时间：2022-10-15 14:06:11
勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，于是千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统. 也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证. 1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法. 实际上还不止这些，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法. 这是任何定理无法比拟的. 下文选取部分较为精彩的证明方法，供同学们参考.
方法1：课本方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图.
利用三个正方形面积之间的关系，从而得到直角三角形三边之间的关系. 基于完全可以接受的朴素观念，既直观又简单，任何人都看得懂.
方法2：在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽. 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个相同的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的. 每个直角三角形的面积为■；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2. 于是便可得如下的式子：4×■+（b-a）2=c2，化简后便可得：a2+b2=c2. 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识. 他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.
方法3：美国第十七任总统J·A·加菲尔德（1831～1888）在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能，在1876年（当时他是众议院议员，5年后当选为美国总统），给出了勾股定理一个漂亮的证明，证明的思路是利用等积思想， 如下图.
S梯形ABCD=■（a+b）2=■. ①
又S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED=■=■. ②
比较以上两式，便得a2+b2=c2.
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁.
从勾股定理还推广出很多新的定理和应用，有兴趣的同学可以尝试证明. 如：
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和.”
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和.”
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.
1本章内容概述
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.
本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.
在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.
历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.
根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.
2编写时考虑的几个问题
2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程
勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.
教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.
这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.
2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感
我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.
我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.
本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.
课本习题是一种重要的教学资源。在总复习教学中，通过探索课本典型习题的知识生长点、能力发展点、思想方法蕴涵点，挖掘课本典型习题的潜在教学价值，有利于激发学习兴趣，提高复习教学效率；通过反思、拓展、应用，完成习题教学的第二次飞跃。培养学生探究质疑精神，提高创新意识和实践能力。下面就一课本习题教学进行的再认识和再设计问题予以探究.
题目现行华师大版9年级《数学》上第24章《图形的相似》复习题C组第20题：
（1）已知，如图1，MN是ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图2），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.
图1图21质疑证法
华师大版配套教师用书提示：记O为ABCD两条对角线的交点，过O作OO′MN，垂足为O′。
（1）由梯形中位线定理，易证所需结论.
（2）由梯形中位线定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可证AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.
根据提示，运用梯形中位线定理是关键，证明如下：
图3（1）证一：连结AC、BD交于O，过O作OO′MN，垂足为O′.
因为BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.
证二：如图3，分别连结AC、BD交于P，过P作PHMN于H，连结C′P，并延长交A′A的延长线于W。因为BP=PD，BB′∥PH∥DD′，则B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位线。所以BB′+DD′=2PH.
又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位线，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。证明（转化法）：如图2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分别延长AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）证得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.
问题分析对（1）的两种证明，关键性依据是“过梯形一腰的中点且平行于两底的直线必平分另一腰”，然后利用中位线性质获证，证明看似顺畅简洁，但现行华师大版数学教材中始终没有这样的学习内容，造成推理无依据，难消学生心中的疑虑。证法二中用到的结论“过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边”可以在教材P67开头部分找到依据.
这些结论如果补证，会增加学生负担；如果直接告诉这个结论，会增加学生理解难度。其实，还有适合学生的其他证法.
图4改进证法（1）如图4，分别过C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因为BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）可仿（1）证明.
2质疑猜想
问题（2），在不给学生任何提示的前提下，学生的思考几乎呈散放、无序的状态，又测量因误差，容易导致误猜，实践证明学生很难获得有效的猜想。中科院院士张景中认为，一个题目，光想不动手，往往不得其门而入，动手做，常会有启发，代数问题，把字母代成数试一试，几何问题，多画几个图看一看，这比你冥思苦想效果好得多，学生通过数学实验，动手算一算、画一画、量一量，手脑并用，获得直接的感性认识，能最大程度地发挥其主观能动性，有利于右脑的开发，并能由此引发奇思妙想，产生大胆的猜想和创新。正所谓“直觉的产生要以逻辑分析为‘前奏曲’”。由此可见，猜想不是凭空乱想。教学中要教给学生猜想的方法和猜想的途径。猜想的方法主要有：归纳、类比、合情推理。猜想的途径主要是：观察、实验、探索。教学改进设计如下：
（1）实践操作，感知确认。试一试，测量这些线段，通过计算，它们有什么的关系呢？有人测得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。还有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。谁的猜想更合理呢？再画一个图形试一试，发现：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.
（2）通过引入辅助元素，转化为熟悉的问题或已经解决了的问题，通过推理获得猜想.
3变式探究
变式1：如果再作如下移动又如何呢？若直线MN向上移动，使点C、D在直线一侧，A、B点在直线另一侧（如图5），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.
中国最早的一部数学著作――《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话,周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识,其中有一条原理:当直角三角形‘矩’的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5,这个原理是大禹在治水的时候就总结出来了的啊.”所以这个定理在中国又称为“商高定理”.从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了.稍懂平面几何的读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.如图所示:
我们用勾a和股b分别表示直角三角形的两条直角边,用弦c来表示斜边,则可得:
勾2+股2=弦2
亦即:a2+b2=c2
相传古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现了勾股定理,所以在西方亦称该定理为毕达哥拉斯定理,据说当他证明了勾股定理以后,欣喜若狂,杀牛百头,以示庆贺,故西方亦称勾股定理为“百牛定理”.如图为毕达哥拉斯树:
其实,我国古代人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多,如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年.其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52),所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的.
在稍后一点的《九章算术》一书中,勾股定理得到了更加规范的一般性表述,书中的《勾股章》说:“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦.”把这段话列成算式,即为:
弦=■
亦即:c=■
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽,赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合的方法,给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的,每个直角三角形的面积为■ab,中间的小正方形边长为b―a,面积为(b―a)2:
于是便可得如下的式子:
4×■ab+(b―a)2=c2
化简后便可得:a2+b2=c2
亦即:c=■
对角线长度=√(长+宽)，“勾股定理”是一个基本的几何定理，在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理。三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性，勾股数组程a²+b²=c²的正整数组(a，b，c)。(3，4，5)就是勾股数。即在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
（来源：文章屋网 ）
关键词：勾股数 有序性 规律
随着教育的发展，数学课已由原来的传授知识，逐渐地演变成让学生自己去认识知识，发现规律的手段，初中教材中有很多定理规律值得我们去进一步的探索、研究。如初中教材中的勾股定理规定：若正整数a、b、c具有关系a2+b2= c2，我们就称(a，b，c)为一组勾股数，下面我就勾股定理谈一谈它的有序性。
一、勾股数的数字规律
简单而又常用的复合勾、股、弦（ a、b、c）排列顺序勾股数有：（3，4，5），（5，12，13），(6，8，10)，（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），(13，84，85)……
从上列数组中可以发现，只要满足条件n3(n∈N)的任一自然数都可用它来充当勾数，再各有一股一弦，即可组成一个“勾股数组”。既然有如此结论，为了揭示其中的规律，也为了方便研究，我们先把数分为奇、隅两方面展开讨论：
1.若勾数为奇数
如(3，4，5)，（5，12，13)，（7，24，25)，(9，40，41)……
我们发现：b=c－1， c= (a2+1)／2。又因为b=c－1，可得b= (a2－1)／2。因此，我们可得到如下规律结论：若勾数为奇数，且勾数是大于3有正整数，勾数的平方数减l再除以2，商恰好为股数。勾数的平方数加l再除以2，商恰好为弦数。同时，我们可以根据勾股定理简单证明我们所得结论的正确性。
若n为奇数，设n=2k－1(k∈N且N2)，令n为勾数，按我们总结，则股数为[（2k－1）2－1]／2，即2k2－2k；弦数为[（2k－1）2+1]／2，即2k2一2k+l。根据勾股定理a2+b2= c2，可得（2k－1）2+（2k2－2k）2=（2k2一2k+l）2。计算可得，等式左边等于右边，上述结论正确。
2.若勾数为偶数
如(4，3，5)，(6，8，10)，(8，15，17)，（10，24，26)……
我们发现：b=c－2，c= (a2+4)／4。又因为b=c－2，可得b=(a2－4)／4。所以，我们也可以得到如下规律结论：若勾数为偶数，且勾数是大于3有正整数，勾数的平方减4再除以4，商恰好为股数。勾数的平方加4再除以4，商恰好为弦数。同样，我们也可以根据勾股定理简单证明我们所得结论的正确性。
若n为偶数，设n =2k (k∈N且N2)。令n为勾数，根据我们的结论，则股数为（2k）2－4／4，即k2－1；弦数为（2k）2+4／4，即k2+1。根据勾股定理a2+b2= c2，可得（2k）2+（ k2－1）2=（ k2+1）2。计算可得，等式左边等于右边，上述结论正确。
那么，能否把所有的勾股数表示成统一形式呢?答案是肯定的，在求解前先需证明一个结论：任何一组勾股数中必有一直角边为偶数。采取反证法证明。
证明：假设直角边a与b均为奇数，则由a2+b2=c2可知: c必为偶数，于是设a=2n-1，b=2m-1，c =2k，n∈N*，m∈N*， c∈N*，则a2+b2=（2n-1）2+（2m-1）2，即a2+b2=4(n2+m2)-4(m + n) +2， c2=（2k）2，即c2=4 k2。易知c2能被4整除，
而a2+b2被4整除余2，则c2≠a2+b2，与勾股定理相矛盾，于是假设不成立，则原结论成立。
由以上结论知，两直角边中必有一边为偶数。我们设 a为偶数，则由a2+b2= c2得: a2=（c+b）(c-b)，由a为偶数可得，（c+b）与(c-b)中必有一个偶数，若(c-a)是偶数，则c与b同为奇数或同为偶数可知(c+ b)为偶数。同理若(c+ b)为偶数，则(c- b)也为偶数。
于是，设c+b =2x， c-b=2y， a =2k，x∈N*，y∈N*，k∈N*，代入a2=（c+b）(c-b)可得:xy=k2。于是，取x=m2，y=n2，mn=k，可得: a=2mn，b =m2-n2， c =m2+n2。因此，所有勾股数都可以表示成一个统一的式子 (2mn，m2-n2，m2+n2)。且此时m∈N*，n∈N*，L∈N*且m >n≥1，因为勾股数都为正整数。
二、勾股数的计算模式
近些年来，各地试题中出现一些有关直角三角形勾股数的试题，这类题构思精巧，条件隐蔽，解题有一定难度。但只要认真观察，根据已知条件与题目结构特征，充分挖掘其隐含条件，探寻问题规律，构造方程计算模式，就能使问题轻松解答。
如勾股数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）……中，通过观察不难发现：32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，即当勾数为奇数时，每个式子第一个数的平方等于后面两个数(两个连续整数)的和，于是设第n个式子的三个数分别为(2n+1)，k，k+1，则有：(2n+1)2= k +( k +1)，解方程得：k =2n2+2n。将其带入上式可得方程为：(2n+1)2+(2n2+2n)2= (2n2+2n+1)2。因此，（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）就可构成一组勾股数。
我们再来观察勾股数：(4，3，5)，(6，8，10)，(8，15，17)，设勾数为2n，则股数为2n-1，弦数n2+1也可构成勾股数。
证明：（2n+1）2+（2n2+2n）2=4n2+4n+1+(2n2+2n)2
=（2n2+2n+1）2
所以，(2n+1，2n(n+1)，2 n (n+1)+1)也可构成一组勾股数。
有序性是客观事物存在和运动中表现出来的稳定性、规则性和相互的因果关系，数学知识也不例外，在教学中我们如果在学生掌握这些知识的基础上引导学生通过推理、猜想、证明，发现知识的各种规律，对培养学生深入分析问题，解决问题的能力具有重要意义，值得我们去探讨、研究。
参考文献：
本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用.它可用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形.为判断三角形的形状提供了一个有力的依据.
本节内容的难点是勾股定理的逆定理的应用.在用勾股定理的逆定理时，分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错;另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，这种“转化”对学生来讲也是一个困难的地方.
教法建议：
本节课教学模式主要采用“互动式”教学模式及“类比”的教学方法.通过前面所学的垂直平分线定理及其逆定理，做类比对象，让学生自己提出问题并解决问题.在课堂教学中营造轻松、活泼的课堂气氛.通过师生互动、生生互动、学生与教材之间的互动，造成“情意共鸣，沟通信息，反馈流畅，思维活跃”，达到培养学生思维能力的目的.具体说明如下：
(1)让学生主动提出问题
利用类比的学习方法，由学生将上节课所学习的勾股定理的逆命题书写出来.这里分别找学生口述文字;用符号、图形的形式板书逆命题的内容.所有这些都由学生自己完成，估计学生不会感到困难.这样设计主要是培养学生善于提出问题的习惯及能力.
(2)让学生自己解决问题
判断上述逆命题是否为真命题?对这一问题的解决，学生会感到有些困难，这里教师可做适当的点拨，但要尽可能的让学生的发现和探索，找到解决问题的思路.
(3)通过实际问题的解决，培养学生的数学意识.
教学目标：
1、知识目标：
(1)理解并会证明勾股定理的逆定理;
(2)会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形;
(3)知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数.
2、能力目标：
(1)通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力;
(2)通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识的能力.
3、情感目标：
(1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;
(2)通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.
教学重点：勾股定理的逆定理及其应用
教学难点：勾股定理的逆定理及其应用
教学用具：直尺，微机
教学方法：以学生为主体的讨论探索法
教学过程：
1、新课背景知识复习(投影)
勾股定理的内容
文字叙述(投影显示)
符号表述
图形(画在黑板上)
2、逆定理的获得
(1)让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来
(2)学生自己证明
逆定理：如果三角形的三边长有下面关系：
那么这个三角形是直角三角形
强调说明：(1)勾股定理及其逆定理的区别
勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理.
(2)判定直角三角形的方法：
①角为、②垂直、③勾股定理的逆定理
2、定理的应用(投影显示题目上)
例1如果一个三角形的三边长分别为
则这三角形是直角三角形
证明：
∠C=
例2已知：如图，四边形ABCD中，∠B=，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13求四边形ABCD的面积
解：连结AC
∠B=，AB=3，BC=4
AC=5
∠ACD=
例3如图，已知：CDAB于D，且有
求证：ACB为直角三角形
证明：CDAB
又
ABC为直角三角形
以上例题，分别由学生先思考，然后回答.师生共同补充完善.(教师做总结)
4、课堂小结：
(1)逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边(最大边)
(2)判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用.
5、布置作业：
a、书面作业P131#9
b、上交作业：已知：如图，DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG=8
求证：DEF是等腰三角形
板书设计：
探究活动
分别以直角三角形三边为直径作三个半圆，这三个半圆的面积之间有什么关系?为什么?
1、定义：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2=c2。
2、公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。
公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。
（来源：文章屋网 ）
关键词：勾股定理 问题情境 教学案例
问题情境教学手段是目前初中数学改革的最热门的话题之一，也是众多一线教师在教学实践中不断尝试探索的课题之一。所谓问题情境是指将生活中或大自然中出现的一些数学问题或数学事件，引发学生探索事件的本质或者解决问题的欲求。创设数学问题情境的本质在于揭示这些现象的真实规律，带动学生主动思考，激发学生探求知识的动机，使学生成为问题探索者的“小主人”，带着兴趣“无意识”的进入学习状态、主动学习。
在学习新内容――“勾股定理”之前，学生已经学习了关于三角形的一些基本知识，如三角形的面积公式，三角形三条边的不等关系，三角形全等的判定方法等等。勾股定理是初中数学几何部分非常基本和重要的内容。如何让学生加深对勾股定理的理解和掌握，对于初中数学三角形部分知识的学习是至关重要的。同时，这一节也是学生认识无理数的基础，体现了数学知识承前启后的连续性。
设计“勾股定理”这一课的主要目的是让学生初步掌握勾股定理的相关内容，并且学会在日常生活中发现数学、寻找数学、总结数学，从而激发学生对于学习数学的兴趣。在对本节教学内容的处理上，我们采用由特殊到一般、由形象到抽象这样一个过程，加深学生的理解程度。基本的教学程序是“提出问题-创设情境-交流谈论-问题解决-知识确认-延伸拓展”几个环节。具体操作可以分为以下五个步骤：
第一步：通过故事，引出问题。
首先，师生共同学习一个古老的故事。相传两千多年前，古希腊著名的数学家、哲学家毕达哥拉斯去一个朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情的欢乐，只有毕达哥拉斯看着朋友家的地砖发起呆来。原来，这位朋友家的地砖是用一块块黑白相间的直角三角形的地砖铺设而成，颜色对比鲜明，图案美观大方。
第二步：根据问题，创设情境。
通过故事创设的情境，调动学生的情绪进入思考状态。随后，教师呈现下面这幅图，看看与学生们想象的图像是否一致。
看图并提出下列的问题：1.通过观察，请问图中黑色的三角形和白色的三角形分别是什么三角形？2. 图中的每一块地砖分别是由几个黑色的三角形与几个白色的三角形拼成？
第三步：讨论交流，解决问题。
接下来让学生分组讨论上述问题。首先从特殊的等腰直角三角形入手。让学生随时报告他们的研究状况，发现了什么？并且及时把不同学生的不同研究方法向全班同学提出来。
结合同学们的讨论结果，教师可以提出这样的问题：如图2所示，同学们能指出上图中三个正方形P，Q，R的面积与数量关系吗？并进一步的提问：由此可见，直角三角形三条边之间有怎样的数量关系呢？
结合图形，开始引导学生进行如下的操作：在草稿纸上画出边长为3cm、4cm的直角三角形，来验证一下，对于刚才提出的问题，同学们讨论的结果是否是正确。从图形测量上发现，得到的结论是正确的。
第四步：总结归纳，确认结论。
首先，教师引导学生思考：是不是对于一般的直角三角形都是有这样的结论呢？我们在课堂上用《几何画板》演示一下，让学生能更加直观的感受到动态的变化，注意观察各个正方形面积的变化及他们之间量的关系，从而顺理成章的得到勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
教师可以在此基础上进一步介绍中国古代《九章算术》中关于勾股定理的描述和证明的问题。并且介绍关于“勾”、“股”和“弦”的含义。
从心理学的角度上讲，八年级的学生已经具有比较强烈的探究欲望，并且能在学习探索的过程中有自己的观点和看法，能与在同伴的交流碰撞中改进和完善自己的观点。那么，这一段关于勾股定理的情境设计，始终是强调以学生为中心，强调学生对知识的有意识探索，主动发现问题，主动思考问题，主动解决问题。在整个过程中，教师扮演的角色就是设计合适的“情境”，提供学习的“机会”，学生通过与同伴的合作，与教师的配合，进行有效率有意义的学习。在整个定理的推导过程中，学生的认知过程是按照从“特殊”到“一般”这样的阶段进行的。整个认知的过程循序渐进，学生能够思考；在总结归纳定理的时候，形象可知，学生易于接受。
第五步：拓展延伸，加深理解。
关于“勾股定理”这一节的课后拓展延伸问题，自然就是关于勾股定理的证明了。作为数学定理其证明方法也是最多样的，到目前为止，不完全统计的勾股定理的证明方法已经多达500多种。例如面积法、割补法等等，还有关于椅背上的新娘等故事，更是为勾股定理的证明方法添上了别开生面的一笔。
数学之外，勾股定理蕴含的深厚文化价值。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙的关系，将数与形完美的结合起来，是反映自然界基本规律的一条重要结论，闪耀着科学的智慧之光。同时，通过对勾股定理的学习，我们可以感受到不同文化背景下、不同时代背景下、不同国家的人，数学思维模式的不同特点。我国古代数学家侧重直观展示和实际应用计算，而西方数学家侧重于逻辑演绎和严密的推理，正是由于中西方文化火花的碰撞，才更加丰富了数学的历史，促进了数学的发展。
《全日制义务教育数学新课程标准》指出“数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程。”本人认为这里“互动”是关键，给学生留有空间、让学生有能力并有时间去自主思考是前提，问题情境教学或许是实现互动的一种有效手段。以上“勾股定理”情境教学法的课堂实践就是一种有效的尝试。
参考文献：
[1]杨静，浅谈高中历史教学中的探究性学习，《软件：教育现代化（电子版）》，2014.
[2]袁文生，初中数学教学中如何有效创设情境，《理科爱好者：教育教学版》，2011.
定理
【中图分类号】 G633.6
【文献标识码】 A
【文章编号】 1004―0463（2016）
21―0111―01
一、用“格点”教具，提高学生计算能力，突破勾股定理的导入瓶颈
在小学，格点面积的相关计算是学生能力方面的一个要求，学生通过观察不规则图形在方格中的位置，通过割、补、拼等手段，以及巧算“格点”图形的面积，就可计算出图形的面积。在初中阶段，勾股定理就是在“数”图形面积的过程中发现并引入的，“数”面积也是勾股定理证明、应用的关键。为了达到较好的教学效果，在教具上，重点突出格点图形面积的计算应用。首先用小木质黑板，画好20×20的方格，用皮筋当线段，图钉当顶点，在格点上“钉”出多边形，让学生采取对图形的拼、割以及“格点”计算等不同的方法，计算多边形图形的面积。通过训练，使学生更好地认识图形，突破图形面积的计算障碍，为学习“勾股定理”打下良好的基础。这里，通过运用教具进行数学教学 ，把抽象的数学知识具体形象地呈现给学生，提高了学生的图形感知能力。
二、用“拼盘”教具，加强学生数形结合能力，突破勾股定理的证明障碍
《勾股定理》的证明方法有很多，如何让学生能很好地理解这些方法呢？笔者认为，应用简易的教具去演示其中的奥妙，是教学中最好的方法。
笔者是这样做的：制作底为7cm×7cm，高约0.5cm的正方盒1个以及直角边为3cm×4cm的全等直角三角形4个，在教学中，如果拼摆这四个直角三角形，就可得到我国古代数学家赵爽以及美国总统的关于勾股定理的证明思想。
中国历史上的“青朱出入图”，是古人对勾股定理的无字证明。在教学时，可让学生自己先制作这一学具，通过拼割、移动图形，发现面积的变化，感受并体会勾股定理的奥秘所在。
教学中，运用这个教具，直观形象地使各图形之间的面积凸显出来，帮助学生分析数量关系，抓住其本质要害，从而使抽象的数量关系具体化、形象化，有效地培养了学生的观察、记忆、思维、想象能力。
三、用 “立体”教具，激发学生空间想象能力，解决勾股定理的分析困难
教具有能拼、能折、能拆等特点，利用这一特点，可使教学变得具有操作性和活动变化性。在应用勾股定理解决空间立体图形的问题时，学生总是想象不出图形中各线段之间的关系，无法理解空间问题，但适时利用圆锥、圆柱、长方体等教具，就可以让学生很轻松地解决这一问题。
例如，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆形柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3.14）
让学生自己做一个圆柱（圆柱侧面绕一层纸），在圆柱上用铅笔标注出A、B的位置，尝试用铅笔从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？用剪刀将圆柱侧面的纸（沿母线剪开），将圆柱的侧面展开。这时，学生不难发现，刚才用铅笔画的路线就是蚂蚁的走法，哪条线段最短显而易见。
四、用 “折叠”教具，强化学生的动手操作能力，增强学习勾股定理的信心
对于“折叠”类的数学问题，学生抓不住折前与折后数形之间的相互联系，无法将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使“折叠”题成了难题。为了促进学生空间观念的进一步发展，教师可以引导学生动手现场折叠废旧纸片，发现其中的等量关系。
我国新一轮数学课程改革确立了崭新的理念，在课程目标上突出体现基础性、普及性和发展性；在数学学习的内容强调现实的、有意义的和富有挑战性的；学生成为数学学习的主人，教师成为数学学习的组织者、引导者与合作者。初中数学中的格点问题就为体现这个理念而成为一个很好的素材。“格点问题”能够加强学生基础知识，提高基本技能同时能够逐步培养学生的运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力。 “格点问题”突出了“数形结合”的数学思想方法，考查了学生对图形的观察力和对数学规律的发现探究能力，还考查了学生的创新意识、决策意识和实践能力。“格点问题”现已成为中考中的热点题型，其题型多样，涉及的知识点十分广泛，综合性很强。
一、格点的含义
在平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为格点(也称为整点)。数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点或整点。
二、面积的计算问题
1.任何一个格点多边形的面积都是可以用割补法来计算的，当然有时也有特殊的方法。
例如.我们很容易用割补法求下列各个格点多边形的面积.。
2.勾股定理的发现与证明就充分显示了格点图的魅力
我国早在三千多年前，就发现并证明了勾股定理。分别计算三个正方形的面积，并比较它们的大小关系就能得到直角三角形中：两边的平方和等于第三边的平方，即AB2=AC2+BC2。
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
三、三角形相互关系问题
1.格点三角形的全等问题
例：以5×5的正方形网络，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出多少个？
容易得到四个这样的格点三角形，如图3。
图3
2.格点三角形的相似问题 转贴于
请你说明图4中的ABC与DEF相似。
思路是分别计算出每一条边的长，可以得出三边对应成比例即AB/DE=AC/DF=BC/EF
图4
四、线段的位置关系问题
研究图中与已知线段的三角形的相互关系可以知道已知线段的位置关系。
例 过点C画直线与线段 AB 垂直
图5
例1如图1，四边形A、B、C、D、E、F、H都是正方形，图中所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形H的边长为7 cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为cm2.
分析：这个图形是勾股树的一部分.根据勾股定理，易得SA + SB = SE，SC + SD = SF，SE + SF = SH .
SA + SB + SC + SD = SH = 7 × 7 = 49（cm2）.
解：正方形A、B、C、D的面积之和为49 cm2.
总结：这里的H相当于树干，A、B、C、D、E、F等相当于树枝.还可以向外面继续延伸画勾股树.由以上分析可以知道，对勾股树来说，树枝部分最外面的正方形的面积的和 = 最大的正方形的面积.大家可以思考一个与本题有关的问题，即所有正方形的面积之和是多少.
例2观察下列表格：
请你结合下页表1及相关知识，求出m、n的值.
解：设（a，b，c）为一组勾股数，a < b < c，则a2 + b2 = c2（a、b、c均为正整数）.
观察可知表格中的规律是：当a为奇数时，则b、c是两个连续的正整数，且b + c = a2.
如（5，12，13），则12 + 13 = 52；（7，24，25），则24 + 25 = 72.
所以有132 = 169 = m + n，又m比n小1，所以m + m + 1 = 169，m = 84，n = 85.
总结：（1）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10也是勾股数．
（2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；⑤9，40，41．它们的整数倍也都是勾股数.这些勾股数应当牢记，以便解题时及早发现其中的规律.
（3）设（a，b，c）为一组勾股数，a < b < c，a2 + b2 = c2（a 、b 、c均为正整数）.
①当a为奇数时，则b 、c是两个连续的正整数，且b + c = a2；
②当a为大于4的偶数时，则b、c是两个连续的奇数或偶数，且b + c =a2.
例3学习了勾股定理以后，有同学提出：“在直角三角形中，三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系.”让我们来做做实验!
（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1 mm）.较短的两条边长分别是a = mm，b = mm；较长的一条边长c = mm. 比较a2 + b2（填“>”，“ < ”或“ = ”）c2.
（2）画出任意一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1 mm）.较短的两条边长分别是a = mm，b = mm；较长的一条边长c = mm. 比较a2 + b2（填“>”，“ < ”或“ = ”）c2.
（3）根据以上的操作和结果，结合这位同学提出的看法，你猜想的结论是：.利用勾股定理证明你的结论．
解：（1）、（2）略.
（3）猜想的结论是：ABC的三边长分别为a、b、c.若ABC是锐角三角形，则有a2 + b2 > c2；若ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2 + b2 < c2.证明如下：
①当ABC是锐角三角形时，如图2，过点A作ADBC，垂足为D.设CD = x，则有BD = a - x.根据勾股定理，得b2 - x2 = AD2 = c2 - （a - x）2.
即b2 - x2 = c2 - a2 + 2ax - x2.故a2 + b2 = c2 + 2ax.
a > 0，x > 0，
2ax > 0. a2 + b2 > c2.
②当ABC是钝角三角形时，如图3，过B作BDAC，交AC的延长线于D.
设CD = x，则有BD2 = a2 - x2.
根据勾股定理，得AD2 + BD2 = AB2，（b + x）2 + a2 - x2 = c2．即a2 + b2 + 2bx = c2.
b > 0，x > 0，
2bx > 0. a2 + b2 < c2.
学过勾股定理的同学都知道，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这一定理也可以用图1表述为：以RtABC的三边为边长分别作3个正方形，则两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积。我们把图1叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树，为什么叫做勾股树呢？接着往下看，我们让图1中两个小正方形的顶部各自长出一幅新的勾股树，如图2，它们是第二代勾股树，它们的形状与第一代勾股树完全相同，只是尺码变小了。从第二代勾股树出发，又可以分别作出第三代勾股树，这样一生二、二生四、四生八，继续繁殖下去，就长成了图3那样的大树，整棵大树完全是由图1那样的基本勾股树组成的，我们把图3叫做勾股树，名副其实。
通过改变第一代勾股树中RtABC三边的比例，或者在繁殖过程中适当改变两条直角边的方向，可以得到不同形状的勾股树，如图4，学生一定会为如此美妙的图形感叹不已，在数学美的引领之下，在老师的启发之下，饶有兴致地研究更多的问题。
在图2中，正方形D、E的面积之和等于正方形B的面积，正方形F、G的面积之和等于正方形C的面积，正方形B、C的面积之和又等于正方形A的面积，所以正方形D、E、F、G的面积之和等于正方形A的面积。如果我们把D、E、F、G看作树叶，B、C看作树枝，A看作树干和树根，这样的情形可谓“万千枝叶皆归于根”，所有树枝、树叶的营养都来自于树根！
现在我们来研究基本勾股树（图1）的一些有趣的性质：
首先，我们把RtABC周围的正方形试着改成等边三角形、等腰直角三角形、半圆，看上述性质是否还成立？
对于图5-1、5-2、5-3的研究就留给读者朋友，等式S1+S2=S3对于这几个图形都成立。对于图5-4，我们设图中两个空白部分的面积分别为m、n，三个阴影部分面积分别为S1、S2、S3，由图5-3中两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积可知，（S1+n）+（S2+m）=S3+m+n，等式两边消去m+n即可得S1+S2=S3仍然成立。
然后，我们把相邻两个正方形的相邻两边组成的三角形作出来，看看这些形状各异的三角形，它们有共同的性质吗？答案肯定是有的。如图6-1，我们不难证明DFC≌ABC，故SDFC=SABC.那么ANE与BMG的面积也和ABC的面积相等吗？我们以BMG为例进行简要说明。
同理可证SANE=SABC，故基本勾股树周边的3个三角形面积都相等，都等于ABC的面积。
如果我们把ABC改成一般三角形，如图6-2，上述结论还成立吗？