时间：2023-05-29 18:01:32
北师大版小学数学四年级上册第48～49页。
教材简析
“乘法分配律”的教学是在学生经历了“乘法交换律”和“乘法结合律”探索过程的基础上进行的。教材把乘法和加法的运算定律作为学生探究活动的题材，编排在“乘法”单元的“探索与发现”一节中，旨在通过从情境中发现问题，并促使学生进一步探索数学规律，在经历过程中体验探索数学规律的基本步骤和有效方法。本节课打算以不同的方法解决实际问题为杠杆，以不同方法的内在联系为支撑，达成外在形式和内在本质之间的和谐统一，达到启迪数学思想方法的目的。
教学目标
1.使学生经历对具体问题的“思考、试探――观察、理解――发现、概括规律”的过程，发现并理解和掌握乘法分配律。
2.能够运用乘法分配律进行简便计算，并从中欣赏到数学运算的简洁美，体验“乘法分配律”的价值所在。
3.在探索和发现中培养学生的观察分析、比较归纳以及初步的抽象概括能力，渗透从特殊到一般的数学思想方法。
4.在活动中积累数学活动经验，提高解决实际问题和数学交流的能力，培养积极参与、敢于探索的学习品质。
教学重点
引导学生运用数学思维方式探索和归纳乘法的分配律，经历规律的形成过程。
教学难点
探索和归纳乘法分配律以及规律的应用。
教学关键
观察、比较具体问题不同解法的算式特征，从而自主发现、归纳总结规律。
教学准备
实物展示卡，多媒体课件，学生操作卡
设计理念
2011版《数学课程标准》指出：“课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”为贯彻这一理念，从学生已有的知识和经验出发，引导他们用不同的方法解决实际问题，并从不同结构的算式的实际意义着手，由内及外，实现乘法分配律由内在本质到外在形式的有机融合，让学生的探索过程更丰富，对规律的理解更饱满。同时，在探索和发现的过程中，通过观察、分类、比较、归纳等活动，丰富学生的类比、归纳等数学思想。
教学过程
一、 比赛导入，激发兴趣
出示题目，分组进行计算竞赛：
3×12+7×12 （3+7）×12
师：对于这次竞赛，你有什么意见吗？
预设学生回答：第一道算式是先算乘法，再算加法；第二道算式是先算括号里面的加法，再算乘法。而第二道算式中先算3+7=10，再算10×12非常简便，这样就应该比第一道算式算得快一些。
师：比赛只是形式，发现才是最重要的！通过计算，你有什么发现？
预设学生回答：两个算式虽然运算顺序不一样，但是计算的结果是相同的。
师：其实在这两个算式里蕴含着一个新的乘法运算定律，这节课我们将共同探究它。
设计意图：托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”本环节的设计，通过比赛暗示规律，唤起学生强烈的求知欲望，对规律的探索做好坚实的铺垫，让探究之旅依“兴”而生，随“趣”而行。
二、 借助情境，生成算式
1.创设情境，唤醒经验。
师：今天的探究之旅将有装修师傅和我们一同前行。
课件显示装修师傅贴瓷砖情境图。
师出示问题：一共贴了多少块瓷砖？请大家先认真观察图中的数学信息，再根据问题的需要，自主选取相关的数学信息，然后想一想可以怎样解决。
学生独立思考后，尝试解决，并鼓励有兴趣的学生可以多想几种算法。
教师巡视，了解学生的完成情况。
设计意图：让学生在具体的情境中获取信息，并能根据所要解决的问题自主选取相关数学信息，既是对创设情境有效性的体验，也是学生创新能力培养的有效途径。这样的设计，使得教学更自然，活动更朴实，课堂更和谐。
2.解决问题，激活经验。
（1）展示教具，组织汇报。
教师出示用一块能折合的硬纸板（画有方格代替瓷砖）代替两个墙面的自制教具，让学生对着教具汇报。
预设学生回答：
生1：右面墙上每列有9块瓷砖，共有4列，所以用4×9可以算出右面墙上的瓷砖块数；左面墙上每列也有9块瓷砖，共有6列，所以用6×9就可以算出左面墙上的瓷砖块数；再把左边和右边的加起来，就是6×9+4×9 =54+36=90（块）。
生2：右边墙上的瓷砖有4列，左面墙上有6列，先算一共有几列，每列都有9块瓷砖，所以可以列式（6+4）×9 =10×9 =90（块）。
（2）比较方法，初步感知。
师：请大家认真比较，想想这两种方法在思路上有什么不同？
预设学生回答：第一种方法是分左右两边计算的，先算出右面墙上的瓷砖块数，再算出左面墙上的瓷砖块数，然后把左右两面的相加；第二种方法是把左右两边合起来计算的，先算出左右两面共有多少列，然后把列数乘上每列的块数就是瓷砖总数。
教师小结：这两种方法，一种是分开算，一种是合着算，都能算出瓷砖的总块数，所以这两种方法的最后结果都是相等的。
教师用“=”连接算式（6+4）×9和6×9+4×9。
设计意图：本环节的设计，通过一个可以呈现乘法分配律的生活实例，唤醒学生已有的认知经验从不同的角度思考并解决问题；同时，教师并没有直奔乘法分配律这一主题，而是让学生比较两种思路的不同，并从中初次触摸规律，为规律的发现提供了有力支撑。
三、 模拟情境，生成模型
1.小组合作。
师：我们也来当一回建筑师，算一算瓷砖的块数。每个小组拿出课前准备好的方格纸，由组长对折，模拟教材中贴瓷砖的情境。然后组内互相讨论，列出两种不同的算式，不用计算。
小组活动，教师巡视。
2.组织汇报。
师：已经有了结果的小组可以派出两人，展示你们的算法，一人写算式，一人说想法。
预设：
① （7+2）×5 7×5+2×5
② （3+2）×9 3×9+2×9
……
3.引导类比。
师：我发现各小组都把自己的两种算式和我写的算式对齐了，很想知道大家为什么这样做？
预设生回答：
生1：左边的算式是把左右两边合起来计算的，右边的算式是左右两边分开计算的。
生2：左边有括号，右边没有。
生3：左边是先加后乘，右边是先乘再加。
师：同学们讲得都非常有道理！大家既能从解决问题的两种不同的策略上来分，又能认真观察算式的数字和运算符号，并从算式的结构上来分。
师：的确如此！我也发现左列的这些算式长得都很像，简直就是几个兄弟聚会。右列的这些算式也很像，感觉像是几个姐妹在一起说悄悄话呢！
设计意图：学生自己动手，把一个实例引向了多个实例，渗透从特殊到一般的数学思想；学生自主分类书写算式，将关注点从解决问题的不同方法延伸到算式的形式特点，教师再辅以幽默诙谐的语言和形象的比喻，有效促进了学生对数学模型的初步感知。
4.沟通联系。
（1）对比结果。
师：第一组的两个算式的结果是相等的，大家不妨动笔算一算下面各组两个算式的结果是否也是相等的。
学生计算。汇报后，教师用等号连接。
（2）意义理解。
师：左右算式不一样，但是结果却是相同的，为什么会这样呢？让我们从算式的意义上再来理解一下。
教师将折合的方格硬纸板教具展开，进行引导：左边的（6+4）等于10，10×9表示什么呢？右边的呢？
预设学生回答：
生1：左边的算式其实就是计算10个9是多少。
生2：右边先是计算6个9，又算了4个9，加起来也是10个9。
师：看来这两个算式的意义是一样的，难怪结果相同。
（3）加深联系。
师：我们不仅知道了左边与右边是相等的，而且还知道了他们求的都是相同的“几个几”，这就离我们探索的规律不远了。下面我们继续探索。
教师用白纸遮住算式，让学生根据左边的算式说出遮住的算式？并让学生说出是如何猜出来的。
师：我们能从左边的算式推想出右边的算式，也可以从右边的算式推想出左边的算式，现在我们已经触摸到伟大的发现了。
设计意图：算式的结构只是乘法分配律外在形式，算式的意义才是其内在本质。此环节，引导学生从乘法的意义入手，把两种算式之间的相等从结果一样延伸到意义的一致，打通了算式之间的本质联系，把数学规律的探索从形的方面深入到质的层面，把数学规律的理解达成形式和内涵的有机统一。
四、 尝试举例，归纳规律
1.尝试举例。
师：像这样左右两边相等的算式还有吗？你能写出一组吗？
学生独立完成，教师板书，并指名汇报。
师：写的对不对呢，我们来分析一下。左边的算式有几个几？右边的算式有几个几？
学生自主检查，教师分析。
教师：像这样的算式有几个呀？能写得完不？
2.字母表示。
师：你能像前面学习的运算定律一样，也用含有字母的式子来表示这些等式吗？
学生自主尝试，全班交流：
（a + b）×c =a×c + b ×c。
师板书课题并小结：乘法分配律告诉我们，两个数的和乘上第三个数，可以把这两个数分别与第三个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
3.及时练习：结合乘法分配律，在横线上填上合适的数。
①（10+7）×6= ×6 + ×6
② 8×（125 + 9） = 8× + 8×
③ 7×48+7×52= 7×（ + ）
设计意图：通过尝试举例，在大量的算式中让学生再一次感受到乘法分配律的真实存在，丰富了学生建模的过程。当学生未能穷举算式时，教师提议用含有字母的式子表示规律，引导学生从中感受到数学的力量和抽象的美感。
五、 体验应用，感受价值
1.观察抢答。
以下各组两个算式的得数是否相等？如果相等，你能很快地说出得数吗？
25×4+6×4=（25+6）×4
2×17+8×17=（2+8）×17
让学生说一说你是用哪个算式算出来的？为什么？
师：通过刚才的活动，你有什么启示？
预设生回答：运用乘法分配律，有时候可以使计算简便。
2.巩固练习。
（80+4）×25
34×72+34×28
师小结：观察算式中数字的特点和算式的结构，是灵活运用乘法分配律解决问题的重要前提
设计意图：通过强大、巧妙的直观比较，真切体验“恰当运用乘法分配律能够使运算简便”，从而感悟数学规律学有所值，充分体现了“在实际中发现问题”和“用数学解决问题”的和谐统一。
1、“情境设计”促进学生对算理的理解，对算理起了支撑的作用。
《标准》特别强调了计算与情境的关系。创设教学情境，有助于激发学生的学习兴趣，使智力达到最佳激活状态，沟通生活实际与数学学习、具体形象与概括抽象的联系，使学生在解决问题中理解和认识数学。
本节课潘老师从众多设想中选择具有生活性和趣味性的男女生比赛引入，激发学生探究的兴趣，学生在用两种不同的方法解决这一问题的过程中，感受两种方法之间的联系与区别，体会乘法分配律的合理性，为下面进一步研究理解乘法分配律提供了现实材料。
2、数形结合，渗透建模思想。
在本节课的教学中潘老师并没有停留在对乘法分配律的文字归纳上，而是进一步让学生利用数形结合的方式来解释乘法分配律的意义。
如活动：“写一写这样的等式。要求如下：
①写出2~3个这样的等式；
②计算等号两边两个算式的值，看看两边是否相等。
从具体的形出发，抽象出数的运算，又回到形来解释运算的含义通过对乘法分配律几何意义的理解，数形结合，循环往复，对运算算理理解的广度、深度、贯通度都有很好的促进作用，这将有助于学生整体数学素养的提高。
3、按照初步感知——验证猜测——概括定律的思路探究理解。
学生通过算式初步感知算式间的联系，一个规律的得出应该通过一组算式的观察得到，只是一个例子就显得十分草率，违背了数学是自然科学的规律，因此潘老师让学生自己出题，自己验证，学生不仅兴趣浓厚，而且主动探究验证，用多个例子得出普遍规律。
4、质疑教材，大胆尝试。
新课程提出“用教材”极大地解放了教师，促进了我们做一个有思想的教师，我们在教学中不断研究积累探讨如何用好教材。根据以往乘法分配律的变式多，学生易出错的问题，潘老师大胆尝试把教材中的情境图稍加改变，采取学生独立思考与小组研讨，全班互动交流的基础上发现、归纳乘法分配律，取得了良好的效果。
5、精挑细选，设计有效练习。
“用教材”不是简单地照搬书中的练习题，本节课潘老师设计练习题把握从易到难，由知识向能力转化的梯度，既从学生掌握基本知识上考虑，又从训练思维的灵活上设计，寻找除书本外一些题型灵活，内容丰富，具有开拓学生思维举一反三的习题，增加学生灵活掌握知识的能力，让学生在正、反两方面的练习中，充分地感受乘法分配律的妙用，增强学习数学的兴趣。
人教版小学数学四年级下册的第三单元是“运算定律”。这是学生第一次正式接触运算中最基本的五条性质——加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律以及乘法分配律。这五条运算定律不论在哪个数系范围内都成立，因此被誉为“数学大厦的基石”。直面这五条运算性质，我们发现前四条的学习困难明显小于乘法分配律。其原由有二：其一，加法、乘法的可交换性、可结合性，结论本身似乎非常明显，学生在以往的学习和生活中已有接触，并常常自发使用。其二，相比乘法分配律，前四条定律的形式、结构都简单很多。同时，前四条定律都只涉及同级运算，而乘法分配律涉及两级运算，且形式多变。除了有教材上呈现的基本形式外，实际应用中还会遇到（a-b）c=ac-bc、（a+b）÷c=a÷c+b÷c、（a-b）÷c=a÷c-b÷c等形式。
对于乘法分配律的特殊性与复杂性，教师们难以把握、难以取舍，但又深知其在数运算中的基础性与重要性，于是大多会花大力气用心备战，以求获得好的教学效果。然而教学反馈总是令人发出无奈的感叹，感叹自己心有余而力不足。学生对乘法分配律的理解，尤其是脱离具体情境，运用乘法分配律进行简便计算时，有的学生是一知半解，有的学生是含糊不清，有的学生干脆束手无策，还有的学生会给出一些非常令人费解的错误答案。学生难学，教师难教，乘法分配律真算得上是教学中一块难啃的硬骨头。面对乘法分配律教学中的诸多问题，我们将从教与学这两个维度加以分析，并通过针对性的教学处理来追求教学的有效与高效。
1.教之困
⑴学生大多能感知乘法分配律是什么，但为什么总是难以运用相对规范的数学语言进行表达和概括？
⑵多数学生能够根据乘法分配律的外形结构特征完成一定的填空、连线，并形成初步的认识，但真正运用时怎么就漏洞百出呢？
⑶乘法分配律可拓展到乘法对减法的分配律、加法与除法分配律、减法与除法分配律，而教材中的星号题也涉及了“三个数的和（或差）与一个数相乘”等内容，给教学造成多次重复的干扰。是否可以大胆尝试在教学中这样归纳乘法分配律：几个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加（或相减）。
⑷怎样才能让学生对乘法分配律产生数学敏感，在脱离情境进行计算时能做出准确的判断与选择？
2.学之难
用乘法分配律计算下列各题。随机抽取了高年级150名学生进行调查，对其简算思路的错误理解统计如下：
调查数据显示，学生对乘法分配律的掌握果然不尽如人意，没有一个正确率达到80%的。尤其是乘法分配律中常见的不完整结构算式，正确率那就更低了。在交流中，孩子们普遍都有这样的质疑：
⑴25×（200+4）=25×200+25×4这个算式中，左边只有一个25，右边有两个25，怎么会相等的呢？
⑵算式32×8+68×8的左边有两个8，我这样算（32+68）×8×8，才有两个8呀？
⑶24×102=24×（102-2），我们不就是要把102变成整百数吗？
⑷每次计算25×44，我知道看到25要想4，而44可以变成4和11，我也可以把44变成4和40，但是我就是分不清是乘还是加。
……
3.对问题的分析
我们通过对教材、教师和学生三个层面的调查和分析，发现了产生这些问题的一些主要原因。
⑴教材层面
乘法分配律属于数运算规律教学，而数运算规律教学的知识整体本身是非常紧密的。但是基于学生的年龄特征和认知规律以及他们学习高一级知识而必须掌握基础性知识的思考，教材只在知识整体中选择部分“点”作为学生学习的内容。乘法分配律这一知识点对于学生来说是比较难以理解和掌握的，但却是学生今后学习分数和比的基本性质以及初中知识的基础，所以不得不被选择作为教材编写的必须内容。这就使得原本具有强结构联系的知识链发生断裂，容易让教师和学生只看见孤立的点状知识，而看不见有内在联系的知识整体，导致教师和学生只是为乘法分配律这一“点”而存在。加之教材编排知识的趣味性不强，同步基础练习量又远远不够，学生无法在短时间内理解、掌握，更谈不上灵活运用了，所以乘法分配律就成了学生学习的老大难。
⑵教师层面
①忠于教材，缺乏创造。
如果说教材内容的选择编排有先天不足之嫌，那么我们自己缺乏创造性地使用教材的意识和能力则应该说是一种后天不足。对教材的忠实执行与演绎，导致大多数教师在教学中既不注意引导学生思考乘法分配律存在的前提，也不注意引导学生了解乘法分配律这一知识的来龙去脉，更不注意让学生经历规律从发现到形成的全过程。这样的教学过程，教师为教这一知识而存在，学生为学这一知识而存在，导致教学育人价值出现窄化现象。
②局限于知识点，束缚思维。
教师们大多缺乏对知识整体背景的思考，在教学中往往围绕乘法分配律就事论事——仅仅凭借几个等式概括出乘法分配律的规律，接着就进行各种形式的巩固练习。学生由于不知道乘法分配律的成立是以两种运算组合为前提条件的，所以出现25×44=25×40×4、24×102=24×100×2等现象，绝非个别的偶然现象，已然成为乘法分配律的常见错误。究其原因，从表面上看似乎是学生的粗心大意，审题不够仔细，但根本原因可以说是教师局限于教材知识点的教学，导致学生既不注意对乘法分配律存在的前提进行思考和判断，也不注意区分它们之间的差异与联系，才会将乘法分配律与乘法结合律混淆。
③注重外形，忽视内在。
不少教师在教学乘法分配律时，将侧重点放在观察算式的外在形式上，而淡化内在算理的阐释，这样学生自然会机械地记忆规律，而不去用心理解规律的本质。时间一长，这种暂时的知识链接必断无疑，出现25×（200+4）=25×200+4，32×8+68×8=（32+68）×8×8等错误也就不足为奇了。
④依赖题海，缺失体验。
如果学生的知识链一开始是断裂的，后来再想接上是很难的。因为学生已经缺失对乘法分配律的深层体验，即使是题海战术，也很难达到熟能生巧的目的，做题只能成为一种短效的依赖。
⑶学生层面
心理方面：四年级学生已初步形成一定的学习态度，并且随着主体意识的觉醒，自我意识、自我主张、自我控制能力进一步加强。他们在学习中遇到困难时，由于自尊心作祟，大多会羞于质疑，反而会进行有目的的掩饰。而本就很难理解的乘法分配律，更会成为学生难以启齿的问题。因而，回避困难，不懂装懂，问题自然会越积越多。
认知方面：在学习乘法分配律的过程中，学生在理解由两种运算组合成混合运算的规律探究上有困难，标准的展开式是三个数变四个数，形式变化大是学生理解乘法分配律成立前提的一个绕不过去的问题。学生在以往的学习中缺少乘法分配律的支撑，这方面的感性积累与直接经验很少。尽管他们在学习笔算乘法（如两位数乘一位数、三位数乘一位数等）时也曾用到过乘法分配律，但那时还处于无意识的状态。加之受乘法交换律和结合律的干扰较多，乘法分配律基本类型还有章可循，一经变式，学生的思维就成一锅粥了。
综上所述，要解决教学中的这些问题，突破乘法分配律意义的理解是关键。我们尝试从三个不同的角度进行教学，帮助学生学习并理解乘法分配律。
二、实践
1.运用具体生活情境理解乘法分配律所进行的教学尝试
片段目标：用两种不同的方法解决同一个情境问题，理解乘法分配律的现实生活意义。
出示问题情境：
要求学生用两种方法解决。通常学生能给出如下所示的两种方法。
方法一： 方法二：
（32+28）×3 32×3+28×3
=60×3 =96+84
=180（元） =180（元）
通过如下方式分析两种方法的思路，让学生理解相应的等式。
变化上衣和裤子的价格以及购买的数量，学生通过类似的思路得到如下一系列等式：
（32+28）×3=32×3+28×3；
（32+28）×4=32×4+28×4；
（32+28）×5=32×5+28×5；
（32+28）×10=32×10+28×10；
（42+38）×3=42×3+38×3。
通过对这一系列的等式进行概括，得到乘法分配律。
设计意图：设计一个学生熟悉的问题，让学生利用自己的知识经验、思维方式去尝试解决，通过自主探索去感悟、去发现、去获取。当学生有了初步的感知（32+28）×3=32×3+28×3，马上不断地变换条件，把3套变换成4套、5套、10套等，学生慢慢地抽象出乘的这个数与数量的大小无关，任意的数都可以。如果把衣服与裤子的价格加以改变的话又怎样呢？通过解决“衣服每件42元，裤子每条38元”这个变换了条件的问题，学生经历了一个较长的由具体到抽象的学习过程，并能在主动建构中学习乘法分配律。学生不仅学会什么是乘法分配律，更经历探索规律的过程，进而培养分析、推理、抽象、概括的思维能力。同时，学好乘法分配律是学生以后进行简便计算的前提和依据，对提高学生的计算能力有着重要的作用。
2.运用数形结合理解乘法分配律所进行的教学尝试
片段目标：运用数形结合的方式探索并归纳乘法分配律。
出示两个长方形，一个长40cm，宽25cm，另一个长40cm，宽20cm。
要求学生将这两个长方形拼成一个大长方形，并计算面积。
通过两种不同的算法，得到等式：（25+20）×40=25×40+20×40。
引导学生观察这一等式的左右两边，左边是两个数的和乘一个数，右边是括号里的两个数分别和这个数相乘再相加。提出问题：是否所有符合这样特征的算式都相等呢？你能不能写出一两个符合这样特征的算式，并想办法验证呢？
学生写出一些算式，并计算出结果，通过比较，得到一系列符合乘法分配律的等式。然后教师引导学生进行概括，并用字母表示乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c。
设计意图：在课前调研中，有少数学生了解乘法分配律，但是他们不知道为什么乘法分配律的左右两边相等。也有部分学生把乘法分配律和交换律、结合律混为一谈。从已经学过的孩子的学习情况看，很多孩子可能是死记硬背，知道怎么用字母表示乘法分配律，但是在实际练习中，他们又经常丢三落四，把三个数拆开后变成四个数时落下一个。为了突破“理解乘法分配律”这一难点，我们将问题融入“计算大长方形总面积”这一问题情境中。首先通过“拼一拼”——把两个小长方形拼成一个大长方形，让学生明白必须要先找出相等边，也就是乘法分配律中相同的数。然后通过“算一算”——两种不同的计算方法（综合算式计算）找出它们相等的原因，也就是解释乘法分配律两边相等的原因。紧接着通过“写一写”——照样子写出符合这样特征的算式，让学生带着几分猜疑进行尝试、验证，使知识在学生的头脑中逐步清晰。最后，“说一说”，总结提升，用含有字母的算式表示乘法分配律。
后测效果：“我听见了就忘记了，我看见了就记住了，我做了就理解了。”华盛顿图书馆墙壁上的三句话字字珠玑。通过“拼一拼、算一算、写一写、说一说”的体验过程，学生对于乘法分配律的理解比较到位，在写乘法分配律时，会自然而然地想到长方形的面积。最重要的是，当老师轻轻一问“长方形的面积加长方形的长是什么？”学生会马上意识到自己落了一个数没乘。
3.运用乘法的意义帮助理解乘法分配律所进行的教学尝试
片段目标：利用乘法的意义从算式本身来解释，让学生真正认识和理解乘法分配律的意义。
本片段从计算如下一组算式的结果开始：
（40+1）×25 40×25+1×25
（100+2）×12 100×12+2×12
（20+4）×15 20×15+4×15
学生通过计算，发现它们相等。教师提出问题：能否利用乘法的意义解释它们为什么相等？比如以（40+1）×25为例。
学生通常都能理解（40+1）×25其实就是41个25的和，自然也可以先算40个25，再加1个25，用算式表达为：40×25+1×25。
教师接下来请学生同桌之间相互说一说这些算式的意义。然后通过小组讨论，概括出乘法分配律并讨论用符号表示。
设计意图：让学生认识乘法分配律及理解乘法分配律的意义，这是教学过程中最为重要和关键的环节。在这一环节中，学生通过前面的计算比赛，分出了胜负，但我们还要引导学生通过比较，发现其中的规律，找到其本质。而要理解和认识其本质，关键是找到一个让学生理解、解释乘法分配律的载体，这个载体可以以各种形式帮助学生理解，如数形结合，联系生活实际，等等。但我们认为更为直接的方式是：利用乘法的意义从算式本身来解释，这更有利于帮助学生理解，虽然此时并未明示学生们所理解的就是乘法分配律，但他们已经较清楚地认识了它的本质。
在学生对算式本身有了一个比较深刻的理解的基础上，我们还要把其中的规律进一步显化。本片段通过分组讨论的形式，让学生用文字、符号或字母等方式总结这些算式的特征，从而让乘法分配律这一规律直接在学生小组内诞生并在全班延伸。
直到学生真正认识和理解，我们才揭示乘法分配律的概念。这样处理，知识来得自然，学生的理解也就来得自然。学生自己发现问题，合作探究，揭示规律，体验知识产生的过程，学习印象自然深刻。这时，再揭示上课伊始进行的比赛女生略胜一筹的原因，也让学生认识到，只有巧妙地运用所学的知识，才能使我们的学习越来越轻松。
三、讨论
1.课堂与思考
如何从源头加强学生对乘法分配律本质的理解，三位执教老师有着各自的思考和思路。从生活情境引入也好，从数学情境着手也罢，抑或是从纯数学分析的角度出发，把握知识的本质是一切教学法的根。
⑴依托情境，从模仿到理解。
从数学与生活的原型中抽象出模型进行教学，使学生在情境中自主体验，通过观察现象，进一步归纳，经历从具体实例到一般原则的概括过程，这是三个片段的共同特征。好的情境可以使学生的智力激活在最佳状态，情境不仅是引出算式，更是学生理解和思考的依托。而把一个好的情境讲透彻了，就是一定范围内学生赖以解决同类问题的最好的模型，会为学生的学习提供有力的支撑。如购物的情境中，为使学生抽象出乘法分配律的本质，引导学生观察：衣服、裤子的单价可以调整、数量可以变化，两个式子的关系却始终不变。学生自然能够意识到，乘法分配律与衣服价格、数量没有关系，与买的是衣服还是水果也没有关系，与是不是购物也没有关系。学生的感知从单一到丰富，对乘法分配律有了更进一步的理解。
⑵跳出原型，从现象到本质。
在概念教学中，需要对感知素材进行数学化地思考，也就是进行数学意义的诠释，学生才能建立表象，为抽象数学概念奠定基础。因此，教师需要引导学生解读、思考数学算式背后蕴涵的数学意义，学生才能够凭借自身已有的经验有根有据地辨别、接纳新知，深入思考，从而建立起清晰的数学表象。如教师提问：①算式各表示什么意思？②结合图形与算式说说（两式）为什么相等？③能否用乘法的意义理解两个式子？在这些问题的引领下，学生的活动定位在理解算式结构变化与运算意义之间的对应关系上，透过表象挖掘规律的内涵。只有跳出现实原型，从运算意义的角度追根溯源、深入思考，才能发现一般化的规律，真正把握定律的内在实质。也只有植根于定律的意义理解，对算式结构特点的把握才能水到渠成，为提升学生的简算意识打下坚实的基础。
2.进一步思考的问题
一、理解：算律是算法的“窍门”
计算教学的目标可以概括为四个字：又对又快。当将算律与算法放在一起时，相对而言，算法解决的是“对”的问题，而算律解决的是“快”的问题。算律是对算法的熟能生“窍”。因此，算律源于算法的运用。所以，算律的教学应该从算法的运用开始。为此，“乘法分配律”的教学应该有这样的流程。
流程一：练习，看谁算得又快又对。（独立完成）
14×6+6×6
78×14+22×14
146×12C 46×12
……
设计意图：这些题目，学生在计算时会有以下两种方法。
方法1：按照“先乘除后加减”的算法进行计算
14×6+6×6
=84+36
=120
方法2：按照“几个几加几个几一共几个几”的意义理解进行计算
14×6+6×6
=20×6
=120
就当下的学生而言，对混合运算的算法，教师是教过的。但运用乘法意义来做这题目，则是学生自己的“调皮”，或者说是“窍门”。
流程二：讨论，怎样算得又对又快？
问题：我们能改变运算顺序吗？
结论：14个6加6个6一共是20个6。
设计意图：学生对乘法分配律的理解，在小学二年级算两位数乘一位数的时候，就已经蕴含其中了。
12×310×3+2×3=36
当时的理解是10个3加2个3一共是12个3。因此，学生理解14个6加6个6是20个6是很自然的事。也就是说，学生将这一类题目的运算顺序加以改变，十分自然。
流程三：讨论，我们改变运算顺序跟这些题目有关吗？是不是所有题目都可以改变运算顺序呢？
材料： 14×6+6×6
78×14+22×14
146×12-46×12
结论：运算特征： 乘 加（减） 乘 a×b±c×b
数字特征：有一个相同数 b
两个凑整数 a±c为一整数
设计意图：教师提供的这组练习题有两个特征：运算特征与数字特征。当满足这两个特征时，可以先加减后乘，这样就把运算律的前提条件给明确了。
流程四：判断这样算法，是又对又快吗？
① （25+14）×4 ② （15+45）×3
=25×4+14×4 =15×3+45×3
=100+56 =45+135
=156 =180
问题1：先算括号里面再算括号外面，这两道题目都没有先算括号里面，可以吗？
问题2：改变运算顺序的目的是什么？哪道题目的算法满足这个目的？
设计意图：几个几加几个几等于共有几个几，反之，共有几个几可以分为几个几加几个几。改变运算顺序的目的是为了又对又快，于是得出我们认可并推荐的“窍门”，将其命名为乘法分配律。
（a±b）c=ac±bc
流程五：练习（略）
二、讨论：算律是“规律”的运用
目前，教材基本上把算律归为“规律”，其基本流程如下。
与该流程相类似的在小学数学教学中通常限于“数学好玩”或“数学广角”等材料中，比如“打电话”。
我们可以比较打电话与乘法分配律两个教学内容，打电话需要分析个例发现规律，以解决比较繁杂的问题，这是正确的。但乘法分配律这个算律如果称之为规律，可以用意义来理解，不需要发现。把乘法分配律作为问题解决来教学，是在把简单问题复杂化。
三、推而广之：加法交换律应该怎么教学
一次，有位同事问：加法交换律的生活原型是什么？想了许久，也想不出加法交换律的原型。在去听课的过程中，发现有的教师会请两位学生到讲台上来，问其他学生：这是谁和谁？
然后将两位学生交换位置，问：这又是谁和谁？
学生回答：是谁和谁。
教师问：有没有变化？
学生回答：没有变。
教师又说：这是不是说明位置变了，大小没变啊？
学生回答：是的。
听了这个原型，心里有一种说不出的味道，书上是这样设计的：
一问：2+8=10
二问：8+2=10
三问：同学们，有什么发现吗？
问题是，2+8=8+2，这需要发现吗？难道不发现就不能知道2+8=8+2了吗？
那么，正确的呢？自然应从算法入手。
流程一：练习，看谁算得又对又快？
8+6+2
7+9+3
11+5+9
流程二：交流，谁算得又对又快？
从左到右依次计算先凑整再相加。
流程三：讨论，这样改变运算顺序的理由是什么？
都是合并（加法意义）。
流程四：结论，连加算式中，如果能凑整，可以改变顺序，交换位置，即两个加数交换位置，和不变。
四、比较：差别在哪里
我们来比较两种教学流程所呈现的教学意义上的差别，如表1所示。
表1 两种教学流程呈现的教学意义上的差别
两种主张：对于知识而言，学生最终要记住ab±ac=a（b±c），并运用它以达到简便运算的目的，差别不大。但对知识的获得过程，两种主张的差别是巨大的。
一、教学起点：基于经验
《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础……”因此，成功的教学起点一定是基于学生的认知发展水平和已有的经验，这是学生获取新知、进行意义建构的基础。
例如，教学四年级下学期“乘法分配律”时，发现学生作业总是错误不断，很难纠正。一开始我们认为是以学生的认知水平还不足以学习这部分内容。一次偶然的机会，我们发现不是学生认知水平问题，而是没有找到学生学习这部分内容的经验基础。其实仔细想来，早在二年级学习“两位数乘一位数”及其口算时学生就开始不自觉地使用乘法分配律了，只不过当时没有把它提炼出来转化为学生的自觉认识，而是从乘法意义的角度予以解释说明的。由此，我大胆地提出猜想：乘法分配律的有效教学起点是学生的口算经验而非教材中安排的日常生活事例。我对教材进行了大胆的剪裁，重新整合教学资源，设计教案，进行试教。结果这节课上得非常顺利，学生基于口算经验，学得很轻松，轻而易举就理解了乘法分配律的本质，作业正确率也大大提高。
二、教学活动：改组经验
如果说教学起点是要激活学生学习新知所需要的已有经验，教学活动过程就是不断改造或改组学生已有经验，使先前感性的、零碎的，甚至是错误的经验上升为理性的、系统的、科学的经验的过程。
例如，我在教学“乘法分配律”时，激活学生先前的口算经验后，设计了如下的教学活动，帮助学生改组经验，得到新知——乘法分配律。
师：仔细观察一下（板书“观察”），这三道算式似乎呈现出一些共同的特征。你发现了什么？
生1：都是两个数的和与一个数相乘。
生2：都是用两个数分别去乘同一个数，再把所得的积相加。
生3：右边的算式就是用左边括号里的两个数分别去乘括号外面的数，再把两个积相加。
师：老师再写一个这样的算式。（40+3）×13，按照这样的规律，等式右边应该写成什么？
生：40×13+3×13。
师：左右两边到底等不等呢？怎么办？
生：计算一下各自的结果，看等不等就行了（学生计算验证）。
师：是不是所有类似的算式都存在这样的规律呢？怎么办？（板书“猜想”）
生：再写几组这样的算式验证一下。
师：（在学生验证后问）有这样的规律吗？老师这儿也写了一个等式[电脑出示（+）×=×+×]，猜猜看，老师可能写了什么？
师：像这样的算式能写完吗？
生：写不完。
师：那么怎样才能清楚地表示出这一系列等式所呈现出来的规律？
生：用字母表示。
师：那就请你们用自己喜欢的方式试着表示表示。
师：谁来汇报一下？
生：（a+b）×c=a×c+b×c（板书“结论：（a+b）×c=a×c+b×c”）
师：我们把数学运算中存在的这样的规律就叫做乘法分配律。（板书“乘法分配律”）
三、教学结果：超越经验
我们最终的教学目标是让学生应用新经验解决新问题，超越经验，启迪智慧，培养实践能力和创新意识。
例如，我在教学“乘法分配律”时，在学生发现乘法分配律的规律以后，又设计了一道题：“淮上明珠”牌大米，每袋25千克。昨天上午卖了40袋，下午只卖了3袋。根据这条信息，你能提出数学问题并尝试解答吗？
（1）一共卖出大米多少千克？（2）上午比下午多卖出多少千克大米？学生提出这两个问题并进行了解答。
师：（2）题列式和（1）题有什么不同的地方？
生：（1）题括号中是两个数相加，（2）题括号中是两个数相减。
师：由此，你能提出什么猜想？
生：两个数的差与一个数相乘，是否可以用两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相减呢？
师：我们惊喜地看到×××同学向科学迈出了关键的一步——大胆地提出了这样一个猜想。如果把他的猜想用字母表示出来，该怎样表示？
生：（a-b）×c=a×c-b×c。
师：这个猜想能成立吗？怎么办？
生：举例验证。
师：由两个数的和与一个数相乘，你还会想到什么？
生1：三个数的和与一个数相乘，是否可以用三个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加呢？
生2：很多个数的和与一个数相乘，是否可以用很多个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加呢？
师：还有问题吗？
生3：如果括号里有加有减，是否可以用这些数分别与这个数相乘，再把所得的积相加相减呢？
一、变“一”为“几”，让感知从单一走向丰富
教师呈示教材植树情境图，问：“图中他们在干什么？”（植树）。“根据图中信息，谁能提出数学问题？”当学生提出“一共有多少人参加植树活动”后，教师要求学生列式，然后引导学生观察相等的一组算式，进而概括出乘法分配律。
学生对数学定律的抽象是建立在充分感知的基础上。上述案例中，教师囿于教材编排，陷入 “一事一例”框框，造成感知素材单一，感知体验贫乏，所获取的数学表象必然是苍白肤浅的。当学生面对教材出现情感苍白、思维僵局时，教师需要寻找合适的材料来填补教材的空白，让学生在多样化的数学活动中，充分调动多种感官参与感知，从而丰富学生的感性认识。为此，我们可以依托教材提供的“植树情境”，通过如下“补白”，进行感知教学。
（1）数形感知：出示长方形植树地：，这块地的周长是多少？教师引导学生列出两种算式。
（2）生活感知：我们班有男生32人，女生20人，如果每人植树3棵，一共可以植树多少棵？让学生用两种方法列式解答。
（3）正例感知：你还能举出像上述这样的两个算式的例子吗？
（4）反例感知：有同学列举出（4×2）+25=4+25×2+25，这个例子对吗？
这样，以教材例子为载体，通过创造性处理教材，变“一”为“几”，既关注了学生已有经验，为学生提供乘法分配律的多样化数学模型，又有利于学生借助已有经验加以理解、内化，使学生对乘法分配律的感知变得更加丰富、充分。
二、变“粗”为“细”，让表象从模糊走向清晰
教师引导学生观察（4+2）×25=4×25+2×25，并进行如下数学思考。
师：比较左、右两个算式，有什么异同？
生1：运算顺序不同，但结果相同。
师：你能具体说说每个算式的运算顺序吗？
生2：左边算式是先算括号里的加法，再算乘法；右边算式是先算乘法，再算加法。
师：左右算式的运算有什么联系？
生3：4与2的和乘25，可以先将加数4与2分别与25相乘，然后将积相加起来。
师：不错！
……
在上述案例中，教师的追问是肤浅、粗糙的，仅从算式的符号、结果、数据之间的关系等外部特征入手，并没有深入引导学生从数学算式背后蕴涵的数学意义加以解读、思考，导致学生所形成的数学表象模糊，思维缺乏深刻性。为此，我们应由表及里，变“粗”为“细”，从乘法分配律的本质意义入手，引导学生对算式的内涵加以深入研究、仔细剖析，以获取清晰的数学表象。
师：（32+20）×3与32×3+20×3这两个式子为什么得数相等呢？谁能结合植树情境，说说先算什么，再算什么？
生4：左边先算出全班植树多少人，再算出全班植树棵树。右边先算男生、女生分别植多少棵，再算出全班植树棵树。所以左右算式的得数相等。
师：左边算式表示多少个3？右边算式表示几个3加上几个3？合起来是几个3？现在，你知道左右算式结果为什么相等了吗？（学生根据乘法意义加以解释）
师：谁能结合长方形周长情境，说说64×2+26×2与（64+26）×2为什么相等？
……
这样立足概念本质由浅入深加以追问，使学生能够凭借自身已有的经验有根有据地辨别、接纳新知，思考深刻，从而建立起清晰的数学表象。
三、变“快”为“慢”，让概括从形式走向内涵
在学生观察比较得出（4+2）×25=4×25+2×25后，教师引导学生进行总结。
师：谁能用自己的话来说一说？
生1：4加2的和乘25会等于4乘25加上2乘25。
生2：4加上2的和乘25等于25分别和4与2相乘，再加起来。
师：现在，请同学们打开书第36页，看看书上是怎么说的。（学生生齐读结语）
师：这就是我们今天要学习的“乘法分配律”（板书）
……
在上述案例中，教师仅仅依托唯一一个等式，走马观花似的和盘托出乘法分配律的“外壳”。教学是一种“慢”艺术，教师需要适时介入、适度点拨、顺势引导，让算式蕴含的本质规律在“磕磕绊绊”的迂回中逐渐“浮”出水面，从而走进“采菊东篱下，悠然见南山”的境地。为此，我们要舍得“浪费时间”，变“快”为“慢”，以结构化的板书为依托，引导学生进行有序观察、全面分析、挖掘内涵、自由表达、自主概括。
师：从上往下观察，左边五个算式有什么特点？
生1：都是先算和，再算积。
生2：都是表示几个几是多少。
生3：也就是几个数的和与一个数的积是多少。
师：从上往下观察，右边五个算式又有什么共同点呢？
生4：都是先算积，再算和。
生5：也就是这个数分别与两个加数相乘。
师：从左往右观察，左边的算式表示几个几？右边算式部分积分别表示几个几相加？与左边算式有什么联系？
师：谁能把我们刚才的观察发现，用自己的话来说一说？
……
学生在独立思考的基础上，畅所欲言，各抒己见，气氛十分热烈。这样紧扣乘法意义，条分缕析地引导学生全方位、多角度、宽领域地进行观察比较、互动交流、平等对话，使学生在“驻足细品、交流分享”中有效实现了对乘法分配律内涵的深度理解，不仅获得了求知的满足，而且感受了成长的快乐。
四、变“多”为“精”，让应用从模仿走向创新
概括出乘法分配律后，教师设计了如下三个练习。
1.完成书第36页“做一做”。
2.找朋友：把结果相同的算式用直线连接起来。
（25+75）×37 24×8+18×8
56×98+56×2 56×（98+2）
（24+18）×8 25×37+75×37
3.用乘法分配律计算。
25×（40+4） 2×28+8×28
练习不仅是为了巩固已有定律，更应促进学生加深对定律的理解，达到灵活运用。在上述案例中，教师提供的都是机械的模仿性练习，缺乏思维含量，容易使学生形成思维定势，不利于举一反三的迁移能力的培养。这就要求教师从发展学生思维的角度出发，变“多”为“精”，通过多层次、多形式、多角度的练习，让学生在“比较”中体验价值，把握本质，灵活应用，实现“以少胜多”的功效。
基于“比较出真知”这一理念，教师可以设计如下形式多样的练习：
（1）改错练习：如2512548=254+1258=100+1000=11000，对吗？为什么？
（2）对比练习：如计算（40+8）25和（28+72）136，25（84）和25（8+4），9925+25和16101-16。
（3）一题多解：如计算12532和10188，你能用几种方法计算？
（4）编题练习：如在“43×43×”的里填上适当的数，在填上运算符号，编出可简便计算的习题，再简算。
以上精练的变式练习，既基于教材，又高于教材，既巩固了新知，又培养了能力，既实现了轻负高质，又使学生积累了鲜活的数学活动经验，获得积极的情感体验，树立了“我能学”的信心。
1、教学内容：六年制小学数学第十一册第二单元的第一节分数乘法的第5课时：分数乘法的简便运算。
2、教材所处的地位：
分数乘法的简便运算是在学生已经掌握了分数乘法计算、整数乘法运算定律、整数乘法运算定律推广到小数乘法的基础上进行教学的。教学中坚持以人为本的理，充分利用知识间的内在联系,向学生提供了充分从事数学活动的机会,让学生在合作交流的过程中得到发展。
3、教学目标：
（1）理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并能应用这些定律进行一些简便计算。
（2）引导学生在经历猜想、验证等数学活动中，发展学生的思维能力。
（3）通过小组合作学习，培养学生进行交流的能力与合作意识。
4、教学重点：使学生能够熟练分数的简便运算。
5、教学难点：会用运算定律对分数进行简便运算
二、说教法
1、讲解法 2、讨论法 3、比较法
三、说学法
1、重视培养学生的猜想能力和实践能力。
2、关注学生的个人体验,培养学生的探究能力。
四、说教学过程
（一）复习,为学习新知识做好精神准备。
1、回顾学习过的乘法运算定律。
（1）请学生说一说已学过的乘法运算定律，根据学生的回答，教师板书：
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：（ab）c=a（bc）
乘法分配律：（a＋b）c=ac=bc
（2）用简便方法计算下面各题。
25134 8（9＋12.5） 12524
（二）探究新知
1、教学分数乘法的简便运算时,可以依次给出书上的每组算式,让学生观察每组中两个算式,有什么特点。然后算出左右两边的得数,看看每组的两个算式有什么样的关系,然后分别做出结论,明确整数乘法每一个运算定律对于分数乘法都适用。进一步还可以让学生用字母表示这些运算定律,使学生明确,现在要理解定律中所说的数以及用字母所表示的数不仅限于整数、小数、还包括了分数。
2、整数乘法运算定律推广到分数乘法
（1）各组观察例5的每组中两个算式，你们发现了什么？
例5、观察每组的两个算式，看看它们有什么关系？
1／21／31／31／2 （1／42／3）3／51／4（2／33／5）
（1／21／3）1／51／21／5＋1／31／5
（2）各组发表本组同学的发现。
通过学生发表的意见，教师明确指出整数乘法的交换律、结合律和分配律也适用于分数乘法。
3、应用
（1） 教学例6计算3／51／65.
①请试着做一做.
②让学生互相交流自己的计算方法.（有的学生是按运算顺序计算的；有的是按运算定律进行计算的。）
③比较：哪一种方法简便？应用了什么运算定律？
您现在正在阅读的六年级数学《分数乘法的简便运算》说课稿文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!六年级数学《分数乘法的简便运算》说课稿④跟据学生的回答教师板书：
3／51／65
=3／551／6（应用乘法交换律）
=1／2
（2） 教学例6 .计算（1／10＋1／4）4
① 让学生观察算式的特点，想一想，怎样计算比较简便？
② 学生计算完后，请学生说一说计算中应用了什么定律？
③ 根据学生的交流，教师板书：
（1／10＋1／4）4
=1／104＋1／44（应用乘法分配律）
=2／5＋1
=1.2
4、小结
教学例6时,要注意以下两点：（1）先让学生仔细观察题里的已知数有什么特点,怎样能使运算简便一些。（2）要运算简便需要应用什么定律。这样有利于培养学生细心观察,根据具体情况灵活应用所学知识的能力。然后可以让学生做一做的练习题。
（三）巩固练习
巩固练习是课堂教学中不可缺少的过程,这一阶段是巩固新知识、形成技能、技巧、发展智力的重要阶段。因此,我们要加强训练适当练习,确保学习效果。
1、学生在书上直接.完成练习三的第6题。
请学生说一说每个题目应用了什么运算定律？
2、 完成第14页做一做。其中的第3小题教师可作适当指导。（可以把87看作86＋1来计算）
（四）课堂作业
完成练习三的第7、8、9题。
（五）、总结
通过这节棵的学习你学会了什么？有哪些收获？
（六）、板书设计：
分数乘法的简便运算
乘法运算定律 乘法交换律 ab=ba
乘法结合律 （ab）c=a（bc）
乘法分配律 （a＋b）c=ac＋bc
例6 计算3／51／65 （1／10＋1／4）4
3／51／65 （1／10＋1／4）4
=3／551／6（应用乘法交换律） =1／104＋1／44（应用乘法分配律）
教学设计说明：
本节课的教学内容是把整数乘法运算定律推广到小数，教学时重点要弄清两个问题：一是要理解整数乘法的运算定律在小数乘法计算中同样适用；二是要学会思考在小数乘法中怎样运用运算定律进行简便计算。在探讨整数乘法运算定律在小数乘法中适不适用之前，让学生先复习整数乘法运算定律。巧妙地揭示新的研究内容，沟通新旧知识的内在联系，实现师生互动，然后引导学生观察每行中左右两边算式之间的关系，从而顺利地把整数乘法的运算定律推广到小数乘法里来。在探讨怎样运用运算定律时，因为运送的是两种货物，收取运费时可以两种货物分别算，再加个总账；也可由货物的总吨数直接算运费。从而引导学生发现整数乘法的运算定律对小数同样适用，前一种算式用乘法分配率就可将其转化为后一种计算起来很简便的算式。这样安排一来让学生更深刻的体会数学知识与生活的紧密联系，学好数学是为了更好的服务于生活；二来引导学生亲身经历观察、思考、发现整数乘法的运算定律对小数同样适用这一过程，可以逐步培养学生合情推理的能力，以及思维的逻辑性和灵活性。在巩固运用知识时，我设计了两类题，使学生进一步巩固了乘法运算定律在小数中的运用。
教学目标：
1.使学生经历将整数乘法的运算定律类推到小数乘法的这一过程，理解整数乘法的运算定律对小数乘法同样适用。
2.通过学习使学生比较熟练的运用乘法运算定律进行一些小数的简便计算。
3.培养学生的观察能力、知识类推能力。
教学重点、难点：
1.运用乘法运算定律进行小数乘法的简便运算。
2.能选择简便的、合理的方法进行小数乘法的计算。
教具准备：电脑投影
教学过程：
一、复习旧知
1.在整数乘法中我们已学过哪些运算定律？请用字母表示出来。
根据学生的回答，板书：
乘法交换律 ab=ba
乘法结合律 (ab)c＝a(bc)
乘法分配律 a(b+c)=ab+ac
2.让学生举例说明怎样应用这些定律使计算简便。(注意学生举例时所用的数。)
充分调动学生已有知识，为学习好本节课的内容做准备。
二、探究新知
（一）整数乘法运算定律同样适用于小数
观察下面每组的两个算式，应该填＞、＜还是＝？
0.7×1.21.2×0.7
（0.8×0.5）×0.40.8×（0.5×0.4）
（2.4+3.6）×0.52.4×0.5+3.6×0.5
生齐说：等号！
师：这么肯定吗？我们一起来验证，看我们的猜测是否正确。
学生动手做，教师巡视，然后说出验证结果。教师填上“=”，请学生观察每组算式，你发现了什么？
生1：我发现了第一组算式是用了乘法交换率。
生2：我发现了第二组算式是用了乘法结合率。
生3：我发现第三组算式用了乘法分配率。
师：谁能把他们的话概括一下？
生4：在小数乘法中，整数乘法的运算定律同样适用。
师：这个发现到底对不对，我们不能就这样草率地下结论，得需要经过大量的验证才行。我们再来举出一些这样的乘法算式例子，来验证我们的发现到底对不对。
在小组里举例验证，再在班内交流，让学生说出他们得出的结论是什么。
教师板书：整数乘法运算定律同样适用于小数。
教师引导学生猜测— 发现 —验证，这是学习数学最基本的方法，也是最常用的方法，学习某部分知识首先要教会学生学习探索的方法。
这是这节课我们要弄清的第一个问题，究竟怎样用，才能使计算简便呢？我们来讨论下面的题目。
（二）应用
1.电脑出示一张运货单。
你能提出什么关于运费的问题吗？
学生提问：
（1）将63吨大豆从重庆运到涪陵，需要运费多少元？
（2）将137吨玉米从重庆运到涪陵，需要运费多少元？
（3）将63吨大豆和137吨玉米从重庆运到涪陵，需要运费多少元？
学生经过思考会发现：前两题很简单，以前会做了。请学生简单说一下算式，然后转入对第三个问题的分析。
2.问题：将63吨大豆和137吨玉米从重庆运到涪陵，需要运费多少元？
（1）学生尝试独立解答，比赛谁找的方法多。
学生有购物付费的生活经验，及整数乘法分配率的知识经验，上课时给了学生充足的时间，大部分学生很快找到了两种解题思路。
（2）学生在小组内交流。
通过互学互帮，主要让学习略显吃力的、只找到一种解法的学生理解另一种解法的含义，为下一步的探究活动做准备。
（3）学生代表汇报各自列的算式，及这样列式的理由。
生1：我先分别算大豆和玉米的运费，再把它们加起来，我是这样计算的：
4.2×63＋4.2×137=264.6＋575.4=840(元)
生2：要求供需运费多少元，首先要知道货物的总吨数和每吨的运费。我是这样计算的：
4.2×（63+137）=4.2×200=840（元）
（4）请学生评论：针对刚才这道题，那种解法更简便，为什么？如果我是按方法1的思路列的比较复杂的算式，那该怎样简算呢？
绝大部分学生都会选择方法2，因为先算63+137会出现整百数，很好算。如果按方法1的思路列的比较复杂的算式，可以用乘法分配律把它变成像方法2那样的式子，就好算了。
3.你能仿照整数乘法中，类似题目的简算方法来计算这道题吗？试着做一下。
引导学生进行思维迁移。
0.25×6.38×4
提醒学生仔细观察题目，找准特点，做到每一步要有理论依据。
学生独立试算后展示计算方法，并叙述理由。
三、巩固练习
教材第13页：
（1）第7题，这是一道应用乘法运算律填空的练习题。练习时，让学生先独立填写，再交流，说明填空依据，加深对乘法运算律的认识。
（2）第8题中的两个小题，指名板演，其他学生独立做，集体交流。订正时，说明每道题中什么地方用了什么运算定律。
四、小结
这节课，你有什么收获？
让学生说一说，交流学习所得，对于掌握本部分知识有一定帮助作用。
五、作业
教材第14页第8题的剩余题目。
课下作业对于学生及时复习所学知识，牢固掌握所学有一定帮助作用。
课后反思：
这堂课，同学们都投身于自己探求知识的活动之中，他们认真观察，积极动脑，互相探讨，终于发现并领悟了新知识，学生学的轻松，满足了他们成功的欲望。
一、导入时设计准备性练习
在数学教学的导入环节，学生的认知任务是要唤醒旧知，从旧知中寻找要素，引发新知学习的兴趣，在新旧知识之间寻找连接点。在这一阶段，教师可以提供一些准备性练习，通过激趣、铺垫，激活学生的已有经验，引领学生展开新知学习。如在教学“两位数乘两位数”时，笔者特意安排了这样的准备性练习：很多同学都要过十岁生日了，结对的医院阿姨们打算要送给大家价值25元的《十万个为什么》作为生日礼物，如果按照月份来送，猜猜这个十月份阿姨们要花费多少钱？猜猜十一月份又会花费多少钱？学生猜想有9、10、11、12人会在十月份过生日，那么阿姨们的花费可以列出算式为：25×9，25×10,25×11,25×12，学生能够口算得出分别可能会花费225元，250元，275元，300元。此时笔者提出，根据统计，本月过十岁生日的有12人，请同学们估计一下大约需要花费多少钱。学生列出算式为25×12，估算可能是250元，也可能是300元。要想答案更精确，那就需要进行计算。学生由此开始进入两位数乘两位数的环节。以上练习设计中，笔者将学生口算和笔算结合起来，不但让学生复习了一位数乘两位数的乘法，还通过估算培养学生的估算能力，以此提高学生的数感。笔者认为，这种情景和练习结合的准备式复习练习，能够为学生新知学习铺路搭桥，同时使导入与复习有机融合，提高了教学实效。
二、做题时设计形成性练习
在新知学习阶段，为了促进学生的新知建构和技能的有效生发，教师要安排一些具有针对性的即时练习，这就是形成性练习。这种练习需要教师认真分析新知形成的阶段，并在每一个阶段配备精心设计且具有针对性的专项练习，以强化新知的内化和生发。如教学“除数是小数的除法”这一内容时，笔者设计了这样的生发式练习：一个馒头4角钱，1元2角能买多少个馒头？你是怎么算的？学生列出算式：1.2÷0.4=3（个），12÷4=3（个）。学生这样算：1.2元就是12角，一个馒头是4角，就是求12个里边有几个4，12÷4=3（个），因而这样两个算式相等。通过这样一个生活中的实例，学生理解了除数是小数的除法的算理，弄清了怎么算的问题。紧接着笔者又设计了一道内化练习：（1）1.25÷12.5=（）÷125,（2）5÷0.05=（）÷5。这项练习主要训练将除数是小数的除法化为除数是整数的除法，并且两道题也各有侧重，前者是被除数的除数够移的，后者则是不够移需要在后边加0的。通过两项专题练习，学生能够在新知建构中获得生发能力，提升数学思维力。
三、巩固时设计应用性练习
根据数学建模理论，数学教学进入巩固阶段，实际上已经是一个知识转化为能力的重要阶段。这时需要教师设计巩固型应用性练习，一方面帮助学生夯实基础知识，另一方面则深化新知，为下一步知识拓展提供机会。巩固型应用性练习应遵循三个层次：一是模仿，这是培养学生形成基础技能的第一步；二是变式，这个阶段练习的知识点并没有改变，改变的是习题的形式和角度，目的是训练学生的灵活性；三是创造，这个阶段的练习内容是综合性的，变化较大，解题方式也较为灵活。如在教学“乘法分配律”这一内容后，笔者设计了这样的几道练习题：①101×25=（+）×25=100×25+（）这是简单的模仿类习题，目的是让学生掌握乘法分配律的基本形式。②用简便方法计算：(a）28×99+28；(b）77×16-77×6这是通过改变形式和数学新情境（减法）让学生熟练运用乘法分配律并形成计算技能。③用简便算法计算：(a）22×68+44×16；(b）25×（47×12+53×12）这是一个综合运用的练习设计，目的是让学有余力的学生继续深入探索。以上三个层次的习题设计，既有对乘法分配律基本形式的练习，也有乘法分配律计算技能的练习，还有采用等式变形后让学生进行探索的练习，可以起到培养学生创新精神的效果。不同类型的习题设计侧重不同的数学专项练习，目的是让学生从简单到复杂，步步为营，逐步过渡到探索阶段，获得乘法分配律这一知识的综合运用能力。小学数学课堂习题设计不是一个简单的策划，这需要教师细心挖掘教材内容，本着创新的教育理念，深入领会课标精神，设计多种形式的练习，才能让练习内容逐步丰富，为课堂教学创造精彩。
作者：丁肖华 单位：江苏省兴化市大垛中心学校
关键词 乘法 小学 数学 教学
中图分类号：G623.5 文献标识码：A
On the Elementary School Mathematics Teaching Method
Pu Bu Ji Ba
(Tibet Dingjie County Sa'r town center elementary school, Shigatse, Tibet 857900)
Abstract Multiplication is primary school mathematics learning the important content, but also people in real life is more extensive application of mathematics. In the course of study, students not only to experience the joy of calculation, and experience the multiplication the wide application in our daily life, can overcome the difficulties in mathematics activities.
Key words multiplication; elementary school; mathematics; teaching
小学数学乘法是小学教学中的重要组成部分，在教材中可以看到整数乘法、小数乘法、分数乘法、乘法分配律、乘法结合律、乘法交换律等内容，但为了让学生学好这一部分的内容，我们就必须了解乘法的大致内容，让学生在学完小学内容时能有一个全新的了解，下面我们就来浅谈一下小学数学乘法。
1 乘法入门
新课改下的小学数学教学，给广大数学教师带来了新的挑战。新课程要为原始的教学方法注入全新的理念，要提高课堂效益，就必须彻底改变课堂上教师激情机械地讲解，课下学生被动乏味的模仿的传统教学形态，如何让手中的教材体现出教有情趣、学有滋味的感觉，成了我们新的话题。为了避免课程的突然更换，令广大师生因为不适应，而给教学带来影响。在教学中教师要努力转变“教材观”让旧教材体现新精神要在使用教材的过程中融入自己的科学精神和智慧，要对教材知识进行重组和整合，选取教法一定要考虑学生的年龄特点、兴趣爱好和学习习惯，考虑学生的认知规律和心理、生理发展特征来安排教学环节：以充分调动学生的积极参与意识为主来设计教学过程。从课堂教学“学、思、乐”三字经出发来优化教学方法，达到课堂教学省时高效、事半功倍的目的。小学中低年级的学生在进入课堂时，都不会有什么抽象思维，而是直观思维。
在教学中，3+3+3+3+3这道题看起来很长，如果我们仔细一看，就是5个3相加，用乘法表示为3就简单明了。如果我们直接将这个题灌输给学生，那学生就会觉得枯燥；如果我们能抱15个小球到教室讲桌上，每排放3个，共放5排，那学生就会很容易接受。然后引出乘法的概念和本质，乘法的本质是一种特殊的加法，乘法知识的生长点是几个相同数的连加。当然，乘法意义在不同情况下是有不同意义的，几倍和几分之几，在形式上有所不同，但在本质上是一样的。教材中还加入了“九九乘法表”，如果能背诵熟了，也就算乘法入门了。
2 灵活运用乘法的交换律、结合律、分配律
我们经常看到小学生喝“娃哈哈AD钙奶”，在教学中进行提问：“同学们，你们喜欢喝娃哈哈AD钙奶吗?”学生肯定会回答“喜欢”。“那你们知道一瓶AD钙奶多少钱吗？”“2元。”次仁罗布到商店准备购买20瓶AD钙奶(出示实物图)，你能帮助他算算要花多少钱吗？”学生会用自己的方法进行计算。学生对于自己经历过的问题总是很感兴趣，通过这样的导入可以达到激发学生兴趣的目的。
在运算题中，2057+2057按一般算法都很麻烦，换一种方法2057 + 2057 = 2057 + 2057 = 2057+1） = 20570 = 20570这样就简单了许多；又如1255 = （125）5） = 100000 = 100000；又如997 = （1001）7 = 100717 = 470047 = 4653。这些题在生活中都能运用到。
例题1：学校买了67套双人课桌凳，一张桌子135元，两个凳子65元，一共花了多少钱？
6735 + 675 = 6735+65） = 6700 = 13400（元）
例题2：供货商运来了4车大米，每车48袋，每袋25千克，一共运来了多少千克大米？
分析：总千克数就是车数4、袋数48袋/车、25千克/袋的乘积。
485 = （45）8 = 1008 = 4800（千克）
教学最后的结语要能够起到画龙点睛的作用。在教学的过程中，最后的结语是一个重要的环节，结语的好坏会对课堂的教学效果产生影响。很多学生在学完乘法分配律、交换律、结合律很难区分清楚。这时候可以用比喻来作为结语，以便学生区分这两种运算律。例如可以这样做结语：乘法分配律就像这样“我爱爸爸，我爱妈妈=我爱爸爸和妈妈”。生动的比喻可以加深学生的对乘法分配律的印象，有助于学生区分乘法结合律与乘法分配律。
3 熟练掌握整数、小数、分数乘法
整数：像-2，-1，0，1，2这样的数称为整数。（整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体）整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。在整数系中，自然数为0和正整数的统称，称0为零，称-1、-2、-3、…、-n、… (n为整数)为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。整数乘法的结果也永远是整数。
小数乘法是乘法教学中的重要组成部分，整数乘法的运算定律同样适用于小数乘法，一个数乘以小数的意义是求一个数的十分之几、百分之几、千分之几……是整数乘法意义的扩展。小数乘以整数和一个数乘以小数的计算规则都是凭据因数与积的规律而推导出来的，明确计算的算理，可以防止出现积的小数点位置的错误。明确小数乘法的意义和计算方法也是准确使用估算法检验小数乘法的基础。例如2.5.2，既可以应用乘法结合律简算（2.5.4），又可以应用乘法分配律简算2.5 0.2） = 2.5 2.5.2，像一些简算题可以把它融到口算题中间去。比较典型的例题可以让学生说出差异的算法，在比较中找出最优。概括出简便的计算方法。
(1)把握复数乘法与除法的运算法则,并能熟练地进行乘、除法的运算;
(2)能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题;
(3)让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法;
(4)通过学习复数乘法与除法的运算法则,培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘,与加减法一样,可以按多项式的乘法进行,但必须在所得的结果中把换成-1,并且把实部与虚部分合并.很明显,两个复数的积仍然是一个复数,即在复数集内,乘法是永远可以实施的,同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是乘法的逆运算,它同多项式除法类似,当两个多项式相除,可以写成分式,若分母含有理式时,要进行分母有理化,而两个复数相除时,要使分母实数化,即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数,使分母变成实数.
三、教学建议
1.在学习复数的代数形式相乘时,复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设是任意两个复数,那么它们的积:
也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的,注重有一点不同即必须在所得结果中把换成一1,再把实部,虚部分别合并,而不必去记公式.
2.复数的乘法不仅满换律与结合律,实数集R中整数指数幂的运算律,在复数集C中仍然成立,即对任何,,及,有:
,,;
对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义,因此假如把上述法则扩展到分数指数幂内运用,就会得到荒谬的结果。如,若由,就会得到的错误结论,对此一定要重视。
3.讲解复数的除法,可以按照教材规定它是乘法的逆运算,即求一个复数,使它满足(这里,是已知的复数).列出上式后,由乘法法则及两个复数相等的条件得:
,
由此
,
于是
得出商以后,还应当着重向学生指出:假如根据除法的定义,每次都按上述做来法逆运算的办法来求商,这将是很麻烦的.分析一下商的结构,从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法,就是先把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简即可.
4.这道例题的目的之一是练习我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作,要求我们做到熟练和准确。从这道例题的运算结果,我们应该看出,也是1的一个立方根。因此,我们应该修正过去关于“1的立方根是1”的熟悉,想到1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程,发现其中所有的“”号都可以改成“±”。这样就能找出1的另一个虚数根。所以1在复数集C内至少有三个根:1,,。以上对于一道例题或练习题的反思过程,看起来并不难,但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维,拓宽和加深我们的知识,使我们对一个问题的熟悉更加全面。
5.教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式,在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中,要非凡注重等号成立的条件。
教学设计示例
复数的乘法
教学目标
1.把握复数的代数形式的乘法运算法则,能熟练地进行复数代数形式的乘法运算;
2.理解复数的乘法满换律、结合律以及分配律;
3.知道复数的乘法是同复数的积,理解复数集C中正整数幂的运算律,把握i的乘法运算性质.
教学重点难点
复数乘法运算法则及复数的有关性质.
难点是复数乘法运算律的理解.
教学过程设计
1.引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减法,其运算法则与两个多项式相加减的办法一致.那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢?
教学中,可让学生先按此办法计算,然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照,从而引入新课.
2.提出复数的代数形式的运算法则:
.
指出这一法则也是一种规定,由于它与多项式乘法运算法则一致,因此,不需要记忆这个公式.
3.引导学生证实复数的乘法满换律、结合律以及分配律.
4.讲解例1、例2
例1求.
此例的解答可由学生自己完成.然后,组织讨论,由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质:.
教学过程中,也可以引导学生用以上公式来证实:
.
例2计算.
教学中,可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算.比如说第一组按进行计算;第二组按进行计算.讨论其计算结果一致说明了什么问题?
5.引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质
教学过程中,可根据学生的情况,考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂.
6.讲解例3
例3设,求证:(1);(2)
讲此例时,应向学生指出:(1)实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立;(2)复数的混合运算也是乘方,乘除,最后加减,有括号应先处括号里面的.
此后引导学生思考:(1)课本中关于(2)小题的注解;(2)假如,则与还成立吗?
7.课堂练习
课本练习第1、2、3题.
8.归纳总结
(1)学生填空:
;==.
设,则=,=,=,=.
设(或),则,.
(2)对复数乘法、乘方的有关运算进行小结.
一、探寻学习活动的“源头”，实现知识结构的质变
数学学习活动是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动建构过程。学习者能否主动建构形成良好的认知结构，取决于原有认知结构里是否具有清晰（可辨别的）、可同化新的知识观念（固定点、生长点）以及这些观念的稳定情况。教者在钻研教材、设计教法时不仅要从整体上把握教材知识结构，而且要从纵向考虑新旧知识是如何连接延伸的，从横向考虑新旧知识是如何沟通联系的，从而找准新旧知识的连接点、不同点和新知识的生长点并以此为突破口开展数学活动，引导学生利用知识的迁移规律主动地获取知识，实现知识结构的重组，实现认知结构由量到质的变化。
在教学“乘法分配律”时，探寻新旧知识的连接点、不同点和新知识的生长点就成了帮助学生牢固建立运算律规律的保证，我发现学生其实在学习两位数乘一位数的计算时就已经运用乘法分配律了，学生头脑中已经有了两位数乘一位的认知结构，因此我把学生已经建立的两位数乘一位数知识结构作为新课的生长点。
（1）从口算乘法24×3开始复习口算方法，即：24×3可以这样想：先算20×3再算4×3，最后算出和，然后复习笔算乘法 ，先算15×3，再算15乘20，最后求和。得出：15×23=15×3+15×20。提出问题：这些等式都很相似，这里面是不是隐藏着什么规律呢？
（2）剖析新旧知识的分化点，感悟知识的内在规律和联系。引导观察（20+4）×3=20×3+4×3，15×（3+20）=15×3+15×20一组算式，从左往右看，感悟“分”，从右往左看体会“配”。提出要求，你还能再写出这样的算式吗？
（3）让学生展现自己的建构过程，发现规律，总结规律。必要时能用图表、图示及语言等方式展现自己的建构过程。
（4）出示王阿姨买服装的问题，除了可以求一共要付多少元之外，还可以提出什么数学问题？提出：5件夹克衫比5条裤子贵多少元？出示：60×5-50×5，（60-50）×5，这两道算式等不等呢？你怎么知道相等的？这个等式和我们发现的乘法分配律的形式一样吗？哪儿不一样？如果买5件夹克衫、5条裤子和5件短袖衫，一共要付多少元？出示：60×5+50×5+30×5，（60+50+30）×5，这两道算式等不等呢？你怎么知道相等的？这个等式和我们发现的乘法分配律的形式一样吗？这样由表及里，由浅入深的教学过程，也就是学生经历了把教材知识结构转化成学生自身的数学认知结构的过程。这个过程实现了知识结构的质变，并为促进新的知识结构的建立起到重要作用。
二、把握学习活动的“起点”，实现思维能力的提升
所谓学习起点，指学习者对从事特定的学科内容或任务的学习已经具备的有关知识与技能的基础，以及对有关学习的认识水平、态度等。它是影响学生学习新知识最重要的因素。因此教师准确把握学生学习的真实起点，设计教学过程既不拔高也不降低学习要求，让学生跳一跳能摘到果子，才能最大限度发挥学生的主观能动性，学生的自主探索能力才能得到发展。如在“两位数减一位数的退位减法”中，我发现学生不仅熟练掌握“整十数加一位数的口算和20以内的退位减法”，而且大多数学生对将要学习的“两位数减一位数的退位减法”已经有了一定程度上的了解，如果还把教学的起点定位在“整十数加一位数的口算和20以内的退位减法”显然降低了思维难度，不符合学习实际。因此我设计起点为“写一个两位数减一位数的减法并算出得算”然后组织反馈，选择一部分算式呈现出来，让学生自主加以分类，然后引导学生自己得出退位减法的口算方法。这样的设计展示了教学过程中学生从不知到知，从知之不多到知之较多的自主探索过程。
