时间：2023-06-15 17:27:42
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高中数学导数的概念及意义，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：导数与函数；交汇；命题
中图分类号：G632.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）01-0166-02
数学是一门具有独特魅力的学科。在高中数学里我们会学到很多有趣的数学符号以及复杂的函数，当然还有很多复杂的数学问题。高中数学主干知识包括函数与导数、数列、三角函数、证体几何、解析几何、概率与统计，这些主干知识足以支撑高中数学知识体系的主要内容，构成了高考数学试卷的主体。在函数与导数这一重点模块当中便有许多值得探究的问题，为了认清这一模块，我们将从导数与函数的思想概念、地位以及它们在数学中的应用着手，仔细分析导数与函数间的关系，为此我们作了研究并从例子中分析导数与函数的融会以及它们的作用。本文主要分成两部分，第一部分在参考了文献的基础上对导数与函数的概念及其关系做出了解答，并且详细地阐释了导数的思想及其在高中数学中的工具性地位。第二部分是论文的重点部分，在对导数与函数的运用中，通过导数解决单调性问题，通过导数求最值、证明不等式等展开对导数应用方面的诠释，包括了通过历年的高考例题来解析导数与函数在高考中的重大作用。
一、理解导数，掌握导数的思想和概念
1.高中数学中的导数概念。导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它是由平均变化率到瞬时变化率引出和定义的，导数的几何意义是曲线的割线逼近曲线的切线，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数可以说是新课程改革与旧课程的一个区分点，也是新教材的一个亮点。因为导数的应用非常广泛，它是连接高中数学与大学数学的纽带，用它可以解决许多数学问题。目前，随着新课程改革的不断推进，对导数知识考查的能力要求也逐渐提高，而且对导数的考查已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析问题和解决问题时的有力工具。
2.高中数学中导数的思想及工具性地位。函数与导数是高中数学的核心内容，在导数应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维、简化解题过程的目的。而导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题。
二、函数解题需要导数
1.函数中运用导数的思想。函数中运用导数的思想主要有四种：等阶转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想。等阶转化就是“把要解的题转化为已经解过的题”就是把未知解的题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要思想方法。等阶转化在导数及其应用中主要用来解决有关恒成立、函数的单调性等问题。函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题、解决问题。方程问题是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程或不等式），然后通过解方程或不等式来使问题获解。而函数与方程的思想在导数及其应用中主要用来解决生活中的优化问题以及构造函数证明不等式问题。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。它在导数及其应用中主要用来求解单调区间、参数问题、极值、最值及恒成立问题等。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来。数形结合思想在导数及其应用中主要用来解决方程根的问题。因为函数是贯穿中学数学的一条主线，是数学高考考查的重点。而函数是中学数学研究导数的一个重要载体。通常遇到复杂函数的时候难以利用普通的手段进行求解，所以采用对函数求导的方式可以克服此类问题，从而达到从繁化简的效果。
2.函数中导数的应用。高中数学中导数有很大的作用，主要表现在三个方面。①导数解决单调性问题，当函数表达形式比较复杂，并且用初等函数不能求解的时候，可以考虑使用导数求解的方法，通常可以求出函数的导数，然后再求解导数的不等式。函数f（x）=-（a+1）ln（x+1）其中a≥-f'（x）=ax-1/x+1，a≥-1，可以求f（x）的单调区间。函数f（x）的定义域是（-1，+∞）且函数的导数是f'（x）=ax-1/x+1.可以分成两个分进行求解，一部分是-1≤a≤0时，f（x）0时，f（x）=0，则无论是导数还是函数，都会随着x的变化而变化。根据x的取值变化可以化一个表来看函数和导数的变化范围和区间，由此可见，当a在（-1，+∞）区间变化时，函数是单调递减的，余下的部分是单调递增。导数在解题时出现最多的就是分类讨论的问题，解决此类问题，需要找到分类点和画表，根据表格x值得走向来判断函数是递增还是递减。②导数求解函数的最值问题，函数最值的问题也是常考的题型之一，对于闭区间的可导函数求其最值可以先求极值，根据极值与函数进行比较，确定最大值与最小值。函数f（x）=-x3+9x+a，闭区间[-2，2]，最大值为20，给出函数式子求最值。这种问题一般都会有两个问题：第一个问题，会对函数的单调增减区间进行探讨，然后给定一个闭区间求最值，最值包括最大值和最小值。第二个问题，闭区间会给你固定值，并且还会有最大的取值，从计算的过程中看，可以将闭区间两端的值代入导函数中，求出一个公式，f（x）=-24+a，f（x）=10+a，然后，根据第一问讨论的单调递增与递减区间的确定，确定其大小值，求解a的值。③导数证明不等式问题，导数证明不等式的问题，最关键的步骤要构造函数，利用导数判断单调性，来证明不等式。利用函数的单调性证明不等式，最关键需要构造一个函数，利用相应区间上证明不等式的知识来判断其单调性。根据以上的分析，可以解决数学的问题，并且也是有效的手段之一，思路很清晰，过程比较简单，能够加强导数的教学任务，可以提供一个清晰的思想，一个新的解题方法。
三、从高考命题来解析导数
1.导数在高考上的运用趋势。近几年来利用导数与函数、数列、三角函数、向量、不等式、解析几何等其他知识的交汇进行命题考查学生应用数学知识解决综合问题的能力已成为高考的一大亮点。因此，在命题上导数充分突显出其“工具性”的作用，在处理各类交汇性问题上，在处理曲线的切线、函数的最值（极值）及单调性、参数的范围、实际生活中的优化等问题方面，导数发挥着重大作用，所以导数是高考解答题命题的热点内容。例1：（重庆·理·16）f（x）=a ln x+1/（2x）+3/2 x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴.（1）求a的值；（2）求函数f（x）的极值。解：（1）对f（x）求导，故f'（x）=a/x-1/（2x2）+3/2；由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，所以该切线的斜率为0，即f'（1）=0，所以a-1/2+3/2=0，解得a=-1。（2）由（1）知f（x）=ln x+1/（2x）+3/2 x+1，（x>0），则f'（x）=1/x-1/（2x2）+3/2=（3x2-2x-
1）/（2x2）=（3x+1）（x-1）/（2x2），x>0，令f'（x）=0，得x1=1，（x2=-1/3，不在定义域，舍去），当x∈（0，1）时，f'（x）
2.运用导数的解题技巧。①求导后导数的几个固定形式：a.含分母的导数形式f（x）=（mx2+nx+p）/x，此类导数由含lnx的函数求导得到，所以定义域为（0，+∞），此时导数的正负与分母无关，只要研究g（x）=mx2+nx+p，分m=0及m≠0时Δ与0的关系即可；b.含ex的导数形式，此类导数的正负与ex无关；c.含三角函数的导数形式，利用三角函数的有界性。②二次求导的使用：当遇到含ex的复杂形式函数时可以采用二次求导的方法，例如设函数f（x）=ex-1-x-ax2。若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围。一阶求导f'（x）=ex-1-2ax，二阶求导f''（x）=ex-2a，由于x≥0，所以ex≥1，即2a与1的大小与二阶导数与0的关系，而二阶导数与0的关系决定一阶导数的单调性，若一阶导数单调则必有f'（x）≥f'（0）=0成立，从而获得原函数的单调性。③恒成立的应用：恒成立是导数问题中永恒的话题，归结为一句话就是恒成立即为求最大值与最小值问题，所以是导数应用的一个最重要的体现。在导数问题中，几乎所有的最后一问都要涉及到这类恒成立问题。
四、结论
1.重视导数方面的学习，弄清导数的概念。
2.有必要强调导数的工具作用。
3.进一步加深对函数的理解和直观认识。总之，导数引入中学数学教材后，使传统中学教学内容注入了新的生机与活力，如何更好地利用导数这一工具来重新认识原中学课程中的有关问题并为解题提供新的途径和方法已经成为当今中学数学教学要面对的崭新课题。
随着时代的发展，特别是适应课程改革和考试改革的需要，数学教学应“与时俱进”，重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵导数作为新增内容，在研究函数的性质中发挥了重要的作用。函数是高中数学的主线，因此导数与高中数学的融会关系将会更近一步。高中数学是高中课堂极为重要的一门功课，在高考中占据很大的分量。导数作为高中数学的重要知识，不仅蕴含着丰富的数学思想，也是一种简捷而有效的解题工具，对于解决数学问题有极大的帮助，因此本文希望通过导数与函数间解题研究能够帮助广大同学更好地学数学。
参考文献：
[1]王锦.导数在中学数学中的应用[J].学科建设，2012，（8）.
关键词：数学素养；数学史；变化率；导数
数学史在数学教育中有着重要的地位，它在帮助学生理解新知识、新概念，掌握新方法等方面，有着很大的作用，同时在培养数学素养，感受数学精神，养成良好的习惯方面能起到很好的促进作用。本文通过导数概念的引入教学，从一个侧面反映出数学史在高中数学教学中的地位及作用，以求抛砖引玉。
一、数学史在高中数学教学中具有突出的重要性与必要性
《课程标准》明确提出：“让学生经历知识的产生、发展过程，感受数学的内涵与本质。”起初觉得执行起来非常困难，也没太大必要。随着经验的积累，笔者的这种想法发生了改变。学习科学能给人以力量，让人们受到鼓舞，获得信念与勇气，然而只是简单而粗糙地“告诉”学生这些科学，显然与新课程标准的精神不相符合。因此，让学生经历这些理论的形成的过程不仅能让学生获得科学知识，更重要的是让学生在学习过程中受到启发，培养勤于思考，勇于创新的能力，不断提高数学素养。
实践中，笔者大胆引入了数学史的教学。下面是笔者对该节课的教学设计，节选了其中的教学过程部分。
二、导数概念的背景及产生过程
（一）教学设想
遵循“创设问题情景提出问题分析问题解决问题”的原则。
（1）通过具体实例分析，让学生经历用变化率刻画变化的快慢，从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义。
（2）通过导数概念的形成过程，理解生活中数学概念的基本发展过程，初步学会用极限的思想分析并解决问题。
（3）分析生活中的各种现象最后将其统一为数学中的导数概念过程，认识到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感。
（二）教学过程
平均变化率瞬时变化率导数。
1.平均变化率的再认识
通过教材中的实例分析，让学生理解平均速度可以刻画物体一段时间的运动快慢，并结合相应的图像，体会图像的“陡”“坡”与平均变化率的关系，最后抽象概括出平均变化率的一般数学概念：
y f（x1）-f（x0） f（x0+x）-f（x0）
x x1-x0 x ，
其中 x=x1-x0
2.瞬时变化率的认识
一方面，让大家理解瞬时速度的产生过程，另一方面，让大家理解切线斜率的产生过程，而这两方面正是牛顿与莱布尼兹的研究过程。
问题1：前面我们已经明白平均速度可以刻画物体一段时间内的运动快慢，那么在一点处的速度如何刻画呢？我选择了一个较为简单的例子：
若一物体运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为：s=t2，试估计t=5s这个时刻的瞬时速度。
学生经过一段时间的思考与分组讨论后，我介绍了相应的数学史：
因为瞬时的速度很难测量，直到牛顿的发现，这一难题才得到解决。大家想不想知道牛顿是怎样思考的呢？
能否用平均速度近似代替瞬时速度？如果可以，以怎样一个平均速度代替较好的呢？我选择了5～10s的平均速度，―=―=15m/s，此时的误差难以避免，但是能不能减少误差呢？刚才我选择的区间较大，能不能缩小些呢？大家在我的引导下，选择5～6s的平均速度，―=―=11m/s，误差缩小了，能不能再减少误差呢？大家发现随着区间的不断缩小，所得平均速度分别为10.1，10.01,10.001,10.0001，……越来越接近一个确定的常数10，到底5s处的瞬时速度为多少？很多同学说，近似为10m/s，大约是10m/s。我又问大家什么是大约10m/s，10.1叫大约，10.01也叫大约，10.001还叫大约，可见这种说法还不够科学准确。我告诉大家，如果当初牛顿只停留在无休止的运算当中，就永远也得不到伟大的结果，而只是停留在无休止的量变过程中。其实要完成从量变到质变的飞跃，只需跨出那小小的一步，我们共同想想：如何跨出那小小的一步，完成由量的改变到质的飞跃？那么在5s处的瞬时速度到底是多少呢？“10m/s，不多不少刚刚好。”大家较为整齐地回答。看起来大家好像明白了一些，但还是有疑惑，我就鼓励大家：人类经历这一过程花去了几百年的时间，而现在让大家用十几分钟的时间来理解确实很困难，随着时间的推移，大家的知识不断积累，会慢慢明白这一道理的，而后来恩格斯评价这一飞跃时称：“这是人类精神上的最高胜利。”
问题2：如图，P（xo，yo）是f（x）=x2+1图象上一点，那么如何求该图象在P（xo，yo）处的切线的斜率呢？
在x0过程中，割线AB的变化情况你能描述一下吗？请在函数图象中画出来。
引导学生观察：类比数、形的变化：
x0， B（x0+x，f（x0+x））A（x0，f（x0）），
当x0，割线AB有一个无限趋近的确定位置（演示动画），这个确定位置上的直线叫曲线在x=x0处的切线，请把它画出来。
x0，割线AB切线AD，则割线AB的斜率切线AD的斜率
有了前面的基础，大家理解起来简单容易得多，但同时也发现两个过程中具有相似之处，就是用无限逼近的思想，完成了由量变到质变的过程。
问题3：运用上面的方法求瞬时速度和切线斜率显然太过复杂，能否简化解题步骤呢？这样的问题是为了下节课导数的运算法则提供知识和思维的准备。
最后我让大家谈谈本节课的体会和收获，很多同学都谈到了收获知识的同时，感受到科学发现不仅需要勤奋不懈，更需要巨大的胆识与异于常人的勇气。
三、课后评价与反思
本节课在整个教学设计过程中始终围绕一个主题――探究前人伟大发现的足迹，再现当年历史。在教学过程中，让同学们感受到数学历史的发展，以及蕴涵在数学中深刻而丰富的哲学思想。通过这节课的学习，给学生以鼓舞与信心，促使他们达到端正学习态度的目的。
数学史在教学中的应用在高中阶段可以说无处不在，除了导数与积分外，像指数函数与对数函数、数列、简单线性规划等，都与数学史息息相关。在平时的教学教研活动中，教师如果能进一步探讨数学史与课堂的有效结合，必将促进学生学习数学知识的同时，使其受到良好的数学文化的熏陶。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.
关键词 知识 技能 方法
近年来，数学复习资料名目繁多，许多教师过于依赖各类资料，在复习中忽视了书本中的基础知识。这中做法实际上相当于在复习中失去了基石，现谈谈本人的一些看法。
一、重视基础知识、基本技能、基本方法
课本是考试内容的载体，是高考命题的依据，也是智能的生长点，是最有价值的资料，有相当多的高考试题是课本中基本题目的直接引用或稍作变形得来的，其用意就是引导我们要重视基础，切实抓好”三基”(基础知识、基本技能、基本方法)。最基础的知识是最有用的知识，最基本的方法是最有用的方法。在复习过程中，我们必须重视课本，夯实基础，以课本为主，重新全面地梳理知识，方法，注重知识结构的重组与概括，揭示其内在联系与规律，从中提炼出思想方法。在知识的深化过程中，切忌孤立对待知识，方法，而应自觉地将其前后联系，纵横比较、综合，自觉地将新知识及时纳入已有的知识系统中去，注意通用通法，淡化特殊技巧。
近年来高考数学试题的新颖性，灵活性越来越强，不少学生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而忽视了基础知识、基本技能、基本方法的复习。其实近几年的高考命题已经明确告诉我们：基础知识、基本技能、基本方法始终是高考数学考查的重点。选择题、填空题以及解答题中的基本常规题已达到整份试卷的80%左右，对基础知识的要求也更高、更严了。如果我们在复习中过于粗疏，或在学习中对基础知识不求甚解，都会导致在考试中判断错误。其实定理、公式推证的过程就蕴涵着重要的解题方法和规律，如果没有发掘其内在的规律就去做题，试图通过大量地做题去“悟”出某些道理，只会事倍功半。
二、抓刚务本，落实教材
数学复习任务重，时间紧，但决不能因此而脱离教材。相反，要紧扣大纲，抓住教材，在总体上把握教材，明确每一章、每一节的知识在整体中的地位、作用。
近年来的试题都与教材有着密切的联系，有的是直接利用教材中的例题、习题、公式定理的证明作为高考题；有的是将教材中的题目略加修改、变形后作为高考题；还有的是将教材中的题目合理拼凑、组合作为高考题。因此，一定要高度重视教材，针对教材所要求的内容和方法，把主要的精力放在教材的落实上，切忌刻意追求偏题、怪题和技巧过强的难题。
学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容。高中数学中的基础知识、基本技能主要包括②，基本的数学概念、数学结论的本质，概念、结论等产生的背景、应用，以及其中所蕴涵的数学思想和方法，和它们在后续学习中的作用。同时，还包括数学发现和创造的一些基本过程。
高中数学考试的内容选取，要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧。尤其要把握如下几个要点：
1、关于学生对数学概念、定理、法则的真正理解。尤其是，对数学的理解，至少包括能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例。
2、关于不同知识之间的联系和知识结构体系。即高中数学考试应关注学生能否建立不同知识之间的联系，把握数学知识的结构、体系。
3、对数学基本技能的考试，应关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练运用。同时，注意数学语言具有精确、简约、形式化等特点，适当检测学生能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流。
三、加强通性通法的总结和运用
在复习中应淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。常用的数学思想方法有：
1、函数思想。中学数学，特别是中学代数，可谓是以函数为中心（纲）。集合的学习，求函数的定义域和值域打下了基础；映射的引入，使函数的核心----对应法则更显现其本质；单调性、奇偶性、周期性的研究，是对映射更深入更细致的刻画；函数与反函数的研究，辨证全面地看待事物之间的制约关系。数列可以看成是特殊的函数。解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点；解不等式f(x)>0或f(x)
2、数形结合思想。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与树轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
数形结合的重点是“以形助数”。运用数形结合思想，不仅易直观发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理。大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优势，要注意培养这种思想意识，要争取做到“胸中有图，见数想图”，以开拓自己的思维视野。
3、分类讨论思想。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 转贴于
分类原则：分类的对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
分类方法：明确讨论对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合得出结论。
4、转化思想。将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想。化归与转化的思想的实质是揭示联系，实现转化。
熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
四、帮助学生打好基础，发展能力
教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力。具体来说：
1、夯实基础、加强概念教学：历年高考都有40%左右分值比重的试题综合性较弱、难度较低、贴近教材，解答过程较为直观且命题方式相对稳定，用以考查学生基础知识的掌握情况。有40%左右分值比重的试题综合性较强，命题较为灵活，难度相对较高，用以考查学生的基本能力。知识是基础，能力的提高和知识的丰富是相互伴随的过程，要意识到基础知识的重要性，常规教学中一味求难求变的作法是不可取的，抓住基础知识是全面提高教学质量和高考成绩的关键。数学科学建立在一系列概念的基础之上，数学教学由概念开始，概念教学是基础的基础。数学具有高度抽象的特点，概念的形成是教学工作的难点。知识的发生发现过程是概念的形成过程，挖掘并精化知识的发生发现过程，直观展现知识的发生背景和前人的思维过程，是概念教学的关键。数学学习要理解诸多的概念及概念间的关系，概念教学贯穿于数学教学工作的始终。探讨概念间的关系，展示概念间的联系，把诸多概念有机地串接起来，有利于加深学生对概念的理解，有利于“辩证、普遍联系”的认识观念的形成，有利于探寻、解决问题能力的提高和数学思想方法的形成。
2、强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。教学中应强调对基本概念的理解和掌握，对一些核心概念要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。
3、重视基本技能的训练。熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的。在高中数学课程中，要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。
随着时代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化。一些新的知识就需要添加进来，原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。因此，教师要用新的观点审视基础知识和基本技能，并帮助学生理解和掌握数学基本知识、基本技能和基本思想。对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）要在整个高中数学的教学中螺旋上升，让学生多次接触，不断加深认识和理解。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质，注重体现基本概念的来龙去脉。在新课程中，数学技能的内涵也在发生变化，在教学中要重视运算、作图、推理、数据处理、科学计算器和计算机的使用等基本技能训练，但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。
参考文献
1.2009高考总复习全线突破（数学文科版）山东省地图出版社，2008.3
2.2008年江苏省高考说明（数学科）
【关键词】多媒体体；优化；教学；提高质量
数学知识的传授、学生能力的培养主要是通过课堂教学来实现的，因此课堂授课的优劣直接影响到教学目标的实施和教学质量的提高。在数学教学过程中存在着大量的抽象性的概念和严密的推理。由于我们长期采用传统的教学手段，影响了教学质量的进一步提高。因此，多媒体的应用，可以优化课堂教学，大幅度地提高教学质量。多媒体在数学教学中的应用，展示了它前所未有的魅力，可创设数学情境，利用图文并茂的表现方式，生动地描述各种复杂抽象的数学对象关系，并配“色彩鲜艳的动画演示，形象逼真地模拟各种轨迹的形成过程。解决了学生对抽象数学知识形成发展过程感性认识的不足、不能深入理解数学思想方法等问题，从而起到优化课堂教学的作用，提高了课堂教学质量。下面，笔者谈一下如何应用多媒体，优化课堂教学。
一、应用多媒体体，优化开局，为提高教掌质量打好基础
通常说良好的开端，等于成功的一半。作为课堂教学来说也是如此。只有一开始就紧紧抓住学生，调动积极性，为课堂教学创设良好的情境，才能保证教学目标的实施。那么怎样运用多媒体来优化开局呢？
（一）应用多媒体设置悬念，激发学生的求知欲。心理学研究表明，“学生的学习兴趣是构成学习动机的一个重要方面”。多媒体全面加强了学生的感性认识，使学生感到新奇而有趣，能够迅速使学生进人学习状态。比如，在讲定积分的概念之前，可制作一个课件．配以轻音乐，借助动画给出三角形、圆、梯形的图形及面积公式，进一步出现曲边梯形的图形后启发学生“曲边梯形的面积怎样求呢？”从而引入定积分的概念，有效地激发了学生的求知欲。为新课创设奠定良好基础。
（二）应用多媒体缩短了“复习引入”的时间，使新旧课过渡自然，学习新课在学生最佳时刻呈现。数学课教学的基本程序为“复习引入——新授内容——巩固新课小结——布置作业”。作为复习引入，一方面起到巩同前面所学知识的作用，另一方面通过复习可以找出新旧知识的衔接点，起到承上启下的作用，因此这一步是必不可少的。而复习常常是给出一定数量的问题，通过对学生的提问来实施的。若是复习题不足，难以保证复习的效果；若是多一点往往义超过预定的复习时间，结果新课学习开始于学生精神亢奋期之后，注意力开始分散之时，这直接影响到新课的学习质量。运用多媒体可以增大复习容量，巩同已学知识，向新课过渡自然天成。
二、应用多媒体，优化教学结构，增大教学窖量，是提高课堂教学质量舶保证
兴趣是最好的老师，应用多媒体优化教学结构的目的就是让学生对学习数学有兴趣。而增大教学容量是提高质量的保证。
（一）应用多媒体教学，使数学由乏味到有趣，让学生变被动听为主动学。应用多媒体教学，数学课就会富有吸引力，巧妙的课件设计，使教学变得生动有趣、直观易懂。改变传统乏味的教学模式，调动学生的学习积极性，可以取得意想不到的效果。比如，在学习函数连续性这一节，课件可以采用渐进的方式给出函连续的图象和两类间断点的图象，通过演示讨论总结规律，教学效果会更好。同时借助课件增大例题容量，巩固新知，学生兴趣会很高，能达到事半功倍的效果。
（二）应用多媒体教学，可以使教学节奏张弛有度，改变学生因节奏平缓造成的思维沉闷状态。上课之初的复习阶段应用投影、录像是快节奏的，而在新课学习阶段，采用板书、投影等多媒体，加之教师有意识的放缓语调，使学生在一种平和的心境中接受新知识。当进入新课学习时，又可借助投影，增多题型，加快教学节奏，不断创设良好的教学情境，便可牢牢抓住学生的注意力，使他们轻松愉快、兴趣昂然地投人到数学学习中去。
（三）应用多媒体教学可以及时反馈教学信息，实现师生互赢。应用多媒体教学能够使学生的练习情况及出现的问题及时得到反馈和评讲，使学生的错误认识得以纠正，同时还能使学生新颖的解题思路得到展示推广，也有利于教师改进教学。
三、应用多媒体优化教学手段，突破重点、难点，扫扫除学习障碍
数学具有高度的抽象性，难以学习是学生公认的。究其主要原因是数与形的分离．抽象思维失去形的依托。我国著名数学家华罗庚曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难人微。”该名言揭示了数与形相依相存不可分割的关系，有些重点、难点一味地利用讲述是很难理解的。运用现代化的教学手段——多媒体教学就能达到数形结合、化难为易、扫除学习障碍的目的。例如，导数的几何意义的理解是难点。运用多媒体制成动画课件，让过一定点的割线，在x0枷时绕定点转动的极限位置就是过定点的切线，定点的导数就是该切线的斜率。这就实现r数形结合、化难为易、直观易懂。
四、应用多媒体优化计算，提高掌生应用计算机处理数学问题的能力
高中数学中有许多问题需要解决，在应用时，有时需求极限、积分等，只靠人丁计算是难以完成的。为提高学生解决数学问题的能力．运用多媒体、优化计算是十分重要的，可以提高学生对有关数学问题的感性认识，还可以加深其对数学概念及方法的理解。
总之，多媒体是我们进行数学教学的重要辅助工具，能够帮助我们优化课堂教学，提高教学质量。
【参考文献】
[1]吴曼妮.利用多媒体优化数学课堂教学[J].教育艺术，2003，（6）.
【关键字】课堂质量； 有效备课； 优化课堂； 教后反思
《普通高中数学新课程标准》在课程理念、课程目标、课程体系、课程内容、课程学习方式及评价方式都充分体现了新课程改革的精神。课堂教学是积极实施新课标、渗透教学理念、体现教学改革的前沿阵地，是影响学生知识建构、数学素养、培养能力的主要场所。所以一线的数学教师应在教学中正确把握教学改革的方向，想方设法提高数学课堂教学的质量，使每个学生都学到有价值的数学，能力得到不同的发展。
一、 更新教学理念是提高数学课堂教学质量的前提基础
高中新课程标准理念要求教师从片面注重数学知识的传授转变到注重学生的数学思维能力的培养上来。教师不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生的数学学习过程。要想提高数学课堂教学的质量，教师必须先转变教学的理念，更新自己的教学观念，由过去的以教师为主体转变为以学生为主体的理念上来，转变到创设问题情境，引导学生自主、探究、合作的教学方式上来，转变到培养学生的自我学习、自我发现、分享快乐的学习方式上来，转变到培养学生的数学思维能力上来。只有教师更新了自己的教学理念，课堂教学的质量才有保证，教学的质量才能得以提高。
二、有效备课是提高数学课堂教学质量的重要保证
“工欲善其事，必先利其器。”要提高课堂教学的效率，有效备课是关键。 备教材称为“静态备课”，而把备学生称为“动态备课”。教师面对的是富有个性的学生，他们具有自己的知识体系，对每个问题每个学生都有不同的见解。教师在备课时就应从多个角度去认真备课。
1、备教材
备课时首先要认真钻研、理解教材这样编写的意图，明白本节课在整章书中的作用与地位，才知道要教什么，怎样教。备教材，要多钻研，多思考，多交流。教师要通读教材，熟悉教材中每一章节的知识，熟悉高中数学内容前后知识上的连贯性，备课时不能随意改变教材的设计意图。例如在讲高一《正切函数图象与性质》时，课本是由正切函数的性质得出函数的图象。而前面学习正、余弦函数都由图象得出函数的性质。备课时我就思考能不能还按照旧教材也先得出函数的图象呢？新教材为什么这样设计呢？我揣摩了新教材的这种设计意图，学生通过正、余弦函数已有的知识具备了探索画正切函数图象一定的能力，这样不仅有助于学生加深对知识的理解，同时对培养学生的发现问题、探索问题、归纳能力有极大的帮助。
2、备学生
教师面对的是一个个活生生的学生，他们有思想，有自己的见解，有不同的层次，教师应该怎样去教，才能使每个学生都学到有用的知识，使他们都听得明白，使他们的能力都得到不同程度的发展。这些都是我们在备课时一定要考虑到的，甚至在课堂上他们会有怎样的想法，怎样的行为，作为老师的都应想到，这样才能在教学的过程中，处理好各种现象，达到提高数学课堂教学效果的目的。
3、备教法与学法
了解学生的实际，因材施教，“对症下药”。只有深入了解学生的实际，才能在教学中因材施教，收到良好的教学效果。为了适应不同层次学生的不同需要，作业和练习的设置应呈阶梯式，供优等生、中等生、学困生使用。第一梯度：设计基本的、简单的易于模拟的题目，促进知识的内化和熟化。第二梯度：设计具有综合性和灵活性的供大多数学生使用的题目，加强对知识的同化。第三梯度：设计一些思考性和创造性较强的题目，供学有余力的学生使用，以利于对知识的强化和活用，这类题目适用于优等生。平时多鼓励学生自学，充分挖掘其潜能，总结规律，提高其学习的积极性。
三、优化课堂教学过程是提高数学课堂教学质量的中心环节
教学过程的优化与否直接关系着教学的效果，决定着教学质量的高低。那么如何优化课堂教学过程呢？把握好以下三点是关键。
（一） 创设有效的问题情境，激发学生学习的兴趣
（1） 利用学生动手做实验、操作的方式创设问题情境
让学生去动手实验、操作，为学生提供了一个真实而完整的问题情境，学生在实践中发现了问题，学会了知识，理解了概念，提高了能力，激发了学生探究知识的欲望。如在学习椭圆的概念时，我们教师可以让学生动手做以下的实验。
实验课题：椭圆的概念。
实验目的：理解椭圆的概念，探究椭圆的定义成立的条件。
实验用具：图钉、细绳、铅笔、白纸、木板。
实验步骤：将白纸放在木板上，一人用图钉将细绳的两端固定，一人用铅笔拉紧细绳画出其轨迹。
（2） 利用科技新成果创设问题情境
在科技迅速发展的今天，很多高科技问题与数学有一定的联系，中间蕴含着丰富的数学知识，我们可以以这些高科技成果为题材创设问题情境，以激发学生学习的求知欲望。如在学习椭圆的概念及椭圆的标准方程时，可设计如下的情境。北京时间2005年10月12日9时9分52秒，我国自主研制的神舟六号载人飞船，在酒泉卫星发射中心升空，正确进入预定轨道。这是我国第二次进行载人航天飞行，也是第一次将我国两名航天员同时送上太空，完成我国真正意义上有人参与的空间科学实验。
（3） 利用数学小故事创设问题情境
历史上有很多伟大的数学家，在发现问题时都经历过许多有趣的故事，我们可以将这些故事讲给学生听，让学生感受数学发展的趣事，以激发学生学习数学的兴趣。如在讲述等差数列的前几项和时，可先让一位学生讲述少年小高斯的故事。又如在讲述等比数列的前几项和时，可先让一位学生讲述国王与棋手的故事。
（4） 利用现代科学技术创设问题情境
利用电脑、多媒体的技术，将数学的问题、知识展现在屏幕上，让学生感受数学之美，体会数学变化之妙，从而产生探究的欲望。如在讲数学归纳法时，可用多媒体播放“多米诺骨牌”的有关视频；在讲轨迹方程时，可用软件几何画板来显示其轨迹。
（二）让学生探索知识的形成过程，在探究合作活动中培养学生的各种能力
我们在课堂教学中要将问题作为教学的出发点，按照学生的认知规律，将所学的知识设计成具体问题系列，用所创设的问题情境来启动学生的思维，引导学生的自主探索活动，使学生在自主探索的过程中真正理解一个数学问题是怎样提出来的，一个概念是如何形成的，一个结论是怎样探索和猜想到的，使学生从具体问题的分析过程中真正地得到了启发，提高了能力，培养了思维方法，提高了课堂教学质量。如在学习函数的单调性与导数时，可以设计以下的教学过程。
1、小组合作、探究问题。
师：下列函数y=f（x）在区间A上的导数f ’（x）的符号与函数的单调性有什么关系？
【关键词】数学课程；数学文化；平均数；众数；中位数
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）38-0027-03
【作者简介】1.陈克胜，安徽师范大学（安徽芜湖，241003）数学计算机科学学院副教授，博士，硕士生导师；2.徐文彬，南京师范大学（南京，210097）课程与教学研究所教授，博士生导师。
一、问题的提出
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）是在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基础上修改而来。自其颁布之日起，对《课标》内容的讨论一直不绝于耳。如《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》（以下简称《课标解读》）中所述，《课标》是从社会发展与数学课程之间的关系及相互影响、数学学习心理规律与数学课程设计、现代数学进展与数学课程之间关系、义务教育阶段学生数学学习现状和国际数学课程改革的特点等五个方面考虑研制的[1]，但其中缺乏具体到某个数学知识点的研究报告。这一缺失，既不利于更广泛地调动数学教育工作者参与课改的热情，也不利于教材编写者对课标的理解。基于此，笔者尝试以“众数、中位数和平均数”这一内容为例来做一番分析。（注：下文中，除特别说明外，“平均数”均指“算术平均数”。）
关于统计量“众数、中位数和平均数”的定位问题已有的研究如下：一是中外数学教材的比较研究；二是2011年以前的国内部分研究者的主张，认为将“众数、中位数和平均数”前置在小学阶段是可行的，采用螺旋式上升的教学方式，循序渐进地让学生学习这些统计量的意义[2]，这也是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的内容；三是小学数学教学实践显示，中国的小学生学习接受众数、中位数和平均数不存在认知阻碍[3]。现行的《课标》将“众数、中位数和平均数”这一内容分拆在两个学段学习：第二学段要求“体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义”；第三学段要求“理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述”。在这里，我们不禁发问：“平均数的意义”具体有哪些？第二学段应学习平均数的哪些意义？第三学段应学习哪些？其依据是什么？这样的学习顺序是最好的选择吗？
二、问题的分析
1.基于数学文化的分析。
数学文化是在一定历史发展阶段，由数学共同体在从事数学实践活动过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。[4]国内外数学家和数学教育家已十分肯定数学文化（数学史）对数学教育的意义，归结起来至少有以下三点：有助于理解数学；激发学生的学习兴趣；指导数学课堂教学。基于此，有很多专家学者提出：数学教育本质上是数学文化教育。由此，有必要将“（算术）平均数、众数和中位数”置于数学文化的视角来分析。
义务教育阶段，反映数据集中趋势的统计量一般有众数、中位数和算术平均数。从历史上来看，这三个统计量的来源却不一样。人们最早应用反映数据集中趋势的统计量可能是众数。公元前428年，雅典受困需要突破敌人的围城，很多人通过数城墙砖的层数的方法来估计城墙的高度，利用众数来反映该组数据的一般水平。在历史上，人们还使用中位数替代（算术）平均数来反映某个总体的集中趋势。1599年，爱德华・怀特（Edward Wright）将中位数应用于航海，用以确定指南针所指定的位置。1874年，费 歇 尔（R. A. Fisher）将中位数用来描述社会和心理现象。1882年，高尔顿（Galton）第一次使用“中位数”一词。使用（算术）平均数有以下几个来源：第一，用平均数来估计较大的数。公元4世纪，印度鲁帕那（Rtuparna）为了估计果树上树叶和果实的数目，使用了平均数。第二，重复测量取平均数以减少误差。公元16世纪末，第谷（Tycho Brahe）为了减少观测的误差，率先取重复测量值的平均数作为天文学观测的数据。后来，这种方法在欧洲得到广泛的运用，有效地减少了系统误差。第三，平均数的补偿性。古希腊时期，数的大小用线段表示，其平均数的定义为“a和c中间的数b称为算术平均数，当且仅当b-a=c-b”，古代中国也有类似的思想。第四，利用平均数来公平分配。大约公元前1000年，地中海地区航海贸易比较发达，但存在风险，人们想到利用平均数的方法解决公平分担风险问题。第五，平均数是总体的代表值，在现实情境下不一定具有实际意义。1831年，魁特奈特（A. Quetelet）提出“平均人”概念：有这样一个人，他在一切重要的指标上都具有某一群体中一切个体相应指标的平均值。[5]
基于数学文化的分析，可以建立有关反映数据集中趋势的数学知识结构，从而帮助学生形成结构完善的概念图。在数据分析时，人们倾向于先使用众数和中位数刻画数据的集中趋势。因此，有必要将平均数、众数和中位数安排在同一个单元。
2.基于学习心理学的分析。
统计与概率虽然进入基础教育比较晚，但是有关统计与概率的学习心理研究随着课程改革在不断地深入。关于反映数据的集中趋势的统计量的一些研究有了以下一些结果。
Strauss和 Bichler研究发现：50%的8岁学生和几乎所有的10岁学生能够理解平均值位于最大值和最小值之间。几乎所有的学生能够理解平均数受每个数据的影响，平均数不一定是真正的数据。[6]Mokros和 Russell发现：有些低年级的学生将“平均数”理解为出现次数最多的一个数据（众数）。有些低年级的学生将平均数理解为中位数。有些低年级的学生虽然意识到算术平均数，但是具体数据问题中不会应用。[7]Russell和Friel设计了一道测试题：九个不同品牌的薯条，袋子大小规格相同，所有品牌的平均价格是 1.38 美元，问九种不同牌子各自价格是多少？测试的结果是：大部分学生认为平均数是数据中出现最多的数。小部分学生认为平均数是中间的数，并构造一些以平均数为中心的对称数据。[8]Moritz、Watson和 Pereira-Mendoza研究了1014位澳大利亚学生，发现：40%的三年级的学生、7%的六年级学生和 2%的九年级的学生不理解平均数。[9]上述研究表明，关于这三个统计量的学习难度存在不同，学生学习众数和中位数的难度较低，而平均数则比较难。由此，不妨先学习众数和中位数，让学生建立反映数据的集中趋势的思想方法，然后再进一步学习平均数。
3.基于数学知识内容的分析。
平均数、众数和中位数作为反映某组数据的集中趋势，并在比较中判定在某种条件下所适用的统计量，这是数学知识的内在规定。根据数学知识内在规定的特点来组织教学，才能更深刻、全面地理解平均数概念及其统计意义。
平均数、众数和中位数都是作为反映某组数据的集中趋势的统计量，但一般来说，这三个统计量的使用存在着前提条件。如果某组数据呈现正态分布，那么平均数、众数和中位数都能客观地反映该组数据的集中趋势，三个统计量没有区别。如果某组数据呈现偏态分布，那么必须考虑这三个统计量的适用条件，才能客观地、较为真实地反映该组数据的集中趋势。一般地，在明显存在极端值的情况下，用中位数更能代表总体的一般水平。在某些数据出现的频次相对比较多的情况下，用众数能较真实地代表总体的一般水平。在某些数据呈现均匀分布的情况下，往往使用平均数来反映该组数据的集中趋势。这三个统计量所蕴涵着的统计意义，归结起来大体有四点：作为判断事物的数量标准或参考；作为代表来衡量不同总体之间的水平；作为用样本的平均数来推断总体的水平；作为总体的平均数通过在某段时间内的发展变化，探索研究对象的发展规律。
三、思考与建议
行文至此，有必要梳理一下相关结论并给出相关建议了。首先，从课标研制的角度而言，理论与实践的结合是数学课程标准制定的永恒法宝。数学课程标准的研制需要考虑社会发展与数学课程之间的关系及相互影响、数学学习心理规律与数学课程设计、现代数学进展与数学课程之间关系、义务教育阶段学生数学学习现状和国际数学课程改革的特点等这五项基础性研究，但是更细致地、深入到每一个数学知识点的研究，则需要从数学知识内在规定性、学习心理学的相关研究以及数学历史文化三个方面对具体知识点进行综合分析，并且开展相关的教学实验对理论分析进行验证。
其次，应尽可能多地调动数学教育工作者参与课改。数学教育工作者往往只了解到课标研制的宏观过程，至于具体到某个数学知识点则没有相应的研究报告。因此，在研制课标的过程中，有必要将相关的研究成果让一线数学教师了解，便于让更多人参与进来，同时也进行相关的教学实验，使课标得到更广泛的实践检验。
最后，由于“众数、中位数和平均数”这一内容本身具有一定的抽象性，需要学生具备一定的计算能力，因而笔者赞同将其放在第二、三学段进行教学，但对具体的教学顺序与要求有自己的看法。具体而言，（1）将平均数、众数和中位数安排在一个单元，有利于相似知识的连贯性教学；（2）先学习众数和中位数，让学生建立反映数据的集中趋势的思想方法，然后再进一步学习平均数；（3）考虑到平均数的统计意义有4点，不妨考虑以平均数的统计意义为学段划分的依据，分两个学段进行学习，《课标》中第二学段有关的内容标准不妨这样修订：“体会众数、中位数和平均数的统计意义――作为判断事物的数量标准或参考和作为代表来衡量不同总体之间的水平，能确定中位数、众数，能计算平均数，了解中位数、众数和平均数的关系”，第三学段的内容标准可修改为“理解众数、中位数和平均数的统计意义――作为用样本的平均数来推断总体的水平、作为总体的平均数通过在某段时间内的发展变化、探索研究对象的发展规律，能计算加权平均数，理解众数、中位数和加权平均数的关系”；（4）由于教师在进行教学设计时，往往会先从数学教材出发揣摩《课标》中的要求，因而，不同教材对同一知识点的编写应在内涵上保持一致。
总之，修订和完善数学课程标准的指导思想是最大限度地符合数学教育规律，而检验的方法和策略是先从系统观念出发，联系数学知识内在规定、数学学习心理和数学文化三个方面统筹分析，然后在此基础上进行有针对性的教学实验。同时，公布更具体的研制成果，充分调动广大一线的数学教育工作者参与其中，在教学实践中进行更广泛的检验，这样才能够更有利于数学课程标准的完善。
【参考文献】
[1]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]张辅，唐华军.上海与加州数学课程标准小学“统计与概率”比较研究[J]. 泰山学院学报，2006（06）.
[3]闫炳霞.从美国小学的一节统计课谈我国小学“统计与概率”的教学[J].中小学教学研究，2006（02）.
[4]陈克胜.基于数学文化的数学课程再思考[J].数学教育学报，2009，18（01）.
[5]吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J].数学通报，2013，52（11）.
[6]Strauss S， Bichler E. The Development of Children’s Concepts of the Arithmetic Average[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1988（19）.
[7]Mokros J， Russell S J. Children’s Concepts of Average and Representativeness[J]. Journal for Research in Mathematics Education. 1995（26）.
[8]Russell， Susan Jo， Friel， Susan N. Collecting and analyzing real data in the elementary school classroom[J]. In P. R. Trafton & A. P. Shulte （Eds.）， New Directions for Elementary School mathematics，1989：134-148.
