时间：2023-09-20 18:23:48
关键词：教学案例分析 学习方法 高中数学
一、基本情况：教材分析
目前所用教材为《普通高中课程标准实验教科书?数学（必修1）》（人教A版），教学内容为下文章中指出的：“指数函数及其性质”。这是必修1第2章“基本初等函数（Ⅰ）”中，在实数指数幂及其运算性质等知识基础上，而进一步的学习的第一个函数。学习指数函数的概念、图象、性质，以及于初步的应用。第一个方面，学习基本初等函数需要掌握的是，学习函数的概念，掌握研究函数的一般方法。另一个方面是学习基本初等函数是常见的重要的函数模型，与生活实践、科学研究有着密切的联系。
二、教学过程
1.设置教学情景，引入到新课
数学教学应当从比较实际的问题开始进行，先带领同学们做一个实验，探究以下问题：
【引例】请同学们不断地沿同一方向对折一张长方形的纸.你能找出折叠的次数与某个变量（如纸的层数、纸的面积）之间的数量关系吗？（为了简化问题，不妨设纸的初始面积为单位1）
设计意图：引导学生动手做，经历观察、分析、判断等思维过程，进一步培养学生分析和归纳的能力。
探究过程：学生动手操作，寻找折叠次数与某个变量之间的关系.探究结束后，相互交流、分享探究的结果。
师：现在同学们开始做，请找出自变量是谁？自变量和哪个变量之间的关系，关系式是什么？请探究。
生：我探究的是折叠次数是自变量，折叠次数和纸的层数的关系式是y=2x（这时教师在黑板上写上折叠次数x：0 1 2 3……x，下一行写上纸的层数y：1 2 4 8……y，再下一行写上y=2x）。
师：还有没有同学找到了不同的关系式？请举手。
生：我找的自变量也是折叠次数，折叠次数和纸的面积之间的关系式是y=0.5x。（这时教师在黑板上写上纸的面积y：1 0.5 0.25 0.125……y，再下一行写上y=0.5x）注意写的板书要上下排列整齐。
师：列出的这两个函数解析式的形式有什么共同特征？把它们的定义域扩充到全体实数后就成了一个新的函数，我们看自变量的位置在指数的位置，我们给这一类函数起名叫指数函数，这时候教师板书《课题2.1.2指数函数及其性质》。
设计意图：培养学生的分析和归纳概括的能力。教师展示课件，学习目标和指数函数的定义。
2.指数函数的定义
一般地，形如y=a^x(a>0且a≠1)(x∈R)的函数叫做指数函数。
说明：当指数函数的定义域规定为R时，要使ax总有意义，必须满足条件a>0
（1）当a=0或a
（2）当a=1时，y=ax=1，没有研究的必要。
师：做练习，判断下列函数哪些是指数函数？同学们请抢答。
判断：下列函数是不是指数函数？ 师：两函数的图象特征及异同点，再做底数为3或的指数函数的图象。
【问题1】函数y=2与y=（ ）的图象有什么关系？底数为3或呢？分析归纳出底数乘积为1的两个指数函数的图象特征。
【问题2】你做的指数函数的图象特征是什么样的？从图象的走势来看，图象有几类？
探究过程：相邻的两位同学分别在教师发的格纸里，用描点法做同一个具体的指数函数（如y=2x，y=（）x，y=3x，y=（）x，……）的图象。教师提醒学生，作图时要注意根据指数函数的定义恰当地建立平面直角坐标系。
教师巡视课堂，收集不同的指数函数的图象，并利用实物投影仪介绍同学们作的函数图象，引导学生猜想出指数函数的图象只有两类，同时引导学生，可由指数函数的定义分析函数的性质（如定义域、值域），用性质指导作图；然后，教师演示课件，让学生观察底数a取不同值时，函数图象的变化，引导学生归纳出指数函数的图象有且只有两类。
探究结果：图象只有两类，一类对应的底数01。
三、教学反思
指数函数是我们继初中学习正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数后第一个系统研究的基本初等函数。教学中，首先创设问题情景，由一个引例激发学生学习的兴趣，引出了指数函数的定义；学生两人一组同时画指数函数y=2x和y=(1/2)x而后用多媒体展示学生的具体画法，引导同学们观察图象，归纳出其性质。再接着利用几何画板动态演示出相关的指数函数的图象，使学生们得到一般问题的结论，渗透出由特殊到一般研究问题的学习方法，通过对于a>1和0
参考文献：
摘要：在高中数学整体体系中，函数的地位举足轻重，主要起着承上启下的作用，在初中阶段函数基本定义表达以及函数图象的基础上，再认识函数这一概念，主要体现在如何理解函数的定义。高中数学中着重研究函数的奇偶性、单调性以及周期性等性质。为学习其他函数以及导数、极限和积分打下坚实的基础。本文重点探讨"函数思想"的教学和重要意义，以期引起师生的重视。
关键词：函数思想 高中数学 意义
初中数学就给出了函数的定义，然而高中数学在初中教学的基础上不断新增函数的概念，着重指阐明函数主要用映射的原理，这种新的提法对学生深入理解函数的理论、内涵、思想提出了更高的要求，只有捋顺之间的种种联系，悟出函数思想的真谛，才能更加灵活自如的运用函数思想来解决实际的数学问题。哲学认识论认为，认识来源于实践，自然人们对"函数思想"这一概念的认识也不例外，同样源于人们的生产实践活动，人类社会的不断变化是一个量变和质变统一的过程，这种量变的概念恰恰符合了函数中变量的概念，因此，"函数思想"可以很好的用来解决一些与量变有关的实际问题。
函数能够进入中学阶段的数学教材有赖于德国的克莱因和英国的贝利。克莱因认为，数学教育的统一和贯通离不开函数思想和函数的概念，他认为"函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在其周围，进行充分地综合。"中学数学教学内容离不开函数思想教学，函数思想教学可以更有效地促进教学效果的提高。因此，贯彻函数思想于高中数学教学的始终的方法值得一线数学教师深究，在此，本文愿提出一点拙见。
在初次讲解函数思想时，对于学生来说，兴趣是最好的老师，所以老师首先应激发学生足够的兴趣去了解函数思想，掌握函数的基本含义，从而激发其积极性。教师要特别注重定义的讲解，一定要具有层次性，让学生抓住函数思想的重要要素，充分理解函数思想的深层意义，然后，教师再归纳总结出逻辑严密的函数定义。函数关系好似两个变量之间架起的一座桥梁，函数图象在直角坐标系中就是变量x和y之间的桥梁，以一定的数学关系将二者联系起来。
高中函数思想的教学具有四大意义，包括函数的知识导向功能、应用导向功能、考试导向功能和教育导向功能。知识导向功能是指函数思想在高中数学中所占的比例较大，是贯穿高中数学的主线，可以说是构建高中数学所有知识的骨骼，涉及到不等式、三角、几何、数列等内容，所以把握运用好函数有助于辐射别的知识点，拓宽视野，提升数学函数思维。函数的应用导向功能主要是指函数问题运用于解决日常生活中所涉及的数学问题。比如交通灯的切换时间等，这些日常现象蕴涵着不同变量之间的数学关系，而这种关系一般可以采用函数模型来探索。函数思想的考试导向主要是指高考数学每年涉及函数问题的比例较大。函数思想的教育导向功能主要是指通过函数模型的建立来解决日常生活中的数学问题，可以提高学生分析问题和解决问题的能力。
函数思想在高中数学教学中占据如此举足轻重的地位，这就要求教师在函数教学过程中应注意以下几点策略：
首先，教师必须重视函数定义的教学。虽然，初中数学就已经引入函数这一概念，但是学生所掌握的只是关于函数表层的一些特征，而函数的抽象意义学生并没有领会到，抽象地说，函数就是指对应关系。函数是一个"变化过程"和函数是一组组"对应关系"这两种描述是从不同的角度对函数的解读。函数的抽象层面是学生比较难以理解的，一般来说当教师讲解完函数的定义后，直接将函数表达法写作y=f（x）时，一些同学竟然把f和x的关系误解为乘数关系，所以，学生并没有了解函数真正的抽象意义。而如果老师在写下这一表达式之后，接着介绍"f代表自变量和因变量直接的对应关系，对于定义域内任意的x（这是写下"x"），通过对应f（写下"f（x）"，x在括号内），对应出唯一的一个y（写下表达式"y="）"，这样学生就不会再有以上的那种误解。
其次，在指导函数解题时，教师要做出改进。教师务必让学生引起函数的定义域如何制约函数。比如，函数奇偶性中指出的"对于函数定义域内的任意一个x，都有f（x）=-f（-x），（f（x）=f（-x））"的重要性应该着重强调。也就是让学生特别注意在判断函数奇偶性时函数中变量的范围。还要引导学生恰当的运用函数的性质，比如周期性、奇偶性、单调性等。条理化函数的性质，通过具体题目的解析，透视出题目中所隐藏的函数性质，简化解题思路和解题过程，从而增强学生分析问题的能力。
最后，教师应注重数学思想的渗透。恰当分析函数图象特征，提高学生将数学和图象结合的解读能力。函数图象的呈现形式应归纳为几何问题，函数图象比函数式更为直观。函数教学过程中，一定要以相对简单的函数图象入手，细心解读函数式与函数图象的逻辑关系，以及函数的性质如何在函数图象中表达出来。学生理解了函数的图象之后，再进行函数问题的构建、解答就更为简单了。另外，教师应恰当的引入用方程思想了解决函数问题，这样可以简化难题，思路清晰。还可以运用多媒体教学仪器，更为直观的反映函数图象的变换过程，加深理解与记忆。
总而言之，本文重点明确了函数思想在高中数学中的重要地位，以及其在初高中数学之间承上启下的作用，指出了函数思想在数学教学和数学学习中的知识、应用、考试和教育四大导向功能。另外本文还提出了教师在传授函数思想时应当注意的问题和可以选择的策略，对教学有一定的指导意义。本文的目的是让教师和学生充分认识到函数的重要性和函数与其他数学问题之间的联系，从而指导师生在函数学习的过程中进一步摸索不同数学问题之间的联系，贯通数学思想。
参考文献：
[1]孟兆福，杨继.函数的思想方法[J]
[2]白永庆.运用函数思想解题[J].考试
关键词：指数函数，对数函数，疑难问题，求解方法
一、指数函数和对数函数的主要问题
1）求解含有指数式或对数式的各种问题，关键在于会熟练运用指数和对数的运算法则与运算性质。但是，许多学生不熟悉指数函数和对数函数的图像与性质，因而求解指数式和对数式问题非常困难。
2）求解含有指数式或对数式的各种问题，重点在于频繁使用指数、对数函数值的变化特点，分析时常常还要结合指数、对数的特殊值。
3）含有参数的指数、对数函数的讨论问题是高考的重点题型，解决这类问题的基本方法是以“底”大于1或小于1分类。
4）指数函数和对数函数常常与其它函数组合成复合函数，许多学生不明白复合函数的定义域、值域及单调性，从而无法求解。而高考更多的把考点放在了指数函数、对数函数的相关性质及其与其它方面知识点的交汇地方，因此要努力提高综合解题能力。
二、利用函数单调性求解
求解复合函数的单调性问题，一般分两步进行：首先要考虑定义域，其次再考虑单调性。并且，在考虑单调性的时候，特别要注意复合函数单调性的判别法则（同向为增，异向为减，简称“同增异减”）。
例1：设函数 ，其中 ，解不等式 。
分析 本题是对数不等式问题，应通过考虑对数函数的单调性，把求解函数不等式问题转化为求解代数不等式问题。但是在转化过程中，必须注意对数函数的真数大一。
解法1 因为 所以
（1）
（2）
解不等式（1）得： 或 ；解不等式（2）得： 或
又 原不等式的解集为 或
解法2 函数 的定义域为 或
，当 时， 符合题意
当 时，解方程 得 利用复合函数的性质可知 在 上是单调递减函数。 时，
点评：解法1直接根据对数函数 是单调递减函数把复合函数不等式问题转化为代数不等式求解。解法2则先满足定义域 或 ，再分别在这两个区间内讨论求解。若去掉条件 ，则需要分 和 两种情况讨论。
三、利用数形结合思想求解
数形结合思想是高中数学中重要的思想方法之一。指数函数和对数函数具有明显的图像性质，利用其图像性质我们能快速地求解问题。在指数函数和对数函数的学习中，我们应当特别注意。
例2：如果不等式 在 内恒成立，那么实数的取值范围 （ ）
A、 B、 C、 D、
分析：本题是一个恒成立问题，如果想直接解不等式是很困难的，一般思路：将变形成 ，要符合题义，（即 的最大值比 的最小值小, ）, 的值大于零小于 ，而 的最小值要根据 的范围而定，分类讨论：
（1）、 时， 显然不成立
（2）、 ， 的最小值为 ，故 ，所以
但是上述解题分析过程抽象，如果应用函数图形解则将直观简洁。
解：构造函数： , 要使得不等式 在
内恒成立，只须 的图象比 的图象高即可，图1和图2分别展示了 和 时的图像。故 ，所以
图1 当 时， 与 图像 图2 当 时， 与 图像
四、利用换元法的思想求解
例3：设对所有实数x，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。
分析：本题是一个不等式恒成立问题。如果直接求解，将非常繁琐。我们可以使用换元法把一元二次不等式的结构简化，从而运算得到简化。
解：令 ，则原不等式化为 恒成立，即是
恒成立。解此不等式得 ，即是 ，解得 即是所求的取值范围。
五、利用分类讨论思想解题
例4：已知函数 ，对定义域内的任意 都有 成立．
（1）求实数 的值；
（2）若当 时， 的取值范围恰为 ，求实数 的值．
解：（1）由 及 可得：
解之得： ．
当 时，函数 无意义，所以，只有 ．
（2） 时， ，其定义域为 .
所以， 或 ．
①若 ，则 ．为研究 时 的值域，可考虑 在 上的单调性．下证 在 上单调递减．任取 ，且 ，则
又 ，所以， ，即 ．所以，当 ， 在 上单调递减
由题： 时， 的取值范围恰为 ，所以，必有 ，解之得： （因为 ，所以舍去 ）
②若 ，则 ．又由于 ，所以， ．
此时，同上可证 在 上单调递增（证明过程略）．所以， 在 上的取值范围应为 ，而 为常数，故 的取值范围不可能恰为 ．所以，在这种情况下， 无解．
综上，符合题意的实数 的值为 ，
六、总结
学习指数函数和对数函数的知识重点在于充分理解指数函数和对数函数的定义、图像和性质，难点在于熟练运用数形结合、分类讨论、等价转换以及函数方程思想这四种重要的思想方法。在含有指数函数或对数函数的问题中，我们要特别注意以下几点：
1）指数函数的定义重在“形式”，像 等函数形式都不符合形式 ，因此，它们都不是指数函数。
2）对数函数的底数大于0且不等于1，真数必须大于0。求解含对数式问题时一定要特别注意。
3）在进行对数函数四则运算时，特别要注意对数是否同底数，是否满足运算的规则，还有就是不能错记运算法则。
4）在进行换元法求解问题时，要注意换元后“新元”的取值范围。
5）在对数式合并化简过程中，容易引起自变量的变化，因此要先求定义域，再化简。
对于以下三种情况，可以根据指数函数或对数函数的单调性，直接比较大小：①指数式的底数相同或指数相同；②对数式的底数相同或真数相同；③通过转化，能使问题满足情况①或②.
对于指数函数y=ax，当底数a>1时，指数越大，函数值越大；当底数0
当指数x>0时，底数越大，函数值越大；当指数x
对于对数函数y=logax，当底数a>1时，真数越大，函数值越大；当底数0
若真数x>1，当底数a>1或01或0
通过判断指数式、对数式与0，1的大小关系求解
有些比较指数式、对数式大小的问题不能直接利用指数函数或对数函数的单调性求解，对此，我们可以利用logaa=1，loga1=0，a0=1这三个式子，判断指数式、对数式与0、1的大小关系.
例1 比较log32，log23，log25的大小.
解： 对于同底的对数式log23，log25，我们可以直接由对数函数的单调性得出log23
再来看底数、真数都不同的对数式log32与log23.因为y=log3x与y=log2x都在（0，+∞）上单调递增，所以log32log22=1.所以log32
点评：例1的难点在于判断log32与log23的大小关系.通过判断指数式、对数式与0，1的大小关系来比较指数式、对数式的大小，是一种实用且巧妙的方法，但它具有局限性.如果这些指数式或对数式与0，1的大小关系相同，就无法比较它们的大小了.
结合指数函数、对数函数的单调性，利用数形结合法求解
在比较指数式、对数式的大小时，若以上两种方法都失效，就只能考虑根据函数思想，利用数形结合法求解.
数形结合法是求解这类问题的通法，因为指数式或对数式对应着相应的指数函数或对数函数图象上的点，点的高低正代表了指数式或对数式的大小.
当指数函数或对数函数的底数不同时，它们单调递增或递减的速度也不同.为了在作图时尽量准确地表现出底数不同的指数函数、对数函数单调递增或递减速度的差异，我们可以分别以直线x=1，y=1为参照，根据y=ax必过点（0，1），（1，a）与y=logax必过点（1，0），（a，1），相对准确地作出指数函数或对数函数的图象.
难以直接作图求解时，不妨考虑利用指数函数或对数函数的运算性质（如换底公式等），朝着“同底”“同指”或“同真”的方向转化，然后利用数形结合法一步步求解.
构造函数，利用函数单调性求解
如果题中出现指数式、对数式与其他函数式相结合的情况，要求我们比较与指数式或对数式有关的函数式f（x），g（x）的大小，可以根据题意构造函数h（x）=f（x）-g（x），通过求导判断函数h′（x）的单调性求解.
例3 [2012学年第一学期杭州地区七校联考高三数学（文科）第10题] 已知b>a>1，若lna=a+t，则lnb与b+t的大小关系是
【练一练】
[2013年高考数学新课标全国卷Ⅱ（理科）第8题] 设a=log36，b=log510，c=log714，则
（A） c>b>a
（B） b>c>a
（C） a>c>b
（D） a>b>c
关键词： 高中数学 函数教学 教学体会
函数是高中数学的主要内容，也是教学的重点，它构成高中数学知识网络的骨架。函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用等，都有着密切的联系。三角函数、指数函数、对数函数是高中函数内容的主体，通过教学，学生能认识函数的性质、图像及其初步的应用，了解客观世界的运动和实际量之间的依赖关系。在历年的高考中以函数为主线的试题占了大多数。在高中数学的函数教学过程中，如何帮助学生理解函数概念、学好函数、应用函数为重要任务，下面我谈谈几点教学体会。
一、把函数跟现实生活联系起来
首先我们要解除函数的神秘色彩，它不是深不可测的高尖理论，而是描述生活与学科规律的一种数学模型，我们在物理、化学、生物、地理等各个学科和日常生活中都要用到函数。例如，在物理学中路程随着时间的变化关系s=vt，在速度一定时就是时间与路程的函数关系；在化学中比例关系的计算，也就是一个函数关系式；在地理学中采用函数描述世界人口数量是随着时间的变化而变化。函数中变量之间存在着密切的依赖关系，变量与变量之间依赖关系的基本特征是，在一个变量取某一定值时，依赖于这个变量的另一个变量只有唯一确定的值。反映变量与变量之间这种依赖关系是函数的基本属性，也可以这样说：函数是描述自然规律的数学模型。
我们可以用学生熟悉的实例把抽象的函数概念具体化，使学生对函数概念的实质有一个感性的认识；然后用对应的语言来讲述函数的定义，使学生形成对函数概念的理性认识。事实上函数的概念在学生脑海中的形成不是一两节课的教学所能完成的，在三角函数、幂函数、指数函数、对数函数的教学过程中，我们要始终关注函数概念，使学生一步步加深对函数概念的理解。
二、采用信息技术辅助教学帮助研究函数的性质
在高中数学新课程内容中主要研究函数的单调性、周期性及奇偶性。由于函数图像是反映函数性质的直观载体，因此在函数教学过程中采用多媒体技术辅助教学可达到事半功倍的效果。
在学次函数时，用几何画板绘制出学生熟悉的函数图像，让学生观察图像并描述该图像的变化规律；然后在函数图像上任找一点P，并测出其坐标。
①拖动点P，让学生观察当点P在抛物线上移动的过程中，横坐标增大时纵坐标的变化规律，并把这种变化规律转化成数学语言的描述，得到单调性的数学定义。
②作出点P关于y轴的对称点P′，测出坐标，发现点P′也在该函数图像上，拖动点P′观察P与P′这两点坐标的关系，在这基础上建立奇(偶)函数的定义。
在研究指数函数、对数函数的性质时，可以让学生利用计算机作出函数图像，然后通过底数a的连续动态变化展示函数图像的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出函数的性质。
三、把握基本函数模型渗透数学模型思想
在函数的应用中的一个重要方法是利用函数模型解决实际问题。培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力是新课程标准的基本要求。所以，教师可以选择贴近学生生活和认知水平的数学问题，引导学生积极思考，抓住问题的实质，建立数学模型，培养学生的应用意识。
如果只是知道函数的定义，还远远不能说就理解了函数的本质。对函数的真正理解，是要在头脑中建立一大批函数的具体模型。在高中阶段，要求学生掌握的基本函数模型有：三角函数、简单的幂函数、指数函数、对数函数、简单的分段函数等，这些都是基本的、重要的函数模型。
那么怎么使学生在头脑中建立这些函数模型，并能帮助思考问题呢？我认为主要应抓住三个方面。
第一，把函数概念的整体理解与每一个具体的模型有机地结合起来。在教学的过程中对每一个具体函数模型，通过每一个函数数学式、图像、变量之间的依赖关系，并联系具体的实际问题举例来展现函数应用，帮助学生理解函数的概念。
第二，在研究基本函数性质的过程中充分融入研究函数的方法。例如研究函数的单调性可用导数和代数的方法，使学生熟练掌握基本函数的性质，让学生在头脑中保留着每一个基本的函数模型。然后，对这些图形进行梳理和比较。例如我们可以利用具体的实例进行比较幂函数、指数函数和对数函数间的差异。在整个过程中让学生画出三种函数的图像，进行比较，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的含义，让学生更好地把握每个基本函数模型的特点。
第三，培养学生借助于具体模型思考抽象问题的习惯，不管什么样抽象的数学问题，在思维中都能够用具体模型来支持，如此才能使抽象的问题具体化。
四、注重其他知识与函数的联系与应用
运用函数模型来解决实际问题是数学应用的一个方面。培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力是新课程标准的新要求。所以，选择贴近学生生活、贴近学生认知水平的数学问题，引导学生抓住问题的实质积极思考，建立恰当的数学模型，加强学生应用能力的培养。
利用函数研究其他数学问题是数学应用的另一个方面。例如讨论方程的根的问题，可分三步进行展开。第一步，从简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的联系。第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系。第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型，以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。
另外，我们在学习平面解析几何的过程中可以通过类比和联想，体会直线的斜截式与一次函数的联系；在数列的学习中体会等差数列与一次函数的联系，等比数列与指数函数的联系；在导数的学习中通过与前面函数性质学习的比较，体会导数在研究函数性质时的一般性和有效性，等等。
总之，通过函数的学习，学生可以了解到一切事物都是不断变化的，事物的变化是相互联系与相互制约的，从而了解事物的变化趋向及其运动规律。教学必须强调整体地理解函数在高中数学中的地位和作用，帮助学生学会整体地理解函数，养成良好的学习习惯。
参考文献：
［1］孔凡海.函数的两种概念与教学.中学数学教学参考，2002，10.
【关键词】新课标 高中数学 函数教学
在新课标背景下，高中数学教学更注重以学生为教学活动的主体，提高学生的数学思维能力。函数是高中数学的核心内容，与高中其他各部分的内容有着千丝万缕的联系，函数的思想贯穿整个高中教学课程。因此，教师帮助学生建立完整、系统的函数知识体系，是高中学生学好数学的关键。
一、熟练掌握各种函数图象及其之间的变换关系
高中函数内容中，大多数的具体函数都可以运用图象表示出来。学生通过对图象的观察和分析，很容易就理解和掌握函数的性质。同时，将不同的函数图象在同一坐标系中表现出来，对于学生发现不同函数形式之间的练习和区别，有着更为直观的印象和清楚的认识，帮助学生更好处理有关函数综合考虑的问题。如学生可以将指数函数和对数函数的图象放在统一坐标系中进行研究和分析。如下图所示：
学生可以从图中了解到很多的信息，如：1. 指数函数的底数如果互为倒数，则他们的图象关于y轴对称，；对数函数的底数如果互为倒数，图象关于x轴对称；2. 底数相同的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于直线y=x对称；3. 指数函数的底数越大，图象越接近y轴，对数函数底数越大，函数图象越接近于x轴。此外，学生还可以通过具体的函数形式，了解相关函数的性质和图象特征。
二、注重函数和其他部分数学内容的联系
函数的应用相当广泛，与高中其他各部分的联系也是相当紧密，学生如果可以很好地掌握函数部分的内容，对于理解高中数学其他部分的内容，以及将高中知识串联起来，形成自己的数学知识体系都是大有帮助的。如：函数单调性与不等式的联系。
例：已知函数f（x）在R上是增函数，a，b属于R.
求证：如果a+b>=0，那么f（a）+f（b）>=f（-a）+f（-b） ；
判断1中的命题的逆命题是否成立，并证明结论；
解不等式f（lg1-x/1+x）+f（2）>=f（lg1+x/1-x）+f（-2）。
解：（1）a+b>=0，a>=-b，f（x）在R上是增函数，f（a）>=f（-b），同理，f（b）>=f（-a），所以，f（a）+f（b）>=f（-a）+f（-b）。
（2） 令a=0，f（b）>=f（-b），b>=-b. b>=0. 同理a>=0.
所以a+b>=0。
（3）由1，2得，lg（1-x）/（1+x）+2>=lg（1+x）/（1-x）-2.
lg（1-x）/（1+x）-lg（1+x）/（1-x）>=-4，（1-x）^2/（1+x）^2>=10^-4
三、关注函数思想的理解与应用
在新课标背景下，高中数学函数教学对学生的数学思想也非常重视。学生只有具备了数学思想，才能更好地理解函数，抓住函数的本质，学会独立的思考问题和分析问题，将函数应用到解决实际的生活问题当中。如：函数的数形结合思想，可以将抽象的数字转化成直观的图形，从而顺利的解决函数问题。
例：已知函数f（x）=画函数f（x）的图象，
解：函数图象如图所示.
关键词：数学概念；教学；数学基础
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）07-0157-01
数学概念定义是数学科学知识体系的基础，是中学数学基础知识的核心；数学概念定义是数学思维的细胞，是数学能力的根基之一。因此，中学数学概念定义的教学，我认为应从以下几个方面来进行尝试：
1.重视概念的形成发展史
数学概念既不是人们头脑中固有的，也不是从天上掉下来的它是人们在长期的社会实践中，经历了从感性认识上升到理性认识，从感觉、知觉形成观念通过分析、综合、抽象、概括而形成的。在教学中，老师在引入概念时可以将概念的形成过程引入课堂，介绍给学生。例如复数这一章节的教学可以首先将复数的发展史作为首课时向学生展示。
2.注意具体到抽象的过渡来引入概念
概念是现实生活中一类对象经加工提炼而成的，数学概念也是为了解决实际数学模型而产生的，教师应注重以具体的问题引出抽象的概念，这样就不会让学生感到问题提出的突兀。
从数学体系发展过程角度看，一些概念是从数学知识发展需要引入的。例如：在讲分数指数幂时，教材上只是给出定义：。为什么引入分数指数幂呢？教室可以引导学生回忆我们学过的加、减、乘、除、乘方、开方的概念的引入，以及相反数、倒数的引入过程：乘法的引入，就是当多个因数相加时，为了简化运算，引入乘法；当多个因数相乘时，为了简化运算，引入乘方。还有一些看起来是规定的概念，也要让学生了解其规定的合理性。相反数的引入，将加法和减法统一为加法；倒数的引入，将乘法和除法统一为乘法；那么分数指数幂的引入，将乘方和开方统一为乘方。学生就好理解了。
抽象是数学的一种美，但学习时其感知对象，学生也觉得枯燥，要让观察者对呈现于面前的某些对象有兴趣，使其注意力集中与这些对象，则在课堂教学中，教师时高时低、抑扬顿挫的声调、活动教具的示范、教学多媒体的运用，都是增强学生感知效果的有效方法。
3.用熟悉的概念引申产生新的概念
学习是一个渐进的过程，对概念的理解也是一个渐进的过程，随着我们知识水平的不断提高，原有的概念的外延不断扩大并由此扩大或改进成新概念，在我们组织教学时，我们可以从旧的概念入手同学生一起用发现的手法来提高和完善我们的认知，引出新思想。例如函数这一概念在初三是新知识，到高一后学生对他的理解就比较深刻，也可以说这时抽象也转化为一种具体，教师若由此出发通过解析式、定义域、值域并对映射概念加以对比发现函数也是映射，最终提出函数的近代定义，用引出的方法学生让自己动手发现新知识，这种成功的喜悦 ，无疑使得学生对概念的理解更为深刻。
从对函数的不同认识阶段看：初中以"变量说"定义函数，重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接体验，体会函数的意义，形成用函数解决问题的直接经验. 高中数学以"对应说"定义函数，引进数字以外的符号（y = f （x） 中，f 不代表数，与x ，y 的含义非常不同） 表达函数，进一步明确函数的表示法，以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体，给出研究函数性质的方法和过程的示范，进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用，使学生形成用函数
念研究具体问题的"基本规范"。
从研究函数的方法上：对于"基本初等函数"的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究，逐步加深对函数概念的理解，在"基本初等函数"的应用中，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性，建立更加广泛、稳固的函数本质的理解.所以，本单元的核心任务就是：建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号的意义，了解函数中的问题、内容和方法，形成研究函数问题的"基本规范"。
从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的"纽带"，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。另外，函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。
4.注重概念课的后继课程的概念教学
本小节内容是在实数指数幂及其运算性质等知识基础上，进一步学习指数函数的概念、图象和性质，及初步应用。指数函数是重要的基本初等函数之一，它是今后学习对数函数的基础。
二、教学目标
1.使学生了解指数函数模型的实际背景以及和现实生活的联系。
2.理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；并探索指数函数的一些性质
3.在教学过程中让学生体会数学中的数学结合、类比、特殊到一般的思想。
三、教学重点与难点
教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。
四、教学过程
1.创设情景、提出问题
师：（利用投影打出国际象棋棋盘的图片）相传国际象棋是古印度西萨发明的，国王为奖赏他，，问他有什么要求，西萨说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，……按这样的规律，第64格准备多少麦粒？
【设计意图：在学生们讨论后，通过投影打出这些麦粒的重量；让学生感受指数函数的爆炸增长，通过一个简单有趣的例子，为引出指数函数的概念做准备，并激发学生学习新知的兴趣。】
师：上面的问题中，每个棋盘格放的麦粒颗数用表示，棋盘格数用表示，与之间的关系分别是什么？
【学情预设：学生可能会漏掉的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中的范围。】
2.师生互动、探究新知
2.1指数函数的定义
2.1.2它们能否构成函数？
【学情预设：讨论过程中让学生注意哪些是变量哪些是常数，函数的定义与变化。】
【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过函数函数，发现y=2x，y=1.073x是一个新的函数模型。】
引导学生观察两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
师：如果可以用字母a代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成 y=ax的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。
【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】
【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】
2.2 指数函数性质
师：函数有哪些基本性质？（此处通过学生的回答加以总结补充）
高中阶段一般通过图象去研究研究函数的性质，下面我们先画出几个指数函数的图象然后研究函数的性质。
【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导。】
【设计意图 ：加强学生动手的能力，并切身体会指数函数图象的特点。】
2.1.2交流、总结
教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。
2.2.3通过计算机将在同一个坐标系中四个函数图象画出。并且演示底数变化时函数图象的变化。让学生进行讨论指数函数的性质，这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其它性质？（如过定点（0，1），y=ax与y=（ ）x的图象关于y轴对称）
【设计意图： ①通过这个活动，从图象角度能直观的看出函数的一些性质。
②让学生研究性质训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；
③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。】
师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。
3.巩固训练、提升总结
五、教学反思
1.本节课主要是通过指数函数图象去研究函数指数的性质，这也是新课标研究函数性质的一个重要方法，具有形象直观，让学生更容易接受。
随着课程改革的深度推进，对教师的能力要求越来越高.不仅要求教师要有高超的教材解析能力，而且要求教师创造性地使用教材，最大限度地利用教学资源，不断提高教学效益.如果教师能对不同版本教材进行比较，并从中提取适宜于所教学生的素材，用于教学实践，将对深化课堂教学有很大的助益.
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终.普通高中数学课程标准（实验）明确提出：学生应通过学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题[1].可见，函数及其应用在中学数学中处于十分重要的位置.本文将对国内三套普通高中课程标准实验教科书数学必修1中“函数应用”内容进行文本分析，这三套教科书分别由人民教育出版社出版（A版）、北京师范大学出版社出版、江苏教育出版社出版（以下简称人教版、北师版、苏教版）.通过比较研究，以期对课堂教学和数学教材建设有所启示.
2研究方法
关于函数比较研究的文章较多，各有不同的比较维度.如文[2]作者从知识结构、知识的呈现过程与方式、数学文化的传承、数学与现代信息技术的整合、例题与习题五个方面对中美两国“三角函数”内容进行比较研究，文[3]作者选取了指数函数与对数函数从主要内容与顺序、知识点、知识点的广度与深度这三个指标进行比较，采用了先宏观后微观的分析路径.本文将对数学必修1函数应用一章中涉及函数建模方面的内容从主要内容、呈现过程、表征形式以及例题习题四个方面进行微观研究.分别选取人教版第三章函数应用部分的第二节“函数模型及其应用”[4]、北师版第四章函数应用部分的第二节“实际问题的函数建模”[5]以及苏教版第二章函数概念与基本初等函数部分的第六节“函数模型及其应用”[6]作为具体研究对象，以探讨三套教科书中“函数模型及其应用”内容的异同之处.
3比较与分析
3.1主要内容维度
教科书是由章、节构成.每一章的章标题表征这一章的核心内容，章由若干个节构成，每一节的节标题就是整节内容的主线索，全节围绕这一线索展开.这里所论及的“主要内容”是指三套教科书中的节标题及下属的二级标题.根据梳理与分析，三套教科书中所呈现的主要内容见表1所示.
表1主要内容比较表
版本
内容
人教版北师版苏教版
主要内容32函数模型及其应用
321几类不同增长的函数模型
322函数模型的应用实例2实际问题的函数建模
21实际问题的函数刻画
22用函数模型解决实际问题
23函数建模案例26函数模型及其应用①函数模型的应用实例
②数据拟合（信息技术应用）
由表1可知，三版教科书中均涉及“函数模型的应用实例”部分，只不过北师版叫法不同而已.其差异如下：第一，人教版中“几类不同增长的函数模型”是其所特有的，即利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义[2]；第二，北师版中节标题为“实际问题的函数建模”，突出“函数建模”，就篇幅而言，北师版这一节总篇幅11页，而“函数建模案例”就占6页；第三，苏教版中“数据拟合”内容是其余两版教科书所没有的，是其特色设计.
人教版教科书的设计能够很好体现课程标准的要求，“几类不同增长的函数模型”内容可以开拓学生的视野，使学生能更深层次的理解函数及其应用；北师版大篇幅的“函数建模案例”，表明其对学生的函数建模能力（即解决实际问题的能力）高度重视；苏教版的特色内容是“数据拟合”，表明苏教版注重对学生信息技术运用能力的培养.
3.2呈现过程维度
尽管三版教科书主要内容都围绕“函数模型的应用”这一个主题，但阅读教科书可明显感觉到它们之间的不同，主要是三版教科书呈现数学知识的过程与表征形式存在差异.表2列出了三版教科书主要内容的呈现过程.
表2呈现过程比较表
内容呈现过程
人教版引入（如何选择适当的模型刻画实际问题）几类不同增长的函数模型（例题1、2）
练习1比较分析探究不同函数增长差异练习2函数模型的应用举例（例题3、4）练习3例题5、6总结概括练习4
北师版实际问题的函数刻画（问题1、2、3）小资料练习1用函数模型解决实际问题（例题1、2）练习2函数建模案例（问题提出分析理解抽象概括信息技术应用）练习3
苏教版引入函数模型及其应用（例题1、2、3）总结概括练习1信息技术应用即数据拟合（例题4、5、6）练习2
由表2可知，三版教科书的呈现的主要模式均为：引入―例题―练习―总结概括―练习，但差异也很明显.相对而言，人教版中例题与习题的数量较多，特别是在函数模型的应用举例部分设置了4道例题，且在例题3、4与例题5、6之间设置了一个练习3，其中例题3、4中函数模型（函数解析式或图象）是已知的，而例题5、6中没有给定函数模型，相应的在练习3中第1题需要学生列出函数解析式，第2题给出了函数解析式，例习题相互映照；北师版中增加了问题与小资料部分，以问题的形式引入函数模型，这里的问题并不像例题一定需要正确答案，仅仅是为了渗透利用函数模型解决实际问题的思想，大篇幅的函数建模过程使得例题的数量较少；苏教版设计简洁明了，其特色是信息技术应用部分（涉及一半的例题与习题）.
由此可见，人教版教科书将例题与习题密集穿插设计表明其注重知识的衔接与过渡，有利于学生的自主探究学习，较多的例习题降低了学生理解问题的难度，可提升学生的解题能力；北师版小资料的设计有利于开阔学生的视野以及提高对数学学习的兴趣，新颖的问题引入模式使学生能更深刻地了解数学在实际生活中的应用；苏教版强化了信息技术的运用.
3.3表征形式维度
函数有三种表示方法：列表法、解析法、图象法.因此与函数相关联的内容必定出现图表、图象、旁白等元素.图表、图象、旁白等是教科书的组成要素，它既是对教科书形象化的解释和直观化的概括，又是对教科书内容的补充和延伸[3].为了便于分析比较，将其表征形式分为以下几类：表（表格）、数学图、非数学图、信息技术图、数学层面的旁白以及非数学层面的旁白，具体结果见表3.
表3表征形式比较表
版本
类型人教版北师版苏教版总计
数学图1411025
表115521
数学层面的旁白92213
信息技术图06410
非数学图1269
非数学层面的旁白0134
总计35272082
横向比较发现：教科书中数学图与表的运用最多，分别占总量的305%和256%，数学层面的旁白、信息技术图、非数学图的数量分布较为均衡（分别占总量的159%122%、109%、），非数学层面的旁白较少，仅占总量的49%.
纵向比较可知：①人教版中表征形式总量明显多于其余两版教材，但不同形式的运用却严重的不均衡，数学图、表以及数学层面旁白的数量占总量的971%，没有运用信息技术图与非数学层面的旁白；②北师版除数学图（占总量的407%）的运用之外，其余形式的运用相对稳定；③苏教版中缺失数学图的运用，其余形式的运用相对均衡.
人教版教科书运用了大量数学图与表，表明注重用形象化的表征形式；北师版较为均衡的运用了不同的表征形式；苏教版运用非数学图的数量较多，一定程度上会减轻学习数学的压抑感，提高学生学习数学的兴趣，但也会影响到数学知识的理解.
3.4例题习题维度
例题、练习题、习题是建构教科书的主成分.由31、32的分析中知，主要内容的建构都离不开例题、例习题、习题.本文换一种思维方式，从每一道例题（问题）、练习题、习题中所涉及到的相关函数模型的数量为统计量，从而剖析例题、问题、练习题、习题与函数模型之间的内在关系，见表4.
表4函数模型比较表
版本
函数人教版北师版苏教版总计
二次函数67821
一次函数65516
指数函数81413
幂函数2024
一次分段函数2002
对数函数1001
总计25131957
分析发现：①6类函数模型中，出现次数最多的是二次函数（占总数的368%），其次是一次函数与指数函数（分别为316%、228%），几乎每一版本中对这三类函数的涉及都较多，表明这三类函数在现实生活中应用广泛.②仅指数函数而言，人教版中出现的次数较其余两版本要多一些，这与人教版中例题与习题的大容量有关.③一次分段函数与对数函数数量较少，北师版与苏教版均没有出现.
人教版中不仅对课标中提到的四类函数都有涉及，而且相关函数模型数量、种类多，注重基础知识的学习与数学思维能力的提高；北师版中涉及的函数模型量最少，且比较简单，有利于学生自主学习；苏教版较为适中，在学习基础模型的前提下，有一定的推广，且剔除了较难理解的对数函数模型，这种设计可能适合学生的学习.
4结语
综上所述，三套教科书主要内容都包括“函数模型的应用实例”部分，主要模式都为引入―例题―练习―总结概括―练习，基础函数模型都有涉及.但三套教科书都有不同的建构特色，人教版教科书的特色是：适切课程标准的要求，有利于课程标准对实际教学要求的实现；注重知识间的衔接与过渡，有利于学生自主探究学习；注重数学知识的学习，有利于夯实学生数学基础.北师版教科书致力于培养学生解决实际问题的能力和学生学习数学兴趣的激发，注重学生的全面发展.苏教版教科书关注数学与信息技术的整合、学生学习数学兴趣的激发.
数学教科书是数学知识的一种表达过程，是为教学服务的，每一个版本的教科书都是基于数学课标、教育现实建构的，有其存在的可行性与价值，不可避免存在着一定的局限性，也不可能完全适用于每一个教师与学生.因此对不同版本教科书中同一教学内容进行比较研究对更好地教学与教科书建构无疑是很有意义的.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社.2003∶13-16.
[2]周军.新课程理念下中美两国“三角函数”教材的比较研究.数学教学，2012，（9）.
[3]陈月兰，袁思情等.中美教材“指数函数与对数函数”内容的组织与呈现方式比较.数学通报，2013，（8）：11-16.
[4]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书・数学（A版）・必修1[M].北京：人民教育出版社，2005.
本节课是《普通高中课程标准实验教科书・数学（1）》（苏教版）《2.2.2指数函数的图像及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将这部分划分为两节课（探究概念图像及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究概念图像及其性质”。 指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中也有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究，对知识起到了承上启下的作用。
二、学生学情分析
指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（古莲子的年代问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果激发学生学习新知的兴趣和欲望。进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数及等比数列的性质打下坚实的基础。
三、设计思想
（一）函数及其图像在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图像语言有机结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望，维持持久的好奇心。本节课，力图让学生从不同角度研究函数，对函数进行全方位研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生体会这种的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中。
（二）结合参加我校组织的市级课题《高中数学实验教学的实践研究》的研究，在本课教学中我努力实践以下两点。
1.在课堂活动中，利用图形计算器帮助学生学习，通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
2.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握学习、研究数学的方法。
（三）通过图形计算器与学生的课堂活动，通过学生自我动手、自我实验，培养学生的学习能力，增强数学学习的趣味性和生动性。
四、教学目标
根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：
知识与能力：通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念;掌握指数函数的图像及性质，并能解决简单的数学问题。
过程与方法：通过观察图像，分析、归纳、总结，自主构建指数函数的性质。体会数形结合和分类讨论思想及从特殊到一般等学习数学的方法 ，增强识图用图的能力，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中，使学生获得研究函数的规律和方法;通过图形计算器的运用，培养学生自我动手、自我实验、合作交流的意识，培养学生善于观察、用于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
五、教学重点与难点
教学重点：指数函数的概念、图像和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数的性质。
六、教学策略分析
（一）本节是指数函数及其性质概念课，以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知识的契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。
（二）抓住学生的好奇心，将娱乐“计算米粒”与数学有机结合在一起，利用图形计算器，通过学生自我动手、自我实验，增强数学学习的趣味性和生动性。
（三）通过让学生给函数命名，举几个指数函数例子这个小环节，增强学生对指数函数本质的理解，激发学习兴趣，概念的得出可谓“润物细无声”。
（四）在研究指数函数的性质时，通过提问的方法，让学生明白研究函数可以从图像和解析式这两个不同的角度进行出发，将学生的注意力引向本节的第二个知识点――图像及其性质。设计中将学生进行分组，通过学生自主探究、合作学习，侧重对解析式、作图像探索。学生的上台报告，老师借助图形计算器的直观图形，以形助数，以数定形，数形结合的数学方法，收到了较好的研究效果。
七、教学过程
（一）创设情境，提出问题。
师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米……按这样的规律，51号同学该准备多少米？
学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。
师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米……按这样的规律，51号同学该准备多少米？
师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？
教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。
师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部的最新数据显示，2007―2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007―2008年度我国全年的大米产量。
【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做好准备;同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。】
在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？
学生很容易得出y=2x（x∈N■）和y=2■（x∈N■）.
（二）师生互动，探究新知。
1.指数函数的定义
师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与y=2■类似的关系式y=1.073■（x∈N■，x≤20）
（1）让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）（约3分钟）。
①y=2■（x∈N■）和y=1.073■（x∈N■，x≤20）这两个解析式有什么共同特征？
②它们能否构成函数？
③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？
【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现y=2■，y=1.073■是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】
引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
师：如果可以用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y=a■的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。
（2）让学生讨论并给出指数函数的定义（约6分钟）。
对于底数的分类，可将问题分解为：
①若a
②若a=0会有什么问题？（对于x≤0，a■都无意义）
③若a=1又会怎么样？（1■无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要。）
师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0且a≠1.
在这里要注意生生之间、师生之间的对话。
【设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值;②讨论出a>0，且a≠1也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】
接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y=2×3■，y=3■，y=-2■。
【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】
2.指数函数的图像与性质
（1）提出两个问题（约3分钟）。
①目前研究函数一般可以包括哪些方面？
【设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。
②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？】
可以从图像和解析式这两个不同的角度进行研究;可以从具体的函数入手（即底数取一些数值）;当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法进行研究才能事半功倍。还可以借助一些数学思想方法思考。
【设计意图：①让学生知道图像法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图像和解析式（包括列表）不同的角度对函数进行研究;
②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】
（2）分组活动，合作学习（约8分钟）。
师：好，下面我们就从图像和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。
①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助图形计算器的操作从图像的角度入手研究指数函数。
②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）。
③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。
【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当指导。】
【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人，更可加深对所得到结论的理解。】
（3）交流、总结（约10～12分钟）。
教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。
教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。
师：各组除了研究过定义域、值域、单调性、奇偶性外，还是否得到一些有价值的副产品呢？（如：过定点（0，1），y=a■与y=（■）■的图像关于y轴对称）
师：下面我们开一个成果展示会！y=2■，y=10■，y=（■）■，y=（■）■.
【设计意图： ①函数的表示法有三种：列表法、图像法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图像角度研究只是能直观地看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证;特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。
②让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养。
③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。】
师：从图像入手我们很容易看出函数的单调性，奇偶性，以及过定点（0，1），但定义域、值域却不可确定;从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。
教师通过图形计算器中“动态图”模块，改变参数a的值，追踪y=a■的图像，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。
师生共同总结指数函数的图像和性质，教师可以边总结边板书。
（三）巩固训练。
例1：已知指数函数f（x）=a■（a>0，且a≠1）的图像经过点（3，π），求f（0），f（1），f（-3）的值。
【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】
师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？
师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件。
【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。】
例2：（1）同时画出y=2■、y=（■）■与y=3■和y=（■）■的大致图像，观察并思考y=a■和y=（■）■图像之间的一般结论？
学生活动：通过学生利用图形计算器进行探索研究，归纳出结论。
（2）同时画出y=2■、y=2■、y=2■的图像，思考它们图像间的关系？
【设计意图：①让学生再一次感受图形的美，直观感受图形之间的联系（也可以从解析式角度进行）。
②突出数形结合思想的优势，强调各种研究数学的方法之间的联系，相互作用，才能融会贯通。】
（四）提升总结。
师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？
【设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中。
②总结本节课中所用到的数学思想方法。
③强调各种研究数学的方法之间既有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】
（五）作业：课本59页习题2.1A组第5题。
八、教学反思
（一）本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度研究函数，对函数进行全方位的研究，不仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。
[关键词] 考点梳理 方程函数思想 数形结合 实际应用
九年级的第一轮复习对整个初中各章各块知识点来个整体梳理和概括，对于中考的成绩至关重要。我在教学一线有将近20年的教学经验，特别在九年级第一轮复习方面对如何处理知识点有更明确的认识。现在我结合一次函数的复习谈谈自己的一些看法。
一、第一轮复习注意考点的归纳梳理
复习中，要注意每个考点前后知识的联系，以便达到巩固与提高的目的。例如一次函数在中考中共有5个考点：1、一次函数定义；2、一次函数图像和性质；3、一次函数解析式的求法；4、一次函数和方程（组）不等式的关系；5、一次函数的应用。而这5个考点就综合了一次函数和其他知识的联系，也体现了函数之间的区别和关联，更提高了书本知识和实际问题的应用。如复习一次函数，可按正比例函数、一次函数的定义逐级归纳知识，通过对比指出其区别与联系。再如复习一次函数时，还可把一次函数y=ax+b(a≠0)与一元一次方程ax+b=0(a≠0)以及一元一次不等式之间的联系进行归纳。
所以在讲第一考点“一次函数的定义”时，我就开门见山提问：什么是一次函数？然后让学生思考，由学生做出回答。在学生回答出后，指导给出规范的定义：“如果y=kx+b（k、b为常数，k不为0），那么y就叫做x的一次函数。当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k为常数，k≠0），这时y就叫做x的正比例函数。”
为了使学生回答问题有针对性，然后又分层次提出3个问题。
问题1：一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)的结构特征。指导回答：(1)k≠0；(2)x的次数是1；(3)常数项b可为任意实数。
问题2：正比例函数解析式y＝kx(k≠0)的结构特征。指导回答：(1)k≠0；(2)x的次数是1；(3)没有常数项或者说常数项为0。
问题3：正比例函数是一次函数吗？指导回答：正比例函数是一次函数，但一次函数y=kx+b(k≠0)不一定是正比例函数，只有当b=0时，它才是正比例函数。
这样复习可以把一次函数和正比例函数之间的区别和联系更好地体现出来，加深新旧知识的认识，使学生对原有的定义有了更深入的理解和巩固。
然后我就相应地配一道有关练习：函数y=(k-1)x+(k-4)(k-1)，当k= 时，函数是正比例函数。在学生做好的基础上变化题目条件训练：函数y=(k-1)x2+(k-4)(k-3)x当k= 时，函数是一次函数。这样双管齐下，对函数的概念之间的异同点有了很大的提升归纳。
接下来讲考点二“一次函数的图象和性质”，我以多媒体图片出示以下问题。
问题：一次函数的图像取决于什么，性质又决定于什么？指导学生按以下思路回答：1、一次函数y=kx+b (k≠0)的图像是经过两点（0，b)和（-b/k，0）的一条直线；2、正比例函数y=kx(k≠0)的图像是经过两点（0，0)、(1,k)的一条直线；3、正比例函数y=kx（k≠0)的性质：⑴当k>0时，图象过____象限；y随x的增大而____。⑵当k0时，y随x的增大而_____。⑵当k
为了更好地梳理函数图像和性质之间的关系，让学生再做几道练习：
1.已知直线y=kx+b平行与直线y=-2x且与y轴交于点（0，2），则k=___，b=___。此时，直线y=kx+b可以由直线y=-2x经过怎样平移得到？
2.已知一次函数y＝x＋b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以为 。
我出这些练习的顺序也是有目的的，让学生从易到难、从旧到新、从单个知识到综合知识有一个系统的思考梳理。最后在练习基础上给学生归纳：解有关一次函数y=kx+b的图象与性质的问题时，应注意三点：（1）一次函数图象分布特征与k、b的符号之间的关系；（2）一次函数图象的增减性与k的符号之间的关系；（3）一次函数与两坐标轴的交点及围成的图形的面积等。
其实不止一次函数和其他知识点之间有关联，初中数学各章内容丰富、综合性强，都或多或少有一定的系统联系，所以复习过程中要对知识深入理解，及时进行横向、纵向归纳梳理。
二、第一轮复习注意解题思路方法。
关键词：比较数大小指数函数对数函数幂函数
经过多年的学习和分析，发现高考数学试题，模拟题中考查比较数的大小问题经常出现，以往都可以根据我们所学的普遍方法如：作差法、选取中间量、利用函数性质、图像法等就可以解决，随着高考改革的进一步深化，以往我们见到的题目形式在发生变化，要求学生在掌握知识的灵活性上和解决问题的能力越来越高.
高考模拟试题，高考试题中出现利用指数函数，对数函数，幂函数比较数大小问题很是频繁，但是要真正把这些题做出来不是很好能达到的.再加上要求学生各种能力都要应用自如，确实给我们教师和学生敲响了警钟，让我们要从中学会知识间的联系.
下面我们来看以往遇到最普遍的试题形式和处理它的一般方法.
例1 比较50.5，5-0.5，0.5-0.5的大小.
分析：观察底数和指数，我们不难发现一些关系.50.5，5-0.5底数相同，我们借助指数函数的单调性可以解决，但是另一方面我们看到5-0.5，0.5-0.5指数相同，又可以看做幂函数处理大小，-0.5和0.5可以通过指数式运算达到一致，所以0.5-0.5=20.5，这样比较就好些了
解：根据指数函数得y=5x是增函数，所以50.5>5-0.5，幂函数y=xa.
当a>0时是增函数，可以解决50.5>0.5-0.5=20.5而根据指数函数性质知5-0.5小于1，其余都大于1，所以50.5>0.5-0.5
>5-0.5.
c>b>a.
以上是我们在各地高考模拟，高考试题出现的比较多的比较数大小的题型，而且大多是以选择题出现，方法以作差法、设计中间数、利用函数性质等方法进行处理.但是随着课程改革的进程，考试形式也在不断地改变，让我们同学和老师不知如何应对，比较数大小可以和我们学习的好多领域联系在一起，我们熟悉的有线性规划、数列等联系，但是我们很少见到和导数联系在一起的.
