时间：2022-06-14 18:37:18
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇反比例函数的应用，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、利用特殊四边形的性质找到在反比例函数图像上的顶点坐标确定反比例函数的解析式
例1.如图1，菱形的顶点在轴上，顶点C的坐标为（-3，2）．若反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K的值为（）
A.-6. B.-3.C.3.D.6.
解析：如图1，因为菱形的两条对角线互相垂直平分，又在轴上，所以顶点C、A关于轴对称，已知C的坐标为（-3，2），所以A的坐标为（3，2）.
反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K=3×2=6，故选D.
二、根据反比例函数比例系数的几何意义探究特殊四边形的面积
例2.如图2，点A是反比例函数y=-■（x＜0）的图像上的一点，过点A作ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则ABCD的面积为（）
A.1B.3
C.6D.12
分析：过点A作AEOB于点E，容易证明ABE≌DCO.
所以平行四边形ABCD的面积等于矩形ADOE的面积等于AD×AE.
根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOE的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6．故选C．
例3.如图3，点A是反比例函数y=■(x＞0)的图像上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=－■ 的图像于点B.以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为()
A．2 B．3
C．4 D．5
分析：分别过点B、A作BECD于E，AFCD于F，因为AB∥x轴，所以BE=AF.四边形ABCD为平行四边形，所以BC=AD，所以BCE≌AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故选D.
评注：例2、3都考查反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图像上的点向两坐标轴作垂线段，围成矩形的面积就是｜k｜,图像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取负.
三、以点的坐标为载体设计规律探究问题
例4.给出下列命题：
命题1：直线y=x与双曲线有一个交点是（1，1）；
命题2：直线y=8x与双曲线y=■有一个交点是（■，4）；
命题3：直线y=27x与双曲线y=■有一个交点是（■，9）；
命题4：直线y=64x与双曲线y=■有一个交点是（■，16）；
……
（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；
（2）请验证你猜想的命题n是真命题．
解析：观察命题1~4的结构特征可以发现反比例函数的比例系数与命题的序号是相同的，直线解析式中一次项的系数是命题的序号的立方数，交点的横坐标是命题相应序号的倒数，纵坐标是命题相应序号数的平方数. 据此可以猜想出（1）命题n：直线y=n3x与双曲线y=■有一个交点是（■，n2）.
（2）将（■，n2）代入直线y=n3x得：右边n3×■=n2，左边为n2，所以左边等于右边，所以点(■，n2)在直线y=n3x上，同理可证：点（■，n2）在双曲线y=■上.
关键词：反比例函数；复习；概念；性质；图像
反比例函数是近年来考试的重点，无论是教学时的难度，还是本身所包含的知识，都会成为考试中的热点。课程标准对反比例函数的掌握程度提出了更多的要求，考试的题型也呈现多种变化。如，选择题、填空题、解答题，考点涉及反比例函数的概念、解析式、图象及性质、实际问题等，特别是涉及反比例函数的综合题型等。那么，我们在复习中如何能使学生掌握基础、形成知识网络，并能利用基本的概念、性质和方法通过观察和归纳分析解决难度较大的综合题型呢？下面我们就通过一些环节，让学生通过“解决问题―归纳知识―构建系统”的模式，力求让学生通过自主探究的方式达到对知识的深层理解，形成解决问题的能力。
一、概念梳理，抓好基础
这道试题是最简单的反比例函数概念题，学生将A点代入解析式即能得解，使学生初步理解反比例函数的概念，并知道这样的方式叫待定系数法求解析式。
例2.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为________。
这道试题是有关函数实际应用问题的，是要学生加深理解函数概念的。也就是通过对实际问题的理解转化成数学问题，即得出反比例函数解析式。这样的探究一方面可以加深学生对反比例函数实际意义的理解，对实际应用问题中自变量取值范围的理解；另一方面也为学生后面解答的实际应用综合问题降低思考难度。
二、掌握图象性质，加深学生理解
这道例题是考查反比例函数的性质，从题中“y都随x的增大而减小”，则k-3>0，从而得出k>3。这类试题在复习中是最简单的变形考查，可以让学生在识记基础上理解函数性质。
三、探究k值的几何意义
这一环节重点解决反比例函数的概念、性质、k值的几何意义，由学生在课前完成。采取“练习―梳理”的形式，让学生自觉感受和发现题中所考查的基础知识点，产生自觉归纳基础知识点的欲望，从而主动归纳知识，初步形成知识网络。教法上在学生课前自主完成的基础上，先让学生小组核对、讨论，之后由学生讲解、展示问题的解答和归纳的基础知识点。最后，教师对于学生讲解和理解不透彻之处再和全体学生一起进行深入辩解，形成正确、简洁的结论。
四、联系实际，综合练习
在反比例函数的考查中，不可能是单一的出现，它往往同一次函数，三角形等相结合，并且具有一些实际的问题。所以，我们在复习时应该联系生活实际问题，教学学生如何将实际问题转化为数学问题，在联系中加强综合性。
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求AOC的面积；
本例题比较复杂，教师期待学生归纳总结的内容比较多，大部分学生可能能够求解其中的问题，但不易理清思路，特别是部分基础知识和思维能力稍弱的学生会更加困难。教师应该教会学生怎样对问题设计的知识点形成比较清晰的归纳和认识。
在第一问中教师引导学生明了先求哪一个函数，为什么，即已知一点可求反比例函数，已知两点才能求一次函数，教师还可引申到已知几点才能求二次函数。这一问的解决和引申达到了对比分析反比例函数、一次函数、二次函数在解析式求法上的区别，能够形成较好的对比效应。
第二问的设置目的在于对比k值的几何意义所产生的三角形面积不变性问题。使学生明了反比例函数图象中哪些三角形才具有面积不变性，这些三角形各自的特征是怎样的。
第三问所要求解的不等式实际上可转化为比较一次函数y1与反比例函数y2的大小，这样思路就会清楚一些。
综上所述，问题分析是关键。学生应该在教师的适时、适当点拨下一步一步突破，理清问题的脉络，对问题解决形成比较明晰的思路。这时教师才能放手让学生去解答问题、归纳知识、总结经验，并选一名学生上台展示解题过程，大部分学生都完成之后由学生评点，使学生进一步完善解题过程，使全体学生能够对问题理解透彻，然后教师引导学生分析提炼这一题中可以归纳总结、形成经验的内容。
参考文献：
[1]金秋.学习“反比例函数”应注意的几个问题.时代数学学习：九年级，2006（11）.
[2]陈抗抗.反比例函数图象的运用[J].数理化学习：初中版，2006（03）.
一、教学过程
（一）创设情境、提出问题
在下列实际问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？
（1）一辆以60km/h匀速行驶的汽车，它行驶的距离S（单位：km）随时间t（单位：h）的变化而变化；（2）一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量y（单位：升）随行驶里程 x（单位：千米）的变化而变化；（3）小华的爸爸早晨骑自行车带小华到距离5千米的学校上学，自行车速度在行驶过程中都不变，爸爸从家里到学校的时间t和速度v之间的关系；（4）学校课外生物小组的同学准备自己动手， 用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场. 设它的一边长为x（米），求另一边的长y（米）与x的函数关系式；（5）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S（单位：平方千米/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化。（6）正方形的面积S随边长x的变化而变化。（7）圆的面积S随半径r的变化而变化。
学生自主学习得出结论：
①S=60t ②y=50-0.1x ③t=
④y= ⑤S= ⑥S=x2
⑦S=πr2
教师提出问题：在上面所列出函数中哪些是我们学过的函数？剩下的函数从形式上看，你们认为那几个应该是一类的呢？这类函数具有什么共同特征？通过比较引导学生发现一类新的函数
从学生已有的知识和身边的实际问题出发，创设情境，让学生感受生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。
（二）共同探究，得出结论
学生讨论，得出结论：一般地，如果变量y和x之间函数关系可以表示成y=（k是常数，且k≠0）的形式，则称y是x的反比例函数。教师出问题：反比例函数中自变量x的取值范围是什么？你能再找出几个生活中反比例函数的例子吗？结合前面学习的整数指数幂，函数关系y=还可以写成什么形式？在这个环节充分发挥学生的能动性，引导学生探究新知。学生通过讨论，总结得出结论，加深了对概念的理解，同时培养了学生的归纳能力和抽象思维。教师适当引导，拓展相关概念。
（三）应用新知识，深化拓展
例1 下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
y=；y=-；y=1-x；xy=1；y=
例2 关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗？若是，比例系数k等于多少？若不是，请说明理由。
例3 已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.写出y与x的函数关系式：求当x=4时y的值。
例4 当m=____时，关于x的函数y=（m+1）xm2-2是反比例函数？例题的讲解是为了初步应用所学知识，通过例题的讲解，学生逐步将对知识的感性认识转化为了理性认知。本课难点被逐步突破。
（四）课堂练习，巩固新知
课堂练习
1.函数y=-中自变量x的取值范围是______
2.苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为______
3.当y与x2成反比例时，y与x______反比例 （成或不成）
4. 当y与2x成反比例时，y与x______反比例（成或不成）
5. 下列哪些关系中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？
（1）y=x （2）y=
（3）xy+2=0 （4）xy=0
6. 若y与x成反比例，且x=-3时，y=7，求y与x的函数关系式？
7. y=（a+1）x|a|-2是反比例函数，求a的值？
[摘 要] 在单元教学中，教师应充分利用相似知识模块之间的内在联系，适时借助类比、归纳等推理方法，开展单元教学活动. 本文重点介绍如何类比正比例函数的学习开展反比例函数的单元教学活动.
[关键词] 类比法；单元教学；正比例函数；反比例函数
《教师专业标准》中强调，教师应重视学生自主学习、独立思考、自强自立、自由精神的培养. 在数学学习方面，这种自主学习、自主思考的能力，某种程度上表现为“举一反三”“触类旁通”的能力. 而这种能力的形成，要求教师在进行相似知识模块的学习时，不能简单地停留在知识点的传授层面，要适时渗透类比、归纳等推理方法，帮助学生既掌握方法，又整体建构. 本文结合“反比例函数（1）”的学习谈谈这方面的认识.
反比例函数与已学的正比例函数一样，也是一种特殊的函数. 它们在研究内容上是一致的. 这种研究内容的一致性，决定了它们在研究方法上也存在一致性. 因此，我们可以将反比例函数的学习看做是正比例函数学习的进一步延伸和拓展. 我们在进行反比例函数的第一课时学习时，改变了传统的重点研究反比例函数的概念及基本运算的做法，而是借鉴正比例函数学习的经验，运用类比的方法进行单元教学，让学生在类比正比例函数的基础上，整体认识反比例函数的概念、图象、性质、应用，形成一种整体意识，为后续的深入研究做好充分的准备.
为了能顺利地实现正迁移，将正比例函数的学习经验迁移到反比例函数的学习中，我在教学时设置了以下问题. 对于此问题，一方面，通过正比例函数的认识，明确函数一般的研究对象和方法，为用类比的方法研究反比例函数做好必要的铺垫工作；另一方面，通过整体回顾，培养学生的整体意识.
同正比例函数的学习相似，在研究概念的基础上，进一步转入到函数图象的研究中来. 但是如果要学生通过描点法作图一步到位地作出反比例函数的图象，难度比较大. 为此，我在正比例函数图象的基础上，设置问题串引领学生思考，让学生初步感知反比例函数图象分布的区域、基本走势.
1. 提出问题
2. 学生活动
设计意图说明：通过问题串引导学生类比、思考、观察、讨论， 让学生在初步对“数”的特征有所认识的基础上再自然转入对“形”进行研究. 这种从“数”到“形”的研究方式增加了对学生思维能力培养的机会，目的是让学生学会学习.
设计意图说明：在教学过程中，教师引导学生“类比正比例函数的性质”，最大限度地调动学生“合情推理”的因素，以确保学习知识的“正迁移”效应. 这样做，既加深了学生对属于正比例函数和反比例函数“共性”结论的理解，也重点剖析了反比例函数解析式独有的“个性”特征. 这种建立在类比基础上的研究，无疑会使学生对反比例函数图象和性质的认识更加科学、精确.
回顾历史，日本数学从中国得到过三次输入，中国的数学在日本的数学教育中有着重要的地位因此，日本的数学教育在观念、方法和内容上都有着东方文化的印记但近几年来，日本惊人的技术成就、经济实力及在教育方面的巨大进步，引起了越来越多人对日本数学教育的关注TIMss即第三次国际数学与科学研究通过对日本、美国和德国三国八年级数学课的比较研究，表明日本学生的数学成绩是最好的，
我国的数学教学重视系统训练，注重知识的梳理和结构的掌握，“精讲多练”成为我国的普遍模式，规范统一的教学管理和学习要求，使我国学生在数学学习中表现出较强的意志力，以及勤奋努力的精神，取得的成绩和效果也是值得肯定的，自2001年实施新课程改革以来，中国的数学课程也不断人性化，生活化，整合化，不断趋于国际数学教育的发展，但是毫无疑问，新课程在实施中也不可避免地出现了很多问题，
通过中日初中数学教科书的比较研究，可以为我国的数学课程改革，尤其是教科书编写，提供一些启示和建议，
2 选取比例与反比例的原由
本文选取“比例与反比例”这一单元，从微观层面对中日初中数学教科书进行比较，
函数是数与代数的延伸，也是数与代数的重要组成部分，同时函数也可看作是刻画变量之间依赖关系的模型，是数学联系实际的基础，是联结两类对象的桥梁，是数形结合的载体之一，此外，从现在的高中、大学教科书可以看出，函数是贯穿整个高中、大学数学课程的主线，德国数学家克莱因曾说过：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂，以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合，”强调了函数概念的重要性，比例与反比例是函数的入门，也是学生数学学习中第一次接触到变量、常量的概念，是否能学好比例与反比例对以后的数学学习至关重要，另外，从中国数学教科书演变史中可以了解到，中国在建国前后的一段时间内，比例与反比例(一次函数与反比例函数)是初三的内容，而现在却将其放在了初二的内容里，而日本初中教科书这部分内容以前是高中的内容，而现在也将其放到了初中，不难看出比例与反比例已经在初中数学中占据越来越重要的作用，因此，我们选取这部分内容来进行比较研究，
3 内容比较
中国教科书选用人教版的初中数学教科书《数学》，日本教科书选用泽田列夫领衔主编、教育出版株式会社出版的《中学数学》，
3.1编排的比较
《中学数学》：共一章，三小节，分别为比例、反比例、比例与反比例的应用，其中比例又分为比例的式、坐标、比例的图像；反比例又分为反比例、反比例的图像，
《数学》将比例与反比例放在不同的章节，正比例放在八年级上册第十四章第二节，反比例函数放在八年级下册第十七章，反比例分为反比例函数(包括反比例函数的意义、反比例函数的图像与性质)和实际问题与反比例函数，
《中学数学》将坐标也放在了比例这一小节中，而《数学》在七年级上册用一章来介绍了平面直角坐标系，
《数学》的内容量明显大于《中学数学》，相同内容的难度与深入程度也比《中学数学》大得多，比如，《中学数学》在介绍坐标时，只用了一小节，简单地介绍了横纵坐标，而《数学》则很详细地介绍了平面直角坐标系以及坐标的应用，在介绍正比例函数时，《数学》将正比例放在了一次函数这一章中，作为特殊的一次函数，而《中学数学》只是简单地介绍了正比例函数，并没有介绍一次函数，难度与《数学》比小很多，另外，相同的内容《中学数学》比《数学》有明显的滞后性。
不可否认，内容丰富、知识讲解详尽，对拓宽学生的视野、激发学生的学习兴趣、增强学生求知欲以及丰富学生的数学情感都是十分必要的，这也说明了单一的编排方式已经不适应现代教育的发展，内容的深入可以让不同的学生在数学上有不同的发展，但是知识是无穷的，不可能全部都在教科书上讲到，教科书只是知识的出发点，而不是终结目标，学生的学习并不在于所学内容的多少，而在于掌握最基础的知识和数学的思想方法，这会使学生更加受益，《中学数学》虽然内容量少，但是介绍很到位，重点突出，基础性强，将正反比例放在同一章中介绍，学生可进行对比学习和记忆，没有对其作深入的介绍，为学生提供了广阔的思考、探索空间，
3.2导人的比较
《中学数学》比例的导人如下：
画出放水的时间和水面高度的的关系图，并研究两者的数量关系，
《数学》正比例函数的导人如下：
1996年，鸟类研究者在芬兰给一支燕鸥套上标志环；大约128天后，人们在25600万千米外的澳大利亚发现了它，
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米?
(2)这只燕鸥行程y与飞行时间x有什么关系?
(3)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天算)的行程大约是多少?
《中学数学》反比例的导人如下：
把下图的点A作为顶点，画出各种面积为12厘米的长方形
思考：横的变长，则竖的长度将如何变化?
《数学》反比例函数导人如下：
思考：
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系时表示?这些函数有什么共同特点?
(1)京沪线铁路全程1463km，某次列车的平均速度口随此次列车全程运行时间t的变化而变化；
(2)某住宅小区要种植一面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长随宽的变化而变化；
(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S随全市总人口n的变化而变化，
从中日两种教科书正比例的导人可以看出日本教科书引入的问题更加贴近实际生活，而且用图来代替文字叙述，更加直观、形象，使课堂不那么枯燥，有助于学生对题目的理解，更容易引导学生发现规律，《数学》引入的问题，很明显就没有《中学数学》吸引人眼球的效果，虽然也结合了实际，但就是给人以距离感，没有图形的直观感受，也没有具体数量的比较，难以发现规律性，而且这个例子也不是完全的正比例函数，书中也提到是近似的，但可以作为反映行程与时间的一个模型，另外，《数学》在引入问题后，没有进行适当的引导式分析，就直接给出问题的解，忽视了学生自己思考的过程，而《中学数学》并没有接着问题就给出了解答，而是在后面的新课内容中一步一步来解决，留给了学生自己探索发现的空间和时间，
对于反比例的导人，《中学数学》用等面积的长方形来引入，结合图形，给学生自己动手动脑的机会，通过找到合适的点，在图像上描绘出来，就是反比例的图像，进而引入反比例，用一个简单的实际问题，引入要点，通过指导学生进行自主性的学习研究，而不是灌输式的教学，
而《数学》以思考的形式给出三个实际问题，让学生自己思考其特点和变量之间的对应关系，并发
现共同点，这种形式的导人多数情况下会在上课时被忽略掉，老师就直接给出几个反比例的式子，然后给出概念，完全没有起到导人应有的作用，只是流于形式罢了，学生只有被动的接受，没有主动地思考发现，
3.3概念与性质的比较
《中学数学》中的相关概念如下：
变数％与y的关系可用y=ax(a为定数)表示时，y与x成比例，此时，a为比例定数，
变数z与y的关系，可用y=u来表示时，y与z成反比例，此时，a称为比例定数，
反比例关系y=a/x的图形，称为双曲线
《数学》中的相关概念如下：
形如y=kx的函数(k为常数，k不等于0)，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，
一般的，形如y=k/x(k为常数，K不等于0)的函数称为反比例函数，
《中学数学》着重指出z与y是变量，特别定义了rz为比例定数，但没有给出a的取值条件，《数学》没定义k，但是说明了k为常数，且不为0，《中学数学》指明了反比例的图形称为双曲线，为日后学习双曲线埋下伏笔，但是这样引进双曲线很容易使学生误认为双曲线就是反比例函数的图像，
《中学数学》中比例的性质：
y=ax的图和值得变化
《数学》中正比例函数的性质：
一般的，正比例函数y=kx(k为常数，k不等于0)的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx，当k>0时，直线经过第三、一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k
《中学数学》用表格的形式给出a>0和a
3.4实际应用的比较
《中学数学》比例选用了折纸的纸张数与重量关系这个例子，给出了两个思考方法：一个是表格法，一个是图像法，反比例选用了天平平衡原理来求解离支点的距离和秤砣重量的关系，
《数学》正比例没提到实际应用，反比例用了三个实际例子，第一个是定体积求底面积与高的关系，第二个是卸货总量定求卸货时间和卸货速度的关系，第三个和中学数学类似的杠杆原理的应用，这些例子都是生活中常会用到的，比如我们求一些轻小物的重量，就会用到中学数学第一个例子的模型，将大量的轻小物累计在一起称出重量，然后求出单个的重量，第二个例子在实际生活中的原型就是杆秤，杆秤的原理就是根据这个例子来的，因此学生可以根据这个例子探索出杆秤的制作原理，总之这些例子都很好地将数学和实际生活联合在一起，能锻炼学生的思维能力，
3.5其它
《数学》章首都会介绍本章要学的知识背景以及要点和所要达到的目标，有“知识导向”作用，以便后面的内容围绕这一目标展开，
《数学》在章节后设置了信息技术应用，例如：在反比例这节后介绍了用计算机制图软件画准确的图像，这是新版教科书反应数学与现代教育技术相结合的体现，也是数学与时俱进的体现，用先进的计算机技术来形象生动地描绘数学问题，用计算机来呈现以往教学中很难呈现的课程内容，这对于学生的数学兴趣的提高和一些较抽象数学的理解都会有很大的帮助，
《中学数学》在每一章最后都有一个学结，与《数学》不同，《数学》只是大致的将一章的要点讲一下，或者是用结构图来表示一下个小节的联系，而《中学数学》的学结是提纲性的，将这一章所有的概念、定义、性质等重新回顾一遍，而且还会设置一些空格由学生自己填进去，这样可以起到巩固已学知识的效果，还有利于以后的复习，
“挑战角”也是《中学数学》的一个内容，是对新学知识的深入，考查学生对知识的综合运用能力、数形结合能力等，也可以给成绩好的学生一个展示自己并提高自己能力的机会，
4 对我国数学教科书编写的启示
4.1加强探究式学习，重视启发学生
《中学数学》反比例的导人是画出各种面积为12厘米的长方形，先从很简单的数学知识人手，启发学生自己思考，并自己动手画图，学生在教科书的指引下，通过自己的思考、探索得出新的知识，这是一种探究式的学习，教科书引导学生自己一步一步找到问题的答案，而不再是问题后直接给出问题的解答，而《数学》就缺少了这种引导学生自己探索和思考的过程，比如在反比例导人时，给出了三个问题，却没有设计一些必要的启发学生的问题式引导，问题的答案也就直接给出，完全没有让学生进行自己的探索和发现，《中学数学》中的“挑战角”是对已学知识的深入应用，学生要将已有知识与新知识和实际有效结合，才能解出，这也是对学生探究能力的考验，这并不是说《数学》中完全没有探究式学习，只是教科书还不够完善，
4.2注重数学实验，加强动手、操作能力
数学教学既要充分体现教学的抽象化一面，又要重视数学创造过程中的具体化一面，而数学实验则是针对数学具体化一面而产生的数学教学模式，虽然现在我国的教科书已经开始有这方面的尝试，但是并不多，在教学中能够充分体现的更是少，从《数学》与《中学数学》的比较可以看出，日本在创造性、动手能力方面对学生的训练较多，这也体现了日本新数学学习指导要领对数学教学内容所特别强调的要丰富学生的教学活动，要学生通过观察、实验、操作等具体活动抽象概括出数学知识，发现新结论，使学生体会到数学学习的快乐，而我国注重的还是对抽象知识的理解，以及通过练习来强化所学的知识，对学生动脑要求较高也较多，动手、操作能力的要求相对低得多，
4.3注重问题的解决，而不是结果
在正反比例导人的比较上可以看出，《数学》中例子的引入似乎只是为了引出其概念，要的只是问题的结果，对结果是如何得出的似乎不是很重视，而《中学数学》同样使用例子来引导，却极其地重视问题应该如何解决，总是在问题的恰当创设下引导学生解决问题，发现规律，《中学数学》的习题数量较少，但是题目具有灵活性、多样性和趣味性，题目的范围也较广，有反应日常生活的、有具挑战性的、有综合运用的，也有与其他学科联系的等等，从这些例题都可以看出日本对问题解决的重视，
【关键词】 反比例函数；实际问题；函数关系
随着社会的发展，数学的应用已经渗透到生活的各个领域，函数是数学的核心和主线，它的内涵恰好能体现不断变化的事物的本质及事物间的内在联系.而反比例函数经常作为主角出现在函数的应用中，如通讯话费、计程车计费、银行利率、邮资、个人所得税等，所以，很有必要在这些方面开展研究性学习.这样既能使学生体悟数学的应用价值，又能激发其学习数学的兴趣，还能形成学数学、用数学的思维和意识.下面笔者以与学生息息相关的体育馆中的一系列问题，用反比例函数给予解决，探讨反比例函数的应用.
问题1 莲花学校要筹建新的体育馆，其地基为长方形，占地面积为2 400平方米.（1）体育馆的长与宽之间具有怎样的函数关系？（2）如果体育馆的宽为100米，那么长为多少？（3）由于龅氐南拗疲长最多为60米，那么宽应该满足什么条件？
解析 （1）设长为x，宽为y，由长方形面积=长×宽，可得y= 2400 x ；
（2）将y=100代入y= 2400 x ，可得x=240；
（3）长最多为60米，即x≤60，这个很像是一道解不等式的题目，但学生很难用解不等式解决，这里通常有两种方法：① 根据反比例函数的增减性，因为k>0，x>0，y随x的增大而减小，所以考虑临界值，当x最大为60时，y最小值为400，即y≥400.② 根据反比例函数的图像，因为k>0，x>0，图像在第一象限，从左到右呈下降趋势，根据x的取值范围确定对应的图像，进而得出y的取值范围.
分析 此题是以莲花体育馆的筹建为背景引入的，让学生来当一回设计师，设计体育馆的地基，就像陶行知老先生说的：“教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作.”这题的三小题分别用反比例函数的解析式、取值以及增减性解决.问题（1）的反比例函数关系式是由长方形面积公式直接得出的；对于问题（2）的解答，只要将y=100的数值代入关系式中，就可以求出相对应的x数值；问题（3）是对反比例函数增减性的考查，也可结合图像更直观地感受当长最多为60米时，宽应该满足的条件，这里还用到了临界值，当考虑某一变量的取值范围时，往往会先分析临界值，在下面的题目中我们还将涉及.
问题2 某建筑商出售一批进价为2万元/吨的钢材，在市场营销中发现此钢材的销售单价x万元/吨与销售量y（吨）之间有如下关系：
x（万元/吨） 3 4 5 6
y（吨） 20 15 12 10
（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；（2）设经营此钢材的销售利润为w万元，试求出w与x之间的函数关系式；（3）若物价局规定此钢材的销售价最高不能超过10万元/吨，请你求出当销售单价x定为多少万元时，才能获得最大销售利润？
解析 （1）由四组数据积的不变性，可以得出xy=120，y= 120 x ；
（2）根据销售利润=单件利润×销售量，得出w=（x-2）y，但题目要求是w与x之间的函数关系式，这里将把第（1） 小题中的y= 120 x 直接代入，得到一个新函数w=- 240 x + 120；（3）对于函数w=- 240 x +120，已知x≤10时，确定w的取值范围，应把w看成两项，一项为定值120，一项为变值- 240 x ，所以w的取值范围由- 240 x 确定，也有两种方法：① 根据反比例函数的增减性，因为k0，y随x的增大而增大，所以考虑临界值，当x最大=10时，w最大=96，即0≤w≤96.② 根据反比例函数的图像，因为k0，图像在第四象限，从左到右呈上升趋势，根据x的取值范围确定对应的图像，得出- 240 x 的取值范围，进而得出w的取值范围.
分析 这题是以莲花体育馆建造时，钢材供应商经营策略为背景引入的，它在问题1的基础上有所提高，体现了不同的求解析式的方法.这里的设计主要想体现陶行知老先生的名言：“好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学.”让学生在已有的基础上进一步提升.问题（1）的反比例函数关系式是由售价与销售量乘积的不变性，直接得出的；问题（2）在确定了销售量与销售价之间的反比例函数关系之后，根据总利润=单价利润×销售量或者总利润=销售额-成本的数量关系，列出w与x之间的关系式，这里销售量y要用x来表示；问题（3）根据利润的函数关系式w=- 240 x +120，由x的取值范围来确定w的取值范围，这里应该把w的函数关系式看成由- 240 x 和120两部分组成，而其中的120是不变的，所以w的值主要由- 240 x 来确定，也就是由反比例函数的增减性来确定，其实这一题和问题1的第三小题是考查的同一知识点，但却比问题1要难.
问题3 如图，体育馆建成之后，学校对它进行药熏消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例.现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg.请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y与x的关系式为 ；药物燃烧完后，y与x的关系式为 ；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 mg时学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少经过 min后，学生才能回到教室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次药熏是否有效？请说明理由.
解析 （1）由图像可知，它有两部分组成，一条经过原点的线段和一条曲线，可知它对应两个函数：正比例函数和反比例函数，所以当08时，y= 48 x ；（2）含药量即为y的值，相当于已知y=1.6，代入反比例函数y= 48 x 求相应的x；（3）已知y的取值范围y≥3，求出x的取值范围，主要用临界值的方法，把y=3分别代入正比例函数y=0.75x和反比例函数y= 48 x ，求出相应的x，即在图像找出y=3相对应的两个点，再找出y≥3时相对应的图像，把两个x相减，得出的差与10做比较，如果差大于或等于10则有效，如果差小于10则无效.
分析 问题（3）是以对体育馆进行消毒为背景引入的.相对于问题（1）、（2），它多了图像，也就是说主要要结合图像来解决此题.第（1）小题是根据图像用待定系数法求出函数关系式；第（2）小题是常规的已知y代入解析式求x，但此题有两个函数关系式，学生要根据题目要求选择适当的解析式，因为题目要求“学生进入教室”，所以要选择反比例函数；第（3）小题是第（2）小题的延伸，它是已知y的取值范围确定x的取值范围，主要体现了数形结合思想.
就像陶行知老先生说过的：“活的人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生.”
所以，我在前面三个问题的基础上，设计的问题4，它只给出了图像以及简洁的提示，没有给出任何问题，主要由学生自主提出问题并解决问题，以此提升学生的能力以及对知识点认知的升华.
问题4 体育馆建成之后，很多教师去参观，体育教师就热情地邀请他们喝茶.图中是喝茶前，烧水和泡茶两个工序中，水温随着时间的变化所呈现的图像，其中BC=1，CD为反比例函数图像的一部分.根以上信息，你能设计出哪些与烧水、泡茶有关的问题.
关键词：探索式教学法；数学教学；学生主体；教师主导
探索式教学法是数学教学中最为行之有效的教学方法之一。探索式教学法在数学教学中的有效应用，充分发挥了学生的主体地位，诱发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，使学生从中体会到数学的重要性与趣味性。运用探索式教学法要遵循“建立情境提出问题探索发现猜想验证寻求规律实际应用”的模式，力争在每个环节都能发挥学生的主动性，挖掘出他们的潜在智慧，从而达到既让学生掌握知识，又培养了学生思维与探索能力的双重目的。下面浅谈一下我在数学教学中尝试用探索式教学法取得的效果。
一、建立情境
俗话说：“良好的开端是成功的一半。”一个或生动有趣、或富有创意、或悬念重重的情境能让学生在最短的时间里主动进入学习状态。如，在探索反比例函数图象和性质的教学中，展示了许多反比例图象的画片，让学生从中发现数学问题，激发学生参与课堂学习的热情和求知欲望，为学生画反比例函数图象奠定了基础。
二、提出问题
学生有了疑问才会进一步思考问题，才能有所发现、有所创造。因此，在数学教学中，教师要灵活运用教材，创造性地把书上的“句号”转变成“问号”，把“问号”融于情境中，让学生在情境中遇到问题，促使学生努力去思考问题、探索问题。例如，在讲反比例函数图象和性质时，我提出了许多本节课的重点问题，反比例函数y=■的图象会是什么形状呢？y=-■的图象又会是什么形状呢？等等这些问题激发了学生的求知欲望和探究欲望，引导学生自主进入角色。
三、探索发现
探索发现是以学生为主体，以教师为主导的过程。所谓自主探索可分两种：一种是主动探索，说明学生自己要学；二是独立探索，说明学生自己有能力去学。在教学中，要不断鼓励学生自己探索，同时留给学生充足的时间和空间。在学生探索过程中，教师要注意学生的情感投入等表现。在活动中，让学生自己去观察、类比和发现，让学生自己去经历过程，总结结论，实现学生主动参与探索新知识的目的。在学生新发现的同时，教师要科学合理地给学生一个客观公正的评价。通过评价使学生体验成功的喜悦，增加学生继续探索的信心。发现不足改变自己的探索方式，提高学生的学习效率，因此，在教学中要正确引导学生探索新知识。在学习反比例函数图象和性质时，我引导学生思考，示范出反比例函数y=■的图象，同时比较y=■与y=-■的图象它们有什么共同特点？它们之间有什么关系？
学生通过观察、比较、分析，探讨判断出反比例函数的图象位置和性质。同时，教师要多引导充分发挥主导作用，并对学生的总结发现做一个合理公正的评价。
四、猜想验证
数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律本质时的一种策略，它是建立在已有的事实和经验上，运用非逻辑手段得到的一种假定，一种合理推理。从学生实际出发，顺应学生思路大胆建立猜想，进而验证猜想，让不同层次的学生都有发现创新的机会，并根据合理条件作出猜想，培养思维的创新，从中学会科学的思维方法，学会学习。在讲反比例函数图象和性质时，让
学生在已了解y=■和y=-■的图象位置和性质的基础上，猜想出y=■与y=-■的图象各在哪些象限，以及反比例函数在每个象限内y值随x的变化而发生怎样的变化，同时让学生动手操作，画出函数图象，验证猜想的结果是正确的。
五、寻求规律
规律是数学的灵魂，学会发现规律比多记几条规律重要得多。教学中，教师要引导学生运用已有的数学知识寻求规律，感受数学的探索和价值，并通过发现规律体验成功，建立学好数学的自信心。我在教反比例函数图象和性质时，让学生通过对反比例函数图象的观察、分析，总结出规律，概括出反比例函数的性质，使学生经历从特殊到一般的思维过程，逐步达到培养学生抽象概括能力和激发学生探索欲望的目的。
六、实际应用
能够应用所学知识解决实际问题是教学任务之一。应用数学知识解决实际问题，是学习数学知识形成技能的结果，是获得数学知识技能的检验。如，市煤气公司在地上修建一个容积为104立方米的圆柱形煤气储存室，储存室的底面积与其深度有怎样的函数关系，通过讨论探究，使学生对利用反比例函数解决实际问题有了更深刻的了解，初步培养学生利用反比例函数解决实际问题的数学模型，从而达到培养学生良好的思维品质的目的。
1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析
1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学次函数、反比例函数的学习方法。
三、教学过程
复习提问：
1、什么是函数?
2、函数有哪几种表示方法？
3、举出几个函数的例子。
新课讲解：
可以选用提问时学生举出的例子，也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式)，y=x，s=3t等。观察时，可以按下列问题引导学生思考：
(1)这些式子表示的是什么关系?(在学生明确这些式子表示函数关系后，可指出，这是函数。)
(2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么?(在学生分清后，可指出，式子中等号左边的y与s是函数，等号右边是一个代数式，其中的字母x与t是自变量。)
(3)在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式呢?(这题牵扯到有关整式的基本概念，表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子，都是关于自变量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(结合一元一次方程的有关知识，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的层层设问，最后给出一次函数的定义。
一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)那么，y叫做x的一次函数。
对这个定义，要注意：
(1)x是变量，k，b是常数；
(2)k≠0(当k＝0时，式子变形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常数函数，这点，不一定向学生讲述。)
由一次函数出发，当常数b＝0时，一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数，k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。
在讲述正比例函数时，首先，要注意适当复习小学学过的正比例关系，小学数学是这样陈述的：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
写成式子是(一定)
需指出，小学因为没有学过负数，实际的例子都是k＞0的例子，对于正比例函数，k也为负数。
其次，要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系：正比例函数是特殊的一次函数。
课堂练习：
教科书13、4节练习第1题．
一、目的要求
1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析
1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学次函数、反比例函数的学习方法。
三、教学过程
复习提问：
1、什么是函数?
2、函数有哪几种表示方法？
3、举出几个函数的例子。
新课讲解：
可以选用提问时学生举出的例子，也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式)，y=x，s=3t等。观察时，可以按下列问题引导学生思考：
(1)这些式子表示的是什么关系?(在学生明确这些式子表示函数关系后，可指出，这是函数。)
(2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么?(在学生分清后，可指出，式子中等号左边的y与s是函数，等号右边是一个代数式，其中的字母x与t是自变量。)
(3)在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式呢?(这题牵扯到有关整式的基本概念，表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子，都是关于自变量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(结合一元一次方程的有关知识，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的层层设问，最后给出一次函数的定义。
一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)那么，y叫做x的一次函数。
对这个定义，要注意：
(1)x是变量，k，b是常数；
(2)k≠0(当k＝0时，式子变形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常数函数，这点，不一定向学生讲述。)
由一次函数出发，当常数b＝0时，一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数，k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。
在讲述正比例函数时，首先，要注意适当复习小学学过的正比例关系，小学数学是这样陈述的：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
写成式子是(一定)
需指出，小学因为没有学过负数，实际的例子都是k＞0的例子，对于正比例函数，k也为负数。
其次，要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系：正比例函数是特殊的一次函数。
[关键词]反比例函数；公开课；情境；设计；概念构建
[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2017）05-0016-01
在一节“反比例函数”公开课中，上课教师对教学内容的深刻理解，充分展示了他对课程标准的理解与把握能力，教师的教育智慧在课堂上表现得淋漓尽致，给我们留下了深刻的印象。
一、情境创设真实。温故知新自然
教师根据教学的内容，巧妙地创设与生活相关的问题情境：“老师每天要从家驾车到学校上班，从家到学校的路程是8千米，开车从家到学校的时间随着开车的平均速度的变化而变化……”由于该问题具有一定的生活意义，学生感到很亲切。于是，教师开始进一步设计具有一定层次和梯度的问题：
（1）刚才的问题牵涉哪几个量？这里的常量和变量分别是什么？如果把开车到学校的时间用字母t来表示，开车的速度用字母。表示，那么，时间、速度和路程三者之间存在什么样的关系呢？很显然，教师这样做的目的主要是想尝试建立t=8/v的关系式，为进一步讨论与分析铺垫。
（2）从t=8/v这个式子来看，它具有什么样的特征？学生经过短暂的交流认为，这是一种函数形式。如此分析有意识地勾起了学生对所学知识――函数的回顾。
教师突然提问：这是一次函数吗？由于教师所提的问题根本就是学生还没有学过的知识（这也正是本节课将要学习的知识），由于新旧知识的冲突，一下子把学生带进了思考和讨论的状态，学生主动学习的动力自然形成了。
于是，教师进一步设计了两个实际问题：
（1）老师今早上班的时候，通过油表发现，油箱中存油还剩下20升，车辆行驶中每千米耗油量0.1升。如果我们把油箱剩余的油量用M（升）表示，行驶的路程用x（千米）表示，那么汽车油箱中剩余的油量与行驶的路程之间存在着什么样的函数关系？
（2）目前加油站的油价是每升6.7元，汽车加油的费用与所加的油量有关系。如果用y表示加油的费用，x表示加油量，那么加油费用3，与加油量x的关系式是什么？
教师提出这两个问题后，让学生讨论，要求学生用函数关系式描述问题中变量之间的关系，然后分别写出关系式：y=6.7x，M=20-0.1x。教师直接写出函数关系式，基于学生对上述问题的探究与分析，已经具备完成的条件，加上已经在比较熟悉的情境中考虑问题，具有解决新问题的能力，这样可节约大量时间去解决本节课学习的核心问题――反比例函数概念的抽象概括。当然，对于上述问题，教师引导学生不惜花费更多时间探讨，引导学生从变量的认识开始，通过复习函数的概念而逐步深入学习，目的是为达到“产生数学”的效果。可见，教师对本节课的教学内容的准确把握是比较到位的，教学设计也是合理而恰当的。
二、教学重点突出。概念构建合理
教师通过前一阶段的探讨与学习，列出一组函数表达式：y=6.7x，M=20-0.1x，y=80/x，并提问：“在这些函数式中，它们有什么样的特点？哪些是以前见过的？”引导学生辨别出正比例函数、一次函数并能发现与其不同的新函数。
学生通过已经学习过的函数知识采用排除法剔除正比函数和一次函数后，剩下的便是一个“同类事物的不同例证了”，这也正是概念形成的前提。当然，此时概念的形成还需要经过探究活动。一方面，因为问题来源于生活实际，具有探究价值；另一方面，通过对象本质的探讨与分析，清楚了它的定义。再者，这样的一组函数式具有一定的属性，能够引发学生尝试运用文字、符号进行表达，通过比较、质疑、思考去把握本质，概念的建构无形中形成了。
在教学过程中，教师能充分根据学习内容和学生的情况，采用合理的教学方法，引导探究，督促交流，鼓励学生大胆尝试，耐心对待学生的学习过程，促进学生对学习知识的感悟。比如，在反比例函数概念建立以后，让学生大胆写出类似的例子，并说出对定义的理解，教学具有针对性和开放性，有效激活了学生学习的思维。
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。下面小编给大家分享一些高中数学函数知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!
高中数学函数知识一、一次函数定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)
二、一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1.作法与图形：通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k
当b>0时，直线必通过一、二象限;
当b=0时，直线通过原点
当b
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k
四、确定一次函数的表达式：
已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
设水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：
1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
高中数学函数知识2二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax’2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)’2+k[抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b’2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b’2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b’2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b’2-4ac
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax’2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，
即ax’2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
高中数学函数知识3反比例函数
形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。
当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数
当K
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
知识点：
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)
对数函数
对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1，0)这点。
【关键词】数学思想；数形结合；以形助数；以数解形
数形结合的思想方法是数学教学内容的主体之一。数与形的结合可以使某些抽象的数学问题直观化，能够把抽象思维转化为形象思维，有助于把生活实际问题转化为数学问题，建立数学模型，从而把实际的问题迎刃而解，起到画龙点睛的作用。
在新课改后，在初中数学教学中应用到数形结合思想进行教学的内容占的比例较大。主要体现在：①实数与数轴上的点的对应关系②方程与方程组③不等式与不等式组④函数问题⑤概率与统计⑥图形的相似及坐标，下面我们就通过具体的例子来加以说明这一直观的数学思想方法的具体应用
1.实数与数轴
1.1 实数包括有理数和无理数。而有理数和无理数都可以在数轴上表示，反之数轴上的每一个点都对应着某一个有理数或无理数。所以实数与数轴上的点是一一对应的关系，这时若要向学生解释一一对应的关系，可以采用数形结合的方法呈现给学生。
案例一：如图（1）
在数轴上除了有-1，-2， 0， 1， 2， …有理数之外还存在着无理数，如以坐标圆点为顶点，以单位“1”的长度作正方形，则对角线的长度为 ，再以0点为圆心，对角线的长为半径画弧线与数轴交于点B，所以B点表示的数就是无理数 ，以此类推，我们还可以得到 ，- ， …等更多的无理数，因此有理数和无理数就把数轴上的所有点填满了，所以实数与数轴上的点是一一对应的关系。并且数轴上的数从左到右逐渐增大
案例二：如图（2）在数轴上：
分析：在案例二的第二个问题中，是把形化为数，这是解决此类问题的突破口，也就是解题的瓶颈，只有利用形与数的完美结合与互化才能解决此类问题，体现了数形结合的思想价值。
1.2 相反数与绝对值
相反数是指只有符号不同的两个数互为相反数，而绝对值是指一个数离开坐标原点的长度单位（注0的相反数与绝对值都是它本身），在相反数与绝对值的数学过程中，如果采用数形结合的方法进行教学，那么取得的教学效果是事半功倍。如图（2）中，1的相反数是-1，-2的相反数是2， 的相反数是- ，4的相反数是-4，
1=1 -2=2 -3=3
由此我们还可以得出结论：①数轴上的数从左到右逐渐增大，②对于负数绝对值越大的数反而越小，③负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，④互为相反数的两个数绝对值相等。在案例一，案例二中，如果我们只采用“数”的方法讲解，而不采用“数与形”结合的方式，学生是很难理解的，只有把数与形互相结合起来，真正做到直观化，形象化，学生就能够一目了然，由此我们还可以把问题由特殊化转为一般化，就可以很轻松的得到结论
解。反之，如果在平面直角坐标系中，
知道了两条直线L1和L2的交点坐标，也可以根据交点坐标得出相应的方程组。
3.解决一元一次不等式（组）和一次函数结合的问题
在近几年中，考察不等式的题型在原有的填空题，选择题，解答题，求不等式组的解集的基础上有了新的突破。特别是在不等式与方程结合的实际方案优化设计问题，不等式和一次函数结合方面考察的较多。解决这类问题的关键是采用数形结合的思想，把“数”化为“形”，使复杂问题简单化。
案例5.已知直线 经过点A（-1，-2）和点B（-2，0），直线 经过点A，
求不等式 的解集。
解析：如果采用单一的“数”的形式来解决这类问题（即用代数的方法），需要把点的坐标代入函数关系式中，用“待定系数”法求出函数关系式，再把函数关系式代入不等式中组成不等式组，最后求出不等式组的解集。虽然这样处理问题，能够得到最终的答案，但是做起来感觉比较繁，又会浪费我们许多宝贵的时间。如果采用“数形结合”的办法来解决，会起到把复杂问题简单化，起到立竿见影，事半功倍的效果。
解析：⑴建立平面直角坐标系，作出函数图象，如图（5）所示。
⑵由函数图象可知：函数 是减函数y随x的增大而减小，并且当x>-2时y-2时
x0.即x0
⑶函数 是正比例函数，y随x的增大而增大。当x>O时y>O，即2x>O，当x
⑷函数 与 相交于点A（-1，-2），都与直线x = -1相交，并且在直线x = -1的左侧是 >2x，在x = -1的右侧是
因此不等式 的解集是-2
由函数图象我们还以得到不等式 的解集是-1
这样，我们就把复杂的问题简单化，从而起到优化解题途径的目的，做到“数”与“形”的互变。让学生产生豁然开朗的感觉，不仅提高了学习效率，还培养了学生的学习兴趣。
4.以形助数解决函数问题
在初中的教学内容中，函数包括一次函数，反比例函数和二次函数。在教学过程中数形结合的教学方法是解决函数问题的关键，要学会从“数”分析到“形”，由数的特征想到形的特征，又由形的特征想到数的特征，能够变抽象思维为形象思维。这样有助于把握数学问题的本质，做到由数思形，以形想数。
4.1 解决一次函数问题
一次函数是历年学业水平测试命题的重要考点，尤其是最近几年，越来越受到重视，考查这部分的试题不仅数量多，而且题型新，一些与现实生活密切相关的应用题、阅读题、开放探索题等层出不穷，解决这类问题的关键是利用数形结合的办法。
案例6.如图（6）所示：小虹准备到甲、乙两商场去应聘，下图中L1，L2分别表示了甲、乙两商场每月付给员工的工资y1和y2（单位：元）与销售商品的件数x（单位：件）的关系。
⑴根据图象分别求出y1，y2与x的函数关系式。
⑵根据图象直接回答：如果小虹决定去应聘，她可能会选择甲商场还是乙商场？
解：（1）设L1的函数关系式为y1=k1x，把（40，600）带入y1=k1x中，得40k1=600，解这个方程，得k1=15，所以y1与x的函数关系式为y1=15x.
设L2的函数关系式为y2=k2x+b.把（0，400）与（40，600）带人y2=k2x+b中，得 。解这个方程组，得 。所以y2与x的函数关系式为y2=5x+400
（2）当销售件数大于40件时，选择甲商场
当销售件数小于40件时，选择乙商场
当销售件数等于40件时，选择去甲商场或乙商场都一样。
4.2 解决反比例函数与一次函数结合的问题
反比例函数也是学业水平测试的必考内容，近年来备受青睐。反比例函数的图象与性质、解析式的确定及实践应用都是热点。在解答题中主要考查反比例函数与一次函数结合为主，难度处于低、中档次。
案例7.如图（7）所示：已知一次函数y1=x+2与反比例函数y2= 图象相交于A，B两点，A点坐标为（1，3）。
⑴试确定B点的坐标及反比例函数的表达式。
⑵若y1>y2时，求x的取值范围
解：⑴反比例函数y2= 的图象经过点A（1，3）
，k=3
反比例函数的表达式为
由 消去y，得x2+2x-3=0，
即（x+3）（x-1）=0
x=-3或x=1，可的y=-1或y=3
于是 或
点B在第三象限，点B的坐标为B（-3，-1）
⑵要求y1>y2时，x的取值范围，即x+2> 。此时对于初中的学生来说，要用代数的方法解决这个问题是很难的，可以说是无法解出的。要解决这个问题，我们只能借助函数图象，采用数形结合的办法来解决，使问题简单化。
解析：①分别过一次函数和反比例函数图象的交点作x轴的垂线，分别与x轴相交于-3和1（即直线x=-3和直线x=1，如图（7）中的虚线所示）。②分别以直线x=-3和直线x=1的左右来区分是一次函数的值大，还是反比例函数的值大。而在直线x=-3和直线x=1的左右两边，什么函数图象在上，就是该函数的函数值大。③根据函数值确定自变量的取值范围（注：自变量x不能取到0，要与y轴为分界线）
因此y1>y2时，x的取值范围就只能在直线x=-3和直线x=1的右边来确定。因为在直线x=-3和直线x=1的右边都是一次函数的图象在上，所以y1>y2时，自变量x的取值范围是-3
4.3解决二次函数的问题。
二次函数是初中水平测试命题的热点，各种题型，各档次试题都会涉及。特别是与实际生活相关的阅读理解题、实际应用题、探索题在最近几年中更为突出。解决这类问题的关键是利用二次函数的图像与性质，建立二次函数模型，用数形结合的思想方法进行。
5.解决概率的问题。
例8.在一个不透明的口袋里装有5个分别标有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同。现从口袋里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标。那么点P落在抛物线y=-x2+2x+3与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是多少呢？
解：⑴画树形图表示点P的所有可能情况
开始
⑵点P的坐标有P1（1，1），P2（2，4），P3（0，0），P4（-1，1），P5（-2，4）.其中点P落在抛物线y=-x2+2x+3与x轴所围成的区域内（不含边界）的点只有P1（1，1），所以点P落在抛物线y=-x2+2x+3与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率为 。
6.教学过程中要注意数学思想的培养
中学阶段的数学基本思想包括分类讨论的思想，数形结合思想，变换与转化的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想等等，中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和教学上，就能够发展学生的数学能力。其中数形结合思想使一种很重要的思想，它贯穿于整个初中数学的教学内容中。对中学数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，提高解题能力，尤其在初三系统复习中，如果教师利用好“数形结合”思想来培养学生的学习兴趣，那么提高学习效率，提高教学成绩是有很大帮助的，我们就能在学业水平测试中取得优异的成绩。
参考文献
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[2] 云南省初中学业水平标准与考试说明数学[I].昆明：云南教育出版社
[3] 云南省2011中考完全解读[I].云南：云南教育出版社
在初中数学教学中，通过作业可帮助学生复习与巩固知识，理解与应用知识，启发思维，提高能力。而通过作业批改，可帮助教师了解学生学习情况，对知识的把握程度，可帮助学生发现自身不足之处，以查缺补漏。然而，在传统教学过程中，往往是教师单一批改，学生对批改结果置之不理，没有深入分析错误原因，这样，教师耗时耗力，却效果不佳。因此，为了适应素质教育要求，使作业批改省力省时，且能唤起学生的积极性，教师需优化作业批改方式，实行多元化的作业批改，增强师生互动，提高学生能力。
一、引导学生互相批改作业
在初中数学作业批改中，教师可引导学生相互批改，如小组批改、同桌相互批改等，使其在作业互改中，既善于发现其他同学的解题缺陷或错误，也发现自身存在的不足，及时纠正弥补。同时，还可发现与借鉴其他学生的巧妙解题方法，取长补短，提高学习效率。
如教学《一元二次方程》后，教师可紧扣教学内容，选取一些典型性、代表性的习题，如：①若方程（m+2）x2+2x-1=0存在两实数根，请求m的取值范围。②关于x的方程mx2-2x+3=0存在实根，请求出m的取值范围。③如果方程x2+（m-6）x+（5-3m）=0的两根均大于2，请求出m的取值范围，然后让学生当堂练习，并在所规定时间内做好习题。然后同桌之间相互批改，亦或先打乱作业秩序，再将作业发给每位同学，让他们互改作业。同时，在作业批改中，学生应说明对方错误及正确的原因，然后作业被改的学生可加以解释说明。
如在题①中，有些学生根据Δ=4-4（m+2）×（-1）≥0，得出结论：m≥-3.其错误原因在于忽略了一元二次方程二次项系数不为零的隐含条件。所以，正确答案是m≥-3且m≠-2.在题②中，有些学生因思维定势而导致解题错误。他们先入为主地仅仅讨论题目为二次方程，得出结论m≤■且m≠0，却忽略了原方程也可能是一次方程。题中方程mx2-2x+3=0存在实根，但并未明确指出该方程是一次方程还是二次方程。因此，正确答案是m≤■.而在题③中，则因审题不慎而出现解题错误：根据题意得出：Δ=（m-6）2-4（5-3m）=m2+16>0 ，即m是任意值。有：x1+ x2=6-m>4 则m4，得出m
二、学生自改与教师再改
在多元化作业批改中，学生自改也是重要方式之一。通过学生自改作业，可改变学生以往的不端正的学习态度，如有的同学对学习上的错误并不重视，没有找出其原因；未及时纠正作业错误；对于教师作业评改时的红笔标注之处，要么置之不理，要么就是抄写正确答案，草草了事等。因为未及时分析与纠正错误，在下次练习或考试中，学生又出现同一错误，这就影响了学生的学习效果。同时，学生基础不牢固，也影响了后面新知的学习。面对这些现象，教师可让学生自己批改作业，特别是一些有烦琐步骤的计算题，要求他们由解题思路、解题步骤、解题答案加以分析，看是不是存在错误。而有些学生虽然有着正确的解题思路，但结果却总是出错，这些学生在批改作业时，则需看是否认真审题，是否计算正确，并注意不要点错小数点或者符号出错。通过学生自改，让学生重新经历了审题、解题、运算等再次思维过程，若如此反复训练，学生则可逐渐改掉坏习惯，提高解题能力。
其次，在学生自改与互改的前提下，数学教师可进行再改。这主要是发现学生作业中的普遍错误、共性错误。然后课堂上重点分析与讲解，让学生认识错误成因，把握正确解题方法与巧妙解题技巧。如教学反比例函数后，总结归纳学生平时练习中或考试中的反比例函数常见解题错误，并举出相应例题加以讲解。如忽视了反比例函数定义成立条件。譬如：如果函数y=（m+1）xm +3m+1为反比例函数，请求m的值。在解题过程中，有些学生只考虑反比例函数满足m2+3m+1的条件，忽略了反比例函数中“m+1≠0”这一隐含条件，而导致解题错误。当然，在解答反比例函数时，有些学生忽略了反比例性质中的限制条件；忽略了题目中图象所提供的信息，亦或忽略了实际问题中的自变量取值范围等。此外，在教师批改作业时，对于学生有创造性的、独特的解题方法，教师应写下肯定与赞扬性评语，以鼓励学生探究解题技巧与方法，使其更有学习信心与动力。