时间：2023-09-18 17:34:36
关键词: 高中数学 高等数学 极限
现在的高中数学教材中有关于数列极限、函数的极限、极限的四则运算、函数连续性的知识,高考中也有相关的试题。高等数学的第一章也是极限。就教材的内容来说,在这一部分,高等数学教材的内容跟高中教材大体一样。如果我们仅仅按照教材来进行教学,就会使得教学内容出现不必要的重复,学生会对这门学科的价值产生怀疑。那么作为高等数学中第一块知识,其思想贯穿于高等数学教学始终的极限部分,我们在教学中应注重哪些方面呢?高中阶段在这一部分的教学更多的是注重概念、计算方面的教学。到大学阶段,前面两者可以弱化,我们应注重这样几方面的教学:
1.极限思想的发展史
我国古代哲学名著《庄子》记载着庄子的朋友惠施的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。随着天数的增多,所剩下的木棒越来越短,截取量也越来越小,无限地接近于0,但永远不会等于0。
1700年前,我国伟大的数学家刘徽提出了割圆术:“割之弥细,失之弥少,割之又割,以至于不能割。”也就是用圆的内接n边形周长逼近圆周,当n无限增大时,n边形越来越接近圆周,相应的n边形周长越来越接近圆的周长,也就是n边形周长的极限为圆的周长的精确值。
17世纪,牛顿、莱布尼茨在总结了大量数学家的成果之后,分别独立地创立了微积分,并很快地应用到实际问题中,大大地推动了当时的科技和经济的发展。但当时的微积分理论基础是建立在有逻辑矛盾的无穷小概念上,所以十分不稳固。当时,牛顿把变量称为流量,流量的微小改变量称作为瞬,也就是无穷小量。牛顿认为瞬是非零的改变量,但在他的一些文章中又有“被它乘的那些项可以算作没有”,前后显然矛盾。这也就是数学史上的第二次危机。之后,法国数学家柯西创立了极限理论,理论中给出了“以零为极限的变量为无穷小量”的精确定义。随之,德国数学家魏尔斯特拉斯建立了纯粹数学运算的极限理论。到这时,第二次数学危机终于被消除了。
2.极限思想方法的应用
应用极限思想方法解决问题一的般思路是:对需计算的未知量,先构造一个与之有关的变量,而这个变量的极限刚好是未知量的精确值,然后取这一变量的极限,从而得到这一精确值。总的框架是将动态问题通过在局部范围内不变代变转化为静态问题,然后将静态问题通过初等数学方法解出未知量的近似值,最后通过无限变化即取极限得出动态问题的精确值。下面从微积分中的导数、定积分概念的引入进行阐述。
1.求变速直线运动的瞬时速度
设物体沿直线运动,s为物体从某一选定时刻到时刻t的路程,则s是t的一个函数s=s(t)。需要确定物体在某一时刻t的瞬时速度v(t)。我们可以将这样一个变速运动动态问题在局部内近似的看成匀速运动,即是v(t)≈。通过初等方法得出=,当t充分小时,速度来不及发生多大的改变,也就是t越小,越接近v(t),所以根据极限的定义v(t)==。
2.曲边梯形面积的求法
设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,当x∈[a,b]时f(x)≥0。由曲线y=f(x),直线x=a,x=b与x轴围成的平面图形称为曲边梯形面积。要求此曲边梯形面积。首先在区间[a,b]中任意插入n-1个分点a=x
3.极限中所蕴含的哲学思想
极限蕴涵了矛盾对立统一法则。取极限的最终结果,变量转化成常量,体现了变与不变、运动与静止、近似与精确的对立与统一规律。同时,取极限,使变量转化为常量、近似值转化为精确值,体现了量变到质变的规律。
参考文献:
[1]同济大学应用数学系.高等数学及其应用(上册)[M].北京:高等教育出版社,2004.
【关键词】高等数学 极限 求法
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0146-02
极限是微积分的一个重要概念，是贯穿微积分的一条主线，极限的计算又是学好微积分的重要前提条件。正因为数学之美妙不可言，数学中解题方法的多样性更是引人入胜，许多人都在探索着高等代数中求极限的方法并有所成效。在前人的基础之上我对求极限的方法作了进一步的归纳总结，希望能让读者从中受益，能让初学者懂得将静态的、内隐的教学规律转化为动态的、外显的探索性的数学活动，从而对数学学习的认知发生一个“质”的飞跃。
一、由定义求极限
极限的本质――既是无限的过程，又有确定的结果。一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。
然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。
二、利用函数的连续性求极限
此方法简单易行但不适合于f（x）在其定义区间内是不连续的函数，及f（x）在x0处无定义的情况。
三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限
极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。
四、利用两边夹定理求极限
定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A
两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数（或数列），并且使其极限为同一值。
注意：在运用两边夹定理求极限时要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。
五、利用两个重要极限求极限
六、利用单调有界原理求极限
单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题：一是数列的单调性，二是数列的有界性；求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。
利用单调有界原理求极限有两个难点：一是证明数列的单调性，二是证明数列的有界性，在证明数列的单调性和数列的有界性时，我们通常都采用数学归纳法。
七、利用洛必达法则求极限
八、利用等价无穷小代换求极限
在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时，只能代换分子、分母中的乘积因子，而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上，在利用等价无穷小代换的方法求极限时必须把分子（或分母）看作一个整体，用整个分子（或分母）的等价无穷小去代换。
九、利用泰勒展式求极限
运用等价无穷小代换方法求某些极限，往往可以减少计算量，使问题得以简化。但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限，而对两个无穷小量非乘或非除的极限，对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则及等价无穷小代换方法，须用泰勒公式去求极限。
十、利用级数收敛的必要条件求极限
求极限的方法有很多种，在解题时，这些方法并不是孤立的，常常一个问题需要用到几种方法。根据题目给出的条件，选择适当的方法结合使用，能使运算更简捷，起到事半功倍的效果。同时又能加强对微积分知识整体上的深层次认识，对学好微积分是大有裨益的。
参考文献：
[1]徐荣贵.求极限的方法和技巧[J].四川工程职业技术学院学报，2006（1）.
[2]华东师范大学数学系.数学分析上册（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001.
【关键词】极限；几何意义；数列
【基金项目】国家自然科学基金（11501561）；中国矿业大学基本科研业务费项目（2014QNA58）.
一、引言
极限思想贯穿整个高等数学始终，是高等数学学习的基础，高等数学中的许多概念及运算法则都是建立在极限的基础之上，因此，在高等数学教学中，使学生充分理解极限的定义、内涵和性质等是十分必要的.而通过几何意义体现出的生动活泼的极限思想，能够提高学生的学习兴趣，加深学生对极限本质的认识，使得这一概念不再仅仅是一种形式化的表达.
在教学过程中，首先，从几何意义的角度给出直观的几何解释，提起学生的学习兴趣，使得学生对概念或性质等有个直观的印象和初步的理解，然后，进行严格的理论推导，可使学生理解起来相对容易，更加容易掌握定义和性质的内涵，会收到较好的教学效果.
二、数列极限的定义和几何意义
（一）定义（ε-N语言）[1]
对于数列{xn}及常数a，ε>0（无论多么小），总存在正整数N，当n>N时，恒有|xn-a|
（二）几何意义
在定义中|xn-a|
随着n的增大，xn代表的点越来越“密集”在点a的附近.
结合数列的几何意义可以更加有效地向学生讲解数列极限的有界性、唯一性、保号性以及数列子列的收敛性等性质.
三、从几何意义的角度理解数列极限的性质
（一）有界性：如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界
分析设 limn∞xn=a，根据上述几何意义，对于任一给定的正数ε，一定都有正整数N，数列{xn}从第N+1项开始都落在区间（a-ε，a+ε）里面，不妨取ε=1，那么{xn}从某一项开始都落在区间（a-1，a+1）里面，剩下的有限项自然是有界的，取一个既包含区间（a-1，a+1）又包含剩下的有限多项的闭区间[-M，M]即可证明结论成立.
（二）唯一性：如果数列{xn}收敛，则极限唯一
（四）数列子列的收敛性：如果数列{xn}收敛于a，则它的任一子列{xnk}都收敛于a
分析设 limn∞xn=a，根据极限的几何意义，对于任一给定的正数ε，都存在正整数N，数列{xn}从第N+1项开始都落在^间（a-ε，a+ε）里面，在区间（a-ε，a+ε）外面只有数列{xn}中的有限项，而{xnk}作为{xn}的子列，自然也只有有限项落在区间（a-ε，a+ε）外面，于是可以找到正整数N*，使得{xnk}从第N*+1项开始都落在区间（a-ε，a+ε）里面，这就说明{xnk}同样收敛于a.
对于函数f（x）的极限，可以类似地讨论其几何意义并从几何意义的角度分析其性质，这里就不再累述.
四、运用几何意义分析问题并寻找证题思路
部分关于极限的证明题，同样可以从几何意义的角度来理解，从而找到解决问题的正确思路.
分析因为 limk∞x2k-1=a且 limk∞x2k=a，根据几何意义可知，对于任一给定的正数ε，可以找到共同的正整数N，数列{x2k-1}和{x2k}均从第N+1项开始都落在区间（a-ε，a+ε）里面，在区间（a-ε，a+ε）外面只有{x2k-1}和{x2k}中的有限项，因此，在区间（a-ε，a+ε）外面必然只有数列{xn}中的有限项，这就说明了{xn}也是收敛于a.
在高等数学中，类似的问题还有很多，例如，导数[3]、微分中值定理、定积分等等，均有其几何意义，从几何直观出发对相应的问题进行分析可以加深对概念或问题内涵的理解，使得抽象复杂的数学问题变得形象直观，在教学中合理运用这些几何意义，不仅能够使得教师的教学活动事半功倍，更能提高学生分析问题和解决问题的能力.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学：上册[M].北京：高等教育出版社，2007.
[关键词] 极限 技巧 函数 等价无穷小
一、极限在数学中的地位及作用
极限的本质――既是无限的过程,又是确定的结果。极限理论有高度的抽象性、广泛的应用性和普遍的指导性,它与初等数学有着内在的必然的本质联系。它从数学思想方面指导学生由静态到动态、由具体到抽象的发展;从数学方法方面指导学生由有限项求和到无限项求和的发展;从数学论证发面指导学生由定性的证明到定量的证明的发展;研究实数运算方面指导学生既要了解具体的运算过程,还要了解运算结果的唯一存在性。因此,学好极限理论,可以帮助学生充实数学思想和数学方法,培养浓厚的学习兴趣,提高学生的数学思维能力,使学生掌握灵活多样的计算方法。极限是数学分析的基础知识和基本理论,它具有动态性和抽象性的突出特点。数学分析这门课程研究的对象是函数,而研究函数方法就是极限,数学分析中几乎所有的概念都离不开极限,从方法论的角度讲,用极限的方法来研究函数,这是数学分析区别于初等代数的最显著的标志,所以说极限是数学分析中的重要概念,也是数学分析中最基础最重要的内容。极限是高等数学的理论基础,是一种重要的思想和方法。高等数学是以函数为研究对象,极限是重要的思想和方法,以微积分学为主要内容的一门学科。极限理论和极限方法在这门课程中占及其重要的地位,许多重要的概念如连续、导数、定积分等都是由极限定义的,它将高等数学的各个知识点连在了一起。而极限运算是高等数学的基本运算,所以全面掌握求极限的方法于技巧也是高等数学课程的基本要求。总之,极限理论对初等数学有着普遍的指导意义。这种指导作用,将随着教学改革的深入发展,越来越突出地表现出来,显示出极限理论的强大生命力。
二、变形法求极限的技巧
值得指出的是,虽然我们将变形法分成了五种形式,但在实际应用时可能需要交叉使用,这在例题种已有体现.
三、巧解 1∞极限
实践中,求未定型的极限的方法很多,但有些时候如果合理的使用等价无穷小量代换方法,则可以受到事半功倍的效果,很多时候甚至比洛必达法则很要简单。
总之,数学问题是千变万化的,解题方法灵活多样,虽然我们不可能归纳出题目的一切类型,更不可能找到解题的神方妙法。但是人们在长期的解题实践中,总结了丰富的经验,寻找了一些求解数学问题的科学思维方法和关于极限的计算,从上面的例子中,可以看出只要灵活地综合运用各种方法技巧,就能有效地解决极限的计算问题。
参考文献:
[1]范锦芳.工科数学[M].北京:高等教育出版社,1993.
[2]任天视.高等数学习题集[M].成都:四川大学出版社,1992.
[3]黄光谷,余尚智.高等数学方法导论[M].1996.
[4]同济大学应用数学系.高等数学[M].1997.
[5]徐荣贵.极限的方法与技巧[J].四川工程职业技术学院学报,2000,(6).
关键词：高职；极限；创新
中图分类号：G718.5 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）09-0137-03
高职教育的目的就是为社会培养高素质、高技能人才，高职数学教育必须紧紧围绕这一目标确立自己的指导思想，高职学校教育的核心是培养学生的实践能力和创新精神，为社会培养生产一线的管理人才和技术能手，人才培养的目标是注重“实用型”，而不是“学术型”和“理论型”。因此，必须转变普通高校强调逻辑的严密性、思维的严密性的一般性要求，而将内容的应用性、思维的开放性和提高学生创新能力作为高职数学教育重点。
在高职高等数学教学实践中，根据学生的实际，将高职数学内容淡化理论推理，注重具体应用，收到良好效果.。极限思想方法是高等数学中最基本的思想方法，因而极限的计算对高等数学的学习显得尤为重要。极限的运算题目类型多，而且技巧多，灵活多变。在教学中我们注重培养学生举一反三能力，使学生理解能力获得提高，进而提高学生分析问题和解决问题的能力，进而为学生创新能力的发挥创造条件。为此，本文希望通过对求极限方法的分析、归纳、总结，以有益于对学生创新能力的培养。
一、利用“极限的四则运算法则”求极限
例1?摇求极限■■.
解：■■
=■=■
=■
=■=1
二、利用“无穷小的运算性质”求极限
无穷小的运算性质：有界函数与无穷小的积是无穷小。
例2 求极限■xsin■.
解：当x0时，函数sin■极限不存在，不能利用极限的四则运算法则计算，但sin■≤1，即sin■为有界函数，从而利用无穷小的运算性质可得，■xsin■.
三、利用“无穷小与无穷大之间的关系”求极限
设在自变量同一变化过程中，如果f（x）是无穷大，则■是无穷小；反之，如果f（x）是无穷小，f（x）≠0，则■是无穷大.
例3 求极限■■.
解：由于分子、分母的极限都不存在，不能利用商的极限运算法则.但■■=■.由无穷小与无穷大之间的关系可知，■■=∞.
四、利用“两个重要极限”求极限
两个重要极限：■■=1，■（1+■）x=e.
例4 求极限■■.
解：令t=x-a，则当xa时，有t0，则■■=■■=1.
例5 求极限■(■)x.
解：■(■)x=■（1+■）x=■（1+■）-xg（-1）=■=■.
五、利用“等价无穷小”求极限
常用的等价无穷小当x时，
x∶sinx，x∶tanx，x∶arcsinx，x∶ex-1，x∶ln（1+x），1-cosx∶■x2.
例6 求极限■■.
解：法一：■■=■（■-■)=■■-■■=1-1=0.
法二：■■=■■=■■=■x（1-cosx）=0.
例7 求极限■■.
解：对于例7，不能使用例6的法一来做.
■■=■■=■=0.
例8 求极限■■.
解：■■=■■=■■=■■■=■.
例9 求极限■■.
解：当x0时，有tanx3∶x3，代入可得：■■=■■=■■=■.
说明：等价无穷小代换是将分子或分母中的乘积形式的无穷小因子整体代换，而对于分子或分母中的两个无穷小之差，不能直接代换，应先化简成乘积因子的形式再代换。
六、利用“函数的连续性”求极限
设函数y=f（x）在点x0处连续，则有■f（x）=f（x0）.
例10 求极限■■.
解：函数f（x）=■在x=0点连续，可得■■=■=2.
七、利用“洛比达法则”求极限
洛比达法则：（以xx0为例）设函数f（x）和g（x）满足，（1）f（x）和g（x）在点x0的附近可微（x0可除外），且g'（x）≠0；（2）当xx0时，f（x）和g（x）都趋于零或都趋于无穷大；（3）■■=A（或∞）.则■■=■■=A（或∞）.
例11 求极限■■.
解：当x0+时，有lntan2x∞，lntan3x∞.可利用洛比达法则计算：■■=■■=■■■=■■■=■g■=1.
综上所述，以上几种计算极限的方法是在高职高等数学学习中常用的方法，往往一道题能有几种方法。通过以上对求极限方法的分析、归纳、总结，培养学生多方面、多角度地思考问题，它极大地活跃了学生的思维，提高了学生的创新能力.
总之，高等职业院校肩负着培养具有创新能力的应用型和技能型人才的历史重任，我们只有通过对课程教学、课堂教学等方面的改革和创新，才能培养更多的具有创新精神和创新能力的优秀人才。创新能力是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的根本动力。在教学中，选择合适的教学内容，创新与完善高职数学教学的方法与手段，不断提高教学质量，才能有效培养与提升高职生的创新能力及其综合素质，才能为市场和社会输送高素质的职业人才。教师要充分发挥高等数学课程创新能力的培养功能，构思激发创新意识和创新能力培养的教学策略，实现高等数学的创新教育。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]同济大学数学系.高等数学（第六版）上册[M].北京：高等教育出版社，2007.
【关键词】极限；计算；错误剖析；对策分析
一、引言
高职院校的教学是培养学生掌握从事本专业领域实际工作的理论基础知识和职业技能，各专业的理论专业课程都要以数学为基础，而极限又是高等数学中最重要的概念之一，也是研究微积分学的重要工具，微积分学中的许多重要概念，如导数、定积分等，均通过极限来定义.因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分学的前提条件.当前形势下好多高职高专学生对极限理论理解得不深，掌握不够透彻，做极限题目时往往出错，各种错误的原因需要进行剖析，并分析出解题的对策方法.
二、极限计算中常见错误剖析
（一）不注意公式、法则、定理的使用条件
三、极限计算中错误的对策分析
以上的四种常见求极限错误是笔者在日常教学过程中总结和梳理的.因为高职高专的学生基础相对比较薄弱，概念的理解和运用就更加困难，学生容易犯以上几种错误.我觉得，今后的高职高专院校的数学教学，一定要从最基本的原理方法着手，仔细慢慢地讲解，需要培养严谨的思维，不能一味地为了解决问题，得出结果，而不注重细节过程的推导.
日常教学中，除了正常运用求解极限的一些方法，我们还应该教育学生综合运用各种数学解题思想，如“化归思想法”：不是直接寻求问题的结论，而是通过数学内部的联系和变化，把待解问题转化成某个熟悉的，或已经解决的，或容易解决的问题，这样就可化复杂为简单，化未知为已知，使问题得到解决.“建立数学模型法”：要解决各类实际问题，建立数学模型是十分关键的第一步，同时也是较为困难的一步，建立数学模型的过程，是把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，对培养学生的数学素质和能力很有帮助.
四、结语
极限从萌芽期到发展、完善，是数学家们在实践、应用与研究过程中思想的结晶.微积分以极限为基础，利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性等概念.可以说极限思想是微积分乃至全部高等数学中不可缺少的重要方法.总而言之，高职院校学生必须要认真学习极限运算，借助于各种快捷有效的常用方法来完成解题，同时需要配合有效快捷的教学手段来实现极限求解方法的渗透与理解，目的是促进学生提高自主解题能力，举一反三，拓展思维，不仅可以自如和准确解答各类相关数学极限问题，更要将这种解题能力和思维模式应用于日常生活中，直到理论与实践相结合，达成素质培养的最终意图.
【参考文献】
[1]李冬梅.极限运算中的几种数学思想.渤海大学学报，25（1）.
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