时间：2023-06-01 09:32:21
【摘 要】 立体几何是高中数学培养学生空间想象能力的重要知识板块，在立体几何教学中既有培养空间思维的传统方式方法，也有立足于代数运算的向量方法，如何对立体几何教学进行合理、有效的复习探究，是教师教学需要关注的。
关键词 立体几何；复习策略；空间感知；空间想象能力；向量；传统法
立体几何是高中数学的重要知识板块，其在建立学生空间感知、图形结构、空间想象能力方面有着重要的作用。陕西师大罗增儒教授对课程标准关于立体几何的建议如此解读：要努力培养学生的空间想象能力，使学生掌握空间点、线、面之间的关系，逐步建立起空间感知，既要注重传统立体几何公理化体系对学生空间知识的螺旋式搭建，也要让学生了解空间向量对解决立体几何问题的作用。
从标准的这一段解读中，笔者认为空间几何教学需要教授的是立体几何的关键与核心，从两个分支来说，即需要掌握公理化体系与向量解决方案的共同实施；从知识点来说，空间几何的核心考查围绕于空间感知、平行与垂直、角和距离等以及其他各种相关小题；从能力诉求来说，考查空间问题平面化的能力以及运用代数方式解决立体几何的向量运算能力。鉴于上述分析，笔者认为空间几何教学的复习策略要注重下列方面：
1.关注空间感知
立体几何在空间感知方面需要长时间的培养和巩固训练，这主要从公理化体系中的命题判断、对一些问题的直观感知等方面进行培养。空间感知对于学生而言，是立体几何教学最感性的培养，空间感知培养是否优秀对于学生解决立体几何的概念性问题有着极为重要的指导，因此立体几何教学复习的首要是给予学生扎实的双基培养。
案例1：l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题错误的是_____________。
易错分析：由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断。
解析：当l1l2，l2l3时，l1与l3也可能相交或异面，故（1）不正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故（3）不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故（4）不正确。因此（1）（3）（4）为错误命题。
温馨提醒：（1）平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内；（2）解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致。
案例2：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条。
审题视角：找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线。因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面。进而研究公共交线问题。
解析：方法一，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点。如右图所示。方法二，在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线。由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交。
温馨提醒：本题难度较大，问题比较灵活。对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，要注意的是本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多。这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解。
2.传统与向量并举
传统公理化体系的解决方案愈来愈在教学中不受教学重视，这里既有教师教学的原因也有学生对方法选择使用的原因。从近年来高考问题坚持两种解决方案并举的今天，笔者认为立体几何依旧要坚持传统公理化体系的建立，在这基础之上辅以空间向量的解决方案，使学生学会两种不同的方式掌握立体几何问题的解决。
例2（2013年镇江模拟）如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BMPD于点M。（1）求证：AMPD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值。
分析：（1）略；（2）线面角的解决是空间几何中最常考查的一种角的问题，对于本题所涉及的线面角，笔者以为平时教学中宜用两种不同的方法进行教学，孰优孰劣应该由学生自己选取，学生对立体几何不同的掌握决定其自身对向量法的使用更为合适还是传统法的解决更为轻快，教师的主要职能是引导学生两条腿走立体几何的路。
说明：（1）求线面夹角时重点是找到斜线在平面内的射影，因此重点是找到直线上一点向平面作垂线。（2）求线线角和线面角时，有时可通过平移改换要求的角，有时不易直接找到角可以利用等体积法求距离，使问题得以巧妙解决。（3）第一问往往是为第二问设置台阶，要注意这一规律。
总之，新课程下的立体几何教学相比传统，有了显著的变化，我们教学既要关注立体几何本质的传递，也要掌握和熟练运用空间向量法解决立体几何中角和距离的常规问题。限于篇幅，本文未对常规的角和距离问题进行展开求解说明，更多关注的是培养学生空间感觉、立足向量基础和紧抓几何本质的视角，阐述了新课程立体几何教学的复习策略。上述两方面是立体几何复习教学的重要方面，关注空间感知和两条路的并举是解决空间几何问题的关键，限于篇幅笔者用三个案例阐述了复习教学需要掌控的方向，不足之处请读者批评指正和补充。
参考文献
[1]俞求是.高中数学新课程立体几何教学问题研究[J].数学教学.2010.2
[2]岳儒芳.由2009年高考立体几何题阅卷引发的思考[J].数学通讯.2009.8
几何概念是反映现实世界空间形式本质属性的一种思维形式，是人们对客观事物的“形”的科学抽象与概括，同时也是发展学生空间观念的基本条件。小学阶段，通过直观教学唤起学生的学习兴趣，充分利用实物、模型、图形，引导学生看一看、摸一摸、折一折等方式了解角、三角形、四边形、圆、正方体、长方体等基本几何形态，形成几何初步概念，培养空间观念。高中阶段的立体几何与初中阶段的空间与图形部分联系密切，许多内容，如空间几何体、三视图、投影等都在初中阶段有所接触，学生对正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等都有了直观认识。初中阶段学生学习欧式几何，注重严密的推理，根据已知条件明确所要证明的问题，然后从已知条件出发，一步一步按照严格的辑关系，最后得出结论。学生通过训练，在推理的过程中，培养了严密清晰的辑思维能力。
课标建议立体几何部分的教学，可先让学生从空间几何体的整体观察入手，认识空间图形，再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对其进行论证。所以在高中阶段，立体几何是在必修2中分两个章节出现的，内容分为空间几何体的结构、三视图和直观图、球的表面积和体积还有空间点、线、面的位置关系。这样的安排，使得学生先认识了空间几何体的结构特征，并且能够画出实物图，同时也了解了空间点、线、面的位置关系，学生的认知过程是由感性上升到理性认识，由“直观”到“推理”，更符合学生的认知规律。
学生进入高三复习阶段，立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法。但是对于比较抽象的问题，不少学生还是不能很好地构造几何体，借助直观图形解决问题。通过参与“高中数学课堂改进项目”，在綦春霞教授带领的专家团队引导下，针对这些问题，我进行了“长方体在高中立体几何复习中的作用”研究。教学效果表明，恰当处理长方体在立体几何复习课中的作用，以学生的数学学习为中心，长方体完全可以成为高中立体几何复习的绿色纽带，提高复习效率和学生数学学习成绩。
一、在起始课中注意空间立体感的培养
从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程，所以要重视看图能力的培养。对一个几何体，可以从不同的角度去观察，可以是俯视、仰视、侧视、斜视等等，体会不同的视角，以开拓空间视野，培养空间感。
案例1 立体几何复习的第一节课，我就要求学生共同完成一个任务。用一张纸亲手做一个长方体模型，通过这个任务，学生提高了学习的兴趣，也感悟到数学世界的简洁美、和谐美。课后再留作业：做正三棱柱和正四面体的模型，进一步帮助学生构建空间感。
二、利用长方体模型，加强学生构图能力的培养
案例2 判断下列命题是否正确：设a、b是两条直线，α，β为两个平面。
1.若a、b与α所成角相等，则α∥b
2.若a∥α，b∥β，α∥β，则α∥b
3.若a α，b β，α∥b，则α∥β
4.若aα，bβ，αβ，则αb
这类问题的传统做法是学生结合手中的笔、本作为线面进行判断，教师引导完善点线面位置关系。但是这样的方式也有弊端，学生只单纯利用手中工具，对于出现多条线多个面的问题，要么需要与他人合作，要么容易手忙脚乱，不能很好地构建空间结构。所以引入长方体，在长方体模型中构造题目中的线、面位置关系，帮助学生把抽象问题具体化，这样使学生在面对题目的“实战”中，可以独立完成。我所教的两个班级，一个班基础较好，一个班基础较弱。我曾经通过测试的方式进行对比，强调构建长方体来解题之后，基础较好班级学生正确率变化不大，但是对于基础较弱班级的学生来说，这类题目的正确率明显提高。可见，对于程度好的学生来说由于空间立体感较强，是否构建长方体，做这类题目都没有什么难度，但是对于程度稍弱的学生来说，利用长方体的具体模型能够有效帮助解决抽象问题。
案例3 判断命题的正确性：“在空间有三个角都是直角的四边形是矩形”（见图1）。
学生分组，利用手中的笔作为工具，具体化提升空间想象能力。教师适时引导设问，能否在长方体中找到相应的几何形态？
深入探究：三棱锥的四个面最多有几个直角三角形？（见图2）
这是复习课中的一道题目，一开始学生无从下手，小组讨论后，学生们可以通过多人合作，每人手里两只笔架起这个空间结构，但是既不会画图，又不能合理地说清这个几何模型的特点，只是有一个比较模糊的直观感觉。于是我通过引导，让学生在长方体中自己找一找刚才演示的图形。由于长方体的线面垂直关系非常明显，学生能够比较轻松地验证这两个命题。
三、加强学生认图能力的培养
对于立体几何题，既要由复杂的几何图形看出基本图形，如点线面的位置关系，又要想到未画出的部分。能实现这些，学生就可以一眼看穿有些复杂的抽象问题。
案例4 某几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为 。
不规则几何体的三视图问题一直以来都是学生的薄弱之处，单纯靠空间想象很难还原几何体的真实形态。例如此题，是高二期末测试中的一道题目，正确率不高，学生的问题在于能否想象这是一个三棱锥的三视图，但是对于相应的长度一头雾水，不能精确识图。在高三复习课中，重新拿来这道题，引导学生在长方体中找到相关的几何体，再精确长度的标准，有效帮助学生解决不规则几何体的三视图问题（见图4）。
案例5 已知某个几何体的三视图如图5所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是 。
这道题目，如果单靠空间想象能力，学生在计算环节容易出错，但是直接让学生还原几何体有一定的难度，所以借助长方体模型（见图6），在长方体中标注长度，使得计算一目了然。
关键词：新西兰；课程标准；几何；测量
新西兰是一个重视教育的国家，其教育质量属世界前列. 2009年，新西兰教育部出版了新的《1～8年级数学课程标准》（下面简记为《标准》）. 从2010年起，所有新西兰的以英语授课的学校的教师开始执行这套标准. 国家标准提供了一个全国统一的方式来看待、解释并回应学生在1～8年级的数学学习中的进步与成就.《标准》将数学学习领域划分为三大分支，分别为：数与代数（Number and Algebra）、几何与测量（Geometry and Measurement）、统计（Statistics）. 本文将介绍《标准》中7～8年级“几何与测量”领域的内容标准，并用案例加以解释，以期得到一些有益的启示.
“几何与测量”领域内容标准
《标准》中7～8年级“几何与测量”领域的内容标准如下：
七年级：①利用公制的和其他标准的度量单位来测量时间和物体的属性；②利用整数在单位间进行简单的转换；③利用给出的整数的边长来找到矩形和平行四边形的周长和面积、长方体的体积；④将二维和三维形状进行分类，定义其性质并解释所作出的结论；⑤给出的形状或图案，识别并描述所产生的变换；⑥创建或识别直棱柱和其他简单固体的集合；⑦画出物体的平面图、正视图、侧视图和透视图；⑧利用格子参照物（grid references）、简单的比例、转动、指南针的指向来描述位置并给出方向.
八年级：①使用公制的和其他标准的测量单位；②利用小数在单位之间进行简单的转换；③利用边长来找到矩形、平行四边形和三角形的周长和面积、长方体的体积；④将二维和三维的形状进行归类，考虑各类之间的关系并解释所作出的结论；⑤识别并描述形状或图案在变换下有改变或没有改变的特征；⑥给出特定的要求，创建或识别直棱柱和其他固体的集合；⑦给出物体的平面图、正视图、侧视图和透视图，画出或制作出物体；⑧利用比例、方位和坐标来描述位置并给出方向.
例析“几何与测量”领域内容标准
《标准》中关于每一年级的内容，都分成数与代数、几何与测量和统计三个分支进行阐述.在列出了这三个分支的内容标准之后，再对其中某些标准配以例子加以解释. 同时，这些例子也说明了学生在学习数学时应该进行哪种类型的任务. “达到一条标准依赖于学生对给定问题的回应的实质，而不仅仅只是他们解决这个问题的能力.” 出于这个原因，这些例子还给出了一系列学生可能的回应，并说明这些回应能否达到课程标准的期望.在许多情况下，这些例子（包括达到期望和没达到期望的回应）都是为了展示学生的理解过程. 这有助于教师对学生的学习层次进行判断，也有利于分析学生问题解决的心理过程. 下面是八年级“几何与测量”部分中的两个案例.
案例1 给学生一把尺子、一辆玩具车以及下面插图所示的几个盒子. 利用尺子来尽可能准确地测量小车的长、宽、高. 先用毫米，再用厘米给出答案.哪个盒子最适合用来装这辆小车？盒子的体积是多少？
《标准》中指出，若学生经历了如下的解决问题的过程，那么他们达到了课程标准的期望：利用尺子，学生准确地将小车的长度、宽度和高度测量到最接近的毫米和厘米.他们选择最适合的盒子――就是比小车大的尺寸尽可能小的那个.
案例1 不仅要求学生测量出小车的长度、宽度和高度，还要求学生找到一个最适合用来装小车的盒子. 这个看似不起眼的设计，却告诉了我们学生学习测量的意义所在，那就是服务于生活.学生通过案例1的学习，可以感受测量的实用性和必要性，从而为后续的学习明确目的. 从中我们也可体会到新西兰数学课程重视数学应用的价值取向.
案例2 是否存在一个类，使这三个立体图形都从属于它？是否存在另一个类，使得标有“Rolo”的盒子从属于它？
?摇?摇《标准》中指出，若学生经历了如下的解决问题的过程，那么他们达到了课程标准的期望：有学生说这三种立体图形都是棱柱. 他们解释：棱柱有一个统一的横截面，并以此命名这个棱柱（例如，“三棱柱”）. 有一个关于棱柱的定义的争论，圆柱是否为棱柱呢？如果学生不把圆柱当做一个棱柱，同时解释“它没有像其他棱柱一样有矩形面”，那么他们仍然能达到期望. 回答第二个问题，学生可能把圆柱归在包括球体和锥体的曲面立方体（curved solids）的类中. 在这里，其他的任何归类只要有一定的道理都是可以接受的（例如，具有圆面的立方体）.
关键词：案例教学；教学误区；试验设计方法；硕士研究生
一、引言
理工科的研究生经常需要做试验。如何做试验，这里面有很大的学问。《试验设计方法》课程就是为笔者所在学院硕士研究生开设的专业必修课，它是专门研究合理地制定试验方案和科学的分析试验结果的方法的一门应用工具学科。试验设计的任务是以概率论与数理统计为理论依据，结合专业知识和实践经验，经济、科学、合理地安排试验，有效地控制试验的干扰，充分利用和科学地分析所获取的试验信息，达到尽快获得最优试验方案的目的。目前，越来越多的高校认识到案例教学对于专业学位研究生培养的重要性，积极倡导以案例教学提升专业学位研究生培养质量的改革。案例教学可以使教师根据教学目的的要求，组织学生针对及具体相关专业的案例内容，用所学知识进行充分的思考、分析、讨论和交流，提高学生对具体问题的分析问题和解决问题能力。这有利于充分调动学生学习主动性，提升教师教学技巧和提高课堂教学质量。本文在分析《试验设计方法》案例教学中的几个误区的基础上，提出适用于本门课程的案例教学模式。
二、认为案例教学就是举例教学
《试验设计方法》是一门应用工具学科，学生要想根据具体的专业背景，熟练掌握各种试验设计方法，对其进行正确的数据处理，得到一个可靠的结论，一定要进行大量的练习。案例教学不是举例教学。之前采用的教学方式是理论教学+大量练习的方式，如讲正交试验设计这部分内容时，有无交互、单因素、多因素、有无混合水平等不同情况下数据如何处理。通过大量的练习，同学们可以灵活掌握不同情况下如何进行正交试验设计。但是通过三年的传统教学方式的实践，笔者发现很多研三同学答辩时试验步骤说得很清楚，而试验目的和方案就不是很清楚。一般情况下试验目的是导师指定的，同学们根据试验目的来设计试验方案时，经常人云亦云，反映了同学们对具体问题分析时对不同试验设计方法的理解不透彻，缺乏深层的思考。案例教学是以一个具体的案例为载体，在教师的指导下启发同学们独立思考“根据课题需要做几个试验，为什么要做几个试验”“为什么选这几个因素、因素水平怎么选取”“如何保证其他试验条件一致”“正交试验设计、均匀设计、回归正交试验设计应用有什么不同”等问题，让同学们对具体的背景材料进行分析研究，提高他们自主学习的能力。案例教学将之前的注重知识变为注重能力的培养。
三、认为案例越多越好
有些教师认为案例越多越好，见多识广。但是学时有限，36学时的课程，每个案例最少要45分钟，时间太短效果不好，导致每个案例分析的不通彻，使同学们没有足够的时间和精力开展自主探索和独立思考。案例教学给教师提出了更高的要求。教师要在上课前根据课程教学目标和要求，精心编制几个案例，设计好案例的呈现方式，初步确定好案例的焦点和争论的主题，培养同学们正向思维和反向思维，使同学们灵活应用所学知识。
四、教师的角色没有转变
有的教师将案例呈现给同学后，就进行分析、推理，剥夺了同学们独立思考的能力。同学们会顺着教师的思路回答问题，做巩固练习。这是以教师为中心，没有争论、没有讨论，把案例教学变成了举例教学，不能起到应有的教学效果。案例教学是一场基于教学理念的改革，教师的职责是启发和引导的作用。课堂的中心是学生而不是教师，之前教师的“满堂灌”“填鸭式”的教学方式，限制了学生的创新性和发散思维。一个题目不一定只有一个答案，一个试验目的不一定只有一种试验设计方案。教师要培养同学们的发散思维，让同学们根据所学的试验设计方法和专业知识相结合，自己进行分析、归纳、判断、决策，培养同学们发现问题能力、归纳总结能力、解决问题能力和口头表达能力。
五、结束语
木散为器 帛裁成衣
我认为教师上课其实就是一门表演艺术，关键是要让学生能来听你的课，看你表演。首先要让学生喜欢你，然后才会喜欢你上的课，这是上好一堂课的良好开端。而且教师要调动学生的积极性，积极开展师生的双边活动，激发学生的兴趣。
老师一进教室不应该立刻侃侃而谈，不知学生在不在听，只管自己讲，也不注意学生有什么反应，所以要让学生来听你的课，一进教室在讲台上立定，目光循视全体学生一遍，确定学生都进入角色了才可以开始讲。
一、 说教材
今天我说课的内容是九年制义务教育全日制中学美术课本第二册第3课《形块的分割与构成》，本课内容分两课时完成。
a)
本课形块的分割与构成听起来比较抽象难懂，（初一学生比校难理解，通过演示创设情景把题目改为木散为器，帛裁成衣较易理解）其实也比较容易，指是将原有的形象打散成一个个美的、单一的、变象的设计元素，然后将这些元素组合成全新的形态。这两个看似独立的步骤却是现代图案设计中的一个统一的过程叫变异过程，是现代图案设计的基本原理。通过这个形块的分割与构成的练习能基本了解图案设计过程，为后面学习图案设计打下基础。
b)
前后知识联系：本课内容是在第一章"人类生活需要美的装点--基础图案"中学习图案设计的一个重点，从第一课的中国传统工艺美术欣赏，到第二课图案设计的基础点、线、面的构成，再从点、线、面的构成原理转入本课内容"形块的分割与构成"，结合后面的色彩的调配与运用原理，为最后的"写生、变化与构成"图案设计作铺垫。（形成一个简单而又完整的学习图案设计过程。）
c) 本课教学内容：主要是分割和构成的概念，分割的规律，构成的方式，先临摹，再通过分割与构成独立完成一张作品。
d)
至开本课的教学目标：①使学生了解什么是"分割与构成"，以及它在图案设计中的意义。②通过"分割与构成"练习，提高学生的形象思维能力、构成能力和创造能力。③同时培养学生对图案的装饰美的审美能力。
e) 我认为教学重、难点最能体现课题目标，抓住重点，突破难点，根据本课的教学目标将本课的教学重难点确定如下：
教学重点：掌握分割与构成的规律，为构成图案的需要而进行合理的分割。
教学难点：形块的分割与构成，分割的规律，构成的方式。
二、 说教法、学法
学生分析：初一学生心理刚开始成熟但又不成熟，思维习惯于对客观事物进行摹仿、再现。而且对图案在头脑中还没有正真形成图案设计过程的观念。为开启学生丰富的想象力，使学生实现从再造思想到创造思维的跃进，尝试着用分割与构成的创作练习，使学生体会到创造过程的甘苦。
为了使学生激起更大的兴趣与热情，由被动变为主动，既锻炼学生形象思维能力（脑），构成能力，创造能力；也可以锻炼学生的表现能力（手）；同时提高学生的审美能力（眼）。真正体现眼脑手的协调并用的原则。
根据学生情况，我采取以下教学方法：
1、 情境创设教学法：
学生总是在一种情境氛围中接受知识效果最好，通过创设与教材情感相符合的情境，使学生轻松的掌握知识。在导课的时候创设"桌面整理"的活动，看谁分块布置合理，使桌面既美观又便于使用，使学生初步了解分割与构成的观念。
2、 观察、发现法
观察、发现法有助于发展学生的智力，思维的主动性，体现学生的主体，是学生有效的学习方法，体会象科学家那样探索发现真理的滋味。让学生观察"花瓶与人头"的图案画，使学生发现从不同角度观察会有不同的画面，激发学生进行分割练习的欲望。
3、 演示、练习法
这是在美术课中最常用的方法，演示"人"的图案分割构成，教师演示只是让学生掌握其中的分割构成的方法，而不是让学生抄袭教师的想法，给学生建议，引导学生发挥自己的想象力，
学生练习，根据教师指导，对所学的知识用实际，先选定要构成什么图案，再划分为几块，概括成几个几何形或自然形，分割裁剪，最后拼合成预定的图案。可以展示学生丰富的想象力。
三、 说教学过程
本节有三个高潮一开始导入和中间讲解
（以学生自己动手练习引入）师生问好后，教师巡视学生桌面上的用品，桌面上只有书、作业本、文具盒、尺、笔、圆规等用具，让学生在再短的时间内整理好，使"桌面"上即整洁、美观，又要便于使用方便，看学生怎么布置这个桌面。（学生准备教师巡回指导讲评）这是桌面的分块与布置，再结合教室的布局，最后引申到课桌以及家具的制作方法和衣服的裁剪与缝纫。
同时板书：木散为器 帛裁成衣 （5分钟）
新课讲解
教师讲解：这就是我们今天要学习的分割与构成。
板书：--形块的分割与构成
1、请学生先自己来说说什么是分割，（学生回答，教师引导补充：分割是将一个形分成若干等分；结合事例：如田地的分割、教室内部的分割，房子的空间分割，关键是怎么分，）分为随意分割也就是--自由分割（出示范画讲解，分割成自然形、几何图形。）相对应的还有规则分割（把形按一定的规律分割，等量分割、等比分割等等），再是功能分割（就是刚才作的练习按各自的功能分割）。
2、 构成又是什么意思？学生回答：指将各分散的元素组合成一个全新的形态。
把这两个的步骤合起来就是一个完整的现代设计中的过程被称为是变异过程，它是现代设计中的一个基本原理。
板书：分割与构成指将原来的形象打散成一个个美的、单一的变象的设计元素，然后将这些元素组合成新的形态。
3、出示几个简单的构成图形，让学生用自己的语言来归纳，得出它们的构成方式：
① 衔接的构成方式，几个相同或相似的单元形左右或上下相接。
② 重叠的构成方式。
③ 减缺的构成方式。
④ 错位的构成方式。
⑤ 转换的构成方式。
⑥ 渐变的构成方式。
⑦ 分离的构成方式。
让学生能通过自己创造思维，通过自己的想象，创作出全新的一幅构成力案，采用剪裁的方法，来提高学生的动手能力，与眼、脑相协调并用。
教师以课堂直接示范：
1、先让大家来回忆一下牛的头部大致有几个部分，角、眼等。再进行简化为几个几何图形的组合，有计划的在一张方块的纸上表示 出来，教师示范在纸上画出牛头的几个部分的几何图形，然后直接剪裁，最后构成一幅完整的牛头的形象。
2、其次出示知了和狗的头部图案，教师要强调的是：先确定好你所要构面的是什么图案，再在纸上进行有规律的，合理的分割："要根据图案的需要进行有目的地分割"。
3、通过教师的演示，范画的出示：打开学生的创作天地，都事先定好了图案，鱼、树、狮子、小丑，再确定为几个体块，概括成几个图形，合理的分布到一张纸上，这有一定的难度。
4、之后教师给学生总结分割的几种方法：
① 两等形分割，产生正负形。
② 多等形分割，产生对称群。
③ 不等形分割，组成意象形。
木散为器 帛裁成衣
自由分割--自然形、几何形
1、分割 规律分割 + 功能分割
2、构成--重新组合
随着新课程改革的逐渐深入，初中数学要求教师变传统教学中的“灌输式”、“填鸭式”教学为启发式教学，变学生被动学习为主动学习，进而使其学会学习，提高课堂教学效率。笔者经过长期的探索与实践，就如何提高初中数学课堂教学效率提出了几点建议。
一、设计有效的教学方案，以保证课堂教学顺利进行
1.确定具体、可操作性强的课时教学目标。随着“新课程标准”的实施，数学教学中也提出了要以“三维目标”为指导，即“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”，其目的是突出学生的主体地位，使学生在数学概念或定理的形成过程中，不仅知道概念、定理是什么，还要知道概念、定理是怎样形成的，需要运用什么方法进行推理。具体到每一节数学课，教师就要依据课标精神，在研究教材和研究学生的基础上，做到教学目标清晰、简明、可操作性强，这是一堂课成功与否的前提。
2.对学生学情的准确把握。学生间存在差异，其基础知识、学习状态、心理素质等都不相同，教师只有掌握了这些情况，结合学生实际，才能有的放矢地进行备课，设计有效的教学方案。
3.形成科学、有效的教学预案。一个符合课改理念的教学方案应该把着力点放在“学生怎么学”和“学的效果”上，具体应当思考以下问题：根据本节课的课程目标和任务，学生应该经历怎样的科学探究过程；学生会遇到哪些困难，应采取何种方式和方法突破重、难点；应该设计何种课堂结构和模式；围绕三维目标设计哪些任务（问题）等。这些就是准备教学预案的核心。
二、建立良好的师生关系，营造宽松和谐的课堂氛围
宽松和谐的课堂氛围是提高课堂教学效率的关键所在。教师只有让学生在宽松和谐的课堂氛围中学习，才能促使学生主动学习、创造性学习，才能激活学生思维，使其敢想、敢说，进而提高课堂教学效率。而营造宽松和谐的课堂氛围，离不开良好师生关系的建立。那么教师要如何建立良好的师生关系，以营造宽松和谐的课堂氛围呢？对此，笔者认为，要抓住以下几点：一是要重视教师角色的转变。随着新课标的实施，教师的角色也发生了变化，即由传统课堂教学的组织者、控制者变为了课堂教学的引导者、启发者。数学教学中也不例外，我们要想提高学生的学习兴趣，就要转变传统教学观念，以学生为主体，引导、启发学生，使其在宽松和谐的氛围中掌握数学知识与技能。二是尊重学生、爱护学生。学生和教师之间是平等的关系，我们应尊重学生，尊重他们提出的问题、建议，呵护学生学习的积极性。如鼓励学生回答问题时，要微笑着说：“慢慢来，老师相信你是可以的。”学生有勇气回答或答对了，要补上一句“同学们真了不起”。这样的课堂，学生的学习热情一定是高涨的，而且为本节课增添了活力。三是教师要学会宽容学生，微笑面对学生。学生不是圣人，不可能不犯错。课堂教学中，教师应允许学生犯错，学会宽容，以微笑面对学生，以委婉的语言告诫学生，使其改正错误，而不应该严厉批评，批评只会把学生推离教师，使他们与教师之间产生隔阂，不利于良好师生关系的建立。
三、巧妙设计课堂提问，激活学生的数学思维
课堂提问是调动学生学习积极性和主动性的催化剂。一个巧妙的提问，常常能收到“点击关键，一问传神”的效果，激活学生数学思维，极大地提高数学课堂的教学效率。那么在课堂教学中，教师要如何设计提问呢？对此，笔者认为，应重视以下几点：一是问题的设计要有导向性。教师所提问题应为指引学生解决本节课重难点而设置，它必须以解决本节课的重难点的思路为主线，从而设计出更有效的问题。二是问题的设计要有层次性。学生存在个体差异，有好、中、差之分，若设计同样层次的问题，就会造成”优生吃不饱，差生吃不了”的现象。因此，教师设计课堂提问时，应考虑到考察对象的知识能力，较难的问题让优秀的学生回答，而简单的问题让基础薄弱的学生回答，当然也不能忽略中等生，要照顾到全体学生，使学生通过回答问题，人人都能获得不同的发展。三是问题的设计要有深度。提问是为了激活学生思维，促使学生调动自身思维的每一根神经，思考问题。因此，教师所提问题就要有一定的深度，不能只让学生回答“是”与“不是”、“对”与“不对”。
四、运用多媒体教学手段，提高课堂教学效率
数学课堂教学中，有许多知识点比较抽象，学生不能很好地理解，教师难以用言语表达清楚，不能很好地把知识传授给学生，达不到预期的教学效果。对此，教师就可运用多媒体课件将比较抽象的数学概念与定理、知识的形成过程直观地展现在学生面前，协助学生经过感知学习、探究，从而更好地掌握、理解知识，进而提高课堂教学效率。例如，在讲初中几何第一册《引言》“几何基本元素之间的关系”时，学生虽然能理解“点动成线、线动成面”的结论，但关于“面动成体”的结论却不甚了解。对此，教师可应用“几何画板”中的作图功能制造出圆柱、圆椎、圆台等几何图形，从中截取出矩形、直角三角形、直角梯形并沿着规则的路途旋转，使学生直观地观察到运动的结果是圆柱、圆锥、圆台，这样学生就能了解“面动成体”的结论，并加深记忆，从而解决教学难点，提高课堂教学效率。
关键词： 直线与方程 单元教学设计 教学要素
单元教学设计是指对某一单元的教学内容作出具体的教学活动设计，这里的单元可是一章，也可是以某个知识内容为主的知识模块。单元教学设计要有整体性、相关性、阶梯性和综合性。本文以人教A版高中数学必修2《直线与方程》一章为例进行了单元教学设计，设计内容包括单元教学目标、要素分析（其中包含数学分析、标准分析、学生分析、重点分析、教材比较分析、教学方式分析等）、教学流程设计、典型案例设计和反思与改进等。
一、单元教学目标
（1）理解并体会用代数方法研究直线问题的基本思路：先在平面直角坐标系中建立直线的代数方程，再通过方程，用代数方法解决几何问题。（2）初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想。
二、要素分析
1.数学分析：直线与方程为人教A版教材必修2第三章内容，必修2包括立体几何初步、解析几何初步，其中立体几何初步分为空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系。直线与方程是继立体几何的学习之后从代数的观点认识、描述、刻画直线，是在平面直角坐标系中建立直线的方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系。它在高中数学中的地位非常重要，可以说是高中数学体系中的“交通枢纽”。它与代数中的一次函数、二元一次方程、几何中的直线和不等式及线性规划等内容都有关联。
在本章教学中，学生应该经历如下的过程：首先将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种数形结合的思想贯穿教学的始终，并且在后续课程中不断体现。
2.标准分析：①坐标法的渗透与掌握：解析几何研究问题的主要方法是坐标法，它是解析几何中最基本的研究方法。②作为后续学习的基础，要灵活地根据条件确定或者待定直线的方程，如将直线方程预设成点斜式、斜截式或一般式，等等。③认识到直线方程中的系数唯一确定直线的几何特性，可类比学习后续课程椭圆方程中的系数a，b，c，双曲线标准方程的系数，抛物线的系数，也可以延伸至两条直线的位置关系取决于直线方程中的系数，即取决于两个重要的量――斜率和截距。④本单元内容属于解析几何的范畴，是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想。所以在本单元学习中，学生要初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想，其核心可以由以下知识结构图显现出来：
3.学习者特征分析：已有一次函数知识作为基础；刚刚结束了立体几何初步的学习，现在学习直线与方程可以说是对点、直线的再认识、再深化；该课程是高一课程，学生习惯于直觉思维，感性认识要多一点，或者说学生正在初步接触和进行逻辑思维，处在由直观到精确、由感性到理性的认知水平的转化和提高过程中。故从这种意义看来，本单元课程不失为一个思维提升训练非常恰当的载体。
4.重点难点分析：本单元目的是在解析几何视角下完成直线上的点与方程的解的联系，直线上所有点与方程的所有解之间的联系，从而建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果得几何含义，最终解决几何问题。由此说本单元的重点是直线的倾斜角与斜率、直线的方程、直线的交点坐标与距离公式，重点方法和思想是形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想。
5.教材对比分析：现行教材都突出解析几何中坐标法的应用，强调数形结合思想在本章中的渗透，授课内容也都基本相同，但是有各自的特点，下面就人教A版和苏教版进行比较，如下图：
不管顺序怎么不同，各种教材都是根据学生的认知水平、遵循学生的认识规律的，我们不必过于拘泥于某种教材，而是根据自己学生的特点、认知水平，选择合适的教学手段和方法。
6.教学方式分析：可以灵活采用各种教学方法，我们学校主要采用五环节教学法，即师生共同探究、学生独立思考、小组合作交流、学生精彩展示和老师精彩点评五个环节。
三、教学流程设计
四、典型案例设计（略）
一、教学中教会学生获取知识的方法
要让学生学会自己从书本上、从实践中学习知识、借鉴已有的实践经验。我校提倡使用“学案――教案一体化”的教学模式,先让学生自己预习课本,把自己领悟到的知识概况和疑点总结表述出来,再按老师给的提纲,与课本和课外资料对照去理顺和领悟本课的知识脉络,课上教师引导学生进行分析、讨论,充分发挥学生的主动性,加以适应地指导使学生获取正确观点并提高思维方法,然后教师精选习题,加以巩固和提高。学生在开始时思维水平有限,表述也不一定能达到准确。但长期坚持下来,学生会在独立思想中、在多方面比较下学会如何借鉴书本上的知识,在课堂讨论中学会如何从同学的发言中获取帮助,在模式教师的思路中学会思考方法,从而逐渐学会独立地、自觉地从各种渠道获取新知识的方法。
二、讲授习题时注意让学生充分展示自己的思维过程,矫正学生的思维方法,教会学生进行辨析和反思
学生学数学容易出现一种情况,上课听得明白,下课不会做作业,有人认为这是缺乏练习。
学生能听明白老师讲的答案,事后觉得自己也应该能做到,就是不知为什么老师会这样想,自己就想不到这一点。其真正的症结是学生没有总结出老师授课中的思维方法,没有学会怎样去探索和思考问题。
三、强化概念教学,培养学生的归纳、提炼和建模能力
一些较灵活的数学题,有的学生一看就一目了然,而有些学生费了好大劲却一头雾水一点儿看不懂意思是什么,这主要在于学生能否灵活应用数学知识建立数学模型。解决这类问题主要是强化概念教学,不能仅是记忆概念,要从概念的起源开始,引导学生从实践中,从生活实例中将数学概念抽象出来,让学生理解概念包含的丰富内涵,及掌握定义、概念的各种表现,才能对其变化学会控制,建立起模型使问题得到解决。
四、帮助学生构建思路档案,重塑学生的学习心理,提高学生对知识的应用能力
高中数学学习中学生易出现陷入题海又效率不佳的现象,多数出于不能及时总结自己的学习成果,没有完整的方法体系,出现事倍功半的现象。老师在课上不能只是启迪学生学会如何去发现、去思考,更要把学生努力思考的成果帮学生保留下来,每一节课都要把学习成果纳入自己的方法体系中,让学生明白一个知识点会有几种变型、变化及应用方向,解决哪类问题有几种常见的思路,自己会哪些解决问题的招式方法,建立思路档案使学生见到问题有丰富的方法储备以供选择,塑造学生的学习思维心理,使学生在应用能力上得到大幅度提高。
五、教学中教师要详细备课,讲习题课时应注意顺应学生的思路,利用一题多解扩展学生的思路,培养学生发散思维、独立思考和求异思维的能力
习题课教师不能只顾自己讲得尽兴,因为学生的思路不一定与你吻合。若学生没有和老师一样的开始,就很难学到老师的思维方法,因此老师应顺应学生思路去讲题,从这一点上开始如何联系已知条件,如何得出结论,让学生充分享受如何去思考问题,而不是学习这道题的答案。
学生在不同思考方式的启迪下会逐渐抛弃对方的套用,学会独立思考,学会求新、求异,力求简练。
开展研究性学习存在一个误区：在学科外的社会实践活动中才能开展研究性学习，如“住房贷款”“环保”“公共交通”“城市人均住房面积与人口长关系”等。但实际上课堂才是学生学习的主阵地，研究性课程就算一周用3课时也仅占课程学习的7.5%，用7.5%时间和精力去完成我们100%的希望和重托，显然是不太现实的，因此研究性学习的课题选题应立足于数学课程，将研究性学习引入数学课堂教学。
中学数学课堂教学中研究性学习活动是指：学生在教师的指导下，以类似科学研究的方式去主动获取知识，进而认识自然、了解社会、学会合作，培养分析问题解决问题的能力和创新能力。其内容应立足教学内容，引导学生自主参与，对某些数学问题作深入探讨，或从数学角度对日常生活中和其他学科中出现的问题作深入探讨和研究，研究性学习作为培养学生创新精神和创造能力为目的一种新的学习方式，不仅以相对独立的实体形态存在着，而且以非实体形态存在于数学课堂教学中，因此，在数学课堂中渗透研究性学习显得非常重要，实施办法就是根据学生的认知水平，精心设计案例，让学生展开研究，主动获取知识，培养能力。笔者结合自身的教学经验，就中学课堂如何渗透研究性学习的活动作了初步探索，以其抛砖引玉。
一、教学目的
运用不等式、函数知识求解实际问题的最值是本节课的重点与难点，培养学生用数学的意识是本节课的目标。学生对不等式、函数知识在实际问题中的应用的情感体验是知识内化的主要因素之一，通过“数学实验”，特别是“几何画板”所创造的虚拟环境实验，将实物实验与思维实验有机地衔接起来了，从而将数学学习变得与物理、化学学科的学习一样有趣与便于控制。现代互联网、多媒体技术的发展为虚拟环境的数学实验打下了坚实的物质基础，为数学学习实验化扬起了风帆，开创了数学学习、教学、研究的新思路。
二、教学媒体
“几何画板”，PowerPoint，多媒体电脑与投影仪。
三、教学过程
1.创设问题情景，最优裁剪
一个圆心角为60°的扇形铁片，半径为20cm，现要将这块废料裁剪成有用的矩形铁片，问怎样裁剪才能得到最大面积的矩形铁片（即利用率最高）？
问题是最好的老师也是最好的“锚”，它可将本节课的主目标“最值”锚定，问题是静态的，而问题的解决又是一个开放型的事件，从而做到动静结合，层层深入，进入学生的心灵，增强学生的体验，触动学生的灵感。
2.创制性实验：剪剪画画，提出裁剪方案
让学生以4人小组为单位动手做实验：用扇形纸片去裁剪成一个面积尽可能大的矩形。这是一个开放的问题，学生根据自己的生活经验，相互讨论，最后由小组代表整理发言，所得的常见裁剪方法有：垂直裁剪（见图2），一边落在半径上的裁剪两种方法。（此处不求全，应遵循学生的知识建构过程的规律，对于学生提出的方案应予以充分肯定，并可结合工人裁剪实例的录像反映他与探索最终形成了上述两种常见裁剪方案）
实验是学生获得感性认识的来源，这里所提出的两种裁剪方案确实是生活中工人师傅们常用的裁剪方案，增强问题的真实度与社会性。在这个实验中，由于四人小组的组内协作，教师在巡回的过程中发现有学生提出的裁剪方案：四个顶点没有全落在边缘上的裁剪很快就被其他成员否定了，理由是不可能最大，思考是认识最直接的方法，并能在实验过程中得到良好的情感体验，大脑得到更和谐的开发，经验与协作是旧有与现存的支架，是通向更高层的基础，也是学生意义构建的开始，这种支架比教师刻意搭起的支架显得更加自然与有效，教学的更高境界就是要自然化。
3.虚拟环境实验：利用“几何画板”创造虚拟实验环境，为突破本节课的核心打下基础
垂直裁剪方案中仍能剪出各种各样的矩形，最大矩形面积是多少？是否优于第二种方案裁剪出的最大值，即哪种方案最优？都难以说服对方。此时提出方案一，利用“几何画板”按2∶1创建实验模型，如图2：
面积EFGH=24.79cm2
OA的长度=10.00cm
矩形EFGH就是垂直裁剪所得的矩形，拖动裁剪点E，矩形的大小发生改变，矩形的面积值也随之改变并即时显现出来，通过观察发现：矩形的面积值可随着拖动由小连续变到大，再由大连续变到小，在一个确定的E点达到最大值26.80cm2。同理对于剪裁方案二可利用“几何画板”创建如图3的实验模型：
面积EFGH=21.54cm2
OA的长度=10.00cm
拖动E点可得，矩形EFGH面积的最大值为28.88cm2，变化情形类似方案一。学生对此结论非常惊奇，许多学生都以为方案一最优，这一实验过程为学生进入更高层次的反身思维实验打下了良好的情感体验，累积了许多思维的素材，为进入反身思维实验铺平了道路。
4.反思思维实验：突破本节课的核心问题
怎样求这两类裁剪的最值？通过上面的虚拟环境实验，学生认识到矩形的面积是剪裁点E的函数，该最值一定要用函数的最值方法去求，怎样用函数的方法去求最值？师生一同建立该思维实验的支架（一个回思重组、知识结构优化的过程）――函数方法求实际最值的程序：锁定研究目标――将目标函数化――求函数最值。怎样将目标表示成函数、函数自变量怎样选取等问题教师可适时提出，引导学生独立思考、分析解决，提高教学的有效度，保持教学在高认知水平上进行。各小组在得到目标函数后，教师追问：最值应怎样求？从而巩固最值的求法技巧，并将技能条理化与网络化。
上述过程是师生的互动过程，教师再结合“几何画板”的动态实验功能对学生的猜想及时予以验证，对学生疑问的地方实验演示，给学生以充足的思考空间。
5.成果展示阶段（巩固实验结果）：学生分组投影
垂直裁剪方案：
解1：如图4：EFGH为内接矩形，以AB的中垂线为y轴，O为原点建立直角坐标系，则AB弧的方程为：x2+y2=400（-10≤x≤10，y
比较方案一（垂直裁剪）和方案二（一边落在半径上的裁剪）知：方案二所截得的矩形的最大面积更大一些，方案二更优，与虚拟实验环境的实验结果一致。
通过成果展示，扩大优解的影响，进一步优化学生的知识结构，让意义建构更为有效，通过它的辐射达到大面积整体提高的效果。优解即为一种榜样，有许多同化的功能，从而使教学中个性与共性得到和谐发展。
6.探索阶段
此时采取方案一的学生心理平衡被破坏，发出了不和谐的声音，提出问题：还有许多裁剪方案，方案二也不一定是最优解。随着问题的提出，课堂步入了更深的层次，通过讨论、辩论，学生步入了建模的境地，发现这众多的裁剪方案完全可由一个被称为裁剪角的量而确定，从而把裁剪方案表示成裁剪角的函数，不同的裁剪角表示不同的裁剪方案，下面的问题是怎样求出裁剪角一定时的最大面积，及这些最大面积随裁剪角变化的情况，即寻求最优裁剪，此时师生均感困难。这时我们采用“几何画板”的数学实验功能，绘出函数的图象，观察动态变化的度量值，及曲线图形的最高点的动态变化，这时发现方案一的答案为裁剪角为60度时的最大面积，方案二的答案为裁剪角为90度时的最大面积，并且最优裁剪就为方案二。这里虽然用“几何画板”直观地解决了问题，但为什么？对于一般裁剪函数的最值怎样求？又成了新的问题，学生带着问题进课堂而出课堂时带走了更多的问题，它们更宽广、更深入。
四、作业与思考
（1）小结回思最值问题的处理方法与思想。（2）若扇形角为120度，上述最优解为何？（3）提出一个最值问题，根据提供的问题老师写评语。
五、教学后记
关键词：高中数学；复习；应试
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）09-00-01
一、数学复习
培养和指导学生科学备考，立足于教材，克服盲目的题海战术，以重点知识，主干知识为重点，构建系统知识网络，立足双基，认真研讨教育部《考试大纲》，分析近年来高考试题，真正提高学生的题解能力和应试能力，减轻学生的心理压力和精神负担。
全国高考卷力求试题创新，稳中有变，变中求新，命题小组（教育部考试中心）力求高考的背景公平，思维公平，应试环境公平。淡化知识点覆盖率，重点知识重点考（如函数与导数），主干知识反复考。试题体现入口宽，深入难，很难完整性的特点，试题容易在知识网络的交汇处命题（重点章节的合理衔接）；试题充分体现开放型、探索型、应用型的特点。
二、高考数学卷的卷面结构和主干知识
考试中心强调：卷面结构形式不变，即由12个选择题和4个填空题和6个解答题的形式不变，六个解答题的重点知识考查内容不变，即：（1）三角函数与平面向量；（2）概率与相关知识；（3）空间几何（一题两法）；（4）数列与极限（含归纳法）；（5）圆锥曲线与相关知识；（6）函数与导数。
选择题和填空题中的22个主要考查知识点：
（一）复数
（二）函数与反函数
（三）简单线性规划
（四）等差数列与等比数列
（五）不等式（分式不等式）的解法
（六）排列与组合
（七）向量法平移
（八）向量运算
（九）立体几何中的性质与应用
（十）导数的几何意义与切线方程
（十一）解析几何：直线与圆
（十二）解析几何：椭圆、双曲线与抛物线
（十三）三角函数（诱导公式与基本性质）
（十四）二项式定理（重点是通项公式）
（十五）空间向量的应用
（十六）解斜三角形（正、余弦定理的应用）
（十七）极限（函数极限）
（十八）统计初步知识（包括正态分布）
（十九）概率（重点是经典概率）
（二十）旋转体与球体
（二十一）导数的应用
（二十二）数学中的逻辑关系（充要条件的判断）
卷面中可能的新题型：
1、数学建模类题型。数学是自然科学的基础，它的应用是以其它知识解决为前提的，如何把实际问题的应用数学化，构成了数学应用的基础――数学建模。它在合理规划、经济、建设中应用越来越广泛，应该引起足够的重视。
2、新定义运算。新定义的基础是高等数学的概念，新定义运算容易考查学生的思维品质和应变能力，题型新，运算简单（2010.山东.理12），但要注意方法的特殊性和运算灵活性。
3、信息技术类。随着信息技术的普及和推广，建立在数学应用基础上的信息技术考题，越来越基础化（2010.湖南.理7），二十位制之间的转化，信息处理的模型化。
三、数学学科在高考中的应试策略
（一）认真分析试卷，整体把握试卷结构，做到做题的针对性，切忌盲目。容易题先做，疑问逐步逐层解决，把握学科的主干知识应用和数学思想的通式通法。一般来讲，新增内容《平面向量》《线性规划》《概率极限》《导数》是必考内容，但以工具性为主。
《三角函数》《空间立体几何》题型稳定，难度适中，依教材题。《解析几何》《函数与导数》知识来源于教材，高于教材，是中学数学和高等数学的有机链接，是高考的难点与重点，特别是函数知识，高考40%的内容都与之有关。
（二）教材中重点章节的复习、练习要多问几个为什么，注重学习中通式通法。同学们知道，“高考题材源于教材，而又不拘泥于教材”（教育部考试中心的解释），它到底哪些源于教材，哪些又不拘泥于教材呢？由于同学们所学知识的局限性以及教材改革的方向不同，很多知识点的考查仅限于教材或者他的翻新。例如立体几何、函数极限、线性规划、正态分布等章节。
（三）数学复习中要始终保持勤于动手的好习惯，要学会持之以恒，具备良好的数学素质。在具备相同的先天条件下，个性品质的差异主要是后天养成的。要善于把握重点，力求和老师辅导同步，规范练习，切忌虎头蛇尾。高考知识点的覆盖涉及教材知识点的40%，所以个人复习往往不求面面俱到，要学会选择，认真总结，勤做笔记。后阶段集中复习为280天，练习量达到300道题。
（四）谨慎选择资料，一般来说资料的优劣取决于每个人的适应与否，宜精不宜温，宜少不宜多，所附答案要详，要精，正确的答案给人一种启发，错误的答案往往给人一种误导。
关键词：几何画板；数学教学；动态演示
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）30-0119
数学是研究数量关系和空间形式的科学。随着现代信息技术的飞速发展，信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。《数学课程标准》（实验稿）指出：“要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。”数学是集严密性、逻辑性、精确性、创造性和想象力于一身的科学，使用计算机技术能使抽象的数学问题变得具体、形象，使复杂的“数”通过直观的“形”来表示，《几何画板》是一款优秀的专业学科教学平台软件，该软件短小精悍，功能强大，能动态表现相关对象的关系，特别适合数学教师根据教学需要自编课件，因而在全国中小学广泛流行起来。也使我们的教育由“一支粉笔、一块黑板、一把尺子”的枯燥无味的课堂教学走向生动活泼的“动态教学”。作为数学教师应该合理、恰当的使用《几何画板》辅助教学，并充分发挥它的作用，使学生乐意并投入到现实的、探索性的数学活动中去，培养思维能力，提高数学素养。
一、利用《几何画板》激发学生的学习兴趣
爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师”，初中生的好奇心理是由他们的年龄特点决定的。而直观性教学是吸引学生注意力，然后产生联想、概括和抽象的最好方法。通过几何画板动态演示，让学生感受到行与数的变与不变中存在着内在的关系，培养学生数形结合的思想以及学习数学的兴趣。
案例1：在探究“不规则多边形镶嵌”的问题时，如图1，利用《几何画板》展示许多形状、大小相同的板块镶嵌在一起，可以铺满平面。学生可以拖动几个点来改变板块的形状，设计成金鱼、飞鸟或小狗。形状变了，仍然紧密地铺满。这是为什么？这里用到了图形的反射和平移等几何变换的知识，也用到了全等三角形的知识。道理明白了，学生们自己能设计出更有趣的镶嵌图案来，还可以用纸板作实际的镶嵌设计制作。
本案例中，整个过程经《几何画板》的实验，学生从中经历和体验图形的变化过程，丰富了感知，自然产生一种成就感和强烈的求知欲，激发学习兴趣。
二、利用《几何画板》验证猜想揭示问题本质
在解决数学问题中，由于问题本身的抽象性和推理的复杂性，有时花费了很多时间都未能把问题证明出来，此时，产生对问题的疑义并对问题真实性进行验证是一种极为可能并欲想去做的事。学生在通过《几何画板》实验验证得出问题结果是正确时，将会激发起信心，增强解决问题的动力，缓解心理紧张和心理焦虑，变换思维角度，对问题进行再认识，重塑解题信心。
案例2：证明：“三角形中，如果有两个角的平分线相等，则这个三角形是等腰三角形。”的问题时，由于该题目的证明思路很不容易被找到，学生尝试用多种方法思考证不出来时，提出了“老师，你让我们证明的题目是正确的吗？”这样的问题来。笔者提示学生用《几何画板》对题目进行验证。如图2，作出图形，并测量了有关的线段的长度，当通过拖动如图所示的D、E两点，在找准使AE与BD相等的点时，学生得到AC与BC的值总是相等的。于是，在验证了结论是正确的这样一种良好心理支撑下，学生兴奋地告诉说：“老师，题目的结论是正确的，我要再试试如何证明。”
案例3：学习“三角形三个内角的和等于180°”定理时，教师可以让学生绘制一个三角形，如图3，测量出每个角的度数和三个内角和的值，并拖动三角形的任一个顶点，观察三个内角之和是否仍保持为180°。
这两个案例说明，学生在解题或新知识的接受往往对问题产生种种猜想，对于这些在感性认识上对新知识新方法的认知理解，通过《几何画板》动态演示为猜想进行验证，也为推理论证的顺利开展树立了信心。
三、利用《几何画板》突破教学难点
对于教学中的一些疑难点，在分析问题的过程中，如不借助于一定的直观实验手段，就很难达到预定的教学目标。像解几何题时添加辅助线是初中数学教学中的一个难点，但辅助线有时是解决问题的关键，巧用《几何画板》动态实验，能探究辅助线的作法，使复杂问题简单化。
案例4：如图4（1），在RtADC中，∠ACD=Rt∠，AC=DC，E、F为AD上两点，且∠ECF=45°，求证：以线段AF、FE、ED为边可以构成直角三角形。分析：传统解题方法：如图4（2）所示，在∠ECF内部做线段CG=CD且∠GCE=∠DCE连结GE，GF，分别证明GCE≌DCE和ACF≌GCF，从而得到所要求证的结论。虽然问题解决了，但学生困惑了，怎样想到作这样三条辅助线呢？我们通过《几何画板》动态展示找到问题的突破点：如图4（3），分别把DCE、ACF沿CE、CF翻折180°，于是可发现：DC与AC刚好重合，通过动态实验揭示了此题作辅助线的方法是利用图形轴对称变换的思想。
本案例说明，数学动态实验教学，学生先获得深刻的感性认识，然后师生共同通过分析、概括、推理、判断，使学生的认识提升到一种理性的高度，这样使严谨、抽象的几何证明从此充满活力，用《几何画板》动态实验能探究辅助线的作法，使复杂问题简单化，开阔学生思维。
四、利用《几何画板》培养学生空间想象能力
《几何画板》能制作出由操作者控制视角的各种几何图形，使学生能从任何方向来观察它们及这些几何体上的线段与截面，在让学生观察实物的基础上，再调用这些课件，学生都能看到这些可动态变化的几何体，不仅看得比较清晰，而且能多角度进行观察，弥补了实物观察时的不足之处，又能在实物与图形之间建立了一个中间环节，更有利于对空间图形的想象，这对逐步提高学生的空间想象能力是极好的教具与学具。
案例5：在学习圆锥的表面积和侧面积展开图时，可利用《几何画板》动画演示，如图5，有意识地让学生观察分析扇形的半径、弧长与圆锥母线、底面周长的关系，圆锥母线=展开后扇形的半径，圆锥底面周长=展开后扇形弧长。学生通过亲身体验和观察，自然地想到圆锥的各个量和它的侧面展开图，即扇形的各个量之间关系。
本案例说明：通过《几何画板》动态演示让数学真正的看得见，摸得着，有切肤之感，才有心灵之通，促使学生数学多种思维的发展。我们也可以利用《几何画板》制作或者让学生一起来制作一些课件。实时的拖拉演示，使学生通过想象和实物演示都不大容易理解的东西形象化、具体化，从而培养学生的想象能力。
五、利用《几何画板》培养学生探究和创新能力
著名的数学教育家G・波利亚指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学发明的过程，那么就应让猜想合情合理地占有适当的位置。”这就要求教师根据数学内容，利用《几何画板》合理地创设一些数学实验，引导学生观察，让学生动手探索，大胆设想，把教学重点放在发现问题和证明方法的探究上，从而达到培养学生创造性思维之目的。
案例6：如图6（1），直角梯形ABCD中，AD∥BC，ABBC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90度至DE，连结AE、CE，则ADE的面积是（ ）。
A. 不能确定 B.1 C.2 D.3
教师在教学时通过《几何画板》让学生发现梯形ABCD的形状不确定。上下拖动BC，又发现ADE的形状也随之变化，故面积不定。此时教师给出结论：A不能确定，学生点头称是。教师进一步演示，让电脑跟踪计算ADE的面积，发现其值不变，随之出现了矛盾，也就是说教师给出的答案学生认为正确而实为错误的问题。从而引发了学生的质疑，部分学生嘀咕：ADE中已知底边长度，只需求得高线……，难道高线不变？从而产生对问题探索的欲望。再由教师适当引导，“CD以D为中心逆时针旋转90度至ED”如何理解？一番画图剖析、诊断后，得出结论：将直角梯形绕D旋转或部分旋转90度（如图6（2）），即可观察到高线长度永远不变，为BC-AD的值（即3-2=1），故SADE=■AD・EG'=■×2×1=1。此时学生惊奇，恍然大悟。
本案例说明，整个过程通过《几何画板》的动态实验，学生从中经历和体验图形的变化过程，引导学生探究问题的发现和方法上，培养探究和创新能力，培养学习兴趣，丰富了感知，自然产生一种成就感和强烈的求知欲，培养分析问题的能力。
综上所述，《几何画板》是一个动态讨论问题的工具，对发展学生的思维能力、开发智力、促进素质教育有着不可忽视的作用，用《几何画板》与学生共同探讨问题，探求未知的结论，可以开阔思路，培养能力，提高数学素养。让学生学会利用《几何画板》去研究数学问题，从而找到解决数学问题的方法，对提高学生自主探究的学习能力，培养学生的数学思维能力能起到不同寻常的作用。《数学课程标准》指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验”。开展各种活动学数学，能让学生通过自主探究、动手操作、观察、猜想、论证，使学生乐意并投入到现实的、探索性的数学活动中去，为每个学生的终身发展奠定良好的基础，实现“使人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。
参考文献：
[1] 教育部.数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2] 波利亚.数学与猜想（第一、二卷）[M].北京：科学出版社，1984.
关键词：经济数学 几何画板 教学模式 情境 哲学
中图分类号:G642.0 文献标识码:A
文章编号:1004-4914（2011）08-129-02
数学对研究经济科学的重要作用，已由近代经济科学发展的历史所证实。数学以它内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结构的明确性使得经济学研究有了突飞猛进的发展。因此，为了适应经济科学发展的要求，经济数学应运而生。经济数学是用数学方法来研究经济现象以及对经济学中所提出的数学问题进行专门研究的一门学科。在大学阶段加强经济类学生的经济数学教育是大势所趋，掌握坚实的数学功底更是这类学生将来与世界前沿经济研究接轨的必要条件。这就要求我们做好经济数学的教学工作。
随着互联网和多媒体技术的迅速发展，各种CAI(Computer Assisted Instruction计算机辅助教学)软件应运而生。只会使用PPT等通用课件制作软件已远远不能满足时代要求。从我国高校经济数学教学中使用CAI的情况来看，绝大多数教师还是“粉笔加黑扳”，这样单调的教学模式，使很多学生对经济数学望而却步，总是感到太难、太抽象、听不懂，从而失去了学习的兴趣，在学习中常常只是被动的听老师讲，并未真正成为学习的主体。
笔者经过教学实践，认为《几何面板》正是这样一种实用性很强的CAI 应用软件。它能将传统的经济数学教学方法与现代教学手段有机结合起来，充分发挥计算机信息量大、化远为近、化静为动等优势，为学生提供一块自由的、开阔的“做”数学的天地，使学习主体由被动地接受变成主动地探索，使经济数学课堂教学呈现出一种生动活泼的态势。
一、《几何画板》简介
《几何画板》是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的几何软件。1996年该公司授权人民教育出版社在中国发行该软件。其全名为《几何画板――21世纪的动态几何》。
《几何画板》是一个适用于几何、经济数学、高等代数等学科的教学软件。它能画出任意欧几里德几何图形，而且注重数学表达的准确性，其精髓更在于可以在变动情况下保持图形所设定的几何关系，这样就为师生提供了一个观察、探索和实验的几何环境，是数学教师制作课件的好工具。其特点主要有三方面：学习容易，操作简单，功能强大。
二、传统经济数学教学模式的弊端
传统经济数学教学模式中，由于硬件条件的限制，许多知识被“教”抽象了，学生只能凭直觉思维进行逻辑推理。传统教学模式没能把经济数学中的概念、问题及其产生过程变成具体画面呈现出来，也没将不同的教学内容进行模拟仿真，创设情景，化不可见为可见，化静态为动态，化抽象为直观，使课堂教学受到时间、空间、宏观、微观的限制，极大地影响了经济数学课堂教学的表现力。
当然，经济数学这门学科自身的特点限制了不可能在课堂上大量引入影视资料和音乐，也不能来一个从黑板到屏幕的大搬家。事实上经济数学是集严密性、逻辑性、精确性、创造性和想象力于一身的学科。教师在黑板上的作图、证明、解题过程本身就是一个不可或缺的示范教学过程。因此，怎样将计算机技术与经济数学教学有机结合在一起，起到促进教育现代化的进程，一直是大家关注的问题。经过教学实践，笔者认为“计算机技术与经济数学教学有机结合”的契合点是把《几何面板》与经济数学教学进行整合。通过《几何面板》准确地展现几何图形，揭示几何规律，动态地再现数学问题的发现与形成，同时潜移默化地使学生掌握观察问题，解决问题的科学方法，最大限度地调动学生思维的积极性和创造性。
三、几何画板辅助经济数学教学模式的实时展示
（一）巧设情景，激发学生求知欲望
兴趣是最好的老师。利用几何画板丰富的动态画面，生动可感的声音有利于创设特定的意境，可以激发学生极大的兴趣，唤起强烈的探索欲望。这时，学习便成了一种轻松愉快、主动求索的过程。如在讲述极限定义、导数概念时，就可以利用图形的动画效果，再结合必要的解说，使学生深刻感受逼近的过程。下面通过案例来做进一步阐述。
【案例1】导数的概念。
1.瞬时速度。北京时间5月12日14时28分，我国四川省汶川县发生里氏7.8级地震，山西省太原市14时31分有明显震感，两地相距1600公里。引导：（1）运用物理所学匀速直线运动的速度公式可求得地震波传播的平均速度。（2）那么如何求某一时刻地震波传播的瞬时速度呢？
2.切线斜率。用预先做好的课件进行演示。（说明：点P不动，点Q在曲线上运动时割线会随着移动，相对应的数据也在变化，可以从图中观察到。）
瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限。它们均可归纳为函数增量与自变量增量比值的极限，从而引出导数概念。
【案例2】旋转体体积。
几何画板可插入各种图片、FLASH动画及影音文件。在播放的同时解说：“国家大剧院是我国最高艺术殿堂，其中心建筑成独特的椭球体，四周水池环绕，再加上其反光外墙，给人以巨大的视觉冲击。那么如此气势恢宏、规模庞大的标志性建筑是如何控制其室内温度及湿度的呢？这显然与其内部空间体积有着密切联系。首先要知道它的体积，才能进一步设计、安装与之相符的中央空调，以达到资源的优化配置。如何计算国家大剧院内部空间体积呢？让我们带着这样的问题来学习今天的内容：旋转体体积计算――定积分的应用。”由此展开新课内容。
（二）形象作图，使抽象内容具体化
学生的思维都是由具体形象思维向抽象思维过渡的。这就构成了学生思维的形象性与数学的抽象性之间的矛盾。《几何画板》为数学教学展现了新的生机，避免了尺规作图的特殊性，减少了凭空想象，培养了学生用运动的观点来认识几何现象，探索几何问题的能力。
【案例】函数性质分析。
在研究函数的性质时，想在黑板上“手工”画出此函数的图像真是不易，但利用几何画板就很轻松。
1.先打开《几何画板》界面／网格／矩形网格，将横坐标的单位长度拉小，使在有限范围内能看到单位“15”。
2.绘制函数图像。
观察图像，不仅能观察得到此函数在各区域上的增减性，还能观察到其凸凹性。
（三）度量计算，更好体现数形结合
数形结合就是一种通过数与形(以数解形，以形助数)来处理数学问题的思想。《几何画板》的动态性可以简明、快捷地突显“数形相倚依”的特点。例如，一方面可利用数量关系式研究函数图像的性质，另一方面图像也动态地表现出数量间的关系，因此利用几何画板进行经济数学教学可以更好地体现数形结合的思想。
【案例】定积分的几何意义。
在学习极限的概念、定积分的定义、定积分的应用等内容时，需要说明无限逼近的过程。传统的做法是利用静态的图形，依靠教材的描述，老师的讲解，让学生在大脑中去想象、去完成无限逼近的过程。有了几何画板，我们可以利用数学教学软件平台实现无限逼近过程的动态演示（矩形个数不同则逼近程度不同）。学生通过观察图形、数据，猜测并验证各矩形面积之和与定积分的关系。在观察、探索、发现的过程中深刻体会数形之间内在固有的“数形依倚”特性，加深对知识的理解。
（四）化静为动，利于突破重点难点
在学习旋转体体积、多重积分时学生的最大困难是不理解几何图形的整个变化过程及变化趋势。应用几何画板，就能把这一过程演示出来，将抽象问题转化为学生看得见、摸得着的动态图像。如果再使用轨迹功能，则能让点、线、面所经过的路径留下不同颜色的踪迹，让抽象的过程更加形象化。这样就能帮助学生更深刻地理解、掌握经济数学中的数学概念与规律，构建合理、清晰的认知结构。
（五）高屋建瓴，运用哲学审视数学
对当代大学生而言，学习一门课程，应以掌握该课程的思想并应用其解决各种实际问题为标准．经济数学作为一门基础数学课，蕴含了丰富的哲学思想。经过教学实践，笔者得出若以哲学思想来指导教学，则能提高学生的学习效率，并取得较好的教学效果。下面结合案例谈谈心得体会。
【案例】元素法。
几乎整个经济数学中的积分教学都伴随着“元素法”。这种“以直代曲”、“以不变代万变”、“化整为零，积零为整”的方法体现了哲学中否定之否定的辩证思想。在事物的发展和转化过程中，否定是一个重要环节，但辩证法的否定并不是简单的把事物消灭掉，而是既克服事物中的消极部分，又同时发扬其中的积极因素，不断由低级到高级、螺旋式向上发展。正是这种否定之否定，指导我们解决了实践中大量被认为不可思议的问题。我们可以计算不规则立体的体积、任意曲面的面积等。又例如质量互变的运动思想；发展的观点；从具体到抽象；联系的普遍性与多样性和从个别到一般的思想等在经济数学中都多有体现。
在经济数学教学过程中注意引导学生发现和自觉运用唯物辩证观指导学习，不仅可以提高学生学习的兴趣和热情，还可以使学生更好地了解经济数学理论的发展规律，掌握学科的精髓，使所学内容融会贯通，达到意想不到的教学效果。
（六）问题变异，自主探索完成作业
改变课堂所讲概念、定理的条件，引导学生猜测结论是否依然成立，可激发学生的求知欲和好奇心。学生通过利用几何画板进行绘图、度量、变换来观察几何图形，发现其特征及相互关系，猜测和验证结论。这种变异为学生自主探究性学习提供了一个生动的数学实验条件。教师从提问、引导猜测、辅助设计实验到探究，环环相扣、有的放矢。学生们通过自己动手操作，看到电脑屏幕上直观、形象的动态几何结果十分兴奋，取得了良好的教学效果，同时也真正落实了“以教师为主导，学生为主体”的教学理念。
四、结束语
通过实践笔者深深地体会到几何画板辅助经济数学教学的这种展演模式具有传统教学方法无法比拟的巨大优势。面对21世纪，我们应借助于几何画板软件及其他优秀应用软件，优化和深化课堂教学改革，全面改变本科经济数学教学枯燥乏味的现状，建立一个具有时代特征的适合本科学生身心发展的，以教师为主导、以学生为主体的课堂教学展演模式。为学生的自主学习、探究学习提供一个更广阔的空间，从而更好地培养学生的创新意识、创新精神和解决实际问题的能力。
参考文献：
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5.樊树鑫.浅谈经济学中的数学意义.经济论坛，2004（12）
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