时间：2023-06-13 16:26:34
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学原始概念，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：数学教学；数学概念；方法
数学是以现实世界中的空间形式和数量关系为研究对象的学科，由于一切事物的特性或事物间的关系在不同程度上都需要通过一定的量的关系来加以描述，因此数学是我们认识世界的基础。在人类不断认识和改造世界的过程中数学自身也在发展，它已成为现代社会中一般成员必备的科学文化素养，是各类劳动者不可缺少的知识，更是学习各专业知识的重要基础。在各类专业学习中，数学都是作为一门重要的必修课，因为数学的学习直接影响专业知识、技能的学习。在数学中数学概念是非常重要的一个内容，正确地理解数学概念是掌握数学知识的关键，是进行数学判断、推理的前提。只有概念明确，才能判断准确，推理有据，只有深刻理解数学概念，才能提高解题的能力。因此，搞好数学概念教学是提高数学教学质量的一个重要方面，本文就数学概念的教学谈几种方法。
从实例引入
数学知识是前人通过辛勤的智力劳动获得、积累并证明的正确结论，它的获得过程蕴含着培养智力的因素，它所运用的归纳、论证、推理等逻辑方法训练人的思维，具有可贵的启发智力的作用。数学内容可分为科学的数学内容和作为教材的数学内容；科学的数学内容一般结论精确、逻辑严密，作为科学专著，其目的是让读者明确并信服相应的数学理论。而作为教学内容的数学，其教材除了保证必要的严谨性以外，更力求于理解。它不仅要保证相应的理论和方法让学生信服，而且还要让学生完全理解，还必须吸引学生的学习兴趣，能够提高学生的能力。但由于篇幅等因素，一般的教材，尤其是职业学校的教材，不可能具备上述条件，因此教师就要想办法，充分备课加以补充，尤其是对数学概念的教学。数学概念分为原始概念和推出概念。对于原始概念，不能用别的数学概念去定义，只能从实际事例中抽象理解。如集合、平面等。对于一般的概念，在传统数学教学中，往往忽视给概念，下定义的过程，而仅仅强调“从定义出发”，只是注重了内容的学习。如果从概念定义到概念定义或采取直接定义的方式来引入某个数学概念，学生也不易理解，也没有注重思维方法的培养，这不符合数学发展智力的作用和素质教育的要求，因为学生没有参与概念的形成。即便是死记硬背，把概念机械地记下来，也只能是知其然不知其所以然。而运用启发式从实例出发经过分析、比较、综合、抽象、概括等一系列思维活动，不但能理解抽象的数学概念，而且学生充分参与到概念的形成中，培养了学生的思维能力。因此在数学概念教学中，如果是原始概念，最好用实例去解释，让学生来理解。而对于一般的数学概念，也要从具体实例出发，运用启发式，让学生参与到概念的形成中去。例如函数的概念，就可以运用生活中的实例：以一种书的数量、书价与所付款的关系来进行讲述，形成自变量、应变量的关系，抽象出数学概念。对于数学概念的教学来说，从实例引入，抽象出数学概念是一种很好的方法，当然不能一概而论。
概念对比法
在数学中，概念非常多，而且很相象。学生学习起来易产生混淆。采用对比法，可帮助学生对概念的理解，如指数函数和幂函数，对数函数和指数函数。通过分析它们的区别从而使学生分清各函数的性质，以便利用性质解题。如果把新概念与旧概念对照起来讲，不仅能使学生比较顺利地接受、理解新概念，还能使学生从中看到新旧概念之间的区别与联系，对理解新旧概念都有帮助。如函数概念是反函数概念的基础，对于反函数概念的理解，是在函数概念的基础上，因为反函数也是函数，符合函数的概念。通过学习反函数，又加深了对函数概念的理解。因此运用对比法进行数学概念教学，尤其是对于相似的数学概念非常有效，所以这也是帮助学生理解数学概念的一种方法。转贴于
从简单概念引出复杂概念
许多概念是由其他概念推出来的，而数学知识具有严密的逻辑性，前一个知识往往是后一个知识的条件或基础。因此对于数学概念来说，除原始概念外，都是前一个概念的深化和更高度的概括。所以在讲授新概念、尤其是复杂的概念时，若能在旧概念、旧知识的基础上，从简单的概念入手，引出复杂概念，从低级概念引出高级概念，则能起到很好的过渡作用。如利用学生熟悉的变速直线运动中求某一时刻的速度的方法引入导数概念，会很容易理解导数的概念。利用这种方法，大大降低了学生接受复杂概念的难度。因此，利用深入浅出的方法来理解复杂的数学概念也是一种化难为易的好方法。
利用图像法
有的数学概念可以利用图像进行辅助教学，例如函数的特性（单调性、有界性、周期性）、导数的几何意义都可以利用画图的方法进行直观说明。图像具有直观性，对于较复杂的数学概念用图像来说明可以达到事半功倍的效果。
从应用中引入概念
数学概念的教学十分重要，理解并牢固掌握数学概念是学好数学公式定理方法，提高
能力的基础。
中学数学里有各种各样的概念，由于各个概念的具体内容，和它在数学中地位和作用的不同，数学概念有主要和次要之分，有难学和易学之分，有一般和关键之分。因此，对各个数学概念的教学具体要求也应有区别。一般来说，对数学中一些重要概念的教学应使学生得到较系统的知识，即使学生认识了概念是如何产生和发展的，但要明确数学概念，最主要的就是使学生掌握概念的内涵和外延及其表达形式（也包括定义名词符号），还要了解有关概念之间的关系，成为系统的知识，并能运用概念知识来了解数学问题。即要求理解、巩固、系统、会用，为了达到这样的要求，下面探讨有关数学概念的教法问题。
1、数学中如何引入新数学概念
有的数学概念是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映出来的，有的则是在抽象的数学理论基础上经过及其抽象才产生发展出来的。
但是数学概念不管如何抽象，都有它具体内容，对于中学数学概念的具体内容，中学生在生活和学习过程中，或多或少都有过接触。因此在中学进行新概念教学时，既要从学生接触过的具体内容引入，也要从数学内部的问题提出，这是比较好的一种教学方法。
例如：正负数的教学，一般是从有相反意义的量引入正数和负数，同时也要从正数减法运算产生矛盾，指出需要引入负数，又如无理数的概念教学可以无公度量的存在引出无理数，也可以从正数开方的产生矛盾引入无理数。
2、数学概念的外延和内涵的教学方法
对于原始概念的教学，一般是通过对具体事例的观察，找出某些特性，并给予说明或描述，使学生认识这个原始概念所反映的现象的范围和属性。例如在几何中关于“点”的教学，可以让学生观察箭头的尖端木板上外刺得痕迹，从而抽象出“占有位置而无大小”的概念，还应说明大小关系式无足轻重的，也就是对它的大小不加可否。正因为它脱离世界的物质内容，因此在数学中就可以吧箭头的尖端，或者针刺的痕迹作为“点”的模型。
对于定义的概念教学应重点讲解定义中的种概念和属概念的类差，使学生认识被定义的概念既具有它的种概念的一切属性，又具有它自己独有的特性既定义中的类差，这样学生就初步认识了概念的内涵。为了是学生对所学的概念加深认识，可以用概念的分类方法或者与其他有关概念比较的方法，进一步弄清楚概念和概念之间的关系，既概念的外延。
例如，在平面几何中，讲授圆的概念时，应强调指出圆是“平面内点的集合”这就是把圆与球面区别开来。另外还应强调指出，圆具有它自己的特性，即圆的任一点具有“到一定点等于定长”这个性质，这就是圆区别于其他平面、曲线的特征。学生掌握了圆的内涵与外延，就不难了解为什么一般圆弧不叫圆，也不难理解球和圆的区别。
3、如何使学生认识概念间的关系
中学数学概念在教学过程中是不断发展的，根据概念的互相联系构成一个数学知识体系。因此，数学教学必须使学生逐步认识数学概念间的关系，从而系统掌握数学基础知识。
为了使学生认识概念间的关系，数学上一般采用概念分类，或者比较概念的内涵和外延，找出它们的共同点和不同点，从而找出它们的各种关系，如同一关系、包含关系等。
例如，为了使学生对实数概念得到较全面系统的认识，在复习实数概念时可以先把实数进行分类，写出分类表。通过分类表指出数的概念从自然数到有理数导实数的扩充过程，进一步比较各种数集及其运算性质。从而指出数的概念扩充原则以及各种数集间的关系。这样，学生会对数的概念得到清晰的系统的知识。
4、要是学生正确理解并运用数学概念的名称和符号
学生学习数学概念主要是通过抽象的术语、名词、符号来掌握的，数学中的计算、推理、证明，也多数是通过抽象的符号来实现。因此，概念教学使学生正确理解并学会正确运用数学概念的名称和符号很有必要。
关键词：数学概念；数学素养；思维品质
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）06-0071
一、数学概念的特点和学习意义
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造。在某种程度上表现为对原始对象具体内容的相对独立性。
数学概念又具有抽象与具体的双重性。数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的。以“矩形”概念为例，现实世界中没见过抽象的矩形，而只能见到形形的具体的矩形。从这个意义上说，数学概念“脱离”了现实。由于数学中使用了形式化、符号化的语言，使数学概念离现实更远，即抽象程度更高。但同时，正因为抽象程度愈高，与现实的原始对象联系愈弱，才使数学概念应用愈广泛。但不管怎么抽象，高层次的概念总是以低层次的概念为其具体内容。且数学概念是数学命题、数学推理的基础部分，就整个数学体系而言，概念是一个实在的东西。所以，它既是抽象的又是具体的。
数学概念还具有逻辑联系性。数学中大多数概念都是在原始概念（原名）的基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定。其他学科均没有数学中诸概念那样具有如此精确的内涵和如此丰富、严谨的逻辑联系。
数学概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别像笔者所在学校这样的普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此，抓好概念教学是提高中学数学教学质量的带有根本性意义的一环。
从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识。久而久之，严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和应用。比如有的学生认为是奇函数，有的学生在解题中得到异面直线的夹角为钝角，有的学生认为函数与直线有两个交点，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。
二、数学概念的教学形式
1. 注重概念的本源、概念产生的基础，体验数学概念形成过程
每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈现依赖性，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力。因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。
比如，在立体几何中异面直线距离的概念，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是最短与垂直。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生得到了概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味，认识到距离这个概念的本质属性。
2. 挖掘概念的内涵与外延，理解概念
新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。
3. 寻找新旧概念之间联系，掌握概念
数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量，平面角与空间角，方程与不等式，映射与函数等，在教学中应善于寻找，分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。再如，函数概念有两种定义：一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来；另一种高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，函数可用图像、表格、公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，所以两种函数的定义，本质是一致的。当然，对于函数概念真正的认识和理解是不容易的，要经历多次接触的、较长的过程。
4. 运用数学概念解决问题，巩固概念
数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生的对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。例如，当我们学习完“向量的坐标”这一概念之后，进行向量的坐标运算，提出问题：已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，试求顶点的坐标。学生展开充分的讨论，不少学生运用平面解析几何中学过的知识（如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等），结合平行四边形的性质，提出了各种不同的解法，有的学生运用共线向量的概念给出了解法，还有一些学生运用所学过向量坐标的概念，把点的坐标和向量的坐标联系起来，巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考，尽快投入到新概念的探索中，从而激发了学生的好奇心以及探索和创造欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生巩固概念。
关键词：构造性数学递归函数可靠性
一，构造性数学的产生与发展
构造性数学是现代数学研究的一个重要领域。它的根本特征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个X满足性质A”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满足性质A的一个x；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质A的这个x来。反之，经典数学（非构造性数学）中的纯存在性证明被称之为非构造的。非构造性证明主要是通过使用反证法来实现的。人们一般把这种强调可构造性的数学称为构造性数学。
构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是先天地把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。又说“数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。构造一个概念，意即先天地提供出来与概念相对应的直观。”（〔1〕，第39页）后来，19世纪德国的克罗内克进一步指出：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”主张自然数与数学归纳法是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其它一切数学对象都必须能在有限步骤内从自然数中构造出来，否则就不能作为数学对象。由此克罗内克把许多数学成果划到不合法的行列里，如无限集合、纯存在性证明等。但由于他批判的多建设的少，故其思想在当时并未产生很大影响。另外，彭加勒、勒贝格等大数学家也都是倡导构造性数学研究的有名人物。但是，所有这些人提倡的大都只是一种数学哲学的思想，他们实际的数学工作并未严格地遵循自己的哲学思想。因此，现代意义的构造性数学应以布劳威尔的直觉主义数学为开端，迄今，在构造性数学的研究领域里，由于宗旨、观点和方法的不同，已经形成了一些不同的学派。最著名的除了布劳威尔的直觉主义数学以外，还有希尔伯特的元数学、毕晓普等人的构造性数学以及马尔科夫的算法论等。布劳威尔的直觉主义数学和希尔伯特的元数学，我国数学哲学界普遍比较熟悉，故本文不再表述。这里我们仅就后来发展起来的毕晓普、马尔科夫的构造性数学作些简述。（〔2〕、〔3〕第101—109页）
以毕晓普、迈希尔等人为代表的构造性数学是一个与早先直觉主义数学齐名但又不同于它的新的构造性数学。他们的构造性数学研究是在数学领域中，用普通逻辑于可编码的对象和递归函数。他们所关心的不是数学的奠基问题，而是要用构造性方法来研究数学。他们把构造性数学看成古典数学的一个分支，在这个分支中所讨论的对象都要求是可计算的。以毕晓普的工作为例，他认为只证明一个数学对象在逻辑上必然存在是不够的，还必须拟定一种有限而机械的办法把这个对象构造出来。他不用非直观的概念来重建数学，而是从标准的算术规则和有理数出发，通过避开“理想”观念并不断地检验从直观生成的对象和定理，逐步地进行构造，以求得数学的可信性。他与布劳威尔不同，他不去全盘地否定康托的集合论，而是把它加以改造，使之具有构造的合理性。如确定一个集合，原来康托的朴素定义只要求给出一个判别集合中元素的规则即可，而毕晓普认为还应要求拟定出一个办法来真正构造集合的一个元素并证明集合中两个元素是不同的。这样，则可使康托集合论中的一条最有争议的公理——选择公理成为完全可以接受的了。他们把经典数学的基本概念算法化，并从而考虑哪些定理在构造意义下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此发展出相当大的一部分有价值的数学。1967年毕晓普的《构造性分析》的出版，标志着这一新的构造性数学的建立，而随后《构造性泛函分析》的问世，则表明了这一领域的新进展。
构造性数学的另一个新体系是由马尔科夫、沙宁创建的。他们的构造性数学研究是以算法概念为基础的，即把其它一切概念都归约到算法之上。在马尔科夫那里，所有的定义都用日常语言表达，所有引用实无穷的话都严格地避免，并采用了直觉主义逻辑。他们对构造分析学作了相当深入的研究，对于许多数学分支的算法化以及制定构造逻辑的语义学都作了很可观的工作。如他把实数定义成一种逐次逼近的算法，实函数也就等同于一个算法。他的正规算法就是目前少数几个力量最强的精确化的算法概念。
以毕晓普、马尔科夫等人为代表的构造性数学，是对早先直觉主义数学的发展、扬弃。它一方面承继了直觉主义的基本主张，强调在构造数学内部要求“证明存在一个具有性质P的x，必须指出一个有限的方法来构造x，以及找出一个有限的方法来证明x具有性质P”。但另一方面，它又不同于直觉主义数学，它不象直觉主义数学那样极端地要把全部数学都“构造化”，他们只是想从构造性的角度建立一门有别于传统数学的新学数学，因为在他们看来，从构造的观点来研究，对许多老问题都会有新的见解。他们认为构造性数学和非构造性数学是现代数学的两大倾向，是可以并行发展和相互促进的。
二构造性数学的原则与基础
如前所述，对可构造性的强调是构造性数学的根本特征，其实也可以说，这就是构造性数学的基本数学原则。它要求一个关于“存在一个具有性质P的x的证明”，必须解释x的构造是怎样实行的。这与通常“纯粹存在性证明”的做法不一样，在那里，一个具有性质P的x的存在性是通过采用指出假设“x不存在”就会导致矛盾的办法来证明的。从构造性的观点看，后一证明只是表明“x不可能不存在”，但是它并未给出寻找x的办法。此外，甚至有了这样一种办法，构造主义者还必须采取一些附加的构造性办法来证明x具有性质P。因此，仅仅证明如果x不具有性质P就会导致矛盾是远远不够的。为了充分认识构造性数学与非构造数学之间的这种戏剧性差别，我们有必要用一个例子给予说明。如代数基本定理：
任何复系数的非常数多项式f至少有一个复根。（Ⅰ）
对于（Ⅰ）最著名的非构造性证明是，假设f不取零值，把刘维尔定理用于f的倒数，得出1／f是常数，于是f是常数，矛盾，证明完成。从构造的观点看，这里证明的并不是代数基本定理，而是较弱的命题：
不取零值的复数上多项式是常项。（Ⅱ）
因为上述证明不能帮助你计算100阶多项式的根，它没有给出多项式求根的方法。但是布劳威尔却对于首项系数为1的多项式的代数基本定理给出了一个构造性的证明（证明的大体思路可参见文〔4〕）。有了这个证明，就可以求任意阶（如100阶）多项式的根了。
应该指出，每一个构造性证明也是同一命题的一个经典证明。布劳威尔的证明也是代数基本定理的一个经典证明。尽管布劳威尔的证明确实比用刘维尔定理的证明更长，但它也告诉了我们更多的信息。代数基本定理在构造性数学中被布劳威尔解释成：有一个适用于任何复系数的非常数多项式f的有限方法，我们能够用以计算f的根。
以上只是我们例举的一个例子，其实每一个经典定理都是向构造性数学提出的一个挑战：找出一个构造性的说法，并给它以一个构造性的证明。然而在多数情况下，找出经典定理所对应的构造性内容绝非易事。许多经典的定理至今也看不出将其进行构造性改造的途径，如佐恩引理等。故在构造性数学内部不得不暂时将这些有意义的经典数学内容排斥在外。但应指出，这种排斥并非逻辑的、必然的排斥。
另一个重点问题是构造性数学的数学基础问题。这是一个涉及构造性数学的可靠性，以及可构造性何以能够得以实现的重要问题。对此我们分两部分来谈。
首先，我们来看直觉主义数学的数学基础。众所周知，直觉主义数学是以自然数理论为其数学上的出发点。因此对于直觉主义数学的建构来说，首要的问题就是如何依据构造的标准在自然数的基础上建立起它的实数理论，因为实数理论是整个分析学的基础。有理数的构建是容易的，只要把有理数作为整数对引进即可。关键是如何在构造意义下给出实数和实数连续统的概念。为了构造实数概念，布劳威尔首先独创了“属种”的概念以取代康托集合概念。所谓属种就是按照构造性的标准重新定义的一种集合：它等同于已构成的数学对象所可能具有的一种性质，依据这一性质，我们可以有效地去确定这些对象是否属于这一“属种”。进一步布劳威尔引进了“选择序列”的概念：“在任何时刻，一个选择序列a系由一个有穷的节连同对它的延伸的若干限制组成”。如此，布劳威尔便以“有理数选择序列”取代了经典分析中的有理数柯西序列概念，并称之为“实数生成子”。于是构造意义下的单个实数就被定义为实数生成子的一个等价属种。实数连续统的概念建构的比较晚，直到1919年，布劳威尔才利用“展形”概念巧妙地建构了符合构造性要求的连续统概念（具体的建构方法可参见〔5〕第168—170页）。在那里，每个可能的选择序列就是一个可构造意义下的单个实数，而整个展形就是可构造意义下的实数连续统，两者是同时构造出来的。所谓展形，实际上也就是一种“自由选择序列”——其中没有对元素的生成作任何限制，而只是要求这种延伸能按照自然数的次序进行下去。这样，作为这种自由选择的结果就不只是某个特殊的序列，而是各种可能的序列。实数理论的重构，为直觉主义数学的展开奠定了基础。
至此，或许有人会认为直觉主义数学的基础已经得到圆满的重构和解释，其实不然，因为直觉主义者对其一直强调的“可构造性”始终没有给出一个明确的解释。直觉主义者外尔就曾认为：“反唯象论的构造方法的成功是不可否认的。然而它所依据的最终基础仍是一个谜，甚至在数学中也是如此。”（〔6〕，第112页）人们对于什么是“直觉上可构造的”这一根本性概念有着不同的理解。如有的构造主义者认为，真正的数学是不应包含“否定”概念的，因为任何否定性的命题（按布劳威尔、海丁的解释，命题一p就意味着“我们给出了这样一种构造。由证明p的构造出发就会得出矛盾”），都假设了一个不可能实现的构造（证明p的构造）。另外，也有的直觉主义者对前面提到的“自由选择序列”（展形）提出了怀疑，但不借助这一概念直觉主义的实数理论就无法得到重建。之所以人们对什么是直觉上“可构造的”没有一个统一的认识，其原因就在于“可构造的”只是一个不精确的日常用语，因而会被不同的人作不同的理解。尽管在直觉主义者看来，这一概念是无需解释的，也是不可解释的，但在非直觉主义者看来，却有着进一步解释的必要。这里我们仅简单地介绍克林的解释。如所周知，直觉主义概念全部都被归约为一个基本概念，这就是“构造”。然而直觉主义者只是隐蔽地使用了这个概念，克林等人的解释就是要把这种隐蔽的归约公开化。由于整个解释过程繁长，故只给出其结论（详见〔3〕第97—98页，〔7〕第545—551页）。克林的结论是：直觉主义的构造等同于部分可计算函数。进一步，按他的解释，布劳威尔的“自由选择序列”不过是任意的序列；布劳威尔的函数则是部分可计算函数。克林指出，只有存在相应递归函数的公式才能在直觉主义系统内证明。由此，直觉主义数学的基础就被克林归约到相递归函数或可计算函数之上了。另外，哥德尔对构造性也作了类似于克林的解释，不过哥德尔可容许构造的类要宽得多，他不是把构造等同于可计算函数，而是等同于可计算泛函（〔3〕第99—100页）。
下面我们再来看看后期构造数学的基础。直觉主义数学之后的构造性数学表现出多元的倾向，它们容许的数学对象也更宽，采取的构造性方案也各有特点。这里我们无意对它们的细节进行考察，只是想简要地分析一下各自的数学基础。斯派克是直觉主义数学之后较早表现出构造性倾向的数学家之一，他在1949年就考察了一类较窄的实数，他称之为原始递归实数。它以（1／2）［n］的精度来逼近：
（附图）
其中f′、f″、g均是原始递归函数。他还考虑了其它各种类型的逼近，如用级数Σf［，（n）］／g［n］部分和来逼近。罗宾逊（1951年）、里斯（1954年）等后来又给出了更广一类的实数，称为可计算实数，也是利用递归函数进行逼近而得出的。不过为了建立构造性分析学，更主要的是要给出构造意义下的函数乃至泛函的概念。巴拿赫和马祖尔在1959年给出了一个叫可计算实变函数的概念（〔3〕第103页）。克林也考虑了一类部分可计算泛涵，这些泛函使每个函数f都与一相对于f可计算的部分函数相关联。到了60年代，构造性数学有了一个大的发展。首先迈希尔与德克创立和发展了一种整数集的递归等价物的理论，这个理论的特点是用整数集换任意集，用部分递归映射换任意映射。1967年毕晓普出版《构造性分析》，开创了构造性数学的新时期，而他的构造性数学的根本特征就是把一切数学对象都化归为可编码的对象和递归函数。后期构造性数学中另一个体系是马尔科夫、沙宁创建的算法概念为基础的理论。他们采纳的也是构造性逻辑，但他们把一切概念都归约为算法这个概念。马尔科夫提出的正规算法就是目前知道的最有力量的少数几个算法之一。现已证明，正规算法与前面提到的递归函数或可计算函数都是等价的。这样一来，我们便就可以不作区分地讲，构造性数学的基础是递归函数或算法。
综合上述，我们认为，构造性数学的基础归根到底是递归论。或者说，所谓构造性、可构造的与递归性、可递归的是相互等价的。这就是我们对构造性的理解。有了这样一种解释，我们也就基本了解了“构造性”的真实涵义。尽管从哲学上讲，它可能还具有更深刻更丰富的内涵，但从实践、操作的角度讲，它就是递归性，进而也就是能行性。
三、构造性数学的意义及其它
在对构造性数学的意义作出评述之前，有必要先弄清楚以下两个问题：1．构造性数学产生的原因是什么？2．构造性数学所要解决的问题和所要达到的目的是什么？
在经典数学如此成功的情况下，为什么还会出现构造性数学？构造性数学产生的原因是什么？这确实是对构造性数学进行哲学研究所必须回答的一个问题。我们认为，原因主要有以下四个方面：一、为了解决由于集合悖论的出现而引发的第三次数学危机。这是布劳威尔直觉主义数学产生的直接原因。对此，大家已比较熟悉，无须多言。然而这只是一个表层的原因，事实上还有以下更深刻的哲学原因。二、为了解决数学概念和方法的可靠性问题。由于集合悖论的出现，使得直觉主义者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的数学这个问题上。他们认为“存在必须被构造”。因此，只有经过构造性检验的数学才是可靠的。这样一种认识论主张，是构造性数学产生的根本原因。三、纯存在性证明的局限性是构造性数学、尤其是后期构造性数学产生的重要原因。大家知道，纯存在性证明只能让人知道某个方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出这个根均是未知的。构造性数学就是针对纯存在性证明的这个缺陷，提出要证明一个方程的根是存在的，就必须给出求解它的有效方法。四、从构造性数学的角度看经典数学，会产生许多新的见解、新的方法，这不仅可以获得对数学更深刻的认识，而且可以促进两类数学的共同发展，这是后期构造性数学产生的又一原因。以上这些原因概括起来也就是两点：一、经典数学本身的不足；二、“存在必须被构造”的认识论信念。我们认为，正是这两个根本原因，引发了在本世纪产生的构造性数学。
从对构造性数学产生原因的以上认识，不难看到，早期构造性数学所要解决的就是数学基础问题，所要达到的目的就是确立数学的可靠性。后期构造性数学的目的没有这么强，它们不再去解决数学的基础问题，而只是用构造性方法来研究数学，建立一门与经典数学平行的构造性数学。在数学可靠性问题上，尽管后期构造主义者并不完全赞同布劳威尔的哲学主张，尤其是“原始直觉”观念，但他们还是吸取了“存在必须被构造”的可靠性观念。因此，确立数学的可靠性依然是后期构造性数学的目的之一。那么构造性数学是不是解决了它想要解决的问题呢？通过对这个问题的回答，可以看到构造性数学的重大意义和特殊价值。我们先来看看早期构造性数学是不是解决了数学的基础问题。或许有人会对此问题的提出感到奇怪，不是早就说直觉主义同逻辑主义和形式主义一样都已失败了吗？其实问题并非如此简单。尽管在人们为数学大厦寻找基础的一个世纪以来，直觉主义已遭到世界数学界多数人的反对，但它的“失败”不同于与其齐名的逻辑主义、形式主义的失败。后两者的失败是逻辑地注定了的失败，而直觉主义的“失败”仅仅是因为其“过于谨慎而一时”地拒斥了许多被认为很有意义的经典数学，它在逻辑上并没有被宣告失败。现在完全追随布劳威尔的人几乎没有了，但新的构造性数学的发展正方兴未艾。如果这类构造性数学能够取得全面的突破性的大进展，谁又能保证直觉主义数学不会“卷土重来”？事实上，相信构造性数学可能会获得成功的人是始终存在的，且不说构造主义者本身，非构造主义者，如克林也相信：直觉主义地重建经典数学的可能性还是存在的（〔7〕第55，551页）。由此我们认为，构造性数学依然是重建数学基础的一个可能的途径。那种认为直觉主义计划已彻底破产的认识是过于武断的。
后期构造主义者试图建立一门与经典数学平行的构造性数学，我们认为这一计划正在实现的过程中，近来构造性数学成果的不断涌现就是证明。构造性数学产生的意义，不仅在于出现了一门新的理论、开创了一种新的研究方向，并获得了许多新颖、深刻的成果，同时也在于构造性的成果更便于应用。提供解法毕竟比单纯的存在性证明要有意义得多。由此可以说，构造性数学弥补了经典数学的不少缺陷。联系到计算机科学的发展，这种构造性数学的研究就更有其深远意义了。无怪胡世华教授说：“在非构造性数学的研究中，构造性成分越多的部分往往对自身的发展也越有意义”。（〔8〕第268页）
进一步，构造性数学是否达到了它最初的确立数学可靠性的根本目的呢？由于数学的可靠性问题已远远不是一个单纯的数学技术问题，更主要的是一个哲学问题，因此对这个问题的回答不可能有一个终极答案，对构造主义者的回答人们也会仁者见仁，智者见智。故这里我们只是给出自己对这一问题的一些看法。我们认为，在哲学上，构造性数学的产生提出了一个新的“可靠性”观念。直觉主义者认为，一切非构造的存在，都是“超出一切人类的真实可行的‘绝对’，”正是因为相信了这样一种“绝对”，经典数学才“远远地不再是有真实意义的陈述句以及不再是建基于明证之上的真理了。”（〔7〕第50页）为此，直觉主义者强调：存在必须是被构造。认为只有一步一步（有限的）构造出来的东西才是真实的、有意义的、可靠的。他们把经典数学中的“纯存在”视为一种无异于形而上学的东西。黑丁就曾明确指出：“如果‘存在’不是意味着‘被构造’，那就一定包含某种形而上学的意义。”（〔9〕第241页）在黑丁看来，对这种具有形而上意义的存在去讨论，或判定它是否可以接受，这不是数学的任务，认为应该“把数学当作某种比形而上学简单得多、直接得多的东西来研究”。为此，直觉主义才突出地强调应从非构造性向构造性化归。我们认为，这是在从数学认识论上提出了一种新的可靠性标准或观念。这种标准或观念从实用或操作的意义上讲，是颇具合理性的，是应该得到采纳的，它对“信息时代的数学”（胡世华语）的发展是很有意义的。当然，这也并不妨在经典数学中人们有时（即不得已时）可以采用更灵活的可靠性标准。但我们认为，可构造性是一个更可靠的可靠性标准，应该成为数学家和哲学家评判数学可靠性的第一标准或最高标准。至于第二、第三等更灵活、更弱的标准，不同的数学家和哲学家可能会有不同的选择。那么何以见得可构造性就是更强的可靠性标准呢？构造性数学就真的比经典数学更为可靠、更具可接受性吗？我们认为，答案应该是肯定的。道理很简单，就是因为构造性数学的原则远较非构造性数学严格，构造性数学成立的每一定理对于非构造性数学也成立；反之，非构造性数学中成立的定理却不一定在构造性数学中成立。因此，构造性数学实际上成了非构造性数学的一个真子集。另外，从逻辑基础的角度讲，直觉主义逻辑的公理和定理在经典逻辑中都成立，反之却不然。因此，直觉主义逻辑是经典逻辑的一个真部分。我们认为，这些理由完全可以表明，以构造性为可靠性标准而建立的定理比经典数学中的定理更可靠。
我国数学哲学界对构造性数学及其哲学主张评价普遍较低，其原由不外乎这么几点：1．直觉主义数学排斥了一大部分具有应用价值的经典数学。2．排斥了实无穷和经典逻辑。3．与经典数学相比，构造性数学显得繁琐和复杂，对经典数学的构造性改造极为缓慢，难以成功（甚至认为是不可能的）。我们认为，这些并不构成对构造性数学及其哲学主张的否定。对此可以简要地分析如下：首先，构造性数学是一门全新的数学理论，它的逻辑基础、数学原则和哲学主张不可能完全等同于经典数学。因此，我们必须正视构造性数学的独特性。有什么理由说，选择实无穷就是对的，而选择潜无穷就是错的？又有什么理由说，选择经典逻辑就是科学的，选择构造性逻辑就是不科学的？我们没有超越实无穷和潜无穷的“绝对无穷观”，也没有超越经典逻辑和构造逻辑的“绝对逻辑”，我们没有终极的绝对的参照系。实际上，反对潜无穷只能是站在实无穷的立场上，反对构造性逻辑也只能是站在经典逻辑的立场上。但反过来也是可以的。因此，我们最后判别是非的立足点只能是实践——数学的内部实践和外部实践。不管是实无穷、潜无穷，也不管是经典逻辑、构造逻辑，只要以它们为基础能够建立起自相容的理论，并能够得到有效的应用，那么我们就要承认它们。说构造性数学显得繁琐和复杂，这也不是绝对的，如复分析中对毕卡大定理的构造性证明就显得更为直观，它的非构造性证明虽然较短，但却利用了一种称为椭圆模函数的较高深的数学工具，后来虽然也有了几种浅显的证明方法，可又都非常繁复，而相应的构造性证明却要更加自然，只用到了解析函数的基本性质。说构造性数学进展缓慢、难以成功，这并不意味着构造性数学不能成功。何况它在内容上的复杂和进展上的缓慢是有原因的：每一个构造性证明都比纯存在性证明为我们提供了更多更实用的信息。因此我们把构造性数学的复杂和缓慢看作是为了获得更多更实用的信息所必须付出的代价。应该承认，这种代价的付出是值得的。至于说到直觉主义数学排斥了一部分有价值的经典数学，我们说这并非直觉主义数学的过错，因为对部分经典数学的排斥并非逻辑地注定了的，谁又能保证这不是由于对经典数学的构造性改造太慢而造成的呢？如果是这样，今天被排斥的东西到明天就不会再排斥。如果排斥是必然的，则正说明构造性数学的独特性，说明数学具有构造性和非构造性两个不同侧面，说明这两种数学确实存在不可化归的关系。
也许会有许多人说，他们反对的只是直觉主义的哲学主张。在我们看来，直觉主义哲学除了它所主张的潜无穷观和构造性逻辑外，就是这么两点：一、存在必须被构造；二、原始直觉是数学的基础。关于潜无穷观和构造性逻辑前面刚刚谈过，不再重复。一些人对直觉主义者把可构造性作为数学理论可靠性的标准表示反对，前面我们也进行了反驳，并指出了可构造性是更强、更可靠的可靠性标准。至于提到“原始直觉是数学的基础”这一哲学主张，我们认为首先应该区别它的两种不同涵义：一是从数学发生学的角度讲，数学是产生于人类的原始直觉，原始直觉是产生数学的基础。二是从数学认识论的角度讲，数学的可靠性根源于人类的原始直觉，原始直觉是保证数学可靠性的基础。我们认为，直觉主义者在讲“原如直觉是数学的基础”时，包括了上述两层意思。不过我们认为，上述两层意思中，前者是可接受的（对此我们将另文专论），后者是错误的。原因正如波普尔所说：相信知识在发生学或心理学上是先验的，这是对的；但认为知识都能先验地正确，就大错特错了。源于人的直觉的数学，如果没有被逻辑地构造与证明，它就没有获得必要的可靠性。但联想到直觉主义者随时都在强调可构造性，因此他们在哲学上的一些错误并不会影响到其数学的可靠性。说直觉主义哲学大体上是可接受的，还有一个有力的理由，即在这种哲学主张的基础上而建立起的直觉主义数学，并未象经典数学那样一再地发生危机——出现悖论，它是自相容的。
美籍华人王浩先生曾认为，构造性数学是做的数学，非构造性数学是在的数学。对此，我国著名数学家胡世华先生给予了如下的解释和进一步的发挥：“数学的在是信息模式和结构的在；数学的做是信息加工。构造性数学的倾向是用数学取得的结果把结果构造出来，侧重于思维的构造性实践，非构造性数学的倾向是数学地理解问题和规律，建立数学模型，形成数学理论体系，追求科学思想”。（〔8〕第267页）我们认为，这些看法是比较客观的。但应进一步指明的是，构造性数学并非像许多人认为的那样，总是直接因袭标准的非构造性数学。事实上，构造性数学不是命中注定永远要靠坐吃经典数学这个老板来发展。这两类数学的关系是共生性，而非寄生性的。构造性数学的发展还不足百年，相信它在未来的发展中，会有一个又一个的重大突破。当然这已是后话了。
参考文献
〔1〕康德：《未来形而上学导论》，商务印书馆1978年。
〔2〕《中国大百科全书（数学）》有关条目。
〔3〕莫斯托夫斯基：《数学基础研究三十年，华中工学院出版社，1983。
〔4〕D.Bridges、R·Mines：“什么是构造数学？”《数学译林》1986年第4期。
〔5〕徐利治：《数学方法论选讲》，华中工学院出版社，1983年。
〔6〕外尔：“半个世纪的数学”载《数学史译文集》（续集），上海科技出版社，1985年。
〔7〕克林：《元数学导论》上、下册，科学出版社1985年。
关键词： 数学核心素养 数学课程价值 数学教学策略
当前，核心素养已跃升为教育界热点，成为教育者们借以深化课程教材改革、教学方式变革、教学质量评价、教师专业发展、落实素质教育目标的关键要素。那么什么是数学核心素养？怎样的数学教学才能有效提升学生数学核心素养？笔者基于改革当前数学课堂教学的要求，从以下方面探讨学生数学核心素养的培养。
一、注重围绕数学学科核心概念开展教学
核心素养导向的数学教学要求围绕数学学科核心概念开展教学。核心概念是构成学科骨架的、具有迁移应用价值的概念。揭示学科知识的本质和学科知识之间的联系，具有统整学科知识的功能。以数学核心概念统领教学，有利于学生掌握学科基本知识结构、提高学生的元认知能力、进行综合思维并实现学习能力迁移。因此，核心素养导向的数学教学要求教学重心从注重“讲授记忆”具体事实转移到对核心概念统摄下的学科知识及结构的“深层理解迁移应用”上，以发展学生的综合思维。
例如，“百分数”教学为了促进学生对“百分数”这个核心概念的深层理解，首先可以把核心概念具体化为一般概念知识，如“百分数的意义；求百分数；分数、小数和百分数的互化；百分数的简单应用”；然后，通过一系列驱动性基本问题，如“百分数有何意义？”“怎样求百分数？”“分数、小数和百分数怎样互化？”“百分数有何应用价值”等问题引发学生思考；最后，围绕驱动性问题设计、实施有效的教学活动，让学生在分析关于百分数的意义、特征、性质、应用等具体数学事实基础上促进对一般概念的基本理解，最终建构核心概念。
以核心概念统领，设计“具体数学事实驱动性问题理解一般概念建构核心概念”双向互补教学主线，对核心概念形成的普适性认识具有持久迁移应用价值。学生一旦建构核心概念，就可以通过核心概念迁移应用解决现实性问题，从而减轻学习负担，提高分析问题、解决问题的能力，这正是核心概念教学的价值体现。
二、提供学生研究应用数学思想方法的机会
提供研究数学思想方法的机会有助于学生构建良好的数学认知结构，促进学生对数学原理和态度的学习迁移，发展数学思维。核心素养导向的数学教学要求将教学重心从教师教学生转移到学生自主探究建构知识方法过程上，要求为学生探究性学习创设真实、复杂的问题情境，引导学生分析问题、建立数学模型，并运用适当方法解释问题，从而获取知识、领悟研究数学问题的思想方法，并提升通过数学探究获取知识、研究解决生活问题的能力。
例如，在“圆的周长”探究中，教师提问通常都有共同之处：先让学生猜猜圆的周长和什么有关？圆的周长大约是直径的几倍？然后根据猜想设计方案测量需要的数量并进行验证，最终得到数学结论。这个过程看似注重学生有证据地猜想、实验设计、实验操作能力等探究能力培养，实质上并没有给学生质疑思考探究中可能产生的诸般问题的机会：为什么要探究圆的周长与直径的关系？为什么要用周长除以直径？实验数据存在的误差是什么？”等等。不难发现学生所谓的“合作探究”只不过是在教师的指导下解决“几个人一起操作”的大问题，是在简单重复数学家发现知识的过程而已。
显然，这样的教学不能提升学生独立建构知识思想方法体系的能力，只有给学生充裕的时间不断反思探究过程中出现的问题：如何精确地测量所需的数量？为什么要用周长除以直径？为什么要进行多次测量等问题？并引导学生对现有结论进行反思和质疑：误差是哪些原因造成的？怎样减少误差？等等，才能真正培养学生的探究能力，提升学生的数学核心素养。
三、研究数学发展历史关注学生情感体验
核心素养导向的数学教学要求关注学生科学态度和情感体验，教师若能借助数学发展历史挖掘知识背后的孕育发展、由潜到显的转化历程，帮助学生体验数学曲折发展史中涌现出来的伟大科学思想、科学精神，则更富启迪。核心素养导向的教学要求教师为学生创设真实的情境，向学生展现数学概念的形成过程、数学规律的发现过程，以及解决数学问题的真实历史过程，帮助学生切实体验严谨的科学态度、科学精神。
例如，分数教学中“小数点的由来”，教师可以呈现小数发展演变过程：1700年前我国数学家刘辉开始应用十进分数前人用低一格摆算筹的方法表示小数用阿拉伯数字表示小数大约400年前用小圆点来分隔小数里的整数和小数部分现在的小数表示方式。给学生留下数学发展足迹，领略数学家的伟大贡献，体验前人不断继承、研究和发展数学过程中的严谨态度和科学精神。
通过提供丰富的数学史，给看似枯燥、冷漠的数学注入充满人情味的数学家、数学故事等，带领学生领略数学的价值，体验数学研究过程中的科学精神，这些都有利于学生发展，有利于学生树立正确的人生观、世界观和价值观，进而促进他们数学和人文素养的提升。
四、借助原始问题培养解决问题能力意识
核心素养导向的数学教学要求教师为学生创设适宜进行自主探究的原始的、未知的、生活的和现实的问题情境，设置待解决的具有研究价值的问题，提供充足时间和空间，让学生运用所学知识和方法独立自主尝试用各种方法开展研究活动，从而拓宽视野，获取知识，发展能力，体验数学探究乐趣和精神，培养探究能力并养成良好数学素养。
例如，教学“认识圆”后，教师提出：车轮是什么形状的？在学生观察的基础上，继续深入追问：车轮为什么都做成圆形的？车轴应该装在哪里？学生可以利用所学相关知识和方法查阅资料，动手实践，合作交流，研究探讨，列举验证等，了解车轮构造原理――车轮在地面上滚动时，车轴离开地面的距离总是等于车轮半径，车子就会平稳行进，不会上下颠簸，从而有效巩固“圆”、“圆心”、“直径”、“半径”等有关圆的概念知识。
只有把学生置于真实问题情境中，引导学生运用所学知识和方法自主探究，才能获得更有价值的知识方法，形成解决实际问题的自觉意识和关键能力，才能体会到数学的乐趣，提升学生数学素养。
核心素养导向的小学数学教学要求转变教学理念和目标，改革教学内容、方式和过程，关注学生对知识的自主建构和应用，以及提升教师综合素养及确立以核心素养为目标的教学评价体系，才能有效促进学生数学核心素养的提升。
参考文献：
[1]林钦.关于核心素养导向的中学物理教学的思考[J].课程・教材・教法，2015（12）：35.
[2]胡玉华.科学教育中的核心概念及其教学价值[J].课程・教材・教法，2015（03）：35.
关键词：公理化；高中数学教学；作永
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）15-311-01
一、引言
公理化方法是高中数学教学中的重要方法。本篇论文在介绍公理化方法的基础上，着重阐述了公理化方法在高中数学教学中的意义和作用，以及如何应用。
二、公理化方法的简介
1、公理化方法的概念和思想
公理化方法是以若干个显然成立的或者通过简单证明能够成立的基本定理为基础，去解决问题的一种方法。公理化方法的出发点就是一组原始概念和公理，因此如何去选择原始概念和设置公理是公理化的关键。
2、公理化方法的基本法则
公理化方法的公理需满足下列几项要求：
（1）公理需要是显然成立的，或者容易证明成立的。
（2）独立性：公理化的独立性是指公理系统中所有公理不能互相推出。
（3）全面性：要求公理要全面，能通过选择的这些公理解决所研究的数学方面的问题
以高中数学的立体几何为例，在研究平面的问题中，建立了三个公理，这三个公理满足了上述的三项要求，每个公理都是显然成立的，都是独立的，并且通过这三个公理我们可以解决平面的所有问题。
三、公理化方法在中学数学教学上的意义和作用
1、公理化方法对中学数学教学的启示
（1）对数学教学内容的启示
a强调已有知识经验在学习中的重要性
教师应努力创设情境激活学生原有认知结构中与新知识学习有关的各种基础知识，让学生能在已经掌握的知识的基础上，进行思考新学习的内容，以保证学生学习的顺利进行。
b对数学教学内容呈现的思考
为了提高学生的综合素质，近几年新课程改革轰轰烈烈地进行着，这也就促使我们思考这样一个问题：初等数学教学应该如何呈现数学教学内容呢？
数学是培养学生逻辑思维能力的一种很有用的方法，而逻辑思维能力是公理化方法的一个主要特征，因此，对于中学数学内容的选取应综合各方面的因素，在学生可接受的前提下，以一种相对严谨的公理化方式，渐进地使学生了解公理化方法的思想内核，从而培养学生的逻辑思维，演绎推理能力 。
（2）对教学过程中师生地位作用的启示
公理化方法认为：学习是在已经掌握了的知识上进行思考。所以知识不能由教师或其他人简单地传授给学生，而是学生个体主动地根据自己已掌握的知识进行思考，从而达到对知识的发现和理解。教师在设计教学内容和创设教学情景应该有利于启发学生进行思考，在学生思考过程中遇到困难时，教师应以指导者的身份给学生以示范或启发。
（3）公理化方法在培养学生创造力方面的意义和作用
公理化方法思想的基本条件之一是已经掌握的知识，另一个是在掌握知识的基础上进行思考。只有具备这两个条件才能发现新的知识，才能有所创新，所以说公理化方法在培养学生的创造力方面也有一定的影响。
（4）公理化方法在培养学生美学方面的意义和作用
数学美是科学美的核心部分，数学美的主要法则是：简单、和谐、奇异。根据公理化方法中的独立性原则，各条公理之间不能有内容重叠的部分，是相互独立的，这体现了数学中的简约美；根据公理化方法的相容性原则，同一公理系统中的公理不能相矛盾，这体现了数学中的统一美；根据公理化方法的完备性原则，公理化是从最基本的原始概念和一组不证自明的命题出发能推出所研究的数学分支的全部命题，可以体现数学美中的奇异美；公理化方法不但在数学领域而且在其他各个领域都有广泛地应用，这体现了美学中的普适性的美。
2、公理化方法在平时数学教学内容中的具体体现
（1）演绎推理和公理化方法之间的联系
高中数学的演绎推理是通过一组已知的内容去推导证明出新的内容。它在实质思想上与公理化方法是统一的，可以很好地锻炼学生的逻辑思维能力。
（2）公理化方法在数学解题中的具体体现
【关键词】过程数学
数学教育不等同于传授数学知识，它不仅给学生提供了一种科学语言、一门知识，更应当是一种思想方法，是陶冶情操、训练心智的一种工具。数学学者何良仆曾经说过：数学教育中重要的问题，不是教什么题材，而是教给学生更珍贵的东西——如何掌握题材。也就是说，数学教育中的价值不在于掌握数学知识，主要在于“数学过程”。
一、对“数学过程”的认识
“数学过程”是一个有关数学思维及数学教育的核心概念。它主要是对一系列思维活动过程的概括，即：数学概念、公式、定理、法则的提出过程；数学结论的形成过程；数学思想方法的探索及概括总结过程，其本质是以“抽象——符号变换——应用”为核心的思维过程。即数学是来源于现实生活并用于现实生活这一根本，从最原始模糊而笼统的印象，丰富多彩的具体直观形象，直到最终形成抽象的形式体系，严格的逻辑演绎推理，进而在解决问题中加以应用，这就是数学过程数学过程是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的最基本、最有效的方法。
数学学习是一个通过长期系统数学活动来培养学生的数感、符号感、逻辑性、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力的过程，它培养学生严谨的科学态度、科学方法、科学的学习习惯、能力以及探究精神、创造精神和协作精神，使学生充分经历“数学过程”的磨砺，在知识、智力、品质、情感、态度和价值观等方面得到全面发展，成为适应社会进步的高素质人才。
二、教学中无“数学过程”教学的原因及弊端
如果学数学知识只为懂得某一知识的结论，而不了解事物发生、发展变化的过程，这样的知识是残缺不全的、是静止的、孤立的知识。“数学过程”是数学知识之间的内在联系，是严密数学思维的必要环节，是知识内化、构建数学知识体系的关键元素。只有掌握“过程”才能将各部分的知识融为一体，举一反三，使学生的解题能力大大提高。
“数学是系统化了的知识。”数学的很多概念都蕴含了朴素的数学思想，基本上都来源于学生的生活经验。应该说，学生认识这些朴素的思想应该很容易，可事实上学生学习“课本上的数学”很困难。主要原因在于数学的学科定义高度抽象、概括，教材不易呈现其形成与发展的过程，它所呈现的是形式化的、冰冷的结果，教学如果从这些“冰冷”的形式开始，学生就不可能经历“火热”的数学思考过程，直接学习现成的结论也不符合学生的认知特点和思维水平
在有关概念、定理、法则教学时，有些教师似乎很少关注隐藏在其背后的丰富的数学过程知识，为了考试，知识体系被简单地肢解为一个个的知识点，强化题型覆盖知识的作用，注重结论的使用和各种操作步骤记忆，用机械记忆和反复强化的方法进行以落实知识点为目的的训练，这样我们的数学课堂成了解题教学，从而导致学生对数学的兴趣、态度、价值观等心理倾向得不到相应的发展。如果你认真观察比较教师发给学生的数学习题，不难发现，这些数学题不只十分样板，各学校所提供的数学题相当划一。原因显然是紧扣考试，于是不同老师给学生的数学题都十分类似，对于考试的试题，我们看到学生经年累月身处没有多大变化的数学经验空间，不难想象他们渐渐会形成机械化的数学观，也会逐渐失去学习数学的兴趣。
究其原因主要有两点：一是教者缺少追问学科概念的本质，二是没有真正了解学生的思维特点与已有的知识经验储备。对于前者，我们强调教师追问为什么学习这些内容、所学习内容的核心是什么、如何建立联系；后者主要包括学生的生活概念、学生的思维水平与认知特点及学生已有的知识储备。当教师对这两个根源有深入的思考后就能设计出有过程的教学。
三、注重“数学过程”教学、提高学生数学素质
要能充分发挥数学的作用，教学中必须设计有过程的教学，这就要求我们的教师备课时关注数学概念形成、思想的本质以及发展的历史本源和原始动力，关注学生朴素的问题与思维过程，关注学生的生活经验与数学概念之间的本质联系与区别，利用思维冲突、质疑与障碍使学生获得高水平理解力。激发学生学习的愿望与动机，体会到创造的乐趣。
注重培养学生观察和发现问题的能力，让学生在自主参与、合作探究中拓展实践思路，不断享受成功的体验，感受创造过程中的无限乐趣。比如在等差数列前n项公式中提出1+2+3+…+100=?让学生去探索为什么高斯用(1+100)×100/2式子计算，从而真正理解等差数列前n项和公式的由来，注重这个“数学过程”，学生即使忘记公式，他也能推算出等差数列求和结论。
对于学生来说学数学更要注重“数学过程”。学习数学时的重点应放在对事物认识的思考过程上，要理解和领会认识过程，而不能为了应付考试跳过对过程的认识而直接记忆结论。我们要重结论，更要重过程，只有两者共同结合才能体现数学知识的整体内涵和思想，才能真正使学生掌握一个完整的知识结构，提高学生的数学综合素质。学习数学其中一个重点在于向老师学习如何科学地思考问题，以使自己的思维能力的发展建立在科学的基础上，培养自己的科学思维能力，使自己对知识的领会进入更高级的境界。
总之，当《数学课程标准》提出了过程性目标时，我们应正视数学过程教学的价值，优化教学环节，突出数学过程教学，让学生在深刻体验“数学过程”中提升数学能力、数学素养。
参考文献
数学概括是一种特殊的概括，这是由数学学科的特点所决定的。数学概括是在数学符号、数量和空间关系、数学对象和运算等方面的概括。它具有以下显著的特点：
1．数学研究对象本身已是概括的产物我们知道，数学的研究对象是客观世界的数量关系和空间形式。它取自于客观世界，但却不是现实中的真正原型，而是从现实世界中概括出来的数学模型－－事物中的纯数量关系和空间形式。例如自然数、点、线、面等原始概念，就是从现实世界中概括出来的。
2．数学概括具有层次性
数学概括是在概括基础上所进行的再概括，数学是从原始概念开始，在此基础上进行新的抽象，从而得到概括程度更高的新概念。在数学中往往要进行一系列地、逐级地概括，由此可得到概括水平越来越高的概念、法则和方法。这恰是数学在抽象思维方面具有相对封闭性的原因所在。正如德国数学家汉克尔的生动描述：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏，唯独数学，每一代人都在这古老的大厦上添加一层楼。”这表明数学的发展表现为明显的概括性质：它的每一次发展都把原来的数学作为某种特例包含在新的数学中去。例如数系的扩张；中学里对三角函数的概括；从数列极限到函数极限的概括。从定理内容上也可体会出数学概括的层次性，例如数学归纳法定理。
3．数学概括用数学语言来表述
数学概括的表述使用了特殊的语言体系－－特定的符号体系－－数学语言体系。而且这种表述形式贯穿于数学概括过程的始终。我们知道，语言是思维的载体。自然语言虽然可在一定程度上来表达数学，但却不能达到完美精确的程度，因此数学工作者在自然语言的基础上创造出了数学语言－－数学有的形式化符号体系。它是人类自然语言的进一步概括。有了数学语言，数学研究的思维过程和结果就可精确简练地表出。
二、数学概括在数学学习中的作用
学生的数学学习，主要表现为数学知识、数学能力和数学思维活动的学习。
而所有这些学习都是以数学概括为基础，都离不开数学概括能力的支持与辅佐。
在此仅以数学能力的学习为例。中学数学教学大纲明确指出：“通过数学教学，要培养学生具有正确迅速的运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，从而逐步培养运用数学分析和解决实际问题的能力。”
在运算能力方面，欲达“正确迅速”目的，就需在各类运算中概括出相应的运算规律，将其归纳为一般形式。
数学概括在培养学生逻辑思维能力方面的作用也十分重要。逻辑思维是人类揭示客观世界的本质和规律的极其重要的思维活动，它几乎渗透到人类获取所有理论和新认识的每一过程，而数学则是体现逻辑最彻底的一门学科。学生在学习中遵循着数学的逻辑规律，他们从最基储最简单的数学概念出发，在这些基本概念的基础上进行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，仅研究0°－360°间角的三角函数，到了高中，通过角概念的推广和弧度制的引入，概括出任意角三角函数，并从集合和映射的观点出发加以研究。即在数学思想方法上也采用了概括性更强的更一般的方法－－集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，学生逻辑思维能力的形成和发展离不开数学概括，数学概括不仅影响着学生逻辑思维的形成和发展，而且决定着学生逻辑思维的水平和质量，概括水平越高，其逻辑思维的能力就越强。
距离是一个很普通、很直观的日常生活中的概念，但在数学中有形形的不同的“距离”，它们是为解决某类问题的实际需要用“最优”的方式加以定义的，其中有些与我们的直观的认识比较贴近，例如我们在初等几何中见到的所谓欧氏距离，有些则显得抽象，例如编码和信息理论中的所谓Hamming距离，是为了分辨不同的码字等目的而设计。近些年来，社会科学的研究中也出现一些新的“距离”，如“认识距离”（用于个体社会模型），“心理距离”（用于心理测试）等等。就数学发展史而言，给出“距离”的数学概念，从而影响数学发展的，无疑当归功于M.Frechet（1906年提出度量空间概念）和F.Hausdorff（1914年提出拓扑空间和度量空间概念），至今已整整100年。本书是唯一一本以距离概念为主题的百科全书。它的前身是本书作者2006年出版的Dictionnary of Distances（关于距离的词典）（Elsevie出版社），在此基础上扩充为本书，于2009年由Spinger出版社出版。现在的第2版又增补了不少新的词条，特别是第1，15，18，23，25，27-29章，全书较第1版增加了近70页。除第18，23，25和28章外，保持了第1版的结构。
全书有650余页，由独立的29章组成，划分为7部分。每章划为若干节，每节开始部分给出有关的数学背景知识，然后是独立的关于距离，度量等词条，都是按原始文献给出的严格定义，并指出文献出处。词条总数近5000。最后是文献目录和索引（30余页），颇为完整。第1部分 距离的数学，含第1-5章，是全书的基础，包括一般性定义，拓扑空间，度量空间的一般化，度量变换和正规结构上的度量。第2部分，含第6-9章，几何与距离，汇集了几何学中的各种距离和度量。第3部分：经典数学中的距离，含第10-14章，涉及代数学、泛函分析、概率论（包括数，数组，多项式和矩阵）等数学领域。第4部分 应用数学中的距离，含第15-18章，涉及图论、编码学、数据分析、系统数学等。第5部分 与计算机有关的距离，含第19-22章，涉及Voronoi图解、音像、网络等。第6部分 自然科学中的距离，含第23-26章，涉及到的自然科学如生物学、物理学和化学、地球科学和天文学、宇宙和相对论等。第7部分 真实世界距离，含第27-29章，包括长度测量、社会科学以及一些不归于前述各章的距离条目。
本书内容齐全，数学表述准确可靠，查阅方便，值得大中型图书馆收藏。
（中国科学院应用数学研究所）
【关键词】学习方法 学习效率 初高中链接
一、高中数学豫初中数学有哪些变化
1.数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，几个、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别，初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达，而高中数学从高一一下子就触及抽象的集合语言，逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2.思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同，初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，因此，初中学习中习惯于这种机械的便于操作的定式方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对初中教学的思维模式产生很大的冲击。
二、做好初高中衔接教学的建议
1.加强沟通，做好心理调适。高一新生入学，作为数学教师要明确的给学生指出：初、高中数学在内容、要求和学习方法上的差异和不同要求，在成绩标准上降低要求，能保证在70-80分（百分制）就是不错的成绩了，在学习过程中，每一位同学都会或多或少的遇到学习障碍，甚至是严重的挑战，同学们需要具有干宇挑战困难的勇气和持之以恒的决心，高中数学学习更多的是需要同学们开动脑筋，培养思维能力，思考的时间和空间要比初中多一些。
2.尊重基础和认知水平，平稳过渡。客观的承认现有初中毕业生的基础知识结构个认知水平，放慢教学进度，调试教学策略。
三、高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩
1.培养良好的学习习惯。什么是良好的学习习惯？他包括制定计划，课前学习，专心上课，及时复习，独立作业，解决疑难，系统小结和课外学习等多个方面。
2.循序渐进，防止急躁。由于学生年龄较小，阅历有限，不少学生容易急躁。有的学生贪多求快，囫囵吞枣。学习是一个长期的巩固旧知、发现新知的积累过程，绝非一朝一夕一蹴而就的。
四、高中数学的创新能力
高中学生的创新能力的培养贯穿于整个数学课堂教学过程中，在数学教学过程中，教师应特别重视对学生创新能力的培养，使每一个学生都养成独立分析问题、探索问题、解决问题和延伸问题的习惯。数学创新能力的培养相比数学只是的传授更重要，数学创新能力的培养有利于学生形成良好的数学思维品质以及运用数学思想方法的能力。
就当前形势来看，高中数学教学依旧延续着传统教学的模式，无法摆脱应试教育的影响。该文仅就高中数学概念教学中存在着的一些问题及怎样依照新课标的理念要求，在展示探究过程，凸显探究特点方面展开初步的讨论。
1 数学概念的特点和学习意义
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造，在某种程度上表现为对原始对象具体内容的相对独立性。
数学概念教学在中学数学中非常关键，是学好数学的重要一环，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础。有的学生数学成绩差，最直接的一个原因就是概念不清，尤其是普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此，要想提高中学数学教学质量，最重要的就是要抓好概念教学。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件以及必要保障。
从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识.这样久而久之，严重影响了对数学基础知识和基本技能的掌握和运用.比如有同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的.只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象.从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。
2 新课程观下要有效实施新课程下数学基本概念教学，必须重视以下几个重要环
（1）数学基本概念教学，要充分挖掘数学概念产生的知识背景，让学生体验在概念产生过程中学习数学概念首先，新课程在不同年级的数学知识结构上发生了很大的变化，如果我们还是采用传统的方式进行概念教学，那么在新教材中恐怕很难达到预期的教学目标。其次，一个数学概念的产生，都有着丰富的知识背景，而通过了解这些背景知识来认识一个数学概念，是最佳途径。
通过充分挖掘相等向量和共线向量（平行向量）的几何背景，让学生经历从线段的几何性质有向线段的几何性质抽象概括出相等向量和共线向量（平行向量）的定义，这样，学生对相等向量和共线向量（平行向量）概念就有深刻的认识；如果忽略了知识背景分析，那么我们就犯下了一个严重的错误：失去了对学生培养抽象概括能力和创造精神的好机会。因此，数学基本概念教学在呈现方式上，不能机械地照本宣科授课，教师要深挖数学概念的知识背景，精心创设情境，适当地开展“发现”式数学活动，让学生在学习数学概念的同时还能发展他们的创造性思维。
（2）数学基本概念教学，要重视问题性在数学概念的形成过程的“关键点”上，以恰时恰点的问题引导数学活动，有利于明确学生思维的方向、培养问题意识，孕育创新精神。在集体备课时，有些老师往往会运用关联性不强的问题凑合成“问题串”来启发学生抽象概括出数学概念，这是有害无益的。那种忽视新教材设置栏目，不引导学生分析研究，直接给出抽象概念的方法也是不可取的。提倡“数学基本概念教学，要重视问题性”，但是问题的设置要在“关键点”上，这样，才能明确学生思维的方向、帮助学生从实际问题中抽象概括出数学概念。在进行数学基本概念课堂教学中，要重视在学生思维的“最近发展区”设计合适的、具有启发性的问题串，通过“观察、思考、探究”学习数学概念，从而培养学生的问题意识和抽象概括能力。
（3）数学基本概念教学，要重视创设体现数学概念的思想方法的情境新教材是以数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等核心概念和基本思想为贯穿整套教材的灵魂，而数学思想方法是人们认识数学的意识，是将知识转化成能力的桥梁，因此，创设体现数学概念的思想方法的情境是数学基本概念教学的出发点和落脚点。例如，以上所谈到的向量概念教学中所创设问题情境，就隐含了分类和类比的思想方法，在相等向量和共线向量（平行向量）的课堂教学中所创设的问题情境，就隐含了数形结合的思想方法。
（4）数学基本概念的教学，要注重概念联系性由于新教材要求：以核心知识（基本概念和原理，重要的数学思想方法）为支撑和联结点，螺旋上升地组织学习内容。因此，在课堂教学中引导学生深入挖掘概念的内涵和外延，建立新旧概念间的联系，是符合新课程要求的，而且对帮助学生准确理解数学概念、完善构建知识体系是有有益的。例如，“变化率与导数”的概念教学时，引入导数概念后，在说明“气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率、高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度”的同时，可以再结合具体例子来加深理解导数的概念内涵。
（5）数学基本概念的教学，要注重应用性概念形成后，要引导学生应用概念解决问题，使学生及时领会概念在解决问题的作用，是学生分析问题和解决问题能力形成的关键环节。在导数概念教学中，可以从新教材中习题中选择出分别能应用的相应公式来解决的问题，通过引导学生解决问题，这样，既能让学生对导数的概念及其几何意义加深认识，也能使学生在对比学习中促进解决问题能力的提高。所以，数学基本概念的教学，及时处理好应用概念解决问题，是理解概念内涵和外延的有效途径，是学习者能力形成的重要标志。
关键词：负迁移；探析；成因；对策
学习之间的影响有促进和干扰之分，一种学习对另一种学习起促进作用的称为正迁移，如果起干扰或抑制作用的，称为负迁移。数学教学中知识正迁移有利于学生对知识的理解和把握，促进认知水平的提高，负迁移则会导致数学概念的混淆、数学规律理解上的偏差，严重影响学生数学思维能力的培养。教学中，教师尽量引导正迁移，减少或杜绝负迁移，促进学生对所学知识的理解与运用。
一、知识负迁移的表现及成因
数学教学实践表明，知识负迁移的产生，主要是由于学生不能准确地掌握数学概念和数学原理、理解数学规律，只注意知识的共同要素，忽视了它们之间的差别与联系，因而造成了知识的负迁移。
1．相关联的数学概念之间的干扰所致。
数学教学中有许多相关联的数学概念、数学原理和数学规律，它们之间既相互联系，又具有各自不同的本质属性，学生如果不加以理解和准确把握，正确区别相关概念、原理和规律，就会将它们之间的关系简单化，导致知识的负迁移。
如：（1）数轴的三要素是什么？
错解：数轴的三要素是指原点、正方向、长度单位。
分析：上面的回答错在混淆了“单位长度”和“长度单位”这两个概念。看起来只有词序不同，但实际意义不一样。“长度单位”是一个确定的量，如厘米、分米、毫米等。而“单位长度”不是确定的，它的大小可根据实际需要适当选取。比如可以取2m作为单位长度“1”，那么4m就表示2个单位长度。当然还可用一个或若干个长度单位来作为一个“单位长度 ”。
正确解答：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度。
（2）什么是直角？
错解：90o
分析：直角是一个图形，它是平角的一半。“90°” 是一个量，指的是“直角”的大小。不能把一个图形和这个图形的大小两个不同的概念混淆起来。
正确解答：“什么是直角？”应该是“直角是平角的一半”或“90°的角叫直角。”
（3）频率与概率是否是一个意思？
错解：是同一个意思。
分析：频率是个试验值，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值。因此，只能近似地反映事件出现可能性的大小。概率是个理论值，是由事件的本质所决定的，只能取唯一值，它能精确地反映事件出现可能性的大小。
可以这样理解：抛50次硬币重复三次，正面向上分别是10次，20次，30次，那么频率分别是0.2，0.4，0.6。但是当重复次数很大，例如10000次时，这个频率的均值就会很接近概率1/2。
正确解答 频率与概率是不同的，概率是一个理论数值，与具体实验无关，而频率是与具体实验密切相关的。
2．无意识改变概念内涵外延所致。
学生在理解或实际运用数学原理、数学规律时，有时会不自觉地缩小或扩大概念的内涵，导致概念外延发生变化，因而造成错误的结果。
例1 “ ”和“ ”是有区别的。在“ ”中，已知的分式是 ，由于x有等于零的可能，所以 不能变为 ；而 中，已知的分式是 ，这就隐含着条件x≠0，所以 可以变形为 。教学中，容易因 不成立，而误认为 也不成立。
例2 “函数y =2x+3（x≥0）”和“函数y =2x +3（0≤x≤6）”
函数y=2x +3(x≥0)的图象是一条射线；而函数y=2x+3 (0≤x≤6)的图象是一条线段。因此它们是两个不同的函数，也就是说，如果两个函数的自变量取值范围不同，那么不管它们的解析式是否相同，都应是不同的函数。
3．日常生活“经验”干扰所致。
学生生活在自然环境中，从大量的自然现象中获得了不少有关数学方面的感性认识，积累了许多的生活经验，这些经验或认识有基本正确的，也有与数学学的科学理论不相符的，是对事物非本质的认识，是与科学相悖的。
例3 解方程：
错解：由原方程得：x+1=3 x=2。
剖析：上面的解法错在方程的两边同除以为零的x+1，违背了方程的同解原理，造成失根。
正确的解法为； (x+1)(x－2)=0， 。
例4 关于x方程 的两实数根为 与 ，若 ，求实数k的值．
错解：由根与系数的关系得：
。
－2 ＝11，
， ，解得： 。
剖析：关于x的二次方程的两实数根的平方和为11，首先要保证它有实数根为前提。所以，此解忽视了判别式≥0这一隐含条件。本题中，只能取k=－3。
4．字面理解和表面现象带来的干扰所致。
在数学教学中经常会碰到这样的问题，有的数学事物或数学现象其名称与实质往往不相吻合，很容易造成歧义，稍不留意，就会形成错误的理解，十分不利于数学知识的把握。所以，在数学教学中要注意帮助学生弄清数学事物或数学现象的实质，切忌望文生义。
例5 已知一元二次方程 的两根为 ，求 的值。
错解：由根与系数的关系，得 ，所以原式＝ ＝
剖析： ，
。
≠ ，因此，原式＝ ＝－ 。
例6 “二次函数 的图象与x轴有一个交点”和“函数 的图象与x 轴有一个交点”。
二次函数 的图象与 x轴有一个交点，已指明 是二次函数，这就包含着条件 ，二次函数 的图象与x轴的交点
为 ;而函数 的图象与x 轴有
一个交点，没有指明 是二次函数，因此存在两种情况：(1)当 时，二次函数 的图象与x 轴的交点为 ，(2)当 时，一次函数 的图象与 x轴的交点为 。教学中，容易将后者混同于前者，而产生漏解。
5．常见“熟题”的干扰所致。
学生在学习中，通过老师讲、自己练等形式，积累了一定量的“经验题”，学生一旦遇到类似问题，便不假思索，以偏概全地分析问题，按原来形成的“熟路”解答和得出“答案”。
例7已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
。
错解：令＝ ＞0，即－4k+1＞0，解得 ． 当时，原方程有两个不等的实数根。
剖析：这里忽视了二次项系数 的隐含条件。
故本题的正确答案为： 且 。
例8已知实数a、b满足条件 ，则
。
错解：由已知条件可知，a、b为方程 的两根，a+b=5，ab=2，
剖析：本题就a、b的关系有两种情况：一是a、b为方程 的两根，此时>0，可知a≠b。二是a=b同样能使已知两式同时成立。而上述解法只考虑了a≠b的情
形，却忽视了第二种情况a=b．当a=b时， 2。
本题的正确解答为：当a≠b时， ；当a=b时， 2。
二、防止知识负迁移的对策
1．激发认知冲突，杜绝负迁移。
所谓认知冲突，就是原始的认知结构与新现象之间无法包容的矛盾。比如初一学生原始的认知结构是“小学学过的数的前面添上‘－’号，得到的数都是负数”。这一结论在中学就不成立。按照原始的认知结构，学生无法解释。老师可通过引进字母说明，如：－a一定是负数吗？事实上，如果a表示－5，那么－a表示－(－5)=5；如a表示0，那么－a也表示0。
ABC∽A1B1C1在学生心中根深蒂固，误认为“ABC∽A1B1C1”和“ABC与A1B1C1相似”完全相同，但实际上ABC∽A1B1C1，不仅明确了这两个三角形的相似关系，还限定了这两个三角形的对应关系，即：AA1，BB1，CC1；而ABC与A1B1C1 相似，只明确这两个三角形的相似关系,并不限定这两个三角形的对应关系，有下列六种情况：ABC∽A1B1C1ABC∽A1C1B1，ABC∽B1A1C1， ABC∽B1C1A1，ABC∽C1A1B1, ABC∽C1B1A1。教学中应注意，前者不需要分类讨论，而后者需要分类讨论。
再如：“一切圆形的东西都是圆”也已深深烙印在学生的头脑里。其实不然，圆是指圆周这条封闭曲线；而圆周所围成的平面部分是指圆面。因此两者是不一样的。教学中，常有教师不加说明地拿着硬纸板剪成的圆面作为圆的教具，这容易使学生将整个硬纸板看成一个圆，即把圆面误认为圆。
2．引导课堂互改，防止负迁移。
每节课积极组织以学生为主体的课堂互改实践活动，通过学生与学生的解答信息交流，准确把握学生中错误观念产生的原因与特点，根据学生的认知规律，有的放矢，精心选择具有针对性的、对学生有强烈震撼的错误现象，这样可有效地防止知识的负迁移。
例9若一元二次方程 的两实数根都大于2，求m的取值范围。
错解：设方程的两实数根为 ，则 ， ，所以
，即 ，解得－4≤m
剖析：由 ，可以推出 ，但反过来，由 却推不出 ，即它们之间不等价。两实数根都大于2的重要条件是≥0且 且 ，解得－4≤m
例10已知关于x的方程 0有两个不等的实根，求m的取值范围。
错解：方程有两个不等的实根，＝ ，得m
又1－2m≠0，m≠ 。
剖析：本题求解时注意了a及，但忽视了 这一隐含条件下：m+1≥0。
故正确的答案应是－1≤m
3．运用对比分析，减少负迁移。
加强对易混知识的比较，找准分化点，有利于排除干扰。对比分析的方法有：相似对比法，新旧对比法，系统对比法，正反对比法，正误对比法，结果对比法等等。在教学中，教师应根据不同的情况采用一种或几种方法交叉进行。例如，
例11“不等式组 无解，a的取值范围”和“不
等式组 无解，a的取值范围”
不等式组 若要无解，则 a可以取2或小于2的
数，即a≤2，许多人容易误认为a不能取2，其实，将a=2
代入不等式组便可检验；不等式组 无解。a则不能
取2，只能取比2小的数， 即a＜2，这是我们很多教师也容易混淆的问题。
例12“ ”和“ ”
在教学中，我们常常根据题目需要，将比例式化为等积式或者将等积式化为比例式，而往往忽略了其转化的条件。在 中，此式子的成立隐含了条件 ， ，可以化为 ；但式子 中，a、b、c、d均可能为0，因而 ，不能变形为 ，应附加条件 ， 。
教学实践证明，知识间的干扰虽然是多种多样的，但只要我们掌握知识的迁移规律，采取适当的措施，积极地从多方面多途径去防止和消除知识的负迁移，帮助学生减少学习中的错误，促进知识的正迁移，定会促进学生良好思维品质的形成，提高综合素质，不断培养学生分析问题、解决问题的能力，形成正确的认识。
参考文献
[1] 上海教育科研1983.01.
