时间：2023-06-14 16:19:05
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学中的反证法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
摘 要：通过实例说明反证法在实际生活中具有广泛的应用，阐明反证法的定义、严密性、适用范围、证明的一般步骤、种类，以及应用反证法时应注意的事项，并探索其在中学数学中的应用以及在应用中的举例。
关键词：反证法；证明；矛盾；命题；假设
有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.在数学里这种方法叫反证法.
反证法不但在实际生活和初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用.数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的.即：提出假设――推出矛盾――肯定结论.
“反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其他各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用.下面通过具体的例子来说明其应用。
一、否定性命题
证明：假设AB，CD不平行，即AB，CD交于点P，则过P点有ABEF，且CDEF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾.假设错误，则AB∥CD
否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准，有的甚至是捉摸不定的.一般总是在命题的相关领域里考虑（例如，平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点.因此在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾.只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束.
反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等.
反证法是数学中一种重要的证明方法，是数学家最精良的武器之一，在许多方面都有着不可替代的作用.它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义.反证法不仅可以单独使用，也可以与其他方法结合使用，并且可以在论证一道命题中多次使用，只要我们正确熟练运用，就能做到精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨，提高数学解题能力.
（作者单位 江苏省邳州市八义集中学）
1 引言
数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性， 哪些命题适宜用反证法很难给与确切的回答，本文就反证法的概念、分类、步骤以及哪些适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．
2 反证法的定义
什么是反证法？法国数学家阿达玛曾对它做了一个精辟的概括：此证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．可见，利用推理中出现的矛盾可以证明数学中的一些结论，这就是反证法．
反证法是从一个否定原结论的假设出发，经过正确的推理而得到（与公理、定理、题设等）相矛盾的结论，由于推理和引用的证据是正确的，因此出现矛盾的原因只能认为是否定原结论的假设是错误的，从而得到原结论成立．
用反证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真．
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一、反证法的简单介绍
反证法又称归谬法、背理法，是一种论证方式，属于“间接证明” 的一种（引用于现行人教版数学教材）.所谓反证，就是将要证明的反面情况驳倒就可以了.首先假设原命题不成立（即我们在原命题的条件下，假定结论不成立），据此推导出明显矛盾的结果，从而得出结论说原假设不成立，原命题得证.
关于反证法的逻辑依据不得不提两个重要的思维方式――“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一论证过程中，两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的.排中律：任何一个命题判断或思想或者为真或者为假（不真），二者必居其一. 法国数学家J・阿达玛曾概括为：“这证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这就是说反证法并非直接证明命题的结论，先是提出与需证结论反面的假定，然后推导出和公理、定理、定义或与题中假设相矛盾的结果.这样，就证明了与待证命题的结论相反的假设无法成立，从而肯定了原来待证命题.用反证法完成一个命题的证明，大体上有三个步骤：否定结论 推导出矛盾 结论成立.
二、反证法在数学解题中的应用
（一）在肯定性命题中的应用
即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法进行尝试.
如（代数问题）求证：无论n是什么自然数，总是既约分数.
证明：假设不是既约分数，
令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？缀N，k>1）
既约，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因为3？琢-2b整数，为分数，则3？琢-2b=不成立，故假设不成立，分数是既约分数.
（二）在否定性命题中的应用
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题.
（三）在限定性命题中的应用
在命题结论中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等词语.
如（代数问题，抽屉原理）把2110人分成128个小组，每组至少1人，证明：至少有5个小组的人数相同.
证明：如若128个小组中，没有5个小组的人数相同.则至多有4个小组的人数相同.那么不同人数的小组是：128÷4=32个，对32个小组，我们这样分组：有4个组每小组1人，有4个组每小组2人，有4个组每小组3人，依法分组……有4个组每小组32人，故有：
4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112
这样2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一个小组人数就减少1人或2人，那么相同人数的组数就比4个多了，即5个或多于5个以上. 故至少有5个小组的人数相同.
（四）在不等量命题中的应用
不等式是学生需掌握的一大重点.当不等式的反面情况比较少时，题中若要求证明不等式成立时，那么只需用反证法来证实其反面不成立.
（五）在互逆命题中的应用
已知原命题是正确命题，在求证其逆命题时可使用原命题结论，此时反证法为解题提供更多便捷.
如（平面几何问题）
原命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等.
逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆.
逆命题的证明：
三、对反证法运用的思考
（一）在解题时，仔细审题是第一步.当运用反证法时，正确否定命题的结论是首要问题.要使一个待证命题的结论成立，需根据正难则反的原则.从结论的反面来间接思考问题，值得注意的是命题结论的反面情况并非唯一.若结论的反设只有一种情况，称之为简单归谬.例如，证明根号2是无理数，只需证根号2不是有理数.若结论的反面不止一种情况，称之为穷举归谬.必须将所有可能情况全部例举出来，并需要不重不漏地一一否定，只有这样才能肯定原命题结论成立.例如，证明某类数不为正数，则可以从正数的反面负数与零入手.
（二）明确逻辑推理的特点
反证法的任务首先需否定结论导出矛盾.至于出现什么样的矛盾，何时出现矛盾，矛盾是以何种方式存在，都是我们无法计算和预测的.证明的过程没有一个机械的统一标准，但最终都会得到矛盾，而这个矛盾一般总是在命题的相关领域内进行考虑.例如，空间解析几何，平面几何，代数等问题常常与相关的公理、定理、定义等相联系.正因为与这些公式的规则，定理相互矛盾，进而说明原结论的正确性.这便是反证法的推理特点.做到正确否定命题结论，严格遵守推理规则，推理过程中步步有理有据，矛盾出现时，证明就已完成.
（三）了解产生矛盾的种类
矛盾的出现有很多种，知道导致矛盾的种类，可以更迅速，更有效的解题.
有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
二、反证法的定义、逻辑依据、种类及模式
定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。
模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：
反设：作出与求证结论相反的假设；
归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
三、反证法的适用范围
1、否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。
例求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。
证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。
2、限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。
例在半径为的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于。
证明：每个小圆的公共部分的面积都小于，而九个小圆共有个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于，又大圆面积为，则九个小圆应占面积要大于，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于。
例已知方程，，中至少有一个方程有实数值，求实数的取值范围。
分析：此题直接分情况用判别式求解就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件的集合的补集即可。
证明：假设三个方程都无实根，则有：
解得
例已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1．
证假设a，b，c中至少有两个数不小于1，不妨设a≥1，b≥1，则 m≥n+p，n≥p+m．
两式相加，得2p≤0，从而p≤0，与p是正整数矛盾．
所以命题成立．
说明“不妨设”是为了简化叙述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．
所求的范围为、
3、无穷性命题
即涉及各种“无限”结论的命题。
例求证：是无理数。
分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将表示为一个分数。
证明：假设是有理数，则存在互质，使，从而，为偶数，记为，，，则也是偶数。由,均为偶数与、互质矛盾，故是无理数。
例求证：素数有无穷多个。
证明：假设素数只有n个：P1、P2……Pn，取整数N=P1?P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。
四、运用反证法应注意的问题
1、必须正确否定结论
正确否定结论是运用反证法的首要问题。
如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”。
2、必须明确推理特点
否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的、一般总是在命题的相关领域里考虑（例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点。因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束。
五、小结
关键词:逆向思维 培养思维品质
中图分类号:G623.5文献标识码:A 文章编号:1673-0992(2010)05A-0145-01
逆向思维,是与人们长期形成的思维习惯相悖的思维方式,具有很强的创造性。因此,在数学教学中,注重对学生的逆向思维训练,对激发学生的学习兴趣,培养学生良好的思维品质是十分必要的,也是非常重要的。教学中要善于挖掘逆向思维训练素材,不失时机的对学生进行训练。笔者在长期教学活动别注重从以下几方面挖掘逆向思维素材。
一、激发学生思维的兴趣
外因是变化的条件,内因是变化的根据。兴趣是最好的老师,因此在数学教学中教师应该想方设法激发学生思维的兴趣,增强学生逆向思维的积极性。
(1)真正确立学生在教学中的主体地位。使学生成为主宰学习的主人、学习活动的主动参与者、探索者和研究者。
(2)实例引路。教师要有意识地剖析、演示一些运用逆向思维的经典例题,用它们说明逆向思维在数学中的巨大作用以及它们所体现出来的数学美,另一方面可列举实际生活中的一些典型事例,说明逆向思维的重要性,从而逐渐激发学生思维的兴趣,增强学生逆向思维的主动性和积极性。
(3)不断提高教师自身的素质。教师渊博的知识和超凡的人格魅力也能在一定程度上激发学生学习兴趣和思维的积极性和主动性。
二、帮助学生理顺教材的逻辑顺序
由于种种原因,教材的逻辑顺序与学生的心理顺序可能或多或少地存在着矛盾,而这些矛盾势必妨碍学生思维活动的正常进行,因此,教师在钻研教材时必须找出这些矛盾并帮助学生加以理顺,只有这样,才能保证学生思维活动的展开。例5ABC中,AB
作ADBC,垂足为D点,在BC上截取DE=BD,连结AE,则∠AEB=∠B. 过AC中点M作MP∥AE,交BC于P,MD就是所求的剪切线。剪下MPC,可以拼成等腰梯形ABPQ。 可见教师在备课时能及早发现教材的逻辑顺序,发挥教材中互逆因素的作用
1.从定义的互逆明内涵
(1)重视定义的再认与逆用,加深对定义内涵的认识。许多数学问题实质上是要求学生能对定义进行再认或逆用。在教学实践中,有的学生能把书上的定义背得滚瓜烂熟,但当改变一下定义的叙述方式或通过一个具体的问题来表述时,学生就不知所措了。因此在教学中应加强这方面的训练。
逆用定义思考问题,往往能挖掘题中的隐蔽条件,使问题迎刃而解。
(2)过互逆定义把握定义间的联系。指数函数与对数函数、函数与反函数等都是互逆的定义,互逆定义之间有着天然的联系,教学中要着重使学生理解怎样从一个定义导出另一个与它互逆的定义,向学生灌输转化的思想,揭示定义间相互联系,当然也包括找出不同点。
2.从公式的互逆找灵感
(1)会公式的互逆记忆。很多数学问题是逆用公式的问题,要更好地解决这类问题,首先应该让学生知道公式的互逆形式,学会公式的互逆记忆。
(2)逆用公式(包括公式变形的逆用)。往往可以使问题简化,经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的灵活性、变通性,使学生养成善于逆向思维的习惯,提高灵活运用知识的能力。公式逆用是学生常常感到困惑的一个问题,也是教学中的一个难点,教学中必须强化这方面的训练。
3.从定理、性质、法则的互逆悟规律
数学中有许多可逆定理、性质和法则,恰当地运用这些可逆定理、性质和法则,可达到使学生将所学知识融会贯通的目的。
(1)让学生学会构作已知命题的逆命题与否命题,掌握可逆定理、性质和法则的互逆表述。交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;同时否定命题的条件和结论,所得的命题是否命题。教学中要用一定的时间、适当的训练量加强学生这方面的练习,打好基础。
(2)掌握四种命题间的关系。互逆命题和互否命题都不是等价命题,而互为逆否关系的命题是等价命题。学生搞清四种命题间的关系,不仅能掌握可逆的互逆定理、性质、法则,而且能增强思维的严谨性和灵活性,培养创造性思维能力,也是科学发现的途径之一。
(3)掌握反证法及其思想。反证法是一种间接证法,它是通过证明一个命题的逆否命来证明原命正确的一种方法,是运用逆向思维的一个范例。一些问题运用反证法后就显得非常简单,还有一些问题只能用反证法来解决,因此反证法是高中生必须掌握的一种数学方法。反证法的思想在其他学科和其他领域也有着广泛的应用,应该重视。
(4)正确应用充要条件。“充要条件”是高中数学中一个重要的数学概念,是解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础。一个定理如果有逆定理,那么定理、逆定理合在一起,就可构作一个充要条件。重视充要条件的教学,使学生能正确应用充要条件可培养学生的逆向思维能力。
三、采用直观教学,为学生提供逆向思维的基础
关键词：数学教学；方法；数学史
一、渗透数学历史，激发学生兴趣
数学史上有好多值得我们研究的学习方法。其中数形结合的方法是我们最常见的方法之一。其在解决一些较为复杂问题时总会收到意想不到的效果。因此我们在实践中应注意多挖掘好的数学方法，从而将其渗透到数学教学中，这样能学生能直观地接受。
大数学家华罗庚说过：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机引导。必令学生运其才智，勤其练习，领悟之源广开，纯熟之功弥深，乃为善教者也”。反思我们的课堂，大多没有给学生足够的思维空间，学生被教师牵着鼻子走，缺乏自己的解题方法。所以在实践中教师必须加强研究这些问题：哪些内容、哪些环节、哪些知识点适合学生自治探究，哪些具有自主探究的价值。应该恰当的创设情境引入数学史，用正确的数学思想方法引导学生的数学思维。根据由特殊到一般的规律，以例题的形式让学生自己在解题过程中总结出各种思想方法，因为学生如果对初中的数学知识已深刻掌握的话，解决这些问题并不是什么难事，教师要做的只是将用同一种思想方法解决问题的题目放在一起，让学生自己去体会在解决问题过程中的共性，而后教师要对学生加以引导。所以在教学中如果恰当地引入数学史，渗透数学思想方法，那就会对初中数学教学的起到促进作用。
二、初中阶段常见的解题方法
1.配方法
它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到。
2.因式分解法
作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等。
3.换元法
在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4.判别式法与韦达定理
作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
5.待定系数法
6.构造法
构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7.反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
8.面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
9.几何变换法
借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
10.客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代人条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时，常用此法。
(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代人题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。
1. 新课标要求，渗透“层次”教学。《数学新课标》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在《数学新课标》中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。
教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《数学新课标》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们失去信心。如初中数学三年级上册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《数学新课标》只是把“反证法”定位在通过实例，“体会”反证法的含义的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。
2. 从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的教学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在数学教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。
二、 初中数学思想方法的主要内容
初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本最主要的有:转化的思想方法，数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，函数与方程的思想方法等。
（一） 转化的思想方法
转化的思想方法就是人们将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一种相对容易解决的或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决。初中数学处处都体现出转化的思想方法。如化繁为简、化难为易，化未知为已知等，它是解决问题的一种最基本的思想方法。具体说来，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，换元法解方程，几何中添加辅助线等等，都体现出转化的思想方法。
（二） 数形结合的思想方法
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是代数式、函数、不等式等表达式，“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以形直观地表达数，以数精确地研究形。数形结合思想：数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。初中代数教材列方程解应用题所选很多是采用了图示法的例题，所以，教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。
再如在讲“圆与圆的位置关系”时，可自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透；这样不仅可提高学生的迁移思维能力，还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
（三） 分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，解决数学问题。初中数学从整体上看分为代数、几何两大类，采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现。具体来说，实数的分类，方程的分类、三角形的分类，函数的分类等，都是分类思想的具体体现。
在历年的国内外数学奥林匹克中，几乎每年都离不开数论问题。分析历年奥林匹克数学竞赛试题易知，奥林匹克数学中的数论问题主要有：（1）整除性问题；（2）数性的判断；（3）余数问题；（4）整数的分解与分析；（5）不定方程问题；（6）与高斯函数[x]有关的问题。本文对奥林匹克数学中的数论问题的常用解题方法做进一步的分析总结。
2 常用的部分解题方法
2．1 奇偶分析法
奇偶数的性质：
（1）两个奇数的和与差为偶数，而积为奇数；
（2）两个偶数的和、差、 积为偶数；奇数与偶数的和、差为奇数，而积为偶数；
（3）如果 为整数， 为奇数，则 的奇偶性与 相反；如果 为整数， 为偶数，则 的奇偶性与相同。
例 设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N- 是k的正整数倍，则称N为一个“千禧数”。试确定1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数，并说明理由。
解设 是“千禧数”，则存在正整数 ，使得 ， 即 ；显然 与 的奇偶性不同，且 ,,所以 有大于1的奇因子,从而 有大于1的奇因子。
反过来,若 有大于1的奇因子,则可设 ,其中 , 的奇偶性不同,且 ,则 且
，其中 为正整数。
综上,只有当 有大于1的奇因子时,是“千禧数”而在1,2,3,…2000中，只有1，，…， 不是“千禧数”，故有“千禧数”2000-11=1989个。
评析：奇偶分析法是从未知数，系数的奇偶性入手讨论未知数的可能取值情况，以达到缩小考察范围，得出相应的结果。在解决与正整数有关的问题（如数性有关的问题）能灵活运用奇偶分析的方法，往往有“四两拔千斤”的效果。
2．2 分类讨论
依据数学研究对象的本质属性的相同点和差异点，将数学对象进行分类，然后对划分的每类分别进行研究和求解的方法，叫分类讨论的方法。
分类讨论必须遵循的原则：
（1）分类讨论的对象必须是确定的；（2）每次分类的标准必须是同一的；
（3）分类必须不重复，不遗漏；（4）连续多次分类，按层次逐级进行，不得越级。
例解方程
解将方程变形为 ,由不等式 ,可得
由此又可以得到 (1)
因为当 时,
所以此时方程无解(因方程的解必须满足(1))
又因为当 时,
所以此时方程也无解。另外,当 时,所以方程仍无解。
因此,方程的解必满足 ,于是必有 ,将 代入原方程立即得出原方程的解为 。
评析：在数论问题中往往出现多个正整数或其他更特殊的情况，此时必须根据实际情况对这些正整数或其相关式子进行分类讨论。本例中就是灵活地对 的取值范围进行分类讨论，最终归结出 的值。解题过程中还应注意往往有时一次分类不够,还要进行第二次分类,两次分类可以相互独立,也可能第二次是将第一次的一个子类再分类。
2．3 反证法
通过证明论题的矛盾论题(即否定命题),进而肯定命题的真实的证明方法叫做反证法。
反证法的一般步骤:
（1） 反证:假设命题的结论不成立；（2） 归谬:从该假设出发,经过推论论证,得出与已知条件或公理或定理矛盾的结论；（3）结论:由矛盾判定假定不正确,从而肯定命题的结论正确。即”反证——推理——否定或肯定”三步。
例设正整数 异于2，5，13，求证：在集合{2，5，13， }中可以找到两个不同的元素 ， ，使 -1不是完全平方数。（第27届IMO试题）
证明 2 5-1= ，2 13-1= ，5 13-1=
只须证2 -1，5 -1，13 -1不全是完全平方数
假设2 -1，5 -1，13 -1均是完全平方数，不妨设
…… （1）
…… （2）
……（3）解出可得
是偶数，即 是偶数
， 同奇或同偶，从而 ， 是偶数，于是2 是4的倍数，则
是偶数，这与推出d是奇数相矛盾！
故原命题正确。
评析：反证法是数学证明中的一种重要方法，在解决数论问题中反证法也具有其普遍应用性，特别是在判断数性问题（如解平方数问题等）中应用更多。证明的关键是构造矛盾，通常借用奇、偶数等方式来构造矛盾。
2. 4无穷递降法
无穷递降法是一种与数学归纳法相对应的的数学方法，它的原理一般称为无穷递降原理，其现代表述为：若要证明关于自然数的命题 不成立，需要证明：
（1） 不成立；
（2）若 成立，则有 ，使 不成立。
如（1）（2）均得证，则命题 对所有的自然数均不成立。
例证明不存在非零整数 ， ， 满足
（1）
证明若存在非零整数 ， ， 满足（1），则 ， ， 只能是两个奇数一个偶数或是全是偶数。
若 ， ， 有两个是奇数，一个是偶数，则 ，而 ，故（1）不成立。若 ，， 全为偶数，则取 ，此时 满足
（2）
同理，（2）中 全是偶数，由此又作
如此继续，由于一个整数不能永远被2除下去都仍得偶数（除非为0），因此总会出现矛盾。可见也不会有偶数 ， ， 满足（1）
所以，方程（1）没有非零整数解。
评析：由以上证明中，易知无穷递降法的理论依据是任何正整数集合总有最小值（数），如从这个集合中任意一个数开始递减下去，有限步后就取到最小值（数）。而数论问题（如整除性问题，数性的判断，余数问题，不定方程问题等）都是与正整数有关的问题，这样无穷递降法在解决数论问题中可起到举足轻重的作用。
3 结束语
以上给出了解决奥数中数论问题的常用方法一个较完整的综述。当然，数论问题形式简单，意义明确，所用知识点不多而又富于技巧性，灵活多样，所以在解决实际问题要灵活处理。
参考文献
[1]李开研.奥林匹克同步教材[M].湖南师范大学出版社,2000
【关键词】 逆向思维；初中数学；习题 解题
数学一直以来都是一门思维性很强的学科，而逆向思维是数学思维中的重要组成. 培养学生逆向思维的过程实际上是培养学生的思维敏捷性. 有研究表明，很多学生的数学成绩不理想很大程度上是因为逆向思维的能力不足，习惯只是学习公式、定理等刻板的内容，没有创造和观察的能力. 所以，在教学过程中教师应该对逆向思维的培养给予足够的重视.
一、在实际教学中逆向思维的培养
1. 加强基础知识的逆向教学
初中阶段的数学教学仍是基础教学，在教学的过程中强调对于基础知识的掌握，同时引入逆向思维不单可以加固学生对于基础知识的掌握，也可以锻炼学生的思维，拓展了思考方式. 在基础教学中应该对概念的理解和运用上优化逆向的教学. 在这中间存在很多互为的概念. 例如：互为倒数、互为相反数等，通过这些概念教师可以指导学生从正、反两个层面对问题进行思考，培养他们的逆向思维能力.
2. 由概念着手增加学生的逆向思维
数学中很多概念是互逆的，对于这种类型的概念可以采用先正后逆的方法，打破学生的常规思维模式，帮助学生更清晰地分析概念，同时养成双向考虑问题的习惯. 比如同类项是代数中的重要概念，为了可以加深学生对该概念的掌握和理解，可以举例并分析：
（1）假设-amb3与2a2bn是同类项，那么m，n的值是多少？这题目一开始会难住很多学生，但如果教师可以引导学生运用逆向的思维方式来解题，学生就可以根据相应的逆向思维得出m = 2，n = 3.
（2）教学相反数的概念时，不单可以问学生3的相反数是几，同时还可以提出0.3的相反数是多少，或-5和数字几互为相反数，等等. 通过从正反两个层面提出问题可以有效地帮助学生去理解相反数的概念.
3. 通过公式法则培养学生的逆向思维能力
在数学的教学中往往要涉及很多的公式、法则，对于这些公式和法则的双向性学生是比较容易理解，但是大多数学生只会从左至右地正向运用，对由右至左的逆向运用不熟悉. 所以，在法则和公式的教学中要加强相应的逆向指导，只有正确地运用正逆两种法则和公式在解题的时候才能得心应手. 举例说明，在不解方程的情况下，判断方程2x2 - 6x + 3 = 0的根的情况. 在解题的时候可以将方程变式成为：已知关于x的方程2x2 - 6x + k = 0，k取何值方程有两个不相等的实数根？经常进行这种有针对性的逆向锻炼对逆向思维的形成会起到非常重要的作用.
4. 注意在解题方法上进行逆向思维的训练
（1）反证法. 反证法是一种间接的证明方法，以特征结论的反面为基础，推出矛盾，以此来否定证明结论的相反面来肯定特征的结论. 这也是很多数学问题在直接证法处于困难时所经常使用的方法. 加强反证法的锻炼可以帮助学生拓展思维的广度、深度，对逆向的思维培养起到关键的作用.
（2）分析法. 分析法实际上是从命题的结果出发，一路分析充分条件，直至推理出已知条件的方法. 这样的方法也可以充分培养学生的逆向思维能力. 看果追因是分析法的基本内容，其关键是整个解题过程一定是一个可逆的情况.
（3）举反例. 在数学的命题中给出一个命题要判断其错误，只要给出一个满足命题的条件但结论并不能成立的例子就可以否定此命题. 这种方法就是通常所说的举反例. 加强对举反例的锻炼可以有效地锻炼并培养学生逆向思维的能力.
二、逆向思维在数学解题中的应用
1. 立体几何命题
立体几何中的定理、概念除了直接应用之外，还可以根据题目的特点与要求进行相反的应用. 举例说明，求证：分别在两个平面内的两条不平行直线是异面的直线. 根据题目的条件得知两条直线不平行. 只要证明了这两条直线并不相交就可以证明是异面直线. 从这个题目可以看出，利用反证法来解决此问题是非常容易的.
2. 概率命题
举例说明，全班共有50名学生，求至少有2个人是同月同日生的概率. 这是一个世界著名的生日怪论命题，帮助学生了解此理论，引导学生运用对立事件的解决问题非常容易. 先得出50名学生都不是同月、同日生的概率，之后根据对立的事件的总概率 = 1，得到至少有2个人同月同日生的概率值. 充分利用对立事件进行逆向思维，可以让原本复杂的概率问题得到简化.
3. 不等式命题
由实数的性质可以知道成立，以此来找到证题的始点. 在数学中，互逆定理、公理、运算等到处都存在. 如果可以熟练地掌握并且在适当的时候运用逆向的思维会让原来复杂的题目变得简单. 由此可见，培养学生的逆向思维是非常重要的.
一、了解《大纲》要求，把握教学方法
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。
1、明确基本要求，渗透“层次”教学。《数学大纲》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。
教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《教学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类经法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们推动信心。如初中几何第三册中明确提出“反证法"的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《教学大纲》只是把“反证法”定位在“了解”的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。
2、从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。
二、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育
要达到《教学大纲》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：
1、渗透“方法”，了解“思想”。由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。
在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。比如，教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”，利用形数结合方法，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。
2、训练“方法”，理解“思想”。数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。
【关键词】初中数学；教学中渗透；数学思想；数学方法
教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。
1 了解《课程标准》要求
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。
1.1明确基本要求，渗透“层次”教学
在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在教学标准中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。
教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《教学标准》中要求“了解”的方法有：分类法、类经法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们推动信心。如初中几何第三册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《课程标准》只是把“反证法”定位在“了解”的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。
1.2从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”
在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。
比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。
2 遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育
要达到《课程标准》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：
2.1渗透“方法”，了解“思想”
由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如初中代数课本第一册《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节——“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了形数结合的思想，学生易于接受。
在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。比如，教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”，利用形数结合方法，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。
2.2训练“方法”，理解“思想”
数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用。
2.3掌握“方法”，运用“思想”
关键词： 数学教学 逆向思维能力 培养
逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维。它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程是培养学生思维敏捷性的过程。课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神。因此，加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维灵活性、深刻性和双向思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维，正是数学能力增强的一种标志。笔者认为，培养学生逆向思维能力有以下几种途径。
一、在兴趣培养过程中增强逆向思维意识
随着年龄的增长，中学生的有意注意进一步发展，但兴趣在学习中仍起着重要的作用。由兴趣引起的无意注意在学习中仍是不可缺少的因素。所以教师应根据授课内容，创造一个良好的教学情境，激发学生学习兴趣和求知欲望，促进学生积极思维，有利于培养学生的逆向思维，获得最佳教学效果。我们以学生为主体，教师为主导，通过层层设问，及时指点启迪，创造良好的思维情境，结合图形，激发学生的联想，引导学生步步深入，形成逆向思维。
1.善于观察。
观察，对于学习是很重要的。巴甫洛夫说过一句很有名的话：“观察、观察、再观察。”为了解决问题，学生必须通过观察识别问题的基本特征，并能够回忆起已学过的有关信息。数学思维灵活的人，都观察得非常细致、认真。虽然时间很短，但他们能够发现与问题有关的各种明显的或隐蔽的条件，并迅速判断出其中的关键条件，使问题很快解决，即抓住了此题的基本特征，找到了解题的关键。为了提高观察能力，我们应注意以下一些问题：要观察得仔细、精确；要注意观察的系统性与条理性；要以一定的知识作基础，知识越丰富，观察也越深刻；观察时，要具有敏锐性；要养成勤于观察的习惯；要善于从被观察的对象和观察者本身两个方面进行分析，制定出观察的最佳方案。
2.善于将问题转化，接触各类题型，并逐步熟练。
为了解决问题，我们常常需要把一些简单的规则组合成复杂的、高级的规则。而且，许多问题可以有一系列可能的解决方法。因此，学生在获得行之有效的解决方法的过程中，也形成了一种新的能力，即逆向思维能力。学习是累积性的、较复杂、较高级的学习，是建立在基础性学习基础上的，每一类学习都是以前一类学习为前提的。基础知识和基本技能掌握得越熟练，解决问题就越容易。
问题转化的方向是化难为易，化繁为简，化未知为已知。我们要善于从错误的思路中摆脱出来，误入歧途以后，要及时发现错误，及时转向。所以，我们要在运用中充实、深化概念，加强练习，开拓思路。题做多了，我们便能熟练地找到问题的基本特征。
3.学会独立思考，培养灵感思维。
我们要注意培养学生认真思考的习惯和独立思考的能力。学生的粗枝大叶，懒于思考，对练习、作业的消极态度都是学习的一大劲敌。在教学过程中，教师应从学生的实际水平出发，创设问题的情境，启发学生通过独立思考解决问题和完成任务。
二、在讲授新课过程中加强对学生逆向思维能力的培养
1.反向逆推。
探讨某些命题的逆命题的真假，是研究数学科学的方法之一，也是学生学习数学的一种行之有效的方法。例如在叙述“数的开方运算”时，我们应强调运用平方运算求一个数的平方数和用平方运算检验一个数是不是另一个数的平方根。在教学中我们还要不失时机地运用互逆运算，简化解题过程，训练逆向思维。我们通过反向逆推，引导学生利用逆向思维去发问、发现，可以进一步扩大和完善学生的认知结构，深化和升华所学的课本知识。
数学中的公式都具有双向性。正向运用它们的同时加强公式的逆向应用训练，不仅可以加深学生对公式的理解和掌握，培养学生灵活运用公式的能力，而且可以培养学生的双向思维能力。
2.运用反证。
证明数学事实和结论的正确性。反证法是正向逻辑思维的逆过程，是一种典型的逆向思维。反证法是一种间接证法，是许多数学问题在用直接证法相当困难时，常常被采用的证法。它是从待证结论的反面出发，推出矛盾，从而否定要证结论的反面，肯定待证的结论，加强反证法的训练是促进学生逆向思维逐步形成的必要措施。
例如：命题“若两多边形的对应边成比例，则必相似”为假命题，只需举一个菱形和一个正方形即可判其为假。说明“一组对边平行，一组对边相等的四边形为平行四边形”为假命题，只需举一个等腰梯形即可。
“思维能力的发展是学生智力发展的核心，也是智力发展的重要标志”。因此在初中数学课堂教学中教师要充分挖掘教材中的互反因素，有机地训练和培养学生的逆向思维能力，从而提高学生的数学素质。
3.集错归档，补充认识缺陷。
教学效果取决于学生的学习反馈。在教学过程中只有快速捕捉反馈信息，及时采取补救措施，才能促进教学目标的实现。教师在教学中不但要遵循教学规律，而且要有超前的预见能力。学生在学习新知识时可能会存在怎么样问题，会提出什么样的问题，教师心中都应早有准备。可是这些超前预见的材料就来源于学生学习反馈即练习和作业，以及考卷的错误解答。因此，搜集和整理学生练习、作业和考卷中出现的典型性错误间题，对教学具有很大的辅助作用。引导学生将错解题进行归类、整理并存案归库是一件非常有意义的事，它不仅可以弥补学生认识上的缺陷，而且能为今后的教学提供丰富而科学的指导依据。
4.重视逆定理的运用，提高学生的逆向思维能力。
数学中的定理有的不可逆，但许多定理的逆定理也是成立的。例如，平行线的性质定理与判定定理，勾股定理及其逆定理，两个平面平行的性质及判定定理，等腰三角形的性质及判定定理，等等。在教学中，对某些重要定理的可逆性进行探讨，有利于加深对知识的理解，也有助于逆向思维能力的提高。
5.重视一些性质的逆向运用也能提高学生的逆向思维能力。
中学数学教材中有很多的性质是可逆的。例如指数函数的性质“底数大于I时，函数为增函数”，其反面“指数函数为增函数时，其底数大于1”也成立。再如函数的方程与函数的图像的关系中，“满足函数方程的点都在函数的图像上”，其反面“在函数图像上的点满足该函数的方程”也成立。在数学教学中，重视一些性质的逆向运用，对培养学生的逆向思维能力大有益处。
6.加强数学方法的教学，强化逆向思维能力，重视数学思想。
数学方法如反证法、分析法等方面的教学是增强学生逆向思维能力的有效方法。分析法是一种执果索因的逆向思维方法，其推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知或已成立的事实，命题便获证。采用该方法分析问题时要求学生养成“要证什么，需证什么”的思维方向，用它可以缩短已知和未知间的距离，便于寻找解题的途径。反正法是一种假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过推理得出与题设、公理、定理矛盾的结论，从而断定假设不成立，原命题的结论一定正确的证明方法。很多直接证明很困难的题目，用反证法可以起到很好的效果。教师可通过数学方法的训练，能使学生明白解答一个问题用一种方法不行，要转化思想，也可以反过来思考，从而增强逆向思维能力，提高思维的灵活性。
7.在解题过程中运用逆向思考方法培养学生逆向思维能力。
