时间：2023-06-06 09:30:40
1．概率统计和信息科学的整合
1.1概率统计和信息科学整合的概述我们可以从三个方面来了解概率统计和信息科学的整合：第一方面，在信息化的背景下，可以利用网络和多媒体进行概率统计的详解；第二方面，将概率统计的内容进行信息化的处理，使其成为对学生非常有用的学习资源；第三方面，利用信息技术改变学生学习的方式，让学生从被动式的学习状态转变为主动式的学习状态，从书桌上的学习转变为实践性、体验性的学习。概率统计和信息科学的整合是一种双向性的整合，也就是说，概率统计和信息科学在整合中各取所需，概率统计加以信息技术既创新了教学模式，又开发并促进了科学技术的发展。
1.2概率统计和信息科学整合的必要性
概率统计和信息科学整合是当前不可抗拒的一股潮流，这样的整合势在必行。信息技术与概率统计的结合更利于人们对概率统计的学习，对信息技术的掌握。在概率统计学科中加入信息科学，更有助于学生采取个性化的学习形式，从而最大限度的体现并满足学生们的学习愿望。将信息科学技术融入到概率统计中，是一种新型的学习方式，这既是一种教学改革，又发展了学生的创新精神，提高了学生的实践能力。
1.3概率统计与信息科学的注意事项
将概率统计与信息科学有机整合起来，学生们不单单要了解概率统计的相关知识，还要学会使用计算机，熟练的应用相关的计算机软件。只有这样，学生们才能真正的学以致用，将概率统计应用到实际的问题当中去。在实际教学中，应把重点放在概率统计方法的阐述和计算机的应用上，就是既要结合数据和实例讲解概率统计的概念、特点和应用场合；又要讲解计算机的使用方法。例如，可以利用软件演示方差分析、回归分析的计算过程。计算机软件SPSS在概率统计方面，被应用的频率是非常高的，因为它的统计功能较为强大。
1.4概率统计与信息科学整合的策略
首先要在思想与方法的层面上，将概率统计与信息科学整合。这种深层次的整合可以使教师的教学能力获得快速的进展，并且取得更好的教学效果。概率统计与信息科学的整合不单单局限于解决教学问题，整合的真正目地是使学生们掌握学习方法，让学生养成一种自主、探究的学习精神，让学生们在信息科学的支持下，用所学的知识与思想，去解决实际中的问题，也就是人们常说的学以致用。若想将概率统计与信息科学真正的有效结合起来，老师的想法是非常重要的。教师不单单要了解信息科学，还要从心底认同这种将概率统计与信息科学整合的教学模式。这样，教师才能了解概率统计与信息科学整合的真正意义所在，从而将信息科学技术掌握的更加熟练，将概率统计理解的更加透彻，将概率统计与信息科学的结合点看的更加清晰，使自己的教学方法和教学思想更加完善。其次，是根据不同的内容选择不同的信息科学媒体。将概率统计与信息科学结合，是为了使教学过程更加优化，使教学效果更加理想。选择哪种信息科学媒体更加合理，利用哪种信息媒体能最大限度的激发学生们的学习兴趣，所有的这些，都要以概率统计的内容作为选择教学媒体的出发点，并根据学生的需要来确定最终使用的信息科学媒体。如果所选择的媒体，与教学内容不搭，不单不能够提升教学质量，还会使教学过程变得更加繁琐冗杂。当教学内容属于静态类的时候，可以选择视频来丰富教学内容；当教学内容拥有较强的连续性时，在教学的过程中可以穿插几段录像；当教学内容较为复杂、抽象、并且变化性很强的时候，可以选择多媒体课件来展示教学内容；当学生进行研究性的学习时，可以选择网络作为自己的学习助手
2．结语
概率统计在数学教学中占有重要的位置，并且人们在解决实际问题时会经常使用到概率统计；而信息科学随着社会的发展，科技的进步，也越发的被大家重视。将概率统计和信息科学有机整合，是一种必然的趋势，它不单单可以优化教学课程，还可以发挥学生们的创造性以及学习的主动性。像这种概率统计和信息科学的结合，使我国的教学取得了更大的进展，也为社会培养了更多的人才。
作者：汤宇 单位：吉林工商学院 吉林长春
1. 能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现.
2. 了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，并能进行有效的解答或计算.
3. 能够对扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍.
4. 在具体情境中了解概率的意义，能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率，能够准确区分确定事件与不确定事件.
5. 加强统计与概率之间的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题.
下面举例对本部分内容所涉及的概念进行辨析：
一、 总体、个体、样本和样本容量的概念辨析
例1 为了了解某地区初一年级7 000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ）.
A. 7 000名学生是总体 B. 每个学生是个体
C. 500名学生是所抽取的一个样本 D. 样本容量是500
【辨析】总体是考察的对象的全体，个体是组成总体的每一个考察对象，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数目，主要关注“考察对象”，本题应该选D.
二、 平均数、中位数、众数的概念辨析
例2 某班第二组男生参加体育测试，引体向上成绩（单位：个）如下：4，6， 9， 11， 13， 11， 7， 9， 8， 12，这组男生成绩的平均数是_______，中位数是_______，众数是_______.
【辨析】相同点：都是为了描述一组数据的集中趋势.不同点：所有数的总和除以总个数是平均数（所有数都参与计算），一组数据先按大小顺序排列，中间位置上的那个数据（如果中间有两个则求它们的平均数）是中位数（可能是原数据中的数，也可能不是原数据中的数），众数是出现的次数最多的数据（一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数，如果有众数，一定是原数据中的数）.本题答案分别为9 ，9 ，9和11.
三、 极差、方差、标准差的概念辨析
例3 甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数为8，方差s2乙=0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（ ）.
1．如图1，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2011次跳后它将停在的点是（）
A．1B．2C．3D．4
2．A=｛1，2，3｝，B=｛x∈Rx2－ax+b=0，a∈A，b∈A｝，则A∩B=B的概率是（）
A．B．C．D．1
3．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PAα，PBβ，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹方程是（）
A．x2－y2=9（x≥0）
B．x2－y2=9（x≥0，y≥0）
C．y2－x2=9（y≥0）
D．y2－x2=9（x≥0，y≥0）
4．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图（图2）和频率分布直方图（图3）都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
图2图3
（1）求全班人数及分数在［80，90）之间的频数；
（2）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高；
（3）若要从分数在［80，100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在［90，100］之间的概率．
5．在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足===（如图4），将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B，A1P（如图5）．
（1）求证：A1E平面BEP；
（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．
6．给定椭圆C：+=1（a>b>0），称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆”，若椭圆C的一个焦点为F2（，0），其短轴上的一个端点到F2距离为；
（1）求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；
（2）若倾斜角为45°的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M，N两点，求弦MN的长；
（3）若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，求证：l1l2．
1．由题意有51241241，从1开始，每跳3次为一个循环，又（2011－1）÷3=670，所以选A
2．有序实数对（a，b）的取值情形共有9种，满足A∩B=B（即B?哿A）的情形有：
（1）（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，3），此时B=；
（2）（2，1），此时B=｛1｝；
（3）（3，2），此时B=｛1，2｝．所以A∩B=B的概率为P=，选C．
3．B
4．（1）由茎叶图知，分数在［50，60）之间的频数为2，频率为0．008×10=0．08，全班人数为=25，所以分数在［80，90）之间的频数为25－2－7－10－2=4．
（2）法1：分数在［50，60）之间的总分为56+58=114，分数在［60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456，分数在［70，80）之间的总分为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747，分数在［80，90）之间的总分约为85×4=340，分数在［90，100］之间的总分数为95+98=193，所以，该班的平均分数为=74；
法2：分数在［50，60）之间的频率为=0．08，分数在［60，70）之间的频率为=0．28，分数在［70，80）之间的频率为=0．40，分数在［80，90）之间的频率为=0．16，分数在［90，100］之间的频率为=0．08，所以，该班的平均分约为55×0．08+65×0．28+75×0．40+85×0．16+95×0．08=73．8．
频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高为÷10=0．016．
（3）将［80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，［90，100］之间的2个分数编号为5，6，在［80，100］之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个，其中，至少有一个在［90，100］之间的基本事件有9个，故至少有一个分数在［90，100］之间的频率是=．
5．不妨设正三角形ABC的边长为3，则
（1）在图4中，取BE中点D，连结DF，则===，所以AF=AD=2，而∠A=60°，即ADF是正三角形．又AE=ED=1，所以EFAD，所以在图5中有A1EEF，BEEF，所以∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角．因为二面角A1－EF－B为直二面角，所以A1EBE．又BE∩EF=E，所以A1E平面BEF，即A1E平面BEP．
图6
（2）由（1）可知A1E平面BEP，BEEF，建立如图6的坐标系，则E（0，0，0），A1（0，0，1），B（2，0，0），F（0，，0）.在图4中，不难得到EF∥DP，且EF=DP；DE∥FP，DE=FP，故点P的坐标为（1，，0），所以=（2，0，－1），=（－1，，0），=（0，0，1）.不妨设平面A1BP的法向量n1=（x，y，z），则•n1=2x－z=0，•n1=－x+y=0.令y=得n1=（3，，6），所以cos〈n1，〉===，故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为．
6．（1）因为c=，a=，所以b=1，所以椭圆的方程为+y2=1，伴随圆的方程为x2+y2=4．
一、随机抽样
考纲要求
（1）理解随机抽样的必要性和重要性.
（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样.
基本考点与题型
1. 简单的随机抽样
例1. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石
答案 B.
解析 设这批米内夹谷的个数为x，则由题意并结合简单随机抽样可知，=，解得x≈169，故应选B.
评注 本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，难度不大.在高考中，考查简单的随机抽样的题目往往比较简单.
2. 系统抽样
例2.（2015・湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________.
答案 4.
解析 35÷7=5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人.
评注 本题将系统抽样与茎叶图综合在一起考查，难度不大.对于系统抽样问题，我们要掌握两点：（1）分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本；（2）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了.
3. 分层抽样
例3. 某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取学生________名.
答案 40.
解析 抽样比为=，A，B专业共抽取38+42=80名，
故C专业抽取120-80=40名.
评注 分层抽样是三种抽样方法中最重要的一种抽样方法，也是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度：一是计算某一层应抽取的样本数；二是求样本容量.
二、用样本估计总体
考纲要求
（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.
（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.
（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（平均数、标准差），并给出合理解释.
（4）会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.
（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
基本考点与题型
1. 频率分布直方图
例4.（2016・北京）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.
答案 （1）3；（2）10.5元.
解析 （1）由用水量的频率分布直方图知：
该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.
依题意，w至少定为3.
（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5元.
评注 本题主要考查频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值.由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：（1）×组距=频率；（2）=频率，此关系式的变形为=样本容量，样本容量×频率=频数.
2. 茎叶图
例5. 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：
①分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
②分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
③根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
答案 ①75，67. ②0.1，0.16. ③ 对甲部门评价较高.
解析 ①由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为=67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
②由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.
③由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.
评注 在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.
3. 样本的数字特征
例6.（2015・广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图.
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
答案 （1）0.0075.（2）230，224.（3）5.
解析 （1）由（0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025）×20=1得x=0.0075，
直方图中x的值为0.0075.
（2）月平均用电量的众数是=230.
（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45
月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则：
（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5，解得a=224，即中位数为224.
（3）月平均用电量在[220，240）的用户有0.0125×20×100=25户，
同理可求月平均用电量为[240，260），[260，280），[280，300）的用户分别有15户、10户、5户，
故抽取比例为=，
从月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户.
评注 样本的数字特征是每年高考的热点，且常与频率分布直方图、茎叶图等知识相综合考查.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：（1）最高的矩形的中点即众数；（2）中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
三、变量间的相关关系
考纲要求
（1）会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系.
（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程.
基本考点与题型
1. 相关关系的判断
例7. 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图（x轴、y轴的单位长度相同），用回归直线方程=bx+a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）
A. 线性相关关系较强，b的值为1.25
B. 线性相关关系较强，b的值为0.83
C. 线性相关关系较强，b的值为-0.87
D. 线性相关关系较弱，无研究价值
答案 B.
解析 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y=x的斜率要小一些，综上可知应选B.
评注 相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性.
2. 线性回归方程
例8.（2014・重庆）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为（ ）
A. =0.4x+2.3 B. =2x-2.4
C. =-2x+9.5 D. =-0.3x+4.4
答案 A.
解析 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.
且直线必过点（3，3.5）代入A，B，得A正确.
评注 回归直线方程 = x+必过样本点中心（，）.
四、随机事件的概率
考纲要求
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别.
（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.
基本考点与题型
1. 随机事件概率的求法
例9. 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
答案 B.
解析 因为红灯持续时间为40秒.
所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=.
评注 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法，本题的测度为长度，是高考中经常出现的一类几何概型送分题.
2. 与面积有关的几何概型
例15. 从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
答案 C.
解析 利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为==，所以π=.
评注 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.
3. 与其它知识交汇的几何概型
例16. 在区间[0，1]x+y≤上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则（ ）
答案 D.
解析 如图，满足条件的x，y构成的点（x，y）在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x+y≤”对应的图形为阴影ODE，其面积为××=，故p1=
事件“xy≤”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于，
故p2>，则p1
评注 与其它知识交汇的几何概型以测度为面积的居多，解决这类问题的关键是根据题意画出图形，并计算相关面积.这类问题综合性较强，有一定的难度.
变式训练
1. 某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（ ）
8. 某单位为了了解用电量y（度）与当天平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如下表），运用最小二乘法得线性回归方程为=-2x+a，则a=________.
9. 某次测量发现一组数据（xi，yi）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y1）因书写不清楚，只记得y1是[0，3]上的一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________.（残差=真实值-预测值）
10. 已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点. 在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|
11. 某网站针对“2016年法定节假日调休安排”展开的问卷调查，提出了A，B，C三种放假方案，调查结果如下：
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持A方案”的人中抽取了6人，求n的值；
（2）在“支持B方案”的人中，用分层抽样的方法抽取5人看作一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰好有1人在35岁以上（含35岁）的概率.
12. 某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人.
（1）求该班学生中“立定跳远”科目的成绩为A的人数；
（2）已知该班学生中恰有2人的两科成绩等级均为A，在至少有一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率.
变式训练参考答案与解析
1. B. 2. D. 3. A. 4. C. 5. D. 6. C. 7. C. 8. 60. 9. . 10. +. 11. （1）n=40；（2）. 12.（1）3；（2）.
1. 系统抽样的抽取间隔为=6，设抽到的最小编号为x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，解得x=3.
2. 根据茎叶图，得乙组的中位数是33，甲组的中位数也是33，即m=3，又甲=（27+39+33）=33，所以乙=（20+n+32+34+38）=33，解得n=8，所以=.
3. 分数低于112分的人对应的频率/组距为0.09，分数不低于120分的人数对应的频率/组距为0.05，故其人数为×0.05=10人.
12.（1）因为“铅球”科目的成绩等级为E的学生有8人，所以该班有8÷0.2=40人，所以该班学生中“立定跳远”科目的成绩等级为A的人数为40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.
一、调整教学内容
教学内容应该改变以往“重概率、轻统计”和“重运算技巧、轻数学思想”的传统教学思想，删减其中一些复杂的计算，加强统计中基本理论和基本数学方法的教学。减少概率论课时，加大统计内容，增加统计课时。
1.概率方面，古典概型概率、期望与方差等
内容在中学接触过，学生接受较快故可以弱化;减少概率论课时，将重点放在条件概率、乘积公式、全概率公式与贝叶斯公式上，加强随机变量的内容。
2.统计方面，突出“厚基础”“重应用”的特色，增加统计课时，强调假设检验和回归分析等原理的分析与实际应用，着重培养学生应用统计中的基本原理去解决实际问题的能力。
二、改进教学方法
概率论与数理统计是一门在解决实际问题的过程中发展起来的学科，概率论与数理统计的思想方法、原理、公式的引入，最能激发学生的兴趣，并印象深刻的是从贴近生活的问题及案例引入。教师在授课过程中可从每个概念的直观背景入手，精心选择一些跟我们的生活密切相关而又有趣的实例，从而激发学生的兴趣．调动他们学习的积极性和主动性。
1.概率论部分的教学。(1)概率论内容的学习中，学生一般不能很好地理解全概率公式与贝叶斯公式的原理。举例:某大学学生对概率论与数理统计课程的兴趣程度可分为四个层次:很感兴趣，较感兴趣，一般，没有兴趣。最近的一项调研统计表明此四个层次的学生数之比为:1∶3∶4∶2。而这在四类同学中该课程一次性能通过的可能性分别为:0．98，0．88，0．50，0．20。1)考试在即，在即将参加此门课程考试的学生中任抓一学生考察，试问该生此次考试该门课程一次性通过的可能性为多大?2)考试结束，阅卷老师发现某名学生顺利通过此次考试，试问该生对此课程兴趣层次是属于一般的可能性有多大?身边的例子激起了学生的兴趣，通过1)的解答很快让学生理解全概率公式，通过2)的分析让学生理解贝叶斯公式的原理。(2)大数定理的教学。大数定理是概率论中非常重要的定理，在教学中如果仅仅将定理的内容告诉学生，很多学生不能理解。讲课时举例子:在装有7白球与3黑球的盒子里任意抽取一个记下结果再放回去，当抽取白球时计1，抽到黑球时计0，不停地重复下去，就得到一组由1、0构成的数字，如一人抽取得到:10010111010111000101111111100000001010010111011000从数据中你看不出任何特征与规律，换一个人来重复这一试验，他也会得到这样一串由1、0构成的数据，同样杂乱无章，但结果与第一人的结果不同。虽然如此，当做的试验次数越来越多时，这一串串杂乱的数中1所占的比例随做的试验次数的增加愈来愈稳定到一个值上，这个值就是盒子内白球的比率7/10。比率的稳定性只有在数串长度足够大(实验的次数足够多)时才能表现出来，这就是大数定理这个名称的由来。历史上概率论方面重要的学者雅各布?伯努利证明了在一定条件下“当试验次数愈来愈大时，频率愈来愈接近于概率”，这个结论称为伯努利大数定理。此定理的意义在于对经验规律的合理性给出了一个理论上的解释。在现实生活中，很难甚至于不可能达到伯努利大数定理中的理想化条件，但大部分的情况下与之非常接近，因此伯努利证明的结论“基本上”能适应。
2．统计部分的教学。学生经常觉得统计部分的参数估计、假设检验、回归分析等内容杂、头绪乱。在教学过程中，可以引入案例，对每一个案例进行分析:(1)要解决什么问题?(2)有些什么方法，而这些方法的基本思想是什么?合理性?(3)运用这些方法解决问题的基本步骤是什么?(4)如何将这些方法运用于实际问题中?这样能使学生理清思路，从整体上把握统计的基本思想，如假设检验可以用食品生产线上的产品质量检验的案例分析;回归分析可以用资源评估的案例来分析等。
3.加强与其他学科的联系，提高学生运用能力。在教学中，通过一些实际案例将教学内容与学生所学的专业相结合，让他们运用统计方法解决一些专业上的统计分析问题，如对生物、食品专业的学生可以让他们将自己做的实验数据以统计的方法处理，对于海洋专业的学生可以让他们进行海洋环境数据分析;对于金融专业的学生，可以让他们了解一些基于概率论与数理统计的经济与管理模型。让学生真正感到学有所用，不仅可以提高学生的学习兴趣，又可以在实际应用中掌握概率论与数理统计基础知识，学会运用这些知识解决实际问题，一改“授之以鱼”为“授之以渔”。
概率统计的社会科学理念已经渗透到生产管理、技术革新、工艺改造等各个方面。概率统计是研究大量随机现象规律性的一门科学，对其它各学科的发展都有不同程度的影响。提高人们的概率统计社会科学理念已成为国家工业发展、经济发展的方向之一。我国2010-2020年的《中长期教育改革和发展规划纲要》把提高公众科学素质，培养创新人才放在了重要的位置（陈来成、徐燏，2012：55）。概率统计社会科学理念是科学发展中的重要组成部分，而高职理工科人才科学素质的培养离不开概率统计科学理念。因此培养高职理工科人才，提高其概率统计的社会科学理念是国家的需要。概率统计的社会科学理念包涵了活跃的思维意识、严谨的逻辑思考方式和对自然规律的解释，是高职理工科学生的专业基础课，该理念的培养是高职理工科学生基础知识的要求、专业的需求以及社会的需求。
（1）高职理工人才基础知识的要求不同层次理工科学生的培养对其基础知识的掌握有不同的要求：本科阶段的理工科基础知识偏重于理论的研究，为学生进一步深造打下科学基础；高职阶段的理工科基础知识则侧重于基本理论和对相关技术的应用。概率统计知识是高职阶段理工科基础知识的重要组成部分。高职理工科的基础课程有高等数学（数学分析）、线性代数（高等代数）、工程图学（机械制图）、大学物理学、概率论与数理统计等，数学类课程在其中占据了极其重要的比例。其中，概率统计类课程通常为48或51个课时。众多高职理工类专业都开设有概率统计类课程，如电子信息、环境科学、专业建筑学、城市规划、土木工程、建筑环境与设备工程、给水排水工程等专业。由此可见，概率统计社会科学理念的培养是高职理工科学生基础知识的要求。
（2）高职理工人才的专业需求高职理工科很注重培养学生的专业实践能力和动手能力，概率统计社会科学理念有助于增强这方面的能力。在制造类工业生产方面，人们常运用参数估计与假设检验等概率统计的科学知识解决生产中的实际问题，例如常被用于进行矿砂样品的测定、机床加工精度的分析、轮胎耐磨性的检验、电子管平均寿命的测量等。在高职理工科的专业设置中，制造大类的专业布点占高职招生计划专业总数的百分之二十，远远地超过了电子、财经类等热门专业。因此，概率统计社会科学理念的培养将有助于优化高职生，尤其是理工类高职生的专业知识结构。
（3）高职理工科学生教育的社会需求我国高职教育是社会经济发展的产物，是为适应社会对生产第一线的技术人才的迫切需要而发展起来的（尹雨琴，2012:19）。高职理工科人才的培养更多地是面向社会的需求。根据全国高等学校教学研究中心的专家分析，理工科的人才培养有两类，高职的理工科人才培养属于第二类“从事各类应用性研究以及面向生产管理部门的应用型理科人才”（夏鲁惠，2006:6），其中“面向生产管理部门”就是要紧扣社会的需求。概率统计的科学知识常被运用于生产管理的各个环节，社会各生产管理部门通过对生产数据的收集、整理、描述和分析，以此在生产运作中做出合理的推断和预测，最终做出生产决策。此外，社会的各方面信息也离不开概率统计的科学知识。读懂国家统计局公布的中国国内生产总值、人均国内生产总值等数字，合理分析国家统计局对工农业总产值和劳动就业的调查报告，这些都离不开概率统计的科学知识。因此，概率统计社会科学理念的培养将有助于提高高职理工科学生的社会意识，应用意识，帮助他们完善自我，更好、更快地满足社会的需求。
二、高职理工科学生的培养方式探索
理清了培养的重要性，从教学和人才培养的意识上确立了概率统计社会科学理念的地位之后，探讨培养的方式方法显得尤为重要。结合上文提到的，概率统计社会科学理念的培养是高职理工科学生基础知识的要求，专业的需求以及社会的需求，本研究对高职理工科学生概率统计社会科学理念的培养方式做出三方面相应的分析：
（1）结合高职理工科学生基础知识的水平，降低概率统计社会科学理念的难度高职学生数学基础知识较弱，概率统计的课程学时少，按照51或48学时的授课计划计算，连概率的基本思想内容介绍都无法完成，加强统计方法在社会实践方面的应用更是空想。因此，针对高职理工科学生的培养方案必须考虑这些实际的教学现状和问题，结合高职理工科学生基础知识的水平，降低概率统计社会科学理念的难度。在培养高职理工科学生概率统计社会科学理念的过程中，首先，要掌握高职理工科学生的学习心理。高职高专入学分数较低，文化基础弱，对各门学科的学习信心不足，稍稍遇到困难就很容易退缩，接受概率统计的科学理念又需要一定的数学基础，所以在学习的初始，应先复习中学的概率统计知识，教学内容应该在高等教育和中学教育之间有良好的过度和衔接，帮助学生树立学习的自信心。其次，概率统计社会科学理念作为高职理工科基础学科知识的一部分也应重基础，减少大而且深的理论教学，多教授生产中能应用到的函数公式，尽量减少函数曲线的抽象性，以此减低概率统计科学知识的教授难度。此外，在培养过程当中，也要慎重选择教材和教学辅助材料，许多概率统计的教材是针对本科生编写的，内容全面，但具体的概率统计应用方式介绍不够突出，讲解过于学术，不适合高职高专的学生使用，令学生阅读教材时即对概率统计的科学知识望而生畏，因此，要降低概率统计课程的难度，首先要降低教材的难度。只有全面考虑高职高专理工科学生的基础知识结构特点，才能取得概率统计社会科学理念培养方面的突破。
（2）结合理工科专业知识，细化概率统计社会科学理念概率统计社会科学理念是一个很宽广的范围，包括概率论和统计学两个方面，其中有随机思想的理念、公理化系统的理念、数形结合的思维结构、统计推断的科学理念等等。这些概率统计社会科学理念的分类都是比较宽泛的，不利于专业针对性较强的高职理工科学生在学习中接受。概率统计社会科学理念作为高职理工科基础学科知识的一部分也应重基础、重应用，与具体的理工科专业知识相互结合。例如，对于电子信息专业的高职理工科学生，可以在理念培养的过程中适时引进基于概率统计论的网络技术。研究人员徐海湄、齐守青、卢显良和韩宏曾在2009年立项的国家973计划项目中研发一种新的基于概率统计论的P2P网络信任模型。该模型运用了最大似然估计、假设检验等方法，这种经典案例极好地结合了理工科的专业知识，同时又细化了宽泛的概率统计社会科学理念。再如，对于土木工程专业的高职理工科学生，也可在学科专业培养中渗透概率统计的科学思想。重庆大学土木工程学院、研究防灾减灾工程及防护工程的学者曹晖和林秀萍曾于2010年在理工科类的核心期刊《振动与冲击》中《结构损伤识别中噪声的模拟》。文中提到，可以用概率统计方法,借助统计量和假设检验方法确定土木工程结构的损伤判别临界值,并给出检验的判错概率。总而言之，概率统计社会科学理念的培养需要紧密结合高职理工类学生的学科专业知识，培养方向应具体化，概率统计社会科学理念要在相应专业的应用方面增加深度和广度。
（3）利用STS活动、结合社会实践，将概率统计社会科学理念具体化科学、技术和社会联合式教育活动是现今高职人才培养的重要教学活动之一，STS（ScienceTechnologyandSociety）是它的英文名称。这种教学活动形式以学生为主体，在培养学生的过程中强调走出课堂，走产学研相结合的道路，主张开展“校企合作”密切联系生产管理、实体操作第一线。STS模式的应用有利于提高学生运用概率统计社会科学理念解决实际问题的能力。概率统计的科学理念本身就与社会实践活动息息相关，STS注重科学和技术在社会实践中的应用，因此，通过STS教学活动，组织学生分组协作，亲身体验企业在理工科专业领域中的生产运作，然后进行相关的模拟练习，利用概率统计的相关知识解决模拟练习中出现的生产管理问题，以此促进学生的动手能力，拉近学生与社会生产生活的距离，将概率统计社会科学理念在社会实践中具体化。在培养过程中，教学部门还应组织相应的学科竞赛，指导并鼓励学生运用所学的概率统计科学知识提高自己的专业水平。将概率统计社会科学理念具体化需要全方位的教学活动的配合，这也是高职理工科人才概率统计社会科学理念的培养方式之一。
三、结论
【关键词】概率论；数理统计；教学
在我们的日常生活和工作中，有很多的不确定性现象，比如，抛掷一颗骰子出现的点数，射击选手一次射击的得分等，而这些现象大量重复之后又具有统计规律性，这就是我们《概率论与数理统计》课程研究的主要对象——随机现象.可以说，概率论与数理统计就是这样一门对各种随机现象进行深刻地探讨和研究，并在实际生活中具有广泛应用的学科.我国概率学家严加安院士曾写过一首《悟道诗》：
随机非随意，
概率破玄机.
无序隐有序，
统计解迷离.
可见，概率论与数理统计的教与学，具有重要的探讨价值.而本文就这门课程的课堂教学，介绍一些作者在教学实践中积累和感悟的教学方法.
一、培养学习兴趣
概率论与数理统计的研究对象，决定了这门课程会涉及很多生活中屡见不鲜却又非常有趣的现象.比如，抽签不分先后，大家中签的可能性是一样的，这就涉及等可能概型（又称古典概型）的基本事件发生概率相等这一特点.但是如果第一个抽签的人中签或者不中签，将结果如实告诉第二个抽签的人，第二人再抽签时的中签可能大小就发生了变化，这又涉及条件概率的概念.在教学中，恰当地利用这些事例，不仅可以巧妙地引入新的概念，还能培养学生发现问题和解决问题的能力.除此之外，还可以在课堂中穿插一些概率学家的生平趣事，比如，讲到伯努利实验，可以介绍了不起的伯努利家族中的数学家们；讲到正太分布（又称为高斯分布），可以讲述数学王子高斯的19岁解决正十七边形尺规作图的故事等等.这些人闻趣事，既可以活跃课堂气氛，又能很好地引发学生的学习兴趣.
二、概念、性质和应用的一脉相承
在概率论的教学中，我们发现学生对一些概念的掌握不是很准确，容易先入为主.比如，任意两个随机事件都可以求差事件，并不需要一个事件是另一个事件的子事件（若事件A发生，一定有事件B发生，则称事件A是事件B的子事件）.这就需要引导学生从差事件的定义出发：事件A与事件B的差事件，是指事件A发生但事件B不发生；用集合表示，它是由属于事件A但不属于事件B的样本点构成的集合.掌握了定义，才能准确把握和理解一个概念真正的概率含义.而不同的概念，又可能有类似的性质，比如，频率与概率，作为集合的函数，两者都具有非负性、规范性和有限可加性，因此，由频率的概念和性质，过渡到概率的概念和性质就更加容易理解.如果能纵向加深理解，横向进行比较，相信很多知识点的掌握都会轻松起来.在概念与性质之后，介绍一些有代表性的例题，展示相关知识的应用，也会起到事半功倍的效果.关于这一点，在本文的后面还会提及.
三、建立概率论与数理统计课程中的主要知识框架
在每堂课伊始，如果直接介绍新的知识，不太容易使学生对前后章节的内容建立联系.如果能利用几分钟或十几分钟，引导学生回顾前面的内容，既可以起到复习的作用，又能为新的知识做铺垫.就像一个讲故事的人，在讲新的一段之前，来一个前情回顾，就能使听众很容易掌握故事的发展趋势了.概率论部分，主要介绍一维和多维的随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定理及中心极限定理；数理统计部分主要介绍样本及抽样分布，参数估计和假设检验等内容.这些章节，自成一体又相互联系.每一堂课介绍的具体知识点，就像开放在整棵“概率论与数理统计”大树上的花朵，而这棵大树的枝干，就是每个章节的主题.在章节的结束，再简要地归纳总结主要内容，就会使整体和部分关联的庐山真面目清晰可见了.
四、讲练结合加固知识理解
每一门数学课的学习，都离不开习题的演练，概率论与数理统计也不例外.而且，在习题的解答过程中，一方面，可以检验相关概念和性质的掌握程度，加深对知识点的理解，另一方面，概率论与数理统计这门课程更多地涉及实际问题的分析和解决，也在习题的解答过程中，提高了数据分析和建模的能力.
五、知识延拓，初步科研探索
概率论与数理统计，作为理工科本科生的公共课，也为后续进行科学研究打下基础和提供工具.越来越多的学有余力的学生，不再满足于教材中有限的知识，一方面，他们渴望更深层次地学习随机过程和数据分析的相关知识，另一方面，又迫切地希望将概率论与数理统计作为工具在自己的专业领域内加以应用.在教学中，就需要教师给他们提供一个开放的平台，在更广泛地讨论和探索中，启发他们的兴趣，鼓励支持和引导他们走进科学研究的圣殿.
【参考文献】
[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2011.
[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计：第4版[M].北京：高等教育出版社，2008.
[3]塔巴克.概率论和统计学[M].北京：商务印书馆，2007.
一、弱化理论，加强实践教学
《概率论与数理统计》是一门注重理论的数学课程，在教学中让学生掌握基本理论是必要的，但在教学过程中也不能仅仅以此作为目标。那么，一方面，在教学中我们就要做到有取有舍，基本的定理和公式要讲清楚，而对于这些定理和公式的证明可以对学生降低要求，通过多举例子，多给实际案例，让学生学会使用这些公式和定理;另一方面，将一部分学时单独列为实践学时，目前数学软件在统计领域的使用非常广泛，比如常见的:Mtlab、SAS、SPSS等，在教学中将理论与相关数学软件相结合，进行上机教学。让学生通过实践认识到本门学科在实际中如何应用，也让学生能够掌握一到两门数学软件的使用，方便他们今后专业学习。
二、结合专业，注重案例教学
在地质类专业中，很多实际问题都直接用到了《概率论与数理统计》中的内容，比如:区间估计、假设检验、参数估计等，都是在地质类专业教学中常用的数理统计方法。那么，我们在《概率论与数理统计》的课堂教学中就可以有的放矢地将地质类学科中的案例与数理统计中的这些方法相结合，把地质学中的实际问题当作例子在《概率论与数理统计》课堂中进行讲解，地质类专业的案例在很多时候就是在具备专业背景下的统计学的应用，用这类问题来替换课本上枯燥的数学例子，一方面可以增强课堂的趣味性，提高学生的学习兴趣和积极性，另一方面也为将来学生在专业课中使用概率论与数理统计知识打下基础，帮助学生顺利地完成从基础课到专业课的自然过渡。
三、将数学建模的思想融入日常教学中
《概率论与数理统计》是大学数学课程中应用性最强的一门，也是数学建模的基础课程。在地质类学科中《概率论与数理统计》的应用实质上就是利用《概率论与数理统计》的知识结合地质专业背景建立数学模型，然后对数学模型的结果在专业背景下进行解读，所以学生在后续地质类专业课学习中用到的就是利用数学知识建立数学模型，那么，我们在《概率论与数理统计》教学过程中融入数学建模的思想，首先可以让学生建立应用型的思维模式，方便专业课的学习;其次利用讲解数学建模思想的过程可以更好地让学生理解《概率论与数理统计》的基本理论和方法，更扎实地掌握如何应用这些基本理论和方法，使学生达到学以致用的境界。概率论与数理统计是一门重要的数学基础课，根据概率论与数理统计课程的特，通过以上几点思考并根据日常教学，为地质类高校的该学科教学提供有益的借鉴，即最终也将服务于日常教学，笔者相信通过我们教师对教学方法、教学思维的不断改进，《概率论与数理统计》必将成为服务学生专业发展，助力学生奔向更高层次的基石。
作者:陈帆 单位:长江大学工程技术学院
一、以生活实例激发学习兴趣
概率论与数理统计这门课是研究随机现象的统计规律性的数学课程，推理严谨，有其自身的特点，应突出概率论与数理统计中的随机方法和统计方法，使学生们建立统计思想。在概率论与数理统计的开始阶段，应先介绍一下它的起源、发展及现状，讲述这一方向的数学大家的奇闻趣事，并结合身边的实例来激发学生学习的兴趣。例如可以介绍下面的例子：某大型超市开展促销活动宣传某个品牌的洗发水，活动的规则为一个小箱中装有大小相同的黑白两种颜色各10个围棋子，一个白色棋子代表10分，一个黑色棋子代表5分，从中摸出10个棋子，计算这10个棋子所代表的分数之和即为中奖的分数，中奖规则如下：一等奖：100分，价值5000元的液晶电视一台；二等奖：50分，价值3000元的冰箱一台；三等奖：95分，所宣传的某品牌的价值98元的特级洗发水一瓶；四等奖：55分，所宣传的某品牌的价值78元的一级洗发水一瓶；五等奖：60分，所宣传的某品牌的价值58元的二级洗发水一瓶；六等奖：65分，所宣传的某品牌的价值38元的护发素一瓶；七等奖：70分，价值18元的牙具一套；八等奖：85分，价值5元的香皂一块；九等奖：75分与80分为优惠奖，收成本费18元的所宣传的某品牌的去屑洗发水一瓶。这个促销活动从表面上看一等奖到八等奖是免费的，九等奖是收费的，那这样做商家不会赔本吗？给学生们一些思考时间，从第一章中的古典概率的角度来分析这个问题。实际上商家这样做不会亏本，先来看看这些奖项的中奖概率。一等奖就意味着所抽出的棋子全是白色，其中奖概率为；二等奖就意味着所抽出的棋子全是黑色，其中奖概率为，依次类推获奖概率随着等级递增而递增。前面的大奖都是小概率事件，基本上是不可能发生的，而后面几个奖项发生的概率是较大的，这样做就使得商家既做了品牌推广又不至于赔本。在解决这个问题的整个过程中，不仅可以使学生们去思考求解的方法，又可以使他们体会到概率论与数理统计与实际生活的贴近关系，从而消除他们对这门课程的畏惧感，激发他们的学习兴趣，提高解决实际问题的能力。
二、培养统计思维能力
在学习概率论与数理统计课程的过程中，要使学生们建立统计思维，努力培养他们的统计思维能力。学生们之前学习的课程，如数学分析等主要运用的是传统的形象思维和逻辑思维，而统计思维有别于这两种思维方式。那什么是统计思维呢？统计思维的定义是人们自觉地用数字对客观事物的数量特征和发展规律进行描述、分析、判断和推理的思维方式。它是较形象思维和逻辑思维更为复杂的一种思维方式，属于创造性思维。统计思维应具有三个本质特点：第一，数量性。统计与数字密不可分，要想掌握统计思维，就要有数量的概念，会用数字来分析和揭示社会经济现象的本质，而形象思维中的数字仅仅起到表征的作用，逻辑思维中的数字只是用于计算。第二，容错性。概率论与数理统计是一门容错的学科，其理论依据、方法手段、思维形式在许多情况下不是为了需求不变的或准确无误的结论，而是要从数字中抽象出社会现象的本质特点。社会现象又是在不断变化的，许多社会规律也不具有可复制性，带有容错的统计思维能够解释和分析形象思维和逻辑思维所不能解释的社会现象，允许现实结果与预期目标存在适度的偏离。第三，逆向性。从问题的反面深入地进行探索这就是逆向思维的特性，统计思维就具有这一特性。这是由于当收集的数据不完备，或分析模型的理论假设不合理，或进行统计推断后拒绝了原假设，都要回查导致问题出现的原因是什么，这也是统计思维的核心所在。正是由于统计思维所具有的逆向性，就使得统计思维树立新思想，创立新形象。统计思维能力不是与生俱来的，只有具备一定的专业基础知识，经过一段时间的专门思维训练才可以得到。如何培养统计思维能力呢？一般而言应从培养以下三种能力着手：第一，培养观察力。所谓的“观察”是指在不进行任何人为干预的条件下，将所发生的社会现象及其过程客观地记录下来。统计思维过程是从发现问题开始的，观察力的强弱是统计思维的关键。多次观测法也是统计中一种常见的重要的观察法，就是为了把握某一确定现象的特性而对该现象进行多次观测的方法。应有意识有目的地培养学生在多次观测中发现问题的能力，例如看国家统计局官方网站的统计数据或证券交易数据等，让课堂的教学与实际的社会现实加以结合，增强学生们的观察力。第二，培养抽象能力。抽象能力是认识复杂现象过程的一种思维能力，由于社会现象大多是随机概率过程，传统的逻辑思维中的抽象已经不再适用于带随机性的社会现象。而统计思维中的抽象是以数字为工具，通过比较、分类等方法，可以从数据的特征、数量的规律中揭示社会现象的随机本质，所以培养学生们的统计思维的抽象能力是很重要的。第三，培养融通能力。统计是一种获取信息的手段和工具，其目的是解决社会的一些实际问题。而在概率论与数理统计课程的教学重点是灌输统计的基本知识和推导常见的公式模型，对于统计的数据的利用也只是停留在计算简单的指标上，这就导致了学生们知识面窄，融通能力差，综合分析问题的能力低下。要培养学生们的融通能力，就要改变这种狭义的统计观，强化统计的寄生性，扩大学生的知识面，采用案例分析等方法增加相关领域的相关知识的传授。
三、改革教学方法和手段
在概率论与数理统计课程的教学过程中，应摒弃以理论教学为主的教学理念，充分利用网络技术和资源，积极探索教学改革的新方法，优化教学改革的手段，以适应学生和社会的新需要。首先，自主建设概率论与数理统计课程的网页，设计相关的知识和参考资料的链接，定期更新最新的概率和统计方面的发展和动态。其次，课程主页、电子邮件等网络手段将课堂讲授的知识延拓到课外，可以布置一些电子作业，把课堂上的面对面教学扩展到网络领域中去。再次，加强统计软件的教学，通过课堂和网络，介绍一些应用统计软件，例如EXCEL、SPSS、R、MATLAB等，在概率论与数理统计课程的网页主页上导入相关视频的链接，布置一些实际统计案例的分析课后题，有意识有目的地引导学生们运用应用统计软件解决问题。最后，如果条件允许的话，鼓励学生亲自参加二手统计资料的搜集，使其更能深刻地体会到这门课程的重要性。五、结束语概率论与数理统计这门课是处处体现随机性的学科，它有别于其它确定性数学，在教与学时除了采用上述的教学改革方法外，还要注意其与一般确定性数学的思想方法上的区别。
作者：华志强单位：内蒙古民族大学数学学院
论文摘要:从教学内容、教学安排、教学形式、以及对该课程的考核方法等方面对《概率论与数理统计》的教学进行了研究和探讨。
《概率论与数理统计》是研究随机现象客观规律的一门学科，是全国高等院校数学以及各工科专业的一门重要的基础课程，也是全国硕士研究生入学数学考试的一个重要组成部分。该课程处理问题的思想方法与学生已学过的其他数学课程有很大的差异，因而学生学起来感到难以掌握。大多数学生感到基本概念难懂，易混淆、内容抽象复杂，难以理解、解题不得法、不善于利用所学的数学知识和数学方法分析解决实际问题。为此，笔者从教学安排、教学内容、教学形式和考核方法4个方面对《概率论与数理统计》的教学进行了研究和探讨。
1 教学内容和安排
《概率论与数理统计》的内容以及教师授课一般都存在着重理论轻实践、重知识轻能力的倾向，缺少该课程本身的特色及特有的思想方法，课程的内容长期不变，课程设置简单，一般只局限于一套指定的教材。《概率论与数理统计》课程 内容主要包括 3大类 ：①理论知识 。也就是构成本学科理论体系的最基本 、最关键的知识，主要包括随机事件及其运算、条件概率、随机变量、数字特征、极限定理、抽样分布 、参数估计 、假设检验等理论知识，这些是学 习该课程必须要掌握的最重要 的理论知识。②思维方法 。指的是该学科研究的基本方法，主要包括不确定性分析、条件分析、公理推断、统计分析、相关分析 、方差分析与回归分析等方法 ，这些大多蕴涵在学科理论体系中，过去往往不被重视，但实际上对于学生知识的转化与整合具有十分重要的作用。③应用方面。《概率论与数理统计》在社会生活各个领域应用十分广泛，有大量的成功实例 。
因此，在课程设置上，不能只局限于一套指定的教材，应该在一个统一 的教学基本要求 的基础上 ，教材建设应向着一纲多本和立体化建设的方向发展 。在教学进度表中应明确规定该 门课程的讲授时数 、实验时数、讨论时数、自学时数 (在以前基础上适 当增加学时数)，这样分配教学时间，旨在突 出学生的主体地位，促使学生主动参与，积极思考。
2 教学形式
1)开设数学实验课教学时可以采用 以下几个实验 ：在校门 口，观察每 30s钟通过汽车的数量，检验其是否服从 Poisson分布；统计每学期各课程考试成绩，看是否符合正态分布，并标准化而后排 出名次；调查某个院里的同学每月生活费用的分布情况 ，给出一定置信水平的置信区间；随机数的生成等等。通过开设实验课 ，可以使学生深刻理解数学的本质和原貌 ，体味生活中的数学 ，增强学生兴趣 ，培养学生的实际操作能力和应用能力。
2)引进 多媒体教学多媒体教学与传统的教学法相比有着不可比拟的优势。一方面，多媒体的动画演示 ，生动形象，可以将一些抽象的内容直观地反映出来，使学生更容易理解，同时增强了教学趣味性。如在学习正态分布时，可以指导学生运用 Matlab软件编写程序，在图形窗 口观察正态分布的概率密度函数和概率分布函数随参数变化的规律 ，从而得出正态分布的性质。另一方面，由于概率统计例题字数较多，抄题很费时间。制作多媒体课件，教师有更多的精力对内容进行详细地分析和讲解，增加与学生的互动，增加课堂信息量。对于教材中的重点、难点、复习课 、习题课等都可制作成多媒体课件形式，配以适当的粉笔教学，这样既能延续一贯的听课方式，发挥教师的主导作用，又能充分体现学生的认知主体作用。比如在概率部分 ，把几个重要的离散型随机变量、连续型随机变量的分布率、概率密度、期望、方差等列成表格；在统计部分 ，将正态总体均值和方差的置信区间，假设检验问题的拒绝域列成表格形式，其中所涉及到的重要统计量的分布密度 函数用 图形表示 出来。这样，学生觉得一目了然，通过让学生先了解图形的特点，再结合分位数的有关知识，找出其中的规律，理解它们的含义及联系，加深了学生对概念的理解及方法的运用，以便更容易记住和求出置信 区间和假设检验问题的拒绝域。这样，不仅使学生对概念的理解更深刻、透彻，也培养了学生运用计算机解决实际问题的能力。
3)案例教学，重视理论联系实际 《概率论与数理统计》是从实际生产中产生的一门应用性学科，它来源于实际又服务于实际。因此，采取案例教学法，重视理论联系实际，可以使教学过程充满活力，学生在课堂上能接触到大量的实际问题，可以提高学生综合分析和解决实际问题的能力。如讲授随机现象时，用抛硬币、元件寿命、某时段内经过某路口的车辆数等例来说明它们所共同具有的特点；讲数学期望概念时，用常见的街头用随机摸球为例，提出如果多次重复地摸球，决定成败的关键是什么，它的规律性是什么等问题，然后再讲数学期望概念在产品检验及保险行业的应用，就能使学生真正理解数学期望的概念并能自觉运用到生活中去；又如讲授正态分布时，先举例说明正态分布在考试、教育评估、企业质量管理等方面的应用 ，然后结合概率密度图形讲正态分布的特点和性质，让同学们总结实际中什么样的现象可以用正态分布来描述 ，这样能使学生认识到正态分布的重要性及其应用的广泛性，从而提高学生的学习积极性，强化学生的应用意识。
另外，也可选择一些具有实际背景的典型的案例，例如概率与密码问题、敏感问题的调查、血液检验问题等等。通过对典型案例的处理，使学生经历较系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识和方法去解决实际问题。
3 考核方法
考试是一种教学评价手段。现在学生把考试本身当作追求的目标，而放弃了自身的发展愿望，出现了教学中“教”和“学”的目的似乎是为了“考”的奇怪现象。有些院校概率统计课程只有理论课，没有实验课，其考试形式是期末一张试卷定乾坤，虽然有平时成绩，主要以作业和考勤为主，占的比率比较小 (一般占2O)，并且学生的作业并不能真实地反映学生学习的好坏，使得教师无法真正地了解每个学生的学习情况，公平合理地给出平时成绩。而这种单一的闭卷考试也很难反映出学生的真实水平。
所以，我们首先要加强平时考查和考试，每次课后要留有作业、思考题，学完每一章后要安排小测验，在概率论部分学完后进行一次大测验 。其次注重科学研究，每个学生都要有平时论文，学期论文，以此来检查学生掌握知识情况和应用能力．此外还有实验成绩。最后是期末考试，以 A、B卷方式，采取闭卷形式进行考试。将这 4个方面给予适 当的权重，以均分作为学生该门课程的成绩。成绩不及格者．学习态度好的可以允许补考。否则予以重修。分数统计完后，对成绩分布情况进行分析，通过总体分布符合正态分布程度和方差大小判断班级的总体水平，并对每道题的得分情况进行分析，评价学生对每个知识点的掌握情况和运用能力，找出薄弱环节，以便对原教学计划进行调整和改进。总之，通过科学的考核评价和反馈，促进教学质黾不断改进和提高。
[参考文献]
概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律性的学科，是从研究必然问题到处理随机问题，其理论和方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门。由于它的广泛性应用，大多数高等院校都把它作为一门公共基础课。然而，许多学校对于该课程的教学存在以下问题。
1、概率统计课程教学内容变化不大，课程内容比较抽象，难以理解。
2、概率统计课程教学方法和教学手段落后。
3、概率统计课程考核方式单一。
4、在对知识的应用上存在较大的困难。
二、针对目前教学现状，我们对概率论与数理统计课程教学改革提出以下几点意见。
1、 教学内容改革措施
概率统计课程教学内容的改革要突出学生的主体地位，促使学生主动参与，积极思考。为了对学生直观的讲授该门课程相关的教学内容，特在该课程中按照章节实行模块化教学，以章节为单位，根据具体讲授的内容划分模块，具体模块划分见下表：
2、教学方法和教学手段的改革措施
培养学生对该学科学习的兴趣
概率统计知识体系复杂、严谨，导致许多学生觉得抽象、枯燥、无新鲜感，没有学习的兴趣。针对这种情况教师在讲授相关知识时候选择相关的史料来增强学生学习的兴趣。
采用启发式教学法
教师选一些来自现实生活的教学内容来讲授概率知识，例如，通过故障诊断、医疗专家系统等问题来引出贝叶斯公式，也通过大量独立的现象和重复独立的试验来介绍独立性和二项概率公式等等。像这种采用启发式教学可以更好地开阔学生的思维，发挥学生学习的主体性，有效地引导学生解决问题。
采用案例教学法
教师选择一些具有代表性的案例交给学生阅读、思考，引导学生运用所学的理论进行分析、讨论，以巩固知识，提高学生分析问题、解决问题的能力。如让学生运用古典概率公式解决"鞋子配对问题"、"生日巧合问题"、"问题"；运用统计估计与假设检验解决"先尝后买产品促销问题"、"吸烟与患癌症的相关性"；运用中心极限定理解决"保险公司盈利与亏损的问题"等等。
④开展第二课堂
从两方面入手，一方面教师引导学生利用课余时间定期组织活动，学习、讨论热点问题难点问题；另一方面教师将学生自主实验纳入该课程的教学活动中，根据不同章节涉及的知识，以课外作业的方式吸引学生自由组队，让学生在课余时间通过实验发现某些偶然性背后所隐藏的必然性，从直观背景中了解某些理论的产生过程，可以使学生深刻理解数学的本质和原貌 ，体味生活中的数学 ，增强学生兴趣 ，培养学生的实际操作能力和应用能力。比如对于讲过的 Poisson分布 可以让学生课余时在校门口，观察每 30s钟通过汽车的数量，检验其是否服从 Poisson分布；而对于已讲授的正态分布，可以让学生统计每学期各课程考试的成绩，看是否符合正态分布，并标准化而后排出名次等等，这样做能有效培养学生独立思考和独立解决问题的习惯，激发学生的学习兴趣，加深他们对理论知识的学习和理解，拓宽知识面，提高学习效果，培养学习兴趣等都会起到重要作用。通过数学实验，发现生活中的统计规律，提高学生学习兴趣，并以小组方式上交实验报告，作为学生平时成绩的一部分。
⑤合理引进多媒体教学
多媒体的动画演示 ，生动形象，可以将一些抽象的内容直观地反映出来，使学生更容易理解，能够化静为动，寓教于乐，能使抽象问题形象化，增强教学趣味性，便于学生对知识点的理解和运用；能节约传统的板书时间，开阔知识面，增加信息量，提高学习效率等.例如借助多媒体可以对概率统计中的一些随机现象进行模拟.对诸如分布的性质、分布之间的关系可以用图形的方式进行演示.改变传统的口授、板书的方式，使题目中静止的内容运动起来，让学生充分观察是由静态到动态过程，增强学生的观察和分析能力。
⑥利用数学建模培养学生的应用能力
对于教学改革我们更应该注重实践性的教学环节，注意加强培养学生观察、分析和解决实际问题的能力。所以教师应该选择具有代表性的有关概率统计的应用案例指导学生去思考、讨论、解答，使学生充分认识到概率统计这门课的实用性，培养学生的实际操作能力及建模能力，鼓励学生通过建立相应的模型来解决一般性的问题。比如，让学生测量本年级男、女同学的身高，看是否符合正态分布；分析学习成绩与性别的关系；分析父亲的身高与儿子的身高有何关系；统计每学期各科考试成绩并标准化后排出名次；考虑传递系统效率问题等。
3、成绩考核改革措施
1结合专业特点，精心选择操作性强的典型案例，进行入门教学
概率统计理论性系统性强，对实践的要求很高，单靠理论推导是不够的。在概率统计课程第一节课的教学中，应该结合学生专业特点，通过典型具体的可操作的实例进行入门教学，学生在学习过程中不仅重视知识和技能，也要重视过程、方法、情感体验、态度、价值观、学习能力、创新精神和实践能力等[8]。例如在给计算机专业的学生上概率统计课时，可应用蚁群算法、遗传算法求解旅行商问题、登山队中的0-1背包问题等，在求解程序中添加算法搜索迭代进化过程的图形演示；又如提出问题：在钦州三娘湾，看见白海豚的可能性有多大？等等，启发学生积极思考，努力探索，初步体会概率统计的应用。运用具体的典型实例，使学生能切实感受到概率统计知识应用的鲜活情景。在教学过程中，教师寻找合适的切入点，通过创设概率统计知识的应用情景，使学生切身感受到所学知识的实际应用，激发学生强烈的学习兴趣，体现了“数学建模”、“数学实验”的教学思想，反映了“厚基础，宽口径，重应用”的教学理念。很多时候，学生对书本以外的与书本相关的知识很感兴趣，非常渴望了解许多前沿性的知识内容。通过案例分析，组织讨论，学生对算法的机理———概率选择、全概率公式、贝叶斯公式及其运用必定会产生浓厚的兴趣，产生进一步探究的强烈愿望。这样不仅可以将理论和实际联系起来，并且通过接触实际问题，提高学生综合分析问题和解决实际问题的能力，加深学生对教学内容综合性、应用性、技巧性和创意性的理解，体现“实践—认识(理论)—实践”的螺旋式上升的过程。
2深刻理解概率统计课程的重要性
概率统计知识与日常生活紧密相关，学生可以通过实践活动来体会概率统计知识的具体应用，感受概率统计知识与现实生活的密切联系，体验到概率统计知识在解决实际问题中的作用，获得学习数据处理的方法，对调动学生学习兴趣，培养学生动手能力，培养学生调查研究的习惯和实事求是的科学态度，提高学生合作交流能力和综合实践能力都有积极作用。然而由于课时不多，学生往往重视不够，教师在教学中应想方设法使学生重视概率统计知识，注意培养学生的应用意识和能力。信息时代人们面临着很多的机会和选择，往往需要在不确定的情境中，在大量无组织的数据中，做出合理的决策和选择。如：海洋水域预报，江河、海洋水位预测，天气预报，债卷的收益评估，股市风险，寿命期望预期，数据的归一化处理，相关性分析，方差分析等。概率统计在密码学、信息安全、自动控制、工程设计、管理、天文、气象、水文、地质、地震、农林、化工等领域有广泛的应用。各种保险、商品有奖销售、中奖等机会问题，已成为人们日常生活谈论的热门话题。由此可见，算法知识、概率统计知识的运用已经涉及社会生活的方方面面，与社会需求相适应，以培养符合社会需要的人才为目标的高等教育，应当对教学内容进行适当的调整，适当增加应用性的内容，以使学生更多树立应用的意识和习惯，提高学生运用所学的知识和方法分析处理发生在身边的各种事情的能力。
3运用计算机技术辅助教学，改进教学方式
概率统计是十分活跃的、有特色的数学分支，为计算机应用提供方法和素材，有利于拓展计算机技术的应用范围；同时，计算机技术的发展又促进概率统计的教学，计算机技术极大地延展了概率统计知识应用的深度和广度，计算机能够处理大量的信息，通过计算机网络搜集数据、绘制统计图表等。两者结合，能充分发挥各自的长处，相得益彰，体现了现代越来越多的人所接受的观点：高技术本质上是数学技术。让学生亲自参与各种活动和讨论，教师由知识和技能的传授者变为教学和学习活动的策划者、组织者、引导者和合作者，学生由被动接受知识和技能的角色转变为学习和实践活动的设计者、主持者、参与者和体验者。通过现代化教学手段，使教师的教学过程更加生动逼真，更加丰富多彩；增加教和学的信息量，使学生更主动地学习，促进教与学的良性互动，有利于学生的学习、理解和掌握。
4理论联系实际，学以致用，大力开展社会实践
学生掌握一定的知识后，给予学生学习相应的课程和社会实践机会。在概率统计教学过程中适当增加实践内容，培养学生应用所学的知识解决实际问题的意识和能力。对日常生活中遇到的随机现象，提出问题，让学生自己尝试做抽样试验，收集数据，用所学到的概率统计方法处理数据，并作出推断。通过亲身体验，使学生养成应用概率统计知识和计算机技术手段解决问题的意识和习惯，有助于教学目的的达成。
5结语
随着高等教育的发展，教学方法改革的不断深入，计算机技术的应用越来越广泛。利用数理统计案例教学，使学生掌握数学建模的思想，有助于他们对课程难点的理解。教师根据教学内容适时地提出一些实际问题，可以让学生尽早接触到前沿领域的科学知识，对培养学生创新精神和实践能力起到积极的作用，为社会培养更多的应用型人才。
作者：梁德赛单位：钦州学院数学与计算机科学学院
