时间：2022-06-04 11:04:35
1.掌握等比数列前项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；
（2）用方程的思想认识等比数列前项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；
2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
（1）知识结构
先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前项和.
（2）重点、难点分析
教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意和两种情况.
教学建议
（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.
（2）等比数列前项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论.
（3）等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣.
（4）编拟例题时要全面，不要忽略的情况.
（5）通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大.
（6）补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.
教学设计示例
课题：等比数列前项和的公式
教学目标
（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.
（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.
（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.
教学重点，难点
教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.
教学用具
幻灯片，课件，电脑.
教学方法
引导发现法.
教学过程
一、新课引入：
（问题见教材第129页）提出问题：（幻灯片）
二、新课讲解：
记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.
（板书）即，①
，②
②－①得即.
由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？
（板书）等比数列前项和公式
仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即
（板书）③两端同乘以，得
④，
③－④得⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意的取值）
当时，由③可得（不必导出④，但当时设想不到）
当时，由⑤得.
于是
反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.
（板书）例题：求和：.
设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.
解：，
两端同乘以，得
，
两式相减得
于是.
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.
三、小结：
1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；
2.用错位相减法求一些数列的前项和.
一、利用数列章节的直观特性，培养学生数形结合的解题思想
数列章节知识内涵丰富、生动、形象，能够通过深刻、直观的函数图象进行有效展示.在数列问题解答中，图象在数列问题案例的解答过程中，有着具体而又广泛的运用.等差数列、等比数列等问题案例分析、解答过程中，很多时候都要借助于函数图象的背景进行研究分析.
二、利用数列章节的推导特性，培养学生归纳的解题思想
如在数列的通项公式、等差数列、等比数列的概念以及前n项和公式的得出的过程中，通过对相关内容要义的的观察、猜想、发现、归纳、概括、总结等学习过程中，都强调了归纳思想的具体应用.因此，教师可以利用数列问题在此方面的特性，设计如求等比数列、等差数列的通项公式方面问题，引导学生分析问题案例，归纳问题解法，提炼问题策略，提升学生的归纳解题思想.
问题：已知有四个正数，且他们之间成等比数列，现在知道他们之间的积是16，且中间相邻两个正数的和为5，求这四个数及公比.
三、利用数列章节的严密特性，培养学生分类讨论的解题思想
在实际问题解答过程中，通过问题分析、研究活动，在探寻符合问题解题要求的条件过程中，符合要求的条件不只一个，两个，这时就需要通过分别研究、分析的方略，对符合条件的内容进行全面客观的分析，甄选出最为确切的问题条件，从而进行问题的有效解答活动.在数列章节教学中，教师可以设置具有此方面特点的问题，引导学生进行分类讨论活动，从而逐步树立分类讨论思想，实现思维活动严密性和全面性.
四、利用数列章节的函数和方程特性，培养学生函数和方程的解题思想
数列实际上是特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，学生在进行问题解答过程中，由已知条件或数列的性质内容，通过列方程的形式，所求出的量的过程，其中就蕴含了函数与方程的解题思想.
解题策略：在等差数列问题案例的解答中，项数成等差的项仍为等差数列，可以通过采用列方程的形式进行解答，或应用通项公式的变形公式an=am+（n-m）d求解.
【关键词】数列章节；解题思想策略；解题素养
解题思想策略，是学生对解题策略进行系统总结，有效提炼，所概括形成的解答问题的思想方法，解题思想策略在一定程度上对学生的问题探知、条件分析、策略探寻等方法的运用，起到指导和支撑作用，同时，它也是学生解题能力素养、思维能力水平的重要体现和反映。新实施的高中数学课程标准提出了能力培养的目标要求，作为其重要组成“要素”的解题思想策略，应成为高中数学进行有效问题教学活动的重要任务和要求。解题策略的培养，离不开有效的实践活动载体。通过对数列章节整体内容要义的分析，可以发现，数列是刻画离散现象的数学模型，与人们的生活、工作、学习等方面存在密切而又深刻的内在联系，如在存款利息、房屋折旧、销售利润等方面的计算过程中，都要运用到数列章节的知识内容。在数列章节解答中，经常需要运用到数形结合、类比思想、归纳思想、方程思想以及分类讨论等解题思想策略。本人现结合数列章节教学中的经验体会，对培养高中生解题思想策略方法运用进行简要论述。
一、重视解题思想策略内涵的讲解
常言道，“知己知彼，百战不殆”。高中生解题思想策略的有效掌握和运用，其前提条件就是要深刻理解和领悟解题思想策略的内涵和要义。但在实际教学活动中，部分高中数学教师往往忽视解题思想策略内涵的讲解，直接设置问题案例进行“机械”训练，使学生对解题思想策略“知其然，不知其所以然”。因此，在数列章节教学活动中，教师在运用相关解题思想策略进行问题解答时，应有意识地向学生阐述解题思想策略的深层含义，使学生能够抓住解题思想策略“要义”和“本质”，进行有效的运用。
二、注重解题思想策略问题的训练
实践是检验真理的唯一标准，是学习能力提升的重要途径。在数列章节教学活动中，教师应将实践活动、解题训练作为培养高中生解题思想策略的重要途径，设置针对性、典型的问题案例，引导学生开展训练，领会解题思想策略内涵，提升运用实践本领。
如在“数形结合解题思想策略”训练活动中，教师首先抓住数列章节作为特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型，向学生指出，图象在数列概念的引入及其简单表示方面有具体应用，等差数列、等比数列中有关问题的研究，都需要借助于（函数）图象的背景进行研究。此时，教师设置了“在等差数列{an}中，a3=16，a16=5，求a21的值”问题案例，让学生进行问题解答探析活动，学生在问题解答中一般利用等差数列的通项公式，进行解答，这时，教师引导学生，将an的通项公式看作是一次函数y=kx+b，其中d看作是一次函数y=kx+b的斜率k，从而运用数形结合的解题思想策略进行问题解答活动。从而逐步巩固和提升学生对此解题思想策略有效运用的技能。
三、强化解题思想策略运用的指导
教师作为学习活动的指导者，在学生运用解题策略过程中，应做到指导和点拨的作用。因此，高中数学教师在数列章节解题策略的教学中，一方面要强化对解题思想策略运用过程的指导，另一方面要做好对学生解题思想策略运用活动的评析，切实提升学生解题思想策略运用水准。如学生在“已知三个实数成等比数列，在这三个数中，如果最小的数除以2，最大的数减7，所得三个数依次成等差数列，且它们的积为103，求等差数列的公差”问题案例教学中，教师在探析解题方法过程中，实时向学生指出该问题涉及到的知识点有考查等差、等比数列的基本概念，需要运用的方法有方程思想及分类讨论等思想。这样，就能有效避免学生在探析过程中“走歪路”，提升探析成效。又如在“已知{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=4.（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）是否存在正整数k，使>2成立”问题案例解题结束后，展示某学生的解题过程：
解：（1）由题意，Sn+an=4，Sn+1+an+1=4，
（Sn+1+an+1）-（Sn+an）=0
即2an+1-an=0，an+1=■an，
又2a1=S1+a1=4，a1=2.
数列{an}是以首项a1=2，公比为q=■的等比数列.
（2）Sn= =4-22-n.
k∈N*，2k-1∈N*.
这与2k-1∈（1，■）相矛盾，故不存在这样的k，使不等式成立.
教师针对学生运用解题思想策略以及解题过程，进行师生共同评析活动，引导学生侧重于对解题策略运用的评析，从而让学生在评析、思考活动中，实现解题思想策略运用效能的再提升。
关键词：等比数列求和公式；教学设计；反思；新课改；自主探究
在新课程改革的今天，课堂教学的成败取决于学生是否能积极、主动地参与到学习过程中，因此要提高课堂教学质量，就要真正确立学生的主体地位，通过师生互动充分挖掘学生的思维潜力，在教师的引领下，倡导师生的思维对话，鼓励学生个性思维的发挥．等比数列前n项和公式的推导方法既是一个教学重点，又是一个教学难点．怎样突破这一难点呢？笔者将几个教学设计方案呈现给大家，并做出一些反思．
方案一
直接给出等比数列的前n项和公式，向学生介绍公式的推导方法．
方法1：由等比数列的定义，知===…==q，
由等比定理得：=q，即=q，
所以（1－q）Sn=a1－an?q．
将an=a1?qn-1代入得（1－q）Sn=a1（1－qn），
所以当q≠1时，Sn=；
当q=1时，Sn=na1．
方法2：（教师引导：能不能像推导等差、等比数列通项公式的方法，列出一些等式，然后叠乘或叠加呢？）
a2=a1q，
a3=a2q，
a4=a3q，
……
an=an-1?q.
将以上等式的两边分别相加，得a2+a3+a4+…+an=q（a1+a2+a3+…+an-1），
即：Sn－a1=q（Sn－an），
所以（1－q）Sn=a1－anq．
（以下过程同法一）
反思
方案一是由教师直接“抛出”等比数列前n项和的公式，学生被动接受． 学生已经知道问题的结论，就失去探索未知的动力． 如果没有教师引导，普通学生不易找到公式推导的思路，只能是由教师提供方法，学生更多的是惊叹于方法的神奇，却没有自主获得结论的成就感． 教师在实施课堂教学过程中，应当更新教育理念，改变以往那种灌输——接受的教学模式，让学生从机械、呆板、被动的学习中解放出来． 在教学过程中要通过多种教学组织形式，引导学生积极主动的学习，使学习成为在教师引导下主动、富有个性的过程．
方案二（教师先给出一个情境）
国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子为止． 把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧．” 国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求． 你认为国王应该给发明者多少粒麦粒呢？国王有能力满足发明者的要求吗？
从这一情境中提炼问题：S64=1+2+22+…+263①．
（教师引导：上式中的数有何特点？若用公比2乘以等式的两边所得新式子有何特点？）
若用公比2乘以等式的两边，得2S64=2+22+23+…+264②．
（教师引导：观察①与②两式有何关系？）
为了便于比较①②两式，我们将它们列在一起：
S64=1+2+22+…+263①，
2S64=2+22+23+…+264②．
（教师引导：①与②两式可如何处理？）
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：S64=264－1．
（回归问题：我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王无法满足发明者的要求．）
（知识类比：能否仿照上述解题方法，给出一般等比数列的前n项和？）
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1，
观察等式右端，若每一项乘以公比q，就得到它后面相邻的一项，在等式两边乘以公比q，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn．
将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项，
所以（1－q）Sn=a1－a1qn．
当q≠1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1．
这种求和方法称为“错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法．
反思
方案二通过设计情境引入课题，激发了学生的兴趣，调动了学习的积极性．创设问题情境时往往并不直接揭示所学的数学内容，而需要学生基于自己的实践和思考，从中提炼数学信息，因此，学生的许多富有创造性的想法可以从情境中引发出来． 方案二采用了从特殊到一般的思想方法，但没有突破错位相减的认知“瓶颈”，依然有“抛出”的嫌疑．
方案三 设计如下问题情境
1． 1－q2= _____________．
（1－q2=（1－q）（1+q））
2． 1－q3= _______________．
（1－q3=（1－q）（1+q+q2））
3． 猜想：1－qn=______________． ①
答案：1－qn=（1－q）（1+q+q2+…+qn-1）．
4． 写出等比数列Sn的表达式：
__________________________． ②
（Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1（1+q+q2+…+qn-1）
5． 对比①和②，你发现了什么？Sn=_____________________，求Sn时要注意什么？如何记忆Sn公式？
（当q≠1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1）
6． 对于①式，我们只是猜想，如何证明？（利用多项式的运算法则）
7． 现在要你推导一次Sn的公式，你会吗？
8． 把你的推导与教材的推导进行对比，你能知道为什么要这样推导了吗？
9． 深化与应用：已知｛an｝为等比数列（q≠1），定义Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，你能根据回答以上问题得到的启发求出Tn的最简式吗？能否把你推导出的结论进行进一步推广？
反思
方案三通过创设问题情境，让学生从已有知识入手推导出公式，在这个过程中让学生学会猜想、观察、对比、发现、证明、应用等，层层深入进行自主探究，充分挖掘了学生的思维潜力． 自主探索是学生获取知识、形成能力的关键． 学生对数学的认识不仅要从数学家已经研究过的现成的数学观点中去领悟，更要在数学活动的实践中亲身去体验知识产生的过程． 因此，必须让学生“自主探索”（包括观察、描述、操作、猜想、实验、收集整理、思考、推理、交流和应用等），亲身体验如何“做数学”，如何实现数学的“再创造”，从而激发学生的求知欲． 同时，每个学生都有分析、解决问题的潜能，都有与生俱来的把自己当做探索者、研究者、发现者的本能，有证实自己思想的欲望，教师能否抓住这一点，是其数学教育成功与否的关键．
方案四
复习等差数列的前n项和公式的推导方法——倒序相加法，激发学生类比联想：等比数列是不是也可以用类似的方法进行求和呢？这时学生会用倒序相加的方法来进行思考，结果显然是行不通的．
教师适时点拨，引导学生进行思维发散——从倒序相加的定式中解脱出来． 等差数列的求和方法，形式上是倒序相加，本质上就是把省略号（……）的“无形”化为“有形”（上下对应两项的和都等于a1+an）． 对于等比数列而言，难点也是如何把省略号（……）的“无形”化为“有形”？引导学生从等比数列的定义出发，进一步认识等比数列从第二项起，每一项都是前一项的q倍，也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项，那么将Sn这个和式的两边同时乘以q，则在qSn这个和式与Sn的和式中，就会出现许多相同的项． 这样通过两个和式相减，消去了一些中间项，使带有省略号的含任意有限项的式子变成仅含有几项的式子，从而使问题得到解决．
反思
方案四借助推导等差数列求和公式的思想方法，类比寻求推导等比数列的前n项和公式的方法． 类比就是依据两个或两类数学对象的相似性进行联想，把它们其中一个数学对象已知的、较为熟悉的特殊性迁移到另一个和它相似的数学对象上去，进而得到新的发现或规律的思想方法． 类比思维是一种获得数学发现的重要数学思想，在数学学习和解题中起着至关重要的作用．有意识地、合理地运用类比法，不仅对教学效果大有裨益，而且可以帮助学生更好地建立认知结构，探索和发现新的命题、新知识，增强创新能力和解决问题的能力． 教学中着力培养学生类比推理能力是发展学生发现和自主创新的有效途径，是新课标所倡导的“合情推理”的重要体现．
【关键词】高中数学 生活化案例 有效教学
【中图分类号】G【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）07B-0102-02
新课程大纲中指出，数学教学的目的，是让学生在已有的知识经验和生活经验中学习和理解数学。这也就告诉我们，数学来源于现实生活，也应该用于现实生活中。因此，数学教学的最终目的应围绕引导学生把数学知识应用到现实生活中展开，让学生体会到数学知识的应用价值。在此，笔者在教学实践经验的基础上，探索生活化案例在高中数学课堂中的有效应用。
一、以社会热点为教学案例开展教学
热点是社会生活的重要部分。所谓热点问题，也就是与民生有关的问题，是老百姓比较关注的问题。通过热点问题，引导学生从数学角度分析社会现象，从而提高分析社会现象的能力，达到锻炼思维的教学目的。为此，数学教师在课堂教学中，以社会热点为教学案例，把数学问题和社会生活实际相结合，让学生在关注社会热点问题的基础上，体会到数学知识对社会的应用价值，增强学生对社会的责任感。
为此，数学教师应钻研教材，把数学知识和社会热点巧妙结合来设计问题。在问题的设计上，引导学生探究问题答案的意识，从而启迪智慧，激发学生的思维火花和学习欲望。例如教师在讲述《计数原理》（高中数学人教版选修2-3）这一节课的时候，可根据现在经济水平提高，社会上私家车比较多，许多学生的家庭都买有小车的热点问题，来讲述计数原理，设计这样的问题：“某一城市的私家车数量不断增多，为了方便汽车的管理，汽车牌照号码因此需要扩容。为此，该市的交通部门专门出台了一种组合汽车牌照的方法。要求每一辆汽车要有三个不重复的英文字母和三个不重复的阿拉伯数字，并且三个数字需要合成一组出现，三个字母也需要合成一组出现。运用这种汽车牌照的组合方法，能给多少辆汽车安装牌照？”之后，引导学生通过公式来算出答案。通过这个社会热点的案例讲述，不仅能引导学生关注社会，也能让学生理解到数学知识对社会的实用价值，从而成功达到教学目的。
二、以学生生活为教学案例开展教学
新课程数学大纲指出，必须从学生已有的知识和生活经验来学习数学。因此，生活化案例必须以学生生活为出发点来构建。为此，教师在课堂教学应以学生所熟悉的生活原型来构建生活案例。在生活案例构建上，为学生创建探究问题答案的情境，让学生在寻求答案的过程中体验生活。这样不仅能激发学生参与数学学习的积极性，而且能让学生体会到数学与生活的联系。
在以学生生活为主的教学案例构建上，教师应以学生在平时生活中所看到的、所观察到的、所摸得到的事例来开展教学，把书本上深奥、枯燥、抽象的数学理论知识转为活生生、形象直观的生活现实，让学生能发现生活中的数学知识，并引导学生在生活中发现数学、学习数学知识等。为此，教师在设计数学方法和教学内容的时候，应把教材知识和学生生活联系起来展开教学。如在讲述“数列”的时候，教师可以举例学生在生活中比较熟悉的保险、证券、存贷款、期货等，也可以举学生比较熟悉的社会例子，如人口质量、人口数量增多、土地等资源利用和分配、环境问题中的空气污染、水资源保护、植被覆盖等问题，让学生在熟悉的生活例子中理解抽象的数列知识。
又如在讲解《概率》（人教版高中数学必修3）的时候，为了让学生理解概率的应用，教师也可以举学生熟知的出租车的应用题为教学案例。城市里有红色出租车公司和绿色出租车公司，其中红色出租车占城市的出租车比例为85%，绿色出租车占城市出租车的比例为15%。一个晚上，一辆出租车发生了交通事故，根据目击证人叙说，在事故现场的出租车是绿色的。警方之后对目击证人的辨别能力进行了测定，证人正确辨认率为85%。根据这判定，警方也就确认这俩出租车是绿色的。然后教师可以让学生根据所学的概率知识进行解题，得出红色出租车出现的概率应该是0.59，绿色出租车出现的概率应该是0.41，因此警方的判定方法是不科学、不公平的。这一种学生所熟知的生活化案例，能令学生产生一种亲切的感受，并且加深对数学知识的理解。
三、以知识应用为教学案例
“知识的全部价值在于应用”。数学知识的灵魂就在于实用性。数学知识在生活中有着积极的应用价值，如生活中的购物、分期付款、算账等，这些都需要用到数学知识。高中数学教育的最终目的不是为了灌输知识，而是教会学生去灵活应用数学知识。高中数学教师应该把课堂教学内容与学生的生活实际、学生的生活经验结合起来，引导学生把所学到的数学知识应用在生活上，让学生在学以致用、学有所用的过程中，激发学习数学的热情。
为了达到把数学知识应用到实际生活中的目的，教师应指导学生学会运用数学知识，去分析、观察和解决生活中的现象和问题。如在讲述不等式、函数、统计、数列等数学知识的时候，教师可以把它们与解决生活中的问题联系起来，让学生在学习数学知识的同时，提高数学知识实践应用能力。
如在讲述《等差数列的前n项和》（人教版高中数学必修5）（下转第104页）（上接第102页）的时候，教师可以学生生活为例子来讲述。
为了参加冬季运动会的 5000 m 长跑比赛，某同学给自己制定了 7 天的训练计划。
5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000
学生通过解答，得知这等差数列的差 d=500，a1=5000，a7=8000，因此求前 n 项的和是 Sn=n（a1+an）/2=7（5000+8000）/2=47000。这个应用题把等差数列应用到学生的生活中，使学生感悟到等差数列对生活的实际应用价值。
又如这样一道应用题，“某人参加养老保险，每年年末存入等差额年金 a 元，即第一年末存入 a 元，第二年末存入2 a 元……，第 n 年末存入 na 元，年利率为 k ，按复利计算，则第 k+l 年初他可一次性获得养老本息多少元？”这个养老保险算率问题，让学生也体验到了数学知识在生活中的应用。
“双向三环节”试卷讲评模式就是教师与学生双向反馈，课堂教学设计结构分为“分组讨论――师生互动评析――及时训练”三段的模式，下面阐述具体的教学策略。
一、双向反馈
双向反馈是指一方面教师在考试后及时向学生反馈答案信息，让学生能够在课前自由地核对答案和讨论;另一方面教师通过改卷、数据分析，获得“学生对知识的掌握程度与易错知识点”的有用信息，这是给课堂教学带来活跃气氛和获得较高效益的前提，其具体结构如图所示。
1. 教师向学生反馈。
（1）笼统反馈、答案张贴。
这种方法是直接把参考答案张贴于教室后面的信息栏或黑板上。当学生获得答案后往往会引起兴奋点，而且在课间能够引起全班范围的讨论。教师在以这种方式向学生反馈答案时一定要注意必须等到所有科目考试完毕后，否则可能引起学生情绪波动。它的优点是经过校对答案和热烈的讨论，学生往往会带着疑问，甚至带着争论。另外学生如果有比参考答案更好的解题方式，学生会产生自豪感，能够引起学生在课堂上的讨论。经过笔者几年的教学实践，发现及时向学生反馈答案比在课堂上反馈答案更容易引起在课堂教学中的师生互动，而且学生往往会带着轻松愉快的心情来讨论试题，因为消极情绪已经在上课前得到宣泄。
这种方法也是课前完成的，教师可以事先将班级进行分组，然后每组一份答案。笔者经常用这种方法反馈答案，它的优点是给学生的参考答案带有详细的分析，而且每小组一份后可以由其中一人负责进行校对、讨论。笔者常将每邻近的4人为一小组并设立一位组长。然后将答案分发给每位组长，让他（她）负责组内成员校对讨论。有些教师可能认为每人一份答案更好，这样有的同学会将答案束置高阁。这种方式的反馈答案设置比较详细，如某份数学试卷的第14题给出的参考答案如下：
例1：已知，且当时，不等式恒成立，则实数的取值集合为。
参考答案：将原式看成关于的不等式！设当时，恒成立，只要，即得。本题的主要解题思想方法是“变换主元”。
这种方式呈现答案的好处是能够使学生一看就明白自己错在哪里，而且能够自行解决一大部分错题。缺点是教师制作答案使比较困难，答案的准备时间较长一些。
二、“三段”教学模式
1. 第一阶段：分组讨论、学生交流。
分组可以按班级成员的多少进行。我所教的两个班的成员都是50人左右，我常常以4人小组或6人小组进行讨论。一般开学初就可以确定分组和小组长，这样讨论能够有序有效，教师应当及时进行调控，不然只是课堂体现出热闹的表象而已。
比如我对于某次考试，我已经将详细的答案在课前分发给每位组长，然后让学生进行分组讨论：
师：这次考试的整体情况不错，其分数段情况请看屏幕（教师把分析所得的数据投影出来）。课前我们已经对过答案，下面请组长组织讨论分析以下几个问题（投影）：
A。小组成员错的最多的题目？哪个选项或步骤最容易错？属于哪块知识模块？
B。哪些试题与我们曾经做到过的例题相似，区别在何处？
C。经过这次考试你获得了什么新知识和新方法？这些知识或方法可用在哪种题型中？
D. 哪些题目是你觉得自己的方法比参考答案好？请写在纸上。
一般给学生讨论5-8分钟，然后组员代表发表意见，如果有较好解题方法可以进行直接投影。教师要把握时间并适时进行引导，学生发表意见或个性化解题方案的时间大约为10分钟左右，如果学生还要发言，教师可以提醒“我们课后再进行交流”。这种方法达到“权力下放”，能让课堂充分活跃起来，学生可以体会探索的乐趣，是“向课堂要快乐”的最好方式。当然在讨论时，教师可以在过道上监督，避免学生空谈，及时进行引导。
2. 第二阶段：师生互动、试卷评析。
这个阶段，教师根据统计分析，学生错误的典型题目进行讲解。因为学生自己进行校对和讨论，有时不能把握重点或是对题目理解不够深刻。教师可以根据自己的试卷分析，挑选典型错题，进行评析和变式训练。教师进行试卷评析时，切忌“一讲到底”或是仅仅“陈列答案”，这样会让学生觉得乏味、不易集中精神。笔者摸索出以下几种方式：
（1）展错纠误。
课前，教师挑选出错误率较高的试题，然后再在本班学生中寻找典型错误答案，然后拍成数码照片或进行扫描，然后进行实物投影。当学生看到别人错误答案时，往往会主动寻找其出错的地方，这是一种很好的思维训练方式。通过实践，教师发现学生能够在考试中减少一些不必要的失误。
例2：在直线上取一点，过点以椭圆的焦点为焦点作椭圆。（1）点在何处时，所求的椭圆长轴最短？（2）求长轴最短的椭圆的方程。
教师投影以下几种答案，让学生讨论：
投影一：设，则，所以当，即时，有最小值99。
师：请看该同学的答案是否正确？为什么？
生1：不正确，因为他记错了两点之间的距离公式。
投影二：，所以当时，即点的坐标为时，有最小值。
师：那么这个答案呢？
生2：也不正确，因为这位同学没有注意到用均值不等式求两正变数的和的最小值需要积为定值。
教师在选择投影答案时尽量挑具有代表性的错解，还应当注意不要挑选敏感学生的答案，免得打击信心，有时教师可以自己抄录或者班级交错，学生就猜不出是谁写的。
（2）典例变式。
所谓变式教学是指引导学生认识试题特性的过程，不断变更所提供的材料或呈现形式，使本质属性保持稳定而非本质性不断变化。这样更容易引起学生的迁移学习，能够激发学生的创造性。
例3：已知函数，。
（1）略，（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围。
变式1：若对任意的，都有成立，求实数的取值范围。
变式2：若存在，使成立，求实数的取值范围。
变式3：若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围。
通过变式教学使学生能做到“知其然，又知所以然”，真正达到“教会简单的，学会复杂的”目的。
（3）固化模型。
将知识和题型模型化，有些人不赞成. 他们认为这样做不仅禁锢了学生的思维、阻碍了学生的发展、形成了学生的定势，而且还影响了学生发散性思维的形成. 对于这个有不同看法的问题实际上是探究性教学与接受性教学孰优孰劣的问题. 虽然现在提倡的是探究性教学，但也有的专家提出，初中的勾股定理、高中的球的体积公式学生也探究得出？所有的公式定理你都去探究一番吗？其实数学能够发展到今天，正是不断接受前人的研究成果、不断将典型问题模型化的功劳. 因此，我们在试卷讲评时要大胆地将知识、题型归类和模型化.
例4：已知.
（1）求的最小值;（2）求证：.
本题是近几年高考卷和各类模拟卷中经常出现的一类与函数有关的数列不等式问题，从题干来看是函数问题，并且前几问也是函数问题，但最后一问却是数列不等式的证明题.对于此类问题，可以归纳为如下的解题模式：
第一步：就是由已知条件或已得结论得到一个关于自变量的函数不等式（其中表示这些不等号）.而具体要得到函数不等式常有以下四种途径：
（1）前问已要求证明了一个函数不等式;（2）由“函数最值”得到一个函数不等式;（3）由“不等式恒成立”得到一个函数不等式;（4）由“函数单调性”得到一个函数不等式.
第二步：就是对函数不等式中的进行赋值，令，从而得到一个关于正整数的数列不等式.
第三步：如果结论不等式与“数列的和”有关，则需要对数列不等式中从1到逐次赋值，再对得到的不等式进行累加;若结论与数列的积有关，可逐次赋值后再用累乘法，或者不等式两边取对数，转化为数列的和.
这样做的好处就是学生能够快速找到解题的突破口，而且上述总结过程也是学生概括等能力的培养过程。
教师经过不同方法的分析，使得课堂气氛活跃，并能够提高效率。试卷评析的方法可以变化，但是原则不能变。笔者认为教师在讲解中要遵循以下四个原则：
宁缺毋滥，精讲精练。教师在挑选试题评析时切忌面面俱到，而是要有所选择。一般选择一些具有典型性地、出错率比较高的题目，哪些学生一对答案就明白或太偏太怪的试题只要点到即可。教师在选择具有知识考察代表性的试题时进行及时的变式训练或做随堂练习，根据“最近发展区理论”让学生达到一个新的发展水平。
重点突出，主题鲜明。每一堂试卷评析课必须有明确的主题，突出重点知识板块。教师在选择评析试题时，不要出现太多的知识模块，而是要突出重点，加深学生对该知识的影响。如果某张试卷涉及很多知识模块，学生有对其中好几个模块出现掌握不牢固的现象，那么可以将相对非重点模块推迟到以后的课堂上讲。因为一堂课学生不可能掌握太多的新知识。
讲清变化，给出方法。有些试题与以前做过的例题开始一样，其中题干稍有变化可能出现截然不同的答案。这是教师一定要讲清变化，让学生讨论出现不同答案的原因，甚至可以进行更多的变式训练，达到巩固、深化知识的目的。
构建体系，脉络清晰。教师在试卷评析时，一定要构建知识体系，让学生清楚知道每一个试题应该属于哪一知识体系。特别是临近高考，学生如果能清晰掌握知识体系与知识脉络，能够增强信心，并且对每次学到的知识能够条理清晰的归类到某个体系当中。
3. 第三阶段：同类习题，巩固练习。
一般学生较容易出错的题目，教师必须引起注意。如果在试卷评析时或评析后，教师往往会让学生重做错题，为了加深对知识的理解。笔者认为教师可以出一张“纠错卷+巩固练习卷”，这是1+1模式，有助于学生对刚懂知识或刚学技能的应用。如果仅仅做错题，学生往往凭着教师讲解的印象照搬照抄的做一遍，而追加一张对应错误试题的“巩固练习”有助与学生对获得知识的消化与提高技能应用能力。
对这种“1+1模式”纠错卷的组织有一定的难度，这必须调动高三整个数学备课组的团队合力，共同寻找合适的资料。其呈现的方式可以有两种：如果时间来得及，当堂训练，可以用PPT呈现;如果时间来不及，形成“1+1”模式的试卷作为课后作业。
三、结束语
经过笔者几年带教高三数学的经验，“双向三环节”试卷讲评模式能够成功的应用于高三数学复习教学中。“双向反馈”为课堂讨论做准备：趁学生刚做完试卷，对试题记忆清晰并存在一定的兴奋度，及时向学生反馈参考答案能够起到良好的作用。而教师经过仔细的试卷分析，掌握了学生的答题情况，有助于课堂上形成正确的引导。“三环节”教学模式在课堂上给学生带来了轻松愉快的心情，一改以前的“师评生听”的被动模式，大大提高了教学效率。
参考文献：
一、等差数列与函数的综合运用
我在对等差数列知识的研究中发现,由等差数列的通项公式a=a+(n-1)×d,可得a=dn+(a-d)。如果p=d,q=a-d,那么a=pn+q,其中p,q都为常数,当p≠0时,a是关于n的一次函数,即(n,a)在一次函数y=px+q的图像上。因此,在进行等差数列解题时,可以有效运用这一内在关系,进行两者之间问题知识的解答。
案例:已知二次函数f(x)=x+2(10-3n)x+9n-61n+100(n∈N)。(1)设函数y=f(x)的图像的顶点的横坐标构成数列{a},求证数列{a}为等差数列;(2)设函数y=F(x)的图像的顶点到y轴的距离构成数列{d},求数列{d}的通项公式,并求{d}中第几项最小,其值是多少?
教师可引导学生进行分析发现,此题考察的是等差数列与函数知识的综合运用。因此在解题时,可以把握数列与函数定义域的联系和区别。同时二次函数的图像是抛物线,其顶点的横坐标为x=-b/2a,由此可以写出关于n的函数表达式。
其解题过程为:
证明:(1)函数f(x)=x+2(10-3n)x+9n-61n+100(n∈N),顶点的横坐标为x=-b/2a=3n-10,数列{a}的通项为a=3n-10(n≥2,n∈N),a-a=(3n-10)-[3(n-1)-10]=3,数列{a}是等差数列。
解:(2)函数f(x)=x+2(10-3n)x+9n-61n+100,顶点的横坐标为x=3n-10,则顶点到y轴的距离为13n-101,即数列{d}的通项公式为d=13n-101。令3n-10≥0,n≥10/3(n∈N), n≥4。故通项公式为d=10-3n(1≤n≤3)和3n-10(n≥4)。设数列{d}中第n项最小,则d≤d,和d≤d, 求得51≤18n≤69, 3≤n≤3,故当n=3时,即数列{d}的第三项最小,d=10-3×3=1。
二、等比数列与函数的综合运用
等比数列用函数的眼光看待,就可以将等比数列改写成a=×q的形式,通过分析,就可以看出,等比数列{a}的图像时函数y=×q的图像上的一群孤立的点。所以在教学中,教师可以采用这种联系,进行问题的解答。
案例:已知函数f(x)=ab的图像上的点A(4,)和B(5,1)。(1)求函数F(x)的解析式;(2)设a=logf(n),n是正整数,S是数列{a}的前n项和,解关于n的不等式aS≤0。
教师要引导学生抓住函数与数列之间的内在关联点,分析出它们之间的深刻联系,进行问题的有效解答。学生在观察、思考、分析后,进行解答过程如下。
解:(1)f(x)=ab的图像上的点A(4,)和B(5,1),得出b=4,a=,f(x)=。
(2)由题意可得到:
a=logf(n)=log=2n-10,a-a=2n-10-2(n-1)+10,
{a}为等差数列。S=a+×n=(n-9)n,aS=(2n-10)×(n-9)n=2(n-5)×(n-9)n≤0,5≤n≤9,故n=5.6.7.8.9。
三、等差、等比数列与函数的综合运用
等差数列、等比数列,都可以看作是特殊的函数,因此我们在解决问题时,可以运用前移和联系的数学思想,把解决函数问题的思想融入到数列中方程、不等式等知识解决数列中的有关问题,这种形式的解题方式形式新颖、思维创新、结构巧妙,是现在高考中的热点命题形式之一。
如在数列章节知识复习时,教师可以设置这一问题。
已知数列{a}是等差数列,且a=50,d=-0.6,(1)从第几项开始有a
对于这一问题,教师在进行习题分析时,要深刻认识到,第一小题实际上是接一个不等式,但要注意n∈N。对于第二小题,实际上是研究S随n的变化规律,由于等差数列中的S是关于n的二次函数,因此在学生解答问题时,教师可以引导学生采用用二次函数的方法进行最值的求解,或可以采用由a的变化来进行推测S的变化。教师进行示范解答过程如下:
解:(1)a=50,d=-0.6,a=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6。令-0.6n+50.6≤0,n≥84.3。由n∈N,故当n≥85时,a
(2)d=-0.60,由(1)知a>0,a
关键词：新课程；高中数学；简约化；课堂教学；情境教学；基础
江苏省高中数学新课程改革数年，教学从传统的启发式慢慢在走向建构、探究等新型的教学方式，这种转变是恰如其分的. 经历数年的教改，教师的教学方式相比传统方式有了很大程度的提高，学生的学习方式不仅限于沉默、被动地接受，还能通过多元化的学习方式去学习高中数学.
但是近年来的数学教学却慢慢在陷入一种误区：常常看到公开课教学中处处探讨、讨论和合作，好像不讨论、不合作的公开课是不能称之为新课程下的数学课的. 教师在教学过程中设计完美，甚至课堂上的过渡、衔接均被设计成精细的链接，笔者以为这样的课堂只能拘小节而失大气！从另一方面来说，如今的课堂教学为学生考虑过于仔细，比如新授课往往连学生没想到的问题都设计进去，让课堂毫无创意和新意可言，过于精细化的教学，使得学生渐渐地失去主动学习的能力，使得很多学生得高分而低能！因此笔者认为，数学教学该简的时候必须要简. 下文将从两个角度结合案例的方式，简单说明高中数学需要返璞归真，让数学成为开发学生思维、培养学生美感、启发学生创新思维的一门学科.
[?] 简约情境 突出本质
新课程注重学生感性认识，对理性证明的要求相比以往大大降低了，即情境教学（非形式化的数学）开始占据学生思考的大部分，而严谨、严格、严密、简洁的数学形式化结论和证明却大大被忽视了，其具体表现是：课堂教学重情境、轻认知，重包装、轻本质，多复杂、少简约. 这是一个危险的信号，数学离不开形式化，高中生日益增长的思维也可以接受形式化的数学，因此笔者认为课堂需要简洁的情境教学，来看一个案例.
案例1 苏教版《对数函数的概念》
某次公开课一位教师设计了如下的教学引入：“同学们，唐僧师徒取得真经后，佛祖要奖励他们，但首先佛祖要考孙悟空.题目是：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个，……，你能发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数吗？你能替悟空用向量的知识来解答吗？”教师的问题提出之后，大多数学生都闹哄哄地谈论起孙悟空的故事，甚至有的学生在下面悄悄地说教师瞎编.
思考：从教学效果来看，该情境的设置并没有进入对数学本质积极的思考状态. 案例情境的意图是从编译的问题中引出相关计算，进而引发对数概念的产生，引发学生积极的思考，但显然教师把孙悟空和函数题强行捆在一起，牵强附会，教学引入的效果显然违背了执教者的初衷，而且和本课的数学本质联系很牵强，情境内容对数学探究愿望和数学思维展开形成较大抑制和干扰，使学生没能有效地产生数学认知冲突，故要舍弃课堂教学中刻意浮躁、浮夸的情境设计，努力追求简约的引发数学本质的情境.
案例2 2011年江苏省数学优质课节选《等比数列求和》
引入：1997年，我大学毕业，来到南京一所私立高中找工作，校长是一位江苏省颇有名气的数学特级教师，在上完试教课后，校长对我说：“欢迎你到我们这里来！关于第一年的工资问题，我给你两个选择：方案A：第一个月1000元，然后逐月增加100元；方案B：第一个月4元，第二个月8元，…，以后每月的工资是前一个月的2倍. 你选择哪一个方案？”
引入问题的背景来源于现实生活，拉近了师生间的距离. 再通过师生之间方案A的计算，起到了复习等差数列求和公式的作用；而方案B是一个等比数列的求和问题，它的出现，引入了学生认识上的矛盾，引起了学生的直观和实际的矛盾，而等比数列求和公式就是本堂课所要学习的内容. 因此，可以说它实际上起到了承上启下、水到渠成的功效，调动学生进入火热思考数学问题的状态，既简约又凸显本质. 情境教学的目的是能让学生在创设的情境中学习，进而还能脱离这一特定情境，向与等比数列有关的数学问题或情境迁移，凸显情境在提出数学问题中的驱动作用与支架地位. 过多地关注情境中非数学特征的形式只会让课堂复杂、浮躁，降低情境创设的效益，也离开了情境为数学教学服务的宗旨.
[?] 简约课堂 返璞归真
笔者认为，新课程的初衷是很好的，强调了对“知识的建构”，即通过主动地探究掌握知识形成的过程，有助于知识的理解和掌握. 但是因为教学课时、高考制度等或这或那的原因，建构更多时候是一句空话，成为公开课的笑柄.久而久之，那些建构课大都是一种摆设，做做样子，既不实用，又操作很复杂，一点也不简约. 课程改革与如今高考的制度依旧是一种理想和实践的差距，相比所谓的建构，笔者倒觉得简约的课堂教学――夯实双基教学是一个不错的选择，既简约又高效！
理解这些数学双基知识，与其他知识区别与联系的纵向比较，与自身相似的知识等的横向联系，进而确定它在数学体系中的地位和作用等等，都需要一个螺旋式上升的过程. 面对高中数学中诸多的数学基础知识，教师不仅要将其根植于学生的知识体系中，而且需要一定的循环往复、螺旋上升，通过知识间的内在联系揭示使认知上升到一个新的高度，从现阶段来说，重拾双基、重视双基，要远比主动探究、自行建构之类来得更贴合教学实际，也更能简约化我们的数学教学.
案例3 判断ABC解的个数（苏教版必修5《正余弦定理》）
笔者以为，从学生角度来说，头脑中没有把基础知识联系起来，死记硬背的知识记忆往往是由于较差的学习习惯造成的，唯有注重理解，养成较好的习惯才能使学生的记忆牢固：
（1）何种三角形才会有两解？
（2）有多解的三角形如何判断？
联系（初中数学）全等三角形判断的知识，笔者是这样进行教学的，如表1：唯有第四种情况SSA（边边角的情形能产生多解），其余三种情形SSS（边边边）、SAS（边角边）、AAS（角角边）都是唯一全等的.
结合上述知识，来看一个实际问题：
练习：在ABC中，由下列各组条件求解三角形，其中有两个解的是______.
①b=20，A=45°，C=80°；
②a=30，c=28，B=60°；
③a=14，b=16，A=45°；
④a=12，c=15，A=120°；
学生：第①项，AAS，必定一解； 第②项，SAS，必定一解；第③项，SSA，sinB
对于初中学生朋友，学习是一个循序渐进的过程，需要日积月累。接下来是小编为大家整理的 初一数学《从算式到方程》教案集锦，但愿对你有借鉴作用!
初一数学《从算式到方程》教案范文一
教学目标
1.知识与技能
(1)通过观察，归纳一元一次方程的概念.
(2)根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解.
2.过程与方法.
通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.
3.情感态度与价值观
鼓励学生进行观察思考，发展合作交流的意识和能力.
重、难点与关键
1.重点：了解一元一次方程的有关概念，会根据已知条件，设未知数，列出简单的一元一次方程，并会估计方程的解.
2.难点：找出问题中的相等关系，列出一元一次方程以及估计方程的解.
3.关键：找出能表示实际问题的相等关系.
教具准备：投影仪.
教学过程
一、复习提问
在小学里，我们已学习了像2x=50，3x+1=4等简单方程，那么什么叫方程呢?什么叫方程的解和解方程呢?
答：含有未知数的等式叫方程;能使方程等号两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程.
方程是应用广泛的数学工具，把问题中未知数与已知数的联系用等式形式表示出来.在研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数.
怎样根据问题中的数量关系列出方程?怎样解方程?这是本章研究的问题.
通过本章中丰富多彩的问题，你将进一步感受到方程的作用，并学习利用一地一次方 程解决问题的方法.
二、新授
1.怎样列方程?
让学生观察章前图表，根据图表中给出的信息，回答以下问题.
(1)根据图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间表，你知道，汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间?青山到秀水呢?
(2)青山与翠湖、秀水到翠湖的距离分别是多少?
(3)本问题要求什么?
(4)你会用算术方法解决这个实际问题呢?不妨试试列算式.
(5)如果设王家庄到翠湖的路程为x(千米)，你能列出方程吗?
解：(1)汽车从王 家庄行驶到青山用了3小时，青山到秀水用了2小时.
(2)青山与翠湖的距离为50 千米，秀水与翠湖的距离为70千米.
(3)王家庄到翠湖的距离是多少千米?
(4)分析：要求王家庄到翠湖的距离，只要求出王家庄到青山的距离，而王家庄到青山的时间为3小时，所以必需求汽车的速度.
如何求汽车的速度呢?
这里青山到秀水的时间为2小时，路程为(50+70)千米，因此可求的汽车的平均速度为(50+70)÷2=60(千米/时)
王家庄到青山的路程为：60×3=180(千米)
所以王家庄到翠湖的路程为：180+50=230(千米)
列综合算式为： ×3+50
(5)分析：先画出示意图，示意图往往有助于分析问题.
从上图中可以用含x的式子表示关于路程的数量：
王家庄距青山(x-50)千米，王家庄距秀水(x+70)千米.
从章前图表中可以得出关于时间的数量：
从王家庄到青山行车3小时，从王家庄到秀水行车5小时.
由路程数量和行车时间的数量，可以得到行车速度的表达式.
汽车从王家庄开往青山时的速度为 千米/时，汽车从王家庄开往秀水的速度为 千米/时.
要列出方程，必需找出“相等关系”，题目中还有哪些相等关系吗?
根据汽车是匀速行驶的，可知各段路程的车速相等.
于是列出方程：
=
以后我们将学习如何解这个方程，求出未知数x的值，从而得出王家庄到翠湖的路程.
思考：对于以上的问题，你还能列出其他方程吗?如果能，你依据的是哪个相等关系?
根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等.
所以还可以列方程：
= 或 =
(前者是汽车从王家庄到青山与从青山到秀水，这两段路程的车速相等，后者是汽车从王家庄到翠湖与从青山到秀水，这两段路程的车速相等)
比较用算术方法和列方程方法解应用题，用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难;而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，有了这个未知数，问题中的已知量与未知量之间的关系就很容易用含有这个未知数的式子表示，再根据“相等关系”列出方程.
有了方程后人们解决许多问题就更方便了，通过今后的学习，你会逐步认识：从算式到方程是数学的进步.
列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程.
例1：根据下列问题，设未知数并列出方程.
(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少?
分析：设正方形的边长为x(cm)，那么周长为4x(cm)，依题意，得4x=24.
初一数学《从算式到方程》教案范文二
教学目标：
1.通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步.
2.初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念.
3.培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力.
教学重难点： 从实际问题中寻找相等关系.
教学过程：
一、情境引入
提出课本P78的问题，可用多媒体演示题目描述的行驶情境.
1.理解题意：客车比卡车早1小时经过B地，从这句话中可知客车、卡车行驶的路程和时间分别有什么关系?
2.能否列算式求出A、B两地之间的路程，要求能够解释列出的算式表示的实际意义.
3.提出问题，如果用字母x表示A、B两地的路程，根据题意会得到一个什么样的式子?
二、学习新知
1.引导学生把题中的数量用表格形式反映题意：
路程(km) 速度(km/h) 时间(h) 卡车 x 60 客车 x 70
2.学生回顾方程的概念，探讨、列出方程，并说出列得方程的依据.
3.讨论列出方程表示的意义，并对比算术方法，体会列方程解决问题与列算式解决问题的优越性.
4.反思：这个问题中除了A、B两地的路程是一个未知量，还有没有其它的量是未知的?如果还有其它的量是未知的，能否用字母(或未知数y)表示这个未知量，列出与前面不同的方程呢?学生分组讨论.
5.将题中的已知量和未知量用表格列出：
路程(km) 速度(km/h) 时间(h) 卡车 60 y 客车 70 y-1
6.探讨：①列出关于y的方程;②解释这个方程表示的实际意义(或列出这个方程的依据);③如何求题目问题：A、B之间的路程.
7.总结以上列出两个含不同未知数x、y的方程的方法：①以路程为未知数，则根据两车行驶时间的关系列方程.②以行驶时间为未知数，则从两车行驶路程的关系列方程.
8.比较列算式和列方程两种方法的特点：阅读课本P79.
9.举一反三：分别列算式和设未知数列方程解决下列问题：
(1)某数与它的的和是8，求这个数;
(2)班上有女生32人，比男生多，求男生人数;
(3)公园购回一批风景树，其中桂花树占总数的，樟树比桂花树的棵数多，杉树比前两种树木的棵数和还多12棵，求这批树木总共多少棵?
三、初步应用
1.例1：课本P79例1.
例2(补充)：根据下列条件，列出关于x的方程：
(1)x与18的和等于54;
(2)27与x的差的一半等于x的4倍.
列出方程后教师说明：“4x”表示4与x的积，当乘数中有字母时，通常省略乘号“×”，并把数字乘数写在字母乘数的前面.
2.练习(补充)
(1)列式表示：
① 比a小9的数; ② x的2倍与3的和;
③ 5与y的差的一半; ④ a与b的7倍的和.
(2)根据下列条件，列出关于x的方程：
①12与x的差等于x的2倍;
②x的三分之一与5的和等于6.
四、课时小结
1.本节课我们学了什么知识?
2.你有什么收获?
五、课堂作业
小青家3月份收入a元，生活费花去了三分之一，还剩2400元，求三月份的收入.
第2课时 一元一次方程
教学目标：
1.理解一元一次方程、方程的解等概念.
2.掌握检验某个值是不是方程的解的方法.
3.培养学生根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的能力.
4.体验用估算方法寻求方程的解的过程，培养学生求实的态度.
教学重点：寻找相等关系，列出方程.
教学难点：对于复杂一点的方程，用估算的方法寻求方程的解，需要多次的尝试，也需要一定的估计能力.
教学过程：
一、情境引入
问题：小雨、小思的年龄和是25.小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是几岁?
如果设小雨的年龄为x岁，你能用不同的方法表示小思的年龄吗?(25-x，2x-8)
由于这两个不同的式子表示的是同一个量，因此我们又可以写成：25-x=2x-8，这样就得到了一个方程.
二、自主尝试
1.尝试：让学生尝试解答课本P79的例1.
2.交流：
在学生基本完成解答的基础上，请几名学生汇报所列的方程，并解释方程等号左右两边式子的含义.
3.教师在学生回答的基础上作补充讲解，并强调：(1)方程等号两边表示的是同一个量;(2)左右两边表示的方法不同.
4.讨论：
问题1：在第(1)题中，你还能用两种不同的方法来表示另一个量，再列出方程吗?
问题2：在第(3)题中，你还能设其它的未知数为x吗?
5.建立概念
(1)概念的建立：
在学生观察上述方程的基础上，教师进行归纳：各方程都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
“一元”：一个未知数;“一次”：未知数的指数是一次.
判断下列方程是不是一元一次方程：
①23-x=-7; ②2a-b=3;
初一数学《从算式到方程》教案范文三
教学
目标 1、通过处理实 际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步。
2、初 步学会如何寻 找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念。
3、培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力 。
教学过程 一、情景引入：
教师提出教科书第79页的问题，同时出现下图：
问题1：从上图中你能获得哪些信息?
问题3：能否用方程的知识来解决这个问题呢 ?如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，那么王家庄距 青山 千米，王家庄距秀水 千米.
二.新课讲解
问题1：题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思?
问题2：汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示?你能表示其他各段路程的车速吗?
问题3：根据车速相等，你能列出方程吗?
教师引导学生设 未知数，并用含未知数的字母表示有关的数量
教师引导学生寻找相等关 系，列出方程.
教师根据学生的回答情况进行分析，如：
依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车速”可列方程 ：
依据“王家庄至青山路段的车速=青山至 秀水路段的车速”
可列方程：
对于上面的问题，你还能列出其他方程吗?
如果能，你依据的是哪个相等关系?
如果直接设元，还可列方程：
如果设王家庄到青山的路程为x千米，那么可以列方程：
依据各路段的车速相等，也可以先求出汽车到达翠湖的时刻：
，再列出方程 =60
三.练习巩固
1、例题P/80
2、练习(补充)：
初一数学《从算式到方程》教案范文四
【教学习目标】
一、知识与技能
1、通过处理 实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步。
2、初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念。
3、培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。
二、过程与方法
通过实际问题，感受数学与生活的联系。
三、情感态度与价值观
培养学生热爱数学热爱生活的乐观人生态度。
【教学方法】
探索式教学法
教师准备教学用课件。
【教学过程】
一、新课引入
教师提出教科书第79页的问题，同时出现下图：
问题2：你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗?
问题3：能否用方程的知识来解决这个问题呢?
可以提示学生从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。)
当学生列出不同算式时，应让他们说明每个式子的含义)
教师可以在学生回答的 基础上做回顾小结：
1、问题涉及的三个基本物理量及其关系;
2、从知的信息中可以求出汽车的速度;
3、从路程的角度可以列出不同的算式 ：
如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，那么王家庄距青山 千米，王家庄距秀水 千米.
问题1：题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思?
问题2：汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示?你能表示其他各段路程的车速吗?
问题3：根据车速相等，你能列出方程吗?
教师引导学生设未知数，并用含未知数的字母表示有关的数量
教师引导学生寻找相等关系，列出方程.
教师根据学生的回答情况进行分析，如：
依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车速”可列方程：
依据“王家庄至青山路段的车速=青山至秀水路段的车速”
可列方程：
给出方程的概念，介绍等式、等式的左边、等式的右边等概念.
含有未知数的等式叫方程.
归纳列方程解决实际问题的两个步骤：
关键词：信号与系统；教学手段；教学方法
《信号与系统》是一门理论性极强、概念抽象、应用广泛的课程，是高等工科院校中电子信息工程、自动化工程、通信传输技术等专业的重要的专业基础课程。该课程的学习质量直接影响到后续课程《自动控制原理》、《数字信号处理》等课程的学习信心和效果。多年的教学实践表明，学生学习《信号与系统》最大的困难之一，在于变换域的概念抽象难理解，性质多，尤其学到课程的最后一部分，面对满页的Z变换性质表，相当一部分学生都缺乏信心，难以坚持。此时，课堂教学的方法就变得异常重要。一部分教师注重理论严谨，课堂会详细讲解性质的数学推导原理，一部分教师省略原理推导，课堂教学侧重利用性质的典型例题解算的讲解。然而上述方法，更适用于数学基础好，理解力足够的优秀学生，数学基础不过硬、综合能力比较差的学生在这样的教学过程中越发会对《信号与系统》缺乏信心，而这样的学生不在少数。笔者在多年的教学实践中探索出了一种较好的教学方法。结合有限长序列为案例，图解移位性质的产生过程，再总结严格的公式。学生在教学过程中即能理解公式的内涵，掌握起来又毫无压力。需要说明的是，Z变换存在双边Z变换及单边Z变换，由于单边Z变换在分析具有初始条件（即在起始时，不是静止的）的线性常系数差分方程的响应方面非常有用，本文的Z变换性质均以单边Z变换为前提，不讨论收敛域。
一、Z变换的移位性质的知识点
1.离散时间信号
二、因果序列的移位性质1的图解教案
利用因果序列实例及其右移序列，进行图解演示，如图3。可以看出，当因果序列右移一个单位时，其非零序列位对应相乘的Z的负幂次均比原Z变换高一个幂次。当因果序列右移两个单位时，其非零序列位对应相乘的Z的负幂次均比原Z变换高两个幂次。于此类推，右移n个单位，非零序列位对应相乘的Z的负幂次必然比原Z变换高n个幂次。图解过程清晰简洁的验证了移位性质1，。这样的解释过程，简单易懂，概念清晰。
三、非因果有限长序列的移位性质2的图解教案
四、结语
信号系统是一门理论性强、抽象概念多、公式多、运算复杂的课程，仅仅利用传统的教学手段进行教学必然使得学生感到巨大的压力，结果总会不尽人意。本文为信号与系统课程教学提供了一个新的方向。利用简单易懂的实例、生动形象的图解教学帮助学生顺利掌握和理解抽象的公式，将会起到事半功倍的教学效果。学生提高了兴趣，激发的热情，教与学的过程能够良性互动，教学质量自然就提高了。
参考文献：
[1]郑君里等，信号与系统导论[M]，北京：高等教育出版社，2010.
[2范世贵，令前华等，《信号与系统》[M]，西北工业大学出版社，2010.
[3]魏昕，信号与系统课程教学的几点体会[J]，中国科教创新导刊，2012 NO.26，131.
一、单选题
1．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先求出集合和集合，由此即可得到结论.
【详解】
由题意，，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查交集的求法，交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
2．计算（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用复数的运算法则即可得出．
【详解】
由复数的运算法则可得：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．已知直线平面，则“直线”是“”的(
)
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】当且时,我们可以得到或（因为直线与平面的位置关系不确定）,所以充分性不成立;当时,过直线可做平面与平面交于直线,则有.又有,则有,即.所以必要性成立,故选.
4．上海地铁号线早高峰时每隔分钟一班，其中含列车在车站停留的分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据几何概型的概率计算问题，求出对应时间的比即可．
【详解】
每分钟一班列车，其中列车在车站停留分钟，根据几何概型概率公式可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为.
故选：C．
【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题，对应时间的比值是解题关键，属于基础题．
5．《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常量），第天织了五尺，一个月（按天计算）共织九匹三丈（一匹四丈，一丈十尺），则该女子第天比第天多织布的尺数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设该女子第一天织布为，利用等差数列即可得到结论.
【详解】
记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则，，则，.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查等差数列的计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于基础题．
6．已知函数是一个求余数函数，表示除以的余数，例如.如图是某个算法的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】模拟执行程序框图，根据题意，大于的约数有：共个，即可得解.
【详解】
模拟执行程序框图，可得：
，，，
满足条件，，；
满足条件，，；
满足条件，，；
满足条件，，；
…
，可得程序框图的功能是统计大于的约数的个数，由于约数有：共个，故．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的的值是解题的关键，属于基础题．
7．已知是不共线的向量，，，，若三点共线，则满足（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用三点共线，即可得到结论.
【详解】
由三点共线，得，
是不共线的向量，，，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了三点共线，向量共线定理，属于基础题．
8．已知变量满足，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值.
【详解】
画出表示的可行域，如图，
平移直线，当直线经过点时，直线截距最小，最大，
所以，最大值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题.
9．已知函数在上最大值为且递增，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用正弦函数的单调性求得的最值，进而可得的最值.
【详解】
由题意可知，，，，，则，.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，不等式的解法，属于基础题．
10．已知，不等式对成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易证是奇函数且在上单调递减，利用函数性质得不等式，进而解得即可.
【详解】
，是奇函数且在上单调递减，
不等式即：，
结合函数的单调性可得：，，，所以.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立问题，利用奇函数的性质得不等式是关键，属于中档题.
11．在直角坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上的一点，满足，若点的横坐标取值范围是，则双曲线的离心率取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由可计算得，再利用即可得离心率的取值范围.
【详解】
由可得，，，，，由于，所以，，，，，.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质，向量数量积的运算，考查计算能力，属于中档题．
12．已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，得，进而得，再根据图像比较点与四个点，，，连线的斜率，即可得到答案.
【详解】
由，得，
故，在取得极小值，
根据图像，欲使解集中恰有两个整数，则比较点与四个点，，，连线的斜率，由可得.
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题
13．若直线是抛物线的一条切线，则__________．
【答案】
【解析】根据题意，联立方程即可得到答案.
【详解】
联立直线和抛物线得到．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.
14．一个棱长为的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为__________．
【答案】
【解析】在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球，即为放置的球与正方体相切与圆柱体也相切，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图，利用几何关系计算即可.
【详解】
如图，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图，
设球的半径为，则圆柱体底面圆半径,正方形的边长为，由题意可得，
，解得，即最大球的半径为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查球的半径的求法，几何图形的转化，属于基础题.
15．已知等比数列的前项和为，且，则__________．
【答案】
【解析】由等比数列前项和的通项公式得，进而可得比值.
【详解】
等比数列的前项和为，由已知，可知，则．
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列前项和的代数表达式，利用等比数列的定义是关键，属于基础题.
16．一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________．
【答案】
【解析】方法一：根据题意，蚂蚁第一次爬行可以到的任何一点，再利用第二次爬行到与不到进行分类计算，依次计算即可；
方法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，由题意得递推关系，进而可得结论.
【详解】
解法一：第一次爬行可以到的任何一点，第二次爬行分到与不到，对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到．爬行方法总数为（种）．
解法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，则，，，
，
，．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值）
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了计数原理的应用，构造数列，利用递推关系解决问题，属于中档题.
三、解答题
17．已知，的内角的对边分别为，为锐角，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用诱导公式和倍角公式对函数解析式化简，将代入即可得到答案；
（2）利用余弦定理求得的值，代入三角形面积公式求得三角形的面积.
【详解】
（1）函数
，
由得：，
为锐角，
，
；
（2）由余弦定理有，
，，，
，
，
.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，要求学生对正弦定理和余弦定理公式及变形公式熟练应用，属于基础题.
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，侧面底面，，，，点、点分别在棱、棱上，，，点是线段上的任意一点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）先证平面，再证平面，进而可得平面平面，即可得到答案；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，取平面的法向量，利用向量法求出二面角即可.
【详解】
（1）连接，由，得
平面
且，又，
则四边形为平行四边形，
故，平面
又
面面，
又面
平面.
（2）如图，以中点为原点，的中垂线为轴，直线为轴，过于平行的直线为轴，建立空间直角坐标系
则面的其中一个法向量，
设面的一个法向量
又，，
，
，令得，
则
故二面角的大小为.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，利用向量法求法向量，求二面角的大小，属于中档题．
19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：
受教育水平良好
受教育水平不好
总计
绝对贫困户
相对贫困户
总计
（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论；
（2）根据题意可得贫困指标在的贫困户共有（户），“亟待帮助户”共有（户），
则的可能值为，，，列出分布列，计算期望值即可.
【详解】
（1）由题意可知，绝对贫困户有（户），可得出如列联表：
受教育水平
良好
受教育水平
不好
总计
绝对贫困户
相对贫困户
总计
．
故有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关．
（2）贫困指标在的贫困户共有（户），
“亟待帮助户”共有（户），
依题意的可能值为，，，
，，
，
则的分布列为
故．
【点睛】
本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
20．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.
【答案】（1）；（2）是，理由见解析.
【解析】（1）求出，代入即可；
（2）设直线的方程为，，的坐标分别为，求出，的横坐标，，利用直线和椭圆联立，由韦达定理得,，即可求出.
【详解】
（1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，
，又由得，
解得：，或（舍去），
椭圆方程为；
（2）设直线的方程为，的坐标分别为
则直线的方程为，令，得点的横坐标
直线的方程为，令，得点的横坐标
把直线代入椭圆得
由韦达定理得,
，是定值．
【点睛】
本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的综合，圆锥曲线的定值问题，属于中档题．
21．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，单调减区间是，单调增区间是，；当时，单调增区间是，没有单调减区间；（2）.
【解析】（1）先求函数的定义域，利用函数的导函数，得或，当时，分，讨论即可得到答案；
（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为，由题意得，即，令，求新函数的最大值即可得实数的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
，
由，得或.
当即时，由得，
由得或；
当即时，当时都有；
当时，单调减区间是，单调增区间是，；
当时，单调增区间是，没有单调减区间.
（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为.
对任意，存在，使得，
即存在，使的值不超过在区间上的最小值.
由，.
令，则当时，.
，
当时；当时，，.
故在上单调递减，
从而，
从而.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若直线与圆交于两点，定点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，，即可得到圆的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和的几何意义，即可求得.
【详解】
（1）将代入，得：，
即圆的直角坐标方程为；
（2）设点对应的参数为，
把直线l的参数方程代入，
得：
化简得，
，
．
【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，同时考查直线与圆的位置关系，考查直线参数方程的运用，属于基础题.
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知实数正数x,
y满足．
（1）解关于x的不等式；
（2）证明：
【答案】(1).(2)见解析.
【解析】（1）利用零点分段法即可求解.
（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.
【详解】
（1）
解得，所以不等式的解集为
（2）解法1：
且，
.
当且仅当时，等号成立.
解法2：
且，
当且仅当时，等号成立.
(一)案例教学法便于学生对理论的理解和掌握计量经济学是一门比较复杂、抽象和深奥的课程，涉及到大量的数学公式和数学推导，学习和理解起来存在较大困难，学生学习往往感到枯燥乏味。在课程教学中借助案例教学，则可以生动形象地从案例分析中导出一般原理和规律，将抽象的计量经济学理论生动地呈现给学生，深入浅出，易于掌握。例如，“序列相关”这个概念比较抽象，也很容易混淆。教材给出的解释是“随机扰动项在不同的样本点之间存在相关性”。在理解时，可以让学生结合自身的消费行为、大学生的消费行为等来讨论经济活动的惯性，通过对学生自身消费行为惯性的认识，让学生对经济活动惯性导致的序列相关问题有一个准确深刻的理解。
(二)案例教学法可以充分激发学生学习的积极性和主动性鉴于计量经济学的多学科交叉性、多学科应用性等课程特征，只有用案例教学法进行教学，才可以激发学生的学习兴趣，提高教学效果。培养学生对计量经济学的学习兴趣，不能仅局限于课程本身，应该充分利用计量经济学与其他经管类课程之间的紧密联系。例如，在产业经济学、区域经济学、劳动经济学、金融学、财务管理学、会计学等诸多课程中，大量使用计量经济学模型作为研究方法。在具体教学过程中，将计量经济学教学与学生的专业背景相结合，选择与学生专业背景密切联系的经济社会热点问题、焦点问题作为案例，这样更容易引起学生浓厚的兴趣，吸引他们主动思考、积极讨论，变被动学习为主动学习。
(三)案例教学法有利于巩固和加强学生的学习效果计量经济学案例中含有实际统计数据，教师可结合不同的经济社会问题、针对不同的数据类型、数据结构说明应用哪种模型参数估计和检验方法，使学生对这些原理方法有更好的理解和掌握。另外，计量经济模型的估计、检验、修正和应用，需要存取大量数据，必须借助于相关计算机软件，才能完成各种复杂数学运算。事实上，各种新的计量经济方法不断涌现以及在经济管理中的应用不断加强，与相关数据分析软件的开发和利用密切相关，且对软件的熟练操作要求必须对计量经济学基本原理方法有较深刻的理解。因此，在案例教学中，可以利用案例数据，介绍Eviews、SPSS、Stata等软件在计量经济模型估计和检验中的应用，这样既可以加强学生对“经济行为分析理论假说建立总体回归模型获取样本观测数据估计模型检验模型应用模型”计量经济学整个建模过程学习巩固，又便于学生快速地掌握软件的操作。
(四)案例教学法有利于培养学生实证分析能力和创新意识在实证研究中，计量经济学属于对经济运行规律与基本问题的经验实证研究，如果缺乏案例教学很难将计量经济学基本原理与经济实践较好地结合起来，很难用计量经济学基本理论去分析理解现实经济问题。案例教学法是将理论知识与实践问题相结合的一种有效教学方法，也是开发学生智力潜能、培养学生综合素质和能力的有效途径。案例教学最重要的功能就是为学生提供一个逼真的、具体的情景，引导他们去思考、分析、处理问题，从而提高分析解决现实问题的能力。此外，在计量经济学教学过程中，案例教学本身也需要学生之间的合作、交流、分析与讨论，这有利于增强学生之间沟通交流和团结协作的能力，提升学生对现实的经济问题的敏感性和洞察力。案例教学法在计量经济学教学中的重要作用培养学生的创新意识。
二、计量经济学案例教学存在的主要问题
(一)对案例教学法的认识不够深刻目前，案例教学法虽然已被广泛地运用于计量经济学教学，但是，通过国内现有计量经济学教材可以看出，对案例教学法仍然存在认识上的误区。例如，在计量经济学模型“序列相关理论”教学过程中，首先讲解序列相关的定义、内涵、影响、检验方法、修正方法等理论知识，然后例举案例进行解释说明，并进行互动讨论。这属于举例说明，即在理论讲解结束后，结合实际经济问题列举案例，接着向学生发问，进行互动，并不能充分调动学生的积极性、主动性、创造性。实际上，案例教学法不能等同于举例说明，二者存在很大差别。在案例教学法中案例居于中心地位，学生处于主体地位，案例应该贯穿于整个教学过程，首先应该以典型案例引出理论，然后结合案例分析讲解理论，整个教学过程都应该伴随着师生的互动，由教师组织、启发学生，实现学生的自我学习与思考，这样既便于学生深刻领会理论与方法的内涵，又便于培养学生解决实际经济问题的能力。而在一般教学活动中举例仅居于次要地位，教师处于主体地位，师生间的互动较少，多数情况下是学生被动接受老师讲解，仍然属于“填鸭式”教学。
(二)经典案例、本土案例资源匮乏计量经济学属于一门应用性较强的学科，是被学术界广泛运用于解决经济社会问题的一种分析方法和工具。随着国内外经济发展的不断演化、推进，凸现的经济社会问题也日新月异，这必然要求计量经济学的教学案例也应推陈出新。相比微、宏观经济学，在计量经济学教学中案例教学法的使用起步较晚，综观国外计量经济学经典教材，与经典经济社会问题相结合的经典计量经济学案例仍然比较匮乏，而且许多教材没有涉及案例。相比国外，计量经济学在我国的起步更晚，综观国内计量经济学教材，许多案例引之国外教材，与我国现实经济社会问题紧密结合的本土化案例匮乏，且缺乏针对性。由于国外经济制度、经济基础、经济数据统计口径等诸多方面与我国现实经济环境存在一定差异，照搬源于国外教材的案例很难达到预期教学目的和教学效果，也很难激发学生的学习兴趣和热情。
(三)案例的选择、设计与使用不够恰当综观国内外大部分教材，在计量经济学教学过程中，教学案例的不当选择与运用主要体现在以下几个方面:
1．案例对理论知识与实践应用的结合不够。目前，计量经济学教学过程中选择与使用的绝大多数案例缺乏系统性和完整性，只是对知识点的评述，缺乏理论性与实践性的有机结合。
2．案例的难易程度掌握不够恰当。目前计量经济学教学过程中，部分案例选择偏难，使得学生因知识储备不够而无从下手，丧失参与的兴趣，导致教师在教学过程中陷入被动，达不到预期教学效果;部分案例则过于简单，使得学生缺乏学习动力或者产生厌烦情绪，严重影响教学质量。
3．案例的使用不够规范与准确。授课前，没有认真准备，缺乏规范、完整的教学案例;授课中，随意列举案例进行讲解、分析。这样使用案例很难达到预期的教学效果和教学目标。
4．案例的内容和方法不够科学。计量经济学与微宏观经济学、产业经济学、金融学、企业管理、财务管理等许多学科具有密切联系，是许多后续专业课程的分析工作和方法论基础。但是，目前计量经济学案例没有与具体专业结合起来，没有根据授课对象的专业背景不同选择不同教学案例，主要选择的都是经济学案例，不利于提高教学效果和培养学生解决实际问题的能力。
三、改进计量经济学案例教学的几点思考
(一)教师应该深刻领会案例教学法的内涵，正确处理理论教学和案例教学的关系计量经济学是经济类、管理类专业的公共基础课，教学目的是通过计量经济学教学活动，使学生掌握建立计量经济学模型基本原理和方法，并能运用这些基本理论和方法解决和分析实际经济问题。理论教学是计量经济学案例教学的基础和依据，理论教学可以帮助学生了解计量经济学的基本理论体系，应当在教学过程别强调系统性理论学习的重要性。案例教学法是一种启发式、讨论式、互动式的教学模式，其特点在于能够把实际的经济问题引入课堂，把枯燥乏味的理论教学变成解决现实问题的公开讨论，把教师的单向讲解变为师生的双向互动。案例教学是理论教学的辅助手段和方式，是理论教学的延伸和深化，可加深对理论教学内容的理解，提供分析背景和讨论对象，并培养分析、解决实际问题的能力。在计量经济学具体教学过程中，案例教学和理论教学是相辅相成的、缺一不可的，不能过分强调案例教学，或将理论教学和案例教学分开，把案例教学当做理论教学的举例说明，应该将理论教学融入案例教学，以案例引出理论，以案例剖析理论，以案例总结理论，将案例教学和理论教学有机地结合起来，才能够取得理想的教学效果。
(二)编撰经典案例集，并根据实际经济问题及时更新案例经典案例集是能够浓缩计量经济学的概念和原理的一系列案例的集合。1．案例集所提供的信息和资料必须尽可能多地蕴涵教材中的重要概念和原理，从而使得学生在探究案例的过程中加深和巩固理论知识的学习。
2．案例集要尽量利用针对性强的经济实证分析材料，最好结合区域经济的热点问题、焦点问题，如对新疆兵团来说，“经济跨越式发展问题”、“特色农业现代化发展问题”、“新型工业化发展问题”等等，从本土经济实践中提炼经典案例，这样与区域性经管类人才培养目标保持一致，从而更有效地调动学生的学习热情和创新意识。
3．案例集要尽可能地体现时效性，密切关注经济热点、焦点和前沿问题，及时更新案例集的相关案例，以便较好地将计量经济学理论方法与经济实践相结合。
4．案例集中案例的形式要尽可能多样化，针对不同的教学内容尽量采取多样化的案例形式，以便增强案例的感染力。
5．案例集的编撰要尽量作到语言简洁、内容贴切、描述形象、分析生动，以便增强案例的吸引力。