像交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴只有唯一的交点C，且OC=2.
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数的图像y=0.5x+2与二次函数y=ax2+bx+c的图像的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且PBD为直角三角形，求点P的坐标.
直角三角形的分类的掌握重在领会应用，因此学生的参与尤其重要.进行相关教学时先让学生有自己的切身体会，然后逐步领悟，用自己的思维方式构建体系，当经验和领悟积累到一定程度，分类的运用就如鱼得水了.
知识的掌握只能受益一时，而思想的形成、方法的掌握却能让学生受益一生.广大教师要以大纲为方向，整体研究，将分类思想有机渗透入教学计划和教学内容中，让学生在潜移默化中领悟，并逐步内化为思维品质.
【参考文献】
教学目标：
1、通过观察、比较，发现三角形角的特征。
2、经历探究三角形按角的特点分类的过程。能正确识别各类三角形。
3、通过多样活动，激发学生主动参与、自我探索的意识，初步培养学生的观察、比较与分类能力。
教学重点：探究三角形的分类方法；会按角的特点给三角形分类。
教学难点：掌握各类三角形的特点点，快速识别三角形的种类。
教学具准备：教学课件一套，教师和学生人手一套6个不同的三角形。平行四边形或长方形每生一个，每生一个正方形。
教学过程：
课前谈话：今天，老师给大家带来了一些图形，瞧，都是些什么啊？
出示（6个）三角形（生：三角形）
提问：这里面有哪几种角啊？（板书：锐角、直角、钝角）
一、操作实验，探究三角形的角的特征。
1、实验研究。
谈话：今天我们就要通过实验操作，探究三角形角的特征。课前老师为你们同桌两人准备了一个信封，信封里就有这样的6个三角形，还有一张表格。请同学们同桌两人合作，认真观察与测量三角形的角，把实验结果填入表中。
填完以后思考，从表格中你发现了什么？
2、学生操作，填表。
可以用目光判断，还可能用工具进行验证。
3、学生交流：
提问：从表格中你发现了三角形角的特征吗？
（三角形的角有：锐角、钝角、直角；直角最多有1个，钝角最多有1个，锐角最多有3个，至少有2个。）
二、尝试分类，探究三角形按角的特点进行分类。
1、师：你能不能按三角形角的特点把三角形来分分类吗？
2、学生操作
（2）和（4），（1）和（6），（3）和（5）
3、交流：说说这样分类的根据。
提问：为什么把（2）和（4）分在一起呢？（因为他们都有3个锐角）
（1）和（6）分在一起理由是什么呢？（都有一个直角）
（3）和（5）分在一起，为什么这样分呢？（因为里面都有一个钝角）
提问：你能不能给每类三角形起一个名字。
小结：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
提问：锐角三角形有什么特征呢？板书：三个角都是锐角的三角形
直角三角形有什么特征？板书：有一个角是直角的三角形
钝角三角形有什么特征？板书：有一个角是钝角的三角形
出示各类三角形的含义（读）：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；
有一个角是直角的三角形是直角三角形；
有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
提问：这三类三角形有什么不同点？
4、游戏，猜一猜。
（教师出示一些三角形，用纸挡住两个角，让学生根据露在外面的一个角，猜一猜这个三角形属于哪种三角形。）
只露出一个锐角；答：不同答案。
只露出一个直角；答：直角三角形
只露出一个钝角；答：钝角三角形
组织学生讨论：在学生回答的基础上进行小结：第（1）题只露出了一个锐角可能是锐角三角形，可能是直角三角形，也可能是钝角三角形，只有当三个角都是锐角的时候才是锐角三角形。第（2）题是直角三角形，第（3）题是钝角三角形你们回答的非常准确。
5、用集合的观念进行整合。如果把所有的三角形看作一个整体（画个椭圆），锐角三角形，直角三角形和钝角三角形都是这个整体的一部分（画出分类）。它们之间的关系，可以这样来表示（指着黑板上的图说）从图中，你知道了什么？
6、出示课题
谈话：今天我们学习的是三角形的分类。[板书：三角形的分类]三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
三、活动巩固，加深对各类三角形特征的认识。
1、连一连：判断是什么三角形？
谈话：老师这里有一些三角形，不知道是什么三角形，你能帮助我判断吗？请你来连一连。
提问：你是怎么判断的？
提问：有些三角形我们用眼睛很难看出是什么三角形，我们可以借助什么啊？
2、闯关游戏
第一关：
（1）谈话：现在老师想跟你们做个闯关游戏，第一关是：能不能用一张长方形纸或平行四边形纸，剪出两个完全一样的三角形吗？学生操作，交流，你是怎么剪的？
（2）教师：如果给你一张正方形纸，你能折多少个直角三角形吗？
第二关：
谈话：现在老师取了2个三角形，看看都是什么三角形呢？出示三角形。
你能在下面的三角形中分别画一条线段，把它分成两个直角三角形吗？
学生自己把一个三角形分成两个三角形，说说这两个三角形分别是什么三角形？（教师提供同一个三角形）
学生通过画一画认识到，符合要求的线段必定是三角形某条底边上的高。
第三关：
谈话：能不能把我们分出来的这个直角三角形中再画一条线段，把它分成两个三角形吗？。
展示分成两个直角三角形：把其中一个直角三角形中画一条线段，把它分成两个三角形，仔细观察，它可以分成哪些类型的三角形？
四、巩固与应用
1、第27页练一练第2题。
2、第27页练一练第6题。
【关键词】分类思想；教学
【案例描述】
一、教学目标
（1）知识与技能目标：掌握等腰三角形相关知识解决数学问题。
（2）过程与方法目标：让学生在解决问题的过程中体验分类的方法，渗透分类讨论数学思想，培养学生分析和解决数学问题的能力。
（3）情感与态度目标：让学生经历解决问题过程中的分类思想，激发学习兴趣。
二、教学重难点
（1）教学重点：等腰三角形基础知识及在等腰三角形的基础知识解决数学问题过程中的分类思想渗透。
（2）教学难点：分类这种数学思想方法的渗透及体会。
三、教学准备PPT课件和学习活动单
四、教学设计
1.等腰三角形基础知识回顾
如图，在ABC中，
（1）若AB=AC，∠A=40°，则∠B= 70°；
（2）若∠B=∠C，AB=5，则AC= 5 ；
（3）若AB=AC，AD平分∠BAC，则∠B=70°；
①若BD=3，则BC= 6 ；
②若BC=6，ABC的面积为24，则AD= 8 。
通过几个简单的小问题，让学生回顾之前学习的等腰三角形的相关知识，包括：
（1）在同一个三角形中，等边对等角；
（2）在同一个三角形中，等角对等边；
（3）等腰三角形三线合一。
而这些知识的巩固正为本节课后续解决等腰三角形中的问题作好了准备。
2.通过问题的解决渗透分类思想这一重要的数学思想
问题1：已知等腰三角形的两边分别是4和5，则它的周长是________。
问题2：已知等腰三角形有一个角为30°，则它的底角度数为____°。
通过问题1、问题2的解决让学生体会到利用等腰三角形的两边相等、两角相等即可解决这两个问题，但问题1中在不确定4和5那边为腰时，问题2中不确定30°为顶角还是顶角时需要进行分类讨论。之后进一步提出，此类问题是否一定有两个答案，存在只有一个答案的可能吗？再让学生去改题目得到一个答案的情r，最后做小结。设置这两个题目的目的是让学生在解决一些比较简单的问题时体会分类思想的方法，为后续解决较难问题做好铺垫。
问题3：已知一个三角形的三个内角分别为20°，40°，120°，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数。
这个问题学生在之前的学习中可能有过接触，对大部分学生来说还是比较简单的，只要把120°分出20°或者分出40°都能解决问题。在此基础上，进一步提出这个三角形好，它能分成两个等腰三角形，你能否画一个三角形使它也具备这种功能，可以分成两个等腰三角形。让学生在尝试画的过程中找到只要三角形的内角之间存在特定的关系就一定能分成两个等腰三角形，它们分别是直角三角形或一个角是另一个角的2倍以及一个角是另一个角的3倍。在讨论过程中，让学生更深入地体会如何分类才能不漏不重。
问题4：能否找到一个等腰三角形，使它能分成两个等腰三角形，若有，请求出该等腰三角形的顶角度数。
这个问题在等腰三角形中是一个比较经典的问题，但解决起来比较难，但在问题3解决的基础上，进一步提出问题4，利用问题3的结论来解决问题4，该问题会变得简单很多。只需在问题3中已分好的三类的基础上进一步让原三角形成为等腰三角形即可解决，并在过程中渗透了方程思想。
3.课堂小结
本节课主要利用了4个问题的解决来渗透分类思想这一重要的数学思想，让学生在过程中亲身体验分类的具体方式和方法，为今后的学习打好基础。
五、作业布置
[关键词]小学数学;高效课堂;真实课堂;三角形
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]2095-3712（2015）24-0059-02
这是我们“‘以学评教’，提高课堂效率”课题组数学子课题组为全体实验教师提供的一节研究课，上课的内容为人教版四年级数学下册《三角形的分类》一课，执教者是李本英老师，她四十出头，温文尔雅，很受学生喜欢。
根据对教材的分析和对学情的了解，本课采取独立思考、小组合作、全班交流、点评补充的学习方式，让学生真正经历给三角形分类的过程。教师课前在与大家交流时，反复谈到要努力使自己的课堂真实。
让学习的知识真实熟悉，让学习的课堂朴实高效，是笔者对真实课堂的理解。抱着看看教师如何落实“真实”的态度听完全课，笔者豁然开朗，原来这就是真实，而且离我们这么近，又如此好操作，不得不为李老师的随意而作而喝彩。下面是学生探究“按角对三角形进行分类”的精彩回放：
学生经过小组自主合作，尝试操作分类后，进行全班交流。李老师巡视了一圈，说：“每个小组都已经分完了，谁来说说你们是按什么标准分的，分成了几类。最好能说说每类三角形独特的地方，并给它取个名字。”
“我们按有没有直角为标准分成了两类。直角三角形和非直角三角形。”学生边说边展示。
在学生得到全班同学的点头认可时，李老师强调：“他们有统一的标准，没有重复，没有遗漏，这种分法是正确的。按角分，你们还有不同的分法吗？”
“我们也是按角来分的，分成了三类，第一类是直角三角形，特点是有一个直角;第二类是钝角三角形，特点是有一个钝角;第三类是三个角都是锐角的锐角三角形。”学生在黑板上边说边操作。
下面的同学鼓起掌来，李老师笑着说：“你们都认可这种分法吗？它的分类标准是什么？”
“是三角形里角的特点。”又有两个学生起来强调前面同学的发言，看来全班的意见统一了，可以进行下一个环节――归纳判断的方法了。“老师，我有问题。”一个男孩的声音打破教室的宁静，我放下笔，抬头顺着声音看过去，是曹长鸿，这个孩子平时很调皮，歪点子多，不容易“对付”。李老师转过身来，亲切地问：“曹长鸿，你有什么意见？”
“分成这三类我没有意见，其实书上都是这样写的，昨晚我们预习的时候就知道了。锐角三角形我认可，因为它的三个角都是锐角。但有一个直角的就是直角三角形我不认可，如果三角形里有两个直角，又叫什么三角形呢？……”
话还没有说完，班上学生的哄笑声就打断了他的发言，七嘴八舌地嚷：“一个三角形里只有一个直角。”曹长鸿平时是一个不轻易服输的孩子，这会脖子仰得更高了。旁边听课的老师也在窃窃私语，“课要扯远了”“这牵涉到下节课才学习的三角形内角和的知识，怎么讲嘛……”这是一节公开课，听课的除课题组的18个人外，还有全校的其他老师，我以为李老师会顺着全班学生的评价将此讨论打住，最多加上一句“关于为什么只能有一个直角，以后我们要学习”。但是李老师没有，而是兴奋地说：“这个问题提得很好，很有价值。动口不如动手，你们可以想办法证明为什么一个三角形里只能有一个直角。”
老师赞许的目光和兴奋得有些失真的话音让教室里的学生都很兴奋，他们纷纷拿起笔在纸上画，曹长鸿也和同桌埋头用量角器和直尺在纸上画起了三角形，还不时争论几句。通过实际操作与交流，大家最后证明了在一个三角形里只能有一个直角或钝角，还得出“一个三角形里不可能有两个直角或两个钝角，也不可能有一个直角和一个钝角”“一个三角形里，至少有两个锐角”等结论。问题解决了，后面，学生准确地给出了锐角、直角、钝角三角形的定义。在总结判断三角形类型的方法时，谭颖总结出“按角分，只看三角形中最大的角，它是什么角就是什么类型的三角形”的方法。李老师问其原因，她说：“刚才已经证明了，既然一个三角形里只能有一个直角或钝角，干吗三个角都要去判断？干吗还去记‘直角、锐角、锐角’‘钝角、锐角、锐角’‘锐角、锐角、锐角’？”学生的精彩发言让我们听课的老师不得不竖起大拇指。
学生在“有一个直角的就是直角三角形”的问题上足足纠缠了7分钟，导致后面的巩固练习没有很好地完成，留下遗憾。议课时，大家问李老师这7分钟是否值得，她说：“值，不要说7分钟，哪怕后面的教学无法完成，我也要让学生把自己的问题弄明白。”这7分钟就是李老师演绎的真实课堂：把学生的需要放在首位，真诚地重视学生提出的问题，全心全意地帮助学生解决问题。“以生为本”“课堂是学生的”，教学环节要为学生思考、探索、发现和创新提供最大的空间，这些我们都知道，但我们却又往往对学生的问题置之不理。课后，我问曹长鸿他的这个想法是怎么冒出来的。他说：“通过前面的学习，知道三角形由三条边、三个角组成。既然这三个角可以是锐角，为什么不可能是直角或钝角？有一个直角的三角形是直角三角形，那么有两个直角的又叫什么三角形呢？”细细分析，学生的想法不无道理。从知识储备来看，他们认识了三类角和三角形的组成，还不知道“三角形的内角和是180°，只能有一个直角或钝角”这个道理，所以提出这个问题很正常。李老师因为真正关注了他的学生，所以重视这个问题，并牢牢抓住这个问题展开后续学习，让学生动手画，自己去发现：两个直角（钝角）、一个锐角无法组成三角形，一个直角、一个钝角和一个锐角也同样无法组成三角形。
7分钟的课堂，不仅让我们听课的老师真切地体会到了课堂的主角是学生，而且感受到了课堂的高效。它的高效体现在学生的发展上：从知识目标看，学生对三角形的认识更深入了，知识掌握得更牢固，并为后面三角形内角和知识的学习奠定了基础;从能力目标达成看，学生的思维得到了最大的发展，学生敢于质疑，勇于探索，用实践进行证明，自主解决问题，在发现―解决过程中思维更清晰、更严谨;从情感目标看，自主“发现”比别人“告知”更能激发学生的求知欲，更能调动学生的学习积极性。课堂上教师的“首肯”比拿到100得分更能让学生激动，这种激动将是学生可持续发展的无限动力。试想，如果李老师对曹长鸿的质疑置之不理，那么课堂的学习气氛还会这么轻松吗？学生的持续学习激情还能保持吗？或者李老默认其他学生对曹长鸿的批判，曹长鸿在今后的学习中还会提出这样“怪异”的问题，说出自己“叛逆”的看法吗？如果李老师恪守知识传授的次序性，对曹长鸿的质疑轻轻一带而过，又哪来“判断最大角”的创新之论？
李老师实现了课堂的高效――我们追求的最高目标。
一个看似怪异的想法，7分钟的纠缠，给了我们一个真实的课堂。真实才会有效，也才能高效。面对学生的问题，如何把握自己的课堂？这节课给了我们一个很好的实例――别让学生的怪异想法从我们的耳边轻轻飘过，构建真实的课堂，请从关注学生的一问一答做起。
参考文献：
三角形的特征、特性、分类、内角和、三角形的高。
【教学目标】
1.使学生进一步掌握三角形各部分的名称与意义、三角形内角和、三角形分类的有关知识。
2.巩固掌握三角形的特性，三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°。
3.知道锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形的特点并能够辨认和区别它们。
4.引导学生开展自主复习，初步掌握复习方法，形成基本复习技能。
5.提高复习课学习的兴趣，培养积极的学习态度，使学生获得成功的情感体验。
复习重点：复习三角形单元相关基础知识，初步掌握单元复习的基本方法。
复习难点：通过复习活动，提高学生上复习课的学习兴趣，培养学生积极的学习态度，并使学生获得成功的情感体验。
【教学设想】
《三角形的复习》这一内容安排在学生已经学习了三角形的有关知识之后，学生对三角形已经有了直观的认识，并且已经初步认识了三角形的特性，知道了三角形的两边之和大于第三边，还学会了三角形的分类，知道了三角形的内角和是180°。
本节课主要是通过对三角形知识的梳理，把整个单元的知识从零碎的片段整理成一个完整的三角形知识体系，并且让学生在对知识的梳理过程中更加深入对三角形知识的理解。使学生由比较“混沌”的状态到“深刻清晰”地掌握，是本节课的灵魂所在。对于这类目标的达成，心理学研究告诉我们，按需要的是“体验”和“思辨”并行，在体验中感受、积累，在思辨中提炼、内化。
具体到教学流程，我先借用直观的三角形图，引导学生对三角形进行整理和思考，在大脑中初步梳理出三角形由三条线段围成的封闭图形，并且三角形有三个角、三个顶点、三条边。然后根据三角形边的特点和边所需的要求对三角形进行分类，并且让学生思考怎样才能围成三角形。然后再根据角的特点对三角形进行分类。在按边分类和按角分类的过程中，讨论如何用集合的形式表示出三角形的分类。让学生在进行了激烈的思辨后，最终明白三角形按边分是包含与被包含的关系。
【教学过程】
一、复习三角形的概念
1.出示三角形。
师：认识吗？
（设计意图：通过大屏幕展示三角形，让学生在直视三角形图后，迅速搜索有关三角形的知识，从而开始对三角形知识进行了系统的梳理。）
生：三角形。
师：什么叫三角形呢？
生：由三条线段围成的图形叫三角形。（根据学生回答板书）
师：三角形由哪些部分组成？
生：三个顶点，三个角，三条边。
师：围成表示什么意思？说明三角形是怎样的一个图形？
生：围成表示线段与线段端点相连，首尾相接。
生：说明三角形是一个封闭图形。
师：你还知道三角形的三条边有什么要求吗？
（设计意图：三角形的三条边必须是首尾相连、端点相接的，这是其对三边的要求。而三角形的三边还有什么要求？从而引起学生对三角形三边关系的深层思考。即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。）
生：两边之和大于第三边。
2.出示题目：给出三根小棒，说说可不可以组成三角形？
（1）3cm，4cm，5cm
（2）3cm，3cm，3cm
（3）2cm，2cm，6cm
（4）3cm，3cm，5cm
（设计意图：通过三角形三边关系的判断，让学生更加深刻地明白，三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，并对这些题目进行二度使用，让学生通过边的长短判断出等边三角形、等腰三角形，使三角形的三边关系在学生的思索中进一步深入挖掘。）
二、三角形的分类
1.画三角形。
师：你会画三角形吗？请同学们在自己的纸上自由画三角形。
（设计意图：让学生自由画三角形，通过动手操作，使三角形的概念在大脑中再次得以巩固，学生自己画三角形既感兴趣又能培养学生的动手能力，还能培养学生的空间观念，可谓一举而三得。）
2.根据学生的作业，在大屏幕上展示，请学生说说这是什么三角形？
3.学生分别说出直角三角形、钝角三角形、锐角三角形。
（设计意图：学生对自己画的三角形十分感兴趣，而且对自己画的三角形特点容易掌握，三角形按角分可以分成三类就成了很轻松的事儿。）
师：请同学们分别说说这三类三角形的特征。
生：直角三角形是有一个直角的三角形。
生：钝角三角形是有一个钝角的三角形。
生：锐角三角形是有三个锐角的三角形。
师：你能用一个圆把三角形分成三类吗？
（设计意图：三角形按角分，分成三类。让学生明白，直角三角形、钝角三角形和锐角三角形三者之间是并列关系。）
师：刚才同学们在作业纸上画了三角形，你能不能再画一个三角形，要求在这个三角形里有两个直角。
生：不能，因为三角形的内角和总共也只有180°。
师：那么能不能在一个三角形里画两个钝角呢？
（设计意图：在一个三角形里画两个钝角，或者两个直角，有两个目的：其一是让学生知道两个钝角之和要大于180°，两个直角之和是180°；其二是让学生明白任何一个三角形的内角之和是180°。）
生：不能。
板书：三角形的内角和是180°
4.计算三角形角的度数：
（设计意图：三角形因为按角分，可以用并集的形式出现，利用知识的迁移，学生很容易把三角形按边分，也用并集的形式表现出来，得用课堂的错误资源让学生对这样的分类进行讨论和思辨，从而进一步明确三角形按边分，可以分成三角形、等腰三角形、等边三角形，这是包含与被包含的关系。）
7.根据三角形的边和角的关系，你能求出三角形各个角的度数吗？
求出下列三角形各个角的度数：
（1）三边相等；
（2）等腰三角形，一个底角是30°，求顶角。
（3）等腰三角形，顶角是50°，两底角分别是多少度？
（4）直角三角形，有一个锐角是50°，另一个锐角是多少度？
（5）有一个三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，它的各个角的度数分别是多少？
（设计意图：让学生通过边和角进行分类，综合三角形按边分按角分的知识，使三角形分类的知识由单独的个体又整合成一个整体，让学生明确知识之间的相互关系。）
强调：直角三角形两锐角之和是90°。
（设计意图：让学生明白直角三角形内角和180°，去掉直角90°，所以另外两个锐角之和是90°。）
三、三角形的稳定性和三角形的高
1.三角形的稳定性。
师：你还知道三角形的哪些知识呢？
生：三角形具有稳定性。（板书）
师：你在日常生活和生产中运用过三角形的稳定性吗？
（学生举例说明三角形具有稳定性）
2.三角形的高。
师：你知道三角形的高吗？谁来说说三角形的高可以怎么样来描述呢？
生：从顶点向它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。
师：你会画三角形的高吗？
师：请同学们完成老师给的作业纸上的三个三角形的高。
3.总结画高的方法。
要领：高从顶点作出；高垂直于底边。
（设计意图：三角形的画高是一个难点，通过学生对三角形画高，让学生明白三角形是有方法的，并根据三角形画高的经过总结出画高的方法，并掌握画高的方法，简洁而有效。）
4.拓展画直角三角形的高和钝角三角形的高。
（设计意图：画钝角三角形，很难做到垂直，也很难找到这个三角形高所在的底，所以设计画钝角三角形的高，让学生通过操作，懂得三角形的高必须垂直于三角形的底。从而进一步突破钝角三角形画高的难点。）
一、任务说明
（一）任务及目标
1.任务内容
2.任务目标
（1）通过完成挑战性任务，引导学生复习三角形的分类、三角形的三边关系，进一步掌握三角形的特征。
（2）在完成任务的过程中，引导学生整理这个单元的内容，沟通知识间的联系，形成知识网络。
（3）增强学生参与复习的积极性，培养学生的空间观念，提高有序思考问题的能力。
（二）设计说明
在三角形单元复习课中，常见的习题有以下几种形式：①出示几个三角形，让学生按角和按边进行分类，以选择的形式巩固三角形的分类；②出示一组小棒，以判断的形式巩固三角形的三边关系。这类练习侧重于记忆的简单回顾，虽然也能复习相关的知识要点，但学生学习的积极性不高，缺乏探究的动力。
笔者设计的学习任务的挑战性凸显在两个点上，第一是“让学生从7根小棒中，任选3根小棒围成三角形，能围成几个三角形，并把所有的三角形写下来”，学生能想到一种答案、两种答案，难度并不大，但如果要把所有的答案都罗列出来，就需要进行有序的思考，对于四年级学生来讲，要不重复、不遗漏、有序地写出所有的答案，又要判断是否能组成三角形，具有一定的挑战性；第二是“把这些三角形先按边分类，再按角分类”，把这5个三角形按边分类，对学生来讲，没有太大的挑战性，但让学生根据边的长短，先想象出三角形三个角的大小、三角形的形状，再按角进行分类，这样的练习学生从未接触过的，需要一定的想象能力和推理能力，这对学生而言具有很大的挑战性。
二、任务教学
教学从课件呈现任务开始：从7根小棒中，任选3根小棒围成三角形，能围成几个三角形？把所有的三角形写下来。
先让学生独立思考，并把答案写下来。然后组织同桌相互交流，再进行集体反馈。教师可以指名学生口答，并板书学生的答案，引导学生根据三角形的三边关系判断能否围成三角形。在学生回答完毕后，教师追问：还有其他答案吗？你有什么好办法，可以不重复也不遗漏地写出所有的答案呢？引导学生进一步思考后，组织交流，从而揭示有序思考的方法，并形成板书（如右图）。
接着，继续呈现任务：把这些三角形先按边分类，再按角分类。此时，教师将印有表格的练习纸（如下表）发给学生。要求学生先按边分类，再按角分类，在表格中写出三角形的名称。交流时，先反馈按边分类。在按边分类中，（6，6，6）既是等腰三角形，又是等边三角形，教师可以通过板书，用集合图表示两者之间的包含关系。
然后再反馈按角分类。对于学生来讲，根据边的长短来按角分类，具有很高的挑战性，教学中可以分成四个层次来反馈。
第一层次：寻找想象的参照物。
让学生思考：哪个三角形是能确定的？为什么？学生根据等边三角形三个内角都是60度，推断出它是一个锐角三角形。教师随即引导学生把这个三角形作为接下来判断的依据。
第二层次：提供想象的拐杖。
接下来判断（6，6，2）是什么三角形，不是一件容易的事，它需要以（6，6，6）为拐杖，去想象从（6，6，6）到（6，6，2）是怎么变化的？预计学生能想到把两根6厘米的小棒作为腰，把底从6厘米缩短到2厘米，但要让学生用语言表述其变化过程，往往难以表述清楚。这时，教师可以要求每位学生用三支同样长短的铅笔，来演示变化过程和变化结果。
接着，教师再运用几何画板演示其动态的变化过程，让学生去观察三角形整个形状的变化和三个角的变化。引导学生发现三角形越来越窄，越来越高，顶角越来越小，两个底角越来越大，但两个底角再大也只能是锐角，从而断定这个三角形一定是锐角三角形，让学生知其然，且知其所以然。
第三层次：验证想象的结果。
有了前面的经验后，研究（6，6，8）时，先让学生思考、想象从（6，6，6）到（6，6，8）是如何变化的。引导学生想象三角形越来越扁了，顶角越来越大，两个底角越来越小。然后用课件演示其动态变化过程，让学生去判断想象的过程和结果是否合理。课件呈现三角形（6，6，8）时，预计学生对“到底是什么三角形”这个问题的争议会很大，那怎么办呢？这时，可以引导学生用直角三角尺去验证。最后，继续想象由（6，6，8）到（6，6，10），会变成什么三角形，引导学生运用积累的活动经验，阐述判断的方法和结果。
第四层次：进行适当的操作。
最后一个三角形（6，8，10），无法用前面的方法去想象、去判断。可以先让学生思考“怎么办”，预计有学生会想到用“画”的方法，也有学生会想到用“摆”的方法。考虑到此教学环节的时间关系，教师可以在投影仪下用3根长分别为6厘米、8厘米、10厘米的小棒搭一搭，再用直角三角尺来判断。
关键词：初中数学分类讨论探究
在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的，这是学习任何科学，包括数学学习的一种科学方法。
分类讨论一般应遵循以下的原则：
1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。
2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。
3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。
4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。
一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。
一、有意识地分阶段渗透分类讨论思想
初中课本中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐的体会分类讨论的思想。七年级数学课本在引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、零、负数或将有理数分为整数、分数。让学生辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复，不遗漏；标准不同则分类不同的基本原则。此时可提出问题“-a一定是负数吗？”启发学生分a>0，a=0，a
在日常教学中的这种有序的、有目的渗透，使学生在学习的过程中逐步领悟出和接受解决问题中的分类讨论的思想，明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法。
二、启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质
分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，举一些符合大纲要求且学生能够接受的，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质。
例1方程kx2-2x+3=0有几个实数根？
学生往往不注意k对方程性质的影响，讨论或讲评中，使学生明确系数k决定方程的次数，从而分k=0，k≠0两类讨论。当k≠0时，再分>0，=0，
三、创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想
在教学中应边学习边总结，使学生明确引起分类讨论的原因，增强学生自觉应用分类讨论的意识克服分类讨论中的盲目性和随意性，提高学生的综合运用这种数学思想解题的能力。在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：
1、有些知识本身是分类定义和概括的。如绝对值的定义、一元二次方程根的判别式等
2、数和式的变形中需要附加条件
3、研究含有字母的方程、不等式解的特征和求解
4、涉及几何图形的形状和位置的问题
5、开放性的数学问题
6、一般地，当问题的条件特别少时，需要分类以补充条件的情况
例2已知抛物线y=x2+x+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，得到ABC，试根据m的取值范围把ABC按角分类。
分析：该题可先从图形的位置的不同分为两类：抛物线与x轴的交点在x轴的同侧，该三角形为钝角三角形；抛物线与x轴的交点在X轴的两侧时，再分直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三类考虑。这时可以直角三角形为突破口，若ABC为直角三角形，则OA・OB=OC2，由此得到若ABC为钝角三角形，则OA・OB>OC2，若ABC为锐角三角形，则OA・OB
四、分类后结论如何归纳
一般情况下，分类讨论后都要对结论进行归纳，这也是解决这一类问题必须的步骤。 常见的有三种结论归纳方式：并列形式、并集形式、交集形式。我们把后两种合称为集合运算形式。
（1）并列形式将分类讨论的结果用并列复句的形式给出。
（2）并集形式对每类的结果求并集作为最后的结论。
（3）交集形式对每类的结果求交集作为最后的结论
总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。在教学中，我们要多研究、多实践、多探索，让学生更好的掌握好初中数学中的分类讨论思想。
参考文献：
[1]蔡军.例谈递归思想在数学解题中的运用[J].数学教学研究.
[2郭可银.谈分类讨论思想在解题中的应用[J].数理化学习.
【关键词】数学 类比 应用
【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2009)11-0141-02
比较是认识事物很重要的方法,其中,类比更是认识新事物,发现新问题,寻求解题方法的有效途径。类比的形式:两个系统具有相似性,即可类比。(相似性:要能用概念确切表达。)下面分图形性质和习题求解两方面谈谈类比在数学中的应用。
一、在图形研究中类比方法的应用
例1,平面三角形和空间四面体的类比
1.先找平面三角形和空间四面体的相似性
a.三角形是平面上最简单的多边形;四面体是空间中最简单的多面体。
b.三角形是平面上数目最少的简单分界元素围成的图形;四面体是空间中数目最少的简单分界元素围成的图形。
c.三角形是三条线首尾相连的图形;四面体是四个面围成的图形。
2.推 测
a.三角形有内心(三条角平分线的交点),由此类比得:四面体的六个二面角的平分面交于一点,是内切球的球心。
b.三角形的三条中线交于一点,叫重心,且分中线为2∶1由此类比得:四面体的四个面的重心和顶点的连线(四面体的中线)交于一点叫重心,且分中线为3∶1。
c.由S= ,类比得:V=
S是二维的;S后有 。
而V是三维的;V后有 。
d.由直角三角形中的勾股定理,类比得:
直角顶点的四面体中。(A、B、C为三直角面)
(九章算术中的商高定理)
e.由三角形中的余弦定理:c2=b2+a2-2abcosC。
在四面体中, SD =
SBSCcos∠(B,C)-2SCSAcos∠(C,A)。
3.验证证明结论成立。
(证明过程略)
二、习题求解中类比方法的应用
例2,空间中位置一般的四张平面分空间成几部分?(每两张不平行,无三张共线,且交线不平行,以后无说明时,平面均为一般平面,直线均为一般直线。)
解法一,这样的四张平面刚好可以围成一个四面体。运用类比的方法:
平面上三条一般直线分平面为7部分:(如图1)
1、为封闭的;
2、3、4与所围三角形共边;
5、6、7与所围三角形共顶点。
共有7部分。
类比四面体分空间的情况是:
1部分是封闭的;
4部分是与所围四面体共面的;
6部分是与所围四面体共棱的;
4部分是与所围四面体共顶点的;
共分空间为15部分。
解法二:平面内位置一般的三条直线分平面为7部分,
即:7=1+3+3=
即是三条直线围成的一部分,
即是三条直线中任意两条的交点数,亦即与所围三角形共顶点的平面部分;
即三条直线中取任意一条,亦即与所围三角形共边的平面部分。
由此类比,空间中位置一般的四个平面分空间所成的部分为:
四面围成的封闭图形;
四面中任意三面形成的交点数,亦即与所围图四面体共顶点的空间部分数;
四面中任意二面形成的交线数,亦即与所围图形共棱的空间部分数;
四面中任取一面,亦即与所围图形共面的空间部分数。
则, 1+4+6+4=15。
空间位置一般的平面分空间成15部分。
推广:直线上n个不同的点分直线几部分?
A、直线的n个点分直线因为是一维问题,所以
设:t(n)=An+B
当n=0时,B=1;
当n=1时,A=1;
t(n)=n+1;
即,直线上n个不同的点分直线为n+1部分?
B、平面内位置一般的n条直线分平面成几部分?
平面内直线分平面是二维问题,所以,类比A。
可设,s(n)=An2+Bn2+C
当n=0时,c=1;
当n=1、n=2时有:
A+B+1=2
4A+2B+1=4
A= ,B= ;
s(n)=
C、空间位置一般的n个平面分空间成几部分?
空间中位置一般的n个平面分空间是三维问题,所以,类比A、B两类。
可设F(n)=An3+Bn2+Cn+D
当n=0时,D=1;
当n=1,n=2,n=3时有:
A+B+C=2
8A+4B+2C+1=4
27A+9B+3C+1=8
解得:A= ,B=0,C= 。
f(n)= 。
用数学归纳法证明即可得:
类比A得的B结论亦成立;
类比A、B得的C结论成立。
例3,计算3•5•17……(22n-1+1)
分析:本题可写为计算
(221-1+1)+(222-1+1)+(223-1+1)……(22n-1+1)
怎样计算出这n个数的积呢?联想结构上它非常类似的问题:
计算:48(72+1)+(74+1)……(72n+1)其解法是:
原式=(72-1)(72+1)(74+1)……(72n+1)
=(74-1)(74+1)……(72n+1)
=(78-1)……(72n+1)
=(72n+1-1)
算法主要根据48=72-1,然后,再用平方差公式进行计算。利用它和原题结构的类似,可得原题的计算方法为:
解:1=22-1
原式=(221-1-1)+(221-1+1)+(222-1+1)+(223-1+1)……(22n-1+1)
=(222-1-1)+(222-1+1)+(223-1+1)……+(22n-1+1)
=(223-1-1)+(223-1+1)……(22n-1+1)
在《新课程标准》中关于基本理念的叙述中指出：数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具;数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础;数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力方面有着独特的作用。分类思想，在我们的实际生活中经常用到，比如学生对书籍或一些物品的整理，教科书上对各章节的划分……。通过分类处理，可以让事物变得更有条理性，事物之间的关联更加的清晰，而分类讨论的能力也可以让我们的逻辑思维更清楚，分析问题的能力得到训练。
根据新课程标准的要求，通过初中数学的学习，学生对方程、类比、分类讨论、建模等数学思想方法应有一定的感知，并能在解题过程中进行应用，这是对学生提出的较高学习要求。就这些概念本身而言的是比较抽象，也并不要求学生对概念进行记忆。因此，学生只有在新知识的习得过程中、知识的应用中去体会、感悟它们，才能理解并掌握。
分类讨论的思想方法，它一直贯穿于初中数学知识。从教材内容的安排上来看，初中数学知识分代数、几何、概率、统计四大部分，采用不同的方法进行研究，从各部分内容来看，如代数中实数的分类、式的分类、方程的分类、函数的分类等，这都是分类思想的表现。通过了解学习内容，让学生在初中的第一堂课就感受当数学思想方法的运用，同时，通过学习内容的分类，使学习的难度有了一定的层次，每一节内容的学习目标更具体，便于学生对知识的掌握。
初中数学内容中分类讨论的思想主要表现在以下几个方面：（1）含字母系数或绝对值符号的运算，如，解方程 时，应分为：当a>0时，;
当a<0时， ，一次函数的截距和斜率对图象位置的影响，如，一次函数
，当k>0，b>0时，图象过一、二、三象限，当k>0，b<0时，图象过一、三、四象限，当k<0，b>0时，图象过一、二、四象限，当k<0，b<0时，图象过二、三、四象限，由于字母系数的取值和绝对值符号去掉后会有不同结果，因此需要分类讨论。（2）一些概念和定理的论证过程包含了多种情况，如，三角形按边长分类为：
还有角的分类，多边形的分类，圆周角定理的证明等。（3）有些数学问题，尽管结果一样，但由于每种结果的分类依据不同，也要分类讨论，如，有理数可按定义分为：
在人教版八年级上《等腰三角形》的一次习题课中，学生碰到了这样一些问题：
1、一等腰三角形的一个底角是40°，求另外两个角的度数。
2、一等腰三角形的一个顶角是40°，求另外两个角的度数。
3、一等腰三角形的一个内角是40°，求另外两个角的度数。
前两个问题学生能够很快地找出答案，但在回答第三个问题时，一部分学生有了质疑：这个已知的角是顶角还是底角？通过讨论，学生很快分析得出，这个角可能是顶角，也可能是底角。因此，这里有两种情况。通过这几个练习让学生初步体会到分类思想的用途。
4、一等腰三角形的一个内角是100°，求另外两个角的度数。
5、一等腰三角形的两边分别是6，3，求这个三角形的周长。
6、已知等腰三角形的周长是24，一边长为6，则另两边的长是多少？
7、已知等腰三角形的周长是24，一边长为10，则另两边的长是多少？
有了前面的问题做铺垫，学生很自然的在处理这两个题目时都会进行分情况（分类）处理，但会发现有些情况是不符合题意的，应当舍去。
8、一等腰三角形的周长是16，两边之差为2.求它的三边长各是多少？
通过思考，学生们很快就提出了解法：
①设腰长为x，则：x+x+x+2=16，解得：x=。三边长分别为，，。
②设底边长为x，（x-2）+（x-2）+x=16， 解得：x=。三边长分别为，，。
这是出现了两种相同的结果。问题出在哪儿？
经过讨论，又有学生提出：
③设腰长为x，则：x+x+x-2=16，解得：x=。三边长分别为6，4。
④ 设腰长为x，则：（x+2）+（x+2）+x=16，解得：x=。三边长分别为。
再次出现了同样的问题。通过学生几分钟的观察思考，就有学生发现了问题所在：这四种解法中实际上就包含了两种情况：①底边比腰长多2;②腰长比底边多2。因而，分类不应该是以设不同的量（腰或底）为依据来进行求解。
到这里，一个教学环节结束，让学生们回过头再来看看这几个问题给大家带来的注意点，不难得出：
（1）在几何知识中，我们也会遇到分类讨论的问题，即：问题的答案不唯一;
（2）在分类的几种情况总，允许有不合题意的结论被排除;
W同学说：如果腰长为3，那么周长为3
+3+6=12；如果腰长为6，那么周长为6+6+3=15.
听完W同学的解答，H同学说：如果腰长为3，三角形的三边为3，3，6，由于3+3=6，这样的三角形不存在.本题的解只能是15.
Z老师说：W同学注意到腰长可能有两种情况，分类进行讨论，这是值得肯定的，但忽视了对讨论结果的检验.H同学注意到3，3，6不能构成三角形，使问题获得解决.下面我想着重谈谈“分类讨论”的问题.
例1有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度.
L同学说：如图1，DAB、BDC为等腰三角形，设∠A=α，则有∠DBA
=α，∠BDC=2α，∠ABC=∠C=2α，因此α+2α+2α=180°，α=36°.
小清说：L同学的解不全面，BCD为等腰三角形，∠CBD除了为顶角外，还有一种情况，就是∠CBD为底角.因此，∠CBD=2α，∠ACB=∠ABC=3α，于是2α+2α+3α=180°，α=■.
Z老师说：当你解题感到很顺手的时候，头脑要保持冷静，再想一想，还有其它情况吗？本题中∠CBD就有①为顶角、②为底角两种情况，这就是分类讨论的思想.还要指出一点，解几何问题，在重视图形的直观性时，要防止由于图形的局限性而产生误导.
再看例2一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是.（2005年河北省初中竞赛试题）如何体现分类讨论的思想呢？
W同学说：等腰三角形的一条高应指底边上的高和腰上的高，有两种情况.
（1）底边上的高：如图2-1，由AD=■AB，∠ADB=90°，得∠B=30°.
（2）腰上的高：如图2-2，由CD=■AC，∠CDA=90°，得∠A=30°，底角∠B=75°.
没有人马上对W同学的解发表意见，气氛一下子变得沉闷起来.
S同学说：刚才老师特别指出，要防止图形的误导，我认为过C作腰AB的高，垂足D的位置应有三种可能：①在线段AB上，②与A点重合，③在BA的延长线上.而这三种情况取决于顶角A是锐角、直角还是钝角.W同学只解决了其中的一种情况.当∠A=90°时，如图2-3，垂足D与A重合，此时腰上的高与腰相等，不符合题意.当A是钝角时，D在BA的延长线上，如图2-4.CD=■AC，则∠DAC=30°，底角∠B=■∠DAC=15°.本题中针对顶角A的范围的讨论，同样体现了分类讨论思想.
Z老师说：两位同学对问题的剖析，说明他们对分类讨论的思想已有所领悟.下面请解题：等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于.
小清说：由S同学的分析，对一条腰上的高，垂足的位置分成三类.第一类：垂足在腰AB上，即∠A为锐角时，某条边再分成底边和腰两种情况，（i）如图3-1，CD=■AC，得∠A=30°；（ii）CD=■BC，得∠B=30°，于是∠A=120°，与∠A为锐角矛盾，舍去.第二类：如图3-2，垂足与A重合，即∠A为直角时，此时CD=AB或CD=■BC，均不合题意.第三类：垂足在BA的延长线上，即∠A为钝角时，如图3-3，同理，（i）CD=■AC，得∠DAC=30°，于是顶角∠A=150°；（ii）CD=■BC，则∠B=30°，顶角∠A=120°.综上，本题有三个解，即30°，120°，150°.
Z老师说：小清的思路很清晰，不多说了.下面请看例3：已知点A和点B，以A、B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出多少个？
许多同学在纸上边画边点数，唯独H同学拿着笔在沉思.
H同学说：我与分类讨论挂起钩来，AB边分别为等腰直角三角形的斜边、直角边.第一类：以AB为斜边，可作两个等腰直角三角形，直角顶点就是以AB为对角线的正方形AC1BC2的另两个顶点，图4中点C1、C2.第二类：以AB为直角边，又要分两种情况，第一是A为直角顶点，过A作AB的垂线，并截取AC3=AC4=AB，得三角形第三个顶点C3、C4；第二是B为直角顶点，同理得C5、C6.因此一共可作出6个.
Z老师说：H同学分析透彻，值得大家学习.再看例4已知坐标原点O和点A（2，-2），B是坐标轴上的一点，若AOB是等腰三角形，则这样的点B共有多少个？ （2005年重庆市初中竞赛试题）
W同学很快画出图5，说有8个.
Z老师点了点头.望着不少学生困惑的神情，Z老师请W同学解释一下.
W同学说：（1）以OA为底边：作OA的垂直平分线与坐标轴交于B1、B2，得两个等腰三角形.（2）以OA为腰：（i）O为顶角的顶点：以O为一个端点，在坐标轴上截取线段OB3=OB4=OB5
=OB6=OA，得四个等腰三角形；（ii）A为顶角的顶点：以A为端点，OA长为半径，画弧，除O点外，交坐标轴于B7、B8两点，又得两个等腰三角形.
小清插话说：就是OA的垂直平分线和以O、A为圆心、OA长为半径的两个圆与坐标轴交点（除去点O）的个数.它们的坐标是（2，0），（0，-2），（2■，0），（0，-2■），（-2■，0），（0，2■），（4，0），（0，-4）.（你会求吗？）
例5双曲线y=■上有一点A（1，c），在x轴上是否存在点P，使得AOP为等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
L同学说：A（1，c）在双曲线y=■上，有c=■=2，A点坐标为（1，2）.以OA为腰，（i）A为顶角的顶点：过A作ABx轴，交x轴于B（1，0），O关于B的对称点P1（2，0）；（ii）O为顶角的顶点：在x轴上截取OP2=OP3=OA=■，P2（■，0）、P3（-■，0）；（iii）以OA为底边：作OA的垂直平分线DP4，交x轴于P4，但P4的坐标我还没有求出.符合题意的P点有4个.
S同学说：由OBA∽ODP4，得■=■，也即■=■，所以OP4=■，P4（■，0）.
小清说：由∠OAB=∠OP4D，得sin ∠OAB=sin ∠OP4D，即■=■，■
=■，OP4=■，所以P4（■，0）.
