时间：2023-05-30 09:27:00
【关键词】线性代数;核心内容;核心方法;反例;团队合作
【中图分类号】G421
【文献标识码】A
引 言
线性代数是理工科本科生的必修课程，是研究生入学考试必考的数学科目之一.这门课成绩的好坏，直接影响到学生将来考研的成绩.从应用来看，工程计算上遇有太多变量时，时常将问题线性化，然后用线性代数方法处理问题，足见这门课的重要性.如何教好这门课，是值得我们每一位上课老师深思的问题.这门课有些概念，对于初学者来说，的确太抽象了，作为老师，该怎么教，才能让学生产生学习兴趣，才能自觉去钻研这门课？我想用这篇文章抛砖引玉，希望引起同行们的广泛讨论，共同提高教学水平.
1.为什么要学习线性代数
这个问题有必要向学生作些简要介绍.否则，由于这门课比较抽象，学生可能没兴趣学这门课.作为这门课程的老师，应该对此有些了解.
线性代数的计算方法是处理现代工程计算的重要方法，比如线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，在工程计算中，经常用到.有时工程上研究的问题相当复杂，用到成百上千的变量，这样复杂的问题，用矩阵来处理，是比较好的方法.线性代数已成为现代工程技术人员必修的课程之一.
线性拟合和非线性拟合是数据处理常用的方法，以往由于计算手段的限制,非线性拟合几乎无法实现.因此,传统的数据处理方法中非线性问题线性化计算是一种基本手段.目前,尽管计算机数据处理已经很普遍,但由于习惯于传统的方法,或是由于非线性拟合过程常遇到不收敛等问题,非线性问题线性化计算这一传统的数据处理方法仍在广泛使用.作为线性代数的主要软件工具有MATLAB，它是矩阵计算的主要工具.
从数学上来讲，很多非线性化问题可以通过一些数学变换化成线性问题.比如一些非线性回归问题就可以通过变量的倒代换对数变换等化成线性回归问题.我们也可以利用泰勒公式，将一个复杂函数化成近似的多项式，再将多项式转化为线性方程（这只要将各个幂函数当作一个新变量就可以）.
2.抓住核心内容和核心方法
工科线性代数，课时比较少，我们学校只有32学时.在这么短时间内，要教好或学好这门课程，老师要下些工夫，学生也要有足够的学习兴趣和精力的投入.若老师抓不住核心内容和核心方法，就很难教好这门课.线性代数课，一般包括行列式、向量、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间.由于课时少，我们实在是没时间讲解线性空间的内容，只能讲解向量空间一些基本概念，并在线性方程组中讲解向量空间时加以应用.
线性代数课程的核心内容是线性方程组，核心方法是矩阵的初等变换方法.行列式、克莱姆法则、向量、矩阵都围绕着线性方程组展开.克莱姆法则，解决了当系数矩阵是方阵时，何时有唯一解，并用行列式给出了解的表达式，在线性方程组理论中有重要价值.向量模型为线性方程组解决了解空间模型的问题，认为线性方程组的解是向量空间中的向量，可以定义解向量之间的线性运算.矩阵运算为线性方程组的求解提供了行初等变换方法，利用这个方法，可以判别非齐次线性方程组是否有解，用行初等变换求解.向量线性关系为线性方程组通解提供了理论基础，非齐次线性方程组的任一解都可由其本身的一个特解及对应齐次线性方程组基础解系的线性运算来表示.矩阵特征值、特征向量、二次型内容，是线性方程组理论及方法的一个应用，这个应用也为空间解析几何中讨论二次曲线、二次曲面标准形问题提供了很好的方法.矩阵的初等变换方法，可以用于求行列式，求向量组的秩，并判别向量组是否线性相关，求向量组的最大线性无关组，用最大线性无关组线性表示其余向量，求逆矩阵，用行初等变换求解线性方程组的通解，求矩阵的特征向量.
3.用实际问题引入线性代数的基本概念，用反例说明一些运算的“奇怪”性质
在讲解矩阵相乘、向量（几何学及力学中，向量是作为有大小并有方向的量，而在线性代数中，向量是作为有序数组）、向量线性运算、向量线性相关、向量线性无关等基本概念时，要尽可能地用一些实际问题来引入，不要直接给出定义，以免让学生觉得太抽象，还以为这只是数学老师在故弄玄虚.在这方面，李尚志教授就做得很好，值得我们学习.
我们可以用坐标变换公式来引入一般的线性变换，由线性变换的复合（简单点，就讲3个变量的线性变换的复合）引入矩阵相乘概念.也可以借用销售与收益的模型（收益矩阵=销量矩阵×价格矩阵）来引入矩阵相乘的概念.在高等数学中，两个向量的内积也可看作一个行矩阵与一个列矩阵相乘.
关键词：线性代数；MATLAB；应用案例
线性代数作为高等学校一门重要的基础课程，在计算机科学、工程技术等领域有这广泛的应用，但由于线性代数课程本身的特点，使得一些有意义的实际问题计算量很大，导致学生失去了兴趣，其实现在很多繁杂的数学问题都可以用数学软件解决， MATLAB就解决了线性代数一些复杂的东西，此软件对我国高等教学影响很大。
下面通过举例说明MATLB在线性代数中的实际应用：
1.在生产问题方面案例
某地区有三个重要的产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路。开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费；生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费，创收一元钱的运输费，铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费。在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的订货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求。问三个企业在一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？
设X1为煤矿本周内的总产值，X2为电厂本周的总产值，X3为为铁路本周内的总产值，则根据题意得到投入产出模型：
2.动物繁殖问题
某农场饲养的某动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组，第一组：0 ～5岁；第二组：6～10岁，第三组：11～15岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，经过长期统计，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代，第一个年龄组和第二个年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 和 ，假设农场现有3个年龄段的动物各1000头，问15年以后3个年龄段的动物各有多少头？
年龄组分为5岁一段，故周期也分为5年，15年后分为3个周期，设 第 个时间周期第 组年龄段动物的数量
建立关系：
3. 交通流量的分析
问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量。
针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。
请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量
（i=1，2，3，4）
解：根据已知条件，得到各节点的流通方程：
通过整理，依然用MATLAB可以解出了每个十字路口的交通流量。
当然，线性代数的其他应用很多，而且一些计算用MATLAB软件运行大大减少了计算量，使得这门学科的应用型和兴趣性增强。随着计算机的应用，线性代数应用也会越来越广泛。
参考文献：
【关键词】Matlab；行列式；矩阵；特征值
线性代数中许多问题可以借助于Matlab软件来求解；本文结合线性代数中相关典型问题，给出了Matlab求解这些问题的相关用法，以供大家参考.
一、计算行列式
文中计算行列式的Matlab命令：det（A），其中A为方阵.
例1计算行列式axxxxaxxxxaxxxxa.
Matlab中输入：
clear
symsax；
A=[axxx；xaxx；xxax；xxxa]；
det（A）
得到：ans=
a^4-6*a^2*x^2+8*a*x^3-3*x^4
注：如果再输入：factor（det（A）），可得到因式分解形式下的行列式结果：
ans=
（a+3*x）*（a-x）^3
例2求方程1111123x149x21827x3=0的全部根.
Matlab中输入：
clear
symsx；
A=[1111；123x；149x^2；1827x^3]；
det（A）
得到：ans=
2*x^3-12*x^2+22*x-12
再输入：solve（‘2*x^3-12*x^2+22*x-12=0’），可求得原方程的根为：
ans=
1
2
3
二、将矩阵化为行最简形矩阵
文中Matlab命令为：B=rref（A），rref（A）表示求A的行最简形矩阵B.
说明：根据文中思想，求出矩阵的行最简形后，就比较容易求出矩阵的秩、一个最高阶的非零子式、列（行）向量组的一个最大无关组及用最大无关组表示其余向量等等相关问题.
例3求矩阵A=1-130-21-21-1-152的行最简形矩阵.
Matlab中输入：
clear
A=[1-130；-21-21；-1-152]；
B=rref（A）
得到：B=
10-1-101-4-10000
三、求逆矩阵
例4求A=1000120021301214的逆矩阵.
解法1根据文中相关知识，用行变换（A，E）：（E，A-1），将A化为行最简形矩阵，右端自然就出现A-1.
Matlab中输入：
clear
formatrat%设置显示格式为有理数
A=[1000；1200；2130；1214]；
B=[Aeye（4）]；%eye（m，n）为m×n的单位矩阵
C=rref（B）；
Ainv=C（：，5：8）
得到：Ainv=
1000-1/21/200-1/2-1/61/301/8-5/24-1/121/4
从而
A-1=1000-1/21/200-1/2-1/61/301/8-5/24-1/121/4.
解法2直接应用文中Matlab求逆矩阵命令：inv（A）也可得上述结果.
例5求A=abcd的逆矩阵（abcd≠0）.
Matlab中输入：
clear
symsabcd；
A=diag（[abcd]）；%构造对角形矩阵
B=inv（A）
得到：B=
[1/a，0，0，0]
[0，1/b，0，0]
[0，0，1/c，0]
[0，0，0，1/d]
说明对于一般形式的矩阵（若它是可逆的），都可以按照例4的方法来求解它的逆矩阵.
四、求解齐次线性方程组
在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足AX=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）.基本格式：
z=null（A）%z的列向量为方程组AX=0的规范正交基，满足zTz=E；
z=null（A，′r′）%z的列向量为方程AX=0的有理基.
例6求齐次方程组x1+2x2-2x3+2x4-x5=0，x1+2x2-x3+3x4-2x5=02x1+4x2-7x3+x4+x5=0的通解.
Matlab中输入：
clear
formatrat
A=[12-22-1；12-13-2；24-711]；
B=null（A，’r’）
得到：B=
-2-431000-11010001
再输入：symsk1k2k3；
X=sym（B）*[k1；k2；k3]%或者输入X=k1*B（：，1）+k2*B（：，2）+k3*B（：，3）求出通解形式
得到通解形式：
X=
-2*k1-4*k2+3*k3
k1
-k2+k3
k2
k3
五、求解非齐次线性方程组
根据文的思路，非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解.因此，步骤为：
第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；
第二步：求AX=b的一个特解；
第三步：求对应齐次方程组AX=0的通解；
第四步：根据非齐次方程组通解结构（即AX=b的一个特解+对应齐次方程组AX=0的通解），求得通解形式.
例7求解非齐次方程组x1+2x2-x3+3x4=2，2x1+4x2-2x3+5x4=1，-x1-2x2+x3-x4=4.
Matlab中输入：
A=[12-13；24-25；-1-21-1]；
b=[214]’；
B=[Ab]；
n=4；
R_A=rank（A）
R_B=rank（B）
formatrat
得到：R_A=
2R_B=
2
%根据方程组解的判定定理判定非齐次方程解的情形
再输入：symsk1k2；%齐次方程组的基础解系含有2个向量，选定2个自由常数
X=null（sym（A））*[k1；k2]+sym（Ab），E=A*X-b%此处X为通解形式，E为A*X与b的差向量值，目的在于验证X的求解是否准确
得到：Warning：Rankdeficient，rank=2，tol=5.2545e-015.
X=
-2*k1+k2
k1-7/2
k2
3
E=
%此处E为零向量，说明X为原方程组AX=b的精确解
另外文中，Matlab也可求解矩阵方程组，有如下命令：
①若矩阵方程形式为AX=B，在方程组有解的条件下，可用Matlab命令：X=AB求解；
②若矩阵方程形式为XA=B，在方程组有解的条件下，可用Matlab命令：X=B/A求解.
六、求矩阵的特征值和特征向量
文Matlab中求矩阵Am×n的特征值和特征向量的命令为：eig（A）或[V，D]=eig（A）
例8求矩阵A=1-333-536-64的特征值和特征向量.
解法1Matlab中输入：
clear
A=[1-33；3-53；6-64]；
eig（sym（A））
运行结果为：ans=
4
-2
-2
如果运行[V，D]=eig（sym（A））命令，得到：
V=
[1，-1，1]
[1，0，1]
[2，1，0]
D=
[4，0，0]
[0，-2，0]
[0，0，-2]
说明eig（A）仅显示A的特征值，而[V，D]=eig（A）不仅显示对角型矩阵D（对角线元素即为A的特征值），还求解出相应的特征向量构成的矩阵V.
解法2用求方程组基础解系的方法来求对应特征值的特征向量.
Matlab中输入：
clear
A=[1-33；3-53；6-64]；
eig（sym（A））
P1=sym（null（A-4*eye（3）））；%求（A-4E）x=0的基础解系，即属于特征值λ1=4的线性无关的特征向量，sym允许含根号的形式
P2=sym（null（A+2*eye（3）））；%求属于特征值λ2=-2的线性无关的特征向量
P=[P1P2]%也可用disp（[P1P2]）
得到：ans=
4
-2
-2
P=
[sqrt（1/6），-sqrt（2/3），0]
[sqrt（1/6），-sqrt（1/6），-sqrt（1/2）]
[sqrt（2/3），sqrt（1/6），-sqrt（1/2）]
说明一般而言，解法2中求基础解系的方法，确定出来的特征向量与实际较为符合，误差较小.
七、求使得对称矩阵对角化的正交矩阵
例9求把A=22-225-4-2-45对角化的正交矩阵P
Matlab中输入：
clear
formatrat
A=[22-2；25-4；-2-45]；
f=poly（A）；%得到A的特征多项式f的标量形式
f=poly2sym（f）%得到A的特征多项式f的变量形式
solve（f）%求得特征多项式的根
运行结果为：f=
x^3-12*x^2+21*x-10
ans=
10
1
1
再运行：p1=sym（null（A-10*eye（3）））；
p2=sym（null（A-eye（3）））；
P=[p1p2]
得到：P=
[1/3，sqrt（8/9），0]
[2/3，-sqrt（1/18），sqrt（1/2）]
[-2/3，sqrt（1/18），sqrt（1/2）]
说明根据文中思想，借助于Matlab求得对称矩阵A的特征值后，可以比较容易判定出矩阵A的正定性；如果再进一步求出使得A对角化的正交矩阵P，则二次型f=xTAx采用正交变换x=Py化为标准形的问题也得到解决.
【参考文献】
[1]何正风.Matlab在数学方面的应用[M].北京：清华大学出版社，2012（1）：105-127.
关键词：线性代数；数学建模；教学改革
中图分类号：O151 文献标识码：B 收稿日期：2016-01-04
一、课程的重要性
线性代数是高等数学学习的主干课程之一。这门课程以矩阵、线性变换及线性空间结构为基本研究对象，课程内容抽象难懂。而实际上，通过数学建模实践，我们可以通过对实际问题的研究分析、抽象、简化，运用已有的数学工具将其表述成数学模型，并对数学模型求解、解释和验证，最终解决实际问题。通过数学建模的开展，我们能促使学生不仅掌握抽象的代数知识，更可以培养学生的数学意识、兴趣和能力，让学生学会用数学的思维方式观察事物，用数学的方法分析和解决问题。
在线性代数教学中融入数学建模的思想，这在具体教学实践中，也是行得通的。首先，线性代数的不少教学内容本身就是一个数学建模过程，如矩阵、行列式、线性方程组、向量空间等；其次，运用多媒体进行教学，可以提高课堂教学效率和教学效果。
二、数学建模思想融入教学
在介绍线性方程组的解时，应用实例有网络流模型、投入产出模型、人口迁移模型、离散动态系统模型等。在讲授这一章时，有些同学很难理解线性方程组的矩阵表示。我们可以先给出一个较简单的数学问题让学生思考。
例如，列举如下例题：
（问题提出）设有A，B，C三个政党参加每次的选举，每次参加投票的选民人数保持不变。通常情况下，由于社会、经济、各党的政治主张等多种因素的影响，原来投某党票的选民可能改投其他政党。
这时可以引导学生思考如何进行条件假设。由于联系实际，可以调动学生的积极性，甚至可以通过小组讨论的形式，让学生通过团队合作来解决问题。
（模型假设）（1）参与投票的选民不变，而且没有弃权票；
（2）每次投A党票的选民，下次投票时，分别有r1，r2，r3比例的选民投A，B，C政党的票；每次投B党票的选民，下次投票时，分别有s1，s2，s3 比例的选民投A，B，C政党的票；每次投C党票的选民，下次投票时，分别有t1，t2，t3比例的选民投A，B，C政党的票。
（3）xk，yk，zk表示第k次选举时分别投A，B，C各党的选民人数。
接下来，就转化为线性方程组的问题，于是学生找到了线性方程组的实际运用作用，而不只是掌握简单的理论知识；并且知道线性方程组可以用矩阵表示，可以简化计算。
如果给出问题的初始值，就可以求出任意选举时的选民投票情况。接下来，可以给出具体的一组数据，要求学生自己计算。在教学中，可以利用Matlab编程进行计算，进一步激发学生学好基础知识，提高参加数学建模比赛的兴趣。
三、结语
在具体的教学实践中我们还应注意以下问题：首先，要确保课堂教学完成线性代数的教学目标，不能将其过度地当成一门数学建模课程来教学。其次，选择适当的数学建模问题，难易适度。另外，在课时安排和教学组织过程中，要注意把握度，要特别注意线性代数课程的教学重点，不能偏离教学中心。
如何能更有效地将数学建模思想融入大学教学教育是一个有待深入研究和实践的工作，在线性代数教学中适时适度应用数学建模思想进行教学，可以使教学方法得到改进，提高教学水平和教学效果，推动线性代数的教学改革和课程建设的发展。
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶 俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.
一、线性代数教学中融入数学建模的必要性
线性代数是高职院校机电、信息、经济管理等专业的一门重要基础课程和工具课程．学生学习这门课程就是要用相应的数学方法解决实际问题，而数学建模就是培养数学实践能力的最有效最实用的方法．目前众多高校在线性代数教学中，教学内容更新缓慢，过多追求逻辑的严密性和理论体系的完整性，缺乏对学生动手能力和应用能力的培养，不利于与其它课程和所属专业的衔接，造成了学生“学不会，用不了”的局面．因此，在线性代数中融入数学建模思想是非常必要，也是势在必行的．
二、在线性代数教学中融入数学建模思想的有益尝试
1数学建模思想在线性代数理论背景中的渗透线性代数中诸多概念和定理都是对相关实际问题的抽象和概括．如果不介绍实际背景直接讲解，对高职生而言难以接受，他们往往靠机械记忆．因此在教学过程中，可借助于线性代数理论产生的来源和背景，通过对实际问题进行抽象、概括、分析和求解的过程，可让学生切实体会到由实际问题到数学理论的思想方法，从中渗透数学建模的思想方法．矩阵是课程各部分内容的纽带．在讲解矩阵和矩阵运算概念时，可引入此实例．三个炼油厂I、II、III生成甲、乙、丙、丁四种油品，现要统计此三个分厂2010年与2011年生产四种油品的总产量．为了使学生体会数学建模思想，教学过程可如下进行．(1)问题分析与模型建立:教师可以提问一年中各炼油厂生产各油品的数量如何表示?可以提示产品统计量按炼油厂与油品排成行与列，以数表的形式表示．经学生思考后，教师给出肯定答案．同时指出在数据上加上括号就得到了矩阵的定义．(2)模型求解:用矩阵A、B分别表示2010、2011年三个炼油厂所生产的四种油品的产量，引导学生思考若要求两年各工厂生产各油品的总产量的计算方法，通过师生之间的分析讨论，从而水到渠成地引出矩阵运算A+B．通过这个实例，学生既了解到矩阵和矩阵运算产生的背景和在实际中的应用，又体会到了数学建模的过程，增强了学习的兴趣，也为后面学习打下良好的基础．
2针对学生专业特点，融入相应的数学模型在线性代数教学中，对于不同的专业，可以有所侧重地补充相应的数学模型．而且确保融入的每一个数学模型都能反映出线性代数知识的本质，让学生通过这些模型对线性代数的知识点有充分的认识和理解，激发他们学习的积极性．在讲授面向专业的数学模型时，应遵循专业实际问题数学模型数学解答应用于专业问题的教学过程．即通过案例分析，筛选变量要素，强调如何用数学语言描述和简化实际问题，进而揭示其内在规律，利用线性代数知识建立线性代数模型，然后引导学生运用所学知识求解模型和应用模型分析实际问题．当然，不同的模型，突出的重点也需要作适当的调整．如在讲解线性方程组解的问题时，对电信专业可以适当融入电路网络方面的数学模型;对于信息专业可以融入计算机图形处理模型;对经济类专业可以融入投入产出模型等等．教师引导学生分析和解决问题，使学生体会到线性方程组与专业课的结合，激发学生学习课程的积极性．由于课堂时间有限，我们可选用比较小的数学建模问题，难易程度可参考如下案例所示．投入产出模型:某地区有三个重要企业:一个煤矿，一个发电厂和一条铁路．开采1元的煤，煤矿要支付0．25元的电费及0．25元的运输费．生产1元的电力，发电厂要支付0．65元的煤费、0．05元的电费及0．05元的运输费．创收1元的运输费，铁路要支付0．55元的煤费及0．1元的电费．在某一周内，煤矿接到外地50000元的订货，发电厂接到外地金额为2500元的订货，问三个企业在一周内生产总值各位多少?三个企业互相支付多少金额?(1)模型假设与变量说明．假设该地区三个产业间需要的资金完全由该地区提供．设本周内煤矿的总产值为x1，电厂的总产值为x2，铁路总产值为x(2)模型的分析与建立．煤的产值=订货值+(发电+运输)所需要煤的费用;同理，电厂的产值=订货值+(开采煤+运输+发电);铁路的产值=订货值+(开采煤+发电)所需要的运输费用．
3立足数学建模思想的有效融入，多种教学手段有机结合线性代数教学可以尝试采用多种教学手段相结合，以期达到很好的教学效果．(1)平衡多媒体教学与传统教学．多媒体教学有很好的辅助作用．在教学中引入数学模型时，需要利用多媒体课件呈现实际问题，以及引导学生对模型的分析与求解，使教学内容生动形象．例如，在基础理论教学中，对于比较抽象的概念，如矩阵的特征值、特征向量等，可以利用多媒体课件展示它们的几何意义，使学生从直观上加深对概念的理解，起到事倍功半的效果．可见，多媒体教学可以增加教学容量，扩大教学空间，延长教学时间．但是，传统的黑板教学在把握数学思维的发展、形成过程和知识反馈等方面，要技高一筹，教师所表现出的艺术感染力和魅力不是多媒体所能替代的．因此，我们要逐步找到传统教学手段与多媒体教学有机结合的平衡点，充分发挥多媒体对教学内容的补充和延伸优势，同时体现传统教学的逻辑性，不断提高教学质量．(2)增设适当的数学实验．根据线性代数计算程序化和独特的计算特征，增加数学软件的上机操作和数学实验，训练学生用计算机解决问题．首先在多媒体课件中添加了Matlab界面下矩阵生成、运算以及线性方程组各情形下的相应解法．而且，在课程中融入数学模型的求解过程也是利用数学软件完成的，这样可以用来引导学生学习数学软件．其次，在每章节加入了相关的实验内容，帮助学生能借助简单的Excel程序和Matlab软件进行科学计算，以增强学生科学计算能力．这样可以更好的提高学生应用线性代数的实践能力．(3)充分利用网路教学．当将数学模型融入课堂时，会出现学时少与信息量大的矛盾，而且由于学生的认知水平不同，对数学建模思想的领会程度也会有较大差异．为此，我们可以利用校园网建立课程网站，作为课堂教学的补充，为学生提供多层次、多方位的教学资源．网站中的教学资源除包括课堂教学内容外，还提供丰富的与专业相关的数学模型和数学实验，可以利用网上答疑和学生进行数学模型的讨论，算法的研究等．这样缩短了学生与数学建模的距离，而且学生还可以根据需要自由地选择学习内容和形式，灵活安排自己的学习时间，有利于培养学生应用线性代数解决实际问题和其创新能力．
4重视教师队伍高素质化建设教师是课堂教学的主导者，能否在教学中顺利向学生渗透数学建模思想，教师的素质起着重要作用．这就给我们教师队伍提出了较高的要求，无论是从教育理念上，还是从教学内容、教学方法和教学手段上，都应有新的突破．教学过程中，要求教师对自身的知识体系和知识内容进行及时更新，以适应信息化社会的需求，并应由传统的课堂主导者转变为以学生为主体，通过现代化教学手段，积极调动学生学习的积极性和学习热情．教师要积极参与数学建模竞赛的培训和指导，积极主动地学习和掌握数学建模知识，亲身体会建模的全过程．同时，教师也要结合自己的研究方向，将专业知识运用到实际问题中，进而不断提高自己的数学建模能力和水平．几年的实践表明将数学建模思想融入线性代数教学中的探索与尝试，旨在使学生领悟数学精神的实质、思想方法及其应用，从而培养学生的数学实践能力和创新能力．在这个长期系统的工程里，课程教学所涉及的教材建设、教学内容、教学手段和方法等方面，还是需要不断地进行探索与改革的．这是需要广大教育工作者的继续努力，以适应培养应用型人才目标的需要．
作者：唐帅郝祥辉单位：济源职业技术学院
关键词：《高等数学》；《线性代数》；相通性
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）32-0196-02
随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，《高等数学》和《线性代数》的作用越来越重要，它们是高等院校培养应用型人才重要的数学基础课。《高等数学》主要学习的是微积分方面的知识，《线性代数》主要学习的是几何方面的知识。由于课程内容的不同，部分高校在课程安排上往往一个教师要么只教《高等数学》，要么只教《线性代数》，从而在教学时往往忽略了引导学生去思考这两门课程中的一些相通性。实际上，看似两门完全不同的课程之间实有许多相通之处，而让学生了解和掌握这些相通性不但有利于更好地掌握这两门课程，而且还可以培养学生发现、思考和总结的能力，所学知识真正做到融会贯通。
几年来，笔者一直在教学一线，既承担《高等数学》的教学，也承担《线性代数》的教学。在教学实践中，笔者发现和总结了一些这两门课程的相通性，下面介绍几点。
一、《高等数学》和《线性代数》课程中部分定义和结论的相通性
4.方程解的结构。在《线性代数》中，当非齐次线性方程组Ax=b有无穷解时，其解可以表示为对应齐次方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组Ax=b的一个特解。在《高等数学》中，非齐次线性微分方程的通解也有类似的结构，即也可表示成对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。线性方程组和线性微分方程除了解结构类似外，解的性质也完全一样。
二、《高等数学》和《线性代数》课程中部分量运算的相通性
在《线性代数》中有一个重要的量――矩阵，故对矩阵的运算作了大量的介绍，有矩阵的加法、矩阵的减法、矩阵的乘法，但是没有矩阵的除法这一说法。在《高等数学》中，极限部分有个关键量无穷小，两个无穷小相加、相减、相乘仍然是无穷小，但是两个无穷小相除不一定是无穷小。这个特点和矩阵的运算特点类似，即对除法运算的特殊性。矩阵无除法运算，无穷小相除不一定为无穷小，它们虽然没有除法运算或性质对除法运算的不成立性，但是它们都有特殊的运算来代替，矩阵有矩阵的逆运算，无穷小可以通过相除来比较无穷小的阶数。
三、《高等数学》和《线性代数》课程对学生逆向思维培养的相通性
逆向思维是从原问题的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向进行思考的一种思维。它反映了思维过程的间断性、突变性和多向性，有利于培养思维的灵活性，常常可以帮助学生寻找新的思路、新的方法，开拓新的知识领域。在《高等数学》和《线性代数》课程中，都大量存在对定理、结论的逆否命题的采用，因而两门课程在培养学生的逆向思维能力方面具有相通性。我们来看几个例子。
命题1：如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则齐次线性方程组只有零解。而在实际的解题过程中，往往用其逆否命题：如果齐次线性方程组有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式等于0。
命题2：如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关。在向量组中相关性判断中，也常常用到其逆否命题形式。线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关。再比如，若向量组线性无关，则其升维组也线性无关。其逆否命题：若一个向量组线性相关，则其降维组也线性相关。这些结论在线性代数学习中是比较难以区分的，若弄清楚两两之间的关系，不但有利于逆向思维的培养，而且学习起来也会事半功倍。
上面只是列举了这两门课程中的几个例子，实际这种逆向思维的训练在两门课程中还有很多。文献[1]中还介绍了利用反例、反问题等来培养学生的逆向思维。
线性代数与高等数学是大学数学的两门重要基础课，虽然这两门课解题方法有些差异，却密切相关。除了上面介绍的几个方面外，还在很多方面都有内在的渗透[2-7]。例如二次型在函数极值、不等式中有着重要的应用，线性空间理论也可用于数列极限的求解，矩阵、行列式在高等数学中的向量积、混合积、旋度、Stokes公式等知识点中都有具体的应用。而另一方面，高等数学中的许多内容，譬如函数的连续性、导数等都可广泛地应用于线性代数众多章节之中。教师在教学过程中应该抓住这些相通性及相互渗透的知识点，将这两门课的内容更好地交叉、融合。
参考文献：
[1]袁秀萍.线性代数教学中逆向思维能力的培养[J].科教文汇，2014，（294）：42-44.
[2]桑旦多吉.线性代数方法在高等数学解题中的应用[J].求知导刊，2015，（7）：126-127.
[3]米永生，梁静.线性代数方法在高等数学中的渗透[J].石家庄学院学报，2007，9（6）：17-21.
[4]董晓妃.线性代数方法在搞定数学解题中的应用思考[J].科技创新导报，2015，（19）：155-157.
[5]李明泉.线性代数在高等数学中的一些应用[J].长春师范学院学报（自然科学版），2007，26（4）：27-30.
关键词：线性代数；Matlab实验；矩阵计算
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）35-0250-02
作为基础学科的线性代数课程，在各学科的发展中起着重要作用。传统的线性代数课程的教学内容偏重自身的理论体系，过多地强调基本定义、性质、定理及其证明，对线性代数的方法和应用方面重视不够，并且基本不涉及数值计算，所以学生在学习线性代数时觉得抽象无味，基本上理解不到学习线性代数的用处，更不知怎样用所学的理论知识来解决相关实际问题，从而导致学生失去学习的兴趣和热情。另一方面，在实际问题中，所涉及的方程组和矩阵往往是大规模的，高阶的，用人工来计算是非常不易的，而且基本上是不可行，所以需要用到计算机来进行计算。为了适应科学研究和计算，Math Works公司出品了Matlab软件，它是当今国际上科学界最具影响力、最有活力的数学应用软件。该软件起源于矩阵的运算，现在已发展成一种高度集成的计算机语言。将Matlab实验与线性代数相结合实施教学，既能加深学生对所学线性代数知识的理解，又能让学生掌握如何用Matlab软件进行行列式和矩阵的计算。无论从MATLAB这门程序设计语言出发，还是从线性代数这门课程改革的意义出发，两者相结合实施教学都有可取之处。现在国内各个学校的教师都通过实践在这一项教学改革工程中进行了摸索与研究。但是，将线性代数与Matlab实验相结合进行教学有其利与弊。下面结合自己线性代数课程的教学经验及Matlab的有关知识，谈谈两者相结合的利与弊。
一、将线性代数与Matlab实验相结合的优越性
1.能极大地提高同学们的学习积极性。通过布置matlab上机操作作业，在提高动手能力的同时，对学生的学习起到一定的监督作用。现在计算机是大学生必备的工具，将枯燥的线性代数理论知识与Matlab实验相结合，会引起学生极大的兴趣，从而会更好地掌握所学知识。
2.结合Matlab软件，将线性代数基本概念都转化为几何图形，且概念一般都比较抽象，这是学生难以学好线代的主要原因。应用Matlab进行线性代数的计算机辅助教学，能使学生对图象有更直观的理解，有利于线性代数的教学。
3.一切繁琐计算都有简明程序，推动笔算与机算结合。Matlab在线性代数计算中应用非常方便，能使学生从繁杂的计算中解脱出来。线性代数是一门计算性很强的课程，其中很多内容，如行列式的计算、求线性方程组的解，矩阵加减乘除运算、矩阵的特征值与特征向量的求法等内容，都要牵涉到很多计算，学生进行单纯的计算可能很单调乏味，但若将这些计算与计算机联系起来，学生学习积极性会有很大提高。例1：已知两同阶方阵A，B，求（1）A的行列式|A|；（2）A+B与AB；（3）A2；（4）A的特征值也特征向量。在Matlab环境下，输入如下代码就可以实现：首先在Matlab的命令窗口中输入，矩阵，然后再输入>>det（A），>>C=A+B，>>D=A*B，>>E=A*A，>>[V，D]=eig（A）。在线性代数中，用正交变换化二次型为标准型也是一个重要内容，且计算非常繁琐，但是我们用Matlab工具将变得非常简单。例2：求一个正交变换，化已知二次型为标准型。建立如下的M文件：输入二次型的矩阵A；[P，D]=eig（A）；disp（'正交矩阵为：'）；P，disp（'对角矩阵为：'）；D，disp（'标准化的二次型为：'）；syms y1 y2 y3，f=[y1，y2，y3]*D*[y1；y2；y3]；Pretty（f），运行即可得所需结果。
4.与Matlab相结合，能增强线性代数的实用性。因为现在的线性代数学习，基本上没有与实际问题联系起来，所以许多学生只是为了考试而学。为什么会这样呢？因为在实际问题中，涉及的方程与矩阵一般较大，若不将线性代数课程与计算机联系起来，根本没法把它推广到应用中去。例如，我们知道，电路课中稳态电路核心是基尔霍夫方程，n个节点的稳态电路就牵涉到n个方程。后续课中要算的n一般都大于3，而现代的科学计算问题中n更是达到几百甚至几千，此时用线性代数教的手工解法根本解决不了，这样，线性代数知识就无法派上用场。另外，将线性代数课程与Matlab相结合，可以解决直流电路与交流电路、线性系统中常微分方程、线性系统中信号流图、文献管理等问题。这样就大大增强的线性代数的实用性，从而让学生体会到学习线性代数的重要性，提高学生学习的积极性。
5.与Matlab实践相结合，线性代数能与后续课的需要无缝衔接，体现课程的辐射效应。现在的线性代数教学大纲中存在着许多缺陷，主要是没有把“许多工科中涉及到的内容考虑进去”，所以很难满足工科后续课的需求，按现在线性代数所教的方法，后续课无法用来解高阶及复数矩阵的相关题目。为了能让学生学有所用，也让工科的学生能将线性代数所学的内容用于后续课的学习上，必须将线性代数与Matlab相结合。
6.许多工科学科的高级科目或专业科目，都会涉及到matlab的运用，在学习线性代数这一门基础数学课的同时，也能为matlab的学习打下坚实的基础。
二、将线性代数与Matlab实验相结合的不利点
虽然将线性代数与Matlab实验相结合有许多优越性，但在结合中也会产生不利方面：
1.有可能让学生产生依赖性，导致计算能力的降低。由于Matlab能基本实现线性代数的所有计算，一些学生认为没必要去进行手算了，如是会疏于练习，从而导致计算能力下降。
2.对一些定义的把握模糊化。在Matlab中，有两个矩阵A与B的乘法A*B，也有数组A与B的乘法运算A*B，而在线性代数课程中，没有牵涉到数组A*B这种运算，因此在学生过程中，同学们可能会产生概念的混淆。
3.对一些运算的误导。在Matlab中，可以将一个矩阵A与数a相加，它的结果是将矩阵A的每一个元素与数a相加，但在线性代数的矩阵运算中，没有矩阵与数的加法，这样，学生在计算矩阵加法时会产生误导，出现混乱。
参考文献：
[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.
[2]陈怀琛，龚杰明.线性代数实践及MATLAB入门[M].北京：电子工业出版社，2009.
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[4]马丽娜，刘烁.MATLAB数学软件在线性代数教学中的应用[J].产业与科技论坛，2011，（10）.
[5]李绍刚，段复建，陈利霞.线性代数中MATLAB实验教学的探索与实践[J].长春大学学报，2010，（06）.
[6]李小平.关于线性代数教学改革的一些思考[J].大学数学，2011，（3）.
关键词： 线性代数 自学考试 线性变换 特征值
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题。因而，线性代数被广泛应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛应用于自然科学和社会科学中。
线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具。尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得重要。
线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量。这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种，是学习线性代数时应养成的重要习惯和形成的重要素质。如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点的话，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性。学习时应做到心中有数，将内容一步步分解为这些简单问题的叠加。学习重点应放在理解和运用和计算上，老师上课时的例题很重要，要方便学生课后理解消化，学生要勤做练习加深理解，做题时应分清各类题型，举一反三。笔者从事线性代数的教学和自考辅导工作多年，对如何学好这门课有自己的认识。
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
我们不仅要准确把握住概念的内涵，而且要注意相关概念之间的区别与联系。线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。
二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对，再问做得好不好。只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB=0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解，再根据基础解系的理论和矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有r（B）≤n-r（A），即r（A）+r（B）≤n，进而可求矩阵A或B中的一些参数。上述例题说明，线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。
三、注重逻辑性与叙述表述。
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还要注意语言的叙述表达应准确、简明。
自学考试的特点是难度不大，考点广泛，要求基础扎实，面面俱到。每年的考卷内容变化不是太大，基础题重复出现的机会较大。在学习过程中，把概念搞清楚、内容理顺后，对往年的真题进行大量的强化练习，相信一定会取得好成绩。
参考文献：
【关键词】线性代数；抽象；课堂教学；学习兴趣
一、概述
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题，因而线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中。通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是大学理工类、经管类数学课程的重要内容。
二、轻松学习线性代数
线性代数之所以难学，学生不愿意学，就是因为它的高度抽象性，那么在课堂上就要注意这一点，怎么办？什么是抽象，抽象是许多具体的共同点，在讲授中可以和许多现实中的问题联系起来，比如在讲求极大无关组时，可以打比喻说十个人去劳动，七个人在干活，其余三个人一直在玩，在统计各个人在工作中做的贡献时那就可以先去掉这三个与劳动无关的人；在解线性方程组讲解去掉多余的方程时，可以比喻成甲，乙两个人向丙说一件事情，甲直接说，而乙委婉的说，但两者表达的意思完全一样，所以丙完全可以忽略乙，直接听甲的述说就可以；讲秩的定义时，秩就是所描述空间的维度，就像风筝的骨架，这样会让学生明白秩在矩阵或向量组中的地位；矩阵的同构就像不同的人来表演同一个节目；先土话，后官腔；线性代数要学会两件事情：矩阵运算是愚公移山，会把问题转化为矩阵运算是神仙下凡。用这些学生熟悉的实例来联系线性代数中的定义、定理都十分的贴切，恰如其分，把本来死气沉沉的数学课堂气氛搞得十分活跃，学生也很容易理解定义、定理的实质，可以起到事半功倍的效果，这样学生就会愿意学数学，不会感到数学十分的乏味，兴趣是第一老师，只要愿意学，还能学不好吗？这样上课通俗易懂，一定会受到学生的欢迎。
学生在学习线性代数的总是有这样的困惑，这些矩阵，向量组，线性方程组的理论学了到底有没有用，有什么作用？现在大部分线性代数教材重理论轻应用，不能反应科学技术的发展和工程技术的要求。这就需要教师有较扎实的专业知识和较宽广的知识面，在课堂上让学生知道线性代数这门课程的在实际生活中的应用。比如在讲向量线性相关性时可以通过中成药药方配制问题，理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识；在讲解可逆矩阵时简单介绍密码问题，矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法；工程师、经济学家、科学家和数学家常常要寻找在一些特定集合内的x值，使得二次型xTAx取最大值或最小值，具有代表性的是，这类问题可化为x是在一组单位向量中的变量的优化问题。这类条件优化问题有一个有趣且精彩的解，这就是二次型的应用；矩阵的对角化还可以解决行业就业人数的预测等实际问题。在课堂上适当的抽出一小部分时间给学生介绍理论知识在实际中的应用，解决了学生的困惑，不仅可以提高学生的学习积极性，也可以拓宽学生的知识面。
最后是让学生在线形代数的课堂上要有主人公的精神，要使学生觉得这是他们自己的课堂，而不是老师自己的表演，但是线形代数这门课程的特点经常的出现老师在黑板上奋笔疾书，一黑板一黑板的演算某一个例子，学生作为一个旁观者坐在下面忙自己的事情. 怎么样解决这样的问题呢?这就需要老师在课余多动点心思去思考如何让学生开心的参与到自己的课堂的各个环节中去。
还可以让学生参与到公式、定理的推到中去，引导学生参与公式、定理的发现过程对培养学生的创造能力有着十分重要的意义；最重要的是让学生用学习的知识去解决问题，每节课最后都应有相应的思考题让学生现学现用，并且鼓励学生用不同的方式去解决问题，使学生对当堂课的内容有很深刻的印象。 问题是数学的心脏。教师应启发学生对一个数学问题从多方位、多角度去联想、思考、探索，这样加强了知识间的横向联系，使思路变得更为广阔。同时，教师也可以从学生的多种解法中得到一些有益的补充。这无疑对老师，还是学生来说都是一种好的方式。
三、结语
总之，在线性代数的教学中老师始终要秉持以学生为主体的思路，首要任务是利用自己的知识和见识通俗地讲解线性代数的实际应用从而提高学生学习线性代数的兴趣。老师还需注意师生间交流，建立良好的师生关系，激发学生的学习兴趣，注重实践、学以致用，将它们有机的结合使学生的学习达到最佳效果。
参考文献
关键词：合作办学 线性代数 教学改革
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）04（c）-0113-02
线性代数是高校理、工、经、管等专业的基础课之一，随着这门课程在基础课中的地位的逐步提高，以及在科学技术生产实践中日益广泛的应用，线性代数的重要性也日益显现，对线性代数的教学改革势在必行。自2007年以来，我校先后与多所国外高校开展中外合作办学项目，还与企业联合共建“计算机科学与技术（软件外包方向）”本科专业，结合这些实际情况，依据教学改革实践的体会，该文对《线性代数》课程教学提出一些设想和做法。
1 我校线性代数教学中存在的问题
目前，我校线性代数的教学学时为36学时。一般放在大二的上学期。所用的教材是同济大学数学系编《线性代数》第五版。由于学时的限制我们只讲授前五章的内容。
2007年开展中外合作和校企合作以来，线性代数的教学对我们教师来说是一个新的挑战。一方面，线性代数课程本身就有一定的学习难度，课程涉及的概念、定理、结论非常多，比较抽象，大学二年级的学生在理解上有一定的难度，不容易被他们所接受；另一方面，中外合作和校企合作办学的学生的基础相对不是很好，一部分学生的学习态度不够端正，上课前没有积极预习，上课时没有认真听讲，课后没有及时复习练习；最后学生在思想上没有足够重视，他们没有很好地了解学习线性代数的意义，普遍认为学习线性代数没什么用，导致有些学生表现出一定的排斥态度。
2 结合我校实际的线性代数的教学改革
2.1 让学生认识到学习线性代数的重要性
线性代数是所有自然科学的基础，也是现代工程技术的基础。它不但是学生学习其它后续许多课程（如电路分析、控制原理、信号与系统等）不可缺少的重要工具，而且还为一些实际应用问题的解决提供了一种重要方法。在讲授这门课程的时候我们教师一定要让学生明白线性代数来源于实践，它最终也要应用到实践中去。
矩阵是线性代数的一个重要的研究对象，也是一种常见的数学现象，比如学生的成绩单、车站时刻表、工厂里的生产进度表、价目表、科研中的数据分析表等等，它是表述或处理大量的数据的有力的工具。能把一些头绪纷繁的数据按照一定的规则清晰地展示出来，并通过矩阵的一些运算或变换来揭示各事物之间内在的一些联系，这就是矩阵的重要作用之一。
方阵的特征值、特征向量、方阵的相似对角化也有很重要的实际应用。例如，在生物信息学中，研究人类基因的染色体图谱进行DNA序列对比时就要用到这些内容，当然在其他方面如自动控制理论、机械振动以及线性电路分析中，这些内容都是不可缺少的工具之一。
二次型的理论起源于解析几何中对二次曲线和二次曲面的研究，它在线性系统理论和工程技术的许多领域中都有应用。例如工程上，与现代控制理论、无线电技术、振动问题有着极其密切的联系。
2.2 教学过程中教学内容的改革
本课程的重点是在下表中用“”号标明，对这些重点要在学时安排上侧重一些，保证能有足够的学时进行强化教学，且习题课时要反复讲解，反复练习，使学生能切实掌握（表1）。
概念多是本课程最大的难点，非常抽象，大学二年级的学生很难理解，接受起来也有困难。对此我们尽量将抽象问题具体化，复杂问题简单化。
（1）先讲具体问题，再从这些具体问题中引导出抽象的概念，例如§2.1和§2.2的矩阵和矩阵运算就是从解决实际问题中提炼出来的，这使得抽象的数学概念有一个可以捉摸的实际背景，不仅使得学生容易接受；更重要的是使得学生懂得抽象的数学概念和理论是解决实际问题的有力工具，从而激发了学生学习数学的积极性和主动性。
（2）将困难的概念分几个层次讲。比如矩阵的秩，在第三章讲矩阵时，涉及到了一般的矩阵秩的性质和一些理论，并用此来求解线性方程组。接着在第四章，在阐述向量组秩的时候，把向量组的秩和矩阵的秩联系起来，对秩的理论作了作了进一步阐述。分成两步走，使得学生对秩的概念有一个逐渐的认识过程，难理解的秩也就逐步理解了。
（3）讲难点时将方法和理论分开，比如§4.3节讲向量组的极大线性无关组，就先讲如何求的方法，将求秩的方法归纳成3步，每步都具体写出，先教会学生会具体算，而省略一些理论证明的详细推导，有兴趣的学生可以去自学这些推导。
（4）将难点分解，把复杂的、难的知识点转化为简单的问题。
①第一章中行列式计算的主要方法就是利用行列式的性质将一般的（难的、复杂的）行列式归结化简为上（下）三角形行列式（简单的）。
②第三章解线性方程组也是将一般的（难的、复杂的）线性方程组归化为同解的简单线性方程组来求解。
③第三章矩阵的秩也是将一般的（难的、复杂的）矩阵的秩归化为阶梯型矩阵的秩（简单的）。
④第二章至第五章中的矩阵间的等价、相似、合同，其实这三者也是旨在借助标准形（具体的，简单的）来推断一般矩阵（抽象的、难的）的性质。
⑤第五章二次型中用非退化线性变换化二次型为标准形，借助标准形（具体的、简单的）来推断一般二次型（抽象的、难的）的性质（比如是否正定）。
2.3 线性代数教学中融入数学建模的思想
近几年，我校区在数学建模方面取得了可喜的成绩，多次获得国家一、二等奖级山东省一等奖，这也激发了校区学生参加数学建模的热情。针对这一情况，我们建议在讲授课本上理论知识的同时，也给出一些实际问题，引导学生进行分析总结，通过做一些适当的简化和引入一些合理的假设，建立简单的数学模型，并对此模型进行求解，从而利用这个结果再去解释实际问题。一方面这样做能让学生了解数学建模的基本思想，另一方面又让学生体会了线性代数在解决实际问题中的重要作用。针对不同的专业，我们可以根据专业来选择不同类型的数学模型，比如电气专业，我们可以引入电路网络方面的数学模型；计算机专业，可以引入关于计算机图形处理方面的数学模型；经济专业，可以引入投入产出数学模型等。
2.4 线性代数教学与计算机紧密结合
首先在教学方式上，我们可以利用现代化教学手段，发挥计算机的作用，在一定程度上可以提高线性代数的教学质量和效率。其次可以在线性代数教学中指导学生用计算机如常用的一些数学软件Mathematica、MATLAB来完成繁杂的运算，给学生提供一些简单且容易掌握的应用程序，为学生今后参加数学建模竞赛打下良好的基础。
3 结语
从培养学生的创新意识和提高他们的数学素质的思想构建合作办学条件下线性代数课程的新模式是切实可行的。毋庸置疑，当我校区数学教师将这一新模式贯穿到他们日常的教学过程中时，我校区的数学教育定将上一个新的台阶。
参考文献
关键词 MATLAB 数学实验 线性代数
中图分类号：G642 文献标识码：A
1线性代数课程的特点
线性代数是代数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。线性代数在数学、物理学、工程技术和经济管理等众多领域有着重要的应用。目前众多院校理工类、经济管理类专业都开设了线性代数课程，同时它也是考研数学必考内容之一。总结起来，线性代数课程有以下几个特点：
1.1概念多，定理多，内容抽象
与高等数学、概率论与数理统计等基础课相比，线性代数课程的特点在于内容抽象，概念、定理多，尤其是向量部分最为典型。学生在学习具体内容时，不易理解和掌握，解题时只会套用，学习积极性普遍不高。
1.2计算繁琐，机械重复
线性代数中，大量计算贯穿其中。例如，计算问题涉及到初等行变换的，就有求逆矩阵、矩阵的秩，向量组的秩和基础解系等等。再如求特征值和特征向量、矩阵对角化问题计算量大，更是让人望而生畏。一般而言，阶数大于4的高阶矩阵问题，笔算就非常困难了。
2中美线性代数课程教材对比
2.1国内教材偏重理论体系的完整性
从国内多数院校《线性代数》课程的教材来看，基本内容大致相同：有行列式、矩阵、维向量及向量空间、线性方程组、特征值与特征向量和二次型。教材内容理论性强、结构严谨、逻辑清晰，同时例题较多，突出了数学的基本概念、基本理论和基本方法。大部分教材以理论为主导，偏重理论体系的完整性，过多强调证明和推导。
2.2美国教材偏重科学计算，解决实际问题
美国线性代数教材比我国的要浅，但教材中大多广泛选取工程学、经济学和统计学等学科中的实例。例如美国著名数学教育家DavidC.Lay教授编著的《线性代数及其应用》，有如下特点：首先是应用性广，教材搜集了近200个来自于生活实际的数学问题，内容丰富。其次是启发性强，教材在处理证明问题时，一些问题给出详尽的证明，另一些问题仅给出证明概要，还有一些问题就干脆交给学生去完成。最后教材比较注重工程实用与计算，每章都附有使用MATLAB软件的习题，有的还提供算法、计算程序等。
3 MATLAB辅助线性代数教学的必要性
3.1高阶矩阵、复矩阵等问题，离不开数学软件
线性代数课程中涉及大量的矩阵计算，比如5阶以上求特征值、求逆矩阵等问题，笔算太繁琐，容易出错。目前比较流行的处理数学问题的软件有30余个，比较常用的有MATLAB、MAPLE、MATHEMATICE，它们都可以解决线性代数课程中的计算问题。
3.2后续专业课程的学习，需要用到科学计算软件
不论是理工类专业，还是经管类专业，后续专业课程的学习，矩阵建模和计算方面的需求很大，这些问题的解决离不开科学计算软件。为此，在线性代数教学中，可适度融入数学软件的学习，可以让学生在掌握一般的原理方法的基础上，进一步培养学生应用数学软件进行求解的能力。
3.3 MATLAB辅助线性代数教学的优越性
MATLAB是一款集数值计算、符号运算、图形处理及程序设计等强大功能于一体的的软件工具。利用MATLAB辅助线性代数教学，有以下几个显著优势：
（1）每个变量代表一个矩阵，矩阵行列数无需预先定义，语言规则与笔算式相似，输入算式立即得到结果，无需编译。
关键词：线性代数；计算机技术；教学方法
一、教材内容的整合与梳理
每一门学科的教材均具有本身的体系，但是教师在授课时不能机械的照搬照抄，而是应该根据实际情况对教材内容进行整合。在线性代数的教学过程中，为了使教学内容更加符合教学目标要求，教师在课前需要对教材内容进行整合与梳理，向学生讲解课程各部分间的关联，形成一个系统、完整的知识体系，从而有益于学生掌握各知识点间的联系，对教材有一个整体的了解。
二、医学生必须掌握主要的计算方法
在线性代数课程内容中，包含大量繁琐的计算问题，同时也具有较为集中的计算方法。在日常学习中，教师应该充分分析课程内容，根据实际教学内容归纳出相应的计算方法，从而有助于学生学会更多解题的技能与技巧方法。例如，线性代数里大多数的基础题，如化成标准形式、极大无关组的求解、向量线性相关性的探讨、矩阵与向量组的秩以及逆阵的求解等等。因此，必须让学生做到：（1）熟悉线性代数里其他诸多问题与矩阵初等变换的关联；（2）学会较为规范、准确的解答矩阵最初变换计算等诸多基础问题[2]。
三、借助现代化教学方式，提高教学效率
传统的教学方式较为单一，且线性代数较为抽象，较难理解，因此运用传统教学手段就根本不能引起学生学习兴趣。如果教师在教学过程中使用现代化教学方式，如教学课件、投影等，就会活跃课堂气氛，提高学生学习积极性，从而提高教学效率。例如借助多媒体等现代化教学手段对Mathemat-ica软件等常用数学学习软件进行介绍，会提高学生学习积极性，增强学生操作计算机及应用数学软件的能力。而且，在教学过程中，利用计算机进行辅助教学，可以节省传统书写板书的时间，提高教学效率。目前，全球都将计算机辅助教学作为重点目标，同时也是一个评估学校教育水平的标准。
四、将抽象理论知识充分运用到实践应用中
在线性代数教学中，在对新的抽象定理或定义进行阐述时，可以对其现实应用状况与产生背景借助实例的形式进行讲解，从而加强定义或者定理的形象性。线性代数的教学内容主要由二次型、矩阵等组成。其中矩阵的作用非常关键，因为矩阵是其他每个部分内容衔接的桥梁[3]。所以，需要重点掌握矩阵的运算方法及定义等。在对矩阵的定义及乘法运算进行讲解时，应该首先对其现实应用范例进行介绍，从而帮助学生较快理解其相关知识。如在对矩阵相关预算与定义进行阐述时，可以列举以下的范例：
某一家公司将4种产品送至3家超市，诸多实际数据如产品单价、种类及利润等均在表1-表3中展示。请各位同学用矩阵乘法计算出每家超市的总利润与总收入。
显而易见，产品数量用A代表，每一种产品的利润与单价用B代表，每家公司的总利润与总收入用AB代表。借助此范例能够帮助学生得出结论：（1）事实上，矩阵即为其他的一种表示表格的形式。这种对定义的诠释能降低矩阵的抽象性，帮助学生较容易的掌握矩阵定义；（2）矩阵乘法事实上是若干个数字“和”与“积”的简化表达；（3）与平时简单的数字乘法不同，矩阵乘法具有更复杂的计算方法及计算过程。
总而言之，线性代数是医学院的重点基础课程之一，其对医学的发展具有重要的作用。在具体的教学中，教师应针对现存诸多问题进行改革。寻找新的科学的教学方法及教学手段，充分将理论与实际问题联系起来，借助具体实例阐述抽象的线性代数定义及定理等，从而增强学生的计算能力、创新思维能力等，提高教学效率。医学院线性代数教学改革是一个持续健全与深化的过程，有关部门应该充分重视教学改革工作，从而实现医学线性代数教学的科学化与现代化，促进社会和谐发展。（作者单位：西安医学院）
参考文献
