时间：2023-06-05 09:57:15
"平面图形的认识"作为小学阶段学生认识几何图形的第一课,具有十分重要的意义。怎样使学生既对几种图形的特征有一定的认识,还能初步掌握一些学习方法,同时还要对学生进行一些数学思想的渗透,确实具有一定的难度。这节课教师能认真领会课标中的新理念,抓住教材实质,结合学生实际,精心设计各教学环节,达到了较好的教学效果。
1.情境的创设与问题的提出符合学生年龄特点,贴近学生生活实际.
本节课教师创设了"玩积木"的情境,非常符合学生的年龄特点。"积木"对于一年级学生来说是最熟悉的一种玩具,几乎家家都有。"玩积木"是他们最喜欢的游戏之一,充分调动了孩子们的学习积极性。
2.能从学生认知经验出发,灵活处理教材,合理安排教学顺序。
对四种图形的认识,教师改变了教材原来的编排顺序.这样安排本节课的教学内容,体现了教师能认真钻研教材,结合教学内容的特点和学生的认知特点,灵活处理教材,合理安排教学顺序。
3.重视学生的体验,精心设计教学活动。
(1)能让学生在"玩"中体验。
(2)能让学生在"游戏"中体验。
(3)能让学生在"合作交流"中体验。
总之,"立体图形的认识"一课,在教学情境的创设,教学过程的安排,教学活动的体验性方面,都能坚持以学生的发展为本,努力体现新课标所倡导的基本理念。
【摘要】图形及其性质的认识是空间与图形领域中的重要内容之一。学生将在现实生活中已经积累了一些基本图形的认识经验的基础上，用数学的眼光去重新认识常见的立体图形和平面图形；在丰富的现实背景中，通过观察、操作、比较、概括、推理等探索常见图形的性质，并运用它们解决实际问题；在立体图形和平面图形转化等活动中，建立空间观念；在欣赏丰富多彩的图形世界的同时，体会图形在现实世界中的广泛存在。
【关键词】空间与图形把握抽象观察探索体会等
图形及其性质的认识是空间与图形领域中的重要内容之一。学生将在现实生活中已经积累了一些基本图形的认识经验的基础上，用数学的眼光去重新认识常见的立体图形和平面图形；在丰富的现实背景中，通过观察、操作、比较、概括、推理等探索常见图形的性质，并运用它们解决实际问题；在立体图形和平面图形转化等活动中，建立空间观念；在欣赏丰富多彩的图形世界的同时，体会图形在现实世界中的广泛存在。笔者认为，教师在教学这部分内容中，应注意以下几个方面。
一把握图形的认识的内容主线
从小学一年级到六年级，学生要学习很多常见立体图形和平面图形及其性质的内容。从这些内容中，作为教师，需要抓住其主线，进而很好把握学生的学习路线。。仔细分析，不难看出如下的几条基本线索。
1、从立体到平面再到立体。
从立体到平面再到立体，是从立体到平面到基本元素，之后再到平面，再到立体，而前后的两个“平面”，两个“立体”是有着区别的。开始学生是从直观上来认识立体图形和平面图形的，而后来则要利用已学的平面图形的性质等尝试把握这些立体图形的特征。
2、从生活中的实物抽象出图形到应用于生活
教师不仅要重视从生活中的实物抽象出图形的过程，也要重视将图形及其特征应用到生活中去。当学生在尝试解决实际问题时，他们需要将所学的有关图形性质充分利用起来，这不仅促进了对这些性质的理解，并且发展了学生解决问题的能力。
3、从直观辩认图形到操作探索图形的特征
从直观辨认到探索特征是符合儿童的认知规律。学生通过思维水平的进步，从一个直观化水平不断地提高到描述、分析、抽象和演绎等复杂水平。比如一年级直观辩认长正形等平面图形，到一定年级后，需要继续探索这些图形的特征。图形的特征既包括边的特征、角的特征，也包括图形的对称性等方面特征。
4、从直边图形到曲边图形
如学生先认识长方形、正方形等到圆。在这个过程中，学生将初步感受“以直代曲”的思想。
5、从静态到动态
对于图形的认识，不仅仅可以从静态的角度去认识它，还可以从动态的角度去丰富对它的认识。例如，在北师大版新世纪小学数学教材中，在第一阶段对于角的学习主要侧重于静态，使学生体会角是由一个端点和两条边组成的部分；在第二阶段则侧重于动态认识，教材起的标题为“旋转与角”，通过学生的操作活动，使学生体会到角还是一条边绕端点旋转形成的部分。
二、注重使学生体会图形与现实世界的密切联系
空间与图形的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中有着极其广泛的应用。应使学生从生活的空间中“发现”这些图形，经历从现实源泉中抽象出图形的过程，体验图形与现实世界的密切联系。学生通过丰富的实例，在具体的背景中理解这些基本元素及其关系，了解它们的广泛应用。进一步通过概括和抽象而得到数学中的图形。比如，对于“角”的学习，教师可以呈现或者鼓励学生在生活中找到许许多多“角”的实际背景，从中抽象出角的特征，这时角在学生的脑海里就不仅仅是一个形式定义，而是有着丰富内容的概念表征。
三、设计丰富的素材促进学生进行平面和立体的转化
“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其他视图、展开力之间的转化”是空间观念的重要表现，为此，教师设计的素材应促进学生进行平面和立体的转化。在小学阶段，“转化”的内容主要有：立体图形的展开与平面图形的折叠；从正面、上面等观察立体图形得到平面图形与根据观察到的图形还原立体图形；长方形绕长或宽旋转一周形成圆柱与圆柱“切割”得到长方形，直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥与圆锥“切割”得到三角形。这些素材不仅对于发展学生的空间观念很有帮助，并且又与学生的经验紧密联系，对于他们来说是有趣而富有挑战性的。
四、鼓励学生经历观察、操作、想象、推理、表达等活动。
教学中非常重要的一点，是既体现观察、操作、想象、推理、表达等活动各自的价值，又能将它们结合起来。比如说对于长方形特征的探索，教师可以首先鼓励学生观察，提出一些猜想。在此基础上，教师可以鼓励学生运用操作对猜测想进行验证。最后，教师还可以鼓励学生用自己的语言表达出长方形的特征。总之，在探索图形性质的过程中，要留给学生实践、思考与讨论的时间，这不仅能使他们对探索到的特征有更加深刻的理解，更重要的是，学生将积累丰富的直观经验和活动经验，发展有条理的思考和解决问题的能力。
五、重视图形分类的价值
图形分类可以帮助学生不断对图形进行比较、概括，从而不断体会图形的特征。因此，在图形的认识的教学中，教师应重视图形分类的价值。教学中，教师可以从以下几方面引导学生对图形进行分类：第一，将图形分成平面图形和立体图形；第二，将平面图形分成由直边组成的（多边形）和含有曲边的；第三，将多边形按照边、角等图形的特征进行分类.
六、鼓励学生从动态的角度认识图形
【关键词】 小学数学；认识图形；教学设计；对比；反思
“认识图形”是北师大版一年级下册第四单元“有趣的图形”中的起始课. 是在上个学期学生初步认识立体图形长方体、正方体、圆柱、球的基础上进行教学的. 教材中从描（画、印）出简单几何体的面入手，引入平面图形长方形、正方形、三角形、圆，使学生直观认识一些平面图形，体会平面图形与简单几何体的关系. 这样的编排体现了从立体到平面的设计思路. 本节课也是二年级继续学习长方形、正方形、平行四边形特征的重要基础，有利于培养学生的动手能力、探究精神和发展学生的空间观念.
学生生活在三维空间中，对于空间中物体的形状建立了直观的表象，尤其在学前，就已经通过玩积木、画画等活动，初步接触了立体图形和平面图形. 学生喜欢看的动画片，是在平面上展示的图形，学生感知得很好，但对于立体图形与平面图形的关系却很难区分. 这说明学生对图形的认识比较模糊，停留在生活经验的基础上，怎样把生活的经验上升到数学的抽象层面，初步感知平面图形的特征，体会到“面在体上”、“面从体来”这样的思想，成为这节课的重点与难点.
基于学生的认知特点，学生需要在动手实践、自主探索、合作交流的过程中感受平面与立体的关系，在观察对比的分类活动中，感知平面图形的特征.
一、 二次备课导入环节对比分析
（一）第一次导入设计
1. 找一找
师：今天我带来了几位新的图形朋友和大家认识，你们想不想和他们交朋友呢？请小朋友们先欣赏一幅画. （课件出示美丽的海底鱼）仔细观察，这条鱼是由哪些图形组成的？
学生汇报，课件演示. 老师再相应贴出4种平面图形并介绍图形的名称. （这个面的形状是长方形、正方形、三角形、圆）
2. 揭题
师：说得真好！今天，我们就要来和这些图形交朋友. （板书：认识图形）
（二）第二次导入设计
1. 猜一猜
师：（拿出一个袋子）同学们，想知道这里面有什么宝贝吗？我先说个谜语，你们猜猜看. 上下一样粗，两面圆又圆，躺着会滚动，站着像根柱. （圆柱体）是不是呢？（很神秘地从袋子里拿出圆柱体）猜对了！除了圆柱体，你们还记得哪些物体？（一一介绍出长方体、正方体、球）
2. 揭题
我这里还有一个物体，你们不太熟悉，它的样子就像埃及的金字塔，它的名字叫四棱锥. 今天四棱锥和其他物体要介绍新的图形朋友给大家认识. （板书：认识图形）
（三）导入环节设计对比分析
在“认识图形”之前，学生原有认知结构中就有一些相关的、初步的概念. 所以初稿中设计通过观察发现海底鱼的图案找出各种平面图形，揭示今天的课题. 但后来发现这个环节比较耽误时间，而且在下一个环节“面从体来”的活动中，学生对立体图形与平面图形的名称容易混淆，说明对上学期认识立体图形的知识有所遗忘，所以复习旧知很有必要，并且还要考虑引入应当要快而有趣.
因此我将情境创设修改为“猜一猜”，不仅激发学生学习兴趣，而且帮助学生复习上学期已学过的立体图形，为学习平面图形、辨别面与体之间的联系打好基础，让学生趣味盎然地经历数学之旅.
二、 二次备课探究环节对比分析
（一）第一次探究活动设计
1. 新朋友的家――面从体来
（1）师：同学们，你们想知道这些图形朋友的家在什么地方吗？我们到哪儿去找它们呢？（手拿一个长方体）这是我们上学期认识的长方体.（用手摸着一个面）这个面的形状是黑板上的哪一种图形？（学生回答是长方形）对，也就是从长方体的一个面上能找到长方形.
（2）师：请每个小朋友从桌面上找一个长方体，把它举起来给大家看看，你能从长方体上找到长方形吗？
谁找到了？摸给大家看看，摸的时候你有什么感觉？还有谁能找到更多的长方形？
（3）师：你能从桌面的物体上找到其他的图形吗？大家找找看，同桌互相说说：你从什么物体上找到了什么图形.
（4）师：谁来说说你从什么物体上找到了其他的什么图形？
学生汇报，一一介绍正方形、三角形、圆.
（5）师：接下来我们把这些图形朋友从他们的家里请出来. （用课件演示平面图形从立体图形移下来的过程）
师：像这样把物体的一个平平的面表示成一个平平的图形就叫作平面图形. （板书：平面图形）
2. 给新朋友画像――描或印图形
（1）师：那么同学们你们想不想自己动手把平面图形请出来呢？你有什么好办法将物体上的面移到纸上呢？同桌之间讨论一下.
学生汇报：用笔描或用印泥.
师：是这样吗？那就请你选择一种方法请出这些平面图形吧.
（2）学生动手操作，老师巡视指导.
（3）展示作品，集体汇报.
请几名学生分别在投影仪上展示作品，引导学生介绍自己印出的不同图形，并说出是用什么物体印的.
（二）第二次探究活动设计
1. 变魔术体会“面从体来”
（1）师：咦？新图形在哪里呢？别急，看我怎么把它请出来.
教师给大家表演：先贴一张白纸在黑板上，然后用四棱锥蘸上印泥在纸上一印.
看，我变出了什么图形？（三角形）
原来你们早就认识它啊.老师贴出相应的图片――三角形. 对了，像这个面的形状我们就把它叫作三角形.
（2）师：哪名同学能像老师一样再变一个新图形？（请一名学生上台来变，并引导学生介绍是用什么物体变出新图形. ）
师：你们想不想自己试一试？（想）
师：那就自己动手变魔术吧，看看你们能不能变出更多的图形.
（3）学生动手操作，老师巡视指导.
（4）展示作品，集体汇报.
师：谁愿意上台为大家展示自己变出的图形？
请几名学生分别在投影仪上展示作品，引导学生介绍自己印出的不同图形，并说出是用什么物体印的.
2. 归纳整理平面图形
（1）师：现在请同学们收好自己的作品，想一想，刚才我们都变出了哪些图形？
学生集体汇报：长方形、正方形、三角形、圆，老师在黑板上贴出相应图形图片和名称.
老师把四种图形的名称拿走，并移动了图形的位置和方向，再让学生集体识别图形. 如把 摆成 让学生观察辨认.
（2）课件演示，加深印象
师：四个图形都到齐了，下面让我们再回顾一下，它们都是从哪些物体上找出来的.
（课件演示平面图形从立体图形移下来的过程. ）
师：“它们都是物体上的一个面，都是平平的，所以它们叫作平面图形. ”
（板书：平面图形）
（三）探究活动设计对比分析
最初的设计是追求学习过程形式的多样化，所以安排学生通过摸一摸、数一数、印一印、描一描等活动体会“面在体上”. 然而后来发现这样的设计不仅花费了很多时间，而且教学环节显得多而冗杂.
实际上学生们通过这么“一蘸”“一印”的简单动作就能极易体会出“面从体出”. 所以二次设计中以“变魔术”激发学生的探究兴趣，摒除了过多的学习形式，留出更多时间将问题探究变得慢而深入，围绕着“印一印”的活动，让学生深刻感知和体会，知识的得出不需花费太多的工夫，只需老师稍稍一点拨，学生细细一琢磨，知识就很容易地在学生的游戏活动中得出来了.
三、 二次备课拓展练习对比分析
（一）第一次拓展练习设计
1. 给朋友分类――分图形
现在老师想问问：如果把这4个图形进行分类，那么它们可以分成几类？为什么？在小组里先说一说吧. 谁来说说？
生汇报：
（1）两类：
怎么分？（正方形、长方形、三角形一类，圆形一类）（师演示分法）为什么？（圆没有直边）
（2）四类：
怎么分？（4种图形各分一类）（师演示分法）为什么？（4个图形都不一样）
（3）三类：
还有其他分法吗？（师演示分法）. 师问：能说说为什么这样分吗？
生在说分的理由时，依次理清4种图形的不同特征.
小结：小朋友们真不错，通过分类我们知道了这4个图形有着不同的特征.
2. 找朋友――图形的应用
师：其实，在我们回家的路上也能看到这些图形，现在，我们一起去马路上看看吧！说一说：这些交通标志牌是什么形状？（课件出示四种交通标志图，说说这些标志的形状及作用）
师：在日常生活中，你见过哪些物体的面是这些图形？
（学生各抒己见，教师注意引导学生表达完整，哪个物体的面是什么图形）
（二）第二次拓展练习设计
1. 分一分，辨认图形，帮图形找家
师：我这里也有一些平面图形，哪些图形是我们今天刚认识的？快快帮它们找到家吧！
学生独立完成，送图形回家.
集体核对，汇报展示.
重点问：为什么3号 和9号 没有家呢？6号 是正方形吗？
2. 找一找，发现图形
师：其实在我们身边有许多这样的图形，同学们看看我们的教室. 你有什么发现？只要同学们细心观察就能发现这些图形朋友就在我们身边.
（三）拓展练习设计对比分析
通过将这些图形送回家的环节，更容易吸引学生的注意力，从而会积极主动地探索每个图形的特征，并且渗透了分类的数学思想. 原本让学生根据四种图形的特征进行分类，但这种分类形式比较抽象. 而且学生还没有了解过图形“边”的概念，在表述时也感到困难.
数学知识源于生活，而又最终服务于生活，在充分感知平面图形特征的基础上，通过找一找教室中的物体上的平面图形，将抽象的几何图形回归到生活的实际原型，通过经历从一般到特殊的过程，发展学生把所学的知识运用到实际的意识，密切数学与生活的联系. 针对一年级学生的年龄特征，设计从教室里找图形，比空洞地谈“生活中你见过哪些物体的面是这些图形？”要具体生动得多.
【关键词】空间观念；转化思想；生活经验
“投影与视图”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）界定的“图形与几何”部分的重要内容.本章是青岛版教科书的最后一章，主要研究投影的基础知识和物体的三视图.投影是将空间图形变化为平面图形，研究不同投影方式下投影的变化规律，是用平面图形刻划空间图形的重要方法和途径，投影是视图的基础；三视图是本章的核心内容，在生产中有广泛的应用.是数学学科的任务之一.
本章内容与空间图形有着密切的联系，对于初、高中数学课程内容的衔接起着承上启下的作用，是后继高中阶段学习空间图形知识的基础，对于学生顺利过渡到高中阶段的数学学习有着十分重要的意义.
1教材分析
1.1知识结构（如图1所示）
1.2内容概述
本章内容包括中心投影、平行投影和物体的三视图三节内容.
第1节“中心投影”1课时.教科书首先从学生的生活经验出发，通过手影、投影仪、幻灯机等生活实例，引出投影、投射线、投影面以及中心投影的概念.然后利用“实验与探究”提出四个问题，引导学生通过实验观察和借助生活经验，依次探究细竹签、平行四边形纸片在灯光下落在水平桌面上的影子.再把这一现象抽象为在中心投影下，点、线段、平行四边形在水平平面内的投影，并且分线段、平行四边形与投影面的几种不同位置，分别探索投影的形状和大小，从而发现中心投影的一般规律.并且探索得到线段和平行四边形在中心投影下的性质.进一步探索在灯光下平行四边形纸片与桌面平行时纸片在桌面上的影子，概括出平面图形与投影面平行时中心投影的特征，由此说明了幻灯机的工作原理.
第2节“平行投影”3课时，学习平行投影的概念和简单的性质、探索特殊的平行投影――正投影的概念和简单的性质、讨论简单几何体在水平投影面和竖直投影面内的正投影.
第1课时教科书从阳光下物体的影子的生活情境出发，引出平行投影的概念，然后在“实验与探究”中，通过问题（1）（2）（3）设计的教学活动依次探索点、细竹竿和矩形纸片的平行投影现象，从而归纳出点、线段、矩形的平行投影的规律.
第2课时教科书首先给出正投影的概念，然后按照线段、平面图形、长方体的顺序从一维、二维到三维依次探索了正投影的规律.对线段的正投影结果分线段平行于投影面、倾斜于投影面和垂直于投影面三种情况进行了分析.
第3课时教科书安排了两个例题，目的是巩固几何体正投影的规律，利用这一规律会画简单几何体的正投影，并引出“视图”的概念，为下一节学习三视图做好铺垫.
第3节“物体的三视图”3课时.主要研究三视图的概念和简单几何体三视图的画法、根据视图描述简单几何体，以及简单几何体的组合体三视图的画法、综合运用本章及上一章（空间图形的初步认识）的知识，根据视图和表面展开图，想象和制作实物模型.
三视图是本章的核心内容.教科书首先利用“交流与发现”栏目结合图2引出了主视图、俯视图、左视图以及三视图的概念，了解主视图是在竖直投影面的正投影.
进而教科书把这三个视图都展开到主视图所在的平面内，结合图3说明了三个视图之间的位置关系，所标出的上、下、左、右、前、后，是指在识图时，主视图反映实际物体的左、右、上、下关系，俯视图反映实际物体的左、右、前、后关系，左视图反映实际物体的上、下、前、后关系.从而主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，当主视图的位置确定后，俯视图在主视图的正下方，主、俯视图都反映物体的长，所以画图时应“上主下俯长对正”.同样地可以解释“主、左视图高平齐”.
为帮助学生正确认识三视图，理解并利用上述规律，然后教科书给出了四个例题，例1是画三视图，通过这个题目，让学生认识到画三视图时不仅整体上要做到“长对正，高平齐，宽相等”，而且它的局部也要符合这一规律.
例2是告诉学生三视图，让学生描述出几何体的形状.
例3要求画出一个简单组合体的三视图.给出几何体，让学生画出这个几何体的三视图.为了明确哪是主视图，哪是俯视图和左视图，教科书在实体图中标出了三个投射方向.
例4是一个由三视图制作几何体模型的全过程.设计本例的目的是为了加深学生对空间图形相关知识内在联系的认识，感悟平面图形与空间图形的转化，同时进一步培养学生的空间观念和几何直观.
1.3教W目标
本章是从以下四个方面落实课程目标的：
（1）知识与技能
①通过背景丰富的实例，了解中心投影和平行投影.
②会画基本几何体的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
③了解基本几何体与其三视图之间的关系，通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用.
（2）数学思考
①探索物体的三视图，强化平面图形与空间几何体的相互转换过程，进一步发展空间观念和几何直观.
②体会几何体与平面图形之间的相互联系，感悟转化的思想，发展合情推理能力.
③在绘制物体的三视图时，能对绘制出的图形进行验证.
（3）解决问题
①尝试评价中心投影和平行投影间的差异.评价三视图之间的联系.
②画出三视图后，能解释画法的合理性，能根据三视图，准确地识别相应的简单几何体.
③体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，形成合作交流的自觉意识.
（4）情感与态度
①对投影与视图的学习有浓厚的兴趣，能够在数学活动中发挥积极作用.
②通过视图、投影的学习，体验到数字、符号和图形都是有效的描述现实世界的重要手段.
③从视图、投影的应用中，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，增强应用意识.
由此可见，教科书对课程目标的要求不只停留在知识技能方面，而且还特别注重了让学生参入数学活动的过程性方面，上述要求涵盖了数学课程目标的各个纬度，体现了《课标（2011年版）》的“课程目标”和价值追求.2编写时重点考虑的问题
为了落实上述目标，编写人员以《课标（2011年版）》为依据，除了选用合适的素材（如图片、情境、实例）外，还精心设计了一些符合“数学学科特征”及“学生认知规律”的探究、实验、思考、交流等活动，以期把教学活动设计成“师生积极参与、交往互动、共同发展的过程”.
就本章而言，教科书编写的指导思想是：从生活实际出发，精心创设问题情境，使学生通过实验与探究，观察与思考、交流与发现等系列活动，经历观察、比较、识别、抽象的过程，从而了解投影和平行投影的定义、掌握三视图的知识；通过动手操作会画简单几何体的三视图，能根据三图说出简单几何体的形状；设置恰当的思考问题，引导学生经历根据三视图制作几何模型的全过程.
2.1贴近学生的生活实际
《课标（2011年版）》提出了六条针对教材编写的建议，其中之一为“现实性”，并且进一步指出“素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验.这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程.”本章内容充分利用现实生活中的素材，使学生在观察、实验的基础上，抽象出空间图形，归纳出它们的几何特征，发现它们的数学规律.在例题、习题的设计与选择上我们也注意了与生产生活的联系.
例如，教科书从人们非常熟悉的生活中的影子、手影引出了投影的概念，从灯泡发出的光线、幻灯机等实例中，引出了中心投影的概念，在探索中心投影和平行投影时，教科书结合细竹签、平行四边形纸片和正方体模型的例子，讨论当它们与投影面成不同位置关系时的投影，探索和发现出其中蕴含的规律；在“物体的三视图”一节，以一个常见的机器部件在三个投影面的正投影，引出三视图的概念与画法.这些内容都体现了从现实情境中抽象出数学知识与方法，然后又利用数学知识解决实际问题的编写教材特点.
这些素材的选取一方面有利于学生学习本章的数学知识，另一方面使学生体会到“数学学来源于生活实际，产生于现实需要，又服务于我们的生活实际”，加深了对“生活即数学”的认识和理解.通过本章知识的学习，不仅可以提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，而且还有利于培养学生的应用意识和创新意识，有利于学生数学核心素养的培养和提高.
2.2重视数学知识的产生、发展和应用过程
按照《课标（2011年版）》提出的“过程性”要求，我们结合具体课程内容，设计了一些必要的数学活动，让学生通过观察、实验、猜测、绘图、计算、推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用过程.例如，一方面让学生认识生活中的投影现象，感受中心投影和平行投影的不同，同时让学生通过在灯光下和阳光下进行操作、实验和观察，体会影子的变化规律，让学生发现对于同一物体，由于与投影面的相对位置不同，影子的大小、形状也会不同，从而丰富学生的数学活动经验，并由此总结出投影的基本性质，以增强学生的空间观念，为学习正投影和三视图打下基础.另一方面，学习了投影和三视图的知识后，都设计了相应的问题，让学生利用所学知识加以解决，这个过程既可以加深对所学知识的理解和掌握，又可以培养他们问题解决的能力，有利于应用意识的培养.
2.3注重对数学思想的渗透和应用
从数学思想方法来看，转化是本章最重要的数学思想，物体的各种投影都是将立体图形转化为平面图形；由简单几何体画出它的三视图，由三视图想象出几何体的形状，都反映了立体图形与平面图形的联系与转化，这对于培养学生的空间观念是非常重要的，同时也发展了学生的几何直观.在探索中心投影、平行投影以及三视图的投影规律的过程中，还渗透了抽象、分类和归纳的数学思想.
3教学建议
3.1充分利用学生已有的活动经验
在我们生活的客观世界中，物体的形状都是立体图形，而它们的影子则是平面图形，物体在光源下形成影子是将立体图形变化为平面图形的过程.在本章内容的教学中，涉及到空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（相交、垂直和平行）等知识，由于这些内容属于高中学段的教学内容，学生学习本章前缺乏对这些知识的学习.
为了解决这一问题，引导学生顺利学好本章内容，教师应从学生的生活经验出发，利用学生直观的、感性的经验，使学生能结合熟悉的生活实例，通过与平面图形相关知识的类比，感受这些位置关系.教学时，可以利用模型、教具或课件动态地直观地演示，获取对这些空间位置关系的感性认识.例如，通过教室的天花板与地面平行、墙壁面与地面垂直、两个相邻的墙壁面也互相垂直、两相邻墙壁面的交线与地面垂直、墙壁面与地面的交线与天花板平行、一个墙壁面和与它相邻的两个墙壁面的交线互相平行等实例，帮助学生感受空间位置关系，克服学生知识结构中缺乏立体几何知识的现象.
3.2加强空间观念的教学
《课标（2011年版）》提出了十大核心概念，其中之一是“空间观念”.空间观念是本章的核心，也是本章教学的主线.教学中，应注意突出培养学生的空间观念这一重点.
例如，在教学中心投影和平行投影时，应首先让学生理解点、线段、三角形、平行四边形等基本几何图形在投影面的投影，然后逐步过渡到研究简单几何体的投影.研究简单几何体的正投影时，应分别考虑简单几何体各个面在同一投影面上投影的形状.最后考虑几何体在三个两两垂直的投影面上的形状，得到三视图的概念.反过来能根据这三个投影想象出被投影的几何体的形状.教学时，要让学生充分经历以上过程，体现其中的逻辑顺序和转化思想，从而逐步培养学生的空间观念.
3.3注重实质，淡化形式
由于初中学生的思维水平有限，对于一些抽象的概念难以达到深刻理解的程度.对于这样的一些概念，我们要求学生了解即可，不要过分强调对其的理解.例如，对中心投影和平行投影这两个概念的教学，只要求学生通过实例了解这两种现象即可，不要求学生从严格的数学意义上去理解与把握，把教学重点放在让学生了解它们的简单规律和区别上.具体教学时，可以充分展示生活中的事例，也可让学生根据已有的经验去举例，经过相互交流，形成正确的认识.有条件的话尽可能地使用模型、教具和课件展示投影现象，丰富学生的认识和体验，增强几何直观，提高学生的学习兴趣，更好地认识投射线、几何体、投影面之间的位置关系，想象出投影的形状，促进对知识的理解.
3.4严格控制教学难度
一、 借助操作活动分类，深入理解图形概念
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对四个课程内容的名称进行了调整，其中原来的“空间与图形”调整为“图形与几何”，这种变化，史宁中解释为：谈到空间与图形是一种存在，是一种运动存在背景，几何就是把这种存在抽象成概念与概念之间的关系，让其在一定推理形式下进行运作。同时，课标在第一学段“图形的认识”部分明确提出：能对简单几何体和图形进行分类，并举例说明怎样将图形分类，突出了分类思想在图形教学中的作用。
苏教版义务教育数学教科书（以下简称教材），在一年级上册安排的教学内容是通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体，一年级下册安排的教学内容是辨认长方形、正方形、三角形、圆等简单图形。这样安排，从具体的实物到抽象的图形，符合学生的认知规律。教材在一年级下册“认识图形”编排时设计的过程是：选择积木画图形――在积木的其他面上寻找同样的图形――出示标准的几何图形并给出图形名称――在身边的物体上找出图形的实例，并通过“做图形”加强图形的表象。这样的设计，让学生初步感受到立体图形和平面图形之间的联系。但是，立体图形和平面图形有着本质的区别，为了让学生对两类图形有更清晰的认识，我们可以在教学中增加一个教学环节。出示一组图形（有立体的，有平面的），提问：你能将这些图形分成两类吗？先让学生独立想一想，再把想法和同桌说一说。接着，拿出这些图形的实物，指名学生动手操作，追问：为什么这样分？在学生回答的基础上边做手势边小结：这些图形是具体的物体，占有了一定的空间，我们称作立体图形，可以把它们归为一类；其他图形和它们不一样，我们称作平面图形，可以把它们归为另一类。这个环节的教学，在操作活动中，辅以适度的问题情境，让学生经历图形分类的过程，既有效突破了教学难点，又加深了学生对图形概念的理解。
教材在二年级上册“平行四边形的初步认识”中先安排了认识多边形的教学。这课中的例题呈现了一幅我国古代建筑上的窗格图案，里面有很多三角形、四边形、五边形和六边形等不同的图形。实际教学中，我们可以设计几个不同层次的活动，适当加以延伸。
活动1：描一描，在图中找出边数相同的图形，先让学生在作业纸上分别操作，再展示几个不同类型的作品，并说一说找的边数各是多少。这个活动可以让学生将对图形的认识聚焦到边上，为概念的揭示奠定基础。
活动2：分一分，在黑板上贴出一些多边形，要求学生分成几类，指名演示后说一说是怎样分的、为什么这样分。这个活动，学生可以迁移生活中的经验，在分类的过程中再次感受边的特点。
活动3：比一比，每组图形有什么相同的地方？分类思想的感悟离不开比较，学生在比较中概括出共性，进一步理解了多边形的含义。这个环节的教学，通过目标明确的活动，充盈了图形认识的过程，这样建构的概念更加丰满。
二、 借助韦恩图分类，整体认识图形概念
合理整合“图形与几何”部分的内容，是教材在四年级下册编排中的一个重要变化。其中，三角形、平行四边形和梯形由原来两个独立的单元整合到了一个单元中。这样处理，一方面能更好地凸显相关知识和方法间的联系，促进学习方法的迁移，另一方面也有利于学生更全面地认识多边形，促进数学知识的整体建构。教学中，我们要结合具体内容，有机渗透数学思想，让学生在感悟中加深理解，提高认识。
四年级下册“三角形的分类”一课，是感悟分类思想的最佳时机，这点从教材提供的例题、教学流程就能够清晰地感觉到。教材呈现了一组三角形，设置了两个问题：每个三角形的3个角分别是什么角？你能根据角的特点把这些三角形分类吗？促使学生主动观察，比较三角形每个角的大小、特点，经历分类的过程。同时提问：一个三角形中可能有2个直角或2个钝角吗？为什么？引导学生体会三角形命名方法的合理性。在此基础上，引入韦恩图（图1），让学生进一步理解各类三角形之间的关系。这个环节的教学，可以使学生弄清是按什么标准把这些三角形分类的，分成了几类，分类的结果怎样，初步学会用分类思想去分析问题。
四年级下册“等腰三角形和等边三角形”一课，教材虽然没有涉及根据边的特点把三角形分类的内容，但是教学时完全可以在概念教学后适当补充。可以设置这样的问题：等边三角形和等腰三角形有什么联系？让学生展开讨论，交流后发现等边三角形是特殊的等腰三角形。接着追问：如果三角形的三条边都不相等，这样的三角形可以起个什么名字？如果根据边的特点把三角形分类，可以分成几类？为什么？让学生运用分类思想去解决新的数学问题。最后，引导学生画出韦恩图（图2），并与上节课的韦恩图比较，让学生再次感悟到分类标准的重要性。这个环节的教学，可以使学生在分类的过程中初步学会区分不同对象的不同性质，对图形概念有了更完整的认识。
三、 借助结构图分类，沟通联系图形概念
布鲁纳说过，掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。分类思想可培养学生思考的周密性、条理性。在教学图形概念的复习课时，需要对相关概念进行系统梳理，理解相关概念之间的关系，完善认知结构。这时，引入结构图既可以进一步加深对有关图形概念的认识和理解，又可以帮助学生从结构上把握有关图形之间的联系。
一、学习“变异理论”，有所思
“组合图形的面积计算”这一内容是学生在学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的概念及面积计算的基础上，结合实际情境和具体图形，探索组合图形面积的计算方法。这一内容既是对长方形、正方形、平行四边形、三角形与梯形面积计算的进一步拓展，又是数学知识应用于实际问题的体现。这一内容旨在发展学生的空间观念，提高学生分析问题和解决问题的能力。
针对“组合图形的面积计算”这一内容，我的第一次教学设计了三个环节：一是回顾学习过的平面图形及面积计算方法，回忆推导平行四边形、三角形和梯形面积公式过程中运用的方法及得到的启示；二是通过创设“给小华家的客厅铺地板”这一情境，探索组合图形面积的计算方法，并把学生计算组合图形的方法分类、命名（分割法、割补法和添补法）；三是巩固练习并小结。
针对我的教学设计，“变异理论”课题组的老师展开研讨，最终指出两个关键问题：一是教学“组合图形的面积计算”这一内容时，教师首先要帮助学生建立“组合图形”的概念。二是探索“组合图形的面积计算”时，例题要丰富，以利于学生真正理解和掌握。
“变异理论”鼓励教师在教学中采用多种多样的“非标准正例”，以使学生在多样化的问题情境中找到解决问题的共同规律。在教学中，学生在把分别求出的简单图形面积整合为组合图形的总面积时，最易犯两个错误：一是忘记把计算时增加的图形面积减去，二是忘记把分别计算的部分面积相加。上述两个错误说明学生对“组合图形”的概念理解不深，因而在计算“组合图形”时具有一定的盲目性。
二、运用“变异理论”，有所为
在备课过程中，由生活实例认识“组合图形”的思路给我启示，于是，联系“变异理论”，我增加了认识“组合图形”的教学环节。根据“变异理论”，列举“正例”和“非标准正例”对于学生认识概念的基本属性具有重要作用。因此，在引导学生认识“组合图形”的环节中，我特意将“正例”和“非标准正例”先后呈现，以使学生全面认识“组合图形”的多样性。首先，我让学生观察房子、风筝和七巧板等“组合图形”，请学生说说这些“组合图形”是由哪些简单图形组成的，从而引出“组合图形”的概念。其次，我出示中国少年先锋队队旗，让学生通过动手操作感知“组合图形”。最后，我请学生观察周围的物品，让学生找找哪些物品的表面形状是“组合图形”，以加深学生在生活中对“组合图形”的认知。崭新的教学设计正是通过富于变化的“正例”和“非标准正例”，有序、完整地呈现了“组合图形”的基本属性（包含简单图形，是由几个简单图形组合在一起形成的）。一方面，学生通过观察房子、风筝和七巧板这些“组合图形”（“正例”）认识了“组合图形”的一般形式；另一方面，通过观察中国少年先锋队队旗（“非标准正例”），学生进一步认识到“组合图形”在基本属性保持不变的情况下，可展现多样化的形式。正是在例证的有序变化中，“组合图形”的基本属性凸显出来，有助学生准确地理解和掌握。
在教学“组合图形的面积计算”这一内容时，为了避免学生以往经常犯的错误（即在算出基本图形的面积后忽略了相加或相减），我决定准备充分的“非标准正例”，以使学生理解“组合图形”的面积是基本图形面积相加或相减的结果。
分析这三个例题：例1可运用分割法把基本图形的面积相加，最终求出菜地的面积；例2可运用添补法把基本图形的面积相减，最终求出草地的面积；例3除了可运用分割法、添补法，还可运用割补法使队旗形成一个基本图形，最终求出队旗的面积。这三个例题的选择，不仅考虑到计算方法的多样化，更将已学的长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形这些基本图形全覆盖。通过列举“非标准正例”，既强化“组合图形”的基本属性，又让学生充分掌握组合图形面积计算的多种方法。
三、反思“变异理论”，有所悟
我原来的教学设计是通过“给小华家的客厅铺地板”这一例题，即通过一个教学情境让学生探索“组合图形的面积计算”。修改后的教学设计中，我运用了三个不同的“非标准正例”，这样不仅有效地强化了学生对“组合图形”基本属性的认识，更将算法的多样化建立在多个“组合图形”的基础之上，进而将对“组合图形”的认识有效地迁移到组合图形面积的计算上。反过来，运用多个“非标准正例”计算“组合图形”的面积，进一步巩固了对“组合图形”的基本属性的认识。
【关键词】幼儿 图形 教学
【中图分类号】G613.4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）4-0134-01
研究现实世界中的空间形式，是数学的研究对象之一。幼儿的几何形体教育是幼儿数学教育的重要内容，幼儿学习一些几何形体的简单知识，能帮助他们对客观世界中形形的物体作出辨认和区分，发展他们初步的空间知觉能力与想象力，从而为进一步学习几何形体做准备，帮助他们更好地认识客观世界。
一、认识平面图形
通过观察和触摸，让幼儿在感知图形的基础上说出图形名称。幼儿认识图形一般从图形知觉开始，幼儿认识图形的教学，首先是让幼儿感知图形，在充分感知而获得有关图形的感性经验基础上，再配合以发音，达到正确命名图形的要求。因此，教师应运用观察、触摸的方法，让幼儿感知图形。开始时， 应尽量选用生活中接面图形的物体，让幼儿从实物出发感知图形，然后再用标准的平面图形。如：小班认识圆形，教师先让幼儿观察圆镜子，提出“这镜子是什么形状的？”的问题，并让幼儿用指尖沿着圆形边缘和正、反面触摸，让幼儿感知到镜子的面是平的，边缘是光滑的，它是圆形的。通过反复充分地观察和触摸，在获得清晰体验的基础上，幼儿再自己描述对图形触摸后的感受并说出名称。
二、认识图形的基本特征
幼儿在充分获得对图形的感知和学会命名之后，应进一步让幼儿认识图形的基本特征。图形的基本特征主要是指图形边和角的数量，如：三角形有3条边，3个角；正方形有4条边，4个角；4条边一样长，4个角一样大等。对图形基本特征的认识是对图形认识的进一步抽象概括，包括感知和图形命名，以及理解图形特征的一些简单规律。教学时，应告诉幼儿图形的边是指什么，什么是图形的角，让幼儿数一数有几条边，有几个角，它们是不是一样长或者一样大，然后再让幼儿观察不同大小与同一种颜色的图形，讨论它们的边和角的数量，巩固对图形的基本特征的理解，加深对图形的认识。
三、对图形的分割和拼合
认识图形之间简单关系是对已知图形的进一步认识，它能帮助幼儿理解整体与部分之间的关系，同时也能培养幼儿多角度思考问题，促进思维的灵活性发展。
幼儿对图形之间关系的认识，主要是通过对图形的分割和拼合进行的，内容上：应从简单到复杂，从等分到不等分；先二等分，再四等分；步骤上：先分后合，先由教师讲解演说分合图形，再让幼儿操作练习。通过分合操作，让幼儿理解一种图形和其他图形之间的关系，并让幼儿知道整体可以分成部分，部分合起来还是原来的整体，整体大于部分。如：教师先告诉幼儿，一种图形可以把它分开变成另外两个一样大的图形，然后用一张正方形纸，上下边对折成两个长方形并剪开，让幼儿清楚地看到一个正方形可以分成两个一样大的长方形，再让幼儿观察一下两个长方形拼合起来，是否还是原来的正方形，然后可分发给每个幼儿一张正方形的纸，请他们用折叠的方法分成两个部分，鼓励他们探索不同于教师示范的新方法来分割图形，最后讨论操作结果，明确两种不同的分割方法，都可以使正方形变成两个一样大的不同的图形。此后，让幼儿自己探索长方形、圆形的2等分、4等分，让他们通过动手操作来理解图形之间的关系和整体与部分的关系。
四、复习巩固平面图形
在幼儿初步认识了各种图形及其特点后，可通过安排恰当的复习内容和方法，帮助他们巩固对图形的认知和运用。
（一）图形分类：按不同图形分别归类，既是感知集合的重要教育内容，也能巩固对图形的认识。图形分类的内容，应视幼儿的不同年龄和已有的知识水平有所区别，并逐步提高要求。如：先对相同颜色的不同图形分类，再对相同颜色、不同大小的图形分类。
（二）寻找图形和与图形相似的物体：根据教师说出的名称或特征，找出相应的图形，引导幼儿在周围环境中，运用已经掌握的几何图形的知识，寻找与几何图形相似的物体，这样使幼儿对几何图形的认识从抽象概括的图形又回到具体的物体，扩大幼儿的视野，丰富幼儿对几何图形的认识，发展幼儿的观察力和空间想象力。在室内寻找后，教师把幼儿引向更大的空间，如整个幼儿园，家里或其他地方。
（三）在游戏中巩固对图形的认识：运用玩具进行图形游戏，有的玩具是以几何图形为内容设计的，儿童在使用玩具游戏的过程中，自然地起到了复习巩固的作用。另外，涂色游戏、拼图游戏、折叠游戏都能巩固幼儿对图形之间关系的理解，教师和父母都可以积极探索以寓教于乐的方式帮助幼儿掌握和巩固对图形的认知与运用。
参考文献：
[1]教育部《幼儿教育指导纲要》（试行）
关键词： 小学数学教学 空间观念 空间想象能力
几何概念是反映现实世界空间形式本质属性的一种思维形式，是人们对客观事物的“形”的科学抽象与概括，同时也是发展学生空间观念的基本条件。新课程教学大纲强调了几何初步知识教学要注意利用数形结合来培养学生的空间想象能力，培养学生的“识别”和“再现”能力也就成为培养空间观念的关键。在教学过程中注意多层次、多渠道地培养和发展学生的空间想象能力。在小学数学教学中如何培养和提高学生的空间想象能力，我认为应该注意以下几点。
一、以现实生活中实物为教具，指导学生多摸、多说
小学生的思维正处于由直观、形象思维向抽象、逻辑思维的过渡阶段，他们对几何图形的认识主要依赖于观察、实验和必要的动手操作，再通过心理活动的内化去获得表象，掌握几何图形的特征，形成空间观念。由于在现实生活中小学生直接接触的大多是立体图形，把立体图形的初步认识编排在平面图形之前是符合儿童的认知规律的。所以在教学中，教师要把生活中实物带到课堂上，让学生对实物多进行触摸，目的是使学生对平面图形中的一些基本概念有比较清楚的认识，从形的方面加深对周围事物的认识，感知它的立体感，培养和发展学生的空间想象能力，同时也为以后学习一些图形面积的计算奠定基础。例如：学生接触到长方体纸盒后，可以说出“有一些面，它的面是平的”、“有许多边，它的边是直的”等之初步认识，并用自己的语言来表达这些发现，这些认识虽然不一定全面的，但是长方体的一些基本特点就已经深深地印在学生的脑海里了，加上教师的正确引导，学生对长方体就有了更全面的认识。
二、狠抓画图教学和训练，切实画好图形是体现空间想象能力的一个重要标志
小学生认为空间观念是很抽象的，特别是在一张纸上画一个立体图形，相对比较困难，教师可以多在这方面进行训练，如先画平面图再画立体图，在立体图的不同方向的面上画上不同的颜色等。让学生对立体图进行分解和组合，也是培养学生空间想象能力的有效方法，小学阶段对学生画图的要求不高，主要是让学生会画线、画角及会画本单元涉及的平面几何图形。但是在教学中，不仅要求学生掌握正确的画法，而且要让学生说出简要的依据，以巩固学生对所学几何图形特征的认识。如，教学垂线的画法时，教师在帮助学生形成垂线的概念中，为了便于学生观察，教师可用两条颜色不同的毛线表示两条直线来演示它们相交过程的情况。把一条毛线呈水平方向固定在黑板上，转动另一条毛线，当一个角成为直角时，让学生观察其余的角发生了怎样的变化？在引出垂线概念后，还应进行变式教学，使学生明白，判断两条直线是否互相垂直的关键是看相交是否成直角，而与两条直线的方向无关。在教学垂线的画法时，详细说明了画垂线的方法，包括过直线上一点画已知直线的垂线，过直线外一点画已知直线的垂线，此外，还设计了用画垂线的方法来画长方形和正方形。这样，在画图过程中，既加深了学生对概念的理解，形成了表象，又进一步培养了学生的空间观念。
三、加强识图教学
培养和提高学生的识图能力是小学阶培养学生空间想象能力的核心，因为有感知的积累才能形成表象，而表象的再现是识别图形的依据，学生只有掌握了图形的基本特征，才能正确分辨各种图形的本质区别。在培养学生的识图能力中，进行变式训练是深化学生表象的主要途径，同时也只有通过变式训练才能使学生更好地区分图形的各种因素，确定哪些是主要的、本质的，哪些是次要的、非本质的，从而使形成的表象更加清晰。如，在教学等腰三角形时，当学生初步建立了等腰三角形的概念，了解等腰三角形的基本特征后，教师就应及时变换等腰三角形的形状、大小和位置，供学生观察判断。
四、注重对实物与模型的观察
注重对实物与模型的观察、解剖和分析，开展模型制作、测量、参观等实际活动，是培养空间想象能力的重要途径。如用烟筒说明圆柱的概念，用开门关门来说明过两点有无数多个平面和不共线的三点确定一个平面等命题。另外，用正方体骨架模型进行观察，对帮助学生学习异面直线，三垂线定理等难点重点内容都可收到很好的效果。
根据空间图形的特征，引导学生寻找相应的实体模型，是培养学生观察想象能力的有效方法，也是使学生最终摆脱模型进行空间图形的分析和想象的重要手段。
五、牢固掌握有关平面和空间图形的基础知识，是培养空间想象能力的基础
1.促使学生不断扩大知识领域，掌握好基础知识和基本技能，为想象提供充分的素材。
2.运用平面几何有关知识作素材，通过联想、对比与类比，使学生的思维从平面拓展到空间。
[关键词] 观察、操作、比较、推理、图形特征的教学
对图形及其性质的认识无疑是空间与图形领城中的重要内容。学生在现实世界积累的有关图形经验的基础上，认识常见的立体图形和平面图形；在丰富的现实背景中，通过观察、操作、比较、概括、推理等探索常见图形的性质，并运用它们解决实际问题。
一、通过观察，认识图形的特征
由于学生在日常生活中接触的是各种各样的物体，对常见实物的形状，大部份学生能正确的报出名称，但对这些图形的特征却了解不多，或不能准确地描述。例如：一年级的《物体分类》，教学时，通过让孩子们自己来触摸、观察长方体、正方体、圆柱和球类等物体，学生很快就找到了长方体、正方体、圆柱和球的特征，为了让学生更好地区分长方体、正方体，我出示了课件，将长方体和正方体分别向各个方向拉伸，变形，让学生判断现在是什么图形？突破了教学中的难点，同时也渗透了图形可以相互转化的思想。为了让学生进一步认识圆柱，我出示一支蜡烛，问学生：“这是不是圆柱？”学生说不是，因为蜡烛的上、下两个面不是平平的。接着我拿出康师傅方便面的“来一桶”问学生，那这个是不是圆柱呢？学生仍然说不是，虽然它上、下两个面是平平的，但它大小不一样，而且上下也不一样粗。最后我又拿出一面腰鼓问：“是不是圆柱？”学生仍然说不是，并充分地表述了自己的理由。这样学生通过观察、比较进一步感知长方体、正方体、圆柱体、球体的特征，发展空间观念。
二、通过操作，探索图形的特征
小学生年龄较小，空间想象能力比较贫乏，感知粗糙，洞察能力弱，往往容易受到物体外在表面现象的影响，而干扰内在本质的理解。如学生学习“角的特征”时，常存在以下三方面缺陷：（1）学生常常把“尖尖的”当成角唯一的属性，而忽视了角的两边应是线段、射线或直线；（2）认为角的大小与角的两条边的长短有关，而忽略了角的大小与角的两条边张开的大小相关；（3）易把生活中的角与数学的角相混淆，易形成“牛角”也是数学角的错误认识。因此，我在教学“角的初步认识”时，先让学生动手摸带角的学具模型，发现角的特征；然后让学生做活动角，在做一做、比一比的操作活动中，发现角有大小之别，并探究出角的大小与角的两边长短无关，而与角的两边叉开的程度有关。这样让学生在操作活动中学习角的特征，不仅符合低年级学生好奇、好动的心理特点，有利于学生在动手中思考，在观察中分析，在活动中学习，在活动中探索，在活动中发展。
三、通过比较，辨析图形的特征
学生的思维依赖于直观形象的特点，对学习比较抽象的平面图形时，学生对比较抽象的概念容易混淆。如在学习“直线、射线和线段”这部分内容时，常出现如下两方面错误：（1）学生很难理解射线、直线的“无限延伸”性；（2）学生画线段和射线时，容易将端点忘记。为了突破难点，我是这样教学的：教学“认识线段”时我用的教具是毛线，两手拉毛线问：“两手之间这一段叫什么？（线段）线段有什么特点呢？接着在黑板上画一条线段。教学“认识射线”时，我用的教具是手电筒，问手电筒所射出的光束是什么样的线？用水彩笔画出来？怎样表示灯的发光点？（引出“端点”）光的方向是向两边无限延长吗？（不是，只向一边无限延长）那你能不能把刚才的线段改一改表示光束呢？然后强调像这样有一个端点，可以向一端无限延伸的线叫做射线。教学“认识直线”时，我用的教具是：孙悟空的金箍棒。想想金箍棒可以向哪个方向变长呢？（用课件演示向两边变长）接着问你能不能用一条简单的线条来表示不断变长的金箍棒呢？请小朋友们在小组内讨论一下并在纸上画出来。然后强调像这样可以向两端无限延伸的线叫直线。最后让学生思考直线、射线和线段有什么相同和不同的地方，用表格进行比较，结果得到很好的教学效果。这节课我主要是从学生感兴趣的事物入手，运用对比辨析的方法让学生理解线段、直线、射线三者之间的异同点，鼓励学生发现事物之间的联系。在教学中还充分利用多媒体的各种功能让抽象的内容形象化，让学生参与实践活动，做到手、脑、口并用，让学生多种感官参与活动。这才符合小学生由感知到表象，再由表象到抽象的认识规律，促进学生的思维发展。
四、通过分类，体会图形的特征
图形分类可以帮助学生不断对图形进行比较、概括，从而不断体会图形的特征。通常是学习完以后，在复习整理阶段再进行图形分类的活动，当然这是非常重要的。实际上，在图形性质探索的初始阶段，也可以安排图形分类的活动，鼓励学生在尝试对图形进行分类的过程中去关注图形的边、角等的特征。教学时，可以从以下几个方面引导学生对图形进行分类：第一，将图形分成平面图形和立体图形；第二，将平面图形分成由直边组成的和含有曲边的；第三，将多边形按照边、角等图形的特征进行分类。这样学生将体会到图形之间的相同和不同以及图形之间的联系，更好地理解图形的特征。
五、通过推理，论证图形的特征
小学阶段的“几何”的课程内容和目标，以往主要侧重于长度、面积和体积的计算，较少涉及三维空间的内容，严重制约了学生的空间观念、空间想象能力的发展。随着新课改的不断推进，《数学课程标准》将以往的“几何”已经拓展为“空间与图形”，把知识与学生的实际生活紧密联系在一起，增加了位置确定、图形与变换等内容。学生通过认识简单的几何体和平面图形及其基本特征，感受平移、旋转、对称现象，学习图形变换和描述、确定物体相对位置的方法等来发展空间观念。整个教学内容围绕图形，遵循学生的认知特点，由浅入深，循序渐进，把课程内容与学生已有的生活经验有机结合，与数学课程中各个分支进行整合，其目的是为了更好地体现“空间与图形”的教育价值，发展学生的空间观念和推理能力。因此，在教学中，教师应积极使用直观形象的教学手段，不断丰富学生的感知，培养学生的空间观念。
一、借助直观演示，丰富学生感知
小学生在掌握知识的过程中，是离不开感知作为基础的。心理学研究表明，任何新鲜事物的出现都会引发小学生积极参与学习活动的兴趣。所以，对于小学生来说，直观性的教学非常符合他们的认知特点。那么，教师在教学富有直观性和可操作性的几何图形时，更应积极采用直观演示的教学方法，通过实物、图片、教具的展示和多媒体课件的动画演示，把抽象的知识具体化、形象化，以此丰富学生的感知，帮助其形成鲜明的映像。所以，在教学几何形体知识时，教师首先要拿出与教学内容相关的几何形体的直观教具，让学生观察、感知该几何体的形状、外形特征和本质属性。
如，教学“长方体的认识”前，笔者让学生搜集日常生活中的长方体实物。课堂上，学生纷纷拿出自己准备的各种长方体实物――牙膏盒、化妆品盒、茶叶盒、肥皂盒、糖果盒，等等，笔者肯定并表扬了学生，大家一致认为这些物体都是长方体。此时，我让学生观察教室里面的物体，看看能否找到并列举出长方体的物体。经过观察，有学生发现，粉笔盒、铅笔盒、图书角的书架、数学书等都是长方体，继而又有学生说到家里的冰箱、冰柜，路上的集装箱等等也是长方体。在此基础上，笔者出示了长方体的模型，并引导学生观察模型，从不同位置和方向认识长方体的面、棱、顶点的特点以及长方体的长、宽、高，然后分别将模型直立、平放、侧放，来说明长、宽、高相对说来是固定不变的。如此教学，丰富了学生的感知，帮助学生建立了清晰深刻的表象，为理性化思维提供了条件。
二、借助画图策略，巩固几何知识
通过仔细观察，学生对几何图形的特征有了直观的感知，为了进一步巩固习得的几何知识，加深学生对几何图形外部特征的认识，教师应引导学生学会画出几何图形。通过画图，使得几何形体在学生的头脑中形成被感知的空间形状，以便加深对几何形体各部分特征的记忆，实现从直观形象感知向抽象概括的过渡。如：教学“轴对称图形”时，在学生初步体会生活中的对称现象，认识了轴对称图形的基本特征，会识别并能作出一些简单的轴对称图形以后，笔者通过让学生画出轴对称图形的另一半的练习，进一步帮助学生理解轴对称图形的特征，掌握了判别对称图形的方法，从而巩固了习得的知识。再如：在学生认识并掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形等平面图形的特征后，笔者引导学生在方格纸或者点子图上画出这些平面图形，从而提高了认识，巩固了新知；在学生认识了长方体、正方体、圆柱体等立体图形的特征后，教师示范并指导学生画出这三种立体图形的草图，不仅仅巩固了对这三种立体图形的认识，更为后面解决和这三种立体图形相关的实际问题打下了基础，做好了准备。
三、借助联想归纳，帮助学生抽象概括
通过观察、画图，学生对几何形体的外部特征有了初步的感知，为了实现从感性认识向理性认识的飞跃，就需要教师引导并帮助学生进行联想归纳。联想所见到生活中的某种几何形体的实物，然后小结归纳出某种几何形体的特征，从而将学生的直观形象思维升华为抽象概括思维，使得学生在离开了直接感知物后，头脑中也能形成这个几何形体的图像，以此培养学生的空间想象力和抽象概括力。如：当学生初步感知并认识了长方体、正方体的特征之后，笔者发问道：你能不能从这两个立体图形的点、棱、面三个角度，来说说你对它们的认识呢？学生在充分的感知基础上，不难说出――长方体和正方体都有8个顶点，12条棱，6个面。长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体有6个面，每个面都是长方形，也可能相对的两个面是正方形。相对两个面完全相同；正方体有6个面，每个面完全相同。正方体有12条棱，每条棱长度相等。当长方体的长、宽、高都相等的时候，就变成了正方体，所以说，正方体是一种特殊的长方体。
四、通过制作模型，培养学生应用能力
数学知识来源于生活，更应用于生活。所以，在学生直观感知，联想归纳的基础上，大脑里形成了几何形体的表象后，教师可以要求学生在不看模型的条件下，运用习得的知识学会制作所学过的立体图形。如：在“认识长方体和正方体”的教学时，通过有序观察、实践操作、讨论辨析等活动，让学生了解了长方体和正方体的各部分名称，并掌握长方体和正方体的特征以及理解它们之间的关系。笔者要求学生根据老师提供的展开的长方体和正方体的平面图去自行制作长方体的框架以及长方体和正方体的立体模型。通过模型制作，巩固、验证了立体图形的特征，发展了空间观念，培养了学生的动手操作能力和运用知识的能力。
（作者单位：江西省南康市龙岭镇金村小学）
【关键词】 数学图式；正方形的概念与性质；同化的学习方式
正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形. 学习了平行四边形、矩形、菱形的概念之后再来学习正方形，学生具有丰富的已有知识和经验，宜采用同化的学习方式来进行教学. 所谓同化的学习方式，是学习者原有认知图式吸收要学习的新知识并将它固定在原认知图式的适当部位而形成新的认知图式的过程. 图式是人脑中的知识单元、知识组块和知识系统，包括核心概念与怎样及何时应用核心概念的知识之间的关系. 让学生构建数学图式，可让学生更明白知识的缘由，以及可以让学生拥有更好的知识结构，因此对于学生分析问题、解决问题的能力就更有效.笔者从图式建构的视角对“正方形的概念与性质”进行教学研究，供同行参考.
一、通过研究特殊四边形之间的演变，让学生建构平行四边形、矩形、菱形和正方形的概念图式
学习“正方形的定义和性质”的关键是激活平行四边形、矩形、菱形的概念图式.根据学生对平行四边形、矩形、菱形之间关系的理解，以及对正方形概念的直观经验（生活中的和小学数学中的一些直观描述），笔者设计下面的问题1和问题2让学生思考.
问题1 由前面几节课我们知道，平行四边形可以演变得到矩形和菱形，那么，平行四边形、矩形和菱形是否可以通过演变得到正方形？如果平行四边形、矩形和菱形分别可以通过演变得到正方形，那么请你用画线的方式（带箭头）表示两个图形之间的关系，并在线上标明其演变过程，同时在画的过程中思考：正方形是否还具有原图形的性质？如果平行四边形、矩形和菱形不能通过演变得到正方形，则请说明理由.
先让学生独立思考，教师巡视或对班级个别同学指导.当看到大部分同学都有了自己的“成果”，于是请同学们在全班交流自己的研究“成果”，交流后师生共同归纳得到：
结论：因为正方形是特殊平行四边形，是特殊的矩形，是特殊的菱形，所以正方形还具有平行四边形、矩形、菱形图形的性质.
在此基础上，教师继续提出问题2让学生探究.
问题2 结合前面几节课及刚才同学们的“研究成果”，请你设计一幅“图”来表示平行四边形、矩形、菱形、正方形图形之间的关系.
学生独立设计.在大部分同学完成的基础上，教师用多媒体展示不同学生设计的“成果”，并让学生讨论设计中存在的问题，譬如，学生设计中存在的问题有：① 缺乏关系连接；② 结构线条的箭头指向不清晰等.在讨论的基础上，老师继续让学生完善自己设计的“作品”得到：
至此，通过问题1和问题2的解决及学生建构特殊四边形的概念图式，学生已初步将正方形纳入到原有的概念图式之中，此时新旧知识通过相互作用建立起合理与实质的联系.
二、通过研究正方形的定义、性质，让学生建构特殊四边形的概念图式的子图式――“正方形的定义与性质”的认知图式
学习是一个图式获得和完善的过程.图式的形成是一个复杂的过程，需要教师设计多样化的学习活动，多方位地丰富和完善图式.接着，教师继续提出下面的问题3和问题4，目的是让学生构建特殊四边形图式的子图式――“正方形的定义、性质”的认知图式.
问题3 根据自己设计的“研究成果”，请你归纳出正方形的定义，并对比正方形与平行四边形、矩形、菱形的定义，指出它们的联系.
问题4 对比矩形和菱形的性质，请你写出正方形的性质.
先让学生独立思考，再全班交流，在交流的基础上，教师要求学生通过点、线加工，独立构建正方形定义与性质的认知图式：
三、通过研究正方形知识的应用，让学生建构平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质的认知图式
问题5 如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
（1）图中有多少个三角形？这些三角形有什么特点？请说明理由.
（2）ABAOAC = __________.
问题6 如图2，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BD上有一动点P， PEAB， PFAD， 垂足分别为E，F，试指出EOF的形状并给予证明.
问题7 请你将平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义与性质以表格的形式制作成图表.
先让学生独立制作，再全班交流，最后得到如下的特殊四边形的定义与性质的图式（图表中空格的内容略去）：
以上的教学设计，以图式的建构为主线，先建构特殊四边形的概念图式，再建构特殊四边形的概念图式的子图式――正方形的认知图式，又通过正方形知识的应用“操作”，让学生从新的视角，从特殊四边形的边、角、对角线、对称性等角度再一次构建平行四边形、矩形、菱形和正方形的认知图式，从而引发学生从纵向和横向沟通了特殊四边形知识之间的内在联系，以进入更高层次的图式.此时，学生不仅体验到图式不断完善的过程，更为重要的是，在这一过程中学生头脑中建构的图式也臻于完善，从而形成良好的数学认知结构.
图式的形成是学生的一种动态建构和再建构活动.在数学教学中，教师要为学生提供主动构建图式的平台，给学生留有充裕的时间，让学生独立思考、合作、展示和交流关于某一主题所形成的图式，这将有利于削减因为概念等知识难度所带来的认知障碍，促进学生从整体上把握数学的知识、方法和观念，增强学生学习数学的整体意识和结构意识.
一、几何变换的意义
1. 有利于对几何图形的认识
平面几何教学过程中，利用几何变换有助于对平面几何图形的认识和理解。初中平面几何知识多是基础几何，教师可以从基本图形变换过程中体现图形性质，提高学生对基础图形结构特点的认识，加深对图形变换的理解，拓展学生从更高的角度认识和分析几何问题。不仅能够活跃学生思维，也能运用几何变换观点解决平面几何问题，提高平面几何教学质量。
2. 有利于提高观察和推理能力
做平面几何题目时，条件往往比较隐晦，很多学生找不到突破点。其实不然，平面几何比起立体图形往往更为形象、直观、全面，认真观察图形，结合教材知识点利用直观感知能力，正确运用图形翻折、平移变换、旋转变换等使静态图形动起来探索图形特征，往往轻易找到不变量实现顺利解题。所以几何变换的运用很大程度抽象了几何概念、几何方法，开拓了学生创新性思维，提高了学生直观感知能力，激发学生发散性思维和推理能力。
3. 有利于提高学生思维的敏锐性
平面几何题型中，几何元素相对分散、孤立，适当的几何变换可以使几何元素相对集中，容易把握几何元素之间的联系。利用几何图形性质，化一般图形为特殊图形、化不规则图形为规则图形等等逐渐把隐性条件显现出来得以使用，找到不变量和变化量及其关系变化，从而找到解题突破点顺利解题。此阶段中，环环相扣，充分培养和提高了学生思维的敏锐性和灵活性。
二、几何变换的具体应用
1. 平移变换
平移变换中，不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。利用平移图形大小和形状的不变性和图形位置的改变性，能够把复杂问题简单化特别是解决零散图形求值问题。
【例题】如图1，某小区有一块长42m、宽20m的矩形草坪，现要在草坪中间铺设一横两纵三条等宽的甬道，若铺设后草坪的面积为760m2，求通道的宽。
【分析】此类型题目一般解题方法是设甬道的宽为x米，草坪的长为（42-2x）米，宽为（20-x）米，根据总面积减去空白部分的面积，可列以下方程：42×20-2×20x-42x+2x2=760，然后进行求解、检验，但是从解题过程不难看出这样很容易列错式子，解错答案。如果当题目中甬道不是规则图形而是曲形（如图2），这种方法就有局限，式子很难列出来。如果利用平行变换解题，将六块草坪平移拼接到一起形成新的矩形来作答（如图3），问题就变得简单，当然也适用不规则图形。
2. 旋转变换
旋转变换是将图形中某一部分绕某点旋转适当角度的变形模式，是从运动角度理解几何图形的手法。旋转始终保持图形全等，能保持原有图形性质却又能组成新的有利论证的图形。
【例题】如图4，等边三角形ABC内有一点P，PA=1，PB=2，PC=■，求∠APC的度数。
【分析】PA、PB、PC不在一个三角形内，就不能有效的用到已知条件，可以把APC顺时针旋转60°得到AP′B。由于AP=AP′，∠PAP′=60°，不难得到APP′为等边三角形，且由勾股定理易求PP′B为直角三角形，则∠AP′B=∠APC=150°。
通过这道题可以看出，旋转变换可以将分散的线段跟角集中到新的三角形中，起到转化作用。
3. 翻折变换（对称变换）
对称变换就是通过作关于某一直线或点的对称图，对称到另一个位置上，是分散的条件集中。
【例题】如图5，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6，BC=8，求BF的值？
