时间：2023-06-01 09:30:24
关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理
归纳法与数学归纳法，在初等数学及高等数学中都要着广泛的应用，特别是在定理证明中占非常重要的地位，所以我们必须引起注意，下面我主要从三个方面来阐述归纳法及数学归纳法。
1归纳法
1.1归纳法的定义
由一系列有限的特殊事例得出结论的推理方法叫归纳法。
归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法两类。
1.1.1不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般结论的推理方法。
1.1.2完全归纳法：根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.
注意：不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算.观察、分析、推理出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质.应注意用不完全归纳法探索发现的规律，必须用数学归纳法对结论的正确性予以证明。
1.2使用归纳法要谨慎
我们在使用归纳法时，经常盲目归纳，从而得出错误的结论，所以我们应该引起注意，下面我们通过几个例子看看。
例、求前n个奇数的和 [1+3+5+……+（2n-1）]
解：用S（n）表示这个和，令n=1，2，3，4，5，则有
S（1）=1
S（2）=1+3=4
S（3）=1+3+5=9
S（4）=1+3+5+7=16
S（5）=1+3+5+7+9=25
可见，对n=1，2，3，4，5，前n个连续奇数的和等于[n2]，但是，我们不能由此马上断定，对任意的n，都有S（n）=[n2]，因为，由“类比”而得到的结论有时是错误的.我们用几个例子来说明这一点。
考]形如[22n+1]的数.当n=0，1，2，3，4，时，这些数[220]+1=3，[221]+1=5，[222]+1=17，[223]+1=257，[224]+1=65537都是素数.十七世纪一位著名的法国数学家P.费尔马由此猜想，凡是这种形式的数都是素数.然而，在十八世纪，另一位伟大的数学家，彼得堡科学院院士，L.欧拉发现[225]+1=4294967297=[641×6700417]是一个合数。
这里还有一个例子，十七世纪著名的德国数学家，高等数学的创始人之一G.W莱布尼兹证明了，对任意的正整数n，[n3-n]能被3整除，[n5-n]能被5整除，[n7-n]能备整除，据此，他差一点猜想：对任意奇数k和自然数n，[nk-n]能被k整除，幸亏他自己很快发现[29-2]=510不能被9整除。
现在我们回到求前n个基数的和的问题.从上述可知，不管验证了多少个n ，公式
S（n）=[n2] [……]（1）
总不能认为已证明了，因为总有一种可能性，对某个未检验过的n，公式（1）不再成立.为了确信公式（1）对所有n正确，我们必须证明：无论在自然数列中走到多远，我们决不能从使公式（1）成立的n值走到使（1）不再成立的数值。
2 数学归纳法
2.1 数学归纳法的定义
n=1正确时，若在n=k正确的情况下，n=k+l也是正确的，便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法。
2.2 运用数学归纳法证题的步骤
（Ⅰ）验证当n=1时，某命题是正确的。
（Ⅱ）假设n=k时，命题也是正确的，从而推出当n=k+l时，命题也是正确的.因此，命题正确。
容易悟错的是：既然k是任意的自然数，n=k是正确的，那么k+l也是正确的.即k+l与k应该表示同一个意思.何必还要证明呢？这很容易理解，k虽然是任意假设的自然数，但是，一旦假定了n=k时，k就是一个固定的自然数了，换句话说，k就是一个有限的数.因而，能否从n=k时命题正确，推出n=k+l时命题也是正确的，这就不一定.如在n=k时正确，推出了n=k+1也是正确的，这时，问题就出现了一个跨越，发生了本质的变化，从k到k+l，便是由有限变化到无限的过程，这正是数学归纳法之精髓。
在比较复杂的情况下，数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化，下面有两种变形.
形式1：证明中的第一步不一定从1开始，如果当n=[k0]的时候，命题是正确的，又假设n=k（k≥[k0]）时，这个命题是正确的，可以推出当n=k+l时，这个命题是正确的，那么这个命题当n=k+l时都正确，从而得出命题正确。
例、当n>1且n∈N时，求证：
[1n+1+1n+1+1n+3+…+13n>910]
证明： （1）n=2时，左边[=13+14+15+16=1920>910]
左边[>]右边，所以不等式成立.
（2）假设n=k时不等式成立，即
[1k+1+1k+1+1k+3+…+13k>910]
当n=k+1时，
[1（k+1）+1+1（k+2）+2+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3]
[=][（1k+1+1k+2+…+13k）+] [（13k+1+13k+2+13k+3-1k+1）]
[>910+（13k+3+13k+3+13k+3-1k+1）]
[=910]
即n=k+l时，不等式成立。
根据（1）与（2）得，对于n>1且n∈N，所证不等式成立。
形式2：运用数学归纳法证明时，第一步不只验证第一个值，而是要验证从初始值始连续若干个值的特殊值时命题都是正确的，第二步假设n=k是正确的，推出n=k+l是正确的，那么这个命题就是正确的。
例、如果[r0]=2，[r1] =3，并且对所有自然数k有[rk+1=3rk-2rk-1]
试证：[rn=2n+1]
证明：由题意，需验证n=0，n=1两值。
（1）当n=0时，[r0]=2，另一方面[r0]=[20]+1=2命题是正确的；还有n=1时，[r1] =3，另一方面[r1=21+1=3]命题是正确的。
（2）假设当n=k时命题是正确的，当然n=k-1也 是正确的。
即 [rk-1=2k-1+1]，[rk=2k+1]成立。
则 [rk+1+1=3（2k+1）-2（2k-1+1）=2k+1+1]故在n=k+l时，命题也成立，于是可以断定原命题成立。
应注意，运用数学归纳法论证某一问题时，它的两个步骤是缺一不可的.没有第一步的证明就没有基础，而不做第二步的证明，就无法断定命题在一般情况下是否成立.如果二者缺一，将可能会得出十分荒谬的结论。
参考文献：
[1]（苏）L.I格拉维娜 I.M雅格洛姆著 姚时宗、童增祥《数学归纳法在几何中的应用》，莫斯科米尔出版社，1979年
[2]华罗庚的主编《数学归纳法》上海教育出版社，1963年
【关键词】数学归纳法；完全归纳法；应用举例
1引言
归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，数学归纳法属于完全归纳法。数学归纳法是一种特殊的论证方法，是解决有关整数问题的一种工具，它使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断。虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题，但是它在很多数学问题中都有重大的作用，很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果。
2数学归纳法的应用举例
2.1证明有关自然数的等式
例1：证明前n个自然数的立方和．
证明 1.．
2.假设，
则
命题证明完毕．
2.2证明有关自然数的不等式
例2：（贝奴利不等式）用数学归纳法证明：(1+∂)n>1+n∂，这里∂>-1且不等于0，n 是大于1的自然数.
证明 1.对于n=2，因∂2>0，故不等式正确．
2.假设不等式对于n=k成立，k∈N，即(1+∂)k>1+k∂.
当n=k+1时，(1+∂)>0，从而有(1+∂)k+1>(1+k∂)(1+∂)，则(1+∂)k+1>1+(k+1)∂+k∂2，将不等式右边舍去正项k∂2，可知所求证不等式成立．
2.3在函数迭代中的应用
一些比较简单的函数，它的n次迭代表达式，可以根据定义直接代入计算，归纳出一般规律后，再用数学归纳法予以证明。所以，直接求法的本质，就是数学归纳法。其中，关键是通过不完全归纳法，找出f[n](x)的一般表达式。
例3：f(x)=x2，求f[n](x)．
解 由定义，f(x)=x2，
f[2](x)=f[f(x)]=f(x2)=(x2)2=，
一般地，可猜得，．假定上式成立，则有．
由数学归纳法知，对所有自然数n都成立．
2.4在几何中的应用
例4：空间被n个平面（这些平面每三个相交于一点，但每四个没有交点，即各斜交平面）划分成多少个部分？
解 1.一个平面将空间分成两个部分．
2.假设空间被n个斜交平面划分成F3(n)个部分，然后考虑n+1个斜交平面的情形．
原先的n个平面将空间划分为F3(n)个部分，这n个平面与第n+1个平面π相交于n条斜交线，因此将它划分为个部分．
因此.
用n-1,n-2,...,2,1代替n，
有：
…
，，
将这些等式相加，得：
．
命题证明完毕．
2.5在排列、组合中的应用
由于数学归纳法可以解决有关自然数的问题，而排列组合与自然数密切相关，所以，在排列组合的许多结论，都可以用数学归纳法来证明。比如排列数公式、组合数公式、自然数n的阶乘公式，二项式定理等重要公式，都能用数学归纳法加以证明。
例5：证明n个元素的全排列的种数可以按下列公式求得：
Pn=1・2・3・...・n=n! （n是自然数）.
证明 1.对于n=1，上式显然是正确的，P1=1=1!．
2.假设n=k时成立，即Pk=k!．
当n=k+1时，加入第k+1个元素，则第k+1个元素的放法有k+1种，由分步计数原理可得：k+1个元素的全排列数
．
从而，当n=k+1时上式也成立．命题证明完毕．
2.6在数列中的应用
数列是中学数学的一个重要内容，其中等差数列、等比数列尤为重要，它与高中数学中的很多知识都有联系，作为解决整数问题的数学归纳法，同样可以用来解决一些有关数列的知识。如等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和公式的证明都需要用数学归纳法。
例6：证明等差数列的前n项为 .
证明 1.当n=1时，公式成立，S1=a1．
2.假设当n=k时公式正确，即 ，
当n=k+1 时，
因此，对一切自然数n的值，前n项和公式都是成立的．
2.7有关整除的问题
例7：求证：对于整数n≥0下面的式子能被133整除：11n+2+122n+1 .
证明1.当n=0时，上式等于133，显然能被133整除．
2.假设当n=k时，11k+2+122k+1能被133整除．
当n=k+1时，
根据我们所作的假设，第一个加数能被133整除，第二个加数里面含有因数133，因此，他们的和，也就是原表达式在n=k+1的时候也能被133整除．
3结束语
数学归纳法是证明数学问题的一个重要方法，在数学中的应用十分广泛，本文只是简单地举了几个解决实际问题的应用例子。本文介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等。
参考文献：
[1]史久一，朱梧著．化归与归纳・类比・猜想．[M]大连理工大学出版社，2008.
[2]华罗庚著．数学归纳法．[M]上海教育出版社，1964．
[3](苏联)索明斯基著．数学归纳法．[M]中国青年出版社，1954.
【关键词】数学归纳法 数学竞赛 数学教育
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）32-0159-02
一、数学归纳法在数学竞赛中的价值
一直以来数学归纳法都是我国中学数学教育非常重要的教学内容，而且当学生有效的掌握数学归纳法实际上也就踏入了数学研究的门槛。数学归纳法主要有两个核心的内容，一个是起点验证，而另一个是归纳推理，不过在这两点中，归纳推理的难度相较于起点验证来说要更难一些，这主要是因为归纳推理考验的是学生的思维能力和逻辑能力，在一些数学竞赛中经常会设置一些需要用到数学归纳法的题型来综合性的考验学生的实际能力。而反之学生也可以参照数学竞赛的这种设置来不断的提升自身对数学归纳法应用的熟练度，从而在数学竞赛中脱颖而出。
二、数学归纳法在数学竞赛实题中的应用
数学归纳法在数学竞赛中常被应用，所以以数学竞赛实题来作为本文研究数学归纳法在数学竞赛中的应用是最好不过的例子。
在某年的数学竞赛中有一题是：设正整数n≥6，需要证明单位正方形可以剖分为n个小正方形。其实当看到这道题的时候学生首先就应该对这道题可能的考查点有一个明确的判断，此题除了给出了n的范围之外给出的唯一的条件就是正方形。众所周知正方形的四条边是具有相等的独特性的，所以该题必然是一道考量一般规律的题，也就是说其会用到数学归纳法，所以在这个时候学生就应该从数学归纳法的角度上去看这道数学竞赛题。首先以数学归纳法的第一个条件，起点验证来确定这道题目的正确性，当n分别等于6、7、8的时候，我们发现一个单位正方形是可以利用田字格的方式将其划分为四个小正方形，因此使用跳跃式数学归纳法该命题是成立的。
那么如果该题的n=k是成立的话，那么对于n=k+3也应该成立。在n=k的命题研究中我们将一个小正方形分成了四个小正方形，从而获得了n=k+3个小正方形。
因此从数学归纳法的角度上来说，该题的题目是得到了验证的。其实从本题的本质上来看，这仅仅是一道简单的跳跃式数学归纳法，但是纵观近几年的中学数学竞赛，这种题型屡见不鲜，这也就意味着我国的数学教育正在逐步的提高数学归纳法在其中的占比，希望能够培养出更多的具有专业数学素养，拥有良好思维能力和逻辑能力的高素质人才。本文选择的例子是数学竞赛中比较常用的但是在难度上相对较低的数学归纳法应用题型，还有许多应用到数学归纳法的题型要比上述例题更加的复杂。譬如说设整数n≥4，证明可以将任意一个三角形剖分为n个等腰三角形。虽然乍看上去这道题的题型与上述中的例题非常相似，但是实际上由于等腰三角形具有独特的图形特质，因此尽管同属于数学归纳法应用的题型，但是在验证上，这道题的验证过程要比上一道题的验证过程复杂得多。因为要想验证这道题首先必须要验证任意一个直角三角形是可以剖分为两个等腰三角形的，然后还要验证任意一个三角形是可以剖分为k个直角三角形的，其中k是≥2的，最后还要验证一个等腰三角形可剖分为四个等腰三角形。只有先将这三个引理验证清楚才能够借此回归到原题去证明当n≥4的时候，可以将任意一个三角形剖分为n个等腰三角形。这实际上就是数学归纳法的综合性应用，它需要学生能够考量到的多方面的因素，从而通过数学归纳法去验证自己的想法。
三、结束语
一直以来数学归纳法都是我国数学教育的重中之重，不过在应试教育的压迫下，数学归纳法虽然得到重视，但是学生的自我思考能力也逐渐的被磨灭，所以随着我国新课改进程的逐渐推进，素质教育更多的是强调通过数学归纳法来树立学生的思维逻辑，而不是让他们更多去应付考试，本文觉得这才是数学归纳法存在的意义与价值。
参考文献：
一、归纳法的含义与标准形式
1.归纳法的含义
归纳法，简单说就是对事物的特殊性质或现象进行总结和观察，从中找出一般规律的思维方法。其核心精髓在于实验与总结。
归纳法主要包括不完全归纳法与完全归纳法，前者主要是针对事物某一些特殊性质或个别现象来进行一般规律总结的猜测式推断方法；后者则是针对覆盖事物一切特殊现象进行研究，最后总结出一般规律的推理方法，这一总结往往更加准确。
2.归纳法的标准形式
归纳法最早来自于关于自然数的归纳，经过发展成为多种表现形式，主要的形式是标准形式。标准形式也就是根据归纳原理，能够证明：当P（n）是自然数n的命题，（基础）如果当n=1时，P（n）成立，（总结）当P（k）成立的条件下能够证明P（k+1）也成立（其中k为任意自然数），那么P（n）关于所有自然数都成立这样的形式。
二、归纳法在数学概念教学中的应用举例
1.归纳法在三角函数概念教学中的应用
三角函数是初中数学中非常重要的概念，将归纳法应用在三角函数的证明中，能够说明三角函数的一些性质。
例1 已知三角形ABC的三个边长a、b、c均为有理数，证明：（1）cosA为有理数；（2）当n为任何正的自然数时，cosnA都为有理数。
归纳法的证明过程如下：
对于（1）的证明：因为a，b，c均为有理数，根据有理数的概念和余弦定理可得：cosA=，因为是有理数，所以cosA也为有理数。
对于（2）的证明则采用归纳法进行论证，也就是cosnA为有理数的具体证明过程。
2.归纳法在勾股定理证明中的应用
勾股定理以其简单、便捷的逻辑关系呈现了直角三角形的两条直角边长与斜边长的关系，体现了数形结合的思想。
例2 证明勾股定理。
勾股定理概念的内容阐述为：任何一个直角三角形两条直角边平方之和等于斜边的平方，即直角三角形ABC中，如果∠C=90° 那么直角对应边c与两锐角对应边a、b的关系为c2=a2+b2.
为了能够让学生更加深入地理解这一原理，可以通过归纳法来证明，具体的过程如下：
欲证明RtABC中c2=a2+b2（a，b，c都为正数）对于任何正数都成立，只需证明c2=sin2A・c2 +sin2B・c2 对于任何正数都成立，（由于sinA所以a=sinA・c，b=sinB・c）
归纳法证明：
c2=sin2A・c2+sin2B・c2可以看作是关于c的命题，
（1）当c=1时，1= sin2A+sin2B，sinB=sin（90°-A）=cosA，即：1= sin2A+ cos2A 即命题成立。
（2）假设c=k（k属于正数集，且k≥1）时命题成立，也就是k2= sin2A・k2 +sin2B・k2 成立，那么当c=k+1时，
（k+1）2= sin2A・（k+1）2 +sin2B・（k+1）2
k2+2k+1= sin2A（k2+2k+1）+ sin2B（k2+2k+1）
k2+2k+1=sin2Ak2+ sin2A・2k+ sin2A+sin2Bk2+ sin2B・2k+ sin2B.
因为k2= sin2A・k2 +sin2B・k2，2k+1=2k（sin2A+ cos2A）+ sin2A+ sin2B，
又因为1= sin2A+ cos2A 成立，所以，2k+1=2k+1.
即：（k+1）2= sin2A・（k+1）2 +sin2B・（k+1）2成立。也就是当c=k+1时，结论是成立的。
综合（1）和（2）得出，c2 =sin2A・c2 +sin2B・c2 对于任何正数都成立，也就是c2=a2+b2 （a，b，c都为正数）对于任何正数都成立。所以，直角三角形中的勾股定理是成立的。
三、归纳法在数学概念教学中的应用原则
1.由浅入深，逐步引导
归纳法体现的是一个思维过程，教师在运用归纳法帮助学生进行概念推理与理解时，要根据学生的接受能力，对学生进行逐步地教育和引导。
例3 利用归纳法推导 “三角形中位线性质”。
教师带领全班学生拿出一张白纸，随心所欲地剪出一个三角形，并用尺测量出自己所裁剪出的三角形ABC的各个边长，分别做好记录，然后在这个三角形的三条边上取中点E、F、G，将任意两个腰上的两点连接，继续测量其长度，将其同对应的底边长对比，试问学生发现了什么规律？
经过学生的详细测量与计算发现，中位线，几乎所有的学生都得出了这样的测量结果，说明了中线同底边的关系，归纳得出：三角形的中线是底边长的一半。
2.实例引导，归纳总结
归纳法在于通过对某一数学关系殊例子的运用总结出其中的一般规律，是人们对客观事物或规律的认知的体现。教师在教学数学概念知识的时候，可以将这一思想纳入数学概念教学中，使学生经历认识事物的过程，让他们的思维得到锻炼，逐步掌握归纳法的数学思维。
关键词：数学归纳法；数学教学；证明；应用
数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。因此，它不仅是高考数学的一个重要考点，也是一个难点。在看似简单易懂、形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其内在实质。有些学生仅仅只是生硬地记忆和牵强地套用形式，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应
用呢？在哪些类型的题上使用可以更加方便？数学归纳法又有哪些局限性？我们应该怎样具体问题具体分析，更好地学习和利用数学归纳法呢？
当然，数学归纳法在很多时候也会使解题变得复杂繁琐，因此
我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中的应用。
一、应用数学归纳法证明恒等式
应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。
例1.用数学归纳法证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n∈N*）
证明：（1）当n=1时，左边=1=（2×1-1）=右边，等式成立。
（2）假设n=k时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）…（3k-2）=（2k-1）2
那么，当n=k+1时有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
=［k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）］+8k
=（2k-1）2+8k
=4k2+4k+1
=（2k+1）2
=［2（k+1）-1］2
即当n=k+1时，等式也成立，对于任意正整数n，等式都成立。
二、应用数学归纳法证明整除问题
应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用
之一。这类问题涉及整除性的知识，如果a能被b整除，那么a的倍数ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除，从整数的基本入手，通过添项、去项进行“配凑”，使之能够获证。
例2.证明f（n）=5n-1+2·3n+1能被8整除。
证明：（1）当n=1时，f（1）=50+2·31+1=8，显然能被8整除，命题成立。
（2）假设当n=k时，原命题成立，即f（k）=5k-1+2·3k+1能被8整除，那么，当n=k+1时，f（k+1）=5k+2·3k+1+1
=5·5k-1+6·3k+1+4·3k-4·3k
=5·5k-1+10·3k+5-4·3k-1-4
=5f（k）-4（3k-1+1）
这里第一项由归纳假设能被8整除，第二项中3k-1是奇数，则3k-1+1是偶数。故第二项4（3k-1+1）能被8整除，由整除性质可知，它们的差也能被8整除，这就是说：当n=k时命题也成立。即原命题对所有自然数n都成立。
三、应用数学归纳法证明几何问题
应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。有很多与正整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明，但在证明之前要找出规律，获得公式，而后才能应用数学归纳法证明结论。
需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n=k到n=k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定式，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。
通过以上只是想说明对于有关自然数的命题的证明。不一定都采用数学归纳法这一种方法而应该针对题目本身的特点，选择适当的方法达到简化证明过程的目的。从另一个角度来讲也能克服学习中的思维定式，使知识融会贯通，灵活运用。
以上我们对数学归纳法的基本形式及在中学数学中和自然数函数有关的整式、不等式、整除问题和几何问题等一些常见题型中的应用做了简单的举例，并通过相应的例题对这几种方法进
行了解析，使学生对数学归纳法有了更进一步的了解。纵观科学技术迅猛发展的当今时代，我们对数学归纳法的研究已经取得了很
关键词 多米诺骨牌 数学归纳 法推理
中图分类号：O1 文献标识码：A
在中学数学中，一般学生不难运用数学归纳法的两个步骤来证明相关题型。但数学归纳法的基本思想很多学生却一知半解。比如数学归纳法用来解决什么问题；用数学归纳法证明题的两个步骤是怎么得出来的；为什么只要证明了这两个步骤就证明了命题对一切自然数都成立。这些问题很多学生都是摸摸糊糊的，而多诺米骨牌游戏可以帮助我们认识这些问题。
（1）数学归纳法是一种由特殊到一般的推理方法。是人们在认识客观世界的时候经常采用的方法，具体指考查和研究一些特殊的和个别的事物，在获得对这些事物认识的基础上总结和抽象出一般的结论的一种方法。数学归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法。不完全归纳法主要考查若干个具体实例然后由此得出结论，如例1：
例1三角形内角和为180浚-2）0
四边形内角和为360浚-2）0
五边形内角和为560浚-2）0
六边形内角和为720浚-2）0。
从而归纳得出n边形的内角和是（n-2）0
不难看出，不完全归纳法的结论不一定正确。例如，学生试卷中，如果几份试卷都及格，就认为全班都及格，显然这个结论不可靠，要逐个审阅才能得出正确的结论，所以例1的结论也不一定正确。
（2）完全归纳法是对所有对象都作了考查才得出结论。所以要用完全归纳法才能得出正确的结论。以下将举例说明完全归纳法的步骤。
当考查的对象是有限个时，只需一一验证。
当考查的对象是无限个时，我们不能一一考查，我们将用什么方法来实现完全归纳法呢？应用数学归纳法可以通过有限的方法来解决无限的问题。
例2考查f（n）=1+3+5+7+…+（2n-1）
当n=1时，得f（1）=1=12
当n=2时，得f（2）=1+3=4=22
当n=3时，得f（3）=1+3+5=9=32
当n=4时，得f（4）=1+3+5+7=16=42
……
当n=100时，得f（100）=1+3+5+7+9……+199=10000=1002
猜想：对任意的自然数都有
1+3+5+7+9+……（2n-1）=n2
就此，我们只能对上面的结论作猜想，因为自然数的无穷性，我们无论计算多少次都不能肯定结论的正确性，而我们也不可能对自然数一一考查。
著名的多米诺骨牌游戏，将许多牌立成一列，现在要把它们推倒。因为有许多许多（无穷多），将它一个一个地推是无法办到的。我们只需要推倒第一张牌，然后由第一张牌推第二张牌，再由第二张牌推第三张牌，由第三张牌推第四张牌，……由此下去，所有的牌就推倒了。显然要推倒所有的牌必须满足二个条件，第一，人为地推倒第一张牌，第二，必须前一张牌能推倒后一张牌。
考查对于所有自然数的命题成立与否也可以用这个方法。
如对于例2，证明对一切自然数
f（n）=1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2
证明：当n=1时，f（1）=12命题成立
相当于推倒第一张牌，这是基础。
由n=1命题成立n=1+1=2时命题成立，相当于由第一张牌推倒第二张牌。
由n=2命题成立n=2+1时命题成立，相当于由第二张牌推倒第三张牌。
由n=3命题成立n=3+1时命题成立，相当于由第三张牌推倒第四张牌。
……
以上第二个步骤可由一个类推式子表示。
当n=k命题成立n=k+1时命题成立（k∈N），就是由前一张牌推后一张牌的过程，这是一个类推过程，当k取遍一切自然数时，命题即对一切自然数都成立。
所以对此题，假设n=k，对等式成立（k∈N），即从1开始连续k个奇数和等于其项数k的平方，即是1+3+5+……+（2k-1）=k2
当n=k+1时
1+3+5+7+9……+（2k-1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2
此即当n=k+1时等式也成立。所以当k取遍一切自然数时，可得对任何自然数n等式成立。
由此我们顺利地得到数学归纳法的两个步骤：
①当n取第一个值时，n=1（或n=2）时命题成立。
②假设n=k（k∈N）命题成立n=k+1时命题成立。
第二个步骤表示第一个值后面的所有自然数，命题都成立。第二个步骤的实质解决了从有限到无限的问题。
应该指出没有第一个步骤，第二个步骤的类推是空中楼阁，而只有第一个步骤，没有第二个步骤无论验证多少个值，都只能是不完全归纳，不能得到最后的正确结论。
还应该指出，数学归纳法证明一般来说应当是关于自然数的命题，但并不是任何涉及自然数的命题的正确性都一定要用数学归纳法去证明。有些问题如果可以通过直接计算去证明就不用数学归纳法了，例如等式（n+1）（n-1）=n？-1对于一切自然数成立，只要通过计算就可以由左边推到右边，而对于那些无法直接计算又必须由小到大顺序计算的式子，通常就要用数学归纳法了
参考文献
[1] 庄斌，李桂峰.“多米诺骨牌”理论思想渊源探析[J].山西大学，2005.
在中学数学中，一般学生不难运用数学归纳法的两个步骤来证明相关题型。但数学归纳法的基本思想很多学生却一知半解。比如数学归纳法用来解决什么问题；用数学归纳法证明题的两个步骤是怎么得出来的；为什么只要证明了这两个步骤就证明了命题对一切自然数都成立。这些问题很多学生都是摸摸糊糊的，而多诺米骨牌游戏可以帮助我们认识这些问题。
（1）数学归纳法是一种由特殊到一般的推理方法。是人们在认识客观世界的时候经常采用的方法，具体指考查和研究一些特殊的和个别的事物，在获得对这些事物认识的基础上总结和抽象出一般的结论的一种方法。数学归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法。不完全归纳法主要考查若干个具体实例然后由此得出结论，如例1：
例1三角形内角和为180?浚?-2）??0??
四边形内角和为360?浚?-2）??0??
五边形内角和为560?浚?-2）??0??
六边形内角和为720?浚?-2）??0?。?
从而归纳得出n边形的内角和是（n-2）??0??
不难看出，不完全归纳法的结论不一定正确。例如，学生试卷中，如果几份试卷都及格，就认为全班都及格，显然这个结论不可靠，要逐个审阅才能得出正确的结论，所以例1的结论也不一定正确。
（2）完全归纳法是对所有对象都作了考查才得出结论。所以要用完全归纳法才能得出正确的结论。以下将举例说明完全归纳法的步骤。
当考查的对象是有限个时，只需一一验证。
当考查的对象是无限个时，我们不能一一考查，我们将用什么方法来实现完全归纳法呢？应用数学归纳法可以通过有限的方法来解决无限的问题。
例2考查f（n）=1+3+5+7+…+（2n-1）
当n=1时，得f（1）=1=12
当n=2时，得f（2）=1+3=4=22
当n=3时，得f（3）=1+3+5=9=32
当n=4时，得f（4）=1+3+5+7=16=42
……
当n=100时，得f（100）=1+3+5+7+9……+199=10000=1002
猜想：对任意的自然数都有
1+3+5+7+9+……（2n-1）=n2
就此，我们只能对上面的结论作猜想，因为自然数的无穷性，我们无论计算多少次都不能肯定结论的正确性，而我们也不可能对自然数一一考查。
著名的多米诺骨牌游戏，将许多牌立成一列，现在要把它们推倒。因为有许多许多（无穷多），将它一个一个地推是无法办到的。我们只需要推倒第一张牌，然后由第一张牌推第二张牌，再由第二张牌推第三张牌，由第三张牌推第四张牌，……由此下去，所有的牌就推倒了。显然要推倒所有的牌必须满足二个条件，第一，人为地推倒第一张牌，第二，必须前一张牌能推倒后一张牌。
考查对于所有自然数的命题成立与否也可以用这个方法。
如对于例2，证明对一切自然数
f（n）=1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2
证明：当n=1时，f（1）=12命题成立
相当于推倒第一张牌，这是基础。
由n=1命题成立n=1+1=2时命题成立，相当于由第一张牌推倒第二张牌。
由n=2命题成立n=2+1时命题成立，相当于由第二张牌推倒第三张牌。
由n=3命题成立n=3+1时命题成立，相当于由第三张牌推倒第四张牌。
……
以上第二个步骤可由一个类推式子表示。
当n=k命题成立n=k+1时命题成立（k∈N），就是由前一张牌推后一张牌的过程，这是一个类推过程，当k取遍一切自然数时，命题即对一切自然数都成立。
所以对此题，假设n=k，对等式成立（k∈N），即从1开始连续k个奇数和等于其项数k的平方，即是1+3+5+……+（2k-1）=k2
当n=k+1时
1+3+5+7+9……+（2k-1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2
此即当n=k+1时等式也成立。所以当k取遍一切自然数时，可得对任何自然数n等式成立。
由此我们顺利地得到数学归纳法的两个步骤：
①当n取第一个值时，n=1（或n=2）时命题成立。
②假设n=k（k∈N）命题成立n=k+1时命题成立。
第二个步骤表示第一个值后面的所有自然数，命题都成立。第二个步骤的实质解决了从有限到无限的问题。
例1如图1所示电路，AB右侧有无穷多个电阻，每个电阻的阻值皆为R，将AB两端接入电路，试计算AB之间的总电阻.
解析设AB之间的总电阻为Rx，通过对电路结构的分析、归纳可得：若将靠近AB端的两个、四个、六个…….偶数个电阻去掉之后剩下的那部分电路，与原来的电路结构完全相同，所以它们的阻值也应该是完全相同的.现在以去掉左侧两个电阻之后的电路为例，该电路电阻也为Rx，故AB之间的等效电路如图2所示.根据电阻的串并联规律可得
（Rx+R）R1（Rx+R）+R=Rx，
解之得Rx=5+112R.
解决本题的主导思想就是在于利用对部分电路进行分析，通过与整个电路的对比进而归纳总结出相应的等效电路，从而将无限变为有限，使问题得以简化.
例2如图3所示，常温常压下，一导热性能良好的密闭容器，容积为V0，内部气体压强为p0，现用容积为ΔV的抽气筒对该容器进行缓慢抽气，试求抽完N次后，容器内剩余气体的压强是多少？
解析抽气问题属于典型的变质量问题.处理这类抽气问题有两点需要明确：一、如何将变质量问题转化成“不变质量”问题，也就是要选取合适的研究对象；二、如何探寻每一次抽气前后，容器内气体的压强变化规律，这就需要用到数学归纳法去总结出带有一般性规律的表达式.
依题意，抽气过程中，气体做等温变化，遵循的是玻意尔定律.每一次抽气时，取容器和被抽气筒抽出的气体这样一个整体作为研究对象.第一次抽气前后有
P0V0=P1（V0+ΔV）（1）
第二次抽气之前容器内剩余气体的压强就是p1，所以第二次抽气前后仍然有
P1V0=P2（V0+ΔV）（2）
第三次抽气之前容器内剩余气体的压强就是p2，亦有
P2V0=P3（V0+ΔV）（3）
……
第N次抽气前后，有
PN-1V0=PN（V0+ΔV）（4）
（4）式的获得就是对（1）、（2）、（3）式进行归纳推导的结果.
由（1）式可得p1=V01V0+ΔV p0（5）
由（2）式可得p2=V01V0+ΔV p1（6）
由（3）式可得p3=V01V0+ΔV p2（7）
（5）、（6）两式联立可得p2=（V01V0+ΔV）2p0（8）
（7）、（8）两式联立可得p3=（V01V0+ΔV）3p0（9）
通过对（5）、（8）、（9）三式再一次进行归纳推理可得：抽完N次后，容器内剩余气体的压强表达式为
pN=（V01V0+ΔV）Np0.
在本题中，方程的建立和解方程的过程都用到了数学归纳法.这里需要特别说明一点，与数学中用数学归纳法证明问题不同的是，物理中不再需要验证结论这一环节，而是将重点放在如何探究从特殊情况到一般结论这一归纳的过程和结果上来.
例3有N个质量均为m的人，站在质量为M的平板车上.开始时，人与车均静止于光滑水平面上，若这N个人都从平板车的后端以相对于平板车为u的水平速度从车上向后跳下，车因此向前反冲前进.
（1）若N个人同时跳车，平板车获得的速度是多大？
（2）若N个人依次跳车，平板车获得的速度又是多大？
解析很显然，本题中，第二种情况要复杂一些，如不仔细加以分析，很容易给人造成两种情况貌似完全相同的错觉.
第一种情况下，N个人同时跳车，设人跳车时车向前的速度大小为v，则此时人对地向后的速度大小为v′=u-v，方向与车速方向相反，跳车过程中人与车系统在水平方向上动量守恒，即Mv-Nmv′=0.故平板车获得的反冲速度为
v=Nmu1M+Nm.
第二种情况下，N个人依次跳车时，在第一个人跳车前后，由系统在水平方向上动量守恒可得
[M+（N-1）m]v1-m（u-v1）=0，
解得v1=mu1M+Nm（1）
其中v1为第一个人跳车后的车速.在第二个人跳车前，新系统已经具有了一定的初动量
p1=[M+（N-1）m]v1，
故在第二个人跳车前后，根据新系统动量守恒可得
[M+（N-2）m]v2-m（u-v2）=[M+（N-1）m]v1，
解之得v2-v1=mu1M+（N-1）m（2）
其中v2为第二个人跳车后的车速.同理，在第三个人跳车前后，有
[M+（N-3）m]v3-m（u-v3）=[M+（N-2）m]v2，
解之得v3-v2=mu1M+（N-2）m（3）
其中v3为第三个人跳车后的车速.同理依次类推有
v4-v3=mu1M+（N-3）m（4）
……
vN-vN-1=mu1M+[N-（N-1）]m，
即vN-vN-1=mu1M+m（5）
将以上所有表达式左边相加有
v1+（v2-v1）+（v3-v2）+（v4-v3）+…+（vN-1-vN-2）+（vN-vN-1）=vN，
右边相加即为vN的最终表达式，故
vN=mu1M+Nm+mu1M+（N-1）m+mu1M+（N-2）m+…
+mu1M+m.
由于vN表达式中的分子都是相同的，而分母越来越小，故这N项之和大于第一项mu1M+Nm的N倍，即vN>Nmu1M+Nm，也即vN>v，说明平板车在第二种情况下获得的速度大于第一种情况.
渗透初中数学中蕴涵了丰富的数学思想、方法的内容。如字母表示数的思想，数形结合的思想、函数思想、统计思想、分类思想（包括等价转化思想与化归思想）、等量思想、不等量思想等大量数学思想。数学方法有理论形成的方法、观察法、实验法、类比法、一般化方法和抽象化方法；解决具体数学问题的方法有代入法、消元法、降次法、配方法、待定系数法、分析法、综合法、坐标法、变换法等。数学知识、思想、方法、技能密不可分，相互联系，相互依存，协同发展，只要在课堂教学法中认真把握，把它们融于一体、就能使学生在学习过程中潜移默化，不知不觉地获得这些思想方法。下面是自己在教学中的一些做法和体会。
一、钻研教材，充分挖掘教材中蕴涵的数学思想方法。
新教材的弹性很大，其选择的材料是精心组织、合理安排的，表达了一定的思想、方法和目的，但是教师怎样设计数学情景？学生应形成怎样的数学思想和方法，教材只做了简短的说明。但是基本的数学思想、方法确如灵魂一样支配着整个教材。因此，教师在教学过程中一定要研究大纲，吃透教材，把教材中蕴涵的数学思想、方法精心设计到教案中去。例如初一代数第一册（上）的核心是字母表示数，正是因为有了字母表示数，我们才能总结一般公式和用字母表示定律，才形成了代数学科，这册教材以字母表示数为主线贯穿始终，列代数式是用字母表示已知数，列方程是用字母表示未知数，同时本章通过求代数式的值渗透了对应的思想，用数轴把数和形紧密联系起来，通过数形结合来巩固具有相反意义的量的概念、了解相反数及绝对值、研究有理数加、减法和乘法的意义等，通过有理数、整式概念的教学，渗透了分类思想，教师只有这样去把握教材的思想体系，才能在教学中合理地渗透数学思想和方法。
二、注重在知识介绍与展示过程中渗透数学思想和方法。
概念、公式、法则、性质、定理等数学结论的导出过程，不是简单的再现，教师要创设一定的问题情景，提供丰富的感知材料，使学生的思维经历数学结论的发生、发展、形成的全过程，并在这一过程中通过尝试、观察、猜想、归纳、概括、类比、假设、检验等自我接受数学思想、方法的渗透。教师要抓住各种时机，引导学生透过问题表面理解问题本质，总结出教学思想方法上的一些规律性的内容。如：学习整式的加、减、乘、除运算时，用数的运算性质去探索式的同类运算也具有这样的性质，实现数——式的转化，也是由特殊到一般，由具体到抽象的关系。
三、点滴孕伏，不断再现，逐渐强化。
数学思想、方法不可能经历一次就能正确认识并迁移，需要在长期的教学中，点点滴滴地孕伏，断断续续的再现，若隐若明的引导，日积月累的强化，使学生达到掌握的程度。 例如学习因式分解时可给下列题组：（1） －11x＋24 （2） －11 ＋24 （3） －11（x＋y）＋24 （4）（ ＋2x）2－11（ +2x）+24 （5）（ +2x－3）（ +2x－8）+36 （6）（x－1）（x－2）（x＋3）（x＋4）－36由（1）题过渡到（2）（3）（4）渗透了换元的思想，（5）（6）渗透了化归思想。通过解一元二次方程、一次方程组、分式方程和无理方程，使学生的转化认识、消元降次、化归的思想方法日趋成熟。再如对一元一次方程和一元一次不等式的解法进行类比，使学生了解它们的联系与区别，让学生学会了用类比思想解决问题的方法，在初二学分式及其运算时，学生运用类比的思想由分数的性质和运算可以自主展开对分式的研究。
四、把基本数学思想、方法、知识、技能融于一体。
教师在课堂中要把基本的数学思想、方法与知识、技能融于一体，使学生在学习知识、技能的同时，也悟到一定的数学思想方法，在运用思想方法的同时，也巩固了知识、技能。这样，思想方法有载体，知识、技能有灵魂，才能真正提高学生的数学素养。例如证明勾股定理或乘法公式时，经常由图形面积的等积变形来实现，这是把数量关系问题转化为图形问题来解决的典型例子。与此相反，证明两直线垂直时，可通过勾股定理的逆定理来证明或由角的数量关系来证明，这是把图形关系问题转化为数量关系问题的典型例子。通过这两种转化方法的不断训练，学生才能不断体会到数形结合的精妙之处，才能把数学思想、方法、知识、技能融于一体，才能真正领悟数形结合的思想方法。
五、有计划、有目的、有组织地上好思想方法训练课。
小结课、复习课是系统知识，深化知识，使知识内化的最佳课型，也是渗透数学思想方法的最佳时机，通过对所学知识系统整理，挖掘提炼解题指导思想，归纳总结上升到思想方法的高度，掌握本质，揭示规律。初中数学中有许多体现“分类讨论”思想的知识和技能。如：1、实数的分类；2、按角的大小和边的关系对三角形进行分类；3、求任意实数的绝对值分大于零、等于零、小于零三种情况讨论；4、把两个三角形的形状、大小关系揭示得较为清楚的方法，是把两个三角形分为相似与不相似两大类；…，所有这些，充分体现了分类讨论的思想方法，有利于学生认识物质世界事物之间的联系与区别。
六、运用多媒体手段使数学思想方法形象化。
关键词：新课标；数学思想方法；归纳；渗透
初中数学中蕴涵了丰富的数学思想、方法的内容。如字母表示数的思想，数形结合的思想、函数思想、统计思想、分类思想（包括等价转化思想与化归思想）、等量思想、不等量思想等大量数学思想。数学方法有理论形成的方法、观察法、实验法、类比法、一般化方法和抽象化方法；解决具体数学问题的方法有代入法、消元法、降次法、配方法、待定系数法、分析法、综合法、坐标法、变换法等。数学知识、思想、方法、技能密不可分，相互联系，相互依存，协同发展，只要在课堂教学法中认真把握，把它们融于一体、就能使学生在学习过程中潜移默化，不知不觉地获得这些思想方法。下面是自己在教学中的一些做法和体会。
一、钻研教材，充分挖掘教材中蕴涵的数学思想方法。
新教材的弹性很大，其选择的材料是精心组织、合理安排的，表达了一定的思想、方法和目的，但是教师怎样设计数学情景？学生应形成怎样的数学思想和方法，教材只做了简短的说明。但是基本的数学思想、方法确如灵魂一样支配着整个教材。因此，教师在教学过程中一定要研究大纲，吃透教材，把教材中蕴涵的数学思想、方法精心设计到教案中去。例如初一代数第一册（上）的核心是字母表示数，正是因为有了字母表示数，我们才能总结一般公式和用字母表示定律，才形成了代数学科，这册教材以字母表示数为主线贯穿始终，列代数式是用字母表示已知数，列方程是用字母表示未知数，同时本章通过求代数式的值渗透了对应的思想，用数轴把数和形紧密联系起来，通过数形结合来巩固具有相反意义的量的概念、了解相反数及绝对值、研究有理数加、减法和乘法的意义等，通过有理数、整式概念的教学，渗透了分类思想，教师只有这样去把握教材的思想体系，才能在教学中合理地渗透数学思想和方法。
二、注重在知识介绍与展示过程中渗透数学思想和方法
概念、公式、法则、性质、定理等数学结论的导出过程，不是简单的再现，教师要创设一定的问题情景，提供丰富的感知材料，使学生的思维经历数学结论的发生、发展、形成的全过程，并在这一过程中通过尝试、观察、猜想、归纳、概括、类比、假设、检验等自我接受数学思想、方法的渗透。教师要抓住各种时机，引导学生透过问题表面理解问题本质，总结出教学思想方法上的一些规律性的内容。
三、点滴孕伏，不断再现，逐渐强化
数学思想、方法不可能经历一次就能正确认识并迁移，需要在长期的教学中，点点滴滴地孕伏，断断续续的再现，若隐若明的引导，日积月累的强化，使学生达到掌握的程度。通过解一元二次方程、一次方程组、分式方程和无理方程，使学生的转化认识、消元降次、化归的思想方法日趋成熟。再如对一元一次方程和一元一次不等式的解法进行类比，使学生了解它们的联系与区别，让学生学会了用类比思想解决问题的方法。
四、把基本数学思想、方法、知识、技能融于一体
教师在课堂中要把基本的数学思想、方法与知识、技能融于一体，使学生在学习知识、技能的同时，也悟到一定的数学思想方法，在运用思想方法的同时，也巩固了知识、技能。这样，思想方法有载体，知识、技能有灵魂，才能真正提高学生的数学素养。例如证明勾股定理或乘法公式时，经常由图形面积的等积变形来实现，这是把数量关系问题转化为图形问题来解决的典型例子。与此相反，证明两直线垂直时，可通过勾股定理的逆定理来证明或由角的数量关系来证明，这是把图形关系问题转化为数量关系问题的典型例子。通过这两种转化方法的不断训练，学生才能不断体会到数形结合的精妙之处，才能把数学思想、方法、知识、技能融于一体，才能真正领悟数形结合的思想方法。
五、有计划、有目的、有组织地上好思想方法训练课
小结课、复习课是系统知识，深化知识，使知识内化的最佳课型，也是渗透数学思想方法的最佳时机，通过对所学知识系统整理，挖掘提炼解题指导思想，归纳总结上升到思想方法的高度，掌握本质，揭示规律。初中数学中有许多体现“分类讨论”思想的知识和技能。如：1、实数的分类；2、按角的大小和边的关系对三角形进行分类；3、求任意实数的绝对值分大于零、等于零、小于零三种情况讨论；4、把两个三角形的形状、大小关系揭示得较为清楚的方法，是把两个三角形分为相似与不相似两大类；…，所有这些，充分体现了分类讨论的思想方法，有利于学生认识物质世界事物之间的联系与区别。
六、运用多媒体手段使数学思想方法形象化
一、明析归纳法，掌舵教学方向
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法两类。归纳法是指从个别性知识引出一般性知识的推理，即由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理。数学上的归纳法即由某些特殊的生活数学事实，概括出数学概念、数学规律、数学结论的推理^程。
二、妙用归纳法设计模式，彰显归纳推理魅力
小学数学教学中经常会采用“归纳法”组织教学，教师在设计教学过程时，要让学生经历“再创造、再发现”的过程，从而认可归纳的过程和归纳的结果。因此，我们可以采取分类进行归纳和转换数学形式演绎进行设计教学。
（一）分类进行归纳的设计模式
例如，“三角形的内角和”一课的教学设计模式：1.教师要引入内角和的概念，引导学生对三角形的分类进行回顾，得出三角形按角分，有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。2.让学生通过“测量、剪拼、折拼”等探究活动，对任意三角形进行探究，从而归纳得出结论：任意三角形的内角和是180°。3.感受归纳法的魅力。通过设计“三角形的大小与内角和的关系”和“三角形的形状与内角和的关系”，进一步感知“三角形的内角和是180°”。
（二）转换数学形式演绎的设计模式
例如，“乘法分配律”的教学设计：
1. 情境引入，如：植树活动中，每组有4名学生和2名老师，共有25个小组. 那么，参加这次植树活动的一共有多少人？ （解答：（4+2）×25 =150人；4 × 25+2×25 =150人）
2. 情境变化，如：篮球比赛中，需要7套运动服，其中上衣20元，裤子25元. 那么，一共需要多少元？（解答：（20+25）×7=315元；20×7+25×7=315元）
3. 扩展至一般算式，如：56 ×（19+28）=56×19 +56×28……
4. 归纳并用字母表示，如：（a+b）×c =a×c + b×c。
三、角色定位，见证归纳法的教学奇迹
在教学推理思想的教材知识时，归纳法是很重要的一种教学方法。而在实际教学中，我们需要处理好师生的角色定位，不能一味强求学生归纳出结论，但又不能忽视引导学生探索知识的过程。只有活用好教学法，才能让我们的教学在平淡中见证奇迹。
（一）善于归纳，体现教师的教学地位
1. 主动归纳，突显教师主导者的教学价值
关于“万以内的加法和减法”的教学。这部分内容是小学生应该掌握和形成的基础知识和基本技能，也是进一步学习多位数笔算乘除法的基础。例如，两位数的乘法中要把两个部分的积加起来，实际是计算三、四位数的加法。两位数除法中每次“试商”后通常要做三位数的减法。在教学中学生最容易忘记的是相同的数位对齐和加进位的“1”或“减退位”的“1”。因此，教师在课堂上，要在学生演算展示后，主动引导并归纳出计算方法，可以归纳为“一对两注”。“一对”是指“相同的数位”要对齐，“两注”是指注意加进位的“1”或“减退位”的“1”。提醒学生在做题时都要提到“一对两注”，以提高计算的正确率。
2. 引导归纳，突显师生互动的教学价值
关于“有余数除法”的教学。这部分的知识具有承上启下的作用。教学例题前学生对有余数除法是完全陌生的，但是在现实生活中除法不可能是完全可以除尽的。如果在教学中直接教给学生算理，这样的教学方式对学生尤其是后进生来说比较枯燥，学生理解起来也比较困难，计算结果往往失误较多，教学效果不理想。因此，教师要在课堂教学中善于针对学生的学习特点将容易混淆的知识点进行汇总、分类，通过投影让学生观察、分析，让学生重点交流。
（二）探究归纳，体现学生的主体地位
归纳推理是一种非常有价值的数学方法，它是科学发现的种子。《全日制义务教育数学课程标准》中指出：“推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例。”明确地把归纳推理确定为义务教育的培养目标之一。如何在教学实践中完成好这一培养目标，是摆在我们数学教育工作者面前的一项重要课题。在多年的数学教学实践中，笔者总结出以下几种培养学生的归纳推理能力的途径。
一、名人数学故事引导，渗透归纳推理思想
例1：高斯在小学读书时就善于思考问题。他十岁时候，有一天，老师出了一道计算题，要求把从1到100的所有数字加起来。大家都拿出作业本开始加数，只有小高斯例外，他沉思了几分钟，写下答案交给了老师。老师和其他同学都为高斯做得那么快而感到吃惊。老师问高斯那道题是怎样做的，高斯说：“好的，您看，100+1=101，99+2=101，98+3=101，……51+50=101，这样就得到50次101，所以结果是5050。”这个故事一直被人们传为佳话。在这个故事里边，高斯用了归纳推理的方法迅速得出了答案。
例2：1972年，中国数学家陈景润在世界上第一次证明了“1+2”：即任何一个充分大的偶数，都可以表示成一个质数加两个质数的乘积，如108=17+13x7。陈景润的研究成果在世界上处于领先地位，被称为“陈氏定理”。在这个故事中，哥德巴赫用归纳推理的方法得到了陈景润的推断，为世界数学的发展做出了重大贡献。
老师可以选择合适的机会向学生们介绍类似的故事，渗透归纳推理的思想，引起他们对归纳推理的兴趣。
二、精心选择教材内容，展示归纳推理作用
小学数学教材中有很多归纳推理的应用实例，教师要善于选择和利用，向学生们展示归纳推理的作用。
例1：在教师的引导下，让学生们通过观察、比较或实验等方法，学会用归纳推理的方法从个别中发现规律。
如，实验1：量自己数学课本封面的长、宽、周长，比较（长+宽）x2与周长的大小。
实验2：量自己课桌桌面的长、宽、周长，比较（长+宽）×2与周长的大小。
然后老师给学生提出问题：1.数学课本封面和课桌面都是什么形状？2.通过两次实验，大家能得出什么结论？
当学生们思考讨论后很容易归纳出：长方形周长=（长+宽）x2
老师可画龙点睛地点评：同学们通过自己动手操作、计算、比较后得出了长方形周长公式，这是我们大家共同取得的成绩。在这个过程中，我们从课本、课桌的长、宽及周长的关系这个个别性知识推出长方形周长等于长与宽之和的2倍这个一般性结论，这就是归纳推理的过程。以后我们在学习数学中要经常用到这种方法。
例2：在讲授商不变性质的时候，可让几个学生分别在黑板上计算下面几个式子：
6÷3 60÷30 600÷300 6000÷3000
当学生们计算出结果后，把这几个式子放在一起：
6÷3=2
60÷30=2
600÷300=2
6000÷3000=2
此时老师引导学生对这几个式子从上往下看，被除数、除数是怎样变化的，商怎么样。再引导学生们从下往上看，被除数、除数是怎样变化的，商怎么样。把这两个方面结合起来，学生们自己就可以归纳出商不变的性质。
三、合理配置课后练习，培养归纳推理能力
适当留一些课后练习题和思考题是巩固教学成果的重要方法，也是行之有效的方法。特别是数学归纳推理能力的培养更是如此。教师要根据教学内容合理配置一些归纳推理方面的习题，逐步提高同学们归纳推理的能力。
例1：给学生布置下面一组有趣的课后练习题：
（53-35）÷（5-3）
（41-14）÷（4-1）
（62-26）÷（6-2）
让大家归纳出一般规律，再把此规律变成一个非常实用的速算法：53-35=（5-3）x9
41-14=（4-1）x9
62-26=（6-2）x9
例2：先计算：
9+99+3 9+99+999+4 9+99+999+9999+5
再归纳出9+99+…+9999999+8
