时间：2023-06-14 16:18:51
一、竖式计算作用
1.拆解步骤，降低计算难度
竖式是为了帮助学生进行稍复杂的计算而产生的，在学生不能进行口算或口算很麻烦时需要用到笔算，竖式便是笔算的过程展示与形式呈现。竖式计算能帮助学生拆解步骤，呈现每一步计算的结果，降低了计算的难度。
2.夯实基础，为后续计算作铺垫
第一次学习用竖式进行计算，得到正确的结果只是目标之一，竖式计算算理的理解、竖式格式的掌握才是重中之重。学生掌握了用竖式进行100以内加、减、乘、除的运算，为以后万以内、万以上的大数运算奠定了基础，同时还可以迁移到小数、分数的四则运算中。
二、修订版教材调整乘法竖式与除法竖式教学次序的理由
观察比对教材，我们可以发现：苏教版的实验版教材中，乘法的竖式是在二年级上册学习了表内乘法后进行教学的，表内乘法是通过记忆乘法口诀、利用乘法口诀让学生得到计算结果。在这儿教学乘法竖式有为教学而教学的嫌疑，学生在心理上不愿意接受乘法竖式。原因有二方面：一是明明可以口算出结果，偏要很麻烦地书写竖式，刻意进行笔算，为写而写；二是竖式的功能在此被消减，竖式是为了进行稍复杂计算时帮助学生计算，起的是拐杖作用。因此教材在表内乘法单元删除了乘法竖式的教学，后移到三年级学习两三位数乘一位数单元，不能直接口算出结果时再呈现乘法竖式，让学生真正体会乘法竖式的简捷与方便。
再来谈谈除法竖式的教学，在实验版教材中，除法竖式的教学也是在表内除法中进行的，学生并不明白为什么除法竖式不能像加法、减法和乘法的竖式一样，直接写成被除数除以除数的形式。此时写成这个形式完全可以解决问题，符合规范。细究原因，我们可以发现，此时，除法竖式的结果是学生利用乘法口诀求商的方法直接得来的，再模仿其他竖式的样子写上去，并没有拆解步骤，逐步计算得到结果，除法竖式的功能在此没有得到体现。
在修订版教材中，将除法竖式的教学安排在有余数除法学习之后，因为出现了分后有剩余，用与加法、减法、乘法相近的“除法竖式”已经无法表示出分后有剩余的情况，所以除法的竖式必须有自己独特的形式。教材用一个例题中的两个问题，让学生发现分后有剩余和分后无剩余两种情况在书写竖式时的相同之处与不同之处。
结合平均分苹果的过程，让学生理解竖式的结构，学会求商的思考方法：计算有余数的除法，要利用乘法口诀求商（一除），要把商和除数相乘（二乘），要用被除数减商和除数相乘的积（三减）。把这几步计算写成竖式，记忆的负担就被分散，思维难度相应降低。
同时，在学习有余数除法计算时，学生不可能每次都借助分实物的方法去得到商和余数，必须有一种普适的方法，除法竖式在此正好起了拐杖的作用，帮助学生顺利完成有余数除法的计算，因此教材在这里安排除法竖式的学习是必须且合理的。
三、乘法竖式内容后移对除法竖式学习没有影响
乘法竖式内容后移对除法竖式学习是否有影响？笔者觉得用除法竖式进行计算较之加法、减法、乘法的确有一定的难度，这是除法计算的特点决定的，与乘法竖式内容滞后于除法竖式内容无任何关系。
一、竖式教学的“窄化”现象
现象一：环节前后“脱节”。三年级下册《乘法》单元第一课时《两位数乘以两位数》，内容是让学生通过列横式分步计算，然后出现竖式，接着让学生探索竖式每一步的意义，得到结果。一些教师把分步算法与列竖式孤立开来，重点教学竖式的格式、算法，忽视列竖式的基础、每一步的意义，忽视竖式形成的过程，致使学生把解决此问题的理解定位于“用竖式计算”。
现象二：竖式算理“忽略”。三年级上册《除法》单元第一课时《两位数除以一位数》，内容是让学生通过情境图“4筒加6个羽毛球共46个，平均分给两个班，每个班分得几个？”进行计算，一些教师注重了竖式计算的算法，忽略了具体的算理：为什么先用最高位去除？竖式中第一步获得的“4”表示什么意思？整个竖式里，出现了两个“4”和3个“6”，分别是什么意思？使得学生只会计算结果，而对每一步的意义不甚了解。
现象三：教材意图“不解”。二年级下册《有余数的除法》单元第二课时《两位数除以一位数》：妈妈买了12个苹果，每4个放一盘，可以放几盘？如果每5个一盘呢？教材中创设了分苹果的情境，先安排学生分一分，通过口算算出结果，接着介绍了竖式的方法，再通过类比教学有余数的除法。有些老师孤立地进行竖式算法的教学，无视教材的编写意图，脱离了具体的教学情境。其实这里是第一次出现除法竖式，对竖式的算理、求商的方法，学生的学习是有困难的。我们要让学生在具体的操作活动中，依托除法的竖式，通过类比推理学习和理解有余数的除法的计算方法，帮助他们体会除法的算理和算法，进一步加深对除法含义的理解。
纵观以上常见的课堂教学现象，可以归纳为两类问题。
第一是教师对知识点教学的“孤化”。由于数学的知识分散在每一册、每一个单元中，一些教师往往将知识和技能分解成若干个知识点和能力点，再围绕这些“点”进行强化训练，最终留给学生的很可能就是几个符号、算式，数学本身的意义也简单化地变成了题目的计算和应用。竖式计算这个知识点分散在每册中，但都不是单独存在的，它的准确性、形象性、生动性能够从整体的结构关系中表现出来，如果教学中仅关注竖式计算，很容易导致竖式教学的“孤化”，影响了学生对整个竖式体系的理解。
第二是教师对学科结构整体把握能力薄弱。或许是对教材体系不熟悉，或许是缺少整体建构的意识，或许是对竖式的理解不够深入，一些教师重视单类竖式的教学，忽略所教内容的基础和结构位置，导致了所学新知未纳入学生的知识理解体系中，支离破碎，学生很快就遗忘了。语文教学中倡导“字不离词、词不离句、句不离篇”，竖式教学也要对新知进行“整体感知―局部研读―整体把握”，充分考虑整体与所学新知的关系，从竖式的整体网络上思考，在竖式的整个单元中体会，才能帮助学生整体地把握竖式的本质。
二、赋予竖式计算的现实意义
1.整体把握内容标准
数学教材根据学生的学习认知规律、知识背景和活动经验，合理地安排学习内容，形成了比较严谨的编排体系，教师要基于数学学科知识之间的逻辑关系，理清数学学科内在的知识结构，培养学生思维的正向迁移能力，使学生能够用综合的眼光去发现问题、认识问题和解决问题。
2.突出单元整体设计
数学教材内容的编排是以单元结构形式呈现的。教材将有内在联系的、具有共同主题的内容构成一个整体，并且根据学生的认知规律，由浅入深、由易到难地进行编排。计算单元内容编排一般结合口算、估算、竖式笔算、混合运算及解决问题综合编排，竖式作为其中的重要部分与其他内容相辅相成。教学时我们要将一个单元当作一个整体进行思考，优化组合，整体设计，以整体渐进的方式推进教学。
下面以五年级上册“小数乘除法”单元为例，进行说明。
（1）整体思考单元体系。系统论强调：“整体大于部分之和。”教学单元是相互联系的若干要素按一定的方式组成的统一整体，其规模的大小是不同的，并且是有层次的。在以竖式计算为主的单元中，竖式教学的顺序有着较强的逻辑性，这就需要我们在教学前进行单元整体解读，以此感知本单元的学习内容，理清单元的知识结构。“小数乘除法”单元分五段：第一段学习小数乘整数的计算方法，探索小数点移动规律；第二段学数是整数的小数除法，探索小数点移动规律；第三段学习小数乘小数，求积的近似值；第四段学数是小数的除法，求商的近似值；第五段学习小数四则混合运算。五段教学后安排整理与练习。
（2）整体设置单元目标。单元教学的整体性是指在教学过程中要综观整个单元教材的教学目标，厘清知识内容，明确各知识点、数学方法之间的内在联系，弄清教学的重难点，使教学形成整体结构。如“小数乘除法”这一单元，我们要系统理解编排意图：一是在情境中学习，让学生联系整数乘、除法的意义理解小数乘除法的运算意义。二是明白小数乘除法混合分段编排特点，便于学生根据不同学习内容选择合适的学习方式。三是由易到难安排教学层次，突破教学难点。教学中安排的例题都是帮助学生在掌握基本方法的基础上，逐步突破难点的，所以每个知识点的掌握程度直接影响到下个知识的学习，知识点前后关系紧密。整体把握单元目标，既要考虑小数乘除法的知识基础和后续学习作用，又要考虑本单元螺旋上升的教材编排体系，还要考虑学生学习能力的持续发展，只有这样设置的单元目标才能真正体现出整体性。
（3）整体进行单元回顾。学生学完一个单元后，要引导学生进行整体回顾，这样在学习过程中能进一步构建知识体系，强化所发现的数学方法和数学规律，拓展认识。如“小数乘除法”单元，内容比较多，且难度较大，所以在单元复习时，可以围绕小数乘、除法计算的关键环节，让学生讨论“小数乘、除法的计算与整数乘、除法有什么联系？”“怎样确定积的小数位数？”“怎样把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法？”三个问题，让学生体会到：小数乘除法与整数乘除法有着密切的联系，都可以转化成整数的乘除法来计算，只不过需要另外考虑积或商的小数点位置，帮助学生进一步体会竖式计算的内在联系，体会“转化”这一数学思想方法的应用价值。
3.整体研析编写意图
数学教材是教师实现教学目标，开展教学活动的主要载体，也是师生共有的重要教学资源。每个教学例题都是根据课程标准精心挑选和设计的，所以例题中的每一个信息、图例都不能忽略，竖式教学的例题也是如此。教师要领会教材编撰意图，深刻把握教材本质，让竖式不再“孤独”。
（1）直观操作，提升感知。在数学学习中，直观操作能有效推动内在的思维，有利于把具体的感知上升为理性的认识。教材依据学生的认知特点，在三年级上册前的竖式计算都安排了直观操作，目的是通过有序的操作，帮助学生理解竖式的结构和计算过程。如二年级下册的“有余数除法”，教材创设了把12个苹果每5个放一盘的问题情境，引导学生通过在图上圈一圈的操作，解决了平均分的问题，并告诉学生“有余数的除法也可以用竖式计算”。具体的操作活动，有利于他们体会有余数除法的算理和算法，进一步加深对除法含义的理解。
（2）凸显过程，丰富认识。竖式教学的教材编写非常关注学生数学知识的形成过程，我们在教学中要注重将操作过程、计算过程和算式书写过程有机结合起来，以帮助学生更好地理解每一步算式的含义。
一是整合操作计算。如三年级上册“两位数除以一位数”，教材呈现“用小棒代替羽毛球分一分”的操作过程以及口算计算的方法，在此基础上，让学生用竖式表达分的过程和结果，并提示结果书写的位置。这样的操作过程和口算的方法，不仅能够帮助学生解决问题，而且赋予程序化的竖式计算以现实的意义。
二是分步理解算理。如三年级下册“两位数乘两位数”，在学生自主探索的基础上，教材依次呈现了三个虚线框内容，又进一步抽象为一般写法，这样不仅让学生清楚了每一步结果是如何得到的，而且明晰了每一步的计算结果所表示的实际意义。
三是突出差错转化。如五年级上册的“小数加减法”，教材在出示情境图后，让学生联系已有的知识经验，独立用竖式计算，然后进行差错对比交流。通过对竖式书写形式的比较和小数意义的分析，让学生一下子明白了只有相同计数单位才能相加，从而更好地体会小数点对齐就能使相同数位上的数对齐这一意义。
四是展现推理过程。如五年级上册的“小数乘小数”，学生已经具有将小数乘法转化为整数乘法进行计算的初步经验，教材先引导学生进行估算，为笔算提供了支持。接着教材提出问题，乘得的积发生了怎样的变化？怎样得到原来的积？通过竖式旁给出的形象的推理过程，帮助学生借助直观认识并理解了算法。
（3）借助素材，支撑理解。随着学生年龄的增长和生活经验的丰富，教材从三年级下册开始，选取了更多的学习素材来激发学生已有的生活经验，用生活经验支撑对竖式计算解法的理解。如三年级下册的“两位数乘两位数”，通过“每箱南瓜24个，运来12箱，一共有多少个？”这个生活中的素材，启发学生可以分别算出10箱和2箱的个数，再把两次算出的结果相加，相机列出竖式，解释每一步的意思，这样就比较容易地让学生理解了竖式的算理和算法。
（4）理清算理，生长经验。在学生获得大量计算活动经验后，教材在内容编排上更加重视让学生对计算法则进行归纳和总结，培养学生的归纳推理能力。如三年级上册“三位数除以一位数”，在让学生尝试三位数除以一位数后，教材引导学生总结两、三位数除以一位数的计算方法，回顾学过的除法，引导学生交流并进行概括，使学生对两、三位数除以一位数的计算方法有了整体的理解。
案例回放：
教学“竖式除法计算”一课时，我以为很简单的一个知识点，学生学习应该很顺利，没想到在新授课上却发生了意外。在口算48÷2时，学生都能得到计算结果为24，但到了竖式计算的环节，学生却出现了错误。如下：
显然，这两种错误很离谱，也有些莫名其妙，我很快打了大大的红“×”号。可在批改作业时，发现仍有一部分学生犯同样的错误，这让我对学生的解题思路产生了好奇。于是，我认真询问了学生的想法。学生回答：第一个竖式，从个位算起，先看8除以2等于几，二四得八，8÷2＝4，从48里边去掉8还剩40，40除以2等于20，十位上是2，这样就得到商是24；第二个竖式，先从个位算起，二四得八，8除以2等于4，从48中减去8还剩下40，40除以2等于20，刚好除尽，所以商为24。从学生的想法来看，显然是有道理的，可为什么要从个位开始进行除法计算呢？学生认为，以前学习竖式计算时，加法、减法、乘法都是先从低位算起的，那么除法应该也不例外。根据学生的这一算法，我觉得很有道理，但是否能够适用所有的竖式除法呢？于是，我追问：“如果被除数的个位不能被除数整除呢？你还能采用这样的方法来进行竖式计算吗？如45÷3，你怎么计算？”学生立刻写出答案，并说出了自己的想法：“因为个位上的5除以3除不尽，所以要从十位上借1，这样个位上的数变成了15，三五一五，15÷3＝5；从45中去掉15剩下30，30除以3等于10，正好除尽，所以商是15。”
分析及对策：
上述学生的错误虽然从程序上不符合教材所要求的从高位入手进行竖式计算，但学生能够进行独立思考，将以往的数学经验顺利迁移到新知学习中，这足以说明学生具有合情推理的能力。那么，如何将这一合理思考顺利地迁移到从高位入手进行竖式计算这一思路上来呢？我认为，不管是从高位入手进行竖式计算，还是从低位入手进行竖式计算，由于学生的数学经验相对较少，所以他们无法进行独立的抽象思考。作为教师，如果只是强制性地给学生指令，告诉他们必须从高位入手进行竖式计算，那么势必导致学生被动接受知识，虽然也会收到效果，但不利于学生数学思维的发展。于是，我决定从学生已有的知识经验出发，运用对比，让学生直观体验，分析哪种计算方法更便捷、更优越。
我先让学生用从低位入手的方法计算72÷3，学生计算过程如下：先算2除以3，不够整除，所以要从十位退1，加上个位上的2就是12，12除以3，三四十二，12÷3＝4；71减去12还剩下60，再计算60除以3，60除以3等于20，正好除尽，所以商就是24。我追问：“想一想，可以从低位入手算起，那么能不能从高位入手开始算呢？”学生经过思考后写出算式，并汇报计算过程：72÷3，十位上的7除以3商为2，二三得六，7减去6还剩下1，其实是10；10加上个位上的2就是12，再计算12除以3，三四十二，商为4，正好可以整除，最后的得数十位上为2，个位上为4，所以72÷3的结果为24。接下来，我让学生分析比较两种计算方法的思维过程，学生认为从高位算起简单便捷，从低位算起比较复杂。于是我让学生重新计算48÷3，经过讨论后，学生发现从高位算起直接快速，从低位入手更适合口算，而口算则不需要进行竖式计算。由此，学生明确了竖式计算要从高位算起的一般规律。
思考：
不可否认，教师教学中往往会遇到一些另类的学生，他们有时会运用独特且富有创造性的思维方法来解决问题，但往往因为和教材设定的范本有所不同而被教师忽略，甚至被教师定位为错误，画上红红的“×”号。面对错误，教师为何不给学生一个辩解的机会，从学生的辩解入手展开教学呢？其实，教学中类似的情形并不鲜见，这让我有了以下的思考。
1．积累错误资源，发展思维
课堂教学中，无论是学生的作业还是发言都会出现错误，而这些错误正是宝贵的教学资源。教育家奥加涅相曾经指出：“教师忽视解题过程，把习题作为评价知识和技能、技巧等的主要手段，忽略数学思维能力的培养和发展，这已经成为数学教育的顽疾。”《数学课程标准》中也指出：“教师应当引导学生充分呈现和暴露自己的思维过程，使学生在自主思考中获得抽象思维的发展和对数学概念的建构，提高数学能力。”学生的错误既是呈现和暴露思维过程的最佳途径，也是展开思维过程的资源所在。
2．辩明错误思维，顺势而导
如上述案例中，学生的错误都是因为从低位算起导致的。在小学数学知识体系中，整数范围内的笔算加法、减法、乘法都是从低位算起的，只有除法是从高位算起的。学生之所以会出现这样的错误，说明受到笔算加、减、乘竖式计算的负迁移影响，导致整数除法的经验出现断层。此时，教师就要给学生一个机会，让他们为自己的错误辩解，说明自己的解题思路，展现自己的整个思维过程。教师则可以顺藤摸瓜，顺着学生的思维因势而导，这样既能有的放矢地对学生进行针对性的教学，又能使学生得到不同的发展。
略。。。
二、教材分析
本册教材的教学内容包括：万以内的减法，两步计算式题和应用题，一个数乘一位数的乘法，除数是一位数的除法，时、分、秒的认识，以及角和直角。
1、 万以内的减法是在百以内减法和万以内加法的基础上进行教学的。
2、 两步计算式题和应用题是在学生学习了加减混合运算、乘数混合运算、乘加（减）或除加（减）两步计算式题的基础上进行教学的，这里要求学生进一步学习四则混合运算顺序，并要求学生用递等式计算。
3、 一个数乘一位数的乘法是在学生已经掌握乘法口诀，学会乘法竖式的写法以及口算100以内两位数加一位数的基础上进行教学的，它进一步学习一个数乘两、三位数乘法的基础。
4、 除是一位数的除法是在学生已经掌握了表内除法，学会除法竖式的计算方法的基础上进行教学的。
5、 时、分、秒的认识是在学生学会看整时的基础上进行教学的。
6、 角和直角，教材通过实物图象，抽象出角，使学生知道角的各部分名称。
三、教学目标
1、掌握减法的笔算方法，能比较熟练地计算万以内的减法。
比较熟练的口算两位数减两位数。学会减法的验算方法，初步具有验算的习惯。
2、掌握两步计算式题的运算顺序，能正确地计算带小括号的
两步计算式题。学会分析应用题的数量关系，能分步列式或综合算式解答两步计算应用题。
3、掌握一个数乘一位数乘法的计算方法，能比较熟练地进行
笔算，能比较熟练地口算两位数乘一位数（积在100以内）。
4、掌握除数是一位数的计算方法，能比较熟练地进行笔算，学
会用乘法演算出发（包括有余数的除法）。能比较熟练地口算一位数除两位数。
5、认识钟面。认识时间的单位时、分、秒，知道相邻两个时
间单位之间的进率，学会简单的计算。初步建立时间单位的观念，养成爱惜时间的好习惯
6、通过实际操作，认识角和直角，知道角的各部分名称。学会用三角尺判断一个角是不是直角，会画直角。
四、教学措施
1、 重视基本口算和笔算饿训练，培养和逐步提高学生的计算能力。（1）讲清算理，揭示规律。（2）加强基本训练，大好计算基础。（3）培养良好的计算习惯
2、 重视分析应用题的数量关系，培养学生解答应用题饿能力。（1）加强基础训练（2）教给学生解题思路（3）设计多种形式的练习。
3、 结合教学内容，重视培养学生的数学能力。
4、 注意教学的开放性，重视培养学生的创新能力。
5、 结合教学内容，对学生进行思想品德教育。
三年级（上册）第1～2页例1、“想想做做”。
【教学目标】
1.经历探索整十数除以一位数的口算方法和两位数除以一位数笔算方法的过程，理解并掌握相关的计算方法，能正确进行相关的口算和笔算。
2.经历与他人交流算法的过程，促进学生养成自主探索、合作交流的良好学习习惯。
【教学过程】
一、准备
谈话：在数学中有很多法宝，乘法口诀就是其中一个。小朋友，你还记得乘法口诀吗？你能根据乘法口诀说出除法算式吗？
学生交流，教师再出示算式，学生用口诀计算。（板书：4÷2=2 6÷2=3）
小结：用乘法口诀，可以很快算出几除以几。（板书：几除以几）
【说明：由“乘法口诀是个法宝”引入，激发学生的学习情趣，通过回顾根据乘法口诀说出除法算式，简洁高效地为新知学习作准备。】
二、新课
（一）学习整十数除以一位数口算
1.探索40÷2的口算方法。
（出示新学期开学画面）谈话：校园里真热闹，小朋友们要上学了，它们一起来到商店买文具。（出示主题图）
提问：每捆10枝，一共有多少枝？你是怎么想的？
两人一共买了40枝，平均每个男孩买多少枝？怎么列式？根据学生回答板书：40÷2。
交流算法。学生的算法可能有下面两种：
（1）每人分得2捆，是20枝。
（2）4÷2=2，40÷2=20
后面添一个0。（追问：为什么添一个0。）
提问：你能结合图说一说4÷2=2在图中表示什么吗？
明确：4捆铅笔，平均分给两人，每人2捆。（在主题图中圈出2个2。）
再问：离开了学生买铅笔的情景，只看40÷2这个算式，40表示什么？除以2得几个十？（板书：4个十除以2得2个十，并用彩色粉笔描出横式中的4，2，2）
同桌之间像这样说一说40÷2是怎么得来的。
2.完成“想想做做”第1题。
组织观察，提问：每组上、下两个算式有什么联系？
明确：每组上面一个算式是几除以几，下面一个算式是几十除以（板书：几十除以几）
学生口答结果后交流口算方法。
小结：在算几十除以几的时候，只要用口诀先算出几除以几，再在得数后面添0。
再问：根据“6÷2=3”，除了可以算“60÷2”，还可以算什么？根据“8÷4”，你能编出相应的两道几十除以几的题目吗？你能像这样试着再编一组吗？
总结：几十除以几的算式有很多，计算的时候一直是乘法口诀在帮忙。
【说明：创设“新学期开学，学生买文具”的场景，激发学生学习兴趣。学生口算40÷2时，往往先算4÷2=2，然后类推出40÷2。至于为什么可以这样算，他们知其然，而不知其所以然。教师借助情景图，让学生理解这样算的算例，并及时引导学生从情境图中剥离开来，让学生进一步理解“几十除以几”的算理。紧接其后的练习，观察并寻找联系，并以编题的方式促进学生在理解算理的基础上掌握算法。】
（二）学习两位数除以一位数
1.探索46÷2口算方法
谈话：商店的另一个角落有两个女生也在买铅笔。（呈现主题图）
提问：谁能说说两个女生一共买了多少枝并提出一个用除法计算的问题？根据学生回答板书算式：46÷2（用小棒图，让学生在黑板上摆一摆。）
同桌交流怎么算46÷2。组织全班流。学生的算法可能有下面两种：
（1）每人先分得2捆，是20枝，再分得3枝，合起来是23枝。
（2）40÷2=20，6÷2=3，20+3=23（结合学生回答贴出这3道算式的卡片）
提问：这里的每一步分别表示图上的哪一部分？（根据学生回答，在铅笔图中圈出相应的部分）
【说明：故事情节的向前推进，引出新的计算问题。借助图示帮助学生理解第2种算法每一步分别表示什么，直观形象，为后继竖式计算的学习作铺垫。】
2.探索竖式计算的过程。
指出：46÷2，我们能口算得数。这节课，我们还要学习用竖式计算。计算时，先从十位算起，为什么从十位算起，后面的学习我们将探讨这个问题。
教师板书46÷2的竖式后边问边板书：2写在哪儿？这里的2，看上去是2，实际上表示多少？（2个十）这一步算的是哪个算式？（根据学生回答板书“2”，并移卡片：40÷2=20）
再问：接下来算什么？3在哪一位？表示3个几？这一步算的是哪个算式？（根据学生回答板书“3”，并移卡片：6÷2=3）
最后将这两个得数相加。（板书“23”，移卡片：20+3=23）
形成如下板书： 40÷2=20 6÷2=3 20+3=23
回顾：计算46÷2时，先算什么，再算什么？
3.完成“想想做做”第3题。
观察：这几组算式有什么相同的地方？（板书：几十几除以几）
小结：计算几十几除以几可以用竖式计算，但同样是乘法口诀在帮忙。
【说明：竖式的写法，不是形式的模仿。先是在“繁”写法的过程中理解计算过程，并借助卡片移动，沟通口算与笔算的联系。从学生中寻找不同写法的竖式，实现从复杂写法到简洁写法的自然过渡。借助学生熟悉的计数器拨数的经验，帮助学生轻松理解为什么2可以直接写在十位上，从而使化繁为简建立在学生理解的基础之上。】
三、巩固
（出示画面）谈话：为了迎接新学期，学校打算种一些树木。
1.提问：从图中你获得了哪些信息？
4棵杨树苗48元 3棵松树苗63元
小朋友你们认为种哪种树苗比较便宜呢？
2.终于开学了，学校买来91把扫帚，要给每个班发3把，可以分给几个班呢？
【说明：种树苗和分扫帚的情节，使故事的发展具有连贯性。两道问题的设计，都给学生较大的思维空间，既提高了学生计算能力，又发展了学生数学思维。】
四、总结
提问：这节课我们学习了哪些内容？
（揭题并板书课题：两位数除以一位数。）
小结：乘法口诀不仅能算几十除以几，几十几除以几，在以后的学习中，它还有更大的用处。
一、通过必要的追问，引导学生感知算理
师（出示主题图）：淘气带了80元钱，每个书包20元，问能买几个书包？怎么列式？
生1：80÷20。
师：为什么要用除法列式？你是怎么想的？
生2：淘气带了80元钱，每个书包20元，用80÷20就是看80里面有几个20，也就是能买几个书包。
师：下面，请同学们用自己喜欢的方法表示出“80里面有几个20”。
……
除法有包含除和等分除两个重要模型，在此之前学生接触更多的是等分除，而本节课要让学生尝试用包含除的方法去理解算理。因此，在上述教学中，我没有满足于学生能正确列式就可以了，而是进行追问：“为什么要用除法列式？你是怎么想的？”在学生说出包含除的含义后，我引导学生的思维从列式计算转向了对算理的思考。
二、通过模型的支撑，引导学生理解算理
根据认知发展理论可知，四年级学生的思维以具体形象思维为主，再向抽象思维转化。因此，为符合学生的认知规律，丰富学生的感性认识，提高课堂教学的有效性，课上在学生遇到“80÷20”这样一个新知识点时，我为学生提供方格图、小棒、纸币等直观模型进行辅助教学，更好地帮助学生理解算理、掌握算法。学生操作的这些模型不仅是现在用来理解算理的工具，而且也是日后用以回忆本知识点和链接其他相关新知识的重要抓手，这些模型还将为实现算法多样化和发展学生的个性提供了支撑条件。学生的方法如下：
（1）20+20+20+20=80;
（2）80-20-20-20-20=0;
（3）因为8÷2=4，所以80÷20=4;
（4）20×（ ）=80，因为20×4=80，所以80÷20=4;
（5） （6） （7） （8）
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在教学过程中，教师应关注学生的个性发展，积极创造条件让学生亲历建构数学模型的过程，并鼓励解决问题的策略和算法多样化，使不同层次的学生在课堂上都能有所得。
三、通过对比沟通，引导学生深化算理
无论是前测的结果显示，还是从课堂的实际情况来看，我发现学生在利用模型解决问题的过程中都没有出错，但用竖式进行计算时则有各种不同的错误出现。通过分析，我认为竖式计算的过程与学生摆小棒、分纸币和圈格子图所经历的思维过程其实是一样的，都是一个分的过程，然而学生的写竖式由于比模型更为抽象，同时缺乏横向的对比沟通，因此导致计算过程错漏百出。
1.不同算法间的对比沟通
如果教师只是为了让学生用模型而用模型，将模型操作与竖式计算当成两个不相干的活动，忽视两者之间的联系，那么“让学生亲历建模的过程，积累数学活动经验”就成了一句空话，模型在计算教学中存在的意义也会极大的下降。因此，为了提高课堂教学效率，较好地帮助学生降低学习抽象知识的难度，我引导学生对不同的算法进行对比沟通，逐渐形成具体模型与抽象算式之间的联系，使学生在计算时头脑中有直观模型作支撑。如课堂上，在学生把计算80÷20的各种方法在黑板上展示之后，我问学生：“刚才同学们用不同的方法计算出了结果，下面我们看看，大家都是在哪找到80的？”大部分学生都能顺利地找出80根小棒、80元钱、80个小方格和横竖式中的80。我继续追问：“这些不同地方的80，有什么联系？”学生回答：“表示淘气带了80元钱。”我继续引导学生找出20，很快学生也都找出了2捆小棒、2张10元钱、2列方格和横竖式中的20。我继续问学生：“20表示什么？”学生在我的引导下回答出了“表示一个书包20元钱”的正确答案。我乘势追问：“大家看看，4在哪？”在一生指黑板上横竖式中的4及圈出小棒图、方格图和钱币图中的4份后，我问道：“所有的这些4，其实都可以用来表示什么？”学生水到渠成地回答出：“表示可以买4个书包。”……在这个环节中，我通过不断的追问，引导学生进行不同算法之间的对比沟通，使学生在讨论和辨析中，逐步地感受到算法形式上的多样化和算理本质上的同一性。
2.不同错误间的对比沟通
在学习过程中，学生不可避免地会因为一些认知上的偏差，导致出现这样或那样的错误。这时教师不应简单地予以否定，而是让学生的思维过程得以充分展现，从中发现学生出现此类错误的原因，并加以针对性的指导，使学生的错误变成为课堂中宝贵的教学资源。因此，对于学生在学习过程中产生的错误，教师要有一定的预设性，并根据课堂上学生的实际情况，尽可能多地将各种错误和正确方法在同一时间内展现在学生面前，引导学生经历一个自我辨析、纠错、改正和提高的过程，从而有利于学生更加牢固地掌握所学的知识。如学生尝试独立完成80÷20的竖式计算时，我在课堂巡视中发现了以下四种竖式写法，于是将它们展示到黑板上。
（1） （2） （3） （4）
■
师：请大家仔细观察这些同学写的竖式，选择其中一个，说说你的想法。
生1：第（3）个竖式肯定不对，怎么可能商的个位上是空的，而十位上却有数字？个位上是空的表示没有，就要用0来占位，那么商就成了40，难道80里面有40个20吗？所以，我认为应该把4写在商的个位，这样才能表示80里面有4个20。
生2：我认为第（4）个竖式也不对。淘气带了80元钱，每个书包20元，最后的结果只能是买4个书包，而不是40个书包，所以商4应写在个位上。
生3：第（1）个竖式也不对，这里的商虽然是写在个位上了，可是被除数80下面的数应该是80，而不是8。
生4：第（4）个竖式下面写得也不对，因为它是除数和商相乘得到的，除数是20，商是4，20×4=80，所以应该是80，而不是8。
师：那你知道这个80表示的是什么意思吗？
生5：这里的80表示买4个书包共花了80元钱。
师：通过刚才的讨论，我们找到了正确的竖式，应该是――
生（异口同声）：第（2）个算式！
……
上述教学中，学生出错后，我并没有急于指正或批评，而是把学生的各类错误和正确的写法放在一起，让学生在对比中进行自我辨析和自我纠错。这样，算理就在学生的互相讨论和质疑中越辩越明，算法也越辩越清。
“除数是小数的除法”是苏教版数学教材（2013年出版）五年级上册第五单元“小数乘法和除法”的内容。本单元共有14个例题，而例10是教学“除数是小数的除法”的起始课。教材编排力求结合具体情境，学生经历自主探索除数是小数的除法计算方法的过程，并能够比较熟练地进行其笔算和简单的口算。“除数是小数的除法”是“除数是整数的小数除法”的跨越和发展。教材只提供了短短的一行文字和一幅鸡蛋图（已知总价和单价），求数量的实际问题（例10），且除数是整数的小数除法还是前面例4的教学内容，学习出现了间隔，学生难免会遗忘；对于教学一线老师们来说，合理设计教学流程，把握教学重点，提高课堂教学有效性，也具有一定难度。在家常课中往往会出现“就题论题”，只是死死地强化学生把除数转化为整数，缺乏推理的根基，导致算理算法梳理不清，教学效果不理想。因此，常常会听到“‘除数是小数的除法’教师难教、学生难学”的声音，是小学数学计算教学一个瓶颈。
实际上，除数是小数的除法与整数的除法在计算方法上具有一致性，关键是在运用转化的数学思想上，要以学生的认知发展水平和已有经验为基础，根据商不变性质把除数由小数转化成整数，再进行计算。教学时要放慢节奏，放缓坡度，重点应该放在“把除数由小数转化成整数”上，而落实这个重点需要在各个教学环节中凸显数学转化思想。
【教学实践】
一、回顾再现感受转化
师：知识是相互联系的，今天的学习就让我们先从回顾学过的除法计算开始……
回顾1：关于整数除法计算。出示：56000÷800=
1.这是一道我们学过的整数除法，请口算结果。学生交流：56000÷800如何计算的？（变成560÷8来口算）
转化
2.引导总结：难―――易
回顾2：关于小数除法计算。出示3千克苹果9.6元。每千克多少元？（例4部分内容）
3.学生列式，竖式计算出结果。追问：在竖式计算时要注意些什么？
4.师引导学生回顾：现在大家都能很快说出小数除法的计算结果，但当我们第一次遇到它时，它对于我们来说是一个不会的问题，下面我们回顾一下当时学习时解决这个问题的过程。出示下图：
我们先把它转化已会的知识来解决（引出“未知转化成已知”），问题虽然解决了，但这种方法有其特殊性，我们要寻找能对所有小数除以整数都适用的一般方法（引出“特殊算法转化成一般算法”）。
二、新知探究体验转化
（一）体验口算转化
1.出示：铅笔每支0.5元，2.5元可以买几支？
引导学生围绕“2.5÷0.5与我们学过的小数除法有什么不同”这个问题展开自我探究，交流方法。
2.交流、提炼、板书：
转化
除数是整数的除法―除数是小数的除法
关注除数
3.对比中体验：0.12÷0.6和0.6÷0.12
（1）先出示：0.12÷0.6，问：怎么把除数转化成整数？（学生交流得出被除数和除数的小数点同时向右移动一位，即乘10，就转化成1.2÷6）
（2）再出示：0.6÷0.12，问：你会转化了吗？（学生交流得出被除数和除数的小数点同时向右移动两位，即乘100，转化成60÷12）
（3）引导对比：两个除法式子都是同样的数“0.12”和“0.6”，只是位置发生变化，为什么在转化第一个式子的被除数和除数同时乘10，而第二个式子同时乘100呢？（得出：在转化时应关注除数。）
（二）体验笔算转化
1.出示例10.审题后交流列式：7.98÷4.2.
2.师：能口算出它的结果吗？（生摇头），估算一下它的结果？（大约是2千克）
3.师：要算准确商，那我们请什么来帮忙？（竖式）
先不算，只写出竖式并转化。组织学生重点交流转化过程和写法，然后再算出结果。
4.规范竖式转化过程：
5.及时内化。写出下面小数除法竖式转化过程不必计算结果：
0.736÷0.82.86÷0.22
三、巩固练习活用转化
1.判断练习：
（1）直觉观察判断，说出判断理由。
0.46÷2.3=286.4÷2.4=0.36
（2）仔细观察竖式，分析错因。
2.尝试练习：0.7[4.83] 0.56[0.196]
3.拓展练习：出示189÷900、1.2÷0.25如何转化最简单，且能口算出结果。（交流后得到：第1题被除数和除数同时除以100，转化成：1.89÷9；第2道题被除数和除数同时乘4，转化成4.8÷1）
四、整理反思提升转化
师：今天，我们解决了除数是小数除法的计算问题，给你留下印象深刻的是什么？对，是“转化”帮助了我们，谁来评价评价我们这个朋友？
师：是的，“转化”是一种解决问题的策略，也是数学思想。它能化难为易，化繁为简，化未知为已知……今后，我们在数学学习中还会应用到它，包括在我们生活中。
【教学反思】
为了突破本课时常规教学低效这个瓶颈，我根据2011版课程标准“四基”目标，试图解决数学知识与数学思想之间相互融合的问题，从而达到凸显转化思想、提高课堂教学实效的目的。
1.唤醒学生已有知识技能，凸显数学转化思想
相对于知识技能，数学思想更为内隐，所以更需要渗透，即要在学生学习中予以捕捉、放大、传递。为了学习更加有效，本课时教学，我努力将转化思想的渗透体现于教学环节之中，从而使转化思想得以凸显。例如，在复习环节，安排了“回顾1”和“回顾2”，舍得时间来放慢节奏，放缓坡度。引导学生重点回顾了已学的整数除法和小数除法（除数是整数），但展开的方式不只是让学生去做题，而是引导学生带着思考去进行，努力激活学生已有、潜在的转化经验。再如，在教学笔算竖式除法时，学生已有了除法竖式知识技能，不在机械的计算上花更多时间，而是引导学生关注竖式转化过程，从而突出了本节课计算教学的重点、难点。
2.利用明暗线交织展开教学，提高课堂教学实效
《华电技术杂志》2014年第九期
1DCS流量补偿的应用
艾默生公司OVATION系统对锅炉给水流量补偿组态应用分析，如图2所示。给水流量差压信号经过折线函数f(x)对流量小信号切除后输入流量计算块STEAMFLOW，同时给水温度、压力信号输入汽水热力计算块STM－TBL计算出给水比容结果，然后送入STEAMFLOW对给水流量作实时流量补偿。图2中STM－TBL算法块是计算水和汽的热力学特性，根据给水的压力、温度计算出水的比容，相应输入IN1，IN2，IN3，分别代表给水温度、压力和当地大气压力。锅炉给水属于压缩液体对应STM－TBL算法块参数选择VCLTP。算法块的工程单位可选英制或国际单位制，通常选用国际单位制。算法块内使用的压力单位是bar，实际给水压力单位是MPa，因此给水压力输入算法块GAINBIAS乘上系数K=10换算成国际单位制。STEAMFLOW算法块将根据差压或流量输入作为流量测量进行流量补偿计算，IN1为差压或流量输入信号，IN2为STM－TBL算法块的输出给水比容信号，OUT输出为经过补偿计算的给水流量。STEAMFLOW算法块提供的计算公式有。DELTAP公式适用于差压式流量计输出差压信号，未有开方需在DCS开方，FLOW公式适用于差压式流量计输出差压信号在变送器或DCS的AI输入信号已作开方处理不需在逻辑里开方。STEAM-FLOW算法块组态时输入类型选择时一定要区分清楚。算法块设置参数有SCAL是标度因子，可理解为差压式流量计的流量系数K。BASE是基本比容，默认值是1。GAIN为IN2输入变量的增益，DCS流量补偿计算逻辑图如图2所示。
2流量补偿组态的问题
2．1正确选用流量补偿计算公式查阅锅炉给水流量测量节流装置长径喷嘴设计计算书提供的数据:刻度质量流量，1000000kg/h;差压上限，60000Pa;工作压力，22．28MPa;工作温度，285℃;操作密度，765．37kg/m3;可膨胀系数，1．00;流量系数，1．0703;节流件开孔直径(d)，185．687mm等，计算书中提供流量计算公式。从计算结果可以看出，上述公式与差压式流量计基本流量公式(3)是一致的，根据公式(3)和质量守恒定律可推导出。标度因子SCAL=1/ρ=42082．48，基本比容BASE=1/ρD=0．0013，将上述计算数值填入算法块功能参数栏完成设置，从中可以看出在运用DCS组态软件中的宏算法块进行组态时要对算法块计算公式深入研究，弄清楚内部参数变量的功能和参数设置方法。目前工业上应用较广泛的威力巴流量计，对其测量流体进行流量补偿计算时应根据威力巴流量计算书提供的流量计算公式进行组态。威力巴流量计算书提供气体流量公式。威力巴流量计算书是根据用户提供的工艺参数利用威力巴差压计算软件获得流量和差压对应关系的计算结果，所得计算结果中的流量系数和差压在计算时已对工艺参数中的设计温度、设计压力进行温压补偿，只需按照公式(8)进行组态输入相应的信号即可完成对气体流量补偿计算。不再用理想气体方程重复进行补偿计算，简化了计算过程。流量补偿计算的组态方式是灵活多样的，对于不同流体和不同的流量测量仪表应采用合理的流量补偿计算公式，但计算公式的选择必须是正确且经过论证的，这样才能获得准确的流量计算结果。
2．2流量小信号切除处理方法由于流量测量在小信号时测量误差比较大，流量仪表的零漂及虚假信号干扰，会造成小流量测量数值变化很大。从而增大流量小信号测量的误差。为了克服各种原因引起的小信号所导致的不良后果，通常采用流量小信号切除处理方式。在图2中，给水流量利用折线函数实现小信号切除，其中算法块函数f(x)的函数x=0．1，y=0，x=100，y=100。虽然能将小信号切除，但是改变差压输入信号的线性会产生不必要的线性误差。当切除值设置的越大，差压信号的非线性所引起的流量误差就越大。给水流量需对差压进行开方运算，由于开方对误差有放大作用，差压线性误差经开方运算后误差也会变得更大。为了合理切除小信号可做出如下改进。图3所示的当差压信号低于LOWMON设定的小信号切除点数值时自动将差压归为零对应常数A=0，差压信号的线性没有改变。随着科学技术的发展以及仪表制造技术的不断改进，差压变送器和不同类型的流量计的精确度、稳定性大幅提高，小信号切除点也越来越小。现在世界上许多仪表制造厂都将差压切除点减小为0．75%，对应的流量值为8．7%。总的原则是在能达到目的的前提下，将切除值尽量选得小一些。热工人员应根据具体条件和要求合理设定切除点。对于流量小信号的切除，最好放在DCS处理，而不要在差压变送器或流量仪表设置流量切除数值。由于DCS功能强大，能够方便、直观地看到流量变化的实时和历史趋势，可以更方便地设置和调整切除数值。
2．3流量计算的单位要统一流量补偿计算应使用标准流量，标准流量能够真实反映流体流过管道的流量数据。通常来说，液体和蒸汽流量用质量流量表示(kg/h或t/h)，气体流量用标准体积流量表示(m3/h)。对于电厂锅炉的风量和烟气量计算也应该使用体积流量单位m3/h而不应使用质量流量单位t/h表示，从实际流量转换成标准体积流量要根据理想气体状态方程作相应数值计算转化。当DCS算法块内部使用国际单位制或英制单位计算时，若与输入变量单位不一致，要对输入变量乘上一定系数作相应的逻辑处理。
3结束语
流量补偿计算组态的正确及计算结果的准确与否关系到热力系统自动控制的正常投入以及设备的稳定运行。准确的流量计算数据同时也是衡量机组安全稳定运行的一项重要经济技术考核指标，对于电厂的节能减排方面有着重要意义，希望能引起热工人员对流量计算工作的足够重视。
作者：陈乐单位：广州粤能电力科技开发有限公司
【课堂片段1】从特例入手研究，利用直观模型解释算理
1.解决4÷的计算问题
师出示情境：有4个橙子，如果每人吃个，可以分给几人呢？（生列算式）
师：你能运用以前学过的知识，自己想办法计算出来吗？
生1：
生2：4÷=4÷0.5=8
生3：4÷=4×2=8
师：最后一种方法挺有意思的，他把除以转化成乘2，乘2有它内在的道理吗？
你能结合这里的图来说一说吗？（师手指生1画的图）
小结：这里的2表示1个橙子可以分给2个人，4个橙子可以分给（4×2）个人。
2.解决4÷的计算问题
师：继续来看，如果每人吃个，又可以分给几人呢？（生列算式）
师：现在你还会选择方法2吗？为什么？
生：因为转化成小数除不尽。
师：看来转化成小数的方法还是有一定局限性的。请你自己在练习本上试一下。
学生基本上都选择了转化乘法的方法。
师：咱们学数学一定要保持着理性的追问精神，除以怎么就可以转化成乘3呢？谁有好方法来解释 这个问题？
生边画图边解释。
师小结：用画图的方法可以更好地帮助我们从意义上去理解。这里的3表示1个橙子可以分给3个人，那么4个橙子就可以分给4×3个人。
3.解决4÷的计算问题
师：为了让更多同学吃到橙子，如果每人吃个，可以分给几人？能迅速算出答案的同学，请把手举高一点。
（学生热情很高）
师：说说你是怎么想的。
生：1个橙子可以分给8个人，那么4个橙子就可以分给（4×8）个人。
思考之一：拉长教学细节，丰富学生体验
算理与算法之间有个缓冲的中间地带，而直观模型就是跨越中间地带的桥梁。教师注重拉长相关的教学细节，不断追问“乘2有它内在的道理吗？”“学数学一定要保持着理性的追问精神，除以怎么就可以转化成乘3呢？”……从而引导学生结合具体的图来解释算理。随着学生经验的不断累积，在解决4÷的计算问题时绝大多数学生都能脱离具体的图画，利用头脑中的表象来解释其算法的合理性。教师提供充分的时间和空间，丰富了学生的体验，让学生在算理与算法之间“来回穿行”。如果简缩这一过程，学生原有的理解与抽象的算法之间会出现断层，算法建构与已有经验无法建立一种实质性的联系。
【课堂片段2】由特例猜想一般，在验证中加深对算理的理解
1.拓展猜想
师：仔细观察这3个等式（4÷=4×2 4÷=4×3 4÷=4×8 ），它们有什么共同之处？
生1：我发现除以一个数可以转化成乘这个数的倒数。
生2：这几个算式，除数的分子都是1。
师小结：我们刚刚研究的这三个除法算式有点特殊，除数都是几分之一，通过画图能很好地解释除以几分之一为什么可以写成乘它的倒数的形式。
师：我们的这个发现，能不能从除数是分子为1的特殊分数扩展到除数是一般分数的除法中去呢？
生：能。
师：咱们以4÷为例，你猜想它可以怎样转化？
生：4÷=4×。
2.进行验证
师：这样转化到底对不对，咱们可以怎样验证？先独立思考，再进行小组讨论。
（师组织学生交流，边交流边点评）
生1：（利用画图来验证）
生2：4÷=4÷（2÷3）=4÷2×3=6（将分数转化成除法，利用四则混合运算来验证）
生3：4÷=4×3=12 4÷=12÷2=6 （利用“被除数不变，除数扩大2倍，商就缩小2倍”的规律来验证）
生4：4÷=÷=6 （将被除数与除数的分数单位统一，根据除法的意义来验证）
师小结：刚刚同学们是通过计算出具体结果来进行验证的，其实我们不计算出结果也可以验证我们猜想的方法是否正确。
师在生2原有方法的基础上进行修改：
4÷=4÷2×3=4××3=4×
师：老师也想到了一种方法，谁能明白老师的意思？
板书：4÷=（4×）÷（×）=4×
（学生恍然大悟，兴奋地发出感慨“哦，哦……”）
生1：利用商不变的规律来验证更加简单。
生2：数学知识之间是有联系的，真是条条大路通罗马呀！
师小结：是呀，数学知识之间是有联系的。如果我们能把这些知识统一起来，你会发现数学真的很神奇。
思考之二：引导学生经历探究过程，以演绎推理支撑算理的深层理解
整数除以几分之几的算理很难借助直观模型来进行阐释，所以教师引导学生经历理性严谨的探究过程：先从特殊入手，发现整数除以几分之一可以写成乘它的倒数的形式，进而引导学生猜想这种算法是不是可以扩展到除数是一般分数的除法中，鼓励学生采用小组合作的形式进行验证。从案例描述中，我们可以看出学生们总是试图运用已有的知识与经验得到“4÷”的计算结果，通过计算结果的比较进一步肯定“4÷=4×”的 算法。由于小学生演绎推理的经验较为缺乏，他们表现出这样的思维倾向是自然而真实的。
但教师必须清醒地认识到这样的验证，只是具体情境下的算法例证，并不具备算理解释的普适性。所以在学生原有的思维基础上，教师加以适当的点拨，将“4÷=4÷2×3=6”演绎为“4÷=4÷2×3=4××3=4×”。随后教师也参与到验证过程中，展示“4÷=（4×）÷（×）=4×”的演绎过程，学生的思维随之豁然开朗，实现了“利用商不变的规律解释算理”的原生性顿悟。
【课堂片段3】强化巩固算法，形成新的猜想
巩固练习结束后，教师出示组题，让学生计算后组织交流。
师：第一组是我们今天学习的整数除以分数，第二组是我们以前学习的分数除以整数。比较这两组算式，在计算方法上有什么相同之处？
生：不管是整数除以分数还是分数除以整数，他们都是把除以一个数转化成乘这个数的倒数。
师：学到这里，你有没有其他新的猜想？
生1：我猜想分数除以分数的计算方法跟今天学习的方法相同，也可以转化成乘除数的倒数。
生2：我跟他的想法一样，不过我想补充一点，只要是分数除法都是被除数不变，再将除以一个数转化成乘这个数的倒数就可以了。
……
思考之三：联系旧知进行类比，实现思想的提升与算法的超越
教师应以联系、整体的观点看待每一节教学内容，并努力揭示数学知识之间的内在联系。在学生巩固了整数除以分数的算法之后，教师设计了两组对比练习，将今天学习的整数除以分数的算法与上节课学习的分数除以整数的算法进行类比，以揭示蕴含在不同知识点背后的本质联系，这有利于学生更加深刻地掌握算法，构建知识网络，促使学生进一步提升转化的数学思想。在此基础上，教师引导学生形成新的猜想，使学生掌握的算法更具可持续发展的张力，感受到数学的整体之美。
关键词：计算能力 学生 笔算 口算 估算
计算能力是一项基本的数学能力。培养学生的计算能力，是小学数学教学的一项基本任务。笔者对此进行了探讨。
一、为考而教，有悖“以学生发展为本”的教学理念
在实际生活中，用笔在纸上一步步算的日子早已成为过去，口算、笔算远不如计算机、手机、电脑等来得快速而精确，省时又省力。教科书上的计算，似乎已失去它的运用途径，只能是考试的需要。因此，在进行计算教学时，总是在引出算式后鼓励学生尝试独立解答，再结合学生的练习集体讲评，帮学生把计算思路理一遍，小结出计算方法后，让学生进行大量的有针对性的计算练习……训练下来，仍有学生错，且很普遍，看来，我的熟能生巧的办法是错的。课程标准早已提出：教学要以人为本，计算是为了让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能，而不是为了考试得高分。重复的、大量的计算训练确实能让学生算得越来越熟练，正确率也会提高，但这是机械的，是不利于学生思维发展的，学生虽然会算了，但对问题的理解和灵活应用肯定欠缺。这种技能也是暂时的，只要一段时间不练习，学生就会因生疏而遗忘、出错。
国标苏教版教材的计算教学并不是孤立的，都是通过具体的生活情境来引导学生产生计算的欲望，在思考、交流和总结计算方法的过程中，发展学生的归纳、概括能力；通过计算使学生明白，可以灵活运用所学的知识和方法，解决简单的实际问题，体验数学与生活的联系，感受数学的应用价值。从而加深对所学知识的理解，获得运用数学解决问题的思考方法。
二、未钻研教材，没抓准新旧知识的衔接点
细读教材，就会发现本单元学习的“逻辑起点”（指学生应该具有的知识基础）《除数是整十数的除法》是在学生已经掌握《两、三位数除以一位数》的基础上学习的。那么，学生的“现实起点”（指学生实际具有的知识基础）在哪儿呢？三年级时，学生已学习了《除数是一位数的除法》，对它的口算和笔算方法应该已很熟练地掌握，《除数是整十数除法》的口算和笔算与《除数是一位数除法》的口算和笔算的算理是相通的；这也是教材在这里安排学《除数是整十数的除法》的目的。可我并没有抓准新旧知识的衔接点：在教学时，没有进行足够的两位数乘一位数，三位数除一位数的口算和笔算复习，（一个暑假下来，学生对除数是一位数除法的口算和笔算的算理已淡忘了许多。）旧知没有充分激发，给学习新知带来了困难，无形中增加了学生学习的难度。
忽略了估算和口算、笔算的关联。在教学生用竖式计算《除数是整十数的除法》（商是两位数）时，应先让学生估计商的大致范围，商是几位数，为学生探索笔算方法，确认每次商的位置提供思考方向和依据。再利用乘法口诀估算出商可能是几，再具体计算。计算完后，应强调学生验算检查。实践证明，培养学生的估算意识和能力，指导学生养成“估算―计算―审查”的习惯，有助于学生适时找出自己在解题中的偏差，提高计算能力。
三、忽略了学生的现实起点
美国教育心理学家奥舒伯尔曾精辟指明：“如果我们不得不把教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的因素是学生已经知道了什么。”准确把握数学学习的真实起点，促进学生基于自身已有积累去探求新知，建构意义，无疑是促进学生持续发展、凸显教学本质价值的首要前提。我教学失败，还在于我并没有分析学生的学情：学生具备的“现实起点”并没有达到教材设定的“逻辑起点”，学生不能凭借“已有旧知”的变换整合来实现“目标新知”的建构获取。可想而知，我的教学有多失败。
通过研究学生的错题，发现学生的计算存在着很严重的问题：
1.简单的求积、求商口算不过关；
一位数乘整十数的口算掌握不好。如60÷20=3是因为乘法口诀“二三得六”2×3=6，60÷20=3，结果在算510÷90时，只想到口诀“五九四十五”，却没考虑实际情况90×5=450，就把商写在了十位上。
2.算法不理解
三年级就学过了笔算三位数除以一位数，口算比较容易的几百几十除以一位数，估计三位数除以一位数的商是几位数、商是几百多还是几十多。今天，再来根据旧知来估计《除数是整十数的除法》的商就不应该太难。642÷60，除数是两位数，从高位起，用被除数的前两位去除以除数，64除以60，商“1”，是1个十，写在十位上，64减60余4，4在十位上和个位上的2合起来是42，42除以60不够，商的个位上写0补齐数位。学生受口诀“六七四十二”的影响，想也未想，就在个位上写下7，明显是错误的，7个60是420，不是42。也证明了前面提到的学生对一位数乘整十数的口算掌握不好。
四、反思
1.重视过程，理解算理
打破单一的授课形式，从生活实际出发，创设情境，创造机会，让学生通过动手操作，动脑思考，动口表达理解算理，掌握方法，使操作、思维、表达融为一体，有效地推动学生的智力发展。
2.笔算、口算、估算能力要协调发展
计算能力，不只表现为会用笔进行计算、计算的正确、达到一定的速度，还应包括“口算”、“估算”等其它形式的计算，学会根据具体情境采用适合的计算形式计算。
让学生正确地笔算三位数除以两位数是本单元的主要教学目标之一，但相应的口算和估算能力的提高也不容忽视。教学中，应注意口算、估算和能力的协调发展。我们应认识到，在笔算的过程中，口算、估算往往与笔算融在一起，难以截然分开。在笔算时，学生能口算、估算的尽可能要求去口算、估算，从而不断增强口算、估算的意识。例如，在教学整十数除三位数420÷30时，让学生先估算，既培养了学生的估算能力，又让学生体会到商的十位上的数字是“1”，有助于笔算时想到商的最高位是十位。再如教学除数是两位数的除法如何试商时，某些口算能力较强的学生根据题目中数据的特点直接用“估”的方法确定商是几，这是应该鼓励的。
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）10A-0056-04
复习内容：人教版五年级上册第三单元《小数除法的复习》。
教材分析：小数除法是学生学习加减乘除所有竖式计算的最后一个内容，是学生竖式计算新知学习的完结篇。根据小数点处理方法不同，小数除法分成两种情况：一种是除数是整数的小数除法，另一种是除数是小数的小数除法。因为除数是小数的除法要通过商不变的性质转化成除数是整数的小数除法来计算，所以小数除以整数是学习小数除法计算的基础。除数是小数的除法是小数除法的重点内容，教材在编排时重点突出怎样把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。
学情分析：小数除数教学，是在学生学习了小数的意义和性质、小数加减法计算、整数除法、商的变化规律的基础上进行的，有了这些基础就有利于学生理解和掌握小数除法的计算方法。除数是整数的小数除法既是小数除法的重要组成部分，也是进一步学数是小数的除法的基础；小数除法的计算在日常生活中以及进一步学习中都有广泛的应用。
复习目标：
1.巩固小数除法的计算方法，让学生能正确地进行计算，沟通小数除法和整数除法的关系。
2.让学生经历归纳、梳理、总结的过程，提高主动建构知识及解决实际问题的能力。
3.渗透转化思想，让学生在学习中学会自我查找问题并改进。
复习重点：沟通小数除法与整数除法之间的联系，形成系统的知识结构。
复习难点：能自主利用整数除法的计算法则正确进行小数除法的计算。
教学方法：先理后练。
教具、学具准备：彩色笔（8支）、大白纸（8张）。
附：课前自主学习任务单（见文后）。
一、错题整理，形成知识链
师：同学们，前面我们学习了小数乘法和小数除法的知识，今天我们一起来复习关于小数除法的知识。关于这次复习，前面我们做了哪些准备工作？
生：提前收集错题。
师：对，在学习中，有一些知识我们可能还没弄清楚，所以在做题时会出现这样那样的错误，复习就是一次让我们将知识重新进行梳理、完善的机会。现在，请大家把自己收集的错题拿出来看一看，在小组中分一分、记一记。看看你们错得多的是哪一类计算；想一想，正确的计算方法是什么。请大家想个小窍门，怎样使自己今后避免再次出错。大家可以发挥小组的智慧，用气泡图或知识树等方法进行整理。比一比，哪个小组整理得最清楚最有创意！
【设计意图】教师已提前一天让孩子把作业本、试卷上的错目，写到前置性学习任务单上，让孩子提前收集自己的错题。设计前置性作业的目的是为学生“先学”提供“方向标”、搭建“脚手架”，使学生有目标、有方向地围绕核心问题展开自主学习。
1.学生讨论分类（约10分钟）。
2.汇报展示：
A组代表：我们组用气泡图把小数除法分成两类，分别是小数除以小数和小数除以整数。我们总结了小数除以小数的计算方法。因为我们发现这一类错得最多，希望同学们在今后计算出错时，能很快找到计算方法。
师：做得好！哪个小组还有补充？
B组代表：我们组用知识树把除法分成三类，分别是：小数除以整数、小数除以小数、整数除以小数。可是我们总结方法时发现，小数除以小数的计算方法和整数除以小数一样，都是先把除数转化成整数，再计算。由于时间关系，我们还没能总结出小数除以整数的方法。
师：参考这两个小组的意见，请你在自己的小组里看一看还可以做哪些方面的补充，下课以后可以继续完善。
3.总结方法：
师：我们可以把除法分成三类，一类是整数除法，一类是除数是整数的小数除法，一类是除数是小数的小数除法（边说边板书）。计算除数是小数的除法，要利用商不变性质，转换成除数是整数的小数除法来计算。计算除数是整数的小数除法中，只是注意商的小数点要和被除数的小数点对齐，其他计算方法都跟整数除法一样（边小结边板书）。
【设计意图】在课堂上放手让学生将小组里收集到的错题进行归类，并通过整理归类，发现自己出错最多的是哪一类除法。通过小组里生生互教、互学，学生既可以发现自己的知识漏洞，又可以从别人的错误中吸取教训，得到启发；通过错题收集，学生良好的学习态度和习惯得到培养；通过条理化、系统化地梳理小数除法的计算方法，学生的合作能力和归纳概括能力得到了培养。
二、分层练习，巩固算法
1.课件出示：
（1）师：老师这里有几道题，你能不能很快计算出结果？（要求学生独立完成）
（2）师：算完的同学请把计算快的方法跟同桌说一说。
（3）请一名学生汇报答案，其他同学判断对错。
（4）追问学生：为什么这么快就算出结果？
生1：以第一题为例，先计算出85÷17=5；然后计算0.85÷17时，商的小数点对齐被除数的小数点，其他步骤都跟85÷17一样，结果是0.05；最后计算0.85÷0.17，被除数和除数同时扩大100倍，其实就转换成85÷17，结果等于5。
师：其他同学有什么看法？
生2：其实就是把小数除法转换成整数除法。
师：是的，同学们说得真好！
【设计意图】通过数字相同、小数位数不同的三组除法，巩固前面讨论总结出的除法的关系：计算除数是小数的除法，要利用商不变性质，转换成除数是整数的小数除法来计算；计算除数是整数的小数除法中，只需注意商的小数点和被除数的小数点对齐，其他计算方法都跟整数除法一样。
2.出示错题：32.8÷1.6 4.08÷0.8=51
（1）师：同学们，我们复习了小数除法，老师在班上发现有同学算错了这两道题。大家赶紧来帮忙找找原因，看看错在哪里。
（2）你能帮她改过来吗？（请两人上台板演，其他同学在下面写）
（3）师：谁来说一说，错在哪里？
生1：第1题，先商“2”，“32”减“32”没有余数，把“8”拉下来，拉一个数字要试一次商，“8”除以“16”不够商“1”，所以要商“0”；在“8”后面补“0”，再用“80”除以“16”，商“5”，结果应该是“2.05”。
师：这位同学写得对吗？
生：对！
师：那第二题呢？
生2：第二题，除数扩大10，被除数扩大了100倍，这样不对，除数和被除数应该扩大相同的倍数，这里应该同时扩大10倍，使除数0.8扩大成整数8，被除数4.08扩大成40.8，结果应该是5.1。
师：上来的这位同学写对了吗？
生：写对了。
师：其实第一题还漏了一个地方，老师要看看谁观察得最细致！
生：他计算完后，没有在算式后面写结果！
师：是的，这也是同学们常犯的错误。大家计算结束后，别忘了写结果哦！
（4）再展示：
师：同学们再看，这位同学原来也算错，可是后面怎么又改对了呢？
生：因为他验算！通过验算知道自己计算正确与否。
师：是的，验算能帮助我们避免出错。
【设计意图】教师先找了练习册中学生错得多的两道题，让学生找找错在哪里，为什么错，能帮忙改正吗，再一次让学生自己发现错误并改正，充分发挥了学生的学习自主性。随后，又展示了本来做错后来改对了的题目，让学生感受到验算不是可有可无。绝大多数学生计算不正确是由于粗心造成的，验算可以帮助他们及时发现计算时的错误，克服粗心的毛病。它不仅能保证计算正确无误，还可以培养学生对学习一丝不苟的态度。
3.估算。
师：我们复习了小数除法的计算方法，可是有时候并不需要我们直接计算，你能不能通过估算直接说出下面的答案？
出示课件：
商最小的是（ ）
A.6.5÷0.79（≈8）
B.17.8÷12.5（≈1. ）
C.10.4÷3.96（≈2. ）
（学生独立思考）
生1：选C.
生2：选B.
师：到底选什么呢？
师（提示）：都是小数，不好估，那么我们可以把它们转换成什么？
生1：整数！
师：怎么转换呢？
生2：除数和被除数同时扩大。
师：谁来具体说一说？
生1：“6.5”和“0.79”同时扩大10倍，其实就是算“65÷7.9”，约等于“8”。
“17.8”和“12.5”同时扩大10倍，其实就是算“178÷125”，约等于一点几。
“10.4”和“3.96”同时扩大10倍，其实就是算“104÷39.6”，约等于二点几。
师：其他同学的意见呢？你是怎么想的？
生2：第三题其实不用扩大，可以直接估成10÷4更好算，也是约等于二点几。
师：所以应该选？
生（齐答）：选B.
师（总结）：同学们，估算的方法有很多，只要能快速确定答案就可以。其实，我们平时计算前也可以进行估算，通过估算知道商的范围，避免出现错误。
【设计意图】估算的过程就是逻辑推理的过程，目的是培养学生对算式进行观察、分析和思考的习惯。估算虽然是一种大致的估计，但并不是凭空猜想，那种没有根据的臆想乱想往往与实际结果相差很大，这就需要培养学生良好的数感。鼓励估算方法的多样性，就是鼓励学生在交流中完善估算的方法，促进学生个性的发展。
三、联系生活，解决问题
师：同学们对小数除法的计算知识掌握得很不错，那么你们能不能利用小数除法的知识来解决生活中的数学问题呢？这里有两扇紧闭的数学生活大门，你们有没有信心通过自己的努力打开它们？（PPT出示：下面是2015年2月6日的中国银行外汇牌价）（单位：元）
在这一天里：
第一关，请听题：苹果6S手机在香港标价5288港元，在美国标价是849美元。哪儿的标价低？
（1）师：请同学们仔细想一想，写在草稿本上。（同时，请一名学生上台板演）
5288×0.8=4230.4（元）
849×6.13=5204.37（元）
4230.4
生：香港的标价低。
【设计意图】数学学习的最终目的是让学生运用所学知识去解决生活中的问题，让学生在面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻找解决问题的途径。提高学生问题解决意识最有效的方法是让学生亲身实践，因此，教师特地挑选了学生感兴趣的苹果6S手机作为情景，吸引学生的学习注意力。
（2）师：还有不同意见吗？
进入第二关，请看题：一支钢笔标价8.4美元，用1000元人民币可以买几支？（得数保留两位小数）
（1）师：请认真审题、仔细作答。（鼓励学生独立把想法写下来，同时，请一名学生上台板演）
8.4×6.13=51.492
1000÷51.492
生：老师我不会算。
（2）师：下面的同学会算吗？（学生们摇摇头）
（3）师提示：这个算式的除数很大，直接计算很困难，同学们能不能想别的办法？
教室突然安静了下来，过了一会儿，有学生大声说：“可以使用估算！”其他同学也恍然大悟，说：“是的，可以使用估算。”
（4）师：同学们太聪明啦！可是，怎么估算呢？
生1：51.492可以估成51，因为1000÷50=20，51比50大一点，除数变大，商反而越小，所以1000÷51≈19。
师：其他同学的意见呢？
生2：同意。1000元可以买19支钢笔。
师：恭喜同学们，通过自己的努力打开了第二扇数学生活的大门！这是美丽的凤岭儿童公园，欢迎大家到南宁来玩！
【设计意图】教师通过联系与学生生活息息相关的钢笔来创设教学情境，让学生感受用估算来解决具体问题的体验。估算教学不是独立的，应密切联系生活实际展开，本题再现的生活情境由于抓住了生活现实，因而能很自然地引导学生积极合理地运用估算。
四、回顾总结，大胆质疑
师：今天我们复习了什么知识？你还有什么地方没有弄明白或还想提出什么问题？
生：复习小数除法。
师：在计算小数除法中，需要注意什么？谁来给大家提提建议？
生1：要记得除数和被除数扩大相同的倍数。
生2：有时候可以通过估算得到答案。
生3：做除法时要一位一位地试商。
师：是的，同学们，今天我们复习了小数除法。今后复习时我们也可以用今天的方法，先整理错题，了解错得多的是哪一类，想一想错的原因是什么，然后想个小窍门避免出错。这样可以让我们的复习更有效、更有针对性！
板书设计：
小数除法的复习
第一关：
5288×0.8=4230.4（元）
849×6.13=5204.37（元）
4230.4
答：香港的标价低。
第二关：
8.4×6.13=51.492（元）
1000÷51.492≈19（支）
答：用1000元人民币可以买19支。
教后反思：
上这节课前，教师提前让孩子把作业本、试卷上的错目，写到前置性学习任务单上。在课堂上放手让学生自主将错题归类，学生通过小组生生互教、互学，可以查找知识点漏洞，还可以从别人的错误中吸取教训，得到启发。孩子们通过整理归类，发现自己出错最多的是哪一类除法，并开始慢慢回忆起计算这一类除法的计算方法是什么，以后在计算这一类除法时，应该注意什么问题。汇报过程中，在教师的引导下学生还发现三类除法算式计算方法之间的关系。通过错题收集，学生良好的学习态度和习惯得到了培养，并且学会了归纳分析、梳理小数除法的计算方法。这样设计的效果很好。
不足之处：在教师展示学生两道错题这个环节，本来是想让全班同学发现这两名学生计算后没有及时在算式后面写结果，而很多学生没能及时发现，因此，教师不断提问，直到有学生答出为止。这个地方不是本课的重点难点，学生若回答不出，教师应该及时说明，没有必要浪费这么多时间。
附：课前自主学习任务单
五年级上册《小数除法的复习》前置性自主学习任务单
一、算一算，想一想。
笔算：（1）408÷8 （2）4.08÷8
（3）4.08÷0.8
第（1）题属于 的除法计算，想一想，它的计算方法是什么。
第（2）题属于 的除法计算，想一想，它的计算方法是什么。
第（3）题属于 的除法计算，想一想，它的计算方法是什么。
教材分析：分式的乘除法是本章的一个重要的内容，是分式的基本性质、分式的约分的进步提高及应用。本课时包含分式的乘法、分式的除法的内容。分式的除法可以转化为分式的乘法进行运算。分式的乘法是本课时的一个重点。分式的乘除法是建立在小学分数乘除运算的基础上，又与数的运算有很大的不同。
教学目标：（1）知识与技能目标：使学生理解并掌握分式的乘除法运算方法，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。（2）数学思考目标：经历探索分式的乘除法运算方法，发展合情推理的推理能力，培养学生大胆猜想的能力。（3）解决问题能力：形成解决问题的基本策略，从特殊到一般，从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算，也为以后学习分式的加减运算作铺垫。（4）情感与价值目标：教学中注意渗透类比转化思想，让学生在大胆猜想中学到方法，培养学习数学的自信心。
教学重点：使学生掌握分式的乘除法运算。
教学难点：分子、分母为多项式的分式的乘除法运算。
教学方法：探究式、引导式、小组交流合作。
教学准备：多媒体辅助。
教学过程：问题1：一个长方体容器的容积为v底面的长为a宽为b，当容器内的水占容积的
时，水高多少？长方体容器的高为____，水高为____
问题2：大拖拉机m天耕地a公顷__，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？大拖拉机的工作效率是
公顷，天，小拖拉机的工作效率是__公顷，天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的__倍。
（1）学生小组活动：讨论并填空。（2）教师提问：这是一个什么运算？怎样计算呢？
（板书课题：16，2分式的运算1、分式的乘除法）
设计意图：有问题1、问题2创设问题情境，在学生感到新奇而不知所措的过程中激发学生强烈的求知欲、设置悬疑、无疑为学生对本节课的学习创设了良好的情绪状态，面从实际生活引入，体现了数学知识源于生活。
学生交流：分数乘法法则？分数除法法则？分数乘法法则：分数乘以分数，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。分数除法法则：分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。（1）教师叙述：通过上面分数乘除运算可先约分再相乘。但对于除法运算首先把除法化为乘法，然后约分、相乘。设计意图：通过对旧知识的复习、引导学生从旧知识中寻找新知识的生长点，符合新事物的规律、由浅入深、同表及里、逐渐深化。（2）探索新知：你能用代数式表示上题中（（旧知再现）观察下列运算）的计算过程中吗？与同伴
通过类比，得出：①分式乘除法与分数乘除法类似；②“数”变为“式”后，其运算又有不同。
设计意图：观察、类比、迁移的方式达到自然导人的目的，培养合作交流意识。注意的是通常分式除法首先应转化成乘法、为了方便记忆可说为“除以一个式子等于乘以这个式子的倒数或者一变一传倒”。
