时间：2023-06-02 09:20:26
乘法分配律是继乘法交换律、乘法结合律之后新的运算定律，在算术理论中又叫乘法对加法的分配性质。由于它不同于乘法交换律和结合律是单一的运算，从某种程度上来说，其抽象程度要高一些，因此，对学生而言难度偏大，特别是对乘法结合律与乘法分配律极容易混淆。所以在教学过程中我有坡度地让学生在不断的感悟、体验中理解，从而自己概括出乘法分配律。我是这样设计的：
一、让学生从生活实例去理解乘法分配律
全校有25个小组参加体育活动，每组里8人跳长绳，4人跳短绳。学校有多少人？通过引入解决问题让学生得到两个算式，先领会其意义，再突显其表现的形式。如（8+4）×25其意义就是12个25，8×25+4×25所表示的是8个25再加4个25也就是12个25，它们的表示意义一样，因此得数也一样，故成等量关系。然后观察它们的形式变化特点，两个数的和乘以一个数可以写成两个积相加的形式，再抓住因数的特点进行分析。在此基础上，我并没有急于让学生说出规律，而是继续为学生提供具有挑战性的研究机会，借助对同一实际问题的不同解决方法让学生体会乘法分配律的合理性。这是生活中遇到过的，学生能够理解两个算式表达的意思，也能顺利地解决两个算式相等的问题。
二、注意区分乘法结合律与乘法分配律的特点，要进行对比练习
乘法结合律的特征是几个数连乘，而乘法分配律的特征是两数的和乘一个数或两个积的和。在练习中，（8+4）×25与（8×4）×25这种题学生特别容易出现错误，为了学生更好地掌握，可以多进行一些对比练习，如进行题组对比：20×（8×4）和20×（8+4）；25×125×25×8和25×125+25×8。练习中可以提问：每组算式有什么特征和区别？符合什么运算定律的特征？应用运算定律可以使计算简便吗？为什么要这样算？继续练习：125×88，101×89，99×67+67，你能用几种方法？大多数同学用竖式计算。谁能用口算的方法算出来？125×88，我们把88变成8×11的形式，就变成了125×8×11，这样算就简便了，这就用了乘法结合律了。101×89，我们变成（100+1）×89，用乘法分配律就很容易计算出来了。99×67+67，我们可以看成99个67加上一个67是100个67，根据乘法分配律我们可以写成（99+1）×67了。
三、让学生进行一题多解的练习，经历解题策略多样性的过程，优化算法，加深学生对乘法结合律与乘法分配律的理解
25×44：①竖式计算；②25×4×11；③25×（40+4）。
101×79：①竖式计算；②（100+1）×79；③101×（70+9），101×（100-21），101×（80-1）……
对不同的解题方法，要引导学生对比分析什么时候用乘法结合律简便、什么时候用乘法分配律简便，明确利用乘法结合律与乘法分配律进行运算的条件是不一样的。乘法分配律适用于连乘的算式，而乘法分配律一般针对有两种运算的算式。要力争达到“用简便算法进行计算”成为学生的一种自主行为，并能根据题目的特点，灵活选择适当的算法。
四、多练，针对典型题目多次进行练习
练习时要注意练习量和练习时间的安排。刚开始可以天天练，过段时间以后可以过1-2天练习一次，再到1周练习一次。典型题型可选择（40+4）×25、（40×4）×25、86×25+86×75、65×107-65×7、76×99+76、125×88、59×102、47×99等。对于比较特殊的题目可间断性练习，对优生提出掌握的要求，如36×98+72、68×25+68+68×74、32×125×25等。
1、“情境设计”促进学生对算理的理解，对算理起了支撑的作用。
《标准》特别强调了计算与情境的关系。创设教学情境，有助于激发学生的学习兴趣，使智力达到最佳激活状态，沟通生活实际与数学学习、具体形象与概括抽象的联系，使学生在解决问题中理解和认识数学。
本节课潘老师从众多设想中选择具有生活性和趣味性的男女生比赛引入，激发学生探究的兴趣，学生在用两种不同的方法解决这一问题的过程中，感受两种方法之间的联系与区别，体会乘法分配律的合理性，为下面进一步研究理解乘法分配律提供了现实材料。
2、数形结合，渗透建模思想。
在本节课的教学中潘老师并没有停留在对乘法分配律的文字归纳上，而是进一步让学生利用数形结合的方式来解释乘法分配律的意义。
如活动：“写一写这样的等式。要求如下：
①写出2~3个这样的等式；
②计算等号两边两个算式的值，看看两边是否相等。
从具体的形出发，抽象出数的运算，又回到形来解释运算的含义通过对乘法分配律几何意义的理解，数形结合，循环往复，对运算算理理解的广度、深度、贯通度都有很好的促进作用，这将有助于学生整体数学素养的提高。
3、按照初步感知——验证猜测——概括定律的思路探究理解。
学生通过算式初步感知算式间的联系，一个规律的得出应该通过一组算式的观察得到，只是一个例子就显得十分草率，违背了数学是自然科学的规律，因此潘老师让学生自己出题，自己验证，学生不仅兴趣浓厚，而且主动探究验证，用多个例子得出普遍规律。
4、质疑教材，大胆尝试。
新课程提出“用教材”极大地解放了教师，促进了我们做一个有思想的教师，我们在教学中不断研究积累探讨如何用好教材。根据以往乘法分配律的变式多，学生易出错的问题，潘老师大胆尝试把教材中的情境图稍加改变，采取学生独立思考与小组研讨，全班互动交流的基础上发现、归纳乘法分配律，取得了良好的效果。
5、精挑细选，设计有效练习。
“用教材”不是简单地照搬书中的练习题，本节课潘老师设计练习题把握从易到难，由知识向能力转化的梯度，既从学生掌握基本知识上考虑，又从训练思维的灵活上设计，寻找除书本外一些题型灵活，内容丰富，具有开拓学生思维举一反三的习题，增加学生灵活掌握知识的能力，让学生在正、反两方面的练习中，充分地感受乘法分配律的妙用，增强学习数学的兴趣。
【关键词】 简便意识；简便计算；简便能力
《数学课程标准》指出：“探索并了解运算定律，会应用运算定律进行一些简便计算。”是计算教学的重要内容。本人经过反复的教学实践和反思，总结出围绕培养学生简便计算意识和自觉优化运算过程意识这一核心，开展有效数学活动，激活已有数学经验，引领学生在问题情境中探究，建立正确的运算定律模型，在练习中反思、感悟，形成“构建模型──实践反思──自觉应用”的学习模式，是促进学生优化简便计算，培养学生数学思维的有效策略。
一、激活已有数学经验，建立数学模型思想
数学经验是学生学好数学的重要基础，学生在学习中已经积累了一些基本数学经验，教师只要有目的地激活学生已有的数学经验，并引领学生将这些经验迁移到新知学习中，就能帮助学生建立正确的数学模型，感悟数学的直观，培养学生的抽象能力和数学思维能力。
如教学四年级下册第18页例2“加法结合律”时，这一内容的学习是在刚刚学习了加法交换律的基础上进行的，迁移学习加法交换律的经验，自主发现规律是学习本节课知识的重点，因此，在教学中，教师引领学生利用情境理解两种运算顺序的意义，并通过比较运算意义和结果，得出（84+104）+ 96=84+（104+96），再请学生比较下面的两组算式，说出自己的发现。
（69+172）+28 69+（172+28）
155+（145+207）（155+145）+207
通过学生充分讨论，得到加法结合律，再用符号表示，并结合相应的练习，加深学生对定律的理解和模型的构建。
又如四年级下册教材第31页第8题，李大爷家有一块菜地（如右图左侧），这块菜地的面积有多少平方米？
这个问题学生利用已有知识也能解决，但都是把原图形分割成两个小长方形再分别用长乘宽计算出面积，再相加，即21×9+19×9=189+ 171= 360（平方米），是典型的乘法分配律的几何模型，教师在教学中可引领学生重点讨论，还可以怎么算，如（21+19）×9=40×9=360（平方米），为什么可以这样算，因为两个小长方形的宽都是9米。通过剪纸操作（转化成如左下图右侧），帮助学生理解，进一步构建乘法分配律的模型。
实际上学生对运算定律并不陌生，在低年级已经积累了许多关于运算定律的数学经验，其中，加法验算方法是根据加法交换律，凑十法是运用了加法结合律等，只是那时没有明确学习运算定律。因此，教师在教学中使学生经历问题情境探究，激活已有数学经验，构建正确的加法、乘法运算定律这些数学模型，认清模型本质是培养简便计算意识和能力的有效策略。
二、培养学生审题习惯，达到正确简便计算
学生在发现规律，构建正确的加法、乘法运算定律这些数学模型之后，有了一些数学活动经验，对简便计算也有一定的认识。但由于一下子学了这么多的运算定律，这时的学生就像娃娃学步，处于易倒易碰的状态。脑子里所形成的各种运算定律模型是比较浅显的，并没有根深蒂固，非常容易被一些特殊的数据或思维干扰。在具体练习中，能不能进行简便计算，或选择哪个运算定律进行计算，对此还是处于混淆阶段。学生却会觉得自己已经有简便计算的能力了，一拿到题就急于解答，结果事倍功半。因此，作为教师应引领学生参与自主体验，培养学生审题习惯，掌握正确的、合理的简便计算的方法和技巧，达到能正确地简便计算。
如教学四年级下册教材第22页第1题。计算下面各题，怎样简便怎样计算。学生计算672-36+64=672-（36+64）教师问：“为什么先算36+64？”学生答：“36+64=100两个结合起来先算，比较简便。”教师又问：“仔细观察，这样算的结果和左边会相等吗？为什么？”这时，学生才发现两边不相等，左边672只减去36，又加上64，而右边672减去了100，两边不相等，不能这样算。教师再问：“那这题该怎样计算呢？”学生回答：“按从左往右的顺序进行计算。”教师^续追问：“左边算式怎样改就和右边相等？”得出672-36-64=672-（36+64）=572。
这题是由于习题本身的数字干扰，学生没有认真审题，匆忙计算，就忘了只有一个数连续减去两个数时，才可以用这个数减去这两个减数的和这一数学本质。假如学生在计算之前有认真审题的习惯，会正确解答此题。
又如，（6×4）×25=6×25+4×25=150+100=250，教师问学生错在哪里，学生知道括号里是6×4，不是6+4，不能根据乘法分配律进行简算，要根据乘法结合律进行计算，得出正确算式：（6×4）×25=6×（4×25）=6×100=600。
再如，在单元考查中有填空题，125×16=（125×8）× 2=1000×2=2000，根据（ ）定律。部分学生还是填 了乘法分配律，这题的本质是先把125×16转化成125×（8×2）按计算法则应先算8×2，为了使计算简便，可根据乘法结合律，写成（125×8）×2先算125×8，积不变。仔细琢磨，发现部分学生并没有仔细思考，一看题里把16转化成8×2两个数的积，把一个数分成了两个数，就选择乘法分配律，没有思考乘法分配律的本质含义。
乘法结合律和乘法分配律中都有小括号，酷似一对孪生兄弟，学生易受干扰。但仔细研究会发现，两者有本质的区别。乘法结合律是三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变；乘法分配律则是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。学生计算时，通常是凭直觉，只看个大概，就开始计算，说明学生没有仔细审题，或者对这两条运算定律的理解还不够透彻。
避免上述的种种现象，很重要的一个策略就是培养学生认真审题的习惯，计算之前仔细观察题里的数据特征，判断应按四则运算顺序计算，还是可以进行简便计算，假如可以进行简便计算，想清楚应根据什么进行计算，怎样算最简便，做到自觉优化算法再计算，完成后再一次回顾与反思自己的每一步是否正确、合理，才能做到学以致用，达到事半功倍的效果。
三、加强实践练习活动，丰富简便计算经验
经验是教不会的，只能让学生在练习中感悟和积累，教师灌输的经验学生不一定能接受，更代替不了W生自己经验的积累。而且学生简便计算的能力不是一蹴而就的，是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次的发展起来的。之前，学生经历知识的探究，模型的构建，以及自主体验等数学活动，掌握了简便计算的一些技巧和方法，这时教师及时加强实践练习，学生在练习过程中及时反思，发现问题，纠正错误，从而丰富计算经验，是培养学生简便计算意识和能力的有力保证。
如教学四年级下册教材第30页第1题。计算下面各题，怎样简便怎样计算。
3200÷4÷25=800÷25=32，教师让学生说说这样算的理由，发现学生只想到3200÷4=800，没有考虑800÷25还要列竖式计算，这时，教师及时请不同算法的同学介绍自己的算法，3200÷4÷25=3200÷（4×25）=3200÷100=32，再请学生说出这样算的根据是什么，比较两种算法哪种算法更简便，为什么？
又如，四年级下册第21页做一做第2题，487-187-139-61，学生这样算，487-187-139-61=487-187-（139+61）= 300-200=100，计算过程中，学生只记着减去两个数的和得加上括号，误认为487-187正好得300就理所当然可以先算，而忽略了运算法则，将括号内的与括号外的进行同步计算。评讲时，教师让学生自己来做小老师，找出错误原因并改正，说说在计算过程中，除了观察数据的特点还应注意什么，学生就明白简便计算在根据运算定律计算的同时，还要根据运算法则进行，而不能想怎么算，就怎么算。
再如，计算295×28+295×71+295，一开始学生是这样算的，295×（28+71）+295=295×99+295=29205+295=29500，教师请学生再仔细观察题里的数据，是否有什么发现？有三个295，再问：三个295分别与谁相乘，最后一个295可以看作与哪个数相乘？学生得出295可以看作是295与1相乘的积，请学生再思考，还有比刚才更简便的算法吗？学生又发现可以这样算：295×28+295×71+295=295×（28+71+1）=295×100=29500。请学生比较两种算法，你喜欢哪一种，为什么？学生从中体会到学习简便计算的价值，提高学习的兴趣。通过比较，促进学生敏锐地发现问题，及时调整策略，使自己在计算过程中选择更灵活、更合理的方法进行计算，进一步提高优化简算能力。
学生在这些环节中积极地参与，在“做”“观察”“探究”“比较”和“反思”等一系列的活动中，教师引导学生开展丰富多样的实践性练习和探究，引导学生把直接学习经验和间接经验相结合。伴随这些过程，学生才能真实地积累如何简便计算这一数学活动经验。
四、关注解决问题策略，增强自觉应用意识
在学生掌握了运算定律和利用定律进行简便计算之后，教师的任务应该是从原来关注简便计算的方法和技巧，转向关注学生解决问题所采用的策略，引领学生自觉地把学到的简便计算方法以及积累的经验，运用到解决实际问题中去，增强自觉应用意识，同时注重方法的灵活性和多样化，这才能进一步提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
如四年级下册第19页第4题。
通过反馈，发现大部分学生在计算合计数过程中，并没有选择加法交换律或加法结合律进行简便计算，而是按四则运算顺序口算或列竖式计算算出得数。教师及时问列竖式的同学：你能用更简便的方法计算吗？这时学生才意识到原来这题是可以进行简便计算的，随后轻松地算出了合计数。教师再请学生说说计算过程，为什么这样算，根据是什么。
又如四年级下册第27页第5题。一套运动服上衣75元，裤子45元，李阿姨购进60套这种运动服，花了多少钱？许多学生列出算式75×60+45×60后，习惯按照四则运算顺序，先把75×60与45×60同步计算，再相加。教师提问：还有不同的算法吗？学生说：还可以根据乘法分配律进行简便计算，得出75×60+45×60=（75+45）×60=120×60=720（元），或直接写成（75+45）×60=120×60=720（元）。教师请学生说说这样算的根据，再请学生与按四则顺序计算方法进行比较，并表扬能在解决实际问题中自觉进行简算的同学。
再如，单元考查中303个201减去303，差是多少？这是一道文字题，题里没有要求简便计算，学生解答201×303-303=60903-303=60600，分析试卷时，教师问：这题可以简便计算吗？学生仔细观察分析后得出201×303-303=（201-1）×303=200×303=60600。再请学生说说为什么这样算简便，计算前要注意什么？
【摘要】学好简便计算，不仅能提高计算速度，发展计算能力，而且能有效培养学生思维的深刻性、灵活性和创造性。乘法分配律因其应用广泛、变化丰富、隐蔽性强、易于混淆等特点，无可争议地成为小学生认知上的难点。现我以实例为载体提出了意义性理解应重于形式上的把握、加强对比与辨析、打破固有模式等应对策略，以确保学生不仅掌握其“外形”，更能感悟其“内理”，学会在“变”中探求“不变”。
关键词 发散性思维训练；乘法分配律；数学学习；运算规律
乘法分配律是乘法三个运算定律中最难掌握的一个。原因有二,一是学生的感性认识比较少,平时学习中虽然在一题多解中见过这样的形式,却对它们之间为何有这样的关系不理解;二是乘法分配律形式变化比较大,学生原来接触的运算定律形式变化不大,原来是几个数变来变去还是这几个数,而乘法分配律最标准的展开式还得从三个数变成四个数,学生掌握起来比较困难. 说起乘法分配律,不少人都认为它只是一个运算规律.其实在数学学习和应用中,它还是一种全新思维.如果教师能充分认识它的内含,拓展它的外延,并利用这一规律对学生进行发散性思维训练,必将有助于学生良好数学思维习惯的培养,从而全面提升学生解决数学实际问题的能力。
（一）导入：长期以来乘法分配律的教学缺乏算理支撑，在教学实践中学生对该内容的掌握并不能达到预期的效果，其原因是学生没有从本质上去理解乘法分配律的含义。通过多种尝试，我找到了把整数乘法的意义融入乘法分配律的教学中去的方法，效果很好。其做法是：出示例题7+7+7+7+7+7=？。可以改写成7×6，表示6个7相加，用乘法口诀是“六七四十二”。在这里7的名称叫“相同加数”，6的名称叫“个数”。我再出示例题7+7+7+7=？。改写为乘法算式是7×4，7是“相同加数”，4是“个数”。这个环节的训练主要是让学生理解并掌握“相同加数”和“个数”这两个概念，为以下的乘法分配律教学奠定基础。
（二）建构模型：在学生理解并掌握“相同加数”和“个数”这两个概念之后。把以上的两个式子连起来（7+7+7+7+7+7）+（7+7+7+7）=？。改写成乘法算式是：7×6+7×4。一道典型的乘法分配律范例就出来了。其表示的意思是6个7加上4个7是10个7，10个是6个加上4个而得的。也就是把它们的个数先相加，再乘以相同加数。例子7×6+7×4=（6+4）×7=10×7=70。这样乘法分配律的解题思路就出来了。学生也很容易明白式子的算理。乘法分配律用字母表示是a×c+b×c，c是相同加数，a是个数，b也是个数。方法是：先把它们的个数相加,再乘以相同加数。a×c+b×c=(a+b)×c。
（三）变化：理解算理的意义在于了解乘法分配律的本质。如例题（40+4)×25。学生通过上述两个阶段的学习，就能很快说出25是相同加数，40是个数，4也是个数。表示40个25加上4个25，用算式表示为（40+4)×25=25×40+25×4=1000+100=1100。乘法分配律用字母表示（a+b）×c，表示a个c加上b个c，从而得出（a+b）×c=a×c+b×c。通过上面三个步骤的教学使学生知道乘法分配律的运算与逆运算都可以用相同加数与个数的知识来理解。通过这样的建构模型，让学生明白了算理，为深层次的学习打下基础。
（四）拓展：在掌握了乘法分配律知识的基础上，让学生能解答各种变化题型才是我们教学的关键。如在算式62×103－62×3中。62是相同加数，103是个数，3也是个数。表示的意思是103个62减去3个62就是100个62。其方法是：先把个数相减，再乘以相同加数。又如算式45×99+45。45是相同加数，前面是99个，后面的45单独在表示1个，相加起来也就是100个45。再如算式78×102。102比100多2，在这道算式里可以先把102分成100+2。78×102就变成了78×（100+2），78是相同加数，100和2都是个数，表示100个78加上2个78。从上述可看出这些例子是在对乘法分配律掌握的基础上的提升，仍然可以用相同加数和个数的知识来理解并解答。学生很容易明白算理。
（五）延伸：经过了对整数类型的乘法分配律讲解，为学生对乘法分配律的掌握提供了理论依据，为学生今后学习小数类型的乘法分配律和分数类型的乘法分配律打下了基础。如算式：3.2×6.3+3.7×3.2。3.2相当于相同加数，6.3相当于个数，3.7也相当于个数，仍然可采用先把相同个数相加（减），再乘以相同加数的方法。分数类型的也一样去解答。可以达到举一反三的效果。
参考文献
[1]王海峰.“学教合一”理念在数学教学中的运用初探.《小学教学参考》2014-36期
[2]冉多海.构建有效和谐课堂,促使数学教学高效.《小学教学参考》2014-30期
第一，几种运算定律混淆。
主要是乘法分配律和乘法结合律混淆。
典型错误如：
32×25 8×25×4×125
=（4×8）×25 =（8×125）+（25×4）
=4×25+8×25 =1000+100
=100+200 =1100
=300
第二，不理解运算意义。
典型错误如：
101×23
=（100+1）×23
=100×23+1
=2300+1
=2301
第三，不会运用乘法分配律。
典型问题是遇到诸如99×15、99×15+15这类题分不清怎样做，束手无策。
在乘法分配律的练习中，教师费尽心思，讲尽各种题型，但学生作业中的错误还是屡屡出现。为什么会让教看似简单的知识“越教越难”，为什么学生对乘法分配律的学是镜中花、水中月，不得其要领呢？这是由于教师在教学乘法分配律时只注重了表面形式的认识，学生在学习新知识时单纯依靠模仿和记忆，对乘法分配律算式形式结构是机械记忆，这就是典型的对数学探究学习理解的偏颇和不到位。
教学“乘法分配律”时，可以从以下几方面引导学生进行有效探究，提高学生学习的有效性。
一、提供有探究意义的学习材料
数学探究学习的过程是一个复杂的过程，是不断经历猜想、验证、思辨的过程，探究性学习材料是学生进行有效探究的前提和基础。
以往的教学从一道题目入手（如，一套运动服上衣要120元，裤子80元，买这样的3套服装应付多少钱？）引导学生用两种方法解决（120+80）×3和120×3+80×3，进而观察、举例、总结、应用。这样单纯的教学素材缺少了对内在运算意义的引导，忽视了乘法分配律和结合律的内在联系和比较，使得学生的注意力容易指向算式的形式结构变化，而表现形式的简单记忆就犹如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干扰就立刻散架，甚至无法复原。为此，教师可把学习材料重新安排：
1.引入。
商店进来橡皮2箱，每箱4盒，每盒有25块，一共有多少块？
（1）学生列式计算：2×4×25或2×（4×25）。
（2）运用了什么运算定律？
（3）乘法结合律中，什么变了？什么没变？
（4）括号中的乘号能不能变成加号？为什么？
引导学生明白“2”表示“2箱”，“4”表示“4盒”， “25”表示“每箱25块”，单位不同，不能相加。乘法结合律中的乘号不能变成加号。
2.展开。
商店原有2盒橡皮，每盒25块。现在又进来4盒同样的橡皮，现在一共有多少块？
（1）学生列式计算：25×（2+4）或25×2+25×4。
（2）“2”表示什么？“4”表示什么？25×（2+4）这个算式中加号能否改成乘号？为什么？
引导学生明白“2”表示“2盒”，“4”表示“4盒”，单位相同，可以相加。“2+4”表示一共有6盒橡皮。这里的加号不能变成乘号。
小结：2×4和2+4虽然只是一个小小的运算符号不同，代表的是2和4之间完全不同的两种关系。“2×4”表示“2个4盒，2箱一共8盒”，“2+4”表示“2盒加上4盒，一共有6盒”。
（3）如果25×（2+4）去掉括号――25×2+4，发生了什么变化？结合每个数表示的意义和数与数之间的关系进行解释。
小结：要正确解答这道题，括号不能去掉。
3.进一步讨论。
（1）（2+4）×25要去掉括号应该写成什么？写一写并解释为什么。
（2）同样是去掉括号，为什么（2+4）×25=25×2+25×4中“25”出现了两次，而2×（4×25）=2×4×25中“25”只出现了一次？
（3）比较2×4×25和（2+4）×25，每个数表示的意义是什么？2×4和2+4表示的意义相同吗？
4.归纳总结。
（1）（2+4）×25=25×2+25×4 前后算式中什么变了？什么没变？为什么可以这样变？
（2）用自己的话说说算式的特点，再用自己喜欢的符号表示出来。
（3）揭示概念：这个运算定律叫做“乘法分配律”。
（4）阅读教材上的相关知识。
5.练习。
（1）在横线上填上适当的运算符号或数。
46×77+46×23 =（___+___）×___
（77___23）×46=77×（23×46）
讨论：为什么这样想？能用实际事例说明吗？
（2）观察：这堂课上出现的几组算式，前后对比，怎样计算更简便？
2×（4×25）=2×4×25
（2+4）×25=25×2+25×4
46×77+46×23=（77+23）×46
（77×23）×46=77×（23×46）
两组探究材料的设计，注重了数学材料内在的层次性和逻辑性，由学生已经掌握的乘法结合律的特点和内在意义引出乘法分配律，将两种运算定律结合具体事例进行了解释和反复对比，最后从形式结构上比较。比起以往的教学来说，并没有过多地强调外在形式的简单记忆，在教学的各个环节，无论算式的外在形式怎样变化，学生的思维始终围绕运算意义的理解展开。在解释交流的过程中，随着两个定律的非本质属性被不断剔除，其本质属性得以凸现，而算式外在形式的变化特点在意义解释过程中自然而然地被纳入学生的认知结构中。
二、设计有效的探究学习过程
当探究材料具有内在的逻辑性和结构性的时候，教师怎样利用这些材料进行有效的探究学习呢？所谓有效，就是指学生在探究学习的过程中，能够自主探索、积极思考，利用探究材料，探索发现数学规律，能结合实际情境主动应用数学规律。因此，教学设计要注意以下两方面：
1.教师提问的针对性。
在上述材料的讨论和归纳阶段，几次反复提问，都一再强调运算符号的变化所产生的意义和结果，旨在引导学生从运算意义的角度追根溯源、深入思考，真正把握定律的内在实质。通过有意义、有深度的问题引导学生植根于定律的意义理解算式的结构特点。
2.注重学生的探究体验。
体验是置身特定情境下的感受，它一定是学生真切的、发自内心的感受。比如让学生思考：“2”表示什么？“4”表示什么？（2+4）×25这个算式中加号能否改成乘号？为什么？如果25×（2+4）去掉括号――25×2+4，发生了什么变化？结合每个数表示的意义和数与数之间的关系解释。这些环节的设计目的在于让学生体验乘法分配律的本质意义，尤其是“公因数25”的实际意义，突出了从模型建构的角度理解运算意义。
乘法分配律在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中叫做乘法对加法的分配律。关于乘法分配律的“分配”的理解，我们认为，分配应不作为一个完整的词而将其分开为“分”与“配”，“分”即为分开，“配”即为结合。这样理解容易把握其含义。
与其他运算律相比，乘法分配律是运算定律教学中的难点。一是它涉及两种运算，既有加法，又有乘法，学生初学时对其特征较难把握，对一些相似的式子如a×b+a+c，a+b×a+c等常会误套用。二是它有两个表达式：（a+b）×c=a×c+b×c，a×（b+c）=a×b+a×c。在表述上需要将“两个数的和乘一个数”与“一个数乘两个数的和”概括为“两个数的和与一个数相乘”，增加了概括的难度。三是文字表述涉及较多的概念。如“两个数的和”、“分别相乘”，学生难于独立完成抽象概括。
二、教前思考
（一）目标与任务分析
课标关于这部分内容的要求为“探索和了解运算定律，能运用运算定律进行一些简便运算”。人教版《教师教学用书》关于本节课教学目标为“探索和理解乘法分配律，能运用运算定律进行一些简便运算”。“探索乘法分配律”即要求学生参与特定的数学活动，发现乘法分配律。“理解乘法分配律”即能描述乘法分配律的特征和由来，阐述乘法分配律与其他运算律的联系与区别。为此，在教学中应完成以下相应的任务：（1）探索乘法分配律。包括以下方面：从实际问题的中发现有关例证，即解决有些问题可以用形如（a+b）×c的算式来算，也可以用形如a×c+b×c的算式来算。在此基础上提出猜想：（a+b）×c=a×c+b×c；验证猜想。通过若干具体算式计算或说理验证（a+b）×c与a×c+b×c相等；引导学生用文字进行归纳，并尝试用字母或其它符号表示。（2）理解乘法分配律。从理解结构特点入手，进行形式化练习，把握乘法分配律的内涵。（3）应用运算定律进行简便计算。
（二）设计思考
1.设计策略
一是重视利用乘法的意义理解乘法的分配律。注重通过图示而不是通过计算判断算式的结果是否相等。二是通过较为充分的例证，特别是要让学生能否提供反例。从中让学生感受用不完全归纳法得出结论时要注意的问题。
2.设计思路
根据以上认识，本课关于学习目标、学习任务、学习活动与方式的设计如下：
三、教学实践
【活动一】创设情境，体会“乘法分配律”在生活中的意义。
（投影出示植树活动情景图）
师：你能解决下面3个问题吗？
投影出示：
问题1：负责挖坑、种树的一共有多少人？
问题2：负责抬水、浇树的一共有多少人？
问题3：一共有多少名同学参加了这次植树活动？
学生解答完后，让学生说说问题3的思路。
生1：根据先算出每个小组人数，在算总人数，列式得：（4+2）×25。
生2：根据先分别计算干不同活的学生人数，再算总人数，列式得：4×25+2×25。
师：比较（4+2）×25和4×25+2×25有什么关系？
生：相等。
师：你是怎么知道的？
生：结果相等。
师：不计算，你能很快地知道它们相等吗？
生：（4+2）×25表示（4+2）个25，4×25+2×25表示4个25加2个25，它们都表示6个25，所以相等。
【活动二】举例，理解“乘法分配律”的本质。
：你能举出像这样的例子吗？
生1：（3+2）×30=3×30+2×30
生2：（5+6）×36=5×36+6×36
师：不计算，你是怎么知道等式是成立的？
生1：3+2=5，左边式子表示5个30，右边式子表示3个30+2个30，也表示5个30。
师：也就是说把5个30分成了3个30和2个30。
师：这样的例子还有吗？有几个？
生：有无数个。
师：老师也举一个例子：25×（4+2）25×4+25×2，相等吗？
生：相等。
师：你是怎么想的？
生1：结果相等。
生2：两边式子都可以表示6个25。
生3：把25个6分成了25个4和25个2。
师：你能举出像这样的例子吗？
生：20×（4+6）=20×4+20×6
师：不计算，你是怎么知道这两个式子是相等的？
生：把20个10分成了20个4和20个6。
师：这样的例子能写出几个？
生：无数个。
师：老师也举两个，你们判断一下相等吗？10×（2×3）10×2+10×3，
8×（2+3）8×2+8
生：不相等。
师：你是怎么想的？
生1：10×（2×3）表示6个10，10×2+10×3表示5个10，所以不相等。应该把10×（2×3）改成10×（2+3）。
生2：8×（2+3）表示5个8，8×2+8表示2个8+1个8，一共3个8，所以不相等。应该在8×2+8后添×3。
【活动三】比较、归纳、概括“乘法分配律”。
师：请观察等式左边的式子的运算顺序有什么共同地方？
生：先算加法，再算乘法。
师：对，先算两个数的和，再与另一个数相乘，这个数可以放在右边相乘，也可以放在左边相乘。
（师板书：和、相乘）
师：等号右边的式子的运算顺序有什么共同地方？
生：先两边相乘，再相加。
师：左右两个式子有什么关系？
生1：左右两个式子相等。
生2：把左边式子括号里的两个数分别相乘，再相加，就得到了右边的式子。
（师板书：分别相乘，再相加）
师：你能用自己的话说说什么叫做乘法分配律？
生：两个数的和与其中一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
师：有什么办法表示乘法分配律？
生1：（a+b）×c=a×c+b×c
生2：（+）×=×+×
生3：…
四、讨论
1.加强对运算定律本质与思考
如何从源头加强学生对乘法分配律本质的理解，本节课从生活情境着手，使学生领悟概念的本质，这是实现有效教学的根本。
（1）创设情境，从生活到数学。创设情境不仅可以激发学生探究兴趣，还可以引出算式，更是学生理解和思考的依托。如在本节课教学设计上教师注重了从学生的植树情境的实际出发，把数学知识和实际生活紧密联系起来，让学生在不断的感悟和体验中学习知识。
（2）经历数学活动，从表象到本质。数学活动是学生经历数学化过程的再创造活动，是学生自己建构数学知识的活动。本节课的数学活动中，让学生用两种不同的方法解决实际问题，在两个不同的算式之间建立起系，让学生初步感知乘法分配律。之后，给学生提供体验感悟的空间，让学生写出符合规律的式子，引导学生在研究讨论中，进一步形成清晰的表象。在此基础上，让学生自己再写出一些符合乘法分配律的等式例子，既为概括乘法分配律提供更丰富的素材，又加深了学生对乘法分配律本质的认识。
2.进一步思考的问题
一、读
“读”就是认真读题，初步了解题意，读题是了解题目内容的第一步，是培养审题能力的开始，要培养学生反复，仔细认真边读，边想的读题习惯，读题中，训练学生做到，不添字、不漏字、不读错字，培养学生，独立朗读逐步过渡到轻声读默读，养成自觉通过默读理解题意的习惯，因此在教学中要长期课持训练，经过长期训练，学生能够静下心来，认真读题，采用初读、精读两步骤，边读边思考题意。在教学“亿以内数的写法”这节课时，出现了一个问题，讲完例题后，在做练习写数时，好几个同学出现了同一个错误：多写0，少写0。问题出在哪，我马上与同学们一起找错误原因。这时，一个学生站起来说：“老师，他们没有认真读题。”原因找出来了。那好，我们重新认真读读这道题，六万八千九百二十，这时我问同学们，万字是什么颜色（红色），为什么用红色，学生说提醒我们，这时我接着问：提醒你们什么呢？提醒我们看清是几级数，最高位是哪一位，是几位数，（是2级数，万级只有一位数，最高位是万位，个级是4位数，共5位数）。而你们写出来的数万级有几位，一位6、二位60、三位600，个级的数是8920，大家都没出错，你们错就错在万级上，没认真审题，看看万级里有几位数。通过再次认真读题找出了错误原因，并且改正了错题。特别是对于有些题的精读尤为重要。在教学《平行四边形和梯形》一课中，对“两个高相同的梯形能够拼成一个平行四边形”这句话的理解判断对错时，学生通过精读先抓住“两个高相同的梯形”这几个关键词，再通过“拼成一个平行四边形”的理解比较得出结论“不能”，必须是“两个完全相同的梯形才能拼成一个平行四边形”。通过精读真正理解梯形与平行四边形的关系，发挥了审题中读的作用。
二、敲
“敲”就是仔细推敲字、词、句，准确理解题意，因此审题教学要像语言教学一样，让学生理解题目中每个字、词、句的意义。要反复推敲理解它的真正含义，为正确解题铺平道路，在教学《平行与垂直》一课中，在做练习时出现这样一个问题“过三个点，一共能画出几条直线”，学生在做题时出现两种情况：（一）没有通过点，而是在点与点之间画线段。（二）通过三个点，画出三条直线，我让学生分析这两种情况，学生马上就发现了问题，第一种情况错了，没有通点，而且画出的不是直线，是一条线段。这个错误就是没有认真审题，忽略了“过”这个字和“直线”这个词。而第二种情况是对的。再如：在钝角三角形内能画（ ）条高。A： 1、B： 2、C： 3学生选C，3条高，选错了，正确答案是A。由于不认真审题，忽略了“内”这个字，而这个字是这道题的关键所在，因为钝角三角形有三条高，但是在钝角三角形内只能画一条高。就这样不认真审题、推敲、做错题的例子很多，经过我长期引导、找错、纠错的训练，学生审题能力得到了很大的提高。
三、述
述就是复述题意，用自己的话复述题意，能促进学生分析清楚应用题的内容，复述题意能准确反映出学生对题意的理解程度，也有利于培养学生的思维能力、概括能力和数学语言表达能力，从而提高解题能力。如“鸡有45只，鸭的只数是鸡的8倍，鸡鸭共有多少只？”首先让学生说说：“鸭的只数是鸡的8倍”是什么意思，“鸡鸭共有多少只又是什么意思？”学生通过反复叙述题意，从而理清了数量关系，最后能够正确解题。
四、辨
“辨”就是辨析，在辨析中，对知识进行疏理、分析，找出解题方法，最终达到知识延伸，由于学生在做题中，还常出现一些易混淆易出错的题，在做题前先辨析清楚用哪些知识，哪个定律解决。在辨析的过程中：①观察题型特点；②看清运算符号；③想好选择应用什么方法或定律解，从而提高学生的感知解题能力。例如：在教学运算定律与简便计算这个单元时，学生经常出现乘法分配律与乘法结合律混淆的情况，针对这个错误，我在班级中进行了一次纠错小组辨析赛，在辨析中找出错误，分析错因，最后找到解决方法。以下是四个小组的汇报：
一组：56×125 =（125×8）×（125×7）= 1000×875=875000这道题是我们第一小组整理出来的。它错在乘法分配律与乘法结合律混淆。正确的应该是56×125=125×8×7=1000×7=7000对于这类错题我建议看好运算符号，如果都是乘号就可以用乘法结合律或乘法交换律进行简算，如果乘号中间有加号或减号，就可以用乘法分配律进行简算。
二组：125×88=125×8×80=1000×80=80000这道题是我们第二小组整理出来的。它错在了拆数环节，它把88拆成了8×80，正确的应该拆成8×11或8+80，也就是说可以拆成结合律或分配律。也有许多同学经常把结合律和分配律搞混。以我做题的经验，一道题中，如果全是乘法，用分配律比较简便；而一道题中，如果有二级运算，用结合律比较简便。这道题中，我认为用结合律比较简便，为了证实，我把我们小组分成两队比赛，一队用结合律，一队用分配律，结果，分配律用了四步，结合律用了三步。所以我们小组一致认为结合律比较简便。因为结合律是同级运算，如果用分配律就是二级运算。所以我建议大家拆数时大小不要变。
三组：54×102=（54×100）×（54×2）=5400×108=583200这道题是我们第三小组整理出来的错题，这位同学做错了，错在用分配律解答题的时候，把54×100+54×2错算成（54×100）×（54×2）。结果出错。分配律的定律是（a+b）×c=a×c+b×c，这位同学把中间的“+”号错用成“×”号，所以结果出错。大家用分配律解答时，不要把“+”号错用成“×”号。
四组： 4×（60×25）=4×60+4×25=240+100=340这道错题是我们第四小组整理出来的。它的错因是乘法分配律与乘法结合律混淆，我建议大家再做这类题时，要看清楚小括号里面的运算符号，小括号里面是乘号，只能用乘法结合律和乘法交换律，如果小括号里面是加号或减号，就可以用乘法分配律。
这道题把哪个符号改了就可以用分配律？小括号里面改成减号或加号就可以用乘法分配律解这道题，4×（60-25） 4×（60+25）。
不过，“一滴水也能折射出一个世界”。细细琢磨，《乘法分配律》的教学并非是“一杯白开水”。姜胜男老师的课堂设计着力体现教学中的“儿童立场”，让学生学得自主，学得自由，学得自然，这是教学的“大境界”，也是教育教学的核心价值追求。这种由“教”向“学”的视角转换，正是当下课程改革“再出发”的方向之一。无论何种教育，归根结底只有通过儿童自身的选择与建构，才有可能真正形成儿童发展。一节课，不管多么生动、热闹、精彩，如果不能真正地从学生的实际出发，并真实地呈现学生在学习过程中内心的想法、遭遇的困惑、思维的差异、发展的轨迹、个性的展示……那课堂的品质一定会大打折扣。客观地看，姜胜男老师的课堂离最理想的境界尚有差距，但是，“方向对了，再远的目标总能到达”，只要我们心中始终有学生，自觉持守以学定教、学教相长的理念，从一个个具体的教学环节、细节做起，学生数学课堂学习的面貌一定会有很大的改变。面对传统的“教”为中心、“教”为核心的惯性思维，我们还需要用很长的时间、花很大的力气来实现课堂教学形态的转型。这是数学课堂向纵深进发的要义之一。
换一个角度来看，数学课应该凸显数学“本味”，通过数学学习，儿童应该更加了解数学，理解数学，“懂”数学，爱数学。向学科本身回归是数学课程标准修订的明显特点，数学基本思想、基本活动经验、数学模型、几何直观、符号意识、数据分析观念等核心概念的提出，算盘、扇形、常见数量关系等内容的复归，“充分考虑数学自身的特点，体现数学的实质”、“重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”等课程设计思路的明确，都充分说明了数学课程改革的学科倾向。从这一角度来看姜胜男老师的《乘法分配律》，可圈可点之处还是很多的，下面选取数学课程标准修订稿中提出的几个核心词试做说明。
一、“数感”方面
学生要发现等式中隐含的规律，没有数字敏感性，是很难做到的。但对乘法分配律的理解、应用更需要学生有很强的数感。为此，姜老师整个后半节课的教学几乎都是在这个“点”上用力，除了教学设计中出现的等式特征的描述、“我能填”“我能连”中的相同乘数的强化、“我能选”中简便计算的渗透，实际教学时，课件中还多次出现用红色字凸显相同乘数，用手势动作区别乘、加运算等。可谓是高频率、“重头戏”。
二、“符号意识”方面
让学生尝试用自己的方式表示乘法分配律，并逐步抽象和符号化直至用字母式子（a+b）×c=a×c+b×c来表示乘法分配律，是常见常用的教学思路。在姜胜男老师的课堂上，这样的思路被演绎得更加细腻和充分。一是增加了数字、符号合并使用（如：7×+3×）的“中间”形式，铺设了抽象的台阶，减缓了思考坡度；二是在图形、文字、字母等多种表达形式中，突出字母表达的简洁性；三是追问用字母表示的“灵感来自于哪里”，勾连起先前学习交换律、结合律时的经验，使得学习有了整体感。当然，数学课程标准在修订时将原来的“符号感”调整为“符号意识”，并提出“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”的新解释。这意味着，相对于传统的教学要求而言，学生在数学学习中不仅能运用符号，还要尽可能让他们“领悟”到字母、图形、数字等符号本身就是特殊的数学语言，这些符号语言是人们慎重地、有意地而且经常是精心地设计的，意义丰富且自成体系。凭借数学语言的严密性、简洁性、操作性、共同性，人们表达和研究数学思想，丰富和发展着数学。随着数学在社会生产和日常生活中的运用越来越广泛，数学的功用越来越强大，数学的符号语言也将越来越重要。从这一点来看，儿童学习数学，有必要将“符号”作为重要的学习内容和目标；儿童学习数学，也必须要走进数学独特的符号世界。
三、“几何直观”方面
几何直观原本出现在高中数学课程标准中，现在成为义务教育数学课程标准的核心词。课标指出：几何直观具有十分重要的价值，它“可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”。小学数学课堂中，直观手段的运用一直得到重视。比如，姜胜男老师的课上，为了让学生更加清楚地区别“配套”算（55+45）×5和“分别”算55×5+45×5，课件给出直观图示；为了理解“分别”“分配”的含义，在算式上动态添加连接箭头（如下图）。这些不经意间出现的直观图示，能很好地滋润学生抽象的思维。越抽象的东西越要直观，越直观的东西也越要有抽象，直观与抽象是交融的。当然，“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”（徐利治语），如果能将乘法分配律转用几何图形来表达（如，长为a和b、宽都是c的两个长方形面积之和），那就是更高水平、更为本真的几何直观。
四、“模型思想”方面
义务教育数学课程标准对模型思想的解释是：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”客观地看，没有提“模型思想”时，乘法分配律的教学其实也很好地体现了“建模教学”：先研究一些具体的案例，从案例中找到规律，再验证规律的正确性并用字母式子表达出来。字母式子（a+b）×c=a×c+b×c既是诸多具体的等式抽象的结果，又具有无限包容性和扩展性。这就是建模教学，只不过原来不讲这是建模罢了。当然，从小学生学习的实际出发，这种字母关系的模型还是比较抽象的，如果能辅之以更加直观的图形模型来帮助理解就更好了。比如，我们可以将所有的乘法分配律算式，都看成是有一条边相等的两个长方形面积之和，那么，这样的两个长方形也就成为一种图形模型。我们还可以将所有的乘法分配律算式，看成是同时出发相向而行的两个运动物体之路程和，那相遇问题的线段图也成为一种图形模型。再比如，有位教师在课前谈话中创设了老师与学生见面握手的情景，教师与学生一个一个地分别握，这是一般握手，老师与全班学生一起握，这叫“超级握手”。不同的握手方式也诠释了乘法分配律的本质，我们不妨将之称为“动作模型”。从模型的角度来组织教学，可以更加凸显“抽象—推理—建模”的数学基本思想，体会数学的学科特性，也可为后续更加抽象、逻辑、理性的数学学习打好基础。
五、“推理能力”方面
推理就是从事实出发，推测出结论，一般包含合情推理和演绎推理。前者通过归纳和类比等推测结果，后者从已有的定义、公理、定理等出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论。乘法分配律的教学普遍采用不完全归纳推理，即从特殊到一般的合情推理。那如何体现“合乎情理”？姜老师的课堂上让学生举出大量的正例，并追问有没有反例，由此来“证实”发现的规律是正确的。不仅如此，此前，姜老师还让学生联系乘法的意义来解释（5+10）×32与5×32+10×32相等的依据，结课时拓展到多个数的和与一个数相乘的联想，这又具有了演绎推理的色彩。相比较而言，小学阶段的数学学习非常重视且普遍使用不完全归纳法，但不完全归纳法的特点是得到的结果可能对也可能错。过去，我们并不要求学生对此“深究”，但从发展学生思维深刻性和培养推理能力的角度来看，我们是否可以在举出很多正例后追问：“这样的例子能举完吗？有举到反例的吗？万一有一个反例偏偏我们没有找到怎么办？”然后引导学生跳出例子来讲“理”，即每个等式都可以看成是“几个几加几个几”“合起来共有几个几”的乘法原理，包括最后拓展到乘法对减法的分配律、多个数连加乘一个数时，都蕴含着同样的“理”。既然“理”是一样的，数学又是追求简洁的，那么用（a+b）×c=a×c+b×c这道式子，看起来是三个数，其实又不限于只是三个数的情况，数学的丰富性和简约性完美地统一。
除了上述五个核心词外，运算能力、创新意识的培养也是乘法分配律教学中的重要元素，在此不再赘述。
把握提问时机培养学生问题意识
课堂提问是课堂教学中师生相互交流、相互撞击从而升华思维的双边教学形式，是课堂教学必不可少的手段。学生学习数学知识的过程实际上就是发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，因此可以说问题是思维的动力、创新的基石，是生长新思想、新方法、新知识的种子。而把握最佳提问时机，让学生爱提问、敢提问、会提问，才能培养学生的提问意识与能力。
一、出示课题时提问。课题是教材重要的资源，教师充分利用这一资源，引导学生从课题中思考，紧扣课题，将隐藏在课题中的问题提出来。如教学“平均数”，教师出示课题后引导学生：“看了这个题目，你想知道什么?”要求学生根据课题提出问题，学生提出了几个很有价值的问题：“什么是平均数?”“平均数有什么用?”“怎样求平均数?”“平均数与平均分一样吗?”这样既有助于培养学生探索和提出问题的勇气和能力，促进学生的思维的发展，又能使学生明确本节课的学习中心、主要内容、学习重点等，并通过“问题解决”加深学生对学习内容的理解和掌握，达到教学目的。
二、自学教材后提问。教师可以在学生自学之前要求学生在不明白的地方做记号，或做记录收集问题，自学完后再将这些问题提出来讨论解决。培养学生收集问题的能力，也是培养学生问题意识的重要环节。学生可以在自学教材、独立练习、课前预习、相互讨论、课堂学习中收集问题，例如教学“乘法分配律”，新课之前我要求学生做好预习，将疑问画出，上课时先让学生小组讨论，解决小组成员的问题，学生基本掌握乘法分配律的结构特点。最后教师问：“各组还有什么问题解决不了的?”学生的难题是：“乘法交换律、结合律我们理解‘交换、结合’的意思，乘法分配律的‘分配’是什么意思?”“乘法分配律哪种计算简便?”(和积简便还是积和简便)。学生的脑海里只有存在问题，才有提问的欲望和动力，有了水源才能水到渠成。
三、观察发现后提问。在课堂教学中，观察法是教师常用的教学方法，观察的对象很多，有观察情境图，观察知识特征、观察知识规律、观察计算算理等，但学生观察后教师一般只问：“通过观察你发现了什么?”“观察后你知道了什么?”等，鲜有教师问：“观察后你能提出什么问题?”因缺乏教师的引领，学生不会主动提问题。学生通过观察后，教师不仅要求学生说出自己的发现，还说出自己的疑惑，既锻炼了观察能力又培养了提问能力。如教学“正、反比例的认识”，学生观察成正、反比例的两个量，发现正比例的两个量的比值一样，成反比例的两个量的乘积一样，这时教师不满足现状问道：“你有什么问题要问?”就有学生问道：“什么是两个相关联的量?不相关联是什么样的?”
四、小组讨论后提问。在教学的重难点处，教师往往采用小组讨论的形式。鼓励学生每次讨论后提问，有助于帮助学生主动参与讨论，在小组内敢于发表自己的见解，提出自己的疑惑，解决他人的问题，反驳不同的看法。当遇到小组都解决不了的问题再提出来寻求全班或老师的帮助，这样学生自己能解决的问题就在小组内自行解决，小组内解决不了的问题再提出来。教学“植树问题”，教师出示题目“在一条100米的路边种树，每10米种一颗，可以种多少棵树?”小组讨论，可以用计算的方法、也可以用画图的方法或小组想到的其它方法。展示讨论结果时，画图的小组驳倒了用“100÷lO”的小组，画图的小组又出现了“两端都种”“两端都不种”“一端种，一端不种”等几种情况，还有少数学生讨论问题时与生活实际紧密联系，认为结果还要乘上2，因为在路边种树一般两边都种。这时教师再引导学生发现规律，并用规律进行计算。这样引导学生提问题，并让他们自己去探索解决问题，不仅增加课堂教学的容量，更有利于培养学生思维的灵活性，发展他们的独立性思维能力。
五、新课结束时提问。新课结束时教师都会做全课总结，这时教师改变总结方式，把总结的权利让给学生，引导学生根据自己的学习情况反思质疑，有助于学生总结新知识及学习经验教训，促进学生的进步和发展。如教学“平均数”一课，结尾让学生结合全课小结自我反思，提问质疑，就有学生提出这样的问题：“如果我们班的考试成绩得95分以上的人很多，但有一两个人得O分，平均分就会很低，用平均分来说明我们班的成绩差公不公平?”“除了平均数，还能不能用别的数来比较两组投篮的成绩?”“平均数和除法中的平均分有联系，谁知道?”这样让学生在反思中提问总结，可以起到承前启后的作用，发散学生的思维。
培养学生的提问意识与能力，首先教师要改变提问意识，把握提问时机，挖掘各种资源引导学生愿意提问、能够提问、乐于提问、学会提问、善于提问、喜欢提问，提升学生的学习能力和思维能力，为学生的后续发展奠定基础。
(责任编校：扬子)
9.先计算下面两题，再根据发现的规律接着填写。
（1）45×9=（ ） （2）63×9=（ ）
450-45=（ ） 630-63=（ ）
27×9=（ ）-（ ）=（ ）
56×9=（ ）-（ ）=（ ）
9×78=（ ）-（ ）=（ ）
教学片段1：
教师先让学生计算（1）与（2）两题，再交流结果。
师：为什么结果一样呢？这里面有什么规律呢？
当教师发现只有较少学生举手时，就让学生先讨论一下。讨论的过程中，教师启发学生：45×9表示什么意思？
生：45个9的和是多少。
师：还表示什么意思？
生：9个45的和是多少。
师：看下面的算式，450－45，450表示多少个45？
生：10个。
师：再减1个呢？
生：9个。
师：所以它和45×9的结果相等。（板书：45×9＝450－45＝405）
再用同样的方法引导学生发现习题（2）结果相等的原因。
教师让学生根据探索的规律，直接填写后3题的结果。在学生填写的过程中，教师发现不少学生有困难，不得不又请一位成绩较好的学生说一说规律，再让学生填写。不少学生还是存在困难。情况主要有以下两种：一是不理解连等这种形式，把乘法的结果直接写在等号的右边，当成被减数；二是先根据乘法算出结果，也知道结果写在最后，但是减法算式是根据结果编的一个减法算式，并不是10个多少再减去1个多少的样子。
【反思】教学过程“急功近利”。在学生算出结果相同后就急于让学生找到其中的规律，学生没有经历过程，当然不能很好地表达规律，交流时定会出现障碍，导致教学过程会显得说教味重了些，学生主体地位缺失。学生只是计算后再“接受”规律，因此对规律感受不深刻。因为探索的过程过于简单，学生就难以有数学活动经验的积累。
起初，笔者认为，此题的目的就是通过找规律，向学生初步渗透乘法分配律，重点是进行一个数乘9的简便计算的教学。但是在教学中，学生对成人所谓的简便方法没有深刻的体验，怎么会主动地接受并灵活运用呢？通过这类型题目的教学体会乘法分配律不是最佳途径，本来分配律较抽象，难理解，要结合具体的直观情境学生才易接受。因此，为学生积累数学思维活动的经验就成为本题的主要教学目标。如何使本题的教学更具探索性，学生的学习更具主动性、思考性呢？笔者认为，关键是教师要放慢速度，让学生充分进行发现、比较、交流、感受，经历探究的过程，才有利于学生数学思维活动经验的积累。
经过集体研讨，笔者又进行了教学再实践。
教学片段2：
1. 出示题目，初步感知。
出示题目：45×9与450－45；63×9与630－63
通过计算，学生发现两个算式的结果相等。教师板书：45×9＝450－45；63×9＝630－63。
【设计意图】更新原有的观念，即等号后面必定要写算式的结果。学生能体会到等号也可以表示两个算式的相等关系。
2.引导探究，初步认识规律。
师：这两组算式的结果相等。同学们能不能发现两个乘法算式有什么特点吗？
生：都是乘以9。
师：跟它们分别相等的减法算式各有什么特点？
生：我发现用多少乘以9，就减去多少。
师：他发现了减数的规律。谁能发现被减数的规律呢？
生：被减数就是这个数后面添个0。
师：谁听明白了？
生：也就是把这个数乘以10。
【设计意图】当学生算出结果后，教师不是急于把探究的目光引向为什么相等，而是给学生时间，充分观察比较、感受这两个算式有什么特点。学生会发现，一个数乘9等于这个数后面添1个0，再减去这个数。由于生活经验与知识背景等不同，不同的学生对规律的认识的程度不同，关注的角度也不同，表达的方式也不同。在交流的过程中，让学生用自己的语言进行数学化地表达。教师让学生充分地发挥，而不是硬牵着学生用同一种表达方式。
3. 提出猜想，验证规律。
在学生交流后，启发学生：你能照样子再写出几个算式吗？
生1：35×9＝350－35
生2：73×9＝730－73
生3：16×9＝160－16
……
师：这样的算式能写完吗？
生：写不完。
师：我们都用等号把这两个算式连起来，但是它们等不等，我们有什么办法验证吗？
生：可以计算。
师：要把写不完的算式都算过去吗？
生：不要。因为9个35就和10个35减1个35相等。（根据学生回答，在相应算式下面板书：9个35，10个35－1个35）
师：真能发现！那么其他的算式要不要计算呢？
生：也不要。因为9个多少就是10个多少减去1个多少。
师：概括得真好！一个数乘9，可以先算这个数乘10，再减去这个数。
【设计意图】让学生照样子再写几个算式是进一步强化刚才所发现的算式间的关系。学生在经历了形式上的发现后，再质疑：它们的结果也相等吗？能不能验证？由表及里，把探究引向深入，使探究活动不流于形式、浅尝辄止，培养学生思维的严密性，积累数学思维活动的经验。
4. 比较反思，积累经验。
师：既然它们的结果相等，你会选择算哪个呢？
生1：选减法，减法比连续进位乘要好算一些。
生2：用10个里减1个的算法，因为10个多少就是在这个数后面加个0。
生3：我喜欢直接用乘法，只要列一个竖式，用减法也要列竖式，多了一个算式。
师：那就用你们喜欢的方法算吧。
【设计意图】哪种方法简便，只有学生有深刻的体会，对这种方法才能认可。一个数乘9转化为一个数的10倍减去这个数，没有明显简便的优势，强迫学生用哪种方法只能是适得其反。笔者认为，此题的教学，不是让学生掌握这种计算方法，而是通过这一题的教学，通过学生找规律这么一个数学活动过程，逐步积累数学思维活动的经验，渗透转化的思想方法。
5. 迁移拓展，发展思维。
最后，进一步拓展：35×11表示什么意思？你会算出它的结果吗？供学有余力的学生发展。
【关键词】小学数学；乘法分配律；教学
小学生在理解和掌握乘法分配律时有一定的困难，学生在运用乘法分配律进行简便计算时，常常会出现a×（b+c）=a×b+c、a×b+a×c=b×（a+c）、a×b+a=a×（b+0）等各种各样的错误。如何提高乘法分配律的教学效率，是广大一线教师迫切需要解决的燃眉之急。笔者在多年教学中应用这一定律，可以使一些计算简便。在教学中，要注意对定律的理解及其灵活运用。
一、乘法分配律的四种类型
课本中关于乘法分配律只有一个植树的例题，但是练习中有关乘法分配律的运用却灵活而多变，学生们应用起来有些不知所措。针对这种现状，我把乘法分配律的运用进行了归类，分别取个名字，让学生能针对不同的题目能灵活应用。乘法分配律大致上有这样四类：一、平均分配法。如：（125+50）×8=125×8+50×8。即125和50要进行平均分配，都要和8相乘。不能只把其中一个数字与8相乘，这样不公平，称不上是平均分配法，学生印象很深刻，开始还有部分学生只选择一个数与8相乘，归纳方法后，学生都能正确应用了。二、提取公因数法。如：25×40+25×60=25×（40+60）。解题关键：找准两个乘法式子中公有的因数，提取出公因数后，剩下的另一个数字该相加还是该相减，看符号就能确定了。三、拆分法。如：102×45=（100+2）×45=100×45+2×45这类题的关键在于观察哪个数字最接近整百数，将它拆分成整百数加一个数或者整百数减去一个数，再应用惩罚的分配率进行简算。有了归类，学生再见到题目就能依据数字或运算符号的特征熟练进行乘法分配律的简算了。四、乘1法。如78+78×99=78×1+78×99=78×（1+99）。这类题型的解题关键是把一个看似无法利用乘法分配律的习题，转化成为可以运用分配律的标准形式。既简单又方便。以这个为切入点，从而比较顺利地引入新课，正好那天是植树节所以我又创让“打比方”成为数学课堂的闪光点。
二、抓住重点，让学生理解乘法分配律的意义
在教学时，我引导学生把算式写成等式的时候让学生观察左右两边算式之间的联系与区别之后，学生就根本不知道从何下手。在他们的印象中，联系就是根据乘法的意义来进行联系。根本没有从数字上面去进行分析。可以说，局限在原先的思维中，而没有跳出来看。而让学生写出几组算式后，观察分析几组等式左右两边的区别之后，学生也还是无法用语言来表达这一规律。场面一时之间很冷，后来我只好直接让学生用字母来表示，变化为这样的形式之后，有很多的学生都能够写出来。乘法分配律的本质意义是对几个相同加数的分与合，其知识起点是乘法的意义。在字母式（a+b）×c=a×c+b×c中，其顺向的意义是：把（a+b）个c分为a个c和b个c；逆向的意义是：把a个c和b个c合为（a+b）个c。在新学环节，要尽量把分配律的教学和乘法意义的分析结合起来。例如，当学生根据例3的情境对等式（4+2）×25=4×25+2×25的意义有了初步掌握之后，可以引导他们从乘法的意义来重新理解：左式表示有（4+2）个25的和，即6个25的和；即等于右式：4个25的和加上2个25的和。由于学生已经学习了乘法的意义，对此学生很容易领会。乘法意义的介入，使学生不仅从形式上把握分配律的特点，更从深层次来把握其内在的意义，有助于学生扎实掌握；另一方面，也可以为从基于具体情境的等式过渡到纯粹的等式做准备。学生在简算题当中，可以直接利用乘法意义来理解算式的含义。教学中，由于学生对分配律的内涵掌握不够深入，从而在解题中出现各种各样的错误。比较典型有以下几类：1.刚好是“整百”的类型：没能把例如99×87+87、101×87-87的算式转化为100×87；2.大约为“整百”的类型：把99×87算成了（99+1）×87；把102×87算成了100×87+2；3.分配律和结合律混淆的类型：把（3+25）×4当成3×（25×4）。在教学中，如果能引导学生从乘法的意义来理解分配律，那么以上这些问题就不难解决。例如99×87+87，用乘法的意义来理解是很简单的，它表示99个87加1个87的和，即100个87的和；102×87表示102个87的和，等于100个87的和加2个87的和，即100×87+2×87。
三、应用乘法分配律进行简便计算的变式分类
教学时只有清晰地把握这些变式类型，才能在应用乘法分配律特别是应用其进行简便计算教学时，左右逢源，化难为易。笔者根据自身多年教学经验，以一般字母表达式（a+b）×c=a×c+b×c为基本式展开分析，试作如下分类：
（1）在乘法分配律中套用乘法交换律的变式。这就是将乘法分配律基本式左边“（a+b）×c”变化为“c×（a+b）”，即需要变化为：c×（a+b）=c×a+c×b。虽然这样的变化是较简单的，但是，对于初学学生来说，还是具有了一定困难性。这需要教者有意识地做出多次安排，并要组织学生进行分辨对比。
（2）延展乘法分配律项数的变式。这是顺次增加项数的变化。比如，将两数和与一个数相乘，变为三四个数的和与一个数相乘。即：（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d。
（3）两个数的和变为两个数差的变式。这是在同级运算之间的拓展，比如（a-b）×c=a×c-b×c。更何况，有些算式的呈现，并非合乎乘法分配律展开式的基本样式，需要学生自我主动地作出变式改造性处理，才能合于乘法分配律的题型题境。比如，97×4，进行简便计算需要学生把97改写成“（100-3）”。
（4）乘法分配律的反向变化。即要让学生既能从左向右，也习惯于从右向左。要让学生善于从计算简捷性要求出发，灵活地选择应用乘法分配律展开式的可逆变化方向。这是训练学生提高计算技能的重要途径。
（5）特殊数1参与展开的变化式。即（a+1）×b=a×b+b×1。尤其是反向理解，要求学生把一个确定的数，看作是一个算式，是这个数与1的积。学生对此会很不习惯。比如，56×99+56，要求学生把56看作“56×1”，这样原式变成56×99+56×1。
（6）乘法分配律在小数与分数计算中的变式应用。乘法分配律应用于计算，不仅出现于该知识点安排的当时，更是广泛应用于其后的计算实践中。及至小数和分数计算中，应用乘法分配律又会出现新的变式，更加增加了难度。比如，将小数计算中的小数点变化，使之适合使用乘法分配律，如56.2+5.62×90。在分数乘除法计算中，对乘除法作互逆变换，使之适合使用乘法分配律，如，4÷2/3+96×3/2。
关键词 心理认知规律；操作；渗透；迁移
简便运算是小学数学的重要基础知识之一，它是使各种符合运算规律的四则运算达到简便化、程序化的最佳途径。研究简便运算中小学生心理认知规律，一是研究“小学生心理认知规律”在头脑中如何形成，二是研究在简便运算中如何把握并应用这种心理认知规律。因此从心理学角度探索简便运算的教学课堂结构，是提高简便运算教学质量的重要环节。可是在我们的实际教学中，我们往往忽略了小学生的心理认知水平，只是顺着教材按部就班地进行教学，学生的接受情况不尽如人意。因此我在几年的教学中，做了有关这方面的探究。下面以 “乘法分配律”的教学在简便运算中的应用为例，初探简便运算中应该如何把握小学生心理认知的规律。
一、学具具体操作，理解简便运算的运算定律
简便运算和运算定律两者是相互依存的，不理解运算定律就不能自如地进行简便运算。“乘法分配律”的教学中，如何才可以让学生更好地理解“两个数相加再乘另一个数，等于把这个数分别与两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变”，是正确进行简便运算的前提。学生在实际的应用中，往往出现一些错误，其中的一个重要原因就是对“乘法分配律”的不理解。学生对它的掌握程度是“知其然，不知其所以然”。有的教师误认为只要能用字母表示定律就行了，不必再费功夫去理解，这也是更多的学生会读、会背而不会用的症结所在。所以在教学中不能忽视学生的心理认知特点，要遵循学生的心理规律来进行教学。
1.学具操作，建立定律表象
学具操作就是让学生在感知大量事例的过程中，建立牢固而清晰的表象，逐步认识到运算规律的存在。在教学时，要遵循小学生这一认知规律设计教学环节。
（1）小熊们建房子，摆小棒感知。情境导入，随机出示小熊们建的3间房子图案（ ），你知道小熊建的房子一共用了多少根木头吗？你们可以用小棒摆一摆。让学生在摆的过程中感知：一间房子房顶需要2根，房主体需要5根，合在一起是7根，3间房子一共是3×7=21根。还有学生会这样思考：3间房子的房顶一共需要2×3根，再摆3间房子的房主体一共需要5×3根，合起来就是6+15=21根。两种不同的摆法，突显了学生在这个问题上的认知角度有所不同。
（2）运用“表象迁移”突出“两者关系”。两种不同的摆法，结果相同吗？为什么会这样呢，你有什么想法。可以让小组内交流讨论，说出自己的想法，找出特别的数“3”，并说说它的含义。学生此时的心情比较兴奋，有点跃跃欲试，我们要把握住这一心理特点进行知识的首次突破。
2.在操作感知的基础上进行小结
让学生说一说，通过以上的操作活动，你有什么感想。经历“一个一个房间地摆”和“先摆房顶，再摆房主体”的学具操作，使学生在头脑中建立了“2和5相加再乘3，等于把3分别与两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变”的牢固而清晰的表象，从而为理解乘法分配律的概念奠定了牢固的感性认识基础。
二、联系生活实际，理解定律
“把这个数分别与两个加数相乘”这是乘法分配律中的核心。但是为什么是把这个数分别与两个加数相乘？这要通过对具体问题的解决来理解。通过一定的经验积累，形成系统的知识体系，进一步理解其中的算理。如何设计一系列的活动丰富学生经验，使学生体会到乘法分配律存在的合理性和必要性及它的简便性，这就是接下里要完成的教学任务。
1.再次认识植树问题中的“乘法分配律”。
通过刚才小熊们盖房子的实际问题，学生对于乘法分配律已经有了初步感知。比如出示教材中的植树问题：一共有25个小组，每组里4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。算一算，一共有多少名学生参加了植树？这个问题的解决可以放手让学生独立完成，并且要求学生用两种方法解决。提高要求是为了让学生全面地理解“乘法分配律”的内涵，感受它的存在和应用。此时学生会很自然地进行比较，哪种方法会更简便一些呢？趁机渗透乘法分配律在简便运算中的优势，激发学生继续学习和研究的兴趣。
2.让学生来列举“乘法分配律”的生活实例
在实际的生活中，乘法分配律的应用是无处不在的。那么学生的知识储备在此时被挖掘出来，他们都愿意把自己的奇思妙想和伙伴分享。这一活动的安排正好顺应了学生的这一需求。在这个环节，一定要给足学生时间，让他们充分地发挥自己的想象，进一步感受“乘法分配律”的魅力。
3.学生自我创造，提升认识
通过刚才的初步操作感知，学生对于“乘法分配律”已经有了一定的印象和理解。学生是否可以在此基础上自己创造出“乘法分配律”应用的例子呢？老师放手让学生以小组为单位在表格里填写创作的“乘法分配律”应用的等式，结果发现，学生的思维相当地活跃。有从左往右顺着写的，有倒过来写的。有囊括整数内容的，也有涉及到小数的。这时候老师再问学生：是不是这个规律一定适用于小数呢？学生一下子安静下来，刚才我们研究的都是在整数范围内的应用，它用在小数里也可以吗？在老师这句话的刺激下，学生利用刚才验证整数中“乘法分配律”的方法继续求解。结果发现，原来“乘法分配律”不只是适合于整数，对于小数也是可以的。学生的自信心在这个过程中得到了提高，继续学下去的兴趣更浓了。
三、抽象概括，加强理解
心理学告诉我们，长时间地停留在感性认识阶段，不利于学生逻辑思维能力的培养和发展。因此教学时既要克服“一个例题总结规律”的做法，又要在积累了较丰富的感性材料的基础上及时抽象、概括，让学生通过对具体问题的解决，体会到定律存在的必要性，引导学生在评价错误的过程中知道定律的必要性。也就是说，教学时要有概括的环节，让学生在操作感知后，理解和升华对知识的认识。
学生在积累了如此多的感性认识后，对于“乘法分配律”有了很深的认识。这个时候可以让学生说一说自己心中的乘法分配律长什么样子，如果让你用文字来形容，你想怎样来表述呢！在全班同学的积极参与下，“乘法分配律”的概念应运而生。再让学生用字母表示，用自己喜欢的符号表示，加深印象。这个概念的概括，不是老师强塞给学生的知识，而是学生主动获取的，积极得到的，他们对它的感情更加深厚。
在学生自我创造的环节，有许多从右到左的反向应用，在学生概括出“乘法分配律”的概念后，可以让学生利用这些例子，进行反向描述，让这个概念“分散化”，肢解概念，才能达到内化的目的。
四、定律的具体化，应用化及定律的迁移
当把客观存在的现象抽象概括为定律后，必须注意改变在课堂上拿出几分钟让学生当堂死记硬背规律的做法。应该把以教记忆为主变成以教思维为主，即通过定律的具体化和应用化，运用所学定律应用于指定的简便计算，在计算中进一步理解这一定律，巩固学生对于定律的理解。这就要设计一些具体的有趣味性的练习，让学生在练习中应用和理解，进一步渗透这一定律的内涵。
同时，我们要在简便运算学习中运用迁移定律，使学生在学习过程中掌握算理和定律。认知心理学理论认为，一切新的有意义的学习，都是在原有学习基础上产生的，不受学习者原有认知水平影响的学习是不存在的。而所谓迁移，简单地说，就是学生学到的知识与技能对新知识产生的影响。学生在掌握了“乘法分配律”这一运算定律后，不只是应用于整数，还可以应用于小数、分数。不只是可以从左至右应用，还可以从右至左。在后面的学习中，学生会更深刻地体会到它的优势。
总之，简便运算的教学，要通过操作感知具体事例，借助充分的感性材料和经验，让学生在感知的基础上建立起清晰的表象，再在表象的基础上抽象、概括出运算规律，然后应用于简便计算。并通过概括具体化和定律的迁移，让学生在简便运算中感受它的魅力。
参考文献：
[1]沃建忠著，《小学数学教学心理学》，北京教育出版社，2001.
