时间：2023-06-16 16:05:43
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高等函数的概念，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：函数的极限 高职数学 教学
极限概念是微积分学最基本的概念之一，连续、导数、定积分等的定义都建立在极限概念的基础上。极限的思想和方法贯穿在整个高等数学的始终，是人们研究许多问题的工具，是从学习初等数学顺利过渡到学习高等数学所必须牢固掌握的内容。正确理解和掌握极限的概念和极限的思想方法是学好高等数学的关键，也是教学中的重点和难点。对高职学生来说，这一部分内容也是较难掌握的。若极限学得不扎实，必然会影响到整个高等数学的学习，因此准确地掌握极限概念，对于进一步研究函数导数、积分等具有非常重要的意义。笔者在高职数学函数和极限一章教学实践中做了如下思考和探索。
一、做好与初等数学的衔接
初等数学研究对象基本上是不变量，而高等数学的微积分以函数、变量为主要研究对象。初等函数是连接初等数学与高等数学的纽带，现行的高中数学课本采用新课程标准，函数的有些内容被删去了，如反函数、三角函数中的余切、正割、余割及反三角函数。这些知识在高等数学中是必要的，因此在教学中笔者加入了这些知识的讲授。
大多数高职学生对中学数学知识掌握并不牢固，所以笔者在教学中重视复习函数概念、基本初等函数及其性质，及时复习求函数极限中用到的数学公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等变换常用公式等，为后续的极限教学做好铺垫。
二、创设情境引入极限概念
学生由初等数学转入高等数学的学习，学习方法、思维习惯、认知理解上会出现诸多不适应。因此，笔者在引入极限概念时，利用AutoCAD软件绘制正多边形的功能来演示随着圆内（外）接正多边形边数的不断增加，正多边形会越来越接近圆这一动态效果，使学生在具体情境中体会到这种无限的过程，使学生能够深刻地理解极限思想的内涵。让学生体会从“量变”到“质变”，从而真正理解极限这个概念。在教学上，我们用多媒体课件动态展示有关函数的图形，帮助学生理解和观察函数的左右逼近值，从而建立左右极限的概念。通过实践“情境—问题—探究”这一教学方式，学生在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静，培养学生的辩证思维能力。学生只有真正掌握了“极限”的动态实质，才能更好地理解和掌握导数和积分的概念。
三、精讲极限概念中的关键词
刻画极限的语言高度概括抽象，复杂又逻辑结构严密。高职学生难以理解和接受。所以高职数学无需讲解极限的定义，采用极限的描述性定义更符合高职学生的实际。在极限的描述性定义中有两个关键词，“无限接近”的含义就是“要多接近就有多接近”，“定义”就是对“要多接近就有多接近”的定量化。笔者在教学中利用多媒体课件展示函数动态图形，分析一些典型变化趋势，通过比较数值的变化及函数图形解释“要多接近就有多接近”，引导学生进一步探讨自变量x“无限接近”x0的各种不同形式，使学生在图形上对“无限接近”这种“动态”变化有一较清晰的认识，从而强化对极限概念的理解。
四、针对学生易犯的错误重点讲解
学生在高中阶段已初步学习过极限概念，但缺乏深入的理解，特别是对“无穷小”和“无穷大”更感难以理解。例如对“无穷大”的概念，很多学生认为它是一个无限大的常数，思想还停留在常量数学阶段，而缺乏运动和变化的思想；相应地，将无限小的数就理解为“无穷小”。这样学生就会出现把“无穷小”和“无穷大”当成一个数进行四则运算，极限的四则运算法则成立的前提是两个函数的极限都存在，部分学生往往忽略这一点而造成错误。学生还经常忽视自变量的变化趋势对函数极限的影响，分段函数在分界点的连续性是教学中的一个难点，学生对为什么要计算左右极限感到不解。分析其原因，问题往往出在对极限概念的理解上，对自变量的变化趋势的理解不够。对此，纠正以上错误对具体求函数极限的习题也会有很大帮助。
五、及时总结求极限的各种方法
学生学习函数极限这一章内容感觉较难的原因还在于极限的求法众多，且灵活性强，不是每一种方法都适用于求任意函数的极限，面对各种题型学生往往束手无策。因此，在教学中我们很有必要对函数极限的各种求法加以归纳总结分类。在本章教学结束时，笔者针对求极限的各种方法集中上一次习题课，详细总结各种求极限的方法，取得了较好的效果。
辨析题高等数学作用在我国高等教学中，学生们在做题中经常会发现具有很多概念问题，定理的条件或者结论问题，还有不能解决的公式问题等一些在高等领域中，具有深刻意义的数学问题。这些问题的出现也是在高等教育学校里，跟高等学校的老师和教材有关。所以，在高等教育学校的老师对高等教育教学方法进行修改，甚至对高等教育学校的教学教材进行改编。我们就会发现在高等数学中，学生们对部分的定理条件或者结论时就会懂得怎样去解决。对于解决这些难题，学生们应该归纳总结出那些问题的难点，提出那些经过精心准备的辨析题进行思考和分析。这样才能让学生们去单独思考和发挥思维，去建立正确的概念和定理，从而解决这些加深概念的难题。
一、加强学生们对数学概念和定理的正确理解
1.概念，例如在数列中的极限是一个抽象而且难懂的一项概念，高等学校的学生们很难正确理解数列中的极限是什么概念。
例如，辨析题：意思就是当ε
2.高等数学中，很多公式可以计算某些积分数据，但是计算过程是很复杂的。例如：可以用来计算积分，但是计算积分的条件必须让学生清楚这种格式在应用计算积分中是很少用上的，我们要想知道是不是可以用来进行等量代换，可以得出还可以推出，做到这一步了，其实可以直接得出，在这些辨析题中，可以让学生知道：在函数进行代换的时候，在[-1，1]上无意义的点t=0。最后才让学生知道原来这些辨析题不能进行变量代换公式，才能真正了解这些公式在条件中的作用。
3.在积分区间，根据积分的变量反映了积分的正负关系，所以在积函数中也会有形成因子时，有的时候也会变成，还有是会变成在积分区间划分为两个不同的公式，分别是。但是在高等数学中，很多数学对函数的积分概念理解不清楚，经常导致出现计算错误或者利用公式不对，从而导致计算出来的结果与答案完全不同，具有很大的误差。
例如，我们看下面的计算发生错误的地方：其实学生们都知道所以，我们明显的知道，这个公式的计算是错误的。但是通过这个高等数学的辨析题我们知道：
所以，我们才知道在计算积分时，我们不但可以改正计算积分的错误算法，还可以探讨出更加好的运算原理和新公式，得出更加方便和快捷的计算方法。以上的几个例子足以证明，在高等数学中，老师出辨析题对学生们的作用和提升了，只要同学们积极去思考和努力去计算，就可以解决一切计算的困难，这样才能真正应用概念和定理的作用。
二、加强知识沟通与开发
在多元函数中当f（p）在某一点p上时，偏导数存在，但是当f（p）在点p连续时，成立在点p上的充分条件。在高等数学中，一元函数和多元函数在偏导数的存在与否具有不同之处，在我国高等数学教材中给出的是：这样可以说明，多元函数在某一点上的偏导数就会存在，而当一元函数不连续时偏导数就不存在。这样的例子并不是想说明函数需要在某一点上连续或者说明函数必须在某一点上存在偏导数。我们可以看辨析题知道：例题1：已知一个函数在点f上当x与y都等于0时，求它们在点（0，0）上是否存在？而且看f（x，y）在点（0，0）是否连续？从这个例子我们可以得出什么规律或者原理？
这个辨析题不仅给高等数学中的学生带来了分析还给学生们总结了一个原理，那就是多元函数在某一点偏导数存在而函数不连续的情况确实存在，而且我们可以看出在几何图像中显出点（0，0）偏导数存在，知识描述了f（x，y）在图中的性态，其实不能真正在点（0，0）上连续存在偏导数。在不同的函数领域里，一定有f（x，y）-f（0，0）=1的某一点。所以，这种题目给高等数学学校的学生开拓了大脑思维，从而进入了更加深层的思考问题的范围之内了。
经过上面的例子分析和计算，我们可以知道为什么选择辨析题来给学生们进行理解和思考。这样不仅可以提高学生在理解课程知识的进步，还能对学生们所学到的知识进行巩固和延伸。
所以，在高等教育学校，我们应该做好辨析题分析，才能让学生们在辨析题中有提高和进步的空间。但是，在我国高等数学中，教好辨析题的做法与分析不是一件容易之事啊。老师必须在上课之前做好课前备课，课堂与同学们进行讨论和研究。同时有了老师积极付出，应该还少不了同学们的积极配合，这样才能有效提高高等数学中辨析题的作用，下面我们对辨析题的优点进行了总结以下几点：
1.做辨析题是同学们在做高等数学题中的一种题型之一，高等数学题还包括计算题、函数题、证明题、应用题等各种题型。而辨析题的作用主要可以让学生们对老师所讲的知识进行巩固和延伸，从而进一步让知识更加广。
2.解答辨析题，主要是应用老师教的辨析解题法。能真正解答辨析题的学生必须是经过了思考和积极思维去做出来的，因为辨析题很需要学生去探索和积极思维，才能更快地解决辨析题，锻炼解决辨析题，可以锻炼学生灵活利用数学知识和公式，从而对解决辨析题具有重大的作用。
3.解决辨析题，不仅仅是机械记忆的一种方法还是概念与定理的一种记忆，但是仅仅利用老师所教的概念与定理远远不够用来解决辨析题，所以，学生们还要积极对高等数学教材进行钻研和探讨，才能让以后的学习数学更容易。
三、结语
高等数学中的辨析题对学生们进行开拓思维和积极延伸所学知识具有重要的作用。还可以为学生们以后解决高等数学的其他题型。
参考文献：
[1]张剑平.现代教育技术理论与应用[M].北京：高等教育出版社，2008.
关键词：函数零点；数学思想；中学数学；大学数学
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0392-02
1.引言
德国数学家F.克莱因认为：教师应具备较高的数学观点，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。函数零点问题涉及化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，且很多学生一直都有"恐函症"，一见"任意""存在"等字眼就发懵，因此，尽管这个命题只有寥寥数语但也带给学生不少困惑。另外，《数学分析》也对该函数零点问题进行了延续，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、数列致密性定理等都与它有千丝万缕的关系。本文从函数零点的概念延伸、函数零点的求解方法及导函数的零点问题对函数零点的几种应用类型进行比较，并进一步阐述函数零点问题在中学数学与大学数学中的联系。
2.零点概念性质的延伸
定义1[1]（函数零点） 对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
同时，关于函数零点，我们有如下几个等价条件[1]：函数y=f（x）有零点方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点。
这个概念本身就已经结合了函数与方程的思想，而《高等代数》[2] 又赋予了这个概念新的解释：f（λ）=|A-λE|为A的特征多项式，则特征方程|A-λE|=0的根λ就是A的特征值。也就是说矩阵的特征值就是其特征多项式的零点，这就将零点应用拓宽到了矩阵领域。
另外，《数学1》[3]中还给出了一个结论，延伸到《数学分析》[7]里，我们把它称作函数零点存在定理： 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）
这个定理看起来非常易理解，但却包含了三个条件：⑴闭区间连续；⑵端点函数值互异；⑶开区间有零点。实际上是数学分析中介值定理的下放。而在此基础上也可以推导出零点个数的判定定理，加深对零点个数问题的理解。
定理1[4] 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，设f（a）.f（b）≠0，则当f（a）和f（b）同号时，f（x）在区间（a，b）内包含偶数个零点；则当f（a）和f（b）异号时，f（x）在区间（a，b）内包含奇数个零点。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0。这个c也就是方程f（x）=0的根。
此外，我们在解方程时有涉及重根的概念，在利用穿根法解不等式的时候涉及"奇穿偶不穿"的原理，在高中阶段往往被作为零碎的方法或概念去解决某一类问题，而从零点角度，则可以统一概括为：解析函数的一个零点是否导致符号变更（是否为一"交叉点"），按此零点重数是奇数或偶数来定。而符号变更这一概念不止在解析函数适用，在非解析函数仍然适用。有了这些高等数学的理论和概念作为支撑，在高中函数零点的教学过程中，就可以渗透更为精确的概念和表述，提升数学素养。
3.中学与大学函数零点问题的对比和讨论
中学与大学函数零点问题主要归结于在函数零点概念性质的延伸的背景下，通过对中学与大学用不同知识点来解决函数零点问题的几种应用类型进行比较，并进一步阐述其在中学数学与大学数学中的联系。
3.1 二分法与区间套定理。在中学数学现有的各版本高中教材中，均给出了利用二分法求零点近似解方法。然而在大学数学中，利用区间套定理求解函数零点问题，这是二分法在大学数学中的直接延拓，更是新课改下，大学知识简化进入中学教材的典例。
例2 利用区间套定理证明零点存在定理。
证明 由区间套定理知：
1.进行若干次等分后，某分点cn处函数值f（cn）=0此时取ξ=c即可
通过对比，我们发现无论是区间套定理还是二分法，都是通过将相应区间的两个端点逐步逼近得到相应的点，只是区间套定理相对于二分法求零点的一个最大突破就是加入了极限的概念，另二分法当中的精确度ε0，从而使近似值趋于精确值，得到了质的飞跃。当然，尽管二分法在区间套的选取当中仍然扮演重要角色，但区间套定理不仅限于此，不只是满足即可，这也是从形式上对二分法的一种提升。另外，区间套定理中加入的唯一性的证明，则进一步体现了数学的严谨性和准确性。由此，我们也可以发现中学与大学数学的紧密联系，可以看出函数零点在高等数学教育中的基础作用。对函数零点定理的掌握可以帮助学生更好地学习实数完备性理论，一步步从区间套定理到聚点定理、有限覆盖定理等更高深的理论，从而提升其数学修养。
3.2 导函数零点问题--极值与罗尔定理。高中数学中的导函数零点问题，一直是高考当中的重点，源于它能将各大基本函数（这里指指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等基本初等函数）的图像和性质融为一体。便于考查学生综合解题能力以及对知识点的灵活应用。其主要涉及函数的极值问题，是高中数学的一块重要内容（重庆高考卷一般会考查"一大一小"）。
将函数零点转化为某函数导数的零点则是对这一问题的逆用，是《数学分析》中的罗尔定理在高中数学的基础上，从微分到积分的跨越。
例3 （改编自2012年高考数学湖北卷文科第三题） 证明：函数在 上至少有四个零点。
分析：如果直接从函数零点定理着手，这个问题较有难度，因此可以将所求函数零点问题转化为导函数零点问题，构造出罗尔定理中的函数。
,性质
首先是初等函数相关问题分析:
1.绝对值函数的概念及性质
绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。
1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性
例如f(x)=a|x|+b是
定义域:即x的取值集合,为全体实数;
值域: 不小于b的全体实数
单调性:当x<0,a>0时,单调减函数;
> > 增 ;
< < 增 ;
< < 减 ;
1.2绝对值函数图象规律:
|f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像关于x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。
f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。。
1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。
2.取整函数的概念与性质
2.1取整函数是:设x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数,并用"{x}"表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为取整函数,也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)称为小数部分函数。
2.2取整函数的性质:a 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).c 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.e若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.h 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…
3.导数的概念与性质
3.1导数,是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义:当x=x0时,f‘(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。
3.2求导数的方法
(1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均变化率;③ 取极限,得导数.
(2)几种常见函数的导数公式: ① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数);⑦ (Inx)' = 1/x(ln为自然对数;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).
补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。
(3)导数的四则运算法则: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.
(4)复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
4.高等函数的概念以及含义问题
4.1一元微分
1)一元微分是设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。
通常把自变量x的增量 Δ
x称为自变量的微分,记作dx,即dx = x。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 当自变量X改变为X+X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+X),如果存在一个与X无关的常数A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0关于X
的高阶无穷小量,则称A·X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。
2)其几何意义为:设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。
4.2多元微分
1)多元微分的概念:与一元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。
2)多元微分的运算法则
dy=f'(x)dx
d(u+v)=du+dv
d(u-v)=du-dv
d(uv)=du·v+dv·u
d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2
3)微分表
d(x^3/3)=x^2dx
d(-1/x)=1/x^2dx
d(lnx)=1/xdx
d(-cosx)=sinxdx
d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx
高等函数中还有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等,本文就简单的函数问题做一总结。
【参考资料】
1.复变函数论.高等教育出版社,2004,01.
2.实变函数简明教程.高等教育出版社 2005,5,.
【关键词】微积分；重要极限；MATLAB
高等数学是理工类学科的一门基础课程，在一些文科类学科中也有重要的应用。微积分是高等数学的重要内容，是以极限为研究工具，以函数为研究对象的一门学科。
极限的学习与理解对于整个高等数学的学习起到至关重要的作用，然而极限的概念作为微积分当中的第一个重要概念，相对比较抽象，尤其对于数学基础薄弱的同学，理解很吃力，影响正门课程的学习。如何调整教学方式方法，帮助学生更好的理解函数极限的概念成为高等数学这门课程的一个热点问题。
Matlab软件是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，它将矩阵运算、数值分析、图形处理和编程技术结合在一起，具有良好的数据可视化和交互式环境。灵活运用这些功能可以使学生在实践中探索极限的概念，激发学生学习的兴趣。本文主要结合笔者的MATLAB应用实践，用数学实验的方法探索“重要极限”的概念。
先观察函数的图像，程序如下：
>> x1=0.1：-0.001：0.0001；
>> x2=-0.0001：-0.001：-0.1；
>> plot（x1，sin（x1）./x1，'o'，x2，sin（x2）./x2）；
>> title（'y=（sinx）/x'）；
>> xlabel（'x'）；
>> ylabel（'y'）；显示图像，如图1所示
首先通过描绘函数图像，研究函数的性质，程序如下：
>>subplot（2，2，1）；
>>fplot（'sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）；
>>title（'y=sin（1/x）'）；
>>xlabel（'x'）；
>>ylabel（'y'）；
>>subplot（2，2，2）；
>>fplot（'x*sin（1/x）'，[-0.001，0.001]）；
>>title（'y=x*sin（1/x）'）；
>>xlabel（'x'）；
>>ylabel（'y'）；
>>x1=100：100：1000；
>>x2=-1000：100：-100；
>>subplot（2，2，3）；
>>plot（x1，sin（x1）./x1，x2，sin（x2）./x2）；
>>title（'y=sinx/x'）；
>>xlabel（'x'）；
ylabel（'y'）；
>>subplot（2，2，4）；
>>y1=（1./x1）.*sin（1./x1）；
>>y2=（1./x2）.*sin（1./x2）；
>>plot（x1，y1，x2，y2）；
>>title（'y=（1/x）*sin（1/x）'）；
>>xlabel（'x'）；
>>ylabel（'y'）； 显示图像如图2所示：
本题考察的4个函数与“重要极限”的表达形式非常接近，学生经常混淆。本题从图像的角度，结合理论对函数极限的结论进行了说明，帮助学生区别这几类极限问题。
如何利用数学软件进行辅助教学是现代教育研究课题之一，传统的数学教学强调理论性、系统性、严密性的证明，枯燥的理论证明容易使学生失去学习的兴趣，本文通过MATLAB的画图功能，描绘出函数的图像，通过观察了解极限的概念，有助于巩固学生对重要极限的掌握和理解。
【参考文献】
［摘要］高等数学是一门结构严谨、逻辑性较强的基础数学课程。以培养学生的创新能力为目标，提出了高等数学的可视化教学方法。从最简单的微分概念开始，结合matlab软件，通过步步设问、层层深入、数形结合的方式，深入浅出的探讨了泰勒公式、傅里叶级数以及傅里叶变换等几个概念。这不仅有助于数学概念的理解，而且无形中激发了学生的学习兴趣，培养了学生独立思考的能力和创新能力。
［关键词］可视化教学；泰勒公式；傅里叶级数；傅里叶变换
高等数学是普通高等院校理工科专业本科生的一门必修课程。虽然是一门基础课程，但是其在各专业核心课程的学习中却发挥着非常重要的作用。然而现实生活中，很多大一新生并没有认识到高等数学在后续专业课学习中的重要性，因而对枯燥的数学公式渐渐失去了学习的兴趣，数学无用的思想油然而生。如何在枯燥的数学公式中让学生找到学习的乐趣，培养他们独立自主的创新能力是高等数学教学改革的重要内容。
李大潜院士曾经在《漫谈大学数学教学的目标与方法》中提到“如果将数学教学仅仅看成是知识的传授（特别是那种照本宣科式的传授），那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用；而掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力”。近年来数学实验与可视化教学在掌握数学思想方面发挥了非常重要的作用．为了能更好的“演绎出千变万化的生动结论”，本文从最基本的微分概念出发，结合matlab软件探讨泰勒级数、傅立叶变换等概念的本质特征及其之间的联系。引导学生自觉培养创新能力和动手实践能力，加强高等数学与专业课之间的联系，从而减少学习高等数学的盲目性，提高数学学习的兴趣。
1微分的近似计算
为了解决“直与曲”的问题产生的微分概念，给出了函数的局部线性近似。Δx越小，则微分近似值y1与函数值y之间的误差oΔ（x）越小。很明显在x0附近，微分近似计算公式（公式（1））是利用x的线性函数近似计算函数值f（x），由于舍掉的是Δx的一个高阶无穷小量，因此随着Δx的增加这种近似计算的精确度并不高。2泰勒公式要提高微分近似计算的精确度，也就是要减少误差oΔ（x）。（3）可以看作微分近似计算公式（公式（1））的推广，其精确度有了很大提高。如果用公式（3）对应的n次泰勒展开式近似计算f（x），那么其误差Rn（）x是Δxn的一个高阶无穷小量。为了比较近似效果，对公式（2）所示函数用不同次数的泰勒展开式在x0附近去近似计算f（x）。在matlab中利用y1＝taylor（exp（x．＾2），3，x，0．6），y2＝taylor（exp（x．＾2），4，x，0．6）分别获得函数f（x）＝ex2在x0＝0．6处的2次和3次泰勒展开式。比较图2中两个泰勒展开式的近似结果可以看出随着次数的增加，泰勒展开式的近似效果明显提高，尤其是在远离x0＝0．6处（图2）。
3傅里叶级数
虽然高次泰勒展开式在x0附近能够给出很好的函数f（x）的近似结果（图2），但是这种近似却不具有整体性，即远离点x0时的近似效果较差。同时，需要函数f（x）满足一定的条件，要求在点x＝x0要具有任意阶导数。换个角度，泰勒公式可以看作函数f（x）在基底1，x，x2，x3…上的展开，那么如果换成由正弦函数和余弦函数组成的正交三角函数集作为基函数，可能会完善泰勒展开式中存在的问题，这就产生了著名的傅里叶级数。
4傅里叶变
换对于非周期函数f（）t，傅里叶变换将其看作周期无穷大的函数，用无穷多个三角函数进行计算。也就是说傅里叶变换是将一个时域非周期的连续函数f（）t，用一个在频域非周期的连续函数f（ω）表示，因此也是一种频域分析方法。因为三角函数集是一个完备的正交函数集。
5结论
高等数学是一门推理严谨、逻辑性较强的基础数学课程，将数学实验与可视化方法引入到高等数学的教学中有助于学生对基本概念的理解。同时，借助于数形结合，启发学生不断提出新的问题，提高求知欲。结合图1，为了提高微分近似计算的精确度，很容易掌握泰勒展开式的本质并且从图2中看到效果。傅里叶级数在周期函数展开中的重要地位，同时理解频域分析方法。结合极限思想，很容易将傅里叶级数推广到非周期函数的傅立叶变换。由此可见可视化方法在培养学生的创新能力具有明显的促进作用。
［参考文献］
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【关键词】复变函数 教学方法 实变函数
【中图分类号】O174 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0124-02
复变函数是高等院校工科专业的必修课，它对于培养学生的抽象思维，逻辑推理、空间想象和科学计算能力都起着重要的作用。其广泛涉及理论物理、自动控制、信号处理、流体力学、弹性力学等众多领域。复变函数的理论与方法是许多相关学科的重要解析工具，因此，学好复变函数这门课程是十分重要的，笔者结合多年教学经验，总结了一些复变函数的教学体会。
一、复变函数课程的特点
复变函数是在微积分的基础上形成发展起来的一门数学学科，它将数域由实数域扩充到复数域构建了新的数的表示形式x=x+iy，形成了特有的理论和计算技巧。定义了复变函数的初等函数，也由此建立三角函数和指数函数的关系，对欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ给出了很好的解释。由于数域的扩充使复变函数对应两个二元实函数w=f（z）=u（x，y）+iv（x+iy），这就将实变函数的极限、导数、微分、级数从基本定义到计算方法推广到复变函数，使得复变函数的理论更简洁，方法更巧妙。复变函数的积分是复变函数理论的重要部分，积分将复变函数的导数、微分，级数，留数联系到一个理论线索上。复变函数通过复平面建立了两个平面的点的对应关系，构成了平面到平面的二维映射，这是复变函数的一个重要贡献。
由于复变函数的很多概念理论和计算方法直接借助于高等数学知识，要求学生有很好的高等数学基础，同时也要求教师在教学中做到边复习高等数学边讲授复变函数，使学生的知识体系得以连贯，真正学到新的知识。随着高等教育改革的不断深入和多媒体的使用，复变函数课时相对减少， 如何才能让学生在有限的时间内高效的学好这门课，是复变函数教学的首要任务。
二、复变函数的教学体会
1.合理安排教学内容
复变函数课程的教材很多，西安交通大学高等数学教研室编写的工程数学《复变函数》，对于工科学生来讲，不失为一本很好的教材，教材内容充分，结构合理，理论应用相得益彰，但教师在教学中，还应对教材进行再加工，即要借重教材的优点，又要照顾学生。精心设计课程内容的引出、分析、解答等过程，通过抽象概念与具体实例结合，抽象思维与形象思维结合，渗透现代数学思想，提高学生兴趣，培养学生的数学思维能力和综合应用能力。
做为数学课程复变函数教材的章节是按着严格的逻辑顺序展开的，有着很强的系统性和整体性。对于一些重点知识、新知识可以安排较多课时，比如模函数，幅角函数的解析性，C-R方程、柯西-古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等复变函数的几个重要定理需要多花精力比较使用方法，介绍应用技巧。有些知识象复数及复数的计算已经下放到了高中，所以可作为复习内容，安排较少课时。
2.采用适当的教学方法
在教学过程中，可以采用多种教学方法和教学手段，由于复变函数的许多性质、概念、定义与高等数学有着相似之处，又与高等数学在某些方面有着实质不同，比较教学法是最适用于复变函数教学的。 在复变函数教学过程中，应注意将复变函数的概念、定理以及处理问题的方法与高等数学进行对比，使学生在建构新的知识体系的同时能够区分两者之间的差异。
探索一套行之有效的考试考查方法，增加单元测验，加大平时成绩比重，把考试分为开卷和闭卷。利用单元测验检查学生对知识的掌握程度。 每章结束之后上习题课，采用对话式教学方法，提出问题，引导学生思考问题、解决问题，及时发现和纠正学生的错误，以补充和巩固复变函数的教学内容。
3.充分利用多媒体教学
借助优质示范课教学平台制作《复变函数》课程的电子教案、多媒体课件，习题库、试题库，实施网络教学，实现师生互动，从而优化了学习过程、提高了学生的学习兴趣和学习效率。利用电子课件教学，使教学更生动、更立体，从而培养学生的理解力、洞察力、数学思维能力。同时将某些抽象的理论具体化，在很大程度上节约黑板书写时间，增加授课的信息量。
4.将数学实验引入课堂教学
利用MATLAB进行辅助教学可以进行复数基本运算包括计算复数的实部、虚部、模和幅角，也可以计算复变函数的导数、积分和留数，MATLAB绘制复变函数图象直观地展示复变函数的特殊映射规律。这样不但加强了学生对复变函数中的抽象概念的直观认识，而且还提高了学生运用数学和计算机解决实际问题的能力，激发了学生对复变函数的兴趣。
5.注重知识应用，培养学生应用能力
复变函数与其他学科如物理、数理方程、流体力学、电磁学等都有不同程度的联系，在教学中不仅要清晰地向学生讲述复变函数的基本知识，还应该帮助学生建立起该学科与学生专业的关系。为此，在复变函数的教学中要把握好知识应用的指导，了解学生的专业以及后续的基础课和专业课，在讲解复变函数理论的同时，向学生介绍复变函数在相应学科中的应用。如解析函数可以刻画流体流动的复势。留数和流量、环量的联系等。
总之，在复变函数的教学过程中要注意素质教育内容的融入，注重培养学生的创新能力，培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力和分析解决问题的能力。复变函数的教学不仅在于教授学生知识，更在于培养学生的数学思想，提高学生的综合素质，促进学生的全面发展。
参考文献：
[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2003
[2]张必山.试析复变函数课程教学改革[J].教育与职业，2010
[3]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].第四版，高等教育出版社，2005
【关键词】 高等数学；经管类专业；理工类专业
【基金项目】 海口经济学院教研教改项目（hjyj201203）
随着社会和经济的迅猛发展，数学在经济生活中的作用日益突出.数学的理论和方法越来越广泛地被应用到物理、化学、生物、医学、经济管理、军事战争等不同学科领域以及日常生活中.作为高等院校基础课程之一的高等数学在其他学科和专业上的应用也越来越得到重视和认可，因此，大学生在学好本专业知识的同时，必须加强对高等数学课程学习的重视.
一、高等数学教学中存在的问题
作为一所应用型本科院校，如何改善高等数学教学，提高学生的学习兴趣，是一个迫待解决的问题.传统的高等数学教学，往往注重基本概念的讲解、定理的证明、公式的推导及习题的演算（ 如解题技巧等），而忽视了数学在实际中的应用.学生往往能熟练地解题，却不能用所学的数学知识和方法解决自己所学专业中的一些实际问题，也不知道数学课与本专业课之间的联系，学生觉得学而不能致用.加之数学课程理论性强，内容抽象，概念多，计算量大，学生学起来普遍感到有些困难和困惑，等到了高年级做毕业论文和毕业设计，遇到结合自己所学的专业应用数学方法时，苦于一大堆数据不知如何处理.有的学生学习数学知识只是为了应付考试，有的学生学习数学知识只是为了考研的需要，学生学习数学知识的主动性、积极性不高，这在一定程度上也影响了其他课程的学习.可以说，传统的数学课教学与学生所学的专业脱节，没有与学生所学的专业有机地结合起来.
二、经管类专业高等数学教学
经管类专业的学生女孩子比较多，但是数学基础都比较薄弱，因此，在课堂教学时，我们可以结合经济概念或现象来讲解数学概念、计算与证明，以及应用.
1.结合相关经济概念或现象讲解数学概念
理解数学概念是学会用数学的前提.因此，我们在讲解数学概念时，可以先按传统做法讲述一遍定义，再结合学生专业课程中的相关经济现象解释数学概念，通过与专业课程教学内容的结合，让学生更深刻地理解数学概念，也进一步理解专业课程.例如，结合经济学中的奢侈品、劣等品、互补品与替代品讲解函数的单调性， 结合厂商的生产要素理论中的生产函数讲解多元函数概念及其偏导数概念，结合经济学中生产要素的边际投入、边际产出、边际成本、边际收益、边际利润来讲解导数概念及其含义等.
2.结合相关经济概念或现象讲解数学计算
数学计算与证明是应用型高校学生必须具备的一项基本能力，结合相关经济概念、经济现象讲解数学计算是培养学生数学计算与证明能力的一条良好途径.比如，结合经济学中的互补品、替代品、分析消费者和生产者需求曲线和生产曲线的变化、均衡价格，以及通过结合经济学政府税收的改变对消费者和生产者税负的影响，要比单纯讲解函数的运算，更能调动学生学习的积极性和主动性；
结合经济学中的规模报酬概念讲解多元函数的隐函数求导，要比单纯讲解多元函数的隐函数求导运算更能激发学生的学习热情.
3.结合相关经济概念或现象讲解数学应用
数学应用是检验学生是否真正理解数学概念、掌握数学知识的重要标志.与学生专业课程相结合的应用题，将更受学生欢迎.如：通过讲解 “竞争厂商的降价行为是否正确？”等系列案例让学生理解导数的应用，通过讲解 “消费者剩余模型”“生产者剩余模型”让学生更深刻地理解定积分的概念及其在专业中的应用；通过讲解“新产品的销售模型”“广告的效果模型”等让学生了解微分方程的应用.
三、理工类专业高等数学教学
理工类专业的学生男孩子比较多，对数学有着浓厚的学习兴趣，加上理工类专业大多数要解决的都是物理和工程上的问题，为此我们可以开设数学实验课和数学建模课程.
1.开设数学实验课
数学实验课是一门既有演示性又有实践性的课程，目前国际上通用的数学软件有Mathematica、Matlab、Sas、Lingo等.数学实验课程采取“案例式教学”，即“问题提出―建立数学模型―分析研讨―计算机处理―小结或进一步思考”的过程，先由教师讲解典型示范，再由学生自己动手使用，教师指导，最后由教师点评总结.通过学生自己动手参与“演示与实验”来帮助理解数学中一些抽象概念和理论，运用计算机和数学软件完成那些繁杂的推算和复杂的运算技巧，培养学生运用所学的数学方法，借助于计算机去解决实际问题的能力.
关键词：高职；微积分概念；教学方法
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2013）09-0112-03
微积分是高职院校公共基础课《高等数学》的核心内容之一，是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。在微积分的学习中概念是学生认知的基础，是掌握基本理论和运用基本方法解决实际问题的关键。然而高职学生的数学基础薄弱、抽象思维能力差、学习积极性不高等特点成为了理解抽象数学概念的障碍。笔者根据高职生学习的特点，在微积分主要概念的教学中运用了不同的教学方法。
案例导入复习函数概念
函数是微积分研究的主要对象。这个概念学生在中学数学学习时已经非常熟悉，若依然按照传统的定义介绍，学生必然没有积极性。为了提高学生的学习兴趣，并让学生看到数学在各领域中的广泛应用，函数的回顾复习中采用案例教学法。案例教学法是指在教师的指导下，根据教学目标和内容的需要，采用案例来组织学生进行学习、分析、研究，以提高能力的方法。
案例1：灌溉渠道问题
农田灌溉中渠道的横断面一般为等腰梯形，已知渠坡长l=3m，倾斜角α=45°，渠底宽b=2m，如图1所示。ABCD叫做过水断面（即垂至于水流的断面），X=AB+BC+CD叫做湿周。试建立梯形渠道过水断面面积A、湿周X分别与水深h的函数关系式，并指出其定义域。
案例2：出租车费问题
早5∶00～晚10∶59，起步价为7元（3km以内），超出（含）3～15km以内的千米数每千米按1.2元计费，超出（含）15km以外的千米数（每千米加收50%空驶费）按1.8元计费，每客运车次加收1元燃油附加税。
晚11∶00～早4∶59，起步价为7元（3km以内）其他计费方式同上，但每千米另加收20%的夜间费用（不含起步价7元），每客运车次加收1元燃油附加税。按此标准，求出租车费与行驶公里数之间的函数关系。
两个案例分别选取了高职生的相关专业和日常生活中的常见问题。利用函数知识加以解决，使学生既掌握了函数概念，又培养了学生解决专业问题和生活中数学的思维习惯及能力，让学生充分认识到数学知识来源于实际又是解决实际问题的基本工具。
几何直观理解极限定义
微积分的学习中，极限方法贯穿始终，微积分基本问题的解决及主要概念的建立都依赖于此。对高职极限的教学，以必需、够用为度的原则，掌握函数极限的描述性定义，一些简单的初等函数的极限能做到“看图说话”即可，教学方法上采取几何直观教学法。几何直观教学法借助见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，培养学生的数学直觉，达到理解概念的目的。
图2～图4为x∞时函数的极限讨论示意图。
图5～图9为xx0时函数极限的讨论示意图。
借助函数图像引导学生观察分析函数的极限，可以更为形象和直观地理解函数极限的定义，符合高职学生的认知过程，教学效果明显。直观教学法对高职学生观察能力的培养，学习兴趣与学习能力的提高，数学学习信心的增强起着重要作用。
探究发现函数连续性质
函数的连续性是在学生学习了函数、极限的概念、性质以及计算的基础上，对函数性质的进一步讨论。对高职学生的要求不应太高，主要是要求学生正确理解函数在一点连续的定义，从而能讨论初等函数、分段函数的连续性。教学中采用发现式教学法。
先引导学生分析“连续”一词的中文含义，在对连续感性认识的基础上，借助给定的几何图形启发学生考虑函数的连续性，并利用刚学习过的极限工具观察讨论。
图10～图14为介绍函数连续性定义所用引例图。
讨论问题：
1.哪些函数图像在x0点断开？
2.在x0点断开的表现是什么？
3.断开的函数图像在x0点的极限情况是什么？
4.对比在x0点断开和连续的函数图像，极限又有什么不同？
5.综合以上问题要保证函数图像在x0点连续，在x0点的极限有什么要求？
在层层深入的问题的启发下，引导学生自主探究，发表自己的观点并不断相互补充。最后教师就讨论结果作一定总结，高职学生即可比较轻松的归纳出函数在点连续的定义式：■f（x）=f（x0）。
发现式教学结合问题展开，在教师的启发下从学生已经掌握的极限知识入手，由浅入深循序渐进展开发现连续的定义，使每个学生都参与到过程中，经过个人的思索和努力获得收获，如同自己发现了知识一样。这些知识在探索中被发现，提高了学生探索的技巧、解决问题的能力，发现学习的结果，也更有利于学生记忆的保持。
数形结合展现微分思想
高职微积分教材中微分的内容普遍较少，但微分“以直代曲”或者“微元法”的思想不但贯穿微积分始终，更在高职生众多的专业学习中应用广泛。由于微分的计算与导数密切相连，使得许多学生对微分的认识很模糊，仅仅停留在微分计算的表面，更谈不上理解微分的思想。教学中为了加深微元思想，强调应用性，在概念的引入上采用数形结合法。借助图形，把函数的微分直接描述为“当自变量发生微小变化时，函数的图形中相应点处切线上的纵坐标的增量”。
图15直观地告诉学生，当Δx很小时，曲线y=f（x）在自变量由x变到x+Δx时所对应的因变量y的改变量Δy，可近似看作dy=f'（x）Δx，其依据是“以直线代替曲线”，即自变量变化很小时，函数y的相应曲线段P0P可近似看作是相应点处所对应的切线线段P0T。若曲线y=f（x）变成直线y=x，其中任一点的切线仍是直线y=x，故其切线上的增量dy=dx=x'·Δx=Δx，也就是dx=Δx，从而又得到微分是导数和自变量的微分的乘积dy=f'（x）dx。
通过数形结合，给微分概念赋予图形信息，使学生对概念不仅仅流于表面公式的理解、记忆，更重要的是加深了对微分“以直代曲”的本质认识，对后继定积分内容及相关的专业学习打好基础，也体现了高职教学的时效性原则，学生可接受程度高一些。
多媒体演示丰富定积分教学
定积分概念是微积分教学中的一个重点，同时也是一个难点。概念抽象、内容多、信息量大、图表复杂，常规教学中需要在黑板上进行大量的文字书写和简易的图形演示，既费时费力，又不宜激发高职学生的学习兴趣，教学效果不好。利用多媒体教学可在课前将大部分的教学内容事先精心设计并制作于课件之中，配以动态图形，将文字、图片、声音、色彩、动画充分结合，给学生留下深刻印象。
例如求曲边梯形面积时的“分割、取近似、求和、取极限”这四个过程，可以借助动画，让学生清楚地看到每增加若干个点，小矩形的面积和就与曲线下的曲边梯形面积越来越接近，为学生理解以直代曲的思想提供了直观印象，明确曲边梯形面积通过极限如何达到无限细分、无限求和的过程。这就使定积分这个生疏的名词、抽象的符号变得具体而又生动。教育心理学家研究指出：多种感官并用时学习效率最高，视听并用的理解记忆率远远大于只看、只听的记忆率。多媒体教学给学生以视觉、听觉上的多重认识，学习内容记忆深刻。
总之，微积分概念的教学方法有很多，教师要根据高职生学习的特点，创立一套符合实际的教学方法，以激发高职生学习微积分概念的兴趣，提高教学质量。
参考文献：
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作者简介：
关键词： 高等数学 极限 极限思想
极限是高等数学中的一个非常重要的概念，极限思想贯穿于高等数学的各个部分.因此，理解极限概念所蕴涵的数学思想方法，对掌握高等数学中的其他概念有很大的帮助.
纵观数学的发展史，当初牛顿、莱布尼兹在创立微积分时取得了极其重要的创造性的成果，但由于缺乏清晰严格的“极限”和“无穷小”的概念，未能把微积分建牢固的基础上.之后数学界展开了一场长达十多年的关于微积分奠基问题的大论战.通过这场论战，大批数学家对微积分基础概念做了深入探讨，促进了微积分理论基础的建设.正是由于极限理论的完善，微积分才取得最后的胜利.而微积分的主要理论基础是极限论，高等数学中的导数、积分、级数、敛散、甚至数学中最基本的实数概念都要以极限概念为基础来建立.理解了极限的思想方法，掌握了极限的基本运用，以及有关它的一些重要性质，有助于学生理解其他数学概念，把握不同数学概念之间的本质联系.下面我就高等数学中的几个重要概念所蕴涵的极限思想作分析，以供教学参考.
一、导数的概念
导数概念不是数学家凭空想象出来的，而是从解决客观实际问题的过程中概括抽象出来的.要了解导数概念所蕴涵的数学思想方法，我们还是通过导数概念的引入来探讨.
几乎所有高等数学教材关于导数概念的引入都是通过求物体运动的瞬时速度和曲线的切线斜率.两个例子，虽然意义不同，但分析问题、解决问题的方法则是相同的，取得结论的方式也是一致的.它们都是刻画一个变量对另一个变量的变化快慢速度，也就是因变量对自变量的变化速度.舍弃这些例子各自的意义，抽出其共同的数学本质，即得到导数的概念：
称该级数收敛，S是该级数的和.若该级数的部分数列发散，则称该级数发散，此时该级数没有和.级数收敛的概念真正解决了无限小数是一个数理论问题.随着绝对收敛概念的建立，无限和运算结合律、交换律、分配率的成立范围在理论上才得以明确.同样借助极限，函数项级数一致收敛概念建立后，函数级数每项具有的分析性质，即连续性、可积性、可微性与其和函数间才建立了必然联系，无限和运算分别与极限运算、定积分运算、求导运算交换次序成为可能.
以上仅借助于导数的概念、定积分的概念和级数敛散性定义说明在高等数学中极限思想的应用.事实上，其他类型的极限概念可以通过类似法进行处理.在教学过程中，再辅以恰当的实例，使学生清楚、牢固地掌握极限概念、性质，以及相应的极限思想和方法.
参考文献：
[1][美]Walter Rudin.数学分析原理.机械工业出版社，2009.
[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社，1993.
关键词：导数；极限；不等式；联系.
1 导数的应用
导数是研究函数的工具，利用导数来研究函数的性质问题.可以比较容易地得到结果或找到解题的方向。
1.1 导数的单调性
定理1.1 设函数在上连续，在内可导
如果在内，那么函数在上单调增加；
如果在内，那么函数在上单调减少.
例1-1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解法一：设是上的任意两个实数，且，则
由得
要使，则.
于是 .
即 时，是增函数；时，是减函数.
解法二：
令解得；因此，当时，是增函数.
再令，解得，因此，当时，是减函数.
经过对两种方法的对比，我发现大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回来看一下高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一些弊端.
2 极限的应用
学习极限是从一个“有限”到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极
限问题是认识和解决问题的需要.
2.1 数列极限
高中我们给出了数列极限的概念：
如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数（即无限地趋近于0），那么就说数列以为极限.或者说是数列的极限.
数学分析里也给出了数列极限的概念：
定义2.1 设为数列，为有限常数，若对总存在正整数，使得当时，有
则称数列收敛于，是数列的极限.并记作，或.若数列没有极限，则称不收敛或称为发散数列.
中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称定义）来证明高中数列极限中所用的结论.
例2-1 证明 （均为常数，且）
在中学，我们直观地知道，当时，这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的定义来证明这个结论的正确性.
证明 由有即
对，则当时，有
.即
利用定义，同样可以证明在中学常用的数列极限的四则运算法则.
例2-2 若数列与都收敛，则和数列也收敛，且
.
证明 设与.根据数列极限的定义，即
有
有
同时有
与
于是，有
即
在高中，我们就已经开始接触了数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也将越显灵活.
2.2函数极限
与数列极限一样，中学同样给出了无限地趋于时的函数极限定义.即：
如果函数无限趋于一个常数，就说当趋于时，函数的极限是，记作
也可记作
当时，
也叫做函数在点处的极限.
但中学课本给出的函数极限定义，只是一种定性的解释，并没有给出精确的量的刻画和描述.因此，我们只能根据定义，证明某一个常数是不是某一个函数的极限.
当趋于时函数极限的精确定义：
定义2.2 设函数在点的某一去心领域内有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式
那么常数就叫做函数当时的极限，记作
或（当）.
由于趋于时，有两个方向，大学数学还给出了单侧极限的定义，单侧极限是讨论函数在某一点事否连续的重要定理，这里不做过多的论述.
当趋于时，函数极限精确定义：
定义2.3 设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在着正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式
那么常数就叫做函数（当时）的极限，记作
或（当）.
函数极限所具有的性质与数列极限极为相似，与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论：
运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.
例2-5 求的值.
解
令 当时，即
故
中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型，即但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则，其解答过程显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法.这使某些问题的解决更简便快捷.
例2-6 求的值.
我们先用中学的方法来求解：
解 =
这是中学最基本的求解极限的方法.当所给函数是连续函数时，先将复杂的分式通过因式分解的方法，化为最简分式后.利下转第页
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用函数的连续性将数值代入得到答案.而站在大学的角度，当时，所给分式的分子分母分别趋近于，可以运用洛必达法则求解.
运用洛必达法则，有：
此题似乎没有体现洛必达法则的优越性，但下面一题就可以看出，洛必达法则在解决一些复杂的问题时，显得极其方便简单.
例2-7 求的值.
在中学，我们可以这样求解
解 原式
现在用洛必达法则解答，可以比较一下：
解 由于当时，故是型
用洛必达法则有
在中学，关于数列极限与函数极限的讨论，我们基本上都是分开来讨论的，并没有特别强调其间的关系.但在大学，证明一些数列极限问题，我们往往可以将数列问题先转化为函数问题，使问题快速得到解答.
初等数学与高等数学有机地紧密结合着，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.
通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握. 尽管我的水平还很有限，但通过这次训练，我有很大的进步，并且大大地激发了我的学习热情.
参考文献：[1] 同济大学应用数学系主编.高等数学（第五版 上册）.北京：高等教育出版社，2002.
[2]数学分析讲义. 上册/刘玉琏等编. ―5版.―北京：高等教育出版社.2008.5
[3]全日制普通高级中学教科书（必修）数学 第一册（上）人民教育出版社中学数学室 编著
报考专升本层次的考生，如果选择的是理工类专业，参加全国统考时，除政治、外语2门公共课外，还要加考高等数学（二）。从2011年版大纲的复习要求看，高数（二）要求考生掌握高等数学、概率论初步两部分内容。
据了解，高数（二）的复习考试大纲适用于经济学、管理学及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类（除中药学类外）6个一级学科的考生，是报考这些学科的考生复习备考的指导。
北京向导学校相关辅导老师介绍，从2011年大纲的规定看，考生具体复习考试内容共有极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、概率论初步5部分内容。
考生要对不同部分的内容做相应程度的掌握。其中，对“高等数学”部分中的极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学部分，以及“概率论”部分中的古典概型、离散型随机变量及其数字特征等内容，要了解或理解其基本概念与基本理论。复习时，考生还要注意各部分知识结构及知识的内在联系，要具有一定的抽象思维、逻辑推理和运算能力。同时，还要能运用基本概念、基本理论和基本方法判断和证明，准确计算，并能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
从高数（二）的试卷内容比例来看，一元函数微分学和一元函数积分学两部分所占比例较大，分别为30%和32%，考生复习时可重点加强这两部分。在一元函数微分学部分，考生要了解导数的定义、左导数与右导数等概念，掌握导数的四则运算法则与基本公式，掌握复合函数、隐函数、对数等的求导方法及其他内容；在一元函数积分学部分，考生要掌握不定积分、基本积分公式、换元积分法等知识，同时要掌握定积分的概念、性质及计算等知识。
高数（二）试卷的满分为150分，考试时间是150分钟，采取闭卷笔试方式。实际考试中，试卷只有选择题、填空题和解答题3种题型，其中解答题约占分值比例为46%，其余两种题型均为27%。从试卷试题的难易程度看，一半为中等难度题，30%为容易题，较难题只有20%。
据了解，去年共有近百所成人高校在京招生，当年招生计划共8万余人，其中理工类为2.4万余人，占全部招生计划的近三成。
