时间：2023-05-29 18:24:28
关键词：学习起点；面积；二维特性
本课在教学之前事先了解学生对于面积概念的起点，并在此基础上让学生先经历摸一摸、说一说、涂一涂等操作活动，直观地感悟面积的含义，并通过借助七巧板的拼摆让学生认识到面积的测量本质，再借助周长和面积两个概念的甄别，引导学生主动构建完整的面积概念。
教学实践过程：
一、动手操作，认识物体的“面”
1.结合物体，认识“平面”。 生活中的许多物体都有“面”，这节课我们先来认识“面” 。 （1）结合手机，用手摸出一个面，找一找手机其他的面。 （2）结合身边的物体，摸一摸它的面。引导学生找一找、摸一摸、说一说不同物体的“面”在哪里？课桌面黑板面数学书的封面 。（3）小结：刚才我们找到的这些面，都是平平的，我们叫作“平面”。
2.结合物体，认识“曲面”。 （1）这是个圆柱形的茶叶罐，你能找到哪些面？这些面都一样吗？ （2）你还能找到这样弯曲的面吗？ （3）拿出乒乓球，我们一起来摸一摸“曲面”，感受和“平面”有什么不一样。
3.小结。生活中许多物体都有“面”，有的面是平面，有的面是曲面。
【设计意图：学生的前测结果显示，学生对“面”的认识是零散的、模糊的、感性的，需要一个体验、抽象、完善的过程。通过找一找、摸一摸、说一说等数学活动，让学生直观地感受什么是“平面”。结合圆柱形和圆球形的实物，让学生初步感受什么是“曲面”，进一步完善学生对“面”的理解，同时为学生认识“面积”做好准备。】
二、结合实例，建立“面积”的概念
1.比较黑板面和国旗的表面，说说哪一个面比较大？
2.说一说面积的含义。
黑板表面的大小就是黑板面的面积。（板书）
国旗表面的面积指的是什么？你能像这样说一说吗？
3.找一个物体的表面，一边摸一摸，一边说一说它的面积。
（1）同桌互说。 （2）全班交流。
4.结合字典，进一步理解面积。
（1）找一个和封面面积一样大的面。 （2）比一比，字典的封面和侧面，哪一个面的面积比较小？
【设计意图： 面积概念的建立要遵循直观性原则，对物体面积的描述要做到动作表征与语言表征相结合，即边用手比画边描述该表面的面积，以此增强对面积概念的直观认识。在学生理解“面”的基础上，结合黑板面和国旗表面大小的比较，使学生感知物体的表面有大有小，通^摸一摸、说一说等数学活动揭示面积的概念，使学生初步认识面积。摸字典的活动，使学生认识到不仅物体的上面有面积，下面、侧面也有面积，打破学生对物体的表面就是上面的思维定式。】
5.感悟平面图形的面积。
（1）结合长方形，理解平面图形的面积。数学书的封面是一个什么图形？（课件演示抽象出长方形）那这个长方形有没有面积呢？它的面积又是指什么呢？（出示图形） 下面这些长方形的面积大小是否有变化？你是怎么想的？
（2）涂一涂，建立面积的空间观念。 用30厘米长的线围出下面的图形，这些图形都有面积吗？有的请涂黄色表示出它们的面积。 ①学生操作。 ②全班汇报。 为什么第四个图形大家都没有涂色？你是怎么想的？（这个图形不是封闭图形，我们无法确定它的面积，所以只有封闭图形才有面积。） ③电脑演示，学生手势比画面积。 ④小结：封闭图形的大小就是它的面积。
（3）比一比。 ①这些图形的周长指的是什么？大家先用红色描一描，再同桌互相说一说。 ②正方形的周长和面积有什么不同呢？ 周长 线的长度 ；面积 面的大小 。③比画周长和面积。 我们结合电脑，一起来指一指图形的周长，摸一摸图形的面积。（课件演示周长和面积）
6.小结面积的含义。
【设计意图：借助数学书封面是长方形，引导学生理解平面图形的大小就是它的面积。借助长方形的位置不同但面积没有变化的过程，初步培养学生“面积守恒”的观念。借助涂面积的数学活动，使学生直观地感受到“面积”是什么，特别是让学生理解只有“封闭图形”才能表示出面积，进而正确建立面积的概念。借助“周长”与“面积”两个概念的甄别，突出周长是一维测量的结果，是测量封闭图形外面一周得到的长度，纠正学生脑海中“周长是面的外面部分”的一维二维混淆的根源性偏差，面积是二维的面的大小，由此加深学生对周长和面积的维度感悟，从而完整地建立面积的表象。】
三、练习提升，内化“面积”的含义
1.比一比
（1）下面三个图形，你能比较出它们面积的大小吗？
谁的面积最大？谁的面积最小？你是怎么比较的？
（2）借助格子图测量，利用大小的“块状测量”进行比较。
我们把这三个图形放到格子图中，想一想，每个图形的面积是几个小正方形呢？
【设计意图：对于面积大小的比较，更多的是直观视觉上的判断或是直接比较，如果借助格子图，既能为测量奠基（学生计数表述的过程，就是一个简单的测量过程），又能让学生“一块一块”地数出面积，即从二维的角度用简单的数据来表述面的大小，从而进一步理解面积可测性的含义。】
2.拼一拼
（1）用七巧板中的3块小图形拼一拼，看看能拼成什么样的图形，和你的同桌交流下。
（2）展示学生拼摆的图形。
（3）汇总交流。 仔细观察这些图形，它们的面积相等吗？你能得出什么结论？
（4）如果你摆的图形去掉一块或者增加一块，图形的面积会怎么变化？
3.围一围
在钉子板上围出一个长方形（出示3×2的长方形）。
（1）这个长方形的面积指的是哪一部分？长方形的面积是多少个格子这么大？ （2）现在要使这个长方形的面积变大，你会怎么办？ （3）学生合作交流。 （4）反馈演示。 （5）小结。
一个长方形的长发生了变化，它的面积也会随之发生变化；宽发生了变化，它的面积也会随之发生变化。
【设计意图：学生后续要学习的直线平面图形的面积计算，都会比较明显地涉及面积的二维特性，那么在初始学习阶段就可以借助操作和直观图象让学生对面积“变化”有更清晰的认识，同时对面积变化的二维特性有更深的理解。因此，安排了上述数学活动，借助彩色皮筋在钉子板上的简易操作，面积从“不变”走向“变化”，结合课件的直观图示，抓住“面积增加在哪里”，让学生认识到“一个维度变化另一个维度不变（长变宽不变）、两个维度变化，增加的都是能确定二维的面”，使学生清楚地认识到面积变化的二维要素。】
四、课堂小结
1.今天这节课你收获了哪些数学知识？对于面积你们还有什么问题吗？
一、增强转化的意识
数学知识系统性强，前后联系紧密，新知是建立在旧知的基础之上的，因此，把新知转化为旧知进行教学，把新知识纳入到原有的知识结构之中，无形之中就渗透了转化思想。
例如，学生刚学完“方程的意义”后，教师出示下面两幅图（见图1、图2），让学生看图列方程。
图1 图2
图1是天平图，由于天平的两边相等，学生很容易就列出了方程2x=500或者x+x=500，而图2的第一个图不是天平了，因为初学方程，有的学生列不出，这时教师可以提醒学生能不能把这个图转化为天平图呢，要想让这个天平平衡，左盘放什么？右盘呢？教师可结合学生的回答在黑板上画出图2的第二个图，然后把现在的两盘物品与图1的两盘比较：文具盒与笔记本相当于两个梨，而20元则相当于500克的砝码，这样就把生活中的问题转化为数学中的问题，再让学生用一句话说说它们之间的关系，此时列方程就轻而易举了。
二、明确转化的方向
（一）运用类比，把没学过的、未知的转化为学过的、已知的
例如，在学习“平行四边形面积公式的推导”时，教师可以让学生先通过剪、贴、拼的形式把它转化成已经学过的长方形。
平行四边形的底相当于长方形的长
平行四边形的高相当于长方形的宽
长方形面积 =长×宽
平行四边形面积 =底×高
而在得出三角形的面积公式时，教师又可以通过剪、贴、拼的形式把它转化成平行四边形的面积。
平行四边形面积=底×高
三角形面积=底×高÷2
再如，在教学六年级下册“圆柱的体积公式”时，教师可以先让学生通过正方体、长方体的体积推测圆柱的体积，再引导学生将圆柱转化成已学过的立体图形，因此学生在独立思考时首先会考虑将圆柱切割和拼接成近似长方体。而切割与拼接的方法以及公式推导的过程则和圆面积的推导一致。
长方体的长相当于圆柱底面周长的一半
长方体的宽相当于圆柱底面的半径
长方体的高就是圆柱的高
圆柱的体积=底面周长的一半×半径×高=底面积×高
转化的方法是把未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决的问题，最终求得原问题的解答。
（二）把复杂的、难的转化为简单的、容易的
例如，在教学六年级上册“圆的面积”时，圆的面积是个抽象的知识点，教师可让学生先将圆转化成已学的图形。让学生独立思考圆可以转化成什么图形，再通过合作剪拼、测量观察、比较推导等方式就能把圆转化为已学过的近似长方形，推导出圆的面积公式。
长方形的宽相当于圆的半径
长方形的长相当于圆周长的一半
长方形的面积=长×宽
圆的面积=圆周长的一半×半径=圆周率×半径的平方
再如下图，求左边一个图形中阴影部分的面积，教师可引导学生将图形先分割成两个图形，再组合起来。
阴影部分的面积就变成以10厘米为半径的半圆面积减去底为20厘米、高为10厘米的三角形的面积。而三角形可以转化成一个边长为10厘米的正方形，因此阴影部分的面积=半径为10厘米的半圆的面积-边长为10厘米的正方形面积。
转化需要学生具备一定的观察、分析能力，若学生能很好地掌握转化的思想，那么就可以降低题目的难度。
三、学会转化的方法
（一）统一化：把不统一的变成统一的
统一化就是通过转化消除差异，把条件和问题的表现形式转化为使之更具有数、式与形内部固有的和谐统一的特点，以帮助学生去确定解决问题的方法。
例如，比较0.3030…，，33.3%的大小，让学生体会到小数与分数、百分数不能直接比较大小，只有把所有的数转化成统一的同类数方可进行大小比较。
再如，一根圆柱形木料底面周长是12.56分米，高4米。（1）它的表面积是多少平方米？（2）它的体积是多少立方分米？
学生在做这道题时，圆柱底面周长和圆柱高的长度单位不一致，而且小题中的问题对单位也有不同的要求。求表面积需要将单位统一成平方米，而求体积需要将单位统一成立方分米。对于单位不一致的题目，学生可以先转化成统一单位再计算；也可以先计算，最后再统一单位。
（二）简单化：把较复杂的问题转化为较简单的
复杂的问题往往是由很多基础的简单的问题组合而成的，将复杂的问题转化成多个易于解决的问题，再逐个解决。
例如，如下图，已知圆的直径和正方形的边长都是10厘米，求阴影部分的周长和面积。
周长是指封闭图形一周的长度。这个图形的周长不包括正方形和圆重叠部分线段长度。因此可以先求正方形和圆的周长之和，再减去两条半径和四分之一的圆周长。
而计算面积时，可以将图形看成一个正方形和一个四分之三的圆。因此计算阴影部分面积就可以是正方形面积加圆面积的四分之三。
这样就可以将复杂的问题转化成学生已知的简单的问题，然后再逐个解决。
（三）具体化：把抽象的问题转化成具体形象的问题
在教学中，教师可以通过举例说明的方法把抽象的问题转化成具体形象的问题。
例如，一个圆柱的半径不变，高扩大到原来的3倍，圆柱体积扩大到原来的几倍？
在解决这类问题时，教师可以引导学生用举例子的方法。将其中的数据具体化，如设一个圆柱的半径是1米，高是1米，原来的圆柱体积就是1?×π×1=π，现在的圆柱体积是1?×π×3=3π，就能得出“扩大了3倍”的结论。同类型的题目都可以用举例来实现转化，从而简化题目。
另外，教师还可以通过数形结合的方法，把抽象问题具体形象化。
例如，甲、乙两桶油共16千克，如果将甲桶油的倒入乙桶，使两桶油一样多，甲、乙两桶内原来各有多少千克油？
甲
16千克
乙
用图帮助思考，图中将甲桶油的倒入乙桶则两桶油的质量相等，也就是现在的甲桶油和乙桶油都是原来甲桶油的，即原甲桶油的共16千克。原甲桶油的质量是16÷=10（千克），原乙桶油的质量是16-10=6（千克）。
（一）语言表述欠准确。
1.仅注意概念中较明显的特征。例如，“正方形是四边相等的四边形”，“长方形是对边相等的四边形” ，而把“四个角都是直角”这个特征遗漏了。因为在几何图形中，边的长短比较直观，而角的大小则比较隐蔽 。
2.把图形的某些表面形象作为概念的本质特征。例如“长和宽不一样的是长方形”，“长方形是两条宽和 两条长”，“有高、长、斜边的是平行四边形”，等。
3.受直观材料的影响。例如，“一张纸摸上去光溜溜的是面积”，等。
4.不能准确使用数学术语。例如，在回答什么是“平行线”时，不会用“相交”这个术语表达，而说成“ 两条线永远不会碰头”，把射线说成“把一条线永远射下去”，等等。
（二）概念不清。
1.如在解答“一种烟囱，长1米，横截面为直径0.1米的圆，做一节这样的烟囱需铁皮多少平方米”时，有 些学生列式为：3.14×0.1×1+(3.14×0.05[2])×2，把圆柱的侧面积算成了圆柱的表面积。
2.“要在直径为8分米的半圆形缸盖边围一条薄铁皮，求这条薄铁皮要多长？”许多学生列式为：3.14×8 ÷2，把半圆的周长和圆周长的一半混淆了。
3.有的学生在解答“一辆小汽车的轮胎直径长0.6米，每分钟滚动100圈，这辆车每小时前进多少米”这道 题时，列式为：3.14×(0.6÷2)[2]×100×60，错把周长算成了面积。
（三）解题思路不灵活。
许多学生在解答几何题时，思路单一，缺少变通能力，不能灵活、快捷地解答问题。例如，笔者曾做过一 次小测验，让全班学生解答以下两题：
1.如图(1)，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
2.如图(2)，阴影部分甲的面积比乙的面积多多少平方厘米？
附图{图}
结果，做第1题时，大部分学生列式为：3.14×2[2] ×1/4＋2×2－3.14×2[2] ×1/4，只有12%的学生采 用平移的方法使图(1)变成图(3)，列式为"2×2"。第2题中，甲和乙两块阴影均为不规则图形，有94%的学生不 能借用“丙”块空白部分，使甲和乙扩展为规则图形后进行计算。
二、防治措施
（一）教学中教师应注意语言表述的准确性和规范性。
教师在教学中一定要注意语言的准确、完整和规范性。比如，在表述“平行线”概念时，必须强调“在同 一平面内”和“不相交”这两个条件；在教学梯形定义时，必须强调“只有”这一特征；垂线和平行线都是指 两条直线的相互位置关系，不能孤立地说某一条线是垂线或平行线。
其次，要多给学生语言表述的机会，培养学生语言表达的准确性。如教学“三角形认识”这一内容时，在 学生对三角形的表象有充分的感知后，我提问：“什么叫三角形？”引导学生一步步摒除非本质特征，逐步总 结出三角形的概念。如针对学生的回答：“由三条直线组成的图形叫三角形。”我用投影打出图(1)，问“这是 三角形吗？”针对学生“由三个角组成的图形叫三角形”的回答，我打出图(2)问学生：“这是三角形吗？”同 样，对“由三条线段和三个角组成的图形叫三角形”，“由三条线段组成的图形叫三角形”这些回答，我又打 出图(3)、图(4)，让学生观察、辨析、回答。这样，在教师的指导下，逐步抽象出三角形的定义，使学生较准 确地理解了三角形的内涵和外延，在不断比较、辨析中掌握概念的本质特征。
附图{图}
（二）联系实际，加强操作，帮助学生建立清晰的几何形体表象。
心理学研究表明，表象是由具体感知向抽象思维过渡的桥梁。对几何形体的形象感知越丰富，就越易形成 正确的概念。因此，在教学时，要充分发挥教具、学具等实物的作用，引导学生摸一摸、看一看、摆一摆，进 行实际操作，充分感知几何形体的表象，培养学生的空间观念。比如，在教学“圆柱体的表面积”时，课前， 我让每个学生用硬纸制作一个圆柱形模型。上课时，我让学生仔细观察实物，摸一摸学具表面，弄清圆柱的表 面包括哪些部分，再把圆柱体的侧面剪开看一看，圆柱的侧面展开后变成了什么图形。在学生明白了圆柱的侧 表面、表面积概念后，再让学生结合学具回答以下问题：“求做一个带盖的油桶、一只水桶、一节烟囱各需多 少铁皮，求的是圆柱体哪些面的面积，它们之间有何不同？该怎样列式计算？”这样，由具体到抽象，再由抽 象到具体，逐步培养学生的空间观念，建立起圆柱表面积、侧面积的概念。
（三）化抽象为直观，加强对比，突出有关概念之间的区别与联系。
随着几何知识由点到线、由线到面、由面到体的不断发展，学生的空间观念也随之要实现一次次飞跃。教 学中，要遵循儿童的认知规律，尽量把抽象的数学概念转变为学生看得见、摸得着的具体实物，引导学生用已 有的经验去理解数学知识，降低教学难度。
例如，在教学“正方形是一种特殊的长方形”这一概念时，可用活动教具进行演示比较，先让学生比较长 方形和正方形的相同点和不同点，然后逐渐缩短长方形的长，当长方形的长缩短到与宽相等时，长方形即转变 成了正方形。这样，通过动态演示，使学生清楚地理解了“正方形是一种特殊的长方形”这一概念。
另外，还可设计一些对比性练习，帮助学生辨明易混淆概念。如学习了周长和面积两个概念之后，我设计 了以下习题让学生练习：
1.填空。一个长方形的镜子，长5分米，宽3分米，这个镜子的面积是（ ）。要在这个玻璃四周做一个镜 框，至少需要（ ）分米的木条。
2.判断。边长为4分米的正方形，周长和面积相等。
3.选择。如图，阴影部分的周长（ ）空白部分的周长，阴影部分的面积（ ）空白部分的面积。
附图{图}
A.大于 B.小于 C.等于
4.操作。摆出如下两组图形，并分别算出它们的周长和面积。想一想它们每组之间有何联系。
附图{图}
第一组：周长相等，面积不等；第二组：面积相等，周长不等。
（四）着眼素质教育，有机渗透一些常见的数学思想方法。
当前科学技术迅猛发展，电子计算机应用日益广泛，许多工农业生产问题和科学研究课题都要以数学模型 的形式输入到计算机中予以解决。因此，在教学中根据教学内容，有机渗透一些数学的基本思想方法，对提高 小学生数学素质是一个很重要的方面。
教中渗透。如在推导三角形面积计算公式时，原通用教材是将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形 ，再利用平行四边形面积的计算公式推导出三角形面积的计算公式，但教材中并没有说明这两个三角形是怎样 拼成一个平行四边形的。教学时，我用硬纸剪成两个完全一样的三角形（其中一张涂色），先重叠〔如图(1)〕 ，再平移〔如图(2)〕，进而旋转〔如图(3)〕，使之变成一个平行四边形〔如图(4)〕。这样，既体现了拼的过 程，又渗透了平移、旋转等数学方法。
这套试题可不简单，一定要认真审题，仔细计算哦!祝你成功！
一、有空我来填。（每空1分，共18分）
1． 计算周长用（ ）单位，计算面积用（ ）单位。
2． 70000平方米=（ ）公顷 2000公顷=（ ）平方千米
1500平方厘米=（ ）平方分米 5平方米=（ ）平方分米
3． 一个周长为36厘米的长方形，长12厘米，它的宽是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。
4. 一个长方形菜地的面积是128米，它的宽是8米，它的长是（ ）米。
5. 一个正方形周长是28米，这个正方形面积是（ ）平方米。
6． 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
5平方米6平方分米（ ）560平方分米 7平方厘米（ ）7平方分米
1501平方厘米（ ）15平方分米 4平方米（ ）400平方分米
7． 在括号内填上合适的单位。
世界第一高楼迪拜塔高828（ ） 课桌高70（ ）
我国国土面积约960万（ ） 黑板的面积为4（ ）
二、快乐三选一。（10分）
1． 长方形的长和宽都扩大到原来的2倍，面积就扩大到原来的（ ）倍。
A． 2 B． 4 C． 8
2． 用两个大小一样的长方形，拼成一个正方形，它的周长（ ），面积（ ）。
A． 变大 B． 不变 C． 变小
3． 一个长方形的宽是4厘米，长是宽的3倍，长方形的面积是（ ）。
A． 12平方厘米 B． 48厘米 C． 48平方厘米
4. 进率是100的两个土地面积单位是（ ）。
A. 平方米和公顷 B. 平方米和平方千米 C. 公顷和平方千米
三、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”）（10分）
1． 一个边长为4米的正方形的面积和周长相等。 （ ）
2． 面积相等的长方形，它的周长也一定相等。（ ）
3． 用同样长的两根铁丝，围成的正方形比长方形的周长大。（ ）
4． 正方形的边长扩大到原来的3倍，那么周长扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍。（ ）
5． 正方形的边长增加2厘米，它的面积就增加4平方厘米。 （ ）
四、量一量，画一画。（10分）
（1）在上边的长方形中画出一个最
大的正方形。（4分）
（2）这个正方形的边长是（ ）厘
米，它的面积是（ ）平方厘
米，周长是（ ）厘米。（6分）
五、求阴影部分的周长和面积。（单位：厘米）（16分）
六、看图回答问题。（每个 代表1平方厘米）（每空2分，共22分）
1． 第（ ）幅图面积最大，面积是（ ）平方厘米。
2． 第（ ）幅图面积最小，面积是（ ）平方厘米。
3． 最大的面积是最小面积的（ ）倍。
4． （ ）和（ ）的周长相等，是（ ）厘米。
5． 第（ ）幅图周长最小，是（ ）厘米。
6． 最大的周长是最小周长的（ ）倍。
七、走进生活，解决问题。（14分）
1. 明明每天早上都到楼下花园跑步。有一天，他沿着长6米、宽5米的长方形花坛跑了15
圈，那么他一共跑了多少米？（6分）
2. 张爷爷搭了一个长方形鸡舍，一面靠墙，其他三面都用篱笆围起来。张爷爷一共用去篱
笆50米。已知鸡舍的长为20米，你能算出这个鸡舍的宽是多少米吗？想一想这个答案
是唯一的吗？（8分）
一、 网格中的三角形
1. （2010・湖南）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）.
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
分析 根据题意，结合图形，分两种情况讨论（如下图）：① AB为等腰ABC底边，符合条件的C点有4个；② AB为等腰ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个.故选C.本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.本题是利用网格提供的相等线段来构图.
2. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（ ）.
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
分析 A、B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使ABC的面积为2个平方单位；A、B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4，即可使ABC的面积为2个平方单位.符合条件的点坐标分别为：C（3，1），C（0，3），C（4，3），C（1，5）.本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况，数学分类思想是一种重要的数学思想.
二、 网格与三角函数
1. （2010・贵州）在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为 .
分析 过点C向上作垂线与AB相交于点D，则∠B是RtBCD的一个内角，邻边和斜边均由图可知，所以很容易求出cos∠B的值.或是过点A作垂线交BC的延长线于D，也可求出.本题主要考查了余弦函数的定义，正确理解定义是解题的关键.本题是利用网格提供的垂线，构建直角三角形.
2. （2010・四川）如图，∠D的正切值等于 .
分析 根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形边的比的问题.先利用同弧所对圆周角相等，得出∠D=∠A，然后利用正切等于对边比上邻边即可求出.本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边.从网格中很容易找到相关的直角三角形.
三、 网格与面积
1. （2006・苏州）如图，直角坐标系中，ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为（2，－1），则ABC的面积为 平方单位.
分析 根据图形，可以直接写出点A的坐标是（2，-1）.分别过A、B、C三点作垂线，形成一个大矩形，求出大矩形的面积，用大矩形的面积减去三个直角三角形的面积，剩余的面积即为ABC的面积.此类题要求学生要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积.有关面积的割补法是解决不规则图形面积的常用方法.本题充分利用网格的特点，构建规则图形.
2. （2009・吉林）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC，则AC边上的高是 .
分析 先用大正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到ABC的面积，ABC的面积又等于AC乘以AC边上的高的一半，按这一等量关系列出方程，解出方程即可得出AC边上的高.
四、 网格与相似
如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC和DEF的顶点都在方格纸的格点上.
（1）?摇判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；
（2）?摇P，P，P，P，P，D，F是DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）.
分析 答案为：DPP、DPP、DPP.本题主要考查学生识图、构图能力和对三角形相似判定知识的理解，对学生的观察力有一定的挑战性.网格中的相等线段以及相等的角对构图起到关键性的作用.
五、 网格与圆
1. （2010・ 河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 .
分析 连接BC，弦AB、BC垂直平分线的交点即为圆心.本题主要考察学生对垂径定理的理解，和残圆确定圆心的方法.本题是由网格特点直接看出线段的垂直平分线.
2. （2010・江苏）．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形.O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于 （结果保留根号及π）.
分析 连接AB、AC，分别作它们的垂直平分线，两线交点即为圆心.利用勾股定理求出圆的半径，由图可知扇形OAB圆心角为90°，利用弧长公式即可求出弧长.本题考查了勾股定理及弧长公式的应用.解题的关键是正确地求出扇形的圆心角及半径.
3. 如图所示，ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,3）、B（-2,-2）、C（4,-2），则ABC外接圆半径的长度为 .
分析 先求出线段AB、 AC、 BC的长度，再利用余弦定理求角A的余弦值，从而得到角A的正弦值.再利用正弦定理，即可求得直径.半径为2.连接OC因为C（4，-2），利用勾股定理得半径的长等于根号下，等于，化简为2.
六、 网格中的运动
（2010・江苏）如图在网格图中，A的半径为2个单位长度，B的半径为1个单位长度，要使运动的B与静止的A相内切，应将B由图示位置向左平移 个单位长度.
分析 B与A可以在右边相内切，也可以在左边相内切.当B与A在右边相内切，移动距离为4个单位长度，当B与A在左边相内切，移动距离为6个单位长度.故答案为：4或6.本题主要通过圆的移动来考查圆与圆的位置关系；题目中小圆向左移动，通过观察，可知两圆内切的两种情况，分别求出移动的距离.
七、 网格与图形的变换
1. （2010・辽宁）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1） 以直线BC为对称轴作ABC的轴对称图形，得到ABC，再将ABC绕着点B逆时针旋转90°得到ABC，请依此画出ABC、ABC；
（2） 求线段BC旋转到BC过程中所扫过的面积（计算结果用π表示）；
（3） 求点C旋转过程所经过的路径长.
分析 （1） 根据对称的性质，画出图形；（2）BC旋转到BC的过程中，旋转角为90°，半径为4，由弧长公式计算即可.所以B点所经过的路线长度是2π.本题考查了学生画一个图形的对称图形以及弧长公式的应用的能力.
2. （2010・湖北）如图，在方格纸上DEF是由ABC绕定点P顺时针旋转得到的.如果用（2，1）表示方格纸上A点的位置，（1，2）表示B点的位置，那么点P的位置为（ ）.
A. （5，2） B. （2，5）
C. （2，1） D. （1，2）
分析 连接AD、CF，再做这两线段的垂直平分线，交点就是点P.根据点A、点B的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点P的坐标.此题属于中等难度题，主要考查的知识点是旋转及其相关的性质，旋转的中心在连接对应点的垂直平分线上，做出两条垂直平分线，它们的交点就是旋转的中心点.
3. （2010・ 甘肃）如图均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点（小正方形的顶点）上.
（1） 在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；
（2） 在图中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.
分析 第（1）题可以将点A向下平移四格得到点D，或是将点A向右平移两格得到点D.第（2）题可以将点A向右平移一格得到点E，两题方法均不唯一，此题比较灵活地考查了等腰梯形、平行四边形、矩形的对称性，是道好题.
八、 网格与概率
一只蚂蚁在如图所示的图案内任意爬动一段时间后停下，蚂蚁停在阴影内的概率为 .
分析 先确定黑色区域的面积与总面积的比值，此比值即为所求的概率.本题主要考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率.网格对化不规则图形为规则图形提供了帮助，方便学生求出阴影部分的面积.
九、 网格与规律
（2006・温州）在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形，第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是 ，第三个“L”形图形的周长是 ，则第n个“L”形图形的周长是 .
浙江温州市实验小学（325000） 雷 俊
平面图形是《图形与几何》领域的重要内容，教学中要让学生经历观察、操作、推理、交流等活动，探究图形性质及其变化规律，丰富活动经验，发展空间观念。方格图就是一个有效载体，它不仅使抽象枯燥的数学变得形象、具体、可测，充满乐趣，而且有利于学生利用已有的经验对静止的平面图形进行动态地思考，将观察、想象、推理、表达等有机融合，促使空间观念的发展。
一、在平面图形测量教学中有效运用“方格图”
点、线、面是构成平面图形的三大要素。在平面图形的比较中，学生最早接触到的是比较线的长短，这是学生空间观念的起点，从比较线的长短到比较面的大小，这是空间观念的一次飞跃，这种飞跃需要提供一种介质——方格图，它不仅为飞跃铺平道路，更为重要的是可以为学生的想象提供广阔的空间，也为学生今后更高层次的飞跃提供方法上的支持。
1．运用“方格图”引导学生从生活经验到量化思考
数学源于生活而又高于生活。最初人们用自己的生活经验进行主观判断来认识客观世界，后来从主观判断到选择标准进行准确测量，从直接测量到转化后的间接测量，从平移、旋转到割补转化，人们认识世界的能力不断增强，数学也就应运而生。
例如让一年级学生观察比较：如图1，从A到B有两条路可走，走哪条比较近？绝大多数学生说甲比较长，理由很简单，因为它折了很多次，如果拉直了就会很长。这是他们的生活经验，真实的感受。紧接着在上面加一张方格图（如图2），学生就会数出两条路线包含的边数来比较长短，也有的学生把它转化为长方形：事实上，两条路的长都等于长方形的长与宽的和。
学生从感性判断到理性分析，出现这种转变方格图功不可没，方格图的直观性为空间观念的建立搭起了引桥。
2．运用“方格图”引导学生从直接比较到精确测量
比较是测量的基础。学生在比较两个面的大小时，第一反应是把两个平面图形重叠在一起进行比较，把两个图形多出的部分剪下来再进行比较（如图3），依此类推最终比出大小。
直接比较中蕴藏了丰富的内涵，我们可以相信这是学生经验的表现，但生活中有很多东西是不能直接比较的，只有通过测量才能使比较变得精确。面对学生对新领域表现出来的真实而朴素的比较方法，我们会思考一个问题：数学经验如何与数学接轨？从直接比较两个面的大小到精确测量需要一个过程，怎样引导使它成为今后学习的普遍方法？教学中我进行了尝试：在两个图形上放了一张方格图（如图4），现在你怎样比较两个图形面积的大小？
用数格子与重叠的方法比较面积大小有什么不同？学生的观点是：一个是剪下来比，剪下部分大的那个图形面积就大；一个是数着比，格子数多的图形面积大。这两种方法又有哪些相同的地方？学生观点：它们都是把整个图形分成许多较小的部分进行比较的。当交流两种方法有什么优势与不足时，学生体会到数方格图比较准确、方便。
二、在平面图形面积推导教学中有效运用“方格图”
各种平面图形之间存在着密切的联系，面积公式的推导过程各有侧重，学生面对全新图形的面积推导时，是否会自然地想到我们认为理想的转化推导方法呢？学生的知识经验起点在哪里？如何自然而然地由知识经验指向面积推导，进行有价值的思考呢？学生的思考是否有价值取决于教学中提供的素材是否具有想象的空间，方格图就为学生打开了想象的空间。
1．运用“方格图”使推导过程凸显数学思考
面积公式的推导过程就是面积计算模型建立的过程，需要大量的直观经验。在长方形上摆小正方形再发现长方形的面积计算公式，这就过于重视摆的过程而忽视发现的过程，因为要想整齐地摆好那么多小正方形难度很大，很难摆出不同的长方形加以比较分析，影响了推导过程的准确性和计算公式的普遍性。在方格图中画长方形可以直观地看出长度与面积之间的区别与联系。
例如，推导长5厘米、宽3厘米的长方形面积，让学生在方格图上画出长5厘米、宽3厘米的长方形，就可以很直观地看出：长包含了5个面积单位，即一行可以摆5个面积单位；宽包含了3个面积单位，即可以摆3行。从而轻松发现长方形的面积等于长与宽的积，再通过对多个长方形进行观察比较，发现“长与宽的积等于长方形面积”具有普遍性。小方格的直观、简洁且准确，回避了因测量产生的误差，突出了面积与长、宽之间的关系，使整个教学过程变得更有效。
2．运用“方格图”使数学思想方法自然渗入
小学生以形象思维为主，平面图形的转化建立在熟知各种图形的特征和它们之间关系的基础上。学生对图形特征和关系的认识还比较肤浅，这使得转化变得更为困难，方格图可使图形的特征显现得更为直观，使它们之间的联系更为明显，为平面图形的转化提供了直观参照。
例如，数平行四边形的面积时不到半格的为什么都按半格计算？
如图5，用数格子的方法求平行四边形的面积。学生会提出问题：不满一格的怎么办？这是学生在推导长方形面积时没有碰到过的，如果直接告诉学生不满一格的都按半格计算，学生又会有新的疑问：有的比半格大，有的比半格小，为什么都按半格算呢？从而陷入困惑之中。
教学中我们可以这样引导：怎样数更方便？观察两边不满一格的部分，你发现了什么？学生观察后发现：第一行左边的比半格少，右边的比半格大，两边合在一起刚好是一格（如图6），其他几行左右两边合在一起也刚好是一格（如图7）。为了计算方便，便把不满一格的都按半格计算。
怎样才能更容易知道平行四边形的面积？你能把平行四边形转化成什么图形？通过观察，学生顺利地想到：沿着平行四边形的高剪开可转化成长方形（如图8）。
整个转化过程在方格图中由局部到整体逐步进行，使转化的思想方法自然渗入学生的心田。
3．运用“方格图”使推导过程更加丰富
在平行四边形面积计算推导过程中，教材上只介绍了沿着高剪开，通过平移把两部分拼成一个长方形的方法。如果借用方格图，学生不仅可以顺利想到沿着高剪开拼成长方形，有的学生还会创造性地想到其他转化方法（如图9）。
在三角形面积推导过程中，教材中只提供了用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形推导出面积的方法。只用一个三角形能否推导出三角形的面积呢？有的学生在旁边画个完全一样的三角形拼成平行四边形，有的学生却无从下手。如果把三角形放在方格图上，学生不仅可以想到再画一个完全一样的三角形从而转化成平行四边形，还可以沿着中位线剪开拼成平行四边形（如图10）。
在教材的课外知识部分还介绍了我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积（如图11）。
面对教材中提供的这些方法，学生还是很难理解，如：从哪里剪开，怎么转化等。此时，方格图的直观性就可以激活学生已有的经验，打开学生的思维，帮助学生理解出入相补原理。
三、在平面图形变换教学中有效运用“方格图”
小学数学平面图形领域蕴藏着很多规律需要引导学生去探索，有很多精美的图案就是通过基本图形的变换得到的，教学中让学生在动手实践的基础上感受平移、旋转的图形变换方法及图形的对称特征，能唤起学生欣赏数学美的心，激发学生创作的热情，为进一步学习平面图形积累宝贵的方法和经验。
1．运用“方格图”探索图形变换的规律
周长和面积是平面图形的两个重要概念，它们之间有着密切的联系，用直白的语言描述很难表达清楚，也不符合小学生的认知特点。如果让学生在方格图上画一画，通过观察、比较就可以获得周长和面积的变化规律。
例如，在学习了“面积和面积单位”之后让学生在方格图上画出面积是4平方厘米的图形，并观察周长的变化与什么有关。在探索中学生画出了很多图形（如图12）。
通过观察比较发现：周长的大小与重叠的边数有关，重叠的边数越多周长就越短，重叠的边数越少周长就越长。
同样还可以让学生在方格图中画出面积是12平方厘米的长方形，探索发现周长的变化规律：长和宽的差越小，周长也就越小。还可以让学生在方格图中画出周长相等的长方形，观察面积的变化规律，学生通过探索发现：长和宽的差越小，面积就越大。
只有把发现图形变换规律的过程变为学生亲身体验的过程，这种规律才是鲜活的规律，才能给学生留下深刻的印象，丰富学生探索图形的经验。方格图便为此提供了一个良好的平台。
2．运用“方格图”感受密铺图形的神奇
生活中有很多密铺现象，在精美的密铺图案的背后蕴含着丰富的图形变换。
例如，在方格图上找可以密铺的图形，学生很快就能发现正方形是可以密铺的；接着进一步提出探索要求：以小正方形为基础，通过割补、平移、旋转等方法设计简单的密铺图案。有的学生在正方形的左边割下一个三角形，平移到右边变成一个组合图形（如图13），并通过在方格图上反复试验，最终发现这个变换后的图形就是一个密铺图形。
受其启发，学生找到了一个又一个的密铺图形，设计出一幅又一幅精美的图案（如图14），经历了欣赏数学美、创造数学美的过程，养了自身的操作、观察、猜测、验证以及推理能力。
任何有价值的发现都需要一个有价值的素材作为支撑。学生的空间观念正在发展中，让其在没有任何参照的情况下绘制某一特征的图形，往往会有很大的偏差。在图形变换教学中，方格图为学生提供了清晰、准确的参照。
3．运用“方格图”体验创作图形的乐趣
平面图形的创作是展现学生个性、感悟图形特征和体会图形变换的有效手段。创作有时只是灵光一现，方格图的便捷性能让学生快速捕捉灵感，完成想象中的作品，有时还会激发新的灵感，使数学的美感与个性魅力同时展现，学生从中体验到创作的乐趣，增强了学习的信心。
例如，设计面积是5平方厘米的图案。有的学生画成十字架，有的学生画成动物头像，还有的学生画成喇叭……（如图15）
上面图形的面积都是5平方厘米，但形状各异，为学生对割补、转化提供了直观感受，为图形面积的推导埋下了伏笔，也为组合图形面积的计算积累了感性经验。
苏教版五年级下册新教材中，圆的单元新增加了“扇形的初步认识”。为了使学生认识到“在同一个圆上，圆心角的大小决定扇形的大小”，执教教师设计了这样的活动环节――
教师在黑板上画了一个圆，以两条软磁铁为半径，一条固定，转动另一条。演示后提问：你发现了什么？
生1：随着圆心角的变化，扇形的大小也发生了变化。
生2：扇形的圆心角变大，扇形的面积也变大。
教师获得预设答案，正要说下去，谁知又有学生接口――
生3：扇形是圆的一部分，它们是部分与整体的关系。
生4：圆是特殊的扇形，我感觉它们还是特殊与一般的关系。
教师听了生4的回答，有点意外：“你为什么说圆是特殊的扇形？”
生4：圆可以看成圆心角是360°的扇形。
教师一听，感觉有理。
……
【“问”：病历记录】
课后，笔者做了一个测试：首先让学生画一个圆，除了画有直径的圆，还有许多学生的作品如图1；然后让学生接着画一个圆心角是360°的扇形，许多学生的作品如图2。
在评课时，教师们在“扇形是不是圆的一部分”“圆是不是特殊的扇形”这两个问题上争得面红耳赤――
师1：我认为，“扇形是圆的一部分”这一说法是对的，因为教材例题（如图3）就是从圆中截取一部分引出扇形的。
师2：我认为，“扇形是圆的一部分”这一说法不对，因为扇形是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成的图形，它不包括内部的涂色部分。
师1（不服）：那教材例题的要求不是写了“观察各圆中的涂色部分”吗？
师2（解释）：这可以从教材例题下面的小卡（如图4）的提示知道，扇形只指外部的轮廓。
师3（依然不服）：照你这么说，教材小卡下面（如图5）写的“上面各圆中的涂色部分都是扇形”这句话作何解释？
师2（语塞）：是啊，我也被弄糊涂了。“涂色部分”似乎又包括内部的面积了。
……
师4：我感觉“圆是特殊的扇形”这种说法也不对，正如“平行四边形不是特殊的梯形”一样。
师5（质疑）：如果它们不是包含关系，那为何扇形面积计算公式可以适用于圆面积计算公式，同样，为何梯形面积计算公式可以适用于平行四边形面积计算公式。
师4（思考许久）：这个……我也说不清。
……
【“切”：病理诊治】
在《数学辞海（第1卷）》中对“圆”是这样叙述的：圆（circle），平面几何中最基本、最重要的图形之一。圆的定义方式很多，常见的有以下三种：①平面上到定点O的距离等于定长r的全体点组成一条曲线称为以点O为圆心、以r为半径的圆周，简称圆。②到定点的距离等于定长的动点的轨迹称为圆，该定点称为圆心，定长称为圆的半径。③给定一条线段，使其绕着它的一个固定的端点在平面内旋转一周，其另一个端点所经过的封闭曲线称为圆，线段的固定端点称为圆心，线段长称为圆的半径。
根据以上圆的定义，我们不难发现，圆是一条线，而不是一个面，它是“圆周”的简称。也就是张奠宙教授在《小学教学（数学版）》2014年第4期《更多地关注数学本质与细节处理――以圆的定义为例》一文中的观点：“一般认为，圆是一维封闭曲线，具有周长。”
由此观察上述课例，执教教师“在黑板上画了一个圆，以两条软磁铁为半径，一条固定，转动另一条”这一做法，转到最后留下的是这样一个图形（如图6），它是圆心角是360°的扇形。我们把它与圆（如图7）进行比对，不难发现它们“外貌”不同：扇形是由圆的两条半径和圆心角所对的孤围成的图形。扇形的概念包括：①圆的两条半径；③圆心角所对的弧；③由两条半径与弧围成的图形；④扇形是轴对称图形，只有一条对称轴。当扇形的圆心角是360°时，圆心角的两条半径重合在了一起，圆心角所对的弧的长度正好等于弧所在圆的周长。而圆只是指圆周这一条曲线。
至此，我们不难发现，“圆心角是360°的扇形”和“圆”并不是一回事，“圆可以看成圆心角是360°的扇形”这一说法似乎并不正确，由此“圆是特殊的扇形”这一说法似乎也不成立。此时，我们也就可以体会到教材上只写“右图中A、B两点之间的曲线是弧，它是圆的一部分”而不写“扇形是圆的一部分”背后隐藏的道理。也就是说教材是把圆看作圆周的简称，当然，如果教材例题要求把“观察各圆中的涂色部分，说说它们的共同特点”改成“观察各圆中的涂色部分的形状（或轮廓），说说它们的共同特点”，可能更加明确。
可以说，一些学生产生误解就是因为没有吃透圆与扇形的本质含义，除此，还有一个原因是一些学生对圆存在着错误表象，课后的调查已经告诉我们，许多学生脑中的圆是如图8这个样子的――一个画有半径的圆，它貌似圆心角是360°的扇形样子。
那么，为何一些学生会留下如此圆的形象呢？笔者认为，这与知识的本身和教师的教学有一定关系。在教材编排上，认识圆的一开始就与决定其大小的半径联系在了一起，由此一些学生也就认为半径是圆的一部分，再加上许多教师对圆的认识也比较模糊或不注意对圆的抽象结果，于是造成学生对圆的认识发生偏差。而以前认识长方形就不会有此错觉，因为首先研究的边角，并且决定长方形大小的恰好是围成它的长和宽，认识平行四边形、三角形等平面图形时，决定它们大小的高要在教学它们面积的时候才提及，并且常常被画成虚线。因此，这些直线平面图形的形象在学生脑海里还是比较清晰的。另外，许多教师采用甩小球等动态演示引出圆，连着小球的那一条线以及这条线扫过的面给学生造成了强烈刺激，于是有些学生对圆留下了错误的印象。由此可见，小学教材采用沿着圆形物体一周描出圆的抽象方法，可以避免上述尴尬，一开始就让学生留下圆的正确表象。
当然，还有人是这样来反驳“圆是特殊的扇形”这一说法的：若圆心角为360°时所组成的图形，我们视它为特殊扇形，那么是否也可以将点视为特殊的线段（线段的两个端点重合），从而视三角形是任意多边形的特殊情况呢？再将点视为特殊的圆（R=0时），继而又视圆锥是圆台的特殊情况呢？
如果我们再次研读《数学辞海（第1卷）》中对“圆”的描述，又会发现这样一些文字：“到圆心的距离不大于半径的点的全体通常称为圆盘（或闭圆盘），有时也简称圆。”“总之，圆是圆周和圆盘的统称。”
这些话告诉我们，圆也可以是圆盘的简称。例如教材中所用的“圆面积”，其意应该是“圆盘面积”。此时我们也就能够理解张奠宙教授所说的“一般认为，圆是一维封闭曲线，具有周长”中的“一般”的含义了。众所周知，我国小学数学基本上是从西方移植而来的，英文中的circle我们直译为圆，其含义是一维的曲线。但是英文中还有一个词disk，专指二维的圆形的图形，《英汉大辞典》释义为“圆盘、圆板、圆片、圆平面”。因此，在英文里，圆和圆盘是两个不同的词。但是，在汉语里，两者混同起来了。
张奠宙教授在《更多地关注数学本质与细节处理》一文中提出这样的设想：“圆盘”一词可不可以用“圆形”代替？这是由于三角形、矩形、多边形以及高等数学中的曲边梯形等词语，都是指二维的图形。“圆形草坪”一句中所出现的“圆形”一词，也是用来形容二维的草坪的。因此，借鉴矩形的面积、三角形的面积的说法，使用“圆形”的面积也许是一个不错的选择。这也是许多教师在以往教学中常有的困惑――“为何‘圆’不说成‘圆形’”的缘故。
《数学辞海（第1卷）》中也指出“半圆”与“半圆形”含义不同，“半圆”多指圆周一半的弧，而“半圆形”是指由半圆周和连结它的两个端点的直径所围成的图形。由此可见，如果这样区分，那么“半圆是扇形”应该说成“半圆形是扇形”，或者说成“半圆与直径的组合也是扇形”。
其实，很多情况下，长方形、平行四边形、三角形、圆以及扇形等平面图形，在人的眼里，常常一词两义――在周长和面积之间切换，正如《数学辞海（第1卷）》中的补充说明：“在平面几何中，圆一般多指圆周。在不同的学科和不同的场合，将圆理解成圆周还是圆盘，要视具体情况而定。”在平常使用中，当它们表示面积的时候，我们习惯说“长方形面积”而不说“长方形面面积”， 习惯说“圆面积”而不说“圆盘（面）面积”，习惯说“扇形面积”而不说“扇面面积”等。当圆指称圆面、扇形指称扇面的时候，“扇形是圆的一部分”“圆是特殊的扇形”等说法似乎又不可说不对。
扇形，一般情况下指一周的轮廓。《数学辞海（第1卷）》中对“扇形”是这样定义的：指由一条圆弧和过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。初始认识扇形时，我们还是应该把概念建立在“一般情况下”。由此观察教材例题（见图9），可能会发生像课后访谈中教师的质疑――“‘上面各圆中的涂色部分都是扇形’这句话该怎么解释？”
对照教材例题下面小卡的提示语（见图10）和教材最终呈现的扇形几何图（见图11）， 我们大致可以明白教材编写的意图：“上面各圆中的涂色部分都是扇形”是知识的过渡，为了从圆（此处“圆”的含义应是“圆盘”或“圆形”）中截取出扇形（此处的“扇形”的含义应是“扇面”），然后让学生观察特征，最终抽取出扇形是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成的图形。《几何原本》这样定义扇形：“由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。”由此推想，教材可能想采用截取的意味来描述扇形的定义，毕竟扇形与圆有着密切的联系，有的地方把“扇形”称为“圆扇形”。当然，如果把“上面各圆中的涂色部分都是扇形”说成“上面各圆中的涂色部分的形状都是扇形”，可能更会让学生明白扇形的一般意义。
上述课例中，生4认为“圆是特殊的扇形”的理由是“圆可以看成圆心角是360°的扇形”，也就是当扇形的圆心角增大到360°时，它是一个面积等于同半径圆面积的特殊扇形，这是一种极限思想。这里观察的对象是它们的面积，因此说成“圆心角是360°的扇形面积与同半径圆面积相等”可能更为明确。
当“圆是特殊的扇形”表示“圆面是特殊的扇面”时，对学生学习最大的好处是能把扇形面积计算公式同圆面积计算公式实现沟通与统一，减少记忆负担。同理，“平行四边形是特殊的梯形”表示“平行四边形面是特殊的梯形面”时，那么梯形面积计算公式就能够同平行四边形面积计算公式实现沟通与统一。
然而，在一般意义上，“平行四边形是特殊的梯形”在学术界又是一番争论。根据梯形的一般意义“只有一组对边平行的四边形，叫作梯形”，毫无疑问，平行四边形不是梯形。不过，当看了持“平行四边形宜为特殊的梯形”的人所提出的以下这些“证据”，我们又不免会发出这样的感叹：“‘平行四边形是不是特殊的梯形’真的有那么重要吗？把平行四边形归为特殊的梯形又何妨！”
（1）从图形所具有的性质来看，梯形所具有的一些公式、性质，平行四边形也都具有。
（2）从图形的运动轨迹角度来看，如图12所示，
如果A点（或B点）向B点（或A点）运动或做反方向运动，当且仅当AB=CD时，四边形ABCD为平行四边形，其余的情况都是梯形；同样，如果C点（或D点）向D点（或C点）运动或做反方向运动，当且仅当AB=CD时，四边形ABCD为平行四边形，其余的情况都是梯形。
（3）从知识的逻辑性角度来讲，“有一组对边平行的图形叫作梯形”定义的优点，在于它是清楚地按照逻辑分类叙述的，“只有一组对边平行的图形叫作梯形”定义则不是用的一种标准，而是同时采用了逻辑分类的两个连续阶段：首先是一组对边的性质，然后是另一组对边的性质。它不应该同时采用，而应该是顺次的。采用了第二种定义，我们便失掉了逻辑的清晰性。张奠宙教授在《小学教学（数学版）》2015年第6期《正本清源，力求正确――关于数学教材中“分类”单元的评论》一文中，对四边形按边角关系的等级分类（见图13），我们可以看出他也是把平行四边形归为特殊的梯形。
（4）从知识研究过程的角度来看，我们研究事物经常用到的方法是从特殊到一般，然后用一般的方法或结论去解决特殊的问题。对于四边形的研究，我们是从正方形（特殊的长方形）与长方形（特殊的平行四边形）开始，接着是平行四边形（特殊的四边形），然后是梯形（特殊的四边形）。也就是说，如果我们对四边形的研究采用常用方法，即从特殊到一般：正方形―长方形―平行四边形―梯形―四边形，那么，平行四边形就宜为特殊的梯形。
（5）从数学的简约性角度来看，把平行四边形归为特殊的梯形，可以使四边形的分类由目前的一分为三，即四边形包括一般的四边形、平行四边形与梯形，简化为一分为二，即四边形包括一般的四边形与梯形，这样便于学生的研究与记忆。所有梯形的性质，很自然地（也就是不必再加证明）使用在平行四边形上，例如梯形中位线的性质。
当然，反对“平行四边形宜为特殊的梯形”的人所持的论点是，如果把平行四边形作为梯形，那么它就包含了等腰梯形。但是在以后证明的很多等腰梯形的性质，都是平行四边形所没有的，如等腰梯形的底角彼此相等，等腰梯形的对角线彼此相等，等腰梯形可有一外接圆等。如果把平行四边形认为是等腰梯形，那么在上述的所有定理之中，在“等腰梯形”一语之后，都应增加“如果它不是平行四边形”的条件。为了避免这种麻烦，某些教学法专家宁可事先把平行四边形从梯形中去掉。对此，倡议者提出可以通过两种方法来解决：一是在所有的定理中，增加上面所说的条件，二是一劳永逸地把这条件加在等腰梯形的定义中，也就是这样来定义：“两腰相等但不平行的梯形，叫作等腰梯形。”
有人说，数学有时“粗”一点好，有时不一定非要分出是非来。我们可以按照现行教材普遍采用的如图14这种便于学生理解的分类方法进行概念教学，在之后的面积教学中，再顺便指出梯形面积计算公式对于计算平行四边形面积（包括长方形面积以及正方形面积）、三角形面积都适用，在此意义上，平行四边形和三角形都可看作梯形的特殊情况。
总之，数学教学非常讲究每隔一定的学习阶段就从一种较高的视角来统观全局，统揽前面所学过的互相关联的各种知识。如果我们用“联系”的观点来考察知识，我们就会发现，打通知识之间的壁垒远比非要分出知识的是非来要有意义得多，它能够让我们跳出知识的“界限”，从更广的知识背景下看到更远的知识风景。例如我们可以用梯形面积计算公式统一平行四边形面积和三角形面积，但我们如果换一个视角，还可以发现平行四边形和三角形的面积计算也容纳了梯形面积计算的方法，这就是中位线法――面积=中位线长×高。此时，谁还会去纠结它们之间的关系――谁是特殊谁是一般，而只会惊叹它们之间的联系――知识真奇妙！
【关键词】长度 面积 体积 思维点 寻思来去
长度、面积和体积是小学数学知识的重要组成部分，它是图形与几何知识中一组最为基本的度量概念。小学数学教材一般将长度、面积和体积分别编排在不同的年级进行教学，这很好地分散了教学难点，但是教师在关注知识点教学的同时，往往容易忽视知识之间的内在联系。很多执教教师在这块内容的教学上存在一些问题：在建立长度、面积、体积表象的时候缺少累积的过程；在图形的认识中往往浮于表面而缺少图形认识的系统性；在图形变式和转化中缺少图形之间的内在沟通。基于这样的思考，笔者发现所有的问题都是缺少“寻思来去”的整体性思维所引起的连锁反应。下面谈一谈笔者在长度、面积、体积概念教学中的一些做法。
一、点动成线，逐层递进，顺应“思维点”
用集合的观点来看，线是点的集合，点是线的元素。小学数学中的线，有线段、射、直线。其中线段是可以度量的。由于度量的需要，学生建立了长度单位的概念。小学阶段常用的长度单位有毫米、厘米、分米、米、千米等，在这个点动成线的过程中，其实就是长度单位不断累积的一个过程。
（一）累积，点聚集成线的“表象”
对于长度单位的教学，教材编排是在认识了厘米和米的基础上再认识毫米和分米的。厘米、米离生活比较近，便于学生掌握。因此在教学“毫米”的时候，有什么教学经验可以为我们所用的，是我们要寻找的一个教学起点。
【教学片段一】
在教学“毫米的认识”的引入部分，教师在课始可以进行这样的复习“累积”。
师：我们已经学过哪些长度单位？
生：米和厘米，1米=100厘米。
师：你能用笔画1米的长度吗？那1厘米有多长呢？放在尺上试试。
师：8厘米有多长呢？
生：8个这样的1厘米。
师：估一估这叠一角硬币的高度。先估一估再量一量：估计是8毫米。正确吗？假设是正确的，8毫米是什么意思？8个1毫米。用尺子找一找8毫米在哪里。
师：那1毫米在哪里呢？
师生一起发现：这样的硬币厚度是8毫米，看看硬币的数量，我们就知道：1枚硬币的厚度是1毫米。
教学是有计划的，毫米的认识可以运用厘米和米的教学时所用到的“点累积的表象”，在不断累积的过程中，我们理解了8毫米就是8个1毫米的累积，从而在接下来的教学中可以不断地衍生开去。其实，无论长度、面积、体积，所有的单位都是累积的过程。
（二）累积，线围成周长的“蜕变”
【教学片段二】
在教学长方形和正方形周长计算内容时，学生大多数都能快速地背诵和直接运用计算公式，但是在后续变式练习中学生思维中的不足才真正暴露出来。因此，我们将教学重点定位为“长方形周长计算公式的得出和应用”。
[ 长方形 正方形 一般四边形 原生态的周长公式 a+a+b+b a+a+a+a a+b+c+d 简化过的周长公式 a×2+ b×2
（a+b）×2 （a+a） ×2
a×4 同上 ]
在对比中发现，其实周长公式（长+宽）×2和边长×4的方法分别是在计算周长的过程中对连加在计算上的一种优化。意识到长方形和正方形周长的计算公式是基于两种图形各自特征的简便计算方法。
二、线动成面，沟通对比，摸准“思维链”
（一）在说图形要素中，找到知识生长的“纽带”
在学习平面图形时，从长方形、正方形到平行四边形。教学这块知识都是与长方形教学相类似，教师可以引导学生整理思路（见下表）。
[图形 从哪几个要素来研究 回一回思路 长方形 边是4条边，对边相等，
角是4个直角 边的数量，长短两个方面
角的数量，大小 平行四边形 边是4条边，对边平行且相等
角是4个角，对角相等 边的数量，长短，互相之间的关系
角的数量，大小，互相之间的关系 ]
虽然只是简单地在知道图形组成的各个要素以后“回一回”思路，但这恰好是思维生长的开始。今后研究其他图形的时候，学生就知道图形可以从边和角两个方面进行研究，脑海里就不会是一片空白。
（二）在数格子中，发现图形夹角的“阴谋”
很多人以为，数学知识是规定的，不用讲道理。其实数学是最需要讲道理的。长方形和平行四边形的面积到底为什么会不一样？其实这里就有夹角的“阴谋”。即四边形面积的大小跟相邻两边的夹角是有关系的。
【教学片段三】
环节一：数一数，笔者认为在数的过程中忌讳一句话“把不足一个的按半个计算”，这样会降低了学生的思维含量，对学生的思维发展没有好处。 改为如下补一补和剪拼会有益于学生思维的发展。
（补一补） （剪拼）
环节二：验一验，此时再用拉一拉的方法回顾感受，发现的确是相邻两边的夹角对图形面积的大小有如此大的影响。
学习长方形面积时用数格子的方法，因此在学习平行四边形面积时学生为了数清楚，会自主地通过多种方法数出图形的面积单位的数量。在转化后，学生很快知道一排有几个是不会变化的，排数不会变化，它们的乘积是最终的面积。这样自然而然就用到底乘高的方法了。然后在环节二比较长方形与平行四边形的异同中发现，原来最大的“阴谋”就是相邻两边的夹角不同，长方形面积之所以长乘宽，那是因为它四个角都是直角，面积单位的排数就是它的宽度，长方形是特殊的平行四边形。
（三）在搭框架中，明晰图形的异同点
孔凡哲教授指出：教学要暴露数学思维过程，重视数学知识的发生和发展过程，把笛е识的教学变成数学活动和思维活动的教学，在活动中明晰图形的异同点。
【教学片段四】
师：平行四边形、正方形、长方形又有怎样的联系呢？接下来我们一起来梳理一下。
师出示几组小棒：
一样长 2组小棒，每组2根长度相等 能搭长方形和正方形的都可以搭平行四边形 ]
在选择、辨别中发现平行四边形与正方形和长方形边的关系，在操作和思考中，学生的数学敏感度得到了提升，可以很好地沟通图形之间的关系，韦恩图牢牢刻在了脑海中。
三、面动成体，聚焦本质，提升“思维质”
在小学阶段，认识长方体、正方体主要分两个阶段：一是一年级初步认识立体图形，包括认识长方体、正方体；二是五年级“正式”认识长方体、正方体。笔者从五年级下册的长方体、正方体说起。该节课是小学高段立体图形的起始课。
（一）拉长知识长度，学到更多的知识经验
在此之前，学生已经学习了长方形、正方形、一般四边形的周长计算公式推导的思路，教师可以把它延伸到求立体图形中来，发现其相似的地方。
[ 正方体
（最特殊） 有2个面是正方形的长方体 最一般的长方体 表面积公式 1个面×6 2个相同的面+另外4个相同的面 上下面+左右面+前后面 ]
长方体和正方体表面积的计算依旧是由图形的特殊想到计算方法的特殊，由图形的一般想到计算方法的一般。
（二）拓宽知识宽度，找到更广的知识联系
长方体的体积教学是第一次接触体积，教学过程会比较严实，用体积单位去测量，逐渐引导到不用测量推导出计算公式。在学习圆柱体中，我们发现圆柱体的上下两个底是圆形。回想到求圆的面积我们用剪拼的方法，那么圆柱体可不可以剪拼呢？这种化曲为直的思想方法可以得到再次应用。
【教学片段五】
圆柱体转化成长方体后，长、宽、高分别对应原来圆柱体的哪一部分？生观察、讨论后回答。
师追问：圆柱体转化成长方体后，体积变了吗？表面积呢？借助模型生找到了圆柱体底面和侧面所对应的长方体的部分。师追问：“为什么表面积会变大？”从而推导出长方体的底面周长>圆柱体底面周长，即长方体的底面周长=圆柱体底面周长+2r；长方体的表面积>圆柱体的表面积，即长方体的表面积=圆柱体的表面积+2rh。引导学生再次经历了体积转化的过程，并理顺了与表面积的关系。
本节练习课是对圆转化为长方形的进一步教学，有相同点又有不同点，在比较分析中，拓宽知识宽度，找到更广的知识联系，感受到知识在不断地螺旋上升。
（三）提拔知识高度，摘到更大的知识果子
在学习立体图形的体积公式时，我们不妨试着来进行适当的拓展，提拔知识高度，摘到更大的知识果子。
【教学片段六】
你能求出右图这个三棱柱的体积吗？
回顾中发现：正方体的体积=底面积×高， 长方体的体积=底面积×高，圆柱体的体积=底面积×高，以此类推，V=SH ，文字公式：体积=底面积×高 ，用不完全归纳法得出：凡是直柱体，体积都是底面积×高。
在探究的过程中，学生在不断地“寻思来去”找出知识间的内在联系，把所学知识串联起来，建立一个较为完整的知识系统，从而激活知识，激发思维，激励情感。
综上所述，在“寻思来去”的教学中，学生既知道了知识的出处，又了解了知识的去向。在数学学习中既获得了知识，体会了学习的乐趣，又培养了主动获取知识的能力，感受到来自于数学本身的感动，最重要的是学生在今后碰到新问题的时候，主动地“寻思来去”探索一条学习之路。
参考文献：
[1]朱向明.小学数学基本活动经验形成的案例研究[J]. 新课程研究，2013.
一、概念的引入
概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧围绕课题，充分激发起学生的学习兴趣和学习动机，为学生顺利掌握概念起到奠基作用。
师：拿出你课前准备好的学具，如纸盒、魔方、数学课本等，摸一摸这些物体的面。（教师演示：用整个掌心摸遍整个封面。）
师摸着纸盒的一个面，并提问：纸盒和纸盒的这个面是一回事吗？
生：不是。纸盒是立体的，这个面是平的。
生：纸盒是长方体，它的这个面是长方形。
师：那数学课本和数学课本的封面是一回事吗？
生：也不是。
生：数学课本是个薄薄的长方体，封面就是一个长方形。
师：比一比课本的封面与纸盒的一个面，哪个面比较大，哪个面比较小？
生：课本的封面比纸盒的一个面大一些。
师指出：课本封面的大小也叫课本封面的面积。你能照样子说一说其他物体的面的面积吗？
生：……
（出示课本上的教室场景图）
师：在数学中，我们一般要把物体抽象成图形来研究。看看场景图中物体的面，我们可以找到哪些形状？
生：黑板面、国旗面、讲台面、课桌面都是长方形。
生：班级信息栏的面是正方形。
生：流动红旗的面是三角形、花盆的底面是圆形。
生：……
（根据学生的回答，逐一出示所说的平面图形。）
师：仔细观察，这些平面图形除了形状不同外，还有什么不一样？
生：它们的大小也不同。
师：看来这些平面图形也有大小之分。我们就把这些平面图形的大小叫做它们的面积。
二、概念的形成
引入概念，仅是概念教学的第一步。要使学生获得概念，还必须引导学生利用学具进行简单的操作，从而准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。
师：请同学们任意选择两个平面图形，涂上不同的颜色。再和同学说说哪个图形的面积大一些。
（学生自由选择图形后，涂色。）
（反馈展示比较的方法）
生：我选择的是长方形和三角形。我能直接看得出长方形的面积比三角形的面积大一些。
生：我选择的是长方形和正方形。我把它们重叠在一起来比的（投影出示）这样，正方形在长方形内，所以长方形的面积比正方形的面积大。
（出示长、宽都不相等的两个长方形）
师：你能用刚才的方法比较这两个长方形面积的大小吗？
生：好像是长方形的面积比正方形的面积大。
生：正方形的面积比长方形的面积大。
生：不能确定。
生：……
请利用手中的方格纸，探索面积大小比较的方法，并和同桌交流。
（学生展示比较的过程和结果）
师：我们把这种方法叫做数方格法。看到这些方格，你想说什么？
生：我发现，用数方格法比较面积的大小，这些方格的大小是相同的。
生：也就是说，用这种方法比较面积的大小要用相同的方格。
师：这些同样大小的方格其实就是一个统一的标准――面积单位。
三、概念的巩固
为了使学生牢固地掌握所学的概念，还必须有概念的巩固和应用过程。
1.及时巩固应用
概念的巩固是在对概念的理解和应用中完成和实现的，同时还必须及时练习，巩固离不开必要的练习。练习的方式可以是对个别概念进行复述，而更多的则是在解决问题的过程加深对概念的理解。
教师出示习题：
生：我是通过数方格的方法来比较这些图形面积大小的。
生：第1行第1个图形里面包含14个方格，第2个图形里面包含12个方格，第3个图形里面包含14个方格。
生：第2行的梯形里面包含16个方格。
师：你是怎么数出来的？
生：梯形里面有14个整格，还有4个不满的整格，它们正好可以拼成2个整格。所以一共有16个整格。
2.注意概念的辨析
随着学习的深入，学生掌握的概念不断增多，有些概念的文字表述相同，有些概念内涵相近，使得学生容易产生混淆，如图形的周长与面积。因此在概念的巩固阶段，要注意组织学生运用对比的方法，弄清易混淆概念的区别和联系，促使概念的精确分化。
师出示习题：
这个长方形被分成甲、乙两部分。下列哪些说法是对的？
A.甲和乙的周长相等；B.甲的周长比乙的周长小；C.甲和乙的面积相等；D.甲的面积比乙的面积小。
在学生独立思考后，全体学生展开了热烈讨论。
生：我认为乙比甲大。
生：不对。你没有说清楚是周长大，还是面积大。
生：我认为甲和乙的周长相等。因为周长是指围绕图形一圈的长度（随即学生上台进行演示甲和乙的周长）。
师：同学们，你们同意这个同学的看法吗？
生：同意。
师：那么甲和乙的面积有什么样的关系呢？
生：乙的面积比甲的面积要大一些。（他也上台进行了演示。）
生：我是这样想的，把这个长方形沿着对角线对折一下，我发现甲的面积比长方形面积的一半要小，乙的面积比长方形面积的一半要大，所以乙的面积比甲的面积要的一些。
师：说得真好。
师：通过这个题目，你们还有什么想说的？
生：我认识了长方形面积的含义。
生：我知道周长和面积这两个区别，它们的含义是不一样的。
一、在新课引入中渗透，感知转化思想
儿童心理学研究表明：儿童学习新知识总是建立在一定的知识经验基础之上，尤其是小学数学中哪些相对独立、前后联系少、本质属蔽的知识的学习，更是依赖于儿童的生活经验。教师在课始应提供多种感性材料，激发学生的记忆表象。如《圆的周长》新课引入。先出示主题图：圆桌有些开裂，需要在它的边缘箍上一圈铁皮，分别需要多长的铁皮？
师：要求圆桌围成的铁皮长就是求什么？
生：圆桌一周的长度。
师：圆桌围成铁皮长就是求什么？
生：圆的周长。
师：你有什么好办法可以测量出圆桌一周曲线的长度？
师生操作，整理如下：
围：软尺测量法（用软尺上有厘米刻度的一面测量，从零刻度开始量，绕圆周一圈，然后看看对齐那个刻度。）
滚：滚动法（做好记号，从零刻度开始滚，滚动到这个记号再次指向这里，圆滚动一周的长就是这个圆的周长。）
绕：绕绳法（线贴紧圆周，把多余的部分剪掉，把线拉直，这两点之间线的长就是这个圆的周长。）
师：这些方法有什么共同的特点？
生：将一条弯曲的线变成一条直的线。
师：这就是数学上所讲的“化曲为直”的方法。
教师在新课引入中，借助主题图的现实情境，引发学生运用数学思考，得出绕、滚和围等测量方法，让学生初步感受到“化曲为直”的转化思想方法在圆周长学习中的作用，为后面探究圆周长和直径之间比值的规律，积累丰富的数学活动经验。
二、在知识形成中渗透，感受转化思想
数学思想方法直接支配着数学的实践活动，而实验操作又是学生获得直观知识的重要途径和参与数学实践活动的重要手段，所以要把转化思想方法的渗透和实验操作有机结合。如《圆的面积》公式的推导：
活动一：折纸游戏
师：请大家拿出圆形纸片，把它对折，想一想：对折后的图形象什么？接着往下折，你发现什么？
生：我发现对折的次数越多，得到的图形越像三角形。
师：看来圆通过不断对折等分，得到的图形越来越像等腰三角形。
活动二：拼图游戏
师：怎样求圆的面积呢？以前我们研究平行四边形和三角形的面积时，用过哪些好方法？
生：把平行四边形通过剪拼转化成长方形求出面积。
师：那圆能不能转化成学过的图形呢？让我们来玩一个拼图游戏，把刚才对折的圆形纸片沿着直径剪开，拼一拼，看一看能拼成什么图形？（展示学生作品：圆面8等分、圆面16等分、圆面32等分所拼成的图形。）
师：等分的数量越多，拼成的图形越接近什么图形？
生：越接行四边形。
师：是的。图形的形状发生了变化，但它们什么没变？
生：面积不变。
师：对了。观察剪拼前后的图形，你能从剪拼的长方形中得出圆的面积吗？
生：长方形的长相当于圆周长的一半，C÷2=2π r÷2=πr，宽相当于半径，用r表示。长方形的面积=长×宽，圆的面积=πr×r=πr2
圆面积公式的推导，教师通过折纸游戏让学生感知圆通过等分可以简便为近似的等腰三角形，再通过拼图游戏把圆和近似的平行四边形进行相互转化，在转化的过程中发现：不管是转化成哪一种图形，形状变了，但面积没变，从而推导出圆的面积公式，促成了方法之间的迁移，达到渗透转化这一数学思想方法的目的，使转化思想深深地烙在学生的脑海中。
三、在问题解决中渗透，感悟转化思想
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：要让学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。因此，我们在教学中要重视数学思想方法的挖掘和渗透，引导学生学会用转化思想方法这种锐利的武器去思考问题和解决问题。如人教版小学数学四年级下册P89第17题：下面图形中各有多少个三角形？有什么规律？
大部分学生通过有顺序地数的方法得出三角形的个数。但随着三角形个数的增多，学生就会感到按顺序数很麻烦，而且容易漏数和数错，如果将数出的每个图的三角形个数的规律转化为数列的规律，那就简单、便捷多了。
三角形的个数 1 3 6 10
1 1+2 1+2+3 1+2+3+4
1 2+1 3+2+1 4+3+2+1
姓名:________
班级:________
成绩:________
小朋友们，经过一段时间的学习，你们一定进步不少吧，今天就让我们来检验一下！
一、选择题
(共10题；共20分)
1.
（2分）
5个面积是1平方米的正方形拼成的长方形周长是（
）。
A
.
5平方米
B
.
12米
C
.
12平方米
2.
（2分）
一个正方形的周长是4厘米，它的面积是（
）。
A
.
4厘米
B
.
4平方厘米
C
.
1平方厘米
3.
（2分）
一个正方形的桌面边长是1米，它的面积是（
）。
A
.
1平方米
B
.
4平方米
C
.
1平方千米
4.
（2分）
用70m长的栅栏靠墙围成一块长方形果园(如图)，长与宽的比是4∶3，这块长方形果园的面积是（
）m2。
A
.
1200
B
.
300
C
.
588
D
.
294
5.
（2分）
(2018三下·云南期末)
一个长方形的长和宽同时扩大2倍，它的面积（
）。
A
.
扩大2倍
B
.
扩大4倍
C
.
无法确定
6.
（2分）
看图计算出土地面积（单位：公顷）是（
）
A
.
100公顷
B
.
12公顷
C
.
10公顷
D
.
9公顷
7.
（2分）
这两个图，你认为哪个面积大（
）
A
.
大
B
.
大
C
.
一样大
8.
（2分）
面积相等的长方形和正方形，（
）的周长大一些。
A
.
长方形
B
.
正方形
C
.
不一定
9.
（2分）
一个长方体水池长5米，宽4米，深1米，这个水池的占地面积是（
）
A
.
20平方米
B
.
5平方米
C
.
4平方米
D
.
10平方米
10.
（2分）
有三块铁皮，面积分别是9平方分米、90平方分米和900平方分
米，哪块铁皮的面积最接近1平方米？（
）
A
.
9平方分米
B
.
90平方分米
C
.
900平方分米
二、非选择题
(共15题；共40分)
11.
（2分）
(2018三下·云南月考)
长方形的面积=________，正方形的面积=________。
12.
（2分）
(2017三下·兴义期末)
一块正方形菜地，边长是15米。它的面积是________平方米，周长是________米。
13.
（1分）
(2016·思南模拟)
在比例尺是1：200的设计图上，一个长方体游泳池长12厘米，宽10厘米，深2厘米，这个游泳池实际占地________平方米．
14.
（1分）
下图长方形的面积是896cm2
，
它的周长________
15.
（2分）
一个正方形的面积是432cm2
，
正好是一个长方形面积的4倍，这个长方形的面积是________cm2？如果这个长方形的宽是12cm，这个长方形的长是________cm
16.
（1分）
小玲用面积是1平方分米的正方形纸量课桌的面积，沿着长边摆了9张，沿着宽边摆了4张．这张课桌面积是________平方分米？
17.
（2分）
正方形的面积=________，用字母表示为：________。
18.
（1分）
正方形的边长扩大2倍，面积扩大________倍
19.
（2分）
(2018四下·盱眙期中)
有一个长方形，如果把它的长减少6米，面积就减少240平方米；如果把它的宽增加4米，面积就增加200平方米。这个长方形的面积是________平方米，周长是________米。
20.
（1分）
新疆农五师有一块正方形果园，周长是3600米，这个果园有________公顷
21.
（5分）
22.
（5分）
长是4厘米，宽是2厘米的长方形。
23.
（5分）
计算下面图形的面积。
①
②
24.
（5分）
一个长方形的花带，长300米，宽25米。这个花带的周长是多少米？如果每平方米可种月季花4棵，在这个花带里可以种月季花多少棵？
25.
（5分）
在方格纸上中画一个面积是20平方厘米的长方形，你能画几个？（每个小格表示1平方厘米。）
参考答案
一、选择题
(共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、非选择题
(共15题；共40分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
22、答案：略
23-1、
姓名:________
班级:________
成绩:________
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、选择题
(共4题；共8分)
1.
（2分）把一个圆平均分成若干份，然后把它剪开，照如图的样子拼起来，拼成的图形和原来的圆比，下面说法正确的是（
）
A
.
周长和面积都不相等
B
.
周长相等，面积不相等
C
.
面积相等，周长减少
D
.
面积相等，周长增加
2.
（2分）一个钟表的分针长10cm，分针走动一圈所扫过的面积为（
）cm2
．
A
.
31.4
B
.
62.8
C
.
314
D
.
无法计算
3.
（2分）在一个钟面上，时针长2厘米，分针长3厘米，从8∶00到10∶00，分针扫过的面积是（
）平方厘米。
A
.
28.26
B
.
37.68
C
.
56.52
4.
（2分）要剪一个面积是78.5平方厘米的圆形纸片，至少需要面积是（
）平方厘米的正方形纸片（π取3.14）。
A
.
5
B
.
25
C
.
100
二、判断题
(共1题；共2分)
5.
（2分）剪一个面积为942cm2的圆，至少要11cm2的正方形纸.
三、填空题
(共4题；共6分)
6.
（2分）在一张长12厘米、宽10厘米的彩纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是_______厘米，面积是_______平方厘米．
7.
（2分）至少用_______个
可以拼成一个大正方形。
8.
（1分）一个半圆的周长是128.5厘米，它的面积是_______平方厘米。
9.
（1分）一个圆环的外圆半径是5厘米，内圆直径是4厘米，这个圆环的面积是_______平方厘米。
四、解答题
(共7题；共45分)
10.
（5分）填一填
圆的半径
圆的直径
圆的周长
圆的面积
1.5厘米
8分米
31.4米
11.
（5分）如图，在一个正方形中放置一个最大的圆。这个圆的面积是多少?
12.
（5分）在一个长9厘米，宽6厘米的长方形纸中，剪下一个最大的圆，纸片剩下部分的面积是多少平方厘米?
13.
（5分）下图池塘的周长251.2米，池塘周围（阴影）是一条5米宽的水泥路，在路的外侧围一圈栏杆。水泥路的面积是多少？栏杆长多少米？
14.
（5分）三个扇形的半径均为6cm，π取3.14，求下图中阴影部分的面积。
15.
（5分）求出下面图形的周长和面积。（单位：厘米）（π=3.14）
16.
（15分）3月12日是植树节，同学们到郊外的路边植树，在路的一边从头到尾一共种了81棵树，相邻两棵树之间的距离为10米，这条路有多长？（两端都要植树）
参考答案
一、选择题
(共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、判断题
(共1题；共2分)
5-1、
三、填空题
(共4题；共6分)
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
四、解答题
(共7题；共45分)
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
