时间：2023-05-29 17:51:13
关键词： 全概率公式 贝叶斯公式 完备事件组
1.引例
某厂使用甲、乙、丙三个产地的同型号电子元件用于生产电脑，其来自三地的元件数量各占0.25，030，0.45，且它们的合格率分别为0.95，0.96，0.97，
（1）若任取一元件，问取到的是合格品的概率是多少？
（2）若查出某一元件不合格，问该元件最有可能来自何地？
在第（1）问中，虽不知元件产自何地，但知道必是甲、乙、丙三地之一，合格率的大小与产地有关，而第（2）问则是已知结果追溯原因，并作出决策.为此引出解决这两类问题的方法，即全概率公式、贝叶斯公式及贝叶斯决策.
2.全概率公式和贝叶斯公式
定理：设事件A ，A …A 两两互不相容，P（A ）>0（I=1，2，…，N），且 A =Ω，则对任一事件B，有
全概率公式：P（B）= P（A ）P（B|A ）
贝叶斯公式：若P（B）>0，则P（A |B）= （i=1，2，…n）
证明参见教材.
由这个定理可得例2的解如下：
设A ，A ，A 分别表示“电子元件来自甲、乙、丙三地”，则A ，A ，A 构成Ω的一个划分，又设B表示“取得的元件为合格品”，易知
P（A ）=0.25，P（A ）=0.30，P（A ）=0.45，P（B|A ）=0.95，P（B|A ）=0.96，P（B|A ）=0.97
于是
（1）P（B）= P（A ）P（B|A ）=0.25×0.95+0.30×0.96+0.45×0.97=0.9620
（2）P（A | ）= = =0.3289
同理，P（A | ）= =0.3157
P（A | ）= =0.3552
由计算结果知P（A | ）>P（A | ）>P（A | ）.
从这个例子可以看到，全概率公式和贝叶斯公式的条件完全相同，是一个问题的两个方面.在全概率公式中，构成划分的事件A ，A …A 是导致试验结果的原因，故P（A ）叫先验概率，而在贝叶斯公式中P（A | ）叫后验概率，这是知道结果再追溯原因出在何处，并由此作出贝叶斯决策，这种决策方法在随机信号处理、投资决策和风险管理等方面有广泛应用.
3.应用举例
例2：某人到外地开会，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2，0.1，0.3和0.4，他乘火车、轮船、汽车迟到的概率分别为 ， ， ，乘飞机不会迟到，求他开会迟到的概率.
分析：引起目标事件P（B）“迟到”的所有原因为乘火车、轮船、汽车或飞机，它们构成了完备事件组，且P（B|A ）已知，因此可以直接用全概率公式求解.
解：设B表示事件“开会迟到”，A ，A ，A ，A 分别表示“某人乘火车、轮船、汽车或飞机”，由全概率公式
P（B）= P（A ）P（B|A ）=0.2× +0.1× +0.3× +0.4×0≈0.152
例3：考试时选择题有4个答案，其中只有一个是正确的，当学生不会做时可以随机猜测.假设一个学生会做题与不会做题的概率相等，现在从卷面上看该题答对了，求该学生确实会做此题的概率.
分析：现在是知道结果“卷面上看该题答对了”，追溯原因“学生确实会做此题”，显然是用贝叶斯公式.
解：设事件B表示“学生答对该题”，A表示“学生会做该题”，A与 构成了一个完备事件组.从而P（A）=P（ ）=0.5，P（B|A）=1，P（B| ）=0.25，由贝叶斯公式，可得所求概率为：
P（A|B）= = =0.8
在应用全概率及贝叶斯公式时，有时常使用某事件A与其逆事件 作为一个划分.
例4：某地区居民的肝癌发病率为0.0004，采用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肝癌的人其化验结果0.99呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化验结果0.999呈阴性（无病），现某人的检验结果为阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？
解：设B表示事件“检验结果呈阳性”，A表示“被检查者患有肝癌”，显然，A与 构成了一个完备事件组.P（A）=0.0004，P（B|A）=0.99，P（ ）=0.9996，P（B| ）=0.001，由贝叶斯公式，可得
P（A|B）= = =0.284
检查结果呈阳性真的患肝癌的概率只有0.284，如何确保诊断无误呢？临床上通常的办法就是复诊.复诊时患肝癌的概率不再是0.0004，而是0.284，第一次检查呈阳性，对其患病的概率进行了修正.
假若第二次检查仍然呈阳性，则患肝癌的概率为
P（A|B）= = =0.997
该例题表明复查可以提高医生诊断的准确性.
4.应用公式的一般步骤
（1）找出样本空间Ω的完备事件组；
（2）求P（A ），P（B|A ）；
（3）求P（B），P（A |B）.
5.课堂小结
全概率公式――由因求果，贝叶斯公式――执果寻因.
参考文献：
关键词：概率；计算；方法
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）53-0198-02
概率的公理化定义方面的公式是概率论古典概型问题中的重要公式，它本身公式繁多，许多问题更夹杂了排列、组合、函数、不等式等数学问题，使得概率问题更加复杂多变，只有掌握好正确的方法才能使问题快捷求解。
一、概率的公理化定义公式
（一）基本公式
概率的公理化定义中所涉及的概率计算的基本公式：设Ω为样本空间，A为事件，
以上公式再结合事件与集合的关系、条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式或贝叶斯公式后，概率运算的问题就变得更加麻烦了，不掌握好处理概率的好的方法，就步履维艰了。
二、求解概率问题的方法和技巧
（一）文氏图法，利用文氏图解决两个事件概率的运算问题
数形结合是数学中最好用的方法之一，用文氏图来记忆有关概率的一些公式会非常容易，若掌握了文氏图与概率公式的对应，对于这么多的公式也没必要全都装进脑袋，遇到概率的运算问题画画文氏图就能轻松解决了，特别是两个事件的概率运算问题。
例1.对于任意两个事件A和B，则P（A-B）是（ ）。
（A）P（A）-P（B） （B）P（A）-P（B）+P（AB）
（C）P（A）-P（AB） （D）P（A）+P（B）-P（AB）
本题是两个事件的差的概率，按照集合的文氏图画法可知，左椭圆区域表示事件A，右椭圆区域表示事件B，左椭圆中白色区域为事件A-B，把事件的概率用对应区域的面积来理解，很容易得出C选项是正确的。
（二）转化法，正确理解所求事件的概率，尽量把事件划分成简单易求概率的事件，再利用对应公式求解
在处理概率的问题时，有些同学就是找不到问题的突破口，也不知道用哪个公式来求解问题，特别是对于复杂的事件，若是不能把它分解成相互独立、不重复也不遗落的简单事件，就很难实现问题的求解，因为很多概率问题就是通过事件的关系所对应的公式运算来进行的。
例2.进行一系列独立试验的成功率都是p，则在试验成功2次之前已经失败3次的概率是多少？
本题的难点是如何理解“试验成功2次之前已经失败3次”，这说明进行了5次试验，第5次试验成功，前4次试验中有一次是试验成功，其他3次都失败了，那么“试验成功2次之前已经失败3次”等同于“前四次试验只有1次成功且第5次试验成功”，因此记A={第5次试验成功}，B={前4次试验只有1次成功}，A、B为相互独立的事件，P（A）=p，B事件的概率为伯努利概型本题中的关键问题就是对于复杂事件的分解，这直接决定着问题是否能顺利得到结果，复杂事件的理解要经过认真咀嚼，理顺它意思中包含怎样的基本事件以及他们之间是怎样的关系。一些明显的字眼“且”、“或”、“同时发生”、“至少有一个发生”、“不发生”等所表达的事件的关系一定要明白，在不含有这些字眼的复杂事件中再认真思考如何分解成简单事件。
（三）推演法，根据题中的条件推演出相应的结论
很多问题中的条件实际上就是一种概率的运算关系，再通过表达出的数学关系和表现形式结合公式进行推导就能得到结论。
例3.若事件A、B、C同时发生必导致事件D发生，试证：P（A）+P（B）+P（C）-P（D）≤2
本题中，由条件可知ABC？奂D，则有P（D）≥P（ABC），这和本题中要证明的不等式不谋而合，再从公式中寻找有事件乘法公式的，即P（AB∪C）=P（AB）+P（C）-P（ABC），则P（ABC）=P（AB）+P（C）-P（AB∪C），同理：P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B），则有 P（D）≥P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB∪C）-P（A∪B）≥P（A）+P（B）+P（C）-2.
三、小结
概率的计算不仅仅是用排列组合的知识就能解决的了，它加入了概率公理化定义的公式后，变成了比较复杂的数学问题，需要理解事件、结合公式的应用或是推导，以及应用数学的思想方法和解题方法。概率问题的求解，也需要我们不断地去探索和实践，我们要勇于面对困难，勤思考、多总结，这样才能成功的解决概率方面的问题。
参考文献：
贝叶斯公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算中起着很重要的作用，在实际生活中也有广泛的应用。本文对全概率公式和贝叶斯公式进行了仔细的分析，举例说明了它们的用法及它们所适用的概型.为了解决实际问题的需要，我们将全概率公式和贝叶斯公式进行了推广，这样使得贝叶斯公式的应用更为广泛，同样我也举例加以了说明。
1贝叶斯算法原理分析
Bayes法是一种在已知先验概率与条件概率的情况下的模式分类方法，待分样本的分类结果取决于各类域中样本的全体。
Bayes方法的薄弱环节在于实际情况下，类别总体的概率分布和各类样本的概率分布函数（或密度函数）常常是不知道的。为了获得它们，就要求样本足够大。另外，Bayes法要求表达文本的主题词相互独立，这样的条件在实际文本中一般很难满足，因此该方法往往在效果上难以达到理论上的最大值。
2贝叶斯法则
机器学习的任务：在给定训练数据D时，确定假设空间H中的最佳假设。
最佳假设：一种方法是把它定义为在给定数据D以及H中不同假设的先验概率的有关知识下的最可能假设。贝叶斯理论提供了一种计算假设概率的方法，基于假设的先验概率、给定假设下观察到不同数据的概率以及观察到的数据本身。
3先验概率和后验概率
用P（h）表示在没有训练数据前假设h拥有的初始概率。P（h）被称为h的先验概率。先验概率反映了关于h是一正确假设的机会的背景知识，如果没有这一先验知识，可以简单地将每一候选假设赋予相同的先验概率。类似地，P（D）表示训练数据D的先验概率，P（D|h）表示假设h成立时D的概率。机器学习中，我们关心的是P（h|D），即给定D时h的成立的概率，称为h的后验概率。
4贝叶斯公式
贝叶斯公式提供了从先验概率P（h）、P（D）和P（D|h）计算后验概率P（h|D）的方法：p（h|D）=P（D|H）*P（H）/P（D） ，P（h|D）随着P（h）和P（D|h）的增长而增长，随着P（D）的增长而减少，即如果D独立于h时被观察到的可能性越大，那么D对h的支持度越小。
5极大后验假设
学习器在候选假设集合H中寻找给定数据D时可能性最大的假设h，h被称为极大后验假设（MAP），确定MAP的方法是用贝叶斯公式计算每个候选假设的后验概率，计算式如下：
h_map=argmax P（h|D）=argmax （P（D|h）*P（h））/P（D）=argmax P（D|h）*p（h） （h属于集合H）
最后一步，去掉了P（D），因为它是不依赖于h的常量。
6极大似然假设
在某些情况下，可假定H中每个假设有相同的先验概率，这样式子可以进一步简化，只需考虑P（D|h）来寻找极大可能假设。
h_ml = argmax p（D|h） h属于集合H， P（D|h）常被称为给定h时数据D的似然度，而使P（D|h）最大的假设被称为极大似然假设。
7现实应用举例
一个医疗诊断问题，有两个可选的假设：病人有癌症、病人无癌症，[p（h1）=p（cancer），p（h2）=p（uncancer）]可用数据来自化验结果：正+和负-， [p（D1）= p（+），p（D2）=p（-），一般假设p（D1）=p（D2）]，有先验知识：在所有人口中，患病率是0.008，对确实有病的患者的化验准确率为98%，对确实无病的患者的化验准确率为97%，总结如下：
P（cancer）=0.008， P（uncancer）=0.992
P（+|cancer）=0.98， P（-|cancer）=0.02
P（+|uncancer）=0.03， P（-|uncancer）=0.97
问题：假定有一个新病人，化验结果为正，是否应将病人断定为有癌症？求后验概率P（cancer|+）和P（uncancer|+）
因此极大后验假设计算如下：
P（cancer， +） = P（+|cancer）P（cancer）=0.008*0.98=0.0078
P（uncancer， +） = P（+|uncancer）P（uncancer）=0.992*0.03=0.0298
hMAP=uncancer
确切的后验概率可将上面的结果归一化以使它们的和为1
P（canner|+）=0.0078/（0.0078+0.0298）=0.21
P（cancer|-）=0.79
贝叶斯推理的结果很大程度上依赖于先验概率，另外不是完全接受或拒绝假设，只是在观察到较多的数据后增大或减小了假设的可能性。
注意：当训练数据的值是缺失时，即先验概率为0%，预测值不稳定。一般会给每个数据加1，使概率不会为0%。
8结束语
可以看到贝叶斯公式在解决实际问题时给我们带来很大的方便，而贝叶斯公式的推广形式也进一步拓展它的使用范围， 成为我们解决更为复杂问题的有效工具。但由于研究周期较短，本文只是举了一个例子来说明它的应用。事实上它的应用远不止这些，还可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题。总之贝叶斯公式的应用及其推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。成为我们解决问题的有效工具。
参考文献
[1]夏克俭 张涛，基于贝叶斯算法的垃圾邮件过滤的研究[J]，微计算机信息；2008年09期。
[2]胡学钢 郭亚光，一种基于粗糙集的朴素贝叶斯分类算法[J]，合肥工业大学学报（自然科学版），2006年02期。
[3]Jonathan B.Postel， Simple Mail Transfer Protocol，RFC821，Aug 1982。
[4]Myers J.Post Office Protocol-version 3。RFC1725，Dover Bench Consulting，
[关键词] 概率统计 投资 应用
概率论研究随机现象的统计规律性;数理统计研究样本数据的搜集、整理、分析和推断的各种方法,这其中又包含两方面的内容:试验设计与统计推断。它在自然科学、工程技术、社会科学、军事和工农业生产中,尤其是在社会经济活动中有着广泛的应用。
概率在投资风险方面:在投资环境日趋复杂的现代社会，几乎所有的投资都是在风险和不确定情况下进行的，一般地说，投资者都讨厌风险并力求回避风险。风险是某一行动的结果具有多样性。风险是客观存在的，它广泛影响着企业的财务和经营活动，因此，正视风险并将风险程度予以量化，成为企业财务管理中的一项重要工作。衡量风险大小需要使用概率和统计方法，下面分别介绍：
1.概率分布
概率是指随机事件发生的可能性大小的数量指标，事件A的概率记为P(A)。它是介于0与1之间的一个数，并且所有随机事件发生可能性的概率之和必须等于1。例如，一个企业有80％盈利的机会，有20％的亏损的机会，如果把所有可能的事件或结果，概率都列示出来，便构成了概率分布。
2.期望值
期望值是一个概率分布中的所有可能结果以其概率为权数进行加权平均的加权平均数，反映事件的集中趋势。其计算公式为：
式中:Xi－第i种结果出现的预期收益（或预期收益率）;
Pi－第i种结果出现的概率；
n－所有可能结果的数目。
例如:某公司拟对外投资，现有A公司、B公司和C公司有关股票收益的资料如下表:
下面，根据上述期望值公式计算A、B、C公司的预期收益率:
在预期收益率相同的情况下，投资的风险程度同收益的概率分布有密切的联系。A、B公司的预期收益率都是20％，但相比之下可以发现B公司的预期收益率非常分散，而A公司的预期收益率较集中，可认为A公司的投资风险要比B公司小,由此得如下结论:即预期收益的概率分布越狭窄，其投资风险越小，反之亦然。为了清晰地观察概率的离散程度，可根据概率分布表绘制概率分布图进行分析。概率分布有两种类型:一种是不连续的概率分布，另一种是连续的概率分布。
假定经济情况只有繁荣、一般、衰退三种,概率个数为3。但是在实践中，经济情况在极度繁荣和极度衰退之间可能发生无数种可能的结果,有着许多个概率,而不是只有繁荣、一般、衰退三种可能性。这样可绘制连续的概率分布。
3.标准离差
标准离差是各种可能的收益(或收益率）偏离期望收益（或收益率)的综合差异，是反映离差程度的一种度量。其计算公式为:
式中:σ－期望报酬率的标准离差;
－期望报酬值。
在期望值相等的情况下，标准离差越大，意味着风险越大。
根据这种测量方法，在期望收益率均为20％的条件下，A公司股票的风险程度小于B公司股票的风险程度，应选择A股票。
4.标准离差率
标准离差是反映随机变量离散程度的一个指标，但它是一个绝对值，而不是一个相对值，只能用来比较预期收益率相同的投资项目的风险程度，而不能用来比较预期收益率不相同的投资项目的风险程度，还必须求得标准离差和预期收益的比值，即标准离差率。
标准离差率是标准离差同期望值的比值。它用来比较期望报酬率不同的各项投资的风险程度。标准离差率的计算公式为：
式中:V－标准离差率;σ－标准离差;－期望报酬率。
这说明，C项目的风险最小，A项目的风险其次，B项目的风险程度最大。
参考文献:
[1]郭曼勤:概率论与数理统计原理在投资风险报酬分析中的应用，云南师范大学学报，1999，13～16
[2]袁建国:财务管理，大连：东北财经出版社，2005，18～22
[3]周忠惠张鸣徐逸星:财务管理.上海:上海三联书店，1995，164～174
关键词： 性别差异 概率认知 心理分析
1.引言
当今社会随着信息化时代的到来，数学与其他学科的相互交叉，使得人们越来越认识到数学的重要性。各学校相继加强数学教育，以便增强学生的数学思维能力。概率与统计在数学知识中占有十分重要的地位，它可以培养学生随机性数学思维，培养学生通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的本质的一般性的认识的思维过程[1]。用概率与统计的知识预测随机事件发生的可能性，在日常生活中、自然界中甚至在科技领域中都有着广泛应用，它也是我们解决一些日常生活中的实际问题所必不可少的知识。特别是在当今社会，我们处在一个大数据时代，所以概率与统计显得尤为重要。学习概率与统计的知识，无论是对参加社会实践活动还是今后继续深造都是十分必要的。
概率认知在概率学习中占有十分重要的地位，认知障碍是高中生概率学习的障碍之一。教师只有真正了解学生认识概率、认知概率的情况，才能更好、更有效地开展概率教学。学生只有真正了解自己学习概率统计的认知障碍才能更好地学习概率统计。所以本文通过对高中生在概率学习中认知情况的调查分析，探讨性别差异在高中生概率学习认知过程中主要有哪些差异。本研究对学生学习和教师教学都具有重要的实际价值。
2.数据来源与研究方法
（1）测试对象
参加调查的被试学生采用整体随机抽样方式产生，是从南宁市一所示范性高中和一所普通高中随机抽取四个班级的学生，其中高一高三均两个班，被试学生共有262名，其中男生132人，女生130人。对被试学生实施测试，回收问卷和测试卷后逐份检查，凡有漏选题项及所选题项答案为同一性者一律视为无效剔除，其中测试卷有效问卷256份，问卷有效率97.7%，调查问卷有效问卷247份，问卷有效率94.2%。
（2）研究方法
为了确保选取的试题具有科学性、实用性和有效性，在深入研究高中数学概率统计内容[2]的基础上，采用测试题和调查问卷。所选的题目类型涉及频率的定义、古典概型、互斥事件、对立事件、中位数、平均数、频率、数学期望、分层抽样、系统抽样共10道题。
（3）测试过程
测试时间为40分钟，学生统一匿名答卷。在施测过程中有任课老师的积极配合与帮助。
3.问卷结果及其分析
为了了解性别差异在高中生概率认知中的影响情况，从南宁一所示范性高中所有平行班中随机选取的两个班级学生和一所普通高中所有平行班中随机选取两个班级的学生共计四个班级的学生进行测试。发放测试卷262份，全部收回，其中有效试卷256份，包括男生128人，女生128人，问卷有效率97.7%。
在测试卷中，其中第1、2、6、7、8、9题是考查概念与公式的辨析与转换障碍、概率模型构建或转化障碍的测试，第3、5题是概率模型构建或转化障碍的测试，第4题是关于言语信息中对关键词、概念表征障碍和概率事件的描述或表示障碍的检验，第9题、第10题是思维的批判性与片面[3]。
第1-8题调查结果如下：
题1是一道关于古典概型与几何概型的题目。从表一中可以看出关于古典概型与几何概型这方面的知识，高中生大都掌握得比较牢固，大多能准确地区分出古典概型和几何概型，并且进行计算。从表一出还可以看出，关于古典概型与几何概型，男生的整体掌握情况略好于女生。
题2是一道关于互斥对立事件的概率表征障碍的题目。从表一中可以看出，关于这部分的知识高中生整体掌握情况较差，大多不能不能正确区分出对立与互斥的联系。其中男生整体掌握水平略差于女生。
题3是一道关于概率模型构建或转化障碍的测试。从表一中可以看出高中生关于概率模型建构的整体掌握情况较差，他们大多不能正确建构概率模型。从表中可以看出其中男生掌握的整体水平略高于女生。高中女生解题时，由于自身思维特征，不善于概括题目中的关键点和以往的学习经验，考虑问题不全面，只会生硬地套用公式、定理[4]，因此更容易先入为主。
题4是一道关于考查概率统计中概念辨析的题目。从表一中可以看出，关于概率统计基础概念意义，高中生大多掌握得比较牢固，他们大多能准确地掌握到基础概念的意义。其中在基础概念意义的辨析方面女生要略好于男生。
题5是一道关于概率统计的图表题目。考查学生对概率统计的概念的理解掌握并能准确的在图形中识别出来。从表一中可以看出关于概率统计基础概念意义并识图高中生大多掌握得比较牢固，他们大多能准确掌握概念的意义并在图中识别。其中女生掌握的整体水平略高于男生。
题6是一道关于求样本容量的题目，考查学生对基础概率统计概念公式的辨析。从表一中可以看出高中生在对基础概率统计概念公式的辨析方面掌握得比较好，其中男生掌握的情况略好于女生。
题7、题8是关于分层抽样和系统抽样的题目，考查学生是否能准确区分分层抽样和系统抽样等概念的辨析。从表一中我们可以看出，高中生大多能准确算出分层抽样的题目，掌握情况比较好，其中女生掌握情况略好于男生。但是关于题8的系统抽样的题目，高中生的普遍掌握情况比较差，其中男生的掌握情况要略好于女生。通过翻阅大量试卷的分析，笔者发现是因为题8系统抽样的题目最后的答案计算完成之后不是整数，而正确答案是需要取整数，所以大多数学生不会取关于系统抽样的最终结果的整数，这反映出一部分学生掌握的基础知识不够牢固。
题9是一道关于中位数与平均数的题目，调查结果如表二。在第一问中，求给出的16个数据的中位数与平均数，从表二中可以发现高中生整体掌握水平较一般，其中女生掌握的整体情况普遍比男生好。经过对比试卷发现，这些学生大多给出了正确的公式步骤，但是最后的结果往往算错。笔者认为这些学生大部分是因为计算能力不扎实而导致算错，或者是粗心等原因，而女生比男生细心，所以会呈现女生整体水平高于男生的结果。在第二问中，问这两种数字特征哪一种描述这个数据更合适并给出理由，从表二中可以发现，选择平均数的学生较中位数更多，其中选择中位数的学生大多给出的原因是每个数字相差太大，平均数不能正确地表达这组数据。而选择平均数的同学认为只有平均是比较公平，才能准确地表达这组数据。从表二中可以看出，男生与女生在选择哪种数字特征中没有差异，都是63.28%。
题10是一道关于求给出4组数据求概率与分布列和数学期望的应用题类型的题目，调查结果如表三。从表三中可以看出，高中生在关于应用题目的概率统计的题目掌握得比较差，通常他们不会解答。大部分学生不明白数学期望的意义，教师在授课应该让学生清楚数学期望，方差等都是数。它们没有随机性（分布也是如此）。它们是用来刻画随机现象的。这和样本的数字特征、样本均值、样本方差等完全不同，样本数字特征是随机的，它们是用来估计随机变量的数字特征的[5]。从表三中还可以发现男生关于应用题中的概率统计的题目的解答情况比女生好。
4.案例结果的进一步讨论
为了进一步了解性别差异在高中生概率统计认识的影响，对262名学生分发了调查问卷，发放调查问卷262份，全部收回，调查问卷有效问卷247，包括男生130人，女生117人，问卷有效率94.2%。调查结果如下：
在被调查的262名高中生中，有14.17%的学生表示对概率统计非常感兴趣，其中男生有8.09%，女生有6.07%，可以看出男生对概率统计感兴趣的人数稍多于女生。有50.20%的学生表示他们能够完全理解概率统计中的一些关键名词，其中男生有51.53%，女生有48.71%，可以看出男生对概率统计名词的理解稍强于女生。有10.93%的学生表示他们完全可以灵活掌握应用概率统计中的相关公式和概念，其中男生有12.30%，女生有9.40%。有6.47%的学生表示知道概率统计的相关题目所包含的数学思想，其中男生有10.00%，女生有2.56%。
5.结论与讨论
经过上述的调查分析，不难发现高中生受性别差异影响，对概率学习的认知不存在显著差异，只是在一些方面存在差异，而且男女生各有优劣。可以发现高中生受性别差异影响，对概率学习的认知存在以下差异：
（1）男生掌握的相关公式概念优于女生，而女生的公式辨析能力优于男生。
（2）男生对概率统计题目中包含的数学思想的掌握情况优于女生。
（3）在概率统计相关的计算能力方面，女生优于男生。
（4）在概率模型的转换能力方面，女生优于男生。
概率统计现在已经成为高中课程中重要的一部分，特别在新课标中又有加强，首先加强了体会数据的随机性，其次是增加了一些教学案例[6]。在具体的教学实施中，要解决上述存在的问题：（1）教师要改变教育观念和教育方式，要用现代的教育观念树立与新课程标准相符合的教育观念教育学生。因为概率统计中包含了大量的生活实践内容，所以教师需要从知识的传授者转变为参与者、引导者与合作者。（2）教学中教师要善于结合教学内容巧妙地设计教学环境，使学生能够更容易地接受概率统计中的思想。教师可以挖掘数学史，渗透数学文化，还可以应用数学软件促进课程实施。（3）在教学中教师要力求讲清概念，使学生能够把握概念的本质，懂得相近概念的联系和区别，在讲授概率公式及其应用时，力求讲清每个公式成立的前提条件，以便使学生能准确无误而又合理地使用这些公式进行各种运算。（4）针对一些概率图表题目，教师可以应用现代教育技术手段，如采用多媒体进行讲解。（5）教师要注重培养学生养成善于思考、善于动手的能力。思考每一道题目中所包含的思想，动手练习每一道计算题目，做到速度与准确率都达标。对男生来讲，要多进行动手能力的培养，努力做到速度与准确率都达标，还要注重基本概念、基本名词、基本公式的辨析;对于女生来讲，要注重课本知识牢记公式概念，并且要多关注实际，做到理论联系实际。最后男生与女生都要养成课后总结反思的习惯，多对学习过的内容进行总结概括，逐渐加强对知识点的理解，才能更好地学习概率统计。
参考文献
[1]张德然，茹诗松.高中概率统计教学中关于随机性数学思维的培养[J].课程・教材・教法，2003，9;39-42.
[2]普通高中课程标准实验教科书数学3（必修）.北京：人民教育出版社，2006.
[3]王连国.高中生概率学习认知障碍分析及对策研究[D].济南：山东师范大学，2011：4-10.
[4]何小亚.数学学与教的心理学[M].广东：华南理工大学出版社，2003：204-207.
[5]张怡慈.新课标理念下高中概率和统计内容的定位和教学[J].数学通报，2005，44;1-6.
一、零件在随机应力和随机强度下可靠度的模糊应力或模糊强度事件的概率表达
设随机应力和随机强度的概率密度函数分别为和，其函数曲线如图1所示。
由应力和强度干涉和概率密度函数联合积分法可以推得可靠度计算公式：
（1）
在随机应力和随机强度的分布密度已知的情况下，（1）式计算的零件可靠度是一个确定的数值。零件在随机应力和随机强度下的可靠度的计算可以转化为零件在随机应力和由随机强度决定下的模糊强度隶属函数的模糊概率问题。对（1）式经简单变换即可：
由于（1）式中符合隶属函数定义区间，因此，
（2）
可以看出（2）式为戒上型（偏小型）隶属函数；将（2）式分别代入（1）式并进一步推得：
（3）
由此可见，（3）式为随机应力与模糊强度或者为随机强度与模糊应力所表达的模糊事件的模糊概率的可靠度的计算公式。
二、零件在随机应力和随机强度下的一般模糊事件的概率问题
零件在随机应力和随机强度下的模糊事件的概率，其概率密度为和，则功能密度函数为：
（4）
其中和表示影响零件强度和应力的各种因素矢量，Z为影响零件功能的各种因素矢量。
对于（4）式可以提出如下三种随机强度和随机应力的模糊事件及其概率问题：
即随机应力和随机强度相等的临界模糊事件}；
即随机应力大于随机强度的失效模糊事件}；
即随机应力小于随机强度的安全模糊事件}。
对于模糊事件为对称型隶属函数；对于模糊事件为戒上型隶属函数；对于模糊事件为戒下型隶属函数。这里以线性隶属函数给出计算公式。
这三种模糊事件的概率由勒贝格积分公式可得：
（5）
如果这三个模糊事件互补且完备，则这三个模糊事件的概率和应为1。
由（5）式可知模糊事件的概率可以通过计算机仿真求隶属函数的数学期望。
三、结论
对于给定的随机应力和随机强度，在概率分布密度函数已知的情况下，零件的可靠度由应力―强度干涉模型给出的可靠度是唯一的，可以转化为相应模糊应力和随机强度或模糊强度和随机应力的模糊事件的概率所表达的可靠度，是分别由随机强度和随机应力的概率分布密度函数唯一确定。
参考文献
1.知识要求
本大纲对所列知识提出了三个层次的不同要求，三个层次由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级层次要求三个层次分别为，了解要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用理解、掌握、会要求考生对所列知识的含义有较深的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用知识解决有关问题灵恬运用：要求考生对所列知识能够综台运用，并能解决较为复杂的数学问题
2.能力要求
逻辑思维能力：舍对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能准确、清晰、有条理地进行表述运算能力理解算理，会根据法则、公式、概念进行数式、方程的正确运算和变形，能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计，能运用计算器进行数值计算空间想象能力：能根据条件画出正确图形，根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合、变形分析问题和解决问题的能力：能阅读理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
一、复习考试内容
理工农医类
第一部分 代 数
(一)集合和简易逻辑
1.了解集合的意义及其表示方法了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集台、元素与集台的关系
2.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念
(二)函数
1.理解函数概念，会求一些常见函数的定义域
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,会判断一些常见由数的单词性和奇偶性。
3.理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的图象和性质，会求它们的解析式。
4.理解二伙函数的概念，掌握它的图象和性质以及函数y=ax2÷bx+c(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能灵活运用二次函数的知识解决有关问题
5.了解反函数的意义，会求一些简单函数的反函数
6.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图像和性质。
7.理解对数的概念，掌握对数的运算性质、掌握对散函数的概念、图象和性质。
(三)不等式和不等式组
1.理解不等式的性质，会用不等式的性质和基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)， |a+b|≤|a2+b2|(a,b∈R)解决一些简单的问题。
2.会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式、会解一元一次不等式、会表示不等式或不等式组的解集
3.了解绝对值不等式的性质，会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式
(四)数列
1.了解数列及其通项、前n项和的概念
2.理解等差数列、等差中项的概念，会灵活运用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。
3.理解等比数列、等比中项的概念，会灵活运用等比数列的通顼公式、前n项和公式解决有关问题。
(五)复数
1.了解复数的概念及复数的代数表示和几何意义
2.会进行复数的代数形式的加、减、乘、除运算
(六)导数
1.了解函数极限的概念，了解函数连续的意义
2.理解导数的概念及其几何意义
3.会用基本导数公式(y=c，y=x2(n为有理数)，y=sinx，y=cosx,y=c2的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。
4.理解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求有关函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值
5.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值
第二部分 三 角
(一)三角函数及其有关概念
l.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念 。
2.理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值。
(二)三角函数式的变换
l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会用它们进行计算、化简和证明
2.掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明。
(三)三角函数的图象和性质
l.掌握正弦函数、余弦函数的图象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题
2.了解正切函数的图象和性质
3.了解函数y=Asin(ωx+θ)与y=sinx的图象之间的关系,会用‘"五点法”画出它们的简图，会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值
4.会由已知三角函数值求角，井会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示。
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形及应用题。
2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形及简单应用题。
第三部分 平面解析几何
(一)平面向量
l.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加、减运算，掌握数乘向量的运算，了解两个向量共线的条件。
3.了解平面向量的分解定理，掌握直线的向量参数方程。
4.掌握向量数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用。掌握向量垂直的条件。
5.掌握向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式
(二)直线
l.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率平行垂直夹角等几何问题
(三)多面体和旋转体
l.了解直棱柱正棱柱的概念、性质，会计算它们的体积
2.了解棱锥、正棱锥的概念、性质，会计算它们的体积
3.了解球的概念、性质，会计算球面面积和球体体积
第四部分 概率与统计初步
(一)排列、组台与二项式定理
1.了解分类计数原理和分步计数原理
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式
3.会解排列、组合的简单应用题
4.了解二项式定理，会用二项展开式的性质和通项公式解次简单问题
(二)概率初步
1.了解随机事件及其概率的意义
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概卑加法公式计算一些事件的概率
4.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算～些事件的概率
5.会计算事件在n独立重复试验中恰好发生k次的概率
6.了解离散型随机变量及其期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值
(三)统计初步
了解总体和样本的概念，会计算样本平均数和样本方差
文史财经类
第一部分 代 数
(一>集合和简易逻辑
1 .了解集台的意义及其表示方法,了解空集、全集、子集、交集并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系
2.了解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念
(二)函数
1.了解函数概念，会求一些常见函数的定义域
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断一些常见函数的单调性和奇偶性
3.理解一次性函数、反比例函数的概念，掌握它们的图象和性质，会求它们的解析式。
4.理解二次函数的概念，掌握它的图象和性质以及函数y=ax+bx+c(a≠0)与y=ax2 (a#0)的图象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能运用二次函数的知识解决有关问题
5.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
6.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质
(三)不等式和不等式组
l.了解不等式的性质，会解一元-次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，舍解一元二次不等式。会表示不等式或不等式组的解集
2.会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式
(四)数列
1.了解数列及其通项、前n项和的概念
2.理解等差数列、等差中项的概念，会运用等差数列的通项公式前n项和公式解决有划题
3.理解等比数列、等比中项的概念，会运用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题
(五)导数
1.理解导数的概念及其几何意义
2.掌握面数y=c(c为常数).y=x2“(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数
3.了解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值
4.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值
第二部分 三 角
(一)三角函数及其有关概念
1.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念
2.了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值
(二)三角函数式的变换
l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会运用它们进行计算、化简和证明。
2.掌握两角和两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明
(三)三角函数的图象和性质
1.掌握正弦函数、余弦函数的图象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题
2.了解正切函数的图象和性质
3.会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值，会由已知二角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx.
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形
2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形
第三部分 平面解析几何
(一)平面向量
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
2.掌握向量的加、减运算掌握数乘向量的运算了解两个向量共线的条件
3.了解平面向量的分解定理
4.掌握向量的数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用 了解向最垂直的条件
5.了解向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式
(二)直线
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率。
2.会求直线方程，会用直线方程解决有关问题
3.了解两条直线平行与垂直的条件以及点到直线的距离公式，会用它们解决简单的问题
(三)圆锥曲线
1.了解曲线和方程的关系，会求两条曲线的交点
2.掌握圆的标准方程和一般方程以及直线与圆的位置关系，能灵活运用它们解决有关问题
3.理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，会用它们解决有关问题
第四部分 概率与统计初步
(一)排列、组台
l.了解分类计数原理和分步计数原理
2.了解排列、组合的意义，会用排列数、组合数的计算公式
3.会解排列、组合的简单应用题
(二)概率初步
1.了解随机事件及其概率的意义
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加j去公式计算一些事件的概率
4.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率
5.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【关键词】贝叶斯公式；数据挖掘；条件概率；先验概率
数据挖掘是从现实生活中收集数据，对实际问题进行科学分析研究进而解决，共分为三个部分，分别是数据收集部分、模型设计部分和问题解决部分.数据收集是通过查阅文献资料、网络搜索等途径寻找解决问题所需要的各种原始数据，进而通过对原始数据内容的甄别、过滤，获取有效信息并最终运用到自己设计的模型中.模型设计需要针对实际问题进行建模，并利用已收集的数据进行问题求解.可以利用已有的数学算法、数据挖掘技术或者设计新的方法来解决问题，其中可能需要一定程度的数学推导和计算机编程.数据挖掘通常通过数学、统计、在线分析处理、情报检索分类等诸多方法来实现上述目标.
在贝叶斯法则中，每个名词都有约定俗成的名称：P（A）是A的先验概率或边缘概率.P（A|B）是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率.P（B|A）是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率.P（B）是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量.按这些术语，贝叶斯法则可表述为：后验概率=似然度×先验概率标准化常量.P（B|A）P（B）称为可能性函数，这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率.所以，条件概率可以理解成这样的式子：后验概率=先验概率×调整因子.
这就是贝叶斯推断的含义.我们先预估一个“先验概率”，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了“先验概率”，由此得到更接近事实的“后验概率”.在这里，如果“可能性函数”P（B|A）P（B）>1，意味着“先验概率”被增强，事件A的发生的可能性变大；如果“可能性函数”=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果“可能性函数”
贝叶斯公式看起来很简单，但是在自然科学领域应用范围极其广泛.同时理论本身蕴含了深刻的思想.在大数据时代，从海量的数据中进行数据挖掘进而解决相关问题，贝叶斯公式也有着广泛的应用.比如，要设计一款疾病自我预诊断系统，从自己身体的各种不舒适体征来判断是否患有某种疾病，那么要从面对庞大的各种疾病数据中，寻找自己需要的数据并设计模型进行判断.下面我们以发烧为例，用贝叶斯公式建立简单自我肺炎自我预诊断判断系统.
数据挖掘主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤.首先，是数据准备阶段.数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以大众可理解的方式将找出的规律表示出来.数据挖掘牵涉了大量的准备工作与规划工作，事实上许多专家都认为整套数据挖掘的过程中，有80%的时间和精力是花费在数据预处理阶段，其中包括数据的净化、数据格式转换、变量整合，以及数据表的链接.可见，在进行数据挖掘技术的分析之前，还有许多准备工作要完成.
首先，要尽可能找到所有会引起l烧的疾病，这个难度比较大，不过现在计算机网络发达，使得大数据的处理成为可能.为了方便叙述，我们不妨把从网上查找到的有关发烧的资料以模型的方式简单化处理，设所有引起发烧的疾病有A1，A2，A3，…，An种，并且这n种病相互之间是独立的互不影响的.通过数据挖掘得知，n种疾病的发病率分别为P（A1），P（A2），P（A3），…，P（An），发烧表示为事件S，n种疾病发病时发烧的概率分别为P（S|A1），P（S|A2），P（S|A3），…，P（S|An），根据贝叶斯公式可知发烧是由A1疾病引起的概率为
同样可以算出发烧是由其他疾病引起的概率，最可能的当然就是概率最大的那个.仅仅有一个症状判断疾病是不准确的，对于其他症状，比如，咳嗽事件W，我们用同样方法可以算出P（A1|W），根据P（S∪W）=P（S）+P（W）-P（SW）等相关公式，可以算出同时发烧咳嗽时患A1疾病的概率，当多个症状同时计算时，显著性一定会增大，判断当然也会更准确.最后，还可以对判断结果给出置信区间，做相关的假设检验，这里就不再一一累述.
【参考文献】
【关键词】概率净现值期望值
中图分类号： O21 文献标识码： A
工程经济不确定性分析的方法很多，最常用的是盈亏分析、敏感性分析、概率分析，其中尤以概率分析最难理解。高职教材只是略讲，所示例题极少。下面举一例详细解答，与各位同仁共勉。
某项目需投资20万元，建设期1年。根据预测，项目生产期的年收入（各年相同）为5万元、10万元和12,5万元的概率分别为0.3、0.5和0.2 。在每一收入水平下生产期2、3、4、5年的概率分别为0.2、0.2、0.5和0.1 。折现率按10%计算，试对项目净现值的期望值进行累计概率分析。
【解】对项目净现值的期望值进行累计概率分析，必须求出期望值，更要先明确发生的概率值。生产期与年收入都不确定且有多种情况，每一种组合发生的概率最好交叉列表确定，以免遗漏。年收入有三种情况，生产期有四种类型，将有12个NPV值出现，列交叉表求出每个NPV出现的概率。
投资费用发生在第一年，而不是0期，年金从第二期开始，套用年金现值公式求得P在第一期，再用现值公式转换到零期。
当年收入为5万元，根据不同的生产期对应不同的NPV值：
生产期为2年：NPV=〔－20+5（P/A，10%，2）〕（P/F，10%，1）=－10.2933
生产期为3年：NPV=〔－20+5（P/A，10%，3）〕（P/F，10%，1）=－6.8778
生产期为4年：NPV=〔－20+5（P/A，10%，4）〕（P/F，10%，1）=－3.7332
生产期为5年：NPV=〔－20+5（P/A，10%，5）〕（P/F，10%，1）=－0.9509
同理计算年收入为10、12.5万元时，各生产期对应的NPV值填入下表。
期望值 欲求期望值先求加权净现值然后求和。
按照加权净现值从小到大排序，便于确定期望值小于零的概率。
从列表计算可知，NPV的期望值是4.79694万元。净现值大于或等于0的概率是：
P（NPV≥0）＝1－P（NPV＜0）＝ 1―0.4＝0.6
【结语】
概率分析的工具就是求期望值，期望值等于各净现值乘以发生的概率后求和。确定概率值是关键，概率一错导致后续计算全错。概率列举要周全无遗漏。对于多因素概率最好列表交叉确定。求出每种情况的NPV值，根据公式计算期望值。掌握公式是基础，能知道公式的来龙去脉更有益于公式的应用。
【参考文献】
一、新教材与旧教材中概率内容区别
旧教材在统计方面只介绍了抽样方法、用样本去估计总体以及正态分布，在概率方面介绍了基本事件的概率、分布列、期望，而新教材删除了正态分布这部分内容，在旧教材的基础上新增加了很多内容，如：茎叶图、频率分布直方图中的中位数、众数、平均数、线性回归、几何概型、条件概率。
二、近三年新课程卷中概率试题特点（以全国卷为例）
1.试题分布从近三年新课程高考试卷来看，有关概率与统计部分的试题
2.试题特点
（1）概率题中增加了统计或程序框图这部分内容，阅读量明显增大，部分题还将数形结合思想体现在这个题型中，辅以表格或图形说明。而且将频率分布直方图或茎叶图或程序框图和概率分布列结合起来考查将成为这部分内容考查的趋势。
（2）重视基础，注重对四个基本公式的考查，即对等可能性事件的概率，互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率乘法公式，事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率的考查。
（3）密切联系教材，但又不脱离实际生活。试题通常是通过对课本原题的改编，或是基础知识的重新组合、拓展，从而成为情境新、立意高、设问巧，并赋予时代气息的题目。例如，2011年新课程全国卷的第18题：以普法知识竞赛为情境，贴近学生实际；2012年新课程全国卷的第15题：以元件连接为背景，将基础知识进行了重组，并让学生横向联系，与物理知识的串、并联相结合；而18题则以日常生活中的买卖作为背景考查基本事件的概率与分布列；2013年新课程卷的第19题：以羽毛球比赛作为时代背景考查这部分知识，赋予时代气息。
三、概率试题对
2014届高考数学复习的启示概率和统计主要分布在人教版必修三教材中，在复习中，考纲明确要求教师和学生重视必修，所以，概率统计的重要性更加突出了。从近三年的试卷分析，每年都有一个概率解答题，而且选择或者填空还有一个题，所以，在复习中我们应引起足够的重视。因为这部分考题内容和实际生活紧密相连，在复习中应要求学生平时多关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，并加强对学生进行偶然性与必然性的对立统一观点的教育；这部分考题还有增加学生阅读量的趋势，复习中要培养学生细度和分析题目，善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流。虽然这部分内容的综合性强，但也很重视基础，因此，在复习中，教师应充分研究考纲，让学生做到“六个了解”与“七个会”。“六个了解”即：了解抽样方法、随机事件的概率、等可能事件的概率、随机事件的条件概率、互斥事件、相互独立事件。“七个会”即：会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率；会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会计算事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率，会计算简单事件的分布列和数学期望，会从简单的茎叶图或频率分布直方图中求简单事件的分布列和期望。
作者：陈蓉芳单位：四川省泸县第二中学数学组
关键词 公路工程 风险分析 风险管理 科学决策
一、问题的提出
近20年来，我国的基础设施建设得到了快速发展，使许多长期困扰经济发展的烤问题明显得到缓解，拉动了相关产业的快速增长，对国民经济起到了重要的推动作用。要合理安排投资，使其充分发挥投资效益，避免重复建设、盲目建设，就需要对公路工程项目从立项、设计、施工、运营全 过程进行严格的质量管理。但是，当前在实施全过程的质量管理中，有一个环节往往被忽视或不重视，这就是风险管理。目前公路项目风险管理还只侧重于项目后期，在项目前期之所以没有进行风险管理，一方面是由于国家项目管理程序中没有风险分析这部分，另一方面就是业主不重视，没有意识到风险分析能使可研更深入，可以克服片面性，有利于项目科学决策。公路工程项目从立项到运营都存在着风险，对项目全过程实行风险管理，可为项目创造平静、稳定的工作环境。
二、风险管理程序
1、风险识别
识别风险首先要对风险因素进行分解，构成风险结构层次图（公路项目的风险结构如图），然后运用反向思维把不利因素找出来，从反向角度来论证，最后，通过对项目进行后评估不断积累经验，加强风险识别的准确性。
2、风险分析
在公路项目中，仅仅利用风险估测的三个参数来为风险管理提供依据是远远不够的，还需要结合公路项目的特点进行进一步的分析，即风险分析。风险分析就是以风险估测的三个参数为基础 ，对具体的公路项目评价模式进行适当的数学处理，使之能反映风险因素的过程。公路项目 前期工作，即公路项目可行性研究中，评价模式为计算项目净现值、内部收益率、投资回收 期等评价指标。风险分析也就是在这些评价指标中加入风险因素。
3、风险处理
风险处理就是根据风险估测以及风险分析的结果，为了避免或减小风险而对项目风险采取的措施，一般来看，主要有以下几种方式：对损失大、概率大的灾难性的风险要避免，即风险避免；对损失小、概率大的风险，可采取措施来降低风险量，即风险降低；对损失大、概率小的风险，可通过保险或合同条款将责任转移，即风险转移；对损失小、概率小的风险，可采取积极手段来控制，即风险自留。
三、公路项目风险分析的方法
对投资项目进行风险分析的方法很多，结合公路项目的特点，本文重点讨论概率法、调整折现率法这两种方法，并在概率法中举了一个算例。
1、 概率法
概率法是假定投资项目净现值的概率分布为正态的基础上，通过正态分布图象面积计算净现 值小于零的概率来判断项目风险程度的决策分析方法。
应用概率法进行风险分析有两个条件：一是项目净现值的概率分布为正态，二是每年的现金 流量独立，即上一年的现金回收情况好坏并不影响下一年的现金回收。
公路投资项目基本符合以上两个条件，因此可以用概率法进行风险分析。下面结合一个算例详细介绍这种方法。
假如一个收费公路项目，工期为两年，每年投资4亿元，总投资8亿元，项目建成后20年内每年的收费额（现金流量）取决于当年交通量的大小，共有三种可能性，见表。
（1）期望净现值的计算
采用概率法时，为了让风险不反映在期望净现值上，而是反映在项目现金流量标准离差上， 也就是反映在净现值的正态分布图象上，计算期望净现值的折现率就应该用无风险折现率。
（2）现金流量标准离差
项目现金流量标准离差，就是项目寿命周期内各年现金流量标准离差，按无风险折现率折现的现值平方和的平方根。
式中：б-现金流量标准离差；
бt-年现金流量标准离差，按公式（2）计算；
i- 无风险折现率；
t-时间序列。
经计算，本例现金流量标准离差б=4160万元。
（3）净现值小于零的概率的计算
在假定净现值为正态分布的基础上，可以根据期望净现值和项目资金流量标准离差，算出净现值小于零的正态分布图象面积，即净现值小于零的概率。投资者就可以按照自己对风险的容忍程度，根据这一概率决定项目的取舍。
本例先按下式计算正态分布的Kα值，即期望净现值相当于项目现金流量标准离差的个数 ：
Kα=E（NPV）/б
本例Kα=4713/4160=1.13
然后根据Kα值从正态分布表中查出正态分布图象左边尖角部分的面积，即净现值小于零的概率Pb。从正态分布表中查得Pb=0.1292。
项目采纳与否，要看项目投资者是否愿意为了取得4713万元的净现值而甘冒净现值小于零的 可能性为12.92%的风险。
2、调整折现率法
在对项目进行财务评价时，通常是采用银行中长期贷款利率作为财务折现率，由于银行贷款利率并不能准确真实地反映资金的时间价值，更不包含投资风险要求超过资金时间价值的部分，所以用银行贷款利率当折现率是不合适的。
按风险调整折现率法就是将项目因承担风险而要求的、与投资项目的风险程度相适应的风险报酬计入资金成本或要求达到的收益率，构成按风险调整的折现率，并据以进行投资决策分析的方法。
该方法的关键是确定风险折现率，具体计算由下式解决
K=i+b・Cv
式中：K-风险折现率；
i- 无风险折现率；
b-风险报酬斜率；
Cv-变异系数，按公式（3）计算。
无风险折现率i就是加上通货膨胀因素后的资金时间价值，西方投资机构一般取政府债券利率作为无风险折现率，我们可以加以借鉴或简化地按中长期贷款利率作为无风险折现率。
风险报酬斜率b，可以参照以往中等风险程度的同类项目的历史资料（可以在公路项目后评价工作中做这项工作），按下式计算：
b=K-i/Cv
式中符号同公式（7），K、i、Cv值为以往同类中等风险项目的参数。
按风险调整的折现率一经确定，就可以用它计算项目的净现值、内部收益率等经济评价参数值，具体计算不再赘述。
这种方法概念清晰，计算简单。缺点是把风险报酬与时间价值混合在一起，风险随着时间的 推延而被人为地逐年增大，这样处理与公路项目的实际情况有出入，因此用这种方法计算的 结果仅可作为公路项目投资的一种参考。
四、结语
本文对公路项目的风险管理做了一般性的理论分析，对风险估测和风险分析提出了计算方法 。公路项目的风险管理在我国还不成熟和不完善，尚需花费大量的人力、物力去研究，尤其 是其中的一些参数取值更应仔细研究。本文提出的计算方法，也有待于在实践中进一步完善 。
参考文献
学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 —— 一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。
本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，
“22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。
(1)在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如 的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如 的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
(2)在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程 的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。
(3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。
“22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
第23章 旋转
学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。
“23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。
“23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。
“23.3课题学习 图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系(平移、轴对称、旋转及其组合)，灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。
第24章 圆
圆是一种常见的图形。在“圆”这一章，学生将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。
“24.1圆”一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论，并运用这些结论解决问题。接下来，让学生探究弧、弦、圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。
“24.2与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念，并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。
“24.3正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系，介绍了等分圆周得到正多边形的方法。
“24.4弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公式。
第25 章 概率初步
将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢?学了“概率”一章，学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识，学生还会解决更多的实际问题。
“25.1概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念，然后通过掷币问题引出概率的概念。
“25.2用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。
