时间：2023-06-16 16:05:43
关键词：数学概念；教学；数学基础
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）07-0157-01
数学概念定义是数学科学知识体系的基础，是中学数学基础知识的核心；数学概念定义是数学思维的细胞，是数学能力的根基之一。因此，中学数学概念定义的教学，我认为应从以下几个方面来进行尝试：
1.重视概念的形成发展史
数学概念既不是人们头脑中固有的，也不是从天上掉下来的它是人们在长期的社会实践中，经历了从感性认识上升到理性认识，从感觉、知觉形成观念通过分析、综合、抽象、概括而形成的。在教学中，老师在引入概念时可以将概念的形成过程引入课堂，介绍给学生。例如复数这一章节的教学可以首先将复数的发展史作为首课时向学生展示。
2.注意具体到抽象的过渡来引入概念
概念是现实生活中一类对象经加工提炼而成的，数学概念也是为了解决实际数学模型而产生的，教师应注重以具体的问题引出抽象的概念，这样就不会让学生感到问题提出的突兀。
从数学体系发展过程角度看，一些概念是从数学知识发展需要引入的。例如：在讲分数指数幂时，教材上只是给出定义：。为什么引入分数指数幂呢？教室可以引导学生回忆我们学过的加、减、乘、除、乘方、开方的概念的引入，以及相反数、倒数的引入过程：乘法的引入，就是当多个因数相加时，为了简化运算，引入乘法；当多个因数相乘时，为了简化运算，引入乘方。还有一些看起来是规定的概念，也要让学生了解其规定的合理性。相反数的引入，将加法和减法统一为加法；倒数的引入，将乘法和除法统一为乘法；那么分数指数幂的引入，将乘方和开方统一为乘方。学生就好理解了。
抽象是数学的一种美，但学习时其感知对象，学生也觉得枯燥，要让观察者对呈现于面前的某些对象有兴趣，使其注意力集中与这些对象，则在课堂教学中，教师时高时低、抑扬顿挫的声调、活动教具的示范、教学多媒体的运用，都是增强学生感知效果的有效方法。
3.用熟悉的概念引申产生新的概念
学习是一个渐进的过程，对概念的理解也是一个渐进的过程，随着我们知识水平的不断提高，原有的概念的外延不断扩大并由此扩大或改进成新概念，在我们组织教学时，我们可以从旧的概念入手同学生一起用发现的手法来提高和完善我们的认知，引出新思想。例如函数这一概念在初三是新知识，到高一后学生对他的理解就比较深刻，也可以说这时抽象也转化为一种具体，教师若由此出发通过解析式、定义域、值域并对映射概念加以对比发现函数也是映射，最终提出函数的近代定义，用引出的方法学生让自己动手发现新知识，这种成功的喜悦 ，无疑使得学生对概念的理解更为深刻。
从对函数的不同认识阶段看：初中以"变量说"定义函数，重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接体验，体会函数的意义，形成用函数解决问题的直接经验. 高中数学以"对应说"定义函数，引进数字以外的符号（y = f （x） 中，f 不代表数，与x ，y 的含义非常不同） 表达函数，进一步明确函数的表示法，以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体，给出研究函数性质的方法和过程的示范，进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用，使学生形成用函数
念研究具体问题的"基本规范"。
从研究函数的方法上：对于"基本初等函数"的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究，逐步加深对函数概念的理解，在"基本初等函数"的应用中，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性，建立更加广泛、稳固的函数本质的理解.所以，本单元的核心任务就是：建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号的意义，了解函数中的问题、内容和方法，形成研究函数问题的"基本规范"。
从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的"纽带"，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。另外，函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。
4.注重概念课的后继课程的概念教学
[关键词]函数教学；新课改；对策
在新课改理念下，教师应及时转变教学观念，“以人为本”，关注对函数教学中存在的问题，更新函数教学方法，提高函数教学效率。
一、以概念图加强函数概念教学的系统性
学习和理解函数概念是高中学生认知函数的开始，也是掌握和应用函数解题方法的基础。然而，在实际教学中，不少教师存在重应用轻理论的现象，忽视函数概念的教学。他们大多采用传统的讲授法，把概念教学当做讲解新内容时的小铺垫，一笔带过，既不联系已经学过的函数概念知识，也不引申讲解，割裂了概念与概念、概念与解题技巧之间的联系。这使得学生很难形成较深的印象，对于概念的理解也只停留在表面，在之后的解题过程中容易混淆相近的函数概念，降低做题的正确率。针对这一现象，教师如引入概念图教学方法，能引导学生思考概念的联系，提高教学的系统性。概念图（concept map）是一种用节点代表概念，连线表示概念间关系的图示法。这一方法有利于高中生建立函数的概念网络，把新旧知识联系起来，增进对函数的认识和理解，为后续学习奠定坚实基础。
如，在讲解有关值域的概念时，教师可引导学生以“值域”为核心概念，与“定义域”“映射”“集合”等相关概念进行联系理解。随着学习的不断深入，教师还应让学生在原概念图的基础上自主完善有关值域的知识：一是常见函数的值域，如y=kx（k≠0）和y=lgx的值域为R，y=■的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）等；二是常见的求值域方法，如图像法、配方法、单调性法、换元法和复合函数法等。通过运用概念图对概念等知识进行联系和深化，学生才能够更主动、更深入地理解函数的理论知识，为解题奠定坚实基础。
二、以多媒体设备提高函数解题技巧的直观性
近年来，信息技术的发展使得多媒体技术走进高中教学课堂，成为教师实施数学教学的重要途径。多媒体设备的合理运用，不仅能够调动学生的多种感官，提高他们在课堂学习中的注意力、观察力和记忆力，而且能够以动态的方式展示函数应用情景，提高学生对函数解题技巧的理解和应用能力。但是，目前仍有部分教师没有充分利用多媒体设备。这主要表现在两个方面：一是备课不充分。部分教师因信息技术水平较低或信息搜索能力不足等原因而没有在课前准备合适的教学课件、教学视频等资料，使得课上可用资源缺乏；二是对多媒体的应用停留在表面，仅仅展示解题过程而没有深入地分步解释，降低了多媒体设备的利用效率。为了提高函数教学的效率，落实新课改理念，教师应做好课前准备，提高其应用程度。
三、以合作学习提高函数教学的实践性
新课标提出，教师应丰富学生的学习方式，让他们在自主探索的过程中培养积极主动、勇于探索的精神。随着课程改革的不断落实，越来越多的教师在开展函数教学时运用活动教学模式，让学生在活动中学习函数知识。然而，由于部分教师对合作学习、探究学习等的理解并不全面，在实际教学中没有充分考虑学生的能力和学校的资源情况，把函数的有关知识生搬硬套到实践活动中，出现教学的表面化、泛滥化，甚至虚假化，降低了函数教学的效率。针对这些问题，教师应尝试促进活动教学与授受教学的相互渗透，结合函数教学的目标和内容等实际情况，在活动中融入授受教学，深化教学知识的讲解和剖析。如，在讲解有关对数函数的知识时，教师可让学生分组探究以下问题：
某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，则：（1）写出该城市人口总数x（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）。
在合作学习的过程中，教师不要过多地干预学生的探索，而应给足够的空间让他们自行探索，如在第一题中，学生可能会先求出1年后、2年后、3年后该城市人口总数，然后推导出x年后该城市人口总数为y=100×（1+1.2%）x；解答第二题时，教师可提示学生小组先列方程：
100×（1+1.2%）x=120
然后提取x，得
关键词：高中数学；函数教学；意见建议
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2012）10-0179-03
一、高中数学教学函数内容的变化
函数教学是贯穿高中数学教学的一条主线，知识点多，覆盖面广，思想丰富，容易与其他知识建立联系，综合性强，每年高考有关函数问题的考查都占有相当大的比例。近两年，高中数学教学贯彻《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》），并按要求实施教学改革，函数内容的安排较以往有了一些变化。
1.对部分作了内容强化。①强化了函数模型的背景和应用的要求。函数概念的教学要求以实际背景和定义两个方面引导或帮助学生理解，在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解。指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别――更侧重于指数型函数与对数型函数的教学。②强化了分段函数的教学，要求能简单应用分段函数。③强化了知识之间的联系。《标准》要求结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；根据具体函数的图像，加强对数形结合、几何直观等数学思想方法学习的要求。
2.削弱了部分内容。①削弱了对定义域、值域过于繁难的，弱化一些人为的过于技巧化的训练。②削弱了对反函数概念的理解，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。
3.增加了部分内容。增加了幂函数（y=x，y=x2，y=x3，y=■，y=x ）；函数与方程；函数模型及其运用。要求引导学生在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解。
二、2010、2011年高考数学全国大纲卷、课标卷函数类试题的比较及特点分析
通过比较，我们发现，近两年高考数学命题关于函数内容有以下特点：
1.覆盖率高。近两年的高考题，涉及到了函数的所有知识点，试题不强调知识的覆盖率，但函数知识的覆盖率始终没有减少。
2.层次性多。容易题、中等难度题和难题中都出现有函数题，其形式多为选择题和解答题。容易题一般涉及函数本身内容，对能力的要求不高；中等难度和较难题多为综合程度较大的问题，大多为函数与其他知识联系，多种方法互相渗透。
3.综合性强。为了突出函数在中学数学中的重要地位，近年来高考强化了函数对其他知识的渗透，加大了以函数为载体，多种方法、多种能力的综合程度，特别是函数、导数及其知识的综合应用。
4.角度、方式新颖。函数试题设置问题的角度和方式不断创新。重视函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想与方法的考查。由于函数类型较多，概念、公式较多，综合性较强，使函数考题新颖、生动、灵活。
这些特点及变化，体现了《标准》“不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”的思想。
三、对高中数学课程中函数教学的建议
科学的教学，是培养学生数学思维能力、提高学生数学水平的有效途径，也是实现素质教育目的重要手段，为使高中数学函数教学更好地与《标准》对接，增强学生对函数的理解能力，进一步提高学生的数学思维能力与思维水平，我们有必要对教学方式与手段进行改进。
1.重视整体规划，分步实施。学生在数学学习过程中第一次遇到的最具有一般性的抽象概念是函数。教学实践证明，学生对函数概念的理解是一个由模糊到逐渐清晰的过程，对函数概念的理解需要一定的时间，积累一定的经验，由教师引导学生反复感知，增加感知频率，才能逐步理解，达到熟练掌握灵活运用的程度。面对这一教学任务，教师应当作好教学规划，分解教学目标与任务，对函数教学进程进行科学设计，细化各学段的学习内容，指导学生在运用中学习函数，在实践中不断理解函数思想。
2. 重视建构函数模型。《标准》明确：“学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型过程的方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。”
在高中函数教学时，教师要引导学生进行函数建模活动，将一些基本函数模型建构在学生心中，打牢学习函数、理解函数和解决其他函数问题的基础，可以起到事半功倍的作用。教学中，教师可以引导学生学习掌握一些关键知识，以起到四两拨千斤的作用。比如，学习并知晓函数模型的具体背景，用实际背景视角理解函数概念；可以借助几何研究函数的基本变化规律；还可以用代数分析优势帮助学生把握函数的变化。帮助学生在脑中建构起一批典型而具体的函数模型，就可以逐步实现对函数本质的理解，长期学习与实践，灵活运用函数思考和解决问题的目标也就能够达到。
3. 重视引导学生理解函数与其他内容的内在联系。按照教材的编排体例及教学内容安排，函数贯穿于整个高中数学课程中。从《标准》目标设定可以看出，函数思想非常突出地体现在方程、不等式、数列、线性规划、算法、随机变量等数学内容中。
根据《标准》中“函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质”的要求，教师的教学可以在教学模式创新上多下功夫，进行科学的教学设计，最大限度地帮助学生科学理解函数概念。
在高中数学概念教学过程中，部分教师没有摒弃传统的教学方法，让学生熟练记忆数学概念。这种机械化的教学方式让学生熟背了数学概念，但是由于学生没有对其产生深入地理解所以学生不能运用已有的数学概念去解答数学问题，使得数学教学水平不高。所以，教师在讲解数学概念时，教师要将学生作为学习的主体，采用恰当地方法引导学生学习数学概念，明白高中数学概念的内涵，从而高效地解决数学问题。
1.高中数学概念的特点和重要性
1.1高中数学概念的特点
高中数学与概念能够将事物间的数量关系以及空间属性客观地反映出来。数学概念是数学事物的本质属性，，具有鲜明的概括性，当学生掌握了数学概念就意味着学生对数学知识能从感性概念上升到理性认识。高中概念是具体与抽象性的统一，每个数学概念都是有具体的内容组合而成的。相对于其他学段的数学概念而言，高中阶段的数学概念具有更好的统一性，数学是抽象中的抽象，很多新学习的数学概念都是以原有的数学概念为基础的，并且原有的数学概念会嵌入到新的数学概念中，最终达到高中数学概念的统一性。
1.2高中数学概念学习的重要性
新课程标准强调，在数学学习过程中，学生要熟练掌握数学概念，对数学的基本思想与核心概念有充分地了解，将其融入到数学学习中，从而加深学生对数学知识理解的深度。学生想要学好数学知识，首先要掌握数学概念，这是学习数学基础知识的首要环节。学生数学素养不同主要因为学生对数学概念的理解和应用存在着差异性，而学好数学概念有利于提升学生的数学素养，加深?W生对知识的理解，从而提高高中数学教学质量。
2.高中数学概念的具体教学方法
2.1借助多媒体吸引学生学习，帮助学生理解本质属性
教师在展开数学概念教学时可以适当地借助多媒体设备，因为高中数学概念的抽象性更强。仅通过教师文字讲解不能起到良好的效果，学生依旧很难理解数学相关概念。因此，教师要适当地采用多媒体，利用图片的直观性进行概念讲解，让学生掌握数学概念。如：在讲解抛物线这些知识，教师可以采用多媒体播放篮球、羽毛球以及抛物的运动轨迹给学生看，让学生对抛物线有个更深层次的理解，从而掌握抛物线的概念。
同时，在进行数学概念教学时，教师要让学生明确本质属性，使学生掌握概念的实质意义。如，在学习“函数”概念时，教师可以利用学生先前学过的映射知识点基础上去学习新知识。学生对定义域、值域以及对应的图像与发展进行明确，这些都属于概念的本质属性，函数也存在相同的属性。学生学习数学都要以数学概念为基础，如：对实数集进行判断时，y=，实际上x=0时没有确定的y值对应，这和映射概念中的x可以去任意值不相符，因此，该函数表达式不属于实数范围内，通过这样的方式能有效地掌握数学概念本质属性。帮助学生更好地掌握数学概念。
2.2引导学生认清数学概念中的逻辑关系
在数学教学过程中，教师进行数学概念讲解主要通过知识间的联系性帮助学生理解知识。数学概念不仅有具体的联系，其内部还存在着逻辑关系，所以，教师在讲解数学概念时要善于掌握数学知识间的内在联系，遵循由易到难的讲课顺序，如果，教师一开始就讲解较难的数学概念，学生理解起来会比较困难，会打击学生学习的积极性。因此，教师在讲解数学概念时，要抓住数学概念的内在联系性，由易到难讲解。如：在讲解“等比数列”知识点时，等比数列与等差数列存在着联系，教师可以先复习等差数列，然后引入等比数列概念教学。通过两者之间的比较与联系，加深学生对两个概念的印象。
2.3使学生能够准确地理解数学概念的内涵
教师在讲解“奇函数”时，首先，教师可以向学生提供奇函数概念的定义，如果对于函数定义域中的任何一个，都有相对应的值，那么，这样的函数就叫奇函数。然后让学生具体领会数学概念的内涵。在教学实践中，教师要对定义进行分解讲解，当函数的定义域中任意取出一个数值，使得等式成立，就能判断该函数关于原点对称。奇函数的定义域关于原点对称。所以，确定一个函数是否为奇函数，首先要确定的是函数的定义域是否与原点对称。如果函数不关于原点对称，该函数就一定不属于奇函数，就不用再对等式是否成立进行验证了。
概念是最基本的思维形式，数学中的命题，都是由概念构成的；数学中的推理和证明，又是由命题构成的。因此，数学概念的教学，是整个数学教学的一个重要环节；正确地理解数学概念，是掌握数学知识的前提。
对于高一的学生来讲，初学高中函数时，初中的概念还比较牢固.并且学生在初中接触的都是一次函数、两次函数、反比例函数等对应关系用函数解析式来表示的函数，所以把“对应法则” 等同于函数解析式就一点也不奇怪了。
高中的函数定义明确了联系两个变量的是“对应法则”，提到对应法则往往用函数“解析式”表示，并且提到 “当函数的变量之间的对应关系不适合或难以用解析式刻画时，图或表是有效的表示函数的方法”也就是说，对应法则不仅仅是函数解析式。但并没对“对应法则”进行进一步解读，更没有提到两个函数解析式的形式不同但对应法则相同的例子，所以学生对”对应法则”的理解比较初中提升有限。
在这个问题中，用来表示对应法则的解析式仅仅是形式不同而已，它们都把相同的自变量x对应到相同的函数值y，所以它们都是相同的一种对应法则.也就是说一个对应法则可以有不同的解析式表示形式，比如函数 也和上面的函数是同一函数.但如果把定义域稍作改变，均改为上面的两个函数就不是同一个函数了，对于来讲，它所对应的y不同.这说明这两个解析式代表的对应法则是否相同还与函数的定义域与有关。
总之，如果两个函数定义域相同，相同x的值对应的y相同，我们就认为这两个函数的对应法则相同（即使函数解析式形式不同），这两个函数就是同一个函数。
高中阶段给学生讲清楚“对应法则”与“函数解析式”的联系与区别，无疑会加深高中学生对函数概念中函数概念的本质理解.
其实不仅很多中学生把“对应法则”与“函数解析式”混为一谈，有些数学系毕业的大学生对这两个概念也是模糊的，我们曾用这个问题问过某重点师范大学刚刚毕业的硕士生，她的回答竟然也是“不是同一个函数”，甚至有些教学多年的教师对这个问题的认识也是错误的.实际上，“对应法则”与“函数解析式”没有搞清楚，对函数概念的理解就是不完整的，在后面函数的学习过程中也会引发出问题。
教学中需要通过练习巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，通过从具体到抽象的过程，使学生深入理解函数的实质，避免概念教学的抽象与枯燥，完成函数概念的内化。这方面可以借鉴国外的做法：英国教材由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图像，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。还可以利用其它手段加强对函数理解，比如德国初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。
实际上教材有这么一句话“变量之间的对应关系常常可以用解析式来表示” 也就是说对应关系并不等同于解析式，那么两者的关系到底如何呢？如果学生认真研读教材，并且有质疑精神是一定会发现问题的。但遗憾的是，笔者教书十几年来，从来没有学生在这个地方产生疑问，这真的值得我们教师好好反思：我们的学生是否习惯了被动的接受，我们是否应该重视培养他们学会质疑，学会提问？
当然，数学教学离不开解题，在教学过程中引导学生正确灵活地运用数学概念解题，是培养学生解题技能的一个有效途径，如通过基本概念的正用、反用、变用等，培养学生计算、变形等基本技能。因此，教师应该多给学生提供练习的机会，提高学生灵活应用概念的能力。概念的教学在整个数学教学中是重点，也是难点，因此必须重视基本概念的教学。结合教学中的一些实践，讲究教学方法，帮助学生理解概念的本质，弄清概念之间的区别与联系，把它们真正弄懂、记住并会使用，从而提高学生运用所学知识灵活解决问题的能力。
关键词： 新课标 高中数学概念课 有效教学
数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的真实反映。数学概念的教学既是数学教学的关键环节，又是数学学习的核心所在。因此概念教学在数学课堂教学中起到举足轻重的作用。那么如何进行有效的数学概念教学呢？下面我就结合自己的教学实践谈谈看法。
一、数学概念的合理引入
概念的引入是进行概念教学的第一步，这一步走得如何，对学生学好概念至关重要。
1.从数学本身发展需要引入概念。
从数学内在需要引入概念是引入数学概念的常用方法之一，这样的例子随处可见。例如，整个数学体系的建立过程就体现了这一点：在小学里学习的“数”的基础上，为解决“数”的减法中出现的问题，必须引入负数概念。随着学习的深入，单纯的有理数已不能满足需要，必须引入无理数。在实数范围内，方程x■+1=0显然没有解，为了使它有解，就引入了新数i，它满足i■=-1，并且和实数一样可以按照四则运算法则进行计算，于是引入了复数的概念。
2.用具体实例、实物或模型进行介绍。
学生形成数学概念的首要条件是获得十分丰富且合乎实际的感性材料。教师在进行概念教学时，应密切联系概念的现实原型，使学生在观察有关实物的同时，获得对于所研究对象的感性认识。在此基础上逐步上升至理性认识，进而提出概念的定义，建立新的概念。例如，在引入“函数”概念时，可以设计以下问题：（1）炮弹发射时，炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间（单位：s）变化的规律h=130t-5t■；（2）温州某一天的气温随时间的变化规律；（3）1990-2008年梧田镇居民生活水平的变化规律。这样有利于学生更好地理解概念，调动学生学习的积极性和主动性。
3.用类比方法引入概念。
当面对一个概念时，如果学生没有直接相关的知识，就可以通过类比的方法把不直接相关的知识经验运用到当前的问题中，因此类比是引入新概念的一种重要方法。例如，立体几何问题往往有赖于平面几何的类比，空间向量往往有赖于平面向量的类比。通过类比教学和训练，学生对概念的认识能够升华。
二、数学概念的建立和形成
数学概念是多结构、多层次的。理解和掌握数学概念，应遵循由具体到抽象，由低级到高级，由简单到复杂的认知规律。因此，一个数学概念的建立和形成，应该通过学生的亲身体验、主动构建，通过分析、比较、归纳等方式，揭示出概念的本质属性，形成完整的概念链，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，逐渐形成数学思想。可以从以下几方面给予指导。
1.分析构成概念的基本要素。
数学概念的定义是用精练的数学语言概括表达出来的，在教学中，抽象概括出概念后，还要注意分析概念的定义，帮助学生认识概念的含义。如为了使学生能更好地掌握函数概念，我们必须揭示其本质特征，进行逐层剖析。对定义的内涵要阐明三点：①x、y的对应变化关系。例如在“函数的表示方法”一节例4的教学中，教师要讲明并强调每位学生的“成绩”与“测试时间”之间形成函数关系，使学生明白并非所有的函数都有解析式，由此加深学生对函数的“对应法则”的认识。②实质：每一个值，对应唯一的y值，可列举函数讲解：y=2x，y=x■，y=2都是函数，但x、y的对应关系不同，分别是一对一、二对一、多对一，从而加深对函数本质的认识。再通过图像显示，使学生明白，并非随便一个图形都是函数的图像，从而掌握函数图像的特征。③定义域，值域，对应法则构成函数的三素，缺一不可，但要特别强调定义域的重要性。由于学生学习解析式较早，比较熟悉，他们往往因只关注解析式，忽略定义域而造成错误。为此可让学生比较函数y=2x，y=2x（x>0），y=2x（x∈N）的不同并分别求值域，然后结合图像分析得出：三者大相径庭。强调解析式相同但定义域不同的函数绝不是相同的函数。再结合分段函数和有实际意义的函数，引起学生对实际问题的关注和思考。
2.抓住要点，促进概念的深化。
揭示概念的内涵不仅由概念的定义完成，还常常由定义所推出的一些定理、公式得到进一步揭示。如三角函数定义教学中，同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数值的符号规律、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质都是由定义推导出来的，可使学生清楚地看到概念是学习其他知识的依据，反过来又会使三角函数定义的内涵得到深刻揭示，加深对概念的理解，增强运用概念进行推理判断的思维能力。教学中应有意识地启发学生提高认识，引导学生从概念出发，逐步深入展开对它所反映的数学模式作深入探究，以求更深刻地认识客观规律。
三、数学概念的巩固与运用
数学概念的深刻理解并牢固掌握，是为了能够灵活、正确地运用它，同时，在运用过程中，又能更进一步地深化对数学概念的本质的理解。为此，在教学中应采用多种形式，引导学生在运算、推理、证明及解决问题的过程中运用数学概念。
1.通过开放性问题与变式，深入理解数学概念。
数学概念形成之后，通过开放性问题，引导学生从不同角度理解概念。这将影响学生对数学概念的巩固及解题能力的形成。如在“等比数列”中设置问题：
例：已知{a■}是等比数列且公比为q，请你构造出新的等比数列，并指出它们的公比。
变式：已知{a■}，{b■}是项数相同的等比数列，公比分别为p，q，请你构造出新的等比数列，并指出它们的公比。
通过讨论与辨析，学生对等比数列的概念有了更深入的理解与认识。
2.通过解决实际问题，深入理解数学概念的本质。
很多数学概念都有其实际背景，它的产生必然离不开现实世界，离不开生活实际，反过来，在概念形成后，学会在实际问题中运用所学概念，这也是深入理解概念本质的有效途径。如学习“等比数列”概念之后，可解决实际问题：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？利用统计中的“方差”概念，通过对几组数据的分析，判断某事件（如射击、成绩、机器性能等）的稳定性等，通过解决这些实际问题，能够提高学生运用概念的灵活性，对概念的本质有更深入的理解。
总之，在概念教学中，要根据课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材。优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与过程中产生内心的体验和创造。
参考文献：
[1]邱僖.关于概念课教学的研究[J].中学数学，2009.9.
[2]曹时武.数学概念课的教学模式探讨[J].中学数学，2010.12.
关键词：函数对应关系；概念；偏差；理解
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）10-105-02
我国数学教学历来重视基础的学习，函数对应关系作为中学最重要也最复杂的概念之一，是教学过程中学生们经常出现表述模糊或理解偏差的难点之一，为何学生们对这个概念的理解经常出现失误，是数学教学中我们需要反思的重要课题，也是教学中需要予以积极引导和解决的难点。下面我们结合高中数学教学中学生对函数对应关系理解偏差出现的原因和解决对策加以分析探究。
一、 高一学生函数对应关系理解偏差的原因
函数对应关系定义：函数的核心是对应关系.在函数符号y＝f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径。高一学生函数概念的理解水平低，出现偏差的情况比比皆是，这主要与三个原因有关。
1、学习态度
学生高一学习函数对应关系是在高一上学期开始，此时学生们正结束初中生活，心态极度放松，中学学习过的一次、二次和反比例函数知识已然变淡，在高一开始学习时多数不会做过多详细的复习，对于突然间开始学习函数对应关系的学生而言在认识上有一定阻碍与排斥。
2、函数概念的抽象性
函数概念本身的复杂性和发展性，作为高中数学中的一个重要知识点，函数对应关系形式丰富多彩，形成函数关系的两个集合元素可以是任意的，对于学生而言，深入理解难度较大，学生不易从多样的表征形式中抽象出函数共同的本质的对应关系，无法排除非本质因素的干扰去正确识别表征类型[1]。从初中简单的x变量与y变量的对应关系到高中变量与集合的对应关系，函数概念变得更加复杂多元化，使得学生头脑中存在着多种函数表象，无法抽象统一，造成理解混乱。
3、初中函数概念的负迁移
函数对应关系本身概念抽象且内涵丰富，学生在初接触时如果未及时理清其内涵与外延之间关系，得出简明扼要的理解，就会为之后概念的深入理解和再现埋下隐患，但是如果过度解读概念，也会使得学生觉得难度加大，不知所云。
二、高一学生函数对应关系理解偏差的类型及解决对策
对于学生在函数对应关系理解偏差这个问题，要从多个方面入手，解决问题，注重教学观念的更新与方法的进步，从表征形式的识别和转换角度引导学生区分本质和非本质因素，从而让学生掌握函数对应关系的本质，结合自身理解与认识扭转偏差。具体到教学中，可以从余下方面做出改变：
1、早期注重概念的渗透
早期要注重函数概念的渗透。高一函数教学中，学生受中学函数思想影响，在初期学习时并未意识到函数的对应关系，只是根据头脑中熟悉的几种函数模型来识别函数，或是认为函数是含有字母的等式、变量的关系式，从而出现认知偏差。基于此，要注重引导学生理解和认识函数对应关系思想，正确与初中所学知识相区分，了解到量与量之间的依存性，在通过数的概念的发展，让学生明确几何的概念、思想和意义，并批核坐标与数轴等教学，逐步渗透并确立对应关系的思想，在此铺垫基础上，学生日后在接触概念时才可能尽少的出现偏差。对于刚升上高一的学生，学习函数时必须对一次、二次和反比例函数的解析式和图像及图像上变量的关系做详细复习，以便让抽象的函数概念可以以具体的函数为依托，遵循从特殊到一般的认知规律，根据学生认知特点，完成难易过渡，防止偏差与混淆。
2、中期着眼于微观
学生在初步学习后，对函数对应关系已有所认识，但是只局限于了解函数表对应关系，不了解函数对应的内涵，认知上较为宽泛，不细致、不深入，是一种全局式的泛泛了解。对于高一新生而言，初中函数的学习着眼于全局，重点考察宏观数量之间的彼此依存关系，关注总体发展趋势，高中函数则着眼于微观，关注静态发展，尤其是两个数集之间对应关系的描述，这种宏观与微观上的差异也是造成学生落差过大，学习与理解难度增大的原因之一，需要在教学中引导学生逐步认识。比如在讲述集合时，让学生夯实基础，借助veen图和圆与圆加箭头的树图让学生反复理解A、B两个集合关系，及其和初中所学x、y两变量的关系，让学生形象理解集合的对应。对y=f（x）中的对应法则“f”的理解可进行以下形象的比喻：“（ ）”就像一个加工厂，“x”就像进入了加工厂的原材料，则“f”就是加工程序。只有满足了规格即定义域的产品才能进入工厂，而进入到工厂的原材料即x就必须按照加工程序f进行加工。如函数 中，只要是非负数就按照加程序“开平方根”进行加工，故有 ， 。
3、后期注重知识建构
当学生对函数对应关系的认识已经逐步深入之后，在整体把握上多数会出现偏差，虽然可以理解“单值对应”关系，但在对变化了的、不熟悉的函数表征形式则常常难以区分自变量和函数值。因此，教学中要注重学生对函数概念的掌握过程的体验，及时修正错误概念。通过揭示学生知识发生、发展的过程帮助其加强理解，构筑起完整的知识框架，从实际问题引入，完成知识建构。对于教学中发现的学生认识错误，及时予以指导和纠正，鼓励学生明晰正确概念与错误概念之间的差异，从而针对性的加以修正[2]。教师要简明扼要的将函数概念的实质、灵魂抽取出来，将之变成学生口头能说、脑子易记、今后能够慢慢理解的东西，比如可以将函数的概念简述为――任意、唯一四字，以此为主干，让学生自己不断充实丰满。或者将函数对应关系分为清晰的层次加以描述，比如任取的一个x必对应唯一的y，即一对一，如y=x；任取的y不一定对应唯一的x，即一对多，如y=x2；任意一个x不可对应多个y，即不可一对多，如y2=x不是函数。这种层次描述可以帮助学生更好的理解和记忆，纠正偏差。
函数对应关系认知偏差作为高中数学教学中的一个典型问题，造成学生认知偏差的原因有多种，只有在深入认识分析这些原因的基础上通过针对性对策予以解决，才能够真正解决学生学习中的这个大难点，更好的完成数学知识的学习。
参考文献：
【关键词】概念教学；存在问题；概念形成；内化概念
概念是数学思维的基本形式，但由于概念本身比较抽象，它蕴含在各类的数学知识中，不能像计算或推理那样直接呈现，导致不少教师在概念教学出现了一些误区。数学教师如何紧扣概念属性，激活概念教学，从而真正将概念内化到学生的知识结构中？
一、目前高中数学概念教学中存在的问题分析
概念是组成数学的基石，虽然不少数学教师也认为概念在数学中的重要地位，但由于概念本身比较抽象，不像计算过程或推理过程能够左右学生的思维，于是，概念教学经常被教师所忽视，成为边缘化的内容。主要表现如下：
1.忽视概念产生的过程。概念既然作为数学的组成，就存在于数学知识中。如空间几何体就要让学生体会一些相关的空间图形的概念；函数就要学习函数的相关概念，这些概念的理解对学生掌握好相关的知识有着重要作用，它所起到的是知识储备的作用。然而，不少数学教师在教学概念时，并没有用系统的方法去渗透，而只是简单地分析。如在学习函数概念时，有些老师认为学生在初中已学过函数，就没有必要对高中函数进行新的学习。其实，初中函数和高中函数所研究的内容不一样，教师必须用发展的观点去和学生研究函数概念，从而让学生知道知识的来龙去脉。
2.忽视概念之间的联系。在学习概念时，表面上每个概念之间以独立的形式总结出来的，但如果深入去研究数学知识之间的联系，概念其实是相关联的，它的界定同以前学过的概念有着联系。但不少数学老师在教学概念时，用孤立的方法呈现概念。如集合，蕴含于集合知识关系里的概念比较多，每个概念看似独立，而实则联系得很深，有些教师在教学时，只是简单地将各个集合概念如并集、交集等说透彻，但却没有将他们之间所存在的关系探究清楚，导致学生在学习集合的基本运算时出现思维相对模糊的状态。其实，如果集合概念的学习能同学生的知识结构联系起来，学生对集合的基本运算就能有比较清晰的思路。
二、紧扣概念本质，联系实际，体验数学概念的形成过程
数学之所以有许多概念是同数学知识本身特点有着很大关系，纵观数学概念，每个概念的产生都是源自一定背景，而教师在讲解概念时，如果只是简单地将概念的定义抛给学生，让学生死记硬背，那学生对概念的理解就只是停留在肤浅的记忆阶段，而思维的发展则需要结合向纵度和深度拓展才能实现。
如人教版必修一《函数的概念》，本课直接出示了概念两字，是高中必修教材中为数不多的直接出现概念字眼的。函数是高中数学重要的内容，它是描述客观世界变化规律的重要数学模型，高中阶段不仅把数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想，可以说，高中函数是链接高等数学的重要基础。学生在初中阶段已学过函数，但高中函数所描述变量之间的依赖关系更为复杂，同时要求学生用集合与对应的语言来刻画函数，最终理解对应关系在刻画函数概念中的作用。教师如何引领函数概念？为了让学生有个铺垫，我先和学生一起复习了初中所学的函数概念，并强调函数的模型化思想，然后引入生活例子：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题等能反应函数概念的数学例子，从而让学生体会到函数在生活的运用，当学生对函数有了一定理解之后，函数概念里的自变量、定义域、函数值、值域等相关的概念的理解，我就结合集合和对应的知识，并同生活情景联系起来，使学生对函数概念有一个感知的理解过程，进而再上升到理性认识。
三、运用数学概念，构建数学模型，在解决问题中内化概念
由于概念蕴含在学生的数学知识结构中，并不是以某个填空题或问答题形式出现，而是蕴含在学生的理解某个知识点或解题过程中的数学模型。因此，当学生形成某个数学概念后，教师如何让学生的概念内化到知识体系中，从而让概念的内涵和外延在学生的脑中生根发芽，进而帮助学生利用概念解决问题？
如人教版必修三《算法初步》，算法是数学及其应用的重要组成，是计算科学的重要基础，在高中安排算法学习的目的在于利用已用的数学知识分析问题和解决问题，优化解题方法，完善数学思想。算法的概念是什么？其实，教材上并没有给出算法一个精确化的概念定义，而是将它描述为：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤。但学生通过学习了解到算法所蕴含的概念含义之后，学生的知识结构里如何内化算法概念？其实，如果教师自己理解算法的概念，就知道了只有将将算法融入到各种问题的解决中，学生基于算法的数学思想才能形成，进而理解概念在解决问题中的重要作用。如喝一杯茶所需要的算法步骤，这是生活中的常识问题，学生可能呈现的算法是将步骤展示出来，然后计算时间，找到最优化的策略，但是，如果高中生还是以这样的思维去解决问题，那么，算法概停留在初步的阶段，教师要结合高中生的知识水平，引入统筹方法，通过数学计算策略将这类算法上升到科学总结层面，这样才能不断丰富学生的算法概念结构。
总之，概念是数学思维的基本形式，教师要意识到概念对培养高中生的数学思维，构建数学模型有着举足轻重的作用。要让高中生真正掌握概念的属性，需要教师全面把握概念属性，挖掘教材中蕴含的概念，有效抓住概念同生活实际的联系、同解决问题的联系，从而真正将概念内化到学生的知识结构中，促进学生数学思维能力的发展。
【参考文献】
[1]田曼曼.高中数学概念及其教学模式研究[D].河南大学.2012年
【关键词】函数概念；函数定义；定义域；值域；对应法则
在中学数学中函数概念是整个数学的一个核心概念，学习函数对于学生的思维能力的发展具有重要意义，而中学生对于函数概念的理解和学习却感到非常困难。本文作者是一位高三学生，笔者根据函数概念的发展历史和自身理解来学习近代函数概念的三要素：定义域、值域和对应法则，并以近年来高考函数例题进行解答。
一、函数概念历史进程
从17世纪至20世纪上叶，函数概念经历了漫长的演进过程，在此过程中笔者对诸多数学家们给出的各种定义进行简述和总结。在函授概念传统定义中数学家提出最多的是变量对应角度的定义，代表人物德国数学家狄利克雷（L. Dirichlet， 1805―1859）；除了变量对应角度的定义还有集合对应关系的定义，代表人物法国数学家坦纳里（J. Tannery， 1848―1910））；映射的定义，代表人物德国数学家戴德金（R. Dedekind， 1831―1916）；解析式的定义，代表人物瑞士数学家约翰・伯努利（John Bernoulli， 1667―1748）；运算的定义，代表人物17世纪苏格兰数学家格雷戈里（J. Gregory， 1638―1675）；变量的依赖关系的定义，代表人物法国数学家柯西（A. Cauchy， 1789―1857）；最后是曲线或图象定义，代表人物数学家欧拉、拉克洛瓦（S.F. Lacroix， 1765―1843）。从上述定义的代表数学家，笔者认为17世纪后函授概念的演进过程是运算―解析式―变量的依赖关系或对应关系―集合的对应关系或映射。
二、近代函数定义
传统函数定义是设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，与y值对应的值叫函数值。
例题一：正比例函数y=4x；解析：对于x的每一个实数y，都有唯一的实数与它对应y，x是的4倍；非空数集A、B是实数集R，对应关系f是乘4。
近代函数定义是设A，B，是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）。其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。
例题二：反比例函数y=；解析：对于不等于0的每个实数，都有与其对应惟一的实数，y是x的倒数；非空集合A是不等于0的全体实数组成的集合{x∈R|x≠0}，非空集合B可以是实数集R（只要包含集合{y|y≠0}即可），对应关系f是求倒数。
由以上两例题笔者认为初等函数定义与近代函数定义其本质上是相同的，只叙述上的出发点是不相同的，传统函数定义是从运动变化的观点出发，而近代函数定义是从集合的观点出发。函数的实质都是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的对应。
三、近代函数定义的三个要素
笔者在初中的时候主要学习了函数的初等定义、一次函数、二次函数、反比例函数；到了高中还要学习函数的近代定义以及对数函数、指数函数等更多函数。因为不管是初中的一次函数还是高中的对数函数都是属于函数，并且具备共同特征，所以笔者认为函数概念的学习非常重要。
1.近代函数定义三要素的概念。学习近代函数定义主要掌握近代函数的三个要素：定义域（A）、值域（C）和对应法则（f）。定义域是自变量x的取值范围，是构成函数主要的组成部分。值域C是集合B的子集；集合B中包含了与任意x相对应的y值，还会包含其它数值，所以集合B包含集合C。函数的定义域A和对应法则f来确定函数的值域。
例题三：对应法则f就是集合A到集合B的函数吗？
解：不是，集合A、B以及对应法则f一起称为集合A到集合B的函数
2.近代函数定义三要素的三点说明：第一定义域不同，两个函数不同；如第二对应法则不同，两个函数不同；第三定义域、值域分别相同的函数，也不一定是同一个函数，还要看对应法则。
例题四：f（x）=4x+2与g（t）=4t+2是同一函数吗？
解：是的，f（x）=4x+2与g（t）=4t+2定义域都是是4，值域和对应法则都是相同的，所以是同一函数。
注意：函数是两个数集之间的对应关系，任何字母来表示自变量、因变量以及对应关系都不影响两个函数是同一函数。
四、结论
对于所有学生来说理解和学习函数概念是中学数学的学习重点，同时也是学习难点。在初中学习函数概念一般采用“变量说”，而在高中学习函数概念一般采用“对应说”，笔者人物它的学习不仅是要掌握和理解函数概念的初等定义和近代定义，还要将实际生活与数学知识有机的结合起来，才能为今后打下良好的学习基础；才能灵活地解决其函数知识的多变问题，才能提高自身的数学素养和应用数学的能力。
【参考文献】
[1]任明俊，汪晓勤.中学生对函数概念的理解.历史相似性研究[J].数学教育学报，2007（11）
[2]谈雅琴.中学生对函数概念的理解[D].华东师范大学，2006
【关键词】高中数学 概念教学 教学有效性
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）05B-0132-02
在高中数学的教学实际中，受考试压力等因素的影响，部分教师认为，数学概念在考试中考得不多，没有必要花太多的时间进行教学。因此对于概念的教学模式是：教师把概念直接给出，并对概念的结论做简单解析，反复强调概念关键词，然后让学生通过大量的强化练习来记住结论。在这个过程中，教师的教学重点是讲解例题。如此模式造成的后果是学生对概念的认识模糊不清，缺乏对概念的内涵、外延等数学本质的透彻理解。学生对概念记忆不牢，就不会运用概念解决数学问题，也不利于后续的知识学习。不少学生对概念学习的体验是消极的：数学概念枯燥、抽象难懂。这种模式下的概念教学弊端日益明显，必须引起一线数学教师的关注与思考。
怎样优化数学概念教学才能使学生对概念的数学本质有全面透彻的理解，并能熟练运用概念解决数学问题呢？笔者经过几年的探索，认为采用体验式教学能够使数学概念教学更优化。
一、创设生活情境，设计有针对性的问题
数学来源于生活。在概念教学中，笔者所创设的情境都是学生所熟知的生活情境，学生在熟知的生活情境中，更容易感知概念产生的原型、概念来源的背景，也更有利于学生从这些原型中抽象出准确的概念数学描述。
例如在教学高中数学必修 1“函数的概念”时，教材选取了三个实例作为概念引入，而笔者在创设情境时，遵循了教材的编写意图，保留了前两个引例，第三个引例则用学生熟悉的例子代替。
例 1.一枚炮发射后，炮弹距地面的高度 h 与飞行时间 t的变化规律 h=130t-5t2，0≤h≤845。这个例子笔者采用多媒体展示：炮弹飞行的抛物线动画，这激发了学生的兴趣，而且学生在初中阶段学过了二次函数的内容，对这个内容比较熟悉。
例 2.教材所里的配图用曲线显示南极上空臭氧层的空洞面积从 1979―2001 年的变化情况。
在引入函数的概念的教学中，以上这两个例子所创设的情境为学生所熟知，因此笔者保留了这两个引例。但是教材中的例 3 却是用一个表格表示“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数的变化情况。学生对这个例子所提到的“居民恩格尔系数”相对陌生，若用这个例子引入概念，学生会感到概念之中又有概念，增加了理解“函数”这一核心概念的理解难度，因此笔者采用另外一个学生较为熟悉的例子代替例 3：近年来我校每年获得贫困生资助的人数与时间（年）的关系：
时间（年） 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
资助人数 356 402 438 456 502 533 586
这个实例与学生实际生活息息相关，学生觉得熟悉，不会产生畏难情绪。
由于学生在初中已经学过函数概念，但是初中的函数概念是“变量说”，而高中数学的函数概念是“对应说”，而且高中所学的函数概念的描述是用学生不易理解的抽象符号、集合语言，学生难以理解。笔者突破这个教学难点的做法是：在学生已有的函数概念认知基础上，创设以上三个不同形式的生活情境，再设计五个问题，让学生在问题的引导下，从具体的例子中概括、讨论，从而得出函数的概念。
问题 1：这三个例子中自变量分别是什么？哪个量跟着自变量发生变化？
问题 2：例 2、例 3 能不能用解析式表示？它们是函数吗？为什么？
针对问题 2，学生有不同意见：有的认为是，有的认为不是，这个问题引发了学生的认知冲突。这时笔者提出：“要判断它是不是函数，需要具备哪几个要素？”学生七嘴八舌，有的学生终于点到点子上：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。看到学生对函数的概念有了初步的认识，笔者马上指出判断一个解析式是不是函数的要素是“x 的任意性”“y 的唯一性”“对应性”。
问题 3：两个变量的对应关系一定要用函数解析式表示吗？
学生讨论后的答案是不一定，对每一个自变量，有唯一的数与它对应就可以了。学生经讨论思考后，能往函数的本质特征去思考判断，逐步认识概念的本质内涵。
问题 4：这三个例子所描述的数量对应关系有什么共同的特征？我们能不能用集合的语言及对应的语言来描述？怎样描述？
问题 5：如何用集合语言、从对应的角度给函数下准确的数学定义？
通过创设生活情境，设计有针对性的问题，让学生从熟悉的例子中观察、思考、比较，逐步总结出函数的概念，实现了从具体到抽象的过程体验，尤其当函数以图象和表格的形式出现时，强化了“单值对应”的认识。而图象和表格又是帮助理解函数概念的重要载体，它能使学生直观地感知函数的定义域、值域、单调性等性质。学生透过图象和表格，能多角度深刻领悟体验“对应关系”的本质内涵。同时，通过问题情境的创设，引发学生对函数概念理解的认知冲突，让学生提出质疑，进而引发激烈的讨论，学生在辩驳中深化了函数概念的认识。
二、让学生亲身参与概念的探索与思考
在概念教学中，笔者并不会直接给出概念，让学生被动接受，而是让学生亲自参与概念的推导演变过程。学生因为经历了概念形成的逻辑思维过程，印象深刻，记忆牢固，理解透彻，为后续学习与概念有关的性质及应用打下良好基础。
例如在教学高中数学必修 4“平面向量共线的坐标表示”内容时，备课组有些教师认为，这个知识不必让学生去推导，直接要求学生记住结论即可。按照这种教学模式教学，等到学完“两个向量垂直的坐标表示”后，很多学生对公式的坐标表示出现了混乱：有的把向量共线的坐标表示 x1y2-x2y1=0，写成了向量垂直的坐标表示 x1x2+y1y2=0，或把两个公式坐标彼此张冠李戴。产生以上错误的根源是教师没有让学生参与公式的推导，造成了学生对公式印象模糊，由于学生只是对公式进行机械式记忆，因此容易遗忘、混淆公式。
笔者用所教的同一水平的两个班做了对比实验：13 班的教学方式是直接给学生向量平行、垂直的坐标公式，要求他们机械记忆。14 班的教学方式则是让学生和教师一起推导出向量平行、垂直这两个公式，如向量共线，有 ，容易得出 ，消去后，变成了，学生再把它变成等积式时，x1 是与 y2 相乘，而不会与 x2 相乘的，学生就不会出现“向量共线时 x1x2+y1y2=0”这样的错误。13 班和 14 班两个班的教学效果对比在钦州市 2016 年秋季学期教学质量监测高一数学（A卷）18 题（2）的正确率中已见分晓。这道题是这样的：已知向量，若与 共线，求 k 的值。这是一道已知向量共线求参数 k 的题目，难度较小，关键是记住公式。从考试结果看，这道题13 班得分率为 52%，14 班得分率为 78%，可见 14 班对公式的记忆与运用都优于 13 班。
由此可见，让学生自己参与到概念、公式的推导演变过程，不用刻意去记忆，学生自然而然就能记住公式，并正确运用公式。学生由此获得了逻辑思维过程的体验，记忆更牢、更准，理解更透彻，教学效果更显著。
三、在合作中体验数学概念的形成
合作学习是新课程改革所倡导的一种学习方式，学生的合作交流意R可以在合作学习中得到培养。在数学教学中，有些数学概念的形成过程必须要学生共同合作才能完成。
例如笔者在教学高中数学选修 1“椭圆及标准方程”这一内容时，组织学生合作体验椭圆的形成过程：学生两人为一组，台上固定 2 个钉子，取一条大于钉子间距的绳子，绳子两端分别固定在钉子上，中间套上铅笔，一人固定绳子，一人拉紧中间套紧绳子的铅笔，在台面的白纸移动，同时引导学生观察和思考：
1.画出的图形轨迹像什么？
2.怎样用自己的语言描述动点满足的条件？
学生动手实践后共同归纳：平面内到两定点 F1，F2（两钉子）的距离之和始终等于常数 2a（绳子）的点的轨迹叫椭圆。学生通过亲身参与合作体验椭圆的形成过程，就很容易理解椭圆概念的核心实质为；并且，由绳子的长大于两钉子的距离，学生也较易体验到 2a>2c，明白了椭圆中为什么 a>c。
紧接着，笔者指导学生经过 4 个步骤得出椭圆的标准方程：1 建系，设动点 M（x，y），定点 F1（c1，0），F2（c2，0），2 列式，3 代入转化代数式，4 化简。
这样，椭圆的概念和方程成为一个有机的整体，概念不再是抽象、难懂的，而是具体可看、可摸、可操作、可体验的。学生在合作的过程中体验了椭圆这一概念的形成过程，顺理成章也理解了与椭圆有关的其他一系列概念：焦点、焦距、长轴、短轴。圆锥曲线的双曲线也可以用类似的合作体验方法进行教学，从而优化了圆锥曲线这一板块的教学。
四、从不同角度辨析概念
学生对概念的认识是一个循序渐进的过程，不仅要从正面去体验概念的本质内涵，还要从反面等角度去认识概念。通过正反不同的角度对概念进行辨析，可以让学生对概念的认识由模糊变得清晰，由片面认识变成全面认识，让概念变得更立体。
例如笔者在教学高中数学必修 4“正弦、余弦函数的周期性”这一概念时，教材中周期函数的概念是这样的：对于函数 f（x），如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f（x+T）=f（x），那么函数 f（x）就叫周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。笔者在学生学完正弦、余弦函数的周期性这一概念以后，立刻让学生进行了概念的辨析。于是设计了下面这些题目――
判断下面的命题是否正确：
（1）因为 f（x+0）=f（x），所以 f（x）为周期函数。
（2）因为 f（x+3x）=f（x），所以 f（x）为周期函数，周期为 3x。
（3）因为成立，则函数 f（x）=sinx 的周期是。
（4）已知函数 f（x）的周期为 1.5，且 f（1）=20，则 f（10）的值是 20。
如果学生对函数的周期性概念的认识是模糊的，上面的几道题好像都符合函数的概念，这几道题好像都对，但是通过让学生对这几道题进行辨析，教师讲解其中的区别后，学生能够很快解出正确答案：只有第（4）题是正确的。同时笔者还让学生指出（1）（2）（3）这三道题错误的原因：（1）周期不能为 0，（2）周期必须是常数，（3）只对 成立而已，换成其他的值就不成立了。通过对概念展开辨析，学生获得了周期函数函数的全面、清晰、立体的概念体验。
数学概念具有抽象性和具体性的双重特征.从本质上看数学概念具有复杂性.明确概念的内涵、外延、基本结构；重视概念的形成、发展、深华的过程和基本逻辑关系；重视概念之间的内在联系和整体把握；重视概念的层次性和其中的关键词理解，这些都是正确思维的必要条件.思维诸要素的合理使用，往往都离不开基本的数学概念.故此，形象地称“概念是思维的细胞”.思维，无论是形象思维还是逻辑思维，都是认知的一种深化，思维处在智力和能力的核心地位.概念是思维的细胞，概念与概念形成判断，判断与判断形成推理，推理与推理形成逻辑，概念、判断、推理组成思维的三大要素.学数学只有概念明确了，才能正确地进行思维运动和判断推理.苦于没有解题思路的学生，要善于从数学概念中寻找答案.所谓“概念是入门的先导，理论是数学的精华”，这两句名言是学好数学的法宝。
那么究竟怎样才能学好数学概念呢?下面，我不揣浅陋，浅谈十个要点：
1.复杂概念要突出“关键词语”.如“映射”这个重要概念要抓住方向性：“从集合A到集合B”，同时还要抓住“任一”对应“唯一”。
2.相关概念容易混淆，要注意类比.如排列与组合的差异是“序”；“截距”与“距离”的区别是向；二面角是图形，二面角的平面是一个角。
3.正反结合揭示概念的本质.如函数、反函数的概念，曲线和方称的概念，只有做到两面思考，才能深入体会.再如反三角函数概念，实际上就是在指定单调区间上的三角函数与其反函数的关系。
4.要注意概念的引入过程.如立体几何的任何一个概念的引入都有丰富的直观背景；排列组合问题用“对号入座法”或画树形图都是在告诉我们如何思考，规律是如何找到的.等差、等比数列前ń项和公式的推导过程告诉我们“倒序相加法”和“错位相减法”。
5.掌握新概念要注意温故知新.如充要条件是非常重要的数学概念，它只有在理解掌握四种命题的基础上，深入研究命题之间的相互关系，顺理成章把知识升华，树立起等价思想，才能学会用充要条件分析、认识、处理数学问题.简易逻辑关系是数学基础的一个“魂”。
6.巩固和运用数学概念，特别是在运算、推理、选择、证明中，要注意自觉地让概念发生作用.如证函数的单调性、奇偶性、周期性，证明一个数列是等差（比)数列，用的方法都是“定义法”；解数学选择题经常通过“概念判断”否掉一些选项；学习好立体几何的标志是空间概念的行成.同学们一定要走出“学数学就是解题”的误区，掌握好“四基”：基本概念、基本运算、基本方法、基本应用，才是扎扎实实打基础。
7.概念的抽象性是逐步加深、连续发展的，要抓住这一特点，不断深化自己对概念的理解.如平面几何中用两点间距离定义点到直线的距离，平行线间的距离，进而得到立体几何中的一大难点——异面直线的距离，对距离的认识一般化了.若把复数的模及解析几何和距离有关的轨迹问题也纳入自己的认知范畴，则距离就“活”起来了.再如函数概念从具体的正比例函数、一次函数入手，逐步上升到一般的数值函数概念，从变量之间的相互关系，到两个集合间的“映射”，函数概念有层次地一次有一次地抽象，开始接近现代函数概念（只是开始接近，我们掌握的函数三要素并没有完全反映函数的本质特征).同学们学习了概率和微积分后，会感到随处定义和单值对应更能反映函数的本质特征。
8.较难概念要逐层剖析，力求抽象问题具体化.如画树形图，从两个圆的位置关系容易理解子集、交集、并集、补集、全集；简易逻辑“或”、“且”、“非”也容易从中找到答案.认识变量、掌握函数特点、掌握研究函数的方法，数形结合，立即化难为易。
9.要注意发挥概念体系的整体功能.如函数是高中数学的纲，对函数的理解应用水平是学习高中数学成败的关键；对“曲线与方程”五个字的双向理解则抓住了全部解析几何的精髓.函数与方程思想，数形结合思想，分类思想，化归与转化思想是驾驭数学知识的灵魂，充分发挥这些概念体系的整体功能，就真正做到了大处着眼，学习效果会倍增。
10.在概念学习中，要注意培养如下思维品质：
数学科考试旨在测试中学数学基础知识、基本技能、基本方法，考查数学思维能力，包括空间想象直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等，以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。考试分为理工农医和文史财经两类理工农医类。复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何、立体几何和概率与统计初步五部分。文史财经类复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何和概率与统计初步四部分。考试中可以使用计算器，考试内容的知识要求和能力要求作如下说明：
1.知识要求
本大纲对所列知识提出了三个层次的不同要求，三个层次由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级层次要求三个层次分别为，了解要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用理解、掌握、会要求考生对所列知识的含义有较深的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用知识解决有关问题灵恬运用：要求考生对所列知识能够综台运用，并能解决较为复杂的数学问题
2.能力要求
逻辑思维能力：舍对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能准确、清晰、有条理地进行表述运算能力理解算理，会根据法则、公式、概念进行数式、方程的正确运算和变形，能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计，能运用计算器进行数值计算空间想象能力：能根据条件画出正确图形，根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合、变形分析问题和解决问题的能力：能阅读理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
一、复习考试内容
理工农医类
第一部分 代 数
(一)集合和简易逻辑
1.了解集合的意义及其表示方法了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集台、元素与集台的关系
2.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念
(二)函数
1.理解函数概念，会求一些常见函数的定义域
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,会判断一些常见由数的单词性和奇偶性。
3.理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的图象和性质，会求它们的解析式。
4.理解二伙函数的概念，掌握它的图象和性质以及函数y=ax2÷bx+c(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能灵活运用二次函数的知识解决有关问题
5.了解反函数的意义，会求一些简单函数的反函数
6.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图像和性质。
7.理解对数的概念，掌握对数的运算性质、掌握对散函数的概念、图象和性质。
(三)不等式和不等式组
1.理解不等式的性质，会用不等式的性质和基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)， |a+b|≤|a2+b2|(a,b∈R)解决一些简单的问题。
2.会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式、会解一元一次不等式、会表示不等式或不等式组的解集
3.了解绝对值不等式的性质，会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式
(四)数列
1.了解数列及其通项、前n项和的概念
2.理解等差数列、等差中项的概念，会灵活运用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。
3.理解等比数列、等比中项的概念，会灵活运用等比数列的通顼公式、前n项和公式解决有关问题。
(五)复数
1.了解复数的概念及复数的代数表示和几何意义
2.会进行复数的代数形式的加、减、乘、除运算
(六)导数
1.了解函数极限的概念，了解函数连续的意义
2.理解导数的概念及其几何意义
3.会用基本导数公式(y=c，y=x2(n为有理数)，y=sinx，y=cosx,y=c2的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。
4.理解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求有关函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值
5.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值
第二部分 三 角
(一)三角函数及其有关概念
l.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念 。
2.理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值。
(二)三角函数式的变换
l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会用它们进行计算、化简和证明
2.掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明。
(三)三角函数的图象和性质
l.掌握正弦函数、余弦函数的图象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题
2.了解正切函数的图象和性质
3.了解函数y=Asin(ωx+θ)与y=sinx的图象之间的关系,会用‘"五点法”画出它们的简图，会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值
4.会由已知三角函数值求角，井会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示。
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形及应用题。
2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形及简单应用题。
第三部分 平面解析几何
(一)平面向量
l.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加、减运算，掌握数乘向量的运算，了解两个向量共线的条件。
3.了解平面向量的分解定理，掌握直线的向量参数方程。
4.掌握向量数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用。掌握向量垂直的条件。
5.掌握向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式
(二)直线
l.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率平行垂直夹角等几何问题
(三)多面体和旋转体
l.了解直棱柱正棱柱的概念、性质，会计算它们的体积
2.了解棱锥、正棱锥的概念、性质，会计算它们的体积
3.了解球的概念、性质，会计算球面面积和球体体积
第四部分 概率与统计初步
(一)排列、组台与二项式定理
1.了解分类计数原理和分步计数原理
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式
3.会解排列、组合的简单应用题
4.了解二项式定理，会用二项展开式的性质和通项公式解次简单问题
(二)概率初步
1.了解随机事件及其概率的意义
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概卑加法公式计算一些事件的概率
4.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算～些事件的概率
5.会计算事件在n独立重复试验中恰好发生k次的概率
6.了解离散型随机变量及其期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值
(三)统计初步
了解总体和样本的概念，会计算样本平均数和样本方差
文史财经类
第一部分 代 数
(一>集合和简易逻辑
1 .了解集台的意义及其表示方法,了解空集、全集、子集、交集并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系
2.了解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念
(二)函数
1.了解函数概念，会求一些常见函数的定义域
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断一些常见函数的单调性和奇偶性
3.理解一次性函数、反比例函数的概念，掌握它们的图象和性质，会求它们的解析式。
4.理解二次函数的概念，掌握它的图象和性质以及函数y=ax+bx+c(a≠0)与y=ax2 (a#0)的图象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能运用二次函数的知识解决有关问题
5.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
6.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质
(三)不等式和不等式组
l.了解不等式的性质，会解一元-次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，舍解一元二次不等式。会表示不等式或不等式组的解集
2.会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式
(四)数列
1.了解数列及其通项、前n项和的概念
2.理解等差数列、等差中项的概念，会运用等差数列的通项公式前n项和公式解决有划题
3.理解等比数列、等比中项的概念，会运用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题
(五)导数
1.理解导数的概念及其几何意义
2.掌握面数y=c(c为常数).y=x2“(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数
3.了解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值
4.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值
第二部分 三 角
(一)三角函数及其有关概念
1.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念
2.了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值
(二)三角函数式的变换
l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会运用它们进行计算、化简和证明。
2.掌握两角和两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明
(三)三角函数的图象和性质
1.掌握正弦函数、余弦函数的图象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题
2.了解正切函数的图象和性质
3.会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值，会由已知二角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx.
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形
2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形
第三部分 平面解析几何
(一)平面向量
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
2.掌握向量的加、减运算掌握数乘向量的运算了解两个向量共线的条件
3.了解平面向量的分解定理
4.掌握向量的数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用 了解向最垂直的条件
5.了解向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式
(二)直线
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率。
2.会求直线方程，会用直线方程解决有关问题
3.了解两条直线平行与垂直的条件以及点到直线的距离公式，会用它们解决简单的问题
(三)圆锥曲线
1.了解曲线和方程的关系，会求两条曲线的交点
2.掌握圆的标准方程和一般方程以及直线与圆的位置关系，能灵活运用它们解决有关问题
3.理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，会用它们解决有关问题
第四部分 概率与统计初步
(一)排列、组台
l.了解分类计数原理和分步计数原理
2.了解排列、组合的意义，会用排列数、组合数的计算公式
3.会解排列、组合的简单应用题
(二)概率初步
1.了解随机事件及其概率的意义
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加j去公式计算一些事件的概率
4.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率
5.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
