时间：2023-05-30 10:44:22
出错的原因是他们把这题与另一个题混淆在一起了：如果f（1+x）=f（1-x），那么函数f（x）的图像关于直线x=1对称，f（1+x）=f（1-x），用语言叙述出来就是点Q（1+x，y）与Q’（1-x，y）同在y=f（x）的图像上，而且动点Q，Q’总关于直线x=1对称，所以y=f（x）的图像关于x=1对称。
把这两个问题比较一下，就会发现它们有两点明显区别：首先前者说的是两个函数图像之间的相互对称，后者说的是一个函数自身对称。其次，前者所说的函数都是复合函数，自变量是x，后者说的只是外函数f（x），其中1+x，1-x是自变量的两个不同取值。
现在我们更一般地讨论一下对称与周期问题：
如果f（a+x）=f（b-x），则函数f（x）的图像关于直线x=对称，这是因为关于直线x=对称的两点P（a+x，y）和P’（b-x，y）总同在（或同不在）y=f（x）的图象上，所以上述结论成立，偶函数是a=b=0时的特例。还需指出一个容易与之混淆的问题：如果f（x+a）=f（x+b）（a>b），则a-b是f（x）的一个正周期。事实上：f（x+a-b）=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x），所以命题成立，两个式子非常相似。x系数的绝对值都是1，其不同的是：x的系数异号时反映出的是对称性，同号时反映出的是周期性。
y=f（a+x）与y=f（b-x）的图象关于直线x=对称，这是因为：如果点P（x，y）在y=f（a+x）上，则y=f（a+x）=f[b-（b-a-x）]，说明与P点关于直线x=对称的点P’（b-a-x，y）必在y=f（b-x）的图象上。如果f（a+x）=-f（b-x），则函数发f（x）的图象关于点（，0）对称。y=f（a+x）与y=-f（b-x）的图象关于点（，0）对称。
同理可以证明：方程f（x，y）=0与f（x，2a-y）=0的图象关于直线y=a对称。若f（x，y）=f（x，2a-y），则f（x，y）=0的图象关于直线y=a对称。
方程f（x，y）=0与f（2a-x，2b-y）=0的图象关于点（a，b）对称。若f（x，y）=f（2a-x，2b-y），则方程f（x，y）=0的图象关于点（a，b）对称。
方程f（x，y）=0与方程f（a-y，a-x）=0的图象关于x+y=a对称。若f（x，y）=f（a-y，a-x），则方程f（x，y）=0的图象关于x+y=a对称。
方程f（x，y）=0与方程f（a+y，x-a）=0的图象关于x-y=a对称。若f（x，y）=f（a+y，x-a），则f（x，y）=0的图象关于直线小x-y=a对称。
下面再指出对称性和周期性的关系，给出以下三个定理：
定理一：如果f（x）=f（2a-x），并且f（x）=f（2b-x）（a>b），那么2（a-b）是y=f（x）的一个正周期。
证明：对于任意，对于任意，x∈R
y=f（x）是2（b-a）以为周期的周期函数。
定理二：若定义在上的函数y=f（x）的图像关于点（a，0）和（b，0）对称，则称y=f（x）是以为周期的周期函数。
证明：对于任意，对于任意，x∈R
y=f（x）是2（b-a）以为周期的周期函数。
定理三：若定义在上的函数y=f（x）的图像既关于直线x=a对称，有关于点（b，0）对称（a≠b），则称y=f（x）是以4（b-a）为周期的周期函数。
证明：对于任意，x∈R
y=f（x）是以4（b-a）为周期的周期函数。
特别地，若函数y=f（x）是奇函数（或偶函数）且它的图像关于点（a，0）（a≠0）（或直线x=a）对称，则称此函数一定是周期函数。
同理可证明：
y=xcsx不是周期函数。对于函数y=(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。
证明：假设y=xcosx是周期函数，
因为周期函数有f(x+T)=f(x)，
xcosx=（x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT，
所以cosT=1，T=kπ/2。
-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=0，
-xsinx*sinT-Tsinx*sinT=0，
(x+T)sinx*sinT=0，
只能是sinT=0，T=kπ和T=kπ/2矛盾，
所以不是周期函数。
（来源：文章屋网 ）
一、定义
对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x）=f（x+t）都成立，则称y=f（x）为周期函数。对此定义的理解，应注意以下几点：
1.高中教材中关于函数周期的内容只有定义，这就要求解答题中关于函数周期的证明只能回到定义中。即必须证明f（x）=f（x+t）成立。
例如，2001年高考数学（文科）第22题，设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于x=1对称，证明：y=f（x）是周期函数。
证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故f（x）=f（2-x）.
又由y=f（x）为偶函数，故f（x）=f（-x）。
所以，f（-x）=f（2-x）。将上式中-x代换为x，
则得f（x）=f（x+2）.所以y=f（x）是以2为周期的周期函数。
2.周期函数的定义要求对于定义域内的每一个x，都有f（x）=f（x+t）成立，而不是某几个特殊值，因此函数定义域必须至少有一侧趋于无穷大。即有一侧无界。
3.周期函数的周期肯定有无数个，若T为周期，则2T，3T，…nT也均为其周期，所以课本中出现了最小正周期的概念。对于一个函数f（x），如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f（x）的最小正周期。
4.周期函数可以无最小正周期。如常函数y=a。
二、周期的判断公式
解题过程中，要记住周期判断的几个变式：
1.f（x+T）=f（x） ？圳y=f（x）的周期为T
2.f（x+a）=f（b+x）（a
3.f（x+a）=-f（x） ？圳y=f（x）的周期为T=2a
4.f（x+a）=（c为常数） ？圳y=f（x）的周期为T=2a
5.f（x+a）=- ？圳y=f（x）的周期为T=4a
6.f（x+a）=- ？圳y=f（x）的周期为T=4a
7.f（x+2a）=f（x+a）-f（x） ？圳y=f（x）的周期为T=6a
这些都是周期的判断公式，其基础都是源于周期函数的定义。有了这些周期判断公式后，解决函数周期问题将变得简单、方便，下面试举几例。
例1.函数f（x）对任意实数x满足f（x+3）=，若f（-1）=3，f（5）= .
解析：抽象函数周期推导总是以原恒成立等式推导而出。
解：由题意有f（x+3+3）===f（x）=f（x+6），故函数是周期函数，其中一个周期为6，故f（-1）=f（-1+6）=f（5）=3.
三、函数中对称性、奇偶性与周期性关系
（1）函数y=f（x）满足f（a+x）=（a-x）（a>0）恒成立，若f（x）为奇函数，则其周期为T=4a。
（2）函数y=f（x）满足f（a+x）=（a-x）（a>0）恒成立，若f（x）为偶函数，则其周期为T=2a。
以上两个性质的证明可以参考开篇提到的2001年高考数学（文科）第22题的证明方法，在此就不重复证明。下面试举其他几例，说明它们三者的关系。
1.函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（ ）
A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数
C.f（x）=f（x+2） D.f（x+2）是奇函数
证明：若f（x+1）是奇函数，则f（-x+1）=-f（x+1）
因为f（x-1）是奇函数，则f（-x-1）=-f（x-1）？圳f[-（x+2）-1]=-f[（x+2）-1]=-f（x+1）
则：f（-x+1）=f[-（x+2）-1]=f（-x-3）？圳f（-x+1）=f（-x-3）？圳f（x+1）=f（x-3）
则f（x）是以4为周期的函数，即：f（x）=f（x+4）
又：f（-x+1）=-f（x+1）？圳f[-（x+4）+1]=-f[（x+4）+1]？圳f（-x-3）=-f（x+5），f（x+5）=f（x-3）
在学习周期函数和周期性的过程中，因为没有铺垫，学生对概念的理解有些困难。因此，教师只有深入挖掘概念的本质内涵，讲细讲透，才能帮助学生更好地理解和掌握，从而为以后学习抽象函数的周期性打下坚实的基础。
教材中对周期性的定义为：对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期。函数的这一性质称为周期性。
根据定义，我们可以得到以下结论：
结论1：周期T必须是非零常数。
这是因为如果T=0，那么对任意函数f（x）来说，均满足f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，所有的函数都满足，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了。
结论2：（1）若T≠0为y=f（x）的一个周期，则周期T的任意正整数倍即nT（n∈N*）也是y=f（x）的周期。证明如下：
f（x+T）=f（x），且x∈D，x+T∈D，因此f（x+T+T）=f（x+T）=f（x），
因此，2T为f（x）的周期，依此类推：3T，4T，……均为y=f（x）的周期。
所以，nT（n∈N*）是y=f（x）的周期。
（2）若T≠0为y=f（x），x∈R的一个周期，则周期T的任意非零整数倍，即nT（n∈Z，且n≠0）也是y=f（x），x∈R的周期。证明如下：
f（x-T）=f（x-T+T）=f（x），且x∈D，x-T∈D
因此，-T为y=f（x）的周期，则-nT（n∈N*）是y=f（x），x∈R的周期
所以，nT（n∈Z，且n≠0）是y=f（x），x∈R的周期。
如y=sinx的一个周期为2π，则4π，6π，8π，……或-2π，-4π，-6π，……都是y=sinx的周期。
结论3：周期函数的定义域应是无界的。且周期T>0，则周期函数必无上界，周期T
这是因为：若T>0，假设y=f（x）的定义域为D为上界的数集，由确界存在公理可知，D必有上确界a。？坌ε>0，？埚x1∈D，使a-εa，即（x1+T）？埸D，这和题设相矛盾，故T>0时，定义域为D必无上界。
同理，周期T
如：y=sinx，当x∈R，或x∈[0，+∞），或x∈[-∞，0）都可成为周期函数，而若当x∈[0，10π]时，取9π∈[0，10π]，而9π+2π∈[0，10π]，则无法满足任取x∈[0，10π]，使f（x+T）=f（x）恒成立。
2014年11月26—27日，我校成功举办了省“教学新时空·名校课程”现场推进会暨江苏省海门中学第30届教学“百花奖”全国展示活动（江苏教育网进行了网络直播）。笔者有幸执教《三角函数的周期性》一课。三角函数的周期性作为三角函数的图像与性质的起始课，概念性强，本节课是笔者基于“给学生需要的数学概念课堂”的需求进行的一次实践和尝试。
一、课堂实录
1.创设情境
同学们，作为一个海门人，我们身处长江边，你有没有在长江边看过日出，今天老师请大家看一段长江边日出的视频。
下面是两个同学看完视频后的对话
甲：日出美吗？
乙：美。
甲：那我们去长江边看日出去？
乙：明天不行，我要上学。
甲：后天？
乙：不行，我要上学。
甲：没关系，日出天天可以看，等你放假后一起去？
乙：好的。
师：从两同学的对话中，你认为日出这一自然现象具有什么规律？
生：过了一定时间现象重复出现（定期重现），可用成语“周而复始”。
师：自然界和生活有许多“周而复始”的现象，我们的课前音乐《花心》的歌词中也有类似周而复始现象的描述，你发现了吗？
生：“春去春回来”“花谢花会再开”“黑夜又白昼”“潮起又潮落”。
师：很好，那我们最近研究的三角函数中有没有这种“周而复始”的现象？
生：有，三角函数线。
2.概念生成
那我们一起研究一下三角函数线的变化，以正弦线为例，利用几何画板演示正弦线的变化(如图1)。
师：正弦线的变化有什么特征？
图1每转过一圈，函数值就重复出现。
师：很好，如果用代数式表示？
生：sinx=sin(x+2π)=sin(x+4π)=。。。
师：上述等式成立与x的取值有关系吗？
生：没有。
师：如果我们记f(x)=sinx，那么上式就可以表示成f(x)=f(x+2π)=f(x+4π)=。。。
那么自变量x的取值范围是什么？
生：任意角。
师：很好，那么你能用语言表述一下吗？
生：自变量每增加2π，函数值不断重复出现。
师：非常棒，这是不是和我们刚才研究的“日出”的周而复始现象很像，那么是不是只有正弦函数具有这一特征？如果还有其他函数，那么它增加的量是多少？
生：余弦函数也有这一特征，也是自变量每增加2π，函数值不断重复出现。
师：还有么？
生：正切函数也有这一特征，不过增量为π。
师：三角函数具有的这种自变量每增加一定的量，函数值重复出现的性质称为三角函数的周期性。
板书课题：三角函数的周期性。
师：如果有一个函数，自变量每增加1，函数值就重复出现，你认为它是否具有周期性？
生：有周期性。
师：也就是说，定量并不一定是“2π,π”，那么对于这些一般函数的周期性我们如何用数学符号语言刻画？
沉默
师：大家可以讨论一下？
学生讨论，约2分钟后。
师：你们有结论么？
生：我们组的结论是“对于函数f(x)，如果存在常数T，使f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做周期函数的周期”。
师：很好，对这一小组的结论，大伙还有没有补充？
生：我们认为，应当是非零常数T。
师：理由？
生：若T为0，则自变量就没有增量。
师：非常好。还有么？
生：自变量x应为定义域内的任意值。
师：太棒了，这样我们就得到了周期函数的定义：“一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期”。
3.概念理解
师：请看问题
问题1填空：对于函数f(x)，如果定义域内的每一个x值，都满足，那么函数f(x)为函数。
生：我认为可以填 “f(x+T)=f(x)（T≠0）”；周期。
师：很好。还有其他答案么？
沉默，突然某学生提出。
生：我认为，根据以前学的奇偶性的定义，可以填“f(－x)=f(x)”；偶。
师：很好，函数的奇偶性和函数的周期性有些条件完全一样，我们可以类比学习。研究奇偶性时，我们要求函数的定义域关于原点对称，你知道为什么吗？
生：这是因为要使得x在定义域的同时，-x也要在定义域内。
师：非常好。那么你认为周期函数对定义域有什么要求？
生：x在定义域的同时，x+T也要在定义域内。
师：正确。
请看下一问题：
问题2函数y=sinx(0≤x≤10π)是不是周期函数？
生：不是，当x=10π时，10π+2π不在定义域内。
师：很好。看下一问题：
问题3判断下列说法是否正确，并简述理由。
（1）x=π3时，sin(x+2π3)≠sinx，则2π3一定不是函数y=sinx的周期；
（2）x=7π6时，sin(x+2π3)=sinx，则2π3一定是函数y=sinx的周期。
生：第一个正确，第二个不正确。判定一个常数不是周期函数的周期，举一个反例即可。
判定一个常数是周期函数的周期，要使定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)。
师：回答的很好，理由总结的不错。这两个问题主要是考察大家对定义中每一个值的理解。再看下一问题：
问题4判断下列函数是否为周期函数？
（1）f(x)=cos2x;（2）f(x)=x;（3）f(x)=1。
生：第一个是周期函数，2π是它的周期；
师：f(x)=x是不是周期函数？
生：我找不到它的周期，不知道是不是？
师：f(x)=x的图像是递增的一直线，自变量增加一定量，函数值也在增加。所以不是周期函数。由此可见：单调函数不是周期函数。
生：f(x)=1应该是的，但我发现有很多数都可以作为它的周期。
师：能不能说的更具体点？
生：所有非零常数都是它的周期。
师：很不错，常数函数是周期函数，且周期为非零常数。你认为正弦函数y=sinx的周期为多少？
生：2π,4π,。。。都是它的周期，应该是k·2π(k∈Z,k≠0)。
师：余弦函数y=cosx呢？正切函数呢？周期函数的周期是否唯一？
生：余弦函数周期k·2π(k∈Z,k≠0)，正切函数为kπ(k∈Z,k≠0)。周期函数的周期不唯一。
师：已知定义在R上周期函数f(x)的周期为T，则2T是f(x)的一个周期吗？你能推广么？
生：是，f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)， kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期。
师：由于周期函数有无数个周期，对我们的进一步研究带来不便，你能否选择一个最具有代表性的来表述？
生：正周期，最小的。
师：那我们统一一下，规定：“最小正周期：对于周期函数f(x)，如果在它的所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数f(x)的最小正周期”。
师：你知道：正弦函数的最小正周期为多少？余弦函数呢？ 正切函数呢？
生：2π，2π，π。
师：周期函数的最小正周期一定存在么？理由？
沉默
师：那大家讨论一下。
生：我们组认为，最小正周期不一定存在，如y=sinx(x≤0)没有正周期，当然也就没有最小正周期。
师：很好，这是从有没有正周期的角度进行否定。那如果一个周期函数有正周期，是不是有最小正周期？
生：我们认为，还是不一定存在，反例是常数函数f(x)=1，就没有最小正周期。
师：非常棒。周期函数的最小正周期不一定存在，我们的定义“如果……，那么……”
从现在开始，我们研究的周期没有特别说明就是指函数的最小正周期。
4.概念运用
师：请看问题：求函数f(x)=cos2x的周期。
师：你认为我们可以用什么知识求函数周期？
生：周期函数的定义。
板演：解：设f(x)的周期为T，则f(x+T)=f(x)，即cos2(x+T)=cos2x对任意实数x都成立。
cos(2x+2T)=cos2x对任意实数x都成立。
师：下面怎么办？还能用什么知识？
生：y=cosx最小正周期为2π这一结论。
师：怎么用？
生：把2x看成一个整体，
令u=2x，cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立。
又y=cosu的周期为2π，
所以使得cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立的最小正值为2π,
所以2T=2π,即T=π。
所以函数f(x)=cos2x的周期为π。
师：利用了周期函数的定义，结合y=cosx最小正周期为2π这一结论，采用整体的观点研究，非常棒。
师：你能快速的求出下列函数的周期么？（1）f(x)=2cos2x;（2）f(x)=cos(2x+π3)。
生：它们的周期为π。
师：你认为函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期和哪些元素有关？
生：只和ω有关，和A,φ都没有关系。
师：不错，那函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期是。
生：2πω。
师：那函数f(x)=Asin(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期是多少？
生：也是2πω。
师：那如果函数f(x)=Asin(ωx+φ)的ω<0呢？
生：2π－ω。
师：函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω≠0)的周期为2π|ω|。
这可以作为公式用来求正余弦函数的周期。
师：我们再拓展一下：若函数y=f(x)的周期为T，则函数y=Af(ωx+φ)（A≠0,ω≠0）的周期为多少？
生：T|ω|。
师：求三角函数的周期有哪些方法？
生：利用定义求解，也可以用公式求解。
5.概念拓展
师：很好，从数的角度我们有两种策略，那么形的角度呢？你认为周期函数的图像具有什么特征？
生：应该也不断重复。
师：非常好。你能不能根据图2中函数f(x)=cos2x的图像求出它的周期？
图2
生：只需看间隔多久即可，应该是π。
师：太棒了，这说明我们还可以利用图像求出函数的周期。
6.课堂小结
师：请你用几个关键词谈谈本节课的收获？
生1：周期函数、最小正周期。
生2：如何求函数的周期。
师：大家说的都非常好，老师也总结了几个关键词概括“定义、公式、思想、方法”，请大家认真体会。
下课。
二、执教感悟
笔者认为我们教学的对象是学生，因此数学概念课应从学生的需要出发，创设学生需要的概念课堂。
1.给学生需要的概念引入
概念引入的目的是让学生觉得数学概念不是凭空产生的，它来源于现实生活，具有广泛性，我们有研究概念的必要性。因此在教学设计时，要从学生的实际出发，选择符合学生熟悉的实例（或旧知）引入，从实例中提炼概念，让学生自然的接受概念，意识到研究概念的必要性。本节课选择日出引入，其实也可以选择课程表、钟表等其他实例引入，给学生需要的概念引入。
2.给学生需要的概念生成
学生需要什么样的概念生成？这就回归到另一个问题，我们的概念课为什么需要概念生成这一环节？概念生成的目的是通过概念生成过程培养学生能力的发展。因此笔者认为概念生成应由学生自主完成，如果是自然式生成，需要大量的时间投入，这是我们课堂不允许的，那么我们可以通过教学设计，让学生在我们预设下自主生成、发展。我们在教学设计中要依据认知的需要，从特殊到一般，从具体到抽象，层层深入，设计问题。通过问题串逐步推进学生思维的发展，让学生在自然而然学习中完成概念生成。
3.给学生需要的概念理解过程
数学概念是高度概括的，往往具有一定的抽象性。因此数学概念课应给学生需要的概念理解过程。那么学生需要什么样的概念理解过程？笔者认为采用什么方式很重要，这一环节我们可以设计一些小题，用小题带概念，强化概念。我们的小题应基于概念，可以是概念辨析，也可以概念运用，通过小题逐字逐句敲打概念，让学生自然而然的理解概念。
4.给学生需要的概念学习方法及数学思想
与知识相比，概念学习的方法更重要。因此数学概念课堂还因给学生需要的概念学习方法。让学生领悟从特殊到一般的归纳推理、特殊到特殊的类比推理、从一般到特殊的演绎推理；掌握独立思考、自主探究，不断反思、归纳、概括，大胆表述的学习方式；同伴互助、小组交流的合作研究模式。本课中对函数奇偶性的回顾，目的就是让学生将奇偶性和周期性类比学习，加深对概念的理解。数学概念的学习要注重方法的养成，数学思想的渗透。
5.给学生需要的数学知识
我们的数学课堂时间有限，学生的认知水平，决定了对某些数学知识只能搁置，而给学生需要的数学知识。鉴于高中数学对函数周期性的要求，主要围绕三角函数的周期性展开，因此本节课中对周期函数的定义的拓展，周期函数的某些性质没有过多深入。
总之，我们的概念课堂要从学生的实际需要出发，给学生于自然的概念引入，自由的概念生成，自主的概念探究，自在的学习过程，这正是李善良老师所强调的“教自然的数学，建自由的课堂”。
三、名师观察
在评课过程中，省数学教研员李善良博士及特级教师石鑫等作了点评，现摘录部分如下：
1.概念的引入自然
一节课的引入做的好不好，往往决定一节课的成败。作为是概念课的引入应当解决几个问题，学什么？为什么学？怎么让学生自然的学？本节课利用日出这一自然现象引入，贴近学生的生活实际，结合两学生的对话，引导学生对日出这一自然现象的规律的探究，结合课前音乐《花心》，进一步让学生感受周期现象的广泛性，激发学生研究周期的欲望，比较完善解决了概念引入的三个问题。
2.概念生成过程自然
概念生成过程是学生能力提升的过程，也是培养学生学习兴趣的过程。这一过程要舍得，要流畅。本节课在这块做足文章，通过问题链，从三角函数线到正弦函数的周期，拓展到三角函数的周期，再延伸到一般函数的周期定义，再从周期函数的定义到最小正周期的概念，层层深入，逐步推进学生思维的发展，学生在不知不觉中完成了概念生成，过程自然流畅。
3.概念理解过程自然
概念理解过程是进一步认识概念的环节，可以采用让学生研读概念和做题两种方式，本节课处理这一问题的方式是小题强化。通过几个小题，辨析、强化周期函数的定义中“非零常数T”“定义域内的每一个自变量x”“ 恒等式f(x+T)=f(x)”。最小正周期概念“如果…,那么…”。逐字逐句敲打概念，让学生自然的理解概念，起到很好的效果。
关键词： 函数 单调性 有界性 奇偶性 周期性
函数，是高等数学的主要研究对象.函数的几何性质，是从数形结合的角度研究的.从高中数学到高等数学的过渡，学生必然首先接触函数及其性质.由于大学数学教材和中学数学教材面向的对象不同，对一些概念的叙述就存在一定的差别.对经历过高考的大学生来说，其应该对这些概念有一个宏观的把握，也可以结合“整体与局部”等哲学概念，对抽象的数学知识做一个概括的总结.而对高职高专的学生来讲，在不影响正确解题的前提下，概念要尽量简单、明了.
笔者根据多年的教学经验，参考大多数高职高专类学生熟知的教材，选用比较科学的定义，对函数的四种几何性质――单调性、有界性、奇偶性和周期性，做补充说明.
一、函数的单调性
定义1：设函数f（x）在区间I上有定义.对于I中的任意两数x■，x■，当x■
1.单调性是函数在某个区间上的性质，是局部的.
这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域内部的某个子区间.若函数f（x）在整个定义域D上都满足x■
但是一般的函数在整个定义域上并不单调.此时，我们通常讨论函数的单调区间，即函数在每个定义区间上的单调性.例如，f（x）=x■-3x，在区间（-∞，-1）和（1，+∞）内单调递增，在区间（-1，1）内单调递减，在整个定义域（-∞，+∞）上不单调.
中学数学中的常见题型是讨论已知函数在某个区间上的单调性，而高等数学多是求已知函数的所有单调区间，讨论函数在整个定义域上的单调性，通常利用导数法来求.
2.各单调区间不能写成并集.
在用导数法求出函数的单调区间后，通常把几个单调性一致的区间并列写出来，用逗号或者“和”字连接，一般不能写成并集.
例如，f（x）=x■-3x的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），不能写成（-∞，-1）∪（1，+∞）.若不然，取x■=-■，x■=■∈（-∞，-1）∪（1，+∞），且x■f（x■），矛盾.
3.每个单调区间一般写成开区间形式.
函数在某一点不具有单调性，在单调区间端点的取值、是否有定义，都不影响区间内部函数的单调性.
初等函数在各个定义区间内都是连续的，在端点处若有意义，必左连续（或右连续）.此时，单调区间可以随之写成闭的.
例如，f（x）=x■-3x的单调递减区间（-1，1），可以写成（-1，1]，[-1，1），或[-1，1].
对于某些非初等函数，例如，f（x）=x■，x≠0，1，x=0.在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增.虽然在x=0处有定义，但是两个单调区间都不能包含端点.
为避免此类错误，在没有严格要求的情况下，笔者建议单调区间统一写成开区间.
4.单调区间不能写成点的集合.
例如，f（x）=x■-3x的单调递减区间（-1，1），不能写成{x|-1
二、函数的有界性
定义2：设函数f（x）在区间I上有定义，如果存在正数M，对任意的x∈I，总有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在区间I上有界，并称f（x）为区间I上的有界函数.否则，称函数f（x）在区间I上无界.
有界性是函数在某区间上的性质.有些函数在整个定义域内有界，例如，f（x）=sinx在定义域（-∞，+∞）内满足|sinx|≤1，是有界的.但有些函数只在某个区间内有界，例如，f（x）=e■在区间（-∞，0）内有界，但在定义域（-∞，+∞）内无界.一般来讲，连续函数在闭区间上是有界的.
函数的无界性可以用有界性的逆否命题来刻画，如下：
设函数f（x）在区间I上有定义，如果对任意的正数M，都存在一个x∈I，使得|f（x）|>M，则称函数f（x）在区间I上无界.
函数的单调性和有界性是函数在某个定义区间上的性质，都是局部的性质.
三、函数的奇偶性
定义3：设函数f（x）的定义域D关于原点对称.如果对任意一个x∈D，总有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），则称函数f（x）为D上的偶函数（或奇函数）.否则，称为非奇非偶函数.
这里的D是函数的定义域，有的教材也说“设函数f（x）在对称区间D上有定义”，但这是不严谨的.因为有些函数的定义域只是一些离散的点的集合，并不能构成区间.
例如，函数y=■.
奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是整体的.要求定义域D必须关于原点对称，这是函数成为奇函数或偶函数的必要条件.否则，函数为非奇非偶函数.
四、函数的周期性
定义4：设函数f（x）在D上有定义，如果存在非零常数T，使得对任意一个x∈D，总有x+T∈D，并且f（x）=f（x+T），则称f（x）为周期函数，T为这个函数的周期.若所有周期T中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期.
有些中学教材给出的定义中，要求T为正数，一般高等数学只要求为T非零常数，可正可负.由于中学与大学教材定义不一样，对周期函数的定义域与周期理解就存在异议.按照一般大学数学教材，我们可以得到关于周期函数的结论：（1）定义域双侧无界.（2）周期T，有正周期必有负周期；有负周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期.此时周期函数的性质可变为：
（1）若T是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期；
（2）若T是f（x）的周期，则kT也是f（x）的周期，其中k是非零整数；
（3）若T■、T■是f（x）的周期，则T■+T■也是f（x）的周期；
（4）若T是f（x）的最小正周期，则f（x）的所有周期组成的集合为{t|t=kT，k∈Z，且k≠0}；
（5）若f（x）是周期函数，则f（x）的定义域一定是双侧无界的.
周期性是函数整个定义域上的性质，是整体的.这里要求定义域D必须是双侧无界的.在一般高职高专的数学教材中，所列周期函数都是三角函数.
奇偶性和周期性都是函数在整个定义域上的性质，是整体性质.
函数的单调性反映了函数图像的走势（上升或下降）；有界性体现的是函数值取值范围的有限性；奇偶性反映了函数的对称性（关于纵轴或者原点对称）；周期性体现了函数的重复性.其中，单调性和有界性是函数在某个区间上的局部性质，而奇偶性和周期性则是函数在整个定义域上的整体特征.从宏观上把握函数的几何性质，有利于数学思维的形成，也能顺利准确地解决一些实际问题.
参考文献：
[1]罗朝举.函数单调区间的求解误区与处理建议[J].新教育，2013（2）.
[2]张明国.函数奇偶性若干问题探讨[J].保山师专学报（自然科学版），1996.12，4（15）.
[3]王建国.浅谈周明函数的定义域特征[J].中学教研，1990，5.
[4]李等.浅谈周期函数两种定义的不一致性[J].数学教学研究，1997.5（81）.
[5]吉米多维奇.数学分析习题集（一）[M].济南：山东科技出版社，1980.
[6]刘严.新编高等数学（理工类）[M].大连：大连理工出版社，2012.
关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性
抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
一、抽象函数的定义域
例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定义域。
解析：由由a＞0
知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。
点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
二、抽象函数的值域
解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。
例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域。
解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。
三、抽象函数的奇偶性
四、抽象函数的对称性
例3已知函数y=f(2x+1)是定义在r上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为（ ）
a、 2 b、 0 c、 1 d、不能确定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=， y=f(2x+1) 是奇函数，y=也是奇函数，。 ， ，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，g(x)+ g(-x)=故选a 。
五、抽象函数的周期性
例4、（2009全国卷ⅰ理）函数的定义域为r，若与都是奇函数，则( )
(a) 是偶函数 (b) 是奇函数
(c) (d) 是奇函数
解: 与都是奇函数，，
函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选d
定理1.若函数y=f (x) 定义域为r，且满足条件f (x＋a)=f (x－b)，则y=f (x) 是以t=a＋b为周期的周期函数。
定理2.若函数y=f
(x) 定义域为r，且满足条件f (x＋a)= －f (x－b)，则y=f (x) 是以t=2（a＋b）为周期的周期函数。
定理3.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b （a≠b)对称，则y=f (x) 是以t=2(b－a)为周期的周期函数。
定理4.若函数y=f (x)的图像关于点（a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 t=2(b－a)为周期的周期函数。
定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 t=4(b－a)为周期的周期函数。
性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b)；
性质2：若函数f(x)满足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.
性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b,ab≠0)， 则函数有周期4(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。
【关键词】高中数学；函数；对称性；教学
数学美中极为重要的一个方面就是对称美，在高中数学中，几乎在每一个章节中都会存在或多或少的对称问题，这些对称不仅是美的体现，同时将对称性合理利用还可以帮助学生提高逻辑思维能力，使学生的创新精神得到培养。在现实生活中，对称性应用极为广泛。本文将针对高中函数中对称性进行一些简要的研究。
一、函数中存在的对称性关系
在函数中，对称性被广泛的运用。函数的图像有轴对称图形，还有中心对称图形，同时，函数图像有自对称，也有图像间的对称，此外，函数的对称性同函数的周期性、奇偶性有着十分紧密的联系。
1.高中数学中函数图像的自对称
偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称，反之也成立，反比例函数y=k/x则关于直线y=x对称，三角函数y=sinx关于点（k ，0）中心对称，关于直线x=k + /2轴对称，三角函数y=cosx关于点（ /2+k ，0）中心对称，关于直线x=k轴对称，二次函数y=ax2+bx+c关于直线x=（b/-2a）对称。这些性质高中数学的教材里都进行了详细的证明，故不在此证明。
2.高中数学中函数图像间的对称
关于x轴对称的是函数y=f（x）与函数y=-f（x）的图像，关于y轴对称的是函数y=f（x）与函数y=f（-x）的图像，关于原点对称的是函数y=-f（-x）与函数y=f（x）的图像，关于y=x轴对称的是函数y=f-1（x）与函数y=f（x）的图像，关于y=-x轴对称的是函数y=-f-1（-x）与函数y=f（x）的图像，关于直线x=x1轴对称的是函数y=f（2x1-x）与函数y=f（x）的图像，关于直线y=a对称的是函数y=2a-f（x）与函数y=f（x）的图像。这些对称关系比较容易证明，因此不在此进行证明。
二、探究函数自身的对称性
函数自身的对称性是教学中的重点和难点，以下将重点针对函数自身的对称性进行探究，研究其几个重要定理。
定理一：函数y=f（x）的图像关于点A（x1，y1）对称的充要条件是f（2x1-x） +f（x） =2y1。
证明：必要性：设函数y=f（x）的图像上存在任意一点P（x，y）
点P（x，y）关于点A（x1，y1）的对称点P（2x1-x，2y1-y）也在y=f（x）的图像之上，
2 y1-y=f（2 x1-x）也就是2 y1=f（2 x1-x）+y
因此，2y1= f（x） + f（2x1-x）必要性得到证明
充分性：设函数y=f（x）上存在任意一点p（x1，y1），那么，y=f （x1）
f（2x1-x） +f（x） =2y1f（x1）+f（2x1- x1）=2y1，也就是2 y1- y1=f（2x1- x1）
点（2x1- x1，2y1- y1）也在函数y=f（x）的图像上，点P′与点P关于点A（x1，y1）对称，充分性得到证明。
推论：函数y=f（x）关于原点对称的充要条件是f（-x）+f（x）=0
定理二：（1）如果函数.y=f（x）的图像既关于点A（x1，y1）成中心对称，又关于点B（x2，y1）成中心对称且（x1≠x2），那么函数y=f（x）是一个周期函数，一个周期是2|x1-x2|。
（2）如果函数y=f（x）的图像既关于直线x= x1成轴对称，又关于直线x= x2成轴对称且（x1≠x2），那么函数y=f（x）是一个周期函数，一个周期是2| x1-x2|。
（3）如果函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图形，且同时关于点A（x1，y1）成中心对称图形，且a≠x1，那么，函数y=f（x）是一个周期函数，一个周期是4| x1-a|。
例；定义在R上的函数为非常数函数，此函数满足：当x=10-x时为偶函数，且f（5+x）=f（5-x），那么f（x）肯定是 （ ）
（A）是周期函数，也是偶函数
（B）不是周期函数，但是偶函数
（C）是周期函数，也是奇函数
（D）不是周期函数，但是奇函数
解：当x=10-x时为偶函数f（10-x）=f（10+x）x=5和x=10是f（x）的两条对称轴，所以，f（x）是一个周期函数，周期为10，y轴即x=0也是函数f（x）的对称轴，可得f（x）还同时也是偶函数。因此选（A）。
参考文献：
[1]刘俊.浅谈函数的对称性与周期性[J].语数外学习（数学教育）.2012（08）.
关键词：正弦型函数；图像；性质；探讨
中国分类号：O174
正弦型函数的图像和性质，分别从数和形的两个不同侧面反映了其变化规律，它们之间是密切联系的。函数的定义域和值域，反映在图像上是曲线在坐标平面的展开范围；函数的单调性反映在图像上是曲线的上升和下降情况；函数的周期性，反映在图像上是曲线有规律的重复出现；函数的奇偶性，反映在图像上是曲线关于原点和y轴的对称性；函数的最大值和最小值反映在图像上是曲线的最高点和最低点。其在物理学上具有广泛应用，也是数学中的一个重点和难点，职高学生基础差，接受起来更是难以理解，鉴于此笔者在教学中总结了以下几点，或许能给学习者带来点帮助。
一、基础知识
1、函数y=Asin（wx+φ）（A>0，w>0），与y=sinx函数图像间的关系
（1） y=sinx 所有点的横坐标变为原来的1/w （纵坐标不变） y=sinwx 所有点向左或向右平移φ/w 个单位 y=sin（wx+φ） 所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变） y=Asin（wx+φ）
（2） y=sinx 所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变） y=Asinx所有点的横坐标变为原来的1/w 纵坐标不变 y=Asinwx所有点向左或向右平移φ/w个单位 y= Asin（wx+φ）
虽然教材上讲的很清楚但学生就是不好接受基于上述关系及三角函数图像及性质笔者归纳了如下解题方法就是直接画图像仅供参考，当然更适合复习或探究后的归纳总结。
2、因为正弦函数是奇函数，所以正弦函数和正弦型函数图像都是中心对称图形，故可直接一找中心为（-φ/w，0）即起始点，二求周期T=2π/ w 然后找末尾（-φ/w+T，0）即起始点加一个周期T，再找半个周期点（-φ/w+T/2，0），再找四分之一个周期点（-φ/w+T/4，A），再找四分之三个周期点（-φ/w+3T/4，-A）三找最大值A最小值-A最后连线即可画出一个周期内函数的图像
例1、作函数y=2sin（2x+π/3）的一个周期的简图
导析：函数的中心为（-π/6，0）周期为π，最大最小值分别为2、-2故起始点（-π/6，0）末尾点为（5π/6，0）半个周期点（2π/6，0）四分之一个周期点为（π/12，2）四分之三周期点（7π/12，-2）最后连线即可
3、利用上述找中心求周期和最值的思路还可直接解决平移问题、求函数表达式和单调区间
例2：将函数y=sinπx的图像向右平移1/2个单位，平移后对应的函数为（ ）
A y=sin（πx+1/2） B y=sin（πx-1/2）
C y=cosπx D y=-cosπx
导析：函数y=sinπx的中心为（0，0）向右平移1/2个单位中心为（1/2，0）故函数表达式y=sinπ（x-1/2）即y=sin（πx-π/2）选D
例3：已知函数y=Asin（wx+θ）（A>0，w>0，0
导析：由最值点可知A=2，半个周期T/2=2π/3-π/6，解得T=π即2π/w=π所以w=2离y轴最近的一个中心的横坐标-θ/w为最高点的横坐标减T/4即-θ/2=π/6-π/4解得θ=π/6故函数的解析式为y=2sin（2x+π/6）
二、综合应用
例4：求函数y=sinx cosx+ cos2x- /2的周期、最值及单调区间
导析：利用倍角公式sinx cosx= sin2x、 cos2x= （cos x+1）/2先降次从而化简函数。函数可化为y=sin2x /2+ cos2x/2既而化简为y=sin（2x +π/3）下略同例4
例5：求函数y=2sinx cosx+2sinx+2cosx+3的值域。
导析：本题和例5不同，尽管次数高，但题目中还有一次项，利用倍角公式降次后仍无法解决，但由2sinx cosx和2sinx+2cosx联系到（sinx+ cosx）2=1+2sinxcosx 2sinx+2 cosx=2（sinx+ cosx）故函数可化为y=（sinx+ cosx）2+2（sinx+ cosx）+2既而再化为y=[ sin（x +π/4）+1]2+2故可看成是关于 sin（x +π/4）的一元二次函数而 sin（x +π/4）∈[- ， ]所以当 sin（x +π/4）=-1时ymin=1当 sin（x +π/4）= 时ymax=4+2 故原函数值域为[1，4+2 ]
三、 强化训练：
1、函数y=sinx的图像关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为_______
2、已知函数f（x）=2sin2x+sin2x-1（x∈R）
（1）求函数的最大值
（2）求函数取得最大值时x的集合
3、要得到y=sinx的图像，只需将函数y=cos（x-π/3）的图像向右平移_______单位
4、函数y=2sin（2x +5π/2）的图像的对称轴方程为_______
5、若将某正弦型函数的图像向右平移π/2以后，所得图像的函数式为y=2sin（x +π/4），则原来的函数表达式为（ ）
A y=2sin（x +3π/4） B y=2sin（x +π/2） C y=2sin（x-π/4） D y=2sin（x +π/4） -π/4
另：当A
综上所述，要想学好三角函数，就需要熟练掌握其图像的变化规律，诱导公式，和角公式，如y=asinx+bcosx= sin（x+Ф）等常见公式。
以上只是笔者在教学中的一些经验总结，不妥之处望提出宝贵意见，大家共同提高，作为教师就应该有深入钻研教材的精神，真正变教材内容为教学内容，使师生将课本知识内化为自己的知识，逐渐养成习惯，培养学习能力，从而提高分析和解决问题的能力。
参考文献
有意义学习;分层次教学;函数周期性
随着高中新课程改革的不断深入，新课改的学生在思维的严谨性、推理的逻辑性方面尚有不足.受制于高考要求，高中数学在内容、难度方面与初中相比都有较大不同，高中的“函数”定义及其有关性质十分抽象，让刚进入高中学习的学生难以适应.为此，笔者从所在学校高一年段约700人中做了一项调查问卷，结果显示：79的同学在运用基本初等函数的性质时会发生困难，60的同学认为高中函数模块难理解，63的同学认为部分解题方法在初高中数学中存在明显断层.
刚进入高中学习的学生，在知识背景、思维方式方面存在明显差异，为了实现高中函数的有意义教与学，使得高中学生能较快适应高中的数学学习习惯与思维方式，笔者认为，在高中函数性质的教学中可采用分层次教学.通过实施分层次的教学，为学生的自主学习、个性发展创造了条件，也为学生的可持续发展奠定了基础，从而实现“人人都能在数学上得到不同的发展”.
一、有意义学习理论
奥苏贝尔的认知同化学习理论指出，有意义学习是新旧知识的联系与同化.其产生的条件，在客观上，学习材料本身要有逻辑意义;在主观上，学习者本人应具备有意义学习的心向，同时其认知结构中应具有同化新知识的原有观念，这样新旧知识才能建立起非人为性和实质性的联系.奥苏贝尔的观点告诉我们，教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么.教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的知识和新知识的联系.这就要求教师必须全面、深入地了解学生，使教学方法、教学内容与学生的认知结构相适应，才能保证学生学到最基本的知识，又能理解知识的内在逻辑性.
二、分层次教学中的有意义学习
这里的分层次指的是在原班不变的情况下，实施数学教学的动态组合班制，即把同一个班级的同学按照数学水平的不同在数学课堂上实行走班制，与同一年段水平相差不大的学生共同学习.针对不同层次的班级，不同层次的学生，授课教师从不同的起点、不同的角度开展教学，通过调整教学方式与教学内容，促进各个层次的学生共同发展.这种分层次将认知结构、能力水平相当的学生分在同组，为学生个性发展提供了平台.本文仅讨论在此种分层下，如何进行高中函数的有意义教 与学.
以函数周期性为例，教材（人教版A）仅在必修4中讨论过三角函数的周期性，而对非三角函数的周期性未加以提及，但一些非三角函数如果既具有对称性又具有奇（偶）性，也可使得这类函数具有周期性.纵观历年的各类高考试题，关于非三角函数的周期性屡见不鲜.周期性作为函数的重要基本性质，与函数的单调性、奇偶性具有“非人为性和实质性”的联系.另一方面，对层次较高的学生，像一类校中被提前录取的实验班学生，均是经过层层考核被选拔上来的，已具有较强的逻辑推理能力和较好的学习习惯，同时也具备一定的抽象思维能力，其认知中已具有接受函数周期性的“固定点”.对他们而言，教师在函数的单调奇偶性之后渗透周期性教学，符合该类学生的认知发展水平，同时也符合有意义学习产生的条件.对于这一层次学生，在探究完函数的奇偶性后，可考虑让其进入函数周期性的学习.从有意义学习理论来看，函数的周期性与奇偶性属于并列结合关系，这样安排教学，可将前后出现的学习内容统一为一个完整的知识体系，并将之固定在学生的认知结构中.由于这一层次的学生还没有学过三角函数，可直接通过股票涨跌、简谐振动、自然现象等形象的生活实例，引申出周期性概念，给出函数周期性定义.同时通过一些辅的解释说明，帮助学生了解周期的不唯一性及变量取值范围的无限性.为引导学生在比较中实现新旧知识的同化.可让其对例1进行探究.
例1.（2009年全国卷）函数f（x）的定义域为R，若 f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则
A. f（x）是偶函数 B. f（x）是奇函数
C. f（x）=f（x+2） D. f（x+3）是奇函数
该例以函数奇偶性作为背景，实则考察周期性与对称性的联系，通过学生自主研究，在解决问题的过程中建构起周期性与对称性间的联系.这样安排，恰可使学生从貌似无关的概念中发现它们共同的关键特征，不仅可以巩固已有“固定点”的强度，加深对函数奇偶性的认识，又可对所学知识进行纵向延伸，实现函数周期性的有意义学习.
在本题后可对该题结论进行延伸，提出一般抽象函数周期性与对称性间的联系：若函数y=f（x）的图像有一个对称中心A（a，0）和一条对称轴x=b，则f（x）是周期函数，且其周期是T=4|b-a|;若函数y=f（x）的图像有两个对称中心为A（a，0）和B（b，0），则f（x）仍然为周期函数，其f（x）周期为T=2|b-a|;若函数y=f（x）的图像关于直线x=a及x=b对称，则的周期为T=2|b-a|.这里采用猜测归纳及类比同化模式，从具体问题导出一般性结论，符合学生认知规律，让其进一步体会周期性与对称性的联系.在后续练习中，为巩固并强化对这种联系的认识，可设置如下练习.
练习1.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2.（1）求证：f（x）是周期函数;（2）当x∈[0，2]时，求f（x）的解析式;
（3）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值.
练习2.设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）= f（2+x），f（7-x）= f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0.（1）证明：函数f（x）为周期函数;
（2）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
以上两个练习均以抽象函数作为载体，通过函数的对称性导出函数的周期性，通过这种练习，可进一步帮助学生巩固认知中对性质间内在联系的认识，实现思维水平上的升华.
对于分层中水平中游的学生，由于他们刚进入高中，其思维状态尚处于从形象到抽象的过渡阶段，对抽象函数的对称性及奇（偶）性理解不够透彻，认知中尚不完全具备有意义学习周期性的心向，对于此层次学生，可等到他们学到三角函数时，将其与周期性相结合，通过正（余）弦函数出现周而复始的变化规律，引入函数周期性.这里以三角函数为载体，让学生通过具体函数，建立起对称性与周期性间的联系，实现函数基本性质的整合协调.这种设计基于学生认知中起固定点作用的概念（即三角函数的定义与图像）较稳定、清晰，且经过高中一段时间的学习，学生已具备了一定的观察发现与抽象概括能力.另一方面，此层次学生在学习三角函数前，已完整学习过基本初等函数及性质，并能利用数学符号进行一些稍繁杂的数学推理.在此基础上，为实现其对周期性认识的纵向延伸，实现有意义学习，在教学设计时，可考虑以三角函数为载体，对有关类似的三角型函数周期性进行研究.考虑如下例.
例2.（2014年福建省质检）在平面直角坐标系xOy中， Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a，对于任意点P∈Ω，都有点Q∈Ω，使得OQ=OP+a，则称a为平面点集 Ω的一个向量周期.现有以下四个命题：
1.若平面点集Ω存在向量周期a，则ka （k∈Z，k≠0）也是 的向量周期;
2.若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期;
3.若平面点集Ω={（x，y）|x>0，y>0}，则b=（-1，2）为Ω的一个向量周期;
4.若平面点集Ω={（x，y）|sinx|-|cosx|}，则c=（，0）为Ω的一个向量周期.
其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
该例以三角函数做载体，以向量为背景，考察学生对平面向量周期的理解.它要求学生必须充分了解函数周期性的特点，熟练运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力.这对学生巩固其认知中的向量、三角函数知识，对提高函数周期性的认识，实现其有意义学习是具有积极作用的.
对于分层中基础相对薄弱的学生，在周期性教学中，考虑到其思维特点，宜采用直观教学，侧重夯实基础，进行低起点、小步子的教学，注重培养学生数形结合的思想方法.侧重从三角函数的图像中，得到函数周期性的相关公式及结论，借助图形帮助学生理解周期性特点.考察以下两例.
例3.下列函数是否是周期函数，若是，求出其周期;若不是，说明理由.
（1）y=|sinx|;（2）y=sin|x|;（3）y=|sin|x||.
例4.如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）〔A>0，ω>0，0<φ<〕的部分图像，M，N是它与x轴的两个交点，D，C分别为它的最高点和最低点，点F（0，1）是线段MD的中点，f（x）.求函数f（x）的解析式.
以上两例的共同点在于均可通过函数图像分析其周期性，其中例3将周期性与函数图像变换结合，例4将周期性与向量知识结合.这两例均是以三角函数作为背景，在学生已有的认知范围内，拓广其认知结构，同时巩固已学过知识，实现有意义学习.当然，在接下来练习中，可考虑将三角恒等变换、三角函数的图像与周期性相结合，考察学生对周期性公式及相关结论的掌握.
三、有意义学习理论对高中数学学习的启示
1.形成良好的学习习惯、重视新旧知识的联系与区别
有意义学习理论指出，有意义学习是新旧知识的联系与同化，这就要求学生认知结构中必须具有能与新教材建立联系的有关概念，而初高中教材还存在着知识脱节的现象，在初中数学教材中没有重点讲解的知识有很多却在高中学习过程中经常用到.例如“因式分解、根式有理化、韦达定理、二次函数……”因此，在学习高中函数知识前，应有意识地对初中基本函数知识点进行回顾、复习，同时做好对新教材的预习，并能对某些问题提出质疑，建立知识网络，为学习和记忆新知识提供必要的“固定点”.
2.增强学习兴趣
有意义学习理论认为，在主观上，学习者本人应具备有意义学习的心向，即内部学习动机，这是有意义学习产生的学习条件之一.因此在学习中可以多阅读一些数学课外书籍，运用数学知识解决这些问题，在解决的过程中享受数学，树立信心;多了解一些数学家的成长故事，在了解的过程中增强学习毅力，在归纳和探索中认识数学的魅力，激发对数学学习的兴趣.
3.培养自我反思、自我总结的良好习惯
荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”相比初中，高中的函数知识内容加深了，研究范围扩大了.在学习中培养反思习惯，可以了解初高中函数的区别，掌握它们之间的纵横向联系;在解题中学会反思，可以了解出题者意图，总结规律，使分析问题、解决问题的能力不断提高.所以在学习中，要注重对知识的消化与反思，对典型解题方法的归纳与整理.
【关键词】高中数学 高考数学 常见函数 特殊函数 对称性
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0139-02
众所周知，在高中数学的学习中，函数是重难点，且高考试题中有关函数性质的试题所占比重很大。学生在根据课本学习了函数的定义、周期性、奇偶性及单调性后，能利用函数图像解决问题，同时也能根据图像直观地对具有特殊性质的函数进行认知，然而要提高学生综合运用知识和解决难题的能力，还需对函数的对称性进行总结归纳。本文重点介绍对称性的概念、常见函数的对称性和抽象函数的对称性这三个方面。
一 函数的对称性
函数的对称性分为中心对称和轴对称。第一，中心对称。将一个函数图像绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图像与原图像完全重合，则该函数图像具有中心对称的性质，其中该点称为该函数的对称中心。一个函数图像可以有多个对称中心。第二，轴对称。将一个函数图像沿一条直线对折后，如果直线两侧的函数图像完全重合，则该函数图像具有轴对称的性质，其中该直线为该函数的对称轴。一个函数图像可以有多条对称轴。
二 常见函数的对称性
第一，常数函数。y=c（c∈R）。既是轴对称又是中心对称，与该直线垂直的直线均为其对称轴，直线上所有点均为其对称中心。
第二，一次函数。y=kx+b（k为一次项系数≠0，k≠0，b为常数）。既是中心对称又是轴对称，对称中心为原点，对称轴为与该直线相垂直的直线。
第三，反比例函数。y=k/x（k∈R且k≠0）。既是轴对称又是中心对称，对称轴为y=x与y=-x，对称中心为原点。
第四，二次函数。y=ax2+bx+c（a≠0）。是轴对称，
不是中心对称，对称轴为x= 。
第五，指数函数。y=ax（a>0且a≠1）（x∈R）。既不是中心对称也不是轴对称。
第六，对数函数。y=logax（a>0，且a≠1）。既不是中心对称也不是轴对称。
第七，幂函数。y=xa（a为常数）。幂函数中非奇非偶函数不具有对称性；幂函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点；幂函数中的偶函数为轴对称，对称轴为x=0。
第八，正弦函数。y=a sin（ωx+φ）（ω≠0）。既是中
心对称又是轴对称，对称中心为（ ），对称轴为方程
ωx+φ=kπ+ 的解。
第九，正切函数。y=tanx。是中心对称，不是轴对称，
对称中心为（ ，0）。
第十，三次函数。三次函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点，其他三次函数的对称性通过求导得极值点进行作图判断。
以上就是对常见函数的对称性总结归纳，要理解掌握，不能死记硬背，这就需要学生结合实际的习题及函数图像，自己体会，理解记忆，活学活用，在实践中体会以上常见函数的对称性特点，真正做到举一反三，思维发散。
三 抽象函数的对称性
常见函数的对称性容易理解掌握，抽象函数种类众多，但万变不离其宗，以下是对抽象函数对称性质的总结归纳，并结合例题介绍抽象函数的对称性。
性质一：若函数y=f（x）的图像关于直线x=a轴对称，则其充要条件为f（a+x）=f（a-x），也即是f（x）=f（2a-x）。由此条性质易得函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）。
例1：函数f（x）满足f（x）=f（3-x），则该函数满足轴对称，对称轴为x=1.5。
性质二：若函数y=f（x）的图像关于点（a，b）中心对称，则其充要条件为f（x）+f（2a-x）=2b，即f（a+x）+f（a-x）=2b。
例2：函数f（x）满足f（5+x）+f（1-x）=4，则该函数呈中心对称，对称中心为（3，2）。
性质三：（1）若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b（a≠b）成轴对称，则y=f（x）是周期函数，其一个周期为2a-b。（2）若函数y=f（x）图像同时关于点（a，c）和点（b，c）（其中a≠b）中心对称，则y=f（x）是周期函数，其一个周期为2a-b。（3）若函数y=f（x）图像既关于点（a，c）中心对称又关于直线x=b轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，其一个周期为4a-b。
例3：函数f（x）的一个对称中心为（1，1），一条对称轴为x=2，则其一个周期为2。
以上的性质是函数图像的自对称性质，有了以上的基本性质做铺垫，我们可以导出两个函数之间存在的对称性。下面介绍函数的互对称。
性质四：函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点（a，b）成中心对称。
性质五：函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。
性质六：函数y=f（x）与x-a=f（a+y）的图像关于直线x-y=a成轴对称。
关键词：高职高考中；掌握解题
一、高考命题热点
近几年三角所占分值相对稳定，30分左右，比例较高，大概20%。题型以选择、填空为主，题目难度不大，主要考查三角基本公式与三角函数性质的简单应用；有些题目曾多次重复出现，如求最小正周期。每年都会有一道解三角形的大题，为了拉开考生得分的距离，考查考生的能力，近两年解三角形题目有新意，结合了和角公式，题目难度不大，但很巧妙。因此，注重书本上典型例题、习题和近几年高职考题，无疑是高考复习的重要举措。下面我们对近年来出现过的题型结构进行分析研究。
二、典型例题研究
（一）求最小正周期
例1（2013年）函数f（x）=3cos2x的最小正周期为。
例2（2015年）若函数f（x）=2sinωx的最小正周期为3π，则ω=（）
A、13B、23C、1D、2
评析：这两题考查了正弦型函数和余弦型函数的最小正周期T=2πω，答案分别为π、B。
例3（2010年）函数f（x）=sinxcosx是（）
A、最小正周期为2π的偶函数B、最小正周期为π的偶函数
C、最小正周期为2π的奇函数D、最小正周期为π的奇函数
例4（2012年）函数y=2sinxcosx的最小正周期为。
评析：这两题先利用二倍角公式把函数化为正弦型函数，再代公式T=2πω，答案分别为D、π。
例5（2011年）函数f（x）=（sin2x-cos2x）2的最小正周期及最大值分别是（）
A、π，1B、π，2C、π2，2D、π2，3
评析：这题第一问考查了完全平方公式、同角三角函数关系式、二倍角公式和正弦型函数的周期公式。
f（x）=（sin2x-cos2x）2=sin22x+2sin2xcos2x+cos22x=1+sin4x
T=2πω=2π4=π2
（二）求三角函数的最值
例1（2011年）函数f（x）=（sin2x-cos2x）2的最小正周期及最大值分别是（）
A、π，1B、π，2C、π2，2D、π2，3
评析：这题第二问考查了余弦型函数的最值，答案为C。
例2（2014年）函数f（x）=4sinxcosx（x∈R）的最大值是（）
A、1B、2C、4D、8
评析：这题考查了二倍角公式及余弦型函数的最值，答案为B。
（三）三角函数的定义
例1（2010年）已知点P（-1，2）是角α终边上的一点，则下列等式中，正确的是（）
A、sinx=-15B、sinx=25
C、cosx=-25D、cosx=15
例2（2011年）已知角θ终边上的一点的坐标为（x，3x）（x
A、-3B、-32C、33D、32
例3（2014年）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，3）是角θ终边上的一点，则tanθ=（）
A、35B、45C、43D、34
评析：这三题考查了三角函数的定义，直接代入即得答案为B。
例4（2012年）若角θ的终边经过两直线3x-2y-4=0和x+y-3=0的交点P，求角θ的正弦值和余弦值。
评析：此题没有按照常规直接给出角θ终边上一个点的坐标，而是通过求两直线的交点得出，题目难度不大，但设计巧妙。
解方程组3x-2y-4=0x+y-3=0，得x=2，y=1，则交点P的坐标为（2，1）。
r=22+12=5。于是sinθ=yr=15=55，cosθ=xr=25=255。
（四）三角函数诱导公式
例1（2011年）设α为任意角，则下列等式中，正确的是（）
A、sin（α-π2）=cosαB、cos（α-π2）=sinα
C、sin（α+π）=sinαD、cos（α+π）=cosα
例2（2012年）sin3900=（）
A、12B、22C、32D、1
例3（2013年）sin3300=（）
A、-12B、12C、-32D、32
评析：此三题考查了三角函数的诱导公式，直接代入即得答案都为A。
（五）三角函数的性质
例1（2010年）下列不等式中，正确的是（）
A、sin200
C、sin200>tan450D、cos200>tan450
评析：这题考查了三角函数的单调性及三角函数的特殊值，答案为A。
例2（2010年）函数f（x）=sinxcosx是（）
A、最小正周期为2π的偶函数B、最小正周期为π的偶函数
C、最小正周期为2π的奇函数D、最小正周期为π的奇函数
评析：这题第二问先利用二倍角公式把函数化为f（x）=12sin2x，很容易看出答案是π。
例3（2013年）下列函数为偶函数的是（）
A、y=exB、y=lgxC、y=sinxD、y=cosx
评析：这题综合考查了几种常见函数的奇偶性判断。定义域区间对称的只有A、C、D。再通过计算f（-x），A是非奇非偶，C是奇函数。答案是D。
（六）同角三角函数关系式
例1（2013年）若sinθ=45，tanθ>0，则cosθ=。
评析：这题根据同角平方关系式及三角函数的符号象限，可得答案是35。
例2（2015年）已知向量=（sinθ，2），=（1，cosθ）。若，则tanθ=（）
A、-12B、12C、-2D、2
评析：这题考查了同角商数关系式及向量垂直的条件，答案是-2。
（七）解斜三角形
例1（2010年）在ΔABC中，已知∠A=450，cosB=1010。
1、求cosC；
2、若BC=5，求AC的长。
例2（2011年）已知ΔABC为锐角三角形，a、b、c是ΔABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是ΔABC的面积。若a=2、b=4、S=23，求边长c。
例3（2013年）在ΔABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=1、c=3、∠C=23π。
1、求cosB的值；
2、求a的值。
评析：这三道题着重考查了正弦定理，其中例1用到同角的平方关系式、和角公式，例2用了面积公式，例3则结合了三角形内角和的知识。答案：例1（1）55（2）3。例223。例3（1）32（2）1。
例4（2015年）在ΔABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知a=3、c=1、cosB=13，则b=。
例5（2012年）在ΔABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3、c=4、cosB=14。
1、求b的值；
2、求sinC的值。
例6（2014年）在ΔABC中，A、B、C的对应的边分别为a、b、c，且A+B=π3、c=3、∠C=23π。
1、求sinAcosB+cosAsinB的值；
2、若a=1、b=2，求c的值。
例7（2015年）已知函数f（x）=acos（x+π6）的图像经过点（π2，-12）。
1、求a的值；
2、若sinθ=13，0
