时间：2022-10-11 16:35:31
对于什么是数学问题，虽然目前尚无统一看法，但大体说来，它有以下特点：一是非常规性；二是重视情境应用，给出一种情境，一种实际需求，以克服一种现实困难为标志；三是探究性。[1]从历史角度来看，正是问题的提出、探究和解决，推动了数学科学的不断发展。从某种意义上来说，数学发展的历史，就是数学问题的提出和解决的历史。
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”
由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。
数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。
纵观数学的发展历史，可以看到数学问题在数学的历史进程中的重要作用。它既是数学发现的起点，又是数学发现的路标；它既有数学发展的探索和导向作用，又可以为数学理论的形成积累必要的资料；它既可以导致数学的发现和理论的创新，又可以激发人们的创造和进取精神。
由数学问题的形成和来源可以看到，数学问题种类繁多，但用于“数学问题解决”教学的问题大致有以下三种，它们具有不同的教育价值和功能。
1.可以构建数学模型的非常规的实际问题。21世纪是信息化的时代，是现代科技迅速发展的知识经济时代。随着数学和科学技术的飞速发展以及电子计算机和网络技术的广泛使用，科学技术数学化的进程日益加速。任何科学技术要实现数学化，都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，即建立有关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会，让学生根据观察和实验的结果，尝试运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后再进行证明。将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识世界的重要途径。非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求，只是为了克服实际碰到的困难。因此，要培养适应知识经济社会需要的高素质、创造型人才，就要进行数学建模的训练。培养学生数学建模的能力，是学好数学、用好数学的重要保障，也是基础教育不可或缺的任务之一。“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”[2](1)
2.探究性问题。通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题叫做探究性问题。这里，对于对象之间的数量关系、图形性质及其变化规律，数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人工作的一种重复和再发现，但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。”[2](65)数学命题的发现就是一个探索的
过程。例如，在学习了三角形内角和定理后，教师可以让学生通过观察和实验去探索四边形、五边形，六边形等多边形的内角和问题，然后通过归纳得到多边形内角和定理。通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于培养学生形成完整的独立人格具有重要的作用。3.开放性问题。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在第三学段教材编写建议中写道：教材可以“提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识”。[2](93)开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利于培养学生的创新精神、创新意识。例如，在ABC 中，三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果？这是一个结论开放的问题，由三边成等差数列，联系三角形的有关定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面积公式以及其他三角、几何定理公式，可得到许多结果，诸如sin A +sin C =2sin B ，等等。[1](197)通过对这个问题的探讨，不仅复习巩固了所学知识，将多学科的许多不同思想方法都联系到了一起，而且充分表现了思维的多向性、灵活性和创造性。
如前所述，问题解决中的“问题”主要是指那些非常规性的或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题。“问题”常常给出联系实际的情境，主体必须要将它数学化，并且必须探究解决问题的策略（数学方法）。数学问题的设计是数学问题解决教学的基础。要使问题解决教学取得良好成效，必须预先将问题设计好。好的数学问题应当具有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创新精神；具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味性和魅力；具有多种不同的解法或有多种可能的解答，即开放性；能推广或扩充到各种情形。[3]数学问题除了应具备以上特点，在设计时还要遵循以下原则。
1.可行性原则。在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区”内的问题。学生的第一发展水平和第二发展水平之间存在着差异。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区”，并注意适时、适度创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力；根据学生年龄特点、学生已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力或小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。例如，在初中阶段，学生学习了圆的有关性质以后，可以设计一道关于找圆心的问题。给学生一张上面画有一个圆的纸，提出问题：我们怎样确定这个圆的圆心？学生通过实际操作，可以用许多不同的方法获得答案。其中用到的数学知识有“半圆上的圆周角是直角”的定理，“弦的垂直平分线通过圆心”的性质，等等。[2](185)在小学高年级，甚至在中学阶段，可以将“六角星”问题，即“如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这些数填在六角星中各条线段的交点上，使每条线上四个数字之和都等于26”提供给学生进行探究。“六角星”问题是一个寓教于乐、数形结合的典型的开放性问题，并可进行不同的条件变化，得到许许多多不同的解。[4]
2.渐进性原则。渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。如当学生观察下面这些等式：1·2·3·4+1=？，2·3·4·5+1=？，3·4·5·6+1=？，4·5·6·7+1=？时可以发现，它们分别等于5，11，19，29的平方。这时可以提出问题：“从这些等式中你能发现什么规律？”当学生通过探索发现并提出一种归纳猜想时，可以进一步提出证明猜想的问题。然后，再进一步让学生观察类似的问题：1·3·5·7+16=？，3·5·7·9+16=？，5·7·9·11+16=？，7·9·11·13+16=？……能不能提出类似的猜想？进而，从等差数列的角度，能否再提出几个类似的问题？最后，能否把上面这些问题的共同规律找出来？这样，根据由浅入深、由易到难、循序渐进的原则，依次提出问题，逐步展开问题的探究，不仅可以把学生的探究活动步步引向深入，而且还可以培养学生学习数学的兴趣。
3.应用性原则。随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国的数学教育也越来越强调数学的应用，这是当前国际数学教育的重要动向。各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学生知识背景中提出问题，结合生活中的具体实例进行数学知识的教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用数学的能力，使学生能主动尝试用数学知识和思想方法寻求解决问题的途径。在数学问题的设计中，要考虑能将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题。义务教育阶段的数学课程，特别强调学生用数学的意识的培养。“应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。”[2](5)例如，在学生已经掌握三角形中边角关系及平面上周角的有关知识后，可给出这样的问题：“有若干个城市，它们之间的距离彼此互不相等。如果从每个城市都起飞一架飞机到离该城市最近的城市降落。证明：每个城市降落的飞机都不超过五架。”这个问题可以通过构造平面几何模型，应用简单的几何知识得到解决。[5]
如前所述，由于数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动，一般来说，它是非常规的、由情境给出的一种实际需求，并且具有一定的探究性。因此，数学问题的解决一般要通过以下几个过程来实现。
1.分析问题背景，寻找数学联系。通过对所给问题的分析，理解问题背景的意义，从中找出它们与哪些数学知识有联系，以便建立有关的数学模型，使实际问题数学化，从而使非常规问题转化为常规问题来解决。在这个过程中，要充分发挥学生的积极主动性，必要时可以让学生分组开展讨论，以集体的力量和智慧攻克难关。分析问题的步骤非常重要，万事开头难，只要攻破了这一关，学生就会信心倍增，就会以更高的热情投入到后面问题的探讨中去。在学生自主分析的同时，教师可在关键处给以必要的指导和点拨，以控制教学的进度，提高课堂教学效率。
2.建立数学模型。在分析的基础上，将实际问题符号化并确定其中的关系，进而写出由这些符号和关系所确定的数学联系，用具体的代数式、函数式、方程式、不等式或相关的图形、图表等把这些数学联系确定下来，就形成了数学模型。在建立数学模型的时候，可要求学生独立完成，因为前面的分析过程，已经使问题明朗化，一般情况下学生都可以独立完成数学建模任务。对于有困难的学生，也可以通过小组讨论来完成这一工作。
3.求解数学问题。根据数学模型的特征，可采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解。这里主要强调学生用数学的意识的培养和形成。一般情况下，只要数学模型建立起来以后，学生自然会去联想已学过的数学知识和熟悉的数学思想方法，通过推理和演算，达到问题的解决。
4.检验。将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验，看它是否与实际问题的情形相吻合，从而决定是否要修改模型或另辟途径。
5.交流和评价。在学生进行研讨、解决问题的过程中，教师要通过巡回观察及时了解和掌握学生的学习进度，对于有困难的学生及时给予必要的指导，也可以作为学生的伙伴和助手，参加到学生的探究活动中去。在多数学生完成任务以后，可组织学生进行交流，然后对各种模型进行评价。学生通过交流、评价，进一步完善各自的模型，同时也达到互相学习、取长补短、共同提高的目的。
6.推广。如果问题得到了解决，看它是否可以进行推广。如果解决过的问题是一个具体问题，就可引导学生通过归纳、类比和猜测，得到普遍的结论，然后再证明这个结论。例如，在学生学习过二次函数求最大（小）值及等差数列的有关知识后，可设计这样一个实际问题：一幢33层的大楼有一部电梯停在第1层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯不满意度是1，往上走一层楼梯不满意度是3。现在32人打算下到第1层且他们分别住在第2层至第33层的每一层。如果你是一名电梯管理员，请你确定将电梯停在哪一层可以使这32人的不满意度达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼。）在解决此问题的基础上，可推到一般情形n层楼时。
数学问题解决教学是通过创设情境，激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程。它强调使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力。通过问题解决能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，而且产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。由于问题解决教学是近年来受到广泛重视的一种教学模式，它强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学习者合作解决实际问题来学习隐含于问题背后的科学知识，形成解决问题的技能，并形成自主学习的能力。[6]所以，问题解决教学是通过高水平的思维来进行学习，来建构知识的。
传统的教学模式比较重视基础知识教学，基本技能训练，数学计算、推理和空间想象能力的培养，而不重视学生实践能力的培养和实际操作的训练，致使学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多。学生机械地模拟一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。在中小学数学课程中体现问题解决的思想，在课堂教学中采用问题解决的教学模式，为克服上述问题开辟了一条有效的途径。应当看到，在解决来自实际和数学内部的数学问题中，问题解决的过程和方法是基本相同的。不仅如此，这种过程和方法与解决一般的、其他学科中问题的过程和方法有很多共同之处。在数学问题解决中学习的过程和方法可以迁移到其他学科的问题解决过程中。因而通过数学问题解决，可以较快地教给学生一般的问题解决的过程和思想方法，从而提高学生的综合素质和能力。
在数学问题解决的教学过程中，既要注重发挥学生的主体作用，又要重视教师主导作用的发挥，二者相辅相成，不可偏废。特别是在讲到探索、猜想、发现方面的问题时要侧重于“教”；有时候可以直接教给学生完整的猜想过程，有时候则要较多地启发、诱导和点拨。因此，在一些典型的数学问题解决教学中，教给学生比较完整的解决实际问题的过程和常用方法，以提高学生解决实际问题的能力，应引起广大数学教师的高度重视。
参考文献：
[1]张奠宙，戴再平.中学数学问题集［M］.上海：华东师范大学出版社 ，1996.
[2]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社，2001.
[3]奚定华.数学教学设计［M］.上海：华东师范大学出版社，2001.
[4]于琛.数学问题的解决［M］.长春：东北师范大学出版社，2000.
——两步计算实际问题的教学思考
江苏省邳州市教育局教研室聂艳军
[摘要]新教材对于解决实际问题内容采用“以具体思维方法统整教学内容”的编排思路，其发展学生解决问题策略的意图是显而易见的。两步计算实际问题在解决实际问题教学中，占有十分重要的地位，分析与综合是学生经常使用而且必须掌握的基本策略。教学中，可以采用如下策略：“表征问题”，把潜在的经验曝露出来；陈述思维，体会思考的起点与方向；比较反思，从解题经验中提取可操作的成分；有效练习，在应用中深化体验。
[关键词]解决实际问题解题策略教学价值
新教材对于解决实际问题内容，变以往分类编排为按学生能力发展水平、由易到难编排，采用“以具体思维方法统整教学内容”的教学思路，即通过典型例题引路，在练习中把例题所提供的思维方法作为基本的思考模型，带动一大片题材宽广、数量关系丰富的内容学习。引领学生从过去过分关注问题的“表层结构”（问题所包含的事实性内容及其表述形式）转向现在更加关注它们的“深层结构”（问题内在的数学结构），其发展学生解决问题策略的意图是显而易见的。
两步计算实际问题与复杂实际问题的解题思路实质是相通的，只是计算的步数多少而已，抓好两步计算实际问题的教学对于学生的后续学习具有深远意义。两步计算实际问题的特征是：条件与问题之间存在着形式上的“分离”，即现有信息的结论指向与问题所需的信息之间存在着思维的障碍。学生在从当前的问题状态到达需要的目标状态的过程中，必须对数学信息和问题之间直接或间接的联系进行思考与分析。完成这种思维进程，分析与综合是学生经常使用而且必须掌握的基本策略。
下面结合苏教版课程标准实验教科书二下第82页的教学内容谈谈两步计算实际问题的教学思考。
一、“表征问题”，把潜在的经验曝露出来。
“表征问题”，就是让待解决的问题进入解题人的头脑，形成问题表象，也就是通常所说的理解题意。实际问题解答的成功与否，首先依赖于学生对实际问题内容的明确程度。新教材解决实际问题大多采用场景图的形式呈现问题情境。问题情境给学生创造一个模拟的“生活空间”，容易使学生体会到要解决的问题出自自己熟悉的生活原型，有身临其境之感。但是，解决问题所需要的数学信息是以对话、图画、表格、文字等多种形式镶嵌其间的，并呈现一定的无序性、隐蔽性，(教学论文 )很难形成对问题的完整印象。由此，指导学生从纷乱的现实情境中收集、整理数学信息，并按事情发生、发展的线索把问题说清楚、说完整、说准确，是首当其冲的。
[教学现场]
动画呈现例1场景图。大猴说：“我采了3筐，每筐12个。”小猴说：“我采了6个。”
师：图中讲了什么事？你能了解到哪些信息？
生1：大猴说：“我采了3筐，每筐12个。”小猴说：“我采了6个。”
生2：大猴采了3筐，每筐12个。小猴采了6个。
师：根据这些信息，能提一个数学问题吗？
生3：大猴和小猴一共采了多少个桃？
生4：大猴比小猴多采多少个？
师：我们先来研究第一个问题。谁能把条件和问题完整地说一说？
生5：大猴采了3筐桃，每筐12个，小猴采了6个桃。大猴和小猴一共采了多少个桃？
[教学分析]
经历将实际问题转化为数学问题的过程，是形成问题表象的通道。教师分三个层次引导学生经历这种转化的过程：首先，通过“图中讲了什么事？你能了解到哪些信息”，给学生留出充分的时间进入情境，引导学生仔细地看、充分地讲，把实际情境里的数学信息用自己的语言大胆地说出来。接着，要求学生根据信息提问题。收集、整理信息不是罗列条件，还要发现条件之间的联系，从中生成出新的、有用的信息（数学问题），由此唤醒学生的生活积淀和已有的原始经验，并孕育“由条件想问题”的综合思路。最后，通过完整地说一说条件和问题，把情境图表现的实际问题加工成语言讲述的数学问题，形成问题表象。学生经历将实际问题抽象成数学问题的过程，主要信息通过感知，不仅理解题意，形成完整的问题结构，而且把隐含在个体经验里的解题策略进行激活。这样，学生就容易形成对解决问题跃跃欲试的参与状态。
二、陈述思维，体会思考的起点与方向。
分析信息之间的关系，并用数学语言表述数量关系，形成解决问题的思路，是解决实际问题的核心。过去的教材教学两步计算的应用题时，在例题下面都有“想：根据和，先求”或“想：要求，需要知道和”。这样安排，漠视学生的主动性与能动性，容易形成限制学生的思维方式。新教材不再呈现思路提示，也并不等于学生可以“随意发挥”，教师无可作为。二年级学生虽然凭经验知道题目怎样算，但很难把自己的思维过程表达得清楚、完整。在初学两步计算的实际问题阶段，教师通过引导，使学生把自己的思维过程表述清楚、完整、有条理，还是需要的。这不仅有利于制定解题计划，更能加深学生对思维方法可操作成分的体验，为掌握基本策略提供物质基础。
[教学现场]
师：怎样才能求出大猴和小猴一共采了多少个桃呢？请小朋友先独立思考，然后在小组里说说自己的想法。
学生汇报讨论结果。
生：先用12×3=36（个），再用36+6=42（个）。
师：能具体地说你是先算什么，再算什么吗？
生：先求出大猴采了多少个桃，再把大猴采的个数和小猴采的个数加起来。
师：为什么先算大猴采了多少个桃呢？
生：因为小猴采桃的个数已经告诉，大猴采多少个桃没有直接告诉。
师：从题目中哪些条件能 算出大猴采的个数？
生：根据大猴采了3筐桃，每筐12个，可以先算出大猴采的个数。
师：谁能更完整地说说思考的过程？
生：因为大猴采多少个桃没有直接告诉，所以要先算所以先算大猴采了多少个桃，再把大猴采桃的个数和小猴采桃的个数相加。
生：先根据大猴采了3筐，每筐12个，求出大猴一共采了多少个桃，再和小猴采的6个加起来。
师小结：根据大猴采了3筐，每筐12个这两个条件，能算出大猴采了多少个桃，再用大猴采的个数加上小猴采的个数。
学生在作业本上独立列式解答，然后汇报，教师板书课题。
接下来，研究第二个问题。略。
[教学分析]
简单的乘加、乘减问题，从条件想比较顺畅，学生经常边读题边联系原始经验进行思考。张老师根据学生的学习心理，把思维的重点放在“综合思路”上，符合教材的编写意图。怎样使学生结合解题活动对这种思维方法能有良好的体验呢？“组织交流”是必不可少的环节。在很多教案里，教师也安排了交流，但对交流的内容、交流的重点、交流应达到的目的以及如何引导，没有细致的思考与准备，这样的交流难能让学生形成深刻的体验。在上面的教学中，教师首先鼓励学生独立思考，并在小组里说说自己的想法，这一方面是对学生已有的经验的尊重，另一方面也使得后面的交流活动“有话可说”。在第一个学生发言之后，教师通过“能具体地说说你是先算什么，再算什么的吗？”“为什么先算大猴采了多少个桃呢？”“从题目中哪些条件能算出大猴采的个数？”引导学生的交流逐步从零碎走向完整，从肤浅走向深刻。这样的交流，不仅孵化了解题思路，而且让学生体会到解决问题时思考的起点与方向。
三、比较反思，从解题经验中提取可操作的成分。
实话实说，现在的数学课堂很少再有教师示范解决实际问题的方法，代之而来的是让学生自主探索的解决问题的方法。然而，很多教师只关注学生的算法和结果是否正确，这种“只见树木”的教学行为，很难能让学生把例题学习的经验迁移到新的问题情境中去。由此形成的局面往往是，学生普遍感觉例题容易、练习较难。事实上，学生独立解决问题往往是在生活经验的支持下进行的。他们虽然对问题解决了，但对解决问题的过程与方法缺乏上升到数学层面反思、比较与提升，其认识表现出明显的情境性与局限性。因此，在学生积累一定的解题经验之后，教师应及时组织学生上升到数学的层面，重认自己的解题过程与方法，体会其中的思考，从解题经验中提取可操作的成分。
[教学现场]
师：请同学们仔细观察刚才的两道题，它们有什么相同的地方？
生1：条件相同，都是告诉大猴采了3筐，每筐12个。小猴采了6个。
生2：都要先算大猴采了多少个桃。
师：为什么都要先算大猴采了多少个桃呢？
生2：因为大猴采多少个桃不知道，不能直接相加、相减，所以要先算大猴采多少个桃。
生3：都是用两步计算。
师：有什么不同的地方？
生4：第二步不一样。一个用加法，一个用减法。
师：为什么呢？
生4：因为第一个问题是求两只猴一共采多少个，所以要把两只猴采的个数相加；第二个问题是求大猴比小猴多采多少个，所以要用大猴采的个数减去小猴采的个数。
师：以后解答问题时，要看清题目条件和问题，弄清先算什么，再算什么。
[教学分析]
回顾与反思是形成“策略”不可缺少的环节。有经验的教师在学生获得对问题的成功解决之后，会组织学生通过回顾与反思，及时把解决问题活动中所形成的潜在的、不规范的经验改造、提炼为有意识的、规范的形态。上面的教学为我们提供了这样一种示范：教师在学生自主探索例题与“试一试”之后，引导学生把解题的过程与方法作为研究对象，通过求同，提取思维方法中的可操作的成分；通过比异，加深对数量关系的进一步理解。学生在交流、比较、反思的过程中，逐渐把解题的感性认识提升成理性认识，并内化为可操作的经验系统。
四、有效练习，在应用中深化体验。
教育心理学家皮连生教授认为，认知策略的学致要经过三个阶段，第一个阶段是知道该策略是什么、有什么功用、包含哪些具体的操作步骤（陈述性知识阶段）。第二个阶段是结合该策略适用的情境，对如何运用这一策略进行练习，逐步达到能够熟练地执行策略的操作程序（程序性知识阶段）。第三个阶段是清晰地把握策略适用的条件，知道在什么时候、在什么地方使用这一策略，并主动运用和监控这一策略的使用（元认知阶段）。这三个阶段非一节课所能完成，而是一个连续渐进的过程。在学生初步体验综合思维方法的内涵后，教师应当及时提供题材丰富、数量关系多变的问题情境，让学生在应用方法解决问题的过程中，实现陈述性知识向程序性知识转化。[教学现场]
1.出示“想想做做”第1题。
师：这道题告诉哪些条件？要求的问题是什么？同位两人互相说一说，看谁说得有条理。
师：怎样算一共要多少元呢？先独立思考一下，再做在作业纸上。
学生汇报后，教师追问：15×2算的是什么？为什么先算它？
2.出示“想想做做”第2题。
师：怎样算还有多少棵没有浇？谁来说说自己的想法？
生1：我是这样想的，先根据“有4行树苗，每行14棵”算出一共有多少棵树苗，再从一共的棵数里减去已经浇的棵数。
师：说的太棒了！可以先根据男孩的话算出树苗一共的棵数，再算还没有浇的棵数。
生2：要求还有多少棵没有浇，就是从一共的棵数里减去已经浇的棵数，一共的棵数没有告诉，所以要先算树苗一共的棵数。
师：根据要求的问题
去想条件，也是一种重要的思考方法。
学生独立完成。
3.师：老师给每人准备一张卡片(注：小兔拔萝卜情境图)，卡片上有许多条件，还有问题。你们可以根据条件找相应的问题，也可以根据问题找相应的条件。请小朋友四人一组，找条件与问题。
1白兔拔了10个；2灰兔拔了30个；3白兔拔了2篮，4灰兔拔了3篮，
每篮5个；每篮10个。
问题：两只兔一共拔了多少个？
白兔比灰兔少拔多少个？学生讨论后，汇报。
生1：我们组选①②和“白兔比灰兔少拔多少个？”用30-10=20（个）
生2：我们组选①④和“一共拔多少个？”
师：你们是怎样想的？
生2：根据灰兔拔了3篮，每篮10个，先算出灰兔拔了多少个，再用灰兔拔的个数加上白兔拔的个数。
生3：我们组选③④和“一共拔多少个？”
师：你们是怎样想的？
生2：白兔拔的个数没有告诉，灰兔拔的个数也没有告诉。我们可以先求白兔拔了多少个，再求灰兔拔了多少个，最后把白兔拔的个数和灰兔拔的个数加起来。
[教学分析]
整个练习过程，教师的教学视点并非聚焦在学生解题的正确与否，而是突显对基本策略的体验上。教师通过给学生提供应用策略的广阔背景，让策略与解决问题的实践相随相伴，加深对策略要领的体验，获得对策略情感个体感受。首先，选择与例题相似的“乘加”情境， 让学生重温解决问题的过程；接着，设计“乘减”的变式情境，引导学生把例题中的思维方法向新的情境迁移；最后的选择搭配是一项富有挑战性的活动，情境给学生提供较宽的可供选择范围，学生带着前面学习所获得的成功体验，积极参与到自主探索、小组合作学习活动中，个体的数学经验、思维方法得以表征、凝固在活动结果上，学生不仅搭配出用一步、两步计算的实际问题，甚至还搭配出用三步计算的实际问题。而隐藏在学生创造性劳动成果背后的是分析条件之间的内在联系，综合思维方法得以充分历练。
综上，分析和综合是人们认识事物的基本思维过程，是解决问题的基本策略。具有并善于运用这些基本策略对分析问题和解决问题非常有益。让学生掌握分析、综合的思维方法，并内化成解决问题的策略，是一项阶段性工程，绝非一日之功，需要教师结合教学内容作出整体规划。
一是规划各阶段基本策略教学的重点。以苏教版教材为例，教材对两步计算的实际问题，分三段编排。第一阶段，二年级下册结合“两位数乘一位数”教学，安排简单的乘加、乘减问题；第二阶段，三年级上册结合“两位数加、减两位数口算”教学，安排“几倍求和（差）”、“比多（少）求和”的实际问题；第三阶段，结合“三位数乘（除以）一位数”教学，安排连乘（除）实际问题。结合学生的学习心理以及教学内容的实际，第一阶段以综合思维方法作为策略教学的重点；第二阶段以分析思维方法作为策略教学的重点；第三阶段重点是巩固分析、综合两种思维方法。“规划”确立了每一阶段教学的侧重点，使教学内容和目标更加明晰，但又要防止在教学中以一种思维方法限制、束缚学生的僵硬做法，要充分尊重学生的自主选择。上面的教学处理得很好：练习第2题，当生2出现“要求还有多少棵没有浇，就是从小树苗一共的棵数里减去已经浇的棵数，小树苗一共的棵数没有告诉，所以要先算小树苗一共的棵数。”教师及时指出：根据要求的问题去想条件，也是一种重要的思考方法。并且在随后的选择条件与问题搭配的练习中，教师将要求调整为“你们可以根据条件找相应的问题，也可以根据问题找相应的条件。”
关键词：数学 概率
一、引言
概率论作为数学的一个分支，与其他学科分支有着密切的联系，具有广泛的应用性。著名的数学家王梓坤院士指出：“用概率论的方法来证明一些关系式或者解决其他数学分析中的问题，是概率论的重要研究方向之一。”概率论方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可以解决一些确定的数学问题，而且某些在数学分析中很难解决的问题，只要运用合适的概率论模型或是定理，就能得到很好的解决。
二、概率论与数学分析的联系
众所周知，概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上，而概率论的调色板，则始终是以数学分析为底色的.但是作为微积分的一门后继课程，概率论并非按微积分中的思维方法发展下去，而是另辟蹊径，其发展路径与微积分大相径庭，最终成为了随机数学的典型代表，具备了与微积分分庭抗争的地位.更因其非线性、反因果的非理性特征，显得比经典的数学分析更具有时代精神.而作为确定性数学典型代表的数学分析对概率论的发展具有很大作用，因此寻绎数学分析在概率论中的地位，阐述概率论的因果特征是很有意义的.
集合论与概率论的公理化体系；集合论是在微积分的营养液中培育出的一颗明珠，而公理集合论使微积分的纷争彻底休止.众所周知，数学的研究对象一般都是内涵着某种结构的集合，或者是可以通过集合定义的事物.因此说，集合论可以充当整个现代数学的基础.在这一点上，数学分析和概率论都不应例外.由于集合论与微积分之间存在着明显的源和流的关系，又由于勒贝格积分有效地建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系.因而集合论对概率论的渗透可视为微积分对概率论的一次较有力的推动.
函数、随机变量与分布函数；在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间被简化为数集，概率相应地由集函数约化为实函数.以函数的观点衡量分布函数F（x），F（x）的性质是十分良好的：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导.因之，数学分析中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域.随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等等，显然借鉴或搬运了微积分的现成成果. 不难确知，概率论的公理化、体系化的动力源，不仅是集合论和测度论，更重要更基本的仍然是数学分析的那一套理论.因此，概率论形成体系后的高歌猛进，不妨视作概率论向着微积分的靠拢与回归.
级数在概率论中的特殊作用；200年前，拉格朗日就指出凡是函数都能用幂级数表示的事实.随后傅立叶发现所有函数都能用傅立叶级数表示，康托尔引入点集拓扑的概念.然而对概率论产生影响的不光是傅立叶级数，还有等比级数、二项式和式、调和级数等等.作用是方方面面的，有的构成反例，有的便于计算，有的揭示出了特殊的计算方法等等.
三、概率论方法解决其他分支数学问题
概率论方法解决无穷级数问题的意义 。无穷级数是无穷多项相加，可能收敛，可能发散。当级数收敛时，其和存在，然而如何求出收敛的无穷级数和，至今没有简便易行的统一求和公式。从上述六个例题中，不难发现，用概率论方法解决无穷级数问题避免了数学分析中求无穷级数的常见缺陷，利用广义贝努力模型等概率论模型，根据相关概率论模型的性质，直观地解决无穷级数问题，优势显而易见。
概率论方法解决积分问题。概率论是研究随机现象及其规律性的数学学科，它既有着自己独特的概念和方法，内容丰富，又与其他科学分支有着紧密的联系，具有广泛的应用性。在概率论中，连续性随机变量的概率分布函数、数学期望与积分有着一定联系， 这使得用概率论的思想方法证明某些积分不等式成为可能。下文将运用概率论的思想方法，重新推证一些积分问题。
概率论方法解决恒等式问题。复杂恒等式的证明在数学分析中一直比较麻烦的，然而通过上述三道例题的证明，我们可以看出通过构造合适的概率模型解决恒等式问题的相当方便的。只要我们等构造合适的概率论模型，根据概率论中的相关知识，我们可以将数学分析中的恒等式问题转化为概率论问题，从而解决恒等式问题，这样的方法简单、直接，是解决这类问题的好方法，不仅如此，用概率论方法解决恒等式问题还使得一些抽象数学在现实生活中找到具体的模型，使其具体化、直观化。
四、结语
数学分析与概率论作为数学的两个分支，它们之间一定有必然的联系。然而传统的概率论应用让我们很容易忽略概率论方法在解决数学分析中的应用：概率论方法解决极限问题、概率论方法解决无穷级数问题、概率论方法解决积分问题、概率论方法解决恒等式问题、概率论方法解决不等式问题，对概率论方法在数学分析中的应用介绍，我们对用概率论方法解决数学分析中的问题有一定启发：利用概率论方法解题的关键，是根据不同的数学问题，建立合适的随机模型，然后利用概率论中的相关定理，直接得到答案。概率论方法不仅在数学分析中能方便的应用，在其他的数学分支中也应该有其重要的应用。
参考文献
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[6]张德然.概率论思维论[M].合肥：中国科学技术大学出版社， 2004.
【关键词】中学数学 五阶段构想 思维过程
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）15-0143-01
数学问题解决就是在数学思维指引下，运用数学基础知识和基本技能分析与解决数学问题的过程。本文针对数学学科特点和中学生的年龄特征，提出了数学问题解决的思维过程的审题、转换、实施、检验、反思五阶段的构想。
一 审题
审题就是理解题意。我们所面临的数学问题本身就是“怎样解这道题”的信息资源，只不过题目中的积极暗示往往通过语言文字、公式符号以及它们之间的关系间接地告诉我们。因此，开始研究题意时，应逐字逐句地思考问题中每一个词（每一个符号、术语）的意思，仔细做出直观的图形、表格和步骤，使之直观化、具体化，清晰地罗列出问题中的各个元素，弄清楚其中哪些元素是已知条件，哪些是所求的未知结论。条件与结论之间和哪些知识有关？尽量找出题中的重要元素。做到以上各项，就意味着你对整个问题有了清晰的、明确的和具体的印象和理解。如果在此基础上，我们可以确定解题的策略，那么只需要将此决策付诸实施。如若不行，则需要尝试着进一步全面、深刻地理解题意。从题目的语言结构、逻辑关系、数学含义、解题方法、数据要求等方面真正理解题意，从题目本身获得尽可能多的信息，为实施正确的解题策略提供尽可能多的客观基础。
二 转换
转换就是在审题的基础上，寻求已知与未知之间的转化。这就需要善于运用联想、类比、模拟和归纳分析等手段，把问题转化为较熟悉的或简单的问题，从而确定解题的策略。一般地说，在对问题有了完整的印象和理解的基础上，我们可以从已知条件或未知结论的任何一方入手，架起沟通已知与未知之间联系的桥梁，从而使问题得到解决。如果能与一个类似的有关的熟悉问题联系起来，就可以构造并解决类似的问题，从中找到解决原题的途径。如若不然，可以适当地简化问题的条件，考虑问题的特殊情形，通过特殊化问题的解决猜想出一般化问题的结论，再加以证明，从而使问题得到解决；或者将题目的条件或结论扩大到容易入手的一般性问题。通过解决一般化问题的方法、技巧和结果，顺利解出原题。在整个探索解法的过程中，就是利用抽象思维、形象思维、直觉思维的各种方式，充分调动大脑的认知结构，对问题的求解进行直觉的洞察、深入的分析和丰富的联想，特别是形象思维和直觉思维尤为重要。
三 实施教学方法
实施是在找到解题方法以后把它付诸实施，也就是展开解题思路，构思解题步骤，实施具体运算和推理的过程，是解决数学问题的中心环节，是训练有条理地思考问题，表达想法的有效途径。解题过程要规范，要做到正确、合理、完满、清楚及简洁。
四 检验
检验就是对整个解题过程加以检验、查证，可采用“以粗为主、精细结合”的方法来检验。“粗”指的是检查题意是否误解，已知数据、图形是否出错，条件是否全部用上，是否符合解题要求，解题过程是否合理，步骤是否完整，结果是否科学。即从整体上粗略检查题解。“细”指的是检查解题过程中的每一步推理是否合乎逻辑，每一步计算是否准确无误，所用到的数学知识是否准确。此外，还可以根据题目自身的特点，变换角度检验。即通过不同的途径、方法来核对结论的正确性，培养学生的辨证思维能力。
五 反思
【关键词】小学数学 问题解决 认知模型
1.已有数学问题解决模型
1.1.国内相关研究
喻平从解题的认知加工行为出发，将解决问题的阶段与相应的认知加工方式相对应，认为数学问题解决就是解题者在自己的长时记忆中提取解题图式用于新的问题情境的过程。[8]他把数学问题解决分为理解问题、选择算子、应用算子、结果评价四个阶段，与这四个阶段相对应的认知过程分别是：问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控。张庆林等人把小学数学应用题的认知过程分为三个阶段：表征问题、解答问题、思路总结。[9]
1.2.评述
小学数学问题解决过程已有大量研究，取得了较大成就，但也有很多问题需要进一步的探讨。
（1）心理学把问题解决的过程划分成不同的阶段，划分比较粗略，虽然有些模型（如Grick、喻平等人的模型）针对问题解决的阶段分析了对应的认知加工方式，但这些模型没有考虑小学生的认知特点，对每个阶段的认知过程分析和研究还不够深入。
（2）心理学针对问题解决的某一环节进行了深入研究，如问题表征、问题图式等，并没有完全揭示问题解决的整个认知过程，需要对整个问题解决过程进行全面的分析和研究。
（3）针对问题解决认知过程的分析，仅是为了“分析而分析”，很少考虑认知过程分析对教学的帮助。
2.精选生活情境，激发建模兴趣。
数学来源于生活，又服务于生活，因此，要将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景。情景的创设要与社会生活实际、时代热点问题、自然、社会文化等与数学问题有关的各种因素相结合，让学生感到真实、新奇、有趣、可操作，满足学生好奇好动的心理要求。这样很容易激发学生的兴趣，并在学生的头脑中激活已有的生活经验，也容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。
如构建“统一长度单位”模型时，可以创设这样的情境：让学生用身边熟悉的铅笔、文具盒、小刀、橡皮等长短不一的物体量数学书的长度，结果学生量出的数据各种各样，谁也不知道数学书的具体长度，这时需要寻求一种新的策略，于是构建“统一长度单位”的模型成为学生的需求，同时也揭示了模型存在的背景与适用的条件。
3.感知积累表象，培育建模基础。
感性材料是学生建立数学模型的基础，，教师首先要向学生提供丰富的感性材料，让学生多侧面、多维度、全方位感知这类事物的特征或数量间的相依关系，为数学模型的构建提供可能。所以，在通过情境的创设激发起学生的建模兴趣后，教师就应该设计有创造性的问题，引领学生进行探讨，让学生产生认知冲突，引出个体的思维深刻度、广阔性和灵活性。例如：在教学三角形面积时，提供给学生的学具除了两个完全相同的三角形之外，还应该补充一些不完全一样的三角形，锐角、直角、钝角三角形都应该提供。在动手操作的过程中学生会遇到很多冲突和问题，并不是能够很轻易地解决的，随之进行激烈地讨论以及充分地思考、反复多次地操作后终于发现锐角、直角、钝角三角形，只要是两个完全相同的三角形就可以拼成一个平行四边形（直角三角形可以拼成长方形、直角等腰三角形则可以拼成正方形等等），从而发现规律得出面积计算的公式。
4.解决实际问题，拓展模型外延。
从具体的问题经历抽象提炼的过程，初步构建起相应的数学模型，还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。解决问题具体表现在两个方面：一是布置数学题作业，如基本题、变式题、拓展题等；二是生活题作业，让学生在实际生活中应用数学。通过应用真正让数学走入生活，让数学走近学生。用数学知识去解决实际问题的同时拓展数学问题，培养学生的数学意识，提高学生的数学认知水平，又可以促进学生的探索意识、发现问题意识、创新意识和实践意识的形成，使学生在实际应用过程中认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。如学习了“鸡兔同笼”问题后，我们可以设计如下的变式练习：全班同学46人去划船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，大、小船各多少只？再如教学“小数乘法”一课时，教师可以选择安排学生在超市中购物的现实情景，超市中有许多学生感兴趣的琳琅满目的商品，让学生按照各种要求在超市中进行购物，比如班级开展联欢会，要给每位同学准备一些食物、奖品等，让他们先自由分组，再在小组中展开广泛地讨论初步得出采购的内容和数量，再进行分工开始购买商品，最后算一算每种商品的价钱以及购物的总价。不仅使学生在轻松愉快地活动中掌握了小数乘法同时也复习了加法的相关知识，更使得学生进一步地体会到数学来源于生活的道理。在解决实际问题中，学生需要搜集大量的信息，并从信息中剔除无用信息，留下有用信息，构建起数学模型，并运用数学模型进行计算、解决问题。在这一过程中，学生易于形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯，激发学生的创新精神。这样，使模型的外延不断得以丰富和拓展。
【参考文献】
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[2].周健；；试论汉语教学的语感培养[A]；对外汉语教学的全方位探索――对外汉语研究学术讨论会论文集[C]；2004年
中图分类号：G712 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）19-028-01
一、分类讨论的内容
分类是自然科学中的逻辑方法之一。数学中的分类是于比较为基础的。对特定的数学问题，比较识别出数学对象之间或涉及的范围的共同点和差异点，然后根据共同点将数学对象或有关范围归结为较大的类；根据差异点将数学对象或有关范围划分为较小的类，从而将数学对象或有关范围划分为有一定从属或包含关系的不同的等级系统。分类分化了数学问题的难度，对每个子问题而言，原来问题中的不确定因素变成了确定因素（附加了条件），使消极因素变成了确定因素，为问题的解决创造了有利的条件。分类讨论在解决一些数学问题的时候，往往起到很重要的作用。
分析：这次分类也是按有关参数所满足的范围（条件）进行的分类。不同于例题1，这次在解题开始就进行了分类，应注意到在解题之前通过分析原式的特征理解到 和 将会使得问题向两个不同的方向发展，这要求我们按 所满足的条件进行分类讨论。
参数所满足的条件隐含在数学问题之中，需要我们认真分析，找到问题
的本质属性，进行有效的分类给我们解决问题带来益处。
三、分类讨论方法的运用总结
分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想。它有着自己的思维程序和运用方法，分类讨论的思想可以用下面的方框图来表示：
用分类讨论的方法解决一般的数学问题一般如下面的过程操作：1、明确对象的全体，确定需要讨论的对象。这一步要求弄清数学问题要研究的对象以及解决数学问题要达到的目的。2、确定分类的标准。这一步是关键，也是解决数学问题的突破口，理解数学问题的本质，找到恰当的分类标准，在没有完成某一级分类前所用的标准是确定的。3、定法。即按确定的标准恰当的分类。分类问题时要求分类简明扼要，常见的方法有二分法，三分法等等。4、归纳总结，得到结论。
笔者认为：分类讨论做为一种解决数学问题的方法时不应是孤立的，也应该适当的和其他的数学方法结合，使我们的方法更为简捷，思路更开阔另一方面分类讨论也有其不足的地方，有些问题不用分类也会更简单在研究分类讨论方法的同时我们也应注意研究简化讨论的方法。
事物的辩证性要求我们多方面，全方位的考]问题，希望本文的工作能够给读者一些启示。
一 引言
概率论与数理统计是定量研究随机现象规律性的数学学科。随着科学技术的发展，概率论与数理统计已广泛引用于农业院校各专业的科学研究中。目前中国的农业院校都开设了概率论与数理统计，虽然课程概念比较抽象，计算繁杂，学起来较困难，但这是应用性最强的大学数学课程之一。不过近年来，伴随着高校课程改革，高等农林院校本科生教学计划中概率论与数理统计课程的教学学时不断减少，所以必须对此课程的教学方式和方法进行改革。
全国大学生数学建模本文由收集整理竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。随着竞赛的推广，数学建模被越来越多的教师与学生所熟悉。所谓数学模型，是指现实世界中的实际问题用数学语言表达出来，即建立数学模型，然后求解，以此解决现实问题的数学知识应用过程。将数学建模运用于数学教学有利于培养学生的洞察能力、联想能力、数学语言翻译能力、综合应用分析能力和创新能力，此教学模式的运用切合新时代培养通专并用，全面发展的高素质人才的需要。笔者认为，在当前的概率论和数理统计课程中可适当增加数学建模思想，培养学生的创新能力和应用能力，激发学生的学习兴趣，这也是本论文的切入点。
二 农业院校概率论与数理统计教学中存在的问题
1.中学与大学数学教育内容的脱节
中学课改后的毕业生开始进入大学，课程改革中对数学课程的知识范围和要求改动了很多，学生们已经学习过部分概率论的知识，但中学时学习概率的思维方式与大学数学不同，很多学生依旧用中学的学习方式学习概率论与数理统计，造成了他们学习上产生挫败感。
2.教师的教育观念缺乏与时俱进
大部分大学数学教师并没有意识到中学课程改革对这门课程和学生们的影响，依旧按照传统教学方式讲授，注重定理、推论、证明、计算，而新一代的大学生很难快速适应新的学习方式，所以增加了学生的学习难度。
3.教学内容缺乏应用性
概率论和数理统计的教学过于强调基本理论，缺乏对农业科学的交叉性应用研究。农科专业的学生普遍感觉学数学对将来的生活工作没有用处，所以导致学生缺乏学习的动力和兴趣，只是为了通过考试而学习。
4.考核方式过于死板
多年来，概率论和数理统计的考核方式始终一成不变，偏重于期末的闭卷考试，试卷主要考查计算和一些固定模式的应用题型，导致学生死记硬背、应付考试，不利于激发学生的创新兴趣。
三 建模思想在概率论和数理统计课程上的应用
针对以上问题，建议改革教学方式，通过引入数学建模思想激发学生的创新思维。
1.改变教学内容，增加应用型教学的引入
首先，提倡教师了解中学课改中影响概率论与数理统计的内容，充分利用学生已学过的概率论知识，避免重复教学，但要强调中学数学与大学数学不同的思考方式。在教学内容中吸收和融入与实际农业科学研究问题有关的应用性题目。历年全国大学生数学建模竞赛题目中不乏农科专业相关的题目，如“作物生长的施肥效果问题”（1992年a题）、“dna序列的分类问题”（2000年a题）、“葡萄酒的评价”（2012年a题）等。这些题目都与现实农业生产生活密切相关，在解决这些问题过程中能很好地锻炼学生自主地、能动地认识、理解问题的能力。
但是，如果直接把数学建模的题引入日常教学中，将面临下列问题：（1）数学建模竞赛的题目一般是涉及面很广，需要很多专业知识和良好的数学功底，而农科院校的学生的数学基础薄弱，在没经过培训的情况下解决竞赛题目困难较大；（2）要较好地解决建模题目需要大量的时间，这在课时有限的概率论与统计课程中不可能实现。
上述两个问题的解决思路：（1）如果直接运用竞赛原题，可以把重点放在（1）（2）两个比较简单的问题上，删除题目中与这两个问题没有关系的条件，或简化题目背景以适应课堂教学；（2）引入一些数学建模集训小题目，这些题目类似于课后习题，但实用性更强，甚至可以留作课后作业，引导学生分组讨论，学生共同完成。
2.改变教学方法，引入相关教学统计软件
教学方法方面，重心不能一味地放在定理、证明、计算上，应抛弃“满堂灌”的教学方法，采用启发、归纳的教学模式，通过建模思想的引入，使学生由浅入深、由直观到抽象地认识概率论和数理统计在实践中的应用，真正掌握数学概念和方法，并从中获得学习上的乐趣。
数学实验课在农业院校中开展的相对较少，大多以选修课的形式出现，笔者建议在概率论与数理统计课程中安排1～2次实验课，讲授统计软件的应用。随着近代计算机技术的迅速发展，软件技术日益成熟，概率论与数理统计中很多计算问题都可以借助于软件操作。农科高校的学生普遍计算能力不强，尤其是建模例子中的数据样本量比较大，计算过程复杂，学生手算起来比较困难。现有的统计软件，如sas、spss等世界通用的软件，可以解决较大数据量的概率与统计方面的题目，如数据处理、数据拟合、参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等问题，而且一般的菜单操作就可以解决这类问题。学生学习一些简单的软件应用，可以增强他们的应用意识和动手解决实际问题的能力，反过来促使学生主动学好概率论与数理统计的理论知识。
3.改变学习观念，提高学生的学习兴趣
建模思路的引入，能有效改变大学生的“数学无用论”。作为教师，我们应根据课程的主要知识点，与相关专业教师加强交流合作，搜集整理大量的农科专业问题，并用建模的方法进行解决。当然，课程的教学不一定都需要完整地解决一类问题，只要题目背景来自农科专业或采用农科数据，就能在很大程度上调动学生的学习积极性，让他们知道将来的学习和生活中确实能用到概率论与数理统计的相关知识。
4.改变考核方式和方法
概率论和数理统计是一门实用性较强的学科，特别是数理统计方面的题目，若采用传统的阅卷考核方式考查，只会导致学生用死记硬背、题海战术等方法应付考试，导致学生被动学习，缺乏学习的兴趣。
针对这种现象，笔者认为应让学生在实际中学习，并将所学归还于实际。因此老师平时布置作业时应布置一些实践题型，让学生自己学会去思考。关于考核形式的改革，为了达到“以教为导，以学为主，自主解决”的教学目的，在期末检测时，应采用期末考试（50分）+论文（30分）+平时成绩（20分）的考核方法，其中课程论文要求学生自己找问题，建立模型，利用概率论与数理统计知识解决问题。这样既考查了学生对理论的掌握程度，又能将理论应用于实际中，使得学生在学习过程中更加重视知识的综合运用和创新能力的培养。笔者曾在教学班级中做过类似的尝试，即鼓励学生将建模的思想用到课程学习中，获得了明显的效果。
关键词： 高中数学教学 数学思想 数学解题 应用
数学解题技巧是数学学习的重要组成部分.数学学科的内容繁杂，问题多种多样，使得数学解题教学困难重重.“授之以鱼，不如授之以渔”，题海战术不是解决数学问题的有效方法，培养学生的数学思维，帮助学生掌握数学思想方法，才是数学解题教学的关键.有效的数学思维锻炼方法能够帮助学生更深层次地理解数学题目的关键点，当学生再次遇到相似的问题时，能够做到以不变应万变，从而取得事半功倍的教学效果.
1.数学思想对高中数学教学的影响
在人类认识事物的过程中，思维活动扮演了十分重要的角色.思维反映了事物的本质和事物之间存在的客观规律，因此，一个人的思维能力直接影响其认知能力.具体到数学思维，指的是人类在学习数学的过程中，人脑认识数学规律的学习过程.学生在学习基本数学知识的基础上，通过观察，对不同的数学知识进行对比，在温故知识的过程中不断激发对数学的学习欲望，掌握特殊的数学思考方式，例如归纳演绎、联想实验等.因此，在数学学习过程中，数学思维能力的高低关系到学生是否能够建立完善的知识网络和知识系统.
首先，数学思维有利于开发学生的思维潜能，锻炼学生思维的灵活性.数学思维主要包括思维敏捷性、深刻性和创造性等方面.经过系统的思维训练，能够激发学生的思维潜能，拓宽学生的数学学习思路，丰富学生的数学学习方式，改变学生按部就班的学习习惯，帮助学生开拓创新，在此基础之上保证良好的数学学习效果.
其次，数学思维能够开发学生的观察能力.观察是学生进行数学学习的最初步骤，人脑的任何思维活动都是从观察开始的.人通过观察认识事物，挖掘事物内在与外在的特点，从而认识事物的本质.而没有经历思考过程的观察是盲目的，无法认识事物的本质.在数学学习过程中，数学思维能够将数学观察和理论知识统一起来，对事物进行数学处理，从而解决实际问题.因此，数学思维能够开发学生的观察能力，培养学生良好的观察习惯，激发学生的学习兴趣.
2.数学思想在高中数学解题中的应用
在数学学习过程中，我们经常用到的数学思想有哪些呢？教师在教学过程中应当如何开发学生的数学思维呢？笔者结合自身的教学经验，谈谈高中数学解题中常用的数学思想.
2.1分类讨论思想在数学解题中的应用
在高中解题中，很多学生会发现，有些数学问题看似简单，但是随着问题的逐渐展开，我们往往无法再以某种统一的方法解决这一问题，这种数学问题常常包含多种情况，需要学生具体情况具体分析，将一道题分为不同的情况，根据不同的方法进行解答，最后将结果集中起来，从而达到由难化简、有整体化部分的目的，最终解决问题.这就是分类讨论思想.
学生在运用分类讨论思想解题时，需要注意以下几点.首先，找出分类讨论的关键点.数学题中往往隐含需要分类讨论的启发性条件，我们只有为分类讨论找出足够的理论依据，才能够运用分类讨论思想.例如，有些数学公式在不同的数学条件下有不同的公式定义形式，一些几何问题由于图形变化而导致结果不确定等.同时，在明确分类原因后，我们需要正确运用分类讨论的方法；分类讨论要做到不重复、不遗漏，一个很关键的因素是统一分类标准，滥用分类标准很容易在解题过程中思维混乱，层次不清，最终导致错解.最后，做好整合工作，分类讨论解题的整合工作十分重要，将重叠的部分好好整合，尽量简化计算结果，做到简明扼要，一目了然.
下面以一个简单的集合例题感受一下分类讨论方法在数学解题中的具体应用.
2.2转化与逆向思维在数学解题中的应用
高中解题中常常用到转化思想.根据布鲁姆的教育理念，转化思想是将某一问题从一种表达形式转换成另一种表达形式，以简化问题的解决方式.转化方式在解题中的应用多种多样，可以将描述性语言转换为图形语言，可以将正面表述转换成反面表述.高中数学难度大、内容多，巧妙运用转换思想可以将陌生的题目转换成熟悉的题目，将复杂的问题转换成简单的问题，从而达到解决问题的目的.
我们以转化思想中的逆向思维为例进行说明.当我们在解决数学题目的过程中，运用正向的分析方法遇到困难时，可以转化为逆向思维尝试解决问题，即反证法.其原理原命题与其逆否命题等价，我们可以通过解决逆否命题来解决原命题，条件是逆否命题较为简单.下面以一个概率问题进行说明.
分析：首先尝试从正面解决该问题，“至少一人投篮成功”包括三种情况：一种是只有一人投篮成功；一种是两人投篮成功；一种是三人均投篮成功.从正面解决问题需要对问题进行分类讨论，较复杂.我们可以将问题转化成对立事件进行分析，即“没有人投篮成功”，而“至少有一人投篮成功”的概率=1-“没有人投篮成功”的概率.
2.3数形结合思想在数学解题中的应用
分析：集合的并、和、非等运算看似简单，但是综合在一起时，学生往往顾此失彼，考虑难以周全，最后造成无从下手.而数形结合就是集合问题的克星，根据题中的条件在维恩图中一一进行标记，就可以轻松得到答案.
2.4整体思想在数学解题中的应用
整体法是数学解题中经常用到的数学思想.多数数学习题都是源于课本而高于课本的，往往看起来复杂的数学题实际上是将旧知识进行重新整合，从另一个角度考查学生对知识的掌握程度.在数学解题过程中，学生常常遇到这样的困难，即有的题目好像条件根本不足以解决问题，造成问题无从下手.实际上，过于纠结这些细枝末节的问题容易为解题带困难，有意识地运用整体构造法能够帮助学生运用旧的知识解决新的问题.我们以一个常见的三角函数问题进行说明.学生经常用到且比较熟悉的角度有：45°、60°、30°等，而碰到22.5°和15°就不知如何解决，其实我们可以将它们与熟知的45°、30°相联系.
3.总结
掌握数学思想方法，在是解决数学问题的有效利器.除了以上谈到的整体思想、分类讨论思想和转化思想之外，常用的数学思想还有化归思想、数形结合思想等.教会学生灵活地运用数学思想有利于激发学生的学习兴趣，培养学生思维的缜密性、科学性等优良品质，提高学生学习效率.
参考文献：
[1]赵宝玲.浅谈如何激发学生学习高中数学的兴趣[J].大众文艺（快活林），2009（24）.
关键词：数学问题问题解决教学教育功能
20世纪80年代以来，问题解决已成为国际数学教育的一种潮流。什么是数学问题解决呢？美国数学教师全国委员会1980年出版的用以指导80年代学校数学教育的纲领性文件《行动的议程》指出：“问题解决包括数学应用于现实世界，包括现时和将来出现的科学理论与实际服务，也包括解决拓广数学科学本身前沿的问题；问题解决从本质上说是一种创造性的活动，问题解决能力的发展，其基础是虚心，是好奇和探索的态度，是进行试验和猜测的意向”。同时，明确提出了应当以“问题解决作为学校数学教育的中心”，这与波利亚在《数学的发现》中的观点是完全一致的。波利亚指出“关于数学教学的目标，我有一种老式的想法，即首先和主要的是必须教会那些年青人去思考……”教会思考“意味着数学教师不仅仅应该传授知识，而且也应当去发展学生运用所传授的知识的能力：他应当强调由实践而来的能力，有益地思考方式及应有的思想习惯。”
1988年，发表的美国《21世纪的数学基础》更是明确提出“数学问题解决是把前面学到的知识用到新的和不熟悉的情景中的过程，而学习数学的主要目的在于问题解决。”
一、数学问题与数学问题解决教学
1.数学问题
张奠宙教授认为，“数学问题”解决中的问题大致可分为以下三类：
一是可以构建数学模型的非常规的实际问题。非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求，只是为了克服实际碰到的困难。数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象，数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会。所谓建立数学模型，即把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，让学生根据观察和实验的结果尝试运数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后再进行证明。最后，将经证明正确的结论再回归到实际情境中去。
二是探究性问题。所谓探究性问题是指通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题。这里对于对象之间的数量关系、图形性质及其变化规律、数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人工作的一种重复和再现，但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。
三是开放性问题。开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利培养学的创新精神、创新意识。
数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。数学问题和数学“问题解决”是数学活动的核心所在，希尔伯特说：“某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量问题，它就充满着活力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”
2.数学问题解决教学
数学问题解决一般方法是通过对所给问题的分析，理解问题背景的意义，从中找出它们认识结构中已有数学知识的联系，在此基础上构建相关数学模型，使非常规问题变成常规问题，然后运用数学思想、方法及数学知识对建立的数学模型求解，最后再将求解结果返回到实际问题中去进行检验。
建立数学模型解决实际问题的一般过程可用框图表述如下：
数学问题解决教学是通过创设情境，激发求知欲望，使学生亲身感受和体验分析问题解决问题的全过程。它强调使用数学的意识，培训学生的探索精神，合作意识和实际操作能力。通过问题解决教学能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，从而产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。
关于数学问题解决教学，郑毓信教授认为：“问题解决”应当成为数学教育的中心环节。数学教育应以帮助学生学会数学地思维作为主要目标，并以“问题解决”促进具体数学知识和技能的学习。对大多数学生来说，解决问题的能力不会“自然而然”地形成，需要长期的、充分的实践和适当的教学。
二、问题解决教学的教育功能
1.激发对数学的情感，提高学习数学的兴趣和品质。
在数学教学实践中，常常有学生会问：“为什么要学数学，学了数学有什么用？”认为“学习了数学除了应付考试以外没有任何价值”，许多教师往往会教育学生数学知识很重要，数学方法很有用，但到底有什么用又说不清楚，导致学生对数学缺少情感，对数学学习缺乏兴趣。
数学问题具有非常规性、探究性及开放性特征。非常规性的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求，只是为了克服实际碰到的实际困难。学习者亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，在获得对数学理解的同时，学习者在思维能力、情感态度与价值观等方面也将会有进一步的发展。
数学问题的探究性特征，决定了学习者对于对象间的数量关系、图形性质及其变化规律、数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人工作的重复和再现，但知识的形成、发展过程被学习者有意义的重新构建。“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索交流的学习之中。”
通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力、科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于培育学生形成完整独立的人格具有重要的作用。
《课程标准》建议教材可以“提供一些开放性（在问题条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索过程中进一步理解所学知识”，许多开放性问题的探讨与解决过程会综合运用许多不同学科的不思想方法，表现出思维的多向性、灵活性和创造性，有利于培养学生的创新精神、创新意识，从而养成思维的灵活性、发散性。
2.促进正确数学观的建立和形成
所谓数学观即关于“数学是什么”的问题的具体分析。我们应当树立这样的观念：应把数学看成是人类的一种创造性活动，而不应把数它看成是某些凝固的、僵化的“知识”（包括概念、命题、算法、解题技巧等）的简单汇集。
就数学活动的具体内容而言，其直接表现形式即可说是“问题解决”。但是，如果从更深的层次去分析，我们则又应当明确强调“模式”的概念在数学中的核心地位。这就是说，在数学中，我们是通过相对独立的量化模式的建构，并以此为直接对象从事客观世界量性规律的研究――从而，在这样的意义上，我也可以说，数学即是“模式的科学”。
另外，数学一向以严谨的演绎思维、慎密的逻辑推理将知识和方法展现给世界。课本中演绎性的表述掩盖了数学知识发生和发展的过程。荷兰著名数学家弗赖登塔尔说：“没有一种数学的思想以它被发现时的那个样子公开发表。一个问题被解决后，相应地发展成为一种形式化的技巧，结果是把求解过程丢在一边，使火热的发明变成冰冷的美丽。”数学知识发生和发展的过程充满着实践和不断的反复，在建立一个成熟的结构和理论之前，实践和归纳起着决定性的作用。数学知识既有演绎的一面，又有实践的一面，数学的实践性决定了数学的应用价值。数学以严谨的逻辑思维为手段的研究方式充分发挥了人的心智的功能，使数学具备了理性价值。
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在问题解决过程中，把数学的形式化的逻辑链条恢复为当初数学发明创造的火热思考，展现数学家的思维过程，让学生体会到创造过程活的思维，认识到数学正是在猜想、证明、错误中发展进化的，数学的进步对传统观念的革新，从而激发学生的非常规思维，使他们感受到抓住恰当的、有价值的问题将是激动人心的事情，而问题解决的过程正是上班述过程的缩影或延续，使学生全面理解、正确认识数学。
三、“问题解决”背景下的数学课堂教学
一种普遍认同的观点，在数学教学中，学生处于主体地位，教师发挥主导作用。问题是如何理解学生的“主体地位”、教师在教学中如何发挥“主导作用”？
传统的教学是这样的：先由教师给出问题，学生则被要求去求出解答。学生在从事解题活动时，可以作出如下假设：这一问题具有唯一的、确定的解答，而且这一解答可以用新学过的算法去求得。他们并认定教师将按照他们在表面是否努力工作及在表面上是否成功对他们作出评价。他们还可以认定教师早已知道了答案，而自己则可以通过提问由教师处获得关于解答的提示；他们可由教师的表情和态度等知道自己是否正沿着正确的道路前进。
与此相对照，美国数学家舍弗尔德给出“解决问题”背景下数学教学的描述是这样的。教学主要由“全班性的讨论”和“分组工作”组成，教师在此则主要是从启发法和“调节”的高度进行指导的帮助。
具体地说，当全班一起进行工作时，教师的作用就如一个乐队指挥，即是如何对学生的建议进行协调，而并非是要把学生引向某个事先确定的解法。对于那些学生已经具备了足够的数学背景的问题，教师的责任主要就在“调节的方面作出示范。”通过启发引导，使学生认识到：在冒然地投入到解题活动之前，应当首先，弄清题意。另外，在学生关于解题的最初建议确定可行的情况下，教师也应要求学生提出更多的可能的解法。如有三四种不同的建议，这时教师就可以组织学生对应作怎样的选择和为什么作这样的选择进行讨论，并建议学生思考“现在看来这条路是否行得通？我们是否应当试一试其它的途径？”最后，一旦取得了结果，全班则又应当进行进一步的讨论：先是对所已进行的工作进行总结，并指明可以改进的地方；另外，如果在此是采用某一建议而获得成功，全班则又应当考虑其它建议能否提供不同的解法。另外，在采取“分组工作”的形式时，教师的作用就像是一个“解题教练”。具体地说，在此所涉及的既有启发法方面的问题，也有“调节”方面的问题。就前者而言，应当注意的是，如果学生有足够的理由去作某件事，那么无论这是否与启发性原则相一致，都应让他们按自己的选择去作业；而如果缺乏这种充足的理由，教师则可应用启发法去帮助他们进行选择。另外，与启发法相比，“调节”方面的问题应当说是更为复杂的，因为学生的调节行为常常是不明显的、并且没有能够得到足够的重视。这时，教师应当经常向学生提出以下三个问题：你现在在干什么？你为什么要这样做？它事实上起到了什么样的作用？通常在开始时，学生并不能对这些问题做出明确的解答，然而通过一段时间的坚持，学生即能逐步回答这些问题，直到最后逐渐形成向自己提出这些问题的好习惯。
参考文献：
[1]张奠宙，戴再平.中学数学问题集.上海：华东师范大学出版社.
[2]刘云章，马复.数学直觉与发现.江苏教育出版社.
1数学教材中的问题建构
数学教材建构离不开数学问题，这种建构表现为问题一回答一问题的环状连接，作为文本存在的教材，蕴藏其上的意义实现的基本方式是看、读、听、议、做.〔‘〕因此教材体系建构就要将一些数学事实，通过源问题、靶问题以及单元问题、核心问题、关键问题的形式组织起来，尽最大可能的体现、实现学习目标.分析北师版“圆”一章的建构，每节基本上都是问题导人的，然后通过想一想、做一做、议一议、读一读等活动的实施，以获取一些基本的几何事实，如圆的概念，圆的性质，圆中的量之间的关系，圆与直线，圆与圆之间的位置关系以及圆中有关量的计算等基本知识，都是由环环紧扣的问题串起来的，并与之相接的练习、习题、复习题一起将圆中的基本的数学思想方法，如对称、变换思想，推理论证思想，分类归纳思想，算法思想等体现出.细心品味，不管是源问题还是靶间题的提出、发现、分析与解决，着力点是学生数学经验的获得.华师版也是以数学问题为纽带，而且密度更大，通过试一试、思考、探索、观察、做一做、操作确认、数学说理和逻辑推理等相结合的方法来建构“圆”的相关内容，同时附以旁白的方式引出一些数学概念、提出一些数学问题，把运动变化的思想，化归的思想，分类的思想，数形结合的思想，特殊和一般的思想等囊括其中，且用词用语十分简洁.人教版在“圆”这一章中，引人的源问题与北师版相类似，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等建构圆的相关内容一个显著的特点是要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，特别注意联系实际，重视渗透数学思想方法，重视知识间的联系与综合.从3种版本建构圆体系的特点可以看出，数学问题是建构数学教材的主因素，而语料是其建构的基因.由于教材是一类读者引领另一类读者解读文本把握意义的现象，是在一定的情境下，彼此影响着去理解、去接受文中的意蕴，如教师引领学生，那么基于精细加工理论、学习环境设计思想、认知弹性理论选用语料，进行问题选择、情境创设、结构组建就能达到可读易理解的目标，顺利的将学习者纳人到参与探究、进行讨论、实践应用、发掘事实的意义场景.
2数学教学:问题生成及教学策略
教材中的数学间题上通数学，下达课堂.但源于教材用于教学的数学问题具有生成性的特点，师生共同体通过问题这一桥梁，形成良好的教学生态环境，通过问题解决过程促使学习者数学智慧的形成.
2.1数学教学中的问题生成分析
数学教学就是要创设良好的问题情境，让学生通过问题来学习，在问题视域下，通过观察、实验、操作、计算、推理、讨论、探究等方式夯实四基，提高能力.而数学教材中的问题又是教学的源问题，因此教学中要针对学生的数学现实重构适切的问题情景及向题空间，让问题的表达、问题的解决、问题的评价更具生成性、智慧性.数学问题表达体现生成性数学问题是借助于语言提出来的，并借助于语言来分析和解决.由于数学问题具有经验性和非经验性的特点，因此，数学教学中数学问题表达的用词用语就要尽量适合学生的学习经验与语言习惯，无论是提出问题的方式、呈现问题的样态，还是展现问题解决的思路与教育价值，都要以更加饱满的问题域来承载学生对教学的高期望，使问题在当下的教学情景中与周边的环境相适合，切实展现问题产生的背景及过程，体现问题的联系，赋予问题以活性，使教学朝着有利于学生数学知识、数学思考、问题解决、情感态度的方向发展.在“圆”一章的起始教学中，要对源问题、靶问题进行生成性表达，使学生渴望通过圆一章的学习实现学习目标.可设计如下问题:(1)老师给每位同学发了一张形状不同的纸(诸如三角形、四边形等)，你能在纸上画出一个最大的圆吗?(2)回忆以前三角形、四边形图形性质探讨的方法与技巧，在所发纸的背面联想着写出圆图形可能的一些性质，你希望通过什么路径来挖掘更多的性质?等等.提出适合学生实际的问题域可激发和舒展学生的思维空间.数学问题解决体现生成性教材中提出、展现的某些数学问题给出了解决的思路，具有一定的示范性，通过师生、生生的多边数学活动，在赋予了师生的数学智慧后完成.师生在不断解构源问题、靶问题的过程中，通过对基本问题解决模式的建立、分析与解决，深化了数学理解.数学问题的解决是一个高度情境化的过程，无论是对静态的数学问题结构要素分析，还是对动态的数学问题中的思想方法挖掘，都要激活解决者动态体验和灵感，在动态生成的过程中探讨问题解决的思路、寻找问题解决的方法、串联众多的知识，形成自己的理解，真正实现过程性生成.数学问题解决的过程，是感悟数学思想、掌握数学方法、理解数学概念、获取数学经验的过程，是对数学知识的一种加工、应用、拓展的过程.在流动的数学问题解决过程中?师生之间的对立主要通过教材中的数学问题形成，由对立走向统一，在解决愿望推动下，发挥能动性，使未知向已知转化，并以关于对象的知的形式呈现出来，〔“〕从而拓展着师生之间数学问题解决域.通过问题解决来学数学，是最有效的学习途径.如华师版、人教版教材中都涉及到有关太极图的问题.可设计成:以小组为单位，在观察太极图的基础上讨论下列问题:(l)整个图形的构成有什么特征?(2)太极图中圆周长、圆面积与圆中曲线的长度有什么关系?(3)能否用一条直线把阴阳太极图中的每一部分再分成面积相等的两部分?(4)能否像太极图那样用圆规和直尺画n一1条曲线把圆的面积划分成面积相等的n个区域?能得出哪些数量关系?(5)要把圆分成面积相等的3部分，你能给出几种分法?分成面积相等的6部分，又能给出几种分法?这种基于教材并在学生合作解决问题中生成更多的问题有利于激发学生的探索欲望.数学问题评价体现生成性数学问题是通向数学理解之途.通过数学问题的发现、提出、分析、解决过程就能达成学习数学知识、丰富数学智慧、促进数学进步的目的，有效与否，取决于对数学问题解决过程的评价与反馈.无论对数学中的基本问题、单元问题，还是重大问题、核心间题带着评价反思的眼光进行源与流、正与反上的思考与分析，总能有新的收获和感悟.在批判与质疑中才能挖掘教材中数学问题的本质，促其理解深化，进而防止接受片面的观点，抑制有创造性的思考.在“圆”一章的学习中，不可避免的要碰到圆中最重要的一个量“圆周率砂问题，正是因为二带给人类无限的智力挑战，在初中教学中设计一个活动，让学生查阅7r的相关知识，并在全班进行汇报展示，教师点拨评价，从数学文化的角度评析学生的成果，可达到良好的教学效果.
2.2数学教学中的问题解决策略
通过问题解决学数学不仅仅是一句口号，更多的是一种行动.教材中蕴藏着大量丰富的问题，这些问题的解决、思考、拓展为夯实学生数学素养提供了极其重要的经典素材.在认真思考问题背景、结构以及解决思路时，要进行生成性的教学设计与实施，使其真正发挥数学问题的文化力量.因此数学问题解决的教学策略就至关重要.问题解决的准备策略首先要细读研读教材中的数学问题，防止片面孤立的理解教材所呈现的数学问题，在系统观的导引下，从学生现实、数学现实、环境现实人手，剖析问题的结构特征;一个间题的解决需要一定的知识储备，精心析理问题解决所需的知识就相当重要，不仅是数学知识，还需准备相关学科知识、教育心理知识、社会科学哲学等知识，确保数学问题能够上通数学、下达课堂;数学问题的分析和解决都离不开语言因素，因此语言准备也是不可或缺的，不仅要对教材中的数学问题储备适合学生理解的语言进行改造，而且还要通过问题语义的变迁促使学生数学思维方式的深层变化;问题的解决着力点还在于思想方法，因此思想方法的准备也十分关键，在对数学问题话语形式、叙事模式、形式结构、修辞机理进行准备时要将思想方法渗透其中，使之更加适合学生的心理特征.让学生查阅圆周率相关知识时，教师要准备大量的与此相关的史料性知识，3种版本的教材中都涉及到一些史料性知识，需要教师整合，从二问题的起源、探索的过程、结论的得出等维度进行梳理，把人类近四千年漫长岁月中探索的思想精华提炼出，与学生分享，会使学生受益无穷.特别提出的是要把工夫花在问题准备上，如二的值是如何猜测与估计的?用了什么好的方法与技巧(从割圆术、渐近分数、三角函数、无穷乘积、无穷级数直到蒙特卡罗法)?二有何性质?[’〕等问题，可激发学生的探究兴趣.问题解决的实施策略有了好的数学问题，就得通过好的活动去解决它，首先要营造活动开展的环境，虽然数学教材已经预设了问题解决的活动策略，它是按照一定的逻辑性与整体性设计的，有其顺性、自由、共处、精确、控制、预设、理解、对话、生成的基本特征，但教学现实中仍然需要盘活问题解决的活动空间，让独立思考、自主探索、合作交流、经验分享、智慧生成成为可能;其次要精心设计活动进行的环节，不管是对问题域进行深度剖析，还是对问题解决每一个关键点的点拨及启示，都要控制教师的话语权，任何一种话语形式的背后其实都隐含了一个欲望的运作机制或者说一种权力关系，[8]合理利用这种权力关系，让学生在数学话语活动中理解，在理解中活动;再次在活动中要把问题置于开放性的途中，不断开放师生的成见和理解，学会承认自我理解的局限性，正视不同的理解的正当性或合法性，这样就能在活动中吸收他人的理解来充实自己的理解，并以各种不同的理解不断扩展和充实问题解决的共有意义.〔’〕在“圆”章节中，无论涉及运算问题还是推理论证问题的解决，都要设计成启发学生思考的情景，想法拓展问题解决的策略空间.如3种版本的教材中都涉及面积最大问题的计算，在解决这个问题时，可拓展提出“等周问题”及“最速降线问题”，[10〕引导学生到一个新的问题视域中，让精力旺盛的学生去思索与探寻解决的途径，会收到意想不到的效果.问题解决的评价策略当师生通过一定的数学活动解决完问题后可能需要教师进行有针对性、实效性的点评，对其涉及的“概念知识”、“原理思想”、“策略方法”、“语言表征”等方面进行剖析，这是提升问题解决实效性的根本保证.恰当及时的评析是引导思维正向思考的助推器，也是开拓问题解决新路径的油.通过评价反思，重新梳理会使概念的本质揭示更能接近学生的理解水平与兴趣层次，加深学生对概念、思想、方法了解的程度与层次.点评与反思也是发挥教师解释权的机会，通过一定的解释途径帮助学生理解数学问题解决的要领，评价时可能面临着学生个体许多有意义的实际问题与许多新奇的解决思路，把具有价值和意义倾向的思想梳理呈现给学生就能帮助学生生成意义，超越狭隘的先前理解.对教师而言，评价有效的办法就是向学生下放自，让学生自己去理解问题解决的意义.而教师要对自身的解释保持一种清醒的批判与反思，从而不断地更新教育话语表达方式，促进学生不断产生新的文本意义.在学习圆的周长、面积时，笔者在教初中数学特长班时，设计了一个开放的问题让学生探索:给出一个椭圆的标准定义(涉及高中知识，简要解释了其含义)，让学生试着猜测出椭圆的周长与面积.有学生给出了这样2个公式，椭圆的周长是:斌a+b)，椭圆的面积是:二b.笔者对学生猜测出的公式感到十分高兴，在分析其思路的过程中，鼓励学生想法设法验证其是否正确，使学生认识到类比思维有可能犯错误，但勇于思索，大胆探索的精神是值得肯定的。
作者：张定强 欧桂瑜 单位：西北师范大学
关键词：概率统计；数学建模思想
中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）05-0274-02
《概率统计》是研究随机现象统计规律的一门学科，其相关理论与方法广泛应用于各个领域。《概率统计》课程在工科各专业开设时，教学内容多，教学课时少，往往注重数学公式的推导和计算能力的训练，侧重基本方法的讲解，但忽略了该课程中所蕴含的数学建模思想。此外，学习《概率统计》时，大二学生对自身所学专业和这门课程有什么关系不是很清楚，不明白这么课程有什么用途，导致学生缺乏学习动机，造成课题教学与实践应用的脱节。因此在《概率统计》课程教学中，如何发挥数学建模思想，构建理论与实践的桥梁，成为该课程教学者必须面对的重要挑战。
数学建模是应用数学知识解决实际问题的一种方法，是一种训练学生思维和应用能力的手段，在教学与实际生活中都具有重要的地位。《概率统计》课程中蕴含着丰富而独特的数学建模思想，国外一些知名大学教学中就非常注重数学思想的讲解，注重案例与教学软件的结合，注重学生的实践性环节。因此，在《概率统计》教学中渗透数学建模思想，具有非常重要的研究意义。
藉此，本文从《概率统计》课程中概率论部分的基本教学环节出发，从概率论中的概念形成阶段、例题讲解阶段和习题应用阶段，通过分析现实生活中的问题，探索解决途径；借助数学方法来寻求解决方案，培养学生的探索兴趣，提高学生实际应用的能力。无疑，建模思想间接意义上而言，也是引导学生形成创新意识、动手意识的良好途径，有利于培养高素质的应用型人才。
一、在概念形成过程中渗透数学建模思想
条件概率是概率论中一个重要的但难以理解的概念。一方面，因为现实生活中的大多数问题都是在一定条件下发生的，因而条件概率很重要。另一方面，条件概率的概念比较抽象，学生理解比较困难，遇到实际问题不知如何表达构成教学难点。因此，下面我们从解决实际问题来探究条件概率的定义及其计算公式。
1.问题提出。假设甲、乙、丙三人得到一张巴西足球世界杯门票，他们商定按甲、乙、丙的顺序抽签确定这张门票的得主。已知甲没有抽到门票，求丙抽到门票的概率是多少？
从上面的分析看到，已知甲的抽取门票的结果会影响丙抽到门票的概率。
上述问题从两个角度分析，引出条件概率的定义及其计算公式，突破难点和重点，同时也可以培养学生分析问题、解决问题的能力，从具体到抽象的概括能力。
二、在例题讲解过程中渗透数学建模思想
例题是教学过程的一个重要环节。例题的作用不仅巩固所学知识，而且也培养学生运用知识解决问题的能力。因此，在讲授理论知识的同时，要选择与现实问题有密切关系的例题，引导学生进行分析，用所学知识去解决，这样，学生就可进一步理解运用所学知识解决实际问题的基本思想；有利于提高学生分析问题和解决问题的能力。
1.问题提出。罐中包含b个黑球与r个红球。随机地抽取一球。看了颜色再放回，并且还要加进c个与所抽取球的颜色相同的球和d个相反颜色的球，反复地进行，其中c和d是任意的整数。c和d可以取为负数。特别当c=-1，d=0时，则我们的抽样是无放回抽样；当c>0，d=0时，则我们得到一个描述如传染病现象的模型[3]；当c=0，d>0时，曾由弗雷德曼提出用来描述安全运行的抽样。现在我们重点讨论当c>0，d=0时情形下，求第n次取得黑球的概率。
2.问题分析。本题既是个基本题，也是个典型题。此问题是分步进行的，且后一步的结果受上一步结果的影响，因此，对上一步的结果分类，继续用表示、分解、转化的方法处理即可。
此例告诉我们有放回地取球，各次取球的概率是一样的。这个结论在实际生活中一直在应用：如抓阄。另外，此例还告诉我们一个如传染病现象的粗略的模型。
三、在习题课中渗透数学建模思想
传统习题课，只讲教材中习题的解法，很少强调应用方面，这对培养学生的创新能力不利。为此，选一道典型的应用性问题为例，用所学概率知识来解决，这样，不仅学生掌握了应用所学知识解决问题的思想方法，而且巩固了所学的知识。
1.问题提出。《概率轮与数理统计》（第四版 沈恒范编 高等教育出版社）中习题：将3个球随机投入4个盒子中，求任意三个盒子各有1球的概率。
2.问题分析。上述问题简称球入盒问题。假设盒中可容纳任意多个球。把3个球随机放入4个盒子中，目的是观测每一个球在盒子中的分配情况，因此只有把3个球都放入盒子中，才算完成一次试验。每个盒子可容纳多少个是不限的，每一种放法对应一个基本事件。由于每个球均有4中可能放入一间房中，因而根据可重复排列知，基本事件总数
3.问题解决。解法一：任意三个盒子各有1球，等价于每盒子最多只有1个球，这是只有4×3×2种放法。每种放法都对应于一个基本事件，这样，由古典概型可计算概率设A={每个盒子最多有1球}，则样本空间所含基本事件总数为43，事件A含有的基本事件数为解法二：球入盒问题中，随机试验的目的是观测每一个球在房子中的分配情况，因此只有把3个球都放入盒中，才算完成一次试验，这样，也可以把这一随机试验看成是需要3步才能完成的复合试验，并且这3步试验是相互独立地，由于问题中关心的是每个球是否放入某指定房间。因此，某指定的房中恰有个人即指重伯努利试验中事件恰好发生次，相应概率为
注1：可直接写出样本空间进行求解。
注2：常遇到的可转化为球入盒问题的情形有有着广泛的应用。例如：（1）m个人的生日问题相当于m个球放入356个盒子中的不同排列；（2）把m个人按其年龄和职业来分类，于是类就相当于盒而人就相当于球；（3）基因的分布；等等。
总之，概率论与数理统计课程融入数学建模思想不仅可以搭建起概率统计与数学建模的桥梁，而且可以使概率与统计知识得以加强，应用领域得以拓广，对数学建模的运用和发展发挥重要的作用。从而激发学生运用数学知识解决实际问题，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
参考文献：
关键词：数学建模；问题驱动；数学建模竞赛；课程教学改革
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0143-03
《数学建模》课程具有知识面广、形式多样、教学难度较大等特点。因此，一般认为数学建模的教学是一个不断学习、不断提高、不断探索和改革的过程。我们在广东工业大学《数学建模》课程的具体教学实践过程中的指导思路是：以培养学生对现实世界建立数学模型的能力为目标，以学生通过自学和查阅相关资料解决实际问题为目的来组织教学工作。李大潜院士曾指出“数学教育本质上是一种素质教育，《数学建模》的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径”。数学建模课程和竞赛为我校大学生提供了一个运用数学、学习数学、提高数学综合素质的平台，该项活动对提高学生的合作精神、解决问题的能力和自学能力都有很多的帮助。然而，目前传统的课堂授课模式过分注重教师的主体作用，忽视了学生自我探究能力和自主学习能力的培养，压抑了学生的主动性和积极性。要改变这种现状，就必须改革现有的课堂教学状况，探索培养、引发学生主动学习的新型教学模式。美国神经病学教授Howard Barrows于1969年创立了基于问题和项目的学习（Problem Based Learning，简称PBL）理念教学法，这是一种全新高效的教学方法，是以问题驱动为中心的教学模式。近年来，这种理念在澳大利亚的维多利亚大学、美国samford大学、丹麦的奥尔堡大学等世界知名大学得到广泛重视和应用推广，并呈现出不同的形式和多元化的发展特色。在我们国家这种教学理念目前主要实践在医学、市场营销、生物化学、实验教学、毕业论文的写作等领域过程。在数学教学中还很少有人使用这种方法，因此，探索这种教学理念在《数学建模》课程中的实践具有重要的理论价值和实际意义。
一、《数学建模》教学现状及问题
我校是以工科学生为主体的省属重点高校，很多工科院校的大学生对学习数学公共课程的重要性认识不足，对数学公共课在他们后续学习专业课的重要性不够了解。因此逐步提高我校工科大学生对数学公共课的认识水平，加强培养他们的数学综合素质已经十分必要了。令人高兴的是广东工业大学的大学生们对《数学建模》课程和数学建模竞赛活动有着非常浓厚的兴趣和积极性，且已经有不少学生在比赛中获得了不俗的成绩。因此，加强数学建模教学和数学建模培训对我校学生有着重要意义。目前，广东工业大学数学建模课程教学和数学建模竞赛活动分为三个模块：数学建模A，主要针对数学专业的学生；数学建模B，主要针对非数学专业的专业选修课；数学建模公共选修课，专业面向全校对数学建模感兴趣的学生。另外还为应用数学学院的学生开设了“数学建模实验”与“数学建模课程设计”的相关课程，逐步形成了理论与实践相结合的教学模式。由于《数学建模》课程的教材一般有多个知识单元构成，知识的跳跃性较强，因此，我们曾经的教学方法是安排三个老师，每个老师分别负责讲授自己数学的专业领域，这样做的好处是能充分发挥老师的专业特长，让学生了解到该专业方向的最新国内外动态和进展。然而这样做给我们对学生的考核造成了一定的难度，我们曾经尝试过闭卷、开卷和交论文考查等多种方式，这样考核方式各有各的优势和劣势。如何才能找到更好的教学和考核方式，这是我们一直在具体的教学实践中不断探索和努力的方向。这几年我们一直把问题驱动教学法的思想融入我们的数学建模教学活动中，已经取得了初步的成效，这种方式能既考查到学生运用数学知识解决实际问题的能力，又能让学生自己动手解决自己感兴趣的问题，虽然这些问题可能对学生具有一定的难度，但是它能真正考核到学生的实际水平，这正是我们所愿意看到的。在我们以往的数学建模竞赛培训中存在着许多问题，培训上采取以教师为中心、以填鸭式讲授为主的传统教学模式，课时非常有限，而教学内容容量又比较大，学生在很短的时间很难消化这些知识。因此造成开始报名的时候学生积极性很高，课时到培训快结束的时候，剩下来坚持学习的学生就大大减少了。因此，这种填鸭式的培训让学生消磨了学习数学公共课的热情和积极性，而且也不能提高学生的综合数学能力。因此，对数学建模课程教学和竞赛的培训的改革势在必行。
二、《数学建模》教学改革的三个方面
为了解决目前数学建模教学中存在的问题，必须从《数学建模》课程本身特点出发，改革课堂教学模式，加强学生主动学习环节、实际建模训练环节的教学，将问题驱动教学模式运用到《数学建模》课程的教学过程中去。这样不仅对改变《数学建模》这门课程的教学现状有着积极的意义，而且以点带面，对其他相似或相同特点课程的教学改革也具有很好的促进、借鉴作用，切合我校培养高素质应用型人才的定位，也符合我校2010版培养方案的制订要求，更推动了新时期新形势下的大学数学教学改革。下面分别就指导思想、教学方法和培训方法三方面的改革探索进行论述。
1.指导思想的改革。《数学建模》课程和数学建模竞赛活动是培养具有综合数学素质的复合型专业人才的内在要求。在具体教学实践过程中我们应该强调学习数学公共课的重要性，而不是简单地讲授数学知识点；必须强调的是学生通过自己的努力学习自主地解决所面临的实际问题，而不是成为数学解题能手；必须强调学生在数学建模学习中的主体地位和主观能动性的发挥，而不是学生被动的接受知识点。我们教学改革的目标是要突破纯粹的教师讲、学生听、做习题的教学模式，这种教学模式要突破传统的填鸭式教学，要通过有趣的实际例子激发学生学习数学公共课的积极性，要不断提高学生对数学公共课的兴趣，逐步培养学生建立数学模型的能力和利用计算机等其他技术解决生活中的实际问题的能力。《数学建模》课程和数学建模竞赛本身就是一个具有挑战的科学研究和学习过程，无论是数学建模教学还是数学建模比赛，我们做的目的都是要提高我们工科大学生的数学综合素质，为将来学好专业知识打下良好的数学基础。因此，我们提出问题驱动教学法来组织数学建模的教学和培训工作。通过该方法来充分调动学生学习数学公共课的积极性，让学生在全国数学建模比赛的具体实际活动中体会团结合作精神的重要性，通过告诉学生要学会学习、学会思考、学会与人为善，进而提高他们的动手能力、协助能力和沟通能力，为他们将来走上自己的工作岗位奠定基础。
2.教学方法的改革。选择正确的有效的教学方法能更好地确立教学内容，实现教学目标和培养学生的创新能力。鉴于传统的数学建模教学模式无法达到大幅提高学生综合能力的预期目标，我们提出了以问题驱动为指导思想的新的教学方法――问题驱动教学法。问题驱动教学模式的特点是以学生为学习主体，教师通过问题驱动，引导学生自主学习课程内容，并利用学过的理论知识来解决这些实际问题，最后总结归纳和评价。问题驱动是一种让学生以小组形式共同学习和解决问题的教学策略，通过这样的教学策略，可以让学生们在学习知识和解决问题的过程中培养探究问题解决的技能以及自主学习的技能，实现知识意义的建构。这种教学模式无疑对创新型人才的培养有着积极的意义。黄东明等人还在问题驱动教学理念的基础上提出了双环互动教学模式。在具体的教学实践过程中，我们经常把问题布置给学生，要求他们在一周的时间内自己去收集相关资料，寻求问题的解决方法，这种教学模式不再是传统的填鸭式教学过程，而是以学生自己为主体，要求学生充分发挥主观能动性和积极性。并且我们要求学生把自己准备好的解决问题的方法在讲台上给所有的同学讲解，并且要回答同学的提问。整个学习过程好像一个论文答辩过程，这样的教学模式既能充分调动学生的主观能动性和学习积极性，又能充分发挥学生自己的聪明才智，在实践中体会团队合作的重要性。
3.培训方法的改革。全国大学生数学建模竞赛所涉及的内容相当广泛，常用到的数学理论包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计、数学规划、微分方程、离散数学等，常用到的软件有Matlab、Lingo、Mathematics等。在建模过程中常常需要用到学生从未学习的知识来解决实际问题。因此，我们在培训过程中必须要训练学生快速学习新知识并立即运用新知识解决问题的能力。数学建模竞赛是以提交论文的方式进行结果评定的，故在培训的过程中还应该特别注重论文撰写的能力。为了适用数学建模比赛的要求，结合我们在《数学建模》课程教学的改革实际情况，把“问题驱动教学法”运用到竞赛培训中去。在提出驱动问题时，教师可以根据现阶段学生所掌握的知识情况，挑选一个具体的实际问题，学生根据所给问题首先进行归纳分析，然后查阅相关新知识和准备可能要用到的软件。在这个过程中学生需要主动学习可能没有接触到的新知识和软件的新功能，并进行参考文献的泛读和优秀论文的精读。通过对优秀论文的细节把握，提高学生处理实际问题的能力和论文撰写的能力。最后学生建立数学模型并撰写论文。最后由老师对论文进行点评，指出其优点和不足，并提出修改意见。经过近年来教学方法与培训方法的改革试验，学生对数学建模的兴趣大大提高，竞赛成绩稳步上升，取得较好的成果。
三、其他方面的探索
1.加强教师队伍的建设。“问题驱动法”的教学，特别是在学生自主学习阶段需要的一个教学团队。所以加强师资队伍建设是《数学建模》课程教学改革成功与否的关键。一方面，教师应加强学习，提高自身素养，掌握先进的教学理念，同时还要对教学内容进行深刻研究，能从现实生活的各种社会经济现象中发现数学问题，并且用数学语言加以描述。另一方面，各个教师应在教学方法创新上不断实践。传统的数学教学活动都是沿袭着“定义―定理―推论―例题”的模式进行，这种模式既使学生感到数学乏味，也使得原来对数学感兴趣的学生易生厌倦，因此，加强探索新的教学方法迫在眉睫。如何进行高水平的教学，吸引更多的学生热爱和喜欢数学，把学到的数学知识用得更广、更深入，是我们教师不得不思索的问题，更是我们教师要做的主要工作。
2.教材建设的改革。目前的《数学建模》教材多种多样，不过大多数太注重数学的理论性和完整性，这样就使得实用性不强，与实际问题脱节，常常让学生无所适从，很难培养学生运用知识解决问题的能力。经过我们对这门课程的改革常识，我们深刻体会到教材建设应遵循的原则如下：①实用性。教师将要教学的内容强调数学公共知识在实际问题中的作用，在教材的深度和广度上应尽量符合工科大学生的实际需要，适时对数学定理和推论进行删减，增加一些与当前实际问题相关的教学内容，由现实生活中的热点经济、工程实际问题引入数学模型。②可读性。根据该门课程的特点和教学改革的需要，教材中的主要内容要用简单的教学语言表达抽象概念，越简单的越好，这样一般学生容易理解和掌握，尽量使枯涩的数学知识变得生动趣味。③前沿性。教材中的内容既要兼顾传统知识又要引入前沿热点问题，既要强调数学推理又要重视数学工具软件和其他计算机技术的运用。综上所述，教材建设是今后我们在该门课程改革实践中要重点解决的问题。
3.考核方法的改革。目前大多数的数学建模考核方法是闭卷考试，而一般数学考试题目侧重证明与计算，忽略了对实际问题的应用，没有达到《数学建模》课程建设的目标，无法考核学生运用知识解决问题的能力。这与《数学建模》课程设置的初衷相违背。因此，采用多种考核方法相结合。例如，让学生做一些小的开放性课题，撰写类似数学建模比赛的论文，在对工科学生专业知识结合的同时，讲授数学建模的特点和应用领域，这样既可以激发学生对数学建模的兴趣，又能增加他们对数学的理解。在考核过程中我们可以适当加大平时分的力度，淡化对试题的考核，加强学生对具体问题解决能力的考核。
今年恰逢我国数学建模竞赛开展20周年，数学建模竞赛活动的规模得到了空前的发展。数学建模教学和数学建模竞赛活动是我们工科院校的一门重要课程，它为提高工科大学生的数学综合素质和数学在其他专业的应用发挥了重要作用。实践证明，通过进行数学建模竞赛活动，可以大大拓展学生的知识面；充分发挥学生的主观能动性，强化学生自主学习的意识和能力；提高学生的创新能力和解决问题的实际能力；还可以促进学生的团队合作精神。总的来说，问题驱动教学模式在数学建模教学和数学建模竞赛的培训过程中的实践表明：这种教学理念和数学建模的本身的特点是十分吻合的，而这种教学模式对于指导我们进行教学改革具有重要的理论意义和实践价值。
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