时间：2022-02-20 09:34:16
【关键词】 问题 反思 修正
数学的“基本思想”主要指演绎和归纳，这是数学教学的主线，是上位思想。演绎和归纳不是相矛盾的，其教学也不是矛盾的。有时通过归纳预测结论，再通过演绎验证结论，然后再次归纳得清晰的结论；有时经历演绎再归纳出结论。课改前“双基”教学重演绎轻归纳，课改后新课程教学，更应该重视培养学生的归纳能力，推进课改的深入发展。
《数学课程标准》前言阐述：“让学生亲身经历将实际问题，抽象成数学模型并进行解释应用的过程……”。这里“抽象成数学模型”就是归纳的过程，让学生在解决实际问题过程中学会从特殊到一般的推理能力。纵观当前课堂教学情况，“归纳”教学环节存在教师代替学生归纳的伪归纳现象和半归纳的状况。下面以两个教学案例进行解读、反思修正。
案例一：北师大版三年级上册正方形周长。
教材中教学资源：求边长30厘米的地砖周长。
学生尝试自主探究解决问题，反馈情况如下：
生1：我的方法是把地砖四条边的长相加，得到正方形地砖的周长。
算式：30+30+30+30=120（厘米）
生2：我先算地砖两组对边的长，再相加得到地砖的周长。
算式：30×2＋30×2＝120（厘米）
生3：我想正方形是一种特殊的长方形，用求长方形周长的算法。
算式：（30+30）×2=120（厘米）
生4：地砖是正方形，每边长都是30厘米，只要边长乘4就得到正方形地砖的周长。
算式：30×4=120（厘米）
师：同学们真棒！能用多种方法求出正方形地砖的周长，比较这几种算法哪一种方法比较简便？
生1：用30×4的方法最简便。
生2：算正方形周长用边长乘4最简便。
师：这位同学说得真好，以后求正方形周长用这种方法计算。
板书：正方形周长=边长×4
案例解读：案例中学生“归纳”过程只从算法比较中，得出计算正方形周长等于边长乘4的方法最简便。在应用模型解决问题时学生也会应用“边长乘4”求正方形周长，从计算的层面要求是达到教学目的，但学生并没从中学到归纳的数学思想，案例中的归纳是虚的，是“伪归纳”。
案例反思与修正：何为真归纳、有效归纳，案例中学生交流四种不同求正方形地砖周长算法后，教师不要急于让学生进行算法简便与复杂层面的比较，而应引导学生进行不同思考方法的交流归纳。教师可提出此问题：这四种求正方形地砖周长的不同算法有什么共同点？此问题抛给学生后，作以下的“学情预设”：
生：这四种方法的共同点都是求正方形地砖四条边总长，也就是求正方形的周长。
师：你能从具体算式说一说吗？
生1：30+30+30+30是四条边长度相加，得到周长，也是边长乘4。
板书：30+30+30+30=30×4
生2：30×2＋30×2是先算两组对边的长度，再相加得到周长，也是边长乘4。
板书：30×2＋30×2=30×4
生3：（30+30）×2先算两条邻边长度，再乘2得到周长，也是边长乘4。
板书：（30+30）×2=30×4
师：这四种不同的求出正方形周长方法，实质都是一种方法，大家说一说正方形周长的计算方法？
生：正方形周长等于边长乘4。
板书：正方形周长=边长×4
修正后的师生互动，使学生在掌握求正方形周长的方法的同时也学到从特殊到一般的数学归纳法，学生对正方形周长的认知得到内化。
案例二：北师大版二年级下册“有余数除法”。
教材中教学资源：计算417、418、419、420
比较每题的余数和除数，你发现了什么？
①学生计算。
②发现归纳规律。
师：从计算结果比较余数和除数，你发现了什么？
生1：在有余数除法里除数比余数大。
生2：在有余数除法中余数都比除数小。
师：把“都”字换 “一定”更准确请大家说一说。
生：在有余数除法里，余数一定比除数小。
案例解读：本案例教师根据教材编排进行教学活动，引导学生归纳“余数规律”并无不妥之处。笔者作为听课者课后找学生问“为什么余数一定比除数小？”无学生能正确回答。说明教学有不到位的问题，学生对余数规律只知其然，不知其所以然。笔者反思后觉得原因是教学过程是由抽象算式中抽象出余数规律，欠缺数学原型的支撑，故不理解规律的内涵。像这样的归纳只能算“半归纳”。
案例反思与修正：怎样的教学能使学生对余数规律的认知达到知其然，并知其所然。教学设计要有数学原型支撑，才能达其效果。本课教学设计用14根小棒摆图形或数字展开教学。活动要求如下：①用相同根数的小棒摆你喜欢的一种图形或数字，直到摆完14根小棒或余下的小棒不够摆一个相同的图形或数字为止；②把摆图形或数字的过程与结果用除法表示。（教学有余数除法后，引导学生发现、归纳余数规律教学片断）
师：请同学们观察这些除法式子中的除数与余数，你能发现什么？
生1：这些式子中的除数比余数大。
生2：我想有余数除法中余数一定比除数小。
师：谁能结合摆小棒的过程，说一说为什么余数一定比除数小？
生1：我用14根小棒摆正方形，4根摆一个，摆3个，余下2根不够再摆一下正方形，所以余数2比除数4小。
生2：我摆数字3，摆一个数字用5根小棒，摆2个数字3，余下4根，不够再摆一个数字3，所以余数4比除数5小。
……
师：谁能用一句话说一说在有余数除法中余数的规律。
一、巧用错误，激发学生的探究兴趣
美国科学教育家兰本达说过：“学习是在学习者自身内部发生的过程，他越是卷入得深，他越是有动力。”由此看来，要让学生自主探究就必须有一种动力。而学习中的错误资源来自于学生，贴近学生，教学时又回到学生学习活动中，如对这些错误巧妙加以利用，因势利导，多给学生思维的时间和空间，这不仅能使不同层次的学生发现错误，提高学习的积极性，而且能激发学生的探究兴趣，唤起学生强烈的求知欲。
例如在教学商不变性质时，教师先让学生计算12÷4=3，接着又出示120÷40，有的学生不假思索地说出商是30。教师说：“请你们算一算再回答可以吗？”很快答案就出来了。教师紧接着出示1200÷400、12000÷4000……这时，学生们议论开了：“被除数和除数同时扩大10倍、100倍……商不变。”教师接着问：“那如果被除数和除数同时缩小呢？”……一个小小的“错误”引发了学生对问题的主动、积极地探索，极大激发了学生的思维热情和探究兴趣。
二、巧用错误，培养学生的发现意识
爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”因此，在数学教学中，要让学生进行探究性学习，就要把握数学教学的特征，抓住契机， 注重学生“发现”意识的培养。利用学生学习中出现的错误，给学生创设自主探究的问题情景，诱发学生质疑、生疑，再引导他们自主寻求解决问题的途径和方法。让学生在纠正错误的过程中，自主地发现问题、解决问题，形成发现意识。
在教学《商的近似值》一课后，在随课练习中，有一道选择题错误率较高：0.93÷0.13=7……（ ） A.2；B.0.2；C.0.02。大部分学生选择了 “A”，针对这一较为典型的错误，我把此题改编为判断题：0.93÷0.13=7……2，让学生自主探究，先判断答案是否正确。有几个学生判断答案是错误的，我接着追问：“你是怎样发现计算结果是错误的？”在富有启发性的问题诱导下，学生们积极主动地进行探索，很快找到了三种判断错误的方法：
（1）验算：7×0.13+2=2.91，结果与被除数不相等，说明填“2”是错误的。
（2）余数2与除数0.13比，余数比除数大，说明填“2”是错误的。
（3）余数2与被除数0.93比，余数比被除数大，说明填“2”是错误的。
接着我引领学生找出正确的商和余数。通过分析，学生终于弄明白了：在计算时，由于被除数和除数同时扩大了100倍，虽然商不变，但余数是被除数扩大100倍后计算余下的，所以余数也被扩大了100倍，正确的余数应把2缩小100倍，得0.02。随后，我又出了类似的几道题目，出错的学生就很少了。
三、巧用错误，培养学生的创造性思维
创造性思维具有新颖性、多样性、灵活性等特点。培养学生的创造性思维是让学生在思维的空间创造性地思考问题，选择灵活的方法解决问题。学生的一些错误的回答，往往可能蕴含着创新的火花，教师不要轻易否定学生经过深思熟虑得出的答案，要尊重学生的思维成果，适时对学生在探索中出现的“闪光点”进行鼓励。
[关键词]导学案 自主探究 引导 详略得当
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）35-034
随着课程改革的深入实施，导学案已成为课堂教学中，教师用来引导学生进行自主学习、合作学习、创新学习的有效手段。不可否认，导学案确实有效推动了教师开放性教学和学生自主性学习的开展，但在教学实践中我也发现，一些导学案常流于形式，看似新瓶，实装旧酒，颇值得我们深思。下面，我就以某个导学案的教学为例，和大家交流讨论数学课堂教学中什么样的导学案才是合理有效的。
一、教学回顾
师：同学们，现在请大家拿出10根火柴棒，根据导学案进行自主摆放探究。
导学案内容：（1）如果我们要将10根火柴棒进行分组，每组分2根，能够分成几组？（2）如果我们要将10根火柴棒进行分组，每组分5根，能够分成几组？（3）如果我们要将10根火柴棒进行分组，每组分3根，能够分成几组？还剩几根？（4）如果我们要将10根火柴棒进行分组，每组分4根，能够分成几组？还剩几根？
（学生根据导学案要求逐一进行摆放）
师：同学们，导学案中有一个表格，请大家根据要求填写表格。（导学案中的表格的每列列首分别写着“火柴棒的根数”“每组的火柴棒数”“能分成的组数”“剩下的火柴棒数”，学生按照要求填写表格）
师：同学们，我们在生活中常会碰到一些无法平均分完的数，剩下来的那个数，我们把它叫做余数。今天，我们要学的就是有余数的除法。
……
二、问题探析
上述教学突出反映了当前教师在应用导学案过程中存在的问题，概括来说，主要有以下两点。
1.自主探究过分指导
教师借助摆放火柴棒的活动，让学生理解余数的概念的想法是好的，但在导学案中，教师以问题的形式非常详细地引导学生探究该如何摆放火柴棒。如“10根火柴棒，每组3根，能分几组，还剩几根”这个问题，其中“还剩几根”这句话其实是可以去掉的，因为学生在进行自主探究时会发现无法平均分完，还剩下1根火柴棒，从而产生较为强烈的认知冲突。然后教师再适时地组织学生讨论或介入阐释，帮助学生解决这个认知冲突。这样教学，有助于加深学生对所学知识的理解，强化学生的记忆。同时，《数学课程标准》强调让学生进行自主探究，也是希望通过实践来帮助学生经历发现问题、思考问题、解决问题、获得结论的过程，从而促进学生对所学知识的理解。而上述教学，乍一看像是利用导学案组织学生进行自主探究活动，其实教师的介入指导一直如影随形地影响学生，底子里仍是教师主导课堂的传统教学。
2.结论生成过于笼统
上述教学中，在学生完成火柴棒摆放的自主探究活动后，教师在没有充分说明的情况下，匆匆地得出“这就是有余数的除法”这个结论。这样的教学引导过于笼统，既不能有效利用学生自主探究后形成的认知冲突进行充分的教学指导，又不能帮助学生深刻理解所学概念。这样“匆忙”生成的结论，弱化了学生自主探究的作用，使这个环节的导学案学习更像无用功，缺乏实质性的沉淀。
三、改进策略
导学案内容：“现在大家都有10根火柴棒了，如果我们按照每组2根火柴棒来分，能分成几组？除此之外，还有其他分法吗？请都写出来。”这样的导学案内容起到了示范性引导的作用，使学生深入思考“按照每组2根火柴棒来分，能分成几组”的问题，这实际上是给学生提供一个思路：10根火柴棒要怎么分？可以有2根一组的分法，那么3根一组是否可以？学生会按照这个思路进行自主探究，并将自己的摆放方法逐一记录下来。教师再问：“大家都摆完了吧？现在请几个同学来谈谈，都是怎样给火柴棒分组的。”学生一般会出现两种情况，即一种是只摆了2根一组和5根一组的情况，另一种是都摆了2根一组、3根一组、4根一组、5根一组的情况，甚至有学生摆到6根一组的情况。针对这两种情况，教师可以适时组织学生进行讨论：“究竟能不能以每组3根火柴棒的形式进行分组？如果能，剩下的火柴棒怎么办？”在学生讨论的过程中，教师再进一步引导学生思考：“生活中是否存在平均分，却分不完的情况呢？”在学生完成一系列环环相扣的思考讨论之后，教师再顺势引出有余数的除法这一概念，至此本次导学案教学才算是完成了。
关键词：小学数学;除法竖式;错因分析;教学策略
中图分类号：G622.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）43-0283-02
一、引言
对于小学生来讲，除法的学习是数学学习的一个主要方面，与加法、减法、乘法一样，除法的运算法则都是理解代数思想的基础。除法竖式是除法运算的重要方法，除法竖式有广泛的应用性。本文将首先从四年级学生在计算时常犯的错误入手，了解学生的思维方式和对除法竖式算理、算法的掌握情况，并据此浅谈计算教学策略，即将运算方法降到最低点，让学生明白其中最复杂、最重要的核心内容，使学生灵活运用法则。
二、常见错误分析
竖式除法是一种程序性操作，计算法则是：从被除数的最高位起，取出和除数位数相同的数（如果取出的数小于除数，则要取出比除数多一位的数），用除数去除它，就得到商的最高位数和余数（余数可能为零）;把余数化为下一位的单位，加上被除数这一位上的数，再用除数去除它（除数小于该数时商为0），得到商和余数;这样继续下去直到被除数上的数字全部用完，就得到最后的商和余数。
四年级的除法竖式计算内容将除数从一位数扩充到了两位数，并从整十数逐步过渡到一般的两位数。从运算法则上来讲，除数是两位数除法的计算原理和除数是一位数的除法相同，只是试商的难度加大。在用一位数除时，利用乘法口诀就可以求出一位恰当的商。而在用两位数除的过程中，要确定一位商是几，不仅和除数十位上的数有关，而且还和除数个位上的数有关，计算过程比较复杂，有时需要试两三次才能求出一位恰当的商。因此，学数是两位数的关键是引导学生掌握试商的方法。然而，学生的错误并不局限在试商出错上，主要错误有：（1）商的书写位置出错，学生在试商过程中，由于竖式商的位置写错，造成商的末尾多零。（2）余数大于除数。学生的错误主要在试商，商小了的错误在除法竖式计算中是极普遍的。（3）书写格式。在学习完商是一位数的笔算除法后，出现商是两位数的乘法。学生受商是一位数的除法竖式的影响，将商与除数相乘，而在商是一位数时，这种错误则暴露不出来。（4）商中漏写0。（5）余数末尾不写0。被除数、除数的个位数字均为零，并且余数的个位数字也是零，由于学生在解题时已经学过了商不变的性质，在做题时多将被除数和除数同时缩小10倍以求得商，但是余数的末尾又往往不写零，从而造成计算出错。容易不写余数末尾的零，因此虽然该类题目错误率较高，但是与除数为一般两位数的题目错误原因不同，学生的困难不在试商，而在于对商不变性质的理解上。（6）竖式运算进退位错误。余数不为零，并且在部分商与除数相乘的过程中需要进位，并且在用所截除数与部分商和除数乘积相减的过程中需要退位，由于学生的注意力主要集中在除法运算上，这使得原来在加减法计算时出现的问题反而暴露出来了。（7）0的书写问题。例：280÷14，其除法竖式为：
① ②
教材中讲到，在除到十位就除尽时，竖式应这样写，如①：将0写在十位下，个位上的0可以不再除，只要在商中用0占位就可以了。按此标准，第②种写法是错误的。这个问题有人做过深入的研究，认为两种写法都是对的，笔者认为第二种写法不违背除法竖式算理，也是正确的。
三、由除法竖式运算引发的思考
在上述列举的几个例子中，前四种类型的错误的根本原因是没有理解算理;第（5）种错误是不能够灵活的运用已学的数学知识，第（6）种错误的可能原因为基础知识不牢、计算能力偏弱;而第（7）种问题的产生更要求教师自身加深对算理和算法的理解，灵活教学。针对这些错因，下面浅谈计算教学策略。
（一）情景教学，将运算方法降到“水落石出”
通过情境让学生探究生活中的小问题，列出算式，探索结果，让学生在直观形象中理解算理。除法竖式算理可以利用数形结合的方法进行讲解，让学生多说一说。例如，在计算144÷12时，提供操作活动的材料，让每个学生经历将144根小棒平均分成12堆的过程。将分小棒的过程与笔算竖式结合起来。如，当学生说“先将14捆平均分成12堆，每堆1捆”，剩2捆时，结合分的过程，在竖式的十位上商1。
强调余下2个十后应该怎么办：当学生说“再将剩下的2捆打开与4根合并也就是24根，再继续分，每堆2根”时，引导学生在竖式的个位上商2。
让学生经历从实物操作到数学计算的过程，弄清“要分层书写”“除到哪一位商就到哪一位”和“不够除补零”等形式中隐含的道理，并在此基础上领悟除法竖式的数学本质。
（二）充分利用课堂时间，保证新算法的练习时间和练习量
新算法的第一课时是学生学习最高效的时间，因此在讲授新的计算方法时，留有一定的时间完成一定的题目，一方面防止学生眼高手低，从练习中进一步理解算理，掌握算法;一方面从学生的反馈中了解学生对新算法的掌握情况，及时纠正学生在计算中产生的错误，将学生的错误消灭在萌芽状态，初步形成计算技能。
（三）培养学生良好的学习习惯
培养细心、认真计算的习惯：在笔算除法计算题中，学生往往抄错题，这类错误的产生并非学生不理解算理，也并非对计算有困难，如果没有抄错数，学生的答案是完全正确的，抄题时会遗漏某些数字，抄答案时又会将除数、商、余数搞混。针对这类问题，应培养学生不急不躁、冷静思考、耐心计算的习惯。计算时，要求书写整洁、格式规范、方法合理。同时，强化学生规范打草稿的习惯，以保证计算的准确及检查时的方便明了。
培养耐心检验的习惯，对于小学生来讲，他们没有在解题后进行检验，这也是为什么看似简单的题目，学生却得到“不可能答案”的原因。在除法竖式计算过程中出现的很多错误，如果学生可以在计算完毕后，回头看看自己计算的过程和结果，完全是可以避免的。例如：在余数不为零的除法中，运算结果余数大于除数的错误就可以在学生重新检查后得到纠正。
1 什么是“辗转相除法”与“更相减损术”
根据数学史料记载，“辗转相除法”是公元前三百多年前的古希腊数学家欧几里得（Euclid）在《几何原本》（第Ⅶ卷，命题ⅰ和命题ⅱ）中首先提出的求最大公约数的方法，所以“辗转相除法”又称为“欧几里得算法”.目前见到书中介绍的“辗转相除法”主要有以下几种：
第一种来自兰纪正、朱恩宽翻译的陕西科学技术出版社出版的《欧几里得几何原本》：“设有不相等的二数，若依次从大数中不断地减去小数，若余数总是量不尽它前面一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互素.若两数不互素，则依次从大数中不断减去较小者，将有某个余数能量尽它前面一个，而且这最后的余数不是一个单位”[1].
第二种来自李善兰翻译的《几何原本》中的阐述：“两不（相）等数，辗转相减，余一而止，则为两无等数之数.两数非无等数，求其最大等数.法曰：……辗转以小减大，必有减余数可度两数，而减余非为一.若余一，则为无等之数，而与所设之题相反矣，故最后减余数必为等数也”[2].
第三种来自张奠宙、孔凡哲、黄建弘、黄荣良、唐彩斌著的《小学数学研究》：“若a与b是两数，且a>b，从a减去足够多次的b，一直到余数r小于b；然后再从b中减去足够多次的r，直到余数小于r，如此往下进行.若a与b互质，最后余数是1，那么1就是它们的最大公因数；若a与b不互质，就会在某一阶段出现最后一致除尽前一个数的情况，于是这最后的数便是a与b的最大公因数”[3].
第四种来自普通高中课程标准实验教科书《数学③》（必修）中的阐述：“例如用辗转相除法求8251与6105的最大公约数，我们可以考虑用两数中较大的数除以较小的数求得商和余数：8251=6105×1+2146.由此可得，6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数，反过来，8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数，所以它们的最大公约数相等.对6105与2146重复上述步骤：6105=2146×2+1813，继续重复上述步骤：2146=1813×1+333，1813=333×5+148，333=148×2+37，148=37×4.最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8251与6105的最大公约数，这就是辗转相除法”[4].
从上述的第一种阐述和第二种阐述可以看出，二者对“辗转相除法”求最大公约数的基本描述都是“将大数减小数”，但第一种强调“依次”，第二种强调“辗转”.欧几里得强调“依次”可能为辗转相除法的命名埋下了伏笔，李善兰强调“辗转”可能受到了中国“更相减损术”的影响[5].
第三种和第四种的阐述方式就比较明显地看出“辗转相除法”求最大公约数的基本数学形式.即，若a与b是两个自然数，且a>b，则
“更相减损术”记载在公元1世纪前后、我国最重要的数学文献《九章算术》第一章“方田”中，是对约分方法的完整总结.《九章算术·方田》第六题：“有九十一分之四十九.问约之得几何？答曰：十三分之七.术曰：可半者半之.不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之”[6].
《九章算术》是以算筹为算具的数学书，以算筹演示约分过程如下所示：
翻译为现代语言如下：
第一步：任意给定分数[SX（]m[]n[SX）]（m，n为两个正整数）；判断m，n是否都是偶数.如是，则用2约简；若不是，则执行第二步.
第二步：对分子和分母辗转相减，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止.
第三步：以等数约之，可得到（最简）既约分数.
如果直接使用“更相减损术”来求两个数的最大公约数，则有两种做法：
一种是按照上述约分的步骤，所求的最大公约数就是这个等数或是这个数与约简的数的乘积，例如，求30和18的最大公约数，第一步用2约简得15和9，第二步，15-9=6，9-6=3，6-3=3，则30和18的最大公约数就是2×3=6.人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学③》（必修）中即采用此种算法.
另一种是直接采取“更相减损术”的第二步，有学者称其为“辗转相减法”[7]，即任意给定两个正整数，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.例如，求30和18的最大公约数，30-18=12，18-12=6，12-6=6，则6就是30和18 的最大公约数.
通过上述分析，可以发现“辗转相除法”和“更相减损术”求最大公约数的方法的实质都是相同的，均强调“大数辗转减小数”，现进行举例说明：
例如求80和24的最大公约数：
“辗转相除法”表示如下：
80÷24=3……8 24÷8=3 80和24的最大公约数为8.
“更相减损术”表示如下：
①先用2约简 40-12=28 28-12=16 16-12=4 12-4=8 8-4=4 80和24的最大公约数为2×4=8.
②80-24=5656-24=3232-24=824-8=1616-8=880和24的最大公约数为8.
通过比较发现“更相减损术”求最大公约数的运算过程可以简化为“辗转相除法”求最大公约数的运算过程，但第一步比“辗转相除法”多了一个约简的过程.此外，“更相减损术”在某些时候比“辗转相除法”要优越，例如在求两个以上正整数的最大公约数时，“辗转相除法”是先求出其中两数的最大公因数，再求出它与第三个数的最大公因数，而“更相减损术”可一次求出任意多个数的最大公约数，算法是：将最小数乘以不同的因子与其余各数进行减法运算，将差为0的数据筛选掉，若只剩下两个数，其中一个为0时，则结束，此时的非0数据便是所求的最大公约数，否则重复上述步骤[8].
2 “辗转相除法”与“更相减损术”的基本原理
最大公约数（greatest common divisor）简写为gcd，如果求a和b两个正整数的最大公约数，可以表示为gcd（a，b）.正如前文所述，若a>b，依照“辗转相除法”和“更相减损术”的算法思想，则求最大公约数的过程如下所示：
欧几里得在《几何原本》中用线段进行了直观演示和逻辑论证[9]：
设AB，CD是不互素的两数，如果CD量尽AB，这时它也量尽它自己，那么CD就是CD和AB的一个公度数，并且显然CD也是最大公度数.
这是因为没有比CD更大的数能量尽CD.但是如果CD量不尽AB，那么从AB和CD中的较大者不断减去较小者，如此，将有某个余数能量尽它前面一个.这最后的余数不是一个单位，否则AB和CD就是互素的，这与假设矛盾.所以某数将是量尽它前面的一个余数.
现在设CD量出BE，余数EA小于CD，设EA量出DF，余数FC小于EA，又设CF量尽AE.这样由于CF量尽AE，以及AE量尽DF，所以CF也量尽DF.因为它也量尽它自己，所以它也量尽整体CD.然而CD量尽BE，所以CF也量尽BE.因为CF也量尽EA，所以它也量尽整体BA.然而CF也量尽CD，所以CF量尽AB，CD.所以CF是AB和CD的一个公度数.接下来证明它也是最大公度数.
因为，如果CF不是AB和CD的最大公度数，那么必有大于CF的某数将量尽AB和CD，设这样的数为G.现在，由于G量尽CD，而CD量尽BE，那么G也量尽BE.因为它也量尽整体BA，所以它也量尽余数AE.因为AE量尽DF，所以G也量尽DF.因为G也量尽整体DC，所以G也量尽余数CF，即较大的数量尽较小的数，这是不可能的，所以没有大于CF的数能量尽AB和CD，因而CF是AB和CD的最大公度数.
3 小结
如上所述，数学教师只有清楚了什么是“辗转相除法”和“更相减损术”，才能够站在数学的视角看教科书；清楚了“辗转相除法”与“更相减损术”为什么可以求出两个正整数的最大公约数的问题，教师才能够从数学本质回答学生的问题和困惑，才能真正使学生感受和理解古代数学知识的魅力，超越教科书“弱水三千，只需取一瓢饮”所带来的思维局限性.
除了清楚所要教的数学知识的来龙去脉，教师在解读教科书时还需做到“两个比较，一个参照”，以便更好地将课程标准、教科书以及教师融为一体：
两个方面的比较：一是将教科书内容安排与教师用书作比较，看教师用书中所要表达的意图是否在教科书中得到了充分体现.例如，教师用书中“感受算法在解决实际问题中的重要作用”这点在教科书中未得到充分体现，教科书中举的实例都是纯数学的实例，这就需要进行调整和补充；二是将教师用书中的编写意图与课程标准比较，看是否遵循了课程标准的基本精神和基本要求，例如，课标中提出“通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献”，教科书同时引入了西方和中国古代的数学案例，但在编写意图里没有强调“体会中国古代数学对世界数学发展的贡献”，只是强调了其中的“算法思想”，这样的安排可能会误导教师在教学中忽略了情感、态度和价值观目标的培养.这是教师评判意识的重要体现，也是教师主观能动作用发挥的重要体现.因为这可以决定教师对教科书进行“再创造”的方向和空间.
教师还需要做到“一个参照”，即参照其它版本的教科书对这部分内容的处理，以便获得启发，例如北师版通过具体问题情境引入算法，以及引入“韩信点兵”的故事更能反映算法在解决实际问题中的作用.
参考文献
[1] [9]兰纪正，朱恩宽译.欧几里得几何原本[M].西安：陕西科学技术出版社，2003.194-195，196-197.
[2] [5][6]沈康身.更相减损术源流[J].自然科学史研究，1982，1（03）：193-194.
[3] 张奠宙，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2008.65.
[4] 刘绍学，张淑梅主编.普通高中课程标准实验教科书③（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007.34.
[7] 马再鸣，蒋晓云.更相减损术不是求最大公约数的算法[J].西昌学院学报·自然科学版，2006，20（02）：32.
【关键词】小学数学课堂 问题 追问技巧
【中图分类号】G622 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）19-0147-01
在小学数学教学中，问题追问是一种重要的教学手段，在教学活动中发挥着重要作用。在课堂教学中，通过问题追问，可以有效促进学生思维的发展，对于培养学生的创新思维和独立思考能力具有重要意义。
一 针对问题进行深入追问
在具体的教学活动中，学生在对教师提出的问题进行思考时，有时思维会受到限制，出现思维呆滞的情况，停留在某一层面，从而对问题的探讨不够深入。这时，教师就可以通过对问题的追问，从而激活学生的思维，使学生的思维活跃起来，把对问题的思考向更深层次的方向发展。如在教师讲解四年级上册第五单元“被除数是两位数的除法”这一章的内容时，教师举出了以下算式让学生进行计算：
11÷3=？ 18÷3=？
29÷5=？ 45÷5=？
52÷7=？ 60÷6=？
在没有教师指导的情况下，学生依据自己掌握的相关知识，在对上述问题进行除法运算的时候，可能会出现不同的计算结果，如A组、B组两种情况：
A组：11÷3=3……2； 18÷3=6……0；
29÷5=5……4； 45÷5=9……0；
52÷7=7……3； 60÷6=10……0
B组：11÷3=2……5； 18÷3=5……3；
29÷5=4……9； 45÷5=8……5；
52÷7=6……10； 60÷6=9……6
从上述的计算结果我们可以看出，A组的答案是正确的，而B组的答案则是错误的。在学生知道正确答案之后，也许就不会再继续思考下去了。这时教师就应继续追问学生，B组的答案也符合“商乘以除数加上余数等于被除数”的条件，为什么是错误的。通过针对这个问题对学生进一步追问，从而激发学生的学习兴趣，让他们对这个问题进行更深层次的探索。通过问题的追问，从而让学生知道，如果余数比商数大，要继续扩大商数，从而确保余数达到最小；而对于那些能够整除的，要进行整除运算，不要再有余数。
二 针对独特思维进行追问
在教学活动中，对于教师提出的同一个问题，学生的答案虽然都一样，但对于问题的具体思路却有所不同。在教学活动中，教师通过对一些学生的独特思维方式进行追问，可以发现学生的简便算法和发散性思维，从而鼓励学生在学习中多进行创新思维和发散性思考。如在教学二年级第七单元“万以内的加法和减法”时，教师让学生对这样一道数学题进行计算：1000-353=？大多数学生都是通过运用减法运算法则直接进行计算，从而得出答案647。其中一个学生说他不是直接运用运算法则进行计算的。教师就追问说：“那请你告诉大家你是怎么计算的，好不好？”学生回答说：“我是用999减去353，然后再加上1，从而得到结果的。”当时很多学生听后认为其方法并不简便。接着，教师追问道：“你为什么要用999呢？”该学生回答道：“999减去任何一个三位数都不用再借，计算起来比较方便，有时我口算都能得到答案。计算之后，只要再加上1就行了。”这时教师和学生才恍然大悟，这确实是一个不错的方法。教师通过对学生的这些独特方法的追问，不仅可以让其他学生掌握更多的知识，而且有利于促使其他学生在今后的学习中多动脑，对问题进行创新思考和解答。
三 针对错误进行追问
在数学教学中，对于教师提出的问题，有时候学生在判断时会出现错误，对学生的错误进行追问，可以引发学生更多的思考和讨论，从而让学生在讨论和反思中掌握知识。如在讲解六年级下册第四单元“代数的初步认识”的内容时，老师提出了这样一个问题：请问2b与b2是否相等？并举例说明。有学生认为2b和b2相等，当b=2时，2b=2×2=4，而b2=2×2=4。有的学生则认为2b和b2不相等，当b=4时，2b=2×4=8，而b2=4×4=16。那么，究竟哪个才是正确答案呢？哪位学生再举例说明一下？通过进一步追问，其他学生又对此进行了发言。当更多的学生举例证明2b和b2不相等时，教师可以告诉学生2b表示的是两个b相加，而b2则表示两个b相乘，从而让学生明白其中的道理。
四 结束语
总之，问题追问技巧在小学数学教学中的应用，不仅有利于课堂活动中师生的互动交流，营造浓厚的课堂氛围，而且有助于学生对问题进行更加深入的讨论和思考，从而促使学生进行发散性思维，培养学生的创新思维能力和独立解决问题的能力。
参考文献
[1]刘亦秋.让追问在小学数学课堂交流中熠熠生辉[J].学周刊·C，2011（9）：126
〔中图分类号〕 G623.5 〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2013）22—0091—01
在小数除法中，是根据商的性质，把除数是小数的除法转化成整数来计算的。可是在处理余数时很多学生容易出现错误，这也是教师教学时容易忽视的地方。如，计算2.8除以0.9，学生列出竖式计算后，立刻会有一些学生不假思索地说出商是3，余数是1；也有一些学生说出商是3，余数是0.1。之所以会出现这两种情况，究其原因是学生对小数的意义理解不深刻，对有关基本概念没有理清楚。那么，如何引导学生正确认识和理解小数除法中的余数呢？我认为，应从以下几个方面去启发和引导学生。
一、从小数计算单位的角度去思考
例如，如何使学生认识下式中的余数是0.68，而不是68。
55.28÷7.8=7……0.68
说明途径：55.28由5528个0.01组成，余下的是68个0.01。
如，计算2.8除以0.9，学生列出竖式计算后，教师引导学生分析算理。被除数2.8是一个表示十分之几的数，它的计算单位是十分之一（0.1），说明2.8是由28个0.1组成的。这样当商为3时，余下来的“1”并不是表示1个1，而是表示1个十分之一（0.1），即余数是0.1。
二、从商不变的规律去思考
根据“被除数和除数同时扩大相同的倍数商不变”的规律思考：这道题运用到商不变的规律，被除数和除数同时扩大了10倍，商虽然是不变，但余数却跟着扩大了10倍。当要写出余数时，应该把扩大后的余数缩小10倍，才能得到正确的余数。如果列竖式计算，余数对应到最原始的被除数上，则很容易理解正确的余数。
（一）“在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或缩小）相同倍数，虽然不完全商不变，但余数却随着扩大（或缩小）相同倍数”。因此，教学时，教师可启发学生把2.8和0.9都扩大10倍，使除数变成整数，即2.8÷0.9=28÷9。这样当商为3时，余下来的数虽然从表面上看起来是1，但是透过现象看本质，会发现这个“1”是被除数和除数同时扩大10倍以后的余数，当要写出余数时，应该把扩大后的余数缩小10倍，由此得到0.1才是正确的余数。
（二）从生活情境中体会余数。
例如，小明拿着10元钱去帮妈妈卖药，每盒药0.9元，问可以买几盒？还剩多少钱？
按竖式结果得出来：10÷0.9=11（盒）……1（元）（不正确）11盒药就要9.9元，不可能余1元，余数应该是0.1元。
根据算理，寻找原因如下：
我把一个学生的竖式投影到黑板上，提示学生对照竖式，想每一步的算理：
1.除数0.9去掉小数点，扩大10倍，变成9，被除数也要同时扩大10倍，小数点也要向右移动一位；
2.除数0.9去掉小数点变成9，就好比是0.9元化成9角，那么10元的小数点也向右移一位，就好比10元化成100角；
3.100÷9=11……1，余数就是1角，也就是0.1元。
三、根据“被除数=商×除数+余数”来验证，找到正确答案
由“商×除数+余数=被除数”得出 ： 3×0.9 +（ ）=2.8 ，如果余数是1，结果就是3.8，与题目不符合。只有当余数是0.1时，结果才正确。
当除数扩大了10倍，被除数也同时扩大了10 倍，尽管商没变，结果引起余数也扩大了10倍。也就是说，余数只有缩小10倍，才是正确的结果。
四、整数除法和小数除法中余数的比较
1.在有余数的除法里有这样两个规律：（1）被除数=商×除数+余数；（2）被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数商不变，余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数。
例如，0.25÷0.04=6……0.01
2.5÷0.4=6……0.1
25÷4=6……1
250÷40=6……10
2500÷400=6……100
2.整数除法中余数的变化规律
25÷4=6……1
250÷40=6……10
2500÷400=6……100
3.小数除法中余数的变化规律
在有余数的小数除法中，余数还与所除到的商的位置有关系。例如，
【关键词】错误资源敏锐洞察观察分析有效教学
在教学中出现错误是不可避免的。因此，我在教学过程中把错误作为一种促进学生情感发展、智力发展的教育资源，正确地、巧妙地加以利用，充分引发了学生的探究意识、培养了学生的发现意识、激活了学生的创新思维。
1、敏锐洞察，捕捉错误
课堂教学是一个动态的、变化发展的过程。在师生、生生交流互动的过程中，随时可能发生错误的学情信息。我认为，教师要独具慧眼，敏锐洞察，及时捕捉那些有价值的、稍纵即逝的错误。并巧妙运用于教学活动中，利用错误引发学生的探究意识。例如：《平行四边形面积》的引入教学中的一个片断：
[我出示平行四边形框架，让学生求它的面积，并说说是怎么想的？]
生：5×4=20（平方厘米），我是根据长方形面积公式想出来的。（这个想法显然错了，但我没有马上否定）
师：你能联想到相关的旧知识解决新问题，这一点很好！那么，这个想法对不对呢？请大家继续看。（拉动平行四边形的对角，使平行四边形越来越扁，让学生直观地看到面积越来越小，得出的结论为：平行四边形的面积不能用两条相邻的边相乘来计算）
师：在拉动的过程中，相邻两边的长度没有变，面积为什么会越来越小呢？（经过观察讨论，发现平行四边形面积与它的底和高有关）
师：它们之间究竟是怎样的关系呢？请大家拿出平行四边形纸测量出它的底和高，再联想有关的旧知识，求出这个平行四边形的面积。（教师利用学生错误中的合理成分――联系旧知识解决新问题，引导学生进行探索）
在教学过程中，当学生发生错误时，教师及时捕捉到了对课堂有用的信息。虽然该学生的说法是错误的，但是对平行四边形的教学非常有用。教师利用这一错误信息，不仅让学生学会区别长方形和平行四边形面积的不同，而且对此巧妙地加以引领，引发学生的探究意识，引导学生对平行四边形的面积进行探究。
2、观察思维，分析错误
在课堂教学中，学生暴露出“错误”时，作为教师要通过差错解读学生，分析产生错误的原因，了解学生错误背后的障碍，认真分析错误产生的原因。与此同时，积极引导学生发现错误，培养学生的发现意识，让学生有所悟，有所得。
例如：小数除法：38.2除以2.7，得多少？结果大部分学生的答案是错误的，有的同学得出的商是1.4，有的同学得出的余数是4。
在接收到学生的错误信息时，根据学生的认知情况，我先仔细分析了可能造成此种错误的原因。造成错误的主要原因有两个：第一，学生对商不变性质认识不够，在遇到小数除法时不能灵活运用，从而达到知识的迁移；第二，由于余数是被除数扩大10倍计算后余下的，所以余数也扩大了10倍，但学生在计算时往往只顾商的计算，而忽略了余数。找到了原因后，针对这一较为典型的错误，我把它作为一个判断题让学生自主探究，先判断答案是否正确，接着追问：“你是怎样发现错误的？”学生在富有启发性问题的诱导下，积极主动的进行探索，很快找到了三种判断错误的方法：
（1）余数4与除数2.7比，余数比除数大，说明是错误的。
（2）验算：：1.4×2.7+0.4≠38.2，说明商是错误的。
（3）验算14×2.7+4≠38.2，说明余数是错误的。
紧接着我“对症下药”，带着学生分析，找出正确的商和余数。由于计算时，被除数和除数同时扩大了10倍，但商是不变的，而学生在计算出答案后却将商缩小了10倍，正确的商应该是14，余数是被除数扩大10倍计算后余下的，所以余数也扩大了10倍，正确的余数应把4缩小10倍即0.4。
通过对学生思维的观察和分析，教师找到问题的根源和切入点，并且巧妙地加以引领，引导学生自己去发现问题，然后“对症下药”，加以分析，有效地解决了问题。
3、将错就错，绽放精彩
关键词：化抽象为具体 化复杂为简单 变生疏为熟悉
教学难点，在课堂教学中学生不易理解的地方，如解决不好会直接影响学生对新知识的理解和掌握。教学中选择恰当的教学方法突破教学难点，是提高教学质量的有效途径，也是广大教学工作者必须掌握的基本功之一。
突破教学难点，其方法很多，或化抽象为具体，或化复杂为简单，或变生疏为熟悉等，其目的是为了化难为易。对此，我就平时在教学工作实践中如何突破教材难点谈几点作法。
1、旧知迁移。运用已学过的旧知识，通过知识迁移，帮助解决教学中的难点。如教有余数的除法时，可以通过已学过的整数的除法知识来过渡。有8个苹果，每盘放4个，可以放几盘，演示算式：8÷4_2，正好放2盘。接着教师出示另一例“有9个苹果，每盘放4个，可放几盘”?演示算式：9÷4=2(盘)……1(个)，放2盘剩1个，剩即是余，剩或余在列式计算中不写，可以用“……”来表示，利用已学过的旧知识，巧妙过渡，难点就很容易解决了。
2、架桥铺路。有些问题比较难，学生一下子弄不懂，可以设计一些铺垫，通过架“桥”铺“路”，可以帮助学生突破难点。如我在教“两位数乘多位数”时，对于用十位数上的数去乘被乘数的积的末位为什么要写在十位上这一难点，我在教学中设计了几道铺路题：12×1=12；12x 10=120；12x3=36；12x30=360。通过这几道题过渡，可以使学生清楚地看到十位上的数用一个数相乘是得多少个“十”。这样，就很容易解决了难点。
3、问题揭示。教学难点化解为问题形式，通过提问、助答等方法，帮助学生解决难点。如教学“长方体的表面积”时，怎样求长方体的表面积是个难点，我在教学中就把这个难点化成几个小问题：
(1)长方体的特征是什么?
(启发学生主要讲面的特征。)
(2)什么是长方体的长、宽、高。
(3)长方体上下两个面的面积怎样求?前后两个面的面积怎样求?左右两个面的面积怎样求?
(4)什么是长方休的表面积?
通过层层深入、环环相扣的提问，使学生自然而然地掌握了计算长方体表而积的计算方法。
一、调整知识结构，构建知识系统
小学数学四大教学领域的内容都是按同一知识螺旋上升，并以逐步深入的方式呈现。在教学中，教师要抓住这些知识之间的联系，找准知识的交叉点、连接点，引导学生进行归类辨析，进行系统同化。如“小数的意义”，教材将单位长度1米平均分成10份、100份、1000份，引出每份是0.1米、0.01米、0.001米，进而概括出小数的含义：分母是10、100、1000的分数可以用小数来表示，再揭示相邻两个小数计数单位之间的进率。后一课时在小数的读写中，让学生模仿小数的读法并理解其意义，再补充整数和小数的数位顺序表。但是，编者为了降低教材难度，却割裂了知识连接的脉络，在整数数位顺序表和小数数位顺序表同化合一的过程中显得有些牵强，学生不理解：“为什么小数数位表可以写在整数数位表的右边？”“为什么整数数位表和小数数位表要用小圆点隔开？”针对此种情况，可以对知识的展开作如下调整和改进：1.回顾整数数位顺序表和相邻两个单位间的进率；2.出示米尺，回忆单位间的进率，1米=10分米=100厘米=1000毫米；3.建构十分位、百分位、千分位等概念；4.借助直观图和抽象推理明白1米里有几个0.1米，帮助建立十分位以及计数单位个与十分之一之间的进率。以此类推，用同样的方法帮助学生建立百分位、千分位、万分位等概念，形成知识系统，便于学生理解小数实际上是分母为10、100、1000等分数的另一种表达形式。
二、深挖习题功能，构建多维视角
教材每个练习都设计了题型多样、富有针对性的练习，其中设计了许多经典的开放题，有助于培养学生多向思维能力。对此类习题教师处理方式不同，呈现出的教学效果也会截然不同。如：星期天小明和爸爸去爬山，山脚到山顶的距离是2千米。他们上山用了3小时，下山用了2小时。他们上山、下山的速度是多少？你能提出其他数学问题吗？作业批改时发现学生提了如下问题：1.他们共行了多少千米？2.上下山共用多长时间？3.下山比上山的速度快多少？4.他们上下山的速度共是多少？5.他们上下山的平均速度是多少？在练习讲评时先呈现问题，引导思考：在这5个问题中，哪个问题不符合实际？其余4个问题，哪些问题你会解决？疑难问题是什么？然后让学生尝试解决第5个问题，学生呈现不同的解题答案：（1）（2÷2+2÷3）÷2；（2）2×2÷（2+3）；（3）2÷（2+3）。教师引导再思考再探究：这三种答案哪个是正确的？为什么？
这样的讲评，改变了以往师生单向交流的方式，而是让学生的集体智慧先呈现，让学生辨析思考，找出了有价值高质量的问题，并让学生在做题、分析类比中，掌握了分析解决问题的一般方法，深挖习题功能，突破了教学的重难点，让学生的思维能力得到提高。
三、开放对话，构建多向交流
在教学中，经常会遇到集体学习的盲区，这是知识的难点。这时精准深刻的讲评尤为重要。如：1.9÷0.3商6余（ ），绝大部分学生填1，因为学生受到整数除法的负迁移影响。教师讲评前只有先让学生验证结果的错误，才能引发其对错因的思考。学生验证：0.3×6+1=2.8，2.8≠1.9，所以结果是错误的。
接着教师追问正确的余数是几？
生1：1.9-0.3×6=0.1，余数是0.1。
生2：被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数要缩小到它的十分之一。
生3：被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍，要得到原来的余数，必须缩小到它的十分之一。
学生在弄懂算理后，教师引导学生巩固训练0.19÷0.03=6…（ ），（ ）÷（ ）=6…0.001。教学要体现师生的互动对话，让学生在交流倾听中，打开思维，开阔视野。
四、疑难设问，让思维走向深入
俗语说：授之以鱼，不如授之以渔。课堂教学不仅要教给学生知识，更要教给学生获取知识的方法，让学生学会学习。
关键词：数学建模 小学数学 教学 应用策略 探讨
【中图分类号】G 【文献标识码】B 【文章编号】1008-1216（2015）02B-0056-01
当建模教学模式在中学数学教学中进行应用时，针对小学数学教学我们也可以把“数学建模”应用其中，提高教学质量。在新课程改革中有这种说法，“可以让学生自行动手把数学问题转换为数学模型并对其进行了解和应用”，同时这也是数学建模的应用过程，实际教学中是把小学数学教学过程转换为建模教学，并在建模教学期间把相应的数学知识融入建模中，在建模期间培养学生应用数学能力，从而指导学生主动使用数学方法解决问题、分析问题。可以让学生结合实际生活，从实际生活中了解数学问题，并把数学应用知识与数学建模相互连接，提高小学生数学应用意识。本文就“数学建模”在小学数学教学中的应用进行分析探讨。
一、明确建模目的
实施“建模”方式进行教学时，首先应明确建模目的，根据原有的教学内容进行建模，从而实施建模教学。建模意义是把实际生活与理论知识相结合，通过利用科学性手段针对性进行教学。例如苏教版小学数学案例中《有余数的除法》，在建立模型时首先要明确教学目的，引导学生理解除法，以及有余数的除法是怎样的，除数为什么会存在余数。建模主要是把问题引导从而解决问题，例如：7÷2=3.…1，建立以2数为倍数关系的数学模型，如：采用木棒建立两个三角形，并单独保留一根木棒作为余数，在课堂进行教学时首先要说明问题，让学生了解这次建模的目的，课堂前期让学生准备好木棒、胶水（透明胶），让学生自己动手建立以7÷2=3.…1的模型，有的是以捆木棒的形式，每两个为一捆，一共三捆，留一根作为余数;有的是建立六边形图案，余数为1，这样不仅可以提高学生的操作能力，还可以开发学生的思维能力。
一般来说，数学模型是把公式、教学内容、解答方案等全都由模型表现出来，例如：结合学生实际生活有“3辆自行车和6辆电动车，总共有多少辆车”，指导学生建立自行车与电动车模型，建模时首先明确建模目的，就是3+6=9的教学目的。又如：“4把青菜和5个南瓜，总共有多少蔬菜”，相对于加减问题有很多，逐个去解说既浪费时间又没有教学质量，因此可以通过建模方式举一反三去解决，但在解决问题时首先要根据目的教学、建模。
采用数学建模方式进行教学，既要运用假设的方法又要简化内容，舍去无关紧要的因素，确定自身属性和相应教学内容的关系，从而构成某种教学方法，然后运用这一方法去解决问题。
二、丰富建模内容
小学数学建模要根据实际内容进行，通过对问题进行全面了解，舍弃影响建模因素，从而确保实质因素，这样才能通过建模的方式提高教学质量。所以，老师建立模型时可以丰富建模内容，例如苏教版小学一年级下册《1到10在个位、十位、百位中的意义》，老师可以建立一个个位、十位、百位进制器模型，在数学课堂中演练个位进制十位、十位进制百位的计算方法，可以丰富建模内容。例如小学数学中《明确起跑线》，老师首先可以播放300m接力赛作为引入，首先讲解接力赛的规则，300m一共3个人，接力人员分别在不同起跑线中开始跑向终点，当同学跑到转弯处时，有的接力员加快速度超过接力员，到最后一位同学接力时，会出现冲刺现象。因此学生就会产生疑惑：跑步的起跑线怎么会不一样呢？通过学生提出的问题让学生自行解决，并通过建模的方式解决问题，然后指导学生在数学课堂中讲解建模的内容。
三、抓住问题建模
苏教版小学数学教材《面积和面积单位》一节的教学，建立模型正方体、长方体、球形等，根据课本内容抛出问题，引发学生的学习兴趣，问题一：正方体面积如何计算;问题二：长方体体积单位如何换算为面积单位;问题三：球体体积有计算公式吗，如何计算球形面积，从而引发学生思考，老师要抓住问题去建模。
当同学适应采用模型进行教学后，引用适当例子实行教学要点，例如苏教版小学教材，两辆自行车由东、西方向相向行走，在离终点还有50千米处遇见，遇见后两辆自行车再次行走，两自行车同时到达目的地，到达目的地后两辆车再次向反方向行驶，在距离40千米处相遇，求这段路程总长。老师首先建立模型，融入问题，根据相应问题操作模型，逐一解除学生疑惑，同时要适时抛出问题，采用模型教学解决问题。
采用“数学建模”引导学生思考问题，属于一种教学方式、策略，是构建数学与学生相互沟通的桥梁。运用这一教学方法进行教学，有利于提高小学数学教学质量，开发学生思维能力，让学生了解数学奥秘，引发学生好奇心，并对数学产生兴趣;运用建模教学还利于营造课堂氛围，活跃课堂教学气氛。
参考文献：
何时等待，等待多久，都是教师需要思考的问题。一般在学生需要思考、需要交流、需要操作、需要内化时，教师应该耐心等待，有时哪怕是十几秒钟的时间，学生都有可能创造出意想不到的精彩。
一、等一等，让学生先思考
苏霍姆林斯基说：“教师总想让孩子快些回答问题，他不管孩子怎么思考，还要不要思考，要的是立即说出答案并给他评价了事！”这句话显然从另一个角度说明了给学生思考的时间，关注学生思考过程的重要性。当教师抛出一个问题后，要有一个等待的时间，不能马上重复问题或指定学生回答。哪怕少数学生已经想出答案，也要给其他学生思考的时间。当数学问题有多种解法需要择优时，当学生理解某个问题有偏差需要纠正时，教师都应该等待，让学生有充分的时间思考。凡是儿童自己能够想的，就应该让他自己想。
【案例1】
新版教材把三年级上册的《有余数的除法》调整到了二年级下册，且新增了一道例6。
例6：按照下面的规律摆小旗。这样摆下去，第16面小旗应该是什么颜色？
教师在抛出这一问题后，学生先分析“知道了什么”，此时已经有少部分学生想到了结果，但多数学生还在酝酿中。
师：请小朋友们静静地思考，并写下自己的解答方法。
教师在巡视过程中发现学生主要用到画图、文字表示与列式解答这三种方法解决问题，其中列除法算式解答的人最多，约占半数，用文字表示的人较少。因此教师在反馈时着重分析画图法与列除法算式这两种，而且除法算式各部分含义又可与图对应。
通过展示部分学生的解答方法，共同分析，学生都能认识到用画图、文字表示的方法很形象，容易理解，但是如果小旗数量多就不适用了。从比较中不难看出列除法算式最简洁，而解决这类问题的关键是看余数。
本课是《有余数的除法》单元的最后一节新课，问题的难度不大，如果先给学生独立思考的时间，多数学生都能正确解答，差别只是方法的不同与做题速度的快慢。旧版的教材中，用“有余数的除法”的知识解决与按规律排列有关的问题都是安排在练习中，受时间的限制，教师往往直接就请列除法算式的学生说一说解答思路，其余学生听一听，说一说，对学困生而言较难理解并掌握。本案例中尽管在教师抛出这一问题后已有少数学生能直接解答，但教师依然耐心地等一等，留给学生足够的独立思考时间，让学生用自己的方法解决这一问题。在反馈时沟通了每种方法之间的联系，结合图示帮助学生理解除法算式的含义，让学生自主感受各种方法的优劣，体会用除法解决问题最简洁。从图到算式之间有了过渡，这对学习能力弱的学生来说会有很大帮助。
二、等一等，让学生先交流
课堂不应该只有教师的一家之言，教师要给学生创设交流的机会。课堂上的交流当然不是毫无目的的谈天、闲聊，而是指生生之间、师生之间围绕教学主题及其相关问题，在“是什么”“为什么”“如何解决”等方面，相互之间所进行的分析、综合、判断、推理的认识活动过程及沟通过程。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》也指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。”要让学生经历与他人交流的过程，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法。
【案例2】
二年级下册第七单元“万以内数的认识”例2：有多少个圆点，在数数的基础上，教学1000以内数的组成，进而教学读数和写数。还特别突出了数感的培养。整个例题分4个层次，以下是第二层次的教学过程――用计数单位“百”去圈（数数）的过程。
教学中，教师先呈现点子图和问题，学生感觉点子密而多，这个数应该较大。学生估计比100多。接着请学生圈、数，要求让人能一眼看清有多少个圆点。约三分之二学生的圈法如图1、图2，约三分之一学生的圈法如图3。
教师在这里等一等，安排了同桌互相交流圈法的活动。
师：先跟同桌说一说你是怎样圈的？有多少个圆点？
学生都很热烈地与同桌交流圈法。
在同桌间的交流结束后，接着进行全班交流。
生1：我先一百一百地圈，再十个十个地圈，还剩下5个。一共有二百三十五个圆点。
师：有几个一百，几个十和几个一呢？
生1：2个一百，3个十和5个一。
生2：我也是先一百一百地圈，再圈30，剩下5个也圈起来。
生3：我是十个一圈，剩下5个，合起来也是二百三十五。
师：这三种圈（数）法，每种都能正确地数出圆点的个数，你们最喜欢哪种？为什么？
生4：我喜欢第一种圈法，因为能一下子就看清有多少个圆点。
生5：我喜欢第二种圈法，圈起来快，看得清楚，二百三十五个圆点。
大多数学生表示赞成。
师：刚才不少小朋友选择了第三种圈法，现在为什么喜欢的人变少了？
生6：看过去眼睛很花，一下子看不清有多少个，还容易数错。
生7：圈的次数太多了，我刚才就比别人数得慢很多。还是先一百一百地圈好。
在这个案例中，例题第二层次的教学让学生经历了用计数单位“百”去圈（数数）的过程，意在巩固学生对计数单位的认识，为学习数的组成做铺垫。学生在估计出比100多以后，开始圈、数，结果有人数得又对又快，有人数得慢且错误多。教师为此特意安排两次交流。第一次是同桌交流怎样圈，互相了解各自的圈法。这激起了学生的思考，同桌的圈法与自己的相同还是不同，他是怎样想的，为全班交流、优化数法做好准备。第二次是全班交流怎样圈，让学生体会当圆点个数多于100，又不超过1000时，用“计数单位“百”去圈（数数）的方法好。通过两次交流、比较，突出了教学重点，效果较理想。
三、等一等，让学生先操作
皮亚杰曾说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。” 可见操作对小学生知识学习的重要性是不言而喻的。数学的学习同样需要学生适时的动一动手。
【案例3】
教学三年级上册第九单元《数学广角》中“有趣的搭配”一课时，教师安排了如下操作环节。
明明有5件衣服。黄衣、蓝衣两件上衣，粉裙、蓝裤、紫裙三件下装。明明问：一件上衣配一件下装为一套，可以有几种不同的搭配方法？
在学生理解题意后，教师请学生思考并操作。
师：先想一想，明明的衣服有几种不同的搭配方法？再动一动手，用学具摆一摆。
学生在自己动手操作、同桌间交流后，教师邀请学生上台来用教具进行演示。
生1：我先选择了一件黄衣，分别和粉裙、蓝裤、紫裙三件下装搭配，有3种搭配方法，然后用蓝衣分别和三件下装搭配，也有3种搭配方法。3+3=6，一共有6种不同的搭配方法。
师：你问问小朋友们同不同意你的方法？还有没有其他不同的搭配方法？
生2：先选择一条粉裙和两件上衣搭配，有2种搭配方法，再选择一条蓝裤和两件上衣搭配，也有2种搭配方法，最后用剩下的一条紫裙和两件上衣搭配，也有2种搭配方法。2+2+2=6。
师：先确定上装再选择下装，或先确定下装再选择上装，这两种搭配方法虽然顺序不一样，但衣服搭配的结果都是一样的，都是6种，有没有7种、5种的？你喜欢这两种搭配方法吗？这样搭配有什么好处？
生：只要我们按一定的顺序去搭配，就不会遗漏，也不会重复。
案例中教师通过让学生先思考明明的衣服有几种不同的搭配方法，再动手用学具来摆一摆，然后指名学生上台边演示边解说，每位学生都经历想、摆、说的过程。看似简单的内容，学生经过思考、操作，厘清思路，先确定什么再确定什么，理解能力弱的学生也找到了方法。同时为后面用自己喜欢的方式把各种搭配方法记录下来做好铺垫。虽然费一些时间，但思考、操作的过程能够激发学生的学习兴趣，每个人都经历了探索的过程，学生在活动与思考的过程中构建了属于自己的知识。这是教师满堂讲所不能达到的效果。这样的等待显然是值得的。
四、等一等，让学生先更正
学生的学习过程是一个不断尝试错误的过程。当学生出现错误时，教师不要急于告诉学生正确答案，不妨先等一等，给学生有一个自行更正的过程，让学生想一想，试着自己改正错误，找出错误的原因。
【案例4】
在教学长方形周长时，不少学生喜欢用（长+宽）×2这种方法计算周长，因为计算方便，但经常有学生会把小括号漏掉，其实他们仍然先算长加宽的和，只是觉得“（ ）”加与不加都没关系。也就是学生对四则运算的顺序的理解还不到位。于是在碰到类似的判断题时――一个长6厘米、宽4厘米的长方形，它的周长是6+4×2――部分学生就会毫不犹豫地打“√”。
师先问打“√”的学生：你是怎样想的？
生1：先算6+4=10，再乘2等于20。
教师没有马上否定这个学生的回答，也没有直接告诉学生正确答案。而是请其他学生发表看法。
生2：这个算式应该先算4×2=8，再算6+8=14。所以是错的。
不少学生赞同他的看法。
师：6+4×2算出的是什么？谁能试着用画图来解释？
生3：算出的是两条宽与一条长的和，还少一条长，6+4×2不是这个长方形的周长。
生4：要么给6+4添上括号，要么再加6，这个算式就对了。
学生表示理解。
案例中教师通过等一等，把四则运算顺序渗透在长方形的周长教学中，既加深学生对长方形周长意义的理解，又加深学生对“先算小括号里的”这一运算顺序的理解。可见，在面对学生做错的题时，等一等，不仅能从中收获到意想不到的教学资源，且最终的效果，较之直接讲评更是事半而功倍。
