时间：2023-05-30 10:28:25
论文摘要：图形直观是人们理解自然世界和社会现象的绝妙工具，它能给人类带来无穷无尽的直觉源泉，这是逻辑思维所无法替代的。新形势下，数学教育要求“人人学有价值的数学”，故而新课程标准十分重视图形直观能力的培养。
“中心对称和中心对称图形”这节内容，对培养学生的空间想象能力、旋转变换的思想有着非常重要的作用；特别是旋转变换的思想，它不仅符合这个年龄段学生的身心发展的需要,而且对于培养学生的创新意识和实践能力有着举足轻重的作用。学好本节内容，不仅为学生日后学习函数、立体几何打下扎实基础，更能培养学生数学地思考问题的能力，及欣赏美、创造美的能力。
一、教材分析
对于图形的旋转本学期新课标要求：①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所成的角彼此相等的性质（就本节课“中心对称”而言，是认识旋转180°,探索中心对称的性质，理解对称点连线都经过对称中心，且被对称中心平分）；②能按要求作简单平面图形旋转后的图形；③欣赏旋转在现实生活中的应用；④了解平行四边形、圆是中心对称图形；⑤探索图形之间的变换关系；⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
二、教学目标
1.知识目标：使学生通过轴对称的复习，加深对轴对称的认识，对比学习中心对称；探索中心对称的性质，理解关于中心对称的两个图形全等，其对称点连线都经过对称中心，且被对称中心平分；会画与已知图形成中心对称的图形。
2.能力目标：培养学生由已有的认知认识新知，进行知识迁移的学习能力；对比学习的能力，求同辨异能力；自学能力；创新意识；实践能力；旋转变换的数学思想。
3.情感目标：培养学生自信地进行数学的思考，作合理判断；勇于独立去探索、去发现；懂得欣赏美、乐于创造美。
三、教材重点和难点
本节教材的重点是中心对称的概念、性质和判定,作与已知图形中心对称的图形。难点是对中心对称概念的理解。中心对称的概念是本节课两个定理得出的依据，同时是判断中心对称、中心对称作图的基础，所以将理解中心对称概念作为突破教学难点的关键。
四、教学过程
1.（出示投影1）课本71页图15.3.1然后让学生观察，并提问（1）这三种图形有何特征？（2）这三种图形的不同点在哪里？学生讨论、交流。
2.老师进行归纳，并讲解旋转对称与中心对称的异同点。让学生理解什么是对称中心、对称点。能在图上找出对应点。
3.中心对称性质：［出示投影2］引导学生归纳
（1）在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（2）反过来，如果两个图形的所有对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
4.例题讲解：在讲解中让学生边听边动手画，结合性质让学生理解两个中心对称图形成倒立的。
关于教学策略选择的阐述
1.情景创设策略：通过生活中的图片，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，创设宽松活泼的课堂教学气氛，维持学生学习的动机。
2．类比启发策略：在完成教学要求的基础上，通过设置与生活实际紧密联系的问题情境，巩固提高学生运用知识解决生活问题的能力。
3．引导探究策略：学生通过小组合作，探索出中心对称图形的性质，充分发挥学生的主体作用。
课堂教学过程结构设计（本栏为课堂教学设计的重点，应详细阐述并绘出流程图）
五、反思与分析
1.本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力。
2.在课堂教学设计中，尽量为学生提供“做中学”的时空，不放过任何一个发展学生智力的契机，让学生在“做”的过程中，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，完善人格，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。
3.“乐思方有思泉涌”，在课堂教学中，时时注意营造积极的思维状态，关注学生的思维发展过程，创设民主、宽松、和谐的课堂气氛，让学生畅所欲言，这样学生的创造火花才会不断闪现，个性才的以发展。
4.“问题是数学的心脏”，同学们在不断解决问题中，得到了快乐。
参考文献：
［1］朱传旺.教育改革大纲.人民出版社.
【关键词】中心对称与中心对称图形；课程难度；课程广度；课程深度；课程时间；教学指导
【基金项目】2015年度广东省大学生科技创新培育专项资金：基于课程难度定量分析模型下的初中几何课程难度研究（201410578047）
一、背 景
“中心对称与中心对称图形”是初中数学几何课程体系中的重要内容之一，它与轴对称图形的基本概念、性质有着紧密的联系，同时与图形的三种运动之一的“旋转”有着不可分割的联系，在几何中起到了承上启下的作用.本文通过借鉴史宁中等人的课程难度量化分析模型N=αG/T+（1-α）S/T （1），来分析“中心对称与中心对称图形”在《大纲》和《标准》下的难度变化，并进一步探究难度变化对教师教学实践的指导作用.
二、难道量化比较
（一）广度比较
通过对比《标准》和《大纲》中“中心对称与中心对称图形”知识点的变化，我们知道：相比《大纲》，《标准》增加的知识点有：图形的旋转，图形旋转的性质以及图形的平移、轴对称与中心对称的对比.总体看来，《大纲》下“中心对称与中心对称图形”知识点的个数，也即广度G1=3；《标准》下“中心对称与中心对称图形”知识点的个数，也即广度G2=6.
（二）深度比较
总体上，对比《大纲》，《标准》下对该模块内容的深度要求呈上升趋势，例如，在《大纲》中，是直步主题，即直接进入了“中心对称与中心对称图形”的介绍及性质的学习与探究；而《标准》中，则是在了解“中心对称与中心对称图形”之前，先介绍旋转图形及探究旋转图形的性质，再进一步深入理解和掌握“中心对称与中心对称图形”等.通过上述形式对《大纲》和《标准》中每个知识点的逐一分析得出：《大纲》中“中心对称与中心对称图形”模块内容的深度S1=2.00；《标准》中平行四边形模块内容的深度S2=2.17.
（三）时间比较
对此，《大纲》在八年级下册的第三章中给出了“中心对称与中心对称图形”的内容和课时，其中，课时数的安排为4课时，于是T1=4；《标准》下的教科书中“中心对称与中心对称图形”安排了6课时，于是T2=6.
（四）难度比较
基于上述三个方面得出的数据，代入课程难度量化分析模型（1），可以得出：《大纲》和《标准》下中心对称与中心对称图形的课程难度系数分别为N=0.6，N=0.62（其中α=0.6）.显然，在这个模型下，《标准》下中心对称与中心对称图形的课程难度系数比《大纲》下的高出0.02，即该模块内容的课程难度升高了0.02.
三、教学启发
分析以上数据可知，在《大纲》和《标准》的对比分析下，中心对称与中心对称图形的课程广度、课程深度和课程时间均有所变化，从而导致课程难度也随着变化.下面我们将从课程广度、课程深度和课程时间以及其引发的课程难度的变化这四个方面来探究其对教学实践的启发与指导.
（一）课程广度变化对教学实践的指导
基于上述分析我们得知：相比于《大纲》，《标准》下“中心对称与中心对称图形”模块内容增加的知识点有：图形的旋转，图形旋转的性质以及图形的平移、轴对称与中心对称的对比.教科书上也相应地增加了诸如“已知线段AB和点O，按照例题3的作图方法及步骤画出线段AB绕点O逆时针旋转100度后的图形”的课后习题.从该题可知，此题型是关于旋转方面的知识，该知识点的增加，一方面是学生在学习了平移和轴对称的基础上，对发展学生的空间观念的一个渗透，是后续学习中心对称及其图形变化的一个基础，能起到承上启下的作用；另一方面旋转在日常生活中的应用也比较广泛，利用旋转可以帮助我们解决很多实际问题，充分体现了课程“从生活走进教学，从教学走进生活”的教育理念.所以，广大一线教师在教学的过程中，应从实际生活出发，利用身边存在的图形来帮助学生更好地认识“旋转”，并让学生能够学以致用，利用“旋转”来解决生活中的实际问题，并为接下来学习“中心对称与中心对称图形”打下良好的基础.
（二）课程深度变化对教学实践的指导
基于上述对“中心对称与中心对称图形”课程深度的比较分析可知：相比于《大纲》，《标准》增加了关于“旋转”等好几个知识点，使得知识点的涉及面变广，因而学生需要掌握的内容增加，课程深度也就自然升高.
例如，《标准》下的教科书也相应地增加了这样一个习题：已知线段AB和点O，按照例题3的作图方法及步骤画出线段AB绕点O逆时针旋转100度后的图形.该习题要求学生在学习“中心对称”之前，应先理解并掌握关于“旋转”这方面的知识，为接下来“中心对称与中心对称图形”的学习作好铺垫.针对该课程深度的变化，要求广大一线教师应按照新课程标准下的新要求，安排适当的时间对新增加的知识点进行课堂教学，加强学生对基本知识点的理解和掌握，培养学生数形结合的能力及类推的逻辑思维能力，为接下来学习“中心对称与中心对称图形”服务.
（三）课程时间变化对教学实践的指导
基于上述对“中心对称与中心对称图形”课程实施时间的比较分析可知：相比于《大纲》，《标准》下该模块内容的课程实施时间增加了两个课时，虽然课程广度和课程深度都增加了，但教师在课堂教学中仍有足够的时间去讲解分析，所以，广大一线教师在教学过程中不要只因课程广度的增加而快速地给学生灌输新的知识点，相反的，教师应更加注重学生新知识点的理解与掌握，要适当地调整教学速度，给学生足够的时间去消化，去理解，让学生们学会灵活应用所学的知识.
（四）课程难度变化对教学实践的指导
基于上述课程难度的比较分析可知：相比于《大纲》，《标准》下“中心对称与中心对称图形”的课程难度总体系数上升了.接下来我们还是从前面所举的例子出发来进一步说明：已知线段AB和点O，按照例题3的作图方法及步骤画出线段AB绕点O逆时针旋转100度后的图形.该例子表明，“旋转图形”的增加，使得“中心对称与中心对称图形”的课程广度上升，而且新标准下还要求学生在理解好“旋转图形”的基础上，采用逻辑思维能力来学习“中心对称”并理解和掌握“中心对称图形”的相关性质，可见，课程深度也上升了，再加上课程时间也增加的基础上，课程难度也就自然随着上升，而且从上述对比分析所显示的数据进一步探究表明，主要是课程广度的增加导致了课程总体难度的升高.
因此，针对新课程标准下的教学要求，广大一线教师，尤其是一些上了年纪的教师，在教学的过程中应有所调整，适当降低教学速度，课堂上不要一味按照自己的老套路用一些难题、怪题来讲解额外的知识点，以增加学生们的学习负担，相反的，教师应更多地注重基本知识点的理解和掌握，落实基础的课程目标，并与实际生活相联系，利用身边存在的事物让学生更好地理解和掌握“中心对称与中心对称图形”并学以致用，解决日常生活中的实际问题，让课程“从生活走进教学，从教学走进生活”的教育理念得到全面的诠释.
判断两个图形成中心对称的方法有两个：
1、在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
2、如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点中心对称。
（来源：文章屋网 ）
【关键词】高中数学 高考数学 常见函数 特殊函数 对称性
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0139-02
众所周知，在高中数学的学习中，函数是重难点，且高考试题中有关函数性质的试题所占比重很大。学生在根据课本学习了函数的定义、周期性、奇偶性及单调性后，能利用函数图像解决问题，同时也能根据图像直观地对具有特殊性质的函数进行认知，然而要提高学生综合运用知识和解决难题的能力，还需对函数的对称性进行总结归纳。本文重点介绍对称性的概念、常见函数的对称性和抽象函数的对称性这三个方面。
一 函数的对称性
函数的对称性分为中心对称和轴对称。第一，中心对称。将一个函数图像绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图像与原图像完全重合，则该函数图像具有中心对称的性质，其中该点称为该函数的对称中心。一个函数图像可以有多个对称中心。第二，轴对称。将一个函数图像沿一条直线对折后，如果直线两侧的函数图像完全重合，则该函数图像具有轴对称的性质，其中该直线为该函数的对称轴。一个函数图像可以有多条对称轴。
二 常见函数的对称性
第一，常数函数。y=c（c∈R）。既是轴对称又是中心对称，与该直线垂直的直线均为其对称轴，直线上所有点均为其对称中心。
第二，一次函数。y=kx+b（k为一次项系数≠0，k≠0，b为常数）。既是中心对称又是轴对称，对称中心为原点，对称轴为与该直线相垂直的直线。
第三，反比例函数。y=k/x（k∈R且k≠0）。既是轴对称又是中心对称，对称轴为y=x与y=-x，对称中心为原点。
第四，二次函数。y=ax2+bx+c（a≠0）。是轴对称，
不是中心对称，对称轴为x= 。
第五，指数函数。y=ax（a>0且a≠1）（x∈R）。既不是中心对称也不是轴对称。
第六，对数函数。y=logax（a>0，且a≠1）。既不是中心对称也不是轴对称。
第七，幂函数。y=xa（a为常数）。幂函数中非奇非偶函数不具有对称性；幂函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点；幂函数中的偶函数为轴对称，对称轴为x=0。
第八，正弦函数。y=a sin（ωx+φ）（ω≠0）。既是中
心对称又是轴对称，对称中心为（ ），对称轴为方程
ωx+φ=kπ+ 的解。
第九，正切函数。y=tanx。是中心对称，不是轴对称，
对称中心为（ ，0）。
第十，三次函数。三次函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点，其他三次函数的对称性通过求导得极值点进行作图判断。
以上就是对常见函数的对称性总结归纳，要理解掌握，不能死记硬背，这就需要学生结合实际的习题及函数图像，自己体会，理解记忆，活学活用，在实践中体会以上常见函数的对称性特点，真正做到举一反三，思维发散。
三 抽象函数的对称性
常见函数的对称性容易理解掌握，抽象函数种类众多，但万变不离其宗，以下是对抽象函数对称性质的总结归纳，并结合例题介绍抽象函数的对称性。
性质一：若函数y=f（x）的图像关于直线x=a轴对称，则其充要条件为f（a+x）=f（a-x），也即是f（x）=f（2a-x）。由此条性质易得函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）。
例1：函数f（x）满足f（x）=f（3-x），则该函数满足轴对称，对称轴为x=1.5。
性质二：若函数y=f（x）的图像关于点（a，b）中心对称，则其充要条件为f（x）+f（2a-x）=2b，即f（a+x）+f（a-x）=2b。
例2：函数f（x）满足f（5+x）+f（1-x）=4，则该函数呈中心对称，对称中心为（3，2）。
性质三：（1）若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b（a≠b）成轴对称，则y=f（x）是周期函数，其一个周期为2a-b。（2）若函数y=f（x）图像同时关于点（a，c）和点（b，c）（其中a≠b）中心对称，则y=f（x）是周期函数，其一个周期为2a-b。（3）若函数y=f（x）图像既关于点（a，c）中心对称又关于直线x=b轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，其一个周期为4a-b。
例3：函数f（x）的一个对称中心为（1，1），一条对称轴为x=2，则其一个周期为2。
以上的性质是函数图像的自对称性质，有了以上的基本性质做铺垫，我们可以导出两个函数之间存在的对称性。下面介绍函数的互对称。
性质四：函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点（a，b）成中心对称。
性质五：函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。
性质六：函数y=f（x）与x-a=f（a+y）的图像关于直线x-y=a成轴对称。
关键词：对称；数学性质；数学教学
一、数学的对称性质在实际生活中的广泛运用
1.广告商标
中心对称应用于广告商标的设计制作，往往能以简单的色彩、线条，勾画出生动、富于创意和内涵的作品。
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2.日常生活的的对称
在日常生活中，也不难发现中心对称的影子。
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3.对称在古代建筑中留下的痕迹
我们都知道世界建筑史上的奇迹――金字塔，它和我国的万里长城一样，名扬全球。金字塔的塔基是正方形，越往上越狭窄，直到塔顶。从四面来看，很像我国的“金”字，因此我们把它叫做金字塔。金字塔的外观也是对称的。
4.名画中也蕴藏着数学几何对称的思想
达芬奇的画作《岩间圣母》中群像以圣母的头部为顶点，形成的等腰三角形，如金字塔般稳定而和谐。与其他作品一样，《最后的晚餐》以几何图形为基础设计画面，体现出数学的对称美，有人评价这幅画是科学与艺术成了婚，而哲学又在这种完美的结合上留下了亲吻。
二、数学中几何图形的对称性质
在几何形体中，最典型的就是轴对称图形。像圆、正方形、长方形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形等都是轴对称图形。互为反函数间的图象也体现着对称关系。圆、椭圆、双曲线等优美的对称关系表现得也非常突出。
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆对于圆心是对称的、对于直径是对称的；正方形对于其中心是对称的；球形则最为特殊，它既是点对称、又是线对称、也是面对称的图形。古代毕达哥拉斯认为，“一切立体图形中最为完美的是球形；一切平面图形中，最为完美的是圆形”。等腰三角形的高线两侧，是完全一样的；过平行四边形对角线交点的任意一条直线，把平行四边形分成的两部分，是全等的。这些对称的两方面，是严格的各占50%。
数学中的对称概念不仅限于图形的对称，对于数形结合的结晶――平面直角坐标系而言，其间也时时闪动着对称的身影。把数对（3，4）与（3，-4）称为平面上关于x轴对称；把数对（3，4）与（-3，4）称为平面上关于y轴对称；把数对（3，4）与（-3，-4）称为平面上关于坐标原点对称。
三、数学中的对称美
对称美就是整体与各部分间的相称、平衡或相适应。在数学中存在着丰富多彩的对称美的特征。
1.数学概念中的对称美
数学概念是一分为二地成对出现的：整-分，奇-偶，和-差，曲-直，方-圆，分解-组合，平行-交叉，正比例-反比例……它们稳定、和谐、协调、平衡，真是奇妙动人。合数与质数、约分与倍数、乘与除、加与减、乘方与开方等都有一种很强的对称美感。
数学概念中的对称美还表现在一些书表和计算中。其中循环小数计算结果中出现数字周期性的排列是最常见的例证。如1÷3=0.333，68÷333=0.204204204等。数学中不少概念与运算都是由于人们对于“对称”问题的探讨派生出来，数学的对称美反映的是自然界的和谐。
2.代数中的对称美
代数中有成对对称、互补对称、轮换对称、关系对称。在运算中有互补对称、公式的对称、等量关系的对称等。它们都赋予了数学平衡、协调的对称美。
3.几何图形中的对称美
关键词： 地理思维能力； 地理对称性问题
中图分类号： G632 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2012）07-0119-01
近几年地球及地球的运动一直是高考文综地理试题中的热点，突出以图表为载体来考查判读、分析与运用的地理思维能力成为地理高考的主旋律，而掌握涉及这部分考点知识中的一些地理对称性问题，对判读、分析与运用的地理思维能力有着很大的帮助，整理分析地理对称性问题主要有以下这些方面：
1.对跖点：对跖点是以地球球心对称的点。对跖点的纬度数相等，但所在南北半球相反，其经度（互补）之和为180°，它们位于同一经线圈上。如：30°N，120°E的对跖点是30°S，60°E。
2.同一半球以地轴为中心的对称点，纬度数相等，经度（互补）之和为180°，也即两条经线是正相对的经线，它们位于同一经线圈上。如：30°N，120°E关于地轴的对称点是30°N，60°W。
3.以本初子午线（0°经线）或180°经线的对称。东西经度数以本初子午线或180°经线为对称，只不过离本初子午线愈远经度数愈大；离180°经线愈远经度数愈小。
4.时区数以零时区或180°经线（日界线）为对称。区别在于零时区以东是东经度，以西为西时区；可是日界线东侧为西时区，西侧为东时区。
5.经线圈的长度以赤道为中心南北半球对称。纬度越高纬线圈的长度越小，反之越大；纬度相等的纬线圈长度相等。
6.纬度相同的纬线圈上线速度相等，以赤道为中心南北对称。纬度越低的地方线速度越大，反之越小，这就是为什么航天发射基地要选择在低纬度的原因。
7.以赤道为中心，各纬度的地转偏向力大小南北对称。地转偏向力F=2ωvsinφ（ω表示角速度，v表示线速度，φ是当地的地理纬度），纬度越高地转偏向力越大（极点为零，赤道上没有地转偏向力）。地转偏向力北半球向右偏，南半球向左偏。
8.到达大气上界的太阳辐射量的分布以赤道为中心南北对称。并由低纬度到高纬度逐渐减小，当然，由低纬度到高纬度的地区每年每平方米获得的生物干物质量也随之减小。
9.太阳高度角的空间对称问题：距太阳直射点一样远的地方，太阳高度角一致，距太阳直射点越远太阳高度角越小；离太阳直射点所在经线相差纬度相同的两条经线上的正午太阳高度角相同，也就是以太阳直射点所在纬线为对称，往南北逐渐减小。
10.地球上的温度带是以赤道为中心南北对称。
11.太阳高度角的时间对称问题：一地一年内的正午太阳高度角以冬至日、夏至日为中心对称。北回归线以北和南回归线以南的地区，如兰州理论上夏至日前后一个月的正午太阳高度角相同，只不过是离夏至日越远正午太阳高度角越小，春秋分日一样，冬至日正午太阳高度角最小。南北回归线之间的地区随也以冬夏至日为对称，但正午太阳高度角的数值变化有别于其它地区。
12.点经线上从太阳直射点开始正午太阳高度角往南北逐渐减小，也就是说以太阳直射点为中心对称。
13.昼夜长短的对称性问题：
同一日昼（夜）、夜（昼）相同的两地，地理纬度相同，也就是说以赤道为中心对称。
某地一年之中昼、夜的长短，是以夏至日或者冬至日为中心对称。北半球离夏至日越近昼越长，夜越短；离冬至日越近昼越短，夜越长。
14.一天中物体的影子长度变化是以当地正午为对称的。距中午越近物体的影子越短，正午时物体的影子最短，物体影子的方向也是以当地正午为中心对称的；我国古代的日晷就是根据上述原理制成的。
15.晨昏线与地轴的夹角以春、秋分日为中心对称。春、秋分时的夹角是0°，离春、秋分越远夹角越大，最大是23.5°。一日内太阳的视运动轨迹是以当地的天子午线为中心对称的。只不过北半球太阳的视运动轨迹主要在南方天空，南半球太阳的视运动轨迹主要在北方天空。
15.另外，理想状态下，全球三圈环流以赤道为中心南北对称，自然，全球气压带、风带也是以赤道为中心南北对称的。
例：图1四条曲线分别示意四地3月21日到6月30日的日出时间。读图1，回答3～5题。
8月23日，②地的昼长约为（ C ）
A.24小时 B.22小时 C.20小时 D.18小时
关键词：对称美；中学数学；几何
一、数学中的对称美
从古希腊起，对称美就是数学美的基本形式之一，对称性是和谐性的一种特殊的表现.对称似乎是世间万事万物的一种表现形式或现象，对称是广义的，它包括公式的对称、结构的对称、图形的对称、解法的对称等形式和内容上的对称，周期、旋律和节奏等时间上的对称，还有与时空坐标没有关系的更为复杂的对称.数学中对称美的表现形式有以下几种：
1.图形对称：如，线段、边数为偶数的正多边形、圆锥曲线、正棱柱（锥、台）；
2.数学命题对称：如，逆命题与否命题、真命题与假命题、对偶命题等等；
3.数学概念对称：如，积分与微分、乘与除、指数与对数、乘方与开方、交集与并集等等；
4.数学形式对称：如，正弦定理、余弦定理、三角函数的诱导公式等等；
5.数学方法对称：如，坐标与代数、分析与综合、归纳与演绎等等.
二、对称在中学数学几何中的应用
1.对称性在几何公式中的应用
很多数学公式中都表现出对称性，如，海伦公式S=，其中S= ；正弦定理.数学公式中很多字母地位是平等的，表现出一定的对称性，如，（a+b）2=a2+2ab+b2，在这里字母互相交换位置后公式依然是成立的.
2.对称在几何图形中的应用
几何图形的对称性是对数学对称思想的最直观、易懂的解释.在几何中，对称大致可以分为点对称、中心对称、轴对称、面对称几类，其中中心对称的图形有平行四边形、正方形；轴对称图形有等腰三角形；而圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它是关于圆心、直径对称的图形；球则最为特殊，它既是中心对称，又是轴对称，也是面对称图形.又如，《解析几何》中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面、抛物面等这些图形都有明显的对称性，给人以美的享受.正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图形、巧夺天工的建筑，才能给我们带来赏心悦目的自然美、和谐的生活美.
3.解决平面几何问题
平面解析几何是通过一种代数的方法来研究点与点、点与线、线与线之间的关系.
（1）点关于点的对称问题（利用中点坐标）
①点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（-x，-y）；
②点（x，y）关于点（c，d）的对称点为（2c-x，2d-y）；
例1.已知点A（5，8），B（4，7），试求A点关于B点的对称点C的坐标.
【略解】C（3，6）.
（2）直线关于点的对称问题
①直线Ax+By+C=0关于点（a，b）的对称直线为A（2a-x）+B（2b-y）+C=0；
②直线Ax+By+C=0关于原点（0，0）的对称直线为A（-x）+B（-y）+C=0.（这是一种特殊情况，可以简便地得出答案）
例2.求直线3x-y-4=0关于点P（2，-1）对称的直线l的方程.
【略解】3×（2×2-x）-[2×（-1）-y]-4=0整理得3x-y+10=0.
（3）点关于直线的对称问题
①点A（a，b）关于x轴的对称点为A（a，-b）；
②点A（a，b）关于y轴的对称点为A（-a，b）；
③点A（a，b）关于直线y=x的对称点为A（b，a）；
④点A（a，b）关于直线y=-x的对称点为A（-b，-a）；
⑤点A（a，b）关于直线x=m的对称点为A（2m-a，b）；
⑥点A（a，b）关于直线y=n的对称点为A（a，2n-b）；
⑦点A（a，b）关于直线Ax+By+C=0的对称点为A的求法：
例3.求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称点.
所以，对称点坐标为（1，4）
（4）直线关于直线的对称直线关系
①直线Ax+By+C=0关于x轴的对称直线为直线Ax+B（-y）+C=0；
②直线Ax+By+C=0关于y轴的对称直线为直线A（-x）+By+C=0；
③直线Ax+By+C=0关于直线y=-x的对称直线为直A（-y）+B（-x）+C=0；
④直线Ax+By+C=0关于直线y=x的对称直线为直线Ax+By+C=0；
⑤直线Ax+By+C=0关于直线x+y+a=0的对称直线为A（-y-a）+B（-x-a）+C=0；
⑥直线Ax+By+C=0关于直线x-y+a=0的对称直线为A（y-a）+B（x+a）+C=0；
⑦直线l0关于直线l的对称直线l1的一般求法：
a.先求出l0与l的交点P，则该交点在直线l1上；
b.再用“到角公式”（其中k0，k，k1分别是l0，l，l1的斜率），求出k的值.
例4.已知直线l∶x-y-1=0，l1∶2x-y-2=0.若直线l0与l1关于直线l对称，则l0的方程是（ ）
A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0
C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0
【解1】l0的方程式2（y+1）-（x-1）-2=0，选B.
【解2】①交点坐标P（1，0）；②
（5）曲线关于点的对称曲线的求法
曲线C∶f（x，y）=0关于点P（a，b）的对称曲线C0的方程为：f（2a-x，2b-y）.特别的，f（x，y）=0关于原点对称曲线方程为f（-x，-y）=0.
例5.若圆C与圆（x+2）2+（y-1）2=1关于原点对称，则圆C的方程是（ ）
A.（x-2）2+（y+1）2=1 B.（x-2）2+（y-1）2=1
C.（x+2）2+（y+1）2=1 D.（x+2）2+（y-1）2=1
【略解】曲线C的方程为（x-2）2+（y+1）2=1，选A.
（6）曲线关于直线的对称曲线的求法
曲线P（x，y）=0关于直线x+y+c=0的对称曲线为F（-y-c，-x-c）=0；曲线F（x，y）=0关于直线x-y+c=0的对称曲线为F（y-c，x+c）=0.
特别地，曲线F（x，y）=0关于
①x轴和y轴对称的曲线方程分别是F（x，-y）=0和F（-x，y）=0；
②关于直线x=a和y=b对称的曲线方程分别是F（2a-x，y）=0和F（x，2b-y）=0；
③关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F（y，x）=0和F（-y，-x）=0.
例6.求曲线F（x，-y）=0关于直线x-y-2=0对称的曲线的方程.
【略解】F[y-（-2），x+（-2）]=0，所以，所求曲线为F（y+2，x-2）=0.
当然，对称在代数中也是很常见的.
对称美是数学美的显著特征之一，而数学美在中学数学教材中是非常常见的，它在数学教材中是按知识体系展开的，所以作为一名教师，我们需要有目的、有意识地把它挖掘、整理出来，教师应将学生作为学习主体，对多种多样的对称美进行分析，引导学生学会欣赏对称美、利用对称美，这对培养学生的综合素质大有裨益，正如毕林斯雷所言“许多艺术能够美化人们的心灵，但却没有哪一种艺术能比数学更有效地去美化和修饰人们的心灵”.
参考文献：
[1]刘盛利.中学数学对称思想研究[D].内蒙古师范大学，2007.
[2]李春振.谈中学数学中的数学美[J].中国教师：中小学教育，2009（S2）.
[3]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008.
【关键词】 人称指示语；指示中心；映射
一、引言
指示语，属于语用学范畴。主要研究如何运用语言形式来表示语境特征以及如何依靠语境来分析理解话语。指示语主要分成五类，即人称指示语，地点指示语，时间指示语，社交指示语和语篇指示语。本文主要讨论人称指示，映射现象及其在日常生活中的具体表现形式。
人称指示语的一个普遍特性就是自我中心性。也就是说我们在使用和理解它时必须有一个明确的出发点，以此为中心，确定与之相关的其他对象的位置与关系。在会话中，说话人通常以自己为中心，称听话人为“你”，称其他人为“他”或者“她”。在交际中，说话人总是自动把他或者她的位置认为是指示中心，这样一来“离这里五百米”也就是说离说话人五百米远。
如下面这段选自电影《蜘蛛侠》的对话：
Peter： How are you？ Are you OK about the other night？
Mary： Yea，I’m fine. I just feel bad about leaving Aunt May.
Peter： Have you talked to Harry？
Mary： He called me，I haven’t called him back.
对话中的人称指示语不断随着说话者改变而改变，但是说话人总是对话的中心。当Peter说话时，Mary是唯一的受众。他把Mary称呼为you，Mary称自己为I。Harry是对话中的第三人，因此被Mary称为he。
再例如在金庸先生的著名武侠小说《神雕侠侣》中杨过与金轮法王徒弟霍都对骂的一段。
杨：小畜生骂谁？
霍：骂你！
杨：哦，原来是小畜生在骂我。（众人大笑）
人称指示语通常以发语人为中心，所以当霍都说“骂你”时，大家的理解都是霍都是小畜生，所以都哄然大笑。
然而，人称指示语的中心并不是不变动的，说话人出于某种原因，有时会把指示中心转移到听话人身上，有时甚至转移到会话以外的人和物上。如：
（1） The professor said，“We students should read more books. ”
例句（1） 中第一人称we 的所指并不是指教授本人，而是指学生，也就是说说话人从听话人的角度出发称呼自己，把自己投射到他人身上。这种违反了常规的代词使用现象我们称之为人称指示语的映射现象 ，即将指示中心从自我转到除说话人以外的其他参与者身上。在日常生活中，人们经常会有意无意的违反指示语以自我为中心的常规用法，出现一些指示映射现象，从而产生一些有趣的效果。
二、人称指示映射现象在实际生活中的运用
人称指示语的重要特征是自我中心性，但是在日常生活中，为了达到某种交际目的，说话人自觉或者不自觉地改变了指示中心，打破了常规的人称指示系统。例如：
（2） 阿姨（ = 我） 给宝宝（ = 你） 发朵小红花。
（3） 姐姐妈妈（ = 你） 的故事讲的真好听。
（4） 欢欢（ = 我） 要去游乐场玩。
例句（2—4） 通常发生在孩子与大人之间，因儿童的认知能力有限，对具体名词“宝宝”、“阿姨”、“姐姐”和“欢欢”比对抽象的代词“你”“我”更好懂；同时这些亲切的称呼充满怜爱，其中指示中心都投射在了第二人称身上。
（5） 你们怎么都不相信专家（我）说的话呢？
（6）弟子（ = 我） 明白了。
例句（5—6） 中的发话者用职业名称或身份关系（专家、弟子） 来代替我，强调了说话人的身份，使说话人与听话人之间的关系更明确。
再例如，有的时候we 可以不代表我们而表示你们，you 可以不表示你们或者你，he/ she/ it 可用来指speaker or addresser等。如例（1） 中我们其实指的是你们。而下面的一些例子中，
例句（7—9） 用第二和第三人称指“我”。
（7）你（ = 我） 才别指望关键时候他能顶事儿呢。
（8）——你真不该揽上这事儿？——可是你（ = 我）
不这么做，别人也会这么做啊！
（9） Hello ，this （ = I） is Tom speaking.
例句（7） （8） 中发话者使用第二人称“你”指示第一人称“我”，将指示中心转移到了听话者身上，这样一来听话者能够身临其境；例句（9）用this其实指的是“我”，我把指示中心投射到了电话上，适合电话交谈。
（10）——你怎么当时不说啊？
——人家（=我）不好意思啊！
（11）这里工作环境不错，就是个别人（=你）老与我为敌！
在这两个例子里，第三人称或者“个别人”和“人家”这种泛指人称被用来具体指某个人，这是为了在谈话涉及不愉快的事时，可帮助缓解气氛，从而达到委婉的目的。
三、结语
语言结构中的语言和语境是通过指示语紧密联系在一起的。自我中心性是人称指示语最普遍的特性。而在实际生活中，由于种种原因，说话人总是有意或者无意的将指示中心转移到听话人或者第三方的身上，这样就形成了指示语的映射现象，这种现象有时非但不会被听话人误解还能对交际起到积极地推动作用。至于为何会出现这种现象以及其有什么语用价值还需要我们进行更为深入的探索和研究。
【参考文献】
[1] 陈治安，彭宣维. 人称指示语研究[J ].外国语，1994（3） .
[2] 游晓琼.从认知语用角度看会话中人称指示语的映射现象[J]. 南昌高专学报，2006（1）.
[3] 何自然，冉永平. 语用学概论（修订本） [M] . 湖南：湖南教育出版社，2002.
[4] Levinson ，S. C. Pragmatics [M] . 北京：外语教学与研究出版社，2001.
关键词：京剧脸谱；净角；视觉；配色；构图
0 引言
京剧作为我国的国粹具有悠久的历史文化，京剧脸谱作为中国的国粹艺术，在世界上是独树一帜的。京剧脸谱图式在色彩的表现上，极其重视用色的对比和灵活性，在构图上追求对称的平衡之美，夸张的表情，浮夸的颜色，从内心和容貌上体现着人物的特点与性格。净角脸谱烩式复杂，多种颜色的脸谱样式不重，京剧是一门综合艺术，她重视用色彩来营造气氛、塑造人物。鲜艳夺目的戏衣、神奇怪诞的脸谱，富有独立的欣赏价值，是享誉中外的艺术瑰宝。研究其脸谱的颜色与构图形式，对我国传统艺术的认识将会进一步，从视觉的角度去分析，对以后对于传统的继承有很大的帮助。
1 京剧净角脸谱
京剧中的净角脸谱比较复杂，它由传统的整脸变化而来，京剧那迷人的脸谱在中国戏剧无数脸部化妆中占有特殊的地位。京剧脸谱以“象征性”和“夸张性”著称。它通过运用夸张和变形的图形来展示角色的性格特征。眼睛，额头和两颊通常被画成蝙蝠，蝴蝶或燕子的翅膀状，再加上夸张的嘴和鼻子，制造出所需的脸部效果，净角是京剧表演主要行当之一，俗称花脸。净角脸谱变化多样，夸张的表情，丰富的色彩留给观众深刻的印象。
2 京剧净角脸谱色彩分析
京剧净角脸谱中常见的主色有红色、绿色、蓝色、黄色、紫色、白色、黑色等，还有多种颜色混合在一起的杂色，用色上基本以人物的性格特点为主色，脸谱以红、黑、白三色为主的传统，是从生活出发，又吸收章回小说中的人物描写而来的。小说所描写的人物也是根据生活中的人物形象适当的夸张而来，例如“红脸大汉”、“面色重枣”、“面如生铁”、“满面煞白”、“面无血色”等，根据人物形象的特点，加上内心的想法最后形成整体的脸谱样式。[1]
整体的京剧净角脸谱用色有以下特点：
第一，脸谱的主体颜色由人物性格决定，如关羽在华容道中的脸谱，关羽：即关云长，又称关公，“勇冠三军，忠义无双”，在《三国演义》中，他与刘备、张飞是结义兄弟。关羽是三国时代忠勇的代表，他一生忠于刘备；为报曹操的知遇之恩，关羽曾在华容道上放曹操一马。关羽是正面角色，所以画红整脸，表示他的忠勇，“红脸忠勇”的说法即由关羽脸谱而来。此外，关羽的脸谱勾画丹凤眼，双眼俊秀，有儒将风度。如庞统脸谱：庞统，三国人物，刘备的谋士，有才但貌丑，为庞统画紫色脸谱是为了表明他相貌丑陋。总体来说不同的颜色代表着不同的人物性格，红色象征忠勇正义，黑色脸谱象征着直率鲁莽的，白色象征阴险多疑狡诈，紫色象征着刚正干练，黄色象征着枭勇凶暴，蓝色象征着刚强猛烈，粉红色香泽着忠勇暮年的性格特征，灰蓝色想着这枭暴暮年，神仙之类多用金色银色。第二，黑色多用于勾画人物的五官与表情，无论哪种颜色的脸谱都会用到黑色，五官的突出，表情的到位都要用黑色来描绘，这个与人物本身的形象有关，脸谱的作用就是为了突出角色的特点，黑色的描绘五官，是为了表情更加突出与形象。第三，色彩的运用，用色浓重，对比鲜明。冷色与暖色的对比突出骨骼与表情，如《锁五龙》单雄信，蓝色红色黄色黑色的对比，整体的色彩浓重，对比鲜明，把它的颜色分裂隔开，《九里山》英布选择黄色红色黑色的运用，白色突出表情的勾画边，整体对比鲜明，颜色浓重艳丽。[1]
3 京剧净角脸谱构图分析
京剧净角脸谱谱式很多，在传统上可以分为正脸，三块瓦脸，元宝脸，花脸，蝴蝶脸，歪脸等谱式。从整体看京剧净角脸谱大多数以对称为主式的构图，这与我们人脸的构成方式是一样的，整体都会以中心对称，在研究过程中，按照中心对称的关系，将净角脸谱的构图方式分为：对称式构图，对称均衡式构图，X型式构图，T型式构图，不对称构图，在净角脸谱中在笔者的记录对比中，对称均衡式构图所占比例最多。
对称式构图，左右中心对称，脸谱样式花纹左右中心对称，如傅龙《状元媒》中，五官的对称以左右中心对称。
对称均衡式构图，对称均衡式构图是在对称构图的基础之上，总体来说对称均衡式构图比对称式构图花纹更繁多，整体感觉更加繁复。整体的突出中心更加均衡，如韩昌《杨排风》中，整体还是中心左右对称，但是在眉毛处，脸部花纹更加突出，把视点更加均衡化。额头的纹路，俩脸颊处的纹路，夸张的嘴部把视点更加均衡化。
X型构图是整体构图在整体脸谱中，额头的图形或者鼻梁的图形不是以左右中心对称的，而脸谱的其他部分仍然是左右中心对称的，整体部分可以按照X型来划分，如凌统《百骑劫魏营》这个脸谱中，额头的绿色云纹图案并不是中心对称，整体可以呈现出X型的样式。
T型式构图，也是在对称的基础上继续划分而出的，在整张脸部上部额头上的图案所占面积较大，上部图案并不是对称的，而眼睛以下的部分呈现出对称的方式，按照t型将脸谱的整体构图分为三部分，将图案分为上部下部，下部中心对称，整体是T字型的，视觉的中心也在顶部。
不对称式构图，这类脸谱是不对称的构图，无论赏析还是左右都不是对称的。整体来看，所有的脸谱都是按照对称的构图来进行演变的，在遵循人脸的对称规律之后再进行变化，一步一步，由繁到简的变化，根据不同的人物特点添加不同的图案。通过图案颜色的构图比例突出整体的视觉感受。
4 结语
京剧净角脸谱，第一，整体从颜色来看，不同的颜色代表着不同的性格特点，遵循着我国传统的颜色特点，以红黑白为主，脸谱除运用颜色的寓意性，象征性外，还利用了颜色的对比，冷暖的对比，突出人物的表情，与面部骨骼。五官为了突出以黑色为主，线与线的勾画都是为了突出在舞台上的整体感觉，只有脸谱的妆容与人物形象的吻合才会拉近观众与角色之前的距离。第二，从构图来看，京剧净角脸谱的构图都是在左右中心对称的基础上进行变化，五官上纹饰的突出，从而突出无感，在额头上部放入相关的图案，从而增加人物形象性格的突出，使整个角色的形象通过一张脸谱表现出来。
通过对于京剧净角脸谱的研究，可以发现整个传统艺术的真善美，功能与美的结合，一个脸谱就是为了突出角色的性格，内心特点，拉近观众与戏剧内容的距离，使观众对于整个戏剧的了解更加深入。
参考文献：
[1] 黄殿祺.中国戏曲脸谱[M].北京工艺美术出版社，2013.
[2] 白寒枝.京剧脸谱视觉符号系统研究[D].昆明理工大学，2009.
[3] 谭征.京剧服装与脸谱的色彩研究[D].北京服装学院，2008.
[4] 何晓露.京剧脸谱对现代平面设计造成的影响[J].戏剧文学，2013.
关键词：数学；初中；平面几何
一、旋转变换
旋转变换是平面到它自身的变换，使原点O变换到它自身，其他任何点X变到X′，使得：（1）OX′=OX；（2）∠XOX′=θ（定角），则称这样的变换为旋转变换，O称为旋转中心，旋转变换后保持图形不变，但图形方位可能有变化（与旋转角度有关）。学习旋转变换过程中，可以先从中心对称变换入手学习，中心对称变换是旋转变换的特例，可以更直观地让学生理解旋转变换的概念，但是中心对称变换又不同于轴对称变换：中心对称的对称中心是一点，而轴对称的对称中心是一条直线，一个实现图形的旋转，一个实现图形的翻转，但是两者的共同点是图形都不变。在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形。例如，ABC通过中心对称变换，在同一平面上得到完全相同的A′B′C′，只不过图形发生了旋转，角度是180°，方向有所改变。通过中心对称变换，我们也可以设定一个角度，让学生通过自己的理解与操作来完成旋转变换图形。
二、翻折变换
翻折变换是平面到自身的变换，若存在一条直线l，使对于平面上的每一点P及其对应点P′，其连线PP′都被定直线l垂直平分，则称这种变换为翻折变换，定直线l称为对称轴。翻折变换有如下性质：
（1）把图形变为与之全等的图形。
（2）关于l对称的两点连线被l垂直平分。
例如：ABC通过轴称变换，在同一平面上得到完全相同的A′B′C′，只不过图形发生了翻转，得到的直线AA′，BB′，CC′被对称轴垂直平分。
为了让学生更直观地理解旋转变换和翻转变换的异同，可以针对同一个三角形在坐标轴中以y轴做翻转变换，以中心点O做旋转变换，通过在一个平面中进行比较分析，更能让学生理解两者的概念。进而通过将三角形换成其他不规则图形，学生也知道该怎么变换而不能混淆两者的概念。如果证题过程中使用翻转变换，既可保留原有图形的性质，又使原来分散条件相对集中，有利于问题的解决，并培养学生的数学发散思维。
通过下面两个案例题对平面图形变换进行分析：
【“轴对称变换”教学片段】X、Y分别为ABC的AB边和AC边上的两个定点，在BC边上，求作一点Z，使XYZ的周长最短。上述问题我们可以用“轴对称”来解析，能让学生更直观地感受到变换的存在，是解决问题的方法。
通过上面例题的演变，假设牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到草地吃草，再到河边饮水（草地和河边在营地的两侧），然后回到营地P处，设计出牧马人放牧最短的路线。
这个问题就也可以用“轴对称”来完成，即“点到直线垂直距离最短”，让学生可以在数学学习中切实感受到数学就在我们身边。
对上述问题的解决方案的给出，通过对平面变换的应用，使学生找到适合自己的解题思路，不仅可以训练学生的思维能力，而且可以通过知识联想，同一个知识点通过不同的方式得到练习与巩固，并在此基础上延伸到其他知识点的学习。
通过对平面几何变换形式的介绍，由知识的延展性到知识的关联性加强学生对几何变换的理解，通过引用生活中的实例有助于解决学生对几何变换理解困难的问题。
关键词：数学美；对称美；表现形式
一、对称及数学中的对称
对称通常是指图形或物体对某个相对的两边各部分，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。“对称”在自然界、艺术、科学上的例子屡见不鲜，例如：蝴蝶的双翼，植物的叶脉，水中的倒影，晶莹的雪花等无不蕴含对称。
在数学中，对称的概念略有拓展，常把某些具有关联或者对立的概念称为对称。随着数学的发展，对称的概念得到了不断的发展，即由一个含糊的概念发展为精确的几何概念，包括双侧的、旋转的、平移的对称等。
二、数学对称美的表现形式
数学作为研究现实世界的空间形式与数量关系的科学，渗透着圆满和自然美，在公式、图形、结构等方面表现出来的对称，在数学的形式美中称为对称美。
1.数字的对称美
一个整数，它的各位数字如果是左右对称，则称这个数是对称数；也叫回文数。例如：1234321、123321等。最小的对称数是11，没有最大的对称数。
产生对称数的方法有两种：
（1）形如11、111、1111…的数的平方数是对称数。如：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321…
（2）某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，也可得到对称数。如：475+574=1049，1049+9401=10450，10450+05401=15851，15851便是对称数。
这一知识可以逆向用在平方根计算中。学生对于回文数这一特殊结果，大都觉得非常惊讶，无不感叹数的对称美。
2.图形的对称美
中学数学几何图形中的对称图形是典型的视觉对称美，平面或空间图形的中心对称、平面图形的轴对称、空间图形的平面对称都是很好的体现。比如，圆既是中心对称而且所有过对称中心的直线都是对称轴。球一向被看作是简洁美丽的几何体，它是中心对称而且所有过对称中心的平面都是对称平面。毕达哥拉斯学派认为：一个图形的对称性越多，图形越完美。他们指出：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”因为这两个形体各个方面都是对称的。
中外许多著名的建筑物，例如北京天坛祈年殿、法国的凡尔赛宫、希腊的宙斯神殿、雅典娜神庙、印度的泰姬陵、埃及的狮身人面像、澳大利亚悉尼歌剧院等都体现了对称美，这些建筑都是结合数学轴对称图形与中心对称图形的特点所设计出来的。
3.公式的对称美
在一些为我们所熟悉的公式中，对称也不厌其烦地活跃着。如加法、乘法的运算定律：a+b=b+a，ab=ba，（a+b）×c=a×b+a×c等；完全平方公式及平方差公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）（a+b）=a2-b2。
4.形式或结构的对称美
杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
它的性质是：每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1；每个数字等于上一行的左右两个数字之和；第n行的数字个数为n个。这种对称的排列，内容深刻独到，便于理解与记忆。中学阶段我们常把该知识用于阅读理解型题中。
三、数学解题方法中的对称美
对称不仅已经成为一种深刻的思想，还是一种探索性发现方法、解决问题的利器。在数学解题过程中考虑对称美的因素，可启发学生寻找好的解题方法，起到事半功倍的作用。
例1.设x的一个二次函数的图象过A（0，1），B（1，3），C（-1，1）三点，求这个二次函数的解析式。
思路：如果不仔细观察三个点的坐标特点，设一般式求解，计算就很复杂，但通过观察掌握了三个点的特点，利用点的“对称”性，则达到事半功倍的效果。
解：A（0，1），C（-1，1）两点是抛物线上的两个关于对称轴对称的点，所以该抛物线对称轴为x=-12，结合A（0，1）是抛物线y轴的交点，即函数的一般表达式中的常数项应为1，据此可设所求函数表达式为：
将B=（1，3）代入求得a=1，
所求函数解析式为y=x2+x+1
例2.已知锐角∠AOB，P点位于角的内部，试在角的两边上各确定一点M、N，使PMN的周长最小。
思路：将三条线围成的封闭折线打开，结合两点间以线段最短的性质加以研究。
解：如图，作P点关于AO的对称点P′；再作P点关于BO的对称点P′′，由对称性易知：PM=P′M，PN=P″N，此时PM+MN+PN=P′M+MN+P″N；欲使周长最小，M、N应在P′P″上，取M、N点为P′P″、与AO与BO的交点，此时PMN的周长最小。
例3.父子同在某工厂工作，父亲从家走到工厂要用30分钟，儿子走这段路，只要用20分钟，若父亲比儿子早5分钟动身，问过多少时间儿子能追上父亲？
分析：用对称思想来考虑，父子若同时出发，则父亲比儿子晚到10分钟，现在父亲早出发5分钟，则必定晚到5分钟。以时间来作线段图，则线段图呈现一种对称状态，故知儿子必定与父亲同时到达全程之中点，此时儿子恰用10分钟。
2001年7月,教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,核心理念是“以人为本”.这就要求在课程教学过程中突出学生是数学学习的主人,在内容上联系学生的生活背景和实际经验,培养创新能力和实践能力.2005年,史宁中教授提出将“双基”(基础知识、基本技能)改为“四基”(基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验),引起数学教育研究者的高度重视.这一提法因地制宜的反映了数学的传统和现状,体现了数学集基础性、普及性、发展性于一体的特点,为学生的学习和发展指明了方向.数学教学注重培养学生的数学基础、解决问题的能力和创新能力,提高学生的数学素养.积累数学活动经验对教学的影响,对中学生的发展有重要的现实意义.本文结合教学案例探讨,如何积累和丰富数学活动经验?并提出一些合理化的建议.
二、泾源县大湾中学八年级初中生积累数学活动经验的案例分析
大湾中学八年级学生父母基本上是农民,大多数父母外出打工,顾不上教育孩子,由老人带孩子,不仅学前教育差,习惯也差;学生对学习重视程度不够,认为数学知识深奥难以理解.如何让数学课堂回归生活,让生活成为学习数学的大课堂,在教学中不断积累数学基本活动经验,都是亟待解决的问题.
首先,我在初二年级174名学生进行问卷调查,调查的内容有:你是否喜欢数学课?你是否经常进行数学课前预习呢?你是否会在数学课上积极愉快地参与活动?你遇到数学问题是否愿意与教师、同学交流?你对老师布置的作业是否进行猜测、探究?你对一些数学问题是否进行归纳、总结?你认为在数学课上进行观察、操作、讨论掌握数学基础知识有帮助吗?你一学期上多少节综合与实践课?你经常把数学应用于生活中吗?
从调查问卷情况来看,学生积累数学活动经验的现状很不乐观.数学知识的抽象性导致学生不喜欢数学,学习数学的积极性差,没有明确的意识因而也不愿意预习数学.学生不是很喜欢与老师、同学交流.学生都有懒惰性,对老师布置的作业不愿意认真探究去完成,也很少对数学问题进行归纳、总结.学生数学活动课少,积累观察、操作实验的经验欠缺,认为学习数学对生活实际帮助不大.对于学生积累数学猜想、探究活动经验、数学推广、归纳活动经验、数学建模经验的情况更是不容乐观.这说明在教育改革的环境下,积累数学活动经验迫在眉睫,这要引起教育工作者的高度重视.
在教学过程中,积累和丰富学生的数学活动经验,我们应该如何把握好、引导好呢?
案例一:中心对称图形
师:观察这些图片,你发现它们有什么共同特征?
生:旋转.
师:说得很好,这样的图形叫中心对称图形.
师:动态演示上面图形的旋转,旋转180°后与原图图形怎么样了?
生:重合.
师:在平面内,一个图形上绕某个点旋转180°,旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心.
师:利用手中的平行四边形进行操作,说一说中心对称图形的性质是什么?
生:(默默无声)
师:请同学们观察平行四边形,是不是中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分?这就是中心对称图形的性质.
生:是.
师:说一说你们学过的图形哪些是中心对称图形?
生1:平行四边形、正方形.
生2:三角形、菱形、六边形.
师:三角形不是中心对称图形,动画给学生演示.
师:以小组为单位,探讨正四边形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形是不是中心对称图形?(学生思考的时间较短)
生3:偶数边的正多边形是中心对称图形,奇数边的正多边形不是中心对称图形.
师:观察、操作的很认真,说的也很对.
师:今天我们学习的内容你们听懂了吗?
生:懂了.(声音很小,大部分同学眼中闪烁着疑惑之意.)
本案例中,教师试图贯彻新课程理念,将数学知识与现实生活联系起来,尝试在提出问题时逐步深入的基础上培养学生用数学的意识,但没有进行有效的引导,没有让学生在接受和沟通过程中掌握知识,仅仅是教师用自己的生活实践经验体会去审视数学问题.教师的讲述没有激发学生的思维活动,新课程理念倡导的是改变教学内容机械化的呈现方式,对于学生数学“视界”的困惑,应放手让学生自主探求,在教学中积累活动经验,真正让学生在课堂上的主体地位得到落实,教师的主导作用表现在组织者和引导者.
案例二:中心对称图形
师:请同学们一起来观察这几个动画图案,发现它们有什么共同特征?
生:旋转.
师:大家知道,旋转需要几个要素?
生:旋转方向、旋转角度、旋转中心.
师:大家再细心的看我的演示,注意一下这三个要素.
生1:绕着那个中心点旋转180°与原图形一样.
生2:我发现绕着那个中心点顺时针旋转180°或逆时针旋转180°完全重合.
师:这样的图形叫做中心对称图形.谁能完整的表述一下它的概念呢?
生3:图形绕着一个点顺时针(或逆时针)旋转180°后和原图形完全重合.
师:是在平面内吗?
生:是.
师:也就是说,在平面内,一个图形上绕某个点旋转180°,旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心.
(让学生从观察入手发现,抓住要点,形成概念,教师引导学生发现问题和提出问题,积累数学观察的活动经验.)
师:下面我们扑克牌的牌面中是否也蕴含着中心对称图形?
红桃2 梅花9 方块J 黑桃3
师:大家先猜一猜,想一想,然后利用你们小组的扑克牌动手试一试.
生4:我猜想红桃2是中心对称图形,我们小组试了一下,发现确实是中心对称图形,我上黑板给大家演示一下.
师:(掌声鼓励)还有没有其他小组的同学大胆地说出你们的想法呢?
生5:我们进行猜想、验证出梅花9不是中心对称图形.
生6:我们小组通过讨论、演示发现方块J是中心对称图形.
生7:我们小组分析、合作发现黑桃3不是中心对称图形.
生8:我们还发现了其他牌面也是中心对称图形.
师:这位同学敢于发现问题,那么课下同学们就试着去验证你们的猜测.
(激起学生的兴趣,启发思考,借助操作验证自己的猜想.)
师:生活中有哪些图形是与这张扑克牌一样,旋转180度后和原来一样?
生举例:三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、飞机的双叶螺旋桨等.
师:三角形是中心对称图形吗?
生9:老师,不是.我给大家演示一下.大家也自己动手试一下啊.
师:中心对称图形上点P的对称点P',点Q的对称点Q',观察对称点与对称中心O有什么关系?
生9:中心对称图形上的对应点所连成的线段都被对称中心平分.
师:我们知道图形是由点组成的.那么对应点有多少对?
生10:无数对.我知道了,中心对称图形上的每一对应点所连成的线段都被对称中心平分.
师:同学们先猜想正四边形、正五边形、正六边形、正七边形……是中心对称图形吗?然后动手一个一个图形进行验证,发现它们有什么规律?
生10:边数是偶数的正多边形是中心对称图形,边数是奇数的正多边形不是中心对称图形.(通过交流、合作,帮助学生积累归纳推理的数学活动经验,渗透分类思想.)
师:以今天学习了什么,有什么收获为话题,谈谈自己的看法.
生11:我知道了生活中的许多图形是中心对称图形的例子.如风车……
生12:我发现通过观察、分析、讨论、交流,体会到数学不是那么难.
综上,从案例分析中得到以下几点启示.
