时间：2023-09-19 16:27:39
关键词：函数；值域；方法
一、分式型求值域
分式分子、分母最高次是一致的通常用分离常量法.
评注：分离常数的方法是保证分母不动，分母是谁，分子还写谁.然后把分子看成一个整体用括号括起来，括号前乘一常数使它还原后与原分式分子最高次系数一致，常数多加了多少就减去多少，反之亦然.原题分子的常数正常落下.
评注：注意本例题与上例的区别，除了取不到0外，可取任意实数.而中的x2+1限制了的取值范围.这两题尽管做法一样，但其结果是不一样的.
评注：当分子、分母最高次不一致时，第一种解决方案为考虑分子、分母的每一项同时除以某个变量或某个式子，达到分子或分母中的某一个为常数，另一部分可用均值定理或对号函数的单调性来求其范围.
评注：当分子、分母最高次不一致时，第二种解决方案为，先通过拼凑构造出分子或分母的形式，以次数低的为标准，然后分离，如上例，再用均值定理或对号函数的单调性来求其范围.
二、二次函数给定区间求值域
通过以上各例，我们归纳了第一类分式型求值域的几种可能情况.学生需要根据不同的题型结构，选择相应的处理方案.第二类二次函数给定区间求值域，本类型，因为学生对初中的二次函数相关知识有了一定的掌握，显得相对简单.希望本文对教师和学生解决此类问题有一定的帮助.
参考文献：
[1]纯刚.求函数值域的方法与技巧[J].安顺师专学报：自然科学版，1996（04）.
[2]董艳梅，吴武琴.求函数值域的常用方法[J].昆明冶金高等专科学校学报，1999（02）.
[3]林如恺，江杰.求函数值域的几种方法[J].乐山师范高等专科学校学报，1999（03）.
[4]谭廷经.求函数值域的几种初等方法与常见错误剖析[J].中学数学教学，1995（03）.
[5]王慧贤，张莉.求函数值域的几种方法[J].白城师范高等专科学校学报，2001（04）.
关键词：参数；导数；极值；最值；分类讨论；构造
导数作为最为重要的数学工具之一，在数学物理等学科中有非常广泛的应用。由于含有参数的导数问题在解题过程中往往需要对参数进行求值或讨论分析，因此它也是高中学生答题的难点，本文主要针对这一问题加以分析讨论，以供参考。
对含有参数的导数问题中的参数进行求值。比较常见与典型的有下面几种情况：
在含有参数的导数问题中，最为常见的一类求值问题是已知函数的极值点（有时是最值），利用函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值时，此时f′(x)=0将x=x0代入即可求出参数的值。
例1：（2012年高考（江苏））若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.求a和b的值.
解:由f(x)=x3+ax2+bx，得f′(x)=3x2+2ax+b.
1和-1是函数f(x)=x3+ax2+b的两个极值点，
f′(x)=3+2a+b=0，f′(-1)=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3.
另一类常见的对参数求值的问题主要研究函数f(x)=g(x)+m（其中g(x)为已知函数），在这一问题中由于g(x)是已知的，所以函数f(x)=g(x)+m的基本图形是固定的，参数m仅仅决定函数f(x)=g(x)+m的上下位置。在此类问题中，经常根据函数f(x)=g(x)+m的最值（有时是极值），利用它与函数g(x)图形的一致性求出参数m的值，这种问题也常常转化为判断函数y=f(x)与函数y=m的交点个数。
例2：（05北京卷）已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a，若f(x)在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
解：因为f(-2)=8+12-18+a=2+a，f(2)=-8+12+18+a=22+a，
所以f(2)>f(-2).因为在（-1，3）上f′(x)>0，所以f(x)在[-1， 2]上单调递增，又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是有 22+a=20，解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2，因此f(-1)=1+3-9-2=-7，
即函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-7.
求值问题中还有一类是主要利用导数的几何意义。特别强调下面两点①过函数y=f(x)上的点p(x0，f(x0))在这一点切线的斜率等于在这一点的导数②p(x0，f(x0))这一点不仅是在函数y=f(x)上而且也在它的切线上。使用这二点可以列出二个方程进而列出方程组求出参数的值。有时，这一类型的问题会变形为二个不同的函数y=f(x)与y=g(x)在它们的交点有公共的切线或切线与已知的直线平行（垂直）的形式，其实质也是利用导数的几何意义。
例3：（05福建卷）已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0.求函数的解析式.
解：由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以f(x)=x3+bx2+cx+2，
f′(x)=3x2+2bx+c.
由M(-1，f(-1))在处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，f′(-1)=6.
3-2b+c=6，
-1+b-c+2=1，即2b-c=3，
b-c=0，解得b=c=-3.
故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.
在含有参数的导数问题中，对参数进行分析讨论确定取值范围往往比对参数进行求值更为麻烦，需要注意的事项更多。学生在处理这一方面的问题时经常考虑得不是很周到，甚至在碰到这些题目的时候无从下手，用错方法。因此更需要教师在课堂上把这些问题分析透彻，并给出对应的解题思路与技巧，这迫使我们必须在这一问题上进行更深的了解和研究。
其中最为常见的方法是分类讨论。而常见的分类论据通常有:一根据有无极值来分，二根据驻点的大小来分，三根据最高项的系数的正负等几种方法来进行分类讨论及解题，同时必须强调指出，分类一定要先分析函数定义域，并在定义域的范围内进行。
例4：（天津卷）已知函数f(x)=(x∈R)，其中a∈R.
（I）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
（II）当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值.
解：（I）当a=1时，f(x)=，f(2)=.
又f′(x)==，f′(2)=-
所以，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为
y-=-(x-2)，即6x+25y-32=0.
（II）f′(x)==-
由于a≠0以下分两种情况讨论.即a>0与a
本题中主要是使用分类讨论的方法来研究函数的单调性，但学生在分类时容易认为是利用二个不同的驻点x1=-，x2=a.进行分类，而实质上应该利用最高项的系数的正负进行分类处理，这正是这一类问题的难点所在。所以在分类过程中一定要把握好分类的依据，做到不重不漏。
含有参数的导数问题除了使用分类讨论的方法，另一种常见的方法是利用函数y=f(x)在一特定的区间满足一定的条件，通常可通过一定的变形为g(x)>c的形式，只要利用构造的方法构造出函数g(x)并利用函数g(x)在特定区间上的最值与C进行判断，就很容易可以给出参数的取值范围。但这一方法有时对如何构造函数g(x)的技巧要求较高，同时有些题目甚至需要多次使用构造的方法，学生掌握起来有一定的难度。
例5.（2012年高考（天津理））已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0，其中a>0.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若对任意的x∈[0，+∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值;
解：（1）f(x))的定义域为(-a，+∞)
f(x)=x-ln(x+a)⇒f′(x)=1-==0⇔x=1-a>-a
f′(x)>0⇔x>1-a，f′(x)
得：x=1-a时，f(x)min=f(1-a)⇔1-a=0⇔a=1
（2）设g(x)=kx2-f(x)=kx2-x+ln(x+1)(x≥0)
则g(x)≥0在x∈[0，+∞)上恒成立⇔g(x)min≥0=g(0)(*)
g(1)=k-1+ln2≥0⇒k>0
g′(x)=2kx-1+=
①当2k-1
②当k≥时，g′(x)≥0⇒g(x)min=g(0)=0符合（*）
得：实数k的最小值为
这一类的题型有时也可使用参变量分离的方法，当参数分离出来后，一般情况下，函数可变形为a>g(x)这一形式，其后可使用与刚才相似的方法进行解题。
当导数问题中含有参数以后，题目灵活多变，要想正确解题如同在迷雾中找到一条正确的出路一般。但如果我们能抓到问题的实质，分清主次，找到正确的应对方法，加上一些必要的训练，含有参数的导数问题也可成为得分点。
参考文献：
关键词：箱线图 异常值
中图分类号： O13 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2012）07-0054-02
由于我们常用箱线图、标准分数（z分数）来识别异常值，当然，也可用散点图、残差图来识别，对于同一个问题，假如我们用来识别异常值的工具—“箱线图”不统一，那么，识别出来异常值也就会不同，接下来的处理方法也会不同：若异常值是记录错误，在做统计分析之前应将其改正过来；若异常值不属于这个数据集，将其去掉即可；异常值还可能确实是非正常的数据值，记录也正确，也属于这个数据集，这时就该保留这个异常值。由此可见，正确识别异常值，对正确进行数据分析得出科学合理的结论非常重要。
但在教学中，在上统计学的“箱线图绘制”时，笔者查阅了一些资料，发现几本书上对“箱线图绘制”的描述有些差异，下面我们一一来看。
第一种描述：由高等教育出版社出版、吴志高主编的《统计与概率》第32～33页：“例2.6.1有一个样本容量为50的样本如下：……，用所给的样本数据作箱线图。第一步，……；第二步，在数轴下方作一平行于数轴的矩形，其长为2倍四分位差2Q（该书定义四分位差见第31页Q=0.5*（Q3-Q1），和其他统计书上定义的四分位差不同，如由复旦大学出版社出版、李洁明、祁新娥编著的《统计学原理》第127页：四分位差=Q3-Q1），两条端线分别位于两个折点的位置，即Q1与Q3处，适当选取矩形的宽度，……第三步 从矩形两端向外作平行于数轴的直线，在作出的直线上，由矩形两端向外各一步长H=2Q=1倍（Q3-Q1）处作两条端线，……”。由此，我们不难得出如下的箱线图：
第一种描述下的箱线图
但值得一提的是，该书中第33页倒数第三行提到；“有人建议将步长值取为H=3Q=1.5*（Q3-Q1）……”，我们看完后面会明白，这种取法才是大多数书上采用的方法。
第二种描述：再看由西南财经大学出版社出版、肖战峰主编的《统计学基础》第68～69页：“简单箱线图，其绘制方法是：“首先，找出数据的5个特征值……，然后连接两个四分位数（Q1、Q3）画出箱子，再将两个极值点与箱子相连接。”按照这一叙述，画出的箱线图如下：
第二种、第三种描述下的箱线图
第三种描述：由中国人民大学出版社出版、贾俊平等编著的《统计学》（第四版）第67页：“箱线图的绘制方法是：……”描述方法及结果几乎与第二种一样。
第四种描述：由清华大学出版社出版、（美）David R.Anderson 等编著、张慧卉等译《现代商务统计Excel版》（第二版）第107页：“绘制箱形图的步骤如下：1.画一只箱子，箱子的两端分别位于Q1（第一个四分位数）与Q3（第三个四分位数）；2.在箱子的中间处画一条垂线，表示中位数；3.利用四分位数间距IQR=Q3-Q1确定上下限。箱形图的上下限分别比Q1低1.5倍IQR和比Q3高1.5倍IQR的位置上，上下限以外的数据认为是异常值；4.箱形图中的虚线称为胡须线。胡须线从箱子两端开始分别延伸至第3步中计算的上下限内的最大值与最小值；5.最后，用星号（*）把每个异常值的位置标出来。”根据这样的描述，得到的箱形图如下图：
第四种描述下的箱线图
下面是21家药物公司的年度销售数据（单位：百万美元）：
现假设上述141.38亿美元被输成411.38亿美元，用箱线图能否识别出该异常值并纠正数据的输入错误吗？
第一步，把上述数据按升序排序：
所以，Xmin=608，Xmax=14138（由于输入错误，Xmax=41138），Q1=1861，Q3=8357，Me=4019
第二步，画箱线图：
第三步，从第一种、第四种描述下的箱线图中我们可以看出：数据41138应该是异常值（与实际情况相吻合），应该检查并更正数据，再进行数据的统计分析。而从第二种、第三种描述下的箱线图中，41138不是异常值（与实际情况不吻合），这时，还不可慌忙进行数据的统计分析，应该把该数据集转化为标准分数（z分数），41138的标准分数为4，把标准分数大于3而小于-3的也归为异常值，这时应该检查并更正数据，再进行数据的统计分析。
从上面例子中我们不难发现，第四种描述下的箱线图才是最完美的。但实际情况是，很多老师发现两本教材对同一事物的描述几乎完全一样（认为不可能错成一样的），毫无疑问都会选择第二种、第三种描述来进行教学。要想避免这样的情况，只有博览群书，取其精华，不断地提高我们的教学质量。
参考文献：
[1]吴志高.统计与概率[M].高等教育出版社.
[2]肖战峰.统计学基础[M].西南财经大学出版社.
[3]贾俊平.统计学（第四版）[M].中国人民大学出版社.
关键词：高中数学导数解题
导数所涵盖的知识量比较大，在教学过程中，往往需要教师耗费较多的时间与精力去讲解导数的基础知识所在，导致在后续教学中，不仅影响了教学的进度，而且学生对导数的理解也处于模棱两可的阶段，无论是解题还是具体应用，都没有取得一个理想的成果。在此，本文主要分析、探索导数在数学中的应用。
一、导数在代数解题中的运用
高中代数解题要比初中困难很多，需要学生掌握好相关知识，利用知识体系去解题，而不是单一的知识概念，导数在数学中的应用，其比较明显的就是在代数解题中的运用，本文将对此做出详细的阐述。
1.利用导数求函数的单调性
导数在数学中的应用，其常见的解题就是利用导数，求解函数的单调性，这属于高中常见习题，不仅可以提高学生对导数的理解，还能锻炼学生的逻辑思维能力。但是，很多学生并不了解如何利用导数去求解函数的单调性，对于他们来说，用导数来求解函数的单调性，就是用一个不熟练的数学技能，解开新的数学难题。本文认为，利用导数去求解函数的单调性，应从导数本身出发，例如，对于函数f（x）=x3+3x2求其单调区间。分析对于这一道题目我们观察发现它的最高次幂是3次直接运用函数图像去观察函数的单调区间是十分困难的，由于其是可导的，所以我们就可以运用导数的性质来求解。解题方式如下：函数f（x）的导数为f’（x）=3x2+6x，当f’（x）>o时，x>o或x
2.利用导数求函数的极值
函数作为高中数学的重要组成部分，是学生要学习的重点知识，为避免学生在学习函数知识时遇到较大的阻碍，我们可以利用导数求解函数的极值。例如，求函数f（x）=-x3+3x2+9x在单调区间[l，5]上的最大值。分析这个题目给出了函数解析式要求区间上的最大值，我们根据函数导数的性质便可以轻松地计算出其极值。解题方式如下：函数f（x）的导数为f（x）=-3x2+6x+9，所以在区间（-1，3）上是单调递增的，即f’（x）>0，在区间（-∞，-1）、（3，+∞）上是单调递减的，即f’（x）0，即是递增的，在[3，5]范围内，f’（x）
二、导数在几何解题中的运用
除了函数以外，导数还可以用来解析几何题目。几何是高中数学的一大难点，几何需要学生拥有较强的空间想象能力，否则很难顺利解题。应用导数解析几何题时，能够得到以下效果：首先，导数可以将几何的要求设为未知量，在数值的转化后，能够得到准确的结果，而不是一味地去琢磨固有数值。其次，导数在解析几何题的过程中，可以当作案例为学生讲解知识，有助于学生建立属于自己的数学知识体系，在日后的应用过程中，不会受到其他因素的影响。第三，导数解析几何题是高中数学的必经阶段，也是数学考试的重点部分。例如：用一条不限长度的钢丝围成一个长方形的框架其长、宽的比是2：1（要求宽的长度小于等于8m），那么，当其长宽各为多少时面积最大，最大面积是多少？解题方式如下：设长方形的宽为xm，那么其长为2xm，其中0
生产生活中，常常会遇到在一定条件下使得利润最大、效率最高、用料最省、强度最大等问题这些问题称为优化问题。优化问题往往可归结为求函数的最大值或最小值问题而导数是求最值的有力工具。因此熟练应用导数解决实际应用问题就常重要.用导数解决优化问题的基本思路是认真分析实际问题然后将其转化为数学问题再用导数求解这个数学问题。
本文对导数在数学中的应用展开了分析与探索，从客观的角度来说，导数在数学中的应用，可以解决很多的数学问题，为数学学习和教学提供较大的帮助。在今后的教学工作中，教师需要对导数的教学、在数学中的应用方式展开深入研究，除了要建立更加有效的应用体系之外，还要顾及导数的有效性以及导数应用的限制性，充分促进学生学习的进步，提高教学水平。
参考文献：
[1]李爱华.高中数学教学对导数公式的合理应用[J].新课程学习（中），2014，01：93.
关键词： 高等数学竞赛试题 绝对值 导数 最值
绝对值函数是中学数学中重要的一元函数，它的连续性，最值，单调性等都有非常直观的几何解释.高等数学是中学数学的直接后继课程，运用高等数学解决实际问题往往要处理一些包含绝对值的问题.所以，必须熟练掌握解决绝对值问题的方法.
高等数学竞赛旨在提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革［1］.各省（市）高等数学竞赛往届试题中有大量关于绝对值的问题，下面结合高等数学竞赛试题归纳绝对值与最值的类型和解决问题的方法.
1.用绝对值定义函数的最值问题
第一类问题，用绝对值定义函数.通常做法是对定义域进行分割，去掉绝对值，将函数尽量简化.
例1.2005年浙江省高等数学竞赛（文专类）题：求函数f（x）=|x|+|x-1|+|x-3|的最小值.
评注：这事实上是中学数学问题.由于函数x，x-1，x-3分别在x=0，1，3的两侧变号，因此需要将实直线分割为4个子区间，然后化简函数.在多元函数中也存在绝对值定义函数的最值问题.
例2.陕西省第七次大学生高等数学竞赛复赛试题：求函数f（x，y）=max{|x-y|，|x+y|，|x-2|}的最小值［2］.
评注：将多元函数中绝对值去掉要麻烦得多.这个问题中x-y，x+y，x-2分别在直线y=x的上下两侧变号，在直线y=-x的上下两侧变号，以及在直线x=2左右两侧变号，因此用这三条直线可以将xoy平面分割为7部分，然后在每个区域上化简函数f（x，y）.在每个区域中f（x，y）都是关于x和y的一次函数，于是两个偏导数都是0，因此在区域内部f（x，y）不可能取到最小值，最值点只可能位于区域的边界上.比较边界线y=x，y=-x和x=2上点的函数值，得到minf（x，y）=2，（x，y）∈R.
第二类方法是使用最优化理论方法.此种问题事实上就是凸规划问题，根据最优化理论可知：凸函数在凸区域的最值只在区域的边界上取到［3］.在例2中，用三条线将平面分割为7部分，每个部分都是平面上的凸集，而化简后的f（x，y）是线性函数因此也是凸函数，f（x，y）只能在这7部分的边界上取到最值.
2.已知最值求参数问题
第二类问题，已知最值（或极值），计算其中所含参数的值.通常的办法是先计算不含有绝对值函数的最值（或极值），然后取绝对值后比较这些点处函数值的大小，得出参数的值.
例3.2008年浙江省高等数学竞赛题［4］：求常数的值使得|cosx+x-t|=π.
评注：首先计算函数g（x）=cosx+x-t在区间［0，2π］的极值问题.由于g（x）单调增加，所以|g（x）|的最大值一定在区间端点处取到，比较|g（0）|和|g（2π）|可得t=x+1.
例4.2011年浙江省高等数学竞赛题（文专类）［5］：求a的值，使得函数f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值为2.
评注：作变量代换y=x后问题等价于f（y）=|y-4y-a|在上［-4，4］的最大值为2.先计算绝对值之内的函数的极值点，因为是抛物线，因此最大值一定在对称轴或区间端点处取到，比较这些点的函数值即可得到a=-2.也可以直接计算g（x）=x-4x-a在［-2，2］上的极值，再比较这些点和区间端点处函数值的大小可得结果.
3.绝对值积分的最值问题
第三类问题，定积分中被积函数包含绝对值，求其最值问题.
例5.2011年浙江省高等数学竞赛（文专类）题：计算?蘩|x-t|dx.
评注：解决此类问题的通常方法是根据积分变量的取值范围，将积分区间进行分割，使每个区间中被积函数不含有绝对值，积分后再利用积分区间可加性计算积分.本例中将积分区间分割成［0，］和［，1］两个区间后分别积分得到?蘩|x-t|dx=t-t+.然后计算在［0，1］上的最大值即可得结果2/3.
例6.2009年浙江省高等数学竞赛题：求g（x）=?蘩|x-t|edt的最小值.
评注：类似于例5，根据参数不同取值划分区间，去掉绝对值.因为研究的是最值，所以不必要（有时候是不能）将积分先计算出来然后讨论最值.第二种处理方法是直接研究这些积分表示函数的单调性，从而得出最值.令A=?蘩edt＞0（这个积分无法用牛顿――莱布尼茨公式计算出来），则x＜1当时，g′（x）=-A；当x＞1时，g′（x）=A；当-1≤x≤1时，g′（0）=0，g″（x）=2e＞0，因此g（x）在x=0在取到最小值.
4.结语
高等数学（微积分）中绝对值和其他问题结合往往会增加问题的难度，如何选择合适的方法去掉绝对值是解决此类问题的关键.一般方法是比较绝对值内部变量值的大小划分区间（或者区域）去掉绝对值后分段讨论.
参考文献：
［1］浙江省高校高等数学教学研究会.浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛章程［EB/OL］.http：//zufe.省略/document.asp?docid=5520.
［2］陕西省第七次大学生高等数学竞赛复赛试题［J］.高等数学研究，2009，（02）：封面三.
［3］袁亚湘等.最优化理论与方法［M］.北京：科学出版社，1997.
［4］卢兴江，金蒙伟主编.高等数学竞赛教程（第四版）［M］.杭州：浙江大学出版社，2011.
［5］田增锋.浙江省高等数学竞赛题的几何思考［J］.考试周刊，2011，（40）：13-14.
关键词：专升本 微分中值定理 证明 辅助函数
中图分类号：G642.4 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）07（a）-0200-02
“高等职业教育‘专升本’考试”指高等职业院校专科学生升入本科院校时，所参加的选拨考试。通过专升本考试能够使大学专科层次学生进入本科层次阶段学习。袁娇娇[1]在对高职院校“专升本”学历教育的几点思考中提出，高职院校实行“专升本”教育能够促使教育体系更加完善，能够更好地满足社会的需求，同时可以缓解高职院校人才的就业压力。其实，施行“专升本”也是部分学生实现自身学历提升的一个途径，能够使那些在高考中失利的学生能够实现自己的本科梦。
在对历年专升本考试中出现的微分中值定理证明题分析和对学生调查后可知，微分中值定理证明题的重点和难点是辅助函数的构造。因此，该文对此进行研究并分别总结出相应题型的解法，以期为考生的备考起到积极的作用。
1 微分中值定理在抽象函数证明中辅助函数的构造
1.1 原函数法（积分法）
方法内容：从结论出发，利用导数（微分）与积分之间的互逆运算关系，将结论一端变为0，找出另一端的原函数即为所要构造的辅助函数，再利用该辅助函数来证明结论。
方法原理：对于拉格朗日中值定理的结论，从函数观点来看，为方程的根.在该方程两边同时求不定积分得（其中C为积分常数，下面如无特别说明则与此相同）。
构造步骤：三步法。
第一步：换元。首先把结论等式中的换成x，构造出微分方程；
第二步：变形。利用恒等变形把结论的形式化为易积分的形式；
第三步：移项。将上述形式进行积分后把积分常数C放在等式一边， 那么另一边就是所作的辅助函数。
例1：2010年河南专升本高等数学第52题。
设函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且。证明，在（0，1）内至少存在一点，使得成立。
分析：此题的结论为明显的导函数零点问题，因此可以用上述方法解决。这里首先把结论等式中的换成x，构造出微分方程，两边直接同时积分得到，移项得，从而可构造函数。
证明：构造函数，因在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，所以函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间内可导，且。
于是在[0，1]上满足罗尔中值定理的条件，故在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。将代入上式，得，于是。
1.2 常数K值法
方法原理：表达式的形式具有对称性，从而利用对称性构造辅助函数。
构造步骤。
第一步：分离常数，把常数部分记为K。
第二步：恒等变形，把两个变量的表达式分别放在等式两端。
第三步：找对称，看关于各个变量的表达式是否为对称式，如果是，那么把其中一端的自变量改为x，相应的函数值同时改为f （x），变换后即为所求的辅助函数F（x）。
例2：（西华大学2013）设≥e，求证：。
分析：。
证明：设，则f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此有，因，故，即证。
1.3 指数因子法
方法原理：指数函数具有的可导不变性及非负性。即的各阶导数仍然是， 并且恒大于零， 我们可以利用指数函数的这种良好性质构造型辅助函数[6]。
例3：2013年四川理工学院第19题。
设与在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，证明：存在，使 0。
证明：构造函数，在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，还满足。于是由罗尔定理可知，至少存在一点，使得，即有。
2 微分中值定理在不等式证明中的应用
专升本考试中，不等式的证明也是常考题型之一。如河南的2005年、2011年、2012年、2014年的考试题中，四川理工学院2015年、西华大学2010年、2012年、2015年的考试题中均有涉及.尽管不等式的证明可以用单调性、最值等方法，但是运用中值定理证明的方法更加普遍。
用微分中值定理证明不等式时，通常也要构造相应的辅助函数。此处辅助函数的构造往往从结论出发，将结论转化为中值定理结论的形式，从而得出相应的辅助函数形式。下面以河南专升本2014年的考题为例进行讲解。
例4：2014河南专升本第53题。
设，证明：
分析： 。
证明：令f（x）=ln2x，则f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，即。又e
3 结语
在各省或者各个学校在专升本中《高等数学》考试中，M管它们在题目设置上有所不同，但是，作为高等数学的一个重要知识点，微分中值定理在这些试卷上占据着重要的地位。因此，分析它在考试中的常考题型及解法无论对考生还是对辅导专升本学生的教师都是非常必要的。
由于微分中值定理中辅助函数的构造有很大的灵活性和技巧性，因此应具体问题具体分析，根据已知条件和所证结论中蕴涵的信息，大胆地运用归纳、猜想、分析与化归等数学思想，从而选择合适的辅助函数使问题得以解决。
参考文献
[1] 袁娇娇.对高职院校 “专升本”学历教育的几点思考[J].教师，2014（2）：29.
关键词：导数 生活 应用
中图分类号： O172？ 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）05（c）-0000-00
对于一个实际问题，我们可以建立数学模型，就是列出变量之间的数学关系式（函数解析式），求出函数的最大值或最小值，从而达到解决最优化问题.
我们知道在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值，这在理论上肯定了最值的存在性，但是怎么求出函数的最值呢？首先假设函数的最大（小）值在开区间内取得，那么最大（小）值也一定是函数的极大（小）值，使函数取得极值的点一定是函数的驻点或导数不存在的点。另外函数的最值也可能在区间端点上取得。因此我们只需把函数的驻点、导数不存在的点及区间端点的函数值一一算出，并加以比较，便可求得函数的最值。
例1 有一个铁路线上段的距离为100，某工厂距点为20，，要在线上选定一点向工厂修筑一条公路.已知铁路线上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为，为了使货物从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？
分析 这是一道实际生活中的优化问题，建立数学模型，运用导数知识求函数的最值非常简单.
解析 设点选在距离点处，，则
设铁路上每千米货运的运费为，则公路上每千米的运费为（为常数）.设从点到需要的总运费为，则，即
.
下面求在区间上的值，使函数的值最小.
上式两边求导数，得
令，得，，故.
因为，所以，这时，与闭区间端点处的函数值相比较，由于，，因此，当时，的值最小，即点应选在距离点处，这时，货物的总运费最省.
点评 以导数为工具分析和解决一些函数问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题，关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景.
例2 某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
分析 运用导数的基本思想去分析和解决问题，用导数的知识求可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的具体体现.
解析 （1）改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），
与的函数关系式为
（2）由得，（舍）
当时；时，函数 在取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
答：该商品售价定为每件30元时，所获利润最大为23000元.
点评 导数的引入，大大拓宽了高职数学知识在实际优化问题中的应用空间.
例3 设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时.中午12：00相应的，中午12：00以后相应的取正数，中午12：00以前相应的取负数（如早上8：00相应的，下午16：00相应的）.若测得该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8：00与下午16：00有相同的变化率.（1）求该物体的温度T关于时间的函数关系式；（2）该物体在上午10：00到下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？
分析 求闭区间上连续函数的最值、极值时，通过研究导函数的符号，列表求得该函数的单调区间、极值点（极值）、端点值，从而求得最大值.也可以不讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可.
解析 （1） 因为，
而， 故，
.
.
（2） ， 由
当在上变化时，的变化情况如下表：
-2
（-2，-1）
-1
（-1，1）
1
（1，2）
2
+
-
+
58
增函数
极大值62
减函数
极小值58
增函数
62
由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃.
点评 列表法是导数应用的一种基本方法，虽然列表的过程稍微有点复杂，但从表格中可以直接得出极值点、单调区间、最值.函数的极值与函数的最值时有区别和联系的：函数的极值是一个局部性的概念，而最值时某个区间的整体性的概念.
本文主要通过三个实际例子说明导数在生活中的应用，为解决实际问题提供有力的帮助.
参考文献
【1】王荣成.数学.苏州大学出版社.1998.
1.等差数列中的"知三求二"
等差数列与等比数列是高考考纲中的两个C级要求，而等差等比数列中知三求二问题，是高考中的常见题型，主要利用等差等比数列的性质解决.
例1如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12 ，那么a1+a2+…+a7=
（A）14（B）21（C）28（D）35
解析：答案为C，本试题主要考查等差数列的基本公式和性质，a3+a4+a5=3a4=12,a1+a2+…+a7=7(a1+a2)27a4=28
例2已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=
(A)52(B)7(C) 6(D)42
解析：答案为A,本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.由等比数列的性质知a1a2a3(a1a3)a2=a32=5，a7a8a9=(a7a9)a8=a38=10,所以a2a8=5013,所以a4a5a6=(a4a6)a5=a35=a2a83=(5016)3=52.
2.利用基本不等式求最值
数列中利用基本不等式求最值也是高考中经常出现的一类题型，但应用时必须考虑到"一正二定三相等"，看看能否取到.
例3已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则ann的最小值为.
解析：答案为212，本题考查了递推数列的通项公式的求解以及利用基本不等式求最值，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。利用累加求出an=33+n2-n，所以ann=33n+n-1≥233-1，仅当n=33时取等号，但n∈N+，又取不到，故在33附近的整数5和6中去，又因为a55=535，a66=636=212，所以，ann的最小值为a66=212
3.利用函数单调性求最值
数列是特殊的函数，它也是项数和项之间构成一一对应关系，只不过定义域是正整数集或其子集，许多数列最值可以转化为函数问题.
例4 已知数列{an}是首项为a ，公差为1的等差数列，数列 {bn}满足bn=1+anan ，若对任意的 n∈N*，都有 bn≥b8成立，则实数 的取值范围是
解析：答案为(-8,-7) ，{an} 是首项为a ，公差为1的等差数列所以an=a+n-1，bn=1+anan=1+1a+n-1 ，类似反比例函数，又bn≥b8 ， b8为最小值，故有 8
4.利用项数只能为整数取值
数列取值时，常遇到列的方程却解不出未知量，这时要认真审题，寻找题目中的隐含条件，尤为数列中的项数是正整数，再进行枚举.
例5设{an} 是公差不为零的等差数列， sn为其前n 项和，满足 a2+a23=a24+a25，s7=7,
（1）求数列 {an}的通项公式及前 n项和sn ；
（2）试求所有的正整数m ，使得 amam+1am+2为数列 {an}中的项.
解析：本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力.
（1）数列{an} 的通项公式为an=2n-7 ，前 n项和sn=n2-6n ；
(2) 因为 amam+1am+2=(am+2-4)(am+2-2)am+2=am+2-6+8am+2为数列 {an}中的项，故8am+2 为整数，又由（1）知： am+2为奇数，所以am+2=2m-3=±1即m=1,2 经检验，符合题意的正整数只有m=2.
5.数列中参数范围求解
数列可看作是定义域为正整数集（或它的有限集 {1,2,3,…,n}的函数，求参数范围是常遇到的问题，那就要函数中的分离参数求范围的方法，但不要忘了定义域.
例6设各项均为正数的数列 {an}的前n项和为sn ，已知2a2=a1+a3 ，数列 {sn}是公差为d的等差数列.
（1）求数列{an} 的通项公式（用n,d 表示）；
（2）设 c为实数，对满足m+n=3k且m≠n 的任意正整数m,n,k ，不等式sm+sn>csk 都成立,求证： c的最大值为 92.
解析：由{sn}是等差数列与条件2an=a1+a3 ,即可求出sn=d2n2 ,再由an=S1,n=1
Sn-Sn-1,n>1,可得出an=(2n-1)d2.
sm+sn>cskm2d2 +n2d2>ck2d2 m2+n2>ck2， c(m+n)2=9k2m2+n2 k2>92 ，故C ≤92，即 C的最大值为92 .
应用一 利用导数研究函数的单调性
这一类题主要考查利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用.通过求导将函数与方程、不等式结合起来，考查运算求解能力.
例1 已知函数φ（x）=ax+1，a为正常数.
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有g（x2）-g（x1）x2-x1
解析：本题主要考查利用导数求函数的单调区间.第（2）问求解的关键是将已知不等式g（x2）-g（x1）x2-x1
（2）由g（x2）-g（x1）x2-x1
点评：该题信息给出的是不等式，不少同学在转化时无从下手，挖掘不等式的本质可知，其实不等式对应的是函数的单调性问题.拨开云雾看问题，分析出h（x）具备的单调性后，就可以无招胜有招.
在代数中，“元”是很重要的概念，不少问题都带有两个“元”，即x1，x2，在解方程组时最根本的方法是消元.但是本题中的两个元x1，x2如何转化？从上面的分析可以得知，挖掘出隐含的函数单调性，即达到了“消”的目的，从该题中挖掘出蕴含的思想方法，诠释其内容，回到基本概念中去，分析题目的信息，联系基础知识与基本思想方法，联系已知与未知的关系，获得解题思路.在具体运算求解过程中，需要解决含参不等式恒成立问题，这类题考查同学们分析问题、解决问题的能力，一般情况下可以分离参数，转化为新函数的值域（最值），或直接求导，分类讨论求值域.
通过导数把函数的单调性问题化为不等式问题颇受各地命题专家的青睐.虽然试题千变万化，但是解决问题的思想方法基本相同.
在建立目标函数后，另辟蹊径，极富成效的进行变形，问题就迎刃而解.对试题的异样的分析与解答，拓宽我们的视野，提高思维的灵活性，加深对数学本质的认识，提升数学综合素养.所以，在平时的学习中要善于注意一题多解，一解多用.
应用二 利用导数研究函数的极值及参数的取值范围 用导数研究参数的取值范围，其实质就是转化为研究函数的单调性、极值与最值的问题，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极（最）值的应用.问题的难点在于如何联系参数和所求得的函数的极（最）值，破解的方法是根据题目的要求，画出函数的大致图象，探求函数极（最）值，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
例2 已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.
点评：（1）根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增（减）时，函数的导数在这个区间上大（小）于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决.
（2）在形式上的二次函数问题中，极易忽略的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在函数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意.
应用三 利用导数研究方程根的分布
研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.将方程、不等式等有关知识和导数结合的综合性问题，主要考查综合运用有关知识分析问题、解决问题的能力.
利用导数证明不等式，就是把不等式问题转化为函数问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值.应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式.破解的基本思路是从函数的角度分析要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数.
点评：该题的难点有两个，一个是第（2）问中求解函数的极值要根据b的取值范围进行分类讨论；二是证明关于n的不等式，解决此类问题的一般思路是将不等式直接转化为关于n的函数的最值问题来解决.
关键词：GPS高程转换 神经网络 标准BP算法 LMBP
中图分类号：TN711 文献标识码：A 文章编号：
0. 引言
GPS定位技术自问世以来,以其精度高,速度快,操作简便等诸多优点受到测绘界的广泛关注。国内外大量的实践表明,利用GPS进行平面相对定位的精度能够达到±(0.1～1)mm×106D甚至更高,这一点常规测量技术难以比拟。但是,GPS测量经过平差处理,所得到的高程是相对于WGS―84椭球的大地高h,在实际工程应用中使用的是水准高(正常高)H,因此,在工程应用中应将大地高h转换为水准高程H,两者之间的差值称为高程异常ξ。其关系如下：H=h-ξ，用图形表示则如图1所示：
图1 大地高与正常高的关系
GPS测量经过平差、转换,如能获得高精度的水准高程值H,则可部分地节约工作量及其繁重的水准测量,其经济效益是非常可观的。目前转换GPS高程的方法有很多种,常用的比较传统的有以下几种数学模型：
（1）多项式曲面拟合模型 这种模型是在拟合区域内的水准重合点之间,按削高补低的原则平滑出1个多项式曲面来代表拟合区域的似大地水准面,供内插使用。拟合范围越大,高程异常的变化越复杂,所得结果的误差也越大。同时,由于二阶多项式函数几何表示为一“抛物单曲面”,所以如果高程异常图像鞍部、水波浪形等存在多个凸凹面时,用1个二阶多项式函数就无法以数学形式表示。并且该模型对于高程异常变化较大的测区来说很难适应,因此适用范围受到限制。
（2）多面函数拟合模型 多面函数拟合是一种纯数学曲面逼近方法,它的出发点是在每个数据点上同各个已知数据点分别建立函数关系。
（3）加权平均值模型 加权平均模型是根据重合点上的高程异常值的加权均值推算插值点上的高程异常。采用此类模型时若以内插点到已知平面距离的函数作为权,则只顾及了已知点距内插点远近的影响,未反映出重合点分布及周围地形起伏的影响,插值点上的高程异常向最近的已知值靠近。若以向径的函数作权,对精度有一定的改善。对于不同测区要根据点位分布密度和面积选择适当的权函数和拟合半径。该模型一般适用于大面积、点位分布均匀的区域。
以上几种方法都是人为的构造一个数学模型，再根据一定数量的已知点信息结算数学模型中待定参数，从而达到求解该未知量的目的。但这样做一般不可避免地会存在数学模型误差。
本文所讨论的神经网络法是一种自适应的映射方法,它不用作假设,理论上也比较合理,能避免未知因素的影响,减少模型误差。本文将最新的神经网络的相关理论与GPS高程相关理论相结合,给出一种新的算法,来有效地改进GPS高程拟合。这种方法对有效地减少水准测量的外业及解决GPS高程拟合,有很高的应用价值。
1.BP神经网络模型
1.1神经网络的概述
神经网络，是由大量的神经元广泛互联而成的网络，是对人脑的抽象、简化和模拟，反映人脑的基本特性。人工神经网络非常适合于模拟非线性映射，并且不需要建立数学模型。它能够通过自学习功能来获得非线性映射能力，并把这种能力分布地存储在网络的连接权值和阈值中。
多层前馈型人工神经网络是最常用、最流行的网络模型，它的逼近能力和训练算法是其应用的关键。BP网络是一种多层前馈神经网络,其神经元的变换函数一般为线性函数,如S型函数或双曲线正切函数,因此输出量为0到1之间的连续量,它可以实现从输入到输出的任意的非线性映射。由于权值的调整采用反馈传播(Back Propagation)的学习算法,因此被称为BP网络。在确定了BP网络的结构后,利用输入输出样本集对其进行训练,也即对网络的权值和阀值进行学习和调整,以使网络实现给定的输入输出映射关系。经过训练的BP网络,对于不是样本集中的输入也能给出合适的输出,这种性质称为泛化(generalation)功能,从函数拟合的角度看,这说明BP网络具有插值功能。
典型的BP网络是三层网络，包括输入层、隐含层和输出层，各层之间实行全连接，如图2所示。
1.2 BP算法的学习过程
BP网络的学习由四个过程组成，即
（1）输入模式由输入层经中间层向输出层的“模式顺传播”过程；
（2）网络的希望输出与网络实际输出之差的误差信号由输出层经中间层向输入层逐层修正连接权的“误差逆传播”过程；
（3）由“模式顺传播”与“模式逆传播”的反复交替进行的网络“记忆训练”过程；
（4）网络趋向收敛即网络的全局误差趋向极小值的“学习收敛”过程。
简而言之，就是由“模式顺传播”“误差逆传播”“记忆训练”“学习收敛”的过程。
2. GPS高程的神经网络转换方法
进行GPS高程的转换,实质是为了实现GPS高程与正常高之间的非线性映射。所以采用反向传播网络(Back Propagation,BP网络)。
用已知点的坐标(,)和高程异常值建立神经网络的已知样本集
=｛｝
=(,,)i=1,2,…,n
对样本集P进行学习,建立映射关系
=f(x,y)
其中,x,y为平面坐标; 为高程异常。
通过计算比较,结点激活函数选用Sigmoid函数()。
2.1 标准BP学习算法
标准的BP算法是基于梯度下降法,通过计算目标函数对网络权值和阈值的梯度进行修正。标准梯度下降法权值和阈值修正的迭代过程可以表示为
x(k+1)=x(k)-ηΔF(x(k))
式中,x(k)为由网络所有权值和阈值所形成的向量;η为学习速率;F(x(k))为目标函数;ΔF(x(k))为目标函数的梯度;k为迭代次数。
BP神经网络的算法流程如下：
（1）初始化网络。
（2）选取模式对提供给网络。
（3）用输入模式，连接权计算隐含层各单元的输入然后用通过S函数计算隐含层各单元输出
j=1,2,…p (1)
(2)
（4）用隐含层的输出、连接权值计算输出层各单元的输入然后用通过S函数计算输出层各单元的响应
(3)
(4)
（5）用希望输出模式、网络实际输出计算输出层的各单元的一般化误差
(5)
（6）用连接权、输出层的一般化误差、隐含层的输出计算隐含层各单元的一般化误差
(6)
（7）用输出层各单元的一般化误差、隐含层各单元的输出修正连接权
(7)
，
（8）用隐含层各单元的一般化误差、输入层各单元的输入修正连接权
(8)
，，
（9）选取下一个学习模式对提供给网络，返回到步骤（3）直到全部m个模式对训练完毕。
（10）重新从m个学习模式对中随机选取一个模式对，返回步骤（3）直到网络达到预设的训练次数或网络全局误差函数E小于预先设定的一个极小值。
（11）结束学习。
神经网络训练规则中反向传播训练算法虽已经得到了广泛的应用,但是仍然存在着一些缺点：(1)从数学上看,反向传播算法归结为非线性梯度优化问题,因此不可避免存在局部极小问题;(2)学习算法的收敛速度慢;(3)存在过学习问题.
2.2 BP网络的改进学习算法―LMBP算法
L-M算法是一种利用标准数值优化技术的快速算法,具有二阶收敛速度.其不需要计算Hessian（赫森）矩阵,利用进行估算,梯度计算采用,式中J为Jacobian（雅可比）矩阵,包含网络误差相对权重和阈值的一阶微分.雅可比矩阵可利用标准反向传播算法得到,比直接计算赫森矩阵简单很多.L-M算法迭代式为：
（9）
比例系数μ=0时即为牛顿法,μ取值很大则接近梯度下降法,每迭代成功一步,μ值减小,在接近误差目标时逐渐与牛顿法相似.牛顿法在接近误差最小值时,计算速度更快,精度更高.
3.应用实例仿真
应用上述人工神经网络模型,对某一测区具有15个水准重合点的GPS控制网的数据进行了实际计算。图3是两种学习算法的误差下降曲线图。
（a）标准BP算法误差下降曲线图
（b）LMBP算法误差下降曲线图
图3 两种学习算法误差曲线的比较
4. 结论
从上述的实例资料计算可以得出:
（1）神经网络方法对GPS水准联测点数目要求较少,能解决已知点较少的测区GPS高程转换问题,且效果较好。这对于充分利用GPS高程信息减少水准测量外业,有着一定的现实意义,并对局部GPS问题即解决GPS高程拟合和精化局部大地水准面模型也有十分实用的参考价值。
（2）改进的学习算法和标准BP算法在GPS高程转换中,误差相当的情况下,改进的学习算法LMBP收敛速度比标准BP算法快很多。因此改进的BP网络学习算法与标准算法相比,在GPS高程的实时解算方面是一种很好的方式。
（3）由于神经网络本身还有很多的问题需要研究目前的算法对于不同的问题均存在陷入局部极小的可能性,因此对于神经网络转换GPS高程而言,还需要在算法的优选等方面作进一步的研究。
参考文献：
【1】Martin T.Hagan, Howard B.Demuth, Mark H. Beale.戴葵，等译.神经网络设计[M].机械工业出版社，北京：2002.
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【3】鲁铁定，钟小威.基于改进BP学习算法的GPS高程转换.测绘通报[J].2005,12:13-15.
【4】韩敏，田雪.基于神经网络的GPS坐标转换方法研究.大连理工大学学报[J],2005,45(4):603-606.
【5】云学英，谢灵斌.GPS高程拟合模型及优选.城市勘测[J].2005,4:21-24.
【6】吴良才，胡振琪.GPS高程转换方法和正常高计算.测绘学院学报[J].2004,21(4):256-258.
关键词：数值计算方法；数学建模；必要性；途径
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）24-0047-02
随着计算机的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如《计算物理》、《计算化学》、《计算生物学》、《计算地质学》、《计算气象学》和《计算材料学》等，而《计算数学》中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。因此掌握数值计算方法的基本理论及其应用对理工科大学生从事专业研究具有重要意义。那么如何加强学生对计算方法思想的领悟？如何增强学生运用计算方法思想解决实际问题的能力？在计算方法教学中融入数学建模思想是值得我们认真思考的问题，也是解决学与用关系的一个非常有意义的尝试。笔者参加了山东省精品课程数值计算方法的建设，又结合近几年的教学体会，提出以下几点认识。
一、数学建模思想融入数值计算方法教学的必要性
1.传统数值计算方法教学的不足之处。值计算方法，也称数值分析或计算方法，是专门研究各种数学问题的数值解法（近似解法），包括方法的构造和求解过程的理论分析。课程中有大量的、冗长的计算公式，所涵盖的知识面宽，各部分内容自成体系，因而给人的感觉是条块分割严重，逻辑性、连贯性不强。在传统的数值计算方法教学中，主要是讲解定义、公式推导和大量的计算方法等。很多学生在学习的过程中甚至考试结束之后仍然不知道自己所学的算法能在什么地方应用，导致学生学习目的性模糊，学习兴趣减少，因此加强培养学生的数学建模能力具有十分重要的意义。
2.数学建模思想在数值计算方法教学中的作用。所谓数学建模[1]，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过做一些必要的简化和假设，明确变量和参数，并依据某种“规律”，运用适当的数学理论，建立变量和参数间的一个明确的数学关系式，这个数学关系式即为数学模型，建立这个数学模型的过程即为数学建模。建立实际问题数学模型的过程如下[2]：实际问题建立数学模型求解模型检验模型结果修改模型再求解模型（可循环多次）实际问题的合理结果。在这个过程中，只有一小部分模型能解析求解，大部分数学模型只能数值求解。这就要用到数值计算方法课程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、曲线拟合法、方程迭代求解法、共轭梯度法等，这就启发我们将数学建模的思想融人计算方法的教学中，提供数值方法实际应用的源泉，体现数值方法的价值和意义，使数学教学不再是无源之水，无本之木，不再显得那么空洞，从而把以往教学中常见的“要我学”真正地变成“我要学”。
二、数学建模思想融人数值计算方法教学的途径
将数学建模的思想融人数值计算方法教学中是很有必要的，但具体如何融入呢？结合教育的实际，笔者提出以下几点建议。
1.原则。课堂教学的主要内容和地位而言，数值算法是课堂教学的主要内容，数学建模仅作为一种教学方法而存在，是学生认知的一种途径，它为数值计算方法教学服务，是教学工作的一种延伸和补充，处于从属地位。数值计算方法为主，数学建模为辅，二者不能平分秋色，更不能本末倒置。因此，数学建模思想渗透到数值计算方法教学中的量不能超过一个度，否则，数值计算方法课就会变成数学建模课。
2.在解决应用问题的讲解中渗透数学建模的思想与方法。值计算方法中的数值方法都有很强的实际应用背景，每一种方法都直接或间接与工程应用有关。教学中通过对实际应用背景的描述，可以激发学生的学习欲望和探究心理，从而对学习内容及过程产生强烈的兴趣和需要。这就要求授课教师了解其他相关学科课程，让学生知道所学的知识在不同领域的应用。例如：在信息技术中的图像重建、图像放大过程中为避免图像失真、扭曲而增加的插值补点，建筑工程的外观设计，天文观测数据、地理信息数据的处理，社会经济现象的统计分析等方面，插值技术的应用是不可或缺的；在实验数据处理问题中，曲线拟合得到广泛应用；在汽车、飞机等的外型设计过程中，样条技术的引入使其外型设计越来越光滑、美观。
3.数学实验中渗透数学建模的思想与方法。机环节是数值计算方法这门课程重要的组成部分，也是检验学生理解授课内容好坏的“试金石”。授课教师可以结合实际和所学数值算法设计一些综合性的问题，让学生去解答。学生通过查阅资料，认真研究，建立模型，设计算法，编程上机，调试运行，得出结果。这个过程既提高了学生编程上机能力，对所学算法有了更深刻的理解，而且对提高学生应用所学的计算方法知识解决实际问题的能力也有很大帮助。
4.在案例教学中渗透数学建模的思想与方法。案例教学[3]，就是在课堂教学中，以具体案例作为教学内容，通过具体问题的建模范例，介绍数学建模的思想方法。所选教学案例要尽可能结合学生所学专业，并且涉及相应数值算法而又能体现数学建模思想。这样既使学生掌握了数学建模的方法，又使学生深刻体会到数学是解决实际问题的锐利武器。下面具体举一个例子给予说明。例：三次样条插值案例．在工程技术和数学应用中经常遇到这样一类数据处理问题：在平面上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。解：传统的设计方法是工程技术人员常常用一条富有弹性的均匀细木条，让它们依次经过离散数据点，然后用“压铁”在若干点处压住，在其他地方让它自由弯曲，然后沿细木条画出一条光滑曲线，形象的称为样条曲线
在力学上，通常均匀细木条可以看作弹性细梁，压铁看作是作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。设细梁刚度系数是A，弯矩为M，样条曲线的曲率为k（x）。由力学知识：Ak（x）=M（x），M（x）是线性函数，k（x）=■当 时（即小挠度的情况），上述微分方程简化为Ay"（x）=M（x），y（4）（x）=0因此，“样条曲线”在每个子区间可近似认为是三次多项式。通过此数学建模案例可以让学生体会三次样条的基本特征：分段三次光滑，整体二次光滑。
总之，在数值计算方法教学中融入数学建模思想，不但搭建起数值计算方法知识与应用的桥梁，而且使得数值计算方法知识得以加强、应用领域得以拓广，在推进素质教育和培养创新能力上将会发挥重要的作用。
参考文献：
[1]丁素珍，王涛，佟绍成.高等数学课程教学中融入数学建模思想的研究与实践[J].辽宁工业大学学报，2008，10（1）：133-135.
[2]曾国斌.试论数学建模与高等数学教学[J].湖南理工学院学报（自然科学版），2008，21（3）：92-94.
[3]何莉.在高等数学教学中培养学生数学建模能力[J].科教文汇，2008，68.
关键词：数值分析；数值实验；数学建模
数值分析是一门与计算机使用密切结合的、实用性很强的课程。它内容丰富，涉及数学分析、代数、方程和泛函分析等诸多学科，研究方法深刻，有自身严密的科学系统。科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为实验和理论并列的一个不可缺少的环节［1］。所以数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其他学科的联系十分紧密。那么在平时的教学中，如何取得良好的教学效果呢？本文从以下几个方面进行探讨。
一、数值分析课程的教学特点
与其它纯数学理论课程相比，数值分析除了具备数学的高度抽象性与严密科学性的特点之外，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。具体来说，这门课程具有以下的教学特点：
1.知识面跨度大［2］
数值分析是数学与应用数学、信息与计算科学和统计学专业的必修课程，它广泛运用多门数学学科的知识，内容包括数值逼近、数值积分、线性代数方程组的直接解法和迭代方法、非线性方程组的计算方法、矩阵特征值与特征向量的计算、常微分方程数值计算等，涉及数学分析、代数学、微分方程、泛函分析等众多数学理论。
2.有可靠的理论分析［2］
能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。
3.注重理论与应用的结合
与传统数学课程强调理论分析和逻辑推导不同，数值分析课程更注重运用这些理论构造适合计算机执行的数值方法，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。数值分析主要研究那些在理论上有解而用手工无法计算、必需借助计算机求解的数学问题。它的许多理论与方法本身并不是数学学科的产物，而是以“计算”为目标发展起来的。
二、教学体会
针对数值分析课程的特点，笔者认为在教学中应注重以下几个方面：
1.教学方法上注重数值思想的传授
计算方法这门课程最主要阐述的思想就是“近似计算”的思想。在实际的计算过程中，有许多问题的计算量非常庞大，简单的笔算费时费力，借助计算机可以快速解决这些问题。但由于计算机本身位数的限制，以及其它误差影响，只能进行近似计算。
（1）“误差分析”思想。由于是近似计算，那么就存在一定的误差，所以在计算过程中要分析误差、控制误差和比较误差，只有控制好误差才能找到好的近似值。误差是衡量近似计算结果好坏的一个标准，例如，在求解线性方程组直接法时，通过误差分析可以确定方程组是病态的还是良态的，只有良态的方程组才能保证解的准确性。通过分析误差可以判断算法的稳定性、收敛性及收敛速度。由此可见误差分析是非常重要的。
（2）逼近和近似思想。函数逼近是数值分析方法中的主要内容之一，许多数值方法都依赖于函数逼近的思想。如，各种插值方法、数值微分和数值积分、微分方程数值解等等。函数逼近中常常采取的各种近似，利用插值函数对数值近似处理，让学生意识到数值分析课程不是在简单地做数学练习，而是在训练通过对原问题的分析，如何利用已有的数学知识和工具去逼近和近似原来问题的解。逼近和近似思想作为一种全新的思维方式，它使学生认识到：不能解析或精确求解问题并不可怕，可怕的是不会和不敢利用已学数学知识去近似、简化原来的问题，从而获得原来问题的近似解答。
（3）“离散化”思想［6］。把求连续变量问题转化为求离散变量问题，称为“离散化”。一个连续的数学问题要实现上机计算，必须先进行离散化。在工程计算中，常常需要求解连续性问题，比如求微分方程的解。一般而言，微分方程很难找到解析解，所以数值求解微分方程是计算方法中的一个重要的内容。数值求解微分方程并不是依靠计算机给出微分方程的解析形式，而是依靠它近似给出微分方程在指定点的函数值。在引人离散化思想对问题离散后，可以采用各种数值方法来求解各点函数的值。通过离散化思想，原来的连续性问题变成了一个离散问题。离散化思想是数值计算的一个基本思想，现有的数值计算，几乎完全依赖于对问题的离散化解决。离散方法一直是数值分析研究中一个很重要的方面。
（4）“迭代”思想［5］。迭代是计算机中重要的概念，也是数值分析方法中的重要的概念。在数学建模过程中，对结果可能性的猜测可以在很大程度上帮助我们在建模方向上进行选择，使我们少走许多弯路。由于迭代方法大都只有有限的收敛区间，所以如何利用已有的信息对解进行猜测是很重要的一点，这依赖于学生在实践中能够综合运用数学分析理论和各种方法的经验。许多连续问题在转化为离散问题后，利用迭代法可以求解离散问题。
2.多媒体课件与板书相结合的教学手段［3］
使用多媒体教学方法，能增大教学容量，提高教学效率，有利于解决重点和难点问题。多媒体教学可以在一定程度上突破时间和空间的限制，充实直观内容，能够较彻底地分解知识技能信息的复杂度，减少信息在大脑中从形象到抽象，再由抽象到形象的加工转换过程，充分传达教学意图，并可以通过计算机的丰富表现手段突出教学重点。如，龙格现象可以用屏幕动态的显示在哪个区间收敛，使用多媒体教学可以帮助教师在课堂上根据学生的信息反馈，进行现场分析和答疑，以人机对话方式灵活方便地进行启发式教学。同时，精彩的多媒体课件也能激发学生的兴趣，提高学生的主动性。
