时间：2023-09-21 17:56:05
关键词：数学 概率
一、引言
概率论作为数学的一个分支，与其他学科分支有着密切的联系，具有广泛的应用性。著名的数学家王梓坤院士指出：“用概率论的方法来证明一些关系式或者解决其他数学分析中的问题，是概率论的重要研究方向之一。”概率论方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可以解决一些确定的数学问题，而且某些在数学分析中很难解决的问题，只要运用合适的概率论模型或是定理，就能得到很好的解决。
二、概率论与数学分析的联系
众所周知，概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上，而概率论的调色板，则始终是以数学分析为底色的.但是作为微积分的一门后继课程，概率论并非按微积分中的思维方法发展下去，而是另辟蹊径，其发展路径与微积分大相径庭，最终成为了随机数学的典型代表，具备了与微积分分庭抗争的地位.更因其非线性、反因果的非理性特征，显得比经典的数学分析更具有时代精神.而作为确定性数学典型代表的数学分析对概率论的发展具有很大作用，因此寻绎数学分析在概率论中的地位，阐述概率论的因果特征是很有意义的.
集合论与概率论的公理化体系；集合论是在微积分的营养液中培育出的一颗明珠，而公理集合论使微积分的纷争彻底休止.众所周知，数学的研究对象一般都是内涵着某种结构的集合，或者是可以通过集合定义的事物.因此说，集合论可以充当整个现代数学的基础.在这一点上，数学分析和概率论都不应例外.由于集合论与微积分之间存在着明显的源和流的关系，又由于勒贝格积分有效地建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系.因而集合论对概率论的渗透可视为微积分对概率论的一次较有力的推动.
函数、随机变量与分布函数；在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间被简化为数集，概率相应地由集函数约化为实函数.以函数的观点衡量分布函数F（x），F（x）的性质是十分良好的：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导.因之，数学分析中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域.随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等等，显然借鉴或搬运了微积分的现成成果. 不难确知，概率论的公理化、体系化的动力源，不仅是集合论和测度论，更重要更基本的仍然是数学分析的那一套理论.因此，概率论形成体系后的高歌猛进，不妨视作概率论向着微积分的靠拢与回归.
级数在概率论中的特殊作用；200年前，拉格朗日就指出凡是函数都能用幂级数表示的事实.随后傅立叶发现所有函数都能用傅立叶级数表示，康托尔引入点集拓扑的概念.然而对概率论产生影响的不光是傅立叶级数，还有等比级数、二项式和式、调和级数等等.作用是方方面面的，有的构成反例，有的便于计算，有的揭示出了特殊的计算方法等等.
三、概率论方法解决其他分支数学问题
概率论方法解决无穷级数问题的意义 。无穷级数是无穷多项相加，可能收敛，可能发散。当级数收敛时，其和存在，然而如何求出收敛的无穷级数和，至今没有简便易行的统一求和公式。从上述六个例题中，不难发现，用概率论方法解决无穷级数问题避免了数学分析中求无穷级数的常见缺陷，利用广义贝努力模型等概率论模型，根据相关概率论模型的性质，直观地解决无穷级数问题，优势显而易见。
概率论方法解决积分问题。概率论是研究随机现象及其规律性的数学学科，它既有着自己独特的概念和方法，内容丰富，又与其他科学分支有着紧密的联系，具有广泛的应用性。在概率论中，连续性随机变量的概率分布函数、数学期望与积分有着一定联系， 这使得用概率论的思想方法证明某些积分不等式成为可能。下文将运用概率论的思想方法，重新推证一些积分问题。
概率论方法解决恒等式问题。复杂恒等式的证明在数学分析中一直比较麻烦的，然而通过上述三道例题的证明，我们可以看出通过构造合适的概率模型解决恒等式问题的相当方便的。只要我们等构造合适的概率论模型，根据概率论中的相关知识，我们可以将数学分析中的恒等式问题转化为概率论问题，从而解决恒等式问题，这样的方法简单、直接，是解决这类问题的好方法，不仅如此，用概率论方法解决恒等式问题还使得一些抽象数学在现实生活中找到具体的模型，使其具体化、直观化。
四、结语
数学分析与概率论作为数学的两个分支，它们之间一定有必然的联系。然而传统的概率论应用让我们很容易忽略概率论方法在解决数学分析中的应用：概率论方法解决极限问题、概率论方法解决无穷级数问题、概率论方法解决积分问题、概率论方法解决恒等式问题、概率论方法解决不等式问题，对概率论方法在数学分析中的应用介绍，我们对用概率论方法解决数学分析中的问题有一定启发：利用概率论方法解题的关键，是根据不同的数学问题，建立合适的随机模型，然后利用概率论中的相关定理，直接得到答案。概率论方法不仅在数学分析中能方便的应用，在其他的数学分支中也应该有其重要的应用。
参考文献
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关键词：大类招生；课程教学改革；层次教学；兴趣学习
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）15-0086-02
一、大类招生背景及《概率论与数理统计》课程教改的需求
目前很多原因迫使我国高校公共数学课程进行教学改革，其中我国高校相继开始实行了大类招生是非常重要的原因，这种从细分专业招生到大类招生的变化是迫使各高校必须进行公共课程教学改革的内在动力之一，其次大学课程面向实际、面向应用的定位也成为促进大学课程教学改革的深化实际动力，再次高中新课标也从下向上推动了大学数学公共课程的教学改革，当然这种改革是相互的[1]。《概率论与数理统计》是大学重要的三大数学课程之一，因此高校《概率论与数理统计》课程改革的深化也随之全面展开，不同的高校都进行了相关的探索[2，3]，有的院校还建议对《概率论与数理统计》课程实行双语教学[3，4]。在大类招生的条件下，如何使《概率论与数理统计》课程的教学适应这种变化，激发同学们的学习兴趣，体现出宽口径、强基础、重应用的新要求，这是我们深入研究《概率论与数理统计》课程教学改革的主要动力。而在改革中，既要突出相近专业的共同需求，也要体现工科大类与经济管理大类专业的差异需求，又要进一步考虑该课程教学的改革必须满足大多数同学掌握《概率论与数理统计》知识的需求，还要考虑到部分优秀同学继续升学深造的需求。
二、基于教改需求《的概率论与数理统计》课程教改内容的基本分析
以上需求明确了《概率论与数理统计》进行教学内容改革的方向[5]，要做到教学内容上的及时更新，更加注重教学内容与新应用的结合；注重知识的连贯性，比如在高中概率初步知识的基础上引入概率的各种定义，重点突出古典定义、几何定义；在清楚把握随机事件的基本原理基础上，指出引入随机变量的必要性，掌握一维随机变量与二维随机变量之间的联系与区别，使同学们理解二维（或多维随机变量）随机向量不是一维随机变量简单的罗列，更重要的在于研究随机变量间的关系；从简单概念入手先理解离散型随机变量的概念与公式，进一步引出相应的连续随机变量的概念与公式；随机变量的数字特征是大类招生背景下的《概率论与数理统计》课程的重点内容之一，无论工科大类还是经济大类都有各自的应用背景，可以通过这部分内容深挖案例教学，在基本的教学内容中激发学生的兴趣学习；大数定律和中心极限定理是连接概率论与数理统计的桥梁，是进行数理统计中参数估计等内容的基础，比如通过相应案例的教学使经济管理大类的学生学会借助大数定律和中心极限定理理解保险产品定价的科学性和合理性，工科大类的学生就要注重学会借助大数定律和中心极限定理理解如何通过计算编程进行定积分计算，通过模拟的精度理解频率和概率之间的关系；统计量的分布理论是进一步掌握基本的参数估计和假设检验的前提，统计量的三大统计分布――χ2分布、t分布、F分布中χ2分布尤其重要，χ2分布是理解t分布和F分布的基础，因此要通过不同的角度、不同的案例深入分析；参数估计和假设检验是做好实际工作的有力工具，让同学们理解借助抽样调查我们可以实施监控产品的质量、资金的运作、人员的管理等，实现工作效率的提高，案例教学和基本教学内容的相互渗透使同学们能够通过实际的案例理解更抽象的概念，从而对概率论和数理统计这个处理随机现象最有力的工具有更深入的理解和把握。大类招生下数学统计类专业除了注重以上基本内容外还要注意理论内容的研究，比如“概率”的概念除了在理解概率的统计定义、古典定义和几何定义的基础之上还要加深概率的公理化定义的理解，从数学的角度去把握理解每一个基本概念和原理，数学统计大类除了和工科大类、经济管理大类学习相同的内容外，还要研究方差分析和线性回归分析的基本内容、基本理论，让学生理解线性回归分析的适用基本条件，学会运用基本的统计软件或数学软件（比如spss或matlab）解决回归系数的求解、模型的解释效果等，从过去数学统计类教学中重概率论的理论教学、轻数理统计的教学，转变为既重视概率论的理论研究又注重数理统计的应用内容，同时引入相关的软件去分析模拟相关的结论，比如用计算机编程的方法模拟计算圆周率π的大小，通过计算精度的变化使学生理解概率的统计定义和几何定义的关系，进一步理解概率的基本概念。大类招生下还要满足优秀学生考研学习的需求，条件许可的情况下可开设提高班，从理论上和内容上进行扩展，为将来进一步搞好科学研究打下良好的基础，这部分教学既要突出理论知识的重要性，还要突出学习兴趣的广泛性，通过激发兴趣克服理论学习的困难。
三、《概率论与数理统计》课程教改需要的教学方法、教学手段满足的层次分析
教学方法上也要突出《概率论与数理统计》课程的创新特点，这种创新不仅体现在内容上，还要结合软件使教学内容更具有启发性，激发同学们的学习兴趣。同时，这种创新要满足双层次的发展需求，首先，在新条件下第一层次是满足不同大类的共同的基本需求，第二层次是满足不同大类方向上的不同需求，再次是更深层次上的进一步升学深造的需求。这就要求在教学内容上引进创新的案例教学，讲清楚第一层次上的基本概念、基本知识，注重第二层次上的不同大类间的需求，举出能结合专业应用的案例教学，第三层次是基本概念、基本原理的扩展教学，满足升学提高的需求。教学手段上，结合新的软件进行多媒体使《概率论与数理统计》教学更加生动，变抽象的想象为有趣的形象表达，比如结合软件作图解释事件的随机性，在小班教学中还可以适当引入讨论式教学，在教师的引导下通过对某一具体问题的讨论引导学生掌握基本知识和基本概念，体现不同层次上教学手段的不同。教学手段在课堂练习的处理上，可以分工科大类、经济管理大类、数学统计大类，设计出不同层次教学内容上的相关填空题、选择题及计算题，及时巩固所学内容，使学生做到活学活用、全面理解，激发学生对《概率论与数理统计》课程的兴趣学习。网络教学、幕客的引进也是同学们学习该课程的有力工具，从国外高校的教学来看，我们没有理由忽视网络教学的重要性，如何恰当地引进网络教学是值得教学改革关注的一个地方。网络教学不能仅仅满足于网上听课，教学实践中还应结合手机APP软件进行课程开发，实现分大类、分层次的教学辅助内容的网络化，使同学们实现随时随地学习《概率论与数理统计》课程的需求。我们对两类班级的教学效果进行了对米，一类是利用邮箱管理课堂练习的班级，一类则是没有实行该措施的班级，从对比结果来看，实行该措施的班级教学效果非常显著，同时，这种方法符合学生随时随地学习的特点，具有较高推广的价值。考试手段的改革也是整体教改的一个重要环节，重基础就要重视平时的教、学、练几个环节，不再仅仅依赖最后的期末考试去评定教学效果的好坏，实行分阶段、分层次的网络测验成绩与期末考试成绩相结合，使同学们在每一个教学环节中都能有较高的学习兴趣，实现对概率论与数理统计知识真正的理解。所有这些都表明，《概率论与数理统计》课程在原来教学研究的基础之上，必须进行更深层次的教学改革，以满足大类招生的教学需求。在满足不同层次的教学需求的同时，又满足了解决难点、突出重点的教学理念，适合宽口径、严基础的大类招生需求，教学内容的扩展上可以参看盛骤等编写的《概率论与数理统计》及刘喜波等编写的《概率论与数理统计》中的主要内容，进行进一步深入研究[6，7]。
四、结论
综上所述，在大类招生的背景下，《概率论与数理统计》课程教学改革的任务迫在眉睫，我们突出分析了《概率论与数理统计》课程教学内容分三个大类――工科大类、经济管理大类和数学统计大类教改的重点，分析表明《概率论与数理统计》课程中第一层次基本概念、基本方法教学是进一步学习的基础，是教与学的重点领域，过难的概念、定理要分解，让学生学会从不同角度、侧面去理解，设计好完备的教学内容，利用现代化及网络化的教学手段去实现；适合不同大类的案例教学是教学改革的亮点，结合不同的实际案例让学生理解概率论与数理统计的基本知识如何在实际中应用；三个不同层次强调了大类招生教学的需求及解决方法；最后分析了教学手段、网络教学及考试考核方法在实际教学中的进行改革的必要性。当然我们仅仅作出一些探讨式的研究，我们相信会对大类招生下《概率论与数理统计》教学改革有所帮助，抛砖引玉会引出更多更好的研究，进一步有利于《概率论与数理统计》的教学。
参考文献：
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关键词：案例教学法；概率论与数理统计；教学研究；应用
作为研究社会随机现象、统计普遍规律的重要数学分支，概率论与数理统计的相关理论其方法被普遍应用于社会科学发展、生产生活及国民经济各个领域，从子弹的命中率问题、航天器的碰撞概率问题到硬币投掷问题、中奖问题都需要用概率论与数理统计的相关内容进行分析和解答。正如法国数学家拉普拉斯曾所言：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题。”可见，概率论与数理统计在我们的生产生活中发挥着不可忽视的重要作用。这就需要高等数学中的概率与数理统计教学要充分结合本学科特点，在充分激发学生学习积极性和主动性的基础上，促进学生学习效率、学习质量、学习水平的不断提高，为他们用概率论与数理统计理论知识解决实际问题奠定扎实的基础。然而，我国当前部分高校的概率论与数理统计教学中普遍存在“重理论讲解、轻实践操作，重技巧应运用、轻数学思维”的现象，使学生花费大量精力学习概率论与数理统计相关理论知识后，即便是得到较高的书面分数，却很难在实际生活中应用所学知识灵活地解决实际问题，而无法达到学以致用的目的。这种传统的教学模式不仅不利于学生综合素质和全面能力的培养及提高，而且还会因为枯燥的课堂教学扼杀学生的学习兴趣、降低概率论与数理统计课堂教学的实效性。因此，新时代背景下的概率论与数理统计教学，应从学生的认知水平、实际情况出发，在理论与实践紧密结合思想的指导加强实用性教学。而案例教学法，即通过在课堂教学过程中引入有代表性的、学生感兴趣的、与课堂内容紧密结合的实际问题，实现对理论知识的分析和讲解。在概率论与数理统计教学过程中应用案例教学法，引导学生自主学习、探究学习、合作学习，在发现问题、思考问题、分析问题、解决问题的过程中，提高将概率论与数理统计应用于实际问题解决的相关能力。
一、案例教学法的特征及优势
案例教学法就是教师在课堂中通过引入与教学内容紧密结合的实际问题，并将其作为教学案例，引导学生参与案例分析和讨论，实现理论知识与生活实践的紧密结合，并促进学生发现问题、思考问题、分析问题、解决问题及将理论知识应用于生活实践等相关能力的不断提高。与其他数学课程一样，概率论与数理统计也具有理解起来难度高、理论内容丰富抽象、相关试题复杂多样等特征。基于这些数学学习特征，传统的教学方法不仅加大了教师的教学难度，而且也不利于教学效果的提高。这就需要教师积极的创新教学理念和教学方法，结合案例教学法激发学生的学习主动性和积极性，促进教学质量的不断提高，以最终获得理想的教学效果。在概率论与数理统计教学中应用案例教学，可以让学生在生动形象的实际问题中，加深对抽象、难懂理论知识的理解。此外，学生还可以在具体案例的讨论分析和探究过程中，获得更高的学习热情和兴趣，以最终促进学生学习质量和教师教学效果的全面提高。从教学的层面而言，案例教学法充分发挥了学生在课堂学习中的主体作用，有效地培养了学生的自主学习能力、合作学习能力、探究学习能力。因此，案例教学法是沟通概率论与数理统计理论知识与生活实际相联系的重要桥梁。
二、在概率论与数理统计教学中应用案例教学法需注意的问题
再好的教学方法都应该与教学内容相适应、与学生的认知水平、兴趣爱好相一致，案例教学法同样也要满足这些要求。因此，在概率论与数理统计教学过程中应用案例教学法需注意以下几个问题：
1、案例的选择
案例教学法的实施过程中，要特别注重对案例的选择。要选择与所学理论知识联系密切且难易程度适中、便于学生理解的案例。同时，在课堂教学中的应用的案例，还要具有一定的延伸性和拓展性，让学生一方面可以在生动有趣的案例中，提高学习热情；同时，也可以在经典案例的指引下，开阔思维、拓展视野。在概率论与数理统计的发展史上，有很多像“平分赌金”一类的经典案例。当然教师也可以根据专业背景、社会趋势的具体变化，审时度势地选择与教学内容紧密结合的案例，以为学生营造一个轻松、自由、和谐的课堂氛围，最终实现概率论与数理统计课堂教学的有效性的不断提高。
2、案例教学的具体组织在应用案例教学法时，教师要特别注意案例引入的时机和方法。教师要通过提出问题的方式，先为学生设下悬念，以调动起他们的学习欲望。然后，再带领新生开始了解和认识新知识，等他们对新知识有了初步的了解后，再结合之前案例中的问题，组织学生进行讨论、分析，自由发言。在学生讨论过程中教师要做好巡场指导和问题解决工作；在学生发表观点后，教师要及时地就发现的问题做深入的分析和解答，帮助学生建立其解决实际问题的具体思路和有效方法。在概率论与数理统计的教学过程中，应用案例教学法的教师要特别注重对课堂时间的整体把握，要把握好案例讨论和观点表达的时间，要充分结合多媒体教学方式，以声音、图像、视频等方式，将原本枯燥无味的理论知识形象生动地展示出来，为学生进一步研究和深入探讨奠定基础。
三、案例教学法的运用实例
在概率论与数理统计中，从每道例题到专题讨论都可以使用案例教学法。下文笔者将结合几个具体案例，对案例教学法在概率论与数理统计中的应用展开分析。结合经典的“平分赌金问题”，引入数学期望和古典概率的相关知识。
案例1: 保罗和德梅尔是两个赌技术相当的赌徒，现他们各出六个金币做赌注，赌前约定：谁先赢三局，就可以拿走所有的12枚金币。而已知共堵了三局，保罗一胜两负，但由于特殊原因要结束，问如何分配这十二枚金币，才能达到最大程度的公平。在引入这一案例后，教师可以留给学生几分钟的时间用于思考和讨论，并表达自己的意见。根据学生的回答发现大部分学生是根据已经比赛的结果来对金币进行分配，即保罗可以拿到1/3（4枚金币），而德梅尓可以拿到2/3（8枚金币）。在同学们表达完自己的想法之后，教师可以引导学生对这一问题进行深入的探讨，来分析这种分法是否正确。教师引导学生思考如果再赌两局会有以下四种结果：德德，德保，保德，保保。前三种情况都是德梅尓先胜三局，那么他就可以获得12枚金币。只有最后一种情况是保罗先胜3局，可以得到12枚金币。因此，整体看来，德梅尔和保罗能分别获胜的概率为 和 ，那么该案例中金币合理的分配方法应该是，德梅尓得到 （9枚金币），保罗得到 （3枚金币）。接下来教师就可以接着这个案例再进步一步引出古典概率的相关理论知识。同时，从另一个角度而言，如果，引入一个随机变量 ，用来代表再继续赌两局后德梅尓所得，则 的取值为0或12，概率分别是 和 。因此，德梅尓的期望所得为： 。接下来教师就可以顺势引出的 期望值就是 可能值和其概率相乘的累加，并引出“数学期望”的相关概念。此外，概率论与数理统计中还有经典的“三门问题”，教师可以在教学过程中通过对“三门问题”的引用，以加深学生对概率统计原理和思想的认识及理解，促进学生运用知识能力的进一步提高。
案例2: 美国二十世纪70年代有一个电视节目中有三扇门，在这三扇门后面有且仅有一扇门有奖品，节目参与者可以在这三扇门中任意选择一扇门，主持人把另外两扇门中没有奖品的一扇门打开，然后问参赛者：“是否要换另外一扇门，还是坚持选择最初的那扇门。”这时大部分人凭直觉认为，剩下两扇未被打开的门中，有奖和没奖的概率都是50%，因此没有必要再做改变。然而用概率论的相关内容进行分析却会得出相反的结论。原因是在最初参与者进行选择时，能选中有奖门的概率为 ，其余两扇门的中奖概率是 。然而当主持人打开确定没有奖品的门之后， 的概率都集中到另外一扇参与者没选的门上，而不会与参与者最初所选进行二次概率分配。也就是说如果参赛者能坚持最初的选择，那么中奖概率仅为 ，而如果参赛者改变选择，中奖概率为 。因此，主持人打开一扇门之后，如果参赛者改变最初的选择，则会提高中奖概率。
参考文献：
关键词：数学概率统计；建模思想；教学方法
由于传统教学方法和实践让一些学生虽然系统地学习了概率论与数理统计知识，但是却不知道如何应用。为此，我们通过查找一些成功的教学实例，扩大了教学研究范围。国外一些大学的“概率统计”教学，注重统计思想的解释，注意数学软件与教学的结合，重视学生的实践教学环节。“概率统计”含有丰富和有趣的教材信息，与人们的日常生活密切相关。因此，综合提高“概率统计”课程建设的质量，将是新的应用程序问题和数学建模思想应用到概率论与数理统计的教学当中，解决学习与使用之间关系的不二法门，也是最有力的教学改革手段。
一、数学概率统计中融入建模思想的意义
教学传统的概率论与数学理论统计课程，可以简单概括为：数学知识+例子+测试+解决问题，这个模型可以使学生掌握基础知识，并且在一定程度上可以提高计算的能力，学生也学会了用知识来解决家庭作业和测试。但是也不难看到，采用这种方式的教学与实际脱节，学生学习书本知识，但并不知道实际当中结合这些专业知识的办法，这不仅与素质教育的目标之间的冲突加剧，也大大削弱了学生主动学习这门课程的自主性，从而影响了教学效果。数学建模的引导思想可以培养学生学习理论知识来解决实际问题的能力。新课标下的教学课程不仅是对学生进行教育的问题，还是当前素质教育和教学改革的需求。
二、数学概率统计学中建模思想融入应用
数理统计和概率论这门课程对于老师来讲，担负的责任是非常重的，教师将该课程教好是至关重要的，让学生通过学习这门课程可以达到掌握概率统计学习方法和现实应用能力的目的。
1.教学内容中建模思想的渗透
“概率统计”是一个实践和理论学科并重的重要学科，在日新月异的变革中已经成为数学学科的一个主要组成部分，并发挥着无可替代的作用。根据该课程的特点，结合现代科学做检查和组织，以便新鲜元素融入数学概率统计当中，或者一个有着有趣的应用标题的教学内容，结合科学的方法与相关技术与概率和统计知识相连接。学生结合“概率统计”以往所学知识能够构筑数学模型，同一时间对于“概率统计”的知识也产生了兴趣。此外，还可以促进学生学习习惯的改变，变被动为主动，从根本上提高学习效率。将数学建模思想融入于数学概率统计当中，没有摒除传统知识。通常，在学习研究的情况下，可以亲身体验使用概率和统计数学知识建模的全过程，以加深认识和理解概率论与数理统计的相关知识，促进学生学习兴趣的提升和良好学习习惯的养成。从另一个角度来看，学生努力学习数学概率统计知识的同时，能够真正实现用知识解决问题，因为学习数学概率统计是一个重要和复杂的过程，在不影响遵循教学大纲的情况下使用各种手段，可以提高学生数学建模的基本能力，从根本上反映了数学建模思想。
2.教学方法中建模思想的渗透
在教学中，教师的责任更多的在于指导学生能力的培养，也就是说引导学生用自身能力来解决问题。一路上，学生不仅可以严谨地学习理论知识，同时可以提高学生分析与解决问题的能力。教学当中，我们主要采用导学和精讲相互结合的学习方法，同时在课堂教学各个环节还可使用讨论式、启发式教学方法等类型，归纳类比。各种教学方法的使用应该充分重视学生的参与，在和学生的互动当中适当融入数学建模思想，并使其“表现”出来。
数学概率统计作为一个实际的学科，在数理统计方面，很多学生为了取得好成绩，对学习内容死记硬背，这样时间久了会导致学生的学习兴趣下降，不能从根本上促进学生创新能力和应用能力的提升。同时，数学建模思想的融入数学概率统计的实践和理论研究方面收获了非常明显的成效。此外，在概率论中融入数学建模思想和建模案例的情况下，在某种特殊程度上促进了概率论与数理统计课程的创新改革，是具有非常深远意义的。
关键词 古典概率；教学；能力；培养
概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科, 古典概型是概率论中最基本也是最重要的内容之一。古典概率部分被作为重中之重，自然有其道理，其内容抽象，思维转换度大，对于学生学习能力的培养是极大的提高。另外概率论在实际生活中应用十分广泛，因此，古典概率的学习是十分有必要的，也正是基于此在新课程中把这一内容添加进去。
一、 提升学生的各种能力
1.抽象概括能力
古典概率题目五花八门, 对初学者来说是较难掌握的, 在解题时, 常常不知道何时用排列数, 何时用组合数。这时, 教师引导对内容进行小结, 与学生一起把各个知识点串联起来, 进行抽象概括、提炼,总结出带有一般性的结论，对学习者的抽象概括能力是很好的锻炼。
例如, 产品抽样中, 计算基本事件总数时, 可以归纳为以下三种情况：
(1) 产品一次性抽出几个时, 用组合数；
(2) 逐个无放回抽样时, 用选排列数；
(3) 逐个有放回抽样时, 用重复排列数；
2. 语言表达能力
古典概率中大多数问题都与实际问题联系较紧密，是用普通语言叙述的，因此表达能力极为重要，而表达又是学生的薄弱环节，学习中表达不清楚，词不达意的现象经常发生，教师可以采用如下方法：
（1）在讲授基本概念时，必须加强转译能力的训练和培养。例如，“事件A与B 至少有一个发生”表达为“AUB”事件；“两事件AB同时发生”转译为“A∩B”事件；“AB互斥”转译为“A∩B”等。加强这方面的训练不但能加深对概念的理解，而且能提高数学语言表达概念的能力。
（2）在教学中，首先应注意如何把概率问题转化为事件的能力。其次是训练把所求的事件用已知事件表示的能力。
抓住这两点，解题过程的表达才会清楚。对学生的语言表达能力也有极好的培养作用。
3.逆向思维能力
逆向思维是指换一个完全不同的角度分析和解决问题。逆向思维会使你独辟蹊径，在别人没有注意到的地方有所发现，有所建树，从而制胜于出人意料。逆向思维会使人在多种解决问题的方法中获得最佳方法和途径。生活中自觉运用逆向思维，会将复杂问题简单化，从而使办事效率和效果成倍提高。概率论中有关问题的解决是对逆向思维能力极好的培养方式。例如：
已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2。假定有5 门这种高炮控制某个区域, 求敌机进入这个区域后被击中的概率。
思路: 事件A:“敌机被击中”即至少有1 门高炮击中, 包含情况较复杂可以是恰好有i(i=1,2,3,4,5)门炮击中。而事件A 表示为: 敌机未被击中即五门高炮都没有击中, 情况简单, 故本题应采取求对立事件概率方法来解。
解:设敌机被第k 门高炮击中的事件为Ak(k=1, 2, 3, 4, 5)；那么5 门高炮都未被击中的事件为A1、A2、A3、A4、A5,因为事件A1、A2、A3、A4、A5 相互独立,所以P( A1・A2・A3・A4・A5) =P( A1) ・P( A2) ・P( A3) ・P( A4) ・P( A5) ( 1- 0.2) 5=（0.8）5
二、满足社会应用的需求
近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。将实际生活中概率的应用引入课堂，如大部分同学都感兴趣的的中奖率等，可以极大的提高学生进一步探索学习概率的兴趣。所谓兴趣乃成功之母，有了兴趣的投入，学生学习的效率、教师教学的质量都会大大提高。同时，学生可以反过来将所学知识灵活应用到实践中。
三、保持教育的连续性
排列组合不但是学习“ 概率统计”的重要基础, 它的应用和学习也广泛地涉及到数学的其它分支。可以说, 排列组合知识以及相密切联系的二项式定理是学习数学的重要基础之一。如果这个基础打不好势必会影响今后的学习。不少大学的本科生都要学习“ 概率统计” 这门课, 许多工科院校以及经济类专业的文科专业都开设了此课。可以说, 如果没有排列组合的知识, 不管跨进哪个大学的门坎，在学习上都会碰到巨大的困难。学习是连贯性的, 学习的好坏又影响今后的工作。一个具有良好数学头脑的学生, 在今后的工作中, 特别是在科研上往往会做出优良的成绩。所以, 在高中阶段的学生, 认真对待古典概率是非常有必要的。
总之,古典概率学习,不管是对学生的思维方式、解题能力还是对其后面在大学中得继续学习都有非常重要的作用。
【关键词】概率论与数理统计；本科；教改
【基金项目】洛阳理工学院重点教学研究计划项目（No：09-JY013）
目前，概率统计方法的应用几乎遍及科学技术的各个领域，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有着广泛的应用.概率论与数理统计课是一门基础课，又是一门实践性很强的课程.高等学校的大部分本科专业都开设此课程，甚至在现行的中学课本里也安排了很多概率统计知识.因此，学生应该掌握这门课程的基本知识和理论，并会把它们应用到社会实践当中.而这门课又被认为是一门较难学的课程，主要原因是以往的教学中偏重于基本概念和理论的讲解，而忽视了实践应用环节的训练，使学生为考试而学习.学后不用，致使学生在实践中遇到概率统计问题时往往束手无策，无法建立概率统计模型，不会用概率统计的方法分析问题、解决问题.总之，概率论与数理统计本科教学模式的改革是必要的，通过教学进行改革，注重对学生应用能力的培养，才能使学生成为现实社会所需要的人才.
一、概率论与数理统计课程教学内容的改革
目前使用教材是由浙江大学盛骤等人编写的普通高等教育“十一五”部级规划教材《概率论与数理统计》.考虑到工科学生的特点，在教学中参考美国斯皮格尔等编写的全美经典学习指导教材《概率与统计》的部分内容，精简了理论性过强的内容以及一些定理的证明，对于过分依赖运算技巧的内容和习题也作了简化处理.但是为了强化应用及培养同学及早确立数理统计的思想，在假设检验、方差分析等传统的应用内容的知识点上着重讲解应用思想，而且不拘泥于教材，有意识地加强了其他一些应用方面的内容，如加强概率与统计和几何的相互密切联系，用几何直观性处理抽象概念；与专业课相结合，利用计算机辅助教学提高课堂教学效果；统计软件的选讲等.
二、概率论与数理统计课程教学方法的改革
在针对概率论与数理统计教学方法改革工作中，通过教改试点班，继续深入地进行教学改革工作，全面展开了概率论与数理统计课堂教学改革与实践活动，形成了一些清晰的认识，比较清楚地认识到目前教学中存在的一些突出问题，并摸索总结出一些具体的措施.通过对教改试点班级的概率论与数理统计课堂教学的具体实施，形成更清晰的认识，对目前教学中存在的一些突出问题，摸索并总结出一些具体的措施加以解决.概率论与数理统计教学方法改革的主要研究与实践工作分成以下几个方面进行归纳总结.
1.精讲多练，增强学生的主动性和独立思考能力
（1）精讲.结合试点班的少学时特点，开展了“精讲多练”等新教学方式方法的改革实践.探索出一些概率论与数理统计课程教学工作与培养学生的能力、素质，提高培养质量的具体措施，如注重开展综合训练，定量、半定量教学，解决与工程实际结合密切的问题，以大知识量课堂教学等向自学过渡等方式、方法.
（2）多练.对传统的作业、习题课学生的态度不认真，直接影响练习效果；学生在课下自学有一定的盲目性.解决这一问题的方法就是改变过去每章末尾上一次习题课的做法.可以改为增加习题课次数，缩短习题课的频次间隔，上小习题课，习题课与正常课结合进行.注重讲解解题方法，归纳解题思路.同时抽时间进行若干次公开答疑，收集学生的问题老师公开解答，使全班学生受益.
（3）案例教学.概率统计课是一门应用性很强的学科.教师在教学过程中应适当将教材中的内容扩展，设计一些实例进行讲解，能让学生自己主动地去学习，从而提高学生的应用能力.如运用古典概率公式解决“鞋子配对问题”“生日巧合问题”“问题”，运用统计估计与假设检验解决“先尝后买产品促销问题”“吸烟与患癌症的相关性”，用中心极限定理解决“保险公司盈利与亏损的问题”等等.这些都能使学生感觉到概率统计与身边的许多事情都有一定的联系，找出其存在的问题、根源，并策划出解决问题的方案.这种方法有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的实际应用能力.
2.注重数学思想方法的教学和培养建立数学模型的能力
利用数学方法解决实际问题时，首先要进行的工作是建立数学模型.建立数学模型的过程，就是将错综复杂的实际问题，抽象概括为合理的数学模型的过程，而对实际问题的理论分析和科学研究则是在模型上进行的.因此，建立一个较好的数学模型是至关重要的，它既要有扎实的专业理论知识，丰富的想象力，又需要寻求合适的数学方法.
在授课时不仅注重“三基”训练，还要突出概率与数理统计的基本思想、基本方法.在授课时通过插讲一些数学史料、介绍概率学科相关分支内容等以突出数理统计的基本思想、基本方法，从中发现内在联系和思想方法的渗透.同时注重现代数学思想方法的渗透.例如，讲概率时结合一些性质和方法，可以引入概率论在计算机仿真、生态学和工程项目风险管理等学科中取得的成果；对数理统计，可以介绍它在数据挖掘、机器学习中的应用等.尤其是在课外开展一些专题讲座，更能增强学生对未知领域强烈的探索欲望，激发自己的创新能力.
教师选择具有代表性的有关概率统计的应用案例或应用文章，指导学生去思考、讨论、解答，使学生充分认识到概率统计这门课的实用性，培养学生的实际操作能力及建模能力.比如，让学生测量本年级男、女同学的身高，看是否符合正态分布；分析父亲的身高与儿子的身高有何关系；考察入学成绩与在校成绩的相关性等.还可以拿出一些相应的全国大学生数学建模题让学生探讨研究.比如，2000年A题的基因分类问题，2002年B题的中的数学等，是应用了概率统计中的贝叶斯判别、古典概率、二项分布及中心极限定理解决的，这样做更能够增强学生的应用意识，培养学生的应用能力.
一、调整教学内容
教学内容应该改变以往“重概率、轻统计”和“重运算技巧、轻数学思想”的传统教学思想，删减其中一些复杂的计算，加强统计中基本理论和基本数学方法的教学。减少概率论课时，加大统计内容，增加统计课时。
1.概率方面，古典概型概率、期望与方差等
内容在中学接触过，学生接受较快故可以弱化;减少概率论课时，将重点放在条件概率、乘积公式、全概率公式与贝叶斯公式上，加强随机变量的内容。
2.统计方面，突出“厚基础”“重应用”的特色，增加统计课时，强调假设检验和回归分析等原理的分析与实际应用，着重培养学生应用统计中的基本原理去解决实际问题的能力。
二、改进教学方法
概率论与数理统计是一门在解决实际问题的过程中发展起来的学科，概率论与数理统计的思想方法、原理、公式的引入，最能激发学生的兴趣，并印象深刻的是从贴近生活的问题及案例引入。教师在授课过程中可从每个概念的直观背景入手，精心选择一些跟我们的生活密切相关而又有趣的实例，从而激发学生的兴趣．调动他们学习的积极性和主动性。
1.概率论部分的教学。(1)概率论内容的学习中，学生一般不能很好地理解全概率公式与贝叶斯公式的原理。举例:某大学学生对概率论与数理统计课程的兴趣程度可分为四个层次:很感兴趣，较感兴趣，一般，没有兴趣。最近的一项调研统计表明此四个层次的学生数之比为:1∶3∶4∶2。而这在四类同学中该课程一次性能通过的可能性分别为:0．98，0．88，0．50，0．20。1)考试在即，在即将参加此门课程考试的学生中任抓一学生考察，试问该生此次考试该门课程一次性通过的可能性为多大?2)考试结束，阅卷老师发现某名学生顺利通过此次考试，试问该生对此课程兴趣层次是属于一般的可能性有多大?身边的例子激起了学生的兴趣，通过1)的解答很快让学生理解全概率公式，通过2)的分析让学生理解贝叶斯公式的原理。(2)大数定理的教学。大数定理是概率论中非常重要的定理，在教学中如果仅仅将定理的内容告诉学生，很多学生不能理解。讲课时举例子:在装有7白球与3黑球的盒子里任意抽取一个记下结果再放回去，当抽取白球时计1，抽到黑球时计0，不停地重复下去，就得到一组由1、0构成的数字，如一人抽取得到:10010111010111000101111111100000001010010111011000从数据中你看不出任何特征与规律，换一个人来重复这一试验，他也会得到这样一串由1、0构成的数据，同样杂乱无章，但结果与第一人的结果不同。虽然如此，当做的试验次数越来越多时，这一串串杂乱的数中1所占的比例随做的试验次数的增加愈来愈稳定到一个值上，这个值就是盒子内白球的比率7/10。比率的稳定性只有在数串长度足够大(实验的次数足够多)时才能表现出来，这就是大数定理这个名称的由来。历史上概率论方面重要的学者雅各布?伯努利证明了在一定条件下“当试验次数愈来愈大时，频率愈来愈接近于概率”，这个结论称为伯努利大数定理。此定理的意义在于对经验规律的合理性给出了一个理论上的解释。在现实生活中，很难甚至于不可能达到伯努利大数定理中的理想化条件，但大部分的情况下与之非常接近，因此伯努利证明的结论“基本上”能适应。
2．统计部分的教学。学生经常觉得统计部分的参数估计、假设检验、回归分析等内容杂、头绪乱。在教学过程中，可以引入案例，对每一个案例进行分析:(1)要解决什么问题?(2)有些什么方法，而这些方法的基本思想是什么?合理性?(3)运用这些方法解决问题的基本步骤是什么?(4)如何将这些方法运用于实际问题中?这样能使学生理清思路，从整体上把握统计的基本思想，如假设检验可以用食品生产线上的产品质量检验的案例分析;回归分析可以用资源评估的案例来分析等。
3.加强与其他学科的联系，提高学生运用能力。在教学中，通过一些实际案例将教学内容与学生所学的专业相结合，让他们运用统计方法解决一些专业上的统计分析问题，如对生物、食品专业的学生可以让他们将自己做的实验数据以统计的方法处理，对于海洋专业的学生可以让他们进行海洋环境数据分析;对于金融专业的学生，可以让他们了解一些基于概率论与数理统计的经济与管理模型。让学生真正感到学有所用，不仅可以提高学生的学习兴趣，又可以在实际应用中掌握概率论与数理统计基础知识，学会运用这些知识解决实际问题，一改“授之以鱼”为“授之以渔”。
关键词： 概率课堂教学 传道解惑 教材 内容
概率论和高等数学、线性代数是大学里普遍开设的三门公共数学课程（但个别文科专业如外语、文学等相关专业免学），学习难度上可以说是三门课之最。分析原因，和概率论的教材、内容有关。
先说教材。不少理科数学的教材都以文字精练、内容准确著称，这当中也包括概率教材。从定义到性质，然后是例题、思考题，文字组织做到尽可能的精炼；没有了历史来源，看不到学派争锋，顺带抹杀了学生读书的趣味，直接把他们推到照葫芦画瓢的题目训练中，固化了学生的思维。相对来说，文科的教材读起来就有趣很多[1]。
再说内容。从古典概率到随机变量，从理论到现实规律的映射，以及后续数理统计的基本知识，可谓从简单到深刻，环环相扣，富于逻辑性。但是概率本身也有抽象和精炼的特点，这给学生的自主学习设置了一道实实在在的门槛，以至于学生不得不寄希望于老师帮助排除疑难。
所以，在概率论的课堂上，我认为教师应担负主导者的角色，做好课堂规划，设置好留给学生的部分时间，引导他们阅读概念，练习题目；这期间，教师应完成传道解惑的基本任务。自己的基本任务完成了，剩下的思维训练、举一反三就是学生的任务了，就交给学生去完成。虽然教学改革中的一种说法是，网络远程授课是一个趋势；但是限于配套设施的不完备，目前的阶段还是教师承担着高校授课的主要角色。
那么，教师要完成传道解惑的任务，那就是要把课讲清楚，尽量用学生可接受的语言来讲解。教师的解释延伸到哪里，学生的理解和领悟就延伸到哪里。我对自己的授课做了归纳，建议老师们不妨从以下几点入手，把知识传授给学生的时候，传授得“简单”一点。
一、挖掘隐含信息，表述清楚，层层递推
举例。题目如下：概率论的课堂上现有120107和120108两个班级，简称7班和8班；两班的人数分别是49、46。现在随机选取20名学生，问其中只有5名7班学生的概率是多少？
我们仍然用等式描述题目信息就是：共计95名学生=49名7班+46名8班；事件A：任选20名学生=5名7班+15名8班。
问题1：事件A已经很明确了，要考虑事件A的实现方式。换句话说，为了实现事件A，怎么选取学生？有几种选取方式？
问题2：所有可能结果称为样本空间，那么样本空间中可能的结果总数有多少种？
问题3：古典概率的计算公式是――A中包含样本点的数目和样本空间S中包含样本点数目的比值，那么本题的结果是多少？
上面问题1是关键。所以此处只是说明问题1。其实书[1]此题前面的若干例子已经表明：古典概率中选取对象的方式包括排列、组合两种；切换到本题，就是要明确一点：选取的20名同学，是要综合考察选取的所有排列还是简单考虑选取组合？
实际上，为了达成事件A的具体实现方式有多种，比如：第一次选7班的同学，第二次8班的同学，或者相反，总之，要保证有5名7班的同学。只要讲清楚，尽管具体实现过程多样，但本题并不涉及具体过程的细节，只关注了不计班级次序的选取结果。也就是说，不考虑排列，只考虑组合，那么问题1的答案就很明朗了。
明确了事件A中的样本点是20名学生的一个组合后，为了实现事件A，不管选取的班级次序，只需要选到5名7班的学生和15名8班学生。共有49名7班学生，选5名学生作为一组，这样的组合数共有C 种方式；再给组合选入15名8班学生，8班学生有46个学生可以选择，共有C 种选择方式。事件A的实现方式可以组织为2个步骤完成，每个步骤均按组合选取。事件A描述的20名学生的取法实现方式有C ・C 种。
最终，我们得到选取20名学生、其中只有5名7班学生的概率是一个超几何公式：C ・C /C 。得到这个公式的前提是7班和8班同学没有公共子集。回到原来的产品随机抽取的题目，相信也能够很快得到答案。
上述步骤，也被称为“读题”，就是把隐含的信息挖出来。
二、背景介绍，不可或缺
关于随机变量的引入，教材以样本点的函数作为随机变量的定义。那么我们可以在这之前来一段背景说明会更好。
概率论最早研究的对象是古典概率。17世纪，牛顿和莱布尼茨各自发明了微积分。而微积分的研究对象是变量和函数。微积分很快被用到各领域中，概率也不例外。概率论这门课本身就是研究描述自然界事物发展规律，同时周围的世界变量无处不在。要研究概率论，必须研究变量。而研究变量，也就成就了对概率论这门学科的研究。引入随机变量之后，古典变量的几乎全部概念――条件概率、独立性等，统统使用变量重新加以刻画；并且引入新的概念和方法，促进了概率论的蓬勃发展。
三、把握对比，寻找差异
在概率论中，有一个概念是“概率密度函数”，也简称“概率密度”。这和物理中的密度有关系吗？引用物理学中的符号，令m：质量，ρ：密度，v：体积，则有m=ρv。换成平面金属薄板，则有m=ρs，其中，s：面积。由于加工工艺中的冷热受热不均，金属薄板的厚薄程度不一致，造成它的密度不均匀。一点附近的密度越大，说明这点附近的质量越大；反过来，一点附近的质量越大，说明这点的密度也较大。这个密度，是质量的密度。但当时我们没有接触其他密度，所以简称为密度，不会引起混淆。
到了这里，我们得到一个公式：
p=P（x -h
在x 邻域U（x ，h）的概率p和数值f（x ）成正比。数值f（x ）越大，x 邻域U（x ，h）内的概率也越大；反之亦然。那么这个f（x ）反映了概率在x 邻域U（x ，h）的分布密集程度，可以类比的称其为――概率的密度。
就几何图形而言，y=f（x）的图像是一条连续曲线或者分段连续曲线，函数值y越大，说明相应的自变量x处附近聚集的概率也越大；反之，函数值y越小，说明相应的自变量x处附近聚集的概率也越小。
至此，物理中的密度，我们称为质量的密度。
再谈谈一维随机变量和二维随机变量的一点区别。
设X代表在校本科生的年龄，在x轴上取值。以随便给X施加一个约束范围，如16
到了二维连续随机变量，概率密度f（x，y）的几何图像是一个曲面；同质量的密度一样，这是一个不真实存在、假象的曲面。每一次随机试验，会得到随机向量（X，Y）的一组取值（x，y），这组取值这次是（x ，y ，下次是（x y ，取值具有随机性，是XOY直角坐标平面上的一个动点。假定X：身高，Y：体重。随便给（X，Y）一个约束条件，如：100
在概率论的教学中，需要细心体会，总结差异，这样才能带给学生左右逢源的开朗境地。
四、对随机变量的分布进行模拟
前面提到，概率论的教材具有抽象性。比如，在对概率密度的引入上，教材采取了先引入分布函数F（x）的定义、再借助关系式
F（x）=f（t）dt
而引入概率密度f（x）。这里，分布函数与概率密度的关系是明确的，但遗憾的是对于学生来说，寥寥数语的介绍，无异于蜻蜓点水，没有清晰度可言。
如何把抽象的内容变得具体化？可以对随机变量的分布进行统计模拟。包括一维随机变量、二维随机变量、大数定律和中心极限定理等的统计模拟。概率的很多结论均来源于统计，统计是概率知识的来源之一。我们用统计模拟概率结论，某种程度上说，是回到“源头”认识概率论。
下面我们将分别模拟经验分布函数和频率直方图，并粗略验证两者的关系。
引入问题背景。设X：表示银行排队的等待时间，服从参数为5的指数分布。那么随机生成20个数据，排序并计算经验分布函数。EXCEl绘制的经验分布函数散点图如图1。
这是一个非单调下降的图形。下界取0，上界取1。分布函数的相关性质均可在图1中显示出来。
提问：在图一中，比较X=1和X=6，哪个点附近聚集的概率较大？为什么？
上述问题对应着函数变化快慢的问题；而表征函数变化快慢的量就是斜率――导数，从而我们再模拟出这个“斜率”图形。概率中与斜率对应的就是概率密度；放到统计学中，我们可以用直方图来模拟。采用EXCEL模拟的大致过程为：设置X轴范围[0，14]，等分为14个小区间；计算每个小区间上数据点的频率，作为纵坐标y，以小区间的中点作为横坐标x；将x序列和y序列描点连线作图即得。
对比可发现，图2是图1的导数的反映，尽管不够百分百准确。比如（0，1）区间内，经验分布函数F（x）的斜率相对是偏大的，吻合图2中X在0.5处取得（0，1）区间上频率最大值。另外，因为是模拟指数分布，故此图形是一条（近似）单调下降的曲线。
明显可以看到：图2中，所有的频率值的总和为1，对应了概率密度在实数轴上的累计总概率为1，即（x）dx=1。
这样一来，学生就知道了分布函数的定义和性质，以及概率密度的由来。原来这些定义均来源于实际的统计劳动，而非凭空设想臆断。
关于其他背景下的模拟，本文不再赘述。
五、引入课程设计，作为考核方式之一
目前的考核方式主要是平时成绩、期末成绩的加权配比计分制，缺少实践和实践考核方式。有必要引入课程设计，采用平时、期末、课程设计三位一体的计分制。
引入课程设计的好处，既促使了学生的自主思考，又提升了学生的写作水平，有利于学生的均衡发展。关于课程设计的题目，考虑到概率论课程和其他横向课程的联系，比如与数学建模课程、统计课程等的联系，可以写将概率论的内容作为数学建模的讨论对象解题，或者将概率论与统计的联系作为讨论对象。另外，使用EXCEL软件模拟概率论的结论也可以纳入课程设计题目范畴，不过这类题目需要以学生对EXCEL软件能够灵活使用为前提，这不属于概率论课程的教学内容，所以能够锻炼学生的课外实践能力，给那些感兴趣的学生提供一次练习的机会。
参考文献：
[1]张国楚.大学文科数学（第二版）.高等教育出版社，2007（3）.
[2]盛骤等.概率论与数理统计（第四版）.高等教育出版社，2008（6）：12.
关键词： 应用型本科院校 概率统计 数学研究
概率统计的理论和方法广泛地应用于工业、国防、国民经济、科学技术，以及人文科学等领域而使其成为最重要和最活跃的应用数学学科之一，是高等院校和高职院校很多专业的一门重要的基础数学课程。它不仅是各专业处理各种信息的一种有力工具，也是许多后续专业课程的基础，而且是全国硕士研究生入学数学考试的一个重要组成部分。它是大学生首次遇到的一门研究不确定现象的科学，处理问题的思想方法与学生已学过的其他数学课程有很大的差异。因此学生在学习过程中需要改变以往数学的思考方式，这也是概率统计一直是学生认为比较困难的课程的主要原因。如何让学生接受这种差异，学会有效地应用概率统计这个有力的数据（信息）处理工具，已是迫切要解决的问题。实质上概率论与数理统计是数学学科中与现实生活联系得最为紧密的一门课程，只要教学方法适当，是很容易把它讲得生动有趣。在此，我根据自己的学习和教学经验，从以下几个方面提出一些建议。
1.将数学史及实际案例融入概率统计课程
任何一门课程，了解它的发展史对于学习和掌握该课程的思想方法都有着深刻的意义。所以，我们在“概率论与数理统计”课程的教学过程中很注意向学生介绍这方面的内容。作为一门年轻的数学分支课程，概率论与数理统计的历史不算久远，但也经历了很多曲折的阶段，才形成了今天相对完整和独立的学科。概率论起源于博弈问题。在教学过程中，我们特别注意这些知识背景的补充介绍，一方面让学生了解前后知识的联系，同时也在无形之中向他们灌输了研究问题的思想方法。对概率统计发展史的了解，不仅丰富了学生的数学史知识，更重要的是了解这些知识使他们能更好地理解课程内容之间的内在联系，学习的时候不再孤立地看待这些知识点，从而对概率统计知识有一个整体的认识。
教师在讲解概率的计算时可引进概率理论起源的一些经典案例，如在讲解数学期望时引用“合理分配赌本问题”案例;同时引用与经济生活贴近的案例，如:库存与收益问题、有关中奖率问题。将实际案例恰当地引入教学不仅可以将理论与实际联系起来，使学生在课堂上就能接触到大量的实际问题，而且对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过案例教学可以促进学生全面看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率论与数理统计的思想和方法在现实经济生活中得到更好的应用，发挥其应有的作用。
2.突出抓主线化繁为简的原则
对工科专业的学生，并不需要详细掌握定理的证明和计算过程，在概率统计的教学中只需要求学生掌握概率统计的主要概念、基本定理，以及常用的数理统计的思想和方法即可。应将主要精力放在培养学生运用概率论思想和数理统计方法解决实际问题的能力上。因此课程的教学原则是，抓住主线，即抓主要概念、理论思想和方法，讲清楚最简单、最基本的知识和原理，说明知识拓展延伸的思路和方法，对复杂的定理证明和繁琐的计算过程可不讲或只做简单介绍。如概率统计的精华是分布函数、数字特征、统计特征、统计量，这些一定要讲透。
3.重视数理统计教学
概率统计课程的中心任务是揭示随即现象的统计规律性及内在联系。数理统计是概率统计课程中的重要部分，学生对这部分内容的掌握直接影响解决实际问题的能力。因此如何增强工科学生对数理统计思想方法的理解与应用已成为教学的一个重要的课题。传统的教学中只重视公式的推导、计算能力的训练，忽略了对统计思想的讲授，很多学生学完概率统计课程后只知道照书上公式计算而不知道所以然，更谈不上统计方法的应用了。统计学是讨论不确切推理的科学和艺术，逻辑思维的形式是演绎和归纳，归纳方法作为科学方法的基础，如效能与毁伤的问题，必须抽样；对于教科书中出现的大量的统计计算均可由软件实现，实际工作中需要统计处理的数据也大多由软件完成。因此，如何培养学生用数理统计思想建模，相应地成了现代数理统计教学工作的重点。在授课过程中，若条件允许，则可以适当安排一些统计软件的上机实验帮助学生理解和使用统计软件。
4.适度引入多媒体教学及数据处理软件，促进课堂教学手段多样化
在概率统计教学中，实际题目信息及文字很多，“一支粉笔、一块黑板，以讲授为主”的传统教学方法显然已经跟不上现代化的教学要求，不利于培养学生的综合素质和创新能力。因此，有必要借助于现代化媒体技术和统计软件，制作内容、图形、声音、图像等结合起来的多媒体课件。一方面，采用多媒体教学手段进行辅助教学，能够将教师从很多重复性的劳动中解脱出来，教师可以将更多的精力和时间投入到如何分析和解决问题，以提高课堂效率，与学生有效地进行课堂交流。另一方面，用图形动画和模拟实验等多媒体作为辅助教学手段，便于学生对概念、图形等的理解。如投币试验、高尔顿板钉实验等小动画在不占用太多课堂时间的同时，又增添了课堂的趣味性。又如在利用Mathematica软件演示大数定律和中心极限定理时，就能将抽象的定理转化为形象的直观认识，达到一定的教学效果。在处理概率统计问题中，教师也会面对大量的数据。另外，集数学计算、处理与分析为一身的数据处理软件如:Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在计算一些冗长数据时可以简化计算，降低理论难度。而且，在教师的演示过程中，能让学生初步了解如何应用计算机及软件，将所学的知识用于解决生产生活中的实际问题，从而激发他们学习概率知识的热情，提高他们应用计算机解决问题的能力。
以上几点，有些在我的教学过程中已采用，有些还只是我的想法，还有很多不全面的地方有待在今后的教学中不断完善。
参考文献：
［1］徐群芳.（概率论与数理统计）课程教学的探索与实践［J］.大学数学，2010，26（1）:10-13.
［2］沈恒范.概率论与数理统计［M］.北京：高等教育出版社，2003.
所以为了达到最大的性价比，明智的考生理应最先保证拿到这门最简单科目的最多得分。事实上概率在实际中的应用更广泛一些，所以学好概率论与数理统计无论在研究生阶段的课程中，还是工作以后都有较多的用武之地。现在我们来说一下如何能顺利通过考研中概率部分的题目并取得高分的一些细节，这是目前考研的同学们的重要任务。
一、钻研透彻一本考研数学辅导书胜于你多看三本同类的书、不要盲目地做题
考研数学中，相比于高等数学丰富多变的题型与方法，概率论与数理统计这门学科考查的题型固定、单一，解题技巧较少。因此：
一不要同时看太多本的辅导书。因为每本辅导书里概率的体系和解题方法、技巧都是差不多的，假如你的手上一共有两本辅导书，那么就深入钻研这两本，掌握“三基”，掌握题型，做完每一道练习题。
二不要搞题海战术。例如，同学们在学习概率论与数理统计的时候不要一头扎入古典概型的概率计算中不可自拔。概率论的第一部分就是关于古典概型与几何概型的计算问题，有很多问题是很复杂的，一旦陷入这一类问题的题海中，要么你的脑瓜会越来越聪明，要么打击你的信心，对概率论失去兴趣。一般同学都会处于后一种状态。我们应该挑准一本练习册，多做几遍上面的题目，每做一遍，都回头总结一下，此题的考点是什么，应用了哪些基本方法，把题目做精做透。
二、对概率论与数理统计的考点整体把握
考研中，概率论的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。所以对于第一条中所讲的古典概型与几何概型这部分，只要掌握一些简单的概率计算就可，把大量精力放在随机变量的分布上，尤其是第四章二维随机变量及其分布，是重中之重。数理统计的考查重点在于一是与抽样分布相关的统计量的分布及其数字特征，二是参数估计的两种方法。这就是对一门课程整体把握的优势。
三、重视“三基”，重视基本功的熟练度
想要数学高分，就是要对常规题型有无可争议的熟练度。近年来考研数学的一大特点就是计算量逐年加大、答题时间紧。如果只是满足于会做，是远远不够的，要达到不但会做，而且最短时间内正确的做出来的层次，这才叫做基本功。
四、复习的中后期，在有一定基本功的情况下，应重视真题，多做真题
有一些考生并不相信真题的宝贵性，但是又不敢不做真题，只想应付了事。对照近5年的数学真题，你会发现近5年的题目有70%以上可以在以往的试卷里找得到相似的题型甚至是原题的“影子”。考研真题中有大量的常考题型，其难度和综合程度都是其他题目无法比拟的，其他的训练题目由于其目的是为了强化训练某个知识点，故难免过于简单，或过于困难，或超纲，或综合性不够。
关键词：概率论与数理统计；教学改革；留学生教育；多媒体教学；数学建模
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）41-0055-03
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。它以其基础性和应用性强等特点，一直是财经类院校几乎所有专业的必修课程之一。概率论研究的是随机现象。数理统计则是对样本的数据进行收集、整理和分析。随机现象在我们的日常生活中无处不在。这意味着概率论与数理统计课程是一门应用性非常强的数学学科。它在自然科学及社会科学等各个学科领域，如金融、保险、气象、可靠性分析、排队论等都有很重要的应用。它对经济管理类专业的学生来讲尤为重要。一方面经济管理的许多领域都要用概率和统计的一些知识和方法去建立数学模型或对数据进行更深人的分析；另一方面，它也是一些后续课程的基础，如运筹学、金融数学等。概率论与数理统计的知识与方法已经成为拓展学生素质和能力过程中不可或缺的组成部分，对实现财经类高校的人才培养目标起着十分重要的作用。自我国高等教育由原来的精英教育转变为现在的大众教育以来，为适应社会的需求，越来越多的专业开设了数学课。而我校数学师资紧缺，教室也紧张，导致现在很多非数学专业的数学课程只能采取大班教学（100人左右）。而我校是一所文科类高等院校。虽然经管类专业的学生思维比较活跃，但数学基础参差不齐。尤其是在高中学文科的学生，数学基础尤为薄弱。因此，在讲授这门课程时，怎样提高他们对这门课程的学习兴趣，使他们克服对“数学”的畏难心理，较好地掌握一些基本概念和重要方法，并能灵活运用所学知识去解决生活的一些实际问题就变得尤为重要。通过我们几年的经管类专业概率论与数理统计教学的实践经验，本文谈几点关于教学的思考，希望对本校以后的经管类概率论与数理统计课程教学提供一些有益的帮助。
一、教学中应该因材施教
近几年来，随着中国经济的发展，金融业成为了我国十大热门行业之一。金融专业也成为各大高校很受欢迎的热门专业。尤其我校地处上海，且是以金融为特色的本科院校之一。因此，来我校的外地学生以及留学生的数量呈现出逐年上升的趋势。留学生教育也渐渐地成为我校发展的重要内容之一。这样，在我校经管类概率论与数理统计课程的教授对象就变为两大块：国外留学生和国内经济、金融等相关专业的学生。我校的留学生大多数来自于亚洲，欧洲，非洲，包括蒙古，韩国，俄罗斯，坦桑尼亚，肯尼亚，乌干达，乍得，津巴布韦等国家和地区。学生成分非常复杂，民族，文化，信仰等差异很大。如何适应各个国家留学生的特点，不断完善教育教学方法，成为我们教师要努力思考和解决的问题。一方面，我们应该在教材的选取上有所不同。在保持经典内容的前提下，应适当渗透现代数学概念与观点，既要考虑到这门学科的完整性，又要考虑到各个专业培养人才的不同需要以及学生今后发展的方向，鼓励编写面对不同层次，不同专业学生的教材。另一方面，在讲解具体内容时，针对不同专业的学生，讲解方法和重点应该有所不同。例如，很多留学生都没有学过排列组合的知识。教学中会涉及到排列组合的内容包括例如古典概型概率的计算以及概率中的一个重要的离散分布二项分布。如果直接讲解这些新知识，这部分留学生就没有办法理解。针对于这种情况，应在教学中补入这部分知识，从而使学生能够从容地接受新知识。另外，在刚开始讲古典概型和全概率公式的时候，对于许多高中学文科的学生来说，一部分同学反映听不懂，稍微复杂点的题都不会做，觉得这门课很难。尤其是多维随机变量和数字特征那一块涉及到二重积分，很多同学跟不上。而高中学理科的学生以前接触过概率论的知识，微积分学的也不错，所以学起来很轻松。因此在教学过程中我们应该从学生的实际情况和需要出发，课堂上要注意和学生的互动，多和他们沟通，活跃课堂气氛，提高学生的积极性与参与度，对一些基础差的同学，鼓励他们有不懂的地方要及时请教同学和老师；对于基础好的学生，要鼓励他们课外找一些理工科或内容较深点的参考书，来拓宽知识面、开阔眼界，加深对已学内容的理解，为考研做准备。
二、多举实例，重视课程的应用性
我校是最早以金融命名的学校之一，以培养应用型人才为目标。毕业生大多在金融部门就业。因此，在四年里，我们更应该注重对学生应用能力的培养和科学素质的提高，可以在学生的创新精神和实践能力的培养与提高方面发挥更大的作用。此外，这门课程的学科特点也要求我们在教学中要特别注重它的应用性。于恩教学中我们在课程内容的选择上应该包括数据描述以及统计推断的基础理论。这些理论在经济和贸易中运用很广泛。同时，在教学中，概率论中的定理更侧重的是讲解它的思想，要省略它的证明，并结合大量的应用实例，使学生达到理解运用的目的。课后，可以要求学生完成课程论文，让学生通过查阅资料了解概率论与数理统计的实际应用。还可以鼓励学生参加大学生数学建模竞赛，将所学知识用到实际中。这不仅有助于他们更准确地理解、掌握课本所学知识，而且可以提高他们解决实际问题的能力。
三、采用多媒体和板书相结合的教学手段，提高课堂效率
由于概率论与数理统计的知识和思想在经济、金融领域应用广泛，鉴于我校的特点和目标，现在大多数专业都开设了这门课程，且教学任务都由我系承担。因此，我们只能采取大班教学。然而，在实际教学中大班教学必然存在一个问题，就是人数多，教室大，坐在后排的学生看不清黑板，甚至听不清教师讲什么。学校虽然给老师配了扬声器，但看不清的问题如何解决呢？如果把字写得大一些，这样效果虽好些，但会引发更严重的问题，比如板书的艺术效果会降低。而且概率论与数理统计这门课的很多例子来自于现实生活，描述性的语言比较多。书写变慢和擦黑板次数的增加会导致课堂教学内容减少，课堂教学连贯性遭到破坏，教学进度受到影响等问题。因此，如果我们使用多媒体与板书相结合的教学手段，可以很好地利用多媒体技术信息量大这一特点，向学生传播更多的知识。另外，概率统计中有很多实验，例如抛硬币，大数定律等。借助于一些小程序进行实时演示，既直观、形象又准确。这样学生可以迅速领会所学的内容，课堂教学也会生动、有趣。但是对于大量的计算题和证明题来说，要用板书一步一步详细推导。这样学生就可以跟上老师的思路，学习效果会更好。因此，在教学中我们如果可以有效地利用以上的教学手段，就能够更好地完成教学内容，促进教学质量的提高。
四、一分钟问题方法
为了能够及时了解学生掌握知识的情况，注意到部分学生的个体差异，在每节课结束前利用两分钟时间，教师可以设定一两个简短的问题概括一节课所学的内容，也可以让学生根据自己的情况写出哪些知识学会了，哪些知识还很模糊，并如实进行作答。对于多数学生还很模糊的知识点，我们要多花时间进行讲解；对于个别同学没有弄懂的地方，则可以采取个别辅导的方法。这种方法不仅可以增强学生学好这门课的信心，而且课堂上经常使用这种方法也能为以后的教学积累大量的经验。在经济和金融领域中有很多不确定的现象。概率论反映的是大量随机现象的统计规律。数理统计是用概率知识和统计软件解决实际问题的工具。因此，概率论与数理统计是我校大多专业的一门基础必修课，是一种工具。鉴于我校学生生源和层次的不断变化，对这门课的教学进行改革也变得尤为必要。教学改革不仅可以改变教师的思想观念，更重要的是可以提高教师自身的业务水平，这是改善学生状况的前提。
教学中我们应该针对不同层次的学生因材施教。为了激发学生的学习兴趣、改善教学效果，课堂上采取多媒体和板书相结合的教学手段，从简洁、直观、结合实际入手，多举一些实际例子，每次课结束前给学生留有提问题的时间（一分钟问题法），这样既有助于学生理解教学内容，又可以引导学生对实际问题进行抽象、归纳、思考，学会用所学的数学知识解决实际问题，从而使学生体会到数学来源于生活，又应用于生活之中，提高他们应用数学思想和知识分析问题、解决问题的能力。
参考文献：
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关键词：概率论与数理统计；案例教学法；应用
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）20-0080-02
一、引言
随着现代科学技术的不断进步与计算机技术的飞速发展，无论在自然科学领域还是在社会科学领域中，传统的肯定性数学已经不能合乎要求地解决所遇到的各类理论问题及应用问题，因而在这个过程中随机性数学即概率论与数理统计得到了突飞猛进的发展[1]。长期以来，随着概率论与数理统计在理论上不断成熟与完善，它在自然科学、社会科学、工农业生产、工程技术等领域中的应用日益广泛和深入。当今许多新兴学科诸如信息论、控制论、可靠性理论、人工智能等都以它为基础；它与基础学科相结合已发展出许多边缘学科，如生物统计、统计物理、数理经济等。基于上述实际应用背景，概率论与数理统计的重要性越来越受到人们的重视。概率论与数理统计课程已成为理工科各专业大学生的一门必修课程，也是目前全国研究生入学数学统考试题中重要内容之一。因此，学习与掌握概率论与数理统计的基本理论与应用，不仅是将来从事科学研究与工程实际工作的需要，也是继续学习现代科学技术与个人深造的需要，也是高度发展的现代科学技术对现代化人才提出的基本要求[1]。
概率论与数理统计课程是研究和探索随机现象统计规律的一门数学科学。通过本课程的学习，培养理工科学生灵活地运用概率论与数理统计的基本理论和方法处理和解决客观世界中实际随机现象问题的能力。然而，长期以来以老师为中心的灌输式、填鸭式的《概率论与数理统计》教学模式过于侧重理论推导和计算技巧训练，忽视对学生解决问题的思想方法和应用能力的培养。在上述传统教学活动过程中学生往往只是被动的听众，并没有主动地参与教学活动，不能充分发挥学生的主动性和积极性，更谈不上利用概率论与数理统计的方法去解决实际问题。因此，如何提高课堂效率和达到最佳教学效果成为从事此类教学工作的教师长期关注和研究的问题。针对这种情况，许多高校都提出了《概率论与数理统计》案例教学法[2-4，6-9]，而如何在课堂上实施案例教学成为教学工作者研究的重点内容。
结合多年的教学实践，针对传统教学法存在的不足，笔者就在《概率论与数理统计》课程的古典概型知识点的课堂教学中如何合理地应用案例教学法提出自己的一些认识和见解。
二、案例教学法的内涵及优势
案例教学法自20世纪初被美国哈佛商学院倡导用于管理学教育以来，已被许多国家的教学实践证明是一种具有启发性、实践性并有利于提高学生应用能力和综合素质的教学方法[5]。
案例教学法是以案例为基础的教学方法，教师在教学过程中，根据课程教学内容和教学目标的需要，选择含有问题或疑难情境在内的真实发生的典型事件（案例），采用引导、启发、参与等多种教学方式，通过深入分析、讨论和交流的教学互动过程，以设计者和激励者的角色组织学生积极参与课前精心设计的案例所提供的客观事实和问题的分析和讨论，提出见解并做出判断和决策，从而加深学生对课堂教学内容理解和提高学生分析问题和解决问题能力的一种教学方法。案例教学法具有教学目的明确、引用案例客观真实、对学生有深刻的启发性、充分发挥学生主体性、较强的实践性等特点，在实际教学过程中发挥着重要的作用[10]。
与传统教学法相比，案例教学法具有明显的优势[6]，具体包括：①有利于提高学习的趣味性；②有利于调动学生学习的主动性；③有利于提高学生的语言文字表达能力；④有利于培养学生交流和合作的意识；⑤有利于实现教学相长。同时，大量研究表明：案例教学法可以调动学生学习的主动性与积极性，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，从而达到“教”和“学”的互动交流，增强师生之间的沟通，有助于生动活泼的课堂气氛的形成。
三、案例教学法在课堂教学中的应用
1.案例教学法的应用步骤。根据案例教学法的上述内涵可知，案例教学法是在课堂教学中对案例进行深入分析和讨论的基础上引入某一基本概念或理论知识，并不是简单地实例推理、求解，而这样可以提高学生对这一知识的理解和掌握，进一步提高学生的学习兴趣和增强学生发现、分析和解决实际问题的能力。因此在课堂上应用案例教学法时，通常要遵循以下几个步骤。
（1）根据所讲授的知识点内容，精选案例。案例与一般的例题不同，必须有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解，任何理想化的、脱离实际的例子都会误导学生，从而失去教学的意义，这是实施案例教学的前提条件。选出的案例要求主题突出、有理论深度，而且具有真实性、针对性、典型性和时代性，是大家共同感兴趣的话题。总体而言，为了达到良好的教学效果，应选择与相应专业比较贴近的案例，以便调动学生学习的积极性。
（2）对挑选出的案例进行问题设计，做好案例的讨论、分析。案例的讨论与分析是案例教学的中心环节。对案例进行讨论的目的是提出解决问题的途径与方法，可以从自身角度出发来剖析案例，说明自己的观点和看法。教师要掌握讨论的进程，让学生成为案例讨论的主体，同时把握好案例讨论的重点和方向，进行必要的引导。同时，在组织案例教学时要辅以各种有效的教学方法，如启发式教学、讨论式教学，让学生积极参与，大胆发表意见，提出观点，深入思考，激发学生的学习热情及科研兴趣，使案例教学效果达到最佳，培养学生运用概率统计原理解决实际问题的能力[2，7]。
（3）对所选的案例所解决的问题一定要进行归纳总结。案例总结是保证和提高案例教学质量的必备环节。对案例的总结一般要包括以下内容：一是对讨论过程进行总结，对于一个案例，让学生提出各种观点及其案例所包含的概率统计原理，让学生通过分析和评价案例，掌握正确处理和解决复杂多变的现实问题的思路与方法[2，7]；二是教师对案例中的重点、难点问题作补充或提高性的阐述，指出学生在分析案例时存在的问题，并提出需要进一步深入思考的问题[2，7]；三是教师自身在课后进行总结分析，所选取的教学案例是否恰当，与课堂知识点的结合是否良好，案例教学是否达到了预期效果，存在哪些问题，以便加以改进[7]。
2.案例教学法应用实例。在教授古典概型时，可以采用如下步骤进行案例教学。
（1）案例引入。引入掷骰子实验，提出的问题是：①实验的可能结果是什么，是否是有限的？②每一个实验结果是否是等可能出现的，概率为多少？③掷骰子掷出偶数点的概率是多少？
（2）案例分析与讨论。首先，分析掷骰子的实验结果即样本空间？赘={1，2，3，4，5，6}，从而得到实验的结果是有限个；其次，讨论每一个实验结果是否等可能的发生，经过讨论得出在骰子质量均匀分布情况下，每个实验研究结果都是等可能发生的，从而得出每个实验结果出现的概率为■；然后，在第二个问题讨论的基础上，得出偶数点的出现概率为出现点数为2、4、6的概率之和，即■+■+■=■=■。
（3）归纳总结。
（a）经过归纳可知，掷骰子实验有两个特点：①实验的结果是有限的；②实验的每个结果是等可能发生的。凡是满足上述两个特点的实验，都属于古典概型的范畴，从而引入了古典概型的概念。为了加深学生对古典概型的认识，也可以对抛硬币、抽取产品、买等实验进行分析，以判断它们是否为古典概型。
（b）授课教师在课堂上通过引导学生参与讨论与分析，总结出古典概型中事件A的概率计算公式，即
P（A）=■
（4）实例应用。在公园门口，一个摆地摊的赌主将8个白色的、8个红色的乒乓球放在袋子里。赌主规定：自愿摸彩者在交1元钱的“手续费”后，可一次性从袋子中摸出5个球；在摸出的5个乒乓球中，有5个红球奖励20元，有4个红球奖励2元，有3个红球奖励价值5角的纪念品，而仅有1个或2个红球则无任何奖励。由于本钱较少，许多围观者都跃跃欲试，有的竟连摸数十次，结果许多人“乘兴而摸，败兴而归”，获奖者寥寥无几，这是怎么一回事呢？请计算能获得20元和2元奖励的概率分别是多少？假如每天按摸球1000次计算，赌主一天可挣多少钱？
分析：由题意分析可得，从袋子中取球属于古典概型，因此摸到红球的概率计算可采用上述古典概型事件概率计算公式。从袋子中摸出5个球的情况共有C■■种，摸到5个红球的情况有种C■■，摸到4个红球的情况有种C■■C■■，摸到3个红球的情况有种C■■C■■。因此，摸奖者获得20元奖金的概率为C■■/C■■=0.0128，获得2元奖金的概率为C■■C■■/C■■=
0.128，获得纪念品的概率为C■■C■■/C■■=0.359。由此可以看出，摸奖者获得20元和2元奖金的概率都比较低，所以许多人都“乘兴而摸，败兴而归”。假定一天摸球1000次，按照上述计算得到的概率值，获得20元奖金的次数为13次，获得2元奖金的次数为128次，获得纪念奖的次数为359次，因此赌主支付的奖金总额为13×20+128×2+359×0.5=695.5元，而赌主收到的摸彩手续费为1000元，则赌主一天可挣1000-695.5=304.5元。
从上述实例中可以看出，摸彩是一种欺诈行为，赌主保赢不输。通过上述案例教学，学生在课堂上不仅学习了新知识，还增强了自身对社会诈骗行为的防范意识，进而激发学生的学习兴趣。
四、案例教学法的应用效果
与传统的灌输式教学方法相比，案例教学法可以充分发挥教学互动的优点，体现学生是教学主体，使原本枯燥刻板的数学概念、数学理论变得直观易懂。教师结合案例的应用，用通俗易懂的教学方式将这些理论讲细、讲透，让学生真正理解并掌握案例所涉及的理论知识，从而降低专业课的理论难度；案例教学法的讨论模式既丰富了教学形式，又要求学生灵活地运用所学知识，模拟解决实际问题，促使学生主动思考、分析、解决问题；同时，学生间、师生间的合作分析与研讨还可以锻炼和提高学生合作共事与交流协作的能力[8，9]。
与其他教学法相比，在《概率论与数理统计》课堂教学中应用案例教学法可以更好地加深学生对基本概念的理解和对理论与方法的掌握；实施案例教学法可以显著提高学生对《概率论与数理统计》课程的学习积极性与主动性，增强学生的实践能力、创新能力、语言表达能力，从而取得良好的教学效果。
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