时间：2023-09-15 17:30:57
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高中数学学习口诀，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
【关键词】学法指导 课堂教学评价 评价内涵 策略与方法
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）07－0151－03
随着“评好课”活动的不断深入，课堂教学的听、评课活动越来越成为教师提高课堂教学水平的重要手段。“同课异构”、“微格教学”更是成为一线教师共同切磋，提高课堂教学艺术的重要园地。课堂教学的评价标准，不仅具有监控、鉴定等功能，更有导向、激励等作用；故而，教学评价成为优化教学管理、提高教学质效、促进师生发展、助推课堂教学改革的关键因素。
在新课程背景下合理构建高中数学课堂教学评价标准、做好教学评价，有着极其重要的现实意义。高中数学课堂教学评价量表，应具有学科特点，强调数学学法指导的评价，从而促进有效教学课堂的构建。
一、对现行高中数学课堂教学评价体系的认识
由于授课内容的差异性、评价对象的复杂性和评价主体所依据的价值的多元性，带来了课堂评价中标准的多样性。大部分的高中数学课堂教学评价体系，主要包括以下四项指标：教学目标（教学目标、教学设计）、策略方法（情景创设、资源利用、师生沟通、学习方式、参与状态）、教学效果（知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观）、科学素养（学科能力、教学风格、媒体技术）等。
课堂教学评价表大体上反应了现行数学课堂教学评价的基本面貌，见表1。
孔凡哲教授在《在课堂教学中如何看待过程与结果》一文中，就数学学科的课堂教学评价提出了一个评价标准，见表2。
在表1中没有学科区分，缺乏数学学科评价目标特点，从两个评价表不难看出，学法指导是现有大部分高中数学课堂教学评价标准中的盲区或模糊地带。
二、将“学法指导”纳入高中数学课堂教学评价体系的必要性
《全日制普通高中数学新课程标准》强调在高中数学新课程实施中：“倡导探究性学习，力图改变学生的学习方式，引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生收集和处理科学信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力等，突出创新精神和实践能力的培养。”
数学教学是教师引导学生进行数学活动的过程，而数学活动的完整过程是“现实问题数学化、数学内部规律化、数学内容现实化”。数学不仅帮助人们更好地探求了客观世界的规律，同时，为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段；数学在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用，这一过程除了逻辑和证明外，充满着探索与创造。因而，教学活动必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”。对学生来说，数学学习不仅要学习数学的思维结果，更要学习数学思维的方式方法，发展数学能力。
由此可见，在高中数学课堂教学中，对学生进行学法指导，是改变学生的学习方式，培养学生学习能力的重要环节，也充分体现了“以教师为主导、学生为主体”的课堂新课程教学理念。因而，将“学法指导”纳入高中数学课堂教学评价体系是十分必要的。
三、高中数学课堂教学中“学法指导”的策略与方法
数学学法指导由非智力因素、学习方法、学习习惯、学习能力和学习效果等部分组成。因此，基于数学学科的特点，指导学生养成良好的学习习惯和提高学习能力，才能使学生成为数学课堂的主人。
那么，教师在组织数学课堂教学的过程中，如何进行学法指导呢？
1．高中数学学法指导的几个层面
（1）指导学生学会动手操作。数学学习的方法实际是一种实践性很强的技能，要使学生真正掌握数学学习方法，就必须引导学生从生活中发现数学问题，建立数学模型，解决数学问题来促进学生动手能力的提高。因此，教师要创造性地、灵活地组织教材，通过让学生动手、动口、动脑，他们在“做中学”，从操作中获得感知数学思想和数学方法，在探索中发现数学文化和数学美，这样的学法指导才能真正促进学生的发展。
（2）指导学生学会质疑问难。质疑问难就是要在数学学习过程中学会发现问题、提出问题。它是数学学习过程中极重要的一环，教师在组织教学的过程中，要创设条件，努力营造氛围，激发学生质疑问难。让学生通过讨论、分析、比较后，自己提出解决疑问的方法和相应结论，这样才能使学生对知识达到真正的融会贯通。
（3）指导学生学会概括总结。在课堂教学中，要指导学生主动参与认知的过程，不断引导学生回顾学习过程，帮助他们从零散知识的学习中揭示出学习规律，以便今后自觉运用这些规律去探究新知。进而让学生意识到知识是通过实践、观察、分析、归纳等一系列学习活动去尝试、认识、发现而得到的。从而使学生逐步掌握科学的学习策略，提高学习效率。
（4）指导学生合理利用学习资源。高中数学教学不能囿于教材和课堂。教师在课堂教学中，一是应指导学生通过教材发现知识的“生长点”，进行创新学习；二是要指导学生整合利用身边的社会资源、人文资源，拓展数学学习领域，变革数学学习方式。
2．高中数学课堂教学几个环节中的学法指导
由于高中数学课堂教学，是学生对数学知识进行“自主建构”的过程，因此其教学的基本环节和结构具有一定稳定性、操作性、层次性。
课前指导环节，指导学生课前预习准备、查阅相关资料，让学生明确学习内容、联系生活实际、关注学科知识联系。
课上指导环节，结合数学课堂教学特点，协调学法和教法，从多层面、多方位渗透学法指导，主要包括：①目标展示环节，明确大纲要求、明确教材重点难点、明确能力培养目标、明确学生实际能力状况；②知识建构环节，通过问题情境创设、引导问题探究、师生合作学习，让学生带着问题，带着强烈好奇心、求知欲建构知识，充分发挥学生主体作用；③反馈矫正环节，把学生学习认知目标放在学生最近发展区记忆、储存和再现；④强化训练环节，做到有针对性、及时性、层次性、有效性。
课后指导环节，主要指导学生利用数学知识解决现实生活中的问题，进而巩固所学知识；借助互联网等收集所学内容的相关知识。
3．指导学生选用科学恰当的学法
高中数学学法中，学生必须掌握常见的比较法、分类法、类比法、归纳法、记忆法等。
（1）比较法。在学习数学概念时，注意分组、对比，就容易搞清概念间的本质区别与内在联系。如：概率中互斥事件、对立事件。在数学问题解决中，对相似问题进行比较，有助于加深问题的理解和记忆。
如不等式问题中：
通过比较可发现，上述问题组既有联系又有区别，本质是函数的最值（范围）的求解。
（2）分类法。根据一定的标准对有关知识进行科学分类（分类随标准而异），在比较的基础上进行总结，有利于知识的掌握。
例如，研究幂函数f（x）＝xα，α∈Q的图像特征，可首先确定第一象限的图像，如右图，抓住直线x＝1右侧的图像特点，然后再根据函数性质确定完整图像，而第一象限的图像可根据α的取值进行分类。
（3）类比法。数学中有的概念间有许多相似之处，根据这些相似性可以指导学生尝试利用类比推理法大胆推理。如：由平面向量知识到空间向量知识；由平面几何知识到立体几何知识；一元到多元问题；二维平面问题到三维空间问题。
（4）归纳法。数学知识既有各自的独立性，又存在着内部联系，学生在学习一段知识后，应及时进行归纳、总结，以各知识点间的联系为线索，构制知识网络，形成知识体系。常见的归纳方法有图示法、提纲法和列表法。图示法一般用于归纳几个知识点间的联系。单元总结可用提纲法，而期中或期末复习更适应于列表法。学生掌握并实际应用这些方法就可将所学知识进行归纳、整理，使所学知识系统化、条理化，增强学习效果。
（5）记忆法。数学概念和公式等记不住是造成某些学生学习被动、学习效率低的一个重要原因，因此，有必要让学生掌握一些科学的记忆方法，提高学生的记忆能力。根据艾宾浩斯的遗忘曲线，遗忘是先快后慢，因而采取先密后疏的记忆方法。由于口诀生动、形象、简练，在数学学习中编制口诀来强化学生的记忆，如三角函数诱导公式，用“奇变偶不变，符号看象限”就非常简洁。
四、高中数学课堂教学中“学法指导”的评价的内涵
基于上述的分析，高中数学课堂教学中“学法指导”的评价指标可以分为：学法指导的规律性、学法指导的灵活性、学法指导的针对性、学法指导的实效性、学法指导的示范性。其具体内涵包括：①根据学生实际指导学法，善于引导学生自主学习、合作学习和探究学习，激发学生的学习兴趣；②结合教学内容指导学法，使教学内容贴近学生认知能力和水平，符合认知规律；③根据不同教学环节指导学法，具有针对性、启发性、实效性；④恰当引导学生利用合理的学习资源，并促成新的学习资源的生成；为学生的学习设计、提供必要的学习方法，起到示范作用；⑤学生有自主学习的时间，体现经验建构和探究式的学习过程，培养学生独立思考的能力，能在学习中主动提出问题。
综上所述，高中数学课堂教学中，科学的“学法指导”会促进教学的高效率；在新课程标准下完善高中数学课堂教学评课体系，确立学法指导的重要地位是十分必要的，它对引导学生形成终身学习能力有着积极的深远的意义。
参考文献
1 安庆市教育教学研究室.教坛新星精课精评［M］.北京：教育科学出版社，2010
2 李广.评好课：应知应会［M］.长春：东北师范大学出版社，2010
3 刘晓明、冯墨女、刘 虹、吴世蕴.评好课与师德行为［M］.长春：东北师范大学出版社，2010
4 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003
关键词：提高；兴趣；挖掘；潜能；控制；成绩；下降
【中图分类号】G635.1
高中数学的内容多、抽象性、理论性强，很多初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学，有相当一部分人的数学不及格，出现了严重的两极分化，少数学生甚至对学习失去了信心。前几年，不少学校受高考指挥棒的影响，只注重升学率而忽视了合格率。现在高中实行会考制，上述问题引起了各校足够的重视，高中学生的数学整体水平得到了提高。本文主要谈谈挖掘学生思维潜能，控制高一数学成绩的下降的策略。
一、高一数学成绩下降的原因分析
1.初、高中数学教材间梯度过大
在初中教材中，往往偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义、三角函数的定义就是如此；对不少数学定理没有严格论证。或用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性质就是这样处理的。教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。而高一教材第一章就是集合、映射等代数知识，紧接着就是幂函数的分类问题（在幂函数中，由于指数不同，具有不同的性质和图像）。函数单调性的证明又是一个难点，立体几何对空间想象能力的要求又很高，教材概念多、符号多、定义严格，论证要求又高，高一新生学起来相当困难。此外，内容也多，每节课容量远大于初中数学，这些都是高一数学成绩下降的客观原因。
2.高一新生普遍不适应高中数学教师的教学方法
在一次高一召开的学生座谈会上，同学们普遍反映数学课能听懂但作业不会做，不少学生说，平时自认为学得不错，考试成绩就是上不去。带着这些问题我多次听了初、高中数学教师的课堂教学，从中发现初中教师重视直观、形象教学，老师每讲完一道例题后，都要布置相应的练习，学生到黑板表演的机会相当多，为了提高合格率，不少初中教师把题型分类，让学生死记解题方法和步骤。在初三，重点题目反复做过多次，而高中教师在授课时强调数学思想和方法，注重举一反三，在严格的论证和推理上下功夫。又由于高中搞小循环，接高一课程的教师刚带完高三，他们往往用高三复习时应达到的难度来对待高一教学，因此造成初、高中教师教学方法上的巨大差距，中间又缺乏过渡过程，致使高中新生普遍适应不了高中教师的教学方法。
3.高一学生的学习方法还停留在初中阶段
高一学生在初中三年已形成了特定的学习方法和学习习惯，他们上课注意听讲，尽力完成老师布置的作业，但课堂上满足于听，没有做笔记的习惯，缺乏积极思维；遇到难题不是动脑子思考，而是希望老师讲解整个解题过程；不会科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力，还有些学生考上高中后，认为可以松口气了，放松了对自己的要求，上述的学习方法，不适应高中阶段的正常学习。
二、控制高一数学成绩下降的对策
1.课前调动学生求知欲
求知欲是人们思考研究问题的内在动力。让数学从高度抽象、极其枯燥的金字塔中解放出来，创设真实有趣具有挑战性的问题情境，就可以激发学生的学习愿望和潜能。例如，在教学概率一章时，我做了两个实验，第一，我断言班里肯定有生日相同的学生，提前让全班学生在教室的电脑里输入自己的生日，上课时当众打开，让同学们亲眼看到出现了几对生日相同的学生，告诉他们这几乎是个必然结果。再比如，在学习利用不等式求最值时，通过对易拉罐的观察和测量得出结果。易拉罐的形状都是圆柱形，而且高与直径比大约是2：1.为什么要如此设计呢？与生活如此贴近，学生产生强烈求知欲。
2.课中提高学生学习兴趣
1）数学史融入课堂。爱因斯坦说过“兴趣是最好的老师。”借助数学史，名人逸事，数学典故是培养学生兴趣的第一媒介。例如在《导数》一章之初，我就讲到1687年牛顿从研究运动的瞬时速度入手引出导数概念，而1684年莱布尼茨由研究曲线的切线问题引出导数的概念，二人分别独立研究，不谋而合，学生对本章内容产生浓厚兴趣。
2）文学魅力融入课堂。好多数学公式枯燥难以记忆，数学概念抽象难以理解，我尝试用诗意的语言描述数学概念，用著名诗句阐述图像特征，用自编口诀帮助记忆公式，起到很好效果。比如，用三部曲概括证明单调性的步骤：在区间找代表，函数值作比较，通过讨论定大小。用诗句“上穷碧落下黄泉，两处茫茫皆不见”刻画正切函数图像的值域，用“京口瓜州一水间，无缘对面手难牵”形容它的周期性和定义域。把对数函数图像形象地分为“风吹麦”型和“风摆柳”型，用“正弦半角要求根，竹竿钓鱼二人分”口诀帮助记忆半角正弦公式等等，使学生产生浓厚兴趣。牢固掌握了所学知识。
3）多媒体辅助教学。多媒体可以提供五彩缤纷的富有吸引力的动态图像特征，直观演示性质。例如讲y=Asin（ωx+Φ）图像时借助多媒体演示A、ω、Φ中的变化，可以短时间内列举大量例子，观察规律。再如线性规划一节，通过目标函数的移动，准确找到最优解，尤其是利用网络，找整数解，学生看得非常清楚、明白，也对相应内容产生浓厚兴趣。
4）课堂中给学生创造性尝试的机会和体验。学生不是接受的“容器”，而是可以点燃的“火把”。轻松活泼的课堂气氛和师生关系，是点燃的“火把”最适宜的火种。对于学生富有创意，别出心裁的解题给予充分的肯定，让学生意识到自己内在的无穷力量，也从老师的肯定中体验到创造和成功的乐趣。
三、多种教学形式，挖掘潜能
1.锻炼自学能力。自学不仅能培养自学能力，而且能发现重点，难点，减少听课过程中的盲目性，有助于提高学生的思维能力和概括总结能力。
2.组织课堂讨论。这样培养的学生敢于提问题、敢于批判、敢于质疑、思维敏捷。不受老师讲解的束缚。可为发散思维的培养创造良好的内、外部环境。
3.适当进行“一题多解”“一题多变”“一法多用”，培养学生的发散思维。
关键词： 新课程背景 高中数学教学 教学效率
高中数学课程标准强调培养学生自主学习的能力，而传统的教学方式恰恰与这种观点相悖。在传统的高中数学课堂上，往往是教师一人在灌输知识，学生被动接受。新课程要求教师与学生形成良性互动。由此看来，教师需要及时转变教学方法和教学理念，结合数学这门学科的特点，将新思维、新形式融入到课堂教学中，从而提高课堂教学效率。
一、营造理想的课堂环境
良好的课堂环境会在一定程度上激发学生的积极性和创造力。在新课程的大背景下，教师务必以高质量的授课内容为前提条件，时刻关注学生的听课状态，一旦出现问题，就要及时采取措施予以纠正。与此同时，也不要忽略成绩相对较差的同学。相对于其他学科来说，数学比较枯燥，学生上课时注意力常常会不集中，这就要求教师给予学生鼓励和支持，从主观和客观两方面着手，充分激发学生学习数学的热情。
二、创新课堂教学设计
教师在上课前必须做好教学设计，从一定程度上来说，有一套完备的教学设计就等于教学成功了一半，可见，它的地位不容小觑。教师在进行教学设计的过程中，要把创新放在首要位置，并把以往的实践经验和理论知识渗透其中，还要结合现阶段的教学要求，选择最优方案，从而达到最佳效果。当然，在教学设计环节，还要体现出教师的教学目标。教学目标是教师教学的出发点和落脚点，对于高中数学课堂来说，它从课堂中来，又到课堂中去。教师在每节课上，想要表达什么观点，传授哪类知识，都必须站在学生的立场做好分析，从而确定恰当的教学目标。从这一点看，教学目标作为教学设计的一部分，对数学课堂教学起到了导向作用。
三、做好师生互动交流
很多学生对数学很感兴趣，但是也有部分同学感觉数学单调无味。教师应当充分注意到这些对数学没有兴趣的同学，与他们做好交流，了解他们的心理。在数学教学内容中，有很多内容都是抽象的，学生难以理解其中的内涵，单凭机械记忆，往往达不到灵活运用的目的。在新版的高中数学教材中，几乎每一道例题后面都有一个实际应用的例子，而且在每阶段总结性习题之后都有研究性课题，这说明新课程在反复强调应用这一问题。教师在授课时要适当根据实际情况举例说明这些问题，因为数学知识大多是从生活中得来的。这样可以让学生感受到生活中数学无处不在，这样不仅可以强化理解，而且可以提高学生的学习兴趣。教师可以编口诀帮助学生记忆，把学习难度降到最低，还要鼓励学生及时反馈学习状况，形成教学相长的良性局面。总之，在实际教学过程中，要坚持把学生放在核心位置。学生有了兴趣，才会在心理上接受数学，并且带着愉悦的心情面对学习过程中碰到的一切困难，充分开发自身的潜能。
四、优化课堂结构
教师在讲课时，要充分利用好一节课四十五分钟时间，使课堂内容具有层次性。每一个人接受新事物的过程都是一个循序渐进的过程，数学课堂教学也不例外，无论是复习新知识，还是传授新知识，都要有层次、有规律地进行。譬如在新知识引入这一环节，教师要做好准备工作，在讲课之前，先在脑海里将新旧知识相联系，并将其导入课堂教学中，让学生发现新知识建立在旧知识的基础之上。这样一来，学生不会感觉知识来得有些突兀，能够更好地接受新知识。当然，一节课四十五分钟，学生的注意力不可能一直集中在教师讲课内容上，这就要求教师能够充分把握学生听课特点，使他们在最佳接受状态下学习本课的重点、难点。
五、科学组织提问
由于课堂的主体是学生，而主导者是教师，为了使学生跟上教师讲课的进度，教师就要对学生进行提问，从而了解他们的听课状况和知识掌握情况。对于课堂提问环节，笔者提出以下几点建议：（1）注意提问的有序性，一定要按照课堂内容的顺序提出相关问题。问题的难度既不可太难，又不可过于简单，太深奥的问题会使学生不知所云，而过于简单的问题会使学生的学习兴趣降低。因此，要结合学生掌握情况，提出合适的问题。当然，对每一个问题的提出，教师都要做好充分考虑。（2）提问语言要言简意赅。教师在提问环节，要注意语言的组织，不可过于繁琐，要言简意赅，最好每一句话都能起到启发学生的作用。（3）鼓励学生举一反三。在提出问题后，要给学生留有思考的时间，并鼓励学生举一反三。对于学生回答得不完整的问题，可以让其他同学做补充，最终使得每一个问题都能由学生独立解决。
六、利用多媒体辅助教学
伴随着信息技术的迅猛发展，多媒体工具进入课堂成为现实。在新课程背景下，多媒体技术的应用对教学的作用不容忽视。多媒体的特点有：（1）能增大课堂知识容量。由于在传统教学中，教师需要不断书写板书，浪费了一定的时间。多媒体可以将知识展现在大屏幕上，大大节约了板书时间，并且把教学相关知识完全展现在学生面前，满足了学生的求知欲望。（2）为学生提供了思考的空间。由于多媒体呈现内容较多，拓宽了学生的视野，使学生能够举一反三。与此同时，由于高中数学中难点较多，有些问题又很抽象，对学生来说，更是难上加难。多媒体可以把这些抽象的问题变得形象，使学生对教学内容加深理解。可以说，多媒体能够让学生喜欢上数学，进而学好数学。多媒体技术对于教学效率的提高有着重要作用。
七、结语
总之，在新课程背景下，教师应当极力为学生创造良好的课堂环境，并结合学生的实际情况，采取相关措施，使学生的创造力得到发展。教师要努力冲破传统教学方式的束缚，顺应教育发展潮流，从而提高教学效率，推动教育事业稳步发展。
参考文献：
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[2]田超.新课程背景下思想政治课教学方法探讨[J].吉林教育.现代校长，2006（05）.
[3]高美.新形势下中职学校英语教学创新探讨[J]. 科教文汇（中旬刊），2011（02）.
高中数学很多知识都是高度抽象和概括的，一些学生在面对这些抽象性较强的数学公式和分析推理时，往往会有难以理解、无从下手的感觉。这主要是因为学生没能从大量的学习内容中抽象概括出共同点，无法总结出这些知识中蕴含的一般规律。因此，教师在高中数学教学中，必须加强对学生抽象概括能力的培养，教会他们把知识中本质的和非本质的东西区分开，让他们学会把课本读薄，进而逐步提高学生的抽象概括能力，使学生学会概括、学会学习。那么，教师究竟如何将培养学生抽象概括能力融入到高中数学课堂教学中去呢？
一、创设教学情境，将抽象知识具象化
创设教学情境是高中数学教学中常用的教学手段之一。在面对一些抽象性较强的教学内容时，一味的讲解和分析难免会使学生学习过于枯燥和无味，使学生产生烦躁、厌学心理。如果将这些枯燥的数学知识融入到教学情境中，让学生在现实情境中根据生活经验和已有知识分析、理解数学知识，不仅可以有效激发学生的学习兴趣，提高学生的学习主动性，还能帮助学生更轻松地掌握和理解知识。这要求教师在日常教学和生活中注重对生活素材的积累，尽量把抽象的教学内容与学生实际生活与学习实例融合到一起，将抽象知识具象化。例如，在学习《集合》这一章节时，由于涉及到的抽象性概念较多，所以教师在完成对相关概念的解读后，向学生问道“：同学们，如果把我们班的所有学生看作一个集合的话，那么我们班的男生就是这个集合的什么呢？女生呢？”学生很快反应过来，男生、女生中的任何人都是这个班级成员之一，所以男生、女生集合都是这个班级的子集。有同学提出来，男生集合和女生集合还存在互为补集的关系。这样的问题情境将抽象的数学概念具象为实际生活问题，大大激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生的抽象思维能力。
二、深入教材挖掘，引导学生自主概括
高中数学教材各模块的知识都不是单独存在的，很多知识之间有一定的联系。教师在数学教学中要善于抓住这些知识间的本质特征，引导学生从大量的数学知识中找到它们的本质。特别是在完成每一章节的学习任务后，教师可以让学生对这一章节的学习内容进行总结和概括。这种概括不仅是学生对章节知识的复习和巩固，也是一个再学习和再认识的过程。另外，每个数学概念、公式都反映了事物的内部和外部的联系，都是典型的从具象到抽象的过程，教师在教学中要善于引导学生挖掘这些概念和公式的形成过程，使学生学会将具体的概念运用到抽象的数学解题过程中。在学习《三角函数》时，教师发现学生对三角函数的相关概念记忆存在问题。于是教师便引导学生对三角函数的诱导公式进行概括，找到它们的本质特性和变化规律，结果发现诱导公式中“nπ2”的n为奇数时，三角函数公式要变名。而变名后的正或负则根据图像所在的象限而定。最终，学生总结出了“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀。学生在归纳概括的过程中更加深刻地记忆和理解了三角函数的诱导公式，有利于学生对这些公式的灵活运用。
三、加强类比探究，提高学生概括能力
数学知识的学习具有完整性和严密性，这使很多数学结论和方法存在相似性。教师在数学教学中，可以利用类比分析的方法将这些相似性放大，让学生通过对新旧知识的类比和联想进行探究，锻炼学生的抽象概括能力。在数学教学中，教师可以根据学生的学习情况让学生根据已学概念、公式、性质进行类比和联想，进而猜想未知的数学公式和性质，然后让学生自主设计方案对这些猜想进行证明。对于学生在类比和联想中得出的一些创新性，教师要予以鼓励，使学生敢于探索，敢于创新。实践证明，这样的学习方式更能提高学生的学习兴趣，提高学生的数学学习质量。在教会学生解高次不等式时，教师先是让学生回忆一元二次不等式的结构和解题思路，让学生从x2-1>9、x2+2x-8<10等简单一元二次不等式入手总结、概括出不等式的结构特点，探究解题策略。学生慢慢地在自主探究中明确了解题的关键在于确定方程的两根和抛物线的开口方向。接着，教师向学生提问（x2+x-5)(x2-4x+9)<0，学生根据自己总结的解题策略，很快求出了正确答案。通过类比和自主探究，学生在抽象概括中找到了新的数学规律，有利于学生抽象概括能力的提高。
四、结语
总之，抽象概括能力的培养是个长期而系统的工程，不能急于一时。教师在课堂教学中要不断引入和尝试新的教学理念，找到最恰当、最科学的教学模式，不断对学生的抽象概括能力的培养施以积极影响，促进学生抽象概括能力的逐步提高。
作者：李洁 单位：江苏省连云港市厉庄高级中学
关键词：因材施教；小学数学；运用
小学数学教师如果不会因材施教，就会对某些学生将来的数学学习带来很大的影响，例如，全班多数学生成绩优秀，但极个别基础差，如果教师只顾多数学生，加快教学进度，会让差的学生成绩更差，长期下来还会出现对数学的恐惧感。那么，如何在小学数学教学中实施因材施教呢？以下是笔者对这一问题所做的探讨。
一、 小学生学习数学的具体情况
小学生学习数学存在的问题大多数跟小学生好动、贪玩、不思学有关，下面我列出小学生学习数学的主要问题，以供参考。
（一）多数上课容易走神，少数认真听课
小学数学教师在上课时只要认真观察就会发现：有的学生看起来稳稳地坐在位置上，其实精神已经不在教室里了。造成这一现象的主要原因是小学时期是学生想象力最丰富的时期，尤其对于男生来说，往往因为看了一部超人电影，就陷入了幻想，把自己想象成超人。这时，教师要适当引导这类学生，让学生把想象力用到学习上。
（二）多数缺乏主动学习，少数认真学习
贪玩是小学生的一个特点，在下课、放学回家期间，多数学生已经把学习忘到脑后了，很少会复习课堂知识、预习新课程。然而，也有些学生能够在家中自觉学习，甚至提前把下学期的知识自学完成。数学教师对于这两种不同情况要有不同的教学方案。
（三）多数忽视作业，少数认真对待作业
小学生上交的数学作业往往存在抄袭同学、请家长帮忙等可能，但也有一部分学生能够独立完成作业。在多年的教学当中，我还发现有个别学生很在意作业，虽然上交的作业错误比较多，却习惯在作业发下去之后反复研究，结果考试成绩很好。对于善于利用作业和不善于利用作业的学生，教师的教学策略应当有所不同。
二、小学数学的特点
小学生学习数学的主动性方面虽然存在缺点，但数学教师也要看到小学数学的简单，以及跟初中、高中数学的不同，进行教学的方法跟初中和高中也要有所不同。
（一）无需很强的逻辑思维
小学低年级数学以认识加减法为主，而且主要是100以内的计算，基本上数学教师只要讲解加减法及背诵乘法口诀，便能让学生掌握低年级的数学；中年级开始接触图形和统计规律，这些数学知识的测试基本上无需很多的逻辑思维，不像高中数学那样要分析很多方面的知识才能做出来。针对这一特点，教师宜采取主动灌输的教学方式，只要抓紧让更多学生理解，便容易提高学生的成绩。
（二）要求重视记忆和代入公式
小学数学在记忆方面要求学生花一定的时间用于乘法口诀的背诵，并且在测试时还要注重代入公式的解题方法。因此，教师在教学中要重视这个特点，让学生将这些基本的知识记忆好，否则会影响到学生做题，甚至影响学生以后的数学学习。
（三）考试时间充足
小学数学试题简单，速度较快的学生往往能在半小时内把所有试题完成，之后还能检查一遍。因此，在数学教学过程中，教师可以根据这个特点，从小培养学生认真读题的能力。
小学数学容易学习的特点给基础不同、智力不同的学生提供了提高数学成绩和学习能力的机会，只要教师注意因材施教，一定能较好地进行小学数学教学。
三、如何在小学数学教学当中因材施教
小学生具有很多共性，同时教师在教学时也不能忽略他们的个性，如有些学生容易上课走神，有些学生上课能够集中精神……这就需要教师在教学中做到因材施教。
（一）针对容易分神的学生
在小学数学教学当中，教师要多花点时间在容易分神的学生身上，可以采取讲课时经常停留到分神的学生身边，或者突然提高讲课声音、引导上课走神的学生回答问题等。而对于那些上课能够专心听讲的学生，教师可以少花时间在他们身上，真正做到因材施教。
（二）针对计算能力较差的学生
计算器的出现给不少学生带来便利的同时，也让他们计算能力下降。教学小学数学的经验告诉我，必须禁止计算能力弱的学生使用计算器，基本上一个学期下来，被禁止使用计算器的学生计算能力会有很大的提高。那么，禁止全班学生使用计算器好不好呢？计算器可以带来计算方面的便利，节约学生练习的时间，对于计算能力本身已经过关的学生，如果非要禁止他们使用计算器，对计算能力的提高不大，却会花费他们更多的学习时间。因此，在这方面也要做到因材施教。
（三）针对成绩较好的学生
成绩好的学生往往可以省下很多时间，在数学教学当中，即使把更多的时间花在成绩好的学生身上，也不能提高多少，反而会浪费时间。因此，小学数学教师要注意把更多的时间投入到有效教学上。
在小学数学的教学过程中，我们还会发现学生存在很多个性，数学教师要注意针对不同学生的个性，包括心理、身体、家境等，采用因材施教的方法。
四、 结语
在小学数学教学过程中，要想最大程度地提高全体学生的成绩，因材施教是一种不错的教学方式，它不仅可以帮助每一位学生充分利用学校的教学资源，还可以帮助每一位学生提高数学成绩，进而提高数学课堂的教学质量。
参考文献：
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关键词：艺术班；数学教学；教学目标定位；艺术班课堂模式；教学有效性
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）08-0031
一、普通高中艺术班学生学习数学的特点与现状分析
艺术班在数学学习方面是特殊的群体，由于他们在艺术专业课设置上的特点和个性差异导致了他们在数学学生上存在困难。通过和艺术生的交流与调查研究发现，艺术生在学习数学方面困难的主要原因有以下几点：
1. 基础薄弱，从调查的情况来看，大多数艺术班的学生普遍入校的文化课成绩偏低，在初中的数学基础比较薄弱，将艺术作为自己学习及就业方向是上了高中以后才定下来的，对艺术有一定的兴趣和爱好；部分学生因为文化课偏弱而被迫选择艺术，进入高中后，面对崭新的教材和不同于初中的学习方式无法适应，不知道如何学习，对数学学习逐渐产生了厌学的情绪，甚至产生放弃的念头。
2. 学习的时间不足，艺术班学生从高二开始每天都有艺术课，特别是到了高三，他们为了省统考，需要花费每天大部分的时间进行艺术专业课的训练，到了后期甚至停下文化课，花费整天的时间进行专业的训练，学生课外很少有时间去复习和巩固数学课上的内容，慢慢地学生失去了学习数学的兴趣。
笔者走访了多位艺术班数学教师，他们对“教师教的痛苦，学生学的辛苦”均有同感，通过对艺术班教学的摸索和对近几届教过艺术班的多位数学教师的探讨，认为艺术班在教学目标定位、教学实施、教学评价等方面都要有别于其他普通班。首先是教学目标定位，艺术生的数学基础比较薄弱，数学文化分的要求不太高，可适当降低重心。其次是教学实施，艺术班在不同阶段呈现出不同的教学特点，需要不同的教学对策。高一、高二年级过好基础关和兴趣关，同时注意处理好数学学习与艺术课的关系，比如艺术班每周安排两个晚自学进行专业训练，数学练习尽可能在课堂上完成；艺术班学生比较喜欢艺术，教师在教学时尽可能挖掘教材中的艺术元素，使数学学习与艺术课能相互促进，共同提高；高三的前期复习要加快进度，立足基础，不宜加深拓宽。对重点题型进行“多题一练”的题组训练，达到掌握的目的。后期复习的专题训练要加强针对性，采用“专题+模拟卷”同步穿插模式，查漏补缺，提高综合能力；最后是教学评价，教师对艺术生的数学学习评价需要多元化、层次化。对艺术生，高中数学更多地从培养“必要的数学素养”上来要求。
二、提高普高艺术班数学教学有效性的对策
国内外对有效教学的研究由来已久。现代教学理论认为“教学的有效性=教学内容总量×学生接受内容的百分数”。要提高教学有效性，需要从教学目标、教学任务、教学情境、教学流程、人际关系、评价机制等方面全面考虑。提高艺术班的教学有效性，这是一个子课题，具有特殊的时代背景。而且从近几年学生的高考情况来看，数学成了很多艺术生文化分上线的最大障碍，研究提高艺术班数学教学的有效性显得非常必要。
艺术班数学教学的特殊性，主要体现在生源特殊、专业课特殊、录取政策特殊，这就决定了教学与评价方式要特殊。笔者认为首先从构建和谐的师生关系，恰当的教学目标入手，采取切合艺术班学生特点的教学行为，并采用恰当的教学评价方式才能有效提高艺术班数学教学效果。
1. 构建和谐的师生关系
心理学家罗杰斯曾指出，一个人的创造力只有在其感觉到“心理安全”和“心理自由”的条件下才能获得最大的表现和发展。教育科研也表明，人在轻松、自由的心理状态下才可能有丰富的想象，才会迸发出创造性的思维。
艺术班的数学教学需要教师倾注更多的爱，用教师的爱去点燃学生心中追求艺术的梦想。艺术生在学习上比一般的学生投入更多的精力，不仅学文化课，而且学习专业课；他们的专业是一般学生所不具备的，他们不应该因为数学稍差而受到歧视。教师要保护学生的自尊心，想方设法调动学生的学习积极性。良好的师生关系是正常教学、提高教学效率的保证，也是新课程标准的要求。因此，教师要树立“一切为了学生，一切服务于学生”的意识，让学生感受到教师的爱心。在教学上一定要严格要求，用认真、负责的态度去感染他们、影响他们。对于他们在数学学习上的问题要耐心、细致地讲解。对于个别基础特别薄弱的学生可以利用课余时间对他们“开小灶”，让他们感受教师对他们的“不离不弃”。在生活上，教师要和学生打成一片，经常深入教室和学生中去，了解他们的学习问题、生活问题、思想问题，及时尽自己的能力帮助他们解决问题，从思想上拉近学生与教师的距离，增加师生之间的信任，为创造良好的师生关系和积极主动参与数学奠定基础。此外，教师还可以拿以前一些数学学习困难生学习数学的故事去鼓励他们，帮助他们重拾学习的信心。从小事做起，善于发现他们的闪光点并及时地鼓励和表扬，或许一件不经意的小事也能激发他们的学习信心和决心。
2. 给数学课堂注入艺术的元素，激活数学课堂
艺术生虽然有比较强的上进心，但是这种上进心很大程度上来自高考的压力，这种动力来自外部因素。而要提高学生学习数学的有效性，更需要学生的自发性。如何将艺术生的这种上进心内化，是解决艺术班学生学习数学有效性的关键。
艺术生的艺术课堂都比较活跃，善于表现，因为艺术是他们最大的“兴奋点”。如何抓住学生的“兴奋点”开展数学教学，是提高教学有效性的一个着力点。教师可挖掘数学中的美学因素，利用艺术生较强的审美能力，共同创设艺术情境，让美贯穿于数学教学的始终。
数学课堂可以渗透更多的艺术元素，变沉闷为活跃，变“辛苦”为快乐。如三角函数“诱导公式”教学时，为了使学生能记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，不妨让学生来一个配乐演唱，这样大家就在轻松愉快的氛围中完成口诀的记忆，在教师的引导下再加以练习，那么诱导公式的使用学生就能牢牢掌握了。如果运用多媒体配上音乐，再加上画面，数学更加诗情画意。学生在优美的教学情境中，学习热情被点燃激发。
3. 恰当定位教学目标，使艺术生“能学、乐学、善学”
高中数学新教材的内容进行“分块设置”，要求“螺旋式提升”学生的数学能力素养。艺术生数学基础相对较弱，加上艺术班增加了专业课的设置，一般每周占用两个下午和两个晚自习以上的时间，数学作业只能在课堂上完成，复习的时间减少了，给“螺旋式提升”带来很大的教学难度。要降低这一难度，实现数学有效教学，必须从每一节课开始。
4. 构建合理的教学任务，提高课堂教学效果
教学大纲对每一节课都有明确的教学要求，这就是一个个具体的教学任务。教师要根据艺术班的教学实际，对教学任务进行调整，使之更合理化。维果斯基的“最近发展区”理论认为，学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，另一种是学生可能的发展水平。两者之间覆盖的区域就是“最近发展区”。只有瞄准“最近发展区”的教学，才能有效地促进学生的发展。教师在教学中要根据艺术班的教学实际，以积极的态度精心设计教学，使每节课的教学任务趋于合理。
5. 改变教与学的方式，让学生参与到整个教学过程中
【关键词】数学教学 小学数学
一、加强基础知识的教学，已解决差生知识欠账的问题，转变教学理念
差生一般是基础知识薄弱，对新知识不能接受，久而久之就成了课堂上的“陪客”。但是差生也有学习的动机，他们对学习也有渴求与需要，只是由于种种原因在一段时间内掉队了。因此教师这时必须向他们伸出援助之手，先摸清差生差在哪里，做到有的放矢，落到实处，使他们跟上前进的步伐。
二、抓学习态度，使差生明确学习目的端正学习态度
差生上课一般小动作多，思想不集中，学习兴趣不大。其原因很大程度上是由于他们的学习效果不佳上课时他们又往往新旧知识联结点上抓不住关系，深入不下去，学不到东西，解决的方法是在教学时要精心寻找知识的产生点，重视知识发生和发展过程的教学，要根据新旧知识的内在联系引导他们自己进行知识迁移，在数学课堂教学中，数学教师的教学目标要定位于“全面、持续、和谐地发展”，不仅要关注学生知识领域的发展，还要关注学生情感领域的进步。为此，教师要转变教学理念，改进教学方法，具体做到：变“教师主宰”为“教师主导”；变“注入式”为“启发式”；变“学生被动”为“学生主动”；变“注重知识接受”为“注重知识发现”。只有注重学生在数学课堂中的参与性，课堂教学效率才会有稳步提升。比如，在教学“一次函数的概念”时，先在黑板上列出两道紧贴学生生活实际的应用题，然后让学生将式子列出来，再仔细比较两个式子之间的异同点，最后引导学生归纳总结“一次函数的定义”。这样的教学让学生可以让学生经历“一般――特殊――一般”的过程，有效掌握了一次函数的概念。
三、教给学生掌握正确的学习方法，推进分层教学
差生之所以差，差在缺乏学习方法上，这就要求教师给差生学习方法教学时要遵循由浅入深，由易到难，由简到繁的思维规律。作为数学学习的主人，学生的地位必须得到重视。而教师是初中数学课堂的组织者和引导者。长期以来，不少教师都采取加快教学进度，压缩新课课时的做法，以此腾出更长时间来进行总复习。其实，这种做法是错误的，学习时间变短后，学生的思维就会被抑制，导致学生知识静化。要改变这种现象，教师就要推进分层教学，使学生循序渐进地提升能力。首先是数学知识分成，将分析考试命题方向与学生实际水平相结合，把分析教材知识结构与学生认识发展相结合，以此使各个层次的学生都能学习新知识。其次要做到作业分层，笔者一般会将作业分为简单、一般和较难三个层次，让不同层次的学生分别完成，这样可以让学生在完成作业的过程中体会成功的喜悦，同时也能克服抄袭现象
四、在教学中激发差生的求知欲，培养学习兴趣
学生对新鲜事物都有敏感性，好奇心，差生也毫不例外，甚至更为突出，具有强烈的自我表现和好胜心理，依据差生这种心理，在教学中采用“挑战”的方法常常能激发差生的求知欲。如我在教一元二次方程时，我向学习说明，我们不解方程能很快求出这个方程两个根的和与两个根积。这话引起了学生的好奇心，继续又讲，又提出，“为什么我能很快求出呢？是因为我掌握了一个定理，如果你们也掌握了这个定理，算得比我还要快”。学生兴趣和积极性大大提高。这一节课专提问差生回答，。大大激发了差生的求知欲，教学效果较好。提高教学有效性，必须激发学生的学习兴趣。要培养学生的数学兴趣，不能仅仅依靠单纯的模仿与记忆，而是要促使学生动手实践、合作交流与自主探索。为此，在初中数学教学过程中，教师要多举一些学生身边的实例来促进教学，比如存钱的计算、树木高度的测量和土地面积的计算等。这样可以让学生懂得数学知识在日常生活中的价值，从而更加热爱数学。此外，教师还可以在数学教学中渗透符号口诀表述思想。众所周知，高中数学符号是很多的，教师可以教会学生利用简洁的口诀来表述复杂、抽象的数学道理。比如在教学“解一元一次不等式组”时，根据取值情况，可以总结为“同大取大，同小取小，大小小大取中间，小小大大取无解”。高中生的抽象逻辑思维还处于发展阶段，利用口诀教数学，可以化抽象为具体，提升教学效率。
五、在教学活动评价中使差生获得满足感
关键词：中职数学；数学课堂；吸引力
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2012）03-0107-02
近年来，我国大力发展职业教育，中职学校的发展迎来了前所未有的机遇，各方面对职业教育进行大力宣传，因此，中职学校的招生规模不断扩大。有的地方普职比已达1∶1。但是，招生人数的增加并不等同于生源质量的提高。相反，中职校绝大部分学生是由中考分流下来的，因而整体文化水平低，特别在数学学科中表现尤为突出。要想教好这些学生，帮他们顺利完成学业，首先要改变以往数学课枯燥、乏味的传统，提高数学的课堂吸引力，让学生变厌学为想学。本文就如何提高中职数学课堂吸引力谈一些看法。
传播数学文化，加强课堂文化建设
数学课堂是传播数学文化的阵地，数学发展的历史长河蕴藏着丰富的文化内涵。绝大部分中职学生对我国瑰丽的数学文化知之甚少，有的甚至一无所知。提到数学，第一反应就是枯燥无味，艰涩难懂。因此，作为中职学校的数学教师，有义务更有必要给学生灌输我国辉煌的数学发展史及数学成果，激发学生的爱国热情，提高课堂教学吸引力。
在古代，我国数学的发展早于西方国家，早在原始公社末期，结绳记事就开始逐渐取代文字符号。到春秋战国时期，筹算法已得到普遍应用，开始使用十进位制，它对世界数学的发展具有划时代意义。我国古代的数学体系形成于秦汉时期，出现了世界数学名著《九章算术》。早在隋唐时期，《九章算术》就传到了日本、朝鲜，并作为当时日本、朝鲜的教科书。我国古代很重视数学教育，特别是统治阶层，西周贵族子弟从9岁开始就要学习记数方法，他们要接受礼、乐、射、驭、书、数的训练，数学作为当时“六艺”之一，已成为专门的课程。学生通过对数学史的学习，既扩大了知识面，又大大提高了学习数学的兴趣。
渲染情感因素，提升教师人格魅力
数学由于其自身有很强的逻辑性、抽象性及严密性，因而令人感觉枯燥乏味。中职学校所面对的学生往往初中数学基础就差，他们“望数兴叹”、“望数生畏”，存在较为严重的学习数学心理障碍，对学习数学信心不足。这就要求数学教师应注意情感的投入，渲染情感因素，提高数学课堂吸引力。
首先，必须建立融洽的师生关系，想方设法让学生产生愉悦的情感体验，从而“爱屋及乌”。一旦学生与教师之间产生愉悦的情感，学生就会相应地喜欢这位教师所教的学科，形成一股积极的教育力量。所以，教师应当从思想、生活、学习上关心学生，了解他的所思所想。对成绩好的学生要关爱，对差生更要做到不离不弃。不讽刺，挖苦学生。学生是感性的，一旦意识到教师真的关心爱护自己，这份真心就能转化为学习动力。
其次，数学教师也应提升自身文化素养。当今社会处于转型期，新生事物层出不穷。教师仅凭在大学学到的知识是远远不够的，应在各方面不断充实自己，提升人格魅力，让自己所教的数学课更有吸引力。
因材施教，加强中职数学课改
随着各中职学校招生人数的不断增加，前所未有的困惑与挑战摆在中职数学教师面前。学生起点低，对数学不感兴趣，教师工作热情大打折扣，体验不到事业的成就感。因此，必须对中职数学教学进行改革；因材施教，有的放矢，提高课堂吸引力。
夯实初中数学基础，注意初高中教材衔接 迈入中职学校的学生数学基础与数学学习能力差别较大。据统计，70%学生数学基础较差或很差，有的几乎是小学水平。这部分学生对数学学习兴趣不大，学习动机不强，存在较为严重的畏惧心理。在此情况下，若马上进入高中课程，势必造成更多学生厌恶数学，甚至会导致流生。因此，有必要在中职数学教育的起始阶段，适当降低教材起点。首先帮助学生针对性地复习初中数学内容，夯实初中数学基础，特别注意初高中知识的衔接。教师可适当安排时间复习以下知识：（1）因式分解，特别是十字相乘法；（2）一元二次方程的解法；（3）一元一次不等式及一元一次不等式组；（4）y=ax2+bx+c（a≠0）的图像；（5）整数指数幂的运算。这些知识点的巩固复习，可以帮助学生打好扎实的初中数学基础，同时对高中知识起着衔接的作用，消除中职学生对高中数学的恐惧感，增强信心，提高数学课堂吸引力。
淡化理论推导，强化数学知识应用 著名数学家斯托利亚尔提出，数学教育包含三方面内容，即经验材料的数学组织化；数学材料的逻辑化；数学知识的应用。由于我国数学教学长期受应试教育的冲击与影响，往往掐头去尾保中间。即强调对数学定理、性质的逻辑推导，忽略数学的应用。然而，中职学校的办学宗旨是以就业为导向，培养技能型人才，因而教师必须注重培养学生的数学应用能力，淡化数学教学过程中公式、性质的推导，强调会用即可。以《三角函数》章节教学为例，在本章开头，引入任意角概念，将角扩大到任意正角、0角、负角，这一阶段，学生对所学内容非常感兴趣。可是，随着学习的深入，特别是到“诱导公式”部分时，由于公式多，记忆困难，公式推导多，大部分学生产生畏难、厌学情绪。故教师可将-α，180°±α的诱导公式的推导过程略去不讲，直接给出公式。让学生记住口诀“三角函数名相同，符号看象限”。通过求出任意角的三角函数值，学生反复应用诱导公式，在应用中记住公式。事实证明，学生对三角函数的学习兴趣大大提高，收到良好教学效果。
注重课题导入，实施情境化课堂数学 通常，数学课的基本形式为：概念―定理（公式）―例题―练习―习题。俗话说，好的开始是成功的一半。一堂数学课能否吸引学生，课题导入至关重要。然而，在中职数学课堂教学中，教师经常采用两种方法引入新课：一是以复习旧课开始，这种引入缺乏新鲜感，使学生对新知识产生冷漠的态度；或者直接开门见山，直奔主题，这种引入学生失去了探究的机会。这样的新课导入，常会压制学生学习热情，使学生进一步丧失学习数学的兴趣。要把学生注意力吸引到课堂来，教师必须花时间钻研教材，从学生实际出发，针对中职学生的特点，以生动有趣或设疑的方式导入新课，激发学生对新知的探究热情，调动思维活动的积极性。以《等比数列》章节第一课时为例，等比数列相较于等差数列，无论是公式记忆难度，还是计算能力的要求都高。要上好本节内容，教师可设疑导入新课。问：如果把一张试卷（厚度以0.08毫米计）对折25次，最后高度是多少呢？学生议论纷纷，答案五花八门，有30厘米，20米，100米……最后教师给出结论：2684米，比5座台湾101大楼还高。这爆炸性的结论立即激起学生兴趣，思维处于兴奋状态，为后续教学内容的展开奠定了良好的开端。因此，好的课题导入，能起到画龙点睛的作用。
恰当运用多媒体，抽象内容形象化 数学是一门抽象的学科，对大部分中职学生来说，数学艰涩难懂。如果教师仍停留在传统教学模式，采用一根粉笔满堂灌的教学方法，势必更加引发学生的排斥心理。而多媒体教学能帮助学生在动态环境中观察、探索、发现数学知识的形成，避免传统教学的单一、枯燥。教师若能恰当应用多媒体技术，制作符合中职学生特点的数学课件，变抽象为形象，势必大大提高数学课堂吸引力。函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图像及性质一直是中职数学教学的一大难点。学生往往纠结图像变化与函数解析式之间的关系。以往，在课堂上教师沿用传统教学法在黑板上描点、作图。可结果是教师画得满头大汗，学生底下睡成一片，课堂效果极差。运用多媒体教学，则可利用电脑依次画出y=sinx；y=sin（x+φ）；y=sin（ωx+φ）（ω>0）；y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）图像，指导学生认真观察解析式前后变化的函数图像，找出图像与解析式的变化规律，这样就能轻松得到课本中的结论：函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）图像由y=sinx图像先向左（φ>0）或向右（φ1）或扩大（0
中职数学教学并非一潭死水，教师若能以培养学生数学综合能力为出发点，结合学生实际，积极探索，勇于实践，一定能营造出轻松愉快的学习氛围，提高中职数学课堂吸引力，让学生想学、乐学，并学好数学。
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关键词：感受；探究式学习；问题情境；实践
随着现代经济的发展，社会对具有职业技能人才的需求越来越大，职业教育的发展前景一片光明，但由于招生规模的扩大和升学政策调整等因素，中职教育也面临着更大的挑战：学生水平参差不齐，基础差，起点低，特别是数学更加薄弱，甚至有的学生从小学就放弃了对数学的学习，再加上这些学生平时的生活、学习等习惯没有很好的养成，学习意志脆弱，一旦遇到困难和挫折就退缩，从而丧失了学习的信心，这就势必使专业课的学习质量大打折扣，更严重的会出现厌学、逃学的现象。而相对来说，电工类专业对数学的要求更高，这就要求数学教师对如何提高学生的数学学习兴趣、如何根据中职电工学生的年龄和个性特点去制订有效的教学计划、如何更有效地进行电工和数学的结合及应用提出更高层次的要求。
鉴于对美国数学教师协会在2000年颁布的《学校数学的原则和标准》中案例特点的感悟和体会，结合电工专业课程的学习目标和数学应用要求，有以下几点体会与大家分享。
一、让学生感受数学信息的形成过程，提高学习兴趣
数学新课程标准中非常重视情感因素对学习数学的影响，确定了包括“情感、态度与价值观”的三维教学目标，而在学习的过程中，教师应该督促和引导学生亲自感受数学模型的形成过程，在亲历事件的过程中理解并建构知识、发展能力、产生情感、生成意义。换句话说就是要在教师的指导下，让学生通过动手做与动脑想来能动地学习和理解数学，让学生经历“再创造”的过程，体验数学发现和再创造的苦与乐，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。例如，在“函数概念”的授课过程中，让学生分组说明生活及电工课程中的实例，根据初中函数概念的对照和理解，最终形成对函数集合概念的认识，然后再由概念出发，反过来去寻找专业对应，比方说举例说明电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系、蓄电池总贮电量Q一定、单位时间放出电量q一定时，剩余电量Q与放电时间t之间的关系等等，利用逆向思维，发散推广，将知识的形成完全交给学生去发现和领悟。
二、强调学生主体，探究式教学的应用
美国《学校数学的原则和标准》案例中重视培养学生的探究能力，主要是通过以下两条途径：（1）通过案例介绍，让学生掌握探究问题的三种方法以及了解应用每种方法时应防止出现的错误；（2）借助动态几何软件或模拟实验探究问题结论，让学生在探究活动中学会使用必要的工具或操作模拟实验（详见“法官判案问题”）。只有学生掌握了探究问题的基本方法，探究学习才能落到实处。
因此，在采用探究式教学的过程中，必须注意以下几点：
1.探究式教学要有的放矢
我曾经听过一节概率的公开课，上课教师让学生在课堂上投20次硬币，然后统计正反面的次数。的确，这样上课是增加了几个探究内容，也把课堂气氛搞得很活跃，这是值得肯定的，但是20次能说明什么？真的能说明概率的有效性吗，值得我们商讨和思考。所以，问题设计要一针见血，用到点子上，如果教师把问题提出以后，学生根本不知道探究什么，到底朝着哪个方向探究，这样的探究教学也形同虚设，毫无意义了。
2.探究式教学中教师很关键
自教改以来，探究式学习的理论被许多教师所熟悉并逐渐应用到了课堂教学，但从实施的效果来看，并不容乐观。现在的教师大都是传统教育的根底，教学的模式也很大程度上受到传统教学模式的牵制，因此，教师在探究式教学的实施过程中，往往至关重要，教师角色的转变也成了一个首要解决的问题。由“台前”到“幕后”，由“饲养员”到“导演”的完美转变才能让学生以一个更积极有效的演员身份参与到学习过程中来。以我为例：曾经一个非常好的师傅教我一道菜，过程我是记得清清楚楚，一步一步怎么去做，有什么注意事项我也都铭记在心，但真正到我自己上场去做的时候就不知所措，甚至连最基本的放油、葱、酱料都一塌糊涂。其实道理是一样的，在探究式学习的过程中，要让学生自己去发现，不要畏首畏尾，怕学生出错，只要有了这个亲身的经历，对知识才会有更深刻的理解。当然，教师的恰当引导和干预就成了关键。
三、采集有效案例，感知数学作用
美国课标中的案例取材广泛、真实，例如，病人的药物残留问题、管道的铺设问题、农民放兔子问题等等。从这一点出发，教师在电工数学的教学过程中也应该多多选取电工和生活涉及的实例，让学生贴近生活、贴近专业，让他们感知到数学的用处。
1.案例“生活化”
比如，讲到“函数周期性”的时候，教师可以引导学生看教室钟表，想星期、月、年等周期现象，而这些都是所谓的周期问题，可能某些概念比较抽象，学生不能理解，而教师就把它变成生活中鲜活的例子，找到概念直观生动的对应，学习起来就会更容易。
2.案例“趣味性”
中职类学生尤其电工类的学生对数学是望而生畏的，为了消除这种恐惧心理，调动他们对数学学习的积极性，增加数学知识的趣味性就显得尤为重要。在讲到“概率分步记数原理”的时候，可以引入“赵本山与宋丹丹”的例子：问“把大象装冰箱总共分几步？”回答：“三步：第一步将冰箱门打开；第二步将大象塞进冰箱；第三步将冰箱门关上”，这样就把学生的注意力吸引到课堂上了，学习的气氛也很融洽了。
3.案例“专业化”
这里说的专业并不是问题复杂难懂，而是强调和专业知识之间的结合和应用。数学对电工专业的学生而言要解决的问题之一就是要让他们认识到数学对专业知识学习的基础作用和辅助作用。所以，在教学的过程中要多与专业衔接，以数学为基础，建立数学与专业课程的知识架构。例如，复数在电工的应用很广泛，特别是在学生初接触正弦交流电压、电流等知识时，对其向复数形式的转化和向量图的画法就心存芥蒂。所以，在教学中，举例，结合复数三角形式、向量加法减法口诀以及正负角的旋转等知识对其创设情境，效果事半功倍。
4.案例“开放化”
以往教学过程中，教师提出的问题往往太过狭窄，答案也很明了，这样也限制了学生思考的深度和广度，而开放性问题，一个问题一般会有不同的几个结论，正确答案也不是唯一的，学生的发散思维和逆向推导思维得到了很好的锻炼，也可以更加积极独立地进行思考。在《学校数学的原则和标准》案例中有个“数学魔方”的小故事：“写下你的年龄，加上5，用2乘以所得的数字，再在这个数上加上10，用5去乘这个数，告诉我所得结果，我能说出你的年龄。”解决方案是“从最后得数中消去最后一个零，再减去10，得数就是这个人的年龄”。这个奇妙的“回答”回避了“问题是怎样解决的？”这个问题，而是采用一种更开放化的形式让学生去讨论和思考，并自己选择解决问题采取的方式。所以在教学的过程中，教师应该尝试将问题开放化、广度扩展化。比如，在“诱导公式”的学习中，有了诱导公式1的讨论以后，剩余的诱导公式完全交由学生分组讨论中完成，然后由小组代表上台讲解（注意给学困生上台发言的机会，让他们体会成功的喜悦，更有利于良好学习氛围的形成和教学的有效展开，也让他们对数学充满好奇，充满兴趣）。
四、重视实践，培养学生解决问题的能力与交流能力
中职电工学生重在理论的基础上进行实践、操作、应用，所以，在数学教学的过程中也必须强调知识的实践应用性。这一点在美国《学校数学的原则和标准》“法官判案问题”中得到了很好的展示，学生在解决问题的过程中，一方面，可以应用所学的概率知识解决实际问题，提高了解决问题能力；另一方面，通过学生分组，锻炼学生团结互助、乐于助人的品质，提高他们的语言表达能力和与人交流交往的能力。在这个过程中，教师要特别注意的是给学困生以表现和发挥的机会，破除原来“破木桶短板”的思想，将“破木桶侧过来”，充分调动学优生的积极性，让他们给学困生更多的帮助，以促进交流，达到更好的效果。
美国数学教师协会的《学校数学的原则和标准》在2000年颁布以来，有不少人研究和关注该标准，试图将其与中国高中数学标准进行比较，进而加以学习和借鉴，但是，对于中职数学特别是电工数学在中外案例比照和学习方面的思考却并不多，所以，我们在教学改革中必须认清这种现状，积极地将国外教学思想更有效地运用到职业教学改革中来，使我们的学生能学有所用，学以致用，实现数学和电工专业知识的真正结合。
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【关键词】预设；生成；和谐
1问题的提出
预设与生成是高效课堂的两翼。两者既是课堂教学的一对矛盾体，也是共同体。在高中数学课堂教学中预设是动态生成的前提和基础。而动态生成则是静态预设的完美体现。数学学科本身具有逻辑性强、教学目标高、解题方法繁多等特点，尤其到了高中数学这些特点更加明显，这为教师进行预设与生成开辟了更为广阔的空间。然而当更多教师将预设与生成的教学理念融人到教学实践中去时，我们也不难发现。“重预设、轻生成”以及“重生成、轻引导”的弊病也愈发明显。
1.1重预设而轻生成
在中学数学教学活动中，有些教师过分拘泥于设计好的“预设”程序。这种系统性、强制性和规格化的“预设”，既让教师局限于数学教材的范围，又制约教师个性化光芒的散发和学生个性的发展。在本应该丰富灵动的数学课堂上，学生的数学素养得不到提高。这种僵化的教学模式不是新课标所倡导的高效课堂，更不受学生的欢迎。为了在课堂中“应对自如”刻意地完成预设流程，拘泥于程式化的预设实施步骤，让学生时刻在教师的掌控之中，使得学生多样的生成资源被抑制下去。
1．2重生成而轻引导
课堂氛围是在现实自然的教学活动中，教师与学生以教学背景为衬托，所反映出的心理环境，表现在教师与学生的课堂状态、情感、人际氛围等中。为了打破传统教学中生硬、沉闷的课堂氛围，中学数学教师虽然做着不懈的努力，但还是存在盲目营造课堂氛围的现象。有些中学数学教师过分地强调生成，盲目地追求动态生成，认为只要是生成就是好的，他们并没有真正理解生成的含义。没有预设目标的牵引，一味地进行指向不清的生成，并不能给学生真正的数学体验，还会造成忽视预设基础的极端状况。预设与生成同属课堂教学过程中不可或缺的两个重要环节，因此，摆正预设与生成的位置，调整好两者之间的“度”，使其和谐共存，共同缔造高效数学课堂应该是目前广大教师更为关注的课题。
2理论思考
2．1概念界定
2．1．1预设
“预设”本来是逻辑学中的一个名词。《辞海》解释：“预设”就是“语句中所包含的使其具有真值或有意义的先决条件。教学活动是有计划有目的的活动，预设是有效教学行为实施的前提。教师是预设的主体，教学预设（教学设计、教学准备）是教学中的确定性因素，主要包括：对课程标准和文本的研读和把握，对学情的了解和对学法的选择，情境的创设和问题的设计，总体设计与达成的预测等等。预设并非是一份对课堂每一个环节都进行了“完美”设计的详尽的教案，而是具有弹性和留白。充分的预设是非常必要的，它既是保证教学顺利实施的必要条件，也是新的更有价值的生成的基础。一般说来，预设越充分，引导学生思考分析也就越深刻。要让学生完成知识的建构，就必须从学生的角度来预设我们的教学。也就是说，教师应该站在学生的角度，了解学生的经验背景、思维方式、情感体验，体会它们认识的局限性。
2．1．2生成
“生成”这一概念最早出现在建构主义理论家维特罗克的《作为生成过程的学习》中，从学习者的角度阐释了“生成学习”的概念。《教育大词典》第五卷中这样描述：生成是“强调学习过程是学习者原有认知结构与从环境中接受的感受信息相互作用、主动建构信息意义生成的过程”。显然，这已经是“教学生成”的意义了，“课堂教学生成”指的就是在课堂教学中的“生成”。有研究者把“课堂教学生成”看成是学习者的一种学习策略，并认为“生成性是有效使用学习策略最重要的原则之一，是指在学习过程中要利用学习策略对学习的材料进行重新加工，产生某种新的东西”。叶澜教授曾经说过：“动态生成性是对教育过程生动可变性的概括，它是对过去强调教育过程的预先设定性、计划性的一个重要补充和修正。”在一定程度上指出了“生成”是教学过程的特性。实际上，“生成”是与“预设”相对应的，它是一种由无到有的过程。在数学教学活动中，“生成”是教师与学生共同配合，促使实现有意义、有目的的习得并完成自我构建的过程。“生成”在数学课堂中不应该是稍纵即逝的，而应该是一种常态的存在。新课程理念认为，生成是生长和建构，是根据课堂教学本身的进行状态而产生的动态形成的活动过程，应该具有丰富性和生成性。
2．2把握课堂预设与生成关系的原则
2．2．1预设数学课堂教学的原则
（1）以生为本的原则
正是因为学生的兴趣爱好、课前准备等方面都不相同，教师在数学课堂教学预设时，应该了解学生，因材施教，从学生的实际情况出发，预测学生的学习方式，预设出能够有可行性和针对性的数学教学策略，体现数学课堂教学的以生为本特点。
（2）活用教材的原则
高中数学教材容量大，教师应从教学对象的实际情况出发，对该教材进行二次开发，教学内容、教学目标和要求的预设都要符合教学主体的要求，不能追求形式，而要看学生真正能学到什么，掌握什么，怎么去学，这样才能提高数学课堂教学的实效。在活用教材时，应该着重考虑：让学生从新旧知识的联系出发，找到知识的出发点；从学生的生活经验出发，找到学习的兴趣点；从学生具有的知识基础出发，找到学习新起点。
2．2．2构建数学课堂生成的原则
（1）灵活性原则
教师在课堂教学过程中，不要机械地按原先预定的思路教学，要根据数学课堂教学的具体情况，进行灵活调整，生成最新的数学教学流程，这样就能使课堂教学取得最好效果。
（2）开放性原则
一是开放的时空环境。时间上不限制在一堂课和在学校学习时间，空间上注视教室环境的灵活安排，还要把课堂引伸到社会，充分利用广泛的教育资源，让学生得到广泛的发展与关注。二是开放的人文环境。作为教育工作者，就应该及时转变教学观念，平等对待学生，营造和谐的数学课堂氛围，使数学教学具有灵活性、拓展性、开放性，进一步挖掘学生的潜能，发展和培养学生的个性。
2．3正确处理预设与生成的关系
2．3．1预设是生成的基础
凡事预则立，不预则废。没有高质量的预设，就不可能有十分精彩的生成。研究教材、教法是教学预设的重心。《数学课程标准(实验稿)》明确指出：“数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础之上。”这就要求教师在研究教材、教法同时，加强对学生的研究，在关注内容组织与过程安排同时，关注学生的认知基础，关注学习能力、情感、态度和价值观的培养。越是优秀的教师，设计教案的水平与质量越高。预设一个高质量的教案，既是教师经验的积累，也是教学机智的展现，其间蕴涵着教师的教育教学智慧。预设教案，可以更好地发挥教师主导、学生主体的作用，提高教学效益，一个不争的事实就是现实的课堂大多还是预设成功的。
2．3．2生成是预设的升华
生成是预设的精彩呈现，生成是预设的超越和发展。预设，仅仅是一种“假设”，因此，预设的目的不是为了约束学生的思维，更不是防止课堂发生意外，而是为了更好地引导学生标新立异，服务于学生的挑战与创新，为了更有效地生成，实现教学相长的目的。真实的课堂应该面对学生真实的认知起点，展现学生真实的学习过程，让每名学生都有所发展；真实的课堂不能无视学生的学习基础；真实的课堂不能死抱着教案进行一问一答。当然没有预设教案，也就说不上动态生成。所谓动态生成，是指教师在课堂上以学生有价值、有创见的问题与想法等细节为契机，及时调整或改变预设计划，遵循学生的学习问题展开教学而获得成功。只有在实施预设教案的进程中，教师随时捕捉学生的疑问、想法、创见等精彩瞬间，因势利导改变原来的教学程序或内容，自然地变为动态生成，才能产生事半功倍的效果。而在动态生成中，教师还要高屋建瓴，甄别优劣，选择恰当的问题作动态生成的“课眼”，引导教学进程。让课堂教学在健康有效的轨道上发展。
2．3．3预设生成对立统一
课堂教学的预设与生成是相互联系、相互补充、相互促进的辩证关系。也就是说预设和生成是对立统一体：预设与生成具有统一的一面，课堂教学既需要预设，也需要生成，预设与生成是课堂教学的两翼，两者具有互补性。但是，预设与生成也有其对立的一面，两者体现的教学理念和价值追求不一样，追求的教学目标不一样。预设重视的是显性、结果性、标准性的目标，生成则关注隐性、过程性、个性化的目标。预设过度必然导致对生成的忽视，挤占生成的时间和空间；生成过多也必然影响预设目标的实现以及教学计划的落实。从实践层面上，不少有价值的生成是对预设的背离、反叛、否定，还有一些则是随机偶发的神来之笔，生成和预设无论从内容、性质还是从时间、空间讲都具有反向性。正是基于这一点，我们特别强调，无论是预设还是生成，都要服从于有效的教学和学生的发展。数学课堂教学需要预设，但是，教师如果按照预设方案机械地加以实施，就会排斥学生的个性思考，限制学生对预设目标的超越，抹杀学生的创造智慧。所以精心预设又必须通过课堂生成才能实现其价值。因此，必须处理好预设与生成的关系，在精心预设的基础上针对教学实际进行灵活调整，追求有效生成，从而让数学课堂在预设与生成的融合中充满灵动的魅力。过于强调预设与过分追求生成都是两个要不得的“极端”!前者将课堂禁锢在死的教案上，课堂缺乏生命的活力；后者容易信马由缰，教学目标的达成往往会大打折扣，甚至遭到严重阻碍，一个有效与灵动的课堂，必然是预设与生成的完美统一，预设中孕育着生成，生成中丰富着预设，实现预设与生成之间的动态平衡。
3操作与实践
叶澜教授指出：“要从生命的高度、用动态生成的观点看课堂教学，课堂教学应被看作是师生人生中一段重要的生命经历，是他们生命的、有意义的构成部分，要把个体生命发展的主动权还给学生。”教师在教学中，一方面要不断地捕捉、判断、重组从学生那里涌现出来的各种各样的信息。并把有价值的新信息和新问题纳入教学过程，使之成为教学的亮点，成为学生智慧的火种；另一方面要采取灵活机智的手段，有效处理课堂教学的“生成”。
3.1精心预设，诱导生成
预设是课堂教学的基本要求，也是生成的起点。生成往往基于预设，以预设为基础，是对预设的丰富、拓展或调节和重建。精心预设，课前尽可能预计和考虑学生学习活动的各种可能性。在课堂上创造条件，诱导高水平的、精彩的生成，尽量减少低水平的生成。
3．1．1预设学情
对课堂教学的预设首先要从学生人手。奥苏伯尔曾指出：“从教育心理学最基本的原理看，影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么．”每个人的知识经验、认知水平、课前准备的程度等皆不相同，这就要求教师在预设时了解他们，然后预测可能发生的一些课堂变化，并思考其对策．新课程强调数学在生活生产实践中的应用，可以利用和日常生活密切相关的现象来整合教学资源。案例1：日常生活资源①观察到的生活现象，如商场的促销活动，阶梯电价等现象；②从事生产实践时观察体验到的现象，如去银行办理储蓄业务时利息的计算，购房时的公积金贷款等；③学生自身体验的现象，如平时爱喝的易拉罐饮料为何要设计成圆柱形等。学生比较熟悉，可以增加学生的亲切感，缩短师生的距离，但同时学生对这些知识常常“知其然而不知其所以然”，教师创设情境之后，学生就有一探究竟的心理，从而成功地激发学生探究的兴趣和主动性，也可以为课堂的“生成”打下扎实的基础，彰显学生主体。
3．1．2预设教材
预设的前提是教师首先要对教材有一个深刻的理解和准确的把握，要对数学知识产生与发展的过程有一个充分了解，在预设中要将数学的本质内容进行体现，同时要将教材中能够激发学生探究、思考的有效信息进行挖掘与展现，使预设更具开放性和针对性，为有效生成奠定基础。案例2：推导等比数列前n项和Sn的公式。教师引导学生讲解课本上介绍的推导方法，有以下预设：①回顾等比数列定义。②利用合比性质推导。③老师鼓励学生寻找其他证明方法。④将预设③变形为错位相减法。⑤举例说明为什么采用错位相减法而不用预设③的方法。在上面的预设片段中，老师希望通过引导与鼓励，调动学生参与问题讨论的积极性，预设的教学目标就能够在动态生成的过程逐步形成了。
3．1．3预设疑难
新课标要求学生“在交流讨论中，敢于提出自己的看法，做出自己的判断”。做到不唯书，不唯师，敢就教材的“疑惑处”“模糊处”提出自己的看法，做出自己的判断。这些意外问题的出现，使生成的教学资源更具偶然性，让我们一时难以驾驭。所以，教师备课时应对易引起学生质疑的地方进行深入预设。
3.1.4预设空间
预设空间即为生成预留空间。新课标倡导课程资源的开发和利用，重视科学探究方法的培养。认为科学学习的外延与生活的外延等同，要求我们拓展科学学习的领域，使学生在不同内容和不同方法的相互交叉、渗透与整合中开阔视野。具体说来就是要求学生通过查阅大量资料和阅读生活这部无字词典来获取信息以帮助自己更好地学习。因为学生拓展学习的方法、途径与内容丰富多彩，极易生成新的难以预测的教学资源。这就要求我们要用学生的眼光对易于拓展的内容进行预设，了解他们可能使用的拓展方法与途径，做到胸有成竹。案例4：函数课前预习笔者在函数新课之前布置了如下预习作业：①了解函数名称的由来；②与函数定义相关的中外数学家的简历；③查阅历史上函数的定义（至少两种）；④回顾初中函数定义（变量说），预习高中函数定义；⑤完成导学案预习作业。通过学生查阅相关资料，使学生对函数概念有初步了解，知道函数相关史料，减轻了学生对函数这一抽象数学概念学习的压力。预设空间也经常通过弹性预设来实现。弹性预设是指无论是教学目标还是教学过程都更加关注学生的个性差异，进行不同类型不同层次的预设，避免将预设重点放在学科知识上，忽略学生的情感体验和能力培养。弹性化设计以生成为目的，对于教学过程中的细节问题，如具体的活动时间、标准的解题答案等等不必做量化规定或者是刚性处理，而是将更多时间与空间留给学生质疑、探究、尝试与开发，同时也为教师适应教学环境、调整教学步骤，争取更多空间。对于本题的证明，有的学生采用比较法、分析法、综合法，有的还利用二次函数的求最值、三角代换、构造直角三角形等途径证明，甚至于有的同学将a+b=1，a≥0，b≥0作为平面直角坐标系内的线段，用解析几何知识进行求证……一节课下来，可谓精彩纷呈，学生的思考深度、思辨能力甚至超出了老师的预期。现代心理学研究指出，学生的学习过程不仅是一个知识的过程，而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。因此，新课程强调生成空间，弹性预设可以为课堂教学活动展开提供多种“渠道”，为教学中的动态生成拓展广阔的空间。但不可否认，尽管我们进行了充分的，并且是以生为本的人性化预设，有时课堂上的许多情况我们还是无法预知的。正如布鲁姆所说：人们无法预料教学所产生的成果的全部范围。因为教学是一门艺术。所以当我们面对无法预设的课堂生成时，要树立正确的课堂观，灵活应对并使用课堂上的生成性资源，且做到及时记载，及时反思，为下一次的预设作好铺垫，打好基石。所以，笔者以为预设与生成不是水火不融，而是水火交融，似一对孪生兄弟。
3.2依据生成，调整方案
余文森教授指出：“生成性是我们新课程课堂教学的基本特性、基本的价值追求，它要从原来的‘特例’走向现在的常态。”对教师来说，课堂教学并不只是课前设计和教案的展示过程。而是不断思考、不断调节、不断更新的生成过程，这个过程也就是师生富有个性的创造过程。教学活动的发展有时和预设相吻合，更多时候则和预设有差异，甚至截然不同。因此，教师应该灵活选择、整合乃至放弃教学预设，机智生成新的教学方案，使教学更加精彩。
3．2．1找准起点，因人施教
案例6：一元二次不等式解法这是我校高三文科B班的一节复习课中的一个题目：解关于x的不等式x2－2x－3≥0。预设：因式分解、据口诀写答案。生成：学生板演出现了如下解法，由（x－1）2≥4得x－1≥±2……显然学生的基础知识不扎实，但却出现了另一种常见的方法：配方法，因此老师就按照此法继续解下去，结合一元二次函数的图像总结出口诀，殊途同归。在此过程中老师并没有直接批判学生的错误，而是先表扬学生的配方法，较好地生成新的教学起点和因人施教的切入点。
3．2．2由此及彼，回旋升华
课堂教学中，学生有时会有一些“奇谈怪论”，如果教师能够及时捕捉其中有意义的信息，适当地调整教学方案，由此及彼，顺势生成，就一定会让课堂出现意料之外的闪光点。案例7：三角函数线学生在课堂上用三角函数线证明：x<sinx<tanx，0<x<π2≥≥，老师连续抽问了三位同学，都认为只要比较正弦线、弧长、正切线的长度即可，但始终不知与弧长怎么比较长短。老师再叫一位同学，同学答说用“直尺量一量”就好了，教室内哄堂大笑，老师对此一笑置之，然后就开始用面积法讲解了。案例8：二面角在《数学》必修2的“二面角”教学过程中，在讲解“二面角的平面角”的概念后，笔者要求学生在二面角的模具上画出该二面角的平面角，“请同学们来讲解、展示自己的杰作！”，笔者语音一停，许多学生都高兴地讲解、展示自己的杰作，但有一位学生出乎教师的预料：生成：他在二面角的模具上画出一个平面角，虽然满足角的顶点在棱上、角的两边分别在两个半平面内，但角的两边却不与棱垂直。调整：针对该学生的画法，笔者并不是简单地对其进行对与错的评判，而是巧妙地借用这一生成性资源进行指导，向学生提出问题：“为什么角的两边一定要与棱垂直呢？若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ（0<θ<90°）的两条射线OA1，OB1由空间等角定理知，∠A1OB1也是存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角呢?”升华：学生陷于沉思之中，教师进一步引导学生利用量角器及活动角通过变化活动角与二面角的棱的位置关系，测量、观察这些角的变化规律，通过进一步的观察、测量，学生终于认识到当我们用一个垂直于二面角α-l-β的棱l的平面去截两个半平面，与两个半平面的交线分别是两条射线组成的平面角的大小是确定的，而当我们随意用一个平面去截两个半平面，与两个半平面的交线组成的平面角的大小是不确定的，这样就难于刻画该二面角的大小,通过进一步的反思与探究，学生终于理解了“为什么角的两边一定要与棱垂直”。在案例7中教师对“直尺量一量”这种方法一笑置之的处理不够妥当，虽说弧长没法用直尺丈量，但却可以用弦长来近似，再进一步联想到三角形面积就很自然了。在案例8中教师的耐心指导，激发了学生的学习热情,教师把疑问留给学生，促使他们反思，使他们的思维更趋向严谨与科学；教师把问题交还给学生，让他们在探究中不断修正，正确的认识在探究中逐渐生成，使他们逐步理解“二面角的平面角”定义的合理性。在以上两例中，教师对生成采用了完全不同的处理方式，效果自然也是天壤之别。前者藐视教学生成，强推自己的方法；后者则耐心处理，使数学概念在脑海中得到回旋升华。
3.3利用生成，巧妙引导
《数学课程标准》在“课程资源开发与利用建议”中指出：“合理地利用生成性资源有利于提高教学的有效性。”在教学过程中，随时都可能出现教师预料不到的情况和问题，因此教师要善于抓住课堂中的生成，把“课堂生成”转化为“教学资源”，及时调整教学预设，形成新的教学方案，从而使课堂教学变得更加精彩、更加有效。教学中的生成性资源主要有三个来源：一是学生突然提出的问题，包括有价值的问题和偏离课堂目标的问题；二是学生回答问题或讨论中突然出现的“闪光点”或错误见解、错误理解；三是教学中出现的突发事件。叶澜教授指出：“教学过程中教师要把学生看作教学资源的重要构成和生成者，教师是课堂教学过程中呈现信息的重组者。”教学中，学生的回答超出自己的预设，这是值得教师欣喜的事情，这个时候，教师一定要相信自己，要紧紧抓住课堂生成的契机，利用生成资源，进行巧妙引导。
3．3．1化错为利，促进优化
一位教育家说过：“教室就是让学生出错的地方。”出错是每个学生的权利，错误不过是学生在数学学习过程中所作的某种尝试，是他们最朴实的思想、最真实的暴露，是非常正常的。课堂是学生出错的地方，错误是伴随着学生一起成长的。因此对学生的差错，教师要认真对待，耐心等待，要帮助学生改正错误，要把学生在课堂上出现的差错当作一种动态生成的教学资源，化错为利，促进优化。在数学教学过程中，学生头脑中难免会出现一些错误信息，这正暴露了学生的真实思维，反映出学生建构新知识时的障碍。优秀的教师善于从学生的错误中发现合理的因素，把学生从错误引向正确，或将错就错，将错误暴露无遗，使学生自己发现产生错误的原因，从而牢固构建知识体系。新课标要求我们预设应着眼于生成，生成指导预设。预设与生成的互动才能使课堂教学在对传统精华的继承中实现新的超越，才能使教学中师生的智慧像生命之树的枝叶一样交相辉映，才能使课堂彰显生命的活力。
3．3．2偶发事件，合理利用
在课堂教学活动中，突然发生一些事件，如有人随便插嘴、学生间或师生间冲突等，不但偏离了教学预设，甚至严重打乱了教学秩序．当突发事件发生时，我们无法回避．如果处理不当，不但打乱了正常的教学秩序，还可能伤害学生的感情，降低教师在学生心中的地位．在这种情况下，如果我们换个视角，认为这是教学生涯一次可遇不可求的经历，是课堂动态生成的教育教学资源，坦然处之，一定能化险为夷。案例9：圆柱体与火腿肠的故事笔者听过“圆柱体的体积”这课的教学．教师上课后首先复习了长方体的体积公式、圆的面积公式，然后就提出：那么我们如何计算圆柱体的体积呢?生成：正当大家苦思冥想的时候，一位学生突然说：“老师，吃根火腿肠就知道了！”合理利用：老师犹豫了一下还是叫这位同学来解释怎么回事。“我是这样想的，这是一个火腿肠，我想把它横着切成一个个圆片，分给你们吃。”霎时间，下面的同学都笑了，七嘴八舌地议论开了，我想这个回答也应该出乎老师的意料吧!过了一会儿，一个学生提问：切火腿肠，和圆柱体的体积有什么关系啊?“有啊，这个圆柱体的火腿肠的体积就是每一个圆片的面积乘上圆片的个数。”这样解释完，下面的学生有的在笑，有的在议论，还有的在思考。这时，这位教师不慌不忙地提问这位学生：请你给大家解释一下，圆片是什么?圆片的个数又是什么?“圆片就是圆柱的底面积，圆片的个数就是圆柱的高。”话音刚落，掌声响了起来……这既顺应了学生的好奇心，又发挥了学生的聪明才智，收到了良好的教学效果。我们还必须看到，课堂上生成的资源因素具有方向上的不确定性。不同的方向，教育价值的大小不同，有的还可能产生负面效应。因此，教师在课堂生成中要注意把握好方向，适时地做出反应和调整，既要让学生充分感受心灵的自由，又要潜移默化地渗透主流社会的意识形态；既要大胆猜测，放飞想象，又要尊重事实，讲究科学；既要教师的宽容和学生的自主，又要有教师的引导和学生的自律。
3．3．3呵护创新，拓展延伸
叶澜教授指出：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定的路线而没有激情的行程。”在教学中，教师应鼓励学生主动探究、大胆假设、操作验证、质疑问难、创新生成。在探究中，学生独特的见解、创新的解题思路和方法等都是可以利用的生成资源，教师应呵护他们的创新，并加以拓展延伸，发展创新思维。新教材中都设立了探究性材料，为学生形成积极主动、多样的学习方式创造了有利条件，但要将课堂真正动起来，不能只局限于教材提供的探究性材料，更应从教材的例习题、平时的练习题、课堂的生成等挖掘探究性素材，引导学生主动从事观察、实验、猜测、验证、推理与合作交流等数学活动，使学生体验数学知识的发现与创造的历程，从而引领动态课堂的有效生成。
4成效分析
4.1共建师生和谐课堂
通过精心预设，诱导生成；依据生成，调整方案；利用生成，巧妙引导等多种手段使学生的主体意识得到真正凸现，为学生创造一个学习知识的平台，唤起学生学习的动机，激起学生学习的欲望，从而让学生能在课堂上不断生成新知识。在一定程度上实现真正的互动和合作：教师与学生、学生与学生、学生与文本在教学过程中实现多种视界的沟通、汇聚、融合，从而使各自的认识偏见得以纠正，并产生新的视界。
4．2提高教师教育智慧
教师能用心去发现学生发言的闪光点，追溯思维的起因，并用一种开放的心态，充分利用学生的问题资源，在提炼成有效资源后，带着学生一起去分析，一起去讨论，一起去分享。提高了课堂应变能力，并时刻关注并及时捕捉课堂上师生、生生互动中产生的有探究价值的新信息、新问题，重新调整教学结构，重组信息传递方式，把师生互动和探索引向纵深，使课堂再产生新的思维碰撞和思维交锋，从而再有所发现，有所拓展，有所创新，促进教学的不断生成和发展。
5反思
5.1摒弃无效生成
强调生成的动态性，意味着上课不是执行教案而是教案再创造的过程；不是把心思放在教材、教参和教案上，而是放在观察学生、倾听学生、发现学生并与学生积极互动上．它要求教师在课堂教学活动中不能拘泥于课前的预设，要根据实际情况，随时对设计做出有把握的调整、变更。因此动态生成不是盲目地生成，它必须围绕“课程与教学目标”来生成，必须考虑学校教育时间的有限性。
5．2注重应变能力
苏联教育学家马卡连柯说：教育技巧的特征之一就是随机应变的能力。有了这种品质，教师才能使教学避免陷入呆板，才能正确分析现时课堂的情况，从而找到适当的方法加以正确地运用。但是这种技巧的形成绝非一蹴而就，而是一个厚积薄发的过程。这个过程要求教师必须不断学习，增强专业修养和文化底蕴，有意识地对自己的课堂教学行为进行审视，提高对动态生成的课程资源的捕捉和利用能力。总之，我们在课堂中要平衡课堂的两翼预设与生成，运用多种教学策略，有效引领课堂的生成，构建和谐的课堂，让课堂真正“动”起来，让教学真正“真”起来，让学生真正“活”起来，打造真正的高效课堂。
【参考文献】
［1］普通高中数学课程标准[M]．人民教育出版社，2004，5．
［2］沈涛.探索中学数学有效教学的策略[J].现代教育科学，2007，2．
［3］熊文中.关于数学有效教学模式的构想[J].中学数学教学，2007，2．
【关键词】职高数学课堂 有效教学 实践 策略
随着课程改革的深入，课堂教学的有效性，已经成为时下比较风靡的热门课题。“有效”是教学的本质特性，也是当前课程改革的核心思想，更是教育事业实现内涵发展的必然要求。有效教学要关注的是学生。如果学生不想学或者学了没有收获，即使教师教得很辛苦也是无效教学。同样，如果学生学得很辛苦，但没有得到应有的发展，也是无效或低效教学。因此，应该是引导学生力求更高效率有所收获的教学。
一、情境创设策略，让学生利用生活经验和原有知识学习
思维加工是学习过程的核心，是体现学习行为的主要标志，也是完成学习任务的根本途径和保证，更是实现学生主体地位的必由之路。学生的思维活动有赖于教师的循循善诱和精心的点拨和启发。比如，讲授“椭圆”一课时，我在课前为每个同学准备了一块硬纸板、两个图钉和一根细绳，我做了一点简单的提示后，请同学们自己试验画出椭圆来。职高的学生动手能力还是很强的，通过这种自己动手的画图试验，使同学们很容易地弄懂了椭圆的定义，而且在接下来的学习就很容易上路了。比如在集合这一节的教学中，我采用讨论式教学法。请同学们分组看书讨论集合的有关概念、性质等，然后，每组请一个同学来讲这节课所学的内容都有哪些，接下来，我请同学回答“我们班全体高个子同学所构成的集合”中有哪些元素？同学们有的说自己是高个子，有的说自己不是，经过激烈讨论，大家发现原来“我们班的全体高个子同学”并不能构成一个集合，因为高个子并没有一个明确的标准，从而对集合有了一个明确而清晰的认识。
利用认知冲突创设问题情境。问题的产生不是教师强加给学生的，而是学生基于自己原有知识结构产生的困惑。这就要求教师在教学过程中必须根据学生的认知特点创设问题情境，引导学生在已有知识经验与新的学习任务间形成认知冲突，激发学生强烈的求知欲望。
情境教学注重“创设情感，激意”，又提倡“学以致用”，努力使二者有机地统一起来，在特定的情境中和热烈的情感驱动下进行实际应用，同时还通过实际应用来强化学习成功所带来的快乐。我所带的班级的学生是建筑专业的，通过数学与专业的结合，让学生扮演测量员，测量并利用三角函数计算教学楼的高度，其教学效果可谓事倍功半，学生产生顿悟，求知欲得到满足更加乐意投入到新的学习情境中去了。同时对学生思维能力、表达能力、动手能力、想象能力、提出问题和解决问题的能力，甚至交际能力、应变能力等等，都得到了较好的培养和训练，学生们学习的主动性很好地被调动了起来。
二、提出兴趣激发策略，以提高学生学习积极性
（一）精心设计教学，诱发好奇，培养兴趣
设置悬念可以从讲新课开始就激发学生强烈的求知欲，看似与本课教学内容无大关系，实则联系紧密的典型问题能够迅速激发学生思维。比如在讲“等比数列”的前几项求和时，先引出一份合同：甲方：黄世仁，乙方：印度阿三。今甲方为佃农，为期一个月。工种：种田。甲方付与乙方应得工资，经甲乙双方商讨，工资结算方法遵循以下协议：甲方第一天以一粒米换取乙方一袋米（标准袋：40斤），第二天一两粒米换取乙方一袋米，第三天甲方以四粒米换取乙方一袋米，以此类推，以后每天甲方以前一天所给大米的2倍换取乙方一袋米。期限：30天。
这份合同一下子抓住了学生们的注意力，有同学想做黄世仁，也有同学想做印度阿三，他们迫切地想知道到底谁比较精明，黄世仁到底要给印度阿三多少米？怎样计算以及计算结果是什么。这就为引入“等比数列”前几项的求和问题制造了悬念。设置悬念也可以在课尾，课尾悬念是下一堂课的中心，即打下伏笔，给学生一个想象的空间余地。
（二）应加强教学语言的艺术应用，让教学生动、有趣
职高学生对教师一般性按部就班式，用枯燥无味的语言讲课听不进耳，对数学知识也不感兴趣。这时，教师应恰当运用艺术性的教学语言来活跃课堂气氛，引导每位学生进入积极思维状态，从而达到教学目的。在数学的学习中，学生感到最难的莫过于繁多的公式定理，学生记不牢，也就用不好，而单纯的死记硬背，又往往容易记错。这时老师若对某些公式加以概括提炼，编一些形象的口诀、图表，学生会很感兴趣，乐于接受，记忆牢固，会收到事半功倍的效果。两角和与差的正弦和余弦公式，两个公式很像，用“名同号不同，名不同号同”两句话来概括这两组公式，学生自己体会到了这句话的奥妙，感到记这些公式原来这么简单。
（三）互动式教学，充分调动学生的积极性与主动性，培养兴趣
在职业高中数学教学中，教师往往在苦口婆心地讲，而下面往往会出现睡觉、吃东西、聊天的情形。究其原因，笔者认为这是缺少足够的师生互动的原因。这时教师可讲一个数学智力题，或者数学游戏，尽量让全部学生都投入到教学上，然后再继续讲课。例：我们的要求是将七棵树种成六行，每行三棵树。让学生思考，之后告诉学生答案。像这样的例题联系实际，能吸引学生的注意力，充分调动学生的积极性与主动性。
三、解决问题能力培养策略，提高学生创新能力
我们教学也要反映社会科技经济进展，满足学生多样化发展的需要，从某中意识上讲述让数学联系生活，在体现数学美同时，也是教学内容的现代化，是一种高效的教学手段。引导学生关注生活，让学生在现实生活的问题情景中，学会运用数学的思想去观察、分析日常生活中的现象，去解决日常生活中的问题，这实际上就是学生发现、实现、再创造的过程，也是数学老师的责任，千方百计“化简”书本知识，把“身边的数学”引入课堂，再把数学知识引入“身边的生活”。 能力的提高得靠训练，练是学生学会独立分析问题、解决问题的关键。因此，我在教学实践中，经常以练为主，按懂、会、熟、巧的顺序分阶段有计划地让学生去练。在一些重点章节中，有目的、有针对性地给学生留一些思考题，让学生去探讨，去创新。例如：在学习了增长率问题后设计“同一种商品，甲商店先提价10%再降价10%，乙商店先降价10%再提价10%，问甲乙两商店该货物现价是否相同？为什么？”等问题，学习函数后列举人口与人均资源的关系，学习统计初步后研究怎样从总体中抽取样本，来锻炼学生运用所学知识的机会。同学们通过自己的思考、理解并得到一定结论之后，不但对数学知识有了一定的理解和加深，而且对数学也产生了兴趣。通过这种方法，不但培养了学生的自主学习能力，同时也是开发智力、发展能力的重要途径。
四、合作精神和探究能力培养策略，提高学生自学能力
职业高中的学生虽然基础差，但是反应并不慢，而且有一部分学生的自学能力还比较强，这是学生的优势之所在。自学能力是学生按照学习规律，主动获取知识、深刻理解知识、系统整理知识、灵活运用知识、科学地组织自身学习活动的特殊本领，它是职高学生获得知识的重要渠道。因此，我在教学中倡导学生自主学习，培养学生的自学能力和终身学习的习惯，不断提升学生自身的人生价值。
扎实训练学生的阅读能力。苏霍姆林斯基说过：“学会学习首先要学会阅读”。阅读对于数学的学习同样必要，现代教育提倡从学会到会学，提倡“终身学习”，因此，培养学生学会学习的基本前提是学会阅读自学。首先要学会阅读教材，新教材的每一章节内容为学生阅读自学提供了广阔的空间。最初，可由教师先提出问题，让学生带着问题读书，再回答问题，掌握知识点，随着阅读能力的提高，可先让学生独立阅读，思考教材中的问题，然后总结归纳出重点知识，进一步提高自学能力；接下来，结合教材特点及教学内容，向学生推荐相关的数学史料，数学名人传、数学杂志、数学名题趣题及数学思想方法等课外读物，供学生阅读，进一步激发学生对数学的兴趣。
五、自主练习和实践能力策略，提高学生解决问题能力
实践活动是学生发展成长的主要途径，也是学生形成实践能力的载体。为了在学生学习数学知识的同时，初步接触和逐渐掌握数思想，不断增强数学意识，就必须在数学教学过程中加强实践活动，在实践、探索、思考、解决问题的过程中，使学生有更多的机会接触生活和生产实践中的数学问题，认识现实中的问题和数学问题之间的联系与区别，使学生初步学会运用所学知识和方法解决一些简单的实际问题。
在教学中经常所到有的学生反映说：老师您上课讲的我都懂，可自己做题就是不会，究其原因实际上就是教学生只学会了知识，而没有真正的掌握知识，因此还要教会学生会学，即在数学学习方法内化上加以指导。这就要求教师要有强烈的学法指导意识，在教学中要挖掘教材内容中的学法因素，画龙点睛地点拨学习方法，并及时引导学生把所学的知识加以总结，找出规律性东西以便于在思维训练中掌握学法。那么教师在课堂教学中注意在知识发生阶段和认识整理阶段上下工夫，让学生亲自参与概念的形成，数学原理和法则的获取及数学方法的选择过程，在例题及课堂练习的选择上降低起点，减小坡度，讲题时处处暴露真实的思维过程，让学生学会应用已有知识经验进行联想分析、归纳、类比、转化等方法，切实掌握研究问题的基本思想、思考和解决问题的基本方法。如：三角函数的图象和性质这部分知识，看图研究性质是高中学生学习数学的的难点，我在讲y=sinx图象和性质这节课时，先告诉学生从几方面研究性质（定义域，值域，单调性，奇偶性、周期性，有界性），教会学生如何运用“观察图象法”，这样在性质应用求定义域、值域判断单调性并找单调区间时同学们就很快将观察法掌握内化。于是再讲图象性质时，老师不用讲，同学们通过自学即可。具体的学习策略的运用方法，比如为了帮助记忆，提出了谐音法、表象法、缩句法等；为了便于理解，提出了图示法、符号转换法等，这些都可以供我们采纳和借鉴。
六、引导体验激励评价策略，促进学生不断努力学习
教师在数学教学中起着主导作用，教师“导”得如何、“导”的方向，在数学教学中起着“点睛”的作用，对学生的数学学习影响也很大。因此数学教师必须花精力、下工夫优化评价体系。在对学生的评价时，坚持以下原则：
（一）坚持尊重的原则，肯定“天生我才必有用”的教育意义，我们教师以积极乐观的态度去善待学生潜能的发掘。因为只有尊重，才能解放学生的思想，创造和谐、自由的学习环境，才能让学生找到自己的合适点。
（二）坚持激励的原则。激励是调动学生积极性的必要手段，是使学生产生自信心、上进心的必要条件。我们教师要善于用第三只眼（心）去看我们的职高学生，在肯定学生的闪光点的同时，激励学生个性发展，培养学生的个性特长。
（三）坚持自主的原则，让学生在自主管理中学会做人，在自主探究中学会学习，在自主实践中学会创造，主动发展，形成终身学习的意识，获得终身学习的能力。
（四）坚持享受的原则。教育的本义是“享受学习，享受文化”，让学生在学习中真正享受到进步的舒爽、生活的乐趣、生命的活力、合作的激情、探究的魅力。
有效性教学主要不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真，而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好，它关注学生的进步或发展，关注教学效益，要求教师有时间与效益的观念；“有效教学”需要教师具备一种反思的意识，要求每一个教师不断反思自己的日常教学行为；“有效教学”也是一套策略，有效教学需要教师掌握有关的策略性知识，以便于自己面对具体的情景作出决策。“让课堂‘活’起来、让学生‘动’起来”的教学是学生乐于接受且行之有效的做法。
【参考文献】
[1]曹勇兵. 新课程标准下学生数学学习方式的转变. 中学数学研究，2005（5）.
【关键词】自我监控;数学学习
1 . 问题的提出
数学是学生在校期间学习的一门基础学科,担负着提高学生数学素养的重任。学生如何高效地学习数学?教师如何高效地教好数学以使学生取得良好的学业成绩?如何迅速提高学生的数学思维能力?“授人以鱼,不如授人以渔”,如何使学生学会学习?很多学生在解数学题时没有计划性,没有一条明晰的思路,对已知条件缺乏分析意识,当思维受阻时表现出不知所措,对解题结果的正确与否缺乏检验、反思和评价的意识和能力,不会对自己的解题过程进行积极的调节和监控,因而很难从根本上提高学生解题能力和解题质量。懂奇的研究[1]表明元认知的发展水平直接制约着学生的智力、思维能力的发展,元认知训练是改善学生认知能力结构的关键。因此,元认知训练、数学学科自我监控能力的培养训练是培养学生数学思维能力的关键。如果学生具有较高的自我监控水平,学生就能有效地对自己的学习活动进行监控、调节,能够提高学习的效率。“问题是数学的心脏”。[2]在数学教育活动中,解题是最基本的活动形式,无论是数学知识的掌握、数学思想方法和数学技能技巧的获得,还是学生智力的发展、能力的培养都离不开数学解题。当代着名的数学教育家波利亚(G.polya)也强调指出“掌握数学意味着什么呢?这就是善于解题,不仅善于解一些标准的题,而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题”。由于数学对象的抽象性,数学推理的严谨性和数学语言的特殊性,它更需要学生对其过程进行自我监控,所以在数学解题教学中培养学生的解题自我监控能力是提高学生数学解题能力和解题质量的关键所在。同时,通过对学生的解题自我监控能力的培养,不仅能够使学生对数学解题进行自我监控,而且通过自我监控技能的迁移性能提高学生整个数学学习活动的自我监控能力,从而调动学生数学学习的主动性、自觉性和自主性,充分发挥其主体作用,提高学习效率,培养数学学习能力,使学生乐学、会学、优学。
2.自我监控的含义
所谓学习的自我监控是指学生为了保证学习的成功,提高学习的效果,达到学习的目标,运用各种方法和策略对所从事的学习活动的各个方面进行自我调节和控制的过程。
3.自我监控在数学学习中的作用
数学自我监控在数学学习和问题解决中起着重要的作用。自我监控在数学学习过程中的作用主要表现在以下几个方面:
(1) 自我监控能够修正数学解题的目标
数学解题具有明确的目标指向性。目标是解题者主观经验的觉知,它既是解题的出发点,也是解题的归宿,它影响和制约着解题的进程。因为解题者在自拟目标的影响下,将自己正在进行的认知活动作为意识的对象,不断发挥主动性和自觉性对解题的进程进行积极的、自觉的监视。一旦进程与目标不符,而又相信自己的进程时,则怀疑目标,将对目标修改或放弃,以确定新的目标。在已有知识和经验的基础上,解题者要监控其解题计划,制定可行的目标结构,致使解题得以顺利进行。自我监控对目标所起的作用是通过定向、调节和控制功能表现出来的。
(2) 自我监控能激活和改组数学解题的策略
数学解题具有明显的策略性,策略是在思维模式的作用下反映出来的,它影响着数学解题的进程和质量。解题者在解题过程中通过三种方式来操作策略。①激活策略,即以目标的期望为出发点,将材料系统放入知识背景,在操作系统的作用下激活认知结构,选择解题策略;②制定策略,即根据材料系统在认知结构中的相似性,寻求数学认知结构中的“相似块”,制定解题策略;③改组策略,即通过解题进程的反馈,解题者要进行自我评价,对进程的评价实际上就是对解题策略的评价,一旦地自己的目标确性无疑而又达不到或不能顺利达到目标时,则将怀疑其策略,有必要对其策略进行改组。解题者在操作解题策略时,实际上均受自我监控的控制和调节,即通过自我监控检验回顾解题方法,调控解题策略,最终逼近目标状态。调控策略的指标是通过策略的可行性、简洁性、有效性反应出来的。
(3) 自我监控能强化解题者在数学学习中的主体意识
解题者能否自我激活是关系到解题系统能否优化的先决条件。由于数学问题大都是具有一定的障碍性,这就要求解题者必须发挥主体作用,排除障碍,激活解题的欲望。而自我监控在解题中自始自终存在着内反馈的调节,不断地监控和调节自己解题活动的思维过程,主动审清题意,揭示问题矛盾之所在,主动搜索解题策略,并且自觉调动非智力因素的参与,积极超越障碍。使解题思维活动成为一种有目的性的、可控性的组织活动,这在很大程度上强化了解题者的意识,使问题得以最快、最好地解决。
4.培养高中生数学学习中自我监控能力的实施策略
(1) 加强知识系统化,优化学生的认知结构,丰富和完善解题自我监控所需知识
知识是学生进行解题自我监控的基础,如果不掌握必要的知识,学生的自我监控能力的形成和提高是不可能实现的。这里所说的知识,不仅包括数学的概念、公式、公里等具体的数学知识,也包括数学的思想方法和数学的认知结构。
认知结构是从知识结构转化而来的,是数学活动中通过新旧知识的相互作用,通过对已有认知结构的组织和再组织才能实现。在数学教学过程中,常常会碰到这种情况,学生听得懂教师所讲的内容,也掌握可解决问题的相应方法,但到了具体的应用,只觉得似曾相似,却仍不得其解,经提示后又恍然大悟,这些说明了学生头脑中的知识混乱、结构性不强,抓不住新旧知识的结合点,认知结构处于无系统状态,阻碍了学生解题自我监控能力的发挥。怎么样才能加强学生知识系统化,使学生形成良好的数学认知结构呢?
① 培养学生系统整理知识的能力
数学内容知识点很多,概念、定理、公式、性质有的很相似,不仅难记,而且容易混淆,这就需要将数学知识串点成线、串线成网,织成网,织成知识的网络,使数学内容变得简约而集中、完整而系统,既便于比较,也便于记忆、理解和沟通,同时,又能使学生在整体上把握知识。在教学时,既要注意知识的整体性,按照数学知识的发生、发展过程,引导学生展开积极主动的认知活动,又要突出重点,每一单元后还要引导学生归纳、整理理顺知识间的内在联系,并重组知识间的内在联系,使之系统化。同时,在教学中,好要运用“同化”,“顺应”两个机制,将新的知识同化或顺应到旧的知识体系中去,帮助学生发展和完善数学认知结构。如在学习诱导公式时,引导学生分析公式的特点,用口诀“奇变偶不变,符号看象限”,将诱导公式联系起来。
②重视数学思想方法的教学
数学认知结构是主体对数学知识结构的主观反映,由于数学思想方法的存在,才使得数学知识不再是刻板的套路或个别的一招一式,数学思想方法在数学认知结构中起着重要的固定作用。在数学过程中,由于学生能力及心理发展的限制,学生在学习数学时不能触类旁通、融会贯通,碰到没有见过的题目就会不知所措。布鲁纳指出:掌握基本的数学思想方法是通向迁移的“光明之路”。因此,在教学过程中要重视数学思想方法的教学,通过反复的渗透,引导学生领会蕴藏在其中的数学思想方法,使学生在潜移默化中达到理解和掌握。
(2) 增强学生动机和自我效能感,真正促进学生学习自我监控能力的提高
数学学习动机、自我效能与数学解题活动中的自我监控能力显着相关,也必将极大地影响着数学学习成绩的好坏。因此,在数学教学中应当加强对数学学习动机和自我效能感等非智力因素的培养。由于非智力因素的形成与知识的掌握是两种不同的方式和过程。因此难以进行专门、专题、专时的培养。需要长期的熏陶、暗示、顿悟和主观上由意识的磨练,才能沉淀到某一水平。在教学过程中首先详细了解学生的学习动机,以便采取一定的措施激发与培养学生正确的数学学习动机,消除厌学现象,充分调动学生学习数学的兴趣,使学生在解决数学问题的过程中始终伴随着良好的情绪体验;引导学生对解决数学问题的过程进行积极的监控,使学生充分体会到成功的喜悦,从而增强学生解决数学问题的自我效能感,使学生建立起正确的内部归因。这可以从下面两方面着手。
① 体验解题成功。②观察他人解题。
(3).充分展示数学解题思维过程,让学生在体验思维活动过程中发展解题自我监控能力
在解题教学过程中,教师要充分展示自己的解题的整个思维过程,让学生“看到”老师在解题时如何理解题意?怎样制定和事实解题计划?怎样选择方法或策略?当思路受阻时是如何调节和修正,解题后又是如何及时地进行总结和反思等。教师展现解题思维过程的教学方法,不仅仅是向学生展现思维的认知过程,更重要的是向学生展示解题过程中思维不断进行控制和调节的自我监控过程。这为学生的解题自我监控提供了很好的榜样示范作用,从而能促进学生解题自我监控能力的培养。具体在解题教学过程中该如何展现思维过程呢?
① 展现思路形成的过程
例1 (2006浙江高考文科20题) 设 若 求证:
(Ⅰ)方程 有实根;
(Ⅱ)
(Ⅲ)设 是方程 的两个实根,则 。
思考: 本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。对第一问,一般学生都想到用一元二次方程的判别式来解决,而用判别式那是必须要验证a的条件,于是我们可针对a≠ 0与a=0作出讨论,结合条件 便可证的第一问;第二问,由 易证;第三问,利用第二步的结论,很容易得出利用一元二次方程的韦达定理即可。
在教学中,把思路形成的过程暴露出来,可以使学生随时将自己的思维与教师的思维进行比较,找出自己思维的优点和不足,在比较中逐渐认识自己的思维特点,从而提高对自身自我监控能力的认识。
② 尝试探索发现的过程
例2 已知点P,Q是椭圆 和圆 的动点,求 的最小值。
思考:通过观察题目的条件知,可设P点的坐标为 ,Q点的坐标为 ,其中 ,利用两点间的距离公式便可得到 关于 的关系式 ,从而去求 的最小值。但是,仔细观察和分析发现:将(1),2)代入 的表达式消去 非常困难,而且,即使能把 消去了,式子中仍含有 两个变量,最小值仍很难求出,所以这种解决问题的方法不行,对解题思路加以调整。再次思考题中所给的信息,P是圆上的点,而圆有其特殊性质,可以把求 的最值问题转化为求
的最值问题(C是已知圆的圆心)。这样问题可以进行分步解决,先求点P与圆心(-1,0)的距离的最小值, ,可求得 ,然后再求得P、Q两点间的最小值 。
把教师解题过程中的尝试的探索过程展现出来,包括把失败过程以及从失败到成功的转化过程展现出来,使学生看到教师是如何转变思维的方向和策略,诸如从特殊到一般、从具体到抽象、从正向到反向、从静到动等等。这在解题的自我监控能力培养方面无疑提供给学生一种很好的体验和启发。
③ 方法选择优化的过程
例3 已知函数 在区间 上的最大值为3,求实数a的值。
思考:在时函数为一元二次函数,对于一元二次函数的几种情况我们是熟悉的。本题的关键是要确定 在 上的哪点上取得最大值。题目涉及了 的单调性,而当a>0时与a<0时,函数图象开口方向不同,对称轴又与a有关,所以,单调区间必与a有关。所以,本题可结合图象利用分类讨论方法,在讨论开口方向的同时讨论对称轴与区间的关系,然后根据各种情况进行求解。但仔细一思考,这种方法虽然肯定是可行的,可分析起来步骤比较烦琐,那么能不能对上述情况进行归纳呢?通过对题目进行定性分析,可发现二次函数在闭区间上有最大值、最小值,而且最值不是在顶点取得就是在区间两端点取得,所以可用代入验证法从而获得比较简单的解法。
在解题过程中要注意遵循思维规律,重视数学思想方法的传授,是揭示选择与优化解题过程的重要途径。例如反面设问、渗透反证法的思想;重视图形,渗透数形结合思想;纵横沟通,渗透化归思想等等。理解、领会、熟悉这些数学思想方法,有利于学生对解题方法的选取和对解题过程的优化。
④ 暴露解题偏差的纠正过程
展现解题过程中的偏差纠正过程,让学生看到教师在解题过程中也会有失败的经历,但更重要的是让学生看到教师是如何及时纠正自己的错误,如何及时寻找错误的原因以及总结失败的教训。这将有利于学生解题自我监控能力的提高.
(4).注重数学解题策略的教学,促进学生解题掌握监控的技巧和技能的提高
解题策略是培养学生解题掌握监控能力的基础,在教学中应该注重解题策略的教学,以促进学生解题自我监控能力的提高。
数学解题有一般性的解题策略和特殊的解题策略。一般性的解题策略是适合所有的解题活动,如:准确理解题意,不要匆忙答题,必要时可画出示意图帮助理解;必须善于进行双向推理;解题之后要善于总结自己的思路,反思自己的解题过程,探索出最佳解题方案,提高解题效率等。特殊的解题策略适合具体的数学问题解决,在中学数学中常用的有这样几种:枚举法、模式识别、问题转化、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等。对于各种策略,在教学中,应该向学生点名它的意义、价值、操作方式、使用条件等。例如,对枚举法既可以防止解题者在问题涉及的几种可能的假设之间犹豫徘徊,又可避免解题时顾此失彼,以偏概全,使解答严密而完备。枚举法的运用程序是:⑴根据问题列举一切可能的答案或中间过程;⑵对各种可能逐一检验;⑶确认可能的真假,从而去假存真,得出问题的答案。运用条件是:面临的问题存在着若干个答案,但我们暂时又较难直接确定哪些答案能够满足题设条件,且问题设计的可能的情形或假设的个数又不多。枚举法既用于解题的整体过程,又更多地用于解题的局部过程。如完全归纳法、分域讨论法等都是这种策略思想的体现。讲明策略的意义和价值能提高学生学习和使用策略的热情;讲解策略的使用条件可以缩小搜索策略的范围,提高检索策略的速度。
在进行解题策略的教学时,还应注意:⑴要循序渐进,先易后难,逐步积累;先教学基础的,应用范围较广的,后教学特殊的,应用范围较窄的。⑵要针对各种解题策略选择较多的恰当事例说明其应用的广范性,使学生对所学的解题策略形成概括化的认识。⑶策略的训练不宜密集进行,不能在短时间内将过多的策略传授给学生,要给学生足够的消化理解的时间。
培养学生在数学解题活动中的自我监控能力,根本目的是为了通过自我监控技能的迁移性能提高整个数学学习活动的自我监控能力,培养数学学习能力,从而促进学生“学会学习”,这是教学成功的最高境界。
参考文献
[1]懂奇.元认知与思维品质关系性质的相关、实验研究[J].北京师范大学学报,1990(5)
[2]赵振威.数学发现导论[M].合肥:安徽教育出版社,1993.
[3]毛洪翔等.数学学习心理学.广西师范大学出版社,1992
