时间：2023-06-19 16:18:40
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学思维的主要类型，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
高中数学考试是检验学生数学学习效果的常用方式.通过分数的高低，了解学生的知识掌握程度.错题集的使用，对于提高学生数学学习效率、寻找学生的知识漏洞有明显的促进作用.下面主要立足于对高中数学错题集的分类使用、存在意义以及操作方法进行简要介绍，促进错题集在高中数学学习中的广泛使用.
一、错题集的种类划分
高中阶段数学课程的检验方式主要以随堂考试为主，通过分数的高低简要判断学生对课程内容的掌握程度.错题集的操作形式就是在作业中、在考试中产生，通过将学生每一次的错题加以归纳整理，引导学生在对错题的定向研究中寻找自己的知识漏洞，帮助学生学习.依据操作方式的差异，高中数学错题集可以分为以下几类. 1.以时间线索为主导的错题集.主要是针对学生在高中数学学习不同阶段的错题收集.这种类型的操作方式，主要是将学生的错题进行全面整理，但会面临主题不突出、缺乏系统性的弊端.2.以课本章节为主导的错题集.该类型的操作方式，以课程章节为主导，相比较于时间型的方式更具系统性，在分类整理中具有承上启下的作用，帮助学生进行新旧知识之间的无缝对接.3.以错题类型为主导的错题集.这种分类方式主要以错题的原因为线索进行整理.比如说，粗心大意与知识点不理解的分类，帮助学生快捷地弥补知识漏洞.这种收集方式，主要是立足于对时间型与课本章节主导型为基础的操作分析，使用更加方便，一目了然.
二、建立高中数学错题集的意义
建立高中数学错题集，对提高学生的学习效果具有明显的现实意义.
首先，错题集是提高高中数学学习效果的指导方法.通过对错题的整理分析，帮助学生明确自己的思维特性，了解常见的错题形式，对于纠正自己不恰当的思维方式有直接的指导作用.同时，在对错题的分析中，可以提高学生认真审题、了解题目意图、分析推敲等能力.
其次，建立错题集是帮助学生对数学课程查漏补缺的重要形式.在多次的考试后，倘若学生没有对错题进行及时地归纳整理，会随着时间的延长导致学生遗忘犯错，以至于学生出现同一类型的错误多次重犯的状况.建立错题集，能够弥补这一漏洞.在错题的整理中，学生形成对数学课程学习的参考依据，在二次检查中查漏补缺，提高解题能力.
最后，错题集是帮助高中学生寻找数学学习规律的重要参考依据.建立错题集，能够帮助学生了解重点内容，并进行有针对性的课后复习，寻找数学课程的学习规律，在化繁为简的过程中简化解题思路.同时，建立错题集，节约了学生的学习成本，避免了单纯的题海战术所带来的压力.在对错题的集中复习中，提高学生的数学学习能力.
三、错题集在高中数学学习中的具体应用
在高中数学学习过程中，学生应对普通的数学错题进行详细摘录，记录错题的原因，在对错题的再次解析中强化自己对错题的理解能力，巩固不够扎实的知识点.高质量的错题集，需要对错题的原因、思维盲点进行仔细分析，并且在旁边批注，避免下次再犯同样的错误.对于叙述性较强的题目，学生不要花费大量的时间在题目的抄录上，也不要为节省时间而省略对该类型题目的整理.学生可以让家长帮忙抄录题目或者在复印店进行题目的剪贴，将关注重点放在对该类型题目的分析理解上，在对解题思路的推敲中实现对该类型题目的掌握.学生要尽可能地将高中数学错题集进行分类整理，在题目的系统分析中提高学习效率.对错题进行盲目的摘录分析，会因樾畔⒆柿系姆痹佣失去方向，所以在错题集的收集整理过程中需要重视对系统性、科学性的把握.学生可以依据时间线索，课本章节线索，或者采用错题类型的方式进行错题整理，在结构性的把握中提高后期复习效率.另外，错题集整理是一个需要学生长期坚持的好习惯，热衷于一次两次的错题整理对于学生的学习没有意义，需要在长期的坚持中体现错题集整理的学习优越性.同时，学生要注重对自己心理的调节，不要因为错题太多失去整理兴趣，也不要因为错题太少忽视整理意义，而要在心态的调节中培养良好的学习习惯.
总之， 在高中数学学习中运用错题集的目的是帮助学生对知识进行温习和回顾，使学生掌握科学的学习方法，养成良好的学习习惯，对知识做到查漏补缺，构建完整的数学知识体系.高中数学教师要认识到错题集运用的价值，指导学生掌握整理错题集的方法和技巧，组织学生进行分析分享和交流，鼓励学生在整理错题集的过程中做到坚持不懈.只有这样，才充分发挥错题集的作用，提高高中数学教学效率.
关键词：小学数学应用题教学障碍策略
一、传统的小学数学应用题的教学障碍
受到传统的教育理念以及过去的课程教学理论的影响，多年来，中国的数学应用题的教学方法模式、呈现的方式、课程内容的体系以及价值上的定位，都相对没有出现较大的突破。传统的小学数学在应用题上的教学，一般是对相关条件进行简单化或者纯粹化的实际的问题，或者是对这些实际问题的数学模拟。传统的小学数学在应用题的教学中，往往已经把问题转化成为纯粹的数学框架，然后问题以及条件都经过相关的筛选，所以这些问题的条件结构不存在任何的矛盾性，而且条件也是相当完备的，这样就导致了正确的答案也必然只有唯一的一个。所以，对于小学的数学应用题的传统教学，最大的特点就是和现实生活的脱节，影响了小学生形成综合的能力。实际上，传统的小学数学应用题教学过程之中存在的教学障碍和问题主要有以下的一些状况。
（一）应用题呈现的形式单一化
当前，小学数学的应用题教学在呈现的形式上相对单一化，并且结构较为封闭。虽然在编撰相关的小学数学教材的时候，往往充分地考虑到小学阶段学生的认知水平以及识字的水平，而且相对而言，小学低年级阶段的数学应用题的呈现方式，主要还是以表格或者图画的形式为主，而从小学中年级的阶段开始，很多小学的数学应用题主要都是使用文字形式来进行表达和述说，成片累牍的大段描述，很大程度上打击了小学生对于小学数学应用题的学习热情。而且很多传统过得数学应用题的编写，往往是要求的条件十分充足，并不多余，而且形成的答案也往往是唯一的。小学的数学应用题在结构上相对封闭，追求完备性也就让小学生在解决应用题的时候，容易形成思维上的惯性。
（二）应用题的教学知识与时代脱节，忽视逻辑化
当前的小学数学应用题教学，特别是设置编写数学应用题的时候，往往和时代的现实状况相互脱节，特别是很多小学生都不熟悉，甚至是过去时代的内容都仍然存在小学数学的应用题之中。一部分的数学教师和题目的编写者，在教学和实际编纂题目的过程当中，存在一定的惰性，导致一批题型陈旧的数学应用题题目无限循环使用，导致了小学生在解答数学应用题的时候，要碰到一些根本和时代脱节的内容。
而数学应用题的教学过程之中，忽视逻辑化的教学，导致学生的思维能力容易趋向于单一。数学应用题对于学生的思维能力的培养是非常重要的，过去很多小学的数学教师也在这一个方面积累了非常丰富的经验，但是应该说，学生的思维能力的培养，应该更加注重其专门性的思维能力，如逻辑化的思维能力，或者发散性的思维能力，这些都是过去在小学数学应用题教学时候所忽视的。
（三）应用题的教学过分类型化、封闭化
不同出版社出版的小学数学教材，在应用题板块的教学内容、编排上面，仍然是存在一定的差异的。应该明确的一点，就是数学的应用题的分类只是作为数学教师的参考，特别是作为一种教学上的依据，不过一部分的数学教师在数学应用题的教学过程当中，就往往会把这种模块化、类型化的思维灌输给学生。一部分的数学教师喜欢人为去划定数学应用题的类型模块，每一种板块都会分出几种类型，热衷于让学生去记忆公式，这样学生并不会掌握分析的方法，而只是在套用公式。所以，这样过分类型化，会造成学生知识无法产生有效化的迁移，而对实际问题的解决更加无从谈起。
二、小学数学应用题教学策略
当前，学习小学数学应用题的学生，很多都感觉到数学应用题比较难学，数学教师也感觉应用题教学是一个教学的难点，应用题成为了一个亟需攻破的教学堡垒。新的课程标准颁布之后，中国的小学数学应用的教学改革也必然要走向一些新的尝试阶段之中，并且要以解决问题作为教学的核心，小学应用题的教学将会解决更多的教学障碍，提升学生的综合素质。因此，对于小学数学的应用题教学障碍，笔者提出了下列的解决思路。
（一）对应用题的设计要趋向于开放化
数学教师可以考虑设计一些结构上不够完备的数学问题。比如，数学教师在设计数学应用题的时候，可以考虑设置一些条件不够充足的应用题，让小学生在解答应用题的时候可以自己进行分析，然后捕捉到缺乏的条件，自己进行调查并且解决。这样可以培养小学生搜集并且处理信息的能力。
而设计出一些数据上有一定盈余的应用题也是一种方法。设计出数学条件会有过剩的数学应用题，这就要求小学生在解答应用题的时候，要做到对数学应用题的准确判断，并且进行合理化的取舍，从而培养出学生对于实际问题的解决能力。
或者考虑设计出一些信息较为杂乱的数学应用题，让学生在杂乱的题目条件之中进行梳理，让学生能够进行筛选而且解决，从而让学生能够增强出更多的综合素养，提升综合能力和兴趣。
（二）对基本的解题策略的引导
基本的解题策略要包含以下一些要素：首先，是对学生的收集信息的能力进行引导。学生要更清晰地对这些已知条件以及所需要的条件进行收集，综合起来之后再继续拧解题。其次是对于数量关系的分析能力，这一方面教师要注重不要仅仅将这一项能力作为工具传授给学生，而是能够在教学过程当中，示范性地运用这个方法，让学生能够学习到这种方法，对这个方法心中有数。其次，是对于解题方法的摸索，特别是解题的步骤，对于解答问题能够分成几个部分，形成流程化的思维，这是需要教学上进行持续的培养和训练的一个要点。
学生使用数学方面的知识对实际的问题进行解决的时候，第一个步骤就是要将最为有用并且全面的信息从纷繁复杂的实际问题之中抽丝剥茧出来，抽象并且建构成为数学化的模型，然后再去运用一些数学方法对这个模型求出正确的解答或者是近似的解答，最终回归到现实问题当中去检验。
参考文献：
关键词：高中数学；数学课堂；变式教学；案例解析
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）04-205-01
在本文中主要是针对数学教学中一些普遍的问题进行变式教学，通过变式教学的效果与传统教学效果进行比较，在其中发现变式教学的优越性。教师应该对所要进行的课题进行精心的设计和变式，一步步的引导学生在一系列的变化中发现问题本质的不变性，在本质不变的前提下探索变化的事物规律，从而不仅牢固的掌握到所学的知识还能不断提升自身的数学思维能力。
一、高中数学课堂变式教学的必然性
1、新课堂教育改革的需要
随着国家对教育界中提出新课堂教学改革，在高中教育中不断的进行了翻天覆地的变化。国家的教育水平是国家今后在国际中发展的基础关系这国家的未来。我国学生在进行基础教育的阶段基本上大多数时间都是在课堂中度过的，因此课堂教学对学生的成长发展具有很大的影响，在新课标的课堂教学中进行变式教学突破传统教学显得尤为重要。
2、当今社会对人才培养的需要
现代化社会对于人才的需要非常迫切，但是由于社会在不断发展，要求适应现代化社会的人才类型也越来越复杂化，学生在进行基础教育的过程就是为今后成才奠定基础。学生不仅要注重知识的积累更重要的是要注重自身全面发展，培养学生各方面全面发展就必须在课堂教学中转变教学观念，进行变式教学，不断提高学生创新思维的培养，培养出适应现代化社会发展需要的人才。
二、变式教学案例解析
1、“同角三角函数基本关系式”的案例
在这个案例中首先是明确教学的目标，教学目标是要通过学生猜想出两个计算的公式再运用数形结合的数学思想让学生了解到原始公式的得来过程，在推导公式的过程中理解同角三角函数的基本关系式。进行这类教学目标的大致过程基本为“培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式”。让学生在大致掌握到基本的公式和解题思路后通过一系列的练习训练和变式练习来提高学生的思维能力和解题能力。
在进行变式教学中首先教师要针对同角三角函数相关问题进行提问如：任意一个角α的三角函数数值的定义是什么等，通过此类问题的提出教师再组织学生成立一个讨论小组，并适当的对这些小组进行逐步的引导，逐渐得出证明同角三角函数的两种关系式。在讲解同一题目时教师能够通过这题的深刻讲解让学生首先掌握到相关的知识点，再针对同一问题不断的进行相应的变式，通过变式不断转换问题，让学生在转换的问题中不断运用所学到的相关知识进行解答，在解答过程中逐渐了解到问题的本质是没有变的，变的知识问题的形式，掌握到了相关知识点无论问题怎么转变都能够通过相关的知识去解答。
2、“已知解析式求函数定义域”的案例
在此案例中数学教师主要是通过教授学生掌握好函数定义域的球阀，主要是分式函数、根式函数并且理解函数定义域的集中常见的类型。在教学过程中教师通常会发现学生对于这类问题中往往会出现计算错误，集中函数类型的定义域定义理解不清楚等方面的问题。教师在针对此类问题中，对于这个知识点的学习首先引出相关的问题，在相关问题提出后再结合实际的例题对学生进行详细的讲解，首先要学生明确什么是函数的定义域这一概念“使得函数解析式有意义的所有实数x的集合，是函数的定义域”。掌握到函数定义域概念后能让学生在学习过程中不至于将知识点弄混。
教师在针对函数定义域解析的问题中首先讲解一道涉及面较广的函数定义域解析例题，在通过对学生的详细讲解后让学生初步对定义域的求解过程和不同类型定义域求解方式都有一定的掌握再通过同一道题进行相应的变式分析，让学生在变式过程中通过不断的练习慢慢理解不同类型的函数定义域应该采用何种解题手法去解决。这种变式的教学方式不仅能够节省教师的精力和时间，还能让学生在有限的教学课堂中增加练习的力度，在充分的练习中巩固当节课所学到的知识，提高教师的教学质量和学生的学习效率。
总结：高中数学在传统的教学模式中无法有效的提高学生的数学思维能力，对于这种模式中培养出来的学生不能完全适应现代化社会对于人才类型的需求，为了响应新课标的要求和现代化社会对于人才的需求在基础教育过程中教师要不断的改善教学方式，符合现代化教育理念的发展，在高中数学课堂教学中实施变式教学，通过变式教学的优势逐渐培养学生的数学思维和各方面能力的培养，完善我国基础教育的教学体制。
参考文献：
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）09-184-01
在学习数学课程时，有效地利用习题，对学生在课堂上独立地、积极地进行认识活动是很有助益的。这些习题是使学生掌握系统的数学基础知识、技能和技巧的最重要的手段，又是学习数学过程中教学活动的重要形式，还是发展学生数学能力的手段。
一、习题在数学教育中的地位和作用
现在，在数学教学实践或对具体方法的研究中，谈及习题在中学数学教学中的作用和地位时，通常指的只是教学生解题这一方面。一种批评性的分析（这种分析过去和现在对于在数学教学中如何运用习题的教学法研究，一直有着一定的意义）表明：迄今为止，解一定类型的数学习题时，或者仅突出数学教学的局部目的，或者只作为让学生自觉消化教学大纲所列内容的一种手段。仅仅在个别情况下（基本上是课外小组或专题讲座上，或在全班性或全校性的一些加深内容的数学学习上），习题才明显地作为一种发展学生的数学水平、培养他们的求知兴趣和自觉性，并发展学生数学能力的手段，同时还是培养他们的辩证唯物主义世界观和个人道德品质的手段。
因此，数学习题在传统的教育体制中，在大量数学教学实践中，它对发展学生的数学水平所具有的作用和地位是第二位的，辅的。它的辅地位尤其可以明显地从长期地把利用习题过程作为测验和评价知识的一种手段中看出；传统教学又把习题作为测验和评价实际数学知识、技能和技巧的主要手段，而几乎不用来测验其他方面的数学发展水平和思想教育的因素。
二、当前中学数学习题系统的主要弊端
这个问题的完善解决要求有一整套安排有方的中学数学习题系统，因为现在中学数学教科书和辅助材料上给的习题系统不能很好地适应现代教学、教育和发展目标，而在教学中利用习题的方法，也不能全部反映学生解题的各种可能性。数学教学过程中如何配置习题这个问题，至今没有得到完满的解决。不论是习题内容，还是习题的目的，或者是为了实现某一教学目的而安排的必作题或选作题的数量，或者（仅就形式而言）习题总的系统安排，都解决得不理想。
1、追究习题内容及解法的公式化
这反映在以下各个方面：教师狭隘地理解数学习题在教学过程中的作用和教学意义；总是让学生尽可能多地作题而影响教学质量；过分地注重解题的步骤和格式，却忽视解题过程；大量习题仍侧重于培养当前实际上几乎用不到的，或即将被自动化手段所代替的一些技能技巧；以传统的作法安排习题、叙述习题的条件以及写出他们的解答，等等。
2、解题的讲授方法及通过习题讲授数学的方法不完善
其表现如下：更多是用示范的方法教学生解题，而缺少教师有的放矢的工作，以培养学生对解题过程进行评价并检验结果的能力；把解题的通用方法看作是不可改变的偶象；利用习题的主要目的只是为了巩固和复习学过的内容；不论是测验或独立作业都带有狭隘的检查性目的；对中学数学课的每道题的教学意义缺乏明确的标准，而且向学生提供的习题的数量不足以保证达到教学目的，如此等等。
3、配置及解答习题不符合数学思维的合乎规律的发展
这反映在：中学数学课缺乏。些题目，借以培养学生准备好参加以现代化生产（合理化与控制、管理、发明等）为特点的实践活动，即一些具有创造性特点的活动；中学数学课还缺少这样一些习题，它们的解题过程有可能培养中学生的重要思维技巧：如抓住实质、概括、分析、模拟、进行思维实验，等等；运用习题仅仅是为了测验学生的实际知识，而不是为了提高他们的数学发展水平；中学数学习题的类型太单一化；如此等等。
三、数学教学中习题的合理设计
1、习题的重点放在培养学生应用知识的能力
根据先进教师的工作经验，数学教学法（其他任何课程也同样）的革新首先表现在基本侧重点不是放在让学生死记教材上，而是放在深刻理解、自觉和主动积极地掌握教材上，放在培养学生在学习实践中独立地和创造性地应用这些知识上。
我们来分析下面这道题：如果xyz+xy十yz十xz+x十y十z =1975，试求出自然数x、y、z。此题的解可通过对1976这个数进行因数分解得到（并同时把等式左边增加1）：（xyz+1）（xyz+1）（xyz+1）=23×13×19。利用x、y、z都是自然数这一条件，不难找出各个解。解这道题不需要学生掌握数学大纲内容以外的知识；同时此题针对的是深刻理解已学的内容和创造性地运用已学知识的能力。
2、习题的目标取向培养学生创造性的数学思维
在心理中，思维被看作是解题活动。虽然思维并非总等同于解题过程，但是有理由断言，思维的形成最有效的办法是通过解题来实现。正是在解数学题的进程中，可以在达到数学教学的直接目的同时，最自然地使学生形成创造性的数学思维。学生数学思维的正确发展本身要求在中学数学课中必须具备一个安排得当的习题系统，这些习题的配置和解答过程，至少要部分地适应日益发展的数学思维的特点。
【关键词】 中学数学思维；思维障碍；概念剖析；对策研究
中图分类号：G423.07
思维障碍研究是国际上新兴课题，小学低年级数学思维障碍成为制约教学水平的瓶颈。反思这一现象，进一步推进数学教学创新，需深入研究学生数学思维障碍，澄清成因有所突破。
一、数学思维障碍研究的理论基础
思维指人脑对客观现实的反映，它是一种基于感知的理性认识。数学思维最贴近于抽象思维。数学思维具有概括性、形式化、条理性、统一位和创造性等特点。思维障碍指在问题解决中由于学生不具备良好的思维品质而造成不能顺利地解决问题，从而造成的思维中断或错位。数学思维障碍指的是思维在量和速度方面发生异常。也就是学生在数学学习过程中，由于各种原因，如概念模糊，问题没弄清等使思想受阻，影响了学生思维进行。思维障碍决不仅仅由于知识欠缺，在数学思维中，还会有些心理因素在阻碍学生积极思维。
小学低年级数学思维建立在对数学基本概念理解的基础上的。在小学低年级数学学习过程中，经常有这种现象发生：第一，学生听老师讲课，听得明白，但自己解题时却无从入手；第二，老师把某一问题分析完，学生才感叹如此简单自己又黯然失落。原因一个是小学生本身的数学思维障碍问题，另一个是小学生自身对于教学这种模式的一种适应。这都构成了小学低年级数学思维障碍。我们研究小学低年级数学思维障碍的理论依据是：建构主义的数学学习观，认识论和心理学。以“元认知理论”、“建构主义学习理论”为支撑性理论。
二、小学低年级数学思维障碍类型
小学低年级的数学思维任何一个环节都可能出现思维障碍，所涉及的各种因素都会导致思维障碍。具体说来，这一类型障碍，可以概括地为数学思维品质障碍和数学观念层面的障碍及智力因素三个分类。
1.数学思维品质障碍
数学思维品质是衡量数学思维质量的重要指标，它决定了人们的数学思维能力。数学思维品质具有广阔性、灵活性、深刻性、批判性等特点。对于小学低年级而言，数学思维品质一旦缺乏，可造成一系列思维障碍。
2.数学观念层面的障碍
数学观念是联系数学知识与数学能力的纽带和桥梁，数学观念是数学思维的核心指导思想，数学观念作为思维动力直接推动了思维过程。数学观念的缺失，造成的数学思维的障碍往往是多样的。
3、智力因素类型障碍
智力因素类型的障碍一般只在数学特困生身上出现，因而这类问题并不普遍，相关的研究也非常少。小学低年级在智力发展不完善阶段可能存在的感知能力障碍，包括感知的整体性差、感知的恒常性差和感知的选择性强，在生活上还常常丢三落四。
三、小学低年级数学思维障碍成因及转化策略
小学低年级数学思维障碍成因是多种的，具体来说，主要有两个方面。一方面，学生失去数学学习兴趣。兴趣是人的特有心理特征，兴趣可以培养，可以训练，可通过刺激来形成。惧怕数学知识的应用。数学知识在现实生活中得不到运用，或不会运用，是数学学习者的失败，也是教师教学工作的失败。另一方面，教师教学模式存在的问题。只教知识，不教方法；只重微观点，不想宏观面；只重套用模式，不重数学思考；对改变教学方式和提高教学效益的关系把握不准。
因此，针对小学低年级数学思维障碍的成因。我们应该从如下几个方面入手加以解决。
第一，加强数学品质与观念的训练，教学过程设计以学生为主体。数学活动的多样性和动态性决定了数学知识的复杂性。加强数学基本概念的教学，提高思维的免疫力。另外，教学过程就是在教师指导下学生通过自己的智能活动，去探索，并在探索中进一步发展智能的过程。根据教材文本和学生实际，巧妙设计问题情境，让学生在教师的帮助下，步步深入探索。
第二，激发学生斗志，培育学生的学习毅力与意志。小学低年级数学思维障碍产生的重要原因就是思维的钝化。教师要重视情感的投资，把密切师生关系，激发学生的学习兴趣作为矫正学生对数学恐惧心理和厌烦心理的突破口。具体地说，就是让学生心中充满期待，有愉悦感、成功感等体验。学生在新知识的形成与发展过程中，最大的心理障碍是新旧知识相互产生的干扰。这往往导致学生学习受挫，此时需要教师对学生进行抗挫与求胜心理辅导。
第三，进行教学创新策略创新，培育学生思维的良好品质。在教学中，创设富有趣味性、探索性、延伸性的问题情境，帮助学生从自身的生活经验及客观事实出发，在研究现实问题的过程中学习和理解数学，让学生逐步学会从数学的角度看待处理日常生活及社会生产中的现象和问题，让学生亲身经历各种问题的应用过程，从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题策略，只有这样才能发展学生数学的应用意识和增强学习兴趣，也才能提高学生学习数学的各种能力。
总之，在教学中，教师要认真分析数学教材内容，深刻挖掘蕴含其间的数学思想方法，要特别重视小学低年级数学中基本的数学思想，探索有益于实现本课题研究宗旨的课堂教学模式，这促使我们在课题实践研究以“思维导引线”为突破口引发学生的思维发展，培养思维能力，真正使数学思维方法成为学生由知识转化为能力的纽带，形成良好数学素养的桥梁。
参考文献：
[1]庄宏芳.谈数学思维障碍的成因及突破[J]数学教学通讯，2005.7
[2]苏帆.小学解决数学应用问题的认识障碍研究综述[J]桂林市教育学院学报，2000
[3]周学祁.“求解性思维”的障碍[J]小学低年级数学学习，2003
关键词：初中数学；方法；思维；经验
一、当前初中生数学解题思维中存在的问题
1、思想硬化，解题只会生搬硬套
从初中数学的教科书中，我们不难发现，大多数的知识点都是通过例题的形式向同学们讲授，相应的为了巩固同学们对于这个知识点的理解和记忆，会在课后习题或者是在习题集上出一些与例题相类似的题目给同学们做。这样固然加深了同学们对于这个知识点的记忆，可是，另一方面，它也给同学们形成了一种思维定势，让同学们感觉以后要是遇到这样的题目就应该这样做。这种思维定势，只会让学生的思想僵化，解题也只会生搬硬套，不会在做题时加入自己的思想，自然对于这个知识点的理解也就不会很深刻了。
2、解题思路单一，不会举一反三
现在很多的初中生，都只是一群爱玩的没有长大的孩子，可是，老师和家长却总是逼着他们把所有的时间都花在学习上，这样只会造成一种反效果。在数学上，孩子们大多只是想要完成老师布置的家庭作业，只要题目做对了，就万事大吉了。很少有学生会真正的为了学习数学而学习数学，仅仅是为了应付老师和家长而已。对于这样的情况，他们在做数学题的时候，就不会想太多。只要能做出题目来，就可以了。而解题思路，就是课本上例题的模式。他们不会再想要用另外一种方法来解答这个题目。可是，如果作业变成了另外一种形式，跟例题不一样了，虽然只是改变了一点点，可就是不会做。这就是一种很明显的弊病，解题不会举一反三。
3、题目做过就忘，不会总结经验
初中生的思维不成熟，他们处于一种被动的学习状态，简单来说，就是模仿，他们很少会独立思考一些什么。对于做题，他们也大多只是模仿书上的例题。而解题思路，也只是沿用老师教授的固定的思路或者相关参考书上已总结出来的而已，很少有同学总结自己的做题经验的。这个题为什么我要用这个方法，为什么这个题不能用那种方法，为什么这个题这样做会错等等问题，他们很少去思考。做的题目虽然多，但没什么实际效果，因为做题的过程中，没有融入他们的独立思考，也就没有什么印象，做完之后过不了多久就忘了，自然就没有什么收获。
二、改善初中生数学解题思维的几点建议
1、增加题目类型，避免产生厌学情绪
为什么会有那么多初中生不愿意学习数学呢?初中数学难是一个原因，而另一个原因就是题目的类型太过单一。除了奥赛等竞赛之外，同学们做的习题集或者课后习题上的习题大多都是同一个类型，在做了两道或者三道之后，他们自然就不想再做后面的题了，感觉没什么意思。所以说，在做题时，尽量挑选题目类型较多的参考书，这样也能有效的避免他们的厌学情绪，增加他们对数学学习的兴趣。
2、改变学习习惯，总结解题经验
在开始学习初中数学时，同学们就应该养成良好的学习习惯。对于不会的题，不能放任不管，应该赶紧去问老师或者同学，这样会对这种类型的题或者这个知识点更有印象。而做错了的题，也应该仔细分析出错的原因并加以改正，最好是能准备一个错题本，将其抄录在上面，写好错解和正确解法，表明错误的原因，下次再看时就一目了然，这样的错误也就不会再犯了。
3、发散思维，尝试一题多解
碰到好的题目时，要多思考一个问题：那就是――这个题是怎样提出来的?‘学生在遇到一个相类似的题、或比它有所改变的题、或者有所提高的题。这样下次碰到这一题或与它相类似的题时你就能很容易的做出来了。这也是训练发散思维的好方法。也是发明家最重要的思维方式了。要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题人手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程，两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。
4、在学习数学时要养成三多的好习惯
(1)多想。主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。独立思考是学生必备的能力，要边听边想，边看边想，边做边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题。
(2)多做。我们说反对题海战术，不是说就可以把数学题束之高阁了。做习题的目的首先是巩固知识，其次是初步启发灵活应用知识和培养独立思考的能力，最后是融会贯通。
关键词：小学数学；课堂教学；等待行为；高效课堂
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）32-0074-03
在课堂教学中，等待行为是有目的性的，是为了期待预设的教学情境、教学效果的出现；是让教师更理性掌控课堂教学节奏，对学生学习状态进行及时评价，从而调整教学行为，有效发挥学生学习潜能的教学行为。
一、数学课堂“等待行为”的价值
课堂教学中，不少教师为了完成教学进度，会根据当堂课教学内容的容量，来确定每个教学节点的教学时间，这往往就忽视了学生的学习需求，忽视学生对新知的自我感知、理解、构建和熟练掌握所必需的等待时间。当学生对新知理解不透彻，对问题不能及时做出回应时，教师或是让其他学生回答，或是自行出示结果，剥夺了学生思考的时间，课堂中师生交流的质量明显降低。究其原因是教师忽视了学生在课堂教学中的主体作用，数学学习是学生在教师指导下对数学知识的自我构建，要实现对数学知识的理解，必须给予学生一定的自我思考时间。
实践证明，课堂教学的等待行为具有以下优点：①促使更多的学生投入对问题的思考；②学生对问题的思考时间更充分，思考深度更深刻；③能够促进学生之间的相互交流，激发学生更积极地投入学习；④教师起到指导者的作用，而不是对课堂教学行为的一味包办代替；⑤课堂等待行为使师生能够更温和地投入学习，教师训斥学生的现象变少，教学氛围更融洽。因此，课堂教学的等待行为对师生的课堂教学具有积极的促进作用，学生思考问题时间延长、回答问题时间延长，学生学习主动性和成就感提高，学生不能回答问题的现象减少，学生课堂学习参与率大幅增加，课堂有效性得到全面提升。
二、数学课堂“等待行为”的处理策略
教师的提问与学生的应答之间存在一定的关系，提问之后都应给予学生相应的等待时间。数学课堂等待行为是学生对问题进行思考，自我构建新知所需的必要过程，同时也是对教师教学提问的必要补充。教学中对于一些简单的、难度系数较低的问题，没有必要为学生留出应答的等待时间。但在教学过程中，适度的课堂等待行为更能促进学生对问题的进一步思考，使学生的学习领会更有深度。
（一）根据不同的课堂类型，调控“等待行为”
“等待行为”与课堂教学中的教师提问方式、学生学习方式有关，所以，不同的数学课堂类型，对应的课堂教学等待时间也不尽相同。
1.新授课。新授课中，教学的重点是学生对知识的理解和接受，课堂等待行为主要出现在新知导入、合作探究、交流反馈等几个环节中。新知导入环节，等待时间都比较短；学生对新知合作探究时，面对教师提出的一个个问题，等待时间的需求相对比较多；在交流反馈时，更需要充分的等待时间，让学生交流对问题的思考方法和理解方式。
所以，在新授课的交流反馈教学环节中，要留有一定的等待时间，让学生充分表达对问题分析、思考、解答的学习体验过程。尽可能地让每位学生都能够在等待时间内，根据自身的学习能力、学习方式对问题进行积极有效的思考、解答，避免只提出学生参与课堂学习的要求，而不去真正给予课堂参与的时间。
2.复习课。复习课中，教师要充分发挥学生的主体作用，引导学生回顾梳理、归纳整合主要知识点，将知识穿成串，连成片，做到知识间的相互联系和综合运用。在回顾梳理、归纳整合的过程中，教师要放手留给学生，等待时间要充足，不能包办、满堂灌、满堂问、满堂议。对于重点错题及共性问题，也应以学生自主分析为主，可以组织学生进行小组研讨、合作交流，教师重点点拨易错点、易混点，做到重点突破，但不可面面俱到。
（二）根据不同的提问类型，调控“等待行为”
教师提问分为识记型提问、理解型提问、分析综合性提问和评价型提问四种类型，不同类型的课堂教学提问都与学生的不同认知层次和思维参与程度相对应。
1.识记型提问。识记型问题是数学教学中最基础的部分，主要指数学概念、计算公式、运算法则等基础的数学知识和数学技能，主要考查学生对这些知识的记忆能力，教师提出识记型问题后，学生不需要较长的等待时间就能解答。
2.理解型提问。理解型提问需要学生对相应的问题做出自己的思考、选择、判断，学生对所掌握的知识要能够深刻地理解，灵活地运用，是对数学知识的重新自我构建，是学生自我思维意识的确立，需要较长的等待时间。
3.分析综合型提问和评价型提问。分析综合型问题和评价型问题是数学学习中较高层次的提问，需要学生对多种知识和信息的全面思考与调控，学生的思维投入更深刻、更全面，所以，教师在这两种类型的提问中，应给予学生更多些的等待时间。
数学课堂中的提问类型，一般以识记型的提问为多，理解型的提问次之，分析综合型提问比较少一些，而评价型的提问最少。四种类型提问对应的等待时间也不相同。一般情况下，识记型提问所需要的等待时间最少，而评价型提问所需要的等待时间最多。
（三）根据不同的提问节点，调控“等待行为”
在课堂教学中，教师的等待行为与教师提问行为是相互影响的，教师要根据不同的教学提问节点，有效调控“等待行为”。
1.在提出问题后，教师要适当等待，为学生留有一定量的思考时间，不能搞“闪电提问”。这是数学课堂教学中，教师最需要注重的教学行为之一，也是课堂教学出现最多的等待行为。
2.在学生回答问题后，教师要适当等待，对学生的答案进行合理的延时评价。学生答题后，教师要留有等待时间，让答题学生进行自我反思，同时，也让其他倾听学生对答题结果及时做出思考与反馈，从而使该提问的教学辐射到全体学生，而不是只对答题学生的个体提问。
3.在学生答题出现停顿时，教师要适当等待，为学生独立思考提供时间。对于学生的独立思考，教师要给予更多的鼓励与帮助，不能为了片面地追求教学节奏的掌控而剥夺学生的思考时间，适时地等待更有利于学生智力风暴的形成，有利于学生对学习难点的及时自我思考与突破。
4.在介入学生活动时，教师要适当地等待。数学课堂教学中，为了开发学生学习潜能，往往会组织学生开展合作探究、交流反馈等教学活动，为了不随意地打破学生的思维活动，教师要学会适当地、选择恰当的时机加入学生的合作交流活动。
5.当学生答案出现错误时，教师要适当等待，为学生提供二次思考的时间。学生的学习是对知识的自我认知、自我构建的过程，当学生出现错误时，教师要适当地为学生留出一定的等待时间，引导学生发现错误的原因，思考解题的正确方向，使学生的学习主动性能够得到保护和激发。
6.当学生提出数学疑问时，教师要适当等待，让学生充分表达对数学问题的理解与疑惑。知识源于疑问，学生有了疑问，表明学生对于数学问题进行了一定的深刻思考，发生了数学思维的碰撞，这时教师应耐心地倾听学生的疑问，并予以适当的指导，帮助学生发现解决问题方法。培养学生的问题意识，也是数学教学中的一个重要内容。
（四）根据学生认知水平，调控“等待行为”
数学课堂教学中，教师应根据学生的认知水平，调控等待行为，不然会造成课堂教学的失“真”。例如，有的教师为了体现课堂教学的流畅性，在提出一个问题后，马上就让学生回答，忽略了学生思考所需要的时间；有的教师缺乏教学设计的科学性，课堂问题一个接一个，但问题间的知识联系却是跳跃性的；有的教师未能及时把握学生对知识的理解现状，过高估计学生的现有认知水平，给过高的学习思路或问题，学生的学习主体性就会被虚化为课堂旁听者。教师在数学课堂教学中，要正确认识和把所握学生的认知水平，要恰当地处理好教学预设与生成的关系，调控课堂“等待行为”，从学情出发，真正实现高效课堂。
学生是数学课堂的主人，数学学习需要教师的指导，更需要学生的全身心投入。数学课堂的等待行为的合理运用，有利于学生更积极、有效地投入到数学学习中去。
参考文献：
[1]罗森塔尔.教师期望与学生智力发展[M].北京：人民教育出版社，2010，04.
[2]朱华贤.课堂因宁静而致远[N].中国教师报，2005，7.
[3]加里・D・鲍里厅.有效教学方法[M].南京：江苏教育出版社，2009，123.
【关键词】初中 数学 思辨能力
一、何为思辨能力
思辨能力从字面意思上来讲是思考辨析问题的能力，具体是指分析、推理、判断、解决问题的能力，也是对事物的类别、情况、产生原因等的分析能力。
思辨能力是一种抽象的思维能力，正因为有着这样的特点，才不易被人们掌握和熟练地运用。思辨能力的培养光靠经验观察是远远不够的，必须要有较强的思维和逻辑推理能力。思辨能力在实际的生活中有着广泛的运用，例如：1kg棉花和1kg铁谁重的问题，单就实际生活经验来讲，很多人会不经过思考就快速地回答：“当然是铁重了。”这就是缺乏思辨能力的体现，如果仔细分析可以知道，两者一样重。
从以上问题来看，在对于同一个问题，展开条理有条不紊的分析是非常重要的。不同层面分析问题往往会得到不同的结果。当然，解答一个问题最重要的还是在于说理，说理就是对所做出的分析和结论进行解释和论证，只有具有较强的说服力才能让你的结论站稳脚跟。因此，思辨能力具有分明的层次，清晰的条理，较强的逻辑性。
二、思辨能力的类型
思辨能力的类型多种多样，在解决不同问题时所涉及到的类型也不尽相同，从思考对象的层面来看可以分为数理思辨能力和人文思辨能力，在此我们着重讨论数理的思辨能力和它具有的特征。
我们还是通过一个问题的形式来讨论数学思辨能力的类型，如：我们知道“勾3股4弦5”，这是勾股定理，在直角三角形中两直角边为3和4其斜边必为5，不管我们通过什么样的方法和什么样的思维能力去论证都会得出这样的结果。那么我们用乘法分别乘上等量的数值看是否又成立呢？如，勾6股8弦10，结果验证，显然不成立。那么我们又用加法加上等量的数值看是否成立，如，勾5股6弦7，显然也不成立。经过一系列复杂的分析之后，人们发现“勾的平方加上股的平方等于弦的平方”这样的规律。发现了这样一个规律之后紧接着的就是验证，也就是对这种规律做出严密的逻辑证明，只有经过严密的逻辑证明，才能让人们信服这一规律，让此成为一条无可争议的数学定理。如“哥德巴赫猜想”，现在我们称它为猜想，不称之为定理，就是因为还没有得到严密的逻辑证明。
由此可见，数理的思辨有三个特征：
1.对数理问题进行思考辨析是一个由已知求未知的过程。2.在思考问题之中，解决问题的分析方法和论证结论的方法起着关键性的作用。3.经过严密思考而得出的结论具有无可争议的性质。
三、如何培养和提高数学思辨能力
在明确了什么是思辨能力和数理思辨能力所具有的特征之后，如何培养和提高学生的思辨能力是我们应该研究的重点。
首先，我们要明确什么是数学教学和它的价值？著名数学家斯托利亚尔指出：“数学教学就是数学活动（思维过程）的教学，而不仅是数学结果（数学知识）的教学”。教学价值是教学行为的航标，如果将数学知识技能理解为学生学习基础的话，那么过程与方法则是手段，情感与态度则是催化剂，价值观理应成为核心。只有充分认识数学教学，在教学中充分暴露思维过程，才能够正真把握教学的本质。不讲求思路和过程，忽视数学的解题思想和方法，将结论直接传输给学生，无疑会阻碍学生自身思维的发展和能力的提高，抑制学生的探索、发现、创新精神和思辨能力。因此，只有注重思维过程和解题思想才会培养和提高学生的思辨能力。
其次，在明确了前两点和数学素养的定义之后，思辨能力培养的具体方法就有了一定的雏形，主要有以下几点：
1.利用好数学课堂教学，充分发挥学生的思维能力。初中数学起主导作用的在于老师，当然每个老师都有着自己不同的教学方式，而这种教学方式对于学生来说并不是每个人都适应。因此，老师在合理利用教学资源的同时应该顾及到大多数学生的适应性，不要一味地给学生塞公式定理，可以通过问题的切入来发现一个公式和定理，这样对加深学生的记忆极为重要。
2.通过形象思维和抽象思维的对比开拓数学思维能力的土壤。形象思维是指从具体感知的形象目标出发，通过思考去把握认识对象的思维方式。而抽象思维是从定义概念出发，在思考过程中主要依靠理性推理，尽量舍去形象感性直观的东西，去把握认识对象的思维方式。因此，将二者对比融入解题思想中去会收到意想不到的效果。
[例1]用3、9、6这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？在组成的两位数中最大的数是几？最小的数是几？
分析：该题分三类情况考虑：第一类，如果3放在十位上，那么可以组成没有重复数字的两位数为：36、39；第二类，如果6放在十位上，那么可以组成没有重复数字的两位数为：63、69；第三类，如果9放在十位上，那么可以组成没有重复数字的两位数为：93、96。最后，将得到的六个没有重复数字的两位数，按照从小到大的顺序排列：36
此题主要采用分类讨论的思想进行解决。此类题型的解题方法还可以拓展到三位或者四位数。
[例2]用小数表示下面的价格：
3元8角5分=（ ）元 4角5分=（ ）元
2元5分=（ ）元 6分=（ ）元
分析：由于学生刚刚学习了小数，而小数的概念在教材中只是做了一个模糊的定义，所以学生在理解小数概念时存在一定的困难。此题设计的出发点是考察学生会不会用小数表示物品的价格，解题的难点在于用小数表示物品价格时小数各个部分和元、角、分之间的对应关系。
针对此种题型，设计了如下的解题模板：
只要学生将元、角、分前对应的数字填入空格中，就可以迅速将其转化为用小数形式表示的价格。
下面以“ 3元8角5分=（ ）元”为例，将 3元8角5分前面对应的数字分别填入上面的空格中，很快将其转化为用小数表示的价格形式。
[例3]在里填上“﹥”、“﹤”、“﹦”。
35×1232×15 15×20150×2
63×1818×36 79×4680×46
分析：此种形式的题目在平时的练习及测试题中屡见不鲜。大部分学生一看见此种题目的第一反应就是，马上动笔计算。殊不知，此种题目更多的是考察学生的观察能力和分析能力。如果将此种题目按照计算题去做的话，那就有点小题大做了。下面将题目中的各题逐一进行分析。
类型一：35×1232×15
分析：左右两边的算式都含有相同的单个数字：1、2、3、5，只是数字排列的顺序不同而已，这种题主要采用做差法，将繁琐的乘法运算转化为简单的减法运算，差越小，积越大，这样可以大大提高学生的解题速度。具体做法如下图：
所以，35×12
63×1818×36也属于这种类型。
类型二：15×20150×2
分析：先对左右两个算式进行观察，就会发现左边的算式是两位数和整十数的乘法，右边的算式是三位数（末尾有0）和一位数的乘法运算，针对左右两边算式的特点，可以这样思考：先不看末尾的0，此题就转化为15×215×2，我们立刻就会发现左右两个算式其实就是同一个算式，显然左右两边是相等关系。
类型三：63×1818×36
分析：左右两个算式含有相同的数字18，可以将表面上看是乘法算式积的比较的题目，转化为63和36的大小比较。采用这种方法就可以迅速将此题解答完毕，避免了繁琐的竖式计算。79×4680×46也属于此种类型。
通过以上三种类型题目解题过程的分析，我们不难发现，科学的分析和合理的思考在数学解题过程中的重要性。
通过以上几道三年级数学常见习题的解法探究过程，不难看出小学数学教育不仅仅是传授给小学生数学知识，更重要的是要教会学生如何利用所学的数学知识去处理相应的数学问题。面对同样的题目，不同水平的学生采用的解题策略千差万别，虽然都能将题目的结果做出来，但是隐藏在解题背后的思维方式更多体现的是一个学生的数学能力。
一、基础型练习
基础型练习是指运用填空题、选择题、判断题，这些练习形式，题型覆盖初中阶段所学习的知识点。实践证明，初中学生理解数学概念与定理主要是通过教师的课堂教学获得，如果教师一味单纯地讲基础知识，学生就会感觉枯燥无味。因此，我对基础知识的巩固主要是运用填空题、选择题、判断题进行复习，通过这样的小练习，一是让学生能够对初中所学习的主要知识点进行复习，二是让学生能够运用所掌握的知识点解决一些简单的问题，从而提高学生的学习兴趣，三是可以使学生的数学认知结构得到健康的发展，从而形成准确稳定的数学认知结构。
二、类似型练习
类似型练习是指与例题类似的题型进行强化训练，采用类似题型可以使学生用已有的认知方法去同化新知识，这样在新知识与旧知识之间失去平衡后，学生会以旧的认知经验同化新知识，从而找到新的平衡去掌握新知识。
例1已知：如图AB是圆O的直径，CD是弦，AECD，垂足为E，BFCD，垂足为F。
求证：EC=DF。
例2已知：如图直线MN和圆O切于点C，AB是圆O的直径，AC是弦，AEMN于E，BFMN于F。
求证：（1）AC平分∠BAE。
（2）AB=AE+BF。
评析：例2只是把例1中的EF平行移动到与圆O相切的位置，因此他们的解题思路基本相同，所以是类似型练习。
三、阶梯型练习
阶梯型练习是指题目难度一步一步提高的练习形式，众所周知， 一是学生解答一道题目是需要进行思维操作的，有时在解决问题中，因问题不在学生的认知范围内，故学生无法解决此问题。二是如果问题离学生的认知能力太远，就必须搭引桥把学生的认知能力引到要解决问题的标准上来。三是教学实践表明，由于数学知识自身的内在联系，学生的数学认知能力是不容易发生跳跃式发展的，必须是层层递进，由浅入深，由简到繁，循序渐进，螺旋上升的，因此，设计阶梯型练习，可以使学生的数学认知结构由解决简单的问题发展到解决复杂问题，提高了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
例3解方程
（1）x2=5 （2）2（x+3）2=5
（3）x2+12x-15=0
评析：以上三道小题一步一个台阶，后一个问题可转化为前一个问题的类型进行解答，学生在解此类题时，从最低要求出发，其认知结构不断丰富，最后逐渐建构起解答此类问题的认知结构。
四、提高型练习
提高型练习是指针对班内学有余力的学生而设计的综合型练习。这类学生，如果只做基础的习题，会感到厌烦，久而久之就会失去学习数学的兴趣。因此，为调动这部分学生的积极性，要适当设计一些有难度的练习题，以提高其分析问题与解决问题的能力。例如对于动点类综合题学生往往不知如何获得解题思路，可设计如下练习题以提高学生解答动点问题的能力。
例4如图：在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BDAD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD。
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积。
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q从A出发沿ABC的路线运动且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速度运动，过Q作直线QN，使QN//PM，设点Q运动的时间为七秒（O≤t≤10）直线PM与QM截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2。
①求S关于t的函数关系式。
②求S的最大值。
评析：此题是比较综合的动点题型，动点动中有静，静中有动，动静结合，惟妙惟肖，此题对学生的能力要求比较高，需发现问题中的动态不变性，才能顺利解答此题。
五、纠正型练习
纠正型练习是指在学生完成练习后，根据练习情况进行错误率的统计，对错误率比较高的题目，要分析其错误原因，然后设计练习，从而纠正学生数学认知结构中错误的练习形式。众所周知，只要通过多练习，学生才能内化到自己的认知结构中，因此，在练习中，要对学生做错的题目进行统计分析，然后针对错误情况，分析思维障碍的原因，对症下药。一是练习是发现学生数学认知结构不完善的有效方法，二是针对学生认知结构情况重新设计此类练习题，可以把学生的认知结构重新进行调整使之形成完整正确的认知结构，三是能够提高学生的“双基”提高数学学习能力。
例51-■=
错解：1-■=1-■
评析：造成上述错误的主要原因是没有准确地掌握绝对值的意义，因此导致运算错误。没有掌握法则的原因可以分为以下三点：一是学生没有理解法则，学生要理解法则必须以准确、合理的数学认知结构，如果原有的数学认知结构不合理或有错误，这样在同化新的法则时，就会出现错误；二是粗心造成的组织错误，虽然原有的认知结构是正确的，但在理解新的法则时，需要认知结构的再组织，在重新组织的过程中出现了错误；三是在建构新的法则时所运用的认知图不正确因此产生了错误。
纠正练习如下：1-■0；■-10；1-■=；-1-■=。
六、归类型练习
关键词: 中考数学阅读理解题 技巧 策略
中考数学阅读理解题能较好地考查学生阅读理解能力与日常生活体验,同时又能考查学生获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力,因而一直是近年来乃至今后全国各地中考命题的热点。这类题贴近实际,对促进中学数学教学改革,强化学生的数学应用意识,优化学生的思维品质,提高学生的思维能力,培养学生的个性品质具有重要意义。
一、题型特点
阅读理解题呈现的方式多种多样,有纯文型(全部用文字展示条件和问题)、图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)、表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)、改错型(条件、问题、解题过程都已展示,但解题过程可能要改正)。考查内容可以是学过知识的深入探索,也可以是新知识的理解运用。按题型的特点归纳起来主要有以下两种:1.新知模仿型;2.迁移探究性。这两种类型一般都是在某个知识的基础上,介绍一种新的解题方法、技巧或知识,然后通过阅读理解后再应用。
二、解题策略
这两题类型的基本模式:阅读―理解―应用。重点是阅读,难点是理解,关键是应用。阅读时要理解材料的脉络,要对提供的文字、符号、图形等进行分析,在理解的基础上迅速整理信息,及时归纳要点,挖掘其中隐含的数学思想和方法,运用类比、转化、迁移等方法,构建相应的数学模型或把要解决的问题转化为常规问题。
三、例题分析
我们以两道中考题为例来分析一下解题的一般步骤。
例1.(2007四川巴中)先阅读下列材料,然后解答问题:
从三张卡片中选两张,有三种不同选法,抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合,记作C。
一般的,从m个元素中选取n个元素组合,记作:C
例:从7个元素中选5个元素,共有C21种不同的选法。
问题:从某学习小组10人中选取3人参加活动,不同的选法共有?摇?摇?摇?摇种。
分析:本题属于第一种类型,在理解题意的基础上套用题目中的方法解决新问题即可,令m=10,n=3,仿照例子代入题中的公式即求出有120种。
类似的题目如:(2009广东)将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成a bc d,定义abcd=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式。若x+1 x-11-x x+1=6,则x=?摇?摇?摇?摇。
(答:±)
例2.(2008恩施)如图C为线段BD上一动点,分别过点B、D作ABBD,EDBD,连接AC、EC。已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x。
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长。
(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值。
分析:本题属于第二种类型,解决了前两个问题后,再将这种方法迁移到第三个问题中。
(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小。
(3)如下图所示,作BD=12,过点B作ABBD,过点D作EDBD,使AB=2,ED=3,连结AE交BD于点C,AE的长即为代过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,
则AB=DF=2,AF=BD=8。
四、解题方案
通过以上两例分析可以看出,由于这类题的信息很大,是较新的题型,学生不太适应。因此,为帮助考生尽快适应,我特归纳一般解题步骤如下。
1.快速阅读,把握大意。
在阅读时不仅要特别留心短文中的事件情景、具体数据、关键语句等细节,而且要注意问题的提出方式,挖掘其实质。据此估计是我们平常练习时的哪种类型,会涉及哪些知识,一般是如何解决的,在头脑中建立初步印象。
2.仔细阅读,提练信息。
在阅读过程中不仅要注意各个关键数据,而且要注意各数据的内在联系、标明单位,特别是一些特殊条件(如附加公式),以简明的方式列出各量的关系,提练信息,读“薄”题目,同时还要能回到原题中去。
3.总结信息,建立数模。
根据前面提练的信息分析,通过文中关键词、句的提示作用,选用恰当的数学模型,例如由“大于、超过、不足……”等联想到建立不等式,由“恰好……,等于……”联想到建立方程,由“求哪种方案更经济……”联想到运用分类讨论方法解决问题,由“求出……和……的函数关系式或求最大值(最小值)”联想到建立函数关系,将题中的各种已知量用数学符号准确地反映出其内在联系。
4.解决数模,回顾检查。
在建立好数学模型后,不要急于解决问题,而应回过头来重新审题,一是看看哪些数据、关系还没有用上,用得是否准确,要充分挖掘题中的条件并发挥它们的作用;二是关键词句的理解是否准确、到位;三是判断所列关系式是否符合生活经验;四是在解题过程中要善于反思,发现问题及时纠正。这一点往往是学生容易忽略的问题,应引起高度重视。
五、注意事项
1.要仔细周密审题,避免因片面审题,一知半解,快速答题带来的失误。
2.克服受思维定势的影响,用“想当然”代替现实的偏面意识。
3.充分关注题中的关键词语、条件,防止对题意的理解有偏差。
4.善于回顾反思,及时发现问题纠正错误,克服侥幸意识带来不必要的失误。
5.要重视阅读、理解和表述能力的培养,加强数学语言的理解和应用,数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言、数表,它是数学思维和数学交流的工具,所以要仔细梳理问题的脉络结构,培养良好的思维习惯。
总之,通过以上分析,希望学生在遇到阅读理解题时,首先树立自信,解除恐惧心理,耐心审题,仔细推敲,理性分析,领会命题者意图,“对症下药”,规范解题步骤。相信学生一定能准确计算或推理取得优异成绩。
参考文献:
[1]李俊清.类型不同思路相似.
关键词：高中数学；课外作业；有效性
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0254-02
1.调查的对象与方法
1.1 调查对象。在研究过程中，选取江西省万年中学高二年级学生作为对象，涉及受访学生人数200人，其中，男生120人，女生80人。此外，随机选取该校高二年级数学教师16人，进行关于"数学课外作业有效性"的访谈调查。
1.2 调查方法。主要采用问卷调查、上门访谈两种方式进行，整个调查过程中，共向受访学生发放问卷200份，回收有效问卷195份，有效问卷回收率达到97.5%，问卷问题共有20题，全部围绕"高中数学课外作业有效性"这一主题设计。在对15名教师的调查中，则以一对一访谈形式为主。
2.结果与分析
2.1 课外作业类型调查。课外作业的类型，能够从侧面反映出作业的有效性和质量，在调查过程中，特意设计了相关的问卷，对学生和教师展开调查。结果显示：高二年级的数学课外作业中，以试卷习题类纸质作业为最多，占比达到75%，除此以外，趣味性课外作业占比15%，实践性课外作业占比6%，开放性课外作业占比4%。整体而言，高二年级数学教师偏向于试卷纸质类作业，这与应试教育考核标准的单一性不无关系。
2.2 学生对课外作业的兴趣调查。学生完成课外作业的情况，能够反映出学生对课外作业的态度，理应成为衡量课外作业有效性的重要标准。通过走访学生，了解到：受访学生喜欢试卷与习题类纸质作业的占比仅为23%，而对于其他类型的数学课外作业，学生们则表现出了较大的热情，例如，39%的学生明确表示"更喜欢实践性、开放性课外作业"，30%的学生则表示"趣味性作业是他们的最爱"。由此可见，学生们对数学课外作业的兴趣度呈现多元化的态势，然而，现有的数学课外作业类型较为单一，且并不符合学生们的兴趣。
2.3 教师批改课外作业情况调查。教师对课外作业的批改情况，能够直接关系到学生完成作业的积极性，从而对课外作业有效性的提升起到积极作用。本次调查结果显示，50%的受访教师表示"会在作业上交的第二天批改"，30%的教师表示"会在作业上交的当天批改，并在当日将情况反馈给学生"，20%的教师表示"一般选择空闲时间批改作业，并争取在作业上交后一周以内将情况反馈给学生"。上述数据表明：多数受访教师并不能够及时批改作业，通过后期与教师的一对一访谈，很多教师抱怨"日常教学任务过于繁重，是他们不能及时批改作业的主要原因。
3.结论与建议
3.1 结论。
3.1.1 数学课外作业形式单一。由调查可知，受传统应试教育思维的束缚，该校高二年级数学教师在设计和布置课外作业时，仍然以纸质作业为主，作业的形式也较为单一，大多为习题类、试卷类作业，鲜少有实践类、开放类、趣味类课外作业。可以说，教师设计和布置的课外作业陷入了"单一重复"、"简单粗暴"的怪圈，长此以往，对教师设计课外作业的教学技能将带来负面影响。
3.1.2 学生对课外作业兴趣不浓。由于该校高二年级数学教师所设计和布置的课外作业，并不是学生所感兴趣的类型，因此，受访学生普遍表示"对课外作业兴趣不浓"，通过进一步的访谈了解到：60%的学生表示"虽然对课外作业兴趣不浓，但仍会尽力完成好"，主要原因在于"为应付考试做准备"；30%的学生表示"对数学课外作业没有兴趣，完成作业纯属应付了事"；剩余10% 的学生则表示"不会完成数学课外作业，因为没有任何兴趣"。由此可见，学生对数学课外作业兴趣不浓，已成事实，长此以往，不仅会影响到课外作业的完成有效性，也会对同学们的数学学习兴趣带来负面影响。
3.1.3 教师批改课外作业不及时。受制于教学负担过重，个人其他事务过多等原因，很多受访教师对数学课外作业的批改并不及时，前文的调查数据也证实了该情况。笔者认为：课后作业的批改和反馈，是检验学生学习情况的重要手段，倘若教师不能及时批改作业，并向学生反馈情况，则容易产生教学上的"惰性"，这无疑会给数学教学带来弊端。
3.2 建议。
3.2.1 丰富数学课外作业类型。前苏联著名教育学家苏霍姆林斯基曾经说过："课外作业应丰富化，教师必须设计多元化的课外作业，以便使课外作业的功能得到更有效地发挥。"结合此次调查中突显出的问题，在下一个阶段的教学改革中，万年中学高二年级数学教师应本着"多元开发"的原则，设计和布置形式更为多元的课外作业，加大实践性作业、趣味性作业、开放性作业的比重，此外，还应注重课外作业与日常生活的紧密型，通过引入任务型作业，如，工程造价计算、旅行路线最优计算等作业形式，让学生感受到数学课外作业的实用性，践行"数学源于生活，服务于生活"的教学理念。
3.2.2 因材施教，采用分层布置作业形式，激发学生的兴趣。根据调查可知该校高二年级教师在布置课外数学作业时，采用"一刀切"的方式，即：为所有的学生布置同样的作业类型，难易程度，题目形式全部相当，因此，难以激发起学生的兴趣。为使不同层次的学生都能同样体会到数学作业的趣味性，感受成就感，在今后的作业设计和布置中，数学教师应采用分层布置作业的思想，将学生分为思维敏捷型、学习刻苦型和基础较差型三个层次，为每个层次的学生精心设计作业，注重作业的趣味性、差异化，如此一来，可调动同学们参与课外作业的兴趣，提升课外作业的实效性。
3.2.3 及时批改课外作业，提升作业反馈效率。在今后的教学中，万年中学高二年级数学教师应克服一切困难，将批改作业作为教学中的重要环节，及时批改学生上交的课外作业，尽量做到在2天以内完成作业批改，并将作业情况及时反馈给学生。此外，在作业批改过程中，教师还应掌握科学的批改评价方法，注重批语的使用，例如，对后进生，一旦发现他们作业质量有所提高时，应给予鼓励性批语，如"再接再厉"、"努力学习，必有收获"等，以此提升学生对课外作业的重视程度，为数学课外作业有效性的提升奠定基础。
