时间：2023-05-29 18:20:35
《三角形的内角和》是人教版九年义务教育六年制小学数学四年级下册第五单元中的一课。下面，我将从教材、教法、学法及教学流程等几个方面进行说课。
一、说教材
（一）教材简析
“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质，是“空间与图形”领域的重要内容之一，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习几何相关知识的基础。经过第一学段及本单元前面知识的学习，学生已经具备一定的关于三角形的认识的直接经验，获得了相应的知识和技能。为了开展有效教学，更好的发展学生的空间观念，培养学生的综合能力，体现知识形成的过程，本节课对概念的形成不直接给出学生结论，而是提供丰富的动手实践的素材，设计思考性较强的问题，让学生通过探索、实验、发现、讨论、交流来获得。从而使学生在动手操作，积极探索的活动过程中更好的掌握知识，积累数学活动经验，不断提高自己的思维水平。
（二）教学目标
1.知识目标：让学生通过动手操作、探索、实验、发现、讨论、交流，知道三角形内角和是180。
2.能力目标：培养学生主动探索、动手操作的能力；发展学生的空间观念和初步的逻辑思维能力；培养学生初步形成验证结论的意识；培养学生之间良好的合作学习的合作能力。
3.情感目标：让学生感悟数学知识内在联系的逻辑之美，提高审美意识。在探索中体验发现的乐趣和成功的快乐，增强学好数学的信心。
（一）教学重难点
教学重点：让学生经历三角形的内角和的导出过程，能运用这一规律进行有关的计算。
教学难点：验证三角形的内角和等于180。
（二）教具、学具准备
教具：多媒体课件、不同类型的三角形。
学具：不同类型的三角形、量角器和剪刀。
二、说教法、学法
新课改理念强调：“数学学习的过程实际上是数学活动的过程，而教师是教学活动的组织者，引导者和合作者”，在本节课的教学过程中，我将主要采用情境激趣，动手操作，自主探究，合作交流，猜想验证等方法组织教学。首先，我将创设生动有趣的情境，让学生大胆猜测“三角形的内角和是多少度？”然后给予学生充分从事数学活动的时间和空间，让他们通过“量一量”“拼一拼”“折一折”“看一看”“说一说”等活动，在经历感知、验证、理解到概括总结的过程中，得出“三角形内角和是180”的结论庋冉谈搜剿髦兜姆椒ǎ痔逑至硕质导⒑献鹘涣鞯刃碌难胺绞剑治暮笮按蚝媚芰 =翁没垢顾钦嬲晌翁媒萄е兄匾牟斡胝哂氪丛煺摺？
三、说教学流程
（一）创设情境，激趣导入
为了激发学生的兴趣，激活他们探究的欲望，我设计了一个隐含矛盾冲突的情境：一个锐角三角形和一个钝角三角形在争论谁的内角和大？自然地引出了课题。这样有效地吸引学生参与到探究新知的过程之中。在学生强烈的质疑、争论中进入了下一个学习环节。
（二）自主探究，操作验证
1.通过前面“谁的内角和大”这一问题，让学生大胆猜测“三角形的内角和是多少度”。
2.学生猜测后，鼓励验证猜测。我将引导“三角形有无数个，要想验证所有三角形的内角和是不是180C怎靴做呢？”磁这个问题h盅有的侄叫了短暂的交流＠了可以通怪类来验证4：锐角惹形1角惹形［角惹形缓螅攀秩醚ゲ饬咳切蔚娜鼋牵⒓扑愠鋈鼋堑暮汀T诩扑愕墓讨校岱⑾郑蛭饬恐谢岢鱿治蟛睿饬康慕峁皇呛茏既罚蛔阋灾っ鹘峁N医徊揭肌坝忻挥懈玫陌旆囱橹つ兀俊狈攀秩醚俅翁致邸⒉僮鳌⑻骄俊⒔涣鳎岱⑾滞ü簟⑵础⒄鄣确椒ǘ伎梢匝橹と我庖桓鋈切蔚哪诮呛投际？80贸鼋崧酆螅俜垂唇饩隹吻啊八哪诮呛痛蟆钡奈侍狻；乜壑魈猓由盍硕浴叭魏稳切蔚哪诮呛投际？80。”这个结论的理解。
（设计意图：在本环节中，我把放手让学生操作和引导有机地结合，鼓励学生开动脑筋，从不同途径探索解决问题的方法。使学生在经历观察、操作、分析、推理和想象的活动过程中解决问题，发展空间观念和论证推理能力。）
（三）解决问题，运用提升
为了使学生更好地运用所学知识解决实际问题，感受数学与生活的密切联系，我设计了以下题目：
1.完全一样的两个三角形，拼成一个大三角形，它的内角和是多少？
（设计意图：两个三角形在拼成大三角形时，有两个角不再是大三角形的内角，所以拼成的三角形内角和仍然是180；剩0徊嚼斫夂凸塘吮窘诳蔚慕崧郏靼兹魏稳切蔚哪诮呛投际？80这一科学结论？
2.他们说的对吗？
等腰直角三角形的两个锐角之和大于90＃
任意锐角三角形的两个锐角之和正好等于90＃
等腰三角形沿高对折，每个三角形的内角和是90。
【设计意图：本题是判断题，根据不同三角形的特点和内角和去判断对错，既是对本课知识的巩固，又是对前面知识的复习。】
3.拓展练习
利用三角形内角和是180s出四边形、五边形的内角和。
（设计意图：这道题是一个拓展练习，通过对本课所学知识的迁移就可以完成，有一定的难度，可以小组合作完成。既对学生进行了思维训练，又能培养学生应用知识的能力与创新意识。）
（四）互谈收获，分享成功
请同学们谈谈本节课的收获。
小学数学
四年级下册
《三角形的内角和》教学设计
一、教学背景及学习目标设计
学习内容：《三角形的内角和》是西师版义务教育课程标准实验教科书四年级下册
课程标准:
通过观察、操作，了解三角形内角和是180º。
根据《数学课程标准》的基本理念“数学教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。”教师应激发学生的积极性，向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能。
设计学习目标的依据，主要是学习内容、学习者特征，内容标准。
1、学习内容分析
《三角形的内角和》属于“空间与图形”的知识领域，它是在学生掌握了角的度量，三角形的认识和分类等知识的基础上学习的，也是学生进一步学习的必备知识。本节课着重抓住“验证三角形的内角和是180°”这一主线进行教学，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，主要让学生在情境中产生问题，在“观察—猜测—验证—概括—应用”的学习过程中掌握知识，充分锻炼学生动手动脑及推理、归纳总结的能力，培养学生尝试探索的精神.
2、学习者分析
为了促进目标的达成，课前对学生进行了初步的调查，许多学生已经知道三角形的内角和是180°，但却不知道为什么。新课程强调，有效的学习活动不是单纯的依赖、模仿与记忆，而是一个主动建构的过程。因此，本节课力求通过教师的引导，为学生展现出“活生生”的思维活动过程，让学生在自己的“观察、猜测、验证、应用”的学习过程中掌握知识。
3、学习目标的确定
根据学习任务和学情分析，可对内容标准“三角形的内角和”进行如图分析：
根据以上分解，本节课的学习目标表述如下：
⑴探索并发现三角形的内角和是180°，能利用这个知识解决实际问题。
⑵学生在经历观察、猜测、验证的过程中，提升自身动手动脑及推理、归纳总结的能力。
⑶在参与学习的过程中，感受数学独特的魅力，获得成功体验，并产生学习数学的积极情感。
5、学习重点
检验三角形的内角和是180°。
6、学习准备
多媒体课件、各种三角形、量角器、。
7、学习方法
采用设置情境进行问题驱动
二、学习评价设计
目标⑴达成的评价方案：通过学生“观察、猜想、验证、概括”，结合电脑演示，归纳三角形的内角和是180°，学会将知识进行有序的整合和提取，通过课堂练习，解决实际问题。
目标⑵达成的评价方案：通过合作交流，小组成果展示汇报的形式，提升学生动手动脑、推理分析、归纳总结的能力。
目标⑶达成的评价方案：通过故事情境穿插、小组讨论表现、师生对话交流、学生推理归纳等形式，感受数学魅力，获得成功体验，产生学习数学的积极情感。
三、学习流程设计
4、一、复习旧知，导入新课。
5、1、复习三角形按角分类的知识。
6、生：说出示三角形按角分的几类。
7、2、观察画面，锐角三角形，直角三角形，钝角三角形在争吵什么？
8、3、什么是三角形的内角？
9、我们通常所说的角就是三角形的内角。为了便于称呼，我们习惯用∠1、∠2、∠3来表示。
10、什么是三角形的内角和？
11、三角形“三个内角的度数之和”就是三角形的内角和。用一个含有∠1、∠2、∠3的式子来表示应该如何写？∠1+∠2+∠3。
12、【设计意图：由三角形的内角引出三角形的内角和，“∠1+∠2+∠3”的表示形式形象的体现出三内角求和的关系。】
13、4、这么看来，三角形的角里一定藏有什么奥秘，今天这节课啊我们就一起来研究三角形的内角和。（揭题：三角形的内角和）
14、二、自主探索，获取新知
15、三角形的内角和到底是多少？是不是所有的三角形内角和都一样？你能肯定吗？
16、
有的同学确定了，有的同学没有把握。大家意见不统一，我们得想个办法验证三角形的内角和是多少？可以用什么方法验证呢？ （量一量，把三个内角的度数量出来，再相加得出内角和，板书：量）
17、
量一量、算一算
18、
量一量、算一算不同类型三角形内角和各是多少度？
19、
2、小组合作探究
20、
那我们要对每一种三角形的内角和进行研究，下面小组合作，请
21、
看合作要求（课件出示），哪位同学能声音响亮的读一读？
22、
请同学们按照小组合作要求，开始动手探究吧。
23、
教师巡视，指导测量。
24、
【设计意图：直接测量的方法是学生利用已有的知识，测量出每个角的度数，再用加法求和，加深对三角形内角和的概念的理解，就是三个内角的度数之和。】
25、
3、学生汇报交流。
26、
谁愿意把自己的成果给大家说一说？(每种找两名学生汇报)
27、
师小结：在测量的过程中可能会有误差，所以大家求出的三角形
28、
的内角和在180度左右，不够精准，求三角形内角和就是把三角形的三个角和起来考虑问题，180度的角就是我们以前学过的什么角？有什么方法能把三角形的三个内角合并在一起进行验证？
29、
4、用拼一拼，折一折的方法继续验证。
30、
可以把三个角剪下来拼在一起看是不是平角，如果没有剪刀可以直接撕一撕拼起来。还可以通过折一折的方法把三个内角拼起来。
31、
折一折的方法教师提示：先要找到两条边的中点，用线连接起来，再按这条线折起来。再把另外的两个角折起来就可以了。（板书：拼、折）
32、
小组合作动手探究，学生汇报交流。（每种三角形用两种不同的方法来演示，板书：拼、折）
33、
汇报时先还原原图，再展示验证过程。
34、
【设计意图：新课标注重学生三维目标的培养，在这里，我要求学生用自己的方法进行验证，把知识的学习与情感态度价值观的培养融为一体，无疑有效地培养了学生科学的态度。小组合作是课程改革所倡导的一种学习方式，本节课，我立足于学生的创新意识和实践能力的培养，把学习的时空还给学生，大胆地开展小组合作学习，使学生通过量、折、拼、剪、摆等操作学具活动主动掌握三角形内角和是180°，同时学生的发散思维也能得到有效培养。】
35、
验证猜想
36、
刚才同学们用量、拼、折的方法对锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内角和进行了验证，得出的结论就是：三角形的内角和是180°。（板书这句话）老师为你们的成功学习感到高兴，请你们用自豪的语气齐读：三角形的内角和是180°。
37、
【
设计意图：要引导学生领悟有了猜测还要去验证，这是一种科学的研究问题的方法，是一种求实精神。】
38、
进一步感受
出示两个大小不同的三角形，说出内角和，你发现了什么？（无论三角形的大小形状怎样，它的内角和都是180度。也就是说所有三角形的内角和都是180度。）
39、
解决国王的难题。
回到三种类型的争吵问题，现在可以确定谁说的对？都
不对，应该是一样大
那争吵的问题我们解决了，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内角和一样大，都是180°。
三、巩固练习，拓展应用
1、“看图，口算未知角的的度数”。（图形题）
2、“在一个三角形中，∠1=140°，∠3=25°，求∠2的度数。”（文字题）
【设计意图：1、2两题都是检测学生对“三角形的内角和是180°”的应用。已知一般三角形两角，求一角的度数。】
3、猜猜三角精灵内角的度数。
等边三角形：一个角也不知道的情况，求三角形的内角。
直角三角形：建议学生选用求直角三角形一锐角度数的最佳方法。
钝角三角形：已知三角形的一个角，求两角的度数。
【设计意图：检测学生对“三角形的内角和是180°”与三角形的特点相结合的应用。】
6、把三角形的一个内角截去，剩下图形的内角和是多少度？
⑴过顶点截取，所剩图形是三角形，内角和是180°；
⑵不过顶点截取，所剩图形是四边形，内角和是360°.
测量法、辅助线法（最优选择）
【设计意图：检测学生对多种截法的思考以及利用“三角形的内角和是180°”推导出任意四边形的内角和】
【设计意图：运用所学知识延伸多边形的内角和。】
五、梳理反思，全课总结
这节课你都学习了哪些内容？
我们通过测量法、剪拼法和折叠法，一起研究和验证了三角形的内角和是180°。方法的收获就是最大的收获，收获了方法，你就收获了一把打开知识大门的金钥匙。
“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道的。”
——毕达哥拉斯（古希腊著名的数学家）
在数学的天地里，在今天的这堂课上，重要的不是我们知道了三角形的内角和是180°，而是我们怎么一步一步研究出来的。
【设计意图：突出过程与方法的重要性。】
六、板书设计
三角形的内角和
猜想：∠1+∠2+∠3=180°？
1
3
2
验证：测量、剪拼、折拼
结论：三角形的内角和是180°.
五、教学反思
《课程标准》倡导探究性学习，力图改变学生的学习方式，引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生收集和处理科学信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力等，突出创新精神和实践能力的培养。探究三角形内角和的过程的时候，我注意鼓励学生通过动手操作、小组合作的方法去量，得到三角形的内角和都在180°左右。
给学生一些权利，让他们自己选择；给学生一个条件，让他们自己去锻炼；给学生一些问题，让他们自己去探索；给学生一片空间，让他们自己飞翔。“是否所有三角形内角和都是180°?”这个猜想如何验证，这正是小组合作的契机。通过小组内交流，使学生认识到可以通过多种途径来验证，可以量一量、拼一拼、折一折，让学生在小组内完成从特殊到一般的研究过程。在测量法中，面对有些小组的学生量出内角和的度数要高于180°或低于180°，学生讨论一下有哪些因素会影响到研究结果的准确性。通过动手操作，为学生创设了解决问题的情境，剪拼法和折拼法以学生动手操作为主线，引导学生建立解决问题的目标意识，形成学习的氛围，给学生更多的自主学习、合作学习的机会，促进学生的主题参与意识。同学们通过自主实践、合作探究完成了本节课的教学任务。
整节课的练习设计，由易到难。在应用“三角形内角和是180°”这一结论时，第一、二层练习是已知三角形两个内角的度数，求另一个角。第三层练习是求特殊三角形内角的度数，真正做到了三角形内角和知识与三角形特点的有机结合。第四层练习是让学生用学过的知识解决四边形、五边形、六边形的内角和，让学生根据计算结果运用已有经验去判断思索。
【片段一】
播放动画片：在图形王国中，有一天，三角形大家庭为“三角形内角和的大小”爆发了一场激烈的争吵。
钝角三角形大声叫着：“我的钝角大，我的内角和一定比你们的内角和大。”锐角三角形也不示弱：“我的锐角虽然比钝角小，但我的内角和并不比钝角三角形小。”直角三角形说：“别争了，三角形的内角和都是180°。我们的内角和是一样大的。”
师：想一想，什么是三角形的三个内角的和呢？
生：三角形的三个内角的度数和。
师：刚才同学们看了动画片，你们知道谁说对了吗？不知道的话想一想、猜一猜谁说得对？
师：刚才大部分同学都猜直角三角形说得对。三角形的三个内角的和到底是多少呢？你有什么办法能验证你的猜想吗？
【分析】这个片段中教师借助多媒体技术创设问题情境，架起数学学习与现实生活、抽象数学与具体问题之间的桥梁，通过“什么是三角形的三个内角的和”“三角形的三个内角的和到底是多少”等问题鼓励学生主动质疑和猜想，激发了学习兴趣，使其很自然地进入新课的学习，这也是培养学生学会学习的重要途径。
【片段二】
师：刚才大部分同学都猜直角三角形说得对。三角形的三个内角的和都是180°，你能设法验证这个猜想吗？
生1：能。我量出三角形的三个内角的度数，加起来看是否接近180°（量的时候可能会有些误差）。
生2：我把三角形的三个角剪下来拼一拼，看是否能拼成一个平角。
生3：我把三角形的三个角撕下来拼一拼，看是否刚好180°。
生4：我把三角形的三个角往里折，看这三个角是否折成一个平角。
……
师：上面你们说了不少验证猜想的方法，请大家用准备好的材料和自己喜欢的方法，动手验证自己的猜想吧！（要求学生把三角形的三个内角分别标上∠1、∠2、∠3，以免在剪拼时把内角搞混了）
【分析】好的提问方式应该是把注意力放在激发学生的思维过程上，而不是急促地迈向结果。该片段中，教师用“你能设法验证这个猜想吗”“用准备好的材料和自己喜欢的方法，动手验证自己的猜想吧”等话语，将学生的思维引向深入。
【片段三】
课件出示如右图的三角形。
师：这个三角形是什么三角形？知道几个内角的度数，根据今天所学的知识，谁能求出角A的度数？大家自己试一试。
（一）教学内容的地位
本节课是在研究了三角形的有关概念和学生在对“三角形的内角和等于1800”有感性认识的基础上，对该定理进行推理论证。它是进一步研究三角形及其它图形的重要基础，此外，在它的证明中引入了辅助线，而辅助线又是解决几何问题的一种重要工具，因此本节是本章的一个重点。
（二）教学重点、难点：
三角形内角和等于180度，是三角形的一条重要性质，有着广泛的应用。虽然学生在小学已经知道这一结论，但没有从理论的角度进行推理论证，因此三角形内角和等于180度的证明及应用是本节课的重点。
另外，由于学生还没有正式学习几何证明，而三角形内角和等于180度的证明难度又较大，因此证明三角形内角和等于180度也是本节课的难点。
突破难点的关键：让学生通过动手实践获得感性认识，将实物图形抽象转化为几何图形得出所需辅助线。
二.教学目标
基于以上分析和数学课程标准的要求，我制定了本节课的教学目标，下面我从以下三个方面进行说明。
（一）知识与技能目标：
会用平行线的性质与平角的定义证明三角形的内角和等于1800，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解决问题中的应用。
（二）过程与方法目标：
经历拼图试验、合作交流、推理论证的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力。
（三）情感、态度价值观目标：
通过操作、交流、探究、表述、推理等活动培养学生的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，鼓励学生大胆质疑，敢于提出不同见解，培养学生良好的学习习惯。
三、学情分析
七年级学生的特点是模仿力强，喜欢动手，思维活跃，但思维往往依赖于直观具体的形象，而学生在小学已通过量、拼、折等实验的方法得出了用三角形内角和等于180度这一结论，只是没有从理论的角度去研究它，学生通过前面的学习已经具备了简单说理的能力，同时已学习了平行线的性质和判定及平角的定义，这就为学生自主探究，动手实验，讨论交流，尝试说理做好了准备。
四、教学方法与学法指导：
根据新课程标准的要求，学习活动应体现学生身心发展特点，应有利于引导学生主动探索和发现，因此，我采用了动手操作―观察实验―猜想论证的探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。我将教给学生通过动手实验、观察思考、抽象概括从而获得知识的学习方法，培养他们利用旧知识获取新知识的能力。
五.教学评价：
1、关注学生探索结论、分析思路和方法的过程。
2、关注学生说理的能力和水平。
3、关注学生参与教学活动的程度。
六.教学活动程序：（设计为四个环节：）
1、纠错 、巩固
2、探索 、交流
3、应用、 提高
4、反思 、总结
一、学生纠错，复习巩固：
找出下面一道题目证明过程中的错误。
已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠AMN，NH平分∠MND.
求证：MG∥NH
证明：AB∥CD
∠1=∠2
MG∥NH
提问：这个证明过程中存在哪些问题？
在纠错中，引导学生回忆证明的一般步骤是什么.
【设计意图】：通过对命题证明过程的纠错，起到复习巩固知识的作用，明晰了证明命题的一般步骤及注意点；又调动了学生的积极性，激发他们的兴趣。
二、探索交流：
问题1：我们已经知道了“三角形的内角和等于180°”这个结论，如何证明这个命题呢？
一般步骤是什么？
【设计意图】：文字命题的证明是初中几何教学中的难点，通过问题1可使学生进一步掌握证明的一般步骤。
引导学生根据题意画出图形，写出已知、求证。
问题2、小学里我们已经通过“测量法”“剪纸法”等实验的方法，得到了“三角形的内角和等于180°”这个结论.通过前面的学习，我们知道实验得到的结论并不一定正确，必须进行数学证明，那么如何证明呢？
这就是我们本节课要研究的主要问题，由此导入新课。
【设计意图】：通过 问题2及追问导入本节课研究的课题，学生进一步明确了证明的必要性，渗透了研究几何图形的一般套路（观察―猜想―验证），帮助学生积累研究问题的基本经验。
1、演示：用课件演示“剪纸法”把三角形的三个角拼在一起形成平角的过程。
提问：同学们能否从刚才的演示的过程中受到启发，用所学的数学知识证明“三角形的内角和等于180°”这个结论。请同学们先独立思考，再各小组交流讨论，看哪个组想的方法多。
2、学生小组交流，教师巡视指导。
【设计意图】：通过直观演示，给学生以直观体验，能够激起学生的求知热情，开阔学生的思维，激发学生的联想，促进学生主动思维。同时以小组合作交流的方式，通过生生互动，激发学生的探究欲望。由于方法较多，故学生讨论中又可以互相借鉴，极大地开阔了学生的视野。
3、小组汇报，教师板演，进一步规范证明的格式。在学生回答过程中，教师适时追问：你解决问题时作辅助线的目的是什么？你是怎么想的？
4、提问：这些方法是把三个角聚在了三角形的哪个位置？还可聚在哪个位置呢？如何证明请同学们课后继续研讨。
【设计意图】：通过追问，充分展示学生的思维过程。促进学生理解辅助线的作用，对证明方法做到“知其然更知其所以然”。正因为学生的激情被点燃，所以学生的思维不断闪光，因此会出现很多证明方法，“一题多解”得到了深化。
5、教师总结：（1）、通过证明，我们知道“三角形的内角和等于180°”是一个真命题，所以我们把这个真命题称为三角形内角和定理。
（2）、通过上面的研究发现，可以把三角形的三个角凑在三角形的边上、三角形的内部或三角形的外部，从而形成平角，来证明内角和定理；也可把三角形凑成一组平行线的同旁内角，形成互补关系。在这期间我们用到了一个非常重要的“工具”――辅助线。那么辅助线是怎么画的、它有什么作用呢？（1）辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）（2）它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.（3）添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定，平时做题时要注意总结.
【设计意图】：通过教师总结，进一步让学生体会到：不同的添辅助线方法，实质是相同的――就是把一个我们不会解的新问题转化为我们会解的问题，于潜移默化中培养了学生的转化思想
6、小试身手：
（1）、如图，在ABC中，∠ACD是它的一个外角，请你完成下面的表格。
∠A=35°∠B=40°∠ACD= °∠A+∠B=75°∠ACD= °∠A+∠B= °∠ACD=131°∠A=37°∠B= °∠ACD=125°
（2）、你有什么发现？三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和【设计意图】：通过以上练习，对三角形内角和定理及时巩固，同时通过表格的填写让学生一目了然地发现三角形的外角与它不相邻的两个内角之间的数量关系，为证明该定理作铺垫。还渗透了从“特殊”到“一般”的归纳思想。起到了承上启下的作用。
7、问题1：你会证明这个结论吗？（先请学生板演，再让学生评点。）
【设计意图】：通过学生板演，及时反馈，可充分暴露学生证明过程中存在的问题，及时纠正，通过学生点评，让学生当“小老师”，培养学生的语言表达能力，提高了学生课堂参与的主动性和积极性，活跃了课堂气氛。进一步规范证明的步骤和格式。
问题2：你还有其他证明方法吗？（教师出示图形，学生课后完成证明过程。）
【设计意图】：使学生了解到解决问题时可以从不同的角度思考，有不同的证明方法，通过问题的解决进一步渗透了转化的数学思想。
8、总结：像这样，由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论。它和定理一样，可以作为进一步证明的依据。三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和就叫做三角形内角和定理的推论。
三角形内角和定理的几何表述：
ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
三角形内角和定理推论的几何表述：
∠ACD是ABC的一个外角，∠ACD= ∠A+∠B
【设计意图】：通过教师总结，使学生了解定理和推论之间的逻辑关系。对定理运用时的符号语言进行规范。同时将“图形”进行适当变化，在图形的变化中促使学生认识定理的本质。
三：应用、提高
9、刚才，我们一起研究了三角形的内角和定理及推论的证明，发现了很多的证明方法，并且在相互学习、互相合作中加深了理解，得到了提升，那么三角形内角和定理及推论在解决数学问题时有哪些应用呢？
例、已知：如图，AC、BD相交于点O
求证：∠A+∠B=∠C+∠D
①、 请同学独立思考、分析。
②、 追问：你是怎样想到这种方法的？
③、 （小结：这是三角形内角和定理的简单应用，同时这也是一个基本图形：当两个三角形的一组角互为对顶角时，剩余的两个角的和相等。）
【设计意图】：通过学生独立思考、分析、解答，培养学生独立结题的能力，同时教师通过追问。促使学生的思维进一步深化。
练一练：
1、抢答：（1）、三角形的一个内角一定小于180°吗？一定小于90°吗？
（2）、一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？最多有几个锐角？
（3）、一个三角形中最大角不会小于60°吗？最小角不会大于多少度？
（4）、直角三角形两锐角之和是多少度？
（5）、一个三角形不在同一个顶点的三个外角中，最多有几个钝角？至少有几个钝角？
【设计意图】：通过抢答这种形式，能充分调动学生的积极性。同时教师在学生抢答的过程中适时追问、总结，如问题（3）你是怎么想到的？渗透说明一个命题是假命题的方法（举反例），为下节课作铺垫。如通过问题（5），引导学生总结出化归思想，即将外角的问题转化为内角的问题来解决。
2、已知：如图，AD是ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC=∠B.
求证：∠ADE=∠DAE
（1） 让学生独立思考。
（2）教师引导，出示问题：你会将要证的相等的两个角
与已知条件中相等的角联系起来吗？
（3）学生板演。
（4）追问：比较这道题目的解题思路与例题的解题思路有什么异同点。
【设计意图】：为体现学生的主体地位，先让学生独立思考。如果学生能够独立解决，教师追问：你是怎么想到的？通过追问帮助学生总结几何证明的一般策略：将未知与已知联系起来思考，积累解题经验；若学生感到困难，教师通过问题：“你会将要证的相等的两个角
与已知条件中相等的角联系起来吗？”启发学生思考。通过将该题的解题思路与例题相比较，进一步优化学生的思维。使学生学会“同中求异，异中求同”的比较策略。
3、延伸与拓展：
求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和
你能想到几种方法？
【设计意图】：通过拓展题，体现分层，让学有余力的学生进行更深入的学习，尊重学生的个性化发展。同时通过一题多解，培养学生思维的灵活性。
四、总结收获 畅谈体会
反思小结：
通过本节课的学习，你取得了哪些成果，说出来与大家分享。
本节课我们学习了三角形内角和定理及推论的证明和应用，并且在研究证明的过程中掌握了很多的数学思想、方法。而且还提高了一题多解的能力。
关键词： 测量求和法 剪样法 折拼法 数学问题
《数学课程标准》指出：“重视评价学生发现问题、解决问题的能力。对学生发现问题、解决问题的能力可以从以下方面进行考查：能否从现实生活中发现和提出数学问题；能否探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法。”小学生数学的学习过程是从直观逐渐向抽象过渡的过程，并在学习的过程中形成一定的分析问题、综合问题、解决问题的能力。让学生动手去实践，并在实践和比对中思考，则是解决数学问题的一种有效途径。
一、几种常见方法的比较
验证“三角形的内角和是180度”，常见的有三种方法：
1.用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180度（下文简称“测量求和法”）；
2.将三角形三个角剪下来，再将它们拼在一起看能不能组成平角（下文简称“剪拼法”）；
3.将三个角折起来拼在一起，看能不能组成平角（下文简称“折拼法”）。
对于这三种方法中，“测量求和法”的优点是：接近学生的思维水平，课堂上学生很容易想到，也很容易理解；缺点是：“测量”存在着误差，因此测得的三个角的度数加起来往往不是180度。这使得测量结果非但不能验证结论，相反却易给人造成“三角形内角和不是180度”的错误印象。
“剪拼法”的优点是：操作简单、看起来一目了然；缺点是：破坏了原图形，不能很好地体现原图形与剪下来后图形间的联系与变化。
而“折拼法”则有效地避免了“量”、“剪”的缺陷，可惜操作起来困难，想起来费劲――它要求学生首先沿着“中位线”来折，而“中位线”对学生来说则是个陌生的事物。
二、几种常见方法的导出
其实对于三角形内角和三种常见的验证方法“量”也好，“剪”也好，“折”也罢，它们或多或少都存在着误差。用单个任何一种方法验证“三角形内角和就是180度”，不足以让人信服。因此，让尽量多的验证方法出现的课堂上，“让各种方法相互解释、互相佐证”是上好这节课的关键。
然而事实并不随你我所愿。正常情况下，学生上课时只能想到“量”这一种方法，其他方法的出现，充其量仅仅是一两个“优等生闻道预先”。
如何通过教师艺术的启发，引导出多样的验证方法呢？
我们对课堂中可能出现的种种情况进行了预设：新课伊始，学生猜想“三角形内角和是180度”，教师将猜想板书在黑板上追问：三角形内角和真的是180度吗？说说你的依据。
1.“测量求和法”的引出：采用“一点突破”，紧扣“内角和”逐步逼近。
先用红笔圈出课题“三角形内角和是180度”中的“内角和”（停顿，看看老师的暗示能不能个学生启发）。
如果学生还是想不到，接着启发：“课题中‘内角和’是什么意思？”
如果学生还想不到方法，继续提问：要知道三个内角“度数”的和，要用到什么工具？怎么办？
2.“剪拼法”的导出：采用“说半句留半句”的策略，将“180度”与“平角”链接起来。
先用红笔圈出“180度”，并提问：我们前面学过180度的角又叫做――（轻轻地、缓缓地、比学生慢半拍）平角。
接着：判断三角形的内角和是不是180度，就可以将三角形三个内角――（等待，学生能说让学生说，学生不能说教师手势在前，语言在后）放在一起，看它们能不能拼成（再等待）――平角。
3.至于“折拼法”――让学生自学教材，边看边操作就行了。
我们在对教材中提及的“折拼法”方案（如图1）稍作改进：首先让学生折“高”找到对应的“垂足”；然后将三角形三个“顶点”分别对准“垂足”进行折叠就行了（见图2），经改进操作起来简便多了。
图1
图2
三、几种常见方法呈现的“序”
验证三角形内角和是180度，常见的有三种方法：一是用量角器分别量出三个角的度数，然后加起来；二是将三个角剪下来拼成一个平角；三是将三个角折起来拼成一个平角。对于这三种方法的呈现，老师们基本都是从学生较易理解的“用量角器量角求和”入手，然后研究“剪”、“折”等拼角的方法。
对这样的安排，我认为有些不符合逻辑――因为在交流“量”这种验证方法时，不管老师怎样解释，实际量得的结果总是实实在在地影响着“用拼角的方法验证三角形内角和是180度”的可信度――理由很简单：工具测量有误差，粗略的“拼凑”误差更大。
关键词：化归思想；中学；三角形内角和定理；应用
中图分类号：G633.6
一、前言
数学思维方法是理解抽象数学概念的基本前提，而在数学思维方法中尤以化归思维较为常见。在问题转化过程中，其基本特征在于没有定势。学习者既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变更问题的内部结构，可以变更问题的外部形势。总而言之，在化归思维方法的指导下，转化问题的过程无需遵循既定的模式，更强调依据学习者本身对知识的理解程度来化归待解决问题中的关键部分。
因此，教师如何在教学中培养学生的化归思维，使其领会渗透其中的内在思维过程便成为了中学数学教学中亟待解决的问题之一。
二、化归思想在“三角形内角和定理”教学中的应用
为更好的展现化归思维在数学教学中的应用，本文将以“三角形内角和定理”为例，详细阐述化归思维在数学学习中的作用。
（一）以平行线为索，初识三角形内角和定理
三、总结
通过前文分析可知，化归思维在中学数学教学中的作用是毋庸置疑的。作为中学数学教学中的重要数学思想之一，如何将其渗透到教学过程中去？在数学教学过程中实现化归需具备什么条件？笔者认为可以从学习者数学学习的主客观两个方面进行分析。学习者本身存在的客观因素主要指其自身的数学知识体系，而主观因素主要是指在中学数学学习过程中化归意识的存在，具体分析如下：
（一）知识结构完整与否是实现化归的前提
就客观影响因素而言，要在数学教学过程中实现化归思维，学习者其自身原有的知识结构体系是否完整是实现化归的前提条件。换言之，为更好的在数学教学中实现化归我们必须做到：
1、重视数学基本概念、公式、法则等数学模型的教学，为更好的形成化归思维奠定基础。如，在“三角形内角和”定理教学过程中，学生较好的掌握了平行线的基本定理，当教师将新知识“三角形内角和”与旧知识“平行线定理”相结合时，则学生能较快理解新旧知识之间的关系，并通过教师的引导进而形成化归思维，为进一步的学习做准备。鉴于此，教师在实际教学过程中应注意引导学生牢固掌握数学概念、公式和实际原型的关系；帮助学生提高利用数学模型解决问题的能力。
2、培养整理、总结数学方法的习惯，为化归方法的寻求奠定基础。在中学数学学习过程中，数学学习差者很多时候对非普通题毫无头绪，其根源在于没有系统的数学知识结构，不重视数学方法的总结与归纳。因此，在教学过程中，教师要有意识的引导学生形成整理、总结数学方法的习惯。
（二）增强化归意识，提高转化能力
就主观影响因素而言，学习者头脑中化归意识是否存在或意识存在的强弱，是实现化归的基础。教师在实施数学教学过程中需有意识的为增强学生化归意识创设情境。笔者认为可从以下方面考虑：
1、明确转化原理，把握转化策略。数学知识的根本特点在于其逻辑性较强，各部分知识之间存在着相互依存、相互渗透的关系。而化归思维的关键在于，充分利用各知识点之间存在的关系，运用正确的方法对问题进行转化。即让复杂的问题简单化、陌生的问题熟悉化。因此，对于化归思维的形成于运用学习者不仅需要完整的知识体系，还需以正确的转化原理为依托，并通过典型例题加以巩固。
2、强化学生联想思维，提高转化能力。联想是一种由此及彼的思维活动，是学习者在学习过程中对新旧知识所产生的特殊的想法，从而引发的思维上的迁移活动。从某种意义上来说，数学解题过程即可以理解为已知知识与未知知识的联想过程，通过联想寻找新旧知识之间的存在的关系，从而解决问题。如在“三角形内角和定理”教学过程中，教师引导学生将三角形内角和与平行线定理联系起来。通过此方法，学生不仅能快速理解 “三角形内角和”这一新知识，还掌握了学习数学的有效方法。
参考文献
[1] 陈琬琛.化归思想在初中数学教学中的渗透[J]. 海峡科学，2013（05）
[2] 韦银幕.数学化归思想方法及其教学探研[J]. 科技风，2010（19）
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一．
难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好．
2、教学建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质；
（2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学．
教学目标：
1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；
2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；
3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动．
教学重点：
三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．
教学难点：
三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．
教学活动设计
（一）提出问题
1、提出问题：如图，你能否在ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?
2、分析、研究问题：
让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义．
3、解决问题：
例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法．
提出以下几个问题进行讨论：
①作圆的关键是什么?
②假设I是所求作的圆，I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件?
③这样的点I应在什么位置?
④圆心I确定后半径如何找．
A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成．
完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．
（二）类比联想，学习新知识．
1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2、类比：
名称
确定方法
图形
性质
外心（三角形外接圆的圆心）
三角形三边中垂线的交点
（1）OA=OB=OC；
（2）外心不一定在三角形的内部．
内心（三角形内切圆的圆心）
三角形三条角平分线的交点
（1）到三边的距离相等；
（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
（3）内心在三角形内部．
3、概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
4、概念理解：
引导学生理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解．使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义．“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接”；三角形的边都与圆相切叫做“切”．
（三）应用与反思
例2如图，在ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，点O是三角形的内心．
求∠BOC的度数
分析：要求∠BOC的度数，只要求出∠OBC和∠0CB的度数之和就可，即求∠l十∠3的度数．因为O是ABC的内心，所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线，于是有∠1十∠3＝(∠ABC十∠ACB)，再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数．
解：(引导学生分析，写出解题过程)
例3如图，ABC中，E是内心，∠A的平分线和ABC的外接圆相交于点D
求证：DE＝DB
分析：从条件想，E是内心，则E在∠A的平分线上，同时也在∠ABC的平分线上，考虑连结BE，得出∠3＝∠4．
从结论想，要证DE＝DB，只要证明BDE为等腰三角形，同样
考虑到连结BE．于是得到下述法．
证明：连结BE．
E是ABC的内心
又∠1=∠2
∠1=∠2
∠1+∠3=∠4+∠5
∠BED=∠EBD
DE=DB
练习分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．
（四）小结
1．教师先向学生提出问题：这节课学习了哪些概念?怎样作已知三角形的内切圆?学习时互该注意哪些问题?
2．学生回答的基础上，归纳总结：
(1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念．
(2)利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．
(3)在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用．
（五）作业
教材P115习题中，A组1(3)，10，11，12题；A层学生多做B组3题．
探究活动
问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°．
（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径（精确到0.1cm）；
（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．
提示：（1）由条件可得AC为四边形似的对称轴，存在内切圆，能用折叠的方法找出圆心：
单元总体目标：
1.认识三角形各部分的名称、三角形的底与高、三角形的两边之和大于第三边，三角形的内角和是 180 度等。
2.通过对比了解三角形的不同类型。
3.通过观察、探究、操作的过程，认识三角形的特征及分类。
4.培养学生乐于探究、乐于实验的科学精神，培养学生的合作交流和空间观念。
本单元共用 6 课时完成教学
第一课时：认识三角形 例1、例2及课堂活动，练习九1-4
第二课时：认识三角形 例3课堂活动1题及练习十1-3
第三课时：认识三角形例4 课堂活动2题及练习十4-8题
第四课时：三角形的分类例1及课堂活动1题及练习十一1-4
第五课时：三角形的分类例2、3及课堂活动2-4题及练习十一5-8
第六课时：整理与复习 及练习
单元教学重点：三角形的特征及三角形的底与高。这是探究三角形边的关系、三角形的内角和三角形面积计算等的基础，因此是教学的重点。
单元教学难点：发现和体会”三角形任意两边之和大于第 3 边“及”三角形的内角和是 180°。
第一课时
教学目标：1、通过观察、折、画认识三角形的特征和特性。
2、指出三角形边、角、定点、会辨认出三角形的底和高。
教学例1：认识三角形的特征，用自己的语言说出什么的三角形。认识三角形的特性：三角形不容易变形的这种性质就是三角形的稳定性。
教学例2：认识三角形的底和高
1、认识底和高：检查方法：拿一个锐角三角形。折痕的一端过三角形的顶点，另一端所指的边被分为两段，折后这两段要重合。
2、三角尺画三角形的高。
第二课时
教学目标：实验操作中探索三角形3条边之间的关系，通过操作了解“三角形两边之和大于第三边”。
教学例3：探索三角形三条边的关系。课前准备好不同长短的小棒或吸管，学生动手操作实验，并完成实验表格，在围成的三角形中，两边之和与第3边比较发现：三角形任意两边之和大于第三边。
第三课时
教学目标：探索三角形内角和等于180°的过程。通过猜想、验证了解“三角形内角和等于180°
教学例4：方法：1、通过量一量，加一加2、撕一撕，评一评等方法验证三角形的内角和都是180°。
思考：三角形的内角和与三角形的大小有关系吗？
第四课时
教学目标：知道三角形按内角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。在操作中去认识各种类别的三角形及其特征。
教学过程：出示例1中的6个三角形。
提出要求：
（1）观察每个三角形中3个角分别是什么角？（不易观察的要用量角器度量）
（2）根据角的特点对这些三角形进行分类，并思考这样分的依据。
（3）给同桌同学讲一讲，你是怎样分的？为什么要这样分？
教师：为什么这里说“有1个角是直角的三角形叫做直角三角形”，想一想，在一个三角形里面能不能有2个直角呢？在一个三角形里面能不能有2个钝角呢？
第五课时
教学目标：了解等腰三角形、等边三角形的特征。
教学：
1、将红领巾或小彩旗对折，你有什么发现？
发现：（1）两条边相等。（2）两个角相等。（3）是轴对称图形。
教师：是不是所有的三角形对折后都是这样的呢？请拿出自己随意剪的三角形，进行对折，看有没有这些特征。
2、教学等腰三角形各部分的名称。
3、探索等边三角形的特征
出示例3 按要求剪三角形。
（1）将一张长方形纸对折。
（2）用量角器量30°的角。
（3）剪三角形。
（4）展开。
2、仔细观察手中的三角形的角和边，也可以动手折一折或用直尺和量角器量量，看有什么发现？
3、在小组里面交流自己的发现并说出你是怎样发现的。
4、反馈：
（1）3条边相等。
（2）3个角相等，都是60°。
（3）是轴对称图形。
（4）锐角三角形。
教师：像这种3条边相等的三角形，我们给它取个名字叫做等边三角形。
说课内容:人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》四年级下册第85页例5――三角形的内角和。
(一)教材分析
在本单元《三角形》中,主要有以下知识:三角形的特性、三角形两边之和大于第三边、三角形的分类、三角形内角和是180°及图形的拼组。
(二)学情分析
通过前面的学习,学生已有了一定的知识基础,初步具备动手操作的意识和能力,形成了一定的空间观念,具备了一定的空间想象能力。这些都将为本节课的顺利探索奠定基础。大多数学生已经在课前通过不同的途径初步感知“三角形内角和等于180°”,本课的设计意图重点是要让学生在课堂上经历研究问题的过程。
(三)教学目标
1.通过不同的方法,探索和发现三角形的内角和等于180°
2.应用“三角形的内角和是180°”这一规律解决问题。
3.体验探究的过程和方法,渗透转化的数学思想和实事求是的科学态度。
(四)教学重难点
教学重点:探究、理解、掌握三角形的内角和是180°。
教学难点:在操作和探究中发现三角形的内角和是180°。
二、说教法与学法
(一)教法与学法
在教学中,我主要采用引导发现、合作探究和直观演示等方式。着力于引导学生经历知识形成的过程,体验探究的过程和方法,通过操作验证,培养学生动手、动脑、分析、比较、综合的能力,达到思维提升的目的。在学法上,我把学习的主动权交给学生。学生通过多观察、动脑想、大胆猜、做中学、勤钻研的研究式学习方法,使教法和学法和谐统一。
(二)教学主线
设疑情境―操作研究―解释、应用与拓展
(三)学生的活动
猜想―操作―研究―证实―练习
三、说教学程序
(一)创设情境,设疑引入
1.认识内角与内角和
上课开始,我用课件出示学生熟悉的两把三角尺:这两把三角尺的形状就是三角形。谁能指出这两个三角形的角在哪里?(课件角的弧度)指得真准确,这三个角就是这个三角形的内角,三个内角的度数之和就叫做三角形的内角和。(揭示课题――三角形的内角和)每个三角形各个内角的度数分别是多少呢?你能算出每个三角形的内角和是多少度吗?
2.发现问题、提出猜想
同学们算得真快,这两个直角三角形的内角和刚好等于180°,那么其他的直角三角形呢?锐角三角形、钝角三角形的内角和可能是多少度?有的同学猜180°,有的同学说不一定。这个猜想是否正确,需要通过我们想办法进行验证。(设计意图:遵循从特殊到一般的认知规律,具有演绎推理的色彩。激发了学生的学习需求,让他们产生主动探究的积极情感。)
(二)引导探究,建构新知
1.讨论方法
这一步,我启发学生思考“你打算用什么方法进行验证?”学生受前面方法的迁移会马上回答用测量的方法。在肯定他们想法的同时我提出:有没有其他转化的方法?如果没有,学生提出我会从180°就是一个平角的度数这个方面去做适当的提示。虽然学生的已有认知水平不一定能想象出剪拼转化的方法,但经过我的提示,会出现以下情况。预案1:如果学生能想象如何转化,我会请他当小老师向全班同学进行介绍。预案2:如果没有学生提出其他验证方法,我会做进一步适当点拨。
2.操作验证
我让学生分小组根据操作提纲利用学具进行探究验证活动,并完成表格,写出研究结论。
操作提纲:
(1)找出每个三角形的内角,并标出角的符号和写上序号。
(2)用喜欢的一种方法分别研究三种三角形的内角和。
(3)完成表格,写出研究结论。
虽然每个组学具里的三角形大小不一、形状不同,但都是备齐了三种三角形。在学生的操作过程中,老师不断巡视,作适时的指引,了解学生的操作情况。在足够的讨论和动手验证后,进入交流展示过程。
3.交流展示
在这个环节我要给学生充分的交流展示,而且要关注课堂的现场生成,由此设计以下几个层次进行交流展示:
层次1:请能证实猜想正确的小组进行汇报展示。通过不同小组的汇报,学生纷纷汇报可以用测量计算、剪拼转化的方法去证实猜想。在剪拼转化的汇报中有学生提出了不同的方法。
层次2:请提出异议的小组进行交流展示。测量和剪拼时的操作失误在课堂上是真实存在的,使学生无法得到180°或无法把三个内角拼成一个平角。对于这些问题,要更好地加以利用,引导学生思考:为什么出现结果不同?通过这样的质疑和反思使学生认识到在操作的过程中可能会出现误差,我们要用实事求是的科学态度去对待。(板书定理)
(设计意图:通过层次分明的交流展示使学生明白:探究问题有不同的方法、途径,并且方法之间可以互为验证。)
4.深化认识
引导学生思考:你看,这三个三角形有的变大、有的变小,它们的内角和又是多少度呢?学生会马上回答:“180°”老师紧接着追问:“为什么?”这样通过追问强化学生认识到:不论三角形大小怎样改变,只要是三角形,它的内角和就是180°。
5.应用规律
数学思维过程,也包括结论的应用过程。所以这里安排学生独立完成(P85“做一做”)在一个三角形中,∠1=140°,∠3=25°,求∠2的度数。学生会出现不同方法(板书)
6.看书质疑
指导看书,并质疑。
为了帮助学生巩固新知,使知识点得到落实和发展,接下来进行第三个环节:
(三)巩固练习、拓展延伸
1.巩固练习
(P88第9题)求出三角形各个角的度数。
(设计意图:利用特殊三角形的特点进行计算,从而使学生掌握特殊三角形求未知角的方法,提高学生的解题能力。)
2.变式练习
你能画出有两个内角是直角或钝角的三角形吗?我们来比一比谁画得最快?为什么有的同学不画呢?引导学生用内角和的知识去解释不能画的原因,进一步巩固了对三角形内角和的认识。
3.拓展练习
根据三角形内角和是180°,你能求出下面四边形的内角和吗?引导学生思考:可以把四边形分割成几个三角形进行计算?五边形呢?六边形呢?
(设计意图:设计求四边形的内角和,是把这个新问题转化归结为求几个三角形内角和的问题上,供学有余力的学生完成。)
(四)归纳总结,反思评价
与学生回顾学习过程并分享收获。
四、说设计特色
回顾整节课,有以下几个较成功的地方:
(一)有明确的整体教材观,整体把握教材
首先体现在把握本节课内容与本单元的教学编排的联系,其次是关于与后续学习(中学)中知识的本质联系。站在了一个整体联系的层次去审视和处理教材。
(二)充分鼓励学生自主探究、合作学习
重视让学生在探究中领悟知识形成的过程和研究的方法。在学生的探究中给予适当的指引、渗透实事求是的科学研究精神。
(三)练习设计层次分明
一、案例背景
2012年5月29日，我参加了朝阳区三里屯小学举行的“学与教策略”和“学习者分析”课题的研讨活动。在这里我听了一节三角形内角和的新授课，课前教师先做了一个简短的说课，其中他在教学背景分析中是这样说的：“教师对在校的全体四年级学生做问卷调查后，发现100％的学生知道了三角形的内角和是180°”。学生都已经知道这节课的结论了，那么教师会怎样开展教学呢？我带着疑问开始听课。教学片段如下：
师：（PPT出示鸟巢平面图上的一个三角形）老师要给这个三角形框架装上玻璃，想一想我们要给工人师傅提供哪些信息，他们才能做好这块玻璃？
生：量出三角形角的度数，边的长度。
师：如果只给三角形的度数行吗？ （学生沉默……）
师：拿出你们手中的三角板，与老师手中的三角板比一比，看看发现了什么？
（指名学生拿着自己手中的三角板上前与老师手中的三角板比较，三角形的每个角都一样，但是三角形的大小却不一样。）
师：那三角形的度数能决定什么？（学生停顿不语……）
师：拿出另一个三角板，（与她手中的大三角板的形状不同的一个三角板），看看，三角形的度数决定什么？
生：形状！（虽然出现了教师要的答案，但是学生未必明白）
师：在三角形中还有很多知识，下面我们一起来合作探究一下。（PPT出示小组分工合作的提示）谁愿意给大家读一读？
小组分工合作要求：
1．选取图中的三角形。
2．测量三角形角的度数，边的长度。
3．在白纸上画出你选的三角形，标出三角形三个角的度数，三条边的长度。
4.想一想你是怎么做的，为交流汇报做好准备。
教师给小组内的四位同学每人都发了一张鸟巢的图纸，小组合作开始，这时小组内的四位同学都在自己的图纸上开始找三角形，测量三角形的三个内角度数和三边的长度。（老师巡视）
师：哪一组愿意把你们的做法跟大家交流一下？
有一个小组的四位同学到展台前开始汇报展示，其中的两位同学作了发言，一位同学给发言的同学拿话筒，另一个同学则站在最后一言未发。教师在黑板上把这一组测量的三角形三个内角的度数分别板书。接着另一组的同学也做了类似的展示，但他们组测量的内角和为181°，由于知道三角形的内角和是180°，所以他们自己重新测量，发现有一个角第一次测量不准确，现在修正为正好能保证内角和是180°的度数。教师对学生的这种修正做了表扬，并板书这组选择的三角形的三个角的度数，足以说明这是假探究！根据结论倒推数据。
然后，教师提出新的要求：“要是你们在画的三角形上再标上边的长度就更美了。” 于是让学生可以自由组合小组，重新合作再对原来画的三角形做修正。（学生没有动，没有重新组合小组）接着教师组织第三次展示。
师：通过刚才的合作探究，我们来看一下黑板上的这三组三角形角的度数，发现他们的和都是？
生：180°！（齐答）
师：我们通过实际操作探究验证了三角形的内角和是180°。
师：PPT出示一个四边形，这个四边形的内角和是多少度呢？
生：360°。（学生思考片刻）
师：说说你是怎么想的？
生：把这个四边形分成两个三角形，每个三角形的内角和是180°，两个三角形就是360°了。
师：那五边形，六边形的内角和我们都可以把它们分成若干个三角形，分成了几个三角形就有几个180°，说说五边形的内角和是多少度
生：五边形能分成3个三角形，它的内角和就是3×180°，540°……
二、案例分析
整个教学过程进行了两次小组合作的教学活动，但都是通过测量三角形三个角的度数验证三角形的内角和。可是仅仅要选出一个三角形，测量这个三角形三个内角的度数和三边的长度，再把它画出来。这个教学内容，学生有进行小组合作的需求吗？
从小组开始合作、交流及展示来看，小组合作的效果却不理想。仅仅得到三组内角的度数来验证三角形的内角和。小组的合作有形式但无内容，并且形式也很单一。由此可见，刚才学生的合作学习是失败的。下面我从小组合作的内容、合作学习的情景、两个方面来分析失败的原因及什么情况下我们来合作学习。
1.合作学习的内容没有小组合作的价值
小组合作的形式是为学习内容服务的。为了让学生在小组合作学习中积极主动，使学习富有成效，教师才设计适合多人合作学习的活动。而本节课在设计合作学习的内容时，合作学习的内容含量过小——“从鸟巢平面图中众多的三角形中选出一个三角形、量出它的内角的度数及三边的长度”这仅凭单个人的力量就能解决的问题，没有大家合作的必要，学生无须作深入的思考，导致缺少思维价值的合作，这样的小组合作没有什么意义。
2.教师没有给学生创造合作学习的情景
合作学习是一种集体的学习。学生在学习的过程中会不自觉地发现他人的优势，学习他人，悦纳他人，完善自己，学会与他人合作，形成一种情感同化的态度，为达到共同目标而努力，教师要创造学生合作学习的情景。但是，在今天的教学中，小组的学生虽然面对面地坐在一起，却各忙各的事，不去交流，也没什么合作，小组学习如同虚设。那是因为教师给每位小组成员都发了一张鸟巢的平面图，这样小组中的每位同学都有条件来独立完成，再加上合作学习的内容简单，学生完全有能力自己解决，但如果教师只给每个小组一张鸟巢平面图，这时小组的同学自然就只能通过小组合作分工来完成了。
那么什么样的问题才有小组合作学习的价值呢？
1.基于课本知识又高出课本的问题，应该合作探究。在这节课中，我们探究验证出三角形的内角和是180°后，对于四边形、五边形的内角和以及n边形的内角和，这些内容都是基于课本的问题，是很好的小组合作探究的问题。
2.在教学的重点、难点处设计合作探究，能够开启学生的思维，形成生生间、师生间的思维碰撞，这样的合作探究能够激发学生的灵感，能够真正激活学生的知识与能力储备，从而调动学生的积极性，进而进行深入学习。如本节课中用不同的方法来验证三角形的内角和是180°，能够激发学生的灵感，探究出不同的验证方法，提升了学生的思维。
一、把目光投向学生的经验，使学习变得富有生机
教学片段回放：
师：我们曾经研究过哪些平面图形？
生：长方形、正方形、三角形。
师：记得挺好的，请问长方形有什么明显的特征？
师：那长方形的内角和是多少度？
生：什么叫内角和啊？
师：有谁帮他解决这个问题？
生：就是我们刚才说的四个直角，它们都在长方形内，它们的度数之和叫内角和。
师：老师想请大家把自己手中的长方形变成三角形，有办法吗？
生：沿对角线剪开就行了。
师：可以吗？那就动手做出来吧！
师：请猜一猜其中一个三角形的内角和是多少度？
生1：我觉得是90度多点儿。
生2：不对.我们刚才剪成的三角形是一个直角三角形，其中必定有一个直角，另外的两个角不可能只有一点儿大。
生3：是啊！你看我手中的三角板，我们知道一个是90度.一个是60度，还有一个是30度。我猜想可能会是180度。
生4：有道理。我们还有一个三角板，一个是90度，两个是45度，合起来也是180度。
生5：我也是猜180度。你们看长方形的内角和是360度，被平均分成两个三角形，那么一个三角形的内角和一定会是180度。
生6：你们举的例子都是很特殊的三角形。我们凭感觉得到的可能是180度，如果是一个锐角三角形或者钝角三角形又会是什么样子呢？
师：说得很有道理，我们不能只盯住特殊的直角三角形，应该想想一般的三角形。那我们怎样去思考这个问题呢？
以上教学片段把对新知的探索和研究建立在学生已有的经验基础之上，粗粗看来有些浪费时间和精力，但我们应该清醒地看到：因为经验的唤醒和支撑，学生更加投入地探索新知，进发出我们无法预计的热情，闪现出智慧和灵光。数学是抽象的，将新知从容地嫁接于学生的认知经验之上，并与丰富的活动整合起来，必然会使人耳目一新，也会使学生感受到数学文化的熏染，使课堂绽放出诗意的激情。
案例中不失时机地引导学生猜想，让学生展开想象的翅膀，让学生的思维激荡驰骋。当猜想成为学生学习的一种策略，成为其内在的一种意识，学生学习的主动性便会被点燃。猜想是一种思维，更是一种打破常规思维局限的创新。尽管学生的猜想较稚嫩，但其包含着的理性思考和直觉判断，是学生积极探索的准备，也是学生勇于思考和研究的底气，更是有效学习的良好储备。学生一旦做出某种猜想，就会把自己的思维与所学的知识联系在一起，急切地想知道自己的猜想是否正确，于是就会主动地去探索新知。这时，学习成为学生发自内心的需求，所以我们能欣喜地看到学生利用经验所做出的合情猜想和推断，学生在研究和辩论中不知不觉地感知到三角形的内角和必定与180度有着密不可分的联系，为后续的研究和探索提供了必要的经验积累。
二、把目光投向学生的操作活动，使学习变得富有活力
教学片段回放：
师：经过小组合作研究.你的研究成果是什么呢？
生：用量角器量出一个直角三角形的两个锐角分别是33度和58度，再加上90度是181度。
生2：我也量了直角三角形的三个内角，和是179度。
生3：我量的内角和是182度。
生4：我量出的内角和是180度。
师：我们怎么会有这么多的结果呢？刚才的猜想好像只是一个哦！
生：我们测量角的度数是有差异的，以前我们量角时就经常发生这种现象。
师：看来测量是会有些误差。那我们用什么办法克服这种现象呢？
生1：我把一个正方形剪成两个相同的三角形，每一个三角形的内角和一定是360度的一半，肯定是180度。我认为直角三角形的内角和是180度.刚才的测量一定是不够准确的。
师：你的分析很有道理。但这是一种特殊的例子，我看还不能代表所有的三角形哦！
生1：我测量了一个锐角三角形，分别是47度、62度、71度，加起来正好是180度。
生2：我也选择了锐角三角形，但是我用的是折纸的方法，发现三个角刚好可以折成一个平角，说明内角和是180度。
生3：我的想法和你的一样，我是昨天预习时就练习了这种折法，也得到一个三角形的内角和是180度。
生4：我用他们的方法用钝角三角形折了折，也可以得到三角形的内角和是180度。
生5：我也是用书中的方法采用把三个角剪下来，再将角的顶点放在一点上依次拼一拼，刚好拼成一个平角，得到三角形的内角和是180度。
师：同学们真了不起！研究了这么多.你能用自己的话概括出我们的结论吗？
生1：直角三角形的内角和是180度。
生2：锐角三角形的内角和是180度，钝角三角形的内角和也是180度。
生3：不论它是什么三角形.它们的内角和都是180度。
师：你的总结很全面。……
当我们放手让学生去探究、去思考时，有可能会使教学不顺畅，也可能会使课堂难以驾驭，但这种尝试会给我们的课堂带来意想不到的活力。上文的案例中教师不惟书本，不惟学生的预习，而是营造一种自由的氛围，让学生自由地探索，我们看到的不只是书本中方法的再现，而是学生的思维创新。
当学生还没有完全走出直角三角形的影响时，教师没有刻意地将课堂的重点进行转移，而是创设情境让学生继续展示对直角三角形的研究，从而为学生储备经验。一旦有学生进入新的领域进行探索时，我们就看到了极为精彩的学习状态。量一量、折一折、剪一剪、拼一拼、画一画等活动不经意地穿插于课堂，不仅有效开启了学生的思维，而且也促使学生大胆地假设和猜想，随着研究的不断深入，也诱使学生为自己的结论寻找到最有力的证据，用最有说服力的理由让大家认可自己的研究。试想这种过程，学生怎么能不主动呢？怎么会不积极呢？开放的实践活动，让学生获得的不仅是知识，更是一种学习技能、学习科学探究的方法。送给学生一粒数学的种子，就要立足于对学生数学思维和数学思想方法的训练和培养，让学生形成数学思想，发展其数学素养。
在学生已经学完三角形的内角和，对三角形的问题有了一定的认识基础上，探索多边形相关知识，是对三角形认识的一种升华，也是学生学习方法的一种实践。从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强。整个探索过程强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力。
1. 多边形内角和的证明方法 探索多边形内角和运用类推的方法，以三角形知识为基础，推导、归纳出四边形、五边形，……，n边形的内角和。
方法一：如图1：在四边形ABCD中，从某一顶点出发，连接对角线AC，把四边形分割成2个三角形，那么四边形的内角和是2×180°=360°。同理可得，五边形内角和为3×180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
方法二：如图2，在四边形ABCD中，过一边上任一点（除顶点）E，连接AE，DE，把四边形分割成3个三角形，而∠BEC=180°，四边形内角和为3×180°-180°=360°，同理可得，五边形内角和为4×180°-180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
方法三：如图3，在四边形ABCD中，过四边形内任一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分割成4个三角形，点E处形成一个周角，四边形内角和为4×180°-360°=360°，同理可得，五边形内角和为5×180°-360°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
方法四：如图4，在四边形ABCD中，分别延长AD，BC至点E， 在三角形ABE中，∠A+∠B=180°-∠E；在三角形DCE中，∠EDC+∠ECD=180°-∠E，即∠A+∠B=∠EDC+∠ECD，而∠EDC+∠ECD+∠ADC+∠BCD=2×180°，即∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=2×180°所以四边形内角和为2×180°=360°，同理可得，五边形内角和为3×180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。
多边形的内角和的证明能积极挖掘学生探从不同角度分析和解决问题，并有助于提升学生推理、归纳能力。
2. 多边形内角和公式的应用 多边形内角和等于（n-2）·180°（其中n为多边形的边数），任何多边形的外角和都等于360°，借助这两个结论可顺利解决如下问题：
2.1 求多边形的内角和。例1：十二边形的内角和是多少？
分析：直接应用n边形内角和公式
（12-2）×180°=1800°
变式：已知一个多边形，从其中一个顶点连对角线，可以将多边形分成8个三角形，求该多边形的内角和。
解：对于多边形，从一个顶点引对角线可将多边形分成（n-2）个三角形（n为多边形的边数），所以这个多边形是十边形，根据多边形内角和公式可知，这个多边形的内角和为（10-2）·180°=1440°.
2.2 求多边形内角的度数。 例2：已知一个五边形的五个内角的度数之比是13：11：9：7：5，求这五个内角中的最大角与最小角。
解：由于这个五边形的五个内角的度数之比是13：11：9：7：5，所以可设五个内角的度数为13x，11x，9x，7x，5x.根据多边形内角和公式可知，五边形的内角和为（5-2）·180°=540°，即13x+11x+9x+7x+5x=540，解得x=12，所以13x=156，5x=60，即最大角为156°，最小角为60°。
2.3 求多边形的边数。 例3：一个多边形的内角和是1260°， 它是几边形？
分析：有n边形内角和公式得：（n-2）×180=1260， n-2=7， n=9
变式一：一个多边形的各个内角为120°， 它是几边形？
分析：由于各个内角都为120°，那么它的内角和为120°n，根据内角和公式的（n-2）×180=120n，得n=12。
变式二：多边形的一个外角与该多边形内角和的总和为600°，求此多边形的边数。
解：设多边形的边数为n，此外角为x.根据题意，得（n-2）·180+x=600，即（n-2）·180=600-x.因为（n-2）·180是180的倍数，所以600-x也是180的倍数，所以x=60，从而n=5，即此多边形的边数为5.
变式三：在求一个正多边形的内角的度数时，求出的值是145°. 请问他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，说明理由。
分析：我们知道这道题是在问是否存在一个正多边形，它的内角和为145°.如果存在，那么这个正多边形的每个外角应180°-145°=35°. 由于正多边形的所有外角也都相等，设这个多边形为n边形，则有n×35=360，而满足上述等式的n的值不是整数，所以这样的正多边形不存在，那么一定是小明计算有误。
解：假设小明计算正确，设这个正多边形是正n边形，n为整数。
因为正多边形的所有外角都相等，且它们的和是360°。
所以（180-145）×n=360。
即35×n=360.所以 n= 727
这与n是整数相矛盾
所以不存在内角是145°的正多边形.小明计算不正确。
变式四：已知一个多边形除一个内角外的其余内角的和是2008°，求这个多边形的边数及这个内角的度数。
分析：本题借助于多边形的内角和一定能被180°整除，由于多边形的每个内角都在0°到180°之间，故去除一个内角后其余内角和为2008°，肯定不能被180°整除.只要用2008°÷180°观察其余数，与这个余数互补的角就是所要求的这个内角的度数.即用180°减去余数后所得的角就是所求内角的度数，有了它，多边形的边数将迎刃而解。
解：2008°÷180°=11……28°，180°-28°=152°.故这个内角的度数是152°。从而可知这个多边形内角和为2160°.所以这个多边形的边数为14。
