时间：2023-09-14 17:44:15
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高二数学知识点全部归纳，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
中图分类号：G623.5
记得有一个培训学校把"教学质量是私立学校的生命线"作为座右铭，可见这课堂45分钟的重要性。那么如何把握这45分钟的时间，"课前五分钟"无疑起到了非常重要的作用，不但可以调动学生的学习热情，同时对教学更具有实效性，让学生在课堂上获得最大的收益，将学生那种"我学习，我收获，我快乐"的情绪调动起来，是一个值得我们探讨的问题。对此，我在这一方面进行了一些尝试。
一、利用"课前5分钟"梳理基础知识。
在高三一轮复习重在打基础，为此要重视数学基本概念、基本定理（公式、法则）的复习，在理解上下功夫，整体把握数学知识，争取做到不打开书本就能在自己大脑中勾画出知识间的脉络框图。
我所从教的是一所普通高中，学生的学习主动性很差，能力又低，如果教师不领着学生进行基础知识的梳理，学生很少能够自觉的去做。针对于这一现状，在一轮复习的时候，我利用每节课的"课前5分钟"进行基础知识的考察和梳理。形式是多种多样的，从最开始的一问一答式，到自问自答式，再到自述式，直到学生会了，理解了，会用了为止。如三角要复习两周，那么这两周的"课前5钟"都在进行基础知识的考察，最初的几天是一问一答式，因为学习刚开始复习，脑子里的知识信息不是很清晰，需要教师的提醒与帮助；等学生基本掌握后，开始自问自答式，争取做到班级的每一位同学都有机会自问自答，从某一个同学开始，依次回答，要求是前面同学谈面过的问题后面的同学不准重复，出现在的问题同学提出并改正；经过以上两种形式后，再进入到自述式，由一名同学在黑板上把本章的内容进行梳理，形成知识网络，不全面的地方由同学和教师进行补充。三轮下来同学们不但掌握了基础知识，更对知识间的联系有了更全面的认识，再加上课堂的进一步应用，使学生对基础知识的掌握更加深入，更加透彻。另外，范围也是日渐扩大的，从最初的一章，到一本书，再到高考的全部内容。学生从最开始的被动记忆，变主动归纳，渐渐地，每节数学课的"课前5分钟"变成了学生们展示自己学习成果的机会，变师生共同共享的天地。
二、利用"课前5分钟"共解一题。
高三的数学复习中做到"轻负担，高质量"，是教师要解决的一个重要问题，这就需要教师精选习题，精讲习题。
高中数学一轮复习强化基础，那么二轮复习就要注重培养学生分析问题、解决问题的能力了。由于高考的解答题内容相对比较固定，对于普高学生应着重训练三角、数列、统计概率、立体几何、选修等五方面的内容。为此我从进入二轮复习开始设计每日一解答题为固定作业内容，针对高考的解答题内容进行专门的训练。为了让学生能够认真完成，并且做后有提升，每天"课前5分钟"用来解答上一天的作业内容，解答方式是先由一个学生分析题目，考察什么，用什么知识进求解，再由第二个同学书写解题过程，接着由其它同学或者教师改正，再然后在教师的引导下，由学生思考能否变式为其它相关问题，最后师生共同提炼出数学方法和数学思想。看着学生积极思考，争先回答问题的场景，我再也不为吸引他们的注意力发愁了。
一天一题，看似很少，但这样一个星期，一个月训练下来，同学们轻轻松松地学会了很多，最重要的是实现在了"轻负担，高质量"这样一个教学目标。
三、利用"课前5分钟"总结提升。
高三一、二轮复习过后，距离高考的时间就更近的，考前这段时间教师一定要引导学生跳出每一道数学题，把目光放在题与题之前的区别与联系上，部养学生在学习的时候，要边学习边"对比"。当看到一个知识点的时候，要先到大脑中寻找相应的知识点，进行对比。看大脑有没有这个知识点，如果有，就达到了强化的目的；如果没有，就要进行修补。这个过程就是我们常说的"总结"，这是老师最希望学生能做的，也是老师不断要求学生做的。在对比、总结的过程中，学生就能够发现自己的优劣之处，明确下一阶段的学习方向，更建立学习的信心。
为此，在二轮复习结束后，每天利用"课前5分钟"帮助同学总结提升，采用分享式和交流式。分享式就是鼓励同学自告奋勇地表述自己对某一方面问题的总结，再由同学借机展开、深化，教师进行补充说明，完善数学方法和思想；交流式，就是由学生提出问题和困惑，师生共同帮助他解答，从而使每一位同学都有新收获、新的启发。例如学生提出的问题：线性回归分析都什么？怎么考？在学生们你一言我一语的相互提醒下，最终能够总结出以下四点：一是画散点图；二是求回归直线方程；三是相关关系强弱（拟合程度）的检验；四做预测。短短五分钟的交流，让每一位同学又全方位的了解了某一部分内容，而且形成了详实的知识网络。更重要的是促进了同学们课下的复习和思考。
四、利用"课前5分钟"查缺补漏。
关键词：中职数学；学生兴趣；“开关”
一、重构数学知识服务专业技能的知识架构，激发学生的学习兴趣
在我国现行教育体制中，中职教育作为职前教育以其特有的形式存在。其主要任务，就是培养具有一定的基础理论和较强的动手能力的中等专业技术人才。使其就职后有一定的技术能力，能够以较快的速度顶岗、上岗，但其知识体系和岗位服务功能的能力会受到学历和文化知识的影响。因此，中等职业学校的教学体制和形式应该尽可能地结合学生专业课程的学习需求，同时考虑学科教学的个性需求，各文化学科教师积极主动地探索和研究能够契合每个不同学科专业与专业特色点来打开本学科的教学“开关”。数学课程作为一门重要的基础理论和应用工具，更应着重于实践技能的发掘和培养，为其后继的专业课程打下良好基础。基于数学课服务于专业课程的思想，我们可以将数学内容和专业相结合，这样学生学习数学的兴趣增强了，效果完全不同。
例如，在角的概念的推广教学中，基于学生所在的学前教育专业，我利用他们经常在幼儿园看到小朋友玩旋转木马的视频引出新课；在函数的奇偶性教学中要求他们利用所学的美术专业知识画一组对称图形等，将圆均等成不同角度的对称图组，学生通过自己动手自动参与并展示了角的形成过程，而且不同的学习小组所画出来的角的大小和角度的大小问题辨析也接连产生。
通过这种形式，改变了传统数学教学的枯燥，有利于激发学生的学习兴趣。数学课的“教”和 “用”的功能被开发，因此数学不再是单独的一门文化课程，而是具有专业色彩的多功能课程。因此，重构数学知识服务专业技能的知识架构开启了通往专业课程的“开关”，数学的效能被拓展和延伸了。
二、加大信息化技术的课堂表现形式，激发学生的数学学习兴趣
随着新课程教学改革的推进和信息技术在全国各所学校的普及，信息技术以其形象、直观、生动、便捷的优点，在数学课堂教学中发挥着越来越重要的作用。信息化技术不仅仅体现在课堂信息设备的使用上，更重要的是信息化教学资源的丰富和延伸，信息化教学资源还可以把微观的、不易观察的数学问题及其本质生动地展示给学生，给学生创设一种生动、具体、现实的教学情境，创造愉快、和谐、乐观的教学氛围，充分挖掘数学与外部事物之间的联系与潜在美，增加教学的趣味性，激发学生学习的积极性，提高课堂教学的有效性。
例如，在任意角的概念的教学过程中，我利用多媒体中的几何画板，构造出一个任意角的生成过程，让学生在角的生成过程中体验任意角的概念。使传统平面单一的知识传授模式转变为在学生动手实践的基础上归纳、总结获得的立体化、多元化。在课堂中根据株洲市五桥的设计原理，引入了等比数列等知识的学习和使用。事实证明，利用信息技术对课堂重点进行整合，可以使枯燥的知识趣味化，使被动学习变为自发学习，起到提高学生的学习兴趣、增强学生的学习效果、知识掌握更加牢固的作用。在信息化技术和信息化资源的引进中，我们通往数学纵深方向的“开关”被开启，数学教学的弹性空间也因此而被拓展开来。
三、构建数学知识和日常生活的桥梁，激发学生的学习兴趣
如果从数学在学前教育专业领域中的可用度来考虑数学在中等职业学校中的应用的话，我们不难想到数学的可用度以及它的生活化。从生活的经验和日常生活知识中提炼出数学知识点，激发学生探究数学问题的兴趣，让枯燥的数学课堂焕发生机。
如在函数的奇偶性教学过程中，可以通过多媒体呈现麦当劳的标志、中国京剧的脸谱等生活中对称的图片来引出新课。在教授函数的实际应用时，我设计了一堂数学活动课。利用多媒体向学生呈现资料，来自株洲市自来水公司统计调查：一个三口之家，每月居民基本用水量一般10立方米左右，节约的家庭用水量一般不超过5立方米。为了使居民节约用水株洲市采用分段收费低于5立方米每立方米收费2元，超过5立方米不超过10立方米每立方米收费2.5元，超过10立方米每立方米收费3元。请同学们结合资料，分小组设计我区的水费分段定价收费方案，将小组成果展示出来。在设计过程中，要求组长分好工，组员全部参与。让学生在这一过程中发现学习数学的乐趣，激发学生主动探索，积极进取，使学生愿学、乐学和会学，并通过这些让他们知道数学和我们的生活是密切相关的，从而进一步提高他们的学习兴趣。
生活的数学才具有真正的生命力和活力；生活的数学也才能真正地绽放数学之美。如利用棉花糖（软糖）、牙签，我们可以带领学生和幼儿跨入几何学的天地，在构造三角形、圆柱体、多面体等立体图形的过程中引导学生去计算它们的角度，引导学生创新图形的组成。同时再利用生活中所见不同物品，激发学生积极探究其构成以及所发生的效能等，将数学和美术、建筑等结合起来。可以说，我们不仅打开数学学习的兴趣“开关”，也打开了通往生活和创造力的“开关”。这样的数学不再枯燥无味，而是使学生在学习中思考如何创造美和创造生活。
四、构建“玩中学”的教学模式，激发学生的学习兴趣
游戏是幼儿生活中非常重要的部分，在游戏中习得生存的能力，在游戏中学得文学的知识，在游戏中受到音乐的熏陶，在游戏中获得形体的塑造等。同样的，游戏也是数学教学的重要方式和可开发利用的“资源”。如果我们能结合教材内容科学地创设游戏情境，不但可以让教材活化，还能有效激发学生的学习兴趣，提高课堂效率。
例如，高二“古典概型”的教学过程中，可以创设了这样的游戏情境。
师：同学们你们参加过商店抽奖没？
生：抽过。
师 ：下面我们来做一个抽奖的游戏。（用flash设置两个不同的转盘，每组派同学上来进行摇奖。）
学生争先恐后地要求上台摇奖。
师：比较两个转盘的相同点和不同点。
通过这个游戏，学生基本了解了概率以及概率的许多运算规则，并且能够深入到对概率的本质了解：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征――有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。相对于单纯的语言讲授来说，通过游戏的方式进行教学可以让学生在轻松愉快的氛围中，对“古典概型”的概念有深刻的认识，感悟生活即数学，数学知识就在身边，学习数学就是为了解决生活问题。
“玩中学”并不是新颖的教学方式和技巧，但如果在恰当的时间和恰当的机缘时运用在数学课堂教学中，就可以使知识摆脱枯燥深奥，开启通往快乐和乐趣的“开关”。知识的正面是游戏，而知识的背面是高深，能否翻手为乐、翻手为学，全在于教师对教学“开关”的探究，找准了就可能让师生都在幸福快乐中感受到美、感知到创造和自我提升，科学原来可以这样“美丽”！
五、以“做中学”的教学模式，激发学生的学习兴趣
针对中职学前教育专业的学生特点：理解力不够强，但动手能力较强。通过采用动手实践构建数学模型，让学生真正达到动手、动脑这一目的，激发学生的兴趣。美国著名哲学家、教育学家和心理学家杜威认为“做中学”也就是“从活动中学”“从经验中学”。他明确提出：“从做中学比起从听中学更是一种较好的方法。”在杜威看来，“从做中学”充分体现了学与做的结合，也就是知与行的结合。它使得学校里知识的获得与生活过程中的活动联系了起来。杜威明确指出：工作是“使用中介工具或用具以达到目的”，其区别于“劳动”和“游戏”的是具有理智的特点。在数学教学中教师如果能够准确地把握“做中学”的教学活动所要达到的结果，包括要动手的科学研究、对材料的搜集、对器具的管理、做的过程中所进行的记录和实验所学的活动程序撰写等，那么“做中学”的模式就是成功的。这系列活动的运行潜移默化地开启了幼师从学到教的“开关”。相对于其他专业来说，学前教育专业的学生不仅要具备学的能力，更要求各学科教师要注重幼师的师资能力的培养和提升。
六、构建多元评价体制，激发学生的学习兴趣
一位心理学家曾说过：“一个人只要体验一次成功的意念和胜利的欣慰，便会激发追求无休止成功的意念和力量。”这种无休止成功的意念和力量也就是学生兴趣的源泉。而每个学生的闪光点是不同的，因此采取不同的评价体制可以让每个学生都能获得表扬和肯定。人性中本质的需求就有渴望得到尊重、理解和爱。就精神生命而言，每个孩子都是为得到赏识而来到人世间，赏识教育的特点是注重孩子的优点和长处，发现并表扬，逐步形成燎原之势，让孩子在“我是好孩子”的心态中觉醒；相反的批评教育的特点是注重孩子的弱点和短处――小题大做、无限夸张，使孩子自暴自弃，在“我是坏孩子”的意念中沉沦。不只是好孩子应该赏识，所有的孩子都需要。孩子是脆弱的、敏感的，适当的赏识是一种正确的爱，也是对孩子的一种鼓励和赞赏。对学生来说，老师的一点点鼓励，一次的肯定，一次表扬，都是他成功的标志，他都能从中体验成功的喜悦，这时学生的兴趣就如同永不枯竭的源泉，浓厚、持久。
在我们的数学教学中也是如此，充分联系现实生活中的实例，利用数学原理去找到问题、发现问题、然后解决问题，让数学不再是高高在上的姿态，而是用数学原理解决生活中的各种问题，激发学生学习数学的兴趣，感受数学给自己带来的便利，从而喜欢上数学，愿意接受数学的思维解决各种问题，从而实现让数学成为一种生活技能、成为一种工具的目标。作为教师，在数学教学过程中，只要我们认真钻研教材，把握学生的学习心态，运用灵活多样的教学方法，精心设计每一个教学环节，就能激发和增强学生的学习兴趣，使他们乐学、好学，敏锐把握教育时机，打开通往学生学习数学心灵的“开关”，让学生从内心“亲近”老师，从而“亲近”所教的学科。
关键词：应用题解决领域知识问题表征模式识别元认知
应用题解决是数学学习的难点，因而成为心理学研究关注的问题。应用题解决的心理学研究主要集中在问题表征、情境因素、解题策略、模式识别、元认知及非智力因素对应用题解决的影响等方面。本文对相关研究做简要介绍，并由此提出中学数学应用题教学的几点策略。
一、心理学对应用题解决的一些研究
（一）问题表征
问题表征是指通过审题，明确给定的条件、目标和允许的操作，检索、激活头脑中与之相关的知识和经验，将外部的物理刺激转化为内部心理符号，形成问题空间的过程。西蒙认为，问题表征是问题解决的一个中心环节，它说明问题在头脑中是如何表现出来的。有时候问题解决的难度并不在问题本身，而在于解题者对问题表征的方式。
问题表征是一个逐步深化的过程。傅小兰等就一道应用题对34名学生进行测试，通过分析被试的解答，得出被试对问题进行表征、建立问题空间的一般过程。第一，问题信息的搜索和提取。在这个过程中，解题者需要从问题陈述中、长时记忆中提取全部有关信息；一旦搜索问题信息时遗漏了某些信息，建构的问题空间就不完整，也就无法求得问题的正确解。第二，问题信息的理解和内化。在这一过程中，解题者需要对搜索和提取的问题信息做深加工，从而正确地理解和利用问题信息，发现问题的结构，构建自己的问题空间。第三，发展隐喻约束条件与意识化，即对问题规则（约束条件）的理解和掌握在构建正确的问题空间中起着重要的作用。问题表征过程中的任何环节出了差错，都将导致构建出错误的或不完整的问题空间。因而，正确的问题表征是解决问题的必要前提。
Mayer依据提取信息的不同将问题表征划分为数字表征、关系表征、图式表征三种类型。数字表征指依据问题中的数字关系理解问题；关系表征指依据问题中的变量关系理解问题；图式表征指依据问题的内在结构理解问题。有学者依据问题的表征形式对问题做分类：（1）字面特征分类，即依据题目的文字描述而非从数学角度做出的分类（例如，把题目内容是食品的归为一类）；（2）表层结构分类，即依据题目的表面信息而非从数学本质角度做出的分类（例如，把题目内容是路程问题的归为一类）；（3）深层结构分类，即依据题目的数学本质做出的分类（例如，把有关路程内容的问题分为追击问题、相遇问题等）。冯虹等的研究表明，随着年级的增高，学生越来越倾向于按照题目的深层结构分类，数学成绩优秀生与差生分类的结果差异显著。
问题表征离不开对信息的搜索和提取，离不开专门知识（也就是领域知识）的支持。有研究表明，领域知识不同的学生在问题表征过程中具有不同的特点：领域知识丰富的学生更倾向于深层次表征问题，而领域知识贫乏的学生更倾向于浅层次表征问题。也就是说，如果学生头脑中具备丰富的公式、定理、问题原型和应用题模式，那么其更倾向于对问题做深层次表征，从而正确地解决问题。张维的研究也证实了这个结论。研究采用“学习—再认”范式，研究学科领域知识丰富性不同的学生（依据数学学业成绩分类）在问題表征层次上的特点。“学习—再认”是指让被试先学习一个材料，然后进行测试，判断测试题中是否出现了前面学习过的东西，包括表面特征和原理特征。结果表明，“知识丰富组”表征问题除了采用表面特征外，还会对原理特征进行表征；“知识贫乏组”为避免干扰，会丢弃原理特征，往往用表面特征来识别问题。
（二）情境因素
应用题的表述往往是有情境的，那么情境是否会对问题解决产生影响？不少学者对此进行了研究。Zhang通过“TicTacToe”式同型游戏问题发现，问题的外部结构与情境不仅是对内部意识的输入和刺激，而且具有独立于内部表征的作用，就此提出了问题的外部表征概念。他认为，外部表征是指问题情境的成分和结构，外部表征的信息只能被知觉系统察觉、分析和加工。邢强等通过对相关文献的整理、分析，提出数学应用题的外部表征影响因素主要包括文本表面特征、文本内容熟悉程度、符号、插图、问题与文本的呈现位置、不同的措辞、情境内容的现实性等。
赵继源基于一道零分率超过60%的高考数学试题——“冷轧机”应用题，设计了6道对比应用题，对高二学生展开测试。结果发现，应用题背景的熟悉程度对学生解题有显著影响；对于背景熟悉的题目，数据抽象与否对解题影响不显著，但在陌生背景下则达到了显著水平；对于背景陌生的题目，即使凸显关键信息，其影响也不明显。他还进一步发现，对于中等或中下水平的学生而言，凸显关键信息对于解题不会有任何帮助，但对于数学基础较好的学生，凸显关键信息对于解题有明显的启发作用。
章巍将代数应用题的语言描述特征分解为语量、语境、语序和关键词的隐蔽程度四个指标，通过实验逐一研究每个指标与解题效果的关系。结果表明：语量对初二学生解答代数应用题效果的影响明显，“学困生”相对于“学优生”更容易受语量的影响；语境对解答代数应用题效果的影响明显；语序对解答代数应用题的效果有一定程度的影响，但不够显著；关键词的隐蔽程度对解题结果有一定程度的影响，但不够显著，而对解题时间的影响却非常显著，即大多数学生面对关键条件隐蔽性较强的代数应用题时，会花费大量时间去寻找和发掘这些条件。
情境内容的真实性是指数学应用题的背景是真实存在的。一些学者据此定义了规则应用题和不规则应用题：规则应用题即传统的应用题，题目规范，条件充分，答案唯一；而不规则应用题由于背景真实，条件可能多余，也可能不足，答案可能无解，也可能有多解。学生解决不规则应用题时，不仅要结合数学知识，而且要基于日常生活经验。Sweller等提出的认知负荷理论可以解释为何有多余条件的应用题对学生来说是最难的。该理论认为，在解决有多余信息的问题时，解题者必须对两种信息进行加工，即正确解题所需的信息以及多余信息；解题者首先需要集中精力来区分这两种信息，然后才能对解题有关的信息进行充分的表征。
冯虹等用眼动分析法分析不同年级学生对不同类型题目（完整的、有多余条件的、缺少条件的和缺少问题的题目）的表征层次和解题策略。结果发现：不同年级学生对“题设”的相对注视次数（被试在某个兴趣区的注视次数占全部注视次数的百分比）的差异并不显著，但是对“关键信息”的相对注视次数则表现出了明显的年级特征；学生解规则题目时对“题设”的相对注视次数非常显著地小于不规则题目，解不规则题目时对“关键信息”的相对注视次数显著大于规则题目。实验还发现，学生解缺少条件的题目时正确率最高，原因在于学生对题目进行深度表征后，会添加一些很容易解答的条件或问题；而解有多余条件的题目时正确率最低，说明有多余条件的题目对学生而言最难解决。
（三）解题策略
解决应用问题有一些策略（最常用的就是画图策略）。信息区分策略是指在解题过程中将题目背景及问题分析成语义单元，对信息类型进行检验、区分，找出信息之间的相关性，目的是对这些信息进行比较，进而与问题相匹配。Littlefield等通过观察学生的眼动轨迹，发现学生一共使用了5种区分策略。（1）重读题目策略：通过重复地阅读题目，将部分信息及语义特征贮存到工作记忆中，然后对信息进行比较。（2）单一比较策略：在数字及关系词之间进行简单、直接的比较，可能会根据问题部分的要求直接列出方程。（3）以特征为基础策略：在题目中寻找与问题部分的语义特征相匹配的语义特征，通常会将注视点集中在变量名或与问题部分相似的事件、概念上。（4）“问题—引导”策略：以问题部分的语义特征为指导，对信息进行分析。（5）首次读题区分策略：对语义类型进行区分，找到解题所需的关键信息，将注视点集中在关键信息和相关数字信息上。岳宝霞等以初二学生为被试，采用眼动分析法探讨了题目难度、冗余信息和数学成绩对学生采用信息区分策略的影响，结果证实了学生解答应用题存在上述5种策略。
人们关注的另一个问题是，能力水平不同的学生是否会采用不同的策略解决问题。张锦坤等运用作品分析法分析初二优秀生、中等生和差生对两道中等偏上难度几何应用题的解答情况，以此探讨各层次学生解答应用题的策略类型。分析发现，不同水平的学生在两道几何应用题的解题过程、解题步骤上所使用的策略是不同的：优秀生的解题策略为“俯瞰型”，他们能深刻理解问题，通过不断创造中间条件灵活连接条件与问题的关系；中等生为“经验型”，表现为过度依赖过去的解题经验，对问题与条件之间关系的综合把握不够灵活；差生为“盲目型”，表现为对解题的目的指向性不强，只是试探性地从已知条件中推导出一些结果。
（四）模式识别
数学应用题存在模型，这是数学教师在教学实践中总结出来的经验。在问题解决中，解题者调用头脑中的模型来解决当前问题，就是模式识别。
施铁如通过对初一年级两组学生的对比实验发现：能否识别应用题的类型在很大程度上决定着能否迅速、准确地解答问题；要正确识别应用题的类型，需要从具体的语义情境中分出确定的、一般的结构关系，这既依赖于对当前题目信息的加工，也依赖于对记忆中贮存的有关信息的搜寻；识别题目类型的训练有利于形成解题技能，而这种训练应该围绕模型选择多种多样的变式习题来进行。
王亚同等将例子的概括化程度称为图式化程度。图式化本质上就是一种模式化。他们研究发现，利用由结构类似性形成的代數图式可以比较容易地解决目标问题。
陆昌勤等做了对比实验：在实验班采用解答代数应用题的认知过程模式教学——对每道题目，学生都要填写表1；在控制班按照传统方式教学。结果表明，实验班学生解题正确率非常显著地高于控制班，因为实验班学生的头脑中形成了解决问题的模式，有优良的认知结构。
（五）元认知及非智力因素
许多研究证实，元认知及非智力因素对问题解决有显著影响。童世斌等采用对比实验，对实验班进行两个阶段的训练。第一阶段，训练掌握元认知知识，即解决问题的有效思维策略。训练内容包括：准确理解题意，理清复杂的数量关系，寻找隐含的数量关系，总结解题思路。第二阶段，训练元认知监控。利用“元认知监控自我提问单”训练学生通过自我监视和控制来确保自己在问题解决过程中运用所学的策略性知识。结果表明：学生的思维策略训练效果显著，中等生、差生的效果尤为显著；在思维策略训练的基础上加上元认知监控训练，能够更有效地提升解答数学应用题思维训练的效果。
由于数学应用题的篇幅长、背景陌生，不少学生对数学应用题有着与生俱来的畏惧感。数学焦虑是情感，也是认知方面对数学的恐惧，指学生在数学学习过程中由于过度的担心和忧虑而引起的一系列生理上和心理上的消极状态。宋广文等通过对初中学生进行测量研究，发现数学焦虑对解答应用题的成绩具有一定的负向作用。
二、对中学数学教学的启示
上述应用题解决的一些心理学研究，可以给我们一些有益的启示，从而提出如下几点中学数学应用题教学策略。
（一）丰富领域知识，形成扎实基础
掌握基础知识，形成基本技能，是教学三维目标中的第一维，也是学生发展数学核心素养的基础。事实上，上述关于领域知识的丰富的心理学研究，本质上就指向“双基”的扎实性。基础知识的厚实、基本技能的娴熟，不仅对解决应用题有举足轻重的作用，而且对解决所有的数学问题都至关重要，是数学学习质量高低的一个显性指标。
在应用题教学中，要丰富学生的数学领域知识，可考虑如下两点：
首先，帮助学生在长时记忆中贮存必需的公式、定理和法则。解决应用问题会用到大量的数学公式，如速度公式、浓度公式、复利公式等。不仅如此，解决应用题还会用到一些跨领域的知识。一是数学学科内部的跨领域。比如，许多应用题都与距离有关，而距离是线段的长度，因而，大多数求距离的应用题，可能会与平面几何、三角函数、解析几何的一些公式、定理有关系。二是跨学科领域。比如，解决数学应用问题可能会用到物理、化学、生物等学科的相关公式、法则。因此，记忆重要的知识是解答应用题的必要条件，教师应该将知识分门别类，帮助学生形成知识体系，有序贮存知识。
其次，帮助学生总结题目类型，形成解题模式。如前文所述，心理学的相关研究表明，对模式进行有效的识别是解决应用问题的关键。波利亚也提倡解题模式的训练，他提出的笛卡儿模式、双轨迹模式等就是数学解题模式的典范。事实上，许多学生对应用题的错误解答，或者是因为无法识别题目类型，或者是因为错误识别题目类型。因此，教师要帮助学生养成辨析问题类型的习惯，提升识别模式的能力。当然，这样做的前提是学生头脑中具备相关的模式。对此，可以采用“解题总结、分门别类、提炼方法、形成模式”的路径。
（二）加强审题训练，提升表征水平
审题与问题表征直接相关，审题的质量影响问题表征的质量。因此，加强对学生审题的训练十分必要。
审题教学可以分为以下几步：分层理解，分类整理，分步反推。首先，引导学生采用“首次读题区分策略”通读题目，对题目信息中的问题背景、基本元素的数量或位置关系、解题目标进行分层理解。第一遍通读，主要了解问题背景、明确解题目标。其次，引导学生采用“‘问题—引导’策略”“以特征为基础策略”等进行精读，在问题的引导下借助图形或表格清晰地表述关键信息，并将文字语言进行初步的数学表征。第二遍精读，关注与解题相关的数量或位置关系。最后，引导学生分步反推，寻找已知条件与解题目标之间的联系、隐含信息以及相关知识。
例1（2020年高考江苏数学卷第17题）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图1所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）。经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式h1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式h2=-1800b3+6b。已知点B到OO′的距离为40米。
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C、E在AB上（不包括端点）。桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）（k>0），问：O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
1.分层理解。
通读题目后，可将题目的文字信息初步分为3个层次。第一层次：问题背景——在山谷中建桥梁；第二层次：与桥梁相关的元素的数量与位置关系；第三层次：解题目标——桥的长度、桥墩总造价何时最低。
2.分类整理。
了解问题背景和解题目标后，采用“问题—引导”策略精读基本元素的数量与位置关系信息。教师可以引导学生借助表格对相关信息集中整理（得到下页表2），使学生比较清晰地抓住关键信息。
3.分步反推。
（1）桥AB的长度。
①题目的目标是什么？可以怎么理解？
“桥AB的长度”，即线段AB的长度，点A与点B之间的距离。
②题目的条件是什么？可以怎么理解？
条件1：“桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）；点B到OO′的距离为40米”。结合图形，已知BO′=40，只要再求出AO′的长度，就可以求出AB=AO′+BO′。
条件2：“左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式h1=140a2”。这里的a、h1都是正数，并且只要知道其中一个的值，就可以通过关系式求出另一个的值。
条件3：“右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式h2=-1800b3+6b”。与条件2的理解相同。除此之外，还已知b的一个取值BO′=40，可以求出h2的一个取值——OO′的长度。
③题目的条件和目标有哪些数学联系？
线段AB的长度AO′的长度OO′的长度h2=-1800b3+6b，b=40。
（2）O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
①题目的目标是什么？可以怎么理解？
求出O′E的长度，使得桥墩CD与EF的总造价最低。可以这样理解：桥墩的总造价与O′E的长度有关，需要求出二者之间的关系式。
②題目的条件是什么？可以怎么理解？
条件1：“CE为80米”。结合图形，已知CE=80，那么知道了O′E的长度，也就知道了CO′=CE-O′E。
条件2：“桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）（k>0）”。由此可知，只要求出EF和CD的长度，就能知道总造价。
③题目的条件和解题目标有哪些数学联系？
总造价EF和CD的长度EF=EF1-FF1，CD=CD1-DD1，且CD1=EF1=OO′DD1=140CO′2，FF1=-1800O′E3+6O′ECO′+O′E=CE=80设O′E=x。（D1、E1分别为直线CD、EF与直线MN的垂足）
（三）构建变式问题，促进知识迁移
设计数学应用题时，可以考虑对一个起点问题（称为源题）进行变式，得到相同问题、相似问题、同型问题、相异问题。相同问题是指与源题有相同的问题情境和解题原理，属于近迁移题；相似问题是指与源题有相同的问题情境、不同的解题原理，属于中迁移题；同型问题是指与源题有不同的问题情境、相同的解题原理，属于中迁移题；相异问题是指与源题有不同的问题情境和解题原理，属于远迁移题。
对于相同问题，通过教师对例题的讲解，学生容易实现迁移，因为这是一种模仿性解题行为。对于相似问题，由于问题情境不变而解题原理变了，学生容易受到情境的影响产生负迁移，即还是企图利用原来的原理解决，因此，解决起来存在一定的困难。对于同型问题，由于问题情境变了而解题原理不变，教师应当注意引导学生从不同的情境中概括出相同的原理，这样不仅可以提高学生解决问题的迁移能力，还能发展他们的数学抽象素养。
例如，有些代数应用题可以使用“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”“工作效率×工作时间=工作量”等数量关系来解决。如果教师将这一系列同型问题的解答过程放在一起，引导学生归纳出一个更具有概括性的数量关系，即“单位量×单位时间=总量”，就达到了同型问题的训练目的。
例2（源题）客车从甲地到乙地需要20小时，货车从乙地到甲地需要30小时，现在两车分别从甲乙两地同时相向开出，多少小时后两车相遇？120x+130x=1
（相同问题）汤姆从自己家开车到比尔家需要4小时，比尔从自己家开车到汤姆家需要3小时。如果他们同时从自己家开车向对方家驶去，要多久才能见面？14x+13x=1
（同型问题）①将1400元奖学金按照两种奖项奖励给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，则获得一等奖的学生有多少人？[200x+50（22-x）=1400]
②买了共138米的两种布料，花了540元，其中蓝布料每米3元，黑布料每米5元，则两种布料各买了多少米？[3x+5（138-x）=540]
（相似问题）两辆汽车从相距84km的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km/h，半小时后两车相遇，则两车的速度各是多少？12x+12（x+20）=84
以上的源题、相同问题、同型问题、相似问题可以让学生依次解答。学生全部解决后，教师可以同时呈现问题以及对应的方程，引导学生归纳出更一般的数量关系——“部分1+部分2=总体”。这样，学生即使遇到背景陌生的应用题，只要抓住这个数量关系，去题目中寻找信息，将部分与整体分别用代数式表示出来，就可以解决一大类应用题。
（四）设计自我提问单，提升监控水平
心理学研究表明，优秀生在解决应用题时能有效地监控自己的认知加工过程，而中等生、差生则缺少有效的自我监控，但经过一段时间的元认知训练后，中等生、差生解题效果有显著的提升。因此，在教学中，教师应该有意识地对学生进行元认知训练。
元认知训练可以分为内隐训练和外显训练。内隐训练主要是通过在教学过程中示范性地解释解题所用的程序性知识和策略性知识，让学生体会元认知策略的有效性；外显训练可以通过制作一个与课堂传授的元认知策略相一致的“元认知监控自我提问单”，要求学生在解题时回答相应的问题，达到监控自己认知加工过程的目的。当学生对这一系列的元认知策略应用自如时，说明他们已将元认知知识内化，可以不再要求他们在解题时填写提问单。
“元认知监控自我提问单”的设计，可以以波利亚的“怎样解题表”为基础，根据不同时间段、不同知识点进行相应的修改。例如，上述例1审题教学中的“分步反推”环节所提的问题即是“元认知监控自我提问单”的部分问题。
整体地看，“元认知监控自我提问单”可以分为以下三个部分：
（1）审题环节：①问题的背景是什么？②解题目标是什么，应当怎么理解？③已知条件是什么，可以怎么理解？④能画一个表或者一张图，将题目中的关键信息表示清楚吗？
