时间：2023-09-14 17:44:22
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高中数学椭圆的相关知识点，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、情境导入，激发学习兴趣
数学基础知识是数学理论的基本，主要表现为概念与定义，如复数的定义，圆的定义，椭圆的定义等；亦是对基本公式的变换，如三角函数公式的变换；还可以是定理以及特殊几何体性质等。数学基础知识较为抽象且枯燥，往往激发不起学生的学习兴趣，为此，教师必须选择适当的教学方法来激发学生的学习兴趣。
从教学实践可以看出，情境导入是提高学生学习兴趣的有效手段。教师在数学概念知识教学时进行情境导入的方式有很多，但是无论选择哪种方式，都必须以学生的实际认知水平为基点。而且数学概念知识教学的情境导入一定要遵循自然性、简便性和兴趣性等原则，从生活实际出发寻找素材，创设情境。
二、引导探索，掌握基础知识
新课标要求高中数学基础知识的教学不应只停留在记忆上，而是提倡引导学生探索和掌握学习方法。因此，高中数学基础知识教学方式应多样化，不应只局限于单一、被动的方式。如定义的教学中，教师应转变观念，运用自己的知识和经验引导学生积极探索，树立探索教育的观念，让学生在探索的同时掌握知识的相关概念。
如在教椭圆的定义时，教师提出两个问题：
将细绳的两端都固定在木板的同一点处，并套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出什么样的轨迹？
如果将绳子的两端拉开一段距离，将圆心分开，形成两个定点，绳子两端固定在这两个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，此时笔尖画出什么样的轨迹？在这一过程中，移动的笔尖应满足什么几何条件？
在教师的引导下，学生拿出事先准备的工具，通过实际动手操作来探索椭圆的形成，积累感性经验，总结椭圆的定义。这样不仅让学生掌握了相关知识点，还培养了学生的动手操作能力、观察能力和总结归纳能力，激发了学生的学习兴趣，提高了学生学习的主动性。
三、列举实例，归纳基础知识
实例是使抽象事物形象化最直接的手段。在高中数学基础知识教学过程中，教师可采用列举实例的方式，引导学生归纳基础知识，体验基础知识的形成过程。
如在教“集合”时，教师给出一系列对象：1到30内的所有偶数；我国近几年内发射的所有卫星；2013年大众生产的所有汽车；班级所有的学生；我国某市所有的肯德基店；方程x2+3x-2=0的所有实数根。学生通过仔细观察和相互交流，概括出这六个例子的特征，归纳出集合的概念。
列举实例使学生明确集合的概念，不仅达到了教学目的，还培养了学生的归纳、总结能力。列举实例还帮助学生形成数学概念，一个数学概念的学习和形成需要大量实例做基础，这样才能有助于学生更加透彻地理解概念。另外，在教学过程中，教师应多提供给学生一些参与机会，这样才能更清楚地理解问题，从而掌握相关概念。
四、课后练习，巩固基础知识
在教学中应该做到，学生能够对基础知识进行理解，在此基础上进行巩固，从而掌握数学中的概念、定义以及性质。比如知晓椭圆的定义、集合的定义，并且掌握各知识点的公式；比如椭圆焦点，三角函数公式变化。
我们经常看到这样一个上课场景：
教师：同学们，我们今天开始学习新知识，抛物线。（而后，教师开始在黑板上以例题为依托讲解，再次证明课本上的知识点）
学生：（认真听讲）
课结束后：教师布置作业（课后习题）。
这是最简单的教学场景，但是学生掌握了多少知识？公式是否记住了？概念是否清晰？
因此，教师应让学生通过课后练习，利用概念去发现问题、解决问题，这样学生才能灵活运用数学知识，此环节也是数学基础知识教学的一个重要环节。基础知识是否能够巩固成功，直接关系着学生解题能力的形成。
五、总结
在素质教育理念逐渐推广的今天，高中数学教学也不再以高考为唯一的指挥棒，而开始重视培养学生养成良好的思维和学习习惯，进一步发展学生的数学品质.这一转变也直接影响了高中数学课堂的教学方式，把学生作为学习的主体，重视学生能力的发展开始成为教师关心的问题.笔者认为有效的课堂提问是高中数学课堂中向学生传授知识，同时增强学生能力的重要教学方式.在笔者开展本课题的研究中发现，课堂提问是许多高中数学教师经常采用的教学组织形式，但是有些教师的提问存在过于表面化，缺乏系统性和连贯性，不能实现师生之间的有效互动，最终导致提问没能发挥应有的效果.那么如何提高高中数学课堂提问的有效性呢？
一、课堂提问要有针对性，重质不重量
教育心理学认为学生的学习受到学生已有的知识经验的影响，特别是建构主义学习理论别强调，学生的学习并非漫无目的的，在以往的学习中以及生活中学生已经积累了大量的经验，教学主要就在于引导学生从原有的知识经验中生长出新的经验.从这一点出发，我们在数学课堂提问上就要注意结合高中学生的实际情况，提一些具有针对性的问题，这些问题既不能太易也不能太难，太难容易让学生失去信心，太容易则不能激发学生的学习兴趣，使提问失去价值.同时，在课堂上教师的提问也不能太多，问题太多会导致重点不突出，学生穷于应付这些问题，没有消化的时间，也会造成学生对知识点的掌握程度不高.而且由于课堂提问既多又没有针对性，学生难以理解知识的产生过程，逐渐就会对课堂教学失去耐心，最终失去学习数学的兴趣.所以，在高中数学课堂提问上，教师一定要精心设问，提高问题的质量，设置合理的问题启发学生的思考，激发学生探究知识的积极性和主动性.例如某教师在讲解函数图象的相关知识时，并没有直接向学生讲述需要掌握的新知识，而是通过提问让学生先回忆一些最基本的函数图象，在讲解如何绘制y=x-2+1的图象前，先设置了一个让学生自己动手先绘制出函数y=x和y=x虻耐枷蟮奈侍猓在学生绘制出这两个函数图象的基础上，教师顺势引导，大部分学生很快也就画出了函数y=x-2+1的图象.这样的问题设置，不仅是适应学生思维特点的，而且还有承上启下，激发学生积极思维和学习兴趣的作用，如果在这节课上教师直接让学生画出函数y=x-2+1的图象，可能就会有学生会有些困难.为此，高中数学课堂提问要有针对性，不在多而在精.
二、课堂提问要把学生作为学习的主体
研究中笔者发现很多教师在设置课堂提问时问题设计得很好，而且也是精心准备过的，但是在实践操作中却经常会出现教师提问，学生回答后教师没有做出适当的点评，也没有利用学生的回答启发学生进一步思考.通常情况是学生刚回答完，教师立刻就接住学生的回答一讲到底，进而失去了提问的意义.而且如果长期这样，学生也会逐渐对思考问题、回答问题失去兴趣，易造成学生对问题的麻木和对教师的严重依赖性，不利于学生思维的发展. 为此，我们强调在高中数学课堂提问上教师要注重发挥学生的主体作用，把学生当做学习的主人，以学生的对问题思考和回答为出发点，启发学生的思维，特别是对一些重要问题和关键环节的讲授，教师要学会为学生的思维发展留有余地，让学生在思考和探索问题的过程中享受思考的乐趣.例如在讲授双曲线相关知识点时，通过教师引导学生得出了平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线后，教师随即提出问题：在什么条件下动点的轨迹是双曲线？学生通过分析可以得出|PF1|-
|PF2||=常数（小于|F1F2|）时是双曲线.在此基础上教师就可以以学生的回答为出发点，将条件进行一些改变，让学生做深入的思考.比如说如果将小于改为大于或等于，其点的轨迹是什么呢？由于这些深入的问题是基于学生已经在椭圆的概念中学习过的知识为出发点所设计的，所以学生在教师的引导下自然会产生联想，从而有利于帮助学生深刻理解椭圆以及双曲线的相关概念.从这一点我们可以看出，教师在教学提问中应注重问题的设置要以学生为出发点，同时及时地了解和运用好学生的反馈，才能让自己的提问发挥出更大的效果.
三、课堂提问要结合教学情境
大多数教师在正式授课前会对自己的教学过程进行精心的设计，包括课堂提问在内，教师都会做好充足的准备.但是，教学情境和学生在教学过程中的反应却是教师不能够百分之百掌握.所以，不同的教学情境也会让教师的提问起到不同的效果.为此，在高中数学的课堂提问上教师除了需要依据教学内容合理设计问题外，还需要结合教学实际包括学生实际和课堂环境的实际情况等方面，选择最佳的问题情境，结合现状构建更加合理的数学模型，引导学生自然而然的进入问题情境，从而激发学生探索欲和学习的积极性.例如在讲授有关两直线的位置关系的相关知识点时，教师随即利用课堂环境中现有的条件，引导学生观察教室内的房梁中的任何一条直线与地面上的一条直线的位置关系.由于每个学生都处于这个环境中，所以教师的这一设置一下就激发起了学生的好奇心，所以他们每个人都会去想、去看，并得出自己的答案.但是谁的答案是正确的还不确定，在这种情况下教师再引导学生开展探讨，并最终得出正确结论，这个过程中学生的兴趣增强了，注意力也提高了，自然课堂教学效率也就提高了.但若果教师在新课一开始就直接告诉学生答案，很多学生不一定能理解，即使接受了这个知识点，也不利于牢固记忆.所以，合理的运用学生所处的教学环境，可以使学生很快进入到问题情境中去探讨数学问题，理解数学知识的来龙去脉，同时也更加有利于激发学生研究问题的积极性，提高课堂效率.
总之，课堂提问既要讲究科学性，又要讲究艺术性.问题的设计要符合学习内容，并且从学情出发，把握提问的密度和难度，问题设置得好，能激发学生学习回答问题的兴趣，激活学生的思维.要想把问题设置得好，需要我们教师要做有心人，要根据教材内容、学生的认识规律和学生心理特征来精心设计课堂提问，把问题设在重点处、关键处、疑难处，这样，就能充分调动学生思维的每一根神经，引导学生有效地参与学习过程，从而培养学生学习的能力，提高课堂教学的效率.
类比思维一直是数学学习中不可缺少的一种学习思维。它能让学生通过对A知识内容的学习进而激发出对B知识的学习热情。培养学生的类比思维能让学生猜想与发现结论，从而帮助寻找解题思路。
[关键词]
类比思维;联想;双曲线
从事高中数学教学以来，笔者发现，教师在课堂教学中不仅要创设教学情境，激发学生学习兴趣，还要培养学生诸如逆向思维、归纳思维、整体思维、类比思维等。基于高中数学知识点多且抽象复杂，其定理、概念、性质和解题方法要求学生具有一些数学思维，其中类比思维是学习数学知识与解题中运用较为普遍且有效的思维方式之一。类比思维能让学生通过A知识内容的学习进而激发学习B知识的引路学习方式。如何培养学生的类比思维，运用有效的方法学习高中数学与解题会取到很好的效果。
一、类比思维论述
类比就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比思维是从两个对象之间在某些方面的相似关系中受到启发，从而使问题得到解决的一种创造性思维。类比思维具有联想、启发、假设、模拟等多种功能，在创造性思维中居于重要的地位。
二、类比思维与高中数学学习的关系
类比思想由来已久，我国古代著名木匠鲁班看到带有齿轮状的树叶，他根据类比思想发明了一种砍树工具――锯;还有著名的物理学家牛顿运用类比思维将自由落体运动与天体的运动作比较，最终发现了万有引力定律。在高中数学教学与学习中，教师不妨培养学生的类比思维，运用类比思想深入分析和探讨类比方法在课堂教学中的应用。
首先，教师应当根据教材内容编排的特点，在传授新知识时，可以有意识地引导学生，通过类比思维方法得出所要讲授的新知识，以此慢慢让学生掌握类比推理的方法。其次，教师在对学生进行阶段性知识总结复习时，可以借助相关的知识进行类比，以培养学生对相关知识进行类比的习惯。最后，在对学生讲述如何解题的教学中，教师通过类比引导学生进行推广数学命题或者通过类比，从中寻找解题的途径，以达到深化对题目相关考查知识的理解，从而掌握这些数学思想方法。
三、类比思维的运用――以椭圆、双曲线教学知识为例
高中学习中，很多知识点学习时可以通过对比学习，这种对比就是常说的类比思维。下面将以圆锥曲线中椭圆、双曲线知识为例，谈谈如何进行类比思维。教师在讲解椭圆和双曲线教学内容的时候，可以展示如下表类比对象。
通过类比二者的不同和相同处，让学生透彻理解并掌握椭圆和双曲线这两个对象的表达式和图像及性质。为了更好的说明类比思维在数学学习中的运用，下面选取椭圆和双曲线部分性质给予论证。
（一）关于焦半径公式的运用
类比思维是创造性思维的一种形式，有时我们可以从一种研究对象的结论出发，往往能创造的喜悦不可思议。焦半径公式在圆锥曲线学习时，会经常使用到。下面用一道例题看看这两个知识有何区别。
例1、已知P（x0，y0）是椭圆[x2a2+y2b2=1]（a>b>0）上一点，[F1，F2]是椭圆的两个焦点，则有|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0;类比思考之后，你能得出双曲线类似的结论吗？
其实，在双曲线[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）[F1（-c，0）]，[F2（c，0）]中，经过论证，有|PF1|=|ex0+a|，|PF2|=|ex0-a|。为了去绝对值，还要再分两种情况：当P在双曲线左支上时，则|PF1||=-（ex0+a），|PF2|=-（ex0-a）;当P在双曲线右支上时，则|PF1||=ex0+a，|PF2|=ex0-a。
此外，对于焦点在y轴的标准方程，可相应将x0换成y0即可得出公式。
教师需要根据把椭圆与双曲线的知识点是紧密联系的，将知识点进行合理迁移，在通过类比得出另一种研究对象的许多意想不到的结论。正如现代美籍匈牙利数学家波利亚曾说过：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现。”
（二）根据基本概念与性质推导其他性质的运用
对于椭圆、双曲线的学习，学生一定要掌握这两大知识内容的基本性质。类比思维是合情推理中一种重要的思维方式，学生一定要能利用概念与性质推导出其他性质，从而在数学解题中让题目迎刃而解。下面两道题目对激发学生的解题兴趣很有帮助。
例2、设椭圆[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），[F1，F2]是椭圆的两个焦点，点 M为椭圆上除顶点外的任一点，[∠F1MF2=α]，则三角形[F1MF2]的面积[S=b2tanα2]。请证明这个三角形面积。类比思考之后，你能得出双曲线有类似的结论吗？
证明：由椭圆定义得：[MF1+MF2=2a????（1）]
在[F1MF2]中，由余弦定理可得：
[MF12+MF22-2MF1?MF2cosα=4c2????（2）]
（1）式平方 -（2）式得，
[2MF1?MF2（1+cosα）=4a2-4c2，]
[MF1?MF2=2b21+cosα]，
S=[S=12MF1?MF2sinα=b2sinα1+cosα=b2tanα2]。
同理根据上述性质类比得到双曲线为，点M为双曲线上除定点外的任意一点，
设[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）[F1，F2]是椭圆的两个焦点，点 M为椭圆上除顶点外的任一点，[∠F1MF2=α]，则三角形[F1MF2]的面积[S=b2cotα2]。（证明过程略）
基于在这道题的结论中，椭圆与双曲线的两个面积公式的不同之处仅在三角形的正切与余切的区别，可以说这种形式的不单单是圆锥曲线性质规律性的一种反映，更是在对比学习中，运用类比方法能很好的让题目迎刃而解。
例3、已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为[kPM]、[kPN]时，那么[kPM]与[kPN]之积是与点P的位置无关的定值。试对双曲线[x2a2-y2b2=1]写出具有类似特性的性质，并加以证明。
解题分析：类似的性质为若MN是双曲线[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、（下转第60页）（上接第53页）PN的斜率都存在，并记为[kPM]、[kPN]时，那么[kPM]与[kPN]之积是与点P的位置无关的定值。
证明：设点M、P的坐标为（[m ，n]）、（[x ，y]），则N（[-m ，-n]），其中[m2a2-n2b2=1]。
因为点M（[m ，n]）在已知双曲线[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）上，所以由[kPM]=[y-nx-m]，[kPN]=[y+nx+m]，得[kPM]・[kPN]=[y-nx-m]・[y+nx+m]=[y2-n2x2-m2]，
因为点M（[m ，n]）在已知双曲线[m2a2-n2b2=1]上，所以[n2=b2a2m2-b2]，因为点P（[x ，y]）在已知双曲线[x2a2-y2b2=1]上，所以[y2=b2a2x2-b2]，代入得[kPM?kPN=b2a2?x2-n2x2-m2=b2a2]（定值）。
四、反思与总结
瑞士数学家欧拉曾说过：“类比是伟大的引路人”。在高中数学学习中，学生能合理地运用“类比”方法，对数学学习是十分有益的。本文选取圆锥曲线中椭圆与双曲线的类比教学，不难发现两个教学内容有许多相似之处，案例中运用类比方法可以引导学生提出问题、进行探究，在学生思考中慢慢培养其类比思维。
[参 考 文 献]
[1]邓益阳.探究一类新型题的解题策略[J].高中数学教与学，2004（2）.
【关键词】高中数学；课堂教学；提高效率
在进行素质教育的新形势下，数学课堂就成为了以学生为学习主体，教师只起主导作用的课堂，数学教材只是学生学习数学的工具，而不能当成学习的目的。要有效激发学生学习数学的兴趣，提高学生主动学习和自主学习的能力。数学教师要认真研究教材，尤其要研究学生，充分挖掘学生的学习潜力，培养学生主动学习、合作学习、自能学习、创新学习的能力。在教学中，要建立良好的师生关系，注重对学生进行德育渗透，让学生在高中数学教学中不但智力和能力获得提高，还且能发展良好的学生个人素质和鲜明的个性。有效的高中数学课堂，应该是教师能轻松愉悦地完成教学任务，学生能轻松愉悦地完成学习任务。下面谈谈个人的一些浅见。
一、教学目标要明确，让学生学有方向
在高中数学教学中首先要明确教学目标，要以学生的学习为中心，以学生数学学习能力的提高为目的，一切的努力都要围绕学生的学展开，要让学生在数学认知、数学情感、数学技能方面都能获得个性化的发展。数学教师在数学教学中要讲究教学策略，运用好数学教学中行之有效的方法，要利用多媒体的优势解决教学中的重难点问题，通过教师指导，学生自主地进行数学学习，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。有了明确的目标，教师的教和学生的学才有了为之努力的方向。
二、对重难点内容深耕细作，加深学生的理解和记忆
每一框知识都有它的重点，课堂教学的使命就是要把这些重点知识内容抽丝拨茧地加以分析，研磨，透视，让学生一点一点透彻了解。在教学中，教师要在课始即将重难点知识在黑板上板书出来，以期引起学生的注意。在课堂重难点内容的讲授中，教师要条理分明、语言生动，讲解节奏适中，适当的时候还要运用多媒体手段进行辅助讲解，以吸引学生的注意力，提高学生的学习兴趣。如教学《椭圆》第一课时，该堂课的教学重点是掌握椭圆的定义和标准方程，难点是椭圆方程的化简。教师可从太阳、地球、人造卫星的运行轨道等引入到圆的直观图、圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生对椭圆有一个直观的了解。为了强调椭圆的定义，教师事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆数学定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后由这两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解和记忆，对这一知识点就会理解透彻。
三、熟练使用现代多媒体教学，增加教学的效果
运用电教手段能化抽象为直观，变复杂为简单，让语言难以描述清楚的用图像表达，所以教师掌握现代化的多媒体教学手段显得尤为重要和迫切。计算机提供了一种动态的画图的手段，像正弦曲线、余弦曲线的图形、定积分概念的形成过程都可以用计算机来演示，它还提供了许多有效的途径去表达数学思想。使用计算机和科学计算器，学生能够解决日常生活中有关的现实问题，同时激发他们对数学产生持久的兴趣，并且让学生有更多的时间去发展对数学过程的理解和推理能力，从而提高了学生解决问题的能力，进而提高了教学效益。高中数学中的概念、定理很多，而这些内容往往又很抽象、枯燥和难以接受的。运用现代化的教学手段，就能把这些抽象的概念形象化，便于学生理解概念、定理。如通过投影，可以将物体点、线、面之间的关系表现得生动形象，从而有助于学生空间想象能力的发展。在进行点、线、面投影规律的教学中，首先引导学生认真仔细地观察分析几何元素在三面投影中的位置和三维几何元素与二维投影图之间的对应关系，然后再观察当几何元素的空间位置改变时，投影图上的对应投影又是如何变化的，从而可以更好地帮助其掌握点、线、面的投影规律，记忆相关知识，提高学习效率，增强学习效果。再如，在讲到三垂线定理时，教师可以制作一组幻灯片，以立方体为模型，使之从不同方位转动，得到不同位置的垂线，学生可以从中获得感性认识，加深对定理中各种情况的理解，增强对该定理的运用能力，从而提高学习效率。
四、教学方法灵活多样，让学生感受到教师的教学机智
一把钥匙开一把锁，教学中要根据教学内容的不同而采取形之有效的教学方法，让学生在方法的指引下觉得原来数学学习也不难，而且学来有趣。教师要灵活运用，不能牛占马窝，用张家锁开李家门，让学生感到讲解牵强，理解难度加大。教师要能随着教学内容、教学对象、教学设备的变化而灵活应用教学方法。数学教学的方法丰富多彩，教师往往采用讲授法向学生传授新知识。用穿插演示法向学生展示几何模型，或者验证几何结论。如在教授立体几何之前，要求学生每人用铅丝做一个立方体的几何模型，观察其各条棱之间的相对位置关系，各条棱与正方体对角线之间、各个侧面的对角线之间所形成的角度。这样在讲授空间两条直线之间的位置关系时，就可以通过这些几何模型，直观地加以说明。每一堂课都有规定的教学任务和目标要求，为了激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，培养学生的思维能力，教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活选择恰当的教学方法。对于新授课，我们可以创设符合学生生活经验和知识经验的情境，给学生提供充足的时间和空间，让学生亲自经历学习实践和学习新知的活动来帮助学生构建新知识。此外，我们还可以结合课堂内容，灵活采用谈话、读书指导、作业、练习等多种教学方法。在一堂课上，有时要同时使用多种教学方法。“教无定法，贵在得法”。只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的教学方法。
提高高中数学学习效率的方法很多，相信只要高中数学教师认真总结，反复实践，巧妙运用，就会不断地找到更多的适合学生提高学习能力的好方法，学生也要通过数学学习，自己摸索，自己寻找，自己发现，自己总结出适合自己学习的方法。如能做到教法得体，学法得当，又何愁数学教学不会芬芳满园，花开春暧呢。
参考文献
1.“变式教学”的含义
高三学生已进入到高考倒计时的关键时期，在这个阶段的学习要以追求高效为主。采用“变式教学”的策略进行高中数学总知识的复习与整合，不但将学生从题海训练中解脱出来，有效减轻压力，而且还有利于提高学生对数学知识的观察与总结能力，培养数学思维，提高数学能力，实现效率与成绩的大幅度提高。变式教学顾名思义是指通过采用多种变化性质的方式进行数学教学，如概念的本质属性和非本质属性变式、知识理论的发展与解答变式等，帮助学生从多个角度重新认识数学知识，探究规律，培养知识创新与应用能力。
2.高三数学教学课堂上有效变式教学的策略
2.1加深对数学概念的理解
数学概念大多较于抽象，一旦学生在初次学习时没有掌握全面，那么在后续相关知识的学习中势必产生较大影响，以至于为复习工作增添了难度。为了加深学生对数学概念的理解，教师可以采用过程性变式的方式为学生建立逐层递进的问题情境，如一题多问、多题一解等，确保问题具有层次感，逐渐将学生的数学解题思路打开，充分了解理论内涵的同时，实现深度掌握知识和灵活运用知识的目的。
2.2明确变式教学的最终目的
教师对变式教学的应用，首先要确定自身教学目标的清晰定位。作为教学课堂上的组织者与引导者，教师需要在教学过程中培养学生的互动交流能力和独立思考能力，鼓励学生调动思维，跟上教师变式教学的脚步，从而充分享有学习主导地位。
2.3合理设计数学变式教学内容
高三是高中阶段最重要的时期，教师在为学生做好复习工作的规划时，要把握好教学的进度与尺度，根据学生的实际情况，针对重点与难点进行变式教学。数学知识来源于教材，也贴近生活，教师要通过对教学内容的合理变式与设计，提高学生的学习兴趣，寓教于乐。
3.高三数学教学课堂上变式教学的实施
3.1过程性变式教学
在高三数学复习阶段，采用过程性变式教学方式必须遵循循序渐进的原则，复习过程中的问题呈现“阶梯式”，使得学生在复习的同时全面掌握知识的发展过程，一题多变、一题多解、层层递进。比如，我们知道一个圆的方程为x2+y2=r2，那么假设圆上的一点M坐标为（x0，y0），经过这点的切线方程是多少？针对这个问题，我们可以展开层层递进的三个变式，首先假设M（x0，y0）在圆的内部却不位于圆心上，那么直线xx0+yy0=r2具有什么几何意义？第二个变式，假设M（x0，y0）在圆的外部，那么直线xx0+yy0=r2具有什么几何意义？最后的变式是：假设M（x0，y0）在圆的内部却不位于圆心，那么直线与圆的交点为多少个？这种一题多问、一题多变的方法逐渐拓展了学生对于圆性质知识点的思路，成功将学生在圆形性质基础知识上的数学知识外延了内涵。
3.2概念性变式教学
课堂上复习数学概念或定义时，教师通过各种变化的方式为学生揭示知识点的内涵，提高学生的准确辨析能力，使其在相关试题的测验中灵活运用。例如，关于椭圆定义的复习课堂，教师可以列出一些方程式，让学生指出这四个方程式表示的是什么曲线。学生通过观察四个方程式的异同，复习椭圆的性质与概念，经过分析与总结，就能从中找出规律，准确掌握椭圆的定义和解题的正确思路。
3.3试题式变式教学
在以复习和讲评为主的高三数学课堂上，对于试题的练习和总结是复习工作的重要环节。如果一个类型的试题在多变上出现了更多的思考，那么学生就很容易找准复习的规律和一手抓的思维，在一试题训练上更换条件或结论，亦或是更换内容与形式，都可以轻而易举地保存题目中的重点信息和主要知识点，保留本质的因素，节省大量时间，达到有效复习的目角度和方式的求解，同时复习到不同的基础知识和数学性质，几何运算、向量分解与合成、代数运算，融会贯通后，学生很容易根据随时变化的题型迅速想出解题办法。
关键词： 高中数学 课堂管理 教学技能 课堂引导能力
实施新课程改革以来，课堂教学发生了很大变化。首先，新课程确立了知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观三位一体的教学观。这是发展性的目标，课堂管理也要以学生的全面发展为目标。其次，课堂教学活了,学生解放了，教材解放了，过程解放了。基于课堂教学丰富性、多变性、复杂性，要保证有效性就需要更宽、更活、更多样的管理策略，保证课堂在变化中发展。最后，由于教学目标的变化及课堂教学的变化，教师也要随之而变化。教师的角色变化会对课堂运行产生影响，教师在课堂教学中的不同背景下会对学生有着不同的“领导力度”，教师从权威向同伴的转变，使得管理方式也从控制向交流的方式转变。这样也就对教师的专业化水平提出更高要求，教师应该具有较强的观察能力，对课堂整个过程的调控能力，与学生交流的能力，以及预测问题的能力。在新课改和减负增效的背景下，如何提高数学教师的教学技能和课堂引导能力呢？
1.巧设问题情境，提高学生课堂参与热情，“淡”化课堂刚性管理。
在课堂教学中，创设“问题的情境”，使学生不能单纯利用已有的知识和习惯的方法去解决问题，这时，就激起了学生思维的积极性和求知的需要。所谓“不愤不启，不悱不发”，就是在学生对所要解决的问题有了“心求通，口欲言”时才去启发。教师应该积极创设这种“愤”和“悱”的情境。通常有两种方式，一种是言语提示的方式，即由教师直接提出与教材有关的需要解决的问题，借以引起学生学习的兴趣，使其抱着解决问题的态度进行学习。另一种是活动的方式，即让学生参加一些活动而产生问题。比如从课外活动、实验活动、实践活动等提出问题，使学生感到有趣而又难以回答，从而产生了进一步了解有关知识的要求。比如，在学习椭圆的定义时，先布置学生画出各种各样的椭圆，量出长轴和椭圆上任一点与其两焦点的距离和，再进行比较，发现它们相等，从而产生进一步学习相关知识的求知欲。
数学来源于生活，又应用于生活。教师若能善于将课堂教学与实际生活相联系，往往能一扫学生头脑中数学枯燥、抽象的印象，产生新奇感，从而极大地激发学生的学习兴趣。新编高中数学教材把培养学生应用数学的意识贯穿于教材编写的始终，大部分章节的引入都是从实际中提出问题，并且在每节的例题、练习中增加了大量的联系实际的内容。如集合与简易逻辑以运动会参赛人数的计算问题引入；数列以一个关于国际象棋的传说故事引入；又如指数函数引入：某细胞分裂时由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂n次后，得到的细胞个数y与n的函数关系式等，就是为了数学应用意识和能力的培养的需要。因此，教师在新知识引入时应尽量创设一些能引发学生兴趣和激发学生探究能力的情境。
总之，尽可能排除干扰，把学生的注意力都集中于学习知识的活动中，创设“问题情境”，激发学生的求知欲和学习的积极性。
2.通过师生角色反串，营造和谐的师生关系，“柔”化课堂管理。
“最有效的课堂管理方式，是教师和学生共同分享决定课堂事务的权力，举凡有关教室布置、座位安排、规则制定、活动选定之事，均由教师和学生共同讨论，大家参与决定”。新课程强调教学过程是师生交往，学生与学生相互交流，共同发展的“互助互动”过程。它是一种同伴之间为达到一定的教学目标而展开的学习方式，也可以增进同伴之间的信息交往，培养团结合作、相互帮助的精神。对知识而言，学生的独立思考、相互讨论，辩论、澄清的过程，就是自己发现的过程。在初中数学教学中，交流能够帮助教师获得有效的信息反馈，及时调整教学策略。交流的同时能促进学习对数学知识的理解和数学认识的发展，交流过程实际也是师生之间、学生之间交往互助与共同探索发展的过程。实施交流活动通常采用小组合作学习形式，教师首先要组织学生发现，寻找，搜集和利用学习资源，营造一种激励探索和理解的氛围，为学生提供有启发式的讨论交流模式，同时要与学生建立人道的、和谐的、民主的、平等的师生关系，提供让学生积极参与的宽松环境，鼓励学生明确地表达自己的想法，善于互相学习、善于与他人合作，善于倾听他人的意同，接受他人的思想、集他人智慧反思自己的知识和解决问题的方法，提高效能。新课程中，学生数学学习的过程充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的教学活动，教师应努力创造机会，让学生进行生动的操作，充分利用已有的知识经验在体验互助互动的乐趣中，通过动手实践，自主探究，合作交流、鼓励、指导学生学会总结学习方法。
3.善用教育教学机智，增强课堂教学艺术，“幽”化课堂管理。
教学机智是教师在教学过程中，善于敏锐地觉察学生细微的变化，捕捉到学生思维的火花，采用幽默风趣的语言，创设曲径通幽的情境，使教师知识传授生动有色，学生学习兴趣盎然发展的能力。我在上《三视图》一节时，经常会碰到让学生画由若干个相同正方体堆积而成的几何体的三视图，我边讲解边画三视图，忽然听到一个微小的声音：“你看那些三视图多像俄罗斯方块啊。”我知道俄罗斯方块是一种电脑游戏，用这种大家喜欢的游戏来进行本节课的教学，岂不妙哉。于是，我接上话茬：“对啊，这些三视图多像俄罗斯方块啊。”并让一个同学上黑板将俄罗斯方块的所有形状都画出来。然后我总结说：“由相同正方体堆积的几何体的三视图，基本上都是各种形状的俄罗斯方块。”同学们一下子活跃起来，空间想象能力一下子迸发出来，大家积极思考，勤于画图，这个知识点轻而易举地被同学们吸收了。
关键词：高中；高效课堂；目标；导入；教学方法；反思
数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。由此不难看出数学的重要性，所以，在授课的时候，教师要重新调动和培养学生的学习积极性，使学生在教师明确的教学目标、精心设计的导入环节、多样化的教学过程以及及时地反思中真正打造出高效的数学课堂。
一、明确教学的目标
课堂教学目标是指教学活动预期达到的结果。所以，在授课的时候，教师要立足于数学教材，明确每节课需要掌握的基本内容，并采用合适的教学方法，促使学生获得健康全面的发展。而且，新课程理念下的教师教学目标已经不再是单一的设定知识目标，还要根据教材内容设定过程与方法以及情感、态度与价值观两方面的内容，以确保学生获得全面的发展。
例如，在教学《平面向量的线性运算》时，我对本节课的教学目标进行了这样的设计，（1）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；（3）了解平面向量的基本定理及其意义。情感目标：通过探究学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察、类比联想等发现规律的一般方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力；过程方法：实施独立思考讨论的教学方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神。这样的教学目标的设计，不仅可以明确学生需要掌握的知识，还对学生能力水平的提高和情感态度的培养起着非常重要的作用，而且，有人曾经说过，任何割裂这三种教学目标的课堂都不能促使学生获得全面的发展。所以，在授课的时候，教师要建立完善的目标体系，进而使学生获得更好的发展。
二、精心设计导入环节
一个好的导入可以激发学生的好奇心、求知欲，让他们对这堂课感兴趣。俗话说：良好的开端是成功的一半。所以，教师要采用恰当的导入方法，让学生的注意力在最快的速度下集中到课堂当中，为高效数学课堂的实现打下坚实的基础。
例如，在教学《双曲线》时，由于之前已经学过了“椭圆”的相关知识，所以，在导入课的时候，我首先引导学生回忆了相关的知识点，之后，我引导学生思考了一个问题：在椭圆中平面内与两定点F、F′的距离的和等于常熟2a（2a>|FF′|）的动点P的轨迹叫做椭圆。那么，一动点移动于一个平面上，与平面上有两个顶点F1、F2的距离差的绝对值始终为一定值2a，那请问，这个动点的轨迹是一个什么样子的？引导学生动手画出图象，并顺势将双曲线引入课堂当中，这样既区分了双曲线与椭圆的不同，又加深了学生的印象，对高效课堂的实现也做好了铺垫工作。
三、多样化的教学过程
教学方法的选择、教学过程的设定是最容易调动学生学习积极性的课堂环节，所以，要想实现课堂的高效，多样化教学过程的设定对提高课堂效率起着非常重要的作用。下面以创设问题情境为例进行简单介绍。
例如，在教学《古典概率》时，我采取的是问题情境创设法，我首先引导学生思考了以下几个问题：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件吗？（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。（3）甲队a1，a2，a3，a4四人与乙队b1，b2，b3，b4抽签进行4场乒乓球单打对抗赛，抽到ai对bi（i=1，2，3，4）对打的概率是多少？让学生在思考问题的过程中去理解相关古典概率的概念。而且，在实现高效课堂的同时，学生的探究能力也会随之得到提高。
四、及时地反思
有些教师认为，下课铃响起这节课也就算是结束了，其实并不是这样，一节课的结束是在教师对本节课的教授内容、学生的课堂参与度等进行反思之后，并作出调整措施这节课才能算是结束。否则就会出现反复强调学生仍然出错的现象。所以，教师要意识到反思的重要性，要对每节课做出及时的反思，并不断完善自己的教学过程，而且，反思的这个过程也是改进教学、促进教学质量获得提高的重要途径。除此之外，在新课程改革的影响下，反思活动也不再是单单指教师的反思，教师还要指导学生去反思，让他们明确自己的优缺点，并进行有针对性的学习，进而，为实现高效的数学课堂打下坚实的基础。
总之，在教学中，教师每个环节的设计都影响着高效课堂的实现，所以，教师要立足于教材，从学生的学习情况出发，进而让每个学生都能在轻松的环境中获得更大的发展。
参考文献：
当前，曾在国外盛行的建立在建构主义学习理论基础上的任务驱动教学法引起了国内许多教育工作者的兴趣，然而大量的研究主要集中在任务驱动教学的理论探究、任务驱动教学法在大、中学英语教学中的应用探讨以及信息技术教学中任务驱动教学法的应用探索，而把任务驱动教学法应用到数学教学的研究则相对较少。我们在本文介绍了任务驱动教学法的定义和特点，以流程图的直观形式展示了任务驱动教学法在数学课中的实施流程，基于实施流程设计了圆锥曲线统一定义教学案例，并借之说明了任务驱动教学法在数学课中的运用。
一、任务驱动教学法简介
任务驱动教学法最早由N.S.Prabh在20世纪80年代提出，在90年代得到迅速发展。任务驱动教学法是一种建立在建构主义学习理论基础上的教学方法，这种教学方法是以任务为主线、以教师为主导、以学生为主体的一种新型教学方法。它包括实施任务、分析任务、完成任务、总结评价等环节，真正实现了师生、生生之间的多维和谐互动。在整个的实施环节当中，它体现的是一种“抛砖引玉”的教学方式，是一种“双主模式”的教学思想，力求实现教学过程中的师生互动，只是在不同的环节当中，某一方的主动地位会较另一方略高一些。在驱动式教学方法中，教师的主导作用和学生的主体地位不容忽视，但其间任务作为一种“介质”或者“桥梁”也发挥着重大的作用，整个教学过程都以“任务”为链条环环相扣。当然，任务不是静止的，不是孤立的，甚至不是单一的，目的是通过设定任务来激发学生的学习热情，从而促成学生因完成任务而产生的成就感。
根据数学新课程标准和任务驱动教学法特点，我们认为，在数学教学中适当应用任务驱动教学法能使教学内容更加明确，可以激发学生的学习欲望，培养学生的主动参与意识和综合能力。
二、任务驱动教学法在数学课中的实施流程
数学内容具有理论性强、实操性弱的特点，因此在构建任务驱动教学模式上就需要首先根据教材内容确定教学目标，从知识能力、过程方法和情感价值三个方面进行总目标的确定，然后根据教学目标设计总任务和子任务，学生通过自主思考、自我探究去完成任务，在获取知识点的同时提高了自身能力和素质。
实施任务驱动法教学是个比较复杂的过程，各个步骤之间联系比较密切，具体操作流程如下：
三、任务驱动教学法在数学课中的设计运用
数学概念被认为是数学的骨架，实际教学中往往通过讲授法授课，但是效果并不理想。常发生老师讲多遍，学生仍“固执己错”，导致这种问题的原因是学生没有真正理解数学概念。数学概念是抽象的、简洁的，若让学生像数学家一样去探究概念的产生，数学概念就成了有根之水，能长出茂盛的参天大树。
下面我们以圆锥曲线统一定义的教学设计为例，来介绍任务驱动法在高中数学概念教学中的应用。
教学内容：圆锥曲线统一定义
教学目标（包括以下三个“目标”）。
知识能力目标：掌握圆锥曲线统一定义；通过分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力；利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
过程方法目标：让学生体验发现圆锥曲线定义之间共同点的过程，根据椭圆、双曲线第二定义及抛物线定义的思想方法，摸索出解决问题的方法。掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。
情感价值目标：在寻求圆锥曲线定义之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物；讨论的过程中，培养学生合作精神，树立严谨的科学态度。
教学重点：圆锥曲线统一定义
教学难点：圆锥曲线统一定义推导
教学方法：任务驱动教学法
教学环境：教室、多媒体、投影仪
教学过程
1.任务设计与展示
（师）我们学习了椭圆、双曲线、抛物线三个圆锥曲线。在学习过程中，我发现它们有许多相似之处，比如都有焦点、离心率。在学过三个圆锥曲线后，我进行了系统整理和对比，结果我有个惊奇的发现：在教科书中椭圆、双曲线两节都有一个例题与抛物线的定义表述相似，而且它们的解题方法与过程几乎是一致的。我整理的资料如下（借助多媒体给出）：
（1）动点P（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l∶x=的距离的比是常数，求点P的轨迹；
（2）动点P（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到直线l∶x=的距离的比是常数，求点P的轨迹；
（3）动点P（x，y）与定点F（3，0）的距离和它到直线l∶x=-3的距离的比是常数1，求P点的轨迹。
这三道题中都是已知一定点坐标、一直线方程以及一动点到该定点和该直线的距离之比。虽然题干是相似的，但是经过进一步的求解，得出M的轨迹分别是椭圆、双曲线和抛物线。类似的文字表述，相同的做法，而求出的轨迹却不同，于是我猜想：椭圆、双曲线和抛物线三个圆锥曲线是有着密切关系的，那它们是否能用类似上面的表述给出一个圆锥曲线的统一定义？我认为这是个可以探讨的问题。今天，希望大家对其做进一步的研究和证实。
设计意图：课堂以问题导入，让学生针对问题进行讨论，通过讨论明确要解决的任务。
2.任务分析与完成
由于学生没学椭圆、双曲线的第二定义，所以，为顺利完成任务，教师可以将上述问题（1）、（2）变为：
（1）动点P（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到直线l∶x=的距离的比是常数（a>c>0），求点P的轨迹；
（2）动点P（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到直线l∶x=的距离的比是常数（c>a>0），求P点的轨迹。
到此，则需要学生带着完成任务的心态学习相关知识，解答以上问题，然后分析圆锥曲线的共同点，类比得到圆锥曲线的统一定义。在此期间，教师主要为学生解答疑问，与学生一起讨论遇到的问题。
自主学习、思考和探究结束后，教师将班级学生分成若干小组，小组中每位学生阐述解决任务的方法及结论，然后进行讨论，最终形成小组方案。
设计意图：任务如何解决不是由教师直接告诉学生，而是由教师帮助学生分析任务，向学生提供解决该问题需要的知识，并特别注意发展学生的“自主学习”能力。自学结束后，进行分组讨论，通过不同观点的交锋、补充、修正，加深每个学生对当前问题的理解，最后小组合作共同完成解决问题的方案。这样不仅每位学生都有展示自己智慧和才华的机会，而且还可以相互学习、相互借鉴，使学生真正成为了课堂的主体。
3.任务评价与任务总结
每个小组派代表展示、讲解自己完成任务的方法及结论（借助投影仪），其他小组对其讨论评价，教师最后进行点评。通过以上自学和讨论，学生基本都能按照如下思路形成了圆锥曲线统一定义。
首先，求得问题（i）的解：点P的轨迹是椭圆，方程为+=1（其中b2=a2-c2），常数就是椭圆的离心率e（0
其次，类似地，得到问题（ii）的解：点P的轨迹是双曲线，方程为-=1（其中-b2=a2-c2），常数就是双曲线的离心率e（e>1）。
其三，联系抛物线定义有：点P的轨迹是抛物线，方程为y2=4cx（其中a2-c2=0），把常数记为e（e=1）。
最后，通过猜想、证明，得到圆锥曲线统一定义：平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于常数e的点的轨迹。当0
教师在对学生的学习进行点评时，第一要充分肯定学生取得的成绩，尤其对新思路和新方法给予支持和肯定。第二对存在的问题要认真指出，保证教学质量。第三还应鼓励学生争论、讨论，特别是要启发学生对问题进行深入思考，培养他们的创新能力。这样就解决了开始提出的任务，整个教学过程培养了学生学以致用的意识，锻炼了学生用数学知识分析问题、解决问题的能力。
设计意图：通过学生之间的相互交流，促进学生之间的了解和相互学习，取长补短，提高学生的团队意识和综合运用知识的能力。通过教师的总结，加深同学们对知识的印象。
4.考核拓展
经过大家的努力，本次课的初始任务已经完成，教师可以启发学生思考如下两个问题：
（1）已知平面内动点P到一条定直线的距离和它到一个定点F的距离（F不在l上）的比等于，则点P的轨迹是什么曲线？
（2）F为平面内一定点，l为平面内过F点的一条定直线，动点P到定点F的距离与它到定直线l的距离之比为常数e，求动点P的轨迹。
设计意图：首先考核学生对圆锥曲线统一方程的掌握情况，其次拓展任务，让学生对问题进行更深入的思考，培养学生的创新能力和严谨的思维能力。
通过以上的教学设计，让学生以完成任务为动力去探究数学概念，数学概念就不是无源之水了，概念的内涵和外延也就不是教学的难点了。
教学实践表明：在数学教学中实施任务驱动教学法，将教学内容分割成若干小的、简单的、易于接受的任务，由教师引导协助学生先自主学习、自主思考，后相互讨论、相互协作，由简到繁、由易到难、循序渐进地完成一系列任务。在这种师生互动的教与学的过程中，一方面使教师的“教”变得生动，另一方面使学生的“学”变得有趣。最终能让学生在完成任务的过程中培养分析问题、解决问题的能力，建构真正属于自己的知识与技能。
但是，应用任务驱动式进行教学，对教师提出了更高的要求，它不仅要求教师掌握本专业的知识结构、教学内容、目标要求等，同时要求教师了解知识各部分的来龙去脉以及和实践结合的情况，如何更好地应用于实践等等。因此教师要认真研究，用心实践，长期积累，多读书，真正弄清楚所教概念的内涵、外延和背景，最好还要了解它的“由来和发展”，同时要了解学生，换位思考，多想想学生的困难和兴趣所在。
此外，教师也要明白，任务驱动教学模式不一定适合数学所有的教学内容，应针对不同的教学内容开发多样化的教学模式。尽管这样，教师只要善于挖掘，一些精彩的任务还是能够呈现在我们眼前。这些任务将使沉闷的数学课堂活跃起来，有助于扭转学生学数学只是为了应付高考的局面。
参考文献
[1] 解建宝，曾兴柱.任务驱动型课程教学改革研究.教学与管理，2006（10）.
[2] 刘东秀.“任务驱动式”教学的内在条件分析.学周刊，2011（5）.
[3] 夏迎燕.论初中信息技术教学中任务驱动教学法的应用.中学教学参考，2011（23）.
[4] 郑志群，程丽丽.任务驱动法在高中信息技术教育中的应用.现代教育科学，2011（1）.
