时间：2023-05-29 17:45:31
在新课标中，推理包括“合情推理”与“演绎推理”。从已有的事实出发，经过严密地逻辑推理得出一系列定理和结论的推理称为演绎推理。从已有的事实出发，经过实验观察、分析比较、类比联想、归纳猜测的推理称为合情推理。
在教学活动中，我们要把合情推理与演绎推理相结合，通过观察、实验等合情推理获得数学猜想，然后寻求证据，由演绎推理给出证明或举出反例来验证结论的真伪，从而将两种推理有机地融合在数学教学活动中。
那么在实际教学活动中应如何实施呢？现举例如下。
例如：在华师大七年级下册9.1.3《三角形的三边关系》教学如下：
探究活动一：让学生进行合情推理，大胆猜想。
方法（1）：让学生先观察猜测、后用刻度尺测量三角形的三条边长度验证后得出结论。
方法（2）：把任意两边平移到一条直线上，然后与第三边比较长短。
方法（3）：用木条做各种形状的三角形、拆开进行比较、得出结论。
方法（4）：做三个大小、形状完全一样的三角形（后面要学的全等三角形）进行拼接验证。
可分别让不同的学习小组验证锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，先在小组内部合作、交流、探究，再展示小组的猜想，只要学生的猜想合理，教师就应该给予肯定。
探究活动二：让学生进行演绎推理，验证猜想的真伪。
教师可以举例实际生活中草坪“走叉路”的现象，让学生思考是人们故意践踏草坪，还是有其他想法？（目的是走近路）如何用数学解释呢？可能有学生会说出“两点之间线段最短”这一公理，这时教师要引导学生“如果把三角形的一边看成两顶点之间的线段，那么另两边看成这俩顶点之间的折线”，猜想的真伪就迎刃而解。
以上解题方法适合很多几何证明，如，三角形内角和定理、等腰三角形、等腰梯形、平行四边形等知识，推理方法可以类似上面的证明。
推理能力包含合情推理能力与演绎推理能力，其实在《高中数学课程标准》中，也提出了合情推理、演绎推理两个概念，因此从义务教育阶段开始，我们就要关注这两种能力的培养。
一、合情推理和演绎推理的含义及重要意义
实际上自从标准实验稿进入试验区之后，老师就开始重视合情推理了。合情推理，一般包括归纳和类比，演绎推理一般就是从基本事实出发，推出来一些定理，它们再作为推理的出发点，来进行论述。我们在判断一个命题是否正确的时候，首先运用合情推理的方法，包括直观、操作、猜测，然后得出假设。这些假设是否能成立呢？我们就需要用演绎推理的方式去进行证明。所以合情推理往往是一种发现的方法和手段，而演绎推理是一种证实的手段，它们相辅相成，共同完成对一个命题的认识。我们在生活当中，也用到很多的合情推理，如在统计当中，在代数当中，都用到很多合情推理。
美国有一位数学家和数学教育家叫波利亚，他写了这样一本著作叫《数学与猜想》，在这本书的序言中，他有这样一段话说得特别好，他说作为以后要想把数学作为自己终身职业的人，他应该学习演绎推理，因为这是这门学科的一个特点，当然他还要学习合情推理，因为这是使得他的研究工作能够得以进行的一种推理形式。如果你不是把数学作为自己终身职业的人，同样也要学习演绎推理，因为学习了演绎推理，你就获得了一种标准，这个标准就可以用来衡量日常生活中我们碰到的一些事情。更应该要学习合情推理，因为在他的日常的生活当中，方方面面都要用到合情推理。波利亚很辩证地把这两种推理形式，对于一个无论是以后做数学的人，还是不做数学的人，它的重要性都阐释得很充分。所以合情推理对于我们每个人都是很重要的。是不是合情推理这个词就是从波利亚的类比推理和归纳推理来的呢？是的，英文翻译过来可能就是合情推理，当然我们更多指的是类比和归纳，当然这里面还有其他直觉的、经验的成分，包括特殊化和一般化。总而言之，就是经过一些合情合理的一些判断，得到一个可能性的猜测，这样一个思维过程就是一个合情推理的过程。当然合情推理会有从特殊到一般，或者从一般到特殊等不同的思维形式。在以往我们的数学教育中，可能还是对演绎推理关注得多，但我们越来越认识到合情推理和人的创新意识与实践能力的培养，联系得非常密切，所以这次课程改革，在课程里面明确地提出来，要培养学生的合情推理能力。
二、培养学生的合情推理和演绎推理能力的策略
这个合情推理，在我们日常对人的发展过程中的作用是非常大的，不专门从事数学，可能很少有机会接触严格的演绎推理，但是合情推理它却要经常使用到。我们日常生活中的很多现象，其实往往都是由合情推理得来的，比如有这样一句谚语：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯。”你说这个生活经验和常识的积累，我们怎么用演绎的方法去证明呢，它就是由合情推理产生的，但是它却能够指导我们很多的生活实践。所以在日常的教学中，我们要让学生大胆地去发现、大胆地去归纳，大胆地去猜想。我们在课堂上通过动手操作，通过发现，通过灵机一动感悟到的东西，一定要大胆地说出来，敢于去猜，你才能迈出研究的第一步。这之后，再利用演绎的方法去从逻辑上去证明，也就有的放矢了。所以在咱们日常的教学过程当中，千万不要把合情推理作为演绎推理的一个简短的前奏，很快过渡到所谓的“主旋律”了。
合情推理的落实，跟老师自身对问题的设计也是很有关系的。如果我们只设计一些学生一看就很容易知道结论的问题，他就会觉得老师设计的这个合情推理环节很假，时间长了就对合情推理的环节提不起兴趣。如果我们能够设置好的问题情境，给他一个很开阔的空间，才能够感受到合情推理的价值和意义所在。比如说在学习三角形中位线定理时，我们可能遇到过这样的问题——画一个任意的四边形，连接这个四边形四边中点，得到了一个我们叫做中点四边形的图形。同样是这个素材，如果让学生求证这个中点四边形是一个平行四边形，很快就会过渡到演绎推理；可如果提出一个更开放性的问题：“同学们观察我们新得到的这个四边形你觉得它的形状有什么特点，可能是怎样的四边形呢？”那学生可能就要通过很多的手段——直观的观察、测量、猜想等一系列手段去思考，而这个问题又不像有一些问题那么肤浅，它确实有一定的思考空间，真得琢磨琢磨。只有通过观察、测量、想象，才会产生它可能是平行四边形的猜想，这个过程就显得更真实。有了这样一个过程，再提问：“为什么它是一个平行四边形？”通过连接对角线的辅助线，构造三角形的中位线，逐渐把这个问题证明了。当然这样的例子不止一个，我们应该更多地去挖掘。
其实在代数的学习当中也有类似的例子，例如，先观察下面算式：152-112=104，92-72=32，132-72=120……能不能自己也写一个跟它们有同样规律的算式呢？能不能用字母来表达刚才所呈现出规律呢？能不能证明刚才你所猜想的规律呢？实际上当这些算式共同的规律就是奇数的平方差，它们结果都是8的倍数。然后我们用字母2m+1和2n+1来表达这两个奇数，要做适当的变形，最后得出它含有8这个因数。这个问题是由一些特殊的例子得到的一些特殊的规律，尽管前要求学生再举几个例子，但都不能替代证明。
三、在数学教学中培养学生推理能力应遵循的原则
许多老师在平时的教学过程中可能有这样的体会——学生的推理能力一时半会儿培养不起来。所以在教学中千万别着急，一定要遵循循序渐进的原则。很多老师在七年级一接触几何就马上开始学演绎证明，但实际上我们走得太急了反而容易摔跤，因此推理能力的培养要有层次性，先让学生看到现象能够初步地说明道理，由此出发再慢慢地规范化、形式化，再变成证明，一点一点走可能会走得更扎实一点。所以我建议大家在平时的教学过程当中，把推理能力贯穿到每个领域、贯穿到每一节课当中，不能一蹴而就，得有耐心。
其实许多核心概念跟知识技能的学习不一样，一定要在一个过程中慢慢地去体会，慢慢地去渗透。所以老师如果试图将某种能力落实在一节课中，这就错了，有些能力并不是老师教出来的，实际上是学生通过不断地在解决问题的过程中慢慢感悟出来的，教师在教学中必须有耐心。
摘 要 随着教育改革的全面推进，新教材纠正了旧教材那种过分强调推理的严谨性，以及渲染逻辑推理的重要性，而是提出了新的观点“合理推理”是新教材的一大特色。本文就新形势下的初中数学教学中学生推理能力的培养做了探索。
关键词 初中数学 推理能力 培养
长期以来，中学数学教学一直强调教学的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学. 事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，如哥德巴赫猜想、费尔马大定理、四色问题等的发现. 其他学科的一些重大发现也是科学家通过合情推理、提出猜想、假说和假设，再经过演绎推理或实验得到的. 如牛顿通过苹果落地而产生灵感，经过合情推理，提出万有引力的猜想，后来通过库仑的纽秤实验证实. 海王星的发现更是合情推理的典范. 合情推理与演绎推理是相辅相成的. 波利亚等数学教育家认为，演绎推理是确定的，可靠的；合情推理则带有一定的风险性，而在数学中合情推理的应用与演绎推理一样广泛. 严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的. 因此，我们不仅要培养学生演绎推理能力，而且要培养学生合情推理能力.《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例.”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程. 合情推理的实质是“发现—猜想”，因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神. 当然，由合情推理得到的猜想，需要通过演绎推理给出证明或举出反例否定. 合情推理的条件与结论之间是以猜想与联想作为桥梁的，直觉思维是猜想与联想的思维基础. 培养学生善于合情推理的思维习惯是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质. 因此在数学教学中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，也要重视思维的直觉探索性和发现性，即应重视数学合情推理的合理性和必要性. 充分发挥课堂教学的作用，渐进而有序地培养数学合情推理能力，提高学生素质，促进学生健康、全面地发展。
数学家波利亚说过：数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论。用最终形式表示出来。像是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的摘 要 随着教育改革的全面推进，新教材纠正了旧教材那种过分强调推理的严谨性，以及渲染逻辑推理的重要性，而是提出了新的观点“合理推理”是新教材的一大特色。本文就新形势下的初中数学教学中学生推理能力的培养做了探索。
关键词 初中数学 推理能力 培养数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。那么什么是合情推理呢？它是由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式，合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出过能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟，灵感等思维形式。合理推理所得的结果是具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法，做出的探索性的判断。因而在平时的课堂教学中培养学生的合情推理是一个值得深思的课题。
转贴于 当今教育改革正在全面推进。培养学生的创新意识和创新能力是大家公认的新教改的宗旨。合情推理是培养创新能力的一种手段和过程。人们认为数学是一门纯粹的演绎科学，这难免太偏见了，忽视了合情推理。合情推理和演绎推理相辅互相成的。在证明一个定理之前，先得猜想。
发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先得不断检验，完善，修改所提出的猜想，还得推测证明的思路。合情推理的实质是：”发现到猜想”。牛顿早就说过；”没有大胆的猜想就没有伟大的发现。”著名的数学教育家波利亚早在1953 年就提出：”让我们教猜测吧？’先测后证一这是大多数的发现之道”。因此在数学学习中也要重思维的直觉探索性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养。数学中合情推理能力大致分为以下四个方面内容：一、恰当创设情境，引导学生观察合情推理并非盲目的、漫无边际的胡乱猜想. 它是以数学中某些已知事实为基础，通过选择恰当的材料创设情境，引导学生观察.Euler 曾说过：“数学这门科学，需要观察，还需要实验.”观察是人们认识客观世界的门户. 观察可以调动学生的各种感官，在已有知识的基础上产生联想，通过观察还可以减少猜想的盲目性. 同时观察力也是人的一种重要能力. 所以在教学中要给学生必要的时间和空间进行观察，培养良好的观察习惯，提高观察力，发展合理推理能力。
例如，把20，21，22，23，24，25 这六个数分别放在六个圆圈里，使这个三角形每边上的三个数之和相等。通过观察图形以及这六个数后，我们应该想到，较大的几个数或较小的几个数不能同时在三角形的某一边上，否则其和就会太大或太小，也就是说，可以把较小的三个数分别放在三个顶点上，再把三个较大的数放在相应的对边上。
二、精心设计实验，激发学生思维Gauss 曾提到过，他的许多定理都是靠实验、归纳法发现的，证明只是补充的手段. 在数学教学中，正确地恰到好处地应用数学实验，也是当前实施素质教育的需要. 著名的数学教育家George Polya 曾指出：“数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但是另一方面，在创造过程中的数学更像是一门实验性的归纳科学”，从这一点上讲，数学实验对激发学生的创新思维有着不可低估的作用。
三、仔细设计问题，激发学生猜想数学猜想是数学研究中合情的推理，是数学证明的前提. 只有对数学问题的猜想，才会激发学生解决问题的兴趣，启迪学生的创造思维，从而发现问题、解决问题. 数学猜想是在已有数学知识和数学事实的基础上，对未知量及其规律做出的似真判断，是科学假说在数学的体现，它一旦得到论证便上升为数学理论. 牛顿有一句名言：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”数学家通过“提出问题—分析问题—作出猜想—检验证明”，开拓新领域，创立新理论. 在中学数学教学中，许多命题的发现、性质的得出、思路的形成和方法的创造，都可以通过数学猜想而得到. 通过猜想不仅有利于学生牢固地掌握知识，也有利于培养他们的推理能力。
总之，数学教学中对学生进行合情推理能力的培养，对于我们教师，能提高教学效率，增加课堂教学的趣味性，优化教学条件，提升教学水平和业务水平。对于学生，它不但能使学生学到知识，会解决问题而且能使学掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法。
关键词：逻辑推理演绎归纳类比教学策略
逻辑推理是由一个或多个判断推出一个新判断的思维过程，作为人的一种重要认知方式，一直受到心理学和教育学的关注。逻辑推理的心理机制、发展时期、影响因素等是心理学研究的热点课题，而培养学生的逻辑推理能力是教育的重要目标。本文对逻辑推理的相关心理学研究做一些简介，并由此得出对中学数学教学的几点启示。
一、心理学对逻辑推理的一些研究
逻辑推理包括三种形式：演绎推理、归纳推理和类比推理。对逻辑推理的研究主要围绕这三种形式展开。
（一）学生逻辑推理的发展研究
有研究表明，学生的逻辑推理能力随年龄增长而持续发展，在小学阶段有初步表现，在初中和高中阶段达到成熟。
李丹等人对儿童假言推理（一般有两种形式：一是充分条件的假言推理，它是一个充分条件的假言判断，即“如果……则……”；二是必要条件的假言推理，它是一个必要条件的假言判断，即“只有……才……”）能力的发展特点进行了研究。研究显示，儿童假言推理能力从小学三年级到初中三年级随年级的升高而增长，小学三年级开始已有初步表现，在小学六年级到初中一年级期间有一个加速阶段。其增长速度和水平，一方面受年龄阶段和推理格式的影响，另一方面也因对不同命题具体内容的熟悉程度而有所差异。这是由于假言推理中事物的因果关系具有复杂性，而儿童的辩证思维尚未成熟所致。总体上看，假言推理能力的发展时间要比直言三段论推理能力推迟一年左右。
李国榕和胡竹菁对中学生直言三段论推理能力的现状进行了调查。结果发现，学生的直言三段论推理能力在初中阶段发展较快，且每升高一个年级，其推理能力都有明显的提高；高中各年级之间，学生的推理能力虽有差异，但不显著；而由初中升入高中，学生的推理能力会有一个飞跃。而且，男、女学生之间的推理能力无显著差异，但理科学生的推理能力高于文科学生。此外，中学生在进行直言三段论推理时，对不同格式推理能力的发展水平并不完全一致。
全国青少年心理研究协作组于1985年对全国23个省、市初一、初三和高二学生的逻辑推理能力做了测试，内容包括归纳推理和演绎推理（又分为直言推理、假言推理、选言推理、复合推理和连锁推理）两类，同时还测试了辩证推理能力。结果表明，初一学生就已具备各种推理能力；三个年级之间，推理能力发展水平和运用水平都存在显著差异。此外，凡是需要调动感性知识的试题，学生解答起来就容易；反之，则感到困难；其中，归纳推理依赖学生感性知识的程度比演绎推理更高。
黄煜烽等人在全国19个省、市不同类型的学校随机抽取初一、初三、高二学生17098名，开展归纳推理和演绎推理的测试。结果显示，进入中学以后，学生基本上掌握了逻辑推理的常用规律，其思维水平开始进入抽象逻辑思维占主导的阶段；在整个中学阶段，学生的推理能力随着年级的升高都在持续地发展，在初二阶段尤其迅速；在整个中学阶段，归纳推理能力的发展水平要高于演绎推理能力；在演绎推理能力中，学生的直言推理能力发展较好，而连锁推理能力发展较差。
方富熹等人采用口头测试的方式，考查9—15岁儿童充分条件的假言推理能力的发展。结果表明，大部分9岁（小学三年级）儿童的有关推理能力已经开始发展，但水平较低；大部分12岁（小学六年级）儿童的假言推理能力处于过渡阶段；大部分15歲（初中三年级）儿童的假言推理能力达到成熟水平。在之后的进一步研究中，他们又发现，12岁儿童对充分条件假言推理有关规则的掌握，取决于他们形式运演思维的发展水平。
林崇德教授将中学生的论证推理能力分为四级水平（也可以看作四个发展阶段）：直接推理、间接推理、迂回推理、综合性推理。研究发现，在正常的教育教学情况下，中学生的数学推理能力随年级升高而提升；初二和高二是推理能力发展的转折点，初二学生普遍能按照公式进行推理，高二学生的抽象综合推理能力则得到显著的发展。
（二）影响逻辑推理的因素研究
1.关于演绎推理。
张庆林等人的研究表明，在条件推理（利用条件性命题——通常为假言判断——进行的推理）中，推理的内容会影推理形式规则的运用，进而影响推理的过程和结果。这主要是由于日常生活经验会影响人们对具有实际生活意义的大前提的语义加工或心理表征，具体表现为对问题空间的影响；人们在不同的问题空间中进行分析和判断，就会得到不同的推理结论。这是一种直觉的推理形式。因此，人们在进行涉及日常生活的推理时往往会受到经验的影响。
胡竹菁和胡笑羽认为，推理行为是推理者在现有推理知识结构的基础上解决具有一定结构的推理题的心理加工结果。而演绎推理问题和推理者所掌握的有关推理的知识结构都由推理形式、推理内容两方面构成，进而基于形式和内容两种判定标准，提出了“推理题与推理知识双重结构模型”：推理行为会受到四个方面的影响，用公式表示为BR=f[IS（form），IS（content），KS（form），KS（content）]，其中BR代表推理行为，IS（form）代表试题形式结构，IS（content）代表试题内容结构，KS（form）代表推理者所掌握的形式知识结构，KS（content）代表推理者所掌握的内容知识结构。
Senk研究了中学生在几何证明中的演绎推理表现，发现如果学生证明过程的书写能力比较薄弱，会影响学生的推理能力。
Jansson通过访谈，研究了初中生在假言命题、选言命题、联言命题、否命题等不同逻辑形式任务上的发展及先后层次结构。研究显示，学生缺乏处理那些正式、真实、有趣的“暗示”的能力，且同一逻辑运算的不同语言形式会对逻辑推理产生影响。
Hoyles和Kuchemann考察了学生假言推理能力的发展，指出在特定的数学情境中，对“暗示”的理解是否到位和演绎推理能否成功之间存在某种联系。
根据演绎推理相关的认知与脑机制研究，左、右脑在演绎推理中的功能差异主要表现为言语系统和视空系统在演绎推理中的不同作用，而且这两种系统对几种演绎推理类型的影响可能是不同的。不同性质的内容在影响被试推理过程时，所激活的脑区域是有差异的，如推理内容具体或抽象、推理材料包含更多具有显著情绪特征或社会规则的内容、形式逻辑规则是否与个体信念冲突等。因此，个体的知识经验、信念偏向等对演绎推理也有一定的影响。
2.关于归纳推理。
多数研究证明，归纳推理受到前提项目多样性的强烈影响，材料类别与概念范畴、属性特征及其呈现方式、推理形式、知识经验等因素都会对归纳推理产生不同程度的影响。而近年来，许多研究开始关注归纳推理的心理效应。根据归纳论断中不同因素对个体做出归纳结论时把握性大小的影响，归纳推理的心理效应主要分为三种：类别效应、属性效应、交互效应。当前，关于类别效应中多样性效应的研究较为集中，即人们意识到前提更加多样的论断具有更大的归纳推理力度，从而在归纳推理过程中倾向于寻找差异更大的证据来支持将要得出的结论。有研究结果表明，在适合的条件下，儿童在归纳推理中能够表现出多样性效应。
根据一些前提类别具有某一特征而推测结论类别也具有这一特征时，要推测的特征叫作归纳特征，结论类别具有这一特征的可能性程度叫作归纳强度。目前，对基于类别的特征归纳的解释主要有相似性解释和知识解释两类。相似性解释认为，人们的归纳推理能力基于前提类别与结论类别的相似性，并随着这种相似性的增加而增强。
王墨耘和莫雷提出关联相似性模型，即描述人们根据归纳特征关联项的相似性来做归纳推理的抽象模型。这一模型将特征关联知识与相似性整合到一起，认为基于关联相似性的归纳推理包含三个环节：首先寻找与归纳特征相关联的特征（即关联特征），然后比较评估结论类别与前提类别在关联特征上的相似性（即关联相似性），最后根据这种关联相似性程度得出结论类别是否具有归纳特征和在多大程度上具有归纳特征。这一模型还认为归纳强度的大小可用公式来预测：归纳强度=关联特征与归纳特征的关联强度×关联特征的相似性程度（即关联相似性程度）。
王墨耘和高坡通过实验验证了，归纳强度与关联相似性、关联相似性变化的影响效果与关联强度、归纳信心与关联强度之间均为正相关。
3.关于类比推理。
类比推理与类比迁移有关。已有研究表明，12岁以下儿童的类比推理能力不足，是由于他们所掌握的概念知识有限（特别是相对于类比推理任务的难度），缺乏类比迁移的动机。
除了自身年龄特征、知识经验、信念之外，工作记忆也是类比推理的重要影响因素。工作记忆是一种对信息进行暂时性加工和储存的能量有限的记忆系统，由语音回路、视空间模板和中央执行器三个部分组成。其中，语音回路负责以语音为基础的信息的储存和控制，它分为语音储存系统和发音复述系统两个部分；视空间模板主要负责处理视觉空间信息，它包含视觉元素（与颜色、形状有关）和空间元素（与位置有关）；中央执行器负责各个子系统之间以及它们与长时记忆之间的联系，也负责主要资源的协调和策略的选择与计划。
唐慧琳和刘昌采用双因素实验设计，发现工作记忆是影响类比推理的重要因素：在图形类比推理中，主要有视空间模板中的空间成分、语音回路中的发音成分以及中央执行器的参与；而在言语类比推理中，则是视空间模板中的空间成分起主要作用。
此外，王亚南和刘昌通过数字推理测验，探讨了数字推理能力发展的心理机制，发现加工速度和工作记忆在数字推理能力的发展过程中都发挥着重要的作用，且工作记忆的作用大于加工速度；推测加工速度可能是年龄与工作记忆的中介，仅对工作记忆的发展起一种直接调节作用，而工作记忆可能对数字推理能力的发展起直接调节作用。
问题之间的相似性能够影响类比检索的过程，因而对类比推理也有重要影响：相似度越高，越能促进类比迁移。问题之间的相似性包括抽象原则、问题内容、实验环境三个方面。其中，抽象原則在正规问题中指公式，在无法定义的问题中指图式和深层结构；问题内容主要包括语义领域和表面元素两个方面；实验环境则包括实验过程中的背景、实验者和实验程序等。
二、对中学数学教学的启示
（一）关注发展关键时期，加强逻辑推理训练
逻辑推理的相关研究表明，中学生的数学推理能力随年级升高而提升；初二和高二是推理能力发展的转折点（关键期）；假言推理能力在小学三年级到初中三年级之间随年级的增长而增长，在小学三年级已有初步表现，在小学六年级到初中一年级之间有一个加速阶段，在初中二年级普遍接近成熟水平；总体归纳推理能力的迅速发展在初一到初三阶段，演绎推理能力的迅速发展在初三到高二阶段。这些研究结论对数学教学的直接启示是，要关注学生逻辑推理能力发展的关键期，在关键期内加强对学生的逻辑推理训练。因为，如果错过了关键期，再要培养学生的逻辑推理能力，可能会事倍功半。
在小学阶段，数学学习的主要内容是理解运算法则，依据法则进行运算。这是典型的演绎推理，但是，依据的法则往往是单一的，而且推理的步骤很少。这符合小学生的认知规律。到了初中阶段，平面几何的证明成为数学学习的重要内容。虽然也是演绎推理，但与小学阶段有了明显的不同：依据的法则、定理较多，选用难度较大，同时，推理的步骤明显增多。如果初中生不能适应这种变化，也就是逻辑推理能力的增长没有与学习内容复杂程度的增加同步，就会造成学习困难——实践表明，初中往往是学生数学成绩分化的起始时期。因此，在这一逻辑推理能力发展的关键期开展有针对性的训练十分必要。
第一，保证一定量的推理练习。量变引起质变，这是一个简单的哲学原理。没有量的积累，何来质的改变？学习数学必须做一定量的题，这是一个硬道理。当然，一定量的推理练习并不意味着“题海训练”，可以理解为“题海训练”量的下限。也就是说，如果一个学生的推理训练达到了一定的量，那么他的逻辑推理能力就能实现质的提升。对“一定量的推理练习”的理解，还要注意这样两个问题。其一，量（的下限）不是一个统一的标准。不同学习能力的学生需要的训练量是有差异的：学习能力强的学生训练量可能小一些，学习能力弱的学生训练量可能大一些。其二，量与质是相关的。一个基本的观点是，一道高质量题目的训练功能强于几道低质量题目的训练功能。例如，让学生做一道有理数的四则混合运算题目，其逻辑推理训练功能明显强于让学生反复做几道同一类型的有理数加法运算题目。这两个问题正是教师在教学实践中需要研究的：如何针对不同学生的实际水平确定训练量的标准？如何编制高质量的逻辑推理训练题？
第二，协调发展多种推理形式。演绎推理、归纳推理、类比推理之间有一定的相关性，但更具有相对独立的特质。也就是说，不能指望通过一种推理能力的训练来带动其他推理能力的发展，专门的训练是必要的。
例1老师在黑板上写出了三个算式：52-32=8×2、92-72=8×4、152-32=8×27。王华接着写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12、152-72=8×22。
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出上述算式反映的规律；
（3）证明这个规律的正确性。
本题题干分两次给出5个算式，启发学生在观察、认识的基础上，初步猜想。第（1）问引导学生举出一些例子（如112-92=8×5、132-112=8×6等），从而验证猜想。第（2）问引导学生将发现的规律做一般化描述：任意两个奇数的平方差等于8的倍数。第（3）问则要求学生给出形式化的数学证明。前两问都属于合情推理，最后一问则属于演绎推理。本题的解答过程中，既包含了对已知条件的观察、分析和类比，又包含了对规律的探索、归纳及证明，为学生进行合情推理和演绎推理提供了可能，能较为全面地培养学生的逻辑推理能力。
此外，本题条件还可以进一步简化，即不给出算式的结果，而让学生先自行计算52-32、92-72、152-32，再尝试寻找规律，从而给学生更大的探索空间。
第三，协调运用演绎推理方法。在演绎推理中，综合法和分析法是两种常用的证明方法。分析以综合为目的，综合又以分析为基础，二者互相渗透、互相依存。训练中，应当注意兼顾两种方法。
例2已知ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，求证：BC=1/2AB。
本题需要证明的结论是，一条线段的长度等于另一条线段长度的一半。教师可适当提示学生有两种证明思路：第一种是延长BC至原来长度的两倍，再证明其等于AB；第二种是缩短AB至原来长度的一半，再证明其等于BC。
针对第一种证明思路，可延长BC到点D，使得CD=BC（见图1），此时只需要证明BD=AB。教师可进一步提问学生如何证明，启发学生寻找BD与AB之间的关系，作出辅助线AD，使得问题进一步转化为证明ABD为等腰三角形。针对这一命题，学生很容易判断出可利用三角形全等来证明。至此，教师带领学生通过分析法得到了证明思路，学生也能较为顺利地写出证明过程。
针对第二种证明思路，可取AB的中点D（见图2），此时只需要证明AD=BC或BD=BC。教师可让学生自己尝试采用综合法证明：连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出CD=AD=BD，再由∠B=60°，得到BDC是等邊三角形，进而得出结论。
（二）适当揭示逻辑规则，固化演绎推理思维
形式逻辑有专门的知识。在中学数学教学中，这些知识通常不是系统地讲授给学生的，而是学生通过数学知识的学习潜移默化地掌握的。但是，对有些逻辑知识，有必要做适当的介绍，以帮助学生形成清晰的思路，固化“言必有据”的演绎推理思维。
例如，判断的四种形式是全称肯定、全称否定、特称肯定、特称否定。学生必须理解它们之间的关系，否则，在推理时容易出现错误。
再如，直言三段论由大前提、小前提和结论组成，有四“格”，其中，第一格如下页图3所示（大前提必须是全称的，小前提必须是肯定的），第二、三、四格稍微复杂一些。中学数学中的演绎推理几乎都采用直言三段论的第一格。因此，学生必须理解清楚这个规则，方能正确进行演绎推理。
在学习演绎推理的初级阶段，有必要对学生进行推理过程的补充理由训练。一种方式是写出全部推理过程，让学生填写每一步推理的依据；另一种方式是给出有一些空缺步骤的推理过程，让学生补全推理过程，并写明理由。许多研究表明，这是行之有效的推理训练方式。
例3如图4，点E在四边形ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，求证：BCE≌ADF。
本题是一道常见的初中几何证明题，涉及平行线、平行四边形及全等三角形的有关知识，难度适中。教师可以让学生独立思考并给出证明，同时在每个步骤之后写清理由，如使用的定理、性质等，从而帮助学生理解其中的逻辑关系。在这一过程中，教师还要关注数学语言表述的准确性、严谨性、规范性，及时纠正学生出现的错误。
（三）设置合情推理情境，培养归纳类比能力
合情推理的实质是“发现—猜想—证明”。教学中，教师应根据学生的特点，充分挖掘教学资源，灵活创设合情推理情境，充分展现推理思维过程，培养学生的归纳和类比能力。
第一，情境要具有探究性。归纳和类比是探究中常用的推理；反过来说，只有通过探究活动，才能培养学生的归纳和类比能力。探究活动中，要完成的目标（要证明的结论）应该是不明确的，需要通过合情推理来发现。教师可以通过提问，启发学生思考，引导学生探究；通过设计问题链，引导学生逐步深入，完成目标。
例如，“余弦定理”的教学大多采用演绎推理的方式，利用向量法或几何法推导出余弦定理，但这种做法容易造成合情推理能力培养的缺失。对此，可采用“先猜后证”的方式，让学生先利用合情推理进行探究，再利用演绎推理加以证明，从而体现合情推理能力和演绎推理能力的共同发展。
具体地，可以从类比推理的角度设计。通过勾股定理的复习引入，然后提出下列问题：（1）勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系，那么一般三角形的三边是否有类似的关系呢？（2）勾股定理中的三边关系有何特点？直角三角形和任意三角形有何关系？（3）请同学们观察等式中的“abcosC”，我们以前似乎研究过这个量，它还可以怎样表示？（4）如果把这个式子中的量都用向量表示，应该是什么形式？（5）你能证明这个式子吗？（6）还有其他证明方法吗？从而引导学生类比、分析勾股定理的形式，猜想、证明余弦定理的形式。
也可以从归纳推理的角度设计。引导学生先研究几种特殊三角形的情形，再利用归纳推理的方法探究余弦定理。在这一过程中，将∠C为0°和180°的情况看作特例，更容易发现边长c与∠C的余弦函数之间存在一定的联系。
第二，情境要具有实验性。利用数学实验作为教学情境，能激发学生的学习兴趣，引导学生从中归纳出抽象的数学原理，培养归纳和类比能力。教师可以设计与教学内容有关的富有趣味性、启发性的数学实验，让学生在实验情境中探索规律，通过观察和操作提出猜想，再通过逻辑论证得到结论。
关键词：假说—演绎法；孟德尔豌豆杂交实验；科学方法
假说—演绎法是形成和构造科学理论的一种重要思维方法。它的基本特点是：在科学研究过程中，研究者在观察、实验的基础上，对所获得的事实材料进行加工制作，首先提出某种作为理论基本前提的假说来，然后以假说作为出发点，逻辑地演绎出可由经验检验的结论，构成一个理论系统。用这个理论系统解释和预见所研究的对象系统的各种现象，并用实验来进行检验和修正。图1为假说—演绎推理的逻辑关系。
图1假说—演绎推理的逻辑关系
近代科学到现代科学，以“观察（实验）—归纳”为主的方法逐渐让位给以假说—演绎为主的方法。假说—演绎法不仅仅是科学家进行科学研究的方法，也是学生认识客观事物，形成客观规律的重要的科学探究方法。假说—演绎法相对于观察—归纳法对于培养学生大胆想象的创新能力、严密的逻辑推理能力都有很好的作用。
一、假说—演绎法在高中生物新课程中的要求及体现
在《普通高中生物课程标准(实验)》的“课程设计思路”部分，阐述“遗传与进化”模块的教学价值时指出，该模块有助于学生领悟“假说演绎、建立模型等科学方法及其在科学研究中的应用”。在新课标中分为了解、理解、应用三个水平要求，其中属于应用水平的仅有两项，一项是“总结人类对遗传物质的探索过程”，另一项是“分析孟德尔遗传实验的科学方法”。在课程标准必修二模块的前言部分，还特别指出要让学生“体验科学家探索生物生殖、遗传和进化奥秘的过程”，可见引导学生体验科学的过程和方法，是必修二模块的重要任务之一。
必修二教材中涉及假说—演绎方法的内容还有：dna分子半保留复制方式的提出与证实（第52页，沃森和克里克提出遗传物质自我复制的假说，1958年科学家以大肠杆菌为实验材料，设计了一个巧妙的实验，证实了dna是以半保留的方式复制的），整个中心法则的提出与证实（第68—第69页）以及遗传密码的破译（第73—第75页）等内容。这些内容可以让学生体会，领悟其中蕴含的方法。同时在教材中，编者也设计了类似的练习题对学生进行训练。如教材第38页拓展题“……你怎样解释这种奇怪的现象？如何验证你的解释”，及第71页的技能训练——提出假说，得出结论“请针对出现残翅果蝇的原因提出假说，进行解释”，必修三教材第69页进一步探究“根据你对影响酵母菌种群数量增长的因素作出的推测，设计实验进行验证”等。
二、假说—演绎法的典型课例分析
孟德尔的豌豆杂交实验是高中生物学教学的经典内容。遗传因子分离导致性状分离这一命题，是孟德尔通过豌豆的一对相对性状的杂交实验，运用假说—演绎法，历经“提出问题—构建假说—验证假说—获得结论”建立起来的。因此，这一内容非常适合作为培养学生科学探究能力的素材。构建假说需要大胆设想，演绎推理需要缜密思维,验证假设则需要设计实验，寻求证据,进行论证。这一系列过程非常有利于训练学生的思维。下面以一对相对性状的分离实验为例（如图2），看看孟德尔在进行豌豆杂交实验过程中，以及提出基因的分离定律的过程中，是怎样体现假说—演绎法的。
本案例教学的难点，在于让学生理解孟德尔研究过程中的哪个步骤是演绎。学生看到的是，孟德尔提出假说后，就设计测交实验进行检验了，那么哪一步是演绎呢?事实上，测交实验所检验的不是假说本身，而是假说的推论。如果孟德尔要直接验证他的假说，只能用显微观察的方法，确定遗传因子的真实存在和遗传因子的传递方式，显然在当时这是不可能的。只能由假设演绎出一个必然的可证明的待检验陈述,即子一代如果是杂合体，则必然会产生两种数量相等的配子。那么如何最直观、最简单地证明这个推论呢？孟德尔非常巧妙地设计了测交方法，即将子一代与隐性亲本类型回交，这是因为隐性亲本性状不能遮盖显性性状，并能显出纯隐性性状，这样测交结果就能直接反映出子一代所产生的配子的类型和数目。如果测交结果能得到后代的性状分离比例是1：1的话，就证明了推论的正确性。这应该是孟德尔之所以采用测交试验的真正目的。孟德尔所做的测交实验结果与预期的结果完全相符，证明了推论的正确性，由此就得出被确证的结论，即分离定律。
三、在应用假说—演绎法时需注意的问题
（一）给学生更多思考的时间和空间
活跃的思维是课堂教学成功的保证，在再现孟德尔实验和思维的过程中，不仅有分析、推理、归纳、演绎，还有设计和想象等思维活动，教师要有足够的耐心，提出问题或由学生提出问题后，再引导学生分析，因此给学生足够的时间进行思考和讨论非常重要。
（二）引导学生进行合理推理而非主观臆断
在演绎推理这一环节中最好以问题“为什么孟德尔不是用f1代自交或用f1代与纯种高茎豌豆杂交来证明其假说，而是将f1代与矮茎豌豆进行测交呢”来引导学生思考，而非主观臆断地告诉学生，孟德尔当时就是这么想的，就是将f1代与纯隐性类型杂交，至于为什么这样做却没有进行分析。这种教学的结果是使学生失去了思考的动力，不进行分析和思考就被动接受，其后果是学生遇到检验某一生物个体是否是杂种的实际问题时，只会想到测交而不会根据实际情况进行分析判断，这是一种失败的教学。
四、假说—演绎法在科学发现中的应用与限制
回顾经典遗传学的历史就会发现，人们对基因和性状关系的认识，首先是从性状传递的规律变化提出合理的假说，然后再分析、演绎推理、实验验证，在“合理”和“不合理”的冲突中发现正确的结论。如孟德尔在不知道遗传因子为何物、在细胞何处的情况下，选取豌豆若干对相对性状进行杂交实验，对呈现的现象提出假说，合理演绎，实验验证，从而归纳得出两个遗传的基本规律。基于当时的情况，孟德尔的假说是合理的，可以演绎地说明其他类似的现象。如果联系到基因在染色体上的位置，就可以看出孟德尔假说的局限性，譬如孟德尔讲的颗粒式遗传、基因的独立自由问题。如摩尔根和他的合作者就是在觉得孟德尔遗传理论“不合理的”基础上，通过大量的果蝇杂交实验，发现连锁和交换定律。
劳伦斯·a·博兰是美国著名的经济学方法论家,《批判的经济学方法论》是他最具代表性的一部著作。博兰认为,批判具有十分重要的地位,科学的特点在于它强调批判,科学家非常欢迎批判,阻挠批判是非科学行为。在博兰的这部著作中特别强调批判,不仅书名有批判二字,而且书中很多章节的标题中也都有批判二字。在批判的过程中，逻辑的方法得以运用，但是其中的逻辑不一定都是正确的，这就需要加以批判，使其朝正确的方向前进。可见，逻辑的地位也是比较重要的。
一、概念理解
1、经济学方法论
它是应用逻辑的一个分支，“经济学方法论”这一名称的提出与二十世纪80年代的经济学方法论研究高潮相关,在那个黄金岁月里,经济学方法论学者们同样争论着我们今天所关注的问题,那就是,何谓经济学方法论。一个普遍流行的、且被马克·布劳格等著名经济学方法论学者所支持的观点是,“经济学方法论仅仅应该被理解为应用于经济学的科学哲学” 。而科学哲学有时也被称为科学方法论。于是人们把“应用于经济学的科学哲学（或者说应用于经济学的科学方法论）”简称为经济学方法论。这便是“经济学方法论”这一名称的由来。了解了经济学方法论的含义以后，有助于我们了解逻辑在其中的地位，也有利于我们对经济学中的逻辑与社会学中的逻辑进行比较。
2、逻辑
逻辑是人的一种抽象思维，是人通过概念、判断、推理和论证来理解和区分客观世界的思维过程。亚里士多德认为，逻辑乃是对真实的和有成效的论据的原理的研究，在研究时就需要找到既真实又有成效的逻辑论据。
要使论据合乎逻辑的唯一条件就是前提或假设的真实性与结论的真实性联系起来，必须要一致。如果你的论据是符合逻辑的，则要求你的结论也是真实的。
3、归纳法和演绎法
归纳法又称归纳推理，有时也叫归纳逻辑，是从个别性知识引出一般性知识的推理，是由已知真的前提，引出可能真的结论。
而演绎法是从普遍性结论或一般性事理推导出个别性结论的逻辑方法。它与归纳法正好是一个相反的过程。
4、归真推理法和归谬推理法
归真推理法是从假设到结论、向前“传递”真实性。它是一种根据假设命题的推理方式，按照该方式，如果前提被证实，则结论亦将被证实。例如，如果a是真实的，b将是真实的；但a是真实的；所以，b是真实的。
而归谬推理法是从结论到一项或多项假设、向后“传递”不真实性。在这两种推理的过程中，传递不是凭空的，假设和结论之间需要有一定的逻辑的存在，否则就是空谈。
二、归纳法、演绎法和归真推理法以及归谬推理法的异同
归纳与演绎是社会学研究中的逻辑与方法。归纳是从观察出发，通过资料的收集和分析，得到经验概括，然后通过对资料进行解释，归纳出理论与问题。而演绎是从理论出发，提出假设、猜想和推理得出研究假设，通过对假设操作化得出观察的结果。这两种方法是一个相反的过程。相同之处在于特殊情况下，理论和观察的结果可能是一致的。
而不同之处在于：归纳法认为只有经验知识才是原始的真正知识,科学知识和科学理论都是靠归纳法从观察的结果中得出的；演绎法则否认经验知识是科学知识的基础,因而也否认归纳方法和归纳逻辑,主张通过逻辑演绎从已有的知识推断出新的知识,把演绎推理作为获取知识、建立理论的唯一手段。这种争论也必然波及经济学领域,并一直伴随着它的产生和发展。
归真推理法和归谬推理法在经济学方法论中比较常用，这两种方法强调一个传递的过程，前提是假设和结论具有一致性。例如，归真推理法中的假设必须是真实的，而归谬推理法中的结论是不真实的。在传递的过程中，假设和结论之间要有一定的逻辑性，否则就是错误的，容易引起别人的怀疑和批判。
归纳法、演绎法以及归真推理法和归谬推理法这四种逻辑之间也有异同之处：归纳法和归真推理法也有相同之处：都有一个真实的前提，得出的结论也是真实的。不同之处在于：归纳法的结论是通过观察得出，而归真推理法是通过向前传递得到的。而演绎法和归谬推理法也有异同，相同之处在于都是从结论出发，得出前提；而不同之处在于演绎法中的结论是真实的，通过概念操作化，得出观察的结果，而归谬推理法中的结论是不真实的，在向后传递后，得出的假设也是不真实的。
可见，在逻辑学中，这四种方法不是截然分开，相互联系的。有时候在分析问题时，需要其中任意两种逻辑方法，而在特殊情况下，四种方法全部都能用得上，这需要具体问题具体分析而定。
举个例子来说：研究者在进行研究时，如果需要一种理论来支持自己的研究而又没有现成的理论可
转贴于
以用时，这时，研究者就需要通过对现实社会生活的观察来进行概括进而得到自己需要的理论，但是，这种理论是否正确和真实，还需要对该理论进行研究假设，在观察中得出理论的真实性。在这个例子中，运用了归纳法和演绎法的结合，归真推理法也有所体现。可见，这几种逻辑方法不是截然分开，是相互联系着的。
三、对这四种逻辑方法的思考
看过《批判的经济学方法论》之后，在经济学方法论史上，大多数经济学家的争论都集中在归纳方法和演绎方法孰优孰劣的问题上。虽然逻辑学产生很久了，但归纳与演绎问题的争论却是在培根创立他的“真正归纳法”之后，培根是归纳逻辑的奠基人，他认为，逻辑应该成为科学发明的工具，把逻辑和科学方法结合起来，创立了归纳逻辑，这对于后人研究方法论提供了新的视角，同时也引发了归纳与演绎各自作用和地位的争论，甚至产生了两个极端的派别：归纳主义和演绎主义。
经过长时间的争论，许多经济学家越来越认识到两种极端观点的错误,体会到在经济学研究中纯粹的归纳法和纯粹的演绎法都是不可能的，需要把两种方法结合起来，这样，在进行经济学方面的研究时，才能够比较顺利的进行。我的思考如下：
1、归纳法和演绎法的结合运用
在进行社会学研究时，归纳法和演绎法用的非常普遍，特别是在进行理论研究和经验研究。但是，在研究的过程中，运用这两种逻辑方法时也有不足之处，在《批判的经济学方法论》这本书有这样一个例子“豪斯曼认为的“好理论”并不是指“真实的理论”，因为他告诉我们，我们现在完全不能决定什么是真实性。因此，对他来说，关键问题是由明显不真实的假定构成的理论如何得到解释。在这个过程中，他利用了演绎—推理法则的模型，他必须不间断地关注“规律”或“规律性”的假设，也就是说演绎—推理的模型不能达到许多经济模型建立者所声称的真正目的。”转贴于
这说明了演绎逻辑在运用的过程中，有时很难让人满意。这就需要研究者在运用的时候能够结合其它逻辑方法，单一的逻辑方法是不能达到研究的目的的，影响研究的进度，甚至研究因此中断。
另外，德国学派的另一个温和代表瓦格纳也认为：“关于方法争论的真正解决,不是在演绎或归纳之间作出选择,而是承认演绎和归纳。……如果可能,两种方法应该结合起来应用。”
所以，归纳法和演绎法在研究的过程中是需要结合起来的，它们是互相渗透、互为条件、不可分割的。正像廖士祥所说的：“归纳法借助分析和演绎，汇集有关各类材料，整理它们，并从中推出一般原理和规律。然后演绎法一时又起着主要作用，它把这些原理彼此联系起来，从中暂时求出新的更广泛的原理和规律，然后再让归纳法主要分担搜集、选择和整理这些材料工作，以便检验和证实这个新规律。”
2、归真推理法和归谬推理法的运用
在经济学方法论中，这两种逻辑方法是比较常见的。经济学中的研究的逻辑性是非常强的，每一步都需要严密的逻辑才行。归真推理法是从假设到结论向前传递真实性，其中每一步都要前后的真实性是一致的。而归谬推理法是从结论到假设向后传递不真实性，这当中之间的逻辑性也是需要一致的。否则，就会前后就会出现矛盾，给人以批判的机会，有可能引起研究界的激烈争论。
在进行经济学研究时，这两种逻辑方法有时可以使用一种就行，特殊情况下，两种逻辑方法的结合使用，会使研究更有说服力一些。
四、结论与小结
逻辑方法在社会学和经济学方法论的研究中，是必不可少的。在运用它们进行分析的时候，研究者需要先思考一下应该运用哪种逻辑比较合适、恰当，这样研究的时候才能得心应手，不容易出差错。
【关键词】中学数学 推理能力 培养
随着教育改革的全面推进，新教材纠正了旧教材那种过分强调推理的严谨性，以及渲染逻辑推理的重要性，而是提出了新的观点“合
理推理”是新教材的一大特色。本文就新形势下的初中数学教学中学生推理能力的培养做了探索。
当今教育改革正在全面推进。培养学生的创新意识和创新能力是大家公认的新教改的宗旨。合情推理是培养创新能力的一种手段和过程。人们认为数学是一门纯粹的演绎科学，这难免太偏见了，忽视了合情推理。合情推理和演绎推理相辅互相成的。
一、合情推理与演绎推理的关系。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。根据数学建构主义认为：知识并非是主体对客体的被动的镜面式的反映，而是一个主动的建构过程。学习者通过不断对各种信息进行加工、转换，形成假设，所以合情推理是数学建构主体思维的关键步骤，也是必不可少的思维方法，它可以促进知识的深化，加速知识的迁移，能力的提升。合情推理是演绎推理的前奏，演绎推理是合情推理的升华，作为数学逻辑思维的重要组成部分，在教学过程中要特别重视如何采用适当的途径强化合情推理的意识，培养学生的合情推理的能力。
二、培养学生合情推理能力的可行性途径
（一）精心设计实验，激发学生思维
Gauss曾提到过，他的许多定理都是靠实验、归纳法发现的，证明只是补充的手段。在数学教学中，正确地恰到好处地应用数学实验，也是当前实施素质教育的需要。著名的数学教育家GeorgePolya曾指出：“数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但是另一方面，在创造过程中的数学更像是一门实验性的归纳科学”，从这一点上讲，数学实验对激发学生的创新思维有着不可低估的作用。
（二）仔细设计问题，激发学生猜想
数学猜想是数学研究中合情的推理，是数学证明的前提。只有对数学问题的猜想，才会激发学生解决问题的兴趣，启迪学生的创造思维，从而发现问题、解决问题。数学猜想是在已有数学知识和数学事实的基础上，对未知量及其规律做出的似真判断，是科学假说在数学的体现，它一旦得到论证便上升为数学理论。牛顿有一句名言：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”数学家通过“提出问题—分析问题—作出猜想—检验证明”，开拓新领域，创立新理论。在中学数学教学中，许多命题的发现、性质的得出、思路的形成和方法的创造，都可以通过数学猜想而得到。通过猜想不仅有利于学生牢固地掌握知识，也有利于培养他们的推理能力。
（三）在“空间与图形”中培养合情推理能力
在“空间与图形”的教学中.既要重视演绎推理。又要重视合情推理。初中数学新课程标准关于《空间与图形》的教学中指出：“降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认别图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情的推理能力。”并为学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会。学生在实际的操作过程中。要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。如：在圆的教学中，结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角与圆周角之间的数量关系；利用直观操作，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系；等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理能力。注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。同时也有助于学生空间观念的形成，合情推理的方法为学生的探索提供努力的方向。
（四）在学生熟悉的生活环境中培养合情推理能力
一、知识结构、逻辑推理及相互间的关系。
在小学数学教学中，构建良好的数学知识结构是培养发展学生逻辑思维能力的一个重要途径。乌辛斯基早 就指出：“所谓智力发展不是别的，只是很好组织起来的知识体系。”而知识体系因为其内在的逻辑结构而获 得逻辑意义。数学中基本的概念、性质、法则、公式等都是遵循科学的逻辑性构成的。
“数学作为一种演绎系统，它的重要特点是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通过定义引入的 。”这种演绎系统一方面使得数学内容以逻辑意义相关联。另一方面从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到 的研究方法（如逻辑推理等），再去获取更多的知识。如学习“能同时被2、5整除的数的特征”时，我们是通 过演绎推理得到的：
所有能被2整除的数的末尾是0、2、4、6、8；
所有能被5整除的数的末尾是0、5；
因此，能同时被2、5整除的数的末尾是0。
数学中的这种推理形式一旦被学生所熟识，他们又会运用它在已有知识的基础上作出新的判断和推理。
学生知识的习得和构建，主要依赖认知结构中原有的适当观念，去影响和促进新的理解、掌握，沟通新上 知识的互相联系，形成新的认知结构系统，这是数学知识学习过程中的同化现象。它包含三方面的内容：一是 新旧知识建立下位联系；二是新旧知识建立上位联系；三是新旧知识建立联合意义。这三方面与逻辑结构中的 三类推理恰好建立相应的联系。推理，是从一个或几个已知的判断得出新的判断的过程。通常有：演绎推理（ 从一般性的前提推出特殊性结论的推理）；归纳推理（从特殊的前提推出一般结论的推理）；类比推理（从特 殊的前提推出特殊结论的推理或从一般前提推出一般结论的推理）。如：教学“循环小数”时，先在黑板上出 示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333；1÷3=0.333……、70.7÷33=2.14242……、29 9÷37=8.081081……等。观察各式的商学生们直观认识到：小数有有限小数、无限小数之分。进而从一组无限 小数中，发现了循环小数的本质属性，得到了循环小数的定义。由两个或几个单称判断10.333…的数字3依次不 断地重复出现，2.14242…的数字42依次不断重复出现等，得出一个新的全称判断（循环小数的定义）是归纳推 理的一种方法。
在教学的过程中，教师结合教学内容，有意识地把逻辑规律引入教学，注意示范、点拨，显然是有利于发 展学生的逻辑思维能力。
二、逻辑推理在教与学过程中的应用。
1.如果原有的认知结构观念极其抽象，概括性和包容性高于新知识，新旧知识建立下位联系、新知识从属 于旧知识时，那么宜适当运用演绎推理的规则，由一般性的前提推出特殊性的结论。
“演绎的实质就是认为每一特殊（具体）情况应当看作一般情况的特例”。为了得以关于某一对象的具体 知识，先要找出这一对象的类（最近的类概念），再将这一对象的类的属性应用于哪个对象。如：运用乘法分 配律简便运算时，学生必须以清晰、稳固的乘法分配律知识为基础，才能得出：
999×999+999=999×(999+1)=999000
这里999×999+999=999×(999+1)是根据一般性判断a×c+b×c=(a+b)×c推出的。当学生理解这种推理的顺 序，且懂得要使演绎推理正确，首先要前提正确，并学会使用这样的语言：
只有两个约数（1和它本身）的数是质数；
101只有两个约数；
101是质数。
那么，符合形式逻辑的演绎法则就初步被学生所掌握。
在知识层面中，这种类属过程的多次进行，就导致知识不断产生新的层次，其逻辑结构就越加严密，新的 知识也就会不断分化和精确化，就可以逐渐演绎出新的类属性的具体知识。教学中正确把握这种结构，用演绎 推理的手段组织学习过程，不但能培养学生的思考方法，理解内容的逻辑结构，还能提高学生的模式辨认能力 ，缩短推理过程，快速找到解题途径。
在新旧知识建立下位联系时，整个类属过程可分化为两种情况。
(1)当新知识从属于旧知识时，新知识只是旧知识的派生物。可以从原有认识结构中直接推衍。新知识可以 直接纳入原有的认知结构中。
如学生已学过两位数的笔算，清晰而稳固地掌握了加法的计算法则，现在要学三、四位数的加法，只要让 学生思考并回忆两位数加法计算的表象结构，适当地点拨一下三、四位数加法与两位数加法有相同的笔算法则 ，学生就能顺利解决新课题。新知识很快被旧知识同化，并使原有笔算法则得到充实新的知识获得意义。虽然 这些知识的外延得到扩大，但内涵不变。
教学中，掌握这些知识的内涵的逻辑结构，就会有一个清晰的教学思路，就会自觉地运用演绎推理的手段 ，与学生一起愉快地顺利地进行下位学习。就不会在讲三、四位数加法时，着眼于竭力以三、四位数加法为例 证，说明加法的计算法则。
【 英文 摘要】philosophical logic is a polysemant in contemporary logical literature.we believe it's a non-classical logic with philoso-phical purport or cause.its rise aroses a lot of theoretical problems.this essay expounds the limits of classical logic,non-monotony and deduction,logical mathematicalization and depart-mentalization,the ownership of inductive logic,etc.
【关键词】经典逻辑/非经典逻辑/演绎性/数学化/部门化/哲学逻辑classical logic/non-classical logic/deduction/mathematicalization/departmentalization/philosophical logic
【正文】
哲学逻辑的崛起引发一系列理论问题。我们仅就其中几个提出一些不成熟的看法。
一、经典逻辑和非经典逻辑的界限
在这里经典逻辑是指标准的一阶谓词演算(cqc)，它的语义学是模型论。随着非经典逻辑分支不断出现，使得我们对经典逻辑和非经逻辑的界限的认识逐步加深。就 目前 情况看，经典逻辑具有下述特征：二值性、外延性、存在性、单调性、陈述性和协调性。
传统的主流观点：每个命题（语句）或是真的或是假的。这条被称做克吕西波(chrysippus)原则一直被大多数逻辑学家所恪守。20年代初卢卡西维茨(j.lukasiwicz)建立三值逻辑系统，从而打破了二值性原则的一统天下，出现了多值逻辑、部分逻辑（偏逻辑）等一系列非二值型的逻辑。
经典逻辑是外延逻辑。外延性逻辑具有下述特点：第一，这种逻辑认为每个表达式（词项、语句）的外延就是它们的意义。每个个体词都指称解释域中的个体；而语句的外延是它们的真值。第二，每个复合表达式的值是由组成它的各部分表达式的值所决定，也就是说，复合表达式的意义是其各部分表达式意义的函项，第三，同一性替换规则和等值置换定理在外延关系推理中成立。也是在20年代初，刘易士(c.i.lewis)在构造严格蕴涵系统时，引入初始模态概念“相容性”（或“可能性”），并进一步构建模态系统s1-s5。从而引发一系列非外延型的逻辑系统出现，如模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑和认知逻辑等等出现。
从弗雷格始，经典逻辑系统的语义学中，总是假定一个非空的解释域，要求个体词项解释域是非空的。这就是说，经典逻辑对量词的解释中隐含着“存在假设”，在60年代被命名为“自由逻辑”的非存型的逻辑出现了。自由逻辑的重要任务就在于：(1)把经典逻辑中隐含的存在假设变明显；(2)区分开逻辑中的两种情况：一种与存在假设有关的推理，另一种与它无关。
在经典逻辑范围内，由已知事实的集合推出结论，永远不会被进一步推演所否定，即无论增加多少新信息作前提，也不会废除原来的结论。这就是说经典逻辑推理具有单调性。然而于70年代末，里特(r.reiter)提出缺省(default)推理系统，于是一系列非单调逻辑出现。
经典逻辑总是从真假角度 研究 命题间关系。因而只考察陈述句间关系的逻辑，像祈使句、疑问句、感叹句就被排斥在逻辑学直接研究之外。自50年代始，命令句逻辑、疑问句逻辑相继出现。于是，非陈述型的逻辑存在已成事实。
经典逻辑中有这样两条定理：（p∧q）（矛盾律）和p∧pq（司各特律），前者表明：在一个系统内禁不协调的命题作为论题，后者说的是：由矛盾可推出一切命题。也就是说，如果一个系统是不协调的，那么一切命题都是它的定理。这样的系统是不足道的(trivial)。柯斯塔(m.c.a.da costa)于1958年构造逻辑系统cn（1〈n≤ω）。矛盾律和司各特律在该系统中不普遍有效，而其他最重要模式和推理规则得以保留。这就开创了非经典逻辑一个新方向弗协调逻辑。
综上所述非经典逻辑诸分支从不同方面突破经典逻辑某些原则。于是，我们可以以上面六种特征作为划分经典逻辑与非经典逻辑的根据。凡是不具有上述六种性质之一的逻辑系统均属非经典逻辑范畴。
二、非单调性与演绎性
通常这样来刻画演绎：相对于语句集合γ，对于任一语句s，满足下述条件的其最后语句为s的有穷序列是s由γ演绎的：序列中每个语句或者是公理，或者是г的元素，或者根据推理规则由前面的语句获得的。它的一个同义词是导出(derivation)。演绎是相对于系统的概念，说一个公式（或语句）是演绎的只是相对于一不定的公理和推理规则的具体系统而言的。演绎概念是证明概念的概括。一个证明是语句这样的有穷序列：它的每个语句或是公理或是根据推理规则由前面的语句得出的。在序列中最后一个语句是定理。
现在我们考察单调逻辑中演绎情况。令w是一阶逻辑公式的集合，d为缺省推理的可数集，cons(d)为d中缺省的后承的集合。我们来建立公式φ的缺省证明概念：首先我们必须确定从wucons(d[,0])。导出φ这种性质的缺省集合d[,0]。为确保在d[,0]中缺省的适用性，我们须确定缺省集合d[,1]，致使能从wucons(d[,1])中得出在d[,0]中缺省的所有必须的预备条件。我们从这种方式操作直至某一空的d[,k]。这意谓着从w得出在d[,k-1]中的必须的预备条件。然后我们确定一个证明，只是我们不陷入矛盾，即是w必须跟包括在证明中的所有缺省后承的集合相一致。例如，给定缺省理论：
t=(｛p｝,｛δ[,1]=p:r/r,δ[,2]=r:ps/ps｝) (｛δ[,2]｝),｛δ[,1]｝，φ是s在t中的缺省证明。
形式地说，φ在正规缺省 理论 t=(w,d)中的一个缺省证明是满足下述条件的d的子集合的有穷序列(d[,0],d[,1],…d[,k])：
（i）φ从wucons(d[,0])得出。
（ii）对于所有i〈k,从wucona(d[,i+1])得出缺省的所有预备条件。
（iii）d[,k]=φ。
（iv）wucons(u[,i]d[,i])是一致的。
由上面可以看出缺省推理中的证明是与通常的演绎证明是不同的，前者比后者要宽广些。
附图
由此可见，缺省逻辑中的推出关系比经典逻辑中的要宽。因而相应扩大了“演绎性”概念的外延。于是可把演绎性分为：强演绎性和弱演绎性。后者是随着作为前提的信息逐步完善，而导出的结论逐步逼近真的结论。
三、逻辑的数学化和部门化。
正如有人所指出的那样，“逻辑学在智力图谱中占有战略地位，它联结着数学、语言学、 哲学 和 计算 机 科学 不同学科。”[2]作为构建各学科系统的元科学手段的逻辑与各门科学联系越来越密切。它在当代 发展 中，表现出两个重要特征：数学化和部门化。
逻辑学日益数学化，这表现为：(1)逻辑采取更多的数学 方法 ，因而技术性程度越来越高。一些逻辑 问题 （如系统特征问题）的解决需要复杂的证明技术和数学技巧。(2)它更侧重于数学形式化的问题。其实数学化的本质是抽象化、理想化和泛化（普遍化）。这对像逻辑这样的形式科学显然是非常重要的，近一个世纪逻辑迅速发展就证明了这一点。逻辑方法论的数学化在本世纪下半叶正在加速。这给予逻辑的一些重要结论以复杂的结构和深入的处理，使逻辑变得更精确更丰富。但是，由于逻辑中数学专门化已定型并且限定了它自己，所以逻辑需向其他领域扩张，拓宽其 研究 领域就势所必然。
逻辑向其他学科领域的延伸并吸收营养，于是出现了各种部门逻辑，如认知逻辑、道义逻辑、量子逻辑等等。我们把逻辑学这种延伸和部门逻辑出现称做逻辑部门化。
哲学逻辑就是逻辑部门化的产物，它是方面逻辑或部门逻辑。众所周知，经典逻辑演算的理论、方法和运算技术具有高度的概括性，它适用于一切领域、一切语言所表达的演绎推理形式。所以，它具有普遍性，是一般的逻辑。有人认为一阶演算完全性定理表明“采用 现代 数学方法和数学语言来刻画的全体‘演绎推理 规律 ’恰好就是人们在思维中所用的演绎推理规律的全体，不多也不少！”[3]。表达一阶逻辑规律的公式是普通有效的，即是这些公式在任何一种解释中都是真的。而哲学逻辑各分支只是研究某一方面或领域的演绎推理规律，表达这些规律的公式只是在一定条件下在某一领域是有效的，即是它们在具有某种条件解释下是真的。例如，模态公式(d)pp,(t) pp,(b) pp,(4) pp,(e) pp，分别在串行的、自反的、对称的、传递的、欧几里得的模型中有效。而动态逻辑的一些规律只适用于像计算程序那样的由一种状态过渡到另一种状态转换的动态关系。
部门逻辑另一种含义是为某一特定领域提供逻辑工具。例如，当人们找出描述一个微观物理系统在某一时刻的可观察属性的命题的一般形式。对其进行运算时，发现一些经典逻辑规律失效，如分配律对这里定义的合取、析取运算不成立。于是人们构造一种能够描述微观物理世界新的逻辑系统，这就是量子逻辑。
四、哲学逻辑划界问题
哲学逻辑形形色色并且难于表征。在现代逻辑 文献 中，“哲学逻辑”是个多义词。它的涵义主要的有三种：它的第一种涵义是指关于现代逻辑中一些重要概念和论题的理论研究。例如，对于名称（词项）、摹状词、量词、模态词、命题、 分析 性、真理、意义、指涉、命题态度、悖论、存在乃至索引等概念及与它们相关的论题的理论研究以及利用形式逻辑工具处理逻辑和语言的逻辑结构的哲学争论。它的第二种涵义是指非经典逻辑中一个学科群体，它包括模态逻辑、多值逻辑等等众多逻辑分支。它的第三种涵义是兼指上述两种涵义的“哲学逻辑”。
我们认为，第一种涵义上的“哲学逻辑”不是研究推理有效式意义上的逻辑，而是逻辑哲学。我们赞成在第二种涵义上使用“哲学逻辑”一词。于是可以给出下述定义：哲学逻辑是具有哲学旨趣或涉及哲学事业的非经典逻辑，在这里应对“哲学”做广义的理解。哲学逻辑不仅与传统哲学中的概念和论题有直接或间接联系。而且也涉及各门科学中具有方法论性质的问题和其他元科学问题。
在我们看来，“归纳”和“演绎”一样，是传统哲学所关注的重要哲学概念，而且也是现代一些哲学家所争议的问题之一。同时归纳逻辑方法的启发作用在认知过程中不可低估，归纳的一些方法和技术同样是一些学科的元科学因素，是发现真理构建学科系统不可少的。因此，它应属于哲学逻辑。《哲学逻辑杂志》亦把它列入哲学逻辑诸分支之首。
问题在于，归纳推理的复杂性，对它的形式刻画和找出能行程序遇到不易克服的困难，致使其成果与演绎推理所获得成果相比，显得不那么丰硕。然而，由于人工智能等技术上的需要，推动着更多的人研究归纳推理，总会有一天，归纳逻辑也像演绎逻辑那样用形式方法来处理。
【 参考 文献】
[1]antoniou,g.:1997,nonmontonic reasoning, the mit press,cambridge,masschusetts.
一、归纳法在新课程地理课堂教学中的应用探究
(1)确定准备归纳的地理事物主题,然后了解其范围、属性。为了推理某项地理分布规律,则需要先根据图像了解个别地理事物的分布特点;为了推论某项地理演变规律,也应先根据原理示意图了解演变过程中的各种典型位置中的特点等。如为了概括影响气温变化的各项因素,则需要先根据全球一月、七月等温线分布图,并对照地形图、洋流分布图等,对各地气温分布与变化的具体情况作一番了解,认清这种分布与变化是多种因素综合影响的结果。
(2)分析和概括各项地理事物的特点、成因或规律性、共同性的知识,像空间分布上的联系,时间演变中的趋势。如同类资源在不同的分布地点中有什么联系或共同点?(煤炭资源的分布就与地质历史时期的海陆分布、古气候、古植物、地壳变动等因素有关)又如地理事物的演变是连续不断的,在两幅静止的典型图像之间又是如何演变或运动的……
(3)通过分析各项地理事物的共同点推理出同类地理事物的一般特征或规律。如某项资源的分布规律,某项地理事物的演变或运动规律。又如影响气温分布变化的因素可归纳为:①不同纬度地区气温的差异:主要受太阳辐射的影响(不同纬度太阳高度角不同)。②纬度相同地区气温的差异:海陆之间气温的差异——主要受海陆热力性质影响;沿海地区气温的差异——主要受洋流性质的影响;内陆地区气温的差异——主要受地势高低的影响,山脉走向的影响,大面积水面的影响,地表性质的影响。③人为因素对气温的影响:城市“热岛效应”;大气中CO2增多;臭氧层破坏;兴修水库和造林。
教师或学生都可以采用归纳法去探究地理知识的原因、过程。因为使用归纳法的初衷是培养学生积极参与学习的意识和能力,所以,归纳法在高中地理新课程教学中既可以节省时间,又可以把问题讨论透彻,这就从时间和质量上提高了课堂效果。
二、演绎法在新课程地理课堂教学中的应用探究
(1)确定被认识地理事物的特点、性质或准备解决的问题的要求。演绎法是从一般到个别的判断推理,所以对于被认识的地理事物先要有方向性的选择,对其特点性质属于哪个地理要素,涉及哪方面内容,或准备解决什么样的问题,应有明确认识。这能促进地理课堂的有效性。
(2)根据要求选用必需的地理规律或原理,这是推理的依据,它需要经过已掌握原理的回忆再现、比较分析、抽象、判断等一系列复杂的心理活动和思考过程。这是对已有知识进行再组织、迁移和应用的过程,是学生在课堂上发挥思维,探究学习目标的过程。教师在课堂教学中主要是通过引导学生对地理问题的探究,使学生形成对地理问题的认识,掌握正确认识地理问题的方法,提高分析和解决地理问题的能力,提高地理知识应用的能力。
(3)推理得出具体地理事物特征或作出判断的结论。根据选定的地理规律或原理,结合具体地理事物的特点、性质、条件,依演绎程序进行推理思维,从而作出结论。
一、知识结构、逻辑推理及相互间的关系。
在小学数学教学中，构建良好的数学知识结构是培养发展学生逻辑思维能力的一个重要途径。乌辛斯基早就指出：“所谓智力发展不是别的，只是很好组织起来的知识体系。”而知识体系因为其内在的逻辑结构而获得逻辑意义。数学中基本的概念、性质、法则、公式等都是遵循科学的逻辑性构成的。
“数学作为一种演绎系统，它的重要特点是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通过定义引入的。”这种演绎系统一方面使得数学内容以逻辑意义相关联。另一方面从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到的研究方法（如逻辑推理等），再去获取更多的知识。如学习“能同时被2、5整除的数的特征”时，我们是通过演绎推理得到的：
所有能被2整除的数的末尾是0、2、4、6、8；
所有能被5整除的数的末尾是0、5；
因此，能同时被2、5整除的数的末尾是0。
数学中的这种推理形式一旦被学生所熟识，他们又会运用它在已有知识的基础上作出新的判断和推理。
学生知识的习得和构建，主要依赖认知结构中原有的适当观念，去影响和促进新的理解、掌握，沟通新上知识的互相联系，形成新的认知结构系统，这是数学知识学习过程中的同化现象。它包含三方面的内容：一是新旧知识建立下位联系；二是新旧知识建立上位联系；三是新旧知识建立联合意义。这三方面与逻辑结构中的三类推理恰好建立相应的联系。推理，是从一个或几个已知的判断得出新的判断的过程。通常有：演绎推理（从一般性的前提推出特殊性结论的推理）；归纳推理（从特殊的前提推出一般结论的推理）；类比推理（从特殊的前提推出特殊结论的推理或从一般前提推出一般结论的推理）。如：教学“循环小数”时，先在黑板上出示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333；1÷3=0.333……、70.7÷33=2.14242……、299÷37=8.081081……等。观察各式的商学生们直观认识到：小数有有限小数、无限小数之分。进而从一组无限小数中，发现了循环小数的本质属性，得到了循环小数的定义。由两个或几个单称判断10.333…的数字3依次不断地重复出现，2.14242…的数字42依次不断重复出现等，得出一个新的全称判断（循环小数的定义）是归纳推理的一种方法。
在教学的过程中，教师结合教学内容，有意识地把逻辑规律引入教学，注意示范、点拨，显然是有利于发展学生的逻辑思维能力。
二、逻辑推理在教与学过程中的应用。
1.如果原有的认知结构观念极其抽象，概括性和包容性高于新知识，新旧知识建立下位联系、新知识从属于旧知识时，那么宜适当运用演绎推理的规则，由一般性的前提推出特殊性的结论。
“演绎的实质就是认为每一特殊（具体）情况应当看作一般情况的特例”。为了得以关于某一对象的具体知识，先要找出这一对象的类（最近的类概念），再将这一对象的类的属性应用于哪个对象。如：运用乘法分配律简便运算时，学生必须以清晰、稳固的乘法分配律知识为基础，才能得出：
999×999+999=999×(999+1)=999000
这里999×999+999=999×(999+1)是根据一般性判断a×c+b×c=(a+b)×c推出的。当学生理解这种推理的顺序，且懂得要使演绎推理正确，首先要前提正确，并学会使用这样的语言：
只有两个约数（1和它本身）的数是质数；
101只有两个约数；
101是质数。
那么，符合形式逻辑的演绎法则就初步被学生所掌握。
在知识层面中，这种类属过程的多次进行，就导致知识不断产生新的层次，其逻辑结构就越加严密，新的知识也就会不断分化和精确化，就可以逐渐演绎出新的类属性的具体知识。教学中正确把握这种结构，用演绎推理的手段组织学习过程，不但能培养学生的思考方法，理解内容的逻辑结构，还能提高学生的模式辨认能力，缩短推理过程，快速找到解题途径。
在新旧知识建立下位联系时，整个类属过程可分化为两种情况。
(1)当新知识从属于旧知识时，新知识只是旧知识的派生物。可以从原有认识结构中直接推衍。新知识可以直接纳入原有的认知结构中。
如学生已学过两位数的笔算，清晰而稳固地掌握了加法的计算法则，现在要学三、四位数的加法，只要让学生思考并回忆两位数加法计算的表象结构，适当地点拨一下三、四位数加法与两位数加法有相同的笔算法则，学生就能顺利解决新课题。新知识很快被旧知识同化，并使原有笔算法则得到充实新的知识获得意义。虽然这些知识的外延得到扩大，但内涵不变。
教学中，掌握这些知识的内涵的逻辑结构，就会有一个清晰的教学思路，就会自觉地运用演绎推理的手段，与学生一起愉快地顺利地进行下位学习。就不会在讲三、四位数加法时，着眼于竭力以三、四位数加法为例证，说明加法的计算法则。
(2)新知识类属于原有较高概括性的观念中，但不能从原有上位观念中直接派生出来，而需要对原有知识作部分的改组，才能同化新知识。新知识纳入原有知识后，原有知识得到扩展、加深、限制、修饰和精确化。新旧知识之间处于相关类属。这时，运用演绎推理之前，先要对原有知识作部分改组，请出一个“组织者”，再步步演绎。（为新知识生长提供观念上的“固定点”，增加新旧知识间的可辨性，充当新旧知识联系的“认知桥梁”，奥苏伯尔称它为“先行组织者”简称“组织者”。）
如学生已掌握了长方形面积计算公式：S=ab，现在要学习正方形的面积计算公式，这就要对长方形进行改组，把它的长改成与宽相等(a=b)，于是“正方形面积计算”可被“长方形面积计算”同化，当a=b时，S=ab=a·a=a[2,]。又如教圆面积之前，向学生演示或让学生动手操作，把圆适当分割后拼成近似长方形，由长方形面积公式导出圆面积计算公式。其间以直代曲，是由旧知识导向新知识的认知桥梁，是由演绎推理构建新知识时，找到的观念上固定点。找到固定点后圆面积的计算被长方形面积同化，于是面积计算规则从直线封闭图形的计算，推广到曲线封闭图形的计算，扩展加深了对原有面积计算规则的认识内容，使有关面积计算的认识结构趋向精确化。
2.如果原有认识结构已形成几个观念，要在原有的观念上学习一个抽象、概括和包容性高于旧知识的新知识，即新旧知识建立上位联系时，那么适当运用归纳推理的规则，可由特殊的前提推出一般性的结论。当需要研究某一对象集时，先要研究各个对象（情况），从中找出整个对象集所具有的性质，这就是归纳推理。归纳推理的基础是观察和试验，是从具体的、特殊的情况过渡到一般情况（结论、推论）。
教材中关于概念的形成，运算法则和运算定律、性质得出，一般是通过归纳推理得到的。如分数的初步认识。在学习前，学生认知结构中已有了分数的某些具体经验，加上教材提供的和教师列举的生活实例和图形。如：一个苹果平均分成两份，每份是它的1/2，一根钢管平均截成三段，每段是它的1/3，一张纸平均分成4份，每份是这张纸的1/4……所有这些操作和演示都让学生认识到几分之一这个概念。随后，再认识几分之几。这种不完全的归纳推理，是在考察了问题的若干个具体特例后，从中找出的规律。（严格地说，由不完全归纳法推理得到的结论还需要论证，才能判定它的正确性。）
运用归纳推理传授知识时，要根据学生的实际经验，选取典型的特例，并能够通过典型特例的推理得出一般性的结论。又要用这个“一般结论”，去解决具体特例。在教与学的进程中，归纳和演绎不是孤立地出现的，它们紧密交织在一起。
3.如果新旧知识间既不产生从属关系，又不能产生上位关系，但是新知识同原有知识有某种吻合关系或类比关系，则新旧知识间可产生并列关系。那么可以运用类比推理。
教材中，商不变性质和分数基本性质，乘数是整数的乘法和乘数是分数的乘法等，学习这类与旧知识处于并列结合关系的新知识时，既不能以上位演绎推理到下位，又不能以下位归纳推理到上位，只能采用类比推理。如五年级学习“一辆卡车平均每小时行40千米，0.3小时行了多少千米？”时，学生还无法根据小数乘法的意义列出此题的解答等式。所以，教学中一般用整数乘法中的数量关系相类推。
原有的认知结构中，整数乘法与小数乘法只是一般的非特殊的并列结合关系。新知识的学习，只能利用原有知识中的一般的和非特殊的有关内容进行同化。
1 归纳法
从已知的特殊事件出发，推演出一般性或普遍性的结论的逻辑推理过程是归纳。归纳是一种由表及里，由现象到本质的复合思维过程。李政道先生曾说过：“中国的学生归纳思维能力比较差。”因为中国学生习惯大量做题，在操练中形成演绎能力，但缺少反思和归纳。归纳对发现科学规律，透视社会现象，作出理性思考具有决定性的作用。物理学中常依事物的因果关系，推出该类事物中所有对象都具有某一属性，称为因果联系归纳法。此法的关键在于找出真正的本质性原因，而判断原因的过程往往采用以下方法。
1．1 求同法
即在不同场合下考察相同的物理现象，若在这些场合里只有一个共同的条件，那么这个条件就是该现象发生的原因。
如图1所示，闭合电路的一部分导线切割磁力线，线框内产生感生电流；图2中一个条形磁铁接近和远离线圈，线圈也能产生感生电流；图3中匀强磁场中转动的线框也能产生感生电流，从而可归纳出导线与磁场之间的相对运动和产生感生电流的因果关系。如图4所示，回路A中滑动变阻器电阻的改变可使回路B中产生感生电流；回路A中电键的开合同样能使回路B中产生感生电流，从而可归纳出原线圈电流的变化在副线圈中产生感生电流的因果关系，但上述几种情况下更本质的原因是什么呢?是穿过闭合回路的磁通量的变化!
单摆的摆长通常被定义为从悬点到摆球质心的距离，如图5的双线摆中，摆球在垂直于纸面的平面内摆动，其等效摆长不是AO或BO而是O′O；在图6中，摆球在纸面内作小幅摆动，其等效摆长不是OO″而是OO′；在图7中，摆球中垂直于纸面方向小幅摆动，其等效摆长应为OO′，以上三例中具有共性的物理量是等效摆长，比等效摆长更具共性的应该是等效悬点O′。
1.2 求异法
如果某种现象在第一个场合出现，在第二个场合不出现，这二个场合只有一个条件不同，这个条件就是该现象发生的原因。
场合一，一块质量为M的木块被钉子固定在光滑水平地面上，一颗质量为m的子弹以速度v0射向木块，在木块内前进d深度后静止(如图8)。
场合二，在以上情景的基础上，拔掉钉子，让子弹以同样速度v0射向木块，在木块内前进 d′深度而相对木块静止(如图9)。
差异点1：场合一与场合二只有一个外部条件差异，即钉子的作用，场合一因钉子作用木块与子弹系统动量不守恒，场合二因没有钉子作用合外力为零而系统动量守恒。
差异点2：场合一，子弹动能全部转化为系统内能，设木块对子弹阻力恒为f，
则有Q=12mv20=f・d(1)
场合二，子弹动能没有全部转化为系统内能，所以Q′=12mv20-12(M+m)v2(2)
其v=mv0M+m
1、2的差异点在于子弹进入木块的深度不一样，导致转化的系统内能不一样，如果对子弹和木块分别用动能定理：
(5)式的意义可归纳为系统动能变化等于摩擦力f乘以相对位移d′得到的功，可称为赝动能定理。
至于归纳推理中的其它方法，如剩余法（即控制变量法）等不再赘述。
2 演绎法
从一般的具有普遍性的知识出发，推出个别特殊性的知识或结论的逻辑思维过程是演绎推理。简单的判断推理“三段论”实际上被自觉或不自觉地应用在解题过程中，在复合判断推理中值得注意的是假言推理和归缪反证。
2.1 假言推理法
即以假设某一条件成立作为前提的演绎推理，典型的假言连锁推理案例α粒子的散射实验中卢瑟福的推理：如果原子中带正电部分很小，而电子在带正电部分的外边，那么α粒子接近原子时，受到电子的作用不大如果α粒子受到电子作用不大，那么受到正电体的作用是引起运动改变的原因如果正电体的作用是引起其运动改变的原因，正电体很小，那么α粒子进入原子区域时，其应在正电体之外，所以α粒子所受力很大因此能产生大角度散射……
如图10所示装置中，电源内阻不计，滑动变阻器以外的一切外电阻不计，如要使丝线悬挂着的闭合金属环M向左摆动，可采取下列哪些措施?
A.改换电动势大的电源
B.增加L1的匝数
C.让滑动触头P向左匀速移动
D.让滑动触头P向右匀速移动
我们可以用假言连锁推理来判断，如果P向右匀速滑动，则回路1中总电阻增加回路电流将减小(如图11)螺线管内磁通量将减小，回路2中将产生感生电流其磁通量方向与原磁通相同，但电流也在减小回路3中电流产生的磁场中减弱，穿过M的磁通量在减小M中产生感生电流感生电流受磁场作用向左摆拢。
2.2 归缪反证法
如果说假言推理是正向的演绎推理法，那么归缪反证则是一种逆向的演绎推理法，物理学发展史中不乏许多归缪反证的精彩案例，伽利略就是利用归缪反证了亚里士多德延袭二千多年的关于落体运动速度的定论：重的物体比轻的物体快。
从假设逆命题出发，运用已知的定律，公式进行演绎推理，论证逆命题非真，即设法证明逆命题不成立(或不正确)，归缪就是反证法中的一个核心环节。
为了证明电场中导体达到静电平衡时，导体内部一定不存在净电荷，导体表面的场强一定与表面处处垂直，可先假设导体内部存在净电荷(提出逆命题)则无论这种净电荷是正是负，它周围必形成电场，可画出电力线，表示导体内部场强不为零，由上述逆命题得到的这个结论与导体在电场中达到静电平衡时导体内部场强等于零的基本特征相矛盾(归谬)，可见上述逆命题不成立。
同样，对后一个结论，可假设导体表面的场强与表面不垂直，(提出逆命题)，把导体表面的场强沿导体表面的切线方向和垂直导体表面的切线方向分解成Ex、Ey两个分量，其中Ex使导体表面的电荷受到沿表面的力驱使电荷沿表面移动，从而破坏达到静电平衡的题设条件(归谬)，也即证明了导体达到静电平衡时，其表面的场强一定与表面处处垂直的结论。
逻辑方法在科学研究中起了很大作用，但它们不是万能的，也具有局限性。如归纳推理带有很大的或然性，只根据某些事实或非本质属性，仓促、轻率地下结论，在逻辑上称为“急遽归纳”，往往会导致归纳的失败。在“三段论”的演绎推理中，很容易犯“四概念”的错误，正确的演绎推理必须是前提正确而且推理符合思维规律。教学的任务，就是要让学生能正确运用逻辑方法，养成缜密的严谨的思维习惯，少犯逻辑错误。
参考文献：
［1］封小超、王力邦.物理课程与教学论.北京：科学出版社，2005.
［2］蔡铁权.物理教学丛论.北京：科学出版社，2005.
