时间：2023-09-19 16:27:49
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高考数学常用数值，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
改编方式一：改变题干，不改设问
命题者有时会改变一道题的题干——比如设置一个新的函数解析式，但不改变题目的设问.这种改编方式在高考命题中最为常见.
例1 [2010年高考数学湖北卷（文科）第21题] 设函数f（x）=x3-x2+bx+c，其中a>0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1.（1）确定b，c的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），证明：当x1≠x2时， f′（x1）≠f′（x2）；（3）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围.
例2 [2007年高考数学全国新课标卷（理科）第22题] 已知函数f（x）=x3-x.（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a
分析：例1这道高考题的第（3）问其实来自例2的第（2）问，比较可知，例1的第（3）问与例2的第（2）问都提到了过某一点可作曲线的三条不同切线，并要求根据这个条件讨论参数的取值范围，其设问方式是一致的.但曲线所对应的函数却不同，例2中的函数是具体函数f（x）=x3-x，例1中的函数则被命题者设置为含参函数f（x）=x3-x2+bx+c.这种改编方式就属于“改变题干，不改设问”.
改编方式二：条件设问，交换位置
交换高考题中的条件和设问的位置，从而构造出一个新的试题，也是命题者常用的改编方式之一.
例3 [2009年高考数学全国大纲卷（理科）第6题] 设a，b，c是单位向量，且a·b=0，则（a-c）·（b-c）的最小值为
（A） -2 （B） -2 （C） -1 （D） 1-
例4 [2008年高考数学浙江卷（理科）第9题] 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则c的最大值是
（A） 1 （B） 2 （C） （D）
分析：单位向量、数量积、夹角、模的最值是向量问题永恒的“主题”，以此为背景的高考题层出不穷.原题例4的条件“（a-c）·（b-c）=0”被改编为例3的设问“求（a-c）·（b-c）的最小值”，而例4中要求解答的“c的最大值”则被改编为例3的条件“c为单位向量”. 条件设问一交换，一道崭新的试题由此产生.
改编方式三：转换背景，保留实质
命题者常用的另一种改编方式是转换问题的背景，但不改变其他条件和设问.这种改编方式常见于解析几何问题，命题者把圆改成圆锥曲线，把圆锥曲线改为圆，或者把一种圆锥曲线换成另一种圆锥曲线，就得到了新的命题.
例5 [2009年高考数学辽宁卷（理科）第20题] 如图1所示，椭圆C过点A1，，两个焦点为（-1，0），（1，0）.（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.
例6 [2004年高考数学北京卷（理科）第17题第（2）问] 如图2所示，过抛物线y2=2px （p>0）上一定点P（x0，y0） （y0>0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）.当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.
例7 [2005年高考数学江西卷（文科）第21题第（1）问] 如图3所示，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA=MB. 若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.
分析： 例5这道高考题的第（2）问同时参考了例6、例7这两道高考题.
和例6相比较，命题者把抛物线背景改成了椭圆，用具体数值代替了字母，其他方面几乎没有作改动.两题的条件都是过圆锥曲线上的定点作两条直线与圆锥曲线相交，且这两条直线的斜率互为相反数.两题的设问都是联结两直线与圆锥曲线的交点，要求证明该直线的斜率为非零常数.这两题的解法也是相同的，都要联立圆锥曲线与直线的方程，根据韦达定理求出其中一个交点的坐标，再由两条直线斜率互为相反数求出另一个交点的坐标，最后根据两点的坐标确定所求直线的斜率.
在例7中， 由MA=MB可知AMB （见图3）为等腰三角形，故∠MAB=∠MBA. 又A，B在x轴上，所以∠MAB+∠MBx=π，所以ME与MF的倾斜角互补，斜率互为相反数.比较可知，例6和例7几乎完全一样，其解题思路和方法也基本相同.
改编方式四：穿上“外套”，沿用解法
有些经典的数学问题题目简洁，解法多样，在培养同学们的思维能力方面起着非常重要的作用.命题者会给这类题目穿上各种“外套”，把它转变成新的试题.但层层“剥壳”之后，我们会发现，经典问题的解法就是解决新问题的关键方法.
例8 [2009年高考数学山东卷（理科）第20题] 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn）均在函数y=bx+r （b>0且b≠1，b，r均为常数）的图象上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=2（log2 an+1） （n∈N*），证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立.
例9 [1985年高考数学上海卷（理科）第8题] 求证：（1+1）·1+·1+·…·1+>.
分析： 例8看似是一道创新题，但它的第（2）问其实来自例9. 例9看似平凡却意蕴丰富，可以用数学归纳法、放缩法、构造对偶式、构造数列等方法解决，其实质就是考查通项公式为1+的数列的前n项之积与的大小关系.
对例8的第（1）问，由an=Sn-Sn-1 （n≥2）可得{an}是以b为公比的等比数列，再由=b解得r=-1，由此可求得an=2n-1，所以bn=2n （n∈N*）. 因此，例8的第（2）问就转化为证明··…·>成立，即考查通项公式为1+的数列的前n项之积与的大小关系.
两题的本质区别在于数列的通项公式不同，其证明方法是完全一致的.命题者给例9穿上了厚厚的“数列”外套，将它转变成例8，使其看上去复杂了很多.
通过上面的叙述，相信你已经明白了我们的良苦用心. 这些高考题看似不同，其实彼此间存在着很多联系，如果我们能进行对比分析、归类总结，就能举一反三、从容应对. 因此，在高考复习时，除了要重视教材，还应该重视研习历年高考真题，并有意识地注意以下几点：
（1） 在解答高考真题时，不能仅满足于求出问题的答案，而应该关注三个问题：解题思路是怎样获得的？有没有其他解法？哪种解法更简捷？
（2） 当遇到难题时，要问问自己：题目到底难在哪里？它考查了哪些知识点？解决类似问题的方法可以套用到这道题中吗？
（3） 做完高考真题后，我们要想想：以前做过类似的题目吗？如果能找到和这道高考题类似的题目，就拿来比较一下，找找它们之间的联系和区别：它们的相同之处和不同之处是什么？是条件不同问题相同、条件相同问题不同，还是题目不同解法相似？
【关键词】高考数学；全国卷；题型分析
通过做近五年的全国卷二，时间是2012年到2016年，注意到试卷考查内容方面注重基础的考查，知识覆盖面全且重点突出，之前高考中突出考查的“三角函数”“概率与统计”“立体几何”“数列与不等式”“解析几何”“函数与导数综合”六大板块依旧是考查的重点，且难度适当，依然体现了“以学生为本”“在基础中考查能力”的要求.圆锥曲线在高考中是重点与难点部分，本文将对圆锥曲线问题进行分析.
通过高考题目，可以发现对于圆锥曲线知识点的考查具备综合性，能够最大限度地考查学生对于圆锥曲线知识点的掌握情况.圆锥曲线的主要考查形式是：给出曲线的满足条件，判断（或求）其轨迹；给出曲线方程，讨论曲线简单的几何性质；给出曲线与直线、曲线与曲线的位置关系，讨论两线相关联的有关问题等.一般高考第20题的第一问就易考查基本性质，通常考查从圆锥曲线的定义与焦半径的联系、圆锥曲线的定义与离心率的联系、参数值与渐近线的联系、相交弦问题等，第二问考查相交弦也比较多，但是相对复杂一些，因此，下面总结比较常见的相交弦模型.
一、相交弦模型――韦达定理（椭圆）
2013年第20题就运用了上述方法，填空、x择题中也可以运用，所以相交弦模型也是比较常用的解题方式，高考题设计常需要考生以现有曲线的性质为依据，另外还会通过相交现象，以焦点弦和切线作为条件或以图形的面积信息作为求解条件等方式综合考查.通过近五年全国卷二高考题的分析，圆锥曲线问题有时包括两道选择题，有时一道填空题，有时一道填空题另加第20题大题，分值不少.高考在涉及圆锥曲线的问题时，往往习惯将轨迹方程、圆锥曲线的基本性质，放在大题的第一小题，旨在考查学生对于圆锥曲线基本知识点的掌握情况.2013年第20题把求曲线方程放在第一问，第二问偏向于对学生综合水平的考查，注重解题灵活化，思路开阔化，结论美观化，而像2013年这种题型，曲线上的定点、直线的斜率为确定值这种题型也成为一种主要的呈现方式.
像2013年这种求最值的圆锥曲线问题，常用代数法或几何法解决，首先要分析题目的条件与结论是否有明显的几何意义，如果有一般可用图形解决，但这道题我们发现，条件与结论体现的是明确的函数关系，这里可建立目标函数求最值.目标函数是根据面积公式而得，所以在求面积之前要将面积所需要的量求解出来，进而再求解最大值.
具体过程如下：
二、双曲线问题
（三）在近五年全国卷二中，抛物线还易与圆结合考查，这不仅要考虑抛物线的性质，还要注意圆的性质，在解决问题时将已知条件与所要求的值建立联系，更易快速求解.解题思路：（1）建系；（2）设点坐标（需要的话）；（3）利用轨迹条件列方程；（4）化简整理；（5）注意范围（k的取值）.
2012年第20题：设抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
（1）若∠BFD=90°，ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；
一、基础复习阶段要注重基础，构
建知识网络
数学是一门逻辑思维很强的学科，它是从大量的客观事物中抽象出来的，而这种抽象思维、逻辑思维是在一定量的形象思维的基础之上建立起来的.构建一个全面而清晰的数学知识网络，必须首先夯实基础，从基础知识入手，研究知识之间横向以及纵向的联系，帮学生理清知识脉络，找准知识主干，学会举一反三.
在构建知识网络之后，对知识网络的交叉点要多挖掘，在高三复习中充分体现出主干知识的框架作用.
在复习过程中，教师要引导学生对知识进行归类与整理，构建一个自己的知识体系，这样才能够事半功倍，遇到数学问题才会站在宏观的角度去思考和解决问题.
在复习过程中，教师要鼓励学生主动、积极地学习，注重基础，认准“题根”，弄清楚知识的来龙去脉；加强记忆公式、定理、法则等，在练习的过程中对这些概念进行加强理解和记忆；注重新旧知识的联系，学会从一定量的题目中提炼出数学思考与数学方法，总结解题方法，这样才能够熟练地运用各种数学题目的解题技巧，在高考中下笔如有神.
基础复习阶段，教学目标是夯实学生的基础，此时不容忽视的问题是加强课堂互动，提高学生主动参与的热情，经常用比较法、探讨法等将学生的易错点、易混淆点进行梳理，帮助学生探寻知识的内在联系，教学生一定的学习方法，帮助学生树立自信，养成良好的学习习惯.教师应当高视角地把握全局，注重细节，循循善诱，设置较缓的坡度，让学生感受到学习的乐趣，最后构建脉络清晰的知识体系.
二、提高阶段要整体把握复习内
容
教师只有在整体上将高中数学的内容把握清楚了，才能够在复习中指导学生有的放矢地展开，才能够将知识讲透，让学生认识到知识的真谛.如，函数是代数中的主干知识，其中，函数的图象和性质之间的关系、导数与函数的综合是目前高考中的热点.因此，在复习中应当从以下方面，循序渐地的展开.
第一，对函数性质的复习.包括周期性、单调性、对称性、奇偶性等，对这些性质有清楚的认识，才能够更好地进行后面的学习，这类题型常常配有直观的函数图象.
第二，一元二次函数是高考中的重点.因此，复习中要对一元二次函数展开深入、彻底的复习，不留知识死角.其中，对二次函数值域的考查是热点，以求含参变量的二次函数值域为难点.解题方法包括换元法、配方法等.在训练中，教师要对这些重点知识以及主要解题方法重点突出，一元二次方程根的分布、二次曲线交点、一元二次不等式求解方法等，都是建立在一元二次函数的基础之上的.
第三，函数与方程.重点在于掌握函数的零点和方程根的关系，让学生学会判断一元二次方程根的存在性以及根的个数.
第四，在不等式的知识训练中，一元二次不等式、可转化为一元二次不等式的题型是训练的重点.主要训练学生分类讨论、灵活转化的思维.
提高阶段主要是对主干知识进行深化与巩固，深入挖掘知识的本质联系，注重思维与方法的指导，提高综合能力.这个阶段主要是知识点的综合与渗透、交融，例题要精挑细选，让学生在经过一定训练后，有一种“一览众山小”的感觉.逐层拨笋、分解问题是这个阶段的重点.
三、冲刺阶段重在查漏补缺
查漏补缺关键是发现学生的知识漏洞，有针对性地进行训练；强化学生的解题习惯，让学生努力避免出现一些常犯错误，如审题性错误、疏漏性错误、运算性错误、不良习惯错误、知识性错误等；以某一个单位时间的训练来提高学生的解题速度.这个阶段测试的频率不宜过高，应该给学生留下适当的时间来反思、总结，以适当的模拟训练来提高学生对高考的适应力.
关键词：高考数学；试题导向；高考备考；主干知识
现在高考备考，很多师生认为数学成绩不好是题目做少了，依然是题海大战，试卷满天飞，盲目、重复的训练，以致师生苦不堪言。高考过后，师生反映一年的复习效果甚微，做的多是无用功，这确实令人痛心。寻找高效的复习方法，减少无用功，提高效率，是一线教师复习备考值得思考的问题。
高考题是命题专家的呕心沥血之作，对来年高考具有一定的导向和示范作用，教学中以高考题为例，让学生了解高考题，对他们高考成绩的提高有很大的作用。研究近几年特别是上一年的高考题，探寻高考命题趋势，是有效、针对复习的前提。研的内容、深度、广度，对师生的备考效率、效果产生巨大的影响，所以对教师来说，首先应该将高考题研究清楚，寻找正确的试题导向。
导向性的好题就是以考纲为纲，以课本为源，题目灵活新颖，不难不怪，考查基础知识的同时，注重考查能力。从高考试题的内容来看，基础知识和基本方法、思想不会有大的改变，改变的只是题目的背景，试题呈现的方式，着重考查能力，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。下面我们从六个方面研究试题，体会高考导向，以利提高复习效率。
一、紧扣课程标准，突出基础
突出基础，紧扣“标准”，既是命题的核心，也是教学的核心。这样的试题也最能体现考查学生的数学素养。
例1 若正实数x， y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A [245] B [285] C 5 D 6
本题是2012年高考数学浙江卷文科一道选择题，答案为C，虽然是小题，但内涵丰富，入手较宽，解法灵活。考生可以从两个方面入手解答本题，一方面从已知条件入手。思路1：消元，使目标变为一元函数。由x+3y=5xy得y=[x5x-3] ，又x>0，y>0，故x>[35]，3x+4y=3x+[4x5x-3] 。设f（x）= 3x+[4x5x-3]（ x>[35]）， （也可以消去x保留y）到此学生很容易会用导数法或基本不等式法求解易得答案。思路2：变成和为定值。因为x+3y=5xy，所以[3x]+[1y]=5（x>0，y>0 ）。基本不等式法就会想到，3x+4y=[15]（[3x]+[1y]）（3x+4y）= [15]（[3xy+12yx+13]），因为[xy]>0，所以3x+4y[≥] [15（3×2][xy・4yx] +13）=5。当且仅当 [xy=4yx]且[3x]+[1y]=5，即当x=1，y=[12]时等号成立。另一方面，从所求目标入手。设3x+4y=t，（ x>0，y>0，t>0 ）。可以整体代换法求解，因为x+3y=5xy，所以[3x]+[1y]=5，又3x+4y=t.两式相加得t+5=3x+4y+[3x]+[1y]=3（x+[1x]）+（4y+[1y]）[≥]3[×2]+2[×2]=10，所以t[≥5]，当且仅当x=1，y=[12]时等号成立。（当然也可以相乘解答）
此题有多种解法，可以从多方面考查学生的基础知识和基本技能是值得研究的一道好题。对此类题目分析研究不仅使学生掌握基础知识，还可以增强学生的发散思维能力，达到举一反三、触类旁通的目的。
二、突出主干知识
高中数学课程中，主干知识仍然是数列，三角、统计与概率、立体几何、解析几何和函数、导数、不等式；高考试题与教材联系紧密，注重基础，突出主干，强调思维，反复强调“函数”、“运算”、“图形”、“算法”等等思想。它们的作用不能等同于知识点，不能等同于技能，也不能等同于一般的思想方法，他们始终贯穿高中数学课程，构成高中数学的基本脉络。高考试题强化考查考生对主干知识的认识和理解，他们反映了数学中更为丰富的东西，最终影响了学生将来的学习和工作。近几年安徽自主命题风格基本保持不变，下面以主干知识之一数列考查为例来看近几年安徽高考题。
① 2011年安徽理科第18题：在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T[n]，再令a[n]=lg T[n]， n[≥1].
（Ⅰ）求数列{ a[n]}的通项公式；
（Ⅱ）设b[n]=tana[n][・]tana[n+1]，求数列{ b[n]}的前n项和S[n].
本题考查等比数列通项公式以及数列与三角函数的综合 。
② 2012年安徽理科第21题：数列{x[n]}满足x[1]=0，x[n+1]=-x[2n]+x[n]+c（n[∈]N[*]） .
（Ⅰ）证明：{x[n]}是单调递减数列的充分必要条件是c
（Ⅱ）求c的取值范围，使{x[n]}是递增数列.
考查数列概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，着重考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解的能力，推理能力不是数列递推，这一点值得注意。
③ 2013年安徽理科20题：设函数f[n]（x）=-1+x+[x222]+[x332]+…+[xnn2]（x[∈]R， n[∈]N[*]），证明：（Ⅰ）对每个n[∈]N[*]，存在唯一的x[n][∈][[23]，1] ，满足f[n]（x[n]）=0；
（Ⅱ）对任意p[∈]N[*]，由（Ⅰ）中x[n]构成的数列{ x[n]}满足0
考查导数及应用，函数零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，同时考查推理论证和运算求解的能力，属于难题。
④ 2014年安徽理科21题：设实数c>0，整数p>1，n[∈]N[*].
（Ⅰ）证明：当x>-1且x[≠]0时，（1+x）[p]>1+px；
（Ⅱ）数列{a[n]}满足a[1]>c[1p]，a[n+1]=[p-1p] a[n]+[cp] a[n][1-p] .
证明：a[n]> a[n+1]> c[1p] .
本题第（Ⅰ）问，来源于课本选修2-2数学归纳法一节的例题，是大学数学中最常见的贝努力不等式，用数学归纳法简单证明。体现试题入口宽、面向全体考生的特点。第（Ⅱ）问，对考生的推理、证明能力，运算求解能力，分析解决问题的能力要求很高，绝大多数考生感到束手无策，但是此题并没有超纲。本题对于引导学生回归课本，改变死做题的学习方式，倡导理性思维、强化探究能力的数学教学与学习同样有很好的导向作用。同时与2012年安徽数学高考21题的解题思路基本一致，具有高等数学背景，是衔接初等数学和高等数学的一个极好题目，感知这种变化，在复习时加以重视。
三、突出几何直观
[?] 课程标准[?] 要求注重图形语言，多画一些几何图形，给我们带来的不仅是逻辑严密更是直观。在选择题中，图像问题常用到函数单调性、奇偶性、极值、特殊点处的函数值等。好的高考题通常都蕴含着丰富的几何背景。
例2 （2012年高考数学重庆卷理科第10题）设平面点集A={（x， y）颍y-x）（y-[1x]）[≥]0}，B={（x， y）颍x-1）[2]+（y-1）[2][≤]1}，则A[?]B所表示的平面图形面积为（ ）.
A [3π4] B [3π5] C [4π7] D [π2]
题中有考生熟悉的三个图形，圆（x-1）[2]+（y-1）[2]=1与y=[1x]均关于y=x对称，图中有美，美不胜收，题目把三个如此优美的曲线放在一起，让人喜欢上数学的图形美。即使不画出图形，按美学原理，从对称出发，只看选项就能选出正确答案D，这样的试题，能激起学生对数学学习的热爱。三个几何图形在课本中经常看到，体现高考源于课本，高于课本的命题思路。这样的考查对于教与学中重视基本几何图形的掌握有好的引导作用，要求我们对基本初等函数的图像和性质熟练掌握。
四、能正确体现基础与本质的关系
基础知识的概念与本质是两个不同的概念。做习题是为了更好地把握概念、定义、定理及性质的本质，若是只做题而不去思考把握问题本质，只会浪费复习时间，增加学习负担，若能重视对问题背后的数学本质的追溯，无疑能有效提高教与学的效率，培养学生的数学意识与数学能力。
例3 设[α]为锐角，若cos （[α] +[π6]）=[45]，则sin （2[α] +[π12]）的值为
这是江苏2012年高考理科第11题，很多教师认为这道题考查的是三角恒等变角技巧，并且强调角的变换是最重要的三角恒等变换之一。要注意将已知角与所求角，特殊角与一般角之间建立联系，然后选择恰当的三角公式，是解答此题的关键。由于技巧性太强对学生来说有一定的难度。这些看似强调基础知识和基本技能，但不是三角函数的本质。本题可以深入思考找到解题思路，由cos（[α]+[π6]）=[45]说明[α]+[π6]也是已知的，当然求值时要把目标角2[α] +[π12]转化为已知角，即2（[α]+[π6]）+[π12]-[π3]=2（[α]+[π6]）-[π4]。这样化未知角为两个已知角的思考，就抓住了问题的本质，三角函数是以角为自变量的特殊函数，是函数值与自变量之间的对应关系，而不是变角技巧。由此出发才能化未知为已知，找到解决问题最基本的思维方法。
五、重视阅读能力，处理新信息能力的考查
学生进入高校或者社会，能否继续发展，很大程度上取决于他们的学习能力，特别是阅读理解能力则是继续学习的前提。数学是一种语言，由于其高度抽象，符号众多，成了学生进入高校继续学习数学的障碍。近年高考对阅读能力的考查加大了力度，考点集中在符号语言，图形语言、文字语言、图表语言上。
例4 （ 2014年安徽高考理科数学15题）已知两个不相等的非零向量a， b，两组向量x[1]，x[2]，x[3]，x[4]，x[5]和y[1]，y[2]，y[3]，y[4]， y[5]均由2个a和3个b排列而成。记S= x[1][・] y[1]+ x[2][・] y[2]+ x[3][・] y[3]+ x[4][・] y[4]+x[5][・] y[5]，S[min]表示S所有取值中的最小值。则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。
①S有5个不同的值；
②若a b ，则S[min]与OaO无关 ；
③若a∥b ，则S[min]与Ob O无关；
④若Ob O>4OaO，则S[min]>0；
⑤若Ob O=2Oa O，S[min]=8OaO[2] ，则a 与b 的夹角为[π4]。
此题是填空题的压轴题，要求学生对每个问题都能正确做出判断，一错则错，并且此题更是复合型题与信息题两者的完美结合，试题新颖且有创造性，对数学知识、数学方法的考查全面、深入。信息题它可以有效考查学生即时阅读、理解信息的能力，以及抽象概括信息与运用信息的能力；同时本题对数学思想方法的考查也很深入，主要考查分类讨论的数学思想方法和函数方程思想，属于难题。对于①讨论a ，b 有0、2、4组对应数量积，得到S最多有三个不同的值，①错；因为a ，b 是不等向量，所以S[1]-S[3]=2（a - b）[2]0， S[1]-S[2]=（ a - b）[2]0 ， S[2]- S[3]=（a - b）[2]0， 所以S[3]S[2]S[1]，故S[min]= S[3]= b [2]+4 a[・]b ，对于②，当ab 时，S[min]= b [2]，与OaO无关，②正确；对于③显然S[min]与ObO有关，③错误；对于④设a ，b 的夹角为[θ]，则S[min]= b [2]+4 a[・]b16OaO[2]+16OaOcos[θ]=16OaO[2]（1+ cos[θ]）≥0，故S[min]0， ④正确；对于⑤，ObO=2OaO，S[min]=8OaO[2]，所以cos[θ]=[12]，又[θ][∈][0，[π]]，所以[θ=π3]，⑤错误。
安徽省近几年的15题都是复合型填空题，阅读能力的考查要求很高，所以教学中要多多强调。本题是向量运算综合问题，主要考查向量的数量积运算、夹角公式、不等式性质。安徽高考在向量这个地方一直想创新，本题是个很新颖别致的问题，为2015年的高考提供了一个范例。
六、强调应用意识，体现数学文化价值，引导学生积极主动的学习
人们经常谈论学生过重的学习负担,其原因何在?表现形式如何?我认为可用四个字来概括――机械重复,中学尤其高中数学教学中,学生过重的学习负担主要表现是什么?或者说教师该负什么责任?我认为有两点值得特别注意,其一是“无节制的扩展知识面”,其二是“施教不因材”。
一、无节制的扩展知识面
它的含义就是在教学中不断地补充一些公式、补充一些特殊的解题方法,这在高中数学教学中是屡见不鲜的――尤其是在高三数学总复习中,正因为如此,高考考试大纲曾多次明确限制这种无限扩充知识面的行为――如异面直线之间的距离,异面直线上两点间的距离公式,利用递推关系求数列的通项公式等。
教学中,这些补充的公式或方法往往只对一些极其特殊的问题有效,缺乏普遍性。久而久之,学生认为学数学就是不断地套公式、套题型、一旦试题稍加变化,学生就无所适从,而且这些补充的众多公式与方法大多因为时间所限是不加证明的,更没有学生探索、分析、比较的发现过程,学生大多是凭记忆死记它们,这大大地增加了学生的记忆负担,这样的学生会有想象力和创造性思维吗?
那么,这种补充是否有必要呢?有人一定会振振有词地说补充后解决一些高考题非常有效,的确,我们一些高考命题专家就是上述无节制补充公式和方法的爱好者,但这绝不是高考命题的主流,即便是无节制补充公式和方法的爱好者为迎合某个补充公式或某种补充技巧方法的“好题”用我们的基本公式与基本方法也是不难解决的。下面就以高中代数数列中及解析几何直线中的几个例子来加以具体地说明――这些例子都有高考的背景。
例1,已知等差数列{an}中a2+a3+a10+a11=48,求S12。
注:这是非常常见的“好题”――尤其为那些补充过等差数列的一条性质的人所推崇,这条补充的性质就是am+an=ap+aq,其中m+n=p+q。用这条性质很容易解决这一问题(略去解题过程,因为这是众所周知的),笔者的观点是:确定一个等差数列一般只需要确定首项与公差,因此一般有关等差数列的问题的解决关键是寻找首项与公差,当然这对本题来说不可能,因为只有一个条件,只能列出一个关于首项与公差的方程,此时我们应该如何解决问题,一般地,未知数的个数大于方程的个数,我们有两种选择:①消元;②直接研究已知与未知的关系――当然是以首项与公差为参变量,解法如下:
法一:由已知有:a1+d+a1+2d+a1+9d+a1+10d=48
4a1+22d=48,a1=(24-11d)/2
S12=12a1+6×11d=12(24-11d)/2+6×11d=6×24=144
法二、仿上法有:2a1+11d=24
又S12=12a1+6×11d=6(2a1+11d)=6×24=144
对于上述的解题方法,如不加思考,任何人都会认为法一与法二比常用方法繁,但常用方法的简单是有代价的,即首先需补充公式,这补充的公式也许对于终身从事数学教学的高中数学教师来说是非常显然的,但对于要学习十几门学科、学习能力各不相同的高中生来说恐怕就是负担了,而法一与法二虽然比其他作法复杂,但它对我们是有偿的,第一不需要额外补充公式,第二,这两种方法都具有普遍性。
当然,本人并不是一概反对补充一些公式,如果是那样,就好比只用小米加步枪打天下,对此应该把握如下原则:①要有节制;②视学生的情况;③视教材的情况而定,如函数值域的求法,教科书没有提供任何求法,教学中要适当补充;④对于少数必须补充的公式和方法的探索、发现、证明,要有学生的参与,不能直接告诉学生。
一、空间线面位置关系的判断，提高空间感知
高考对空间线面位置关系的判断与证明的考查主要有两个方面：一是以多面体为载体，对空间线线平行、线面平行、面面平行进行考查；二是以多面体或旋转体为载体，对空间线线垂直、线面垂直、面面垂直进行考查，但以空间直线与平面平行（垂直）、平面与平面垂直为重点.预测在2017年的高考中，以解答题的形式考查线面位置关系的证明会是命题的重点.
方法c规律：利用空间向量证明平行、垂直的关键是恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标.利用空间向量证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可；利用空间向量证明直线与直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直即可，而直线与平面垂直、平面与平面垂直可转化为证明直线与直线垂直.
二、空间角与距离的求解，倡导通性通法
空间角与距离的求解是历年高考必考的内容，多以解答题的形式出现，涉及两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及距离的计算，一般利用平移法求异面直线所成的角，利用定义法或向量法求解直线与平面所成的角、二面角以及点到直线的距离.从近几年的考情来看，高考命题多以线线角、线面角、二面角的计算为主，其中多与空间中的平行与垂直、解三角形等问题相结合.在进行空间角与距离的计算时，应多借助空间向量，准确求解相应的法向量是解决此类问题的关键.
方法与规律：本题考查圆台的结构特征、空间中线面平行的证明以及二面角的余弦值的求解等，意在考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.本题既可以使用传统解法，也可以使用向量法，根据圆台的结构特征，首先建立空间直角坐标系，然后根据两个平面的法向量，利用两个法向量的夹角与所求二面角之间的关系求解二面角的余弦值.求解空间角多通过建立空间直角坐标系将问题转化为坐标运算，这样减少了逻辑推理的过程.
方法与规律：本题以考生熟悉的四棱柱为载体，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算求解能力.本题的创新之处是没有像过去一样给出条件直接求解线面角，而是先给出线面角的大小求线段的长度（两点之间的距离），结合图形的结构特点，运用空间向量解决会更简洁一些，但要注意线面角与向量夹角的关系和二面角与向量夹角的关系不能搞混，这一点容易出错.
三、翻折与开放型问题的探索，凸显命题理念
立体几何中有关翻折和开放型问题在高考中所处的地位越来越重要，在高考中以解答题的形式出现，难度较大.相比翻折问题，开放型问题考查的机会更大一些，特别是以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形等）是否存在或某一结论是否成立.“是否存在”问题的命题形式一般是：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由.这类问题常用“肯定顺推”的方法.求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性，所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便.预计在2017年的高考中开放型问题会是命题的热点.
方法与规律：解决平面图形翻折为空间问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程理清翻折前后位置关系中发生变化的量有哪些，没有发生变化的量有哪些，这些不变的量和变化的量反映了翻折前后的空间图形的结构特征，求解问题时要综合考虑翻折前后的图形.第（2）问确定点M的位置，指明了需要求出线段PM的长度，通常需要利用向量共线、三角形法则进行求解，一般不需要求出点M的坐标.
四、知识关联，纵横交汇，注重综合应用
从近几年考情来看，关于立体几何的一些高考试题中，由简单的计算问题逐步与函数的最值问题或与平面几何（圆）的交汇问题，强化了平面几何知识与函数思想在立体几何中的应用，加大了题目的难度.此类问题在高考中主要考查空间中的线面平行与垂直的关系，考查学生的空间想象能力和推理能力.空间几何体与圆、函数等知识的交汇已成为新的命题创新点.
方法与规律：本题是空间几何体与函数的交汇问题.第一问利用锥体与柱体的体积公式求解；第二问利用锥体与柱体的体积公式建立目标函数，结合导数求解.解答本题的一般思路是把所求空间几何体的表面积或体积表示为关于线段长x或某一角θ的函数，然后再根据函数解析式的特征求最值.解题的关键是将实际问题转化为数学问题，利用相应的工具（如导数、换元、均值不等式等）求解最值.
一、科学布设问题，引领课堂复习紧凑发展
小步子、多台阶设置问题是近些年教学中常用的问题处理方式，教学应立足于学生的最近发展区，实现跨越式发展。对于高三复习亦不能外。我们在高三数学复习时，应结合教学目标，科学设置问题串，引领学生拾级而上。当然问题也不能过于琐碎，不然会将教学从满堂灌导向另一个误区――满堂问，学生被问题牵着鼻子走，思维无法发散。复习过程中应从学生的反映出发科学追问，把握教学节奏，紧凑式发展，不断生成问题、解决问题，实现复习的高效率。
案例1笔者在和学生一起推导等差数列前n项和时，首先设置一个问题让学生思考。
设问：1+2+…+100=？
学生调用原有的数学知识，将高斯算法迁移过来，进而快速地得到等差数列前n项和为Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…，学生得到答案，大多认为问题已经完美解决。笔者看到这种情况，没有道破，只是进一步追加了问题引发学生深层次的思考。
追问1：大家得到上面的答案，是否考虑到了n的奇偶性？
笔者这样一问，学生瞬时注意到了思维的片面性，重新陷入了思考之中，分n为偶数和奇数重新进行求解，在一番思考和解答后，新的发现产生了：当n为偶数时，Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an12+an+112）=n（a1+an）12；
当n为奇数时，由于缺乏与an+112配对的项，大多学生表示无法求解，此时学生的思维卡壳了，于是笔者再次追问。
追问2：在初中，“一个上底为a，下底为b，高为h的梯形，面积S的大小是如何推导的？”试着从梯形面积公式的推导方法迁移过来，试着在推导等差数列前n项和既可以用到首尾配对的高斯算法，又不受项数奇偶性的限制。
如此的追问实际是点拨学生的思维，学生联系到梯形面积公式的推导，将其大脑中的记忆表象提取出来，倒序相加的方法的生成就显得自然而不突兀了。
二、立足经典例题，变式训练提升创新能力
高三复习离不开例题和习题的训练和讲评，笔者在复习过程中，尤其是一轮结束的时候，和学生一起回顾一下经典的考题，并对考题进行变式处理，这种变式训练可以在对题目意境非常熟悉的条件下迅速进行解题思路的拓展。
比如在点线面位置关系的教学中，下面的例子可以加强对点面距离问题的转化处理。
例题（2010江苏卷）：如图1，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.（1）求证：PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离。
图1图2利用线面垂直的判定定理对问题（1）容易得到证明，不再赘述。
对问题（2）的解决，若在课堂上，可以让同学们对该问题进行充分的讨论，集中同学的意见，则必有同学提出直接用点到平面的距离的定义来解决。若此法可以顺利实施后，不妨继续追问，要实现求解点面距离，还有无其它途径？再次进行探究，亦必有同学发现，体积与点面距离也有关系。还可以用体积法实现问题转化。故该题的作用得到充分发挥，变式（思路）如下：
变式1（定义法）： 如图2，分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则易证DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC。因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=212，故点A到平面PBC的距离等于2。
变式2（体积法）：连AC，设点A到面PBC的距离为h。先得三棱锥P-ABC的体积V=113SABC・PD=113。然后由（1）得PBC的面积SPBC=212，再由VA-PBC=VP-ABC，及113SPBC・h=113，得h=2，故点A到平面PBC的距离等于2。
学生在高三对高考题有心理恐惧感，总认为高考题神秘且高不可攀，在高三复习时和学生一起研究高考真题，再在原题的基础上进行变式，将解题思路变式引申，既能激发同学们积极探究的热情，又使同学们的知识网中产生新的生成，提高了思考解决问题的灵活性和创造性。
三、注重归类复习，提高学生认知的完整性
学生在高一、高二学习的数学知识大多是零碎的，高三复习的一个重要作用就是将零碎的知识有机地黏合起来，有效整合学生的数学思维，在归类的过程中提炼出解决一类问题的数学思维和方法，提高认知的完整性。
例如，含参数的二次、三次函数的零点问题成为了江苏高考的重点问题。我们可以将它们放在一起复习。
例题1（二次函数的零点问题分析）已知一函数f（x）=2ax2+2x-3-a，求解下列几个问题：
（1）如果f（x）存在一个零点，试分析实数a的取值范围；
（2）如果f（x）存在两个零点，试分析实数a的取值范围；
（3）如果f（x）存在两个零点，且其符号均为负，试分析实数a的取值范围。
例题2（三次函数的零点问题分析）已知一函数f（x）=x3-3x-a，求解下列几个问题：
（1）如果f（x）仅存在一个零点，试分析a的取值范围；
（2）如果f（x）仅存在二个零点，试分析a的取值范围；
（3）如果f（x）仅存在三个零点，试分析a的取值范围；
（4）如果f（x）在区间（0，2）上存在一个零点，试分析a的取值范围。
高考数学压轴题有很强的选拔功能，属于难题，学生很难对付。如何突破这些难题，除了要有坚实的基础，还应掌握一些解题的技巧――化整为零、各个击破就是一个常用的策略，笔者结合实际教学谈一些经验：
1.利用条件的特殊情况突破
例1.（2010年全国课标卷 理21）设函数f（x）=ex-1-x-ax2。
（1）若a=0，求f（x）的单调区间； （2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围。
[分析] （1）略。
（2）由f（0）=0知若函数在[0，+∞）上单调递增，则命题成立。而f′（x）=ex-1-2ax，f′（0）=0，那么若f′（x）在[0，+∞）上递增，则f′（x）≥0即f（x）递增；而f′（x）在[0，+∞）上递增等价于f″（x）=ex-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，即2a≤（ex）min=1？圳a≤■。
对于a>■，f″（x）=ex-2a
这里利用函数值为0、导数为0和函数递增这个特殊情况找出参数a讨论的分界点，再分类逐一解决，使问题的难度有了明显降低。
例2.（2012年全国课标卷 理21）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+■x2；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若f（x）≥■x2+ax+b，求（a+1）b的最大值。
[分析] （1）略。
（2）由（1）知f（x）=ex-x+■x2，
f（x）≥■x2+ax+b？圳ex≥（a+1）x+b；
考虑函数y=ex和y=（a+1）x+b的图象，可发现：
当a+1
当a+1=0时b≤0；
当a+1>0时直线y=（a+1）x+b不能高于曲线y=ex斜率为a+1的切线y-（a+1）=（a+1）[x-ln（a+1）]，此时，令b≤（a+1）[1-ln（a+1）]，令a+1=t则（a+1）b≤t2（1-lnt），从而易求最大值。
这里数形结合，把不等式转化为函数图象间的关系，利用图象的直观性找到特殊情况，从而分类讨论，把这个较难的二元问题逐个转化容易处理的形式。
对于许多难题，都可以利用条件中定义、性质、命题的特殊情况进行分类划分，再抓住每一类的特点分别解决。
2.利用结论的特殊情况突破
例3.（2011年全国课标卷 文21）已知函数f（x）=■+■，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0。
（Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）证明：当x>0，且x≠1时，f（x）>■。
[分析] （Ⅰ）略。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=■+■，而函数g（x）=f（x）-■比较复杂，难以处理。考虑到所证不等式分母的情况可对分00（或
例4.（2011年全国课标卷 理21）已知函数f（x）=■+■，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0。
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>■+■，求k的取值范围。
[分析] （Ⅰ）略。
（Ⅱ）同例2，分00（或
这两个问题中利用命题本身和不等式的特点把结论分割成两部分，从而把问题转化为比较简单的形式。对于一些比较难以整体处理的问题，我们可以利用问题的特点和合理的推测把它分割成若干个小问题，再分析每一部分的本质，用不同的方法解决。
3.利用问题的逻辑关系突破
例5.（2008年高考陕西 理22）已知数列{an}的首项a1=■，an+1=■，n=1，2，…。
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的x>0，an≥■-■（■-x），n=1，2，…；
（Ⅲ）证明：a1+a2+…+an>■。
[分析]第一问容易解答；第二问要证明的是一个关于x的不等式，主元是变量x，不要让n干扰，所以利用第一问得到的■=■-1把■换掉，然后把右边关于■配方，即可得证。
第三问不等式左边不容易求和，基本想法是“缩小”后求和，这时应充分利用（Ⅱ）的结论，把它又看作关于n的不等式，对x赋不同的值可使an有不同的缩小，并且关于n是可以求和的；所以先待定x，利用（Ⅱ）的不等式对a1+a2+…+an“缩小”求和，可得：
a1+a2+…+an≥■+■+■，
显然，只要取x=■即可获证。
一、无节制的扩展知识面
它的含义就是在教学中不断地补充一些公式、补充一些特殊的解题方法，这在高中数学教学中几乎是屡见不鲜尤其是在高三数学总复习中，正因为如此，高考考试大纲曾多次明确限制这种无限扩充知识面的行为如异面直线之间的距离，异面直线上两点间的距离公式，利用递推关系求数列的通项公式等。
在教学中，这些补充的公式或方法往往只对一些极其特殊的问题有效，方法缺乏普遍性久而久之学生认为学数学就是不断地套公式、套题型、一但试题稍加变化，学生就无所适从，而且这些补充的众多公式与方法大多是不加证明的因为时间不允许，更没有学生探索、分析、比较的发现过程，学生大多是凭记忆死记它们，这大地增加了学生的记忆负担，这样的学生会有想象力和创造性思维吗？
那么这种补充是否有必要呢？有人一定会振振有词地说补充后解决一些高考题非常有效，的确，我们一些高考命题专家就是上述无节制补充公式和方法的爱好者，但这绝不是高考命题的主流，即便是无节制补充公式和方法的爱好者为迎合某个补充公式或某种补充技巧方法的“好题”用我们的基本公式与基本方法是不难解决的.下面就以高中代数数列中及解析几何直线中的几个例子来加以具体地说明这些例子都有高考的背景。
例一，已知等差数列{an}中a2+a3+a10+a11=48,求S12
注：这是非常常见的“好题”尤其为那些补充过等差数列的一条性质的人所推崇，这条补充的性质就是am+an=ap+aq，其中m+n=p+q用这条性质很容易解决这一问题（略去解题过程，因为这是众所周知的），笔者的观点是：确定一个等差数列一般只需要确定首项与公差，因此一般有关等差数列的问题的解决关键是寻找首项与公差，当然这对本题来说不可能，因为只有一个条件，只能列出一个关于首项与公差的方程，此时我们应该如何解决问题，一般地，如何面对未知数的个数大于方程的个数，对此我们有两种选择，第一、消元；第二、直接研究已知与未知的关系当然是以首项与公差为参变量，解法如下：
法一：由已知有：a1+d+a1+2d+a1+9d+ a1+10d=48
4a1+22d=48, a1=(24－11d)/2
S12=12a1+6×11d=12(24－11d)/2+6×11d=6×24=144
法二、仿上法有：2a1+11d=24
又S12=12a1+6×11d＝6（2a1+11d）＝6×24=144
对于上述的解题方法，如果不加思考，任何人都会说法一与法二比常用方法繁，但常用方法的简单是有代价的，即首先需补充公式，这补充的公式也许对于终身从事数学教学的高中数学教师来说是非常显然的，但对于要学习十几门学科、学习能力各不相同的高中生来说恐怕就是负担了，而法一与法二虽然比流行作法复杂，但它对我们是有补偿的，第一是不需要额外补充公式，第二、这两种方法都有普遍性。
例二，等差数列{an}中，若Sm=30,S2m=100,求S3m
注：这是一九九六年的全国高考题，为了做这一道高考题，比较常见的方法就是先补充一条性质“在等差数列中，由相邻的、连续的、相等的项的和构成的数列也是一个等差数列”，一般来说，笔者反对这样做，实际上用解决等差数列问题的常规方法寻找公差与首项的方法就很容易解决，即：
这种解法主要是解一个含有参数m的二元一次方程，这对于一个初中生都是完全可能的。
例三，等比数列中，Sn=48,S2n=60,求S3n
本题就是上述例2的变种，常见的方法是先补充一条性质与例二中补充的类似，笔者建议用解决等比数列问题的基本方法寻找首项与公比来解决这一问题，即：
直接解出a1与q当然可以，但运算较繁
考虑到
若作换元 则有：
48＝X（1－Y）及60＝X（1－Y2）解这个方程组有：Y＝1／4，X＝64
所以：S3n＝X（1－Y3）＝64[1－(1/4)3]＝63
在高中数学教学中，象上述补充公式或方法的情况非常普遍，像解析几何直线这一章中，对称问题因为是一个重要知识点，不少教师就要求学生记住补充公式点P（ 关于直线AX＋BY＋C＝0的对称点的坐标公式，稍微仁慈一点的教师就要求学生记住一个点关于直线X±Y＋b=0的坐标公式，实际上曲线的对称问题可以归结为点的对称问题，而点的对称是很容易启发学生解决的先求出垂线方程，再求出垂足，然后求出对称点的坐标当然一个点关于X轴、Y轴的对称点的坐标由图易得，根本就不需要补充众多的公式。
最后应该说明，本人并不是一概反对补充一些公式，如果是那样，就好比只用小米加步枪打天下，对此应该把握如下原则：第一是要有节制；第二要视学生的情况；第三要视教材的情况。象函数值域的求法，教科书没有提供任何求法，教学中要适当补充，第四对于少数必须补充的公式和方法的探索、发现、证明，要有学生的参与，不能是直接给出。
关键词：善于解题；通解；巧解
G・波利亚在《数学的发现》序言中指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，“掌握数学就意味着善于解题”. 怎样才能算善于解题呢？是指既要掌握体现一般规律的基本方法（即通解），又要能具体问题具体分析，触类旁通利用知识间的联系解决问题（即巧解）. 在中学数学解题教学中教师往往较重视一般解法，以做到稳中求胜，而在更多时候忽视了追求数学解题的更高境界，即追求数学思维的灵活性与变通性. 在中学解题教学中，我们应当适时的引导学生具体问题具体分析，在掌握通法的同时寻求问题的特殊性与普遍性的联系，从而训练学生的思维，使其感悟数学的精神. 下面我们通过几个具体的例子作进一步探析.
例1 f（x）=，a，b∈R+且a≠b，求证：f（a）－f（b）
法一 f（a）－f（b）=-=
结论得证.
法二 构造双曲线y2－x2=1（y>0），由双曲线的几何意义：
对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2有
所以f（a）－f（b）
法三 由a，b的对称性，不妨设a
由构成三角形的条件AB?摇－AD?摇
法四 令m=（1，a），n=（1，b）得出m－n=（0，a－b），（a≠b）得出m－n=a－b.又由构成三角形的条件m?摇－n?摇
解析 法一思维较常规，先将f（a）－f（b）表达出来，再利用不等式的缩放技巧，证得结果成立，其思维过程大多数人能想到，但难点在于放缩的过程，易错且不容易想到. 而其他三种方法，思维方法都独特新颖，其本质都是数形结合. 法二，将f（x）变形，发现f（x）的图象是双曲线的上半支，利用双曲线半支上的任意两点间的斜率与渐近线斜率之间的关系，将不等式证明成功转化为两点间斜率的绝对值的取值范围问题；题眼在于对f（x）变形，且能及时联系双曲线一支上点的性质. 法三，则是从问题入手，观察发现要证的是差的绝对值小于某个可以看成长度的式子，自然联想到三角形的三边关系，构造三角形的思路就自然形成了，当然放在直角三角形去研究是最简单的. 法四，与法三实际上是异曲同工，三角形可以看成是首尾相接的三个向量连接而成的，将图形与向量结合起来考虑，这四种不同的方法分别从不同的方面将学生的思维加以拓宽.
例2 对任意的n∈N+， 求证：1+n
法一
1+n=C+C・+…+C+…+C=1+n×+×1×1-+×1×1-×1-+…+×1×1-×1-×…×1-…+×1×
法二 ・1+n=・・1+n
解析 法一的思维过程较为常规，利用二项式展开式，再逐项缩放，使和式最终放为一个可以求解的和，即等比数列的前n-1项和. 整个求解过程的难点在于对×1×1－×1－×…×1－
例3
解方程+=6.
法一 移项得=6－，平方得x－6=－2；再通过平方化简可以求得x=±.
法二 由等差数列的定义，将3看成和的等差中项，设公差为d，则有:
=3－d，①=3+d，②
再根据两根式中的相同部分，将方程①，②两边平方，再两式相减，解出d=x，代回①或②式，可以解得x= ±.
解析 诚然法二和法一究其本质是一样的，但是从思路这个角度来讲法二比起法一更具创新性，结合到等差数列的性质以及椭圆及其标准方程的化简启发，注重了对知识的迁移，体现了较高的思维价值，对解决有些更复杂的问题更具有参考价值.
例4 已知cosα+2sinα=－，求tanα的值.?摇
法一
解方程组cosα+2sinα=-，sin2α+cos2α=1，
得cosα=－，sinα=－，
所以tanα=2.
法二 令tanα=x，由题可知α是第三象限角，不妨设：π
构造直角三角形如图2所示：
则有：+2=
解得：x=2，即tanα=2.
法三 由cosα+2sinα=－，可得+=－1，?摇?摇cos（α－β）=－1，其中tanβ=2，所以α－β=（2k+1）π，于是tanα=tanβ=2.
在学习函数的单调性之前，可以先举一些身边实际例子来启发学生们的思维。如我们生活中常见的气温变化曲线图或折线图，通过气温统计图可以知道一天中的气温变化，如最温是几度、低温是几度、温度升高了几度或者降低了几度，温度变化最大是哪个时段等等。还有比如股票的价格升降等这些图形，都是生活中常见的。通过这样的一些举例可以让学生们联系到所学的函数的单调性，让学生们对函数的单调性有个初步的认识和感悟。
一、直观地理解函数的单调性
引入初中阶段所接触的函数单调性的内容来帮助学生们进行回顾。如：分别作出函数y=x+2，y=-x+2，y=x？，y= 的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？通过作图，可以从简单的函数图象中直观地体现函数的单调性，帮助学生们理解函数的单调性。学生们把函数图像画出来之后，明显可以看到，函数y=x+2在整个定义域内y随x的增大而增大，直线呈上升趋势，而函数y=-x+2是一个呈下降趋势的图象，函数在整个定义域内y值随x的增大而减小。函数y=x？是一个顶点在原点，开口向上的抛物线，对称轴是y轴，在y轴的左侧，y随x的增大而减小，呈下降趋势，y轴的右侧y随x的增大而增大，图象呈上升趋势。函数y= 的图象是由两条曲线组成的，在（0， ）上，y随x的增大而减小，在（ ，0）上，y同样随x的增大而减小。通过观察这几个函数图象的单调性，引导学生们在观察函数单调性的时候一定要先明确函数单调的区间。不同的区间函数的单调性可能是不一样的，函数的单调性是只是函数的局部性质。
借助函数图象的直观理解，学生们对函数的单调性已有了更深入的认识，要让学生们把这种图象中直观的现象用数学语言概括及表达出来，也就是引导学生们对函数的图形的单调性由具体的现象转化成抽象的概括。通过概括，就产生了函数单调性的定义。这是由直观的图象得出来的函数单调性的定义：如果函数f（x）在某个区间上y随自变量x的增大而增大，那么我们说函数f（x）在该区间上为增函数；相反的，如果函数f（x）在某个区间上y随自变量x的增大而减小，那么我们就说函数f（x）在该区间上为减函数。这个定义可以从函数的图象中直观地看出来，是一种描述性的认识，属于感知性的认识。除此之外，还要对函数的单调性有个理性的认识，也就是用严格的数量关系来表示函数的单调性。
二、从本质上理解函数的单调性
比如说函数y=x+ （x>0），根据这个函数的图象，能说出函数的单调增区间和单调减区间吗？该函数的图象是一个不规则的曲线，用函数的单调性定义，很难找出函数递增部分和递减部分的精确分界点，只能说可以从直观上大致判断出函数的单调区间，但是却不能用精确的数量来表示。因此，用数量大小关系严格表述函数单调性是非常有必要的。举例：能用数量关系来证明f（x）=x？在[0，+ ）为增函数吗？学生们很容易可以判断这个函数在给定的区间内确实是增函数，但如何来证明呢？有些学生可能会想到取两个具体的数字代入到函数中，比较函数值的大小，如2？
x 和x ，且x
引导学生们对这种认识函数单调性的方法进行语言的概括，经过师生的共同研究，得出函数单调性的严格定义。教师还必须强调，函数的单调性一定是相对于某个既定的定义域内或者某个区间上的，函数的单调性不能离开定义域而单独存在。函数的单调区间可以是针对整个定义域，也可以针对定义域内的某个区间而言的。
三、函数单调性的运用
为了让学生们对函数单调性的表述和意义有更深入的理解和掌握，可以对函数的单调性进行运用举例，证明函数的单调性，就是考查学生们使用函数单调性的定义的好方法。如：证明函数f（x）=x+ 在（ ，+ ）上是增函数。
证明：在（ ，+ ）上任取x 和x ，且x
代入得：f（x ）-f（x ）=（x + ）-（x + ）
经整理，原式=（x -x ） ，
f（x ）-f（x ）
+ ）上是增函数。
通过一定的练习，加强学生们对函数单调性的定义的理解以及运用及。对函数单调性的证明一定要有清晰的思路，先设x
通过对函数单调性定义的学习以及对函数单调性运用的探究，增强了学生们对函数单调性的理解和常用数学思想方法的感悟，提高了学生们观察、归纳以及语言表达的综合能力。在函数单调性的推理论证过程中，学生们的推理论证能力和逻辑思维能力都得到了提高。学生们的数学思维过程也由原来的具体思维提高到了抽象思维的水平，并能够从特殊的例证到一般规律的认知过程。对函数的定义以及函数单调性也有了更深刻的理解。
参考文献：
[1] 罗琛华，函数单调性的判定及应用，考试.高考数学版，2012年10期
[关键词]新课标 进制转换 信息技术 数学 创新性思维
随着高中新课标的逐步展开和实施，与信息技术有关联的试题不断出现在各学科的教学过程中。高中数学已经把算法语言列入单独的章节，需引起足够重视。
信息技术基础知识中的数制（进制）问题（主要是指二、十进制整数部分的转换）是高中学生必须掌握的概念。日常生活中，人们习惯于使用十进制数记数法，而在计算机内部采用的是二进制数表示方法，在表示符号、地址等数据时，为了简化书写又多采用八进制数或十六进制数表示法。因此，有必要了解和掌握各种进制数之间的转换规则及方法。
我们现在说的各进制数主要指二进制数、八进制数、十进制数和十六进制数。
关于八进制数和十六进制数的运算，虽说不是什么新概念，但对于高中学生来说是没有接触过的新知识，他们只能是根据十进制数的运算法则进行横向类比来完成，这类题的编制是以“双基”为立足点进行横向类比、纵向加深或陈题开放，背景新颖，运算量大。加之对二进制运算法没有抽出一定时间去专门掌握，出现要求各进制数相互转换的试题时，多数高中学生显得束手无策。
各进制数之间的转换方法在计算机基础课程中，一般都提到以上这四种数制。它们之间的相互转换通常有以下几种形式。转换目标为十进制数，即将二进制数、八进制数和十六进制数转换为十进制数；转换目标为二进制数，即将十进制数、八进制数和十六进制数转换为二进制数；转换目标为八进制数，即将二进制数、十进制数和十六进制数转换为八进制数；转换目标为十六进制数，即将二进制数、十进制数和八进制数转换为十六进制数。
我们现在论述的是掌握各进制数整数部分的转换，小数部分的转换方法另辟文章讲述，供有余力的同学进一步学习完成。
一、进制概念
1.十进制。十进制使用十个数字（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）记数，基数为10，逢十进一。历史上第一台电子数字计算机ENIAC是一台十进制机器，其数字以十进制表示，并以十进制形式运算。设计十进制机器比设计二进制机器复杂得多。而自然界具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断、电压的高和低等，非常适合表示计算机中的数。它们设计过程简单，可靠性高。现在使用的计算机即为二进制计算机。
2.二进制。 二进制以2为基数，只用0和1两个数字表示数，逢2进一。二进制同十进制数遵循一样的运算规则，但显得比十进制更简单。例如，加法：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10；减法：0-0=0，1-1=0，1-0=1，0-1=1；乘法：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1；除法：0/1=0，1/1=1，除数不能为0。我们现只要求掌握二进制加法的运算规则。
3.八进制。八进制，就是以8为基数，基数值可以取0、1、2、3、4、5、6、7，逢八进一。八进制与十进制运算规则一样。那么为什么要用八进制呢？难道要设计出八进制的计算机吗？不是的。实际上，八进制与十六进制的引用，最主要的一点是为了书写和表示方便，因为二进制表示位数比较长。
4.十六进制。十六进制应用也是非常广泛的一种计数制。在使用者看来，十六进制是二进制数的一种更加紧凑的一种表示方法。基数为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，逢十六进一。数值为10到15的数分别用A、B、C、D、E、F表示。现在，我们通过两部分的学习过程掌握各进制数的相互转换。
首先，通过2005年全国高考数学试题出现在第一题第12小题的单选题，利用同学们日常使用的计算机（操作系统如Windows98、WindowsXP和Windows2000等）中自带的应用程序“计算器”完成此题的运算（一般是不会让自带计算机进入高考考场的）。
原试题是：计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= ？（A）6E（B）72（C）5F（D）B0
计算机操作开始：点击“开始” “程序” “附件” “计算器”，系统默认出现的是“计算器”的“标准型”显示方式，继续点击“计算器”的“查看”菜单，“查看” “科学型”，此时，二、八和十六进制在“计算器”中即可象日常的十进制一样进行处理了。
选择十六进制选项，计算E+D，在显示框中出现了1B的答案（验证了陈题结果）；继续计算A×B（操作过程为A*B），则显示框中出现了6E的结果，即（A）是试题最终选择。
通过计算机系统自带的“计算器”操作，巩固练习(括号外面的角标表示进制数)：
① （ E ）16=（ ？）10=（ ？）8=（ ？）2
（ E ）16=（14）10=（16）8=（1110）2
② （1110）2=（ ？）8=（ ？）10=（ ？）16
（1110）2=（16）8=（14）10=（E）16
③（9A3E）16=（ ？ ）8=（ ？ ）10=（ ？ ）2
（9A3E）16=（115076）8=（39486）10=（1001101000111110）2
④（1001101000111110）2=（ ？ ）10=（ ？ ）8=（ ？ ）16
（1001101000111110）2=（39486）10=（115076）8=（9A3E）16
⑤（E）16+（1101）2=（ ？）2=（ ？）8=（ ？）10=（ ？）16
（E）16+（1101）2=（11011）2=（33）8=（27）10=（1B）16
⑥（12）8×（B）16=（ ？）2=（ ？）8=（ ？）10=（ ？）16
（12）8×（B）16=（1101110）2=（156）8=（110）10=（6E）16
相信通过上述练习，我们已经掌握了应用计算机系统“计算器”对各进制数的转换操作。学生通过“计算器”各进制数的转换及对应操作，很快就能掌握其规律过程。我们再从概念和计算方法上理解、掌握其转换过程。下面的表格反映各进制数之间的关系：
部分二进制数及与之等值的八进制、十进制和十六进制数对照表：
表格中二进制最左面的0是可以省略的。
切记，表示各进制数的基数分别是：二进制数（0、1）；八进制数（0、1、2、3、4、5、6、7）；十进制数（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）；十六进制数（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F）。
二、各进制数相互转换过程
下面我们要进行各进制数相互转换过程的讲解，计算结果依然可借助“计算器”去检验。
1.二进制数?圳 十进制数，八进制数?圳十进制数，十六进制数?圳十进制数；
（1）二进制数十进制数。
[例1]（101）2=（5）10
（101）2=1×22+0×21+1×20=（5）10
[例2]（1001101011）2=（619）10
（1001101011）2=1×29+0×28+0×27+1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=（619）10
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（2）八进制数十进制数。
[例3]（12）8=（10）10
（12）8=1×81+2×80=（10）10
[例4]（6241）8=（3233）10
（6241）8=6×83+2×82+4×81+1×80=（3233）10
(3)十六进制数十进制数。
[例5]（19）16=（25）10
（19）16=1×161+9×160=（25）10
[例6]（C6A）16=（3178）10
（C6A）16=12×162+6×161+10×160=（3178）10
例6中，十六进制中的C等值于十进制数的12，十六进制中的A等值于十进制数的10。在以上对照表已列出。
（4）十进制数二进制数。
[例7] （11）10=（1011）2
[例8] （619）10=（1001101011）2
（5）十进制数八进制数。
[例9] （13）10=（15）8
[例10] （1546）10=（3012）8
（6）十进制数十六进制数。
[例11] （42）10=（2A）16
[例12] （43976）10=（ABC8）16
例11、例12中，十进制数中的余数10、11、12分别等值于十六进制数的A、B、C。在以上对照表已列出。
由上述例题可以掌握，二进制数?邛十进制数、八进制数?邛十进制数、十六进制数?邛十进制数是“将各进制数按权展开后求和”即可；十进制数?邛二进制数、十进制数?邛八进制数、十进制数?邛十六进制数是“除转换目标进制数取余法”，即分别为“除2取余法”、“除8取余法”、“除16取余法”。注意“最高位”的书写位置。
2.二进制数?圳八进制数，二进制数?圳十六进制数。
（1）二进制数八进制数。
[例13] （1110）2?邛（001110）2=（16）8
[例14] （11010100111110）2?邛（011010100111110）2
=（32476）8
（2）二进制数十六进制数。
[例15] （11110）2?邛（00011110）2=（1E）16
[例16] （11010110111110）2?邛（0011010110111110）2
=（35BE）16
（3）八进制数二进制数。
[例17] （16）8?邛（001110）2?邛（1110）2
[例18]（32456）8
=（011010100101110）2?邛（11010100101110）2
（4）十六进制数二进制数。
[例19] （24）16=（00100100）2?邛（100100）2
[例20] （35B8）16
=（0011010110111000）2?邛（11010110111000）2
例13至例16，二进制数转换八进制数过程中，从个位开始，每三位为一组，不足三位左侧补0；二进制数转换十六进制数过程中，从各个位开始，每四位为一组，不足四位左侧补0。例17至例20，为二进制数转换八进制数和二进制数转换十六进制数的逆过程，原理相同。
3.八进制数 十六进制数。
（1）八进制数十六进制数。
[例21] （16）8=（001110）2?邛（00001110）2=（E）16
[例22] （3407）8=（011100000111）2
?邛 （011100000111）2=（707）16
（2）十六进制数八进制数。
[例23]（A）16=（1010）2?邛（001010）2=（12）8
[例24]（A29C）16=（1010001010011100）2
?邛 （001010001010011100）2=（121234）8
例21至例24，将二进制数作为过渡。注意三位或四位二进制数的组合规律即可掌握八、十六进制数的反向转换。当然也可将十进制数作为过渡，也可以转十进制数后再转二进制数。
[例25]（3407）8=（1799）10=（707）16
（3407）8=（1799）10=（11100000111）2=（707）16
[例26] （A29C）16=（41628）10=（121234）8
（A29C）16=（41628）10=（1010001010011100）2
=（121234）8
总之，只要掌握了各进制数相互转换的规律，哪种方法简便，均可直接运用。以上较详细叙述了各进制数（整数部分）之间的转换方法。使我们感到欣慰的是，所有结果可通过计算机中的“计算器”得到验证，但对高中学生来讲最终目的应该是牢固掌握其转换的过程和方法。通过探究各进制数的转换过程和方法，学科教师能很好地考查学生的创新思维能力，也为高中数学教师增强对学生创新性思维的培养提出了更高的要求。
