时间：2023-05-30 10:28:25
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇中心对称，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、一般设计
这类设计主要考查同学们一些基本的作图技巧，或者结合图形来判断解决问题，只要按照题目要求即可完成．
例1（2008年・湛江市）下面的图形中，是中心对称图形的是（）.
分析： 本例先设计好了图案，然后考查同学们对中心对称图形的识别能力，以及让同学们研究设计过程．
解：观察四个图形，易知只有D是中心对称图形，故应选D．
点评：本题主要考查中心对称以及读图、识图的能力，要仔细观察.
二、网格设计
这类设计主要是利用网格上的小正方形进行动手操作．
例2（2008年・荆州市）正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图1、图2补充完整，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图3补成中心对称图形.（图案中阴影部分和非阴影部分分别表示两种不同颜色的花卉.）
分析：首先仔细观察各图形的特征，然后根据这些特征从对称性等方面来考虑，根据要求设计图案．
解：答案不唯一，如图4、图5、图6.
点评：本题属于结论开放型问题，答案不唯一，重点考查同学们的读图、识图能力以及创新设计能力，在设计的过程中应体会数学在实际生活中的应用价值．
三、创新设计
此类设计融知识、技能和丰富的想象于一体，它需要根据材料进行加工、创作．
例3（2007年・福州市）为创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图7（3）、图7（4）、图7（5）中画出三种不同的的设计图案．（注意：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，如图7（1）、图7（2）属于一种．）
分析： 这道题，只要同学们动手操作一下，问题便迎刃而解，本题答案不唯一，只要符合要求即可．
解：答案不唯一，如图8.
线段：是指两端都有端点，不可延伸的线，有别于直线、射线。
线段特点有：
1、有限长度，可以度量；
2、有两个端点；
3、具有对称性，即是中心对称图形，也是轴对称图形；
4、两点之间的线，是两点之间最短的距离。
（来源：文章屋网 ）
【关键词】高中数学 高考数学 常见函数 特殊函数 对称性
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0139-02
众所周知，在高中数学的学习中，函数是重难点，且高考试题中有关函数性质的试题所占比重很大。学生在根据课本学习了函数的定义、周期性、奇偶性及单调性后，能利用函数图像解决问题，同时也能根据图像直观地对具有特殊性质的函数进行认知，然而要提高学生综合运用知识和解决难题的能力，还需对函数的对称性进行总结归纳。本文重点介绍对称性的概念、常见函数的对称性和抽象函数的对称性这三个方面。
一 函数的对称性
函数的对称性分为中心对称和轴对称。第一，中心对称。将一个函数图像绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图像与原图像完全重合，则该函数图像具有中心对称的性质，其中该点称为该函数的对称中心。一个函数图像可以有多个对称中心。第二，轴对称。将一个函数图像沿一条直线对折后，如果直线两侧的函数图像完全重合，则该函数图像具有轴对称的性质，其中该直线为该函数的对称轴。一个函数图像可以有多条对称轴。
二 常见函数的对称性
第一，常数函数。y=c（c∈R）。既是轴对称又是中心对称，与该直线垂直的直线均为其对称轴，直线上所有点均为其对称中心。
第二，一次函数。y=kx+b（k为一次项系数≠0，k≠0，b为常数）。既是中心对称又是轴对称，对称中心为原点，对称轴为与该直线相垂直的直线。
第三，反比例函数。y=k/x（k∈R且k≠0）。既是轴对称又是中心对称，对称轴为y=x与y=-x，对称中心为原点。
第四，二次函数。y=ax2+bx+c（a≠0）。是轴对称，
不是中心对称，对称轴为x= 。
第五，指数函数。y=ax（a>0且a≠1）（x∈R）。既不是中心对称也不是轴对称。
第六，对数函数。y=logax（a>0，且a≠1）。既不是中心对称也不是轴对称。
第七，幂函数。y=xa（a为常数）。幂函数中非奇非偶函数不具有对称性；幂函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点；幂函数中的偶函数为轴对称，对称轴为x=0。
第八，正弦函数。y=a sin（ωx+φ）（ω≠0）。既是中
心对称又是轴对称，对称中心为（ ），对称轴为方程
ωx+φ=kπ+ 的解。
第九，正切函数。y=tanx。是中心对称，不是轴对称，
对称中心为（ ，0）。
第十，三次函数。三次函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点，其他三次函数的对称性通过求导得极值点进行作图判断。
以上就是对常见函数的对称性总结归纳，要理解掌握，不能死记硬背，这就需要学生结合实际的习题及函数图像，自己体会，理解记忆，活学活用，在实践中体会以上常见函数的对称性特点，真正做到举一反三，思维发散。
三 抽象函数的对称性
常见函数的对称性容易理解掌握，抽象函数种类众多，但万变不离其宗，以下是对抽象函数对称性质的总结归纳，并结合例题介绍抽象函数的对称性。
性质一：若函数y=f（x）的图像关于直线x=a轴对称，则其充要条件为f（a+x）=f（a-x），也即是f（x）=f（2a-x）。由此条性质易得函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）。
例1：函数f（x）满足f（x）=f（3-x），则该函数满足轴对称，对称轴为x=1.5。
性质二：若函数y=f（x）的图像关于点（a，b）中心对称，则其充要条件为f（x）+f（2a-x）=2b，即f（a+x）+f（a-x）=2b。
例2：函数f（x）满足f（5+x）+f（1-x）=4，则该函数呈中心对称，对称中心为（3，2）。
性质三：（1）若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b（a≠b）成轴对称，则y=f（x）是周期函数，其一个周期为2a-b。（2）若函数y=f（x）图像同时关于点（a，c）和点（b，c）（其中a≠b）中心对称，则y=f（x）是周期函数，其一个周期为2a-b。（3）若函数y=f（x）图像既关于点（a，c）中心对称又关于直线x=b轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，其一个周期为4a-b。
例3：函数f（x）的一个对称中心为（1，1），一条对称轴为x=2，则其一个周期为2。
以上的性质是函数图像的自对称性质，有了以上的基本性质做铺垫，我们可以导出两个函数之间存在的对称性。下面介绍函数的互对称。
性质四：函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点（a，b）成中心对称。
性质五：函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。
性质六：函数y=f（x）与x-a=f（a+y）的图像关于直线x-y=a成轴对称。
关键词：初中数学;圆形;教学实践
同其他平面图形一样，圆形也是一个规则图形，在人们的日常生活中随处可见。引导学生理解并掌握圆形的性质，需要采用科学的教学方法。教师应该根据圆形图形的特殊性质来找到一个教学突破口，让学生带着兴趣和热情投入学习。圆形是一个中心对称图形，教师需要从中心对称知识的角度出发，引导学生找到圆形，为学生提供生动、形象的数学教学课堂。
一、 找到圆心，深化认识
圆形最显著的特征就是拥有圆心，可以说圆心是圆形的特殊标志。因此，教师应引导学生从圆心入手。要想深化对圆形性质的认识，先让学生找到圆心，认识圆心，根据圆心来判断圆形为中心对称图形，再利用中心对称的相关知识来深化对于圆形其他性质与功能的认识。为了让学生找到圆心，教师可以采用游戏引导、兴趣教学等方法，让学生在快乐的状态下学习，体会到圆形图形学习的乐趣。例如：教师可在课堂上让学生每人拿出一张圆形纸片，将这个圆形纸片沿着一条折痕整齐地对折成为一个双向重合的半圆，然后，再次从另一个折痕处对折，在两个折痕相交的那一点做上标记。此时，教师向学生展示：这两条折痕的交点就是圆心。学生每人手里都拿着一个圆形纸片，都能明显发现这个交点，从而找到圆心。学生明确了圆心后，教师可让学生沿着其他折痕继续整齐对折这个圆形纸片，学生对折出很多条折痕。此时，教师可提问：“同学们，你们发现圆形的折痕同圆心有什么联系吗？”学生们经过思考，异口同声地回答：它们都经过圆心，相交于圆心，这些折痕都关于圆心对称。由此，学生会自然而然地认识到圆形是一个中心对称图形。如图1。通过这种游戏折纸的方法，能够引导学生自然认识圆形的特征、性质与规律，认识到圆形是一个中心对称图形，学生轻松快乐地学习。
二、 依托中心对称，探究知识
经过以上的游戏引导，学生已经初步认识到了圆形是一个关于圆心对称的中心对称图形，在此基础上，教师可以顺着中心对称图形的性质来引导学生分析圆形的性质，让学生通过中心对称图形的知识来推导与领悟圆形的知识。众所周知，中心对称图形的特点就是有一个对称中心，这个“对称中心”能够对图形均分，因此，圆心平分了圆形的直径为两个相等的半径。同样，经过圆心的多条直径又将圆平分为两个相等的半圆，圆中互为对顶角的两个扇形又是全等形，因为这两个扇形两条边及夹角的大小相等，如图2。
（图1） （图2） （图3）
图中圆的直径AB、CD相交于圆心O，根据中心对称的原理，可以明确扇形ACO全等于扇形BDO，同样有扇形BOC全等于扇形AOD。学生从中心对称的知识入手，分析并认识到了圆形的一些性质和功能，从中心对称图形的性质挖掘到了圆形更深层次的知识，这样就完成了知识迁移、深入探究，能够加深学生对圆的相关知识的理解。
三、 深化知识，解决问题
在学生了解并掌握了圆形的性质和相关知识后，教师要积极引导学生善于灵活运用这些知识来解答相关问题，解决实际问题，通过对实际问题的解答来进一步深化对圆形的性质与知识的理解，从而达到一个良好的教学效果。教师可以巧妙地将圆形与其他几何平面图形联系起来，利用不同图形的多重性质与功能来进行综合探究，培育学生的知识综合分析与运用能力，培养学生的数学思维能力，提高学生的数学解题能力。
例如：教师可以将圆的知识同矩形联系起来布置以下问题。已知：矩形abcd的周长为28厘米，以a为圆心，ad为半径画弧交ab于a1，以b为圆心，ba1为半径，画弧交bc于a2。按照同样的方法，分别以c、d、a、b为圆心来画出圆弧，各自交点为a3、a4、a5、a6，其中a6同点重合。那么，此时矩形的长度为（ ）厘米，宽度为（ ）厘米（如图3所示）。这个题目就是对学生综合能力的培养与训练，学生根据圆形的知识可以进行以下运算：ad=aa1=bc=x.（圆形半径相等，矩形对边相等。）同样，aa6 =ba1=ba2=y ，又因为ca3 = da3，因此，可列出以下关于x、y的方程组：2x+y=14 x+y =2（x-y）.解答上述方程组，能够得出：x=6，y=2。最后得出矩形的长为6cm，宽为8cm.
以上题目是对学生圆形中心对称图形知识、矩形知识及二元一次方程组的训练。学生通过思考解答这一题目，有效训练了思维，提高了学生的知识综合能力，学生能够利用已有的条件，结合不同图形的性质和特征来解答形形的数学难题，有效提高学生的数学知识运用能力。
此外，教师为了进一步提升学生的数学知识运用能力，可以对圆形知识教学做进一步拓展，将圆形同正方形、直角三角形及坐标轴等联系起来，让学生通过其他图形的性质来深入理解并掌握各个图形的性质，从而更加深入地理解知识，掌握图形的性质与特征，以此来锻炼学生的数学思维能力，获得良好的教学效果。
总结：结合圆形的特点，利用中心对称的性质来引导学生对圆形知识的理解，这是一种有效的知识迁移引导策略。它有效提升了学生的数学知识理解能力，锻炼了学生的数学思维，也培养了学生的数学知识灵活运用能力，这是数学教学的有效方法。
参考文献：
[1]杭州大学 “初等几何 ”编写组.初等几何 [M].杭州：浙江人民
出版社，2011.
[2]于文忠.平面解析几何学习指导[M].济南：山东教育出版社，
一、函数自身关于点的对称性
命题1：函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称的充要条件是f（x）＋f（2a－x）＝2b（或者（a＋x）＋f（a－x）＝2b）
证明：（必要性）设P（x，y）是y＝f（x）图象上任一点，点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P′（2a－x，2b－y）也在y＝f（x）图象上，2b－y＝f（2a－x），即y＋f（2a－x）＝2b，故f（x）＋f（2a－x）＝2b，必要性得证。
（充分性）设点P（x0，y0）是y＝f（x）图象上任一点，则y0＝f（x0），f（x）＋f（2a－x）＝2b，f（x0）＋f（2a－x0）＝2b，即2b－y0＝f（2a－x0），故点P′（2a－x0，2b－y0）也在y＝f（x）图象上，而点P与点P′关于点A（a，b）对称，充分性得证。
推论1：奇函数的图象关于原点对称。
证明：设函数y＝f（x）是奇函数，则奇函数定义有f（x）－f（－x）＝0，由命题1可得函数y＝f（x）的图象关于原点O（0，0）对称。
推论2：如果函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（a－x）＝0，则函数y＝f（x）图象关于点（a，0）对称。（证明略）
推论3：函数f（x）＝ ，（x≠ ）的图象关于点（ ，
）对称。
证明：f（ －x）＝ ，f（ ＋x）＝
。
f（ －x）＋f（ ＋x）＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＝ 。
由命题1有函数f（x）＝ 的图象关于点（ ， ）对称。
例1，已知定义域为R的函数f（x）满足f（－x）＝－f（4＋x）且函数f（x）在区间（2，＋∞）上单调递增，如果x1＜2＜x2且x1＋x2＜4，则f（x1）＋f（x2）的值（ ）。
A、恒小于0 B、恒大于0 C、可能为零 D、可正可负
分析：先x－2代替x，使f（－x）＝－f（4＋x）变形为f（2－x）＝－f（2＋x），它的特征就是推论2，因此函数f（x）的图象关于点（2，0）对称。f（x）在区间（2，＋∞）上单调递增，在区间（－∞，2）上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。
解：2＜x2＜4－x1且在区间（2，＋∞）上单调递增，
f（x2）＜f（4－x1），f（－x）＝－f（4＋x），函数f（x）
的图象关于点（2，0）对称，f（4－x1）＝－f（x1），f（x1）＋f（x2）＜f（x1）＋f（4－x1）＝f（x1）－f（x1）＝0。所以选A。
例2，如果函数y＝f（x）满足f（3＋x）＋f（4－x）＝6，求该函数的对称中心。〔因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心。〕
如果f（x）为奇函数，并且f（x＋1）＋f（x＋3）＝0，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为4，又f（x＋1）＝－f（x＋3），从而f（x＋1）＝f（－x－3），从上例知x＝－1为对称轴，所以x＝－1＋2n为对称轴，（2k，0）为对称中心，其中k∈Z。）
例3，定义在R上的函数f（x）满足f（ ＋x）＋f（ －x）＝2，
则f（ ）＋f（ ）＋f（ ）＋…＋f（ ）＝ 。
解：由命题1可得函数f（x）关于点（ ，1）对称，所以点
（ ，f（ ））关于点（ ，1）的对称点（1－ ，2－f（ ））也
在函数f（x）图象上，所以f（1－ ）＝2－f（ ），即f（ ）＋
f（ ）＝2；同理可得f（ ）＋f（ ）＝2，f（ ）＋f（ ）＝2，
2f（ ）＝2；于是f（ ）＋f（ ）＋f（ ）＋…＋f（ ）＝7。
例4，已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（ ，0）
成中心对称，对任意的实数x都有f（x）＝－f（x＋ ），且f（1）
＝1、f（0）＝－2，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2009）＋f（2010）＋f（2011）的值为（ ）。
A、2 B、－1 C、0 D、1
解：由函数f（x）的图象关于点（ ，0）成中心对称，得
f（x）＋f（－x－ ）＝0，又f（x）＝－f（x＋ ），f（x＋ ）
＝f（－x－ ）；令t＝x＋ 则f（t）＝f（－t），于是f（x）是偶函
数，且f（x＋3）＝f［（x＋ ）＋ ］＝－f（x＋ ）＝f（x），即
f（x）是以3为周期的函数，则f（－1）＝1＝f（2）＝f（－2）＝f（1）＝f（4），f（0）＝－2＝f（3）。
f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2009）＋f（2010）＋f（2011）
＝f（1）＋ ＝1。
例4，函数f（x）＝ 的图象关于点（4，－1）成中心
对称，则实数a＝ 。
解：由推论3可知f（x）＝ 图象关于点（a＋1，－1）
成中心对称，所以a＋1＝4，即a＝3。
例5，函数f（x）＝ 的反函数的图象关于点M（m，
3）成中心对称，则实数a＝（ ）。
A、2 B、3 C、－2 D、－4
由推论3可知f（x）＝ 图象关于点（a＋1，－1）成
中心对称，又f（x）＝ 的反函数的图象关于点M（m，3）
成中心对称，所以点（a＋1，－1）与点M（m，3）关于直线y＝x对称，即a＋1＝3，a＝2。
二、不同函数关于点的对称性
命题1：函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）成中心对称。
证明：设P（x0，y0）是函数y＝f（x）图象上的任意一点，则点P关于（a，b）的对称点是Q（2a－x0，2b－y0），因为点Q（2a－x0，2b－y0）在函数y＝2b－f（2a－x）的图象上，所以函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）成中心对称。
命题2：设a，b，c均为常数，函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的定义域均为R，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）
的图象关于（ ， ）成中心对称图形的充要条件是：对一
切x∈R，均有f（c＋x）＋g（a－x）＝b。
证明：（1）充分性：设P（c＋x0，f（c＋x0））是函数y＝f
（x）图象上的任意一点，则点P关于（ ， ）的对称点是
Q（a－x0，b－f（c＋x0）），且f（c＋x0）＋g（a－x0）＝b。所以g（a－x0）＝b－f（c＋x0），即点Q〔a－x0，b－f（c＋x0）〕是y＝g（x）函数图象上的一点，也即函数y＝f（x）图象上任意一
关于点（ ， ）的对称点都在函数y＝g（x）的图象上；同
理可证，函数y＝g（x）图象上任意一关于点（ ， ）的对
称点也都在函数y＝f（x）的图象上。
（2）必要性：设点P〔c＋x0，f（c＋x0）〕是函数y＝f（x）
图象上的任意一点，则点P关于点（ ， ）的对称点Q（a
－x0，b－f（c＋x0））在函数y＝g（x）图象上。
b－f（c＋x0）＝g（a－x0），即f（c＋x0）＋g（a－x0）＝b，也即对一切x∈R，均有f（c＋x）＋g（a－x）＝b。
由（1）（2）证明可知：命题2成立。
推论：设a，b，c均为常数，则函数y＝f（a＋x）的图象与
函数y＝c－f（b－x）的图象关于点（ ， ）成中心对称。
证明：令m（x）＝f（a－x），n（x）＝c－f（b－x）。
则m（x－a）＝f（x），n（b－x）＝c－f（x），对x∈R均成立。
m（x－a）＋n（b－x）＝c对x∈R均成立。
由命题2，函数y＝m（x）与函数y＝n（x）的图象，即函
数y＝f（a＋x）的图象与函数y＝c－f（b－x）的图象关于点（ ，
）成中心对称。
例1，已知函数y＝f（x）是定义在R上的函数，那么y＝f（6－x）与y＝－f（x＋4）的图象（ ）。
A、关于直线x＝5对称 B、关于直线x＝1对称
C、关于点（5，0）对称 D、关于点（1，0）对称
关键词： FrontPage 学习兴趣 数学教学 《设计中心对称图案》网络课
苏科版教材中有一节是这样的：运用FrontPage制作一个课件《设计中心对称图案》，并以专题网站的形式，把它运用到我们的课堂教学中。这一节内容在教材中只有简单的一页纸，内容单一，运用传统的教学方式无法达到教学目的，但通过丰富的教学材料，合理利用现代教育技术来设计这一专题网站，可以让学生主动参与学习的全过程，使学生在轻松的、愉快的氛围中掌握知识。这节课取得了非常好的教学效果，学生反响热烈。下面是我对现代教育技术改变数学课堂教学手段的心得体会。
一、导入新课时多媒体课件创设情境，吸引学生的注意力，激发兴趣。
数学是中学的一门主要学科，传统的教学手段比较单调，黑板加粉笔，偶尔加一些教具。由于学科自身的特点所限，的确没有某些学科形象、生动、具体，使学生学起来枯燥无味，直接影响了学生的学习积极性。随着现代教育技术的推广，多媒体教学被充分运用到数学教学中，它不仅能充分调动学生的积极性，增强学生的求知欲，激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，发展学生的想象力，而且在增强课堂效果，优化课堂结构等方面都起到不可估量的作用。
我在这一节课中创设情境引入三类中心对称图案让学生判别，一是扑克牌中的梅花、方块；二是生活中的标志图案，如树叶、电信的标志等；三是数学中的几何图形，由直观到抽象。这些内容经过现代教育技术的处理，集形、色于一体，直观形象，新颖生动，大大激发了学生的学习兴趣，学生注意力非常集中。鲁迅说：“没有兴趣的学习，无异于一种苦役；没有兴趣的地方，就没有智慧和灵感。”我们的教育技术彻底改变了“教师一支粉笔、一张嘴的满堂灌”式的教学方式。利用情境挖掘学生的潜能，将有意识的学习活动和无意识的学习活动相结合，不仅丰富了教学内容，还活跃了课堂气氛，提高了学生的学习兴趣，调动了学生求知的自觉性和积极性。
二、利用多媒体突出学习目标、重点，突破难点。
现代教育技术能打破教学中的时空限制，将事物的发展变化由复杂变为简单，由抽象变为具体，能有效提示客观事物本质的内在联系，从而有利于学生的理解，有利于重点、难点的突破。
如在《设计中心对称图案》教学时，通过对实物的观察、接触等，学生可以很容易地辨别出实物的形状，但要他们辨别几何图形还有一定的难度。教学中，我们先将几种不同图案、颜色各异的扑克牌的图像演示给学生看，再通过点击使其中的图形旋转180°，出现该图形旋转后的情景，再判断它们是否是中心对称图形。这样，学生就可以很容易判断出一个图形是否是中心对称图形。通过旋转、平移、重叠、闪烁等系列动画模拟过程，可以形象生动地描述中心对称图形的内涵，便于学生切实理解。多媒体的教学有利于学生从形象思维向抽象思维的过渡，有利于难点的突破。
三、利用教育技术手段合理安排教学中的探索活动、数学实验室，发挥学生的主体作用。
尽管这些现代化教育技术的作用很大，有助于学生思维的发展，但它们仍然只是教学的辅助工具，而不是学生主动学习的武器。如何把现代教育技术变成学生自主学习和探索解决问题时的工具，是我们研究的关键。多媒体教学强调不仅要让学生掌握知识结论，而且要通过对各种形象化的教学媒体的观察与思维，引导学生探索、发现、归纳、总结出结论，即主动参与学习全过程，启发学生的智力，发展学生的能力，切实提高学生的全面素质。
在本节课中我利用教育技术根据不同的教学内容和教学要求，设置了探索活动、数学实验室，有计划有步骤地引导学生进行各种认识活动，探索学习。如数学实验室中先让学生观察中国银行标志、交通标志（禁止驶入）、汽车品牌标志（欧宝标志）等标志，再要求学生自己画图为班级设计一个具有中心对称特征的漂亮的班徽。再如在探索活动中，学生先欣赏用6个全等的正方形组成的中心对称图案，然后联想与思考问题：1.在计算器上按出两位数“69”，这个电子数字可以组成一个中心对称图案。你还能写出多少个组成中心对称图案的两位数、三位数？2.把26个英文大写字母看成图案，哪些英文大写字母是中心对称图案：A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z？ 在课件中，网页的形式可以让学生更好地自主观察、探索、思考和学习。现代教育技术手段的应用，可以节约传统的板书、画图等时间，使有限的课堂时间“变长”，使学生的主体作用得到充分发挥。
学生获得知识的方法有两种：一是从被动接受中获得，二是从主动学习中获得。新课程标准提倡学生在教师的启发、诱导下，主动地获取知识。这就要求教师要注意研究学生的学习规律，改变重视“教”而忽略“学”的现状，适当地应用现代教育技术手段进行教学，加强对学生学习方法的指导，使学生在老师的指导下，自主地探索学习，从不知到知，从知之较少到知之较多，并在学会数学知识的同时学会学习的方法。
四、利用现代教育技术精心设计安排练习，变“枯燥”为“有趣”。
学生的练习是数学课堂教学中一个必不可少的环节，也是数学课堂教学中非常重要的环节。以往这一块的教学模式是教师给出习题，学生解答，教师再给出正确答案并讲解，学生听来枯燥无味，学习效率很低。
而在本节课教学中，自主练习这部分是利用信息技术编写的有针对性的练习，如在练习中编各种形式的选择题、填空题、判断题等，用软件判断学生解答的正确与否，根据练习的情况给予必要表扬鼓励和重复练习等，其练习效果之好，是传统练习方法不可比拟的。它的最大好处在于化被动学习为主动，化抽象为具体，通过带有娱乐性的练习，轻松巩固已学知识，从而切实激发学生的学习兴趣，真正实现减轻学生负担，提高学生素质的目的。
随着教学改革的不断深入，现代教育技术给我们的教学提供了越来越大的帮助，当前我们的教学已离不开现代教育技术的运用，它改变了教师的“教”，也改变了学生的“学”。工作在教学一线的数学教师更应该运用好现代教育技术，让数学教学变得更受学生欢迎，更成功。
参考文献：
一、编写口诀，帮助理解
在很多学生眼里，数学很抽象，很难学，理解起来有时很困难，有些内容如果能够把它编成口诀在很大程度上帮助学生理解，有效提高课堂教学效果。例如：解一元一次不等式组时，不等式组的解集的判断是一大难点，为了突破这个难点，老师引导学生结合数轴观察发现，编成口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。既省时又省力，很受学生喜爱。
二、巧借学具，便于识记
其实数学科与语文、英语等学科一样，也有不少知识点需要学生理解识记，如何帮助学生有效记忆，也需要数学老师们进行一番研究，例如某些数学概念之间的差别很小，容易混淆，通常采用类比法进行教学；而有些知识点十分抽象，通常采用直观教学。例如：在教学锐角三角函数时，要求学生熟练掌握30O、40O、50O角的四个三角函数值，我想出一个简便的方法：每人拿出一副新的三角板，利用上一节课刚学过的：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30O，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，假设30O的角所对的直角边等于1，则斜边等于2，另一直角边等于，并要求学生在三角板相应的位置分别刻上1、2、；同样假设45O的角所对的直角边等于1，则斜边等于，并要求学生在三角板相应的位置分别刻上1、1、，只要学生熟练掌握正弦、余弦、正切、余切的定义，再对照两块三角板，那么记忆30O、42O、60O的四个三角函数值就是小菜一碟了。
三、巧妙提问，收到奇效
课堂提问既是一门科学，又是一门艺术。 初中学生好奇心和求知欲较强，在课堂上喜欢表现自己，但自我控制能力较差，注意力容易分散。如何设计处理好课堂提问，是提高课堂效率重要的一个环节。善于把握教材的特点，旧中求新、从不同的方面或角度提出生动曲折、富有启发性的问题，将有助于激发学生的求知欲，也有利于培养学生思维的积极性和主动性，使学生的思维过程处于积极愉快地获取知识的状态。
四、诙谐语言，调节气氛
培养学生的思维能力、想象能力是数学课堂教学的重要特征之一，但这种高强度的脑力劳动却容易使人疲劳；那么，如何调节课堂气氛，使课堂始终保持良好的课堂氛围？我认为，当一堂课的气氛比较低沉时，一个教师课堂里的机智诙谐的语言是不可或缺的，一堂课虽然未必要笑声不断，但却一定得有笑声。例如：听我校教师的一节“指导---自主学习”的教研课例（中心对称） ，可能是有许多陌生人在场或许其它什么原因，前半节课堂有点沉寂，在讲完中心对称图形和两个图形成中心对称的涵义时，老师提出一个问题：中心对称图形和两个图形成中心对称有什么关系？甲同学回答：①中心对称图形是一个图形，而两个图形成中心对称是两个图形，②当把两个图形成中心对称看成一个图形时变成中心对称图形；老师又问乙同学有什么意见？乙同学回答：和甲同学的看法相同。老师的一句“英雄所见略同”博得哄堂大笑，课堂的沉闷气氛顿时被打破。
五、启发联想，加深印象
教材内容提供给师生教与学的依据，在不违背原则的情况下，有时还可以根据实际需要增减教学内容、调整教材顺序；有时教材内容比较笼统，学生容易混淆，教师可以适当归纳概括、分类整理，帮助学生理解，加深印象。例如： 画相似图形，教材根据位似中心的位置不同画出如下一个图例：
应用其定义及性质解决诸如工程决策、平分面积与周长、确定函数及求值、边角关系，应用范围广泛，是近几年中考及竞赛试题中不可缺少的部分，这里择选几例供参考。
定理1：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是连接对应点连线的垂直平分线。
定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
一、应用于工程问题
例1：如图1，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉农作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问应该建在河边的哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法）
探究：由定理1知只需作出点a的对称点D，连BD交a于c，则点c为所求之点。
二、应用于平分面积与周长
例2：有一块方角形钢板如图2所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）。
探究：延长FE可将这块方钢分成两个矩形ABMF、MCDE，设两矩形的对称中心分别为O、O1，
由定理2可知，经过中心O的任意一条直线可将矩形MCDE面积平分，经过中心O1的任意一条直线可将矩形ABMF面积平分。
故：过O、O1的直线可将这块方钢面积平分。
例3：如图3：一个矩形内有任意一圆，请你用一直线同时将圆和矩形的周长二等分，并说明作图的道理方法。
探究：道理方法是，由定理2可知，经过对称中心的任意一条直线可将中心对称图形面积等分、周长等分，设矩形对角线交点为O1，则O1为矩形的对称中心，圆的圆心为O，则O的圆的对称中心，直线OO1为所求作的直线。
三、应用于求解析式
例4：如图4，正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，A点坐标是（1，0）。
①经过点C的直线y=x-与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
②若直线l经过点E且将正方形ABCD面积平分，求直线l的方程。
探究：第②小题由定理2可知，设矩形的对称中心为O，平分矩形面积的直线l必经过矩形的中心O，直线EO为所求作的直线l，又O点坐标为（3，2），E点坐标为（2，0）直线l的方程为y=2x-4。
四、应用于证明边角关系
例5：已知ABC中，边BC上的高为AD，且∠B＝2∠C
（如图5），求证CD＝AB+BD。
探究：以高AD所在的直线为对称轴翻折，点B落在DC边上的点E，由对称性，知AE＝AB、BD＝DE，
∠AEB＝∠B，而∠B＝2∠C。
∠AEB＝2∠C，由三角形外角定理，知∠AEB＝∠C+∠CAE，∠CAE＝∠C，则有EC＝AE，CD＝EC+DE＝AE+BD＝AB+BD。
例6：如图6，在等腰直角三角形中，∠BAC＝90°。D为AC的中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB＝∠FDC。
探究：由于等腰直角三角形正好是正方形的一半，故可以利用轴对称性质恢复原来的正方形。（如图6所示）
【关键词】探究交流轴对称
【课间案例】教学完轴对称图形后，在课外练习中出现了两道数学题。
一、把下面的数字分成两类。
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
二、把下面的汉字分成两类。
一、三、山、双、丛、林
没有对称轴的汉字：
有对称轴的汉字：
对于两道题的解答在办公室里引起了教师的争议。
师1：我认为数字“1”不是对称数字，因为数字“1”的左上角斜出了一点，这样数字“1”左右不是完全一样了，所以不是对称数字。
师2：我认为你说的数字“1”是印刷体，而手写体的数字“1”是倾斜的一竖，所以可以看成是对称数字。
师3：第2题里“双”“丛”“林”三个汉字应属于没有对称轴的汉字，因为沿着三个汉字中间的一条线对折后，字的两边不能完全重合，所以应填在没有对称轴的汉字里。
师4：我认为你说的三个汉字属于有对称轴的汉字，比如汉字“双”字的左右两边都是“又”字，它们的意义相同，只是印刷的大小不同罢了。
……
【课外探究】
争论的双方谁也没有说服谁，因为在小学数学教材和参考书中没有此类指导资料，由于这是两道判断题，必须找到相关的概念才能判断是与非，为此本人查阅了各种版本的小学数学教材、课外数学资料、字典等工具书，对于“轴对称图形”、“中心对称图形”、“对称”、“对应”等几个概念进行阐述并进行分析。
小学数学教材中“轴对称图形”：（各种版本教材）如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。如长方形、正方形、等腰三角形都是轴对称图形。
中心对称图形：（《中国小学教学百科全书》）如果一个图形绕着一个点旋转180度以后，能够和原图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点是它的对称中心。如圆、正方形、长方形都是中心对称图形。
对称：（商务印书馆《新华汉语词典》）指两个图形或物体对某个点、直线、平面而言在大小、形状和排列上具有一个对应的关系。
对应：（同上）是对一个系统中某一项在性质、作用、位置或数量上跟另一个系统某一项相当。
从上述概念可以看出判断轴对称图形的方法是沿线对折180度，判断中心对称图形的方法是沿线旋转180度，判断对称的方法是沿点、线、面对折、旋转、平移或在大小、形状、排列上创造出与原图形相当的图形，什么是相当？不是要求两个图形完全一样，而是要求在性质、作用、位置或数量存在差不多的关系。从上面可以看出轴对称图形、中心对称图形属于对称。在“轴对称图形”概念中提到了对称轴，如果根据这个概念来判断案例中的“丛”、“林”、“双”则应填在没有对称轴的汉字里。但对称概念中提到了沿点、线、面两个系统具有对应关系，我想这里的点就是对称中心，这条线就是对称轴，面就是图形移动的平面。由于“丛”、“林”、“双”是汉字，它们不同于图形，判断它们是否有对称轴，我们应从它的意义上来判断。如从“林”字的中间画一条直线，线的两边是在意义上相同的木字，这条线我认为是它的对称轴。其他字也可以用这种方法来判断。
而对于“1”是否是对称数字，我认为用新课程理念来解决比较具有说服力。新课程提出数学要回归生活，让学生在生活中学习数学。那么是用印刷体的“1”来判断接近学生的生活呢？还是用手写体的“1”来判断更容易让学生接受呢？当我们向学生说印刷体的“1”不是对称数字，我们的教学是否走向了机械的教学，我想教学还是多留给学生一些宽松的、想象的空间比较好。
【思考】新教材已经不安排中心对称图形有关的知识了，教师从师范院校毕业后随着工作时间的增长，课堂教学经验在不断增长，而数学学科知识在不断被遗忘。近年来为了适应新课程改革各校进行了校本培训，校本培训的形式多数是请名师来上几节示范课作几场报告，忽视了广大普通教师在家常课上遇到的困难；注重有组织的交流研讨，忽视了课余教师对某一个问题的交流与争论。实质上教师课间无意识对教学问题的争论，也是校本培训的一种形式，这种形式就在广大教师的身边，我们应该把教师这种无意识的参与变成有意识的参与，并把教师课间争论的问题作为学校每周研讨或教学沙龙的主题，如果能长期进行下去，那么课余争论将会成为教师发展自身数学素养的生长点。
以上对两道判断题的看法只是本人站在成人的角度去思考的，我们是否把两题当成一个研究的资源放到课堂里让学生去交流探讨，因为孩子是成人之师！也许我们会有许多意外的惊喜。 (接上页) 管部门，受到了交管部门的重视。
活动中，同学们切身感受到了数学知识在生活中的应用，这正是本次活动的目的之所在。
新《数学课程标准》把“应用意识”作为义务教育阶段培养学生初步的创新精神和创新能力的一个重要学习内容，教师在教学活动中，一方面要不断从教学内容、教学情境和教育方式等方面进行研究和探讨，努力为学生应用数学知识创造条件和机会；另一方面还应鼓励学生自己主动在现实中寻找这样的机会，并努力实践。
参考文献
［1］ 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》
例1 在“线段、等腰三角形、等边三角形、长方形、圆、中国工商银行的标志”这6个几何图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）.
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
【错解】因为“线段、等边三角形、长方形、圆、中国工商银行的标志”这5个几何图案既是中心对称图形又是轴对称图形，所以选B.
【解析】等边三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形，事实上，将等边三角形绕着它的中心旋转120°、240°后与本身重合，而一个图形绕着某个点旋转180°，旋转前后的图形互相重合才是中心对称图形.因此，只有“线段、长方形、圆、中国工商银行的标志”这4个几何图案符合要求，所以选C.
二、 观察不细
例2 在下面的4个几何体中，它们各自的左视图与主视图一样的有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【错解】4个几何体的左视图与主视图都相同，所以选D.
【解析】A中左视图与主视图是正方形，B中左视图与主视图是等腰梯形，C中左视图与主视图是正方形，D中左视图与主视图虽是等腰三角形，但这它们的底不相等，所以它的左视图与主视图不相同.正确答案选C.
三、 忽视隐含
例3 已知α为锐角，且2cos2α+7sinα-5=0，求sinα的值.
四、审题不清
例4 如图，在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.在如图所示5×5的方格中，作ABC和OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是_______.
学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 —— 一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。
本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，
“22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。
(1)在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如 的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如 的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
(2)在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程 的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。
(3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。
“22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
第23章 旋转
学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。
“23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。
“23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。
“23.3课题学习 图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系(平移、轴对称、旋转及其组合)，灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。
第24章 圆
圆是一种常见的图形。在“圆”这一章，学生将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。
“24.1圆”一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论，并运用这些结论解决问题。接下来，让学生探究弧、弦、圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。
“24.2与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念，并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。
“24.3正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系，介绍了等分圆周得到正多边形的方法。
“24.4弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公式。
第25 章 概率初步
将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢?学了“概率”一章，学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识，学生还会解决更多的实际问题。
“25.1概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念，然后通过掷币问题引出概率的概念。
“25.2用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。
一、平面直角坐标系内点的变换本质特征及规律
对于平面直角坐标系内点（x，y）的平移只能是沿x轴方向左右平移或沿y轴方向上下平移.
1. 点的平移规律：
当点P（x，y）沿x轴方向左右平移到A时，只能给x带来变化，即A；其中右移h为正，左移h为负；
当点P（x，y）沿y轴方向上下平移到B时，只能给y带来变化，即B（x，y+k）；其中上移k为正，下移k为负.
点的对称规律：
当点P（x，y）关于x轴对称到点A时，只能给y带来变化，变为y的相反数，即A（x，-y）；
当点P（x，y）关于y轴对称到点B时，只能给x带来变化，变为x的相反数，即B（-x，y）；
当点P （x，y）关于原点中心对称到点C时，能给x、y都带来变化，都变为x、y的相反数，即C （-x，-y）.
以上变换规律不但适用于点的变换，而且对于一次函数、反比例函数及二次函数图像的变换均成立与适用.
2.函数图像的平移规律：
当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿x轴方向左右平移时，只能给自变量x带来变化，即y=k（x-h）+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=a（x-h）2+b（x-h）+c（a≠0）；其中右移h为正，左移h为负；
当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿y轴方向上下平移时，只能给函数y带来变化，即y=kx+b+m（k≠0）、y=+m（k≠0）、y=ax2+bx+c+m（a≠0），其中上移m为正，下移m为负.
函数图像的对称规律：
当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于x轴对称时，函数y变为y的相反数，即y=-kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2-bx-c（a≠0）；
当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称时，自变量变为x的相反数，即y=-kx+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=ax2-bx+c（a≠0）；
当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于原点中心对称到点C时，能给x、y都带来变化，都变为x、y的相反数，即y=kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2+bx-c（a≠0）.
二、平面直角坐标系内点、函数图像的变换技巧与拓展应用
例1：阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图像所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图像为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图像为直线l2，若k1=k2，且b1≠ b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行.
解答下面的问题：
（1）求过点P（1，4）且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图像；
（2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行且交x轴于点C，求出ABC的面积S关于t的函数表达式.
思路点拨：在（1）中，要求出与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，关键在于弄清直线的平移情况.因已知直线平移后经过点P（1，4），不防设一个点M（1，a），通过代入求出a的值，进而确定出平移的方向和单位长；在（2）中，因直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行，可知k=-2，进而用有关t的代数式表示出C点的坐标，此时要分类讨论点C的位置，要分两种情况借助面积公式求解出有关面积S关于t的函数表达式.
解析：（1）点M（1，a）是已知直线y=-2x-1上的一点，将x=1代入已知直线得a=-2×1-1=-3，则M（1，-3）平移到P（1，4），是沿y轴向上平移7个单位，即y=-2x-1+7，化简得直线l的函数解析式为y=-2x+6；
（2） 直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，点A、B的坐标分别为（0，6）、（3，0）.
l∥m，直线m为y=-2x+t.C点的坐标为（，0）.
t＞0，＞0 .
C点在x轴的正半轴上.
当C点在B点的左侧时，S=×（3-）×6=9-；
当C点在B点的右侧时，S=×（-3）×6=-9 .
ABC的面积S关于t的函数表达式为：
S=9-（0＜t＜6），-9（t＞6）.
评注：平移法则是：当函数的图像向上或向下平移时，原函数的函数值y变为y+k，其中上移k为正数，下移k为负数，而自变量不变.
例2：如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
思路点拨：在（1）中，使AQ+QB最短，必须满足两点之间线段最短，即作出B关于x轴对称点P的坐标，进而可知线段AP的距离最短，再求出直线AP与x轴的交点从而得到Q点的坐标；在（2）中，抛物线在平移过程中A、B两点的位置、数量大小关系并没有改变，改变的仅是它们的坐标，要使距离仍然最短，只是将点Q向左平移到点C，从而得到抛物线左移的距离，运用平移规律求解抛物线的解析式，使四边形A′B′CD的周长最短，要进行分类考虑左移与右移.
解析：（1） 将点A（-4，8）的坐标代入y=ax2，解得，将点B（2，n）的坐标代入，求得点B的坐标为（2，2），则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，-2）．
直线AP的解析式是y=-x+，令y=0，得x=．即所求点Q的坐标是（，0）.
（2）①抛物线上A、B两点的位置已确定，要使A′C+CB′ 最短，也就是让点Q沿x轴向左平移到点C，其中CQ=|-2-|=，即将抛物线y=x2向左平移个单位时，A′C+CB′最短.
此时抛物线的函数解析式为y=[x-（-）]2，即y=・（x+）2．
②左右平移抛物线y=x2，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短.
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′＞AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．
第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）.因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′（-b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（-4-b，-8），直线A′′B′′的解析式为y=x+・b+2，要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D（-4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得b=．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为y=[x-（-）]2，即y=（x+）2.
评注：平移法则是：当函数的图像向左或向右平移时，原函数函数解析式中的自变量x变为x-h，其中右移h为正数，左移h为负数，而函数值不变.
例3：如下页图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1）：
a.若将抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线的解析式；
b.抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4. 抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
思路点拨：将点B（1，0）代入C1的解析式能快速地求出a的值；在（2）中，抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，则说明变量x、y都变为相反数；当点P、M关于点B成中心对称时，要求出C3的解析式关键是求出顶点M点的坐标，而B点坐标为（1，0），利用对称性及通过添加适当的辅助线、全等知识等可得顶点M（4，5），且抛物线C3开口向下，运用顶点式便可求出C3的解析式；在（3）中，抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4 .其实就是P，N关于点Q成中心对称，根据对称性可设字母m表示出N、E、F等各点的坐标，探究以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，要进行适当的分类考虑：三个角都有为直角的可能，再利用相关的勾股定理等确定其中所设字母m的值，进而求出Q点的坐标.
解析：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得顶点P（-2，-5）.
点B（1，0）在抛物线C1上，0=a（1+2）2-5，解得a= .
（2）a：抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，先自变量x变为y=（-x+2）2-5，函数值y变为y=-（-x+2）2+5；
b：连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G ，点P、M关于点B成中心对称.
PM过点B，且PB=MB，PBH≌MBG，MG=PH=5，BG=BH=3.
顶点M的坐标为（4，5）.
抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到.
抛物线C3的表达式为y=-（x-4）2+5.
（3）抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到顶点N、P关于点Q成中心对称， 由（2）得点N的纵坐标为5.
设点N坐标为（m，5），作PHx轴于H，作NGx轴于G，作PKNG于K，旋转中心Q在x轴上，EF=AB=2BH=6，FG=3.点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5）.
根据勾股定理得PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34 .①当∠PNF=90°时，PN2+ NF2=PF2，解得m=，Q点坐标为（，0）；②当∠PFN=90°时，PF2+ NF2=PN2，解得m=，Q点坐标为（，0）；③PN＞NK=10＞NF，∠NPF≠90°.
